Los juegos de conocimiento un recurso para enseñar matemática

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Monografía Juegos y matemáticas Ana García Azcárate ICE de la Universidad Autónoma de Madrid

Los juegos de conocimientos: un recurso para enseñar matemáticas La utilización de juegos en clase de matemáticas es un buen recurso para conseguir despertar el interés de los alumnos y alumnos de 12-16 años. Pero además, con juegos, se pueden trabajar contenidos, tantos conceptuales como procedimentales. Los juegos de conocimientos son los primeros que pueden utilizar un profesor o profesora que quiera empezar a utilizar juegos en su clase, porque no suponen romper con los contenidos clásicos de matemáticas. Tienen además la ventaja de ser fácilmente adaptables, en cuanto a los contenidos matemáticos, lo que permite su utilización flexible y diversa en una misma aula. Para cualquier estudiante de secundaria, además de ser motivadores, introducen saberes de fuera del aula, que no tienen que ver con las matemáticas y donde pueden destacar alumnos y alumnos normalmente marginados en la asignatura. Knowledge games: a resource for teaching Mathematics The use of games in the Mathematics classroom is a good resource for arousing the interest ofstudents between the ages of 12-16. Furthermore, with games we can work on the contents, as much the conceptual ones as the procedural ones. Knowledge games are the first that a teacher can use if he wants to use games in his class, as this does not suppose breaking with the classic contents of Mathematics. These, furthermore, have the advantage of being easily adaptable in respect of the mathematical contents, which allows their flexible and diverse use in the same classroom. For whichever student in Secondary Education, apart from being motivating, they introduce out of the classroom knowledge, which has nothing to do with Mathematics and where students who are normally alienated by the subject can stand out. Si la vida corriente suministra tantos modelos y situaciones aptas para la enseñanza matemática, es natural que busquemos, asimismo, modelos matemáticos en los juguetes que tan esencial papel desempeñan en la vida del niño, promoviendo su más espontánea actividad. Este acercamiento entre matemática y juguete nos suministrará, sin duda, amplias sugerencias para alcanzar la meta ideal de nuestra enseñanza, que es la de convertirla recíprocamente en un juego para el niño. P. Puig Adam (1960) Convertir la matemática escolar en un juego para niños, sería la meta deseada pero difícilmente alcanzable para cualquier docente que se dedique a enseñar a los estudiantes de educación secundaria obligatoria (ESO). Y para conseguir esta meta, los profesores y profesoras han recurrido siempre a todos los medios a su alcance. El empleo de todo tipo de materiales para ayudar al aprendizaje no es algo nuevo para los que enseñan matemáticas en nuestro país. En el año 1957 se celebró en Madrid el primer congreso internacional dedicado exclusivamente al material didáctico matemático y cuando se leen las aportaciones que allí se hicieron, uno se da cuenta de la auténtica tradición en buscar medios que favorezcan la relación de los alumnos y alumnas con las matemáticas que existe.

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Sin embargo, la realidad es, que muchos estudiantes, al llegar a la etapa de la ESO sienten un auténtico rechazo hacía la asignatura. Contemplan como espectadores pasivos los intentos de los profesores y profesoras por hacerles partícipes de alguna actividad relacionada con ellas, y en general se defienden, negando significado a los contenidos vistos en clase y recurriendo a la memorización sin sentido; al volver a fracasar, se reafirman en su postura en contra de lo matemático... ¿Cómo romper esta dinámica? La introducción de juegos y pasatiempos en las clases puede servir para eliminar este bloqueo inicial, sortear el rechazo hacia todo lo matemático y hacer que estos alumnos y alumnas lleguen a experimentar un cierto placer en lo que para ellos es un juego. H. Camous escribe (Camous, 1995): Algunos estudios lúdicos han dado origen a teorías matemáticas fundamentales.... No obstante, el valor profundo de los juegos matemáticos no se limita a estos descubrimientos magistrales; en el plano pedagógico, constituyen un material de valor excepcional para la enseñanza de la matemática. La atracción y el interés que despierta el juego garantizan el esfuerzo que requiere la investigación matemática. En nuestra época, los docentes científicos esclarecidos saben aprovechar en sus clases la motivación excepcional que suscitan las actividades recreativas. Estas son generadoras de placer espontáneo y por esa vía la matemática deja parece una disciplina triste y los matemáticos unos aguafiestas. Porque la palabra juego lleva consigo la idea de placer, de diversión, y a nuestros alumnos y alumnas, desde luego les apetece divertirse. En eso consiste el enorme potencial de los juegos matemáticos; para jugar, competir, ganar, van a apostar, adivinar, conjeturar, sacar conclusiones, organizar información, tantear, calcular, desechar ...y todos estos, son objetivos que nos marcamos cuando pretendemos que los estudiantes hagan matemáticas. Los juegos de conocimientos Los ejemplos de juegos que queremos analizar aquí, son juegos cuyos contenidos son algunos de los tópicos clásicos de las matemáticas de la ESO, los llamados juegos de conocimientos que se suelen diferenciar de los juegos de estrategia, juegos en los que se trataría de poner en marcha uno o varios procedimientos típicos de resolución de problemas. Hemos recalcado en esas definiciones que nos pueden servir para una primera clasificación de los tipos de juegos, las palabras tópicos clásicos para dar a entender, que si uno tiene claro que los contenidos de los programas de matemáticas engloban tanto procedimientos del tipo: «resolución de ecuaciones de primer grado por transformación algebraica...» como «búsqueda y expresión de propiedades...» o «formulación de conjeturas...», la separación entre juegos de conocimientos y juegos de estrategia es muchas veces ambigua. Si añadimos a esto, el hecho de que muchos juegos de conocimientos necesitan para su desarrollo de ciertas estrategias generales, vemos claramente que la clasificación de los juegos no es una materia cerrada. Es cierto que todavía para un gran número de profesores y profesoras de matemáticas, el enseñar las estrategias propias de resolución de problemas con ejemplos prácticos no se considera avanzar en el programa, pero, según se vaya tomando conciencia de que desarrollar la habilidad para resolver problemas es una de las metas más prominentes de la educación matemática, la separación entre juegos de conocimientos y juegos de estrategia ira 2

desapareciendo. Todos los juegos matemáticos pueden tener objetivos instruccionales y permitir que los alumnos y alumnas vayan desarrollando una actividad rica en contenidos propios de la Matemática. ¿Cómo tiene que ser un buen juego de conocimientos? El elemento claro de motivación de los juegos es un cheque en blanco que nos dan nuestros estudiantes; a priori, contamos con la mejor situación en cuanto a las actitudes: están expectantes, dispuestos a actuar, a jugar. Pero esta situación se puede claramente desaprovechar si los juegos que ofrecemos, no tienen unas condiciones mínimas. Por eso creemos que los juegos matemáticos deben cumplir las condiciones que se indican a continuación. Deben tener una presentación motivadora, para que apetezca jugar con ellos No se trata de conseguir, si el juego es de fabricación propia, un aspecto semejante a los juegos modernos actuales, que venden con la imagen, pero los medios tecnológicos que se encuentran actualmente en los centros escolares posibilitan al menos que nuestros juegos tengan un soporte digno y cuidado. Deben tener reglas sencillas y conocidas por todos Las reglas son lo que caracterizan los juegos. Estas reglas deben ser entendidas por todos los alumnos y alumnas antes de iniciarse la fase de puesta en práctica del juego. Numerosos juegos de conocimientos se basan en juegos que se utilizan fuera de la escuela y que se aprovechan en clase de matemáticas para trabajar determinados contenidos matemáticos. El ejemplo 1 que presentamos a continuación pertenece a este tipo y entre los comercializados, el caso de los dóminos es muy conocido. Al utilizarlos en clase, la mayoría de los estudiantes conocen las reglas del juego tradicional y les es fácil empezar a jugar incorporando los elementos nuevos introducidos por el profesor. Se produce además un elemento positivo cuando se aprovechan juegos de procedimiento conocido. Una de las grandes dificultades a las que se enfrenta el profesor en la etapa de la ESO es cómo tener en cuenta las diferencias que existen entre los alumnos y alumnas del grupo; diferencias de aptitudes pero también diferencias de actitudes que dan lugar a papeles estables: «éste es bueno», «yo no valgo para las mates», dicen los propios estudiantes. Cuando un alumno que no vale para las mates es en cambio, y los hay, un experto jugador de dominó o de cartas, su situación frente a sus compañeros y compañeras al iniciarse el juego cambia radicalmente, y puede pasar a jugar un papel activo y protagonista que en condiciones normales nunca habría llegado a tener. Los contenidos matemáticos implicados en el juego deben ser adecuados para los alumnos y alumnas Uno de los problemas más graves al que se puede enfrentar un docente que decide utilizar un juego de conocimientos en su grupo, es que el juego maneje contenidos matemáticos fuera del alcance de los jugadores. Si se trata de un juego preinstruccional 1 esto puede ocurrir porque el profesor o la profesora presupone unos conocimientos previos que los 1

Los juegos se suelen clasificar según el lugar que ocupan en el proceso de enseñanza-aprendizaje. Se distinguen los juegos preinstruccionales, previos a la adquisición de algún contenido, conceptual o procedimental, los juegos coinstruccionales que se utilizan al mismo tiempo que mediante otras actividades se está introduciendo los contenidos implicados, y los juegos postinstruccionales que sirven para reforzar contenidos ya conocidos.

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alumnos y alumnas no poseen o en el caso de un juego postinstruccional, porque no se han cumplido los objetivos marcados en el trabajo anterior. En todos los casos, una forma interesante de aprovechar los juegos de conocimientos ya diseñados, como los que presentamos aquí, es cambiando los contenidos concretos que aparecen, por otros más acordes al nivel del grupo. Los medios gráficos y tipográficos de Ios que se dispone actualmente en los centros y en los centros de profesores y recursos permiten estos tipos de cambios sin muchas dificultades. Los juegos de conocimientos permiten así, enfrentarse al problema de la diversidad. Efectivamente, un mismo juego de conocimientos, con el mismo soporte lúdico pero con distintas cartas, tarjetas, se puede estar jugando en un grupo, de forma simultánea. El profesorado, debe previamente incorporar contenidos matemáticos de distintos niveles de complejidad a las colecciones de tarjetas o cartas y elegir para cada grupo de jugadores, el nivel adecuado al equipo. Esto exige desde luego, el formar equipos de niveles homogéneos dentro de la clase pero a cambio, es una garantía para conseguir la participación activa de todos los alumnos y alumnas. Deben durar aproximadamente una sesión de clase Los juegos de conocimientos, no se pueden acabar en casa, ni el día después. Además, si el nivel matemático una partida de cartas o de un juego de conocimientos es el adecuado, no tiene por qué durar mucho; lo contrario implicaría seguramente el cansancio o el aburrimiento de los estudiantes. Trabajar destrezas Con los juegos de conocimientos, se consigue por ejemplo trabajar destrezas numéricas o destrezas algebraicas y conseguir una mejora que en condiciones normales sólo se obtiene mediante la repetición aburrida de ejercicios. Con un juego, se puede vencer el tedio de nuestros alumnos y alumnas y motivarles a una actividad matemática que en otras condiciones no habrían querido llevar a cabo. Presentamos un ejemplo (ejemplo 1) de juego de conocimientos para trabajar destrezas algebraicas. Ejemplo 1: Chinchón algebraico Material 

Una baraja de ecuaciones para cada grupo de cuatro.

Las ecuaciones son las que se indican en el cuadro 1. Reglas del juego   

Juego para cuatro jugadores. Se establece el orden de jugada, empezando por turno cada jugador. Se reparten cuatro cartas a cada jugador, quedando las sobrantes en un montón, boca abajo, encima de la mesa.

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cuadro 1 Valor Ecuaciones 1 2 3 4 5

3x + 8 = 4x + 7 8 - 3x - 10 - 4x x/3 - 3 = 5 - 7x/3 -2 - x = x- 10 2x - 7 - 8 - x

x/2 + 1/2 = x 1-2x = x-5 2x + 7 = 6x - 5 2x - 3 = x/2 + 3 -3x -1 = -21 + x

7x + 5 = 6x + 6 4x/3 - 2/3 = x 4x - 7 = 3x - 4 2(x + 1) = X + 6 3x- 10= 15-2x

5 - 3x = x+1 3x - 5 = 3-x x + 3 = 12-2x -2x + 15 - 2x -1 3x/2 - 15/2 =0

2x - 7 = x - 6 2x + 8 = 6x x/2 + 8 = 5x/2 + 2 2 - x = x/2 - x -8x - 4=-9 - 7x

6

2x-4 = 14-x

5x - 10 = 26 - x

x/6 +8 = 9

-3x + 8 - 2x + 2

x + 8 = 20 - x

  



. El juego consiste en conseguir un trío de ecuaciones de la misma solución (del mismo valor) y una cuarta ecuación de solución menor o igual a 2 (de valor 1 o 2) . El primer jugador, coge del montón del centro una de las cartas y deja sobre la mesa, boca arriba, otra que no le interese. . El segundo jugador, puede ahora, o coger si le interesa, la carta que ha dejado el jugador anterior, o escoger al azar, una de las del montón. Una vez cogida una carta, deja a su vez una, colocándola boca arriba, encima de las que ya estaban boca arriba. De esta forma, cada jugador debe tener cuatro cartas. . Gana el jugador que primero consigue un trío y una cuarta carta de solución menor o igual que 2.

El objetivo de este juego es afianzar la resolución de ecuaciones de primer grado. El nivel de las ecuaciones corresponde a 2 o o 3º de ESO y se trata de un juego coinstruccional, a utilizar cuando ya se han empezado a resolver ecuaciones por métodos formales. Para jugar se necesita de una preparación previa: durante la hora anterior a la partida, los alumnos y alumnas deben dedicarse a clasificar las cartas según sus valores (soluciones) e incluso apuntar en su cuaderno, si es necesario, las diversas ecuaciones que componen la baraja y su valor (solución). Lo hemos llamado el Chinchón Algebraico, porque se parece al juego clásico del Chinchón, que se juega con una baraja tradicional Muchos jóvenes de esas edades, conocen el juego, lo que facilita la comprensión de las reglas. Algunas veces en clase, han surgido propuestas por parte de los alumnos y alumnas del grupo, de cambiar las reglas para jugar. En algunos casos, se trataba simplemente de ampliar las posibilidades de ganar, formando no sólo tríos de cartas sino también escaleras o póquer de cartas, pero en otros, los estudiantes proponían jugar con las mismas cartas a otro juego más conocido por ellos: el juego de «las familias» o algo parecido «al mentiroso». Se pueden aceptar antes de iniciar las partidas, todos los cambios que favorezcan una mayor implicación de los alumnos y alumnas. El juego aparece publicado en García Azcárate (1998) Trabajar conceptos La idea de que con juegos se pueden reforzar destrezas es relativamente fácil de aceptar por los profesores y profesoras. Menos reconocida es la ayuda que se puede obtener con juegos de conocimientos para introducir conceptos, o reforzarlos en el caso de que ya se hayan visto anteriormente. Ejemplo 2: Tirar el dado Material . Tablas para el recuento . Un dado. 5

Reglas del juego . Juego para cinco jugadores. . Se establece un turno de jugadores. . El juego se desarrolla en seis series; en la primera serie, el primer jugador se encargará de hacer el recuento, en la segunda hará el recuento el segundo jugador etc. . Una serie está formada por 4 tiradas de dado consecutivas de cada jugador, es decir 20 tiradas. . Al principio de cada serie, cada jugador apuesta sobre los resultados que se van ha obtener con el dado, ¿cuál será el resultado más frecuente, el segundo... y escribe su apuesta en una hoja de papel. . Durante la serie, se va escribiendo en la tabla los resultados que van saliendo con los dados. Desarrollo de una serie Después de las 20 tiradas del dado, se puede tener los siguientes resultados en la tabla de recuentos: Serie n°

1 IIII 5

2

3

4

5

6

III 3 lIII 4 0 IIII I 6 0 La apuesta ganadora es por lo tanto:

o también

al no haber salido ni el 4ni el 6.

Puntuación Supongamos que el primer jugador había apostado que los resultados iban aparecer en el siguiente orden:

Tiene el primer puesto correcto y se lleva 1 punto, el tercer puesto correcto y se lleva otro punto y el sexto puesto correcto y se lleva otro punto. Total puntuación del primer jugador en esta serie: 3 puntos El ganador es que se lleva más puntos con las 6 series. Se trata de un juego para la introducción del concepto de probabilidad como límite de las frecuencias relativas de los resultados del dado en el caso de muchas tiradas.

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En una primera parte, la clase se divide en grupos de 5 y se realizan las 6 series de 20 tiradas del dado, es decir 120 tiradas, obteniéndose un ganador en cada grupo. En una segunda parte, se plantea a la clase que para decidir cuál de todos los ganadores es el ganador absoluto del grupo, se va a jugar una serie con los resultados de todos los grupos. Para eso, cada ganador hace una nueva apuesta y se suma los resultados de las tiradas de todos los grupos. El ganador absoluto será el alumno o alumna cuya apuesta sea la más parecida al resultado global) obtenido con todos los resultados parciales de cada grupo. Es de esperar que al sumar las 720 tiradas de dados hechas por los 6 grupos de clase (suponemos grupos de 30), se obtengan resultados muy parecidos para las frecuencias absolutas. El profesor puede utilizar este hecho para introducir la idea de probabilidad. Presentamos otro juego (ejemplo 3), para afianzar algunos conceptos geométricos. Ejemplo 3: La cadena geométrica Material . Una tarjeta para cada jugador. Reglas del juego . Se trata de un juego para toda la clase. . Se reparte una tarjeta por estudiante. . Empieza cualquier alumno leyendo la pregunta del anverso ¿quién tiene un triángulo de su tarjeta, por ejemplo, empieza el alumno con la tarjeta: isósceles y rectángulo? y pregunta: ¿quién tiene un triángulo isósceles y rectángulo? Todos miran su tarjeta del lado de las respuestas y contesta Yo tengo el alumno o alumna que posee la tarjeta con la solución: Dando la vuelta a su tarjeta, lee a su vez la pregunta en el anverso de su tarjeta, continuándose la cadena hasta que todos hayan contestado y preguntado una vez. En las tarjetas, una por persona, se presenta una cadena de preguntas o instrucciones y las respuestas a estas preguntas. Las tarjetas llevan por un lado una pregunta que empieza siempre por: ¿Quién tiene...? y por el otro una respuesta, en forma de frase, número o dibujo que empieza siempre por: Yo tengo... La cadena se cierra, es decir cada pregunta de una tarjeta, tiene una respuesta y sólo una que aparece en el reverso de otra tarjeta. Una forma de ayudar a que el juego se desarrolle con rapidez, es que el profesor vaya apuntando en la pizarra las preguntas y las respuestas correspondientes. La cadena geométrica es un juego que permite consolidar conceptos ya trabajados anteriormente. Está pensada para volver sobre las propiedades de los polígonos, en particular plantea el problema de qué propiedades bastan para determinar un polígono. Por ejemplo, cuando se quiere caracterizar un triángulo equilátero, se puede preguntar: ¿Quién tiene un triángulo con todos sus ángulos iguales? o si se quiere hablar de un cuadrado, se puede preguntar: ¿Quién tiene un cuadrilátero con sus lados y sus ángulos ¡guales? No se trata por lo tanto de identificar sólo los polígonos más importantes, sino de tener claro qué condiciones bastan para determinar un cuadrado, un rectángulo, un rombo etc. El nivel matemático de las tarjetas está, por lo tanto entre un primer y un segundo nivel de Van Hiele y podría ser utilizado en 2o o 3º de ESO. Todas las tarjetas del juego aparecen publicadas en Azarquiel (1997a). La cadena geométrica, es un buen ejemplo de juego de aplicaciones múltiples. Cambiando el contenido de las tarjetas, se pueden formar cadenas para trabajar otros conceptos y destrezas. En Azarquiel (1991) aparecen otros dos ejemplos de cadenas, con contenidos algebraicos. 7

Trabajar estrategias Los juegos de conocimientos permiten también, además de tópicos clásicos, trabajar estrategias como hacer conjeturas, observar regularidades etc. Ejemplo 4: Suma s de letras Material . Una baraja de 10 cartas con 10 sumas diferentes como ésta: Reglas del juego 5 a e a a = 14  Juego de todo el grupo de clase. Se forman equipos. e 4 a i a = 14  Cada equipo va escogiendo, boca abajo, una de las 10 u o 2 u e = 14 cartas de la baraja.  Resolver la suma entre todos los componentes del o e u 3 i = 14 equipo con las letras que les han tocado. u u e i o = 14  Gana el equipo que resuelve antes su suma. Con este juego se quiere iniciar a los alumnos y alumnas a la resolución de sistemas. Esta competición con pasatiempos de sumas, permite, además, trabajar estrategias de todo tipo, no sólo relacionadas con el álgebra y los sistemas, como hacer lo mismo de los dos lados de una ecuación, sino mucho más generales, como observar regularidades, hacer conjeturas para el valor de alguna letra, confrontar esta conjetura con el resto de las condiciones... Es un juego preinstruccional, que se puede introducir cuando todavía no saben resolver formalmente sistemas de ecuaciones. Una vez jugado en clase, es importante que los propios estudiantes reflexionen sobre el razonamiento que han seguido para llegar a descubrir los valores de las letras. A modo de conclusión Los juegos de conocimientos permiten, no sólo motivar, interesar a nuestros alumnos y alumnas, hacerles pasar unos ratos agradables que les muestren que las matemáticas también pueden ser amenas, sino trabajar en clase muchos aspectos matemáticos, tanto conceptuales como procedimentales. Suponen para muchos profesores y profesoras un primer paso hacia una enseñanza más activa, que implique más al estudiante, primer puso no demasiado costoso para ellos, pues no tienen que romper con los contenidos habituales de matemáticas. Una vez dado ese primer paso, y a la vista de los resultados obtenidos en su grupo, modificación de las actitudes de los alumnos y alumnas, participación amplia, trabajo realizado, el docente se podrá plantear seguir con esa metodología. Para ser efectivos, los juegos deben cumplir unas condiciones, ser motivadores, suponer un reto, estar al nivel de los alumnos y alumnas, ser conocidos por ellos y tener una duración limitada. Para los estudiantes, los juegos de conocimientos ofrecen, además de los elementos de motivación de todos los tipos de juego, la posibilidad de la intervención del azar, de la suerte, en el desarrollo del juego, intervención que sirve de igualación para todos. ¡Cuántas veces he visto, en un grupo de clase, con su diversidad de niveles socialmente reconocida, perder en un juego de azar, al bueno o a la mejor de la clase frente al alumno o alumna que nunca había conseguido nada en las clases habituales de matemáticas! ¡Qué motivación para ese estudiante! ¡Con qué ganas, quería seguir jugando y participando! Referencias bibliográficas  PUIG ADAM, P. (1960): La matemática y su enseñanza actual. Madrid. MEC  CAMOUS, H. (1995): Problemas y juegos con la matemática. Barcelona. GEDISA. 8

 GARCÍA AZCÁRATE, A. (1998): Pasatiempos y juegos en clase de matemáticas. Madrid U.A.M. Ediciones. (En prensa).  GRUPO AZARQUIEL, (1991): Ideas y actividades para enseñar álgebra. Madrid. Síntesis.  GRUPO AZARQUIEL, (1997a): En dos palabras. Madrid. S.M.  GRUPO AZARQUIEL, (1996): Proyecto Azarquiel. Matemáticas para Io de ESO. Madrid. Ediciones de la Torre.  GRUPO AZARQUIEL, (1997b): Proyecto Azarquiel. Matemáticas para 2o de ESO. Madrid. Ediciones de la Torre.

Referencia de la autora Ana García Azcárate, profesora de secundaria en el IES Severo Ochoa. Francisco Chico Méndes, 3. 28100 Alcobendas, Madrid. Tel.: 91 662 04 43. Profesora de didáctica de las matemáticas en el ICE de la Universidad Autónoma de Madrid. Correo electrónico: [email protected] Líneas de investigación: Didáctica de las matemáticas; utilización de los juegos y pasatiempos en clase de matemáticas.

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