Ejercicios resueltos Superficies (Katz-Co)
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FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS, INGENIERÍA Y AGRIMENSURA ESCUELA DE FORMACIÓN BÁSICA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
ALGEBRA Y GEOMETRÍA I
SUPERFICIES Y CURVAS EN EL ESPACIO VISUALIZACIÓN ANALÍTICA Y GRÁFICA
-2010PATRICIA CÓ – RAÚL KATZ
SUPERFICIES Y CURVAS EN EL ESPACIO
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Es este material se presentan algunas gráficas confeccionadas con el software MAPLE. A continuación de cada una se indica la sentencia utilizada para obtenerla. Tenga en cuenta que: 1) antes de realizar este tipo de gráficas es necesario cargar, por una sola vez durante la sesión de trabajo, el paquete de comandos gráficos, escribiendo with(plots):. 2) después de ingresar cualquier sentencia se debe terminar con ;.
Ejercicio 1: Estudiar y representar gráficamente el lugar geométrico de los puntos del espacio, cuya ecuación es: a)
x +3 y =9 . 3
Esta ecuación representa (en R ) un plano proyectante sobre el plano coordenado XY. z
3 y
9 x
x 2 + z 2 = 4 . (Implícitamente la variable y asume cualquier valor). 2 2 2 2 La ecuación x + z = 4 podría escribirse x + 0 y + z = 4 y representa un cilindro circular proyectante b)
sobre el plano XZ.
> with(plots): > implicitplot3d(x^2+z^2=4,x=-5..5,y=-5..5,z=-5..5,numpoints=3000,labels=[y,x,z]); c)
9 x 2 + y 2 = 16 . 3
Esta ecuación representa en R un cilindro elíptico proyectante sobre el plano XY. Se muestran las gráficas de la superficie cilíndrica y de la directriz de ecuaciones:
9 x 2 + y 2 = 16 . z = 0 3
Observación: La curva directriz es una elipse. Considerada como una curva de R se expresa a través de la intersección del cilindro elíptico con el plano coordenado XY. En la gráfica que se muestra, el eje Z es perpendicular al plano del papel. 2
La ecuación de esa elipse como curva en R se expresa a través de la ecuación:
9 x 2 + y 2 = 16 .
> implicitplot3d(9*x^2+y^2=16,x=-2..2,y=-5..5,z=-5..5,numpoints=3000,labels=[y,x,z]);
1
d) x = 4 z . Esta ecuación representa un cilindro parabólico proyectante sobre el plano X, cuya directriz está dada por 2
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las ecuaciones:
x 2 = 4z . y = 0
> implicitplot3d(x^2=4*z,x=-2..2,y=-5..5,z=-1..1,numpoints=3000,labels=[y,z,x]); e) 4 x − y = 16 . Esta ecuación representa un cilindro hiperbólico proyectante sobre el plano XY, cuya directriz está dada por 2
2
las ecuaciones:
4 x 2 − y 2 = 16 z = 0
> implicitplot3d(4*x^2-y^2=16,x=-10..10,y=-15..15,z=-5..5,numpoints=3000,labels=[y,z,x]); f)
sen x − y = 0 .
Es la ecuación de un cilindro proyectante sobre el plano XY. Las ecuaciones
senx − y = 0 corresponden z = 0
a la curva directriz que se representa en el segundo gráfico.
> implicitplot3d(sin(x)-y=0,x=-3*Pi..3*Pi,y=-5..5,z=-5..5,numpoints=3000,labels=[y,x,z]); g) x z =1 . Es la ecuación de un cilindro hiperbólico proyectante sobre el plano XZ. La curva de ecuaciones:
x z =1 corresponde a la directriz que se representa junto a la superficie. y = 0
2
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> implicitplot3d(x*z=1,x=-3..3,y=-5..5,z=-5..5,labels=[z,y,x],numpoints=9000); h)
{
}
x z = 0 . Sea A= ( x, y, z ) ∈ ℜ 3 / x z = 0 .
P ∈ A ⇔ x z = 0 ⇔ x = 0 ∨ z = 0 ⇔ P pertenece al menos a uno de los planos coordenados YZ o XY. i)
5 x 2 + 6 x y + 5 y 2 − 8 = 0 . Es la ecuación de un cilindro elíptico proyectante sobre el plano XY.
>implicitplot3d(5*x^2+6*x*y+5*y^2-8=0,x=-3..3,y=-5..5,z=-5..5,numpoints=3000,labels=[y,x,z]); j)
x 2 + 2 = 0 . No existe ningún punto del espacio R3 cuyas coordenadas verifiquen esta ecuación.
Ejercicio 2: Hallar la ecuación de la superficie cilíndrica, en los siguientes casos:
x 2 = 2 y Γ . z = 0 La superficie cilíndrica esta formada por todos los puntos P ( x, y , z ) que pertenecen a las rectas: x = x0 g ) y = y0 t ∈ ℜ (1), cuando (x 0 , y 0, z 0 ) varia en Γ . z = z + t 0 x0 2 = 2 y 0 (2). (x0 , y 0 , z 0 )∈ Γ ⇔ z 0 = 0 x 2 = 2 y Despejando ( x 0 , y 0 , z 0 ) de (1) y reemplazando en (2) resulta: t ∈ ℜ. z − t = 0 a) Generatriz paralela al eje “z” y directriz dada por las ecuaciones:
En consecuencia: x = 2 y ∀z es la ecuación de la superficie cilíndrica parabólica proyectante sobre el plano XY pedida. Se muestra su gráfica y la de la curva directriz, contenida en el plano XY. 2
>implicitplot3d(x^2=2*y,x=-5..5,y=-5..5,z=-5..5,numpoints=10000);
3
9 z 2 − 4 y 2 = 1 Γ . x = 5 La superficie cilíndrica esta formada por todos los puntos P ( x, y , z ) que pertenecen a las rectas: x = x 0 + t g) y = y 0 - t , t ∈ ℜ (3), cuando (x 0 , y 0, z 0 ) varía en Γ . z = z + 3 t 0 9 z 0 2 − 4 y 0 2 = 1 (4). (x0 , y 0 , z 0 )∈ Γ ⇔ Γ x0 = 5 9 ( z − 3 t ) 2 − 4 ( y − 2 t ) 2 = 1 . Despejando ( x 0 , y 0 , z 0 ) de (3) y reemplazando en (4) resulta: x − t = 5
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b) Generatriz paralela al vector (1, -1, 3) y la directriz es la curva
Eliminando el parámetro t, obtenemos la ecuación: representa la superficie cilíndrica hiperbólica buscada.
9 ( z − 3 ( x − 5) ) − 4 ( y + 2 ( x − 5) ) = 1 que 2
Se muestran las gráficas de la superficie cilíndrica y de la directriz de ecuaciones:
2
9 z 2 − 4 y 2 = 1 Γ . x = 5
> implicitplot3d(9*(z-3(x-5))^2-4*(y+2(x-5))^2=1,x=4.5..5.5,y=-6..3,z=-2..5,labels=[x,z,y],numpoints=10000); c) Proyectante sobre el plano YZ, directriz la circunferencia en ese plano de centro (0, 1, 0) y radio 2. La superficie cilíndrica esta formada por todos los puntos P ( x, y , z ) que pertenecen a las rectas:
x = x0 + t g ) y = y0 t ∈ ℜ (5), cuando (x 0 , y 0, z 0 ) varia en Γ . z = z 0 2 2 ( y 0 − 1) + z 0 = 4 (6). (x0 , y 0 , z 0 )∈ Γ ⇔ Γ x0 = 0 Despejando
(x0 , y 0 , z 0 )
(y − 1)2 + z 2 = 4 ∀x
( y − 1) 2 + z 2 = 4 de (6) y reemplazando en (5) resulta: Γ . Luego x − t = 0
es la ecuación de la superficie cilíndrica circular proyectante sobre el plano YZ
buscada.
4
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>implicitplot3d((y-1)^2+z^2=4,x=-5..5,y=-2..4,z=-2..2);
y−2 = z + 3 cuya directriz es la hipérbola equilátera 2 con centro en el origen de coordenadas, eje focal se encuentra sobre la recta de ecuación y = x . La mitad d) Generatriz paralela a la recta de ecuación
x −1 =
de la distancia focal es de longitud igual a 2. Debemos encontrar la ecuación de la hipérbola sabiendo que sus focos se encuentran sobre la recta y = x . Pensando en que los ejes x e y han sido rotados 45º, llegamos a que la ecuación de la hipérbola en el sistema rotado es:
x`2 y`2 − = 1 (7). 2 2
2 (x + y ) x´= 2 Reemplazamos en (7) las ecuaciones de rotación correspondientes: , obtenemos las 2 y´= (− x + y ) 2 x y =1 3 ecuaciones (en ℜ ) Γ (8). z=0 La superficie cilíndrica está formada por todos los puntos P ( x, y , z ) que pertenecen a las rectas:
x = x0 + t g ) y = y 0 + 2t t ∈ ℜ (9) cuando (x 0 , y 0, z 0 ) varia en Γ . z = z + t 0 x 0 y 0 = 1 z 0 = 0
(x 0 , y 0 , z 0 ) ∈ Γ ⇔ Despejando
(x0 , y 0 , z 0 ) de
parámetro t obtenemos:
(9) y reemplazando en (9´) resulta:
( x − z ) ( y − 2z ) =1.
(9´)
( x − t ) ( y − 2t ) = 1 . Eliminando el z − t = 0
> implicitplot3d((x-z)*(y-2*z)=1,x=-10..10,y=-4..4,z=-2..2,numpoints=10000,labels=[y,z,x]); e) Generatriz paralela a la recta de ecuación
x − 1 = y + 3 = − z y cuya directriz es la curva
x y + x + y = 0 (10). Estudiar y graficar la curva directriz. z = 0 5
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Como la curva directriz es una ecuación de 2º grado con término rectangular, efectuamos la rotación de ejes correspondiente a 45º para identificar de qué curva se trata.
2 ( x´− y´) x = 2 Las ecuaciones de rotación están dadas por: , reemplazándolas en (10) obtenemos y = 2 ( x´+ y´) 2 2
x´− 2 y´ 2 − = 1 , que es la ecuación de una hipérbola con centro en el punto de coordenadas: 4 4 (x ´, y ´ ) = 2 , 0 y vértices en (x´, y´) = ± 2 + 2 , 0 .
(
)
(
)
La superficie cilíndrica esta formada por todos los puntos P ( x, y , z ) que pertenecen a las rectas:
x = x0 + t g ) y = y 0 + t t ∈ ℜ (11), cuando (x 0 , y 0, z 0 ) varia en Γ . z = z − t 0 x y + x + y = 0 (12). (x0 , y 0 , z 0 )∈ Γ ⇔ 0 0 0 0 = 0 z 0 Despejando
(x − t ) ( y − t) + ( x − t ) + ( y − t ) = 0
(x0 , y 0 , z 0 ) de (11) y reemplazando en (12) resulta:
z + t = 0
.
Eliminando t obtenemos la ecuación de la superficie cilíndrica buscada:
( x + z )( y + z ) + ( x + z ) + ( y + z ) = 0
> implicitplot3d((x+z)*(y+z)+(x+z)+(y+z),x=-12..12,y=-12..12,z=-3..3,numpoints=10000,labels=[y,z,x]);
Ejercicio 3: Hallar la ecuación de la superficie cónica, en los siguientes casos:
x2 y2 =1 + a) Vértice V (1,1,2) y directriz Γ 4 . 9 z = 0 La superficie cónica esta formada por los puntos de las rectas que contienen al vértice V (1, 1, 2) y a un
x2 y2 =1 + . punto de la directriz Γ 4 9 z = 0
6
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1 x = 1 + t ( x0 − 1) 1 Las ecuaciones de dichas rectas se pueden expresar a través de: g ) y = 1 + ( y 0 − 1) t ≠ 0 , con t 1 z = 2 + t ( z 0 − 2) (x0 , y 0 , z 0 ) variando en Γ . (Notar que estas ecuaciones paramétricas no permiten obtener las coordenadas del vértice del cono).
x0 = 1 + ( x − 1)t Luego y 0 = 1 + ( y − 1)t (13). z = 2 + ( z − 2)t 0 x0 2 y 0 2 (x0 , y 0 , z 0 )∈ Γ ⇔ Γ 4 + 9 = 1 (14) z = 0 0 Reemplazando (13) en (14) resulta:
9 (1 + ( x − 1 ) t )2 + 4 ( 1 + ( y −1 ) t )2 = 36 . 2 + ( z − 2)t = 0
( x − 1) 2 ( y − 1 ) = 36 Eliminando el parámetro entre ambas se obtiene: 9 1 + 2 . + 4 1 + 2 2− z 2− z 2
La expresión del primer miembro no está definida en (1, 1, 2) que son las coordenadas del vértice. La ecuación
9 ((2 − z ) + 2( x − 1)) + 4((2 − z ) + 2( y − 1)) = 36 (2 − z ) , se satisface también para x = 1, 2
2
y = 1, z = 2, y constituye la ecuación de la superficie pedida. (Por la razón dada anteriormente, la gráfica no muestra el vértice del cono. No se visualiza ese punto que también pertenece a la superficie)
> implicitplot3d(9*(1+2*((x-1)/(2-z)))^2+4*(1+2*((y-1)/(2-z)))^2=36,x=-10..6,y=-8..8,z=-1..5,numpoints=5000);
d) Directriz constituida por todos los puntos P(x, y) cuya distancia al punto Q (1, 2) es igual a la mitad de la distancia de P(x, y) a la recta de ecuación y = 8. Vértice V (1, 0, 4). Con estas condiciones buscamos la ecuación de la directriz:
1 1 d ( P, Q ) = d ( P, r ) ) ⇔ d 2 ( P, Q ) = d 2 ( P, r ) ) 2 4
7
(1− x )2 + ( 2 − y )2 = 1
4
y −8
1 2 ⇔ ( x −1 ) + 4 − 4 y + y 2 − y 2 + 4 y −16= 0 ⇔ 4
2
(x − 1)2 12
+
y2 = 1 , que 16
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representa a una elipse con centro en (1, 0) y focos sobre la recta x =1. La superficie cónica esta formada por los puntos de las rectas que contienen al vértice V (1, 0, 4) y a un
( x − 1)2 y 2 + =1 . punto de la directriz Γ 12 16 z = 0
1 x = 1 + t ( x 0 − 1) 1 Las ecuaciones de dichas rectas se pueden expresar a través de: g ) y = y 0 t ≠ 0 , con t 1 z = 4 + t ( z 0 − 4) (x0 , y 0 , z 0 ) variando en Γ .
x0 = 1 + ( x − 1)t Luego y 0 = y t (15). z = 4 + ( z − 4)t 0 ( x 0 − 1)2 y 0 2 (x0 , y 0 , z 0 )∈ Γ ⇔ Γ 12 + 16 = 1 (16). z = 0 0 (1 + ( x − 1 ) t − 1) 2 ( y t ) 2 + = 1 . Eliminando el parámetro entre ambas se Reemplazando (15) en (16) resulta: 12 16 4 + ( z − 4) t = 0 2 obtiene la ecuación: 4 ( x − 1) + y = 1 . El primer miembro no está definido en (1, 0, 4) que son las 3 ( z − 4)2 ( z − 4)2 coordenadas del vértice. 2
La ecuación 4 ( x − 1) + 3 y = 3 ( z − 4 ) , se satisface también para x = 1, y = 0, z = 4 y constituye la 2
2
2
ecuación de la superficie pedida.
> implicitplot3d((3/4)*((x-1)^2/(z-4)^2)+y^2/(z-4)^2=1,x=-10..10,y=-10..10,z=-2..10,numpoints=5000);
Ejercicio 4: Hallar la ecuación de la superficie de revolución engendrada al rotar las curvas siguientes alrededor del eje indicado. Identificar y representar gráficamente, si es posible, la superficie obtenida: a) Parábola de vértice en el origen de coordenadas y foco F (3,0), alrededor del eje X.
8
La
Generatriz
es
la
parábola
de
ecuaciones:
y 2 − 12 x = 0 ; z = 0 .
Si
consideramos
F ( x, y ) = y 2 − 12 x , la ecuación de la superficie que se pide es: F(x, ± y 2 +z 2 ) = 0. Operando se obtiene la ecuación: y + z −12 x = 0 , que corresponde a un paraboloide de revolución.
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2
2
> implicitplot3d(y^2+z^2=12*x,x=0..6,y=-10..10,z=-10..10,numpoints=5000);
b) Hipérbola de focos (0,10) y (0, -10) que pasa por el punto P(2,3), alrededor del eje Y.
y2 x2 Las ecuaciones de la hipérbola son de la forma 2 − =1 , con z = 0. a 100− a2 La ecuación de la superficie de revolución que resulta de rotar dicha hipérbola alrededor del eje Y es:
y2 x2 z2 − − =1 a 2 100 − a 2 100 − a 2 2
El valor de a se obtiene teniendo en cuenta que P (2, 3, 0) pertenece a la superficie. Esta superficie de revolución recibe el nombre de hiperboloide de dos hojas.
> implicitplot3d(y^2/8.63-x^2/25.6-z^2/25.6,x=-5..5,y=-3..3,z=-5..5,numpoints=5000,labels=[y,x,z]); x = t 2 c) Γ t ∈ ℜ, eje Y. y = t Son ecuaciones paramétricas de la parábola contenida en el plano XY. Pasando a la forma cartesiana y considerando a la curva en el espacio, sus ecuaciones son:
y 2 = x; z = 0 . La superficie de revolución que se genera tiene por ecuación:
y 2= x 2+ z 2 y su gráfica es:
9
> implicitplot3d(y^2=sqrt(x^2+z^2),x=-5..5,y=-3..3,z=-3..3,numpoints=5000,labels=[z,x,y] );
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d)
x = 2 cost Γ 0 ≤ t ≤ π, eje X y = sen
Son ecuaciones paramétricas de un arco de elipse, cuya ecuación cartesiana es de la forma: con
0 ≤ y ≤1.
x2 + y 2 =1 4
x2 + y 2 =1; z =0. Considerando a la generatriz como una curva en el espacio, sus ecuaciones son: 4 Al girar esta curva alrededor del eje X, se obtiene un elipsoide de revolución de ecuación:
x2 + y 2 + z 2 =1 4
: > implicitplot3d(x^2/4+y^2+z^2=1,x=-3..3,y=-2..2,z=-2..2,numpoints=10000); Ejercicio 5: Dados los puntos A(3,2,0) y B(2,1,-5) verificar que el lugar geométrico de los puntos P(x,y,z) tal que AP⊥ BP es una esfera. Encontrar las coordenadas del centro y su radio.
AP = (x − 3, y − 2, z) BP = (x − 2, y −1, z + 5)
AP × BP= 0 ⇔ ( x − 3 ) ( x − 2 ) + ( y − 2 ) ( y −1 ) + z ( z + 3 ) = 0 ⇔ x 2 − 5 x + 6 + y2 − 3 y + 2 + z 2 + 3 z = 0 2
2
2
5 25 3 9 5 25 +6+ y − − + 2+z + − =0 x− − 2 4 2 4 2 4 2
2
2
5 3 5 27 ⇔ x− +y − +z + = 2 2 2 4
5 3 5 y radio r = 3 3 . ,− 2 2 2 2
Se trata de la ecuación de una esfera con centro C = ,
> with(plottools):c := sphere([5/2,3/2,-5/2], sqrt(27/4)):plots[display](c, scaling=constrained);
10
Ejercicio 6: Hallar la ecuación de la esfera con centro en el punto C(2,3,-1) y que además se intersecta
5 x − 4 y + 3 z + 20 = 0 determinado un segmento de longitud 16. 3 x − 4 y + z − 8 = 0
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con la recta
1 x = − 4 + 2t . Unas ecuaciones paramétricas de la recta dada son: r) 25 + t t∈ ℜ y = − 2 z = −2t
Para encontrar el radio miremos el siguiente dibujo:
16
d C
Sea d la distancia del centro a la recta, sabemos que: d (C, r ) =
P0 C ∧ u
, donde P0 es un punto de la
u
recta y
u es un vector dirección de la misma. Haciendo los cálculos se obtiene que d (C , r ) = 15 .
Aplicando el teorema de Pitágoras, el radio de la esfera es: r = 15 + 8 2
2
=
289 .
La ecuación de la esfera es: (x − 2) + ( y − 3) + (z + 1) = 289 y su gráfica es: 2
2
2
> with(plottools):c := sphere([2,3,-1], sqrt(289)):plots[display](c, scaling=constrained);
11
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7) Identificar y graficar las superficies cuyas ecuaciones son las siguientes: a)
x2 y2 z2 + + =1 25 16 9
b)
y2 + z2 = 4 x
d)
x2 y2 z2 + − =1 9 4 16
e)
z=
g)
x2 − 4 y2 + z2 = 0
h)
y2 − z2 = 0
a)
y2 x2 − 4 9
c)
x2 y2 z2 − − =1 16 9 4
f)
x2 y2 z2 − + =1 4 9 4
x2 y2 z2 + + = 1 . Es la ecuación de una superficie cuádrica, llamada elipsoide. Realizamos a 25 16 9
continuación un estudio de la misma para obtener luego su representación gráfica: i) Simetrías con respecto a los ejes coordenados •
eje X: Si el punto P ( x, y, z ) pertenece a la superficie, el punto P ´ ( x,− y , − z ) simétrico de P con respecto al eje X, también pertenece a la superficie (y recíprocamente), en razón de que:
x2 y 2 z 2 x 2 (− y ) 2 (− z ) 2 + + =1 ⇔ + + =1 25 16 9 25 16 9 La gráfica de la superficie es simétrica con respecto al eje X. •
eje
Y:
Por
la
misma
razón,
si
el
punto
Q( x, y, z ) pertenece a la superficie, el
punto Q ´ ( − x, y ,− z ) simétrico de Q con respecto al eje Y, también pertenece. La gráfica de la superficie es simétrica con respecto al eje Y. •
eje Z: Si R ( x, y , z ) pertenece a la superficie, R ´ ( − x,− y , z ) simétrico de R con respecto al eje Z también pertenece. La gráfica de la superficie es simétrica con respecto al eje Z.
En síntesis se trata de una superficie cuya gráfica es simétrica con respecto a los tres ejes coordenados, llamados ejes de simetría. Por lo tanto el origen de coordenadas es el centro de simetría. Simetrías con respecto a los planos coordenados •
plano XY: Si el punto
P( x, y, z ) pertenece a la superficie, el punto P ´ ( x, y, − z ) simétrico de P
con respecto al plano XY también pertenece (y recíprocamente), en razón de que: x2 y 2 z 2 x 2 y 2 (− z )2 + + =1 ⇔ + + =1 25 16 9 25 16 9 La gráfica de la superficie es simétrica con respecto al plano XY. •
plano YZ: Si el punto Q ( x, y , z ) pertenece a la superficie, el punto respecto al plano YZ, también pertenece.
Q ´ (− x, y, z ) simétrico de Q con
La gráfica de la superficie es simétrica con respecto al plano YZ. •
plano XZ: Si R ( x, y , z ) pertenece a la superficie, XZ, también pertenece.
R ´ (− x,− y, z ) simétrico de R con respecto al plano
La gráfica de la superficie es simétrica con respecto al plano XZ. En síntesis, la gráfica es simétrica respecto a los planos coordenados.
12
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ii) Intersecciones con los ejes coordenados (vértices):
•
x2 y 2 z 2 x2 + + = 1 =1 x = ± 5 25 16 9 25 eje X: y = 0 ⇔ y = 0 ⇔ y = 0 . z = 0 z = 0 z = 0
A (-5, 0, 0) y A´ (5, 0, 0) son los puntos en que la superficie intercepta al eje X. •
eje Y: B (0, -4, 0) y B´ (0, 4, 0) son los puntos de intersección con el eje Y.
•
eje Z: C (0, 0, -3) y C´ (0, 0, 3) son los puntos de intersección con el eje Z.
iii) Intersecciones con los planos coordenados (trazas o secciones principales): •
x2 y 2 z 2 x2 y2 + =1 =1 + + . plano XY: 25 16 ⇔ 25 16 9 z = 0 z = 0
Se trata de una elipse con semieje mayor de longitud 5 sobre el eje X y semieje menor de longitud 4 sobre el eje Y.
•
x2 y 2 z 2 x2 z2 + =1 =1 + + . plano XZ: 25 16 ⇔ 25 9 9 y = 0 y = 0
Se trata de una elipse con semieje mayor de longitud 5 sobre el eje X y semieje menor de longitud 3 sobre el eje Z.
•
x2 y 2 z 2 y2 z2 + =1 =1 + + . plano YZ: 25 16 ⇔ 16 9 9 x = 0 x = 0
Se trata de una elipse con semieje mayor de longitud 4 sobre el eje Y, y semieje menor de longitud 3 sobre el eje Z.
iv) Intersecciones con planos paralelos a los coordenados: •
•
x2 y2 z 2 y2 z2 k2 + =1 = 1− + + plano paralelo al plano coordenado YZ: 25 16 ⇔ 16 9 9 25 x = k x = k Si k < 5 , se obtienen elipses con eje focal paralelo al eje Y, sobre el plano X = k.
Si
k > 5 , no hay intersección.
Si
k = 5 , se obtienen los puntos A (-5, 0, 0) y A´(5, 0, 0).
x2 y 2 z 2 x2 z 2 k2 + =1 = 1− + + plano paralelo al plano coordenado XZ: 25 16 ⇔ 25 9 9 16 y = k y = k Si k < 4 , se obtienen elipses con eje focal paralelo al eje X, sobre el plano Y = k.
Si
k > 4 , no hay intersección.
Si
k = 4 , se obtienen los puntos B (0, -4, 0) y B´ (0, 4, 0). 13
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•
x2 y 2 z 2 x2 y2 k2 + =1 = 1− + + ⇔ 25 16 plano paralelo al plano coordenado XY: 25 16 9 9 z = k z = k k 3 , no hay intersección.
Si
k = 3 , se obtienen los puntos C (0, 0, -3) y C´(0, 0, 3).
, se obtienen elipses con eje focal paralelo al eje X, sobre el plano Z = k.
Se trata de una superficie acotada. La figura muestra el elipsoide junto con algunas trazas que resultan de las intersecciones del mismo con planos paralelos al plano coordenado XY.
> implicitplot3d(x^2/25+y^2/16+z^2/9=1,x=-5..5,y=-4..4,z=-3..3,labels=[y,x,z]); b) y + z = 4 x . Es la ecuación de una superficie cuádrica, llamada Paraboloide circular o de revolución. Realizamos a continuación un estudio de la misma para llegar a obtener su representación gráfica: 2
2
i) Simetrías con respecto a los ejes coordenados •
eje X: Si el punto P ( x, y , z ) pertenece a la superficie, el punto P ´ ( x,− y , − z ) simétrico de P con respecto al eje X, también pertenece a la superficie (y recíprocamente), en razón de que:
y 2 + z 2 = 4 x ⇔ (− y ) 2 + (− z ) 2 = 4 x La gráfica de la superficie es simétrica con respecto al eje X. •
La gráfica no es simétrica con respecto a los ejes Y y Z.
Esta superficie carece de centro de simetría. Simetrías con respecto a los planos coordenados •
plano XY: Si el punto
P( x, y, z ) pertenece a la superficie, el punto P ´ ( x, y, − z ) simétrico de P
con respecto al plano XY también pertenece (y recíprocamente), en razón de que: y 2 + z 2 = 4 x ⇔ y 2 + (− z) 2 = 4 x La gráfica de la superficie es simétrica con respecto al plano XY. •
plano YZ: Si el punto Q ( x, y , z ) pertenece a la superficie, el punto respecto al plano YZ, también pertenece.
Q ´ (− x, y, z ) simétrico de Q con
La gráfica de la superficie es simétrica con respecto al plano XZ. •
El paraboloide circular no es simétrico con respecto al plano YZ.
ii) Intersecciones con los ejes coordenados: en todos los casos resulta el origen de coordenadas.
14
iii) Intersecciones con los planos coordenados:
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•
y2 + z2 = 4 x y 2 = 4x . plano XY: ⇔ z = 0 z = 0
Se trata de una parábola contenida en el plano XY, con vértice en el origen y foco sobre el eje X, en el punto (1, 0, 0). •
y2 + z2 = 4 x z 2 = 4 x plano XZ: . ⇔ z = 0 y = 0
Se trata de una parábola contenida en el plano XZ, con vértice en el origen y foco sobre el eje X, en el punto (1, 0, 0). •
plano YZ:
y2 + z2 = 0 y2 + z2 = 4 x , resulta el origen de coordenadas (0, 0, 0) ⇔ x = 0 z = 0
iv) Intersecciones con planos paralelos a los coordenados: •
plano paralelo al plano coordenado YZ:
y2 + z2 = 4 x y2 + z2 = 4 k ⇔ x = k x = k
k < 0 , no se obtiene ningún punto.
Si
Si k > 0 , se obtienen circunferencias con centro en (k, 0, 0) y radio medida que k crece. Si k = 0 , se obtiene el origen de condenadas.
2 k2 y + z = 4 x z = 4 x − plano paralelo al plano coordenado XZ: ⇔ 4 y = k y = k 2
•
2 k , que aumenta a
2
Para cada valor de k se obtiene una parábola contenida en el plano Y = k, con vértice en el
k2 k2 punto , k ,0 y foco en + 1, k ,0 . Estas parábolas “se alejan” del eje X a medida 4 4 que k aumenta.
•
2 k2 y2 + z2 = 4 x y = 4 x − ⇔ plano paralelo al plano coordenado XY: 4 z = k y = k
Para cada valor de k se obtiene una parábola contenida en el plano Z = k, con vértices en el punto
k2 k2 ,0, k y foco en + 1,0, k . Estas parábolas “se alejan” del eje X a medida 4 4
que k aumenta El Paraboloide circular es una superficie no acotada. En la figura se muestran algunas trazas que resultan de las intersecciones del Paraboloide con planos paralelos al plano coordenado XY. Las intersecciones de la superficie con planos paralelos al plano YZ son circunferencias, por lo tanto se trata de un Paraboloide de revolución.
15
> implicitplot3d(y^2+z^2=4*x,x=-1..5,y=-5..5,z=-5..5,numpoints=5000,labels=[x,z,y]);
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x2 y2 z2 c) − − = 1 . Es la ecuación de una superficie cuádrica, llamada Hiperboloide de dos hojas. 16 9 4 Realizamos a continuación un estudio de la misma para llegar a obtener su representación gráfica: i) Simetrías Siguiendo los pasos realizados en los ejercicios anteriores, podemos concluir que la superficie es simétrica con respecto a: • • •
Los tres ejes coordenados Los tres planos coordenados. El origen de coordenadas.
ii) Intersecciones con los ejes coordenados: •
eje X: (-4, 0, 0) y (4, 0, 0)
•
no existe intersección con el eje Y
•
no existe intersección con el eje Z
iii) Intersecciones con los planos coordenados: •
plano XY:
x2 y2 =1 − , se trata de una hipérbola contenida en el plano XY con focos sobre 16 9 z = 0
el eje X. •
plano XZ:
x2 z2 =1 − , se trata de una hipérbola contenida en el plano XZ con focos sobre 16 4 y = 0
el eje X. •
plano YZ:
y2 z2 = −1 + , no existe ningún punto cuyas coordenadas verifiquen las 4 9 x = 0
ecuaciones del sistema. Por lo tanto no hay intersección con el plano YZ.
iv) Intersecciones con planos paralelos a los coordenados: •
plano paralelo al plano coordenado YZ: X = k,
Si
y2 z2 k 2 + = −1 9 4 16
k > 4 , se obtienen elipses con eje focal paralelo al eje Y, sobre el plano X = k. A
medida que k aumenta, las elipses “se agrandan” indefinidamente.
•
Si
k < 4 , no hay intersección.
Si
k = 4 , se obtienen los puntos (-4, 0, 0) y (4, 0, 0).
x2 z2 k2 plano paralelo al plano coordenado XZ: Y = k, − = 1+ 16 4 9
•
Cualquiera sea el valor de k, resultan hipérbolas con eje focal paralelo al eje X, sobre el plano Y = k. A medida que k aumenta en valor absoluto los planos respectivos se alejan del plano XZ y los semiejes de las hipérbolas crecen indefinidamente.
x2 y2 k2 − = 1+ plano paralelo al plano coordenado XY: Z = k, 16 9 4 16
Cualquiera sea el valor de k, resultan hipérbolas con eje focal paralelo al eje X, sobre el plano Z = k. A medida que k aumenta en valor absoluto los planos respectivos se alejan del plano XY y los semiejes de las hipérbolas crecen indefinidamente.
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Se trata de una superficie no acotada. En la figura se muestran algunas trazas que resultan de las intersecciones del Hiperboloide de dos hojas con planos paralelos al plano coordenado XY.
> implicitplot3d(x^2/16-y^2/9-z^2/4=1,x=-15..15,y=-15..15,z=-10..10,numpoints=5000, labels=[y,x,z]);
d)
x2 y2 z2 + − = 1 . Es la ecuación de una superficie cuádrica, llamada Hiperboloide de una hoja. 9 4 16
Realizamos a continuación un estudio de la misma para llegar a obtener su representación gráfica: i) Simetrías Siguiendo los pasos realizados en los ejercicios anteriores podemos concluir que la misma presenta simetrías con respecto a: • • •
Los tres ejes coordenados Los tres planos coordenados. El origen de coordenadas.
ii) Intersecciones con los ejes coordenados: •
eje X: (-3, 0, 0) y (3, 0, 0)
•
eje Y: (0, -2, 0) y (0, 2, 0)
•
no existe intersección con el eje Z
iii) Intersecciones con los planos coordenados: •
plano XY:
x2 y2 =1 + , se trata de una elipse contenida en el plano XY con focos sobre el 4 9 z = 0
eje X. •
plano XZ:
x2 z2 =1 − , se trata de una hipérbola contenida en el plano XZ con focos sobre 9 16 y = 0
el eje X. •
plano YZ:
y2 z2 =1 − , se trata de una hipérbola contenida en el plano YZ con focos sobre 4 16 x = 0
el eje Y.
17
iv) Intersecciones con planos paralelos a los coordenados:
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•
•
•
plano paralelo al plano coordenado YZ: X = k,
y2 z2 k2 − = 1− 4 16 9
Si
k < 3 , se obtienen hipérbolas con eje focal paralelo al eje Y, sobre el plano X = k.
Si
k > 3 , se obtienen hipérbolas con eje focal paralelo al eje Z, sobre el plano X = k.
1 k = 3 , se obtienen dos rectas de ecuaciones: y = ± z sobre los planos X= ± 3. 2 2 2 x z k2 plano paralelo al plano coordenado XZ: Y = k, − = 1− 9 16 4
Si
Si
k < 2 , se obtienen hipérbolas con eje focal paralelo al eje X, sobre el plano Y = k.
Si
k > 2 , se obtienen hipérbolas con eje focal paralelo al eje Z, sobre el plano Y = k.
3 k = 2 , se obtienen dos rectas de ecuaciones: x = ± z sobre los planos Y= ± 2. 4 2 2 x y k2 plano paralelo al plano coordenado XY: Z = k, + = 1+ 9 4 4
Si
Cualquiera sea el valor de k, resultan elipses con eje focal paralelo al eje X, sobre el plano Z = k. A medida que k aumenta en valor absoluto los semiejes de las elipses aumentan indefinidamente.
Se trata de una superficie no acotada. En la figura se muestra algunas trazas que resultan de las intersecciones del Hiperboloide de una hoja con planos paralelos al plano coordenado XY.
> implicitplot3d(x^2/9+y^2/4-z^2/16=1,x=-6..6,y=-6..6,z=-5..5,numpoints=5000,labels=[z,x,y]);
e)
z=
y2 x2 − . Es la ecuación de una superficie cuádrica llamada Paraboloide hiperbólico. 4 9
i) Simetrías Es simétrica con respecto a: •
eje Z
•
planos coordenados YZ y ZX.
ii) Intersecciones con los ejes coordenados: el origen de coordenadas (0, 0, 0) iii) Intersecciones con los planos coordenados:
18
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x2 y2 =0 − • plano XY: 9 , se trata de un par de rectas, contenidas en el plano XY que contienen 4 z = 0 2 al de coordenadas, de ecuaciones: y = ± x , z =0. 3 2 x = −9 z • plano XZ: , se trata de una parábola contenida en el plano XZ con foco sobre el eje y = 0 9 Z en el punto 0, 0, y ramas hacia el sentido negativo del eje z. 4 y2 = 4 z • plano YZ: , se trata de una parábola contenida en el plano YZ con foco sobre el eje x = 0 Z, en el punto (0, 0, 1) y ramas hacia el sentido positivo del eje z..
iv) Intersecciones con planos paralelos a los coordenados: •
plano paralelo al plano coordenado YZ: X = k,
y2 k2 =z+ , o 4 9
k2 y 2 = 4 z + . Se 9
obtienen parábolas cuyos vértices se alejan del plano YZ cuando k aumenta en valor absoluto. Las ramas de las parábolas son ascendentes en el sentido positivo del eje Z . •
plano paralelo al plano coordenado XZ: Y = k,
k2 x2 k2 2 . Se trata = −z + , o x = − 9 z − 4 9 4
de parábolas cuyos vértices se alejan del plano XZ cuando k aumenta en valor absoluto.
•
Si
k < 2 , las ramas “se abren” en el sentido negativo del eje Z.
Si
k > 2 , las ramas “se abren” en el sentido positivo del eje Z
plano paralelo al plano coordenado XY: Z = k,
y2 x2 − = k . Estas ecuaciones representan 4 9
hipérbolas para distintos valores de k.
Si k > 0, el eje focal es paralelo al eje Y.
Si k < 0, el eje focal es paralelo al eje X.
Si k crece en valor absoluto, los planos respectivos se alejan del plano XY y los semiejes de las hipérbolas crecen indefinidamente. Es una superficie no acotada. En la figura se muestra algunas trazas que resultan de las intersecciones del Paraboloide hiperbólico con planos paralelos al plano coordenado XY. MEJORAR LA SUP
> implicitplot3d(z=y^2/4-x^2/9,x=-10..10,y=-10..10,z=-3..3,numpoints=5000,labels=[y,x,z]);
19
f)
x2 y2 z2 − + = 1 . Es la ecuación de un Hiperboloide de una hoja. La superficie no se intercepta con el 4 9 4
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eje coordenado Y. Se muestran dos gráficas de la misma superficie.
> implicitplot3d(x^2/4-y^2/9+z^2/4=1,x=-6..6,y=-6..6,z=-5..5,numpoints=5000,labels=[z,x,y]); g) x 2 − 4 y 2 + z 2 = 0 . Es la ecuación de una superficie cónica. Realizamos su estudio para representarla luego gráficamente. i) Simetrías La superficie presenta simetrías con respecto a: • • •
Los tres ejes coordenados Los tres planos coordenados. El origen de coordenadas.
ii) Intersecciones con los ejes coordenados: el origen de coordenadas
iii) Intersecciones con los planos coordenados:
x 2 − 4 y 2 = o , se obtienen un par de rectas por el origen contenidas en el plano z = 0 XY. Sus ecuaciones son: x = ± 2 y , z = 0 .
•
plano XY:
•
plano XZ:
•
x 2 + z 2 = 0 , se obtiene el origen de coordenadas. y = 0 − 4 y 2 + z 2 = 0 plano YZ: , se obtienen un par de rectas por el origen contenidas en el plano x = 0 YZ. Sus ecuaciones son: z = ± 2 y , x = 0
iv) Intersecciones con planos paralelos a los coordenados: •
plano paralelo al plano coordenado YZ: X = k,
4 y2 − z2 = k 2 , o
y2 k2
4
−
z2 = 1 . Para k2
distintos valores de k, se obtienen hipérbolas con eje focal paralelo al eje Y. Si k crece en valor absoluto, los planos “se alejan” del plano YZ y los semiejes de las hipérbolas crecen indefinidamente. •
plano paralelo al plano coordenado XZ: Y = k, x + z = 4 k .Cualquiera sea el valor de k, resultan circunferencias con centro en (0, k, 0) sobre el plano Y = k. A medida que k aumenta las circunferencias “se alejan” del plano XZ y su radio crece indefinidamente. 2
2
2
20
•
plano paralelo al plano coordenado XY: Z = k,
y2
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k2
4
−
4 y 2 − x 2 = k 2 o su equivalente
x2 = 1 . Para distintos valores de k, se obtienen hipérbolas con eje focal paralelo al eje k2
Y. Si k crece en valor absoluto, los planos “se alejan” del plano XY y los semiejes de las hipérbolas crecen indefinidamente. Podemos concluir que se trata de una superficie no acotada. Esta superficie recibe el nombre particular de cono circular recto ya que las intersecciones con los planos Y = k son circunferencias con centros sobre el eje Y.
> implicitplot3d(x^2+z^2=4*y^2,x=-15..15,y=-6..6,z=-15..15,labels=[y,x,z]); y 2 − z 2 = 0 . Esta ecuación es equivalente a: ( y − z ) ( y + z ) = 0 , que representa a un par de planos proyectantes, que contienen al eje X, de ecuaciones: y − z = 0 ∀x; y + z = 0 ∀x . En la gráfica que sigue h)
se muestran ambos planos.
> implicitplot3d([y=z,y=-z],x=-10..10,y=-5..5,z=-5..5,labels=[y,x,z]); 8) Hallar e identificar las ecuaciones de las proyecciones sobre los planos coordenados de las siguientes curvas:
y 2 + z 2 = x (17) a) γ ) x + 2 y − z = 0 (18) La ecuación (17) es un paraboloide de revolución que tiene al eje X como eje de rotación. La ecuación (18) representa a un plano que contiene al origen de coordenadas. Si observamos las gráficas de ambas superficies, tal como se muestran en las figuras que siguen, vemos que la intersección entre ambas aparenta ser una circunferencia o una elipse. •
Si despejamos x en (18) y reemplazamos en (17) obtenemos la ecuación:
y 2 + z 2 + 2 y − z = 0 ∀x (19). Todo punto cuyas coordenadas satisface el sistema
y2 + z2 = x también satisface la ecuación (19) que x y z + 2 − = 0
es consecuencia del sistema.
21
No vale la recíproca, es decir, existen puntos cuyas coordenadas satisfacen (19) pero no el sistema. Completando cuadrados en (19) se obtiene:
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cilíndrica (que contiene a la curva proyectante sobre el plano YZ. La proyección de
γ)
γ
( y + 1)2 + z − 1
2
2
=
5 ∀x , que representa una superficie 4
) con generatrices paralelas al eje Z. La misma es un cilindro
sobre el plano YZ, resulta de la intersección del cilindro proyectante con el plano YZ.
2 1 5 2 1 ( y + 1) + z − = Se trata de la circunferencia de ecuaciones: 2 4 . Su centro es (0, -1, ) y su radio 2 x = 0
5 . 2 Las dos primeras gráficas muestran diferentes vistas de las superficies (17) y (18). La tercera y cuarta incluyen al cilindro proyectante cuyas ecuaciones están dadas en (19). La quinta muestra la circunferencia (proyección de γ ) sobre el plano YZ).
> implicitplot3d([y^2+z^2-x=0,x+2*y-z=0],x=-1..6,y=-3..3,z=-4..4,numpoints=2000,labels=[x,z,y]); > implicitplot3d([y^2+z^2-x=0,x+2*y-z=0,(y+1)^2+(z-1/2)^2=5/4],x=-1..6,y=-3..3,z=-4..4, numpoints=2000,labels=[x,z,y]); > implicitplot((y-1)^2+(z-1/2)^2=5/4,y=-5..5,z=-5..5,numpoints=3000); • Procediendo de la misma forma, para obtener la ecuación de la curva proyectada sobre el plano XZ despejamos la variable y de (18) y la reemplazamos en la (17), resultando:
−x+ z 2 + z − x = 0 ∀y , que representa una superficie cilíndrica (que contiene a la curva γ ) con 2 2
generatrices paralelas al eje Y (cilindro proyectante sobre el plano XZ). La curva γ ) proyectada sobre el plano XZ es el lugar geométrico de los puntos cuyas coordenadas verifican las ecuaciones:
22
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− x + z 2 2 +z −x=0 o 2 y = 0
x 2 − 2 xz + 5 z 2 − 4 x = 0 y = 0
Como en la primera de ellas aparece el término x z será necesario efectuar una rotación de ejes para obtener su forma reducida. Se deja como ejercicio comprobar que se trata de una elipse.
> implicitplot3d([y^2+z^2-x=0,x+2*y-z=0,x^2-2*x*z+5*z^2-4*x=0],x=-1..6,y=-3..3,z=4..4,numpoints=2000,labels=[x,z,y]); > implicitplot(x^2-2*x*z+5*z^2-4*x=0,x=-5..5,z=-5..5,numpoints=5000); •
Por último, despejamos la variable z de (18) y la reemplazamos en (17), para obtener: 2
x + 4 xy + 5 y 2
x = 0 Íz , que representa una superficie cilíndrica (que contiene a la curva generatrices paralelas al eje Z (cilindro proyectante sobre el plano XY). La proyección de
γ)
sobre el plano XY es la curva de ecuaciones:
γ
) con
x 2 + 4 xy + 5 y 2 − x = 0 . Es necesario z = 0
efectuar una rotación para obtener la forma reducida. Verifique que se trata de una elipse.
> implicitplot3d([y^2+z^2-x=0,x+2*y-z=0,x^2+4*x*y+5*y^2-x=0],x=-1..6,y=-3..3,z=-4..4,numpoints=2000, labels=[x,z,y]); > implicitplot(x^2+4*x*y+5*y^2-x=0,x=-5..5,y=-5..5,numpoints=5000);
x2 y2 = 2 z (20) − b) γ ) 4 3 x − 2 y + 2 = 0 (21) La primera de las ecuaciones corresponde a un paraboloide hiperbólico y la segunda a un plano proyectante sobre el XY. •
Si despejamos
(2 y − 2)2 4
x = 2 y − 2 en (21) y reemplazamos en (20) obtenemos la ecuación: 2
y2 3 1 − = 2 z ∀x , Trabajando algebraicamente se obtiene: y − = 3 z + ∀x , ecuación 3 2 4
que representa una superficie cilíndrica (que contiene a la curva
γ
) con generatrices paralelas al eje X.
23
La proyección de
γ)
sobre el plano YZ resulta de la intersección del cilindro proyectante con ese plano.
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2 3 1 y − = 3 z + Es una parábola de ecuaciones: 2 4 . En las figuras que siguen se muestran las x = 0
superficies y la curva.
> implicitplot3d([x^2/4-y^2/3=2*z,x-2*y-2=0,(y-3/4)^2=3/2*(z+1)],x=-8..8,y=-8..8,z=-4..4,numpoints=2000, labels=[y,x,z]); > implicitplot3d((y-3/4)^2=3/2*(z+1),x=-5..5,y=-5..5,z=-5..5,numpoints=2000, labels=[y,x,z]); •
Para obtener la ecuación del cilindro proyectante sobre el plano XZ , despejamos ecuación (21) y lo reemplazamos en la (20), obteniendo:
(x − 1)2 = 12 z + 1
4
y=
x + 1 de la 2
∀y . La proyección del
1 2 ( x − 1) = 12 z + cilindro parabólico sobre el plano XY es la parábola de ecuaciones: 4 . En las y = 0 figuras que siguen se pueden ver las superficies y la curva proyectada.
> implicitplot3d([x^2/4-y^2/3=2*z,x-2*y-2=0,(x-1)^2=12*(z+1/4)],x=-8..8,y=-8..8,z=-4..4,numpoints=2000, labels=[y,x,z]); > implicitplot3d((x-1)^2=12*(z+1/4),x=-5..5,y=-5..5,z=-5..5,numpoints=2000, labels=[y,x,z]);
•
x2 y 2 = 2z La curva λ) 4 está contenida en el plano proyectante: x − 2 y + 2 = 0 ∀z . 3 x 2y+2 = 0
La proyección de
λ)
sobre el plano XY son los puntos de la recta:
x − 2 y + 2 = 0 (traza del plano z = 0
proyectante sobre el sobre XY).
24
c)
x 2 + y 2 + z 2 = 16 (22) x 2 + y 2 = z (23)
γ )
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La ecuación (22) corresponde a una esfera y la (23) a un parabolide de revolución.
•
Para encontrar la ecuación de la curva proyectada sobre el plano XY, reemplazamos en (22) por z, resultando:
z= La curva
z 2 + z − 16 = 0 ∀x ∧ ∀y . Esta ecuación se verifica para z = −
x2 + y 2
1 + 65 ∀x ∧ ∀y y 2
− 1 + 65 ∀x ∧ ∀y (representan un par de planos paralelos al XY). 2 − 1 + 65 ∀x ∧ ∀y . Podemos representar a la misma a través 2 2 1 − 65 2 x + y = 2 . En el primer sistema la o equivalentemente 1 − 65 z = 2
λ ) está contenida en el plano z =
x2 + y2 = z de los sistemas: γ ) − 1 + 65 z = 2
curva se expresa como intersección del paraboloide de revolución con el plano, en el segundo sistema la curva se expresa como intersección del cilindro con el plano. La curva γ ) es una circunferencia con centro en el punto (0, 0,
− 1 + 65 y radio 2
− 1 + 65 . 2 Z
Y X
x = 0 − 1 + 65 La proyección de γ ) sobre el plano YZ son los puntos del segmento que verifican: y ≤ 2 − 1 + 65 z = 2
•
.
− 1 + 65 x ≤ 2 La proyección sobre el plano XZ son los puntos del segmento que verifican: y = 0 . z = − 1 + 65 2
25
•
2 − 1 + 65 x + y 2 = La proyección sobre el plano XY es la circunferencia de ecuaciones . ver 2 z = 0
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Se muestran las gráficas de las superficies que determinan
γ)
y su proyección sobre el plano XY.
> implicitplot3d([x^2+y^2+z^2=16,x^2+y^2=z],x=-5..5,y=-5..5,z=-4..8,numpoints=2000,labels=[y,x,z]); > implicitplot3d(x^2+y^2+(x^2+y^2)^2=16,x=-3..3,y=-3..3,z=-5..5,numpoints=5000);
26
FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS, INGENIERÍA Y AGRIMENSURA ESCUELA DE FORMACIÓN BÁSICA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
ALGEBRA Y GEOMETRÍA I
SUPERFICIES Y CURVAS EN EL ESPACIO VISUALIZACIÓN ANALÍTICA Y GRÁFICA
-2010PATRICIA CÓ – RAÚL KATZ
SUPERFICIES Y CURVAS EN EL ESPACIO
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Es este material se presentan algunas gráficas confeccionadas con el software MAPLE. A continuación de cada una se indica la sentencia utilizada para obtenerla. Tenga en cuenta que: 1) antes de realizar este tipo de gráficas es necesario cargar, por una sola vez durante la sesión de trabajo, el paquete de comandos gráficos, escribiendo with(plots):. 2) después de ingresar cualquier sentencia se debe terminar con ;.
Ejercicio 1: Estudiar y representar gráficamente el lugar geométrico de los puntos del espacio, cuya ecuación es: a)
x +3 y =9 . 3
Esta ecuación representa (en R ) un plano proyectante sobre el plano coordenado XY. z
3 y
9 x
x 2 + z 2 = 4 . (Implícitamente la variable y asume cualquier valor). 2 2 2 2 La ecuación x + z = 4 podría escribirse x + 0 y + z = 4 y representa un cilindro circular proyectante b)
sobre el plano XZ.
> with(plots): > implicitplot3d(x^2+z^2=4,x=-5..5,y=-5..5,z=-5..5,numpoints=3000,labels=[y,x,z]); c)
9 x 2 + y 2 = 16 . 3
Esta ecuación representa en R un cilindro elíptico proyectante sobre el plano XY. Se muestran las gráficas de la superficie cilíndrica y de la directriz de ecuaciones:
9 x 2 + y 2 = 16 . z = 0 3
Observación: La curva directriz es una elipse. Considerada como una curva de R se expresa a través de la intersección del cilindro elíptico con el plano coordenado XY. En la gráfica que se muestra, el eje Z es perpendicular al plano del papel. 2
La ecuación de esa elipse como curva en R se expresa a través de la ecuación:
9 x 2 + y 2 = 16 .
> implicitplot3d(9*x^2+y^2=16,x=-2..2,y=-5..5,z=-5..5,numpoints=3000,labels=[y,x,z]);
1
d) x = 4 z . Esta ecuación representa un cilindro parabólico proyectante sobre el plano X, cuya directriz está dada por 2
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las ecuaciones:
x 2 = 4z . y = 0
> implicitplot3d(x^2=4*z,x=-2..2,y=-5..5,z=-1..1,numpoints=3000,labels=[y,z,x]); e) 4 x − y = 16 . Esta ecuación representa un cilindro hiperbólico proyectante sobre el plano XY, cuya directriz está dada por 2
2
las ecuaciones:
4 x 2 − y 2 = 16 z = 0
> implicitplot3d(4*x^2-y^2=16,x=-10..10,y=-15..15,z=-5..5,numpoints=3000,labels=[y,z,x]); f)
sen x − y = 0 .
Es la ecuación de un cilindro proyectante sobre el plano XY. Las ecuaciones
senx − y = 0 corresponden z = 0
a la curva directriz que se representa en el segundo gráfico.
> implicitplot3d(sin(x)-y=0,x=-3*Pi..3*Pi,y=-5..5,z=-5..5,numpoints=3000,labels=[y,x,z]); g) x z =1 . Es la ecuación de un cilindro hiperbólico proyectante sobre el plano XZ. La curva de ecuaciones:
x z =1 corresponde a la directriz que se representa junto a la superficie. y = 0
2
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> implicitplot3d(x*z=1,x=-3..3,y=-5..5,z=-5..5,labels=[z,y,x],numpoints=9000); h)
{
}
x z = 0 . Sea A= ( x, y, z ) ∈ ℜ 3 / x z = 0 .
P ∈ A ⇔ x z = 0 ⇔ x = 0 ∨ z = 0 ⇔ P pertenece al menos a uno de los planos coordenados YZ o XY. i)
5 x 2 + 6 x y + 5 y 2 − 8 = 0 . Es la ecuación de un cilindro elíptico proyectante sobre el plano XY.
>implicitplot3d(5*x^2+6*x*y+5*y^2-8=0,x=-3..3,y=-5..5,z=-5..5,numpoints=3000,labels=[y,x,z]); j)
x 2 + 2 = 0 . No existe ningún punto del espacio R3 cuyas coordenadas verifiquen esta ecuación.
Ejercicio 2: Hallar la ecuación de la superficie cilíndrica, en los siguientes casos:
x 2 = 2 y Γ . z = 0 La superficie cilíndrica esta formada por todos los puntos P ( x, y , z ) que pertenecen a las rectas: x = x0 g ) y = y0 t ∈ ℜ (1), cuando (x 0 , y 0, z 0 ) varia en Γ . z = z + t 0 x0 2 = 2 y 0 (2). (x0 , y 0 , z 0 )∈ Γ ⇔ z 0 = 0 x 2 = 2 y Despejando ( x 0 , y 0 , z 0 ) de (1) y reemplazando en (2) resulta: t ∈ ℜ. z − t = 0 a) Generatriz paralela al eje “z” y directriz dada por las ecuaciones:
En consecuencia: x = 2 y ∀z es la ecuación de la superficie cilíndrica parabólica proyectante sobre el plano XY pedida. Se muestra su gráfica y la de la curva directriz, contenida en el plano XY. 2
>implicitplot3d(x^2=2*y,x=-5..5,y=-5..5,z=-5..5,numpoints=10000);
3
9 z 2 − 4 y 2 = 1 Γ . x = 5 La superficie cilíndrica esta formada por todos los puntos P ( x, y , z ) que pertenecen a las rectas: x = x 0 + t g) y = y 0 - t , t ∈ ℜ (3), cuando (x 0 , y 0, z 0 ) varía en Γ . z = z + 3 t 0 9 z 0 2 − 4 y 0 2 = 1 (4). (x0 , y 0 , z 0 )∈ Γ ⇔ Γ x0 = 5 9 ( z − 3 t ) 2 − 4 ( y − 2 t ) 2 = 1 . Despejando ( x 0 , y 0 , z 0 ) de (3) y reemplazando en (4) resulta: x − t = 5
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b) Generatriz paralela al vector (1, -1, 3) y la directriz es la curva
Eliminando el parámetro t, obtenemos la ecuación: representa la superficie cilíndrica hiperbólica buscada.
9 ( z − 3 ( x − 5) ) − 4 ( y + 2 ( x − 5) ) = 1 que 2
Se muestran las gráficas de la superficie cilíndrica y de la directriz de ecuaciones:
2
9 z 2 − 4 y 2 = 1 Γ . x = 5
> implicitplot3d(9*(z-3(x-5))^2-4*(y+2(x-5))^2=1,x=4.5..5.5,y=-6..3,z=-2..5,labels=[x,z,y],numpoints=10000); c) Proyectante sobre el plano YZ, directriz la circunferencia en ese plano de centro (0, 1, 0) y radio 2. La superficie cilíndrica esta formada por todos los puntos P ( x, y , z ) que pertenecen a las rectas:
x = x0 + t g ) y = y0 t ∈ ℜ (5), cuando (x 0 , y 0, z 0 ) varia en Γ . z = z 0 2 2 ( y 0 − 1) + z 0 = 4 (6). (x0 , y 0 , z 0 )∈ Γ ⇔ Γ x0 = 0 Despejando
(x0 , y 0 , z 0 )
(y − 1)2 + z 2 = 4 ∀x
( y − 1) 2 + z 2 = 4 de (6) y reemplazando en (5) resulta: Γ . Luego x − t = 0
es la ecuación de la superficie cilíndrica circular proyectante sobre el plano YZ
buscada.
4
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>implicitplot3d((y-1)^2+z^2=4,x=-5..5,y=-2..4,z=-2..2);
y−2 = z + 3 cuya directriz es la hipérbola equilátera 2 con centro en el origen de coordenadas, eje focal se encuentra sobre la recta de ecuación y = x . La mitad d) Generatriz paralela a la recta de ecuación
x −1 =
de la distancia focal es de longitud igual a 2. Debemos encontrar la ecuación de la hipérbola sabiendo que sus focos se encuentran sobre la recta y = x . Pensando en que los ejes x e y han sido rotados 45º, llegamos a que la ecuación de la hipérbola en el sistema rotado es:
x`2 y`2 − = 1 (7). 2 2
2 (x + y ) x´= 2 Reemplazamos en (7) las ecuaciones de rotación correspondientes: , obtenemos las 2 y´= (− x + y ) 2 x y =1 3 ecuaciones (en ℜ ) Γ (8). z=0 La superficie cilíndrica está formada por todos los puntos P ( x, y , z ) que pertenecen a las rectas:
x = x0 + t g ) y = y 0 + 2t t ∈ ℜ (9) cuando (x 0 , y 0, z 0 ) varia en Γ . z = z + t 0 x 0 y 0 = 1 z 0 = 0
(x 0 , y 0 , z 0 ) ∈ Γ ⇔ Despejando
(x0 , y 0 , z 0 ) de
parámetro t obtenemos:
(9) y reemplazando en (9´) resulta:
( x − z ) ( y − 2z ) =1.
(9´)
( x − t ) ( y − 2t ) = 1 . Eliminando el z − t = 0
> implicitplot3d((x-z)*(y-2*z)=1,x=-10..10,y=-4..4,z=-2..2,numpoints=10000,labels=[y,z,x]); e) Generatriz paralela a la recta de ecuación
x − 1 = y + 3 = − z y cuya directriz es la curva
x y + x + y = 0 (10). Estudiar y graficar la curva directriz. z = 0 5
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Como la curva directriz es una ecuación de 2º grado con término rectangular, efectuamos la rotación de ejes correspondiente a 45º para identificar de qué curva se trata.
2 ( x´− y´) x = 2 Las ecuaciones de rotación están dadas por: , reemplazándolas en (10) obtenemos y = 2 ( x´+ y´) 2 2
x´− 2 y´ 2 − = 1 , que es la ecuación de una hipérbola con centro en el punto de coordenadas: 4 4 (x ´, y ´ ) = 2 , 0 y vértices en (x´, y´) = ± 2 + 2 , 0 .
(
)
(
)
La superficie cilíndrica esta formada por todos los puntos P ( x, y , z ) que pertenecen a las rectas:
x = x0 + t g ) y = y 0 + t t ∈ ℜ (11), cuando (x 0 , y 0, z 0 ) varia en Γ . z = z − t 0 x y + x + y = 0 (12). (x0 , y 0 , z 0 )∈ Γ ⇔ 0 0 0 0 = 0 z 0 Despejando
(x − t ) ( y − t) + ( x − t ) + ( y − t ) = 0
(x0 , y 0 , z 0 ) de (11) y reemplazando en (12) resulta:
z + t = 0
.
Eliminando t obtenemos la ecuación de la superficie cilíndrica buscada:
( x + z )( y + z ) + ( x + z ) + ( y + z ) = 0
> implicitplot3d((x+z)*(y+z)+(x+z)+(y+z),x=-12..12,y=-12..12,z=-3..3,numpoints=10000,labels=[y,z,x]);
Ejercicio 3: Hallar la ecuación de la superficie cónica, en los siguientes casos:
x2 y2 =1 + a) Vértice V (1,1,2) y directriz Γ 4 . 9 z = 0 La superficie cónica esta formada por los puntos de las rectas que contienen al vértice V (1, 1, 2) y a un
x2 y2 =1 + . punto de la directriz Γ 4 9 z = 0
6
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1 x = 1 + t ( x0 − 1) 1 Las ecuaciones de dichas rectas se pueden expresar a través de: g ) y = 1 + ( y 0 − 1) t ≠ 0 , con t 1 z = 2 + t ( z 0 − 2) (x0 , y 0 , z 0 ) variando en Γ . (Notar que estas ecuaciones paramétricas no permiten obtener las coordenadas del vértice del cono).
x0 = 1 + ( x − 1)t Luego y 0 = 1 + ( y − 1)t (13). z = 2 + ( z − 2)t 0 x0 2 y 0 2 (x0 , y 0 , z 0 )∈ Γ ⇔ Γ 4 + 9 = 1 (14) z = 0 0 Reemplazando (13) en (14) resulta:
9 (1 + ( x − 1 ) t )2 + 4 ( 1 + ( y −1 ) t )2 = 36 . 2 + ( z − 2)t = 0
( x − 1) 2 ( y − 1 ) = 36 Eliminando el parámetro entre ambas se obtiene: 9 1 + 2 . + 4 1 + 2 2− z 2− z 2
La expresión del primer miembro no está definida en (1, 1, 2) que son las coordenadas del vértice. La ecuación
9 ((2 − z ) + 2( x − 1)) + 4((2 − z ) + 2( y − 1)) = 36 (2 − z ) , se satisface también para x = 1, 2
2
y = 1, z = 2, y constituye la ecuación de la superficie pedida. (Por la razón dada anteriormente, la gráfica no muestra el vértice del cono. No se visualiza ese punto que también pertenece a la superficie)
> implicitplot3d(9*(1+2*((x-1)/(2-z)))^2+4*(1+2*((y-1)/(2-z)))^2=36,x=-10..6,y=-8..8,z=-1..5,numpoints=5000);
d) Directriz constituida por todos los puntos P(x, y) cuya distancia al punto Q (1, 2) es igual a la mitad de la distancia de P(x, y) a la recta de ecuación y = 8. Vértice V (1, 0, 4). Con estas condiciones buscamos la ecuación de la directriz:
1 1 d ( P, Q ) = d ( P, r ) ) ⇔ d 2 ( P, Q ) = d 2 ( P, r ) ) 2 4
7
(1− x )2 + ( 2 − y )2 = 1
4
y −8
1 2 ⇔ ( x −1 ) + 4 − 4 y + y 2 − y 2 + 4 y −16= 0 ⇔ 4
2
(x − 1)2 12
+
y2 = 1 , que 16
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representa a una elipse con centro en (1, 0) y focos sobre la recta x =1. La superficie cónica esta formada por los puntos de las rectas que contienen al vértice V (1, 0, 4) y a un
( x − 1)2 y 2 + =1 . punto de la directriz Γ 12 16 z = 0
1 x = 1 + t ( x 0 − 1) 1 Las ecuaciones de dichas rectas se pueden expresar a través de: g ) y = y 0 t ≠ 0 , con t 1 z = 4 + t ( z 0 − 4) (x0 , y 0 , z 0 ) variando en Γ .
x0 = 1 + ( x − 1)t Luego y 0 = y t (15). z = 4 + ( z − 4)t 0 ( x 0 − 1)2 y 0 2 (x0 , y 0 , z 0 )∈ Γ ⇔ Γ 12 + 16 = 1 (16). z = 0 0 (1 + ( x − 1 ) t − 1) 2 ( y t ) 2 + = 1 . Eliminando el parámetro entre ambas se Reemplazando (15) en (16) resulta: 12 16 4 + ( z − 4) t = 0 2 obtiene la ecuación: 4 ( x − 1) + y = 1 . El primer miembro no está definido en (1, 0, 4) que son las 3 ( z − 4)2 ( z − 4)2 coordenadas del vértice. 2
La ecuación 4 ( x − 1) + 3 y = 3 ( z − 4 ) , se satisface también para x = 1, y = 0, z = 4 y constituye la 2
2
2
ecuación de la superficie pedida.
> implicitplot3d((3/4)*((x-1)^2/(z-4)^2)+y^2/(z-4)^2=1,x=-10..10,y=-10..10,z=-2..10,numpoints=5000);
Ejercicio 4: Hallar la ecuación de la superficie de revolución engendrada al rotar las curvas siguientes alrededor del eje indicado. Identificar y representar gráficamente, si es posible, la superficie obtenida: a) Parábola de vértice en el origen de coordenadas y foco F (3,0), alrededor del eje X.
8
La
Generatriz
es
la
parábola
de
ecuaciones:
y 2 − 12 x = 0 ; z = 0 .
Si
consideramos
F ( x, y ) = y 2 − 12 x , la ecuación de la superficie que se pide es: F(x, ± y 2 +z 2 ) = 0. Operando se obtiene la ecuación: y + z −12 x = 0 , que corresponde a un paraboloide de revolución.
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2
2
> implicitplot3d(y^2+z^2=12*x,x=0..6,y=-10..10,z=-10..10,numpoints=5000);
b) Hipérbola de focos (0,10) y (0, -10) que pasa por el punto P(2,3), alrededor del eje Y.
y2 x2 Las ecuaciones de la hipérbola son de la forma 2 − =1 , con z = 0. a 100− a2 La ecuación de la superficie de revolución que resulta de rotar dicha hipérbola alrededor del eje Y es:
y2 x2 z2 − − =1 a 2 100 − a 2 100 − a 2 2
El valor de a se obtiene teniendo en cuenta que P (2, 3, 0) pertenece a la superficie. Esta superficie de revolución recibe el nombre de hiperboloide de dos hojas.
> implicitplot3d(y^2/8.63-x^2/25.6-z^2/25.6,x=-5..5,y=-3..3,z=-5..5,numpoints=5000,labels=[y,x,z]); x = t 2 c) Γ t ∈ ℜ, eje Y. y = t Son ecuaciones paramétricas de la parábola contenida en el plano XY. Pasando a la forma cartesiana y considerando a la curva en el espacio, sus ecuaciones son:
y 2 = x; z = 0 . La superficie de revolución que se genera tiene por ecuación:
y 2= x 2+ z 2 y su gráfica es:
9
> implicitplot3d(y^2=sqrt(x^2+z^2),x=-5..5,y=-3..3,z=-3..3,numpoints=5000,labels=[z,x,y] );
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d)
x = 2 cost Γ 0 ≤ t ≤ π, eje X y = sen
Son ecuaciones paramétricas de un arco de elipse, cuya ecuación cartesiana es de la forma: con
0 ≤ y ≤1.
x2 + y 2 =1 4
x2 + y 2 =1; z =0. Considerando a la generatriz como una curva en el espacio, sus ecuaciones son: 4 Al girar esta curva alrededor del eje X, se obtiene un elipsoide de revolución de ecuación:
x2 + y 2 + z 2 =1 4
: > implicitplot3d(x^2/4+y^2+z^2=1,x=-3..3,y=-2..2,z=-2..2,numpoints=10000); Ejercicio 5: Dados los puntos A(3,2,0) y B(2,1,-5) verificar que el lugar geométrico de los puntos P(x,y,z) tal que AP⊥ BP es una esfera. Encontrar las coordenadas del centro y su radio.
AP = (x − 3, y − 2, z) BP = (x − 2, y −1, z + 5)
AP × BP= 0 ⇔ ( x − 3 ) ( x − 2 ) + ( y − 2 ) ( y −1 ) + z ( z + 3 ) = 0 ⇔ x 2 − 5 x + 6 + y2 − 3 y + 2 + z 2 + 3 z = 0 2
2
2
5 25 3 9 5 25 +6+ y − − + 2+z + − =0 x− − 2 4 2 4 2 4 2
2
2
5 3 5 27 ⇔ x− +y − +z + = 2 2 2 4
5 3 5 y radio r = 3 3 . ,− 2 2 2 2
Se trata de la ecuación de una esfera con centro C = ,
> with(plottools):c := sphere([5/2,3/2,-5/2], sqrt(27/4)):plots[display](c, scaling=constrained);
10
Ejercicio 6: Hallar la ecuación de la esfera con centro en el punto C(2,3,-1) y que además se intersecta
5 x − 4 y + 3 z + 20 = 0 determinado un segmento de longitud 16. 3 x − 4 y + z − 8 = 0
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con la recta
1 x = − 4 + 2t . Unas ecuaciones paramétricas de la recta dada son: r) 25 + t t∈ ℜ y = − 2 z = −2t
Para encontrar el radio miremos el siguiente dibujo:
16
d C
Sea d la distancia del centro a la recta, sabemos que: d (C, r ) =
P0 C ∧ u
, donde P0 es un punto de la
u
recta y
u es un vector dirección de la misma. Haciendo los cálculos se obtiene que d (C , r ) = 15 .
Aplicando el teorema de Pitágoras, el radio de la esfera es: r = 15 + 8 2
2
=
289 .
La ecuación de la esfera es: (x − 2) + ( y − 3) + (z + 1) = 289 y su gráfica es: 2
2
2
> with(plottools):c := sphere([2,3,-1], sqrt(289)):plots[display](c, scaling=constrained);
11
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7) Identificar y graficar las superficies cuyas ecuaciones son las siguientes: a)
x2 y2 z2 + + =1 25 16 9
b)
y2 + z2 = 4 x
d)
x2 y2 z2 + − =1 9 4 16
e)
z=
g)
x2 − 4 y2 + z2 = 0
h)
y2 − z2 = 0
a)
y2 x2 − 4 9
c)
x2 y2 z2 − − =1 16 9 4
f)
x2 y2 z2 − + =1 4 9 4
x2 y2 z2 + + = 1 . Es la ecuación de una superficie cuádrica, llamada elipsoide. Realizamos a 25 16 9
continuación un estudio de la misma para obtener luego su representación gráfica: i) Simetrías con respecto a los ejes coordenados •
eje X: Si el punto P ( x, y, z ) pertenece a la superficie, el punto P ´ ( x,− y , − z ) simétrico de P con respecto al eje X, también pertenece a la superficie (y recíprocamente), en razón de que:
x2 y 2 z 2 x 2 (− y ) 2 (− z ) 2 + + =1 ⇔ + + =1 25 16 9 25 16 9 La gráfica de la superficie es simétrica con respecto al eje X. •
eje
Y:
Por
la
misma
razón,
si
el
punto
Q( x, y, z ) pertenece a la superficie, el
punto Q ´ ( − x, y ,− z ) simétrico de Q con respecto al eje Y, también pertenece. La gráfica de la superficie es simétrica con respecto al eje Y. •
eje Z: Si R ( x, y , z ) pertenece a la superficie, R ´ ( − x,− y , z ) simétrico de R con respecto al eje Z también pertenece. La gráfica de la superficie es simétrica con respecto al eje Z.
En síntesis se trata de una superficie cuya gráfica es simétrica con respecto a los tres ejes coordenados, llamados ejes de simetría. Por lo tanto el origen de coordenadas es el centro de simetría. Simetrías con respecto a los planos coordenados •
plano XY: Si el punto
P( x, y, z ) pertenece a la superficie, el punto P ´ ( x, y, − z ) simétrico de P
con respecto al plano XY también pertenece (y recíprocamente), en razón de que: x2 y 2 z 2 x 2 y 2 (− z )2 + + =1 ⇔ + + =1 25 16 9 25 16 9 La gráfica de la superficie es simétrica con respecto al plano XY. •
plano YZ: Si el punto Q ( x, y , z ) pertenece a la superficie, el punto respecto al plano YZ, también pertenece.
Q ´ (− x, y, z ) simétrico de Q con
La gráfica de la superficie es simétrica con respecto al plano YZ. •
plano XZ: Si R ( x, y , z ) pertenece a la superficie, XZ, también pertenece.
R ´ (− x,− y, z ) simétrico de R con respecto al plano
La gráfica de la superficie es simétrica con respecto al plano XZ. En síntesis, la gráfica es simétrica respecto a los planos coordenados.
12
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ii) Intersecciones con los ejes coordenados (vértices):
•
x2 y 2 z 2 x2 + + = 1 =1 x = ± 5 25 16 9 25 eje X: y = 0 ⇔ y = 0 ⇔ y = 0 . z = 0 z = 0 z = 0
A (-5, 0, 0) y A´ (5, 0, 0) son los puntos en que la superficie intercepta al eje X. •
eje Y: B (0, -4, 0) y B´ (0, 4, 0) son los puntos de intersección con el eje Y.
•
eje Z: C (0, 0, -3) y C´ (0, 0, 3) son los puntos de intersección con el eje Z.
iii) Intersecciones con los planos coordenados (trazas o secciones principales): •
x2 y 2 z 2 x2 y2 + =1 =1 + + . plano XY: 25 16 ⇔ 25 16 9 z = 0 z = 0
Se trata de una elipse con semieje mayor de longitud 5 sobre el eje X y semieje menor de longitud 4 sobre el eje Y.
•
x2 y 2 z 2 x2 z2 + =1 =1 + + . plano XZ: 25 16 ⇔ 25 9 9 y = 0 y = 0
Se trata de una elipse con semieje mayor de longitud 5 sobre el eje X y semieje menor de longitud 3 sobre el eje Z.
•
x2 y 2 z 2 y2 z2 + =1 =1 + + . plano YZ: 25 16 ⇔ 16 9 9 x = 0 x = 0
Se trata de una elipse con semieje mayor de longitud 4 sobre el eje Y, y semieje menor de longitud 3 sobre el eje Z.
iv) Intersecciones con planos paralelos a los coordenados: •
•
x2 y2 z 2 y2 z2 k2 + =1 = 1− + + plano paralelo al plano coordenado YZ: 25 16 ⇔ 16 9 9 25 x = k x = k Si k < 5 , se obtienen elipses con eje focal paralelo al eje Y, sobre el plano X = k.
Si
k > 5 , no hay intersección.
Si
k = 5 , se obtienen los puntos A (-5, 0, 0) y A´(5, 0, 0).
x2 y 2 z 2 x2 z 2 k2 + =1 = 1− + + plano paralelo al plano coordenado XZ: 25 16 ⇔ 25 9 9 16 y = k y = k Si k < 4 , se obtienen elipses con eje focal paralelo al eje X, sobre el plano Y = k.
Si
k > 4 , no hay intersección.
Si
k = 4 , se obtienen los puntos B (0, -4, 0) y B´ (0, 4, 0). 13
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•
x2 y 2 z 2 x2 y2 k2 + =1 = 1− + + ⇔ 25 16 plano paralelo al plano coordenado XY: 25 16 9 9 z = k z = k k 3 , no hay intersección.
Si
k = 3 , se obtienen los puntos C (0, 0, -3) y C´(0, 0, 3).
, se obtienen elipses con eje focal paralelo al eje X, sobre el plano Z = k.
Se trata de una superficie acotada. La figura muestra el elipsoide junto con algunas trazas que resultan de las intersecciones del mismo con planos paralelos al plano coordenado XY.
> implicitplot3d(x^2/25+y^2/16+z^2/9=1,x=-5..5,y=-4..4,z=-3..3,labels=[y,x,z]); b) y + z = 4 x . Es la ecuación de una superficie cuádrica, llamada Paraboloide circular o de revolución. Realizamos a continuación un estudio de la misma para llegar a obtener su representación gráfica: 2
2
i) Simetrías con respecto a los ejes coordenados •
eje X: Si el punto P ( x, y , z ) pertenece a la superficie, el punto P ´ ( x,− y , − z ) simétrico de P con respecto al eje X, también pertenece a la superficie (y recíprocamente), en razón de que:
y 2 + z 2 = 4 x ⇔ (− y ) 2 + (− z ) 2 = 4 x La gráfica de la superficie es simétrica con respecto al eje X. •
La gráfica no es simétrica con respecto a los ejes Y y Z.
Esta superficie carece de centro de simetría. Simetrías con respecto a los planos coordenados •
plano XY: Si el punto
P( x, y, z ) pertenece a la superficie, el punto P ´ ( x, y, − z ) simétrico de P
con respecto al plano XY también pertenece (y recíprocamente), en razón de que: y 2 + z 2 = 4 x ⇔ y 2 + (− z) 2 = 4 x La gráfica de la superficie es simétrica con respecto al plano XY. •
plano YZ: Si el punto Q ( x, y , z ) pertenece a la superficie, el punto respecto al plano YZ, también pertenece.
Q ´ (− x, y, z ) simétrico de Q con
La gráfica de la superficie es simétrica con respecto al plano XZ. •
El paraboloide circular no es simétrico con respecto al plano YZ.
ii) Intersecciones con los ejes coordenados: en todos los casos resulta el origen de coordenadas.
14
iii) Intersecciones con los planos coordenados:
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•
y2 + z2 = 4 x y 2 = 4x . plano XY: ⇔ z = 0 z = 0
Se trata de una parábola contenida en el plano XY, con vértice en el origen y foco sobre el eje X, en el punto (1, 0, 0). •
y2 + z2 = 4 x z 2 = 4 x plano XZ: . ⇔ z = 0 y = 0
Se trata de una parábola contenida en el plano XZ, con vértice en el origen y foco sobre el eje X, en el punto (1, 0, 0). •
plano YZ:
y2 + z2 = 0 y2 + z2 = 4 x , resulta el origen de coordenadas (0, 0, 0) ⇔ x = 0 z = 0
iv) Intersecciones con planos paralelos a los coordenados: •
plano paralelo al plano coordenado YZ:
y2 + z2 = 4 x y2 + z2 = 4 k ⇔ x = k x = k
k < 0 , no se obtiene ningún punto.
Si
Si k > 0 , se obtienen circunferencias con centro en (k, 0, 0) y radio medida que k crece. Si k = 0 , se obtiene el origen de condenadas.
2 k2 y + z = 4 x z = 4 x − plano paralelo al plano coordenado XZ: ⇔ 4 y = k y = k 2
•
2 k , que aumenta a
2
Para cada valor de k se obtiene una parábola contenida en el plano Y = k, con vértice en el
k2 k2 punto , k ,0 y foco en + 1, k ,0 . Estas parábolas “se alejan” del eje X a medida 4 4 que k aumenta.
•
2 k2 y2 + z2 = 4 x y = 4 x − ⇔ plano paralelo al plano coordenado XY: 4 z = k y = k
Para cada valor de k se obtiene una parábola contenida en el plano Z = k, con vértices en el punto
k2 k2 ,0, k y foco en + 1,0, k . Estas parábolas “se alejan” del eje X a medida 4 4
que k aumenta El Paraboloide circular es una superficie no acotada. En la figura se muestran algunas trazas que resultan de las intersecciones del Paraboloide con planos paralelos al plano coordenado XY. Las intersecciones de la superficie con planos paralelos al plano YZ son circunferencias, por lo tanto se trata de un Paraboloide de revolución.
15
> implicitplot3d(y^2+z^2=4*x,x=-1..5,y=-5..5,z=-5..5,numpoints=5000,labels=[x,z,y]);
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x2 y2 z2 c) − − = 1 . Es la ecuación de una superficie cuádrica, llamada Hiperboloide de dos hojas. 16 9 4 Realizamos a continuación un estudio de la misma para llegar a obtener su representación gráfica: i) Simetrías Siguiendo los pasos realizados en los ejercicios anteriores, podemos concluir que la superficie es simétrica con respecto a: • • •
Los tres ejes coordenados Los tres planos coordenados. El origen de coordenadas.
ii) Intersecciones con los ejes coordenados: •
eje X: (-4, 0, 0) y (4, 0, 0)
•
no existe intersección con el eje Y
•
no existe intersección con el eje Z
iii) Intersecciones con los planos coordenados: •
plano XY:
x2 y2 =1 − , se trata de una hipérbola contenida en el plano XY con focos sobre 16 9 z = 0
el eje X. •
plano XZ:
x2 z2 =1 − , se trata de una hipérbola contenida en el plano XZ con focos sobre 16 4 y = 0
el eje X. •
plano YZ:
y2 z2 = −1 + , no existe ningún punto cuyas coordenadas verifiquen las 4 9 x = 0
ecuaciones del sistema. Por lo tanto no hay intersección con el plano YZ.
iv) Intersecciones con planos paralelos a los coordenados: •
plano paralelo al plano coordenado YZ: X = k,
Si
y2 z2 k 2 + = −1 9 4 16
k > 4 , se obtienen elipses con eje focal paralelo al eje Y, sobre el plano X = k. A
medida que k aumenta, las elipses “se agrandan” indefinidamente.
•
Si
k < 4 , no hay intersección.
Si
k = 4 , se obtienen los puntos (-4, 0, 0) y (4, 0, 0).
x2 z2 k2 plano paralelo al plano coordenado XZ: Y = k, − = 1+ 16 4 9
•
Cualquiera sea el valor de k, resultan hipérbolas con eje focal paralelo al eje X, sobre el plano Y = k. A medida que k aumenta en valor absoluto los planos respectivos se alejan del plano XZ y los semiejes de las hipérbolas crecen indefinidamente.
x2 y2 k2 − = 1+ plano paralelo al plano coordenado XY: Z = k, 16 9 4 16
Cualquiera sea el valor de k, resultan hipérbolas con eje focal paralelo al eje X, sobre el plano Z = k. A medida que k aumenta en valor absoluto los planos respectivos se alejan del plano XY y los semiejes de las hipérbolas crecen indefinidamente.
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Se trata de una superficie no acotada. En la figura se muestran algunas trazas que resultan de las intersecciones del Hiperboloide de dos hojas con planos paralelos al plano coordenado XY.
> implicitplot3d(x^2/16-y^2/9-z^2/4=1,x=-15..15,y=-15..15,z=-10..10,numpoints=5000, labels=[y,x,z]);
d)
x2 y2 z2 + − = 1 . Es la ecuación de una superficie cuádrica, llamada Hiperboloide de una hoja. 9 4 16
Realizamos a continuación un estudio de la misma para llegar a obtener su representación gráfica: i) Simetrías Siguiendo los pasos realizados en los ejercicios anteriores podemos concluir que la misma presenta simetrías con respecto a: • • •
Los tres ejes coordenados Los tres planos coordenados. El origen de coordenadas.
ii) Intersecciones con los ejes coordenados: •
eje X: (-3, 0, 0) y (3, 0, 0)
•
eje Y: (0, -2, 0) y (0, 2, 0)
•
no existe intersección con el eje Z
iii) Intersecciones con los planos coordenados: •
plano XY:
x2 y2 =1 + , se trata de una elipse contenida en el plano XY con focos sobre el 4 9 z = 0
eje X. •
plano XZ:
x2 z2 =1 − , se trata de una hipérbola contenida en el plano XZ con focos sobre 9 16 y = 0
el eje X. •
plano YZ:
y2 z2 =1 − , se trata de una hipérbola contenida en el plano YZ con focos sobre 4 16 x = 0
el eje Y.
17
iv) Intersecciones con planos paralelos a los coordenados:
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•
•
•
plano paralelo al plano coordenado YZ: X = k,
y2 z2 k2 − = 1− 4 16 9
Si
k < 3 , se obtienen hipérbolas con eje focal paralelo al eje Y, sobre el plano X = k.
Si
k > 3 , se obtienen hipérbolas con eje focal paralelo al eje Z, sobre el plano X = k.
1 k = 3 , se obtienen dos rectas de ecuaciones: y = ± z sobre los planos X= ± 3. 2 2 2 x z k2 plano paralelo al plano coordenado XZ: Y = k, − = 1− 9 16 4
Si
Si
k < 2 , se obtienen hipérbolas con eje focal paralelo al eje X, sobre el plano Y = k.
Si
k > 2 , se obtienen hipérbolas con eje focal paralelo al eje Z, sobre el plano Y = k.
3 k = 2 , se obtienen dos rectas de ecuaciones: x = ± z sobre los planos Y= ± 2. 4 2 2 x y k2 plano paralelo al plano coordenado XY: Z = k, + = 1+ 9 4 4
Si
Cualquiera sea el valor de k, resultan elipses con eje focal paralelo al eje X, sobre el plano Z = k. A medida que k aumenta en valor absoluto los semiejes de las elipses aumentan indefinidamente.
Se trata de una superficie no acotada. En la figura se muestra algunas trazas que resultan de las intersecciones del Hiperboloide de una hoja con planos paralelos al plano coordenado XY.
> implicitplot3d(x^2/9+y^2/4-z^2/16=1,x=-6..6,y=-6..6,z=-5..5,numpoints=5000,labels=[z,x,y]);
e)
z=
y2 x2 − . Es la ecuación de una superficie cuádrica llamada Paraboloide hiperbólico. 4 9
i) Simetrías Es simétrica con respecto a: •
eje Z
•
planos coordenados YZ y ZX.
ii) Intersecciones con los ejes coordenados: el origen de coordenadas (0, 0, 0) iii) Intersecciones con los planos coordenados:
18
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x2 y2 =0 − • plano XY: 9 , se trata de un par de rectas, contenidas en el plano XY que contienen 4 z = 0 2 al de coordenadas, de ecuaciones: y = ± x , z =0. 3 2 x = −9 z • plano XZ: , se trata de una parábola contenida en el plano XZ con foco sobre el eje y = 0 9 Z en el punto 0, 0, y ramas hacia el sentido negativo del eje z. 4 y2 = 4 z • plano YZ: , se trata de una parábola contenida en el plano YZ con foco sobre el eje x = 0 Z, en el punto (0, 0, 1) y ramas hacia el sentido positivo del eje z..
iv) Intersecciones con planos paralelos a los coordenados: •
plano paralelo al plano coordenado YZ: X = k,
y2 k2 =z+ , o 4 9
k2 y 2 = 4 z + . Se 9
obtienen parábolas cuyos vértices se alejan del plano YZ cuando k aumenta en valor absoluto. Las ramas de las parábolas son ascendentes en el sentido positivo del eje Z . •
plano paralelo al plano coordenado XZ: Y = k,
k2 x2 k2 2 . Se trata = −z + , o x = − 9 z − 4 9 4
de parábolas cuyos vértices se alejan del plano XZ cuando k aumenta en valor absoluto.
•
Si
k < 2 , las ramas “se abren” en el sentido negativo del eje Z.
Si
k > 2 , las ramas “se abren” en el sentido positivo del eje Z
plano paralelo al plano coordenado XY: Z = k,
y2 x2 − = k . Estas ecuaciones representan 4 9
hipérbolas para distintos valores de k.
Si k > 0, el eje focal es paralelo al eje Y.
Si k < 0, el eje focal es paralelo al eje X.
Si k crece en valor absoluto, los planos respectivos se alejan del plano XY y los semiejes de las hipérbolas crecen indefinidamente. Es una superficie no acotada. En la figura se muestra algunas trazas que resultan de las intersecciones del Paraboloide hiperbólico con planos paralelos al plano coordenado XY. MEJORAR LA SUP
> implicitplot3d(z=y^2/4-x^2/9,x=-10..10,y=-10..10,z=-3..3,numpoints=5000,labels=[y,x,z]);
19
f)
x2 y2 z2 − + = 1 . Es la ecuación de un Hiperboloide de una hoja. La superficie no se intercepta con el 4 9 4
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eje coordenado Y. Se muestran dos gráficas de la misma superficie.
> implicitplot3d(x^2/4-y^2/9+z^2/4=1,x=-6..6,y=-6..6,z=-5..5,numpoints=5000,labels=[z,x,y]); g) x 2 − 4 y 2 + z 2 = 0 . Es la ecuación de una superficie cónica. Realizamos su estudio para representarla luego gráficamente. i) Simetrías La superficie presenta simetrías con respecto a: • • •
Los tres ejes coordenados Los tres planos coordenados. El origen de coordenadas.
ii) Intersecciones con los ejes coordenados: el origen de coordenadas
iii) Intersecciones con los planos coordenados:
x 2 − 4 y 2 = o , se obtienen un par de rectas por el origen contenidas en el plano z = 0 XY. Sus ecuaciones son: x = ± 2 y , z = 0 .
•
plano XY:
•
plano XZ:
•
x 2 + z 2 = 0 , se obtiene el origen de coordenadas. y = 0 − 4 y 2 + z 2 = 0 plano YZ: , se obtienen un par de rectas por el origen contenidas en el plano x = 0 YZ. Sus ecuaciones son: z = ± 2 y , x = 0
iv) Intersecciones con planos paralelos a los coordenados: •
plano paralelo al plano coordenado YZ: X = k,
4 y2 − z2 = k 2 , o
y2 k2
4
−
z2 = 1 . Para k2
distintos valores de k, se obtienen hipérbolas con eje focal paralelo al eje Y. Si k crece en valor absoluto, los planos “se alejan” del plano YZ y los semiejes de las hipérbolas crecen indefinidamente. •
plano paralelo al plano coordenado XZ: Y = k, x + z = 4 k .Cualquiera sea el valor de k, resultan circunferencias con centro en (0, k, 0) sobre el plano Y = k. A medida que k aumenta las circunferencias “se alejan” del plano XZ y su radio crece indefinidamente. 2
2
2
20
•
plano paralelo al plano coordenado XY: Z = k,
y2
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k2
4
−
4 y 2 − x 2 = k 2 o su equivalente
x2 = 1 . Para distintos valores de k, se obtienen hipérbolas con eje focal paralelo al eje k2
Y. Si k crece en valor absoluto, los planos “se alejan” del plano XY y los semiejes de las hipérbolas crecen indefinidamente. Podemos concluir que se trata de una superficie no acotada. Esta superficie recibe el nombre particular de cono circular recto ya que las intersecciones con los planos Y = k son circunferencias con centros sobre el eje Y.
> implicitplot3d(x^2+z^2=4*y^2,x=-15..15,y=-6..6,z=-15..15,labels=[y,x,z]); y 2 − z 2 = 0 . Esta ecuación es equivalente a: ( y − z ) ( y + z ) = 0 , que representa a un par de planos proyectantes, que contienen al eje X, de ecuaciones: y − z = 0 ∀x; y + z = 0 ∀x . En la gráfica que sigue h)
se muestran ambos planos.
> implicitplot3d([y=z,y=-z],x=-10..10,y=-5..5,z=-5..5,labels=[y,x,z]); 8) Hallar e identificar las ecuaciones de las proyecciones sobre los planos coordenados de las siguientes curvas:
y 2 + z 2 = x (17) a) γ ) x + 2 y − z = 0 (18) La ecuación (17) es un paraboloide de revolución que tiene al eje X como eje de rotación. La ecuación (18) representa a un plano que contiene al origen de coordenadas. Si observamos las gráficas de ambas superficies, tal como se muestran en las figuras que siguen, vemos que la intersección entre ambas aparenta ser una circunferencia o una elipse. •
Si despejamos x en (18) y reemplazamos en (17) obtenemos la ecuación:
y 2 + z 2 + 2 y − z = 0 ∀x (19). Todo punto cuyas coordenadas satisface el sistema
y2 + z2 = x también satisface la ecuación (19) que x y z + 2 − = 0
es consecuencia del sistema.
21
No vale la recíproca, es decir, existen puntos cuyas coordenadas satisfacen (19) pero no el sistema. Completando cuadrados en (19) se obtiene:
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cilíndrica (que contiene a la curva proyectante sobre el plano YZ. La proyección de
γ)
γ
( y + 1)2 + z − 1
2
2
=
5 ∀x , que representa una superficie 4
) con generatrices paralelas al eje Z. La misma es un cilindro
sobre el plano YZ, resulta de la intersección del cilindro proyectante con el plano YZ.
2 1 5 2 1 ( y + 1) + z − = Se trata de la circunferencia de ecuaciones: 2 4 . Su centro es (0, -1, ) y su radio 2 x = 0
5 . 2 Las dos primeras gráficas muestran diferentes vistas de las superficies (17) y (18). La tercera y cuarta incluyen al cilindro proyectante cuyas ecuaciones están dadas en (19). La quinta muestra la circunferencia (proyección de γ ) sobre el plano YZ).
> implicitplot3d([y^2+z^2-x=0,x+2*y-z=0],x=-1..6,y=-3..3,z=-4..4,numpoints=2000,labels=[x,z,y]); > implicitplot3d([y^2+z^2-x=0,x+2*y-z=0,(y+1)^2+(z-1/2)^2=5/4],x=-1..6,y=-3..3,z=-4..4, numpoints=2000,labels=[x,z,y]); > implicitplot((y-1)^2+(z-1/2)^2=5/4,y=-5..5,z=-5..5,numpoints=3000); • Procediendo de la misma forma, para obtener la ecuación de la curva proyectada sobre el plano XZ despejamos la variable y de (18) y la reemplazamos en la (17), resultando:
−x+ z 2 + z − x = 0 ∀y , que representa una superficie cilíndrica (que contiene a la curva γ ) con 2 2
generatrices paralelas al eje Y (cilindro proyectante sobre el plano XZ). La curva γ ) proyectada sobre el plano XZ es el lugar geométrico de los puntos cuyas coordenadas verifican las ecuaciones:
22
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− x + z 2 2 +z −x=0 o 2 y = 0
x 2 − 2 xz + 5 z 2 − 4 x = 0 y = 0
Como en la primera de ellas aparece el término x z será necesario efectuar una rotación de ejes para obtener su forma reducida. Se deja como ejercicio comprobar que se trata de una elipse.
> implicitplot3d([y^2+z^2-x=0,x+2*y-z=0,x^2-2*x*z+5*z^2-4*x=0],x=-1..6,y=-3..3,z=4..4,numpoints=2000,labels=[x,z,y]); > implicitplot(x^2-2*x*z+5*z^2-4*x=0,x=-5..5,z=-5..5,numpoints=5000); •
Por último, despejamos la variable z de (18) y la reemplazamos en (17), para obtener: 2
x + 4 xy + 5 y 2
x = 0 Íz , que representa una superficie cilíndrica (que contiene a la curva generatrices paralelas al eje Z (cilindro proyectante sobre el plano XY). La proyección de
γ)
sobre el plano XY es la curva de ecuaciones:
γ
) con
x 2 + 4 xy + 5 y 2 − x = 0 . Es necesario z = 0
efectuar una rotación para obtener la forma reducida. Verifique que se trata de una elipse.
> implicitplot3d([y^2+z^2-x=0,x+2*y-z=0,x^2+4*x*y+5*y^2-x=0],x=-1..6,y=-3..3,z=-4..4,numpoints=2000, labels=[x,z,y]); > implicitplot(x^2+4*x*y+5*y^2-x=0,x=-5..5,y=-5..5,numpoints=5000);
x2 y2 = 2 z (20) − b) γ ) 4 3 x − 2 y + 2 = 0 (21) La primera de las ecuaciones corresponde a un paraboloide hiperbólico y la segunda a un plano proyectante sobre el XY. •
Si despejamos
(2 y − 2)2 4
x = 2 y − 2 en (21) y reemplazamos en (20) obtenemos la ecuación: 2
y2 3 1 − = 2 z ∀x , Trabajando algebraicamente se obtiene: y − = 3 z + ∀x , ecuación 3 2 4
que representa una superficie cilíndrica (que contiene a la curva
γ
) con generatrices paralelas al eje X.
23
La proyección de
γ)
sobre el plano YZ resulta de la intersección del cilindro proyectante con ese plano.
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2 3 1 y − = 3 z + Es una parábola de ecuaciones: 2 4 . En las figuras que siguen se muestran las x = 0
superficies y la curva.
> implicitplot3d([x^2/4-y^2/3=2*z,x-2*y-2=0,(y-3/4)^2=3/2*(z+1)],x=-8..8,y=-8..8,z=-4..4,numpoints=2000, labels=[y,x,z]); > implicitplot3d((y-3/4)^2=3/2*(z+1),x=-5..5,y=-5..5,z=-5..5,numpoints=2000, labels=[y,x,z]); •
Para obtener la ecuación del cilindro proyectante sobre el plano XZ , despejamos ecuación (21) y lo reemplazamos en la (20), obteniendo:
(x − 1)2 = 12 z + 1
4
y=
x + 1 de la 2
∀y . La proyección del
1 2 ( x − 1) = 12 z + cilindro parabólico sobre el plano XY es la parábola de ecuaciones: 4 . En las y = 0 figuras que siguen se pueden ver las superficies y la curva proyectada.
> implicitplot3d([x^2/4-y^2/3=2*z,x-2*y-2=0,(x-1)^2=12*(z+1/4)],x=-8..8,y=-8..8,z=-4..4,numpoints=2000, labels=[y,x,z]); > implicitplot3d((x-1)^2=12*(z+1/4),x=-5..5,y=-5..5,z=-5..5,numpoints=2000, labels=[y,x,z]);
•
x2 y 2 = 2z La curva λ) 4 está contenida en el plano proyectante: x − 2 y + 2 = 0 ∀z . 3 x 2y+2 = 0
La proyección de
λ)
sobre el plano XY son los puntos de la recta:
x − 2 y + 2 = 0 (traza del plano z = 0
proyectante sobre el sobre XY).
24
c)
x 2 + y 2 + z 2 = 16 (22) x 2 + y 2 = z (23)
γ )
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La ecuación (22) corresponde a una esfera y la (23) a un parabolide de revolución.
•
Para encontrar la ecuación de la curva proyectada sobre el plano XY, reemplazamos en (22) por z, resultando:
z= La curva
z 2 + z − 16 = 0 ∀x ∧ ∀y . Esta ecuación se verifica para z = −
x2 + y 2
1 + 65 ∀x ∧ ∀y y 2
− 1 + 65 ∀x ∧ ∀y (representan un par de planos paralelos al XY). 2 − 1 + 65 ∀x ∧ ∀y . Podemos representar a la misma a través 2 2 1 − 65 2 x + y = 2 . En el primer sistema la o equivalentemente 1 − 65 z = 2
λ ) está contenida en el plano z =
x2 + y2 = z de los sistemas: γ ) − 1 + 65 z = 2
curva se expresa como intersección del paraboloide de revolución con el plano, en el segundo sistema la curva se expresa como intersección del cilindro con el plano. La curva γ ) es una circunferencia con centro en el punto (0, 0,
− 1 + 65 y radio 2
− 1 + 65 . 2 Z
Y X
x = 0 − 1 + 65 La proyección de γ ) sobre el plano YZ son los puntos del segmento que verifican: y ≤ 2 − 1 + 65 z = 2
•
.
− 1 + 65 x ≤ 2 La proyección sobre el plano XZ son los puntos del segmento que verifican: y = 0 . z = − 1 + 65 2
25
•
2 − 1 + 65 x + y 2 = La proyección sobre el plano XY es la circunferencia de ecuaciones . ver 2 z = 0
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Se muestran las gráficas de las superficies que determinan
γ)
y su proyección sobre el plano XY.
> implicitplot3d([x^2+y^2+z^2=16,x^2+y^2=z],x=-5..5,y=-5..5,z=-4..8,numpoints=2000,labels=[y,x,z]); > implicitplot3d(x^2+y^2+(x^2+y^2)^2=16,x=-3..3,y=-3..3,z=-5..5,numpoints=5000);
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