Club Magia y rompecabezas matemáticos
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Título del club: Magia y Rompecabezas Matemáticos Presentación: Este club permitirá que los estudiantes vean las matemáticas desde un punto de vista distinto al que están acostumbrados, pues utilizando trucos de magia con barajas y algunos rompecabezas matemáticos aprenderán algunas nociones de matemáticas, que no pertenecen propiamente al currículo pero que estarán integradas con otras que sí lo están. Además se inducirá a los estudiantes a que ahonden por su cuenta, sobre todo buscando en internet, en los temas que se tratarán. Introducción: A través de este club se quiere dar una visión más atractiva de las matemáticas a los estudiantes. A este club pueden asistir estudiantes de cualquier grado de primaria o secundaria, pero el aprendizaje matemático dependerá del grado. En la primera sesión se introducirán las figuras geométricas y algunas de sus propiedades haciendo mosaicos (o teselaciones) con ellas. Dependiendo del grado en que estén los estudiantes se introducen distintas propiedades. En la segunda sesión se construirán poliminós (un poliminó es una figura geométrica construida con cuadrados iguales pegados por sus lados) y se clasificarán de acuerdo al número de cuadrados que los forman, Después se verán tres rompecabezas matemáticos construidos con poliminós. Estos rompecabezas permiten desarrollar el pensamiento matemático y el planteamiento de estrategias. En la tercera sesión se harán algunos trucos de magia con cartas de baraja y después se explicará cómo se hicieron y se verá que en todos se usan ciertas operaciones aritméticas, sus propiedades y la invarianza matemática que se introducirá así. En la cuarta sesión se usarán las torres de Hanói y las estacas para introducir el principio de recursividad, las potencias y el crecimiento exponencial. Metodología: En todas las sesiones la metodología consiste en plantear primero un juego, truco de magia o rompecabezas y después usarlo para desarrollar algunos conceptos matemáticos. Distribución del tiempo: Sesión 1 Teselaciones: 1 a 3 horas dependiendo del grado Sesión 2 Poliominós: 3 a 4 horas Sesión 3 Matemagia: 2 a 3 horas Sesión 4 Torres de Hanói y estacas: 3 a 4 horas
Sesión Teselaciones Destinatarios: Estudiantes desde preescolar hasta secundaria Aprendizajes esperados: Esta es una actividad apta para alumnos desde preescolar hasta secundaria y esto dependerá de la edad de los participantes: De preescolar a 2º de primaria aprenderán a reconocer los siguientes polígonos: cuadrado, rombo, trapecio y hexágono. De 3º a 4º de primaria además aprenderán lo que es una teselación. De 5º a 6º de primaria además distinguirán los que son polígonos regulares. Los estudiantes de secundaria además verán con qué polígonos regulares se puede teselar el plano. Material: Cuadrados, rombos, triángulos, trapecios y hexágonos de cartón o fomi como los que vienen en la plantilla al final. Contenido: Todos hemos visto que se puede cubrir cualquier superficie plana, por ejemplo el piso o una pared de una casa con mosaicos en forma figuras geométricas por ejemplo cuadrados. Una teselación consiste en el recubrimiento de una superficie plana por medio de figuras de tal forma que no exista ningún hueco entre una figura y otra, y que las figuras estén dispuestas sin superponerse unas sobre otras.
Teselación viene de tesela que es una pequeña pieza de piedra, terracota o vidrio coloreado que se utiliza para confeccionar un mosaico. La palabra proviene del latín tessella que, a su vez, procede del término griego τεσσερες. Las teselaciones más simples son las que están hechas con solamente una figura geométrica y decimos que una figura tesela el plano si éste se puede cubrir con copias de ella misma.
Actividad 1. Esta actividad es para todos los grados. Se reparten cuadrados, rombos, triángulos, trapecios y hexágonos (de cartón o fomi) a cada uno de los participantes y se les pide que identifiquen las figuras. Si son niños que aún no las conocen se les dicen los nombres y sus principales características como número de lados. Una vez que los participantes reconocen las figuras se les pide que las unan por sus lados para hacer un paisaje. La mayoría de las personas tenderán a dejar huecos.
Cuando hayan terminado se les pedirá que hagan otro, pero esta vez sin dejar huecos, esto es bastante difícil para los niños más pequeños y se tiene que insistir en ello una y otra vez.
Una vez lo hayan hecho se les dice que en matemáticas lo que hicieron se conoce como teselación y les pueden contar de dónde viene el término.
Actividad 2. Para 5º de primaria en adelante. Además de las figuras que tienen se les dan unos pentágonos y se les pide que usen una sola figura para llenar el plano y que digan cuales son con las que sí se puede. Se les explica que un polígono regular es aquel que tiene todos sus lados y todos sus ángulos internos iguales. Se les muestran distintos polígonos y se les pregunta si son o no regulares, por ejemplo
Una vez que responden se pregunta porqué sí o porqué no.
Actividad 3. Para secundaria. Ahora se les pide que llenen el plano con un solo polígono regular y se les pide que digan con cuáles se puede. Ellos se darán cuenta que los únicos de los que tienen con los que se puede son el cuadrado, el triángulo equilátero y el hexágono. Como ellos no tienen todos los polígonos regulares (ni pueden tenerlos pues son una infinidad) se les pregunta si consideran que habrá más. A continuación se les preguntan los valores de los ángulos internos del cuadrado, del triángulo equilátero y del hexágono. En general saben que los del cuadrado son de 90⁰.
Se les pregunta cuánto es la suma de los ángulos internos de un triángulo y si no saben que es 180⁰ se les explica que esa es
Entonces, como en el triángulo equilátero sus tres ángulos internos son iguales éstos valen 180⁰/3 que es 60⁰. Después se les pregunta cuánto vale el ángulo interno de un hexágono regular, si no lo saben pueden ver que 6 triángulos equiláteros forman un hexágono regular
y entonces el ángulo interior de un hexágono regular es de 120⁰. Después se les pregunta cuánto vale un ángulo alrededor de un punto es decir toda la vuelta
Una vez que dicen que es 360⁰ se les pide que busquen una relación entre 60 y 360, 90 y 360 y 120 y 360. Se darán cuenta que todos son divisores de 360 y por eso para dar la vuelta completa se deben acomodar 6 triángulos equiláteros, 4 cuadrados y 3 hexágonos regulares.
Finalmente, se les explica cuánto vale el ángulo interno de cualquier polígono regular. Empezaremos por un pentágono regular
Se divide el pentágono en 5 triángulos isósceles iguales como se muestra en la figura y se calcula el ángulo α que es 360⁰/5=72⁰. El ángulo interior del pentágono es dos veces el ángulo interior que no es α del triángulo isósceles por lo que es β=180⁰-72⁰=108⁰ que no es divisor de 360 y por eso el pentágono regular no tesela al plano. Se puede hacer lo mismo con cualquier polígono regular y así tenemos que Si el polígono tiene 7 lados α = 360⁰/7 ≈ 51.43⁰ y el ángulo interior β ≈ 180⁰ – 51.43⁰ = 128.57⁰. Si el polígono tiene 8 lados α = 360⁰/8 = 45⁰ y el ángulo interior β = 180⁰ – 45⁰ = 135⁰. Si el polígono tiene 9 lados α = 360⁰/9 = 40⁰ y el ángulo interior β⁰ = 180 – 40⁰ = 140⁰. Si el polígono tiene 10⁰ lados α = 360⁰/10 = 36⁰ y el ángulo interior β⁰ = 180⁰ – 36⁰ = 144⁰. En general, si el polígono tiene n lados α = 360⁰/n y el ángulo interior β = 180⁰ –360⁰/n. Notemos que conforme aumenta el número de lados aumenta el ángulo interior del polígono. Ninguno de los valores que obtuvimos para polígonos regulares de 5, 7, 8, 9 y 10 lados es divisor de 360 y se puede probar que éste es el caso para cualquier polígono regular que no tenga 3, 4 o 6 lados. Es decir, los únicos polígonos regulares que teselan el plano son el triángulo equilátero, el cuadrado y el polígono regular. Se les pide que lo comprueben con los polígonos que tienen y también que hagan otras teselaciones mezclando diferentes polígonos de los que tienen.
Actividades adicionales: Para niños que recorten bien. Se les dan las planillas adjuntas que tienen polígonos impresas en hojas de colores, una cartulina, tijeras y pegamento y se les pide que con los polígonos hagan una teselación, pero esta vez pegando los polígonos en la cartulina, de manera que no se encimen ni dejen huecos.
Se puede pedir a los estudiantes que busquen en internet teselaciones y que expliquen al grupo algo nuevo que encuentren.
Propuesta de evaluación: Una pequeña evaluación de entrada y una de salida por actividad. Actividad 1 Evaluación para niños de preescolar a 2º de primaria. Observación: Si los niños no saben leer se debe ayudarlos a responder indicándoles lo que deben de hacer.
Evaluación para estudiantes de 3º de primaria en adelante. La evaluación de entrada es la misma que para los más pequeños pero en la de salida, además hay que añadir la siguiente pregunta.
Actividad 2.
Actividad 3. En este caso se hace la misma evaluación de entrada y salida, pues lo más probable es que los estudiantes no puedan responderla antes de hacer la actividad.
Bibliografía: En las siguientes páginas de internet se puede encontrar más información sobre teselaciones www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/teselaciones.htm
http://teselasartisticas.blogspot.com/2012/04/tipos‐de‐teselaciones.html Y esta es la liga de un libro sobre teselaciones que se puede descargar https://marcel‐morales.com/Morales‐livre‐pavage‐es.pdf
Sesión: Poliminós Propósito general. Conocer y reflexionar sobre la funcionalidad de los poliminós, a partir de su construcción en papel o como material manipulable, y por medio del juego, usando los tres diferentes rompecabezas hechos de poliminós que les presentaremos. Mostrando así una visión creativa, entretenida y lúdica de un concepto matemático: los poliminós. Aprendizajes esperados. Definición y propiedades de los poliminós. Esperamos que los participantes desarrollen una mirada didáctica de su uso como herramienta metodológica, que supere el uso esporádico como una mera curiosidad. Deseamos que puedan extender esta perspectiva sobre los poliminós, a todos los materiales vistos en este taller, para la enseñanza de la Matemática. Destinatarios. Estudiantes a partir de los ocho años de edad y profesores. De acuerdo a la edad y capacidad de la persona se puede adaptar el contenido y explicación relacionado a los poliminós para hacerlo apropiado e interesante. Materiales. Cuadrados de fomi para hacer las celdas unitarias.
Los siguientes rompecabezas de fomi o de cartón y las tarjetas con los retos: Rectángulo, Cuadro por cuadro y Calendario pentaminós Contenido. Un poliminó es una figura plana resultante de unir cuadrados unitarios del mismo tamaño, yuxtaponiéndolos por sus lados. Fueron creados por Solomon W. Golomb en 1953. Los poliminós son una generalización de la forma de un dominó, dos cuadrados unidos por un lado, sin tomar en cuenta el contenido. Para su construcción cada par de cuadrados vecinos comparten un lado completo y no pueden unirse sólo por un vértice. La nomenclatura usa el prefijo griego para el número de cuadrados unidos, como a continuación lo vemos en la tabla: Número de piezas Nombre
1
2
3
monominó dominó triminó
4
5
6
7
tetraminó pentaminó hexaminó heptaminó
Un monominó es simplemente un cuadrado unitario.
Un dominó es la unión de dos cuadrados unitarios.
...
arbitraria
...
poliminó
Triminó es la unión de tres cuadrados unitarios. Observemos aquí que hay varias maneras de unir tres cuadrados. 1.
2.
3.
4.
5.
6.
Nota importante: A efecto de manipular las figuras, consideraremos iguales las figuras 1 y 2, por otra parte las figuras 3, 4, 5 y 6 son equivalentes, pues cualquier par se puede hacer corresponder mediante una rotación o una reflexión. Por tanto son triminós distintos sólo los siguientes:
Tetraminós distintos tenemos los siguientes:
Así podemos seguir construyendo pentaminós, hexaminós, etcétera. Es sorprendente saber que se desconoce aún una fórmula que determine el número de formas diferentes de poliminós, con una cantidad determinada de celdas. Con estas figuras que hemos aprendido a crear veremos tres distintos rompecabezas, en los que se fomentan múltiples habilidades mentales, la ubicación espacial, la coordinación visomotriz y el desarrollo de la memoria, útiles en todas las edades. Actividad 1. Poliminós Se da a los estudiantes una cantidad suficiente de cuadrados de fomi o de cartón y se les pide que formen todos los dominós, triminós y tetraminós, explicando las reglas. Si los estudiantes ya están en secundaria puede servir para introducir las rotaciones y reflexiones. Actividad 2. Rectángulos. El objetivo de este juego es bastante sencillo: formar diferentes rectángulos, un reto diferente por
cada tarjeta. Se deben usar solamente las piezas de poliminós que se observan en la tarjeta correspondiente, con la regla de mantener la posición de algunas figuras (las mostradas dentro del rectángulo delineado) y el resto se puede manipular con el objetivo de formar dicho rectángulo sin dejar agujeros. Actividad 2. Calendario de pentaminós. Una plantilla con los diferentes días del mes está cubierta por pentaminós. Estas piezas de pentaminós pueden intercambiarse de lugar de modo que quede libre sólo una casilla, en la que sea visible uno de los días del mes. Así tenemos un desafío diferente para cada día, un divertido calendario. Actividad 3. Cuadrado por cuadrado. Con piezas con formas de monominós, dominós, triminós y tetraminós formamos un cuadrado de seis por seis, este es por si mismo un rompecabezas con diversas soluciones. Pero podemos hacerlo más desafiante, con diferentes retos en los que hay que conformar figuras específicas respetando su color. Productos. 1. Piezas y desafíos del juego de “Rectángulos”. 2. Piezas para el “Calendario de Poliminós”. 3. Piezas y tarjetas del juego “Cuadrado por Cuadrado”. 4. Estrategias para emplear los diferentes juegos y piezas como material didáctico para temas como medidas y geometría. Propuesta de evaluación. 1. Observa el siguiente rectángulo, ¿se puede construir usando dos tetraminós distintos? Dibuja tu solución.
2. 3. 4. 5.
¿Qué es un pentaminó? Dibuja todos los pentaminós distintos ¿Qué criterio has seguido para establecer la igualdad entre dos figuras? Según el criterio establecido, ¿son los siguientes pentaminós iguales?
6. ¿Cuántos pentaminós distintos hay? 7. Construye rectángulos de diferentes tamaños utilizando todos los pentaminós distintos que hay. Dibuja las soluciones que hayas encontrado. Bibliografía. • S. W. Golomb. Tiling with polyominoes. J. Combin. Theory 1:280-296, 1966. • S. W. Golomb. Polyominoes, 2nd edition. Princeton University Press, 1994. Anexos.
• Plantillas de las piezas del juego de “Rectángulos”. Tarjetas con los diferentes retos del juego. • Plantillas de las piezas del calendario. • Plantillas de las piezas del juego “Cuadrado por cuadrado”.
Sesión de Matemagia (invarianza) Destinatarios: Estudiantes desde 3° de primaria hasta secundaria. Propósitos generales del club:
Que el alumno logre resolver enigmas y enfrentar situaciones en las que se empleen métodos de invarianza. Que el alumno ejercite sus conocimientos de aritmética y pre-álgebra.
Aprendizajes esperados.
Compresión de permutaciones específicas. Reordenamiento de objetos. Reconocimiento de patrones de orden utilizando color, palo e índice de cartas de la baraja. Interpretación algebraica de bloques de cartas de una baraja. En consecuencia, el alumno podrá “traducir” ejercicios de conteo de objetos a un lenguaje algebraico. Apreciación del concepto de invarianza matemática. Esto en dos sentidos distintos dependiendo de la edad de los participantes: o Los alumnos de 3° a 5° de primaria aprenderán a experimentar un mismo proceso con diferentes números. Concluirán invarianzas aritméticas tras ver que funciona en varios casos (no es necesario verlos todos pero el proceso sí cumple ser invariante sin importar la elección). o Los alumnos de 6° de primaria y de secundaria indentificarán procesos invariantes y aprenderán a justificarlos utilizando herramientas de preálgebra. Los alumnos podrán replicar cualquiera de los trucos de matemagia (magia que utilizan matemáticas) que se mostrarán en la sesión.
Materiales.
Una o más barajas francesas (la utilizada en el juego de póker) sin comodines. La baraja francesa consta de 52 cartas. Es importante enfatizar que cada carta es única dentro de la baraja. Sólo hay una de cada una. Se compone de 26 cartas negras y 26 cartas rojas. Se dividen como sigue: 13 de las cartas negras son del llamado palo de picas ♠, otras 13 son del palo de tréboles ♣, 13 rojas son del palo de diamantes ♦ y las restantes 13 son del palo de corazones ♥. A su vez, cada uno de los palos tiene a las cartas del 2 al 10, un As (que tiene una A por índice), un Joto (con índice J), una Reina (índice Q) y un rey (índice K). Es por eso que cada carta es única. De manera que resulta realmente impresionante cuando un mago encuentra una carta que había sido elegida o predice cuál será la elección del espectador. Es importante que el alumno tenga esto claro para que los efectos vistos, sean tan impresionantes como deben. Durante todo esta guía usaremos las siguientes definiciones: o Tope: la parte superior de la baraja cuando se coloca con los dorsos hacia arriba. Diremos por ejemplo, la carta del tope. Lo cual hará referencia a la que está hasta arriba.
Fondo: la parte inferior de la baraja, la que queda pegada a la mesa, cuando la baraja está con los dorsos hacia arriba. o Cortar la baraja: La baraja está sobre la mesa y se toma un montón de cartas de ésta, el cual también es colocado sobre la mesa y así tenemos dos montones más pequeños que el original. o Completar la baraja (o completar el corte): cuando se tienen dos montones de cartas (normalmente por haber contado cartas o haber hecho un corte). Se coloca el montón que estaba al fondo sobre el otro, de manera que habrá una nueva carta en el fondo de la baraja. Bolsa mágica: Una bolsa de papel que contiene un bolsillo secreto formado por un pedazo de otra bolsa y pegado por los bordes largos al interior formando una especie de segunda pared (Figura 0 y Figura 1). o
Figura 0.
Figura 1.
Pizarrón y gis (o equivalente). Cartulina de predicción super misteriosa: una cartulina donde se tiene un signo de interrogación, un par de imágenes de bebés, un código de barras como se muestra en la Figura 3 y una carta dibujada o impresa del otro lado de la cartulina, ocupando todo el espacio como una carta gigantesca.
Figura 2. Contenido. Invarianza matemática: Es una propiedad que tienen algunos objetos a los que tras aplicarles ciertas transformaciones, preservan ciertas características, o bien el resultado no cambia (es invariante). Por ejemplo, tomemos como objeto al conjunto de todos los números. Éste tiene la propiedad de que si tomamos cualquiera de ellos y le restamos el mismo número, entonces obtendremos el número cero: 3 3 0, 17 17 0, 13201 13201 0. A pesar de que la “transformación” depende del número que tomamos, el resultado no cambia. Forzaje: En el mundo de la magia se utiliza este recurso para hacer que el espectador elija algo que el mago desea que sea elegido. Ni el espectador ni la audiencia notan que están siendo manipulados.
A continuación se enlistan los trucos que se realizarán en el taller. Se incluye el procedimiento para realizarlos y la teoría que justifica su funcionamiento. La mayoría de estos efectos requieren de una baraja francesa (de póker). En la sección de materiales se especifican las características que tiene dicha baraja. Es importante que el alumno entienda tales características para que los trucos resulten tan impresionantes como son. Un poco más grande. Efecto. El mago da a elegir una carta, la cual es observada por la audiencia y devuelta al centro de la baraja, digamos el 10♥ (se puede utilizar cualquier 10 o cualquier 9). Se coloca toda la baraja dentro de una bolsa opaca (de pan, por ejemplo), que se mostró vacía anteriormente. El mago anuncia que va a obtener la carta elegida sin ver dentro de la bolsa. Mete la mano a la bolsa y saca el 3♥. Tras su error busca una nueva carta y saca el 7♥, enfatizando que es del mismo palo. Vuelve a buscar dentro de la bolsa obteniendo el 9♥. Esta vez hace notar que el número obtenido es un poco más grande que los anteriores y pregunta “¿Es aún más grande?” Cuando se le responde que sí, el termina con el diálogo “¿Es así de grande?”, al tiempo que saca un 10♥ considerablemente más grande en tamaño que las cartas originales. ¿Cómo se hace? Preparación: Utilizaremos la bolsa mágica. Dentro del bolsillo secreto de la bolsa mágica se colocan las cartas 9♥, 7♥ y 3♥, así como el 10♥ de tamaño grande (Figura 3). De este modo, cuando se deposite el resto de la baraja dentro de la bolsa, el bolsillo secreto ya tendrá reservadas las cartas que necesitamos para la revelación. La manera de mostrar la bolsa “vacía” es tomar con índice y pulgar dentro de la bolsa, del lado del bolsillo secreto, mientras que el dedo medio estira bien esa pared y la otra mano abre la otra pared de la bolsa (Figura 4).
Figura 3.
Figura 4.
Para asegurarnos de que el espectador (alguno de los alumnos) elija el 10 ♥, procedemos a realizar un forzaje, que se explica a continuación. El último paso de la preparación es colocar la carta que vamos a forzar (10♥) en el tope de la baraja. Forzaje de 3 ciclos: Pedimos que algún espectador nos diga un número del 1 al 52, puede ser cualquiera, digamos . Contamos cartas de una en una colocándolas en la mesa. De este modo el 10♥ terminará en el fondo del nuevo montón de cartas. Las cartas sobrantes ya no las usaremos. Luego pedimos un segundo número a otro espectador. Éste debe ser mayor que la mitad de , digamos . Para que no sea tan sospechosa la solicitud que pide un número más grande que la mitad, diremos: “ahora otro número más chico, pero que sea un poco difícil, por ejemplo arriba de /2”. Si se redondea el número /2 será aún menos sospechoso. Supongamos que 27, la mitad sería 13.5. El dialogo sería: “ahora otro número, más chico que 27, pero un poco difícil, por ejemplo arriba de 15”. Ahora del montón de cartas, contaremos de una en una, generando un nuevo montón (observamos que esto invierte el orden de esas cartas), luego completamos la baraja colocando como un bloque las cartas que originalmente estaban al fondo sobre las que recién contamos. Con este nuevo orden, repetimos una vez más la acción anterior, y una vez terminado, lo haremos una última vez. En total 3 veces contamos cartas y completamos la baraja. Después de esto, la cara que queda en tope de la baraja será la elección del espectador. Parece ser un proceso arbitrario que depende de los números elegidos pero es una invarianza, da igual qué números se elijan, mientras se sigan las instrucciones. El mago no debe ver la elección. Se toman todas las cartas, incluso las descartadas al inicio. Se meten dentro de la bolsa, pero fuera del bolsillo secreto. Para concluir, revelamos la carta como se narra en la parte de Efecto. Al ir dentro de la bolsa para buscar la carta, se mete la mano dentro del bolsillo secreto donde tenemos reservadas las cartas necesarias. No es problema si el bolsillo secreto se rompe durante la culminación del truco. Incluso puede romperse toda la bolsa al final para tratar de esconder la evidencia del engaño. ¿Por qué funciona? Partamos del momento en el que se han elegido cartas y la que será la elección está al fondo de este montón (Figura 5). Al realizar el proceso de contar cartas y luego completar la baraja, no logramos llegar al fondo, pero rebasamos la mitad. Podemos hacer la observación (aunque no será relevante) de que nuestra carta está ahora en la posición contando desde el tope (Figura 6).
Figura 5.
Figura 6.
Antes de repetir el proceso veamos que las cartas que restarán son una vez más (Figura 7). La cantidad de cartas que quedan entre el 10♥ y ese bloque de cartas es (Figura 8).
El bloque marcado con rayas grises en la Figura 8 pasara a estar al fondo cando hagamos le proceso por segunda vez. Luego estará el 10♥, luego cartas. Por último, al completar la baraja quedará el bloque de al tope. Como se muestra en la Figura 9, los bloques quedan invertidos pero se aprecia que la suma de cartas que quedan por encima del 10♥ es . Por lo tanto, cuando repitamos el proceso por tercera vez, pasaremos esas cartas hacia el fondo la elección quedará al tope de la baraja, como lo deseamos.
Bosque mágico. Efecto: El mago va hechizando unas cabañas numeradas del 1 al 13 y los niños se esconden en dichas cabañas eligiendo un número que cada quien desee y luego siguiendo instrucciones aparentemente aleatorias. Al final el mago dejará sin hechizar una de las cabañas en la cual deberían estar todos los alumnos y así se salvan de haber sido hechizados. ¿Cómo se hace? Preparación: El mago dibuja trece casas o cabañas en un bosque (el número es fácilmente modificable) y las numera del 1 al 13. Las casas del 4 al 13 forman un círculo y las primeras tres casas se colocan fuera del círculo, colineales a la casa 4. Se forma una especie de cometa en el que los números 1, 2 y 3 forman la cola y los números del 4 al 13 forman el cuerpo circular de éste. La historia es que el mago es un malvado hechicero que va persiguiendo al pueblo (todos los espectadores, los niños) que habitaba el poblado fuera del pizarrón, cerca de la cabaña 1. El bosque tiene un encantamiento que hace una de las cabañas inmune a los hechizos. Ésta será la que quede sin hechizar, después de que las otras 12 han sido encantadas. A continuación se dan las indicaciones al tiempo que se da una sugerencia de “guión” para ejecutar.
Los niños huyen al bosque de las cabañas. Todos eligen un número y se ocultan en la casa con ese número. Nadie revela su número, es decir, la elección de cabaña es individual para el alumno. El hechicero encanta las casas 1, 2 y 3 (debe advertir que hará esto antes de que elijan para que los niños no estén ocultos en ninguna de estas cabañas al inicio del juego). El mago dice: "Ya me di una idea de dónde están algunos, para que se salven les doy oportunidad de que se muevan de nuevo: Muévanse la cantidad que dice su casa pero ahora en sentido contrario para que yo no pueda ni imaginar dónde andan".
Después de esta instrucción todos deben estar en la casa con el número 10. El hechicero encanta casas a pares, por ejemplo, la 6 y la 12 y da la indicación: "¿Quién ha sido hechizado? Creo saber dónde se ocultan. ¡¿Quieren huir?! muévanse 4 casas hacia donde quieran (las encantadas ya no cuentan)." Deberían quedar en la casita 5. Hay que ser cuidadoso con las casas que uno va derrumbando. "Ahora sí sé dónde están". Tras algo de suspenso, borra las casas 10 y 4 (por ejemplo). "¿Ya hechicé a alguien más? A ver, les daré otra oportunidad, muévanse de nuevo, para donde ustedes quieran, digamos... 3 casitas". En este punto, estarán en la 9. El proceso sigue de modo similar, dando las instrucciones con cuidado para hacer que todos sobrevivan.
¿Por qué funciona? Esta es una de las invarianzas más sencillas y aún así impresionantes pues está oculta y todo el grupo reacciona al mismo tiempo. La clave es que cuando el alumno recorre por segunda vez la misma cantidad de casas pero esta vez en sentido opuesto, lo que está haciendo es restar el mismo número que había sumado. La invarianza como tal, es que 0 sin importar qué valor haya tenido . El resto es hechizar casas cuidadosamente y procurando que sin importar por cuál lado se recorra el círculo se obtenga el mismo resultado. Agua y aceite. Efecto: El mago toma un paquetito de cartas y explica al espectador que hay dos tipos de movimientos que se va a hacer en este juego: 1. Cortar y completar el corte. 2. Dar vuelta a las dos cartas superiores y dejarlas ahí, en el tope del paquete. En este movimiento, las dos cartas se voltean a la vez, como si fuese una sola. Después de hacer estas operaciones unas cuantas veces, a modo de ejemplo, el mago le entrega el paquetito de cartas a un espectador, se pone de espaldas y le pide que continúe él mismo haciendo estos dos movimientos, tantas veces como quiera y en el oren que quiera. Cuando el espectador esté conforme, sienta que nadie puede saber (ni él mismo) cuántas caras hay cara arriba y cuántas cara abajo, el entrega las cartas al mago que se pone de cara al público con la baraja en la espalda, sin siquiera verla. A continuación anuncia que empleando sólo el tacto va a ser capaz de averiguar cuántas cartas hay cara arriba. Efectivamente, el mago dice un número, saca las cartas a la vista y cuenta las que estén cara arriba, acertando con el número mencionado. Pero más aún, el mago hace notar que el espectador separó, sin saberlo, cara arriba las cartas rojas y cara abajo las cartas negras. ¿Cómo funciona? Preparación: Primero se coloca la cantidad que se desee (se sugiere un número entre 15 y 30) de cartas al tope de la baraja, de manera que la mitad sean rojas, la mitad negras y que estos colores estén intercalados: rojo, negro, rojo, negro, etc. Se toman esas cartas,
digamos 16 (8 rojas y 8 negras) sin decir nada sobre este acomodo ni sobre la cantidad de cartas a los espectadores. Se comienza la mezcla que realizará el espectador como se explica en el efecto. Se le facilita el paquetito al espectador para que termine el proceso. Empleando la invarianza: Cuando el mago tiene las cartas en su espalda, fuera de la vista, separa las cartas que se encuentran en los lugares impares de las que se encuentran en los lugares pares, haciendo dos paquetes. Después, le da vuelta a uno de ellos y junta los dos. Dice el número de cartas que hay cara arriba 8, que será la mitad del total, 8 en nuestro ejemplo, y termina mostrando las cartas como se describe en el efecto. ¿Por qué funciona? Este juego se basa en que los movimientos descritos, si bien cambian el orden original de las cartas, no alteran cierta estructura que se explica a continuación. Recordemos que al principio del juego las cartas están alternada por colores. Es irrelevante si la primera es roja o negra, lo importante es que están alternadas. Al ser irrelevante cómo es la primera, el movimiento de cortar y completar, no altera esta estructura. Las cartas pueden estar en dos estados: cara arriba y cara abajo. Todas comienzan cara abajo. Desde este punto de vista, cuando una carta pasa de posición par a impar (o viceversa) también tiene que cambiar de estado. Por esta razón, según la posición que ocupen sea para o impar, las cartas estarán clasificadas en dos grupos diferentes: 1. Rojas que están cara abajo y negras que están cara arriba. 2. Negras que están cara abajo y rojas que están cara arriba. A lo largo de todo el proceso se mantiene esta clasificación de las cartas en dos grupos según su paridad. Cuando el mago, después de separara las cartas en dos montones, voltea uno de ellos, lo que hace es cambiar de estado TODAS las cartas de un grupo. Así, todas las cartas de un color estarán cara arriba y todas las del otro, cara abajo. Predicción súper misteriosa. Efecto: Se muestra una cartulina doblada con un signo de interrogación y se indica que dentro hay una predicción super misteriosa. Se pide a tres espectadores que colaboren. Uno piensa en un producto del supermercado, otro piensa en alguien famoso (alguien que todos puedan conocer) y el tercero elige una carta. El mago empieza a preguntar una por una las cosas que se han elegido y revela que tiene todas las predicciones correctas: 1. Da vuelta a la cartulina aun doblada y dice: “He predicho que ibas a elegir ése producto y aquí hay una foto… de su código de barras”. 2. Abre la cartulina (dependiendo de si el personaje famosos es de raza de color o caucásico) para revelar que tiene la foto del personaje… cuando era bebé. Puede bromear que estaba listo si le decían a “sutanito” que sea de la otra raza no elegida. 3. Parece que todo va a ser de broma pero al final el mago revela que efectivamente sí sabía cuál carta sería elegida. ¿Cómo se hace?
Preparación: El mago forzará la carta que tiene en la cartulina, entonces la coloca en la posición #10 del tope hacia el fondo de la baraja. Digamos que la carta a forzar es el 4♥. Forzaje a 10: Después de pedir que se elijan un producto y alguien famoso, el mago pide que alguien diga un número, simulando que duda dice: "digamos, entre 10 y 20", supongamos que el espectador eligió el número N. Entrega la baraja y pide que repartan N cartas sobre la mesa, de una en una haciendo un nuevo montón de N cartas. Esto invierte el orden tales cartas, quedando el 4♥ en la posición N-9 del nuevo montón. Luego dice el mago: "para darle un toque más arbitrario, que sea más complicado, reparte del nuevo montón tantas cartas como la suma de los dígitos del número que elegiste", esta suma da precisamente N-9 pues el número elegido está entre 10 y 20, es decir al dígito de las unidades sólo le sumamos 1 y para todos estos números el resultado es el mencionado N9. Las revelaciones se concluyen como se indica en el efecto. Propuesta de evaluación. Entrada 1.- Imagina que estás sentado en una mesa redonda con 8 sillas numeradas del 1 al 8. Si estás sentado en el número 1, ¿qué número puedes elegir para que, al contar esa cantidad de sillas hacia tu derecha llegues al mismo lugar, si lo contaras hacia tu izquierda? 2.- ¿A qué número llegaste en el ejercicio anterior? 3.- ¿Qué números escribirías entre los paréntesis para que el resultado sea correcto? 17
9
14
9
4.- ¿Cuáles son los números pares?
Salida 1.- Imagina que estás sentado en una mesa redonda con 14 sillas numeradas del 1 al 14. Si estás sentado en el número 3, ¿qué número puedes elegir para que, al contar esa cantidad de sillas hacia tu derecha llegues al mismo lugar, si lo contaras hacia tu izquierda? 2.- ¿A qué número llegaste en el ejercicio anterior? 3.- Digamos que un número de 2 cifras es bonito si cuando sumas sus dos cifras y ése resultado se lo restas al número original obtienes 18. Por ejemplo, el 27 es bonito porque 2+7=9 y 27-9=18. ¿Cuántos números bonitos existen? 4.- ¿Cuáles son los números impares? Bibliografía.
En los siguientes sitios web se encuentran los trucos utilizados con explicación y varios más: http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/gallardo/magia.pdf https://www.youtube.com/user/Magicurzay1
Sesión Torres de Hanoi y Estacas Destinatarios: Estudiantes de primaria alta hasta secundaria. Aprendizajes esperados: Esta es una actividad para estudiantes de primaria alta hasta secundaria y esto dependerá de la edad de los estudiantes: De los alumnos de primaria alta: se espera que aprendan a jugar con los rompecabezas de manera correcta respetando las reglas. De los alumnos de secundaria se espera que además encuentren la expresión algebraica que describe el número de movimientos necesarios para mover los discos de una torre a otra y las estacas de un color al lugar de las estacas de otro color. De los alumnos de último año de secundaria además se espera que grafiquen el comportamiento del número de movimientos de cada rompecabezas y sean capaces de encontrar el número de movimientos necesario para cualquier cantidad de discos y cualquier cantidad de estacas. Material: Una torre de Hanoi de fomi con 8 discos y un rompecabezas de estacas de fomi com 8 estacas. Una hoja cuadriculada y un lápiz. Conternido: El rompecabezas de la torre de Hanoi fue inventado en 1883 por el matemático francés Édouard Lucas. Este juego consiste en un número de discos perforados de radio creciente que se apilan insertándose en uno de los postes fijados a un tablero. El objetivo del juego es trasladar la pila a otro de los postes siguiendo ciertas reglas: 1. Sólo se puede mover un disco a la vez y para mover otro de los demás tienen que estar en postes. 2. Un disco de mayor tamaño no puede estar sobre uno más pequeño que él mismo. 3. Solo se puede desplazar el disco que se encuentre arriba en cada poste. El rompecabezas de estacas o ranas, consta de una base con una cantidad impar de agujeros. Se tienen estacas de dos colores diferentes, la misma cantidad de cada color. Se colocan las estacas en la base dejando un agujero libre entre las de un color y las del otro. El objetivo del juego es pasar las estacas de un color al lugar donde se encuentran las del otro color siguiendo las siguientes reglas: 1. Las estacas sólo pueden avanzar hacia adelante. 2. Las estacas de un color pueden saltar una estaca de otro color. Actividad 1. (Torre de Hanoi) Esta actividad es para todos los grados. Se reparten todos los rompecabezas y una vez que nos aseguremos que todos entienden cuáles son los movimientos válidos y cuáles no, hay que dejar que jueguen un rato y se familiaricen con él. Proponga al estudiante que no empiece con los 8 discos desde el principio, sugiera que deje tres discos y vaya familiarizándose con el rompecabezas.
Hay que recomendarles que pongan mucha atención a algún tipo de patrón que puedan encontrar y que les ayude a resolver el problema. Después de un intervalo de tiempo adecuado al tiempo con el que cuenten, hay que pedir la atención del grupo y que expongan las estrategias con las que están trabajando. Finalmente se debe discutir cuáles creen que funcionen mejor y porqué. La sugerencia de que empiecen con tres discos y una vez que hayan resuelto el problema para tres, lo hagan para cuatro y luego para cinco, hasta llegar a los ocho es para facilitar la solución del problema y para que se den cuenta que hacen los mismos movimientos pero cada vez son más, esto se conoce como recursividad. Para los estudiantes de primaria alta, aquí terminaría el taller, Lo importante es que hayan aprendido a usar el rompecabezas de forma adecuada siguiendo las reglas. Actividad 1 (estacas) Esta actividad es para todos los grados. Se reparten todos los rompecabezas y una vez que nos aseguremos que todos entienden cuáles son los movimientos válidos y cuáles no, hay que dejar que jueguen un rato y se familiaricen con él. Proponga al estudiante que no empiece con las 4 estacas de cada color, empiece con una estaca de cada color y usando sólo 3 hoyos de la base. Pídales que trabajen en equipo si lo creen necesario o que compartan sus métodos para pasar una estaca de un color al lugar de la estaca del otro color. Repita frecuentemente las reglas para que no cometan errores en sus movimientos. Vayan aumentando poco a poco las estacas de cada color hasta cambiar las cuatro estacas de un color al lugar de las estacas del otro color. La observación que se hizo con respecto a las torres de hanoi aplica aquí también. Para los estudiantes de primaria alta, aquí terminaría el taller. Lo importante es que haya aprendido a usar el rompecabezas de forma adecuada siguiente las reglas. Actividad 2 (Torres de Hanoi) Una vez que los participantes entienden completamente el objetivo y reglas del juego, el siguiente paso es intentar encontrar la solución óptima a nuestro problema; es decir, encontrar el mínimo número de movimientos con los que es posible pasar una cantidad desconocida de disco de un poste a otro. El plan de esta parte del taller, es encontrar la solución óptima para los casos donde el número de discos es 1, 2, 3,…, 8. Ahora, pida al estudiante que haga una tabla de registro de dos columnas, donde en la columna izquierda registre el número de discos y en la columna derecha el mínimo número de movimientos. Empiece con un disco, ¿cuántos movimientos serán necesarios para mover este disco? la respuesta es 1 y no hay problema para proponerla. En seguida se les pregunta, ¿cuántos movimientos son necesarios para mover la torre de dos discos? Si las respuestas son variadas, de nuevo se le pide a un estudiante que pase al frente a resolverlo.
Una vez que el estudiante entiende que ahora queremos encontrar la menor cantidad de movimientos necesarios para mover la torre con diferentes cantidades de discos se le pide que llene la tabla de registros de movimientos. Está permitido que los participantes comparen sus resultados y discutan estrategias. Inclusive pueden unirse en parejas o grupos más grandes si así lo creen conveniente. Ya que ha pasado un tiempo considerable donde han registrado al menos la cantidad de movimientos para 5 discos, haga una tabla en el pizarrón donde registre la cantidad de movimientos necesarios para pasar 1,2,3,4,5 discos. Los estudiantes tendrán la siguiente tabla:
Número de discos
Número mínimo de movimientos
1
1
2
3
3
7
4
15
5
31
Si hay cantidades distintas, puede pedirle a algún estudiante que pase al frente para verificar en qué momento podría ahorrarse algún movimiento o cual es el movimiento que le hizo falta. Si hasta ahora, no tiene ninguna propuesta de cómo se comporta de manera general el número de movimientos, puede pedirle que piense en la sucesión 2, 4, 8, 16, 32 y pedirle que sugiera el siguiente término a esta sucesión. La cantidad de movimientos se parece a la sucesión propuesta restándole una unidad, entonces ya sin hacer el paso de mover una torre de 6 discos, el estudiante podría predecir cuál sería el número de movimientos de ésta torre sólo con conocer el siguiente término de la sucesión propuesta. Los estudiantes de secundaria están en posibilidad de encontrar el término general a la sucesión 2, 4, 8, 16, 32, . .. dándose cuenta de que el término consecutivo a uno siempre es el doble, ayúdelo a deducir que el término general es 2 , entonces, para la cantidad de 1 tomando a como la cantidad de discos en la movimientos tendremos la expresión 2 torre. En esta parte, se termina el taller para los alumnos de primero y segundo de secundaria. Si todavía tuviera tiempo y observa a los estudiantes interesados, podría proponer la siguiente actividad. Actividad 2 (Estacas) En este momento, los estudiantes ya saben usar de manera adecuada el rompecabezas. Se les pide hacer un registro sobre la cantidad de movimientos que requiere para pasar las estacas de un color al lugar de las estacas del otro color. Empieza primero con una estaca de cada color, la cantidad mínima de movimientos necesario para cambiar de lugar es 3 movimientos. Va aumentando las estacas de cada color hasta que registra cuántos
movimientos necesita para mover las 4 estacas del lugar de un color a otro. Puede en este momento hacer una tabla en el pizarrón donde resuma los resultados del grupo:
Número de estacas de cada color
Número de movimientos
1
3
2
8
3
15
4
24
Si alguien tiene alguna propuesta distinta, páselo al frente y chequen entre todos cuál es el fallo. Intente llevar al estudiante a encontrar la manera general de describir el mínimo número de movimientos como una expresión que dependa el número de estacas. Piensen en la sucesión 4,9,16,25,… y pídale al estudiante que proponga el siguiente término de la sucesión, notará que es la sucesión de los números cuadrados. Esta sucesión de números se parece a la columna de números de movimientos quitándole una unidad a la sucesión, pero para que corresponda con el número de estacas de cada color, la expresión general de 1. movimientos de estacas será 1 En este momento termina el taller para los chicos de 1° y 2° de secundaria. Si tiene más tiempo y ve a los estudiantes entusiasmados, puede seguir con la actividad 3. Actividad 3 (Torre de Hanoi) Para estudiantes de 3° secundaria: Una vez que ya sabemos cómo funciona el rompecabezas y sabemos cómo se comporta la solución de los primeros 8 casos, ahora sí hay que intentar contestar la pregunta ¿cuántos movimientos serán necesarios para mover una torre de 20 discos? Se les reparte la hoja cuadriculada para que grafiquen lo que registraron en su tabla de movimientos de la parte anterior donde el eje horizontal será el número de discos y el eje vertical el mínimo número de movimientos. El resultado es un claro ejemplo de crecimiento exponencial; es decir que los valores del eje vertical crecen muy rápido con respecto a los valores del eje horizontal. En este momento se les puede explicar brevemente lo que son potencias y explicar cómo es que la solución exacta del problema es
2
1.
Aquí se discuten las soluciones y se les dice que para 20 discos, hay 20 2 1 1048576 movimientos. El estudiante notará que rápidamente la cantidad de movimientos crece muy rápido que es una característica del crecimiento exponencial. Actividad 3 (Estacas) Ya que sabe cual es la expresión general del número de movimientos requeridos para pasar 1,2,3 o 4 estacas de un color de un lugar a otro, le pediremos que encuentre la cantidad de movimientos requerido para mover 20 estacas. El estudiante tendrá que evaluar la
expresión 1 1 para 20, entonces 20 440 son los movimientos requeridos para pasar 20 estacas de un color al lugar de las otras 20. Si es posible realizar el taller de torres de Hanoi y estacas en la misma sesión, se puede comparar como va creciendo la cantidad de movimientos. La expresión que describe el número de movimientos para el rompecabezas de las estacas es una función cuadrática y para las torres de Hanoi es una exponencial. Como ejercicio final, pídale a sus estudiantes que llenen la tabla de movimientos para las torres y las estacas de 10 discos y de 10 estacas, ahí identificará en qué momento el crecimiento exponencial se separa fuertemente del crecimiento cuadrático.
Propuesta de evaluación: Una pequeña evaluación de entrada y otra de salida. Actividad 1. Para los estudiantes de primaria alta. Evaluación de entrada: No hay Evaluación de salida: Explica cómo pasas una torre de Hanoi de tres discos a otro poste. Explica cómo pasas 2 estacas de un color al lugar de las estacas del otro color. Actividad 2. Para los estudiantes de 1° y 2° de secundaria. Evaluación de entrada: Escribe el número que sigue en las sucesiones: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, . . .. 1, 4, 9, 16, 25, 36, . .. 1, 3, 9, 27, 81, 243, . .. Evaluación de salida: Encuentra el valor de la función en los puntos que se indican: en 7. 2 1 en 3 2 4 Actividad 3. Para los estudiantes de 3° de secundaria. Evaluación de entrada Encuentra el valor de la función en los puntos que se indican: en 7. 2 1 en 3 2 4 Evaluación de salida Indique cuál es la gráfica que crece más rápido en cada inciso:
a)
b) c)
Bibliografía:
[1] Berverly Braxton, Philip Gonsalves, Linda Lipner & Jacqueline Barber, (1995): Math around the world: teachers guide. Lawrence Hall of Science, University of California Berkeley.
Documento realizado por Matemorfosis el grupo de divulgación del CIMAT Agosto de 2018
Sesión Teselaciones Destinatarios: Estudiantes desde preescolar hasta secundaria Aprendizajes esperados: Esta es una actividad apta para alumnos desde preescolar hasta secundaria y esto dependerá de la edad de los participantes: De preescolar a 2º de primaria aprenderán a reconocer los siguientes polígonos: cuadrado, rombo, trapecio y hexágono. De 3º a 4º de primaria además aprenderán lo que es una teselación. De 5º a 6º de primaria además distinguirán los que son polígonos regulares. Los estudiantes de secundaria además verán con qué polígonos regulares se puede teselar el plano. Material: Cuadrados, rombos, triángulos, trapecios y hexágonos de cartón o fomi como los que vienen en la plantilla al final. Contenido: Todos hemos visto que se puede cubrir cualquier superficie plana, por ejemplo el piso o una pared de una casa con mosaicos en forma figuras geométricas por ejemplo cuadrados. Una teselación consiste en el recubrimiento de una superficie plana por medio de figuras de tal forma que no exista ningún hueco entre una figura y otra, y que las figuras estén dispuestas sin superponerse unas sobre otras.
Teselación viene de tesela que es una pequeña pieza de piedra, terracota o vidrio coloreado que se utiliza para confeccionar un mosaico. La palabra proviene del latín tessella que, a su vez, procede del término griego τεσσερες. Las teselaciones más simples son las que están hechas con solamente una figura geométrica y decimos que una figura tesela el plano si éste se puede cubrir con copias de ella misma.
Actividad 1. Esta actividad es para todos los grados. Se reparten cuadrados, rombos, triángulos, trapecios y hexágonos (de cartón o fomi) a cada uno de los participantes y se les pide que identifiquen las figuras. Si son niños que aún no las conocen se les dicen los nombres y sus principales características como número de lados. Una vez que los participantes reconocen las figuras se les pide que las unan por sus lados para hacer un paisaje. La mayoría de las personas tenderán a dejar huecos.
Cuando hayan terminado se les pedirá que hagan otro, pero esta vez sin dejar huecos, esto es bastante difícil para los niños más pequeños y se tiene que insistir en ello una y otra vez.
Una vez lo hayan hecho se les dice que en matemáticas lo que hicieron se conoce como teselación y les pueden contar de dónde viene el término.
Actividad 2. Para 5º de primaria en adelante. Además de las figuras que tienen se les dan unos pentágonos y se les pide que usen una sola figura para llenar el plano y que digan cuales son con las que sí se puede. Se les explica que un polígono regular es aquel que tiene todos sus lados y todos sus ángulos internos iguales. Se les muestran distintos polígonos y se les pregunta si son o no regulares, por ejemplo
Una vez que responden se pregunta porqué sí o porqué no.
Actividad 3. Para secundaria. Ahora se les pide que llenen el plano con un solo polígono regular y se les pide que digan con cuáles se puede. Ellos se darán cuenta que los únicos de los que tienen con los que se puede son el cuadrado, el triángulo equilátero y el hexágono. Como ellos no tienen todos los polígonos regulares (ni pueden tenerlos pues son una infinidad) se les pregunta si consideran que habrá más. A continuación se les preguntan los valores de los ángulos internos del cuadrado, del triángulo equilátero y del hexágono. En general saben que los del cuadrado son de 90⁰.
Se les pregunta cuánto es la suma de los ángulos internos de un triángulo y si no saben que es 180⁰ se les explica que esa es
Entonces, como en el triángulo equilátero sus tres ángulos internos son iguales éstos valen 180⁰/3 que es 60⁰. Después se les pregunta cuánto vale el ángulo interno de un hexágono regular, si no lo saben pueden ver que 6 triángulos equiláteros forman un hexágono regular
y entonces el ángulo interior de un hexágono regular es de 120⁰. Después se les pregunta cuánto vale un ángulo alrededor de un punto es decir toda la vuelta
Una vez que dicen que es 360⁰ se les pide que busquen una relación entre 60 y 360, 90 y 360 y 120 y 360. Se darán cuenta que todos son divisores de 360 y por eso para dar la vuelta completa se deben acomodar 6 triángulos equiláteros, 4 cuadrados y 3 hexágonos regulares.
Finalmente, se les explica cuánto vale el ángulo interno de cualquier polígono regular. Empezaremos por un pentágono regular
Se divide el pentágono en 5 triángulos isósceles iguales como se muestra en la figura y se calcula el ángulo α que es 360⁰/5=72⁰. El ángulo interior del pentágono es dos veces el ángulo interior que no es α del triángulo isósceles por lo que es β=180⁰-72⁰=108⁰ que no es divisor de 360 y por eso el pentágono regular no tesela al plano. Se puede hacer lo mismo con cualquier polígono regular y así tenemos que Si el polígono tiene 7 lados α = 360⁰/7 ≈ 51.43⁰ y el ángulo interior β ≈ 180⁰ – 51.43⁰ = 128.57⁰. Si el polígono tiene 8 lados α = 360⁰/8 = 45⁰ y el ángulo interior β = 180⁰ – 45⁰ = 135⁰. Si el polígono tiene 9 lados α = 360⁰/9 = 40⁰ y el ángulo interior β⁰ = 180 – 40⁰ = 140⁰. Si el polígono tiene 10⁰ lados α = 360⁰/10 = 36⁰ y el ángulo interior β⁰ = 180⁰ – 36⁰ = 144⁰. En general, si el polígono tiene n lados α = 360⁰/n y el ángulo interior β = 180⁰ –360⁰/n. Notemos que conforme aumenta el número de lados aumenta el ángulo interior del polígono. Ninguno de los valores que obtuvimos para polígonos regulares de 5, 7, 8, 9 y 10 lados es divisor de 360 y se puede probar que éste es el caso para cualquier polígono regular que no tenga 3, 4 o 6 lados. Es decir, los únicos polígonos regulares que teselan el plano son el triángulo equilátero, el cuadrado y el polígono regular. Se les pide que lo comprueben con los polígonos que tienen y también que hagan otras teselaciones mezclando diferentes polígonos de los que tienen.
Actividades adicionales: Para niños que recorten bien. Se les dan las planillas adjuntas que tienen polígonos impresas en hojas de colores, una cartulina, tijeras y pegamento y se les pide que con los polígonos hagan una teselación, pero esta vez pegando los polígonos en la cartulina, de manera que no se encimen ni dejen huecos.
Se puede pedir a los estudiantes que busquen en internet teselaciones y que expliquen al grupo algo nuevo que encuentren.
Propuesta de evaluación: Una pequeña evaluación de entrada y una de salida por actividad. Actividad 1 Evaluación para niños de preescolar a 2º de primaria. Observación: Si los niños no saben leer se debe ayudarlos a responder indicándoles lo que deben de hacer.
Evaluación para estudiantes de 3º de primaria en adelante. La evaluación de entrada es la misma que para los más pequeños pero en la de salida, además hay que añadir la siguiente pregunta.
Actividad 2.
Actividad 3. En este caso se hace la misma evaluación de entrada y salida, pues lo más probable es que los estudiantes no puedan responderla antes de hacer la actividad.
Bibliografía: En las siguientes páginas de internet se puede encontrar más información sobre teselaciones www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/teselaciones.htm
http://teselasartisticas.blogspot.com/2012/04/tipos‐de‐teselaciones.html Y esta es la liga de un libro sobre teselaciones que se puede descargar https://marcel‐morales.com/Morales‐livre‐pavage‐es.pdf
Sesión: Poliminós Propósito general. Conocer y reflexionar sobre la funcionalidad de los poliminós, a partir de su construcción en papel o como material manipulable, y por medio del juego, usando los tres diferentes rompecabezas hechos de poliminós que les presentaremos. Mostrando así una visión creativa, entretenida y lúdica de un concepto matemático: los poliminós. Aprendizajes esperados. Definición y propiedades de los poliminós. Esperamos que los participantes desarrollen una mirada didáctica de su uso como herramienta metodológica, que supere el uso esporádico como una mera curiosidad. Deseamos que puedan extender esta perspectiva sobre los poliminós, a todos los materiales vistos en este taller, para la enseñanza de la Matemática. Destinatarios. Estudiantes a partir de los ocho años de edad y profesores. De acuerdo a la edad y capacidad de la persona se puede adaptar el contenido y explicación relacionado a los poliminós para hacerlo apropiado e interesante. Materiales. Cuadrados de fomi para hacer las celdas unitarias.
Los siguientes rompecabezas de fomi o de cartón y las tarjetas con los retos: Rectángulo, Cuadro por cuadro y Calendario pentaminós Contenido. Un poliminó es una figura plana resultante de unir cuadrados unitarios del mismo tamaño, yuxtaponiéndolos por sus lados. Fueron creados por Solomon W. Golomb en 1953. Los poliminós son una generalización de la forma de un dominó, dos cuadrados unidos por un lado, sin tomar en cuenta el contenido. Para su construcción cada par de cuadrados vecinos comparten un lado completo y no pueden unirse sólo por un vértice. La nomenclatura usa el prefijo griego para el número de cuadrados unidos, como a continuación lo vemos en la tabla: Número de piezas Nombre
1
2
3
monominó dominó triminó
4
5
6
7
tetraminó pentaminó hexaminó heptaminó
Un monominó es simplemente un cuadrado unitario.
Un dominó es la unión de dos cuadrados unitarios.
...
arbitraria
...
poliminó
Triminó es la unión de tres cuadrados unitarios. Observemos aquí que hay varias maneras de unir tres cuadrados. 1.
2.
3.
4.
5.
6.
Nota importante: A efecto de manipular las figuras, consideraremos iguales las figuras 1 y 2, por otra parte las figuras 3, 4, 5 y 6 son equivalentes, pues cualquier par se puede hacer corresponder mediante una rotación o una reflexión. Por tanto son triminós distintos sólo los siguientes:
Tetraminós distintos tenemos los siguientes:
Así podemos seguir construyendo pentaminós, hexaminós, etcétera. Es sorprendente saber que se desconoce aún una fórmula que determine el número de formas diferentes de poliminós, con una cantidad determinada de celdas. Con estas figuras que hemos aprendido a crear veremos tres distintos rompecabezas, en los que se fomentan múltiples habilidades mentales, la ubicación espacial, la coordinación visomotriz y el desarrollo de la memoria, útiles en todas las edades. Actividad 1. Poliminós Se da a los estudiantes una cantidad suficiente de cuadrados de fomi o de cartón y se les pide que formen todos los dominós, triminós y tetraminós, explicando las reglas. Si los estudiantes ya están en secundaria puede servir para introducir las rotaciones y reflexiones. Actividad 2. Rectángulos. El objetivo de este juego es bastante sencillo: formar diferentes rectángulos, un reto diferente por
cada tarjeta. Se deben usar solamente las piezas de poliminós que se observan en la tarjeta correspondiente, con la regla de mantener la posición de algunas figuras (las mostradas dentro del rectángulo delineado) y el resto se puede manipular con el objetivo de formar dicho rectángulo sin dejar agujeros. Actividad 2. Calendario de pentaminós. Una plantilla con los diferentes días del mes está cubierta por pentaminós. Estas piezas de pentaminós pueden intercambiarse de lugar de modo que quede libre sólo una casilla, en la que sea visible uno de los días del mes. Así tenemos un desafío diferente para cada día, un divertido calendario. Actividad 3. Cuadrado por cuadrado. Con piezas con formas de monominós, dominós, triminós y tetraminós formamos un cuadrado de seis por seis, este es por si mismo un rompecabezas con diversas soluciones. Pero podemos hacerlo más desafiante, con diferentes retos en los que hay que conformar figuras específicas respetando su color. Productos. 1. Piezas y desafíos del juego de “Rectángulos”. 2. Piezas para el “Calendario de Poliminós”. 3. Piezas y tarjetas del juego “Cuadrado por Cuadrado”. 4. Estrategias para emplear los diferentes juegos y piezas como material didáctico para temas como medidas y geometría. Propuesta de evaluación. 1. Observa el siguiente rectángulo, ¿se puede construir usando dos tetraminós distintos? Dibuja tu solución.
2. 3. 4. 5.
¿Qué es un pentaminó? Dibuja todos los pentaminós distintos ¿Qué criterio has seguido para establecer la igualdad entre dos figuras? Según el criterio establecido, ¿son los siguientes pentaminós iguales?
6. ¿Cuántos pentaminós distintos hay? 7. Construye rectángulos de diferentes tamaños utilizando todos los pentaminós distintos que hay. Dibuja las soluciones que hayas encontrado. Bibliografía. • S. W. Golomb. Tiling with polyominoes. J. Combin. Theory 1:280-296, 1966. • S. W. Golomb. Polyominoes, 2nd edition. Princeton University Press, 1994. Anexos.
• Plantillas de las piezas del juego de “Rectángulos”. Tarjetas con los diferentes retos del juego. • Plantillas de las piezas del calendario. • Plantillas de las piezas del juego “Cuadrado por cuadrado”.
Sesión de Matemagia (invarianza) Destinatarios: Estudiantes desde 3° de primaria hasta secundaria. Propósitos generales del club:
Que el alumno logre resolver enigmas y enfrentar situaciones en las que se empleen métodos de invarianza. Que el alumno ejercite sus conocimientos de aritmética y pre-álgebra.
Aprendizajes esperados.
Compresión de permutaciones específicas. Reordenamiento de objetos. Reconocimiento de patrones de orden utilizando color, palo e índice de cartas de la baraja. Interpretación algebraica de bloques de cartas de una baraja. En consecuencia, el alumno podrá “traducir” ejercicios de conteo de objetos a un lenguaje algebraico. Apreciación del concepto de invarianza matemática. Esto en dos sentidos distintos dependiendo de la edad de los participantes: o Los alumnos de 3° a 5° de primaria aprenderán a experimentar un mismo proceso con diferentes números. Concluirán invarianzas aritméticas tras ver que funciona en varios casos (no es necesario verlos todos pero el proceso sí cumple ser invariante sin importar la elección). o Los alumnos de 6° de primaria y de secundaria indentificarán procesos invariantes y aprenderán a justificarlos utilizando herramientas de preálgebra. Los alumnos podrán replicar cualquiera de los trucos de matemagia (magia que utilizan matemáticas) que se mostrarán en la sesión.
Materiales.
Una o más barajas francesas (la utilizada en el juego de póker) sin comodines. La baraja francesa consta de 52 cartas. Es importante enfatizar que cada carta es única dentro de la baraja. Sólo hay una de cada una. Se compone de 26 cartas negras y 26 cartas rojas. Se dividen como sigue: 13 de las cartas negras son del llamado palo de picas ♠, otras 13 son del palo de tréboles ♣, 13 rojas son del palo de diamantes ♦ y las restantes 13 son del palo de corazones ♥. A su vez, cada uno de los palos tiene a las cartas del 2 al 10, un As (que tiene una A por índice), un Joto (con índice J), una Reina (índice Q) y un rey (índice K). Es por eso que cada carta es única. De manera que resulta realmente impresionante cuando un mago encuentra una carta que había sido elegida o predice cuál será la elección del espectador. Es importante que el alumno tenga esto claro para que los efectos vistos, sean tan impresionantes como deben. Durante todo esta guía usaremos las siguientes definiciones: o Tope: la parte superior de la baraja cuando se coloca con los dorsos hacia arriba. Diremos por ejemplo, la carta del tope. Lo cual hará referencia a la que está hasta arriba.
Fondo: la parte inferior de la baraja, la que queda pegada a la mesa, cuando la baraja está con los dorsos hacia arriba. o Cortar la baraja: La baraja está sobre la mesa y se toma un montón de cartas de ésta, el cual también es colocado sobre la mesa y así tenemos dos montones más pequeños que el original. o Completar la baraja (o completar el corte): cuando se tienen dos montones de cartas (normalmente por haber contado cartas o haber hecho un corte). Se coloca el montón que estaba al fondo sobre el otro, de manera que habrá una nueva carta en el fondo de la baraja. Bolsa mágica: Una bolsa de papel que contiene un bolsillo secreto formado por un pedazo de otra bolsa y pegado por los bordes largos al interior formando una especie de segunda pared (Figura 0 y Figura 1). o
Figura 0.
Figura 1.
Pizarrón y gis (o equivalente). Cartulina de predicción super misteriosa: una cartulina donde se tiene un signo de interrogación, un par de imágenes de bebés, un código de barras como se muestra en la Figura 3 y una carta dibujada o impresa del otro lado de la cartulina, ocupando todo el espacio como una carta gigantesca.
Figura 2. Contenido. Invarianza matemática: Es una propiedad que tienen algunos objetos a los que tras aplicarles ciertas transformaciones, preservan ciertas características, o bien el resultado no cambia (es invariante). Por ejemplo, tomemos como objeto al conjunto de todos los números. Éste tiene la propiedad de que si tomamos cualquiera de ellos y le restamos el mismo número, entonces obtendremos el número cero: 3 3 0, 17 17 0, 13201 13201 0. A pesar de que la “transformación” depende del número que tomamos, el resultado no cambia. Forzaje: En el mundo de la magia se utiliza este recurso para hacer que el espectador elija algo que el mago desea que sea elegido. Ni el espectador ni la audiencia notan que están siendo manipulados.
A continuación se enlistan los trucos que se realizarán en el taller. Se incluye el procedimiento para realizarlos y la teoría que justifica su funcionamiento. La mayoría de estos efectos requieren de una baraja francesa (de póker). En la sección de materiales se especifican las características que tiene dicha baraja. Es importante que el alumno entienda tales características para que los trucos resulten tan impresionantes como son. Un poco más grande. Efecto. El mago da a elegir una carta, la cual es observada por la audiencia y devuelta al centro de la baraja, digamos el 10♥ (se puede utilizar cualquier 10 o cualquier 9). Se coloca toda la baraja dentro de una bolsa opaca (de pan, por ejemplo), que se mostró vacía anteriormente. El mago anuncia que va a obtener la carta elegida sin ver dentro de la bolsa. Mete la mano a la bolsa y saca el 3♥. Tras su error busca una nueva carta y saca el 7♥, enfatizando que es del mismo palo. Vuelve a buscar dentro de la bolsa obteniendo el 9♥. Esta vez hace notar que el número obtenido es un poco más grande que los anteriores y pregunta “¿Es aún más grande?” Cuando se le responde que sí, el termina con el diálogo “¿Es así de grande?”, al tiempo que saca un 10♥ considerablemente más grande en tamaño que las cartas originales. ¿Cómo se hace? Preparación: Utilizaremos la bolsa mágica. Dentro del bolsillo secreto de la bolsa mágica se colocan las cartas 9♥, 7♥ y 3♥, así como el 10♥ de tamaño grande (Figura 3). De este modo, cuando se deposite el resto de la baraja dentro de la bolsa, el bolsillo secreto ya tendrá reservadas las cartas que necesitamos para la revelación. La manera de mostrar la bolsa “vacía” es tomar con índice y pulgar dentro de la bolsa, del lado del bolsillo secreto, mientras que el dedo medio estira bien esa pared y la otra mano abre la otra pared de la bolsa (Figura 4).
Figura 3.
Figura 4.
Para asegurarnos de que el espectador (alguno de los alumnos) elija el 10 ♥, procedemos a realizar un forzaje, que se explica a continuación. El último paso de la preparación es colocar la carta que vamos a forzar (10♥) en el tope de la baraja. Forzaje de 3 ciclos: Pedimos que algún espectador nos diga un número del 1 al 52, puede ser cualquiera, digamos . Contamos cartas de una en una colocándolas en la mesa. De este modo el 10♥ terminará en el fondo del nuevo montón de cartas. Las cartas sobrantes ya no las usaremos. Luego pedimos un segundo número a otro espectador. Éste debe ser mayor que la mitad de , digamos . Para que no sea tan sospechosa la solicitud que pide un número más grande que la mitad, diremos: “ahora otro número más chico, pero que sea un poco difícil, por ejemplo arriba de /2”. Si se redondea el número /2 será aún menos sospechoso. Supongamos que 27, la mitad sería 13.5. El dialogo sería: “ahora otro número, más chico que 27, pero un poco difícil, por ejemplo arriba de 15”. Ahora del montón de cartas, contaremos de una en una, generando un nuevo montón (observamos que esto invierte el orden de esas cartas), luego completamos la baraja colocando como un bloque las cartas que originalmente estaban al fondo sobre las que recién contamos. Con este nuevo orden, repetimos una vez más la acción anterior, y una vez terminado, lo haremos una última vez. En total 3 veces contamos cartas y completamos la baraja. Después de esto, la cara que queda en tope de la baraja será la elección del espectador. Parece ser un proceso arbitrario que depende de los números elegidos pero es una invarianza, da igual qué números se elijan, mientras se sigan las instrucciones. El mago no debe ver la elección. Se toman todas las cartas, incluso las descartadas al inicio. Se meten dentro de la bolsa, pero fuera del bolsillo secreto. Para concluir, revelamos la carta como se narra en la parte de Efecto. Al ir dentro de la bolsa para buscar la carta, se mete la mano dentro del bolsillo secreto donde tenemos reservadas las cartas necesarias. No es problema si el bolsillo secreto se rompe durante la culminación del truco. Incluso puede romperse toda la bolsa al final para tratar de esconder la evidencia del engaño. ¿Por qué funciona? Partamos del momento en el que se han elegido cartas y la que será la elección está al fondo de este montón (Figura 5). Al realizar el proceso de contar cartas y luego completar la baraja, no logramos llegar al fondo, pero rebasamos la mitad. Podemos hacer la observación (aunque no será relevante) de que nuestra carta está ahora en la posición contando desde el tope (Figura 6).
Figura 5.
Figura 6.
Antes de repetir el proceso veamos que las cartas que restarán son una vez más (Figura 7). La cantidad de cartas que quedan entre el 10♥ y ese bloque de cartas es (Figura 8).
El bloque marcado con rayas grises en la Figura 8 pasara a estar al fondo cando hagamos le proceso por segunda vez. Luego estará el 10♥, luego cartas. Por último, al completar la baraja quedará el bloque de al tope. Como se muestra en la Figura 9, los bloques quedan invertidos pero se aprecia que la suma de cartas que quedan por encima del 10♥ es . Por lo tanto, cuando repitamos el proceso por tercera vez, pasaremos esas cartas hacia el fondo la elección quedará al tope de la baraja, como lo deseamos.
Bosque mágico. Efecto: El mago va hechizando unas cabañas numeradas del 1 al 13 y los niños se esconden en dichas cabañas eligiendo un número que cada quien desee y luego siguiendo instrucciones aparentemente aleatorias. Al final el mago dejará sin hechizar una de las cabañas en la cual deberían estar todos los alumnos y así se salvan de haber sido hechizados. ¿Cómo se hace? Preparación: El mago dibuja trece casas o cabañas en un bosque (el número es fácilmente modificable) y las numera del 1 al 13. Las casas del 4 al 13 forman un círculo y las primeras tres casas se colocan fuera del círculo, colineales a la casa 4. Se forma una especie de cometa en el que los números 1, 2 y 3 forman la cola y los números del 4 al 13 forman el cuerpo circular de éste. La historia es que el mago es un malvado hechicero que va persiguiendo al pueblo (todos los espectadores, los niños) que habitaba el poblado fuera del pizarrón, cerca de la cabaña 1. El bosque tiene un encantamiento que hace una de las cabañas inmune a los hechizos. Ésta será la que quede sin hechizar, después de que las otras 12 han sido encantadas. A continuación se dan las indicaciones al tiempo que se da una sugerencia de “guión” para ejecutar.
Los niños huyen al bosque de las cabañas. Todos eligen un número y se ocultan en la casa con ese número. Nadie revela su número, es decir, la elección de cabaña es individual para el alumno. El hechicero encanta las casas 1, 2 y 3 (debe advertir que hará esto antes de que elijan para que los niños no estén ocultos en ninguna de estas cabañas al inicio del juego). El mago dice: "Ya me di una idea de dónde están algunos, para que se salven les doy oportunidad de que se muevan de nuevo: Muévanse la cantidad que dice su casa pero ahora en sentido contrario para que yo no pueda ni imaginar dónde andan".
Después de esta instrucción todos deben estar en la casa con el número 10. El hechicero encanta casas a pares, por ejemplo, la 6 y la 12 y da la indicación: "¿Quién ha sido hechizado? Creo saber dónde se ocultan. ¡¿Quieren huir?! muévanse 4 casas hacia donde quieran (las encantadas ya no cuentan)." Deberían quedar en la casita 5. Hay que ser cuidadoso con las casas que uno va derrumbando. "Ahora sí sé dónde están". Tras algo de suspenso, borra las casas 10 y 4 (por ejemplo). "¿Ya hechicé a alguien más? A ver, les daré otra oportunidad, muévanse de nuevo, para donde ustedes quieran, digamos... 3 casitas". En este punto, estarán en la 9. El proceso sigue de modo similar, dando las instrucciones con cuidado para hacer que todos sobrevivan.
¿Por qué funciona? Esta es una de las invarianzas más sencillas y aún así impresionantes pues está oculta y todo el grupo reacciona al mismo tiempo. La clave es que cuando el alumno recorre por segunda vez la misma cantidad de casas pero esta vez en sentido opuesto, lo que está haciendo es restar el mismo número que había sumado. La invarianza como tal, es que 0 sin importar qué valor haya tenido . El resto es hechizar casas cuidadosamente y procurando que sin importar por cuál lado se recorra el círculo se obtenga el mismo resultado. Agua y aceite. Efecto: El mago toma un paquetito de cartas y explica al espectador que hay dos tipos de movimientos que se va a hacer en este juego: 1. Cortar y completar el corte. 2. Dar vuelta a las dos cartas superiores y dejarlas ahí, en el tope del paquete. En este movimiento, las dos cartas se voltean a la vez, como si fuese una sola. Después de hacer estas operaciones unas cuantas veces, a modo de ejemplo, el mago le entrega el paquetito de cartas a un espectador, se pone de espaldas y le pide que continúe él mismo haciendo estos dos movimientos, tantas veces como quiera y en el oren que quiera. Cuando el espectador esté conforme, sienta que nadie puede saber (ni él mismo) cuántas caras hay cara arriba y cuántas cara abajo, el entrega las cartas al mago que se pone de cara al público con la baraja en la espalda, sin siquiera verla. A continuación anuncia que empleando sólo el tacto va a ser capaz de averiguar cuántas cartas hay cara arriba. Efectivamente, el mago dice un número, saca las cartas a la vista y cuenta las que estén cara arriba, acertando con el número mencionado. Pero más aún, el mago hace notar que el espectador separó, sin saberlo, cara arriba las cartas rojas y cara abajo las cartas negras. ¿Cómo funciona? Preparación: Primero se coloca la cantidad que se desee (se sugiere un número entre 15 y 30) de cartas al tope de la baraja, de manera que la mitad sean rojas, la mitad negras y que estos colores estén intercalados: rojo, negro, rojo, negro, etc. Se toman esas cartas,
digamos 16 (8 rojas y 8 negras) sin decir nada sobre este acomodo ni sobre la cantidad de cartas a los espectadores. Se comienza la mezcla que realizará el espectador como se explica en el efecto. Se le facilita el paquetito al espectador para que termine el proceso. Empleando la invarianza: Cuando el mago tiene las cartas en su espalda, fuera de la vista, separa las cartas que se encuentran en los lugares impares de las que se encuentran en los lugares pares, haciendo dos paquetes. Después, le da vuelta a uno de ellos y junta los dos. Dice el número de cartas que hay cara arriba 8, que será la mitad del total, 8 en nuestro ejemplo, y termina mostrando las cartas como se describe en el efecto. ¿Por qué funciona? Este juego se basa en que los movimientos descritos, si bien cambian el orden original de las cartas, no alteran cierta estructura que se explica a continuación. Recordemos que al principio del juego las cartas están alternada por colores. Es irrelevante si la primera es roja o negra, lo importante es que están alternadas. Al ser irrelevante cómo es la primera, el movimiento de cortar y completar, no altera esta estructura. Las cartas pueden estar en dos estados: cara arriba y cara abajo. Todas comienzan cara abajo. Desde este punto de vista, cuando una carta pasa de posición par a impar (o viceversa) también tiene que cambiar de estado. Por esta razón, según la posición que ocupen sea para o impar, las cartas estarán clasificadas en dos grupos diferentes: 1. Rojas que están cara abajo y negras que están cara arriba. 2. Negras que están cara abajo y rojas que están cara arriba. A lo largo de todo el proceso se mantiene esta clasificación de las cartas en dos grupos según su paridad. Cuando el mago, después de separara las cartas en dos montones, voltea uno de ellos, lo que hace es cambiar de estado TODAS las cartas de un grupo. Así, todas las cartas de un color estarán cara arriba y todas las del otro, cara abajo. Predicción súper misteriosa. Efecto: Se muestra una cartulina doblada con un signo de interrogación y se indica que dentro hay una predicción super misteriosa. Se pide a tres espectadores que colaboren. Uno piensa en un producto del supermercado, otro piensa en alguien famoso (alguien que todos puedan conocer) y el tercero elige una carta. El mago empieza a preguntar una por una las cosas que se han elegido y revela que tiene todas las predicciones correctas: 1. Da vuelta a la cartulina aun doblada y dice: “He predicho que ibas a elegir ése producto y aquí hay una foto… de su código de barras”. 2. Abre la cartulina (dependiendo de si el personaje famosos es de raza de color o caucásico) para revelar que tiene la foto del personaje… cuando era bebé. Puede bromear que estaba listo si le decían a “sutanito” que sea de la otra raza no elegida. 3. Parece que todo va a ser de broma pero al final el mago revela que efectivamente sí sabía cuál carta sería elegida. ¿Cómo se hace?
Preparación: El mago forzará la carta que tiene en la cartulina, entonces la coloca en la posición #10 del tope hacia el fondo de la baraja. Digamos que la carta a forzar es el 4♥. Forzaje a 10: Después de pedir que se elijan un producto y alguien famoso, el mago pide que alguien diga un número, simulando que duda dice: "digamos, entre 10 y 20", supongamos que el espectador eligió el número N. Entrega la baraja y pide que repartan N cartas sobre la mesa, de una en una haciendo un nuevo montón de N cartas. Esto invierte el orden tales cartas, quedando el 4♥ en la posición N-9 del nuevo montón. Luego dice el mago: "para darle un toque más arbitrario, que sea más complicado, reparte del nuevo montón tantas cartas como la suma de los dígitos del número que elegiste", esta suma da precisamente N-9 pues el número elegido está entre 10 y 20, es decir al dígito de las unidades sólo le sumamos 1 y para todos estos números el resultado es el mencionado N9. Las revelaciones se concluyen como se indica en el efecto. Propuesta de evaluación. Entrada 1.- Imagina que estás sentado en una mesa redonda con 8 sillas numeradas del 1 al 8. Si estás sentado en el número 1, ¿qué número puedes elegir para que, al contar esa cantidad de sillas hacia tu derecha llegues al mismo lugar, si lo contaras hacia tu izquierda? 2.- ¿A qué número llegaste en el ejercicio anterior? 3.- ¿Qué números escribirías entre los paréntesis para que el resultado sea correcto? 17
9
14
9
4.- ¿Cuáles son los números pares?
Salida 1.- Imagina que estás sentado en una mesa redonda con 14 sillas numeradas del 1 al 14. Si estás sentado en el número 3, ¿qué número puedes elegir para que, al contar esa cantidad de sillas hacia tu derecha llegues al mismo lugar, si lo contaras hacia tu izquierda? 2.- ¿A qué número llegaste en el ejercicio anterior? 3.- Digamos que un número de 2 cifras es bonito si cuando sumas sus dos cifras y ése resultado se lo restas al número original obtienes 18. Por ejemplo, el 27 es bonito porque 2+7=9 y 27-9=18. ¿Cuántos números bonitos existen? 4.- ¿Cuáles son los números impares? Bibliografía.
En los siguientes sitios web se encuentran los trucos utilizados con explicación y varios más: http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/gallardo/magia.pdf https://www.youtube.com/user/Magicurzay1
Sesión Torres de Hanoi y Estacas Destinatarios: Estudiantes de primaria alta hasta secundaria. Aprendizajes esperados: Esta es una actividad para estudiantes de primaria alta hasta secundaria y esto dependerá de la edad de los estudiantes: De los alumnos de primaria alta: se espera que aprendan a jugar con los rompecabezas de manera correcta respetando las reglas. De los alumnos de secundaria se espera que además encuentren la expresión algebraica que describe el número de movimientos necesarios para mover los discos de una torre a otra y las estacas de un color al lugar de las estacas de otro color. De los alumnos de último año de secundaria además se espera que grafiquen el comportamiento del número de movimientos de cada rompecabezas y sean capaces de encontrar el número de movimientos necesario para cualquier cantidad de discos y cualquier cantidad de estacas. Material: Una torre de Hanoi de fomi con 8 discos y un rompecabezas de estacas de fomi com 8 estacas. Una hoja cuadriculada y un lápiz. Conternido: El rompecabezas de la torre de Hanoi fue inventado en 1883 por el matemático francés Édouard Lucas. Este juego consiste en un número de discos perforados de radio creciente que se apilan insertándose en uno de los postes fijados a un tablero. El objetivo del juego es trasladar la pila a otro de los postes siguiendo ciertas reglas: 1. Sólo se puede mover un disco a la vez y para mover otro de los demás tienen que estar en postes. 2. Un disco de mayor tamaño no puede estar sobre uno más pequeño que él mismo. 3. Solo se puede desplazar el disco que se encuentre arriba en cada poste. El rompecabezas de estacas o ranas, consta de una base con una cantidad impar de agujeros. Se tienen estacas de dos colores diferentes, la misma cantidad de cada color. Se colocan las estacas en la base dejando un agujero libre entre las de un color y las del otro. El objetivo del juego es pasar las estacas de un color al lugar donde se encuentran las del otro color siguiendo las siguientes reglas: 1. Las estacas sólo pueden avanzar hacia adelante. 2. Las estacas de un color pueden saltar una estaca de otro color. Actividad 1. (Torre de Hanoi) Esta actividad es para todos los grados. Se reparten todos los rompecabezas y una vez que nos aseguremos que todos entienden cuáles son los movimientos válidos y cuáles no, hay que dejar que jueguen un rato y se familiaricen con él. Proponga al estudiante que no empiece con los 8 discos desde el principio, sugiera que deje tres discos y vaya familiarizándose con el rompecabezas.
Hay que recomendarles que pongan mucha atención a algún tipo de patrón que puedan encontrar y que les ayude a resolver el problema. Después de un intervalo de tiempo adecuado al tiempo con el que cuenten, hay que pedir la atención del grupo y que expongan las estrategias con las que están trabajando. Finalmente se debe discutir cuáles creen que funcionen mejor y porqué. La sugerencia de que empiecen con tres discos y una vez que hayan resuelto el problema para tres, lo hagan para cuatro y luego para cinco, hasta llegar a los ocho es para facilitar la solución del problema y para que se den cuenta que hacen los mismos movimientos pero cada vez son más, esto se conoce como recursividad. Para los estudiantes de primaria alta, aquí terminaría el taller, Lo importante es que hayan aprendido a usar el rompecabezas de forma adecuada siguiendo las reglas. Actividad 1 (estacas) Esta actividad es para todos los grados. Se reparten todos los rompecabezas y una vez que nos aseguremos que todos entienden cuáles son los movimientos válidos y cuáles no, hay que dejar que jueguen un rato y se familiaricen con él. Proponga al estudiante que no empiece con las 4 estacas de cada color, empiece con una estaca de cada color y usando sólo 3 hoyos de la base. Pídales que trabajen en equipo si lo creen necesario o que compartan sus métodos para pasar una estaca de un color al lugar de la estaca del otro color. Repita frecuentemente las reglas para que no cometan errores en sus movimientos. Vayan aumentando poco a poco las estacas de cada color hasta cambiar las cuatro estacas de un color al lugar de las estacas del otro color. La observación que se hizo con respecto a las torres de hanoi aplica aquí también. Para los estudiantes de primaria alta, aquí terminaría el taller. Lo importante es que haya aprendido a usar el rompecabezas de forma adecuada siguiente las reglas. Actividad 2 (Torres de Hanoi) Una vez que los participantes entienden completamente el objetivo y reglas del juego, el siguiente paso es intentar encontrar la solución óptima a nuestro problema; es decir, encontrar el mínimo número de movimientos con los que es posible pasar una cantidad desconocida de disco de un poste a otro. El plan de esta parte del taller, es encontrar la solución óptima para los casos donde el número de discos es 1, 2, 3,…, 8. Ahora, pida al estudiante que haga una tabla de registro de dos columnas, donde en la columna izquierda registre el número de discos y en la columna derecha el mínimo número de movimientos. Empiece con un disco, ¿cuántos movimientos serán necesarios para mover este disco? la respuesta es 1 y no hay problema para proponerla. En seguida se les pregunta, ¿cuántos movimientos son necesarios para mover la torre de dos discos? Si las respuestas son variadas, de nuevo se le pide a un estudiante que pase al frente a resolverlo.
Una vez que el estudiante entiende que ahora queremos encontrar la menor cantidad de movimientos necesarios para mover la torre con diferentes cantidades de discos se le pide que llene la tabla de registros de movimientos. Está permitido que los participantes comparen sus resultados y discutan estrategias. Inclusive pueden unirse en parejas o grupos más grandes si así lo creen conveniente. Ya que ha pasado un tiempo considerable donde han registrado al menos la cantidad de movimientos para 5 discos, haga una tabla en el pizarrón donde registre la cantidad de movimientos necesarios para pasar 1,2,3,4,5 discos. Los estudiantes tendrán la siguiente tabla:
Número de discos
Número mínimo de movimientos
1
1
2
3
3
7
4
15
5
31
Si hay cantidades distintas, puede pedirle a algún estudiante que pase al frente para verificar en qué momento podría ahorrarse algún movimiento o cual es el movimiento que le hizo falta. Si hasta ahora, no tiene ninguna propuesta de cómo se comporta de manera general el número de movimientos, puede pedirle que piense en la sucesión 2, 4, 8, 16, 32 y pedirle que sugiera el siguiente término a esta sucesión. La cantidad de movimientos se parece a la sucesión propuesta restándole una unidad, entonces ya sin hacer el paso de mover una torre de 6 discos, el estudiante podría predecir cuál sería el número de movimientos de ésta torre sólo con conocer el siguiente término de la sucesión propuesta. Los estudiantes de secundaria están en posibilidad de encontrar el término general a la sucesión 2, 4, 8, 16, 32, . .. dándose cuenta de que el término consecutivo a uno siempre es el doble, ayúdelo a deducir que el término general es 2 , entonces, para la cantidad de 1 tomando a como la cantidad de discos en la movimientos tendremos la expresión 2 torre. En esta parte, se termina el taller para los alumnos de primero y segundo de secundaria. Si todavía tuviera tiempo y observa a los estudiantes interesados, podría proponer la siguiente actividad. Actividad 2 (Estacas) En este momento, los estudiantes ya saben usar de manera adecuada el rompecabezas. Se les pide hacer un registro sobre la cantidad de movimientos que requiere para pasar las estacas de un color al lugar de las estacas del otro color. Empieza primero con una estaca de cada color, la cantidad mínima de movimientos necesario para cambiar de lugar es 3 movimientos. Va aumentando las estacas de cada color hasta que registra cuántos
movimientos necesita para mover las 4 estacas del lugar de un color a otro. Puede en este momento hacer una tabla en el pizarrón donde resuma los resultados del grupo:
Número de estacas de cada color
Número de movimientos
1
3
2
8
3
15
4
24
Si alguien tiene alguna propuesta distinta, páselo al frente y chequen entre todos cuál es el fallo. Intente llevar al estudiante a encontrar la manera general de describir el mínimo número de movimientos como una expresión que dependa el número de estacas. Piensen en la sucesión 4,9,16,25,… y pídale al estudiante que proponga el siguiente término de la sucesión, notará que es la sucesión de los números cuadrados. Esta sucesión de números se parece a la columna de números de movimientos quitándole una unidad a la sucesión, pero para que corresponda con el número de estacas de cada color, la expresión general de 1. movimientos de estacas será 1 En este momento termina el taller para los chicos de 1° y 2° de secundaria. Si tiene más tiempo y ve a los estudiantes entusiasmados, puede seguir con la actividad 3. Actividad 3 (Torre de Hanoi) Para estudiantes de 3° secundaria: Una vez que ya sabemos cómo funciona el rompecabezas y sabemos cómo se comporta la solución de los primeros 8 casos, ahora sí hay que intentar contestar la pregunta ¿cuántos movimientos serán necesarios para mover una torre de 20 discos? Se les reparte la hoja cuadriculada para que grafiquen lo que registraron en su tabla de movimientos de la parte anterior donde el eje horizontal será el número de discos y el eje vertical el mínimo número de movimientos. El resultado es un claro ejemplo de crecimiento exponencial; es decir que los valores del eje vertical crecen muy rápido con respecto a los valores del eje horizontal. En este momento se les puede explicar brevemente lo que son potencias y explicar cómo es que la solución exacta del problema es
2
1.
Aquí se discuten las soluciones y se les dice que para 20 discos, hay 20 2 1 1048576 movimientos. El estudiante notará que rápidamente la cantidad de movimientos crece muy rápido que es una característica del crecimiento exponencial. Actividad 3 (Estacas) Ya que sabe cual es la expresión general del número de movimientos requeridos para pasar 1,2,3 o 4 estacas de un color de un lugar a otro, le pediremos que encuentre la cantidad de movimientos requerido para mover 20 estacas. El estudiante tendrá que evaluar la
expresión 1 1 para 20, entonces 20 440 son los movimientos requeridos para pasar 20 estacas de un color al lugar de las otras 20. Si es posible realizar el taller de torres de Hanoi y estacas en la misma sesión, se puede comparar como va creciendo la cantidad de movimientos. La expresión que describe el número de movimientos para el rompecabezas de las estacas es una función cuadrática y para las torres de Hanoi es una exponencial. Como ejercicio final, pídale a sus estudiantes que llenen la tabla de movimientos para las torres y las estacas de 10 discos y de 10 estacas, ahí identificará en qué momento el crecimiento exponencial se separa fuertemente del crecimiento cuadrático.
Propuesta de evaluación: Una pequeña evaluación de entrada y otra de salida. Actividad 1. Para los estudiantes de primaria alta. Evaluación de entrada: No hay Evaluación de salida: Explica cómo pasas una torre de Hanoi de tres discos a otro poste. Explica cómo pasas 2 estacas de un color al lugar de las estacas del otro color. Actividad 2. Para los estudiantes de 1° y 2° de secundaria. Evaluación de entrada: Escribe el número que sigue en las sucesiones: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, . . .. 1, 4, 9, 16, 25, 36, . .. 1, 3, 9, 27, 81, 243, . .. Evaluación de salida: Encuentra el valor de la función en los puntos que se indican: en 7. 2 1 en 3 2 4 Actividad 3. Para los estudiantes de 3° de secundaria. Evaluación de entrada Encuentra el valor de la función en los puntos que se indican: en 7. 2 1 en 3 2 4 Evaluación de salida Indique cuál es la gráfica que crece más rápido en cada inciso:
a)
b) c)
Bibliografía:
[1] Berverly Braxton, Philip Gonsalves, Linda Lipner & Jacqueline Barber, (1995): Math around the world: teachers guide. Lawrence Hall of Science, University of California Berkeley.
Documento realizado por Matemorfosis el grupo de divulgación del CIMAT Agosto de 2018
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