Teoría preliminar de funciones_c06e069335b3a2714819067a3d80d567

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Colegio de los Sagrados Corazones del Arzobispado de Santiago Eje Algebra Unidad: Funciones en los Reales Profesor Responsable Sergio Contador Peña [email protected]

Guía Teórica de Funciones

Función Función ( f ) es una relación o regla de correspondencia que asocia cada uno de los valores del conjunto de partida, con un único valor del conjunto de llegada. Las consecuencias de esta definición son: a) Que el conjunto de partida sea igual al dominio de la función, es decir, el dominio son todos los elementos del primer conjunto y que forman A. b) Que el conjunto de llegada sea igual al recorrido de la función, es decir, el recorrido son todos los elementos que son parte de B. c) Que cada elemento del dominio (Conjunto A) se debe relacionar con un único elemento del recorrido (Conjunto B)

Una relación es función si cumple i.

Dom f  A

El dominio (Dom R) son los elementos que forman A ii. x  A, ! y  B / x R y se pasa a llamar función Símbolo

Significado

 x

Para todo

 ! /

Pertenece

Elemento del conjunto Existe un único Tal que

De acuerdo al glosario leemos la definición

Para todo elemento x en A, existe un único elemento y en B, tal que la relación (R) de x con y es una función

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Funciones en el Conjunto de Números Reales Las funciones reales son relaciones definidas en f:

x

, es decir



En el campo numérico de los números reales, una función real se designa usando Regla de Correspondencia que es la relación que existe entre los elementos del dominio x y el rango de la función y f : A  B, si  x, y   f entonces y  f  x

x Representa la variable independiente, llamada pre imagen. y Es la variable dependiente, llamada imagen.

 x, y  Par ordenado definido por la función, y representa un conjunto infinito de pares ordenados que serán ubicados como puntos del plano cartesiano, formando la curva (dibujo) de la función Luego un punto  x , y    x , f ( x)  Im ágen

  x ,  Pr e imagen 

f  x  y Pre imagen

Definición Simbólica de Función en los Reales [

]

Así llegamos a la definición de función Sea f :



una función de

en

, si y solo si

 x  A, ! y  B / y  f ( x)

Con A 

y

B

Observación Este concepto, de función, también se puede definir mediante f:



/

 x, y1 

f 

 x, y 2 

f

 y1  y2

2

 y   Im agen 

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Formas de representar una Función Existen dos formas para escribir el diagrama de una relación, esta son: i. FORMA SAGITAL: Representa a una relación, mediante un diagrama de Venn. En dos conjuntos respectivamente, se unen mediante una flecha los primeros y los segundos componentes que forman la función.

f

Q

P

2

1

4

2

6

3

Por ejemplo, sea: Q  2, 4, 6 P  1, 2,3

Se define f : Q  P En que a cada elemento pre imagen que pertenece a Q, le corresponde una imagen en P Así aplicando regla de correspondencia f ( x )  y se tiene que f  2  3 f  4  1 f  6  2

Luego f :  2,3 ;  4,1 ;  6, 2 

Observación Dom f : Q Re c f : P

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ii. FORMA CARTESIANA Utiliza un sistema coordenado en el cual se ubica en el eje horizontal el conjunto de los primeros componentes, y en el eje vertical los elementos que contienen al conjunto de los segundos componentes. Del ejemplo anterior Ejemplo

y

f  0   1



0, 1

f  2   1



 2, 1

f  3   1



 3, 1

x

Ejemplo

 g  x  y  x 1 x

y=x+1

(x,y)

1

y=1+1

2

(1,2)

3

Y=1+3

4

(3,4)

4

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 x, y   h :

Ejemplo

h(x) = x2

x



/ y  x2

y

(x,y)

2

y = 22

4

(2,4)

1

y = 12

1

(1,1)

0

y=0

0

(0,0)

-1

y = (-1)2

1

(-1 , 1)

-2

y = (-2)2

4

(-2 , 4)

x

DOMINIO RECORRIDO de una Función

En toda función los primeros componentes de los pares ordenados que lo constituyen forman el dominio de las relaciones que se denota como Dom R .

Por otra parte el recorrido está formado por los segundos componentes de los pares ordenados que forman la relación. Y se denota como Re c R Luego

Dom R   x /  x, y   R ,

en que x es la preimagen de y

Re c R  y/  x, y   R ,

en que y es la imagen de x

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Dominio de la función El dominio de una función real, se define como el conjunto de todos los elementos

x

(variable independiente) que permiten calcular un

y

Observación En toda función real debe quedar explicito el conjunto de partida [A] y el conjunto de llegada [B]. Ambos conjuntos son subconjuntos de los números reales, en caso contrario, se supone que la función va de los reales a los reales    Nota Importante En este conjunto se deben excluir todos los elementos que indeterminan la función cuando existan Ejemplos:



f:

f  x   3x  1 Luego el Dom f :

f:

 2 

f  x 

2x 1 x2

Determinamos la restricción igualando a 0

x2 0 x  2 Luego Dom f :

 2

El 2 indefine la función

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Recorrido de la función Como recorrido de una función real, se define al conjunto de todas los elementos de y, que son imagen de x (variable dependiente). En el caso de las funciones reales, para determinar el recorrido se debe cambiar la dependencia y analizar la nueva expresión. Ejemplo: 1. Para el dominio 2x 1 f  x  4  3x

Luego Dom f  x  

4   3

Para el recorrido y

2x 1 4  3x

x

4 y 1 2  3y

/ Despejamos

x

Determinamos la restricción igualando a 0 2  3y  0 3y  2 2 y 3

Luego Re c f  x  

 2    3

Luego la función se define f :

4   3



 2    3

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