Demostraciones de Algebra Lineal sobre Matrices

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Si A y B son dos matrices involutivas tales que AB = - BA, demostrar que: ½(A + B)2 = I; I = Matriz Identidad. Solución: Hipótesis: A2 = I, B2=I AB = -BA Tesis: ½(A + B)2 = I ½(A + B)2 = ½ [(A +B)(A+B)] propiedad de potencia de matrices = ½ [AA + AB + BA + BB] propiedad distributiva = ½ [A2 + AB + BA + B2] propiedad de potencia de matrices = ½ [I – BA + BA + I] hipótesis = ½ [I + I] = ½ (2I) = I Una matriz C es ortogonal si y solo sí C-1 = CT. Demostrar que si A es idempotente y B es ortogonal entonces BTAB es idempotente. Solución Hipótesis: B-1 = BT A2 = A Tesis: (BTAB)2= (BTAB) (BTAB)2= (BTAB) (BTAB) propiedad de potencia de matrices = BTAB BTAB eliminación de paréntesis = BTAB B-1AB hipótesis

= BTAIAB

resta de potencia

= BTAAB

multiplicación por la identidad

= BTA2B

propiedades de potencia

= BTAB

hipótesis

Si A y B son dos matrices idempotentes tales que AB = -BA demostrar que (A+B) es una matriz idempotente. Solución Hipótesis: A2 = A, B2 = B AB = -BA Tesis: (A + B)2 = (A+B) (A + B)2 = (A + B)(A + B) propiedad de la potencia = A2 + AB + BA + B2 propiedad distributiva = A – BA + BA + B hipótesis =A+B Si A es una matriz cuadrada, demostrar que siendo (A + AT) simétrica y A – AT Antisimétrica entonces: a) (A + AT) T = (A + AT) b) (A – AT)T=-(A – AT) = (-A + AT) Solución a (A + AT) T = AT + (AT)T propiedades de la traspuesta = AT + A propiedades de la traspuesta = A + AT propiedad conmutativa de la suma

Solución b (A – AT)T = AT - (AT)T propiedades de la traspuesta = AT - A propiedades de la traspuesta = - A + AT propiedad conmutativa de la suma