Prof. Carlos - Turmas - 9G, 9H e 9I.

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◆◆◆ ★ Componente Curricular:

Roteiro de Estudos ◆◆◆

Matemática

★ Professor(a) responsável: Carlos Renato

Ano:

9º

Turmas: Período:

G, H e I 23/03 a 16/05 22/05

▼ Habilidades/Assuntos a serem abordados: • Produtos Notáveis; • Fatoração; • Equações do 2º grau. ▼ Estratégia de aprendizagem(Descrição)*:

* Links disponíveis, quando for o caso

- Nesse roteiro de estudos vamos rever ideias relacionadas aos “Produtos notáveis” e a “Fatoração” assistindo 4 videoaulas da Profª Angela(Veja os links abaixo em “Apoio ao estudo”). Essas videoaulas são a base para as primeiras questões da atividade a seguir, cujas respostas devem ser realizadas, sem enunciados¹ no caderno. Em seguida, apresento-lhes uma questão motivadora, denominada “O desafio das retas”. Acesse-a no link abaixo e tente respondê-la também no próprio caderno. O estudante deve perceber que para resolver essa questão caímos num tipo de equação, até então, não estudado. São as equações do 2º grau. - Para responder “O desafio das retas” vamos assistir a uma 1ª videoaula do Prof. Gustavo(link abaixo) sobre “Equação do 2º grau - Definições e exemplos” onde formalizamos o conceito de equação do 2º grau. - Nas 3 próximas videoaulas apresentamos mais problemas que caem em equações do 2º grau e que são resolvidos usando a estratégia denominada “método de completar quadrados”(Veja também no seu livro de Matemática na página 55 e 56) onde utilizaremos os conceitos revisados nas videoaulas da Profª Angela. Na videoaula “Fórmula de resolução da equação do 2º grau”, cujo link está abaixo, veremos a dedução, ou seja, como os matemáticos chegaram na conhecida, entre nós brasileiros, fórmula de Bhaskara e algumas aplicações:

x=

−b ± √∆ 2.a

, com ∆ = 𝑏² − 4𝑎𝑐

- Após assistir as aulas sobre “Equações do 2º grau” e conhecermos a fórmula de Bhaskara, faremos uma pausa para rever produtos notáveis e fatoração brincando! Acesse e divirta-se, más anote numa folha as pontuações obtidas em cada um dos 8 games indicados a seguir: “Multiplicar expressões entre parênteses uma pela outra”, “Multiplicar termos entre parênteses”, “Fatore uma expressão usando um fator comum”, “Fatore usando parênteses em comum”, “Fatorar quadráticas da forma ax² + bx + c”, “Fatorando x² – b² usando a diferença de quadrados”, “Fatorar ax² + bx + c usando a diferença de dois quadrados” e “Fatorar 4 termos em 2 parênteses”. - O que achou? Ficaram dúvidas? Não se preocupe!! Separamos mais 3 videoaulas(2 da Prof.ª Angela e 1 do Prof. Gustavo) para reforçar o estudo. Em breve faremos uma avaliação.(Dúvidas pelo mural do blogue²). - Para finalizar o roteiro de estudo e informar que a atividade foi concluída envie um email para o professor([email protected]) com o texto: “atividade concluída no caderno” + “a maior pontuação obtida nos games” e assim que possível você receberá um link exclusivo de sua avaliação. ¹ O aluno deve anexar ou colar ao caderno a página com as questões dessa atividade ² https://matematicamentecontando.blogspot.com/

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Roteiro de Estudos ◆◆◆

▼ Apoio ao estudo(Videoaulas, animações, objetos iterativos, infográficos, formulários etc.)*: • • • • • • • • • • • •

* Links disponíveis, quando for o caso

Quadrado da soma de 2 termos (Prof.ª Angela); Quadrado da diferença de 2 termos (Prof.ª Angela); Produto da soma pela diferença de 2 termos (Prof.ª Angela); Fatoração de polinômios (Prof.ª Angela); O desafio das retas; Equação do 2º grau - Definições e exemplos (Prof. Gustavo - Portal da Matemática); Equação do 2º grau - Parte 2 (Prof. Gustavo - Portal da Matemática); Equação do 2º grau - Parte 3 (Prof. Gustavo - Portal da Matemática); Fórmula de resolução da equação do 2º grau (Prof. Gustavo - Portal da Matemática); Equações do 2º grau - Bhaskara - Estudando as raízes (Prof.ª Angela); Equações do 2º grau completas - Método de completar quadrados (Prof.ª Angela); Exercícios de equação do 2º grau (Prof. Gustavo - Portal da Matemática).

▼ Material teórico(PDF, textos de apoio, artigos em revistas, sites etc.)*:

* Links disponíveis, quando for o caso

• •

Módulo: Equações do 2º grau (13 videoaulas) - Portal da Matemática ; Material Teórico - Módulo Equações do 2º grau - Portal da Matemática .

★ ★ ★ Atividade ★ ★ ★ 1) No cálculo algébrico, algumas multiplicações entre expressões algébricas, aparecem com frequência. Pela relevância que representam, essas expressões são denominadas produtos notáveis. O quadrado da soma, por exemplo, nos permite concluir, sem precisar desenvolver a expressão (3 + 2y)², que:

(3 + 2y)² = 9 + 12y + 4y² Usando essas regras, sem aplicar a propriedade distributiva, obtenha: a) (3x + 8)² =

b) (4m – 5)² =

c) (x – 6y)² =

d) (6x – 2y)² =

e) (5x – 4)² =

f) (11n + 8)² =

g) (5x – y).(5x + y) =

h) (x – 4y).(4y + x) =

i) (y + 2x).(2x – y) =

j) (x³ – 3y).(3y + x³) =

k) (4x – y).(y + 4x) =

l) (y + x).(x – y) =

2) Sendo (x + y)² = 256 e x² + y² = 136, determine xy. 3) Se x² + y² = 34 e xy = 15, então (x + y)² vale: a) 49

b) 19

c) 225

d) 64

e) n.d.a.

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Roteiro de Estudos ◆◆◆

4) Desenvolvendo a expressão (n + 1)2 – n2, você descobre uma maneira fácil de calcular o valor de:

1 222 3332 – 1 222 3322

O resultado dessa expressão numérica é: a) 2 444 665

b) 2 444 664

c) 1 666 878

d) 1 666 877

e) 1 666 875

5) As figuras 1, 2, 3 e 4 são representações geométricas de expressões algébricas muito frequentes no cálculo algébrico. Apresente a expressão algébrica que representa a área escurecidas em cada uma delas.

6) Se (x – y)² – (x + y)² = –20, então x · y é igual a: a) 10

b) –5

c) –10

d) 5

e) 20

7) A expressão (x – 1)² + (x – 1)³ é equivalente a: a) (x – 1)5

b) x³ – 2x² + x

d) x³ + x² – 2x

e) x³ + 2x² + 1

c) x³ + x² – 2

8) Quanto vale a² – 2ab + b², se a = – 3 e b = 2? a) 15

b) 20

c) 25

d) 30

e) 35

9) Quanto vale a² + b², se a + b = 5 e a.b = 1? a) 19

b) 23

c) 36

d) 41

e) 43

10) Quanto vale a² – b², se a – b = 4 e a + b = 10? a) 9

b) 10

c) 25

d) 40

e) 50

11) Fatorando a expressão 64 – 4x² encontraremos: a) (16 – x).(4 + x)

b) (8 – 2x).(8 + 2x)

d) (8 – 2x).(8 – 2x)

e) (8 + 2x).(8 + 2x)

c) (2 – 2x).(32 + 2x)

12) Fatorando a expressão 3x³ – 12x encontraremos: a) 3x(2 – x).(2 + x)

b) 3(4 + x).(4 – x)

d) 3x(x – 2).(2 + x)

e) (3x² – 4).(1 + x)

c) x(4 + x).(x – 4)

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13) Fatorando a expressão 2x² – 4x + 3xy – 6y encontraremos a expressão: a) (x – 2).(2x + 3y)

b) (x – 2).(x – y)

d) (x – 2).(y – 3x)

e) (x – 2).(2x – 3y)

c) 2x.(2x + 3y)

14) Colocando os fatores comuns em evidência, fatore: a) ax + ay + az =

b) 16x² + 20y² =

c) 5x + 15y – 10z =

d) 4x – 16 =

e) –5x³y + 20x²y² =

15) Sabendo que ab = 8 e a² + 5b = 24, fatore o polinômio a³b + 5ab² – 4ab e determine seu valor numérico. 16) Agrupe os termos das expressões e fatore-as. a) ax – ay + x – y =

b) abx² + aby² + cx² + cy² =

c) x4 + 9x³ – 6x – 54 =

d) ax² – abx + b² – bx =

17) Fatore as expressões abaixo. a) x² – 49 =

b) 9a² – 4b² =

d) x²y² – 1 =

e)

𝑥² 4

c) 1 – x² =

1

– =

f) x2 –

9

9 𝑥4

=

18) Fatore os polinômios. a) x² + 6x + 9 =

b) x² – 16x + 64 =

c) 9x² + 30xy + 25y² =

d) 1 + 9m² – 6m =

e) x³ – 2x² + x =

f)

𝑎² 4

– 5ab + 25b² =

19) Escolha dois números reais cuja diferença seja 8. Mostre que a diferença de seus quadrados é oito vezes a soma desses números. Justifique sua resposta. 20) Escreva os polinômios a seguir de 2 formas distintas: como produto entre 2 fatores e como produto entre 3 fatores. a) 64 – 4x²

b) x4 – 1

c) 81 – 9y²

21) Dentre as equações abaixo quais são equações do 2º grau? a) 6x + 8 = 0 b) x² – 8x + 16 = 0 c) x² – 64 = 0 d) √2. x² – 2 = 0

e) 0x² – 5x + 6 = 0 f) (3m + 6)² = 0 g) 9 – y² = 0 h) x² = 36

22) Classifique as equações do 2º grau em completa ou incompleta. a) 3x² + 6x = 0 ► b) –4x² – 16 = 0 ► c) x² – x – 6 = 0 ► d) –x² = – 9 ►

e) x² – 3√2.x + 4 = 0 ► f) x² = x + 6 ► g) x² – ¼ = 0 ► h) x² + 7x + 12 = 0

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23) Conforme o exemplo, verifique se –2, 0, 1 e 2 são raízes da equação x² – x – 2 = 0.

∴

–1 é raiz da equação x² – x – 2 = 0

24) Quando utilizamos a fórmula geral para resolver equações do 2º grau, observar o valor do discriminante Δ, a princípio, é importante pois: • Quando Δ > 0, a equação apresenta duas raízes reais e diferentes. • Quando Δ = 0, a equação apresenta duas raízes reais e iguais. • Quando Δ < 0, a equação não apresenta nenhuma raiz real. Qual das equações a seguir possui duas raízes reais e iguais? a) x² – 5x + 1 = 0 c) x² – 3x = 0 e) x² + 9x + 14 = 0

b) x² – 14x + 49 = 0 d) x² + 6x + 8 = 0

25) Uma das equações do 2º grau abaixo não possui solução real. Qual? a) x² – 3x – 10 = 0 c) x² + 14x + 13 = 0

b) x² – 18x + 45 = 0 d) x² – 3x + 10 = 0

e) x² + 3x – 10 = 0

26) Equações do tipo ax² + bx + c = 0, com a, b e c números reais e a ≠ 0, são denominadas equações do 2º grau. Os valores de a, b e c são os coeficientes da equação. O coeficiente c é chamado de termo independente. Realize as transformações algébricas necessárias na equação: (x – 2)² = 3x + 4 para obtê-la na forma geral ax² + bx + c = 0. Quais são os coeficientes dessa equação? a) a = 1, b = –4 e c = 4 d) a = 1, b = –7 e c = –8

b) a = 1, b = +7 e c = 1 e) n.d.a

c) a = 1, b = –7 e c = 0

27) Supondo que a área do paralelogramo ilustrado ao lado é 12 cm², em qual das alternativas temos a equação que representa a sua área? a) 2x² + 5x + 3 = 0 b) 5x² + 13x + 6 = 0 c) x² + 5x – 13 = 12

d) 5x² – 13x – 6 = 0 e) 5x² – 13x – 6 = 12 28) Uma equação em si é um objeto de estudo matemático, no entanto, muitas situações podem ser traduzidas por meio de equações do 2º grau. Como exemplo, vamos equacionar e resolver a seguinte situação: “Um jardim, com a forma de um quadrado, foi dividido em três canteiros. Nesses canteiros serão plantados margaridas, papoulas e amoresperfeitos, conforme ilustrado ao lado. O canteiro de amores-perfeitos ocupa uma área de 72 m². Qual é a medida do lado do jardim?”

a) 12m

b) 11m

c) 10m

d) 9m

e) 8m

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29) A soma das raízes x1 e x2 da equação –x² + x + 12 = 0 é: a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

30) A soma das raízes x1 e x2 da equação 6x² + x – 1 = 0 é: 1

1

a) 3

1

b) − 2

c) − 6

d) 1

1

e) 5

31) A diferença entre as idades de dois irmãos é 4 anos e o produto entre as idades é 96. Monte no verso o sistema que traduz a situação. Ao resolver o sistema, encontre uma equação do 2º grau e calcule as idades. 32) Reescreva a equação: 5 –

x−3 4

= 2x – (x – 2)² na forma ax² + bx + c = 0, com a ≠ 0.

33) Encontre ao menos uma das soluções em cada equação: a) (2x + 3)² = 25.

b) (2x + 3)² = 2.

34) Utilizando a expressão conhecida como fórmula de Bhaskara resolva as equações abaixo: a) x² – 6x – 7 = 0

b) x² + 10x + 16 = 0

c) x² – 14x – 32 = 0

d) x² – 5x + 4 = 0

e) x² – 10x + 25 = 0

f) x² – 10x + 16 = 0

g) x² – 12x – 45 = 0

h) x² + 4x + 3 = 0

i) x² – 7x + 10 = 0

j) 2x² + 7x + 5 = 0

k) 9x² – 12x + 4 = 0

l) 3x² + 4x + 2 = 0

m) 2x² + 10x + 8 = 0

n) 7x² + x + 1 = 0

o) x² + 6x – 16 = 0

35) Retorne ao problema “O desafio das retas” a) Encontre a quantidade de retas n para que o número máximo de intersecções i seja 36.

b) Comprove que o único caso em que o número de intersecções é igual ao número de retas acontece apenas quando n = 3.

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