Nivel de Presión Sonora - Decibeles 31-03-18

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Nivel de presión sonora y decibeles SPL Elementos de Audio Jorge Petrosino

DECIBELES Los decibeles (o decibelios en algunos países de habla hispana) suelen asociarse con el nivel de presión sonora, sin embargo se trata de algo utilizado en muchos otros contextos científicos y tecnológicos. Además de utilizarse para nivel de presión sonora, dentro del audio es posible referirse en decibeles al rango dinámico, la ganancia de amplificadores, la potencia y la tensión eléctrica El decibel es una unidad relativa referida a la comparación de dos magnitudes. Cuando el resultado es 0 dB, esto significa que las dos magnitudes son iguales entre sí. Como esta unidad se apoya en propiedades de los logaritmos haremos una revisión de estos en primer lugar. 1 – LOGARITMOS DECIMALES (BASE 10) Los logaritmos fueron creados en el siglo XVII con el fin de transformar productos en sumas. Se trata de un tipo de transformación que se presentaba en tablas. A cada número real le corresponde un logaritmo (que es otro número real). Las tablas contienen en una columna los números de partida y en otra los logaritmos de estos números. Si alguien quiere multiplicar dos números (evitando la multiplicación) puede tomar los logaritmos de estos números, sumarlos y con este proceso encuentra el logaritmo del resultado. Buscando en la tabla el número de base que corresponde al resultado hallado se encuentra la multiplicación. Así, si deseo multiplicar 2x10, sin multiplicar, podría hallar el logaritmo de 2 (que es muy aproximadamente 0,301) y el logaritmo de 10 (que da 1), sumar estos resultados obteniendo 1,301 , para luego buscar el antilogaritmo (INV LOG en las calculadoras) obteniendo el resultado de la multiplicación. NOTA: Es importante aclarar que este complicado camino de obtener el resultado de una multiplicación no tiene sentido hoy como un hecho práctico. Al disponer de calculadoras, la multiplicación de números de varias cifras no representa ningún problema y por lo tanto puede resultar extraño que alguien haya propuesto un camino tan engorroso para solucionar este problema. EJERCICIO Hallar el producto de 3,2481x1,2629 sin multiplicar. SOLUCIÓN log (3,2481) = 0,5116 log (1,2629) = 0,1014 Obtenemos la suma de ambos

0.613

Hallamos ahora el antilogaritmo de este número y obtenemos

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El producto directo habría dado por resultado 3,2481x1,2629 = 4,102025 La diferencia en los últimos decimales no se debe a que el logaritmo implique alguna inexactitud. Simplemente surge porque anotamos el valor del logaritmo utilizando algunos decimales y descartamos el resto. Si el proceso se realiza con más decimales, el resultado es cada vez más cercano. NOTA 1: En la calculadora el antilogaritmo se calcula como [shitf] [LOG] o [inversa] [LOG] dependiendo de la marca y modelo. NOTA: La operación "antilog" no se utiliza actualmente como tal. Eso es porque los matemáticos han demostrado que el antilogaritmo de un número es igual que 10 elevado a ese mismo número. Ese es el motivo por el cual en las calculadoras sobre la tecla LOG se encuentra 10^n (que no es más que otra manera de hablar del antilogaritmo. Para quien no está familiarizado con el uso de logaritmos, escribir antilog(x) puede ayudar a resolver algunas situaciones por lo que lo consideraremos válido, aunque formalmente al escribir el resultado final es necesario cambiar antilog(x) por 10^x. EJEMPLO: Utilización de 10^() para despejar logaritmos Supongamos que se pide despejar x de la siguiente ecuación y = log(x) El logaritmo se cancela con su antilogaritmo, de modo que al despejar obtendremos que antilog(y) = x Dando vuelta los términos se tiene que x = antilog(y) Para expresar el resultado en forma actual sólo hay que reemplazar antilog() por 10^() x = 10^y -------------------------------------------Los logaritmos permiten convertir productos de números en sumas de sus logaritmos, y divisiones en restas de sus logaritmos. También permiten modificar el cálculo de potencias y raíces. Las propiedades de los logaritmos suelen expresarse del siguiente modo:

Si bien la función original de los logaritmos fue la de convertir productos en sumas no es esa la única utilidad práctica hoy en día, ya que han aparecido otros usos que justifican su popularidad en ámbitos científicos y tecnológicos. NOTA: El log(1) = 0. El logaritmo de números mayores que uno da positivo y el de menores que uno da negativo. No existe log(0) y tampoco existe dentro de los números reales el logaritmo de números negativos. Hay que tener cuidado con esto: el resultado de un logaritmo puede dar negativo, pero no puede calcularse el logaritmo de un número negativo.

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PROBLEMA 1 (logaritmo de números que son exactamente potencias de diez) Sabiendo que log(10) = 1, obtener el valor de

NOTA: Las respuestas a los problemas están al finalizar la sección. ------------------------------------------Conociendo los resultados de las potencias de 10, y el valor de log(2) es posible obtener logaritmos de muchos otros números al aplicar sus propiedades sobre productos y divisiones. Ejemplo: Obtener el log(20), sin calculadora. Primero hay que intentar descomponer 20 en una multiplicación (o una división) entre dos valores cuyos logaritmos ya se conozcan. En este ejemplo 20 = 2x10 Anotamos esto y aplicamos la propiedad de convertir productos en sumas log(20) = log(2x10) = log(2) + log(10) = 0.3 + 1 = 1.3 Si ahora comprobamos este resultado utilizando una calculadora notaremos que nos indica que log(20) = 1.302 Ejemplo: Obtener el valor de log(500) Podemos expresar que 500 = 1000/2 (mil dividido dos), dado que conocemos el log(1000) y el log(2), por lo cual: log(500) = log(1000/2) = log(1000) - log(2) = 3 - 0.3 = 2.7 Si ahora utilizamos la calculadora para comprar obtendremos log(500) = 2.69897, si aproximamos por redondeo a 3 cifras significativas tendremos log(500)=2.70 PROBLEMA 2 Sabiendo que log(1) = 0, log(2) = 0.3 y que log(10^n) = n, obtener: a) log(80) b) log(400) c) log(5) d) log(0,05) e) log(0,4) AYUDA: a) 80 puede pensarse como 2x2x2x10, b) 400 como 2x2x100, c) 5 como 10/2, d) 0.05 como 0,1/2, e) 0,4 como 0,1x2x2

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2 – PRESIÓN SONORA Y NIVEL DE PRESIÓN SONORA Las ondas sonoras provocan una variación por encima y por debajo del nivel de presión atmosférica. La mayores perturbaciones se corresponden con sonidos más intensos. La diferencia entre sonidos débiles y fuertes puede medirse con diferentes variables. Una de ellas es la presión sonora (la amplitud de presión “eficaz” de la onda) y su variante logarítmica denominada Nivel de Presión Sonora (Sound Pressure Level o simplemente SPL). El nivel de presión sonora (Sound Pressure Level) medido en decibeles SPL puede calcularse como

La presión de referencia de 20 micropascales (20 μPa) es el valor estándar del umbral de audición (mínimo audible teórico) para tonos puros de 1 KHz en condiciones de laboratorio. El nivel sonoro se especifica con Nspl, NPS (Nivel de presión sonora) o simplemente SPL, en diferentes libros de acústica. NOTA: Es importante prestar atención a los nombres de las variables. La "presión sonora" se mide en pascales, mientras que el "nivel de presión sonora" se mide en decibeles SPL. PROBLEMA 3 Conociendo los valores de diferentes presiones sonoras (en pascales) obtener los niveles de presión sonora (en decibeles SPL) a) 20 Pa b) 200 Pa c) 2 Pa d) 1 Pa e) 0,02 Pa La ecuación anterior sirve para calcular el nivel SPL si se conoce la presión. Despejando P de la ecuación anterior se obtiene la siguiente ecuación (inversa de la anterior)

NOTA: Los pasos para despejar P de la ecuación de Nspl son los siguientes

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PROBLEMA RESUELTO DE CÁLCULO INVERSO (pasar dB a pascales) Sabiendo que el nivel de presión sonora generado por una onda es de 80 dBspl, obtener la presión sonora (pascales) que le corresponde. SOLUCIÓN: P = Pref.10^(Nspl/20) = 20.10^(-6) . 10^(80/20) = 0,2 pascales PROBLEMA 4 A partir de conocer el nivel de presión sonora (dB), obtener la presión sonora (pascales) a) 60 dBspl b) 0 dBspl c) 74 dBspl d) 10 dBspl ______________________________________________________

Duplicar la presión equivale a subir 6 dB el nivel de presión sonora Si observamos la siguiente tabla notaremos que cada vez que la presión sonora se multiplica por dos, el nivel de presión sonora sube 6 dB (se suman 6 dB al nivel anterior) , y algo semejante se verifica al dividir por dos (o multiplicar por 0.5) en donde se ve que el nivel de presión sonora baja 6 dB. Es buen ejercicio comprobar los valores de la tabla utilizando las ecuaciones anteriores. P (Pa) Nspl (dB)

20 µPa

40 µPa

80 µPa

160 µPa

320 µPa

640 µPa

1.28mPa

2.56mPa

0 dB

6 dB

12 dB

18 dB

24 dB

30 dB

36 dB

42 dB

Esta ley se verifica en cualquier parte de la escala P (Pa) Nspl (dB)

1 Pa

2 Pa

4 Pa

8 Pa

16 Pa

32 Pa

64 Pa

128 Pa

94 dB

100 dB

106 dB

112 dB

118 dB

124 dB

130 dB

136 dB

Multiplicar por 10 la presión equivale a subir 20 dB el nivel de presión sonora De modo semejante se verifica que cada vez que la presión se multiplica por 10 su nivel en decibeles sube 20 dB P (Pa) Nspl (dB)

20 µPa

200 µPa

2 mPa

20 mPa

200 mPa

2 Pa

20 Pa

200 Pa

0 dB

20 dB

40 dB

60 dB

80 dB

100 dB

120 dB

140 dB

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3 – ESCALAS LINEALES Y LOGARÍTMICAS Un extendido uso de los logaritmos se refiere a la representación de información en escalas logarítmicas. En una escala lineal cada desplazamiento equivale a un salto idéntico de la variable representada. Esto permite por ejemplo decir para un caso determinado que cada centímetro equivale a 1 Kg. En una escala logarítmica este razonamiento no es válido. No existe un valor en centímetros que equivalga a un salto de 1 Kg en cualquier parte de la escala. Para ejemplificar esta afirmación podemos imaginar una balanza que represente sus resultados en escala lineal y otra que los represente en escala logarítmica.

En la escala lineal si el cursor que marca el peso avanza una distancia y luego otra vez la misma distancia, en ambos saltos la cantidad de kilogramos representados ha sido la misma. En la escala logarítmica esto no es cierto. A medida que el cursor se desplaza a la derecha, la misma distancia representa cada vez más kilogramos. Una de las ventajas es la de comprimir la información de un amplio rango en poco espacio. Notemos que la escala logarítmica del ejemplo permite representar desde 10 gramos hasta 10 mil toneladas, mientras que la escala lineal solo representa pesos de hasta 10 kilogramos. En cierto sentido se puede decir que la escala lineal también permite representar pesos de 10 gramos, pero la posición del cursor al indicar 10 gramos será tan cercana a cero que se volverá indistinguible. Sería prácticamente imposible distinguir la diferencia entre 10 gramos y 20 gramos. Por su parte, en la escala logarítmica, una diferencia entre 10 gramos y 20 gramos sería bien notoria (variaría entre la posición de 0,01 y un tercio del salto entre esta posición y la de 0,1), sin embargo nada es gratis, en la escala logarítmica un aumento de 10 gramos en valores de decenas o centenas de kilogramos no podría distinguirse. Ambas escalas están representando en el ejemplo un peso correspondiente a unos 4,3 kg. La diferencia entre 4,3 y 4,4 kg se notaría mejor en la escala lineal que en la escala logarítmica. Los avances del cursor en la escala logarítmica representan saltos de proporciones iguales. Por ejemplo, este cursor avanza una cantidad igual cada vez que el peso se multiplica por 10. De manera semejante, si el peso pasa de 1 kg a 2 kg, avanza una cantidad igual que cuando pasa de 2 kg a 4 kg. En la escala lineal saltos iguales se mueven sumando un valor constante, mientras que en la logarítmica se mueven multiplicando por un valor constante. ¿Cómo podemos hallar el lugar en donde debería estar el cursor en una escala logarítmica? En una escala logarítmica, el peso se ubica en el lugar que corresponde al logaritmo de ese valor. Así, si pensamos en una escala en donde el punto central se corresponda con 1 kg, este punto se ubicaría en log(1) = 0, o sea que estaría en el centro de la escala (0 cm). El valor de 10 kg se ubicaría en log(10) = 1. El de 100 kg se ubicaría en log(100) = 2. El valor de 2 kg se ubicaría en log(2) = 0,3 y el de 4 kg, en log(4) = 0,6.

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PROBLEMA RESUELTO Ubicar en la escala logarítmica un peso de 200 kg, uno de 3 kg, y uno de 135,8 g.

SOLUCIÓN (tomando como referencia 1 kg igual al cero de la escala comparativa) log(200) = 2,3 log(3) = 0,48 log(0,1358) = -0,87

PROBLEMA RESUELTO Modificar las líneas de indicación de la escala de tal modo que marquen los puntos de 1 kg, 2 kg, 3kg, 4kg, 5kg, 6kg, 7kg, 8kg, 9kg y 10 kg SOLUCIÓN Tomamos logaritmos (aproximando al primer decimal ya que para graficar no podremos usar mayor precisión) log(1) = 0; log(2) = 0,3; log(6) = 0,8; log(7) = 0,85

log(3) = 0,5; log(8) = 0,9;

log(4) = 0,6; log(10) = 1

log(5) = 0,7;

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PROBLEMA RESUELTO Dibuje una escala con saltos logarítmicos (del 1 al 9 en cada década) y represente en esa escala los siguientes pesos: 300 g, 3 kg, 6kg, 12 kg, 30 kg SOLUCIÓN

NOTA: El salto que existe entre 300g y 3 kg, es igual al salto que hay entre 3 kg y 30 kg. De modo semejante, el salto que hay entre 3 kg y 6 kg, es idéntico al que hay entre 6 kg y 12 kg. La distancia que indica el doble corresponde a un salto de 0,3 en la escala, y la que indica diez veces más implica un salto de 1 en longitud lineal en la misma escala.

PROBLEMA 5 Se muestran en una escala logarítmica seis valores de longitud. Por otra parte se incluye una tabla en la cual se muestran 10 valores numéricos, indicar cuáles de ellos se corresponden con los valores numéricos indicados (agregar en la tabla las letras de los valores que más se aproximen)

0.005m

0.012m

0,4 m

0,5 m

1,6 m

2,6 m

20 m

30 m

50 m

60 m

100,6 m

106 m

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c – GRÁFICOS EN ESCALA LINEAL, SEMILOGARÍTMICA Y LOGARÍTMICA Cuando se representa una relación entre variables pueden utilizarse representaciones en las que una o más variables estén en escala logarítmica. Un gráfico se denomina lineal si ambas variables están en escala lineal, se llama semilogarítmico si una de las dos variables está en escala logarítmica. Si ambas variables están en escala logarítmica el gráfico se denomina logarítmico.

Imagen: Ejemplo de los mismos datos en escala lineal, semilogarítmica y logarítmica

En acústica y en varias aplicaciones de electrónica se utilizan representaciones en escala logarítmica. Existen varios motivos por los cuales esto es práctica común: – La escala logarítmica se ajusta más al tipo de variaciones que son percibidas por nuestros sentidos. – En las escalas logarítmicas se puede representar una amplia variación de rangos (desde valores extremadamente pequeños a valores muy grandes). – En las escalas logarítmicas los saltos de longitud iguales se corresponden con saltos de proporciones iguales (sumar 0,3 en longitud equivale a multiplicar por 2 la variable).

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Supongamos que tenemos una señal formada por una suma de senoidales (una frecuencia fundamental y algunos armónicos, por ejemplo). Representaremos esta señal mediante las amplitudes de sus armónicos (su espectro de Fourier) en escala lineal y en escala logarítmica. PROBLEMA RESUELTO Sea la función y(t) = 12.sen(2.π.100.t)+6.sen(2.π.200.t)+4.sen(2.π.300.t) Representar el diagrama de Fourier de esta señal en escala lineal y en escala logarítmica SOLUCIÓN En el siguiente diagrama se representa la función en escala lineal. La línea de puntos está solamente como guía que pasaría por amplitudes que van disminuyendo en forma inversamente proporcional a la frecuencia (el doble de frecuencia implica la mitad de la amplitud, el triple corresponde a la tercera parte). En escala logarítmica obtendríamos lo siguiente

Notar que en el último gráfico, la línea de puntos originalmente curva se ha transformado en una recta. PROBLEMA 6 Representar en escala lineal y logarítmica el diagrama de Fourier de la siguiente función y(t) = 60.sen(2.π.1000.t)+30.sen(2.π.2000.t)+20.sen(2.π.3000.t)+ +15.sen(2.π.4000.t)+12.sen(2.π.5000.t)+10.sen(2.π.6000.t)

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PROBLEMA 7 Pasar los datos del gráfico de escala lineal a escala logarítmica

PROBLEMA 8 Pasar los datos de escala logarítmica a escala lineal

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SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS PROBLEMA 1 a) log(10000) = 4 b) log(0.001) = -3 c) log (10^5) = 5 d) log(10^-3) = -3 -----------------------------------------------------------------PROBLEMA 2 a) log(80) = log(2.2.2.10) = log(2)+log(2)+log(2)+log(10) = 0,3 + 0,3 + 0,3 + 1 = 1,9 b) log(400) = log(2.2.10.10) = log(2)+log(2)+log(10)+log(10) = 0,3 + 0,3 + 1 + 1 = 2,6 c) log(5) = log(10 : 2) = log(10) – log(2) = 1 – 0,3 = 0,7 d) log(0,05) = log(1 : 10 : 2) = log(1) – log(10) – log(2) = 0 – 1 – 0,3 = – 1,3 e) log(0,4) = log(1 : 10 . 2 . 2) = log(1) – log(10) + log(2) + log(2) = 0 – 1 + 0,3 + 0,3 = – 0,4 -----------------------------------------------------------------PROBLEMA 3 a) 20 Pa Nspl = 20.log( 20/(20x10^-6) ) = 120 dBspl b) 200 Pa Nspl = 20.log( 200/(20x10^-6) ) = 140 dBspl c) 2 Pa 20.log( 2/(20x10^-6) ) = 100 dBspl d) 1 Pa 20.log( 1/(20x10^-6) ) = 94 dBspl e) 0,02 Pa 20.log( 0,02/(20x10^-6) ) = 60 dBspl PROBLEMA 4 a) 60 dBspl P = Pref . 10^(Nspl/20) = 20x10^(-6) . 10^(60/20) = 0,02 Pa = 20 mPa (milipascales) b) 0 dBspl P = Pref . 10^(Nspl/20) = 20x10^(-6) . 10^(0/20) = 2x10^(-5) Pa = 20 uPa (micropascales) c) 74 dBspl P = Pref . 10^(Nspl/20) = 20x10^(-6) . 10^(74/20) = 0,1 Pa d) 10 dBspl P = Pref . 10^(Nspl/20) = 20x10^(-6) . 10^(10/20) = 6,32x10^(-5) Pa = 63,2 uPa

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PROBLEMA 5

0.005m

0.012m a

0,4 m

0,5 m b

1,6 m

2,6 m c

20 m

30 m d

50 m

60 m e

100,6 m

106 m f

-----------------------------------------------------------------PROBLEMA 6 La elección del punto de comienzo de la escala vertical y la escala horizontal en los diagramas logarítmicos es arbitraria. Elegimos comenzar por 1 en la vertical y por 100 en la horizontal. La mayoría de los puntos pueden ubicarse directamente por las líneas de guía. Los únicos puntos a calcular serían el que corresponde a amplitud 15 y el de 12, que se calculan como log(15) = 1.18 (una unidad y 0.18 por encima de la referencia 1), y como log(12) = 1.08.

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PROBLEMA 7

El único punto difícil de dibujar es el que corresponde a la frecuencia de 650 Hz, ya que no hay una marca específica en 650, pero si en 600 y 700. -----------------------------------------------------------------PROBLEMA 8

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