4_ENMG Energia almacenada en el campo magnetico

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Energía almacenada en el campo magnético.

Clave:

ENMG

Lectura previa: CIRM. MATM.

Carlos Andrés Ávila Muñostes. Escuela de Ingeniería Eléctrica PUCV.

Conte nidos . 1. Energía de entrada a un sistema magnético. 2. Energía almacenada en el campo magnético. 3. Coenergía y energía total almacenada.

1. Energía de entrada a un sistema magnético [1,2,3]. Consideremos un núcleo ferromagnético con bobina de excitación:

Figura 1: Núcleo ferromagnético. Suposiciones previas: -

Densidad de flujo B uniforme y perpendicular a la sección transversal del núcleo. Resistencia de la bobina representada como parámetro concentrado R. Flujo confinado a sección transversal del núcleo (sin dispersión magnética).

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1

Si la resistencia de la fuente Rg = 0, el voltaje aplicado en terminales, considerando la tensión inducida en la bobina, es: dλ dφ = Riφ + N dt dt

v = Riφ +

(1)

Donde λ representa los enlaces de flujo de la bobina de N vueltas, y φ es el flujo magnético. La potencia eléctrica de entrada al sistema es: p = viφ = Riφ2 + iφ

dλ dt

(2)

En un tiempo infinitesimal dt, ingresa un diferencial de energía dW dado por:

dW = pdt = Riφ2 dt + iφ dλ

(3)

El primer término es la energía disipada como calor en la resistencia de la bobina, mientras que el segundo término es el diferencial de energía almacenada en el campo magnético: dWφ = iφ dλ = Niφ dφ = Fdφ

(4)

Donde F = Niφ es la fuerza magnetomotriz (fmm). Sean también: l : longitud del circuito magnético. A : sección transversal del núcleo. φ : densidad de flujo uniforme φ = BA. Podemos calcular la intensidad de campo H usando la ley de Ampère: H=

Niφ

(5)

l

Entonces expresamos la energía almacenada en el campo magnético como: dWφ = Niφ dφ = HlAdB

(6)

Pero lA = V (volumen del núcleo). En consecuencia: dWφ = VHdB

(7)

2. Energía almacenada en el campo magnético [1,2,3]. Con estos resultados, ya podemos expresar el cambio de energía almacenada, cuando la densidad de flujo varía desde B1 a B2 . En base a las ecuaciones (4) y (7). B2

λ2

φ2

φ2

B1

λ1

φ1

φ1

∆Wφ = V ∫ HdB = ∫ iφ dλ = ∫ Niφ dφ = ∫ Fdφ

(8)

Si µr es constante entre B1 y B2 entonces:

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2

∆Wφ =

V µ r µ0

B2

∫ BdB =

B1

(

V B2 − B12 ⋅ 2 µr µ0 2

)

(9)

Para saber cuál es la energía almacenada en un instante, cuando el campo magnético tiene un valor B0 , basta con hacer B2 = B0 y B1 = 0 en las expresiones anteriores, con lo que : B0

λ0

φ0

φ0

0

0

0

0

Wφ = V ∫ HdB = ∫ iφ dλ = ∫ Niφ dφ = ∫ Fdφ

(10)

Si el material está en la zona lineal caracterizada por una permeabilidad constante, entonces: Wφ =

V B2 H2 BH ⋅ 0 = V ⋅ µr µ0 0 = V ⋅ 0 0 µ r µ0 2 2 2

(11)

En estas expresiones podemos definir la densidad de energía almacenada en el campo magnético, dada por:

wφ =

Wφ B0  J  = ∫ HdB  3  V m  0

(12)

La figura 2a muestra el incremento en la densidad de energía almacenada en el campo magnético al aumentar B desde B1 a B2 , dada por: B2

∆wφ = ∫ HdB

(13)

B1

Si B decrementa de B2 a B1 , entonces hay una disminución en la densidad de energía por unidad de volumen (figura 2b). B1

∆wφ = ∫ HdB

(14)

B2

Figura 2: Núcleo ferromagnético.

En ambas situaciones, el cambio en densidad de energía puede visualizarse como el área entre la curva B-H y el eje B. Por último, en la figura 3 se muestra la densidad de energía almacenada en el aire o un medio no ferromagnético, para un valor B = B’0 . Nótese que la curva B-H es una línea recta con pendiente µ0 .

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3

Figura 3: Densidad de energía en el aire.

3. Coenergía y energía total almacenada[3]. Se define la coenergía magnética como: F1

Wφ′ = ∫φ dF

(15)

0

En la figura siguiente se ilustra la definición. Es claro también que: Wφ +Wφ′ = F1φ1

(16)

Figura 4: Coenergía y energía. La coenergía puede expresarse también de otras maneras, dependiendo de la curva de comportamiento magnético que se tiene en una situación particular. Las energías y coenergías totales almacenada puede considerarse como la suma de las energías almacenadas en cada parte de la estructura del núcleo.

N

Bi

i =1

0

Energía total almacenada = ∑ Vi ∫ Hi dB

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(17)

4

N

Hi

i =1

0

Coenergía total = ∑Vi ∫ BidH

(18)

En estas expresiones, N es la cantidad de secciones del núcleo. Para el caso de una relación B-H lineal, la energía almacenada y la coenergía son iguales. 1 1 1 Wφ = Wφ′ = F φ = Rφ 2 = PF 2 2 2 2

(19)

Para las densidades de energía y coenergía:

wφ = wφ′ =

1 1 B2 1 HB = = µH 2 2 2 µ 2

(20)

Donde µ es la permeabilidad del material magnético.

Re sume n. -

En un sistema magnético, es posible almacenar energía en el campo magnético. La energía magnética almacenada puede calcularse si se conoce la relación B-H del material. La suma de la energía y la coenergía es igual al producto Fφ.

Ac tiv ida de s. 1. Construya una tabla que contenga todas las variaciones posibles de las fórmulas para calcular la energía y coenergía en un núcleo magnético, en función de todos los parámetros y variables eléctricas y/o magnéticas posibles (flujo, intensidad de campo, densidad de flujo, corriente, permeabilidad, reluctancia, enlaces de flujo, fmm, inductancia etc). En la tabla también deben aparecer las fórmulas usadas para materiales lineales. 2. Busque en referencias bibliográficas o Internet una comparación entre las densidades típicas de energía posibles con un campo magnético (en un medio ferromagnético), y las de un campo eléctrico. 3. Si se tiene un núcleo con un entrehierro. ¿En qué parte del sistema se encuentra la mayor cantidad de energía almacenada?

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P re guntas de re paso. 1. Se tienen dos toroides de idénticas dimensiones, con dos bobinas también idénticas, pero uno está fabricado con material ferromagnético y otro no. Si se hace circular un mismo valor de corriente continua por ambas bobinas, y si esta corriente no es tan alta para saturar el núcleo ferromagnético, ¿En cuál de ellos se almacenará más energía? 2. Si se tuviera una expresión matemática que permitiera calcular λ en función de i, es decir, si se conoce λ(i), ¿Cuál sería la manera más sencilla de calcular la energía almacenada para cualquier valor de corriente? (Esta relación se conoce a veces como ecuación de Frohlich)

P roble mas propue stos . 1. Problema 1.6 de [1]. 2. Problema 1-14 de [2].

B ibliog rafía. [1] G.R. Slemon, A. Straughen; Electric Machines; Addison-Wesley Publishing Company, Inc; 1982. [2] Leander W. Matsch; Máquinas Electromecánicas y Electromagnéticas; Representaciones y Servicios de Ingeniería S.A. Mexico; 1974. [3] Vembu Gourishankar; Conversión de energía electromecánica; Ediciones Alfaomega, S.A. de C.V; 1990.

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