Clase2 - asignacion de recursos I

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Clase #2

INTRODUCCION A LA PROGRAMACIÓN LINEAL

2-1

CONTENIDO • • • • • •

1. Introducción 2. El Problema de Asignación de Recursos 3. Ejemplo Prototipo: La Wyndor Glass Co. 3.1 Definición del Problema 3.2 Formulación del Modelo 3.3 Solución Gráfica

2-2

1. INTRODUCCIÓN ¿Porque se llama Programación lineal?

Planeación Optimización

Funciones lineales 2-3

2. EL PROBLEMA DE ASIGNACIÓN DE RECURSOS Asignar recursos limitados entre actividades competitivas de la mejor manera posible (óptima) La programación lineal es una buena herramienta que nos ayuda a solucionar este problema 2-4

3. EJEMPLO PROTOTIPO: La Wyndor Glass Corporation La Wyndor Glass Co. es una empresa dedicada a la elaboración de artículos de vidrio de alta calidad (puertas y ventanas) los cuales se hacen en 3 plantas diferentes. Planta 1 Planta 2 Planta 3

Molduras y marcos de aluminio Molduras y marcos en madera Se hace y se ensambla el vidrio. 2-5

Se tiene un programa de cambio de la producción y se propone incursionar con 2 nuevos productos. Producto 1

Producto 2

Puerta de vidrio con marco en aluminio Ventana de vidrio con marco en madera

Según el dpto de comercialización toda la producción de éstos puede colocarse en el mercado 2-6

3.1 DEFINICIÓN DEL PROBLEMA Y RECOLECCION DE INFORMACIÓN Se debe determinar la tasa de producción de los 2 productos para maximizar las utilidades sujeto a las limitaciones que tiene la empresa. NOTA: Se fabrican lotes de 20 productos por semana. La tasa de producción será el número de lotes producidos a la semana.

Debemos formularnos algunas preguntas 2-7

• ¿Cual es la ganancia por lote de cada tipo de producto? • ¿De cuántas horas por semana dispone cada planta para la elaboración de un lote de cada tipo de producto? • ¿Cual es el requerimiento en horas para producir 1 lote de cada tipo de producto en cada una de las plantas?

Todos esta información debe ser recolectada, así: 2-8

Planta

Tiempo de producción por lote (horas) P1 (puertas) P2 (ventanas)

1 2 3 Ganancia por lote

1 0 3 US$3000

0 2 2

Tiempo de producción disponible a la semana (horas)

4 12 18

US$5000 2-9

3.2 FORMULACIÓN DEL MODELO DE P.L

•3.2.1 Definición de Variables. X1 : Número de lotes del producto 1 fabricados por semana. X2 : Número de lotes del producto 2 fabricados por semana. 2-10

•3.2.2 Coeficientes de Costo (o de Utilidad) •3.2.3 Medida de la eficiencia: Función Objetivo: F. O. Maximizar la ganancia semanal total (en miles de dólares) por la producción de los 2 productos

Z = 3x1 + 5x2 [US$/ art ] * [ art/sem] =[US$/ semana] Sujeto a: Restricciones de capacidad de producción 2-11

•3.2.4 Término del lado derecho •3.2.5 Coeficientes tecnológicos •3.2.6 Restricciones funcionales. [horas/ art ] * [ art/sem] = [ horas/sem] R1: Horas disponibles en la planta 1 X1 ≤ 4 R2 : Horas disponibles en la planta 2 2X2 ≤ 12 R3 : Horas disponibles en la planta 3 3X1 + 2X2 ≤ 18 3.2.7 Restricción de signo de las variables: Tasas de producción no negativas: X1 , X2 ≥ 0 2-12

•3.2 El MODELO DE P. L. En síntesis, el problema formulado como un modelo de P. L. sería: Maximizar Z = 3X1 + 5X2 Sujeto a

≤4 2X2 ≤ 12 3X1 + 2X2 ≤ 18

X1

X1 , X2 ≥ 0 2-13

3.3 SOLUCIÓN GRÁFICA El problema tiene sólo 2 variables de decisión y por lo tanto está en sólo 2 dimensiones.

Podemos utilizar un método gráfico para resolverlo

Nota: Las soluciones de un problema de P.L son puntos2-14

Grafiquemos las restricciones x2 X = 4 (planta 1)

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

0

1

X2 = 6 (planta2)

3X1+ 2X2 = 18 (planta 3) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x1

2-15

Definición: REGION FACTIBLE: Conjunto de puntos en los cuales todas las restricciones se cumplen

2-16

Solución óptima Seleccionar dentro de la región factible el punto que maximiza el valor de la F. O. Z = 3X1 + 5X2

Podemos utilizar el procedimiento por prueba y error. Por ej podemos elegir el valor Z = 15 = 3X1 +5X2 RECTA DE ISOUTILIDAD 2-17

Veamos ésto gráficamente

x2

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

0

X1 = 4 (planta 1)

X2 = 6 (planta2) Z = 15 = 3X1 +5X2 3X1+ 2X2 = 18 (planta 3) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x1

2-18

La solución óptima Se desplaza la recta de la F. O. paralelamente hasta que toque el último punto antes de abandonar la región factible.

Veamos la siguiente gráfica.

2-19

(2,6)

x2

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

0

R2

Z = 36 R3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x1

R1 2-20

Ecuación de la forma pendiente-ordenada: Al despejar X2 de la ecuación Z = 3X1 + 5X2 Se tiene X2 = - 3/5 X1 + 1/5 Z Así, X2 adquiere la forma de y = mX + b 2-21

La solución óptima es: X1 = 2 X2 = 6 Valor de la F. O. La ecuación de la recta es: Z = 3X1 + 5X2 Evaluada en el punto (2,6) da: 3(2) + 6(5) = 36 2-22

(2,6)

x2

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

0

R2

Z = 36 R3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x1

R1 2-23

Conclusiones: • La solución óptima es X1 = 2 , X2 = 6 con Z = 36. •Se deben fabricar los productos 1 y 2 a unas tasas de 2 y 6 lotes semanales respectivamente. •La ganancia total máxima en estas condiciones es de US$ 36000 por semana 2-24

El método es aplicable en otros problemas de este tipo ( 2 variables de decisión). OJO: Cuando el problema es de minimización, la recta se debe desplazar en la dirección en que Z decrece

2-25