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Fundamentos para entender y trabajar con quebrados y fracciones

El proyecto ¡Matemática sin dolor!

Hugo Rodríguez Carmona

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Fundamentos para entender y trabajar con quebrados y fracciones.

Hugo Rodríguez Carmona.

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Fundamentos para entender y trabajar con quebrados y fracciones. © 2021 Hugo Rodríguez Carmona. [email protected] Si desea conocer más sobre los talleres, productos y servicios que ofrece el autor o hacer comentarios o preguntas respecto a este documento

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Fundamentos para entender y trabajar con quebrados y fracciones.

Resumen El tema de las fracciones es uno de los que más trabajo les cuesta enseñar a los profesores y entender a los estudiantes, no importa en que parte del mundo se analice el proceso de enseñanza de este tema, en todos los países, las fracciones son generalmente complicadas para muchas personas. Diversos investigadores puntualizan, que esta problemática se debe a las interpretaciones que se le asignan al término fracción y justi can sus planteamientos describiendo sólo algunas de las aplicaciones y operaciones en los que se usan las fracciones. Desafortunadamente el análisis de las aplicaciones que hacen es limitado, al igual que la revisión de la de nición de lo que es una fracción. Este documento está dirigido principalmente a educadores, plantea conceptos fundamentales que todo maestro debería tener en cuenta, para introducir el tema de las fracciones de forma gradual en cualquier nivel de estudios, desde preescolar hasta la licenciatura. Presenta una revisión desde el punto de vista lingüístico y epistemológico del término fracción y partiendo de su dicotomía, propone algunas ideas para facilitar su comprensión y allanar su estudio, recomienda el uso y rescate del término “quebrado”, que puede considerarse como una aportación etnomatemática de origen latino, que posee la comunidad hispanoparlante, que es fundamental para facilitar la comprensión de los quebrados y de las fracciones. Adicionalmente sugiere:   eplantear la de nición matemática del concepto de fracción y R número mixto  Actividades e ideas que facilitan el trabajo con los quebrados y fracciones desde el nivel preescolar y  Trabajar con un enfoque de procesos, que permite introducir un algoritmo para hacer divisiones exactas en el jardín de niños Palabras clave: fracción, quebrado, fracción común, quebrado impropio, divisiones, protoprocesos, número mixto, preescolar, modelo continuo, modelo discreto.

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Hugo Rodríguez Carmona

Introducción. No hay forma de hacer matemática, si no se entiende español o cualquiera que sea el lenguaje que se utilice de manera cotidiana para comunicarse. En realidad, no se puede hacer mucho en ninguna materia si no se conocen los términos que se emplean en ella. El lenguaje es un elemento fundamental que nos permite relacionarnos, incrementar la cultura, desarrollar el pensamiento y transmitir el conocimiento. Por ello, empezaré por presentar el término fracción desde lo más elemental, su de nición.

The Merriam-Webster's Dictionary, El diccionario (Webster) de ne el término fracción como: 1 a: Una representación numérica como (3/4, 5/8, 3.234) que indica el cociente de dos números. b: (1) “Fragmento” de una pieza que fue rota.     (2) “Porción” de una unidad discreta. 2 Una de muchas porciones separable (de un destilado). Y en el diccionario de la Real Academia Española (RAE), encontramos 8 acepciones del término fracción, aquí sólo se muestran 4 que son las que están más relacionadas con el aspecto matemático fundamental:

1 f. División de algo en partes. 2 f. Cada una de las partes separadas de un todo o consideradas como separadas. 3 f. Expresión que indica una división. 4 f. Un "número quebrado" (En inglés se podría traducir como "a broken number"). Por el momento, dejemos a un lado la acepción que describe a la fracción como un número quebrado que encontramos en la de nición que proporciona la RAE. Así, podemos establecer que una fracción puede concebirse desde dos perspectivas, como fracción (porción) de algo que ha sido quebrado, separado, roto, partido, fragmentado, etc., y como fracción (división), que incluye la acepción de cociente, ya que éste, es justamente el resultado de la operación de dividir.

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Desde esta perspectiva, cuando concebimos a la fracción como división o cociente, cualquiera de las expresiones de la gura 1. Serían fracción (división), las numeradas del 1 al 6 serían fracciones porque describen divisiones, el ejemplo etiquetado con en el número 5, es del tipo que más confusiones suelen presentar por sí mismo y cuando opera con otras de su tipo.

Expresiones como la etiquetada con el número 6, suelen usarse en álgebra para expresar una división de polinomios o monomios. Las relaciones que se emplean para establecer razones como las etiquetadas con 7, 9 y 10. Nos permiten observar que la fracción puede ser empleada para determinar proporciones, razones trigonométricas y pendientes. Las fracciones (división) etiquetadas con los números 11 y 12. Aunque son expresiones algebraicas, las encontramos con frecuencia cuando estudiamos límites, cálculo diferencial e integral. Así mismo, el cociente con la etiqueta 8. Que muestra al número entero tres, también puede ser considerado como fracción, porque puede concebirse al tres dividido por uno aunque no se exprese de forma explícita. De esta manera, se concibe el conjunto de números racionales que incluye al conjunto de los números enteros y que matemáticamente se expresa así:

Como un cociente indicado por dos números que pertenecen al conjunto de los números enteros, donde el divisor debe ser diferente de cero.

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Por lo tanto, cualquier situación en donde exista la posibilidad de aplicar una división o trabajar con cocientes se usará a la fracción (división). Podemos emplearlas para obtener estadísticas, áreas, prorrateos, series, patrones o progresiones, analizar mediciones, etc. Es decir, su aplicación es muy vasta y se extiende aún más, cuando concebimos a la fracción considerando su acepción como porción, porque como se muestra en la gura 2.

Podemos encontrar fracciones (porción), cuando estudiamos el tiempo, si consideramos a los meses o sus estaciones como parte de un “año”, las semanas y los días como parte de los meses y los minutos y segundos como “fragmentos” de las horas. Cuando se estudian funciones, podemos enfocarnos solamente en segmentos o porciones de éstas. En geometría y trigonometría, trabajamos con fracciones (porción) al analizar segmentos de líneas, áreas, volúmenes y ángulos, cuando trazamos bisectrices, medianas, mediatrices diagonales y alturas. El mismo plano cartesiano es un plano fraccionado por sus ejes y cada uno de sus cuadrantes son una fracción de éste. En cálculo integral, las usamos cuando trabajamos con fracciones parciales o integrales de nidas.

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Cuando estudiamos los eventos que pueden ocurrir en probabilidad y su registro estadístico a partir de la totalidad de posibilidades, también usamos fracciones (porción). Adicionalmente, cuando se estudian conjuntos operamos con fracciones (porción), que se conocen como particiones. Y en el estudio de la aritmética, se abordan las fracciones decimales, las fracciones porcentuales y las fracciones comunes también conocidas como “quebrados”. En lo personal recomiendo que el estudio de estos últimos temas sea: primero quebrados, después fracciones porcentuales y al nal las fracciones decimales. ¿Por qué? Porque los quebrados se pueden representar de manera concreta, son más precisos y naturales y si se explican de forma adecuada, facilitan el estudio de las otras. Observando las guras 1 y 2. Es fácil darse cuenta que cualquier cosa sujeta a ser analizada implica el estudio de las partes que la integran y que si las juntamos a las situaciones en las que podemos utilizar a las divisiones, prácticamente el uso y aplicación de las fracciones es in nito. Si bien es cierto que sería muy limitado estudiar a las fracciones sólo desde una perspectiva parte-todo (Freudenthal 1983 p14), Empezar con los quebrados es un buen punto de partida, porque permiten analizar de manera concreta todas las operaciones que se pueden hacer con cualquier tipo de fracción.

Números quebrados o simplemente quebrados. Un quebrado según la RAE, es un término matemático que se re ere a “un número que expresa una o varias partes alícuotas de la unidad”. Es decir, no son dos números independientes que se están dividiendo, aunque en ocasiones se pueden dividir o multiplicar para obtener equivalencias. Consideremos que la palabra “alícuota” signi ca proporcional, viene del latín alĭquot  que signi ca "algunos o cierto número". Y que el término fracción viene del latín fractio, fractionis que etimológicamente signi ca quebrar o partir en pedazos. Esto nos da la idea e intención de que cuando fraccionamos algo lo partimos en partes iguales.

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Como vimos en las de niciones de los diccionarios Webster y RAE, ambos incluyen la concepción de porción en sus de niciones de fracción. No obstante, es probable que al momento de traducir los textos matemáticos escritos en latín a las lenguas germánicas y luego al inglés, se haya hecho una traducción literal del término “fractio / fractionis” a “fraction” perdiendo el signi cado etimológico y matemático de quebrar, que si se conservó en español y por ello existe la acepción de “número quebrado” o simplemente “quebrado”. Mientras que en inglés desde el punto de vista matemático sólo se conciben “las fracciones”, en español tenemos la ventaja de contar además con el concepto de “quebrado”, para referirnos de forma especí ca a un número, que nos permite identi car y trabajar de manera precisa,  con una porción de algo que fue partido, fraccionado o roto. Un número quebrado es un concepto matemático especí co, que podría considerarse como parte de una etno-matemática hispanoparlante de origen latino, que desafortunadamente en algunos países de habla hispana se ha pretendido eliminar y tristemente en algunos círculos académicos es un término que pareciera estar proscrito. La acción de quebrar, romper o fraccionar, sólo puede darse cuando se fragmenta una unidad, más adelante veremos la diferencia cuando se trabaja con modelos discretos porque en estos, las partes que los componen son consideradas unitarias e independientes.

Quebrados versus fracciones. Contar con el término quebrado, permite distinguir la dicotomía que tiene el término fracción. Como se muestra en la gura 3. Cuando se trabaja con fracciones (división), la expresión 1/3 (uno sobre tres), representa que el uno está siendo dividido por el tres. Por lo tanto, en este contexto lo correcto debería ser, nombrar al uno y al tres como dividendo y divisor respectivamente. Sin embargo, cuando la misma expresión se trabaja como quebrado, a los términos que la integran se les conoce como numerador al “1” y denominador al “3”. Porque el primero enumera las partes que se están considerando y el segundo nombra o denomina el número de partes en las que fue partida la unidad o que integran la totalidad.

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Por lo tanto,  en español: Los términos numerador y denominador son conceptos relacionados con quebrados. No con divisiones. En cambio en inglés, el diccionario Webster de ne el concepto “numerator” (numerador) como:

1: La parte de una fracción que está sobre la línea y representa al número que es dividido por el denominador. 2: El que numera. Y al término “denominator” (denominador) lo de ne como un concepto matemático, que se re ere a la parte de la fracción que está por debajo de la línea y qué funciona como el divisor del numerador. En mi opinión, esta perspectiva es  parte de lo que provoca que para muchas personas les resulte complejo entender las fracciones.

Primero, porque visualizan una división donde el numerador es dividido por el denominador. No lo ven como un número que representa una porción. sino como dos números independientes en donde uno divide al otro. Segundo, si bien la segunda acepción de numerador indica que éste numera, no establece qué numera, porque nunca se hace referencia a una unidad o totalidad que haya sido fraccionada. Tercero, no es sencillo y si bastante complejo, concebir que una expresión como 2/5, que por una parte indica que el dos está siendo dividido por el cinco, realmente surgió de fraccionar una unidad (que nunca se menciona) en cinco partes iguales y que estamos considerando dos de las cinco partes que se obtuvieron o dos veces el cociente obtenido en dicha división.

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Adicionalmente, como se muestra en la gura 4. El dividendo y divisor que integran una fracción (división) pueden ser cualquier número, siempre y cuando el divisor sea diferente de cero. Por ello, la de nición matemática y aceptada de fracción, establece que los dos números que integran el cociente, Pueden ser cualquier número que pertenezca al conjunto de números reales, no sólo a los enteros y matemáticamente se expresa así:

Como un cociente formado por dos números tales que, ambos pertenecen al conjunto de los números reales y en el que el divisor debe ser diferente de cero.

Observando la gura 4 y si nos apegamos a la de nición matemática de fracción, podemos a rmar que: 

No existen las fracciones impropias, mientras el divisor no sea cero, es simplemente una fracción. Por otra parte, si consideramos que los números reales son un subconjunto de los números complejos y que también con estos podemos expresar cocientes. El concepto de fracción debería contemplar a los números complejos no sólo a los reales. Por lo que la fracción debería de nirse como:

De forma simpli cada y si se entiende la naturaleza y de nición de los números complejos se podría expresar:

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Un cociente indicado por dos números que pertenecen al conjunto de los números complejos, donde el divisor debe ser diferente de cero. Aun cuando existen investigadores y matemáticos que consideran que los números complejos son pares ordenados de números reales, la solución imaginaria que se obtiene en ecuaciones cuadráticas no entra en la de nición de fracción actual, que sólo incluye a los números reales y se queda corta, si se reconoce la existencia del conjunto de los números complejos. Por otra parte, los quebrados siempre son menores que la unidad y mayores que cero y tanto el numerador como el denominador deben ser números naturales, ya que si escribiéramos 5/5 propiamente no tendríamos un quebrado sino un entero. En un quebrado, ni el numerador, ni el denominador pueden ser negativos, porque si usamos el típico modelo continuo del pastel para representar quebrados, no podríamos partir un pastel en un número negativo de partes, ni tampoco podríamos tomar un número negativo de partes de algo que fue fraccionado. Por lo tanto, un quebrado se de ne de la siguiente manera:

Un cociente indicado por dos números que pertenecen al conjunto de los números naturales, donde el numerador es mayor que cero y el denominador debe ser mayor que uno y mayor que el numerador. Si bien puede haber fracciones negativas, no existen los quebrados negativos. Si en una operación con quebrados obtenemos un resultado “negativo”, éste debería interpretarse según el contexto. Por ejemplo, Si se nos presentara una situación en donde necesitamos verter tres cuartos de litro de agua en un recipiente que tiene capacidad de medio litro, podríamos plantear la siguiente sustracción y escribir: 1/2 - 3/4 = -1/4

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En donde la diferencia podría interpretarse como: “que necesitamos un recipiente de mayor capacidad, en este caso 1/4 de litro más grande” o “que tenemos un dé cit de capacidad de 1/4 de litro en el recipiente donde queremos verter los 3/4 de litro de agua”. En una situación en la que tuviéramos una cita a las 19:15 horas, si llegamos a las 19:30, podríamos plantear: 19 ¼ - 19 ½ = -1/4 En este caso, la expresión “-1/4” podría indicar que llegamos un cuarto de hora tarde a nuestra cita. Considerando lo anterior también podemos a rmar que:

Todos los quebrados son fracciones, pero no todas las fracciones son quebrados. Restricciones y particularidades similares existen cuando estudiamos probabilidad, ya que, si bien una probabilidad es una fracción, para que una probabilidad sea considerada como tal, ésta sólo puede tomar valores mayores o iguales a cero y menores o iguales a uno. Para redondear la de nición de quebrado y el origen de este tipo de números, observe las acepciones de fracción que presenta The Cambridge dictionary. (El diccionario Cambridge): 1. un número menor a 1 como 1/2, 3/4. 2. los números que representan parte de un número como 1/3, 1/5, etc. Cuando se estudian quebrados se debe considerar que a estos también se les conoce como fracciones comunes y resaltar que la palabra “común” signi ca: frecuente o muy sabido, incluso tomar en cuenta, que también signi ca: ordinario o vulgar, haciendo hincapié en que la palabra vulgar viene del latín “vulgāris”, que se deriva de vulgo y que hace referencia al conjunto de la gente que integra al pueblo. Es decir, el manejo de los quebrados es algo tan común y popular, que está al alcance de cualquiera, son tan intuitivos y naturales, que su estudio debería iniciarse en el nivel preescolar, tomando como punto de partida un enfoque de protoprocesos (Rodriguez 2008). Esta estrategia también es recomendable llevarla a cabo con jóvenes y adultos antes de enseñarles algoritmos. Abordaremos algunos ejemplos de cómo hacerlo más adelante.

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Un protoproceso es un concepto de nido por el autor como: proceso primigenio que permite comprender conceptos y algoritmos matemáticos, incrementa las competencias para manejar problemas y mejora la calidad de vida.  Se han identi cado más 110 protoprocesos para la vida, de ellos más de 20 están relacionados con la aritmética.

Si bien muchas personas consideran que hacer operaciones aritméticas y algebraicas con fracciones es difícil, la realidad es que la di cultad no está en las fracciones, sino en la forma mecanizada en la que se enseñan los algoritmos para operar con ellas, a las confusiones que muchos educadores tienen entorno a lo que es una fracción y a su incapacidad para reconocer las diferencias y semejanzas que hay entre los tipos de fracciones existentes.

Dos protoprocesos que sirven para entender quebrados y fracciones. Existen varios protoprocesos que facilitan la comprensión de las fracciones, de los quebrados y de los algoritmos aritméticos que se utilizan para operar con ellos, aquí se presentan dos de ellos y cómo usarlos para trabajar con estudiantes de kínder. A los niños de primer año de preescolar que ya conozcan los colores, se les puede presentar un modelo concreto como el que se muestra en la gura 5a.

Y se les puede preguntar ¿Qué colores incluye el modelo? También se les puede pedir que separen cada color del modelo original, haciéndoles ver que lo que están haciendo es fraccionar, romper, quebrar, partir, etc.

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Usando fracciones indeterminadas es posible que el niño de preescolar identi que que el modelo fue fragmentado en una parte roja, otra amarilla y una más pequeña de color verde. Con este tipo de ejemplos, se les puede hacer ver que las partes que se obtienen cuando fraccionamos algo, son más pequeñas que el modelo original y que si las comparan entre sí, en ocasiones, algunas de ellas serán más grandes, más pequeñas o iguales a otras, aunque el niño no conozca los números. Cuando se trabaja con protoprocesos, es muy importante que mientras los niños llevan a cabo los procesos, se les mencionen la mayor cantidad de sinónimos relacionados con el proceso que estén ejecutando, esto aumenta su vocabulario, su cultura y sus competencias para manejar problemas. El enfoque de protoprocesos logra entre otras cosas, que los niños de kínder multipliquen, dividan, sumen polinomios, realicen sustracciones y entren en contacto con los números negativos, manipulando materiales concretos, realizando actividades que pueden considerarse pre - aritméticas. Si los niños ya conocen los números es posible preguntarles ¿En cuántos colores se podría fraccionar el modelo? ¿Cuántas partes incluye todo el modelo? ¿Cuántas de esas partes son de color amarillo, rojo o verde? Como lo muestra la gura 5b. Cuando los niños identi can el total de partes del modelo y las partes que son de un determinado color, los niños pueden darse cuenta y se les puede mostrar que lo amarillo son cuatro partes de ocho (4/8). Esta forma de nombrar a las porciones les será muy útil cuando estudien probabilidad.

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Es importante mencionar que cuando los niños empiezan con el conocimiento de los números, los quebrados pueden expresarse sin usar numerales partitivos, éstos pueden incluirse más adelante, quizá a partir del primero o segundo año de primaria aun cuando muchos niños de kínder sean capaces de identi car mitades de objetos... Quizá, sea necesario resaltar que los niños de nivel preescolar pueden verbalizar este tipo de situaciones sin necesidad de explicarles, que lo que están expresando es una razón matemática, que establece la relación parte todo, que puede ser concebida como unidad de medida, en este caso de un área, que puede servir como operador e incluso como divisor, etc. Todo eso lo irán descubriendo y conceptualizando a lo largo de su formación académica. En preescolar también podemos trabajar con el protoproceso de agrupación, en este caso en un contexto para dividir. Si los niños no manejan números, a partir de una colección de objetos, se les puede pedir que los agrupen por colores o cumpliendo otro criterio como lo muestra la gura 5c

La gura 5c. También muestra que, si los niños ya manejan números, es posible que la agrupación sea juntando dos, tres, o cualquier otro número de elementos.

Introducción de un algoritmo de división exacta en preescolar. Si quisiéramos crear paquetes o grupos de tres naranjas a partir de una totalidad de siete, podríamos obtener 2 paquetes y uno quedaría incompleto, sólo con una naranja de las tres que debería contener. En este caso, el divisor indica cómo deben conformarse los paquetes.

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El algoritmo se explica a partir de los procesos agrupar y fraccionar que se revisaron anteriormente y se explica como se muestra en la gura 8.

La parte superior de la imagen (Proceso concreto) representa el desarrollo que se llevaría a cabo de forma concreta desde los primeros años de preescolar como ya se ha dicho. Hago hincapié en que es muy útil que los estudiantes de cualquier nivel realicen este tipo de actividades antes de enseñarles algoritmos. La parte inferior de la imagen (Proceso simbólico), representa cómo se obtiene un cociente exacto en cuatro pasos utilizando números mixtos en el cociente, el cual se explica de la siguiente manera en este caso: 1. Se pregunta a los estudiantes de cualquier nivel que ya conozcan los números ¿Cuántos grupos de tres naranjas puedo obtener a partir de siete? En este caso la respuesta es dos y se escribe en el área del cociente.  2.Después se escribe en el área del residuo el número de elementos sobrantes, en este caso uno. 3. Posteriormente se observa que sobró una naranja y si estamos procurando paquetes de tres, entonces se establece que se podría tener un tercer paquete incompleto que sólo incluiría una naranja de las tres que debería tener, en este caso 1/3 (uno de tres) o que contendría la tercera parte del paquete deseado. Y se escribe el quebrado a la derecha del dos en el cociente.  4. Para terminar, se escribe un cero en este caso debajo del uno del residuo, para establecer que ya no hay naranjas por agrupar.

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Con el uso de protoprocesos, este algoritmo se puede abordar en gradiente a partir del segundo grado de preescolar, siempre y cuando los niños ya manejen números. Primero realizando divisiones exactas en las que no haya residuo, después con divisiones con residuo y, por último, a partir del tercer grado del nivel preescolar y en los primeros años del nivel primaria con cocientes que incluyan números mixtos. Recordemos que es necesario trabajar con los protoprocesos fraccionar y agrupar antes de abordar este algoritmo. Cuando se trabaja con protoprocesos, no es necesario seguir con el paradigma que establece que las operaciones aritméticas se deben enseñar siguiendo la secuencia: adiciones, sustracciones, multiplicaciones y divisiones. Aunque los niños no conozcan los números, pueden realizar procesos relacionados con estas operaciones en cualquier orden y como se ha mostrado, se puede dividir sin necesidad de conocer las tablas de multiplicar incluso sin saber sumar.

Quebrados, quebrados “impropios”, enteros y números mixtos. Considerando que los quebrados pueden surgir al partir una unidad y que ésta puede ser fraccionada en cualquier número de partes. Si tomamos una naranja y la partimos en 2, cada una de esas porciones representará media naranja. Por lo tanto, si tuviéramos tres mitades de naranjas podríamos escribir: 1/2 + 1/2 + 1/2 = 3/2. La expresión “3/2”, propiamente no representaría un quebrado, debido a que 1/2 + 1/2 = 2/2 = 1 (Dos mitades hacen un entero) en consecuencia, si a un entero le agregamos otra mitad, tendríamos un número entero más un quebrado. A este tipo de números que se componen de una parte entera y un quebrado, se les conoce como números mixtos. En este caso, al sumar tres mitades de naranjas observamos que tendríamos el equivalente a una naranja entera (completa) más una mitad. Como se muestra en la gura 7.

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1 + ½ = 1 ½. En este mismo sentido, Si tuviéramos la expresión: 1/3 + 1/3 + 1/3 = 3/3. y cada tercio representara la tercera parte de un pastel de manzana, lo recomendable sería escribir: 1/3 + 1/3 + 1/3 = 3/3 = 1. Porque al integrar tres tercios de pastel de manzana, Si bien tenemos tres porciones, éstas son equivalentes a un pastel de manzana entero (completo). Por lo tanto, cuando encontramos una expresión en la que el numerador es más grande o igual que el denominador, podemos llamarle quebrado impropio, porque “propiament e” no es un quebrado y si nos conviene, podemos dejarlo así, reescribirlo como entero o como un número mixto según sea el caso. Con lo anterior, vale la pena también reconsiderar la de nición clásica de número mixto. que de ne a éste, como un número compuesto por una parte entera y una parte fraccionaria, porque como hemos visto, una fracción puede concebirse  como un cociente formado por números que formen parte del conjunto de los números complejos, siempre y cuando el divisor sea diferente de cero. Esta de nición,  permitiría escribir expresiones  como las que se muestran en los incisos del 2 al 5 de la gura 8.

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En cambio, como también se muestra en la gura 8, de nir a un número mixto como un número compuesto de una parte entera y un quebrado. No tendría margen de error, si se toma en cuenta la de nición de lo que es un quebrado. De esta manera, cuando tenemos un quebrado, en el que el numerador es más grande o igual que el denominador, lo llamaremos quebrado impropio. En caso contrario, cuando el numerador es menor que el denominador, deberíamos llamarle simplemente quebrado.

Decir “quebrado propio” o “fracción común propia” es redundante.

Modelos continuos y discretos. Es común que para la enseñanza de las fracciones y concretamente de los quebrados se empleen modelos continuos y discretos. Un modelo discreto, tiene la característica de que sus partes están separadas, la totalidad en estos modelos la integran la suma de las partes unitarias que lo componen, los modelos discretos pueden incrementarse hasta el in nito. Sin embargo, su disminución está limitada o acotada a dos unidades. Un modelo continuo en cambio es unitario, tiene la característica de que sus componentes están unidos o pegados. En los modelos continuos su crecimiento está acotado, No obstante, su reducción es in nita. Porque teóricamente podríamos fraccionar la unidad que lo forma en un número in nito de partes.

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Veamos un par de  ejemplos. Si tomamos una naranja, ésta representaría un modelo continuo. Teóricamente podríamos fraccionar esa naranja en un número in nito de partes. Sin embargo, no podríamos aumentarla. Si incluyéramos al menos otra naranja, el modelo dejaría de ser continuo y se convertiría en un modelo discreto. Ahora bien, Si tuviéramos 4 naranjas, cada una de las naranjas por separado sería parte de nuestro modelo discreto. Cada una de esas naranjas representaría 1/4 (una parte de la totalidad que son cuatro). En teoría, podríamos aumentar el número de naranjas ilimitadamente y nuestro modelo podría crecer hasta el in nito. No obstante, su disminución estaría limitada, porque podríamos quitar naranjas hasta llegar a dos, ya que en el momento en que tuviéramos una sola naranja, nuestro modelo dejaría de ser discreto y pasaría a ser continuo. En resumen, los modelos continuos son unitarios, los modelos discretos incluyen más de una unidad. Los modelos continuos se pueden romper, partir, cortar o fraccionar. Los modelos discretos en cambio se pueden agrupar o separar sin necesidad de romper, como se vio cuando abordamos el tema de los protoprocesos fraccionar y agrupar. Por lo anterior, es entendible que: Los quebrados en los modelos continuos surgen de la unidad. En cambio, en los modelos discretos surgen de la totalidad. En los modelos discretos, la totalidad determina la denominación de los quebrados. Así, si se tiene un conjunto de siete naranjas y tomamos cuatro de ellas, estaremos tomando 4 de 7 y escribiríamos “4/7”, para describir que tomamos cuatro séptimos de la totalidad de las naranjas que eran originalmente siete y que dejamos 3/7. Es deseable que los estudiantes se percaten de esta complementariedad que se presenta en los quebrados antes de manejar quebrados, fracciones decimales o porcentuales equivalentes. En ocasiones se pueden presentar situaciones que permiten manejar las partes de un modelo discreto como un modelo continuo. Por ejemplo, ante la situación de repartir siete naranjas entre cuatro personas, una forma de llevar a cabo ese proceso podría ser, partir cada una de las siete naranjas en cuatro partes y repartir la totalidad de las partes entre las cuatro personas como se indica en la gura 10.

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De esta manera, a cada persona le tocarían 7/4 (siete cuartos) de naranjas. Que serían equivalentes a una naranja completa más tres cuartas partes de otra naranja (1 ¾). Aunque lo más práctico sería llevar a cabo el proceso como se muestra en la gura 11, cuya ilustración nos permite observar que sería más conveniente y práctico, primero repartir naranjas enteras y posteriormente fraccionar cada una de las naranjas sobrantes, en tantas porciones como el número de personas que las fueran a recibir, en este caso cuatro. Así se obtiene el mismo resultado con menor esfuerzo.

En ocasiones resulta imposible manejar las partes de los modelos discretos como modelos continuos, porque éstas son indivisibles.

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Conclusiones. Cuando se comprende la dicotomía del concepto fracción, que nos permite ver a la misma como división y como porción, resulta más sencilla su concepción, si se utiliza el concepto de quebrado, también  se facilita el abordaje de otros temas como son las equivalencias y las operaciones aritméticas con quebrados porque se pueden realizar de manera concreta. El uso frecuente, una contextualización adecuada y el empleo de los términos correctos, permiten entender, explicar y aplicar esa misma dicotomía de forma más simple y en función del contexto. Es posible que los niños en edades tempranas inicien su contacto con los quebrados, sin necesidad de establecer una de nición formal o matemática, ya que el manejo de partes, trozos o pedazos los manejan de manera natural y cotidiana desde sus primeros años de vida, cuando comparten o son compartidos con porciones de alimentos, chocolates, bebidas, etc. Es importante tener clara la de nición matemática de quebrado, para contextualizar correctamente los problemas que se les presenten a los estudiantes.  

El concepto de quebrado permite comprender de forma sencilla, concreta y correcta el concepto de fracción (porción) y lo que es un número mixto. El trabajo con quebrados y protoprocesos, favorecen el entendimiento de las operaciones aritméticas que se pueden realizar con ellos y facilitan el proceso de abstracción cuando se opere con cualquier otro tipo de fracciones. Recordemos que, si nos encontramos con un quebrado impropio, nosotros podemos decidir según sus características y nuestra conveniencia , si lo dejamos así o si lo convertimos a un entero o a un número mixto, según sea el caso. Es conveniente también replantear nuestra de nición de fracción para manejarla como:

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Ya que podemos encontrarnos con una fracción del tipo:

Que no entra en la de nición matemática actual de fracción. Si los profesores tienen clara la a rmación “Todos los quebrados son fracciones, pero no todas las fracciones son quebrados”, se les facilitará trabajar con quebrados y fracciones y podrán explicárselos correctamente a sus estudiantes en función de los contextos en los que se utilizan. Comprender lo fundamental allana el camino, no sólo para entender la aritmética de las fracciones comunes, sino también facilita la comprensión del álgebra, trigonometría, geometría, cálculo, probabilidad y muchas asignaturas más. Por el contrario, insistir que el estudio de las fracciones debe abordarse bajo un único concepto, sin reconocer las diferencias que existen entre ellas, sin distinguir sus usos, aplicaciones y que cada una de éstas requieren manejos especí cos de acuerdo a su contexto, no sólo di culta su entendimiento y enseñanza, es como pretender estudiar “ guras” en geometría sin distinguir que existen triángulos, círculos, cuadriláteros, polígonos, etc. Conocer el signi cado de las palabras y su origen, nos facilita el estudio de cualquier tema. Por ello, es recomendable que todos los maestros de matemáticas incluyan en su bibliografía básica un buen diccionario del idioma que usen. Pretender eliminar un concepto matemático como el “quebrado”, sólo porque en otras latitudes no lo usan o porque les han dicho que es arcaico, no sólo nos empobrece culturalmente. Además, hace más compleja nuestra capacidad de conceptualización y entendimiento. La gente hispanoparlante tenemos el privilegio y la ventaja de poder trabajar con los quebrados, porque estos forman parte de nuestra cultura e idioma y resultan tan útiles, que sería muy conveniente y provechoso para otros pueblos, adoptar el concepto de lo que es un número quebrado, para facilitarle a su gente la comprensión de las fracciones y las operaciones que se pueden hacer con cualquier tipo de ellas.

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Hugo Rodríguez Carmona.

La aplicación de las fracciones es in nita, trabajarlas y entenderlas desde  edades tempranas es crucial para incrementar las posibilidades de éxito académico de los estudiantes. Considerando la utilidad de las fracciones y que éstas surgen del proceso de dividir, la máxima que debemos tener siempre presente es: ¡Divide y vencerás!

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El proyecto ¡Matemática sin dolor! Es una iniciativa que se fundó en México en el 2005. Su propósito es que la gente más que aprender matemática la entienda y tiene dos principios fundamentales: 1. No hay forma de hacer matemática si no se entiende el español o cualquiera que sea su idioma materno. 2. Cualquier tema de matemáticas que se aborde en cualquier nivel de estudio, tiene un fundamento en algo que puede abordarse en el jardín de niños. El proyecto ¡Matemática sin dolor! trata de ser una iniciativa autosustentable, apoyar a estudiantes de escasos recursos y a pueblos y personas que pasen por una condición de desgracia, por eso algunos de los materiales y servicios que ofrece tienen costo. Si este documento, le aportó algo, le pareció interesante o útil, puede reproducirlo y distribuirlo libremente y si está en sus posibilidades realizar alguna aportación económica (no deducible), será de gran ayuda para el sostenimiento del proyecto ¡Matemática sin dolor! De antemano se le agradece su generosidad y el crédito correspondiente al autor. Su valiosa aportación puede hacerla a la cuenta CLABE de Banamex 002180700207575213 a nombre de Hugo Rodríguez Carmona o haciendo "click" en el siguiente botón para hacerla a través de Pay pal

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Hugo Rodríguez Carmona Estudió las licenciaturas en Ciencias de la Informática en el Instituto Politécnico Nacional y Psicología en la Universidad Nacional Autónoma de México, es Socio Activo de la Ilustre y Benemérita Sociedad Mexicana de Geografía y Estadística. Ha participado como ponente en más de 30 foros y congresos de matemáticas tanto nacionales como internacionales. Ha proporcionado consultoría a empresas industriales y de servicios.   Actualmente brinda asesoría nanciera y patrimonial, fundó y dirige el proyecto ¡Matemática sin dolor!