Manual digitação de equações no Microsft Word 2010

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Manual de digitação de equações no Word 2010 Gabriel F. O. Antão [email protected]

Última revisão em 11/01/15

Sumário I.

Introdução ........................................................................................................................... 2

II.

Agrupamento de termos com delimitadores ....................................................................... 4

III.

Representação de frações .................................................................................................... 4

IV.

Subscrito e sobrescrito ........................................................................................................ 5

V.

Representação de radicais ................................................................................................... 5

VI.

Integrais, Somatórios e demais operadores n-ários ............................................................. 6

VII. Colchetes com separadores ................................................................................................. 7 VIII. Representação de pilhas com dois objetos .......................................................................... 8 IX.

Ênfase e acentos .................................................................................................................. 9

X.

Representando funções matemáticas e limites .................................................................. 10 a)

Funções trigonométricas ................................................................................................. 10

b)

Funções trigonométricas inversas ................................................................................... 10

c)

Funções hiperbólicas ....................................................................................................... 11

d)

Funções hiperbólicas inversas ......................................................................................... 11

e)

Logaritmos e limites ........................................................................................................ 11

XI.

Matrizes ............................................................................................................................ 12

XII. Numerar equação .............................................................................................................. 13 XIII. Opções de equação ............................................................................................................ 14 XIV. Salvando equação e alterando modo de exibição de uma equação ................................... 15 XV. Notas finais ....................................................................................................................... 16 XVI. Apêndice ........................................................................................................................... 17

I. Introdução A qualidade tipográfica é de muita importância quando se precisa produzir um texto de boa aparência e organizado, textos com boa tipografia têm aparência mais profissional e oferecem uma leitura mais agradável ao público. A qualidade tipográfica é levada muito a serio quando se trata principalmente de textos técnicos em que há padrões bem definidos de formatação e necessidade de atender padrões bem definidos e aceitáveis pela comunidade a qual o texto se destina. O Microsoft Word possui, além das funcionalidades tradicionais e mais utilizadas para propósitos gerais, um Editor de Equações que este manual visa descrever o funcionamento. Embora haja muitas criticas não só em relação ao Microsoft Word como a esse Editor de Equações, o resultado produzido pela formatação desse recurso é suficientemente boa para atender muitos fins com qualidade esperada. Uma das críticas mais veementes dos que desaprovam o uso do Microsoft Word para escrita de textos técnicos é a maneira com a qual o Editor de Equações lida com a inserção de símbolos, utilizando o mouse para escolher os símbolos em um menu. Certamente isso é extremamente cansativo e demorado, mas a maioria das pessoas não conhece a melhor maneira de se escrever equações no Word que é através de atalhos do teclado, ou seja, palavras chaves que inserem quase tudo que é necessário para digitação de expressões matemáticas. Outra crítica muito comum é que o Word é repleto de bugs principalmente em se tratando de edição de equações. De fato a versão anterior do Editor de Equações (Microsoft Equation 3.0) tinha qualidade muito ruim e frequentemente apresenta bugs, distorções nas equações entre outros problemas. O Editor de Equações do Microsoft Word é utilizado para digitar expressões matemáticas mantendo um padrão tipográfico satisfatório para um texto do gênero. Esse ambiente de formatação de expressões matemáticas tem sintaxe parecida com sistema de tipografia chamado de escrito por Donald Knuth e lançado em 1978. Há duas maneiras de inserir uma expressão matemática. A primeira é acessando a aba Inserir e clicando no ícone Equação e aparecera um campo no texto escrito “Digite a equação aqui”, esse campo é onde toda a formatação ocorre.

Figura 1 : Menu para inserir equação

A outra maneira de se inserir uma equação é através da combinação de teclas [Alt] + [=] (mantendo pressionada a tecla [Alt] e pressionando a tecla igual [=]) e então o campo de edição é exibido. Com o campo de edição de equações selecionado, fica disponível a aba Design onde é possível selecionar e ter atalhos para inserção de símbolos e estruturas no campo selecionado. Embora a utilização desses recursos possa parecer prática, ao digitar trabalhos muito longos com muitas equações e detalhes, o trabalho de usar esses recursos para inserção de símbolos (e estruturas) torna-se extremamente cansativo e demorado.

Figura 2: Aba Design para inserir símbolos e estruturas às equações.

A utilização de equações pode ser feita ao longo do texto dentro de um parágrafo para manter o estilo para grandezas e variáveis diferente do estilo do texto e, assim, indicar ao leitor que se trata de uma variável. Além disso, ao inserir ao longo do texto uma variável terá sempre o mesmo estilo se exibida posteriormente em uma equação. Exemplo: Um corpo que percorre uma distancia de Δ𝑥 em um tempo de Δ𝑡 tem sua velocidade representada por: Δ𝑥 Δ𝑡 Se tomarmos o limite quando Δ𝑡 → 0 teremos a velocidade instantânea do corpo. 𝑣=

Repare que o estilo das variáveis é o mesmo estilo delas escritas na equação, assim se mantém a uniformidade e tipografia ao longo de todo o texto. Toda a formatação de equações baseia-se em marcação de textos através da contrabarra [ \ ] do teclado que marca a inserção de algum caractere especial ou modificador de expressão. Basicamente existem três pontos principais na digitação de equações utilizando o teclado: 





Teclas como [space] (espaço), [ _ ] (underscore), [ ^ ] (acento circunflexo), [ \ ] (contrabarra), [ & ] (e comercial) e [ @ ] (arroba) possuem funções especiais para modificar propriedades de exibição dos elementos em uma equação A inserção da grande maioria dos símbolos pode ser feita através da sintaxe \simbolo como, por exemplo, para inserir uma letra alfa 𝛼 digita-se \𝑎𝑙𝑝ℎ𝑎. A lista completa de símbolos que podem ser inseridos em equações está no final deste texto. Palavras-chave como \𝑠𝑞𝑟𝑡 e \𝑜𝑣𝑒𝑟𝑏𝑟𝑎𝑐𝑒 modificam as expressões correta e convenientemente agrupadas.

II. Agrupamento de termos com delimitadores Comumente é necessário usar esses quatro tipos de caracteres para agrupar partes de uma equação. Esses delimitadores funcionam em pares e para inseri-los sozinhos é necessário outro recurso comentado na seção VII. Para inserção de qualquer um desses três primeiros, basta utilizar as teclas correspondentes, já para inserir o angle brackets, basta digitar a seguinte sequência \𝑏𝑟𝑎[space]a, b\ket[space] onde \𝑏𝑟𝑎 gera o da esquerda e o \𝑘𝑒𝑡 o da direita. Exemplo: Texto entre parêntesis (𝑎 + 𝑏) Texto entre colchetes [𝑎 − 𝑏] Texto entre chaves {𝑎 + 𝑏 + 𝑐} Texto entre angle brackets ⟨𝑎, 𝑏⟩

A utilização do parêntesis não é utilizada somente para agrupar termos de uma equação, ele possui uma função importante de agrupar os termos quando está sendo feita a formatação e isso implica em ter que digitar duas vezes os parêntesis quando se quer de fato exibi-los. Nas seções seguintes essa função ficará clara.

III. Representação de frações Para representar frações utiliza-se basicamente a tecla [ / ] (barra) do teclado. O Editor de Equações irá reformatar a expressão e posicionar o numerador acima e o denominador em baixo automaticamente após a digitação. O Word oferece basicamente três formas de representar uma equação que serão mostradas a seguir, e deve se usar o parêntesis para agrupar os termos do numerador separando-os do termo do numerador: Tabela 1: Exemplos para digitação de frações

Resultado 𝑎+

𝑏 𝑐

Atalho

Comentário

𝑎 + 𝑐/𝑏[space]

𝑎+𝑏 𝑐

(𝑎 + 𝑏)/𝑐[space]

Sem parêntesis

(𝑎 + 𝑏) 𝑐

((𝑎 + 𝑏))/𝑐[space]

Com parêntesis

𝑎/𝑐

𝑎\/𝑐[space] ou 𝑎\𝑙𝑑𝑖𝑣[space]𝑐

Fração de modo linear

𝑎/(𝑏 − 𝑐)

𝑎\/(𝑏 − 𝑐)[space] ou 𝑎\𝑙𝑑𝑖𝑣[space](b − 𝑐)

𝑎⁄ (𝑏 − 𝑐)

𝑎\𝑠𝑑𝑖𝑣[space]((b − c))

Outro formato de fração

Observe que como comentado anteriormente, em alguns casos quando se deseja mostrar o parêntesis ele deve ser escrito duas vezes. Também é possível inserir uma fração vazia para ser preenchida posteriormente, para isso basta digitar [space]/[space] assim irá inserir somente a barra que representa a fração e dois quadrados para inserir o numerador e o denominador.

IV. Subscrito e sobrescrito Para escrever caracteres subscritos ou sobrescritos basta utilizar as teclas [ _ ] (underscore) [ ^ ] (acento circunflexo), respectivamente. Digitando o que deve ser subscrito (ou sobrescrito) seguido de um desses símbolos e o termo, se obtém o resultado. Parênteses podem ser usados para realizar o agrupamento dos termos que se deseja subscrever ou sobrescrever. Tabela 2: Exemplos de sobrescrito e subscrito

Resultado

Atalho

𝑎4

𝑎^4[space]

𝑥𝑘+1

𝑥_(𝑘 + 1)[space]

𝐴𝑠𝑂33−

𝐴𝑠𝑂_3^(3−)[space]

Subscrito e sobrescrito

𝑧^(𝑏^𝑐)[space]

Duplamente sobrescrito

𝑧𝑏

𝑐

(𝑧1 )𝑏

5

Comentário

(𝑧_1)^𝑏^5[space][space]

𝑏 𝑐1

𝑏^(𝑐_1)[space]

𝑏 2𝐴

(_2^𝑏)𝐴[space]

Subscrito e sobrescrito à esquerda

4 2+ 2𝐻 𝑒

4 2𝐻 𝑒[space]^(2+)[space]

Subscrito e sobrescrito à esquerda e à direita

Essas mesmas teclas especiais podem ser usadas, por exemplo, para indicar limites de integração de somatórios e outros conforme será mostrado a diante.

V. Representação de radicais A representação de radicais é feita por meio de alguns atalhos. Podem ser representadas raízes de qualquer ordem sendo que as raízes de ordem até quatro recebem atalhos específicos. A representação de radicais de ordem maior que quatro é feita utilizando o mesmo atalho para digitar uma raiz quadrada, no entanto utiliza-se o caractere & (e comercial) para inserir o índice 𝑛 que indica o grau da raiz.

Tabela 3: Exemplos de representação de radicais

Resultado

Atalho

Comentário

√𝑎2 + 𝑏 2

\𝑠𝑞𝑟𝑡(𝑎^2 + 𝑏^2)[space]

Raiz quadrada

3

√𝑎 + 𝑏

\𝑐𝑏𝑟𝑡(𝑎 + 𝑏)[space]

Raiz cúbica

4

\𝑞𝑑𝑟𝑡(𝑎 − 𝑏)[space]

Raiz quarta

√𝑎 − 𝑏

𝑛

√(𝑏 − 𝑐 2 )

\𝑠𝑞𝑟𝑡(𝑛&(𝑏 − 𝑐^2))[space] Raiz 𝑛. Atenção ao &

VI. Integrais, Somatórios e demais operadores n-ários Esses tipos de operadores especiais podem ter valores subscritos e sobrescritos ou possuir escritos acima e abaixo do símbolo do operador. Para manter uma boa tipografia e, evidentemente, a semântica, é necessário representar esses valores para identificar os operadores. A maneira de representar esses valores é utilizando as mesmas teclas utilizadas para subscrever e sobrescrever discutidas anteriormente. Além disso, é possível representar esses operadores de forma iterada como mostra a tabela abaixo. Tabela 4: Exemplos de operadores n-ários

Resultado

Atalho

𝑏

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑎

∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 𝑅 𝑏 𝑎

\𝑖𝑛𝑡_𝑎^𝑏[space]𝑓(𝑥)𝑑𝑥

Integral simples

\𝑖𝑖𝑛𝑡_𝑅[space]𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴

Integral dupla

𝑑

∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 𝑐

Comentário

\𝑖𝑛𝑡_𝑎^𝑏[space]\𝑖𝑛𝑡_𝑐^𝑑[space]𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴

Integrais iteradas

𝑚

∑ 𝑎𝑓(𝑖)

\𝑠𝑢𝑚_(𝑖 = 1)^𝑚 [space]𝑎𝑓(𝑖)

Somatório

\𝑠𝑢𝑚_(𝑖 = 1)^𝑚 [space]\𝑠𝑢𝑚_(𝑗 = 1)^𝑛[space]𝑓(𝑐_(𝑖𝑗)) \𝐷𝑒𝑙𝑡𝑎[space]𝑥\𝐷𝑒𝑙𝑡𝑎[space]𝑦

Somatório iterado

𝑖=1 𝑚

𝑛

∑ ∑ 𝑓(𝑐𝑖𝑗 )Δ𝑥Δ𝑦 𝑖=1 𝑗=1

Alguns desses operadores possuem mais de uma forma de representação para os valores, por exemplo, a integral pode ter seus limites de integração representados subscrito/sobrescrito ou pode ter os limites escritos acima e abaixo do símbolo da integral. Esses operadores tem um padrão de representação que é gerado ao utilizar os atalhos indicados na tabela acima,

infelizmente não há atalho para alterar a forma de representar a forma alternativa e ela deve ser gerada a partir do menu Estruturas acessível em Integral e Operador Grande (veja Figura 2, e veja configuração na seção XIII). A lista completa desses operadores encontra-se no Apêndice.

VII. Colchetes com separadores Além de simplesmente agrupar expressões matemáticas colchetes e chaves podem ter alguns significados específicos e são escritos de maneira um pouco diferenciada utilizando separadores no meio das expressões. Isso pode ser feito simplesmente digitando normalmente a expressão com o separador no meio da expressão como o exemplo. Exemplo: Considere o seguinte conjunto 𝑅 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 |

𝑥2 2

+

𝑦2 4

≤ 8}

Nesse caso o caractere | (barra vertical) age como separador entre as duas partes da definição do conjunto. Ao terminar de escrever o conjunto os colchetes e as chaves se ajustam automaticamente ao seu conteúdo interno. Caso se por algum motivo não se deseja que as chaves ou separadores se ajustem ao conteúdo, basta digitar \ (contra-barra) antes do caractere do separador, ou seja, \|[space] ou para as chaves \{[space]. Podem ser adicionados quantos separadores quanto forem necessários. O Editor de Equações tem um ícone chamado “Colchetes” onde o usuário pode adicionar símbolos para operadores de norma, módulo, ceil e floor. Tabela 5: Exemplo com operadores norma, ceil e floor

Resultado

Atalho

‖(𝑥, 𝑦)‖

\𝑛𝑜𝑟𝑚((𝑥, 𝑦))\𝑛𝑜𝑟𝑚[space][space]

⌈2𝑥 + 4⌉ ⌊2𝑦⌋

Comentário norma

\𝑙𝑐𝑒𝑖𝑙[space]2𝑥 + 4\𝑟𝑐𝑒𝑖𝑙[space][space] Ceil \𝑙𝑓𝑙𝑜𝑜𝑟[space]2𝑦\𝑟𝑓𝑙𝑜𝑜𝑟[space][space]

Floor

Na prática, esses tipos de caracteres funcionam como operadores devem ser abertos e depois ser fechados sempre, mas nem sempre se deseja usar dois desses operadores. O que acontece é que esses tipos de caracteres quando são os da esquerda abrem e os da direita fecham para envolver o conteúdo interno. Nesse caso quando se deseja omitir o caractere da esquerda deve se digitar \𝑜𝑝𝑒𝑛 no lugar dele e se, ao contrário, queira omitir o da direita deve ser digitado \𝑐𝑙𝑜𝑠𝑒 no lugar do caractere.

Exemplo: Calculando a integral temos que: 5

𝑥=5

∫ (𝑥 + 𝑥

2 )𝑑𝑥

1

𝑥2 𝑥3 = + | 2 3 𝑥=1

O lado direito da expressão acima é escrita da seguinte forma =\𝑜𝑝𝑒𝑛[space]

𝑥2 2

+

𝑥3 |_(𝑥 3

=

1)^(𝑥 = 5)[space]. O mesmo processo pode ser usado para definir uma função por partes e será mostrado um exemplo na próxima seção.

VIII. Representação de pilhas com dois objetos O Editor de Equações oferece um recurso de criação de pilhas de objetos. Basicamente pilhas de objetos são utilizadas, por exemplo, para escrever uma função definida por partes ou escrever um sistema de equações. Para gerar uma pilha utiliza-se \𝑎𝑡𝑜𝑝. Exemplo: Defina se a função a seguir é contínua em 𝑥 = 0: |𝑥| = {

𝑥, se 𝑥 ≥ 0 −𝑥, se 𝑥 < 0

Exemplo: Considere o Teorema Binomial: ∞

𝛼 (1 + 𝑥) = 1 + ∑ ( ) 𝑥 𝑛 𝑛 𝛼

𝑛=1

Para digitar a função do primeiro exemplo acima deve se escrever da seguinte forma: |𝑥|[space] = {(𝑥, "𝑠𝑒"[space][space]𝑥 >= 0)\𝑎𝑡𝑜𝑝(−𝑥, "𝑠𝑒"[space][space]𝑥 < 0)[space][space] Para digitar a função do segundo exemplo acima deve se escrever da seguinte forma: (1 + 𝑥)^\𝑎𝑙𝑝ℎ𝑎[space][space] = 1 +\𝑠𝑢𝑚_(𝑛 = 1)^\𝑖𝑛𝑓𝑡𝑦 [space][space](\𝑎𝑙𝑝ℎ𝑎\ 𝑎𝑡𝑜𝑝[space]𝑛[space]𝑥^𝑛[space] Caso queira inserir somente uma pilha com dois objetos vazios, ou seja, somente duas caixas empilhadas para posteriormente inserir objetos nas caixas, basta escrever [space]\ 𝑎𝑡𝑜𝑝[space][space]. Para representar mais de dois objetos empilhados é necessário usar matrizes de uma coluna e a inserção de matrizes será mostrada mais a diante na seção XI.

IX. Ênfase e acentos O editor permite a inserção de símbolos escritos sobre alguns caracteres de modo semelhante ao que é feito com a acentuação de letras no português. Basicamente para inserir acentos basta digitar o caractere (ou conjunto de caracteres entre parêntesis) que deve ser acentuado seguido do atalho para o símbolo de acentuação e pressionar espaço até o símbolo ser inserido. Além da acentuação, pode se usar aspas duplas para alterar estilo de caracteres que eventualmente possa aparecer entre os demais símbolos da expressão. Na seção anterior foi usado esse recurso na condição e no lugar de 𝑠𝑒 foi mostrado se. Exemplos: Considere a seguinte equação para um movimento harmônico: 𝑥̈ + 𝛼𝑥̇ + 𝜔0 𝑥 = 0 Exemplo: Defina se os seguintes vetores formam uma base para o ℝ2 : 𝑣⃗1 = (2, 4) e 𝑣⃗2 = (4, 8) Para digitar a função do primeiro exemplo acima deve se escrever da seguinte forma: 𝑥\𝑑𝑑𝑜𝑡[space] +\𝑎𝑙𝑝ℎ𝑎[space]𝑥\𝑑𝑜𝑡[space] +\𝑜𝑚𝑒𝑔𝑎[space]_0[space]𝑥 = 0 Para digitar a função do segundo exemplo acima deve se escrever da seguinte forma: 𝑣\𝑣𝑒𝑐[space][space]_1 = (2, 4)[space]"𝑒"[space][space]𝑣\𝑣𝑒𝑐[space][space]_2 = (4, 8) Além de acentos também é possível colocar chaves e outros símbolos sobre ou abaixo do caractere ou conjunto de caracteres como forma de dar ênfase a uma parte da equação ou fazer uma pequena observação sobre um trecho. Para isso é necessário escrever o atalho primeiro e em seguida, entre parêntesis, a expressão a se dar ênfase. Também é possível emoldurar equações com o atalho \𝑟𝑒𝑐𝑡 e em seguida a equação entre parêntesis. Exemplo: A solução particular de 𝑦 ″ + 4𝑦 = 𝑥 ⏟2 + 𝑥 + 5 é do tipo 𝐴𝑥 2 + 𝐵𝑥 + 𝐶 termo inomogêneo

Para digitar a função o exemplo acima deve se escrever da seguinte forma: A solução particular de 𝑦\𝑝𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒 + 4𝑦 =\𝑢𝑛𝑑𝑒𝑟𝑏𝑟𝑎𝑐𝑒(𝑥 2 + 𝑥 + 5)\𝑏𝑒𝑙𝑜𝑤"𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜 𝑛ã𝑜 − ℎ𝑜𝑚𝑜𝑔ê𝑛𝑒𝑜"[space][space] é do tipo \𝑟𝑒𝑐𝑡(𝐴𝑥 2 + 𝐵𝑥 + 𝐶)[space]

X. Representando funções matemáticas e limites O Editor de Equações do Word alterna o estilo próprio das variáveis e o estilo utilizado para representar funções, dependendo do que ele interpreta de determinada parte da equação; o editor pode interpretar um termo como uma sendo variável ou uma função. Se o editor reconhece uma função trigonométrica, por exemplo, a exibição dela será alterada. Exemplo: A função 𝑓(𝜃) = sin 𝜃 está no intervalo [−1, 1]. (função reconhecida pelo editor) A função 𝑓(𝜃) = 𝑠𝑖𝑛𝜃 está no intervalo [−1, 1]. (função não reconhecida pelo editor)

As varias funções matemáticas disponíveis podem ser representadas no Editor de Equações do Word simplesmente escrevendo o nome da função e o editor automaticamente altera o formato de exibição caso reconheça o digitado como função.

a) Funções trigonométricas Para representar as funções trigonométricas basta escrever o nome da função. Tabela 6: Exemplos de funções trigonométricas

Resultado

Atalho

Comentário

𝑓(𝜃) = sin 𝜃

𝑓(\𝑡ℎ𝑒𝑡𝑎) = 𝑠𝑖𝑛[space]\theta[space]

𝑓(𝜃) = tan 𝜃

𝑓(\𝑡ℎ𝑒𝑡𝑎) = 𝑡𝑎𝑛[space]\theta[space] Função tangente

𝑓(𝜃) = sec 𝜃

𝑓(\𝑡ℎ𝑒𝑡𝑎) = 𝑠𝑒𝑐[space]\theta[space]

Função seno

Função secante

b) Funções trigonométricas inversas Para representar as funções trigonométricas inversas basta escrever o nome da função ou ainda escrever o nome da função trigonométrica correspondente e sobrescrever −1. Tabela 7: Exemplos de funções trigonométricas inversas

Resultado

Atalho

𝑓(𝜃) = asin 𝜃

𝑓(\𝑡ℎ𝑒𝑡𝑎) = 𝑎𝑠𝑖𝑛[space]\theta[space]

𝑓(𝜃) = arcsin 𝜃 𝑓(𝜃) = sin−1 𝜃

Comentário Arco-seno com “a”

𝑓(\𝑡ℎ𝑒𝑡𝑎) = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛[space]\theta[space] Arco-seno com “arc” 𝑓(\𝑡ℎ𝑒𝑡𝑎) = 𝑠𝑖𝑛^(−1)\theta[space]

Arco-seno com −1

c) Funções hiperbólicas Para representar as funções hiperbólicas basta escrever o nome da função. Tabela 8: Exemplos de funções hiperbólicas

Resultado

Atalho

Comentário

cosh 𝜃

𝑐𝑜𝑠ℎ[space]\𝑡ℎ𝑒𝑡𝑎[space]

Cosseno hiperbólico

sech 𝜃

𝑠𝑒𝑐ℎ[space]\𝑡ℎ𝑒𝑡𝑎[space]

Secante hiperbólica

sinh 𝜃

𝑠𝑖𝑛ℎ[space]\𝑡ℎ𝑒𝑡𝑎[space]

Seno hiperbólico

d) Funções hiperbólicas inversas Representadas do mesmo modo que as funções trigonométricas inversas, ou seja, para representar as funções trigonométricas inversas basta escrever o nome da função ou ainda escrever o nome da função trigonométrica correspondente e sobrescrever −1. Tabela 9: Exemplos de funções hiperbólicas inversas

Resultado

Atalho

acosh 𝜃

𝑎𝑐𝑜𝑠ℎ[space]\𝑡ℎ𝑒𝑡𝑎[space]

arccosh 𝜃

𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠ℎ[space]\𝑡ℎ𝑒𝑡𝑎[space]

cosh−1 𝜃

Comentário Arco-cosseno com “a” Arco-cosseno com “arc”

cosh ^(−1)[space]\𝑡ℎ𝑒𝑡𝑎[space] Arco-cosseno com −1

e) Logaritmos e limites Para representar logaritmos e limites basta escrever o nome da função e subscrever os índices. Tabela 10: Exemplos de logaritmo e limites

Resultado

Atalho

Comentário

ln 𝑥

𝑙𝑛[space]x

Logaritmo natural

log 2 10

log _2[space]10

Logaritmo

lim 4𝑥 + 2 𝑙𝑖𝑚_(𝑥−> 0)[space]4x + 2 Limites

𝑥→0

Caso a queira representar uma função que não está pertence ao editor basta digitar a combinação 𝑓𝑢𝑛𝑐\𝑓𝑢𝑛𝑐𝑎𝑝𝑝𝑙𝑦[space]. Vale observar que as funções trigonométricas são denotadas no

editor de acordo com a forma inglesa, caso prefira que o editor faça a troca ao digitar, por exemplo, 𝑓(𝜃) = sen 𝜃 veja a seção XIII para automatizar o processo de troca de estilo para essas funções, caso sejam constantemente digitadas. Todas as demais funções podem ser consultadas através de Opções de Equações e Funções reconhecidas como indica a seção XIII.

XI. Matrizes Para representação de matrizes é utilizada a palavra \𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑥 seguida do grupo de caracteres que irão compor a matriz entre parêntesis. Dois caracteres são utilizados para passar para próxima linha e para a próxima coluna, são eles & (e comercial) e @ (arroba), o primeiro passa para a próxima coluna e o segundo pula para a próxima linha. A matriz pode ser envolvida pelo tipo de colchete que desejar, basta digita-los um antes e outro após término da digitação de todo o conteúdo da matriz. Exemplo: 2 Considere a seguinte matriz transformação 𝑇 = [1 3

4 5 2 4] 8 3

Para digitar a função do exemplo acima deve se escrever da seguinte forma: [\𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑥(2&4&5@1&2&4@3&8&3)][space] Muitas vezes caso se for necessário digitar matrizes maiores e mais complicadas é mais eficaz inserir primeiro uma matriz totalmente vazia e, após a inserção da matriz, ir navegando pela matriz com as teclas direcionais do teclado inserindo os elementos em suas posições. Considerando que & gera nova coluna e que @ gera nova linha, se deseja digitar uma matriz com 𝑚 linhas e 𝑛 colunas terá que digitar (𝑚 − 1) caracteres @ e (𝑛 − 1) caracteres &. Por exemplo, para inserir uma matriz com quatro linhas e três colunas de digitar o seguinte (\ 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑥(@@@&&))[space] As matrizes podem ser utilizadas sem os colchetes com intuito de organizar conteúdos de forma a gerar formas de exibição mais convenientes, dependendo da necessidade do usuário. Como citado anteriormente à inserção de matrizes pode ser utilizada para criar, funções definidas por partes com três condições ou mais utilizando matrizes de uma coluna (ou duas colunas em que na segunda são colocadas as condições). Ou ainda se quiser inserir um sistema de equações com mais do que duas equações pode utilizar matrizes com mais do que duas linhas (considere o recurso citado no parágrafo anterior se julgar mais eficiente). O uso do atalho \𝑎𝑡𝑜𝑝 pode ser substituído por uma matriz de duas linhas utilizando somente \𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑥(@).

XII. Numerar equação Infelizmente o Editor de Equações não possui um recurso próprio de numeração de equações e a numeração tem que ser feita manualmente (ou através de macros que não será mostrado). O processo de numeração utiliza tabelas para organizar o conteúdo e pode ser feita utilizando o recurso de Partes Rápidas do Microsoft Word da seguinte maneira:     

Primeiro se insere a tabela de uma linha e três colunas Ajusta a tabela para ocupar toda a largura disponível na página, pode ser feito clicando em AutoAjuste e AutoAjuste de Janela Ajusta a largura da primeira e da terceira colunas para um tamanho menor, por exemplo, dois centímetros. Insira um campo do Editor de Equações na célula do centro Na terceira célula digite eq. em seguida pode colocar parêntesis ou colchetes (ou nenhum dos dois) onde ficará o número da equação, deve ficar assim:

Figura 3: Aspecto inicial da tabela para inserção de numeração



Clique no espaço entre os parêntesis e vá na aba Inserir, Partes Rápidas, Campos. Procure por “Seq” que insere um campo de sequências. Digite um indicador no espaço ao lado de SEQ, como na figura abaixo. Caso queira configurar o tipo de numeração usado acesse Opções. Outra opção é usar o “AutoNumLgl” e selecionar “Exibir número em formato oficial sem vírgula à direita” (essa segunda opção é mais indicada!).

Figura 4: Janela para inserir um campo de sequência



Centralize todas as células da tabela e altere a fonte e tamanho do conteúdo da terceira célula se desejar

 

Selecione a tabela e clique com o botão direito do mouse e acesso Bordas e Sombreamento e remova todas as bordas da tabela. Com a tabela toda selecionada clique em Inserir, Partes Rápidas, AutoTexto e selecione Salvar Seleção na Galeria de AutoTexto. Escolha um nome adicione descrição se preferir e salve o AutoTexto.

Seguindo esses passos terá sempre disponível esse formato para inserir equações com a numeração pré-formatada. Há um problema em geral com métodos de sequenciamento no Microsoft Word: ele não atualiza automaticamente os índices que estão sequenciados. Para atualizar os índices das sequências é necessário selecionar todo o texto através do atalho [CTRL] + T e após selecionar todo o texto pressionar a tecla [F9] que fará as atualizações necessárias. Caso após as atualizações as equações mudem o alinhamento, basta clicar em uma das células centrais e a centralize que irá centralizar todas as demais.

XIII. Opções de equação É possível alterar alguns parâmetros relacionados ao Editor de Equações. É possível, dentre outras coisas, mudar a posição onde os limites de integração são colocados que por padrão é sobrescrito e subscrito, mas pode trocar o padrão para serem colocados acima e abaixo do símbolo da integral. Mudando esse parâmetro toda vez ao digitar uma integral será exibido da maneira que foi configurada. Também é possível alterar ou adicionar qualquer atalho para os símbolos disponíveis pelo editor clicando em Correção Automática de Matemática. Para adicionar basta inserir o símbolo no e colocar um atalho para ele e clicar em Adicionar.

Figura 5: Inserindo atalho para um símbolo

Também é possível adicionar novas funções para serem reconhecidas ao se inserir clicando em Funções Reconhecidas da janela de Opções de Equação, insira a função e clique em Adicionar. Caso queira retornar os padrões basta clicar em Padrões no canto esquerdo inferior da janela.

XIV. Salvando equação e alterando modo de exibição de uma equação Se clicar em uma equação ela automaticamente fica dentro de uma caixa azul clara onde na direita existe uma seta para baixo e se manter o mouse sobre a seta aparecerá Opções de Equação.

Figura 6: Menu em cascata com as Opções de Equações

Essas opções também podem ser acessadas através da seção Ferramentas posicionada no extremo direito do menu de acordo com a Figura 2. A opção Salvar como Nova Equação irá abrir uma janela onde é possível inserir, por exemplo, nome e descrição para essa equação. Como as equações salvas são separadas por categorias, pode se definir uma categoria onde se deseja salvar essa equação, bem como criar uma nova categoria clicando na opção Categoria e descendo o menu até a opção Criar Nova Categoria. Após salvar a equação ela estará sempre disponível clicando na seta preta do menu Equações em destaque na Figura 1. As opções Profissional e Linear alternam entre os dois modos de exibição possíveis para a equação, o primeiro é a exibição com aspecto tipográfico final que se deseja gerar e a segunda exibe a formatação usada para codificar a equação em questão.

Figura 7: (a) formato de exibição Profissional (b) formato de exibição Linear

A opção Alterar para Embutida altera o modo de exibição para ser inserida dentro de algum parágrafo, e equação torna-se mais compacta para ser colocada durante o texto. A última opção Justificação define com qual justificação a equação deve seguir no texto.

XV. Notas finais Normalmente um usuário que domina o uso das ferramentas do Microsoft Word consegue produzir um texto com qualidade tipográfica muito boa. Embora o Microsoft Word seja de fácil e rápido manuseio além de ser bastante intuitivo, para alguns propósitos onde o rigor tipográfico é extremamente alto, costuma se recomendar o uso de LaTeX. O Microsoft Word e seu Editor de Equações melhoraram muito, mas ainda apresentam alguns problemas de formatação muito criticados pelos defensores do LaTeX, muitos problemas apontados são reais e sérios e um grupo menor de problemas (caprichos) são citados somente para completar os tops de forma a se obter um múltiplo de cinco para enumerar as imperfeições. O Editor de Equações possui de fato limitações frente ao LaTeX, entretanto muitas limitações podem sequer ser notadas pela maioria dos usuários ou ser facilmente desconsiderada para a finalidade que o usuário pretende atingir. Por exemplo, há limitação quanto à digitação de alguns símbolos matemáticos que não possuem atalhos. Muito embora seja possível configurar e alterar atalhos para o Editor de Equações (conforme descreve a seção XIII), todos os símbolos já deveriam estar configurados para um atalho correspondente. Além disso, a lista de símbolos matemáticos disponíveis é muito limitada em comparação ao LaTeX que tem uma extensa listagem de símbolos disponíveis. Outra limitação é a quantidade de fontes disponíveis para edição de equações, apenas uma fonte está disponível e o motivo disso bem como a instalação de novas fontes para esse propósito é um grande mistério para os usuários. Outros prós e contras são facilmente encontrados com o uso ou através das inúmeras análises, comparações e tops facilmente encontradas pela internet. Resumidamente, o usuário com conhecimento do uso do Microsoft Word para edição de textos pode ganhar tempo e ter resultados muito bons sem se preocupar com aprendizado de LaTeX ou outro sistema de tipografia ou de processamento de textos. Caso o usuário tenha vontade ou sinta a necessidade de aprender LaTeX, será de fato um excelente investimento, porém o aprendizado será obrigatório se, e somente se, as limitações do Microsoft Word (e seu Editor de Equações) tornarem-se extremamente prejudiciais ameaçando comprometer a qualidade final do texto produzido.

XVI. Apêndice

Tabela 11: Letras do alfabeto grego

Símbolo

Unicode

Nome

Atalho

Símbolo Unicode

Nome

Atalho

𝛼

U+03B1

Alfa

\𝑎𝑙𝑝ℎ𝑎

Α

U+0391

Alfa

\𝐴𝑙𝑝ℎ𝑎

𝛽

U+03B2

Beta

\𝑏𝑒𝑡𝑎

Β

U+0392

Beta

\𝐵𝑒𝑡𝑎

𝛾

U+03B3

Gama

\𝑔𝑎𝑚𝑚𝑎

Γ

U+0393

Gama

\𝐺𝑎𝑚𝑚𝑎

𝛿

U+03B4

Delta

\𝑑𝑒𝑙𝑡𝑎

Δ

U+0394

Delta

\𝐷𝑒𝑙𝑡𝑎

𝜀

U+03B5

Epsilon

\𝑣𝑎𝑟𝑒𝑝𝑠𝑖𝑙𝑜𝑛

Ε

U+0395

Epsilon

\𝐸𝑝𝑠𝑖𝑙𝑜𝑛

𝜖

U+03F5

Epsilon

\𝑒𝑝𝑠𝑖𝑙𝑜𝑛

𝜁

U+03B6

Zeta

\𝑧𝑒𝑡𝑎

Ζ

U+0396

Zeta

\ 𝑍𝑒𝑡𝑎

𝜂

U+03B7

Eta

\𝑒𝑡𝑎

Η

U+0397

Eta

\ 𝐸𝑡𝑎

𝜃

U+03B8

Teta

\𝑡ℎ𝑒𝑡𝑎

Θ

U+0398

Teta

\𝑇ℎ𝑒𝑡𝑎

𝜗

U+03D1

Teta

\𝑣𝑎𝑟𝑡ℎ𝑒𝑡𝑎

𝜄

U+03B9

Iota

\𝑖𝑜𝑡𝑎

Ι

U+0399

Iota

\𝐼𝑜𝑡𝑎

𝜅

U+03BA Capa

\𝑘𝑎𝑝𝑝𝑎

Κ

U+039A Capa

\𝐾𝑎𝑝𝑝𝑎

𝜆

U+03BB

Lambda

\𝑙𝑎𝑚𝑏𝑑𝑎

Λ

U+039B

Lambda

\𝐿𝑎𝑚𝑏𝑑𝑎

𝜇

U+03BC

Mi

\𝑚𝑢

Μ

U+039C

Mi

\𝑀𝑢

𝜈

U+03BD Ni

\𝑛𝑢

Ν

U+039D Ni

\𝑁𝑢

𝜉

U+03BE

Csi

\𝑥𝑖

Ξ

U+039E

Csi

\𝑋𝑖

𝜊

U+03BF

Ômicron \𝑜

Ο

U+039F

Ômicron \𝑂

𝜋

U+03C0

Pi

\𝑝𝑖

Π

U+03A0 Pi

\𝑃𝑖

𝜛

U+03D6

Pi

\𝑣𝑎𝑟𝑝𝑖

𝜌

U+03C1

Rô

\𝑟ℎ𝑜

Ρ

U+03A1 Rô

\𝑅ℎ𝑜

𝜚

U+03F1

Rô

\𝑣𝑎𝑟𝑟ℎ𝑜

𝜎

U+03C3

Sigma

\𝑠𝑖𝑔𝑚𝑎

𝜍

U+03C2

Sigma

\𝑣𝑎𝑟𝑠𝑖𝑔𝑚𝑎

𝜏

U+03C4

Tau

𝜐

U+03C5

𝜑

Σ

U+03A3 Sigma

\𝑆𝑖𝑔𝑚𝑎

\𝑡𝑎𝑢

Τ

U+03A4 Tau

\𝑇𝑎𝑢

Ipsilon

\𝑢𝑝𝑠𝑖𝑙𝑜𝑛

Υ

U+03A5 Upsilon

\𝑈𝑝𝑠𝑖𝑙𝑜𝑛

U+03C6

Fi

\𝑣𝑎𝑟𝑝ℎ𝑖

𝜙

U+03D5

Fi

\𝑝ℎ𝑖

Φ

U+03A6 Fi

\𝑃ℎ𝑖

𝜒

U+03C7

Xi

\𝑐ℎ𝑖

Χ

U+03A7 Xi

\𝐶ℎ𝑖

𝜓

U+03C8

Psi

\𝑝𝑠𝑖

Ψ

U+03A8 Psi

\𝑃𝑠𝑖

𝜔

U+03C9

Ômega

\𝑜𝑚𝑒𝑔𝑎

Ω

U+03A9 Ômega

\𝑂𝑚𝑒𝑔𝑎

NOTA: Além das letras gregas existem outros três tipos de alfabetos disponíveis cada um com um estilo de escrita. A inserção é simples escrevendo o nome da escrita precedendo a letra desejada. Acesse o menu de Símbolos da aba Design clique na seta no canto inferior direito e abrirá todas as opções clicando no canto superior direito abrirá todas opções de símbolos classificados por categorias e acesse Escritas e veja qual sintaxe é necessária para inserir.

Tabela 12: Operadores binários comuns

Símbolo Unicode

Nome

Atalho

Opção

+

U-002B

Soma

[+]

−

U-002D

Subtração

[−]

÷

U-00F7

Multiplicação

\𝑑𝑖𝑣

×

U-00D7

Divisão

\𝑡𝑖𝑚𝑒𝑠

±

U-00B1

Mais ou menos

\𝑝𝑚

[+] + [−]

∓

U-2213

Menos ou mais

\𝑚𝑝

[−] + [+]

∝

U-221D

Proporcional a

\𝑝𝑟𝑜𝑝𝑡𝑜

[/]

∕

U-002F

Barra de divisão

∗

U-2217

Operador asterístico

\𝑎𝑠𝑡

∘

U-2218

Função composta

\𝑐𝑖𝑟𝑐

∙

U-2219

Operador ponto grande

\𝑏𝑢𝑙𝑙𝑒𝑡

⋅

U-22C5

Operador ponto

\𝑐𝑑𝑜𝑡

∩

U-2229

Interseção

\𝑐𝑎𝑝

∪

U-222A

União

\𝑐𝑢𝑝

⊎

U-228E

União Multiconjunto

\𝑢𝑝𝑙𝑢𝑠

⊓

U-2293

Quadrado aberto em baixo \𝑠𝑞𝑐𝑎𝑝

⊔

U-2294

Quadrado aberto em cima

\𝑠𝑞𝑐𝑢𝑝

∧

U-2227

Operador lógico E

\𝑤𝑒𝑑𝑔𝑒

∨

U-2228

Operador lógico OU

\𝑣𝑒𝑒

[∗]

Tabela 13: Operadoresn-ários

Símbolo Unicode

Nome

Atalho

∑

U+2211

Somatório

\𝑠𝑢𝑚

∫

U+222B

Integral

\𝑖𝑛𝑡

∬

U+222C

Integral dupla

\𝑖𝑖𝑛𝑡

∭

U+222D Integral tripla

\𝑖𝑖𝑖𝑛𝑡

∮

U+222E

Integral de linha

\𝑜𝑖𝑛𝑡

∯

U+222F

Integral de superfície

\𝑜𝑖𝑖𝑛𝑡

∰

U+2230

Integral de volume

\𝑜𝑖𝑖𝑖𝑛𝑡

∱

U-2231

Integral no sentido horário

∲

U+2232

Integral de linha no sentido horário

\𝑐𝑜𝑖𝑛𝑡

∳

U+2233

Integral de linha no sentido anti-horário

\𝑎𝑜𝑖𝑛𝑡

∏

U+220F

Produtório

\𝑝𝑟𝑜𝑑

∐

U-2210

Coproduto

\𝑐𝑜𝑝𝑟𝑜𝑑

⋂

U+22C2

Interseção n-ário

\𝑏𝑖𝑔𝑐𝑎𝑝

⋃

U+22C3

União n-ário

\𝑏𝑖𝑔𝑐𝑢𝑝

⋀

U-22C0

Operador lógico E n-ário

\𝑏𝑖𝑔𝑤𝑒𝑑𝑔𝑒

⋁

U-22C1

Operador lógico OU n-ário

\𝑏𝑖𝑔𝑣𝑒𝑒

⨀

U-2A00

Operador ponto n-ário circulado

\𝑏𝑖𝑔𝑜𝑑𝑜𝑡

⨂

U-2A02

Operador sinal de multiplicação n-ário circulado \𝑏𝑖𝑔𝑜𝑡𝑖𝑚𝑒𝑠

⨁

U+2A01 Operador sinal de mais n-ário circulado

\𝑏𝑖𝑔𝑜𝑝𝑙𝑢𝑠

⨄

U-2A04

Operador de união n-ário com sinal de mais

\𝑏𝑖𝑔𝑢𝑝𝑙𝑢𝑠

⨃

U-2A03

Operador de união n-ário com ponto

⨆

U-2A06

Operador de união n-ário quadrado

Tabela 14: Símbolos de Geometria

Símbolo

Nome

∟

Ângulo reto

∠

Ângulo

∡

Ângulo medido

∢

Ângulo esférico

⊾

Ângulo reto com arco

⊿

Triângulo retângulo

Atalho

\𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒

\𝑏𝑖𝑔𝑠𝑞𝑐𝑢𝑝

⋕

Igual e paralelo a

⊥

Perpendicular

∤

Não divide

∥

Paralelo a

∦

Não paralelo a

∶

Razão

∷

Proporção

∴

Portanto

\𝑡ℎ𝑒𝑟𝑒𝑓𝑜𝑟𝑒

∵

Porque

\𝑏𝑒𝑐𝑎𝑢𝑠𝑒

∎

Fim da prova

\𝑏𝑜𝑡

\𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑙𝑒𝑙

\𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜

Tabela 15: Representação de radicais

Símbolo Unicode √𝑎 3

√𝑎

4

√𝑎

𝑛

√𝑎

Nome

Atalho

U-221A

Raiz quadrada \𝑠𝑞𝑟𝑡(𝑎)

U-221B

Raiz cubica

\𝑐𝑏𝑟𝑡(𝑎)

U-221C

Raiz quarta

\𝑞𝑑𝑟𝑡(𝑎)

U-221A

Raiz 𝑛

\𝑠𝑞𝑟𝑡(𝑛&𝑎)

Tabela 16: Tabela de símbolos de acentos

Símbolo

Atalho

Símbolo

Atalho

𝑥̃

\𝑡𝑖𝑙𝑑𝑒

𝑥̌

\𝑐ℎ𝑒𝑐𝑘

𝑥̂

\ℎ𝑎𝑡

𝑥́

\𝑎𝑐𝑢𝑡𝑒

𝑥̆

\𝑏𝑟𝑒𝑣𝑒

𝑥̀

\𝑔𝑟𝑎𝑣𝑒

𝑥̇

\𝑑𝑜𝑡

𝑥̅

\𝑏𝑎𝑟

𝑥̈

\𝑑𝑑𝑜𝑡

𝑥̿

\𝐵𝑎𝑟

𝑥⃛

\𝑑𝑑𝑑𝑜𝑡

𝑥̲

\𝑢𝑏𝑎𝑟

𝑥′

\𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒

𝑥̳

\𝑈𝑏𝑎𝑟

𝑥″

\𝑝𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒

𝑥⃗

\𝑣𝑒𝑐

𝑥‴

\𝑝𝑝𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒

Tabela 17: Tabela de ênfases

Símbolo

Atalho

Símbolo

Atalho

⏞ 𝑎+𝑏

\𝑜𝑣𝑒𝑟𝑏𝑟𝑎𝑐𝑒(𝑎 + 𝑏)

𝑎+𝑏 ⏟

\𝑢𝑛𝑑𝑒𝑟𝑏𝑟𝑎𝑐𝑒(𝑎 + 𝑏)

𝑎+𝑏

\𝑜𝑣𝑒𝑟𝑏𝑎𝑟(𝑎 + 𝑏)

𝑎+𝑏

\𝑢𝑛𝑑𝑒𝑟𝑏𝑎𝑟(𝑎 + 𝑏)

⏞ 𝑎+𝑏

\𝑜𝑣𝑒𝑟𝑝𝑎𝑟𝑒𝑛(𝑎 + 𝑏) ⏝(𝑎 + 𝑏)

\𝑢𝑛𝑑𝑒𝑟𝑝𝑎𝑟𝑒𝑛(𝑎 + 𝑏)

Tabela 18: Tabela de funções modificadoras

Character ∫ Π ▭ ├ ┴ ▁ ︸ 〖 ⟡ ⬆ ■

Unicode U+222B U+220F U+2061 U+25AD U+251C U+2534 U+2581 U+23DF U+3016 U+27E1 U+2B04 U+2B06 U+25A0

Atalho \𝑖𝑛𝑡 \𝑝𝑟𝑜𝑑 \𝑓𝑢𝑛𝑐𝑎𝑝𝑝𝑙𝑦 \𝑟𝑒𝑐𝑡 \𝑜𝑝𝑒𝑛 \𝑎𝑏𝑜𝑣𝑒 \𝑢𝑛𝑑𝑒𝑟𝑏𝑎𝑟 \𝑢𝑛𝑑𝑒𝑟𝑏𝑟𝑎𝑐𝑒 \𝑏𝑒𝑔𝑖𝑛 \𝑝ℎ𝑎𝑛𝑡𝑜𝑚 \ℎ𝑝ℎ𝑎𝑛𝑡𝑜𝑚 \𝑎𝑠𝑚𝑎𝑠ℎ \𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑥

Character Σ ▒ ▒ □ ┤ ┬ ¯ ︷ 〗 ⇳ ⬇ █

Unicode U+2211 U+2592 U+2592 U+25A1 U+2524 U+252C U+00AF U+23DE U+3017 U+2B0D U+21F3 U+2B07 U+2588

Atalho \𝑠𝑢𝑚 \𝑛𝑎𝑟𝑦𝑎𝑛𝑑 \𝑜𝑓 \𝑏𝑜𝑥 \𝑐𝑙𝑜𝑠𝑒 \𝑏𝑒𝑙𝑜𝑤 \𝑜𝑣𝑒𝑟𝑏𝑎𝑟 \𝑜𝑣𝑒𝑟𝑏𝑟𝑎𝑐𝑒 \𝑒𝑛𝑑 \𝑠𝑚𝑎𝑠ℎ \𝑣𝑝ℎ𝑎𝑛𝑡𝑜𝑚 \𝑑𝑠𝑚𝑎𝑠ℎ \𝑒𝑞𝑎𝑟𝑟𝑎𝑦

Figura 8: Tabela removida de “Using Keystrokes to write Equations in MS 2007 Equation Editor”