46. Polinômios - Relações de Girard

SAVE OFFLINE

Matemática Polinômios: Relações de Girard Resumo Relações de Girard (relações entre coeficientes e raízes) Algumas relações entre coeficientes de uma equação polinomial e suas raízes, constituem uma ferramenta importante no estudo das raízes de um polinômio quando conhecemos algumas relações sobre elas. Vamos construir essas relações para as equações de 2°, 3° e 4° graus e, a partir daí, generalizar para uma equação de grau n.

Equação de 2° grau A equação

possui como raízes os termos r1 e r2, nesse caso:

Equação de 3° grau A equação

possui como raízes os termos r1, r2 e r3, nesse caso:

1

Matemática Equação de 4° grau A equação

possui como raízes os termos r1, r2, r3 e r4, nesse caso:

𝑟1 . 𝑟2 + 𝑟1 . 𝑟3 + 𝑟1 . 𝑟4 + 𝑟2 . 𝑟3 + 𝑟2 . 𝑟4 + 𝑟3 . 𝑟4 = +

𝑎2 𝑎0

2

Matemática Exercícios 1.

A equação algébrica x³-7x²+kx+216=0, em que k é um número real, possui três raízes reais. Sabendo-se que o quadrado de uma das raízes dessa equação é igual ao produto das outras duas, então o valor de k é igual a:

2.

a)

-64

b)

-42

c)

-36

d)

18

e)

24

A solução do sistema:

Pode ser representada pelas raízes do polinômio: a) b) c) d) e)

3.

Considere o polinômio p(x)=x³+mx²+nx+q, onde

. Se uma de suas raízes é igual ao produto das

outras duas, então essa raiz é igual a: a) b) c) d) e) 3

Matemática 4.

5.

Podemos dizer que o polinômio p(x)=x³-2x²-5x+6. a)

tem três raízes reais

b)

tem duas raízes reais e uma imaginária

c)

tem uma raiz real e duas imaginárias

d)

não tem raiz real

e)

tem duas raízes reais e duas imaginárias

Se o coeficiente do termo de maior grau de um polinômio de 4° grau é 1 e suas raízes são e

então o polinômio em questão é:

a) b) c) d)

6.

Considere o polinômio P(x) tal que

. A soma de todas as raízes da equação P(3x)=7 é

igual a:

7.

a)

-1/9

b)

-1/3

c)

0

d)

5/9

e)

5/3

Seja

um polinômio do 3° grau e 2x-1 um de seus fatores. A média aritmética

das raízes de P(x) é: a)

7/2

b)

8/2

c)

9/2

d)

10/2

e)

11/6

4

Matemática 8.

Considere os polinômios em x pertencente aos reais da forma p(x)=0 constituem uma progressão aritmética de razão ½ quando

. As raízes de é igual a:

a) b) c) d)

e)

9.

Se

são as raízes da equação

uma das raízes dessa equação, então a)

15

b)

9

c)

-15

d)

-12

e)

-9

onde p e q são coeficientes reais e

é

é igual a:

10. O polinômio x³ + ax² + bx + c tem raízes reais  , - e

1



. Portanto, o valor da soma b + c ² + ac +

b c²

é a)

-2

b)

-1

c)

0

d)

1

e)

2

5

Matemática Gabarito 1. B

2. C

3. E

6

Matemática 4. A

5. A

6. A

7. E

7

Matemática 8. C

9. C

8

Matemática 10. A

9