12-Ejercicios Binomio de Newton

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TRABAJO PRÁCTICO DE BINOMIO DE NEWTON

1

1) Desarrollar (2 𝑡 2 − √𝑡)4 4

1

1

Rta: (2 𝑡 2 − √𝑡) = 16 𝑡 8 − =

𝑡6 1 𝑡2 2

3

3

+ 2 𝑡 5 − 2𝑡 2 𝑡 2 + 𝑡 2

1 8 1 6 3 𝑡 − 𝑡 √𝑡 + 𝑡 5 − 2𝑡 3 √𝑡 + 𝑡 2 = 16 2 2

=

1 8 1 6 3 𝑡 − 𝑡 √𝑡 + 𝑡 5 − 2𝑡 3 √𝑡 + 𝑡 2 16 2 2

2) Calcular 𝑇4 𝑒𝑛 (𝑎 − 2𝑏)9 Rta: 𝑇4 = −672𝑎6 𝑏3 𝑦 2

3) Calcular 𝑇5 𝑒𝑛 (𝑥 + )7 35

Rta: 𝑇5 = 16 𝑥 3 𝑦 4 𝑦3

4) Hallar el coeficiente de 𝑦 94 en el desarrollo de (10 − 𝑥𝑦 5 )20 Desarrollo completo: - Escribimos el termino general para el binomio 20−(ℎ−1)

𝑦3 10

20 𝑇ℎ = (ℎ−1 )( )

-

Distribuimos las potencias 20 𝑇ℎ = (ℎ−1 )

-

. (−𝑥𝑦 5 )ℎ−1

21−ℎ

(𝑦 3 )

1021−ℎ

. (−𝑥)ℎ−1 (𝑦 5 )ℎ−1

Aplicamos propiedad de potencias (potencia de otra potencia) y reacomodamos 1

20 𝑇ℎ = (ℎ−1 ) 1021−ℎ . (𝑦)3(21−ℎ) (𝑦)5(ℎ−1) (−𝑥)ℎ−1

-

Resolvemos la multiplicación en los exponentes 20 𝑇ℎ = (ℎ−1 )

-

1 . (𝑦)63−3ℎ (𝑦)5ℎ−5 (−𝑥)ℎ−1 1021−ℎ

Aplicamos propiedad (producto de potencias de igual base)

20 𝑇ℎ = (ℎ−1 )

-

1 . (𝑦)63−3ℎ+5ℎ−5 (−𝑥)ℎ−1 1021−ℎ

Resolvemos (∗) 𝑇ℎ = (

-

-

-

-

-

20 1 ) 21−ℎ . (𝑦)58+2ℎ (−𝑥)ℎ−1 ℎ − 1 10

Trabajamos con el exponente de y, igualándolo a 94 para conocer el valor de h 58 + 2ℎ = 94 2ℎ = 94 − 58 36 ℎ= 2 ℎ = 18 Reemplazamos h por 18 en la ecuación (*) 20 1 𝑇18 = ( ) 21−18 . (𝑦)58+2.18 (−𝑥)17 17 10 Resolvemos 20! 1 𝑇18 = . 3 . (𝑦)94 (−𝑥)17 17! 3! 10 (−1) 𝑇18 = 1140. . (𝑦)94 𝑥 17 103 El coeficiente solicitado es: (−1) −1140 1140. = 103 100 Simplificamos y el resultado final es Coeficiente de 𝑦 94 es:

−57 50

2𝑥 2 𝑦

5) Hallar el coeficiente de 𝑥 31 en el desarrollo de (

−

𝑦 2 20 ) 𝑥

Ejercicio de entrega Obligatoria

6) Hallar el término 505 en el desarrollo de (𝑎3 𝑏 + 𝑐 2 )506 Rta: 𝑇505 = 127765𝑎6 𝑏2 𝑐1008 7) Resolver (𝑎 − 𝑏)5 Rta: (𝑎 − 𝑏)6 = 𝑎5 − 5𝑎4 𝑏 + 10𝑎3 𝑏 2 − 10𝑎2 𝑏3 + 5𝑎𝑏 4 − 𝑏 5

8) Determinar el término en el que aparece 𝑥 3 en el desarrollo de (𝑥 − 3)4 Rta: Aparece en el segundo término

3

9) Calcular el séptimo término de (

√𝑥 2

− √2𝑥)9

Rta: 𝑇7 = 84𝑥 4 10) Calcular el valor de 𝑎 para que el coeficiente de 𝑥 6 en el desarrollo de (𝑥 + 𝑎)9 sea igual a 672 Rta: a=2