ejercicios adicionales - transformaciones lineales

SAVE OFFLINE

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL DELTA ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA

EJERCICIOS ADICIONALES – TRANSFORMACIONES LINEALES Prof.: Lic. Noemí Susana Giachino

Última revisión: May-2019

1) Determinar si la función f es una transformación lineal 2 ! a) f : IR3→ IR2 / f #. "3 b) f : IR2→ IR3/ f& '

c)

f : IR2→ IR 3x2 / f& '

0 0

0 !

d) f : IR2x3→ IR3x2 / f(A) At

! 0 0

2) Hallar la expresión de la transformación lineal f a) f : IR3→ IR4/ f(1 0 0) (2 -1 1 1), f(0 1 0) (3 -1 1 0), f(0 0 1) (0 0 4 1) b) f : IR3→ IR3/ f(1 1 -1) (0 3 1), f(1 0 1) (2 -1 1), f(1 1 0) (3 2 4) 2 1 0 1 c) f : IR2→ IR2x2 / f(1 -1) & ', f(1 1) & ' 3 0 2 1 3) Decidir si existe una TL f que satisface: a) f : IR3→ IR2 / f(2 0 1) (3 2), f(1 1 0) (-6 4), f(1 -1 3) (4 0) b) f : IR3→ IR3/ f(1 0 1) (2 3 4), f(1 1 0) (2 1 5), f(2 1 1) (1 -5 2) c) f : IR2→ IR3/ f(1 1) (2 1 1),f(1 0) (0 2 0), f(5 2) (4 8 2) 4) Demuestre que si f : V →W es una TL , se verifica que : a) f(0V) 0W b) f(-v) -f(v) c) f(v – w) f(v) – f(w) ∀>∀? ∈ V

5) Hallar una base de Nuf y de Imf , verificar el teorema de la dimensión, clasificar a f a) f : IR3→ IR3/ f(x y z) (x"y"z x-y 2y"z) b) f : IR4→ IR4/ f(x1 x2 x3 x4) (x1"x3 0 x2"2x3 -x1"x2"x3) ! " c) f : IR3→ IR2x2/ f(x y z) & " ! ' 6) Defina una TL f : IR2 → W / W

matriz dando en qué bases trabaja.

D

∈ EF G : 2 ! 3 "

0H .Dar su expresión analítica y su

7) Idem anterior pero la TL f: W → IR3, siendo W el mismo subespacio del ejercicio anterior. 8) Sea f : IR3 → IR4/ f(1 0 0) (1 0 2 1), f(0 2 1) (0 0 0 0), f(0 0 -1) (2 -1 0 0)¿ Es TL?¿Única? En caso afirmativo halle su expresión analítica y matriz, indicando la base.

Ejercicios Adicionales - Transformaciones Lineales

1 1 1 " ' .Halle la matriz en la base de IR3 TU1V , U1V , U0VW y en ! 1 0 0 1 2 0 IR2, X& ' , & 'Y. Calcular la imagen de U2V utilizando la matriz y verificar con la fórmula. 0 1 3

9) Sea f: IR3→IR2 tal que f

&

10) Determinar qué transformaciones en IR2 efectúan las siguientes matrices, para ello expresarlas como factoreo de matrices elementales: 2 1 a) & ' 4 1 !3 5 b) & '. 4 2

11) Encontrar la matriz de la siguiente TL f: IR2 → IR2/ ] & ' es : a) para el conjunto de salida. b) para el conjunto de llegada. c) para ambos

12) Repetir lo pedido en el ejercicio 13), si f& '

!2 # si la base {(1 -1)t, (-3 2)t} lo !

12 " 10 1 2 # y la base es X& ' , & 'Y !15 ! 13 !1 !3

2 13) Definir en forma explícita la TL f si se sabe que f& ' 1

0 1 & ', f& ' 3 2

1 & '. 1

!2 a ` " 2 a V ¿f es TL? Encontrar la matriz de transformación Hallar una G a! G base del Nuf y de Imf . Calcular nulidad y rango. Verificar el teorema de la dimensión. ¿(1 0 0) ∈ Imf?. 3 U2

`

14) Sea f: IR3 → IR3 /] U a V

15) Sea TL f: V → V de base B

f(3v1), f(-5v1-v2).

`

{v1, v2, v3} y definida a través de la matriz MB

16) Si la matriz de f: IR3→ IR3 es MB´B 2 17) Si sabemos que f& ' 0 18) Si f& '

3 !

1 1 & ', f& ' 3 2

# y g& '

(0 0 1)t} Calcular MBB´(gof).

19) Sea f:IR2x2→ IR2 tal que f&

f h

0 3 U0 0 0 0

1 !1V Calcular 0

1 2 0 U 0 1 1 V encuentre MBB´ (f-1) . !1 1 !1 1 & ' hallar la matriz en estándar. 4

3 " U2 " V y las bases B {(1 1)t, (0 -1)t} y B´ {(1 -1 1)t, (0 -1 2)t, " g ' i

1 2 f"i & ', halle la matriz y calcule f& ' utilizando la matriz. 3 4 g!h [2]

Ejercicios Adicionales - Transformaciones Lineales

20) Sea f: IR3 → IR2/ f(x,y,z) f(S), f-1(v) y f-1(T) .

(x – y, y " z) y v (2, 3), S

, T

{X ∈ IR3: 3x – 2y

0} Hallar

21) Calcular, si es posible dim(Nuf) y dim(Imf) a) si la matriz de f es de IR5x3 y f es monomorfismo. b) f:IR4→IR3 es epimorfismo. Justifique. 22) Hallar a ∈ R, para que la nulidad de f : R3 →R3 definida por la siguiente matriz en bases estándar A f 1 1 = U1 f 1V, sea 2. Hallar base de Ker(f) e Im(f) y ecuaciones cartesianas de ambos subespacios 1 1 f para los valores hallados. 23) Hallar p ∈ R, para que la imagen de f : R3 →R3 definida por la siguiente matriz en bases estándar A 1 1 n = U1 n 1V, sea 2. Hallar base de Ker(f) e Im(f) y ecuaciones cartesianas de ambos subespacios n 1 1 para los valores hallados

[3]