Louis Leithold - El cálculo con geometría analítica-Harla

SAVE OFFLINE

\

e� f 11/tim� �, �" �¿, 1.1 1.2 1 .3 1.4 1.5 1.6

Números (eales y desigualdades 2, Coordenadas y rectas 16"' Circunferencias y gráficas de ecuaciones Funciones 42., Gráficas de funciones SS Funciones trigonométricas 61

Ejercicios de repaso del Capítulo 1

e� �· \

t

32 ../

71

.2 .e!Htita"� 74

2.1 Límites de una función 7S 2.2 Teoremas de los límites de funciones 86 2.3 Límites unilaterales 98 2.4 . Límites infinitos 10S 2.5 Límites en el infinito 119 2.6 Continuidad de una función en un número 133 2.7 Continuidad de una función compuesta y continuidad en un intervalo 14S 2.8 Continuidad de las funciones trigonométricas y teorema de estricción 1SS

111

WNTC:NIDO

2.9

Contenido

Demostraciones de algunos teoremas de limite

166

(Suplementaria)

2.1 O Teoremas adicionales sobre limites de funciones (Suplementaria)

Ejercicios de repaso del Capítulo

2 181

eapiiul& 6 ��� Je-� ��

175

6.1

6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6. 7

eapiiul& 3 .Pa-�"�� t85 3.1 3.2

La recta tangente y la derivada Diferenciabilidad y continuidad

186� 198

3.3

Teoremas de la diferenciación de funciones algebraicas

3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 3.1 O

Deriv�das de las funciones trigonométricas

3.4

Movimiento rectilíneo relativa 217

209

y la derivada como intensidad de variación

Derivada de una función compuesta

230

y regla de la cadena

Derivada de la función potencia con exponentes racionales

Diferenciación implícita 257 Rapideces de variación relacionadas Derivadas de orden superior

7.1 7.2

26#

271

tl

Ejercicios de repaso del Capítulo 3 279

7.3 7.4

eapiiul& 4 v� � Je-�, �Je-� 'f�� :1.84 4.1 4.2 4.3 4.4

Valores máximo y mínimo de una función 285 Apiicaciones con un extremo absoluto en un intervalo cerrado Teorema de Rolle y teorema del valor medio 304

4.5 4.6 4.7 4.8

Concavidad y puntos de inflcxion 318 Prueba de la segunda derivada para valores extremos relativos Trazo de la gráfica de una funcion 336

Funciones crecientes derivada 311

aplicaciones La diferencial

343 355

4.9 4.1 O Soluciones numéricas de ecuaciorw::. con C'l m('lodo

(Suplementaria) 365 Ejercicios de repaso del Capítulo /1 371

eapituk- 5 J��e�r, 5.1

5.2

5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 5.1 O

Antidi�erenciación

377

Algunas técnicas de antidiferenciación Ecuaciones diferenciales Area 408 ·

La intt'gral definida

7.5 7.6 7 .7 7.8

295

423

sus

8.1

9.1 9.2 9.3

3 8 •

Área de unrJ rPgion en un plano

9.6

lntegraclon numérica

469

Ejercicios d(l n'pnso del Capítulo

458

5 481

(Suplementaria) 541 Ejercicios de repaso del Capítulo 6 548

7 q.��, � 55 :Z 'f��

Funciones inversas 553 Teoremas de fundones inversas y derivada de la inversa de una fun ' ción 565 Función logarítmica natural 575

.

Diferenciación logarítmica e integrales que conducen a la funCIC�n logarítmica natural 586 Función exponencial natural 594 Otras funciones exponenciales y logarítmicas Aplicaciones de la función exponencial natural

_

604 611

Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden

7 638

B q.� �� "� �

.

6�

1

Funciones trigonométricas inversas 643 654 Derivadas de las funciones trigonométricas inversas inversas étricas trigonom s funcione n lnte�rales que produce

684

662

678

eapiiul& 9 1�Je-� 687

Teorema del valor medio para integrales

444 449

502

524

8.2 8.3 8.4 Funciones hiperbólicas 667 8.5· .Funciones hiperbólicas inversas (Suplementaria)

qe Newton

9.4 9.5

Teorem.Js fundamentales del Cálculo

Trabajo 534 Presión en un líquido

eapiiul&

329

976

386

433

Centroide de una región plana

Ejercicios de repaso dei,Capítulo 8

y movimiento roctllltlC•o

Propiedades de la integral definida

488

Volúmenes de sólidos con el método de capas cilíndricas Longitud de arco de la gráfica de una función 509 Centro de masa de una barra 516

(Suplementaria) 626 Ejercicios de repaso del Capítulo

y decrecientes. y prueba de la P.rimera

Estudio adicional de los valores extremos absolutos

y anillos

eapiiul&

241 251

487

Volúmenes de sólidos con los métodos de rebanadas. discos

'1.7

Integración por partes 689 Integración· de potencias de las funciones seno

y el coseno

695

Integración de potencias de las funciones tangente. cotangente. secante y cosecante 700 . Integración por sustitución trigonométrica 704 s cuando paroale es fracc1on por es racional es funcion de ión Integrac el denominador sólo tiene factores lineales 712 s cuando Integración de funciones racionales por fracciones parciale el denominador contiene factores cuadráticos Sustituciones diversas 730

724

ix

"- �r 1:1 1

Contenido 1, ¡¡

·

(Suplomcntarla) 735 IVNclclos de repaso del Capítulo 9

(?"('!luloJO. 1

10.2 10.3 1 0.11 10.5

� g�

1O n

1 0,9

e� f4 v� e;t;et�"��

lftlllc¡rIÓII se deduce de la supuesta verdad de la hipótesis.

�.

S también es un elemento de un conjunto T, enton­

T. En cálculo nos ocuparemos del conjunto .c.Jf de os núme­

_ ros reales. Dos subconJuntos de .�son el conjunto N, de los números n

dos partes: la parte"si", conocida como hipótesis, y la parte"entonces", denomi·

O\

La idea de "conjunto" se emplea mucho en matemáticasy se trata de un con­

ccpto tan bá ico que no se le da una definición formal. Podemos decir que un con­

�

mas se denominan teoremas. En el enunciado de la mayoría de los teoremas existen

lllll

= 3.14159 ...

de N''. La notación a, bE

El sistema de números reales se puede describir completamente por un conjunto de

�

1l

conjunto. Por consiguiente, podemos escribir

1 1 donde b- representa el recíproco de b, tal que b · b-

?

1.732...

"ii todo elemento de un conjunto

sión se define con la ecuación �

=

junio es una reunión de objetOs, los cuales reciben el nombre de elementos del conjunto.

a- b = a+ (-b)

a

que no son racionales se denominan números irracionales. Estos

'un decimales inconmensurables y no periódicos; por ejemplo,

El sistema de números reales consiste en un conjuntoa'dc elementos llamados núme· los símbolos + Y · , respectivamente. Si

3

Números reales y desigualdades

H1 �

elementos idénticos. La unión de dos conjuntos A y B, representada por A

U By que A o en B o en ambos. La intersección de A y B, representada por A n By que se lee"A se lee "A unión B" es el conjunto de todos los elementos que se encuentran en

cmunc nsurable s positivos y negativos, tales como

0.003251

=

3

251

1 000 000

hu·unmensurables periódicos positivos y negativos, tales como

0.549549549 . ..

=

-

intersección B", es el conjunto de todos los elementos que se encuentran tanto en A

como en B. El conjunto que no contiene elementos se denomina conjunto vacío y se

t'11t

representa con el símbolo 0. •

EJEMPLO ILUSTRATIVO 1

{ 1, 4, 9,16} y C

=

{2, 10}.

Suponga que A -

Entonces

{2, 4, 6,

8,

10, 12},

B

4

1.1

NIIMUIO� !lEALES. FUNCIONES Y GRÁFICAS

A vB = {1,2,4,6,8,9, 10,12, 16}

Bv e = { 1, 2,4,9, 10. 16}

a sx s b

Br.C=0

lo cual significa que tanto a 5 xy x· 5 b. Otras desigualdades continuas son a 5 x < by a< x 5 b. Los teoremas siguientes pueden demostrarse mediante el uso de axiomas para el con­ junto .�y de 1.1.1 a 1.1.3.

1. 1. 1 DEFINICIÓN Si a, be .:#,

•

1

1.4 TEOREMA

o

(i) Si a > O y b > O, entonces a + b > O. (ii) Si a > O y b > O, entonces ab > O.

si y sólo si b -a es positiva; si y sólo si a - b es positiva.

La parte (i)del teorema anterior establece que la suma de dos números positivos es positivay la pane (ii) expresa que el producto de dos números es positivo .

EJEMPLO IL USTRATIVO 2

3 -7 pues -2 - (-7) = 5 , que es positivo i � ya que t i = h. que es positivo. =

1.1.5 TEORE MA

=

t

s

(que se lee "menor que o igual a") y

�

Propiedad transitiva de orden

Si a, b, cE:?#, y

-

Ahora se definen los símbolos Jtot• "mayor que o igual a").

si a

(que se

>

b y b > e, entonces a >

• EJEMPLO ILUSTRATIVO 3

c.

Si x< 5y 5 bf a 5 b, y a � b se conocen como desigualdades En p1111 kulm u b se llaman desigualdades estrictas, mientras que a s b y : h tt'C1bcn el nombre de desigualdades no estrictas. 11 .

1 1 �IHIIicnte teorema se deduce directamente de la Definición 1.1.1.

1, 1 ,3 TEOREMA (O a

(11)

t1

O si

O

y sólo si

sl y sólo si

a es positivo. a es negativo.

lln IIIÍII1cro x se encuentra entre ay b si a < x y x < b. Esto puede escribirse como th.•sl�euuldüd continua de la manera siguiente: a be.

• EJEMPLO I LUSTRATIVO 4¡ (a) Six 2y decir que el punto 5 está a la derecha del punto 2. El conjunto de todos los números x que cumplen la desigualdad continua a < x< b se denomina intervalo abierto y se denota por (a, b); por tanto,

(a, b]

=

{xla

�

2

o1'

4 9

il

4

FIGURA 1

7

x � b}

el intervalo cer�ado [a, b ]. La Figura 2 ilustra el intervalo abierto (a, b)y la Figura 3 _ (a, b) JUntO con el ab1erto lo interva el es da El intervalo semi-abierto por la izquier Así, b}. (a, por nta punto extremo derecho b. Esto se represe =

{xla < x � b}

Definimos el intervalo semi-abierto por la derecha de la misma manera Y lo denota­ mos por [a, b). Así, [a, b)

=

{xla

� x

< b}

[a, b) se muestra en la El intervalo {a, b] se ilustra en la Figura 4 y el intervalo . Figura 5. o)y el símbolo - 00(menos Usaremos el símbolo + oo (más infinito o infinito positiv o de no confundir estos cuidad tener debe se o, infinito 0 infinito negativo); sin embarg ' de estos últimos. dades propie las en obedec no símbolos con números reales, ya que Tenemos los intervalos siguientes: (a, + oo) = (- oo, b) = [a, + oo) = (- oo , b] =

(- oo,

+

oo)

=

{x!x > a} {xlx< b} {xlx � a} {xlx � b} ./tf

La Figura 6 ilustra el intervalo (a, + oo)y el intervalo(- 00, b) aparece en la Figura + oo) de no ta al conjunto de todos los números reales. En cada uno de los intervalos (a, b), [a, b], [a, b)y (a, b), los números a Y b se llaman puntos extremos del intervalo. El intervalo cerrado [a, b) contiene ambos extre­ mo · s, mientras que el intervalo ,abierto (a, b) no contiene ningún punto ext�emo. El intervalo [a, b) contiene su punto extremo izquierdo pero no el derec ho, y el mtervalo . _ (a, b) contiene su punto extremo derecho pero no el izquierdo. Un mterval? ab1erto e puede considerar como aquél que no contiene sus puntos extremos, Y un tnterv� lo cerrado se puede considerar como el que contiene sus dos extremos. En consecuencia,

7. Nótese que (- oo,

b

a

FIGURA 2 .!

reales y desigualdades

junto con los puntos extre­ El intervalo cerrado de a abes el intervalo abierto (a, b) mos a y by se simboliza por [a, b). Así,

(d, b) •

N úmeros

1.1

NUMEROS REALES. FUNCIONES Y GRÁFICAS

E a

FIGUR� 3

J

b

] b

FIGURA 4 a

E a

FIGURA

S

..

a

FIGURA 6

b

b FIGURA

7

"'"'"'"V"' MLML.t:..::>. t'UI�L.IVI'lt.::> y

el intervalo [a, + 00) se·considera como un intervalo cerrado porque contiene su único punto extremo a. Análogamente (- 00, b] es un intervalo cerrado, mientras que (a, + 00) Y (- 00, b) son abiertos. Los intervalos [a, b) y (a, b] no son ni abiertos ni cerrados. Ya que el intervalo (- 00, + oo) no tiene puntos extremos, puede conside­ rarse tanto abierto como cerrado. Los interval os se emplean para representar conjuntos de soluciones de desigualda­ . des en una vanable. El conjunto de soluciones de tal desigualdad es el conjunto de to­ dos los números que satisfacen la misma. EJEMPLO 1

Hallar el conjunto de soluciones de la desigualdad 2 + 3x< 5x+ By

2

1· 3x

x- 3 > O; es dedr, x> 3. os De la multiplicación por x- 3 en ambos miembros de la desigualdad obtenem

Por consiguiente, el conjunto de soluciones es el intervalo (-3 ' + oo), que se ilustra l'll lu Figura 8.

Obtener el conjunto de soluciones de la desigualdad 4 S

1

\

o

que si x< O, entonces

- O} n {xlx< �}o, lo que es lo mismo, {xiO < (0, i ), como se ilustra en la Figura 10.

x-3

-2x 3·} equivalente, {xlx> 4} que es el intervalo (4, + 00).

n

{xlx> 4} en forma

x- 3 - 1 2 del Caso 2 Por lo tanto, xdebe ser menor que 4 y que 3. Así, el conjunto de soluciones es el intervalo (- oo, 3). mos Si los conjuntos de soluciones para los casos 1 y 2 se combinan, obtene . 1 1 Figura la en ilustra se que (- oo, 3) U (4, + oo), lo x O.

donde

a

1.1Z COROLARIO lxl �

a

x �a o bien x 5

-++

-a

> O.

Los siguientes ejemplos ilustran la resolución de ecuaciones y desigualdades que con­ tienen valores absolutos. EJEMPLO S

(a)·l3x +

Obtener el valor de x en cada una de las ecuaciones siguientes: = l4x + 31; (e) l5x + 41 = -3. ,

2 1 = 5; (b) l2x- 11

Solución (a) l3x + 21

lxl

a

donde

1, 1.11 TEOREMA

3x + 2

1

�

=

5

Esta ecuación se cumplirá si

< O}

n =In- bl-�

IJ

a - -a � x

La desigualdad lxl > a, donde a > O, enuncia que en la recta de los números rea­ les la distancia desde el origen hasta el punto x es superior a a unidades; esto es, x > a,� bien x a es {xlx > a} U {xlx < -a}. El siguiente teorema enuncia este tipo de situación. En el Ejercicio 61 se le pide la demostración al estudiante.

-

..

•

1, 1. 1 O COROLARIO

Ptll In definición 'vemos que el valor absoluto de un númer o es un número positivo 11 t'lltn: es decir, es no negativo. 1'11 1é1minos de geometría, el valor absoluto de un número x es su distancia desde •t'ltt, 'lin importar el sentido de la misma. En general, 1 a b1 es la distancia entre a Y h Nlll �·onsidcrar dirección alguna, o sea, sin que importe cuál es el número mayor. y,nw lu Figura 12. In dc..igualdad lxl O, enuncia que en la recta de los números reah·�.lt1 disltlncia desde el origen hasta el .punto x es inferior a a unidades; es decir,-a < \ • u. Po1 consiguiente, x está en el intervalo abierto (-a, a). Véase la Figura 13. Es 1\hlt•lllccntonces queel conjunto de soluciones de lxl O 20. 2x2 -6x+ 3< O 1 9x x2 + 7 � 3-2x

\

--

1 ,, ¡,11 r'Jt•rcfcios

ll

=

7

'

23 a

X

x. 24. !Jx - 81 = 4 26. lx - 21 = 13-2xl 28. 2x + 3 l4x +51 3x + 81 = 4 O 1 3 2x-3

30 despeje

JI== l3x+51

=

entonces, t

lbl.

ja hj-la +( -h)l � lal + 1( - b) l = lal + lbl

·

1 ,¡,,, t'JI'rcicios 31 a 36 obtenga todos los valores

1 1 /'lttU/os cuales este número '1

H

../K'

.)' ' 3x-1O 5

es real.

32. Jx2- 16 34 .Jl.x2 +5x-3

.

•

·:�·

1 11 /111 I'Jt>rdcios 1 a 22, halle el conjunto de so/u­

OROLARIO

lul

b1

Jf:RCICIOS 1. 1

U lllllltlliiUCión.

1

-

lal = j(a - b)+ bl � la - bJ+ Jbl

La desigualdad triangular

lal + lbl

1a

Demostración

, entonces,

b

�

la! -JbJ � Ja - bJ

lbl

1. 1. 19 TEOREMA

11 111

f a1 - 1 b 1

por tanto, a J restar

1 a demostración del Teorema 1.1.14 se deja al lector como ejercicio (véase el Ejer­ �illo 62). •·

b e .rJP, entonces,

la!

b

15

Números reáles y desigualdades

17 COROLARIO

b E .tJR, y b :¡!: o,

1Q1

J

1

•

t, t. 14 TEOREMA SI

1.1

\111/\1 ll./1::1

\ ..

35. Jx2-5x + 4 En los ejercicios 37

a 52 obtertga el conjunto de

soluciones de la desigualdad indicada, e ilustre el conjunto de soluciones en la recta de los números reales.

38. l 2x-51< 3 40. IJx+21 ¿ 1 42 13- xl o 54. - � o 53. x+a a+x x + 5 x+l x-2 x+2 :>6.SS.-->x+3 Y 1 · Cualquier ordenación de estos núme

.....

·�"''"'

,

.,., ,,

1/

x P, (\,,y,)

M( y ) x,

-

]

-----

X1

_

_

_

_

x2- x

y - !/•

R(x, y,)

1 !/2 - !/ J !f)

_

____ _

P2(X;¡, !/2)

'}T(x2'

1 1

B(b. e)

y

PIOURA 9

FIGURA 10

=

A(a,O)

En geometría analítica, la validez de 1os teoremas de la geometría plana se establece

�·cdimienlo.

Comprobar por medio de la geometría analítica que los segmentos rec­

hi�cc.1n entre sí.

ltllmm.� que unen a los puntos medios de los lados opuestos de cualquier cuadrilátero.,

h·�qllil'la ejes coordenados en el plano y, puesto que la selección de dichos ejes no afecta ulu v.llldct del teorema, tomaremos el origen como uno de los vértices y al eje x como nuluclón

•

Y2- r.

: X o

FIGURA 11

Y-2 -1

----�---- --�X -�-----o

FIGURA 12

•

I'HIIIillllll'o

•••

t .?..Z

flll\11

'

DEPJNJCION

1'•

riiNfltiNI ',

't ldfi\IJI/1!,

1.2

23

Coordenadas y rectas

y

Si se lllultiplicun a1nbos fados de (2) por X2 , _ x,, obtend remos 111(X2-xd.

Y¡

1k C\tu ecuación se concluy . e que al considerar un� partJc la que se desplace a lo largo tk unu recta, el cambio en la

�

ordenada de la partlcula es gual al producto de la penI dh:nt c por el cambio ele la abscisa.

• EJEMPLO ILUSTRATIVO 3

Si 1 es una rect

a que pasa por los puntos P, (2, 1', (4, 7) y 111 es la pendiente 3) Y de 1' entonces de acuerdo con la Definición 7

111

,,

3

1.2 . 2'

•

2

Vt\IIW fu Figura 13. Si una par tícula se mueve a lo. 1a go de la rect a 1, el cambio de ordeuudu es do/) veces el cambio de absc ·'sa. Es de CJr, SI la partícu la está en P (4, 7) ,y la uhsd�tt n uu H:nta en una unidad ento nces la ordenada se incrementa en 2 · dos umdades, V 1'' j>rtJ I lcufu está en el punto p (S 9) . A. nálogamente, SI. la partícula se encuentra ' 3 1 ', ( 1 ' l) y In abscisa dismm en . uye en tres umdades ' entonces 1a ordenada decre ce seis uniduciL'\ y lu panícula se encuentr ae

�

Si una recta es paralela al eje x, se tiene que Y2 = y1, por lo que la pendiente es y2 - y, . . y, entonces x2 = x1 y 1a fraccJOn cero. S1 una recta es para1e1a a1 eJe x2 x1 deja de tener significado, pues no podemos dividir entre cero. Por esta razón, las rec­ Ias paralelas al eje y se excluyen de la definición de pendiente. Por tanto, no es posible definir la pendiente de una línea vertical. Al hablar de la. ecuación de una recta nos estamos refiriendo a una ecuación que puede ser satisfecha por los puntos de dicha línea, y únicamente por dichos puntos. Puesto que un punto P1(x1 , y1) y una pendiente m determinan una recta única, debe ser posi­ ble obtener su ecuación. Sea P( x, y) cualquier punto de la recta excepto (x1, y1). Entonces, y puesto que la pendiente de la recta que pasa a través de P1 y Pes m, la definición de pendiente indica que · ·

_

J'- y,

-- = m

•

n e1 punto p 4(-1, -3).

•

nces, cuando aumenta la abscisa dt llllll de �us puntos la ord ' crece enada tam blen ' . La Figura 14 muestra d'JCha recta. 1 11 lu l• lUlllll l S se ilustra una rect a cuya Pend'lente es negativa. Para esta línea, al aumenlllt lu uh�cl�u In ordenada dism Hl lu poudicnte de una línea recta es pos.�'t·Jva, ento

inuye.

x-x1 )'- Y1

• EJEMPLO 1LUSTRATIVO 4 Para obtener la ecuación de una recta que pasa a tra­ vps de los dos puntos A(6, -3) y B(-2, 3), primero se calcula m. 3-(- ) x� y� x�. y,

t.IOURA

-2-6 6

-8

Usando la forma de punto y pendiente de una ecuación de la recta con A como P1, obtiene 1- (- 3).:: -2 {;{ -!:> 1

\C

'·

13

3

= ----

=-

y

1'.(

III(X- X¡)

Esta ecuación recibe el nombre de forma de punto y pendiente (o forma punto­ JJCndiente) de la ecuación de una recta. Proporciona la expresión de una recta cuando �e conocen su pendiente y un punto.

111

,V

:::

FIGURA

14

'

J'-

(- 3) = -;{(x - 6)

4r+12= -3x+ 18

3.\ + 4 y - 6 = o

'1 Lj (y- ( 3 � ) ' �

'1 � .¡.._ /1_:::. '\

-

·-

X-

-J

(X

'\"'::C -t J(;'

6 (/

�--.,._,.,..,,

, 1

' ""''

11111 Jlll'll

1 . 2 Coordenadas y rectas

T niV\I It 1\11

< 'IHi tl l:�lt\ qlh• I11111IMu plll'tk cott�idcrarse al punto B como P 1 , en cuyo caso se llega a ·h·

1

1'

1,

h 1 ., ,.

(1

()

111('

O)

dichos puntos. De esta manera, P(x,

1 ( \ 1 ))

h

(\

x = a se ilus.tra en la Figura y en el punto (0, (ii) La recta horizontal que corta al eje . pend1ente e mterce de forma la 17. Para esta lfnea, m = O. Por tanto, a partir de 1 ción, una ecuación de la línea es

b)

Si �·n lu I' O)

que estén en la las coordenadas de los puntos tales La ecuación es satisfecha sólo por se ha demosecuación de dicha curva. Con esto circunferencia y , por tanto, es una trado el siguiente teort>ma.

TEOREMA La circunferencia con centro en

el punto (h, k) y radio

r tiene por ecuación

(y - k)2 = rz

z (x - h ) +

corresponde al origen, entonces Si el centro de una circunferencia por consiguiente, su ecuación es:

x2

+ y2

=

,2

En la Figura 2 se muestra esa curv

a. Si el radio de ésta es igual a l , se

h

=

OY k

=

':1

y

--��-�X ----+--�

66. Si las diagonales de un cuadrilátero se bisecan,

-r

el cuadrilátero es un paralelogramo.

1 . 3 CIRCU N FERENCIAS V GRÁFICAS DE ECUACIONES

FIGURA 1

FIGURA Z

O;

la llama circunfe­

rencia unitaria.

65. Las diagonales de un paralelogramo se bisecan.

Una ecuación de una gráfica es una expresión que satisface las coordenadas de dichos puntos y sólo de dichos puntos de la gráfica. En la Sección 1.2 aprendimos que una

33

ecuaciones

t 3.1 DEFINICIÓN

Ejercicio 58 y, sin determinar las coorden O, tenemos una circunferencia con centro en (h, k) y radio Vd. Sin embargo, si d < O, no existen valores reales de x y y que satisfagan la ecuación; por tanto, no hay gráfica. En estos casos se dice que la gráfica es el conjunto vacío. Finalmente, ·

está en (

1' 1\11 por los tres puntos

cuando x se sustituye por -x y y se sustituye por -y en la ecuación.

ul ck y y su

1, 2) y pasa por el punto

1 \rntro

n.

(Ui) simétrica respecto al origen si y sólo si se obtiene una ecuación equivalente

nluciOn

0), r = 8 1, 1), r = 2

1 '''lll'ia que satisface las condiciones dadas.

f:IOURA 9

11

C( -

2. C(O,

4.

' 11

1

1

42 1x

x2

9

t2

18. y = 4x - 3

y=� )1= -� 24. y2 = X - ] 20. 22.

26. y = x2+ 2 28. y = 9 - x2 2 30. y = x -9 32. xy - - 1 34. xy = 9 36. X = y2 - 4

� 3y = O; {b) X - 3y = O;

1 1 \1

1

9y2 = o

Circunferencias y gráficas de ecuaciones

38. (a)

2x - Sy = O; (b)

(e) 4x2

- 25y2

=O

41

2x+5y = 0:

= 2x; (b) y = -.fh; (e) y2 = 2x (b) y = - J- 2x: y = J-2x; ' 2 (e) y = -2x 2 4 1 . (a) y = J4 - x ; (b) y = - J4 - x2; 2 (e) x + y2 = 4 42. (a) y = �;(b) y = -�; 2 2 (e) x + y = 1 39. (a) y 40. (a)

(e)

4x2 + 4y2 = 1 = 2; (b) xy

43. (a) x = { Jt - 4y2; (b) x = -t.Jl - 4y2; 44. (a) xy

=

-2; (e)

2 2 xy

=

4

En los ejercicios 45 al 48, halle la ecuación de la cir­ cunferencia que satisfaga la ecuación. 45. El centro está en (-3, -5) y es tangente a la recta 12x

+ 5y

=

4.

46. El centro está en (-2, 5) y es tangente a la recta X = 7.

y + 2 = O en (-1, 1) y pasa por el punto (3, 5).

47. Es tangente a la recta 3x

+

48. Es tangente a la recta 3x + 4y - 16 = O en (4, 1) y tiene un radio de 5 (dos ci�encia s

(

son posibles).

·

4x + 6y - 12

49. Obtenga la ecuación de la recta tangente a la 2 = O circunferencia x + y2 en el punto (5, 1).

50. Obtenga las ecuaciones de las dos rectas con

+ y2 + 2x - 8y - 8 = O.

pendiente de-) que son tangentes a la circun­ ferencia x2

51. Demuestre que una gráfica simétrica respecto de ambos ejes coordenados también es simé­ trica con respecto al origen.

52. La gráfica de una ecuación en x yy es simétrica con respecto a la recta cuya ecuación es y =

x si y sólo si se obtiene una ecuación equiva­ lente cuando X SUStituye ay, y y SUStituye a X. Demuestre que la gráfica de la ecuación

ax2 + by2 =

e,

donde a, b y e son positivas,

es simétrica con respecto a esta recta cuando y sólo cuando a = b. 53. Demuestre que una gráfica es simétrica con res­ pecto a dos rectas perpendiculares cuales­ quiera, también es simétrica con respecto al

punto de intersección.

4Z

NÚMEROS REALES. FUNCIONES Y GRÁFICAS

1A

Funciones

1 .4 FUNCIONES Con frecuencia, en las aplicaciones prácticas el valor de una variable depende del valol . de otra. El salario de una persona puede depender del número de ho�as que trabaJe _ la producción total de una fábrica puede depender del nú�ero de maqum� s que se usen, la distancia recorrida por un objeto puede depender del ttempo transcurndo ��sde qu� salió de un punto dado; el volumen del espacio ocupado por un �as a pres1�n co1� ' : tante depende de su temperatura; la resistencia de un c�ble eléctn�o de longitud f•J depende de su diámetro; etcétera. La relación entre este upo de cantidades suele �xpr�. . . . hm1taremos las cantidad( sarse por medio de unafunción. Para nuestros propós1tos en la relación a que sean números reales. Entonces, Una función puede considerarse como una correspondencia entre un conjunto X de números reales x a un conjunto Y de números reales y, donde cada valor de Y corresponde a un solo valor de x. La figura 1 representa una correspondencia de este tipo en la que los conjuntos X \ Y consisten en puntos de una región plana. . enunciando el concepto de función de otra manera, intuitivamente cons1der�mu1 que el número real y del conjunto Y es una función del �úmero real x en e� c?nJuniO X, cuando existe alguna regla por medio de la cual se asign� a y un valor un•�o par• . Por un cierto valor de x. Esta regla puede expresarse por medto de una ecuacwn. ejemplo,

y

x2

define una función para la que X es el conjunto de todos los números reales Y Y es el l'Unjunto de números no negativos. El valor de y en Y asignado al valor de x en X \ . obtiene al multiplicar x por sí misma. La Tabla 1 muestra los valo�es de Y as1�nado 11 vnlmcs específicos de x, y la Figura 2 visualiza la correspondencia de los numen1 de CIHU labia. , Pnm denotar una función se usan los símbolos!, g y h. El conjunto � de numero ll'lllc�' untes descritos es el dominio de la función, y el conjunto Y de numero� realc _ 11\l�nados a los valores de x en X, es el contradominio (o ámbito) de la funcwn. •

EJEMPLO ILUSTRATIVO 1

.�

Seajla función definida por la ecuación

.Jx - 2

x

4 o

x�•y X

y=

TABLA 1

y

x-J

16 o

-1 FIGURA 1

J -l

-4

9 4

16

43

o�. o

X: todos son

números reales

Y: números no

negativos

FIGURA 2

Debido a que los números se limitan a los números reales, y es función de x sólo para \ 2 � O, ya que para cualquier x que satisfaga esta desigualdad, se determina un vulor único de y. Sin embargo, si x < 2 , se obtiene la raíz cuadrada de un número nega­ rlvo y en consecuencia no existe un número real y. Por lo tantox debe estar restringida H \' � 2. Así pues, el dominio dejes el interva lo [2, + oo), y el contradorninio (o ámbito) ele fes [0, + oo). •

EJEMPLO ILUSTRATIVO Z

)' = �

•

Sea g la función definida por la ecuación

Se observa queye s función dexsólo parax � 3, o bienx 5 -3(o simplemente lxl 2: 1), ya que para cualquier x que satisfaga cualquiera de estas desigualdades se deter­ mina un valor único de y. No se determina valor real alguno de y si x está en el inter­ vulo abierto (-3, 3), pues para estos valores de x se obtien e la raíz cuadrada de un 111ímero negativo. En consecuencia, el dominio de g es (- oo , -3] U [3, + oo), y el con­ llndominio o ámbito es [0, + oo). •

JIIO, la función definida por la ecuación y

Podemos considerar una función como un conjunto de pares ordenados. Por ejem­ x2 consiste en todos los pares ordenados ( \ , .Y) que satisfacen la ecuación . Los pares ordenados de esta función en la Tabla 1 �on ( l , 1 ), ( f , i ), (4, 16), (0, 0), (-1, !), {- !, t ) y (-4, 16). Claro está queha yun m'ulH:ro ilimitado de pares ordenados en esta función. Algun os otros son (2, 4), (-2, 4), (\, 25), (-5, 25), (..fi, 3), etcétera. •

EJEMPLO ILUSTRATIVO 3

=

'La funcíónjdel Ejemplo Ilustrativo 1 es el conjunto = .Jx - 2. Expresando esto con símbo los:

dt• pares ordenados (x, y) para los que y 1 - {(x, y)jy

=

.Jx - 2 }

· ¡\!�unos d e los pares ordenados enjson (2, 0), (t, !), (3, 1), (4 , V2), (5,

( 1 1 ' 3).

13), (6, 2), •

• EJEMPLO ILUSTRATIVO 4 La función g e Ejemplo Ilustrativo 2 es el conjunto de pares ordenados (x, y) para los que y = x - 9; esto es,

H = { (x, y)jy

.Jx2 - 9}

jJ

Algunos de los pares ordenados de g son (3, 0), (4, ...fi), (5, 4), (-3, 0), =

(-.J"i3,2). •

44

1 .4 Funciones

NÚMEROS REALES. FUNCIONES Y GRÁFICAS

Pasamos ahora a la definición formal de función. Su definición como un conjunl de pares ordenados en vez de una regla de correspondencia, produce un significad más preciso.

y

\

y

1 .4.1

J

DEFINICIÓN

Una función es un conjunto de pares ordenados de números (x, y) en los que 11( existen dos pares ordenados diferentes que tengan el mismo primer número. Al con junto de valores admisibles de x se le llama dominio de la función y al conjunto de los valores resultantes de y se le llama contradominio (o ámbito) de la función.• En esta definición, la restricción de que no haya dos pares ordenados diferentes Cl' el mismo primer número, asegura que y es única para un valor específico de x. L1 números x y y son variables. Puesto que los valores se asignan a x y el valor dey depen� de·la selección de x, entonces x es la variable independiente y y es la variable depeodienll El concepto de función como un conjunto de pares ordenados permite enunciar siguiente definición de gráfica de una función. 1 .4.2 DEFINICIÓN Sifes una función, entonces, la gráfica defes el conjunto de todos los puntos (x, y

en .;Jf2 para los cuales (x, y) es un par ordenado en f.

Comparando esta definición con la de una gráfica de una ecuac.ión ( 1 .2.4), se ded111 que la gráfica de una función f equivale a la gráfica de la ecuación y = f(x).

•... EJEMPLO ILUSTRATIVO S (a) En la Figura 3 aparece la gráfica de la funci f de los ejemplos ilustrativos 1 y 3. Se trata de la mitad superior de una parábola (b) La Figura 4 corresponde a la gráfica de la función g de los ejemplos ilustrati' 2

y 4.

Recuérdese que para que exista una función, debe haber un solo valor de la variab dependiente para cada valor de la variable independiente en el dominio de la funcix S

Considere el conjunto

1 " gráfica de este conjun to se muestra en la Figura 5: Este conjunto de parejas u,,das no es una función, porque para cualquier x en el intervalo (-5 5) existenorde­ dos purcs ordenados que tienen ese número como primer elemento. Por ejemplo, tanto ( l, 4) como (3, -4) son pares ordenados en el conjunto dado. Además, observemos lit! O (f) h(x) = 4x2 \ 2x3 + 1 xnsiste en tres números, -3, l y 4. ·

·

y

x+3 2-

-

y {J(X) = -(-X

1 "-

y

{

A partir de la Definición ( l . 1 .8) de l x l ,

El dominio es (-oo, + oo). La gráfica de/consiste en dos rectas que pasan por el ori­ Véase

-­

Sify g son dos funciones tales que (f o g)(x) y (g o f)(x) = x, entonces/y g sonfunciones il11'1 sas. En los ejercicios 40a 42, muestre quefy gMI funciones in versas.

está definida por

gen y están por arriba del eje x; una tiene pendiente igual a 1 , y la otra igual a - l . la Figura l . El contradominio es [0, + oo) .

1

impar o par en cada uno de los casos siguic1 tes: (a) f y g son ambas pares; (b) f y g MI ambas impares; (e) f es par y g es impar.

40.

f(x) =

+ 1

39. Determine si la función compuesta f o g

,

Solución

z -

si x

La función de valor absoluto

Determine su dominio y su contradominio y trace la gráfica.

z-1

1'2 -

Gn preparación para el estudio de límites y continuidad en el Capítulo 2, se discutirán ahora las gráficas de funciones. Recuérdese de la Sección 1 .4 que la gráfica de una función es igual a la gráfica de la ecuación y = f(x). Mientras que el dominio de una función suele resultar evidente en la propia definición, el ámbito tiene que deter­ minarse con la gráfica de la función.

f(x) = ixi

(b) f(x) = x3 + 1

g(x) = 5x2 - 4 + 3t3

(h)

SS

GRÁFICAS DE FUNCIONES

EJEMPLO 1

f(x) = 5x3 - 1 g(x) = x6 - 1 f(x) = lxl

.

- ­

33. Dada C(x) l x - 21 - lxl + 2, exprese G(x) sin barra¡, de valor absoluto si x está en el intervalo dado: (a) [2, + oo); (b) (-oo, 0) ;

(e)

y2 + 1

(b) (d) (f)

38. Existe una función que es tanto par COiil impar ¿Cuál es?

En cada e)i'rcido defina /as siguientesfunciones y deter­ mine el dommio de /afunción resultante: (a) f(x2); (b) 1 j(x)l 2; (e) (jo f)(x).

3

-

(i) g(x) = �

J' X

X

1

rABLA 1 .

(e)

y X X

in in tn in. in ¡n in n !n 2n

FIGURA 2

(e)

(a) 162"

En la Definición 1.6.1 es posible que se presente más de una vuelta completa en l11 rotación de OA.

271' rad 1r

t ,.

y

-

1 ra' d -

1

�-6 1r rad

1800

--'TI'

X

X

(a)

(b)

FIGURA 3

1

�

162 · �0n rad

(b)

.2. 12 n

rad

�

5

12

- n

180° ·n

La Tabla 1 contiene los valores equivalentes de grados y radianes de ciertos ángu­ los. Definiremos ahora el seno y el coseno .

Z DEFINICIÓN '

Supóngase que tes un número real. Coloquemos un ángul0, que tiene una medida en radianes 1, en posición normal, y sea P el punto de la intersección del lado termi­ nal del ángulo, con la circunferencia unitaria con centro en el origen. Si Pes el punto (:x, y), entonces la función ·coseno está definida por COS

t=X

y la funCión seno lo está por sen t = y

rad

De esto se deduce que 1°

y

(a) Determinar la medida equivalente en radianes de 162°; (b) deter­ minar el equivalente en grados de f27r rad.

(f)

Un ángulo formado por una revolución completa, de tal forma que OA coincidll con OB, tiene una medida de 360° y una medida en radianes de 21r. Por tanto·, exislt la siguiente correspondencia entre la medida en grados y la medida en radianes (dondr el símbolo - indica que las medidas indicadas son para el mismo ángulo o para ángu los coJ1gruentes):

63

EJEMPLO 1

X

• EJEMPLO ILUSTRATIVO 2 La Figura 3(a) muestra un ángulo cuya medida c11 radianes es � 1r, y la Figura 3(b) muestra uno cuya medida en radianes es -1} 1r. •

Funciones trigonométricas

y

Solu ción (d)

6

.

""' 57018'

Obsérvese que el símbolo ""' que va antes de 57° 18' indica que 1 radián y aproximad11 mente 57° 18' son las dimensiones de los mismos ángulos (o ángulos congruentes). Con esta correspondencia, la medida de un ángulo puede ser convertida de un si\ tema de unidades a otro.

de /. Por tanto, el dominio de las funciones seno y coseno es el conjunto de todos los 111\meros reales. La Figura 4 muestra el punto (cos t, sen t) cuando O < 1< t 1r, y la Jdgura 5 muestra el punto (cos t, sen t) cuando - ��. 1r< 1 < -71'. El máximo valor que cualquiera de estas funciones puede tener es 1 , y el mínimo

De la definición ante.rior se ve que sen t y cos t están definidos para cualquier valor

l . Más tarde se demostrará que las funciones seno y coseno toman valores entre 1 y - 1 , y. de esto se deduce que el contradominio de las dos funciones es [ - 1 , 1 ] . Para ciertos valores de t, el coseno y el seno se obtienen fácilmente a partir de una li�&ura. En la Figura 6 vemos que cos O = 1 y sen O = O, cos !1r = ! v'2 y sen t1r = 1, {2, cos t1r = O y sen t 1r = 1 , COS '?r = -1 y sen ?T = O, y cos f 7r = O y "�.:11 } 1r = - 1 . La Tabla 2 da estos va¡pres y algunos otros que se usan con frecuencia.

64

1.6

NÚMEROS REALES. FUNCIONES Y GRÁFICAS y

o

),tr \tr \n }tr • 1n {tr �lt

(,r, y) = (cos 1, t�\ en el dominio defy f(x + p) = f(x)

Al número real p positivo más pequeño se le conoce como periodo de f.

l 3 2

2 1

2

12 2

1

-1

(-1,0

o

-

� 1 .z v .>

,

hÍ2

-hÍ2 -h'3

o

(0, -I)

-1

-1

o

o

FIGURA 6

Compárese esta definición con las ecuaciones (2). Puesto que se puede demostrar que 271' es el número p positivo más pequeño con la propiedad en que sen(/ + p) = �en t Y cos(l + p) = cos 1, el seno y el coseno son periódicos con periodo 21r; es decir, l'Uando el valor de la variable independiente t aumenta en 21r, el valor de las funciones se repite. Debido a esta periodicidad del seno y el coseno, tales funciones tienen apli­ ntciones muy importantes con relación a fenómenos que se repiten en fórma perió­ dica, como el movimiento ondulatorio, la corriente eléctrica alterna, vibraciones, osci­ lnciones de péndulos, ciclos de negocios y ritmos biológicos. EJEMPLO 2 Aplicar la periodicidad de las funciones seno y coseno así como los valo­ ·�s de sen r Y cos r cuando O s t < 211', para determinar un valor exacto de cada una tic las siguientes expresiones: (a) sen lf1r; (b}cos ! 1r; (e) sen 1.{1r; (d) cos(- t 1r). Solución (a) sen lfn =sen(!n + 2 2n) ;=sen 1n

(b) cos �n = cos(!n + 2n) = cos "5-n

·

= h'2

(C) sen .!.f-n =sen(·�n

= sen in = -1

dicidud,

1 .6.3 DEFINICIÓN

65

cos (

o

¡J3

���

,

cos(t + 211')

�

Jrr

Notemos que cos2 1 y sen 2 t significa (cos 1)2 y (sen t)2 . La ecuación ( 1) es una idcrlll dad, puesto que es válida para cualquier número real t. Se la conoce como identidnll pitngórica fu ndamental y muestra la relación entre los valores del seno y el coseno¡ puede usarse para calcular uno de ellos a partir del otro. Las figuras 7 y 8 muestran ángulos que tienen un valor en radianes negativo de 1 y áng ulos correspondientes que tienen una medida en radianes positiva de r. En esrn figuras vemos que cos(-1) = cos 1

sen 1

TABLA 2

y

Funciones trigonométricas

=

i (d) cos( -�n) = cos[in + ( = cos �n = h3

+ 3 · 2n)

-

-

1)2n]

/

Definiremos ahora las otras cual ro funciones trigonométricas en términos del seno y el coseno.

• DEFINICIÓN �s funciones tangente y tan t

=

� cos 1

secante

scc 1 =

-+­

se definen por medio de

CO!. l

66

NÚMERO� REALES. FUNCIONES Y GRÁFICAS

1.6

y

y

Funciones trigonometricas

67

qm· definen la tangente y la cotangeme, son las ocho identidades trigonomélricasjun­ 1

�1.1� tres identidades, las tres pitagóricas y las dos identidades de la Definición 1 .6.4

En el Apéndice aparecen tanto éstas como otras fórmulas. Se han definido las funciones trigonométricas con dominios de números reales. Exis­ II'II IISOS importantes ele las funciones trigonométricas en los cuales los dominios son 1 ntljuntos de ángulos. Así, necesitan considerarse sen O, cos O, tan O, cot O, scc O, y ese O lllllldO O representa un ángulo. Con este fin una función trigonométrica de O es la fun­ h\n correspondiente del número real /, donde 1 es la medida en radianes de O. damentales.

1 I

FIGURA

FIGURA 7

1

DEFINICIÓN 6

es un ángulo cuya medida en radianes es t, entonces aen O sen / cos o = cos 1 tan O = tan t c:ot O cot t secO sec 1 ese 8 ese t

para todos los números reales t para los cuales cos t ::/= O. Las funciones cotangente y cosecante están definidas por COS f cot e = -­ sen r

csc t

=

=

=

1

sen 1

­

ángulo de inclinación tiene una medida en grados y cuya pendiente es m. La rect t.' que pasa a través del origen y es paralela a L también tiene pendiente m y un ángult dt.• Inclinación cuya medida en grados es El punto P(cos a, sen a) en la intersección 2 ti\: 1 ' y la circunferencia unitaria x + y 2 = l , está en L'. Y como el punto (0, O) iaiH hién C!>lá en L', de la Definición 1 .2.2 concluimos que Demostración

=

a

111

a

_ _

a

=

sen a --- = tan cos a

Si la recta L e!: paralela al eje y, la medida en grados del ángulo de inclinación ¡1,

1 1'\'1 t1 �·on el mayor ángulo de inclinación de medida a2 en grados, y sea L 1 la otra

ptttll lu cual la medida en grados de su ángulo de inclinación es a 1 . Si 8 es la m l'll ¡.¡t udohNt.rvc las figuras 1 1 y 12. El siguiente teorema permite determinar(} cuando se cou cc 11 lu' pendientes de L 1 y L2 •

L,

1 . 6.8 TEOREMA

Sean L1 y L2 dos rectas no verticales que se cortan y no son perpendiculare!>, y L2 la recta con el mayor ángulo de inclinación. Entonces, si m1 es la pendiente L1 , mf es la pendiente de 1.,2, y 8 es la medida en grados del ángulo entre L1 y

I'IGURA 1 1

FIGURA 12

(b)

FIGURA 1 3

70

NúMEROS REALES. FUNCIONE!? Y GRÁFICAS

EJ ERCICIOS 1 . 6 En los ejercicios 1 y 2, calcule la medida equivalente en radianes. 1.

2.

60o; (b) l3S0; (e) 210°; (d) 0-IS0°; 20o; (f) 4SOo; (g) -7S0; (h) 100 (a) 4S o ; (b) 120o; (e) 240o; (�) -22So; (e) ¡so; (f) S40o; (g) -48°; (h) 2

(a) (e)

En los ejercicios 3 y 4, calcule la medida equivalente en grados.

3. (a) ±n rad; (b) 3n rad; \e) '6 n rad;

4.

(d) -�n rad; (e) t rad; (f) 3n rad; (g) -2 rad; (b) fin rad (a) in rad; (b) jn rad; (e) �n rad;

(d) - Sn rad; (e) t rad; (f) - S rad; (g) }tn rad; (h) 0.2 rad

En Jos ejercicios 5 a 12, determme el valor exacto dt. la fundón.

5. (a) sen ¿n; (b) cos !n; (e) sin( _ilt); (d) cos( -in) ·6. (a) cos ln; (b) sen tn; (e) eos( -tn); (d) sen(-2n) 7. (a) cos �n; (b)sen(-!n); (e) cos 3n; (d)sen(-Sn) 8. (a) sen jn; (b) cos(- ¿n); (e) sen 7n; (d) cos( -fn) 9. (a) tan �n; (b) cot :1-n; (e) sec( - �); (d) ese ! n 10. (a) cot i,n; (b) tan in: (e) ese( - -in); (d) see n 1 1. (a) sec( - ¿n); (b) ese in; (e) tan in; (d) eot( - in) 12. (a) ese( - ln); (b) secin: (e) tan ( - ¡ n); (dJ cot in -

En los ejercicios 13 a 20, utilice la periodicidad de lasfunciones seno, coseno, secante Y cosecante, ast. como los valores de sen t, cos t, sec t, ese t cuando o s t < 211', para obtener el valor exacto de la función.

l3. (a) sen 1n: (b) cos :n; (e) scc ¡n; (d) ese �n 14. (a) sen �7n; (b) cos 'br; (e) sec J.tn; (d) ese .ljn 15. (a) sen( - �n); (b) cos( -�n); (e) sec( - 5n);

J6. (a) sen( - !n); (b) cos( -�n); (e) sec( -{n); (d) ese(- in)

(d) ese(- !n)

17. (a) sen 8n; (b) cos IOn; (e) sec 7n; (d) ese 9n 18. (a) senfn; (b) cos �n; (e) sec .l2'n; (d) ese �n 19. (a)sen( -�n); (b) cos(- � n); (e) scc(-J{n); (d) ese( - � n)

20. (a)sen( _ 8n); (b) eos(- 1 On); (e) see( - 7n); (d) ese(- 9n)

ic'ltlo\' 39y 40, obtenga redondeando hasta

ttii'W más próximo,

el ángulo de las rec'""''" las pendientes dadas.

En los ejercicios 21 a 24, aplique laperio icidad lit las funciones tangente y cotangente, ast como /m valores de tan t Y cot t cuando O s t < 1T' para obll' ner el valor exacto de la funci6n.

�

21. (a) tan �n; (b) eot ¡n; (e) tan( -�n);

22. (a) tan $n; (b) cot 1n; (e) tan(- ¡n); (d) cot( -tn)

(d) cot( -�n)

24. (a) tan( -J.fn); (b) cot( -lfn); (e) tan l ln;

(e) COl ��n

En los ejercicios 25 a 30, obtenga todos los val�rr de ten el intervalo (0, 2?r) quesatisfagan la ecuactd/1 (d) sec r = 1

t

(b) cos t = - 1 ; (e) tan 1

26. (a) sene = - 1 ; (b) cos t =

. (e) tan 1

l,

= 1:

-

1

(d) ese t = l . 27. (a) sen = O; {b) cos t = O; (e) tan L = O, _, (d) cot t = O . 28. (a) sent = i; (b) cos t = -t; (e) cot 1 = l, (d) sec e = 2 29. (a) sent = -!; (b) cos t = t; (e) cot t = - 1 (d) ese t = 2

30. (a) sen t = '

(e) tan t

-tJ2;

t

(b) cos t = tJ2;

= -Js.J3; (d) cot = !.J3

_

_

31. ¿Para qué valores de ten [0, 2?1') (a) t�n 1 está definida Y (b) sec t no está der·1111da.

�

32. ¿Para qué valores de t en [0, 1r) (ar) �ot · está definida Y (b) sec t no está de Jruda.

� 11

33. ¿Para qué valores del en [1r, 2?r) (a� �ot 1 está definida y (b) sec t no está def1111da.

�

34. Demuestre el Teorema 1.6.8 (Sugerencia: ll la fórmula tan(u - v) del Apéndice.)

En los ejercidos 35 a 38, determine tan O cuantl� es el ángulo entre las rectas que tienen las pendlr tes dadas.

}; (b) 4 Y -� 36. (a) t y -i; (b) t Y ! 37. (a) -t y �; (b) -1 Y -� 38. (a) - � y 2; (b) -t Y -+o

35. (a)

1

y

lu� r�•ctas que tienen las ecuaciones 2x + tl O, 3x -y - 4 = O, y 3x + 4y + 8 =

lunn redondeando a grados, las medidas lm 1\u¡¡ulos interiores del triángulo que tiene th 1� en ( 1 , 0), (-3, 2) y (2, 3).

1 h 111111 una ecuación de una recta que pasa l llllllt0 (-1, 4)y que forma un ángulode 1 udlt1ncs con la recta que tiene la ecuación 5 = O (dos soluciones).

1

) , 44.

/111 /t'/os 1 a 12, halle el conjunto de so/u­ /u llt•sigualdad indicada e ilustre la so/u­ ''' ll'c'ltl de los números reales. 1 Sx - 17 2. 8 < 5x + 4 � 10 1 �

'1 1

l\1

71

4. -- < -x+4 x - S 6. lx - 21 < 4 8. 15 - 2xl � 3 2

3

3 9

8 S

10. l2x - SI > 7 2 - 3x � � 12.

¡

3 +X

1 11 lr10s 13 a 15 despeje x.

IS 16 - 2xl

Halle una ecuación de la recta que pasa por el punto (-3, -2) y que forma un ángulo de ! 7f radianes con la recta que tiene la ecuación 3x 2y - 7 = O (dos soluciones).

45. (a) f(x) =sen x, g(x) = 3x; (b) f(x) tan x, g(x) = '2 46. (a) f(x) = cos x, g(x) = x2; (b) f(x)

¡

14. -- = 4 x+3

1 111111 lodos los valores de x para los cuales ' ,, - l S es real.

nrnt re las abscisas de los puntos que tienen

tliulu 4 y que se hallan a una distancia de 1 1 T tlcl punto (S, -2). urntre una ecuación que deba cumplirse 1 lru coordenadas de cualqÚier punto cuya

=

X

ese x, g(x) = 2x

1

1

(b) f(x) = sec -, g(x) = -x x- n

48. (a) f(x) = senx, g(x) (b) f(x)

1

1

; 2x

= tan x, g(x) = x + n =

distancia desde (-1, 2) sea dos veces la distan­ cia desde (3, -4). Trace la gráfica de la ecuación.

19. Halle una ecuación que deba cumplirse porlas coordenadas de cualquier punto cuya distan­ cia desde el punto (-3, 4) sea .JiD.

20. Defina los siguientes conjuntos de puntos, ya sea por una ecuación o bien por una desigual­ dad: (a) el punto (3, -5); (b) el conjunto de todos los puntos cuya distancia desde el punto (3, -5) sea menos de 4; (e) el conjunto de todos los puntos cuya distancia desde el punto (3, -S) sea cuando menos S.

4

l2x - l l

=

47. (a) f(x) = cot x, g(x) = -X1 ;

��"CIClOS DE REPASO DEL CA�ÍTULO

1 4

71

En los ejercicios 45 a 48, defina la función f o g y determine su dominio.

1 111111, tedondeando a grados, las medidas

t

23. (a) tan \1n; (b) cot lfn; (e) tan(- Sn);

1;

�; (b) -f Y -! y 2; (b) ! y i

1 • 1\n¡;ulos interiores del triángulo formado

(d) cot( -�n)

2S. (a) sen t =

V

1

1 .6 Funciones trigonométricas

En los ejercicios 21 a 26, trace la gráfica de la ecuación. 21. y2 = X - 4 22. Y.= lx - 4j 23. y = x2 - 4 24. y = j4 - X

25. y = J16 - x2

27. 28.

2t.i. xy

=

16

Demuestre que el cuadrilátero que tiene vérti­ ces en ( 1 , 2), (5, -1), (11, 7) y (7, JO) es un rectángulo.

Demuestre que el triángulo con vértices en (-8, 1), (-1, -6) y (2, 4) es isósceles y calcule su área.

......

7Z

NÚMEROS REALES. FU� C I ONES Y GRÁFICAS

29. Demuestre que los puntos (2, 4), ( 1 , -4) y (5, -2) son los vértices de un triángulo rectán­ gulo y calcule el área del triángulo. 30. Demuestre de dos maneras que los puntos ( 1 , -1), (3, 2) y (7, 8) son colinealcs: (a) usando la fórmula de la distancia, (b) empleando pendientes. J I . Dos vértices de un paralelogramo se hallan en (-3, 4) y (2, 3) y su centro se halla en (0, -1). rzucuentre los otros dos vértices. .ll. Dos vértices opuestos de un cuadrado están en (J, -4} y (9, -4). Encuentre los otros dos vé11ices. l.l. Oemucs1re que los puntos (2, 13), (-2, 5), (3, - 1 } y (7, 7) son los vértices de un pornlelogramo. '4, Pncuentre una ecuación de la circunferencia �·ttyo centro está en (-2, 4) y cuyo radio es /5. 1\Nc.:t (l)altt en la forma general. 111. l lttlll: uno ecuación de la circunferencia que tll.'tlt• lo� ¡)untos (-3, 2) y (5, 6);cmo los extre­ ttlm tic 1111 diámetro. lit 1 u�ut•ntrc una ecuación de la circunferencia l(lll' pn�n por los puntos {3, -1) (2, 2) y 11.

(

44. Calcule la distancia más cona desde el pun10 (2, -5) a la recta cuya ecuación es 3x + y ) 45. Encuentre una ecuación de la recta que p:11 por el punto de intersección de las rectas 5x 1 6y - 4 = O y x - 3y + 2 = O y es perpendl cular a la recta x - 4y - 20 = O sin buscar fl punto de intersección de ambas rectas. (Suxr rencia: Véase el ejercicio 58 de los Ejercici1t 1.2). 46. Los lados de un paralelogramo se encuentntli en las rectasx + 2y = 1 O, 3x - y = -20, ·' 2y = 15, y 3x -y - - 10. Encuentre lu ecuaciones de las diagonales sin obtener ltl vértices del paralelogramo. ('Sugerenéia: Vt' se el Ejercicio 58 de los ejercicios ! .2). =-

Determine todos los valores de k para los 1:1111 les las gráficas de las dos ecuaciones x2 1 y2 = k y x + y = k se corten. 48. Determine los valores de k y h si 3x + ky 1 2 = O y 5x -y + h = O son ecuaciones de 1 misma recta. Dada f(x) 3x2 - x + 5, halle: (a) f(-3); (b) f(-x2);

47.

=

,

1' �).

fx

l llllc �·1 ecn1ro y el radio de una circunferen­ rlu �'IIYII ecuación es 4x2 + 4y2 - 12x +

l

H 1' 1 1)

SO.

O.

111. 1 lll'ill'llltc ttr\0 ecuación de la recta que pasa pw

los ¡>tllliON (2, -4) y (7, 3) y escríbala en h1 hu illit de coordenadas en el origen. 1•1. 1 >�·lt'l mine una ecuación de la recta que pasa ptlt l'l punto (-1, 6) y tiene pendjente igual a 3, 6CI 1 11\.:lll'lllfc una ecuación c!e la recta que es la l'l'lpendicular bisectriz del segmento rectilíneo qm• vn de ( 1, 5) a (3, 2). 1 1 < >hh•u¡¡u unu ecuación de la recta que pasa por ,.¡ p11111o (S, 3) y es perpendicular a la recta l tl\lll l'UIIIl'iÓtl C� 2x - 5y = l . •U, 1 ll•ll'l lllliil' wtn ecuación de la circunferencia 1(111' llt•lll' t'lltt10 tll�mctro la cuerda común de lu� dr�;ttttlcrcttdu� x2 + y2 + 2 x - 2y - · ..l. .

1•1

0y

\1

l 11l

4X ¡. 4y - 2 - 0.

l lnltc 111111 ccuuci

O para la �: dada tal que

1 \ - al < o

entonces

l i < E

f11 111\' propie.(iades de las desigualdades, '"'' t•f

+ 2)1 < ó l x + 21 2 lx - 41 < ólx + 21

- 41 < ólx + 2 1 y ólx + 2 1 < ó lx2 - 4 1 < ó · 5

.RCICIOS Z. 1

> O tal que el enunciado (11) se

tl/lll 6

I(A' - 2)(x

lx2

=

L2 •

l)ebido al Teorema 2.1.2, puede expresarse que si una función! tiene un límite L 1'11 el número a, entonces L es e/ límite dejen a.

Recordemos que nuestro objetivo es hacer que 1x - 2 l lx + 2 1 < e. El enunciado ('1 indica que debe requerirse de o · 5 :::; €, es decir, o :::; e/5. Esto significa que se hn impuesto dos restricciones sobre ó: ó :::; l y ó :::; €15. Para que ambas restriccionc,� cumplan, se toma a ó como el menor de los dos números, 1 y €15; con símbolos CSl'll bimos esto como o = mín ( 1 , e/5). Utilizando esta ó se tiene el siguiente razonamienu

-

L1 y lím f(x) = L2 , entonces L, x-o

=

\·-o

O < l x - 21 < ó y

-+

El teorema siguiente afirma que una función no puede tender hacia dos límites dis­ lintos al mismo tiempo. Este se llama teorema de unicidad porque garantiza que si el límite de una función existe, éste es único. Se enuncia aquí el teorema pero su demos­ ltación se remite a la Sección Suplementaria 2.9.

-1 < x - 2 <

-+

85

1)

valor dado de E .

e

�)

""1

2; E = 0.05

3; E = 0.001

rl\:) = 7; E = 0.02

1 �\') = -8; E '1, !

'-

(x2 + 4x + 4) =

= 0.002

,,-o· X

•3

17. lím (2x2 + 5x + 3) = I; E = 0.004 x-- 2 18. lím (3x2 - 7x + 2) -2; E = 0.02 =

x2 - 4

19. lím

·-

= -4; E = 0.01 •{

---

9x2 - 1 = 2: E = 0.01 3x - 1 5 Jx2 - 8x · - 3 =-; E = 0.001 21. lím · 2 x-3 .< · l z . 4xz - 4x - 3 ,.. 22. lim 5; E = O.003 ·4 2x + 1 =

·'

En los ejercicios 23 a 42, demuestre que el flmite es el mímero indicado por medio de la aplicación de fa Definición 2.1.1.

23. lím 7 = 7 X •2

= 0.005

24. lím (-4) = -4

16: E = 0.03

25. lím (2x + 1 ) = 9

·1: ( = 0.003

26. lím (4x + 3) = 7

�)

-4: E = 0.0J t

1; E = 0.002

16. lím (x2 - x - 6) = O; E = 0.005

x· 1 J

0.01

1) - 5: E = 0.1 e::

1

- 15. lím (x2 + 3x - 4) = -4; E = 0.03 X

20. lím

5; E = 0.02

1)

14. lim

x-- 2 X + 2

3; E = 0.2

1 1) - 1 0; E =

, 13. lím (x2 - 2x + 1) = I; E = O.OOI

27. lim (5x + 8) "" 3 .\-- t

.\

.

1

86

28. 29.

.10.

LÍMITES Y CONTINUIDAD 11m

,1

·J

37. lím (x2 -

(3x - 5) = 4

(7 - 3x) = - 2 11m (2x + 7) = - 1

lfm

38. lím (x2 +

,\ • J \ 1

39.

u.

2

lh n (7 - 2x) =

\ '

,\ •

l

x2 - 1 Hm -- = 1 x + 1 , •

'(2 - 9 lti, IÍIII . - = 6

.1�. 11m xJ. 1 '1

,1(,,

= 1

11 m x2 =

\ .

l

10

2x - 1) =

lím

x--3

x

- x2) =

x-• - 1

7

111 O < lx - a l < o si o =

-1

=

4'Í.

-2

43.

lím (4x2 - 13x + 12) = 3 Demuestre que lím x-a

número positivo.

44.

9

xl

:

Demuestre que lím x2 = x-a

número negativo.

\lO

1

O

x-• 2

x-1

11 u firmación (2) será válida si o = d 1 m 1 ; así concluimos que

1

4 1 . lím (6x2 - J3x + 5) = 3

l'l

\ -3

\ •1

3x) =

40. lím. (3 + 2x - x2)

4

.11. lfm ( 1 + 3x) = - 5

,12.

(5 -

2.2 Teoremas de los limites de las funciones

a2 si a es cualqui('l a2 si a es cualq 11111

Z.2 TEOREMAS DE LOS LÍMITES DE LAS FUNCIONES En la Sección 2.1 se demostró que el límite de una función es un número específic\1 nplicando la Definición 2 . 1 . 1 . Para evaluar los límites de funciones de una manera 11 111 sencilla se usan teoremas cuyas demostraciones se basan en la Definición 2 . 1 . 1 . Esto teoremas, así como otros relativos a los límites de funciones que aparecen en secclu ncs posleriores de este capítulo, se designan como "teoremas de límites" numerándu los en forma consecutiva.

*

entonces

l (mx + b) - (ma + b)l <

demuestra el teorema para el Caso l .

87

e

(',wo 2: m = o. Si m = O, entonces 1 (mx + b) - (ma + b) 1 = O para todos los valores de x. Por 11 1 1110, tomamos o como cualquier número positivo, y la afirmación 1 se cumple. Esto

dt'tlluestra el teorema para el Caso 2.

• EJEMPLO ILUSTRATIVO 1 1 ·2

11m (3x + 5) = 3

·

= 11.

2 + 5

Del Teorema

1

ele límite se concluye que

•

TEOREMA 2 'DE LÍMITE Si

e

es una constante, entonces para cualquier número a,

11m e = e o

b

Ucmostración 111

•

y

= c.

Esto es consecuencia inmediata del Teore�a 1 de límite, tomando •

TEOREMA 3 DE LÍMITE

Z.2 . 1 TEOREMA 1 DE LÍMITE Si

m y h son dos constantes cualesquiera,

trm (mx + b) = ma + b

\ •11

Para demostrar este teorema empleamos la Definición 2. 1 . 1 . P(ll cuulqulcr { > O debemos demostrar que existe una o > O tal que O mostración

si

O < lx - a l < o

entonces

coso 1: '" .P o. Yn quc l (mx + b) - (ma + b)l O paru O tal que

si

O < l x - ctl < o entonces

o, como m i: O,

si O < l x - al < o entonces

l (mx + b) - (ma + b ) l < E �

= lml

l ml

·

Esto es también consecuencia inmediata del Teorema 1 de límite al 101nar m = 1 y b = O. •

Oümostración

·

fx - a l , deseamos encontrar unao

lx - al <

l x - al <

--¡m¡E:

t:

•

EJEMPLO ILUSTRATIVO 2

11m 7 = 7

\'·•5

Del Teorema 2 de límite

y del Teorema 3,

lim x = -6

•

�---6

TEOREMA 4 DE LÍMITE Si límj(x) = L y lím g(x) = M, enlonces

x-a

x-a

lím [j(x) ± g(x)] = L ± M

x-a

r

no

2.2 Teo remas de los límites de las funciones

l iMITES Y CONTINUi AD

d

Demostración

y

l l m f(x)

1•(/

=

lím g(x)

L

Demostraremos este teorema utilizando el signo más. Dado qu�·

deseamos demostrar que lím lf(x) + g (x))

1

11

=

Para dcmost rarlo, usamos la Definición 2.2. 1 ; es decir, para cualquier E > O debemu 1 [J(x) + g(x)] - (L + M)l <

O < lx - al < 5 entonces

E

Como la ecuación (2) está dada por la definición de un límite, se puede deducir qu poru Yí< > O existe una 51 > O tal que O < lx - a l < 51

si

/\Ht\ll,SUmcntc,

entonces

< lx - al < o2

�1

O

O.

Vf(x) lím x-a

=

TL

La demostración de este teorema se da asimismo en la Sección Suplementaria )

EJEMPLO ILUSTRATIVO 6 Del resultado del Ejemplo Ilustrativo 5 y del '1 rema 10 de límite, concluimos que -

�4

lím

x = 3 lí01 \J� � x- 4 - 7x + 1 = 3 C4 \/ - 27 ·

_ _ _ _

if4 = -3

=

(T.L.6)

x-3

(T.L.3 y T.L.2)

9 + 21 - 5

Hidu por f(x) = x2 + 7x - 5, vemos que /(3) = 32 + 7 · 3 - 5 = 25, lo cual es 2 l¡t 1t1ismo que lím (x + 7x - 5). No siempre es cierto que lím f(x) = f(a) (véase el x

4 -27

--

.•

lím x - lím 5

x-3

Aquí es importante darnos cuenta de que el límite, en el Ejemplo 1 , fue evalua­ dn por la aplicación directa de lps teoremas sobre límites. Para la función f defi­

(-7x + 1 )

4 = 27

•

x-3

= 25

lím x lím x-4

x-3

(T.L.5)

x-3

= 3 · 3 + 7 · 3-5

x-4

x-4

+

x-3

= Jím x · lím x + lím 7

ma 1 de límite, lím (-7x + 1 ) = -27. Por lo tanto, usando el Teorema x-4

91

JEMPLO Z

lhn

, ·2

�

-3

x-a

Encontrar

x3 + 2x + 3 x2 + S

\. ruundo sea aplicable, indicar los teoremas de límites que se emplean.

luluclón lhn

x-2

lím

. .�

x3 + 2x + 3 --=2 X + 5

lím (x3 + 2x + 3) lím (x2 + 5) x-2

t

=

lím x3 + lím 2x + lím 3 lím x2 + lím 5 x-2 x-2

(T.L. lO)

(T.L. 9) (T.L. 5)

!.IMITES Y CONTINUIDAD

(

2.2 Teoremas de los límites de las funciones

lím lím. 2 lím x + x-2 lím + x-2 (x-2 (lím x)2 + lím -- 23 + 2. 2 J 22 + : J ·

x)3

x-2

+ 3

x-2

TABLA 1

3

(T.L.

5

8 +

- - .., 1

4

(T.L. 3 y T. . ·•

+ 3

X

TABLA 2

?5

f(x) = � x-5

4.5

l

x-•2

5

=

6 y T.l..

2

4.9 4.99 4.999

9 9.5 9.9 9.99 9.999

6

X

5.5 5.1 5.01 5.001

f(x) =

93

x2

- 25 x-5

11 10.5 10.1 10.01 10.001

J15

= --

3

{X-

Dado quejes la función definida por

EJEMPLO 3 .f(x)

=

5

·

Si X :f= 4 si x = 4

3

X- 5

•

x-4

encontrar lím .f(x).

Solución

2

(h) Tenemos aquí una situación diferente a las de los ejemplos anteriores. El Teore. x2 - 5 . no puede ap¡1carse · ma 9 de l.1m1te a1 coc1ente pues Jím (x - 5) = O. Sin embargo, al factorizar el numerador se obtiene

x cercanos a 4 Pl'l 1' Al evaluar lím j(x), estamos considerando valores de

(x - 5)(x + 5) x-5

x-4

no iguales a 4. De este modo tenell}.os

x-4

lím f(x) = lím (x

X-•4

=

c 11 &;,;,

1

- 3) 1

\ím.f(x) este EJ'emplo 3 ' x --4

Si x

(T.L, I

= 1

pero /(4)

=

5; por tanto lím f(x) x-4

* /(4).

* 5, el numerador y el denominador pueden dividirse entre x

a 5, se están considerando valores de x cercanos a 5 pero no iguales. Por tanto,

Este G

=

es posible dividir el numerador y el denominador entrex - 5 . La solución se expresa en la siguiente forma: l ím

x-5

-

x2 - 25

X

5

�

valores def(x� �uando x es 4, 4. (a) Aplíquese una calculadora para determinar los que tJendej(x) cuatHh 4.9, 4.99, 4.999 y cuando x es 6, 5.5, 5 . 1 , 5.01 , 5.001. ¿A x se aproxima a 5? lím f(x) . (b) úsense los teoremas de límites para calcular x-5 los valores dados de x. De (a) Las Tablas 1 y 2 muestran los valores dej(x) para ma a 5. con estas tablas, f(x) tiende a 1 0 cuando x se aproxi

= =

" (x - 5)(x + 5) lím X- 5

x-5

lím (x

x-5

+

5)

= 10

Considérese l a función

I�JEMPLO S

Solución

- 5 para obte­

ner x + 5. Recuérdese que al calcular el límite de una función a medida que x tiende

de ge�metría, esto slp un ejemplo de una función discontinua en x = 4. En términos _ 11 4 (vease la F1gura ni fica que hay un salto en la gráfica de la función en el punto x ecuacll ln (4, 5) y de la línea recta cuya 1.a gráfica de la función consta del punto aislado 4, 1 ) . ( punto del ión excepc es y -= x - 3, con

EJEMPLO 4

x-5

II(X)

=

Yx X-4

(L.T . 1 )

Considérese la función

2

(.t) Úsese una calculadora para tabular con cuatro cifras decimales, los valores de g(x)

cuando x es 3, 3 . 5 , 3.9, 3.99, 3. 999 y cuando x es 5, 4.5, 4. 1 , 4.01 , 4.001. ¿A qué

1 iende g (x) cuando x se aproxima a 4? ¡h) Determínese lím $(X) y, cuando sea aplicable, indíquense los teoremas de límix-4

tes aplicados. 1

94

TABLA 3 \

, ,,

\ 1)11

1 111111

2.2 Teoremas de los limites de las funciones

LfMITES Y CONTINUIDAD

r/(' '1 1

1/{t + a) - L l < E

O en forma equivalente, sustituyendo t + a por x y 1 por x - a, O < lx - al < ó

!.i

De

lf(x) - L l < E

entonces

11m j(x) = L 1 •11

r�nrtC' 2:

Probar que lím .f(x)

Si 11m f(x)

x-a

=

L sólo si Iím f(t + a) t-0

=

L.

L, entonces, por la Definición 2 . 1 . 1 , para cualquier �: ;> O exl\1

unn 6 > O tal que el enunciado (6) se cumple. Reemplazando x por t + (!'y x - a 1111 r, l�:ncmos el enunciado equivalente (5). Así pues, de la Definición 2 . 1 . 1 podemos 1.:011 \ •11

==

\.'11111' que

11m f(l + a) 1 ·11

=

L

11JhBCICIOS Z.Z

1 11 1111 r'/t'll ll'tr'\ / 11 14, halle el valor del Hmite y, •tt•

r llrllltlll ll'tl llfl�l/1/t•, lndlt¡lll! los teoremas de límite

l

•,

11111 1 1 \

11111 1'\

1 J)

11111 " 1 1 ,! , 1

4. ihll (2\A 1

!1. 1!111 (:1 ' • \

ft.

1)

I'IIIJI/r•r•lt

•

l

1)

'" 1 5)

!!)

11m (y3 - 2y2 + 3y - 4) '

1

4x - 5 7. lí01 -­ x- 3 5x - 1 3x + 4 8. lí01 _ _ _ x- 2 8x - j. c2 - 5 9. lím 2 3 1 •2 l + 6

lo•

11.

l.101

x--1

lí01

r -• 1

.\-c

¡•llm/1/e, indique los teoremas de ltínite ,. _ 2 \'z _

; x es 1 , 1 .5, 1 .9, 1 .99, 1 .999 4 1 , 2.5, 2. 1 , 2.01, 2.001; e = 2 . 2xl + 3x- 2 ; x e s -3, -2.5, -2. 1 , 1 z 6x 16 111, 2.001 y x es - l , -1.5, -1.9, - 1 .99, I IIIJIJ, 1' = -2 1 2 + 5x + 6 l'z _ x 1 2 ; x es -4, -3.5, -3.1_, 1.001, -3.0001 y xes -2, -2.5, -2.9, 2.999, -2.9999; e = -3 2x 4 z - 3 ; x es 1 , 1.4, 1.49, 1 .499, x 9 Y \ CS2, 1.6, 1 . 5 1 , 1.501, 1.500 1 ; c = � 1 - Yx ,1=x-;x es 8, 8.5, 8.9, 8.99, 8.999, 111, 9.5, 9. 1 , 9.01, 9.001; e = 9 2 - � ; x es - 1 , -05, -0. 1, x 0.001 y xes 1 , 0.5, 0.1, 0.01, 0.001; _

_

_

'' rr·IC'ios 2 1 a 39, determine el !tínite y, •t ''lllicable, indique los 1eoremas de ltínite

2x + 1 -2 - 3x -r 4

X

/t 1 • tt•los 15 o 20, proceda a lo siguieme: "'''' mlculadora para {(lbular, con cuatro 11111111':., los valores def(x) para los valo­ ,,, \. ¿A qué tiendef(x) a medido que x /lllt/ 11 e? (b) Determine /¡in f(x) y, cuan-

_

l)cfinición 2. 1 . 1 , el enunciado (6) implica que

In

24.

-­

_l _ 7'+3 yf&-+ +

2' x' +� :3 x� +4 12. lí01 3 x + 1 ·-2

l.•m

x � l /3

3x - 1

--­ 9 2- 1

x

3s2 - 8s - 1 6 :- ­ l.1111 .,..-: 2s-4 2s - 9s + 4 3x2 - 17x + 20 -­ 26. l.1111 �.x-4 4x2 - 25x + 36 yl + 8 21 l.101 -­ y--2 y + 2 s3 - 1 28. lí111 -25.

•

•-•

S- 1

29. lí01 y- - 3 30. lí111 •-3!2

2y2 + 7y + 3

8t3 - 27 4t2 - 9 1

31 . lt01 . --­ .¡; x-t X - 1 32.

2 l.101 ---Jh+5 h+1

h- -1

33. lím .J;+2 - .J2 34.

x-O

X

�-1 lí01 --­ X- l

x-l

35. lí111 if¡;+I.'_ "

36 l.1 0 1 •

x--2

•

•

=

7

41.

25 1 5 1

1

x3 - x2 - x + 10 � � 2 X + 3x + 2 2x2 - x - 3 37 l.lffi 3 x - - 1 X + 2x2 + 6x + 5 2yl - l ly2 + 10y + 8 38. líl11 y-4 3y3 - 17y2 + 16y + 16 1. 2x3 - 5x2 - 2x - 3 ' 39 IITI 3 x-3 4x - 13x 2 + 4x - 3 40. Si /(x) x1 t 5x - 3, h-0

1,�'1/(x)

49

97

==

/(2).

F(x) = 2x' 1- 7x- 1 , ,!i'�, F(x) = F(-1 ). Si

c.:ompruebe que

demuestre que

42. S1 g(x) "" -- -- demu e . O tal qm l g (x)l < El(! + I L I > siempre que O · 1 x - a 1 < o2 , aplicando la Definición 2.1.1 O. Considerando que o e\ t•l al lím g(x)

si x = -3

1111 1 11�\ll'IIIIC lim f(x), y demuestre que 11111 /(1) l j ( 3). l 1 .

IH

lim Lf(x) - g(x)] = L - M ;c-a

' •it

1 Ít'tlllll'�l t l' 1.:1 'l'corcrna 5 de límite aplicando 1 1 1 l Inducción matemática.

1

IIIIIIIU'\

,, •tt

1 lt•ttt lti•-l t e l'l Teorema

6 de límite: si L y lím g (x) = M, entonce�

50. Demuestre el Teorema

1 tllpln 111 l>cl'inrción 2. 1 . 1 para demostrar lltll ,(('() L y lím g(x) = M

qtll -1

11

menor de los números 5 1 y o2, el teore11111 queda demostrado.)

t

( h) l tlWt• lit t&rtHicu de f. lh

=

v-u

7 de límite aplicando

2 . 3 LIM ITES U N I LATERALES

lím f(x)

.r-a

=

lím [f(x) ·-·

·

.\-u

g(x)] = L · M

(Sugerencia: Escriba f(x) · g (x) l/(x) - L]g(x) + L [g(x) - M]

=

L · Al Aplique el Teorema 5 de límite y el resuhadu del ejercicio 49.) +

Al �·ottHidcrnr tím f(x) nos interesan los valores de x en un intervalo abierto que con v-a

lt'n¡.tll lt u pero no a a misma, es decir, valores de x cercanos a a y mayores o menor ' llll' 11 Sin �·tllbargo, supongamos que tenemos la función/para la cualf(x) J;: 1l e 11111o 1 ( ' ) 110 existe, si x < 4, f no está definida en cualquier intervalo abierto qll 'lllill'lii'H tt 4. l)c aquí que lím Jx - 4 no tiene sentido. Sin embargo, si x c�l =

x-4

1

' ' l r lurldu u valores mayores que 4, el valor de x - 4 se puede acercar a O tanto cortt qiH•I IIIrltlN, I Oi l t Bi ldo x suficientemente cercana a 4 pero mayor que 4. En tal caso, al'rt � 1111111\ ' 11 •1 por In derecha y consideramos el límite unilateral por la derecha o el líntll

2.3. 1

JICII In chlrl' O existe una o > O tal que 1/(x) · g(x)l < e siempre que O < l x - al o. Primero demuestre que hay una 6 1 > O tal que 1/(x)l < 1 + 1 L 1 siempre que O • l x - a 1 < o 1 , aplicando la Definición 2. 1 . 1 a l lím /(x) = L , con e = 1 y o = h 1 ;

(H) O, independientemente de qué tan pequeña sea, existe una

O < a -x < ó

entonces

IJ(x) -

L1 <

-

_ .. ...

--

·

E

Nos podemos referir al límf(x) com o el límite bilateral • o el l•'mJte no d'Jflg . J.dO, par x-a a . . di,tJngUJrlo de los límites unilaterales . l...os t�oremas de límites 1 a 10, dad os en l a Sección 2.2 no se alteran . " \ .... a. se sustu cuando uye por "x ... a+, 0 "x ..... a- " •

l.JEMPLO 1

La función signo se define por si x < O , si x = o si O < x

ltt) Trazar la gráfica de esta func ión. lh) Determinar lil n- sgn x Y lím sgn x, si éstos existen . .• _ o x-o·

�olución t ltt) La gráfica de la función apa rece en la Figura l . �

Sea} una función definida en todos los números de algún intervalo abierto (a, e Entonces, el límite def(x), cuando x se aproxima a a por la derecha es L, y se cscri

99

----- -----

-- ---- -- ----

1 00

2.3 Limites unilaterales

LfMITES Y CONTINUIDAD y

(f' 1 O 1

1 1'·----�

0t 1

I'IOURA 1

).r

-1

(b) Ya que sgnx ,·-o

=

lím sgnx =

-1 si x < O y sgnx = 1 si O < x, tenemos lím (-1)

lím sgn ,-(

x-o

= -1

En el Ejemplo 1 , lím sgn x

x-o

:f.

x-O·

=

lím

lO

= 1 sgn x. Puesto que el límite por el lado izquh•1 xlím -o·

do y el límite por el lado derecho no son iguales, el límite bilateral lím sgn x 111 x-0

existe. El concepto de que el Límite bilateral no existe debido a que los límites unilal raJes son desiguales se enuncia en el siguiente teorema.

El lím .f(x) existe y es igual a L si y sólo si lím f(x) y lím .f(x) existen y ,\·-u

x-a-

iguales a L.

SCIII

.x-a+

La demostración de este teorema se deja como ejercicio al lector (véase el ejercicio 1·11 Un comerciante que vende al por mayor distribul 1111 producto que vende por kilogramo (o por fracción de kilogramo); si no se soliciluf 1111h de 10 kg, el comerciame cobra $1 (unidad monetaria) por kilogramo. Sin embar�t p¡�r·a ntracr pedidos cuantiosos, el comerciante cobra sólo 90 centavos (< l ) por �lh lolt'umo si se compran más de 10 kg del producto. Así pues, si se compran x kilograrttr del producto y C(x) unidades monetarias es el costo total del pedido, entonces EJEMPLO ILUSTRATIVO 1

('(\)

{x

s i O < x < IO

(),9\' l>Í 10 < X

...

1 .11 grri 1 icu tk C se muestra en la Figura 2. Obsérvese que C(x) se obtiene de la ecu �h\rt ('(.\') x cuando O � x � 10, y de la ecuación C(x) = 0.9x cuando 10 • lkhldo u CMu �ituación, cuando se considera el limite de C(x) cuando x tiende a 1 debe tlisti 1 1 guirse entre el limite por la izquierda en 10, y el límite por la derecha 11111 bién en 1 O. Para la función C se tiene lim

x- 1 0

C(x) =

\ 11 que

lim

x- J o-

= 10

x

lím

x-Jo•

C(x) =

lim

x-to•

:f.

lím C(x), se conc1uye del Teorema 2.3.3 que no existe x-to• ,I I!I C(x). Obsérvese en la Figura 2 que en x = 1 0 hay una J1 interrupción en la gráfi­ ''" de la función C. En la Sección 2.6 se retornará a esta misma función. • lím C(x)

x-JO-

EJEMPLO 2

2.3.3 TEOREMA

•

1 11

x-o-

N(X) =

{�

Sea g definida pot si x :f: o

xj

si x = O

111) frazar la gráfica de g. (b) Hallar

Solución In) En la Figura

(h)

ll,m_

\

o

g(x)

=

3 se muestra la gráfica.

lím

x-o -

=0

Ya que

(-x )

;�� g(x)

Y es igual a O.

�� g(x) si es que existe.

lím

x-o ·

=

��. J

g(x) =

lím

x

x-o·

=0 g(x), se deduce del Teorema 2.3. 3 que lím g(x) existe ·"-o

:

y

0.9x

=9

_ .., _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ , _ _ _ _

--

--

---

---

•!Edj

-------�

2.3 Limites unilaterales 1 OZ

103

D LIMITES Y CONTINUIDA

Jím g(x). Nótese"'' g(O) = 2, Jo cual no afecta x-0 Observemos en el Ejemplo 2 que O. ón en la gráfica de g en x = 1nismo que hay una interrupci

{4 -x2 si x

Sea h definida por

EJEMPLO 3

� 1

h(x) ­ - 2 + x2 si 1 < x tes límites si exisl�ll erminar cada uno de los siguien (a) Tra1ar la gráfica de h. (b) Det lím h (x), lím h(x). lím h (x), x-·1 x-1 .\ ·1

(4

Solución

la Figura 4. (a) La gráfica se muestra en 2 2 \ím h(x) = lím (2 + x ) t • (b) lím h(x) = lím1 - - x } x· 1 xx-

\ •1

lllll

s a 3, Jím h(x) y ambos son iguale Jím h (x) = x-1 Puesto que x-1· 3. 2.1 .3 que lím h (x) =3

=3

=2

) lím - F(x); (e) lím F(x) ..x - - 1 x-· - 1 1'

1'

11111

1 '

1' 1 1(\)

1\1

tul 1!111 /h); (b} lím f(x); (e) lím f(x) '

ltt, 'i 1 \ ) 1 1,

1 �1' 11 \ 1 ¡,gn x se define en el Ejemplo

( 1 ) 11111 �(\); (b) lim S(x); (e) lím S(x) .\-(' ,,-o 1 •11

12 si xt 1 '' uu1ncra de establecer la Definición 2.4. 1 es c o sigue: "Los valoresf(x) ct l'l'll 14111 llulltc cuando x tiende a un número a sif(x) s.e puede hacer tan grande COIIIt

�

�l' q11lt•1 " (es decir, mayor que cualquier número positivo N) para todos los valores !1

\

'llll ldcntcmcntc cercanos a a pero no igual a a".

J)chcmos insistir una vez más en que + oo no es un símbolo qtit corresponda a u n\uncro real: por esto, cuando escribimos lím f(x) = + oo, ello no significa lo mi�nt

que lím f(x) = L, donde L es un número reaÍ. La ecuación (1) se puede leer como ' 1 x-a

>."-ti

aproxima cada vez más hacia a. De manera semejante, podemos indicar el comportamiento de una

función cuyos vulores decrecen sin límite. Para llegar a esto, consideremos la función g definida por l11 ecuación -3

M(X) = (x - 2)2

1 11 gráfica de esta función se muestra en la Figura 2 .

Los valores de la función, dados por g(x) = -3/(x - 2)2 son los negativo s de los lores de la función dados por f(x) = 3/(x - 2f. Así, para la función g cuando x llrnde a 2, ya sea por la derecha o por la izquierda, g(x) decrece sin límite y escribimos VIl

?..4. t DEFINICIÓN

11m /(x)

Jlt'lo el símbolo + oo indica el comportamiento de los valores de la función f(x) cuando

\ �e

límite def(x), cuandox tiende a a, es infinito positivo". En tal caso, el límite no exi.�l

l ím

,.... =

-3

1 2 (x - 2) 2

1

- oo

DEFINICIÓN ea/ una función definida en todo número de algún intervalo abierto 1 que con­ : &tnsa a, excepto posiblemente en el número a mismo. Cuando x tiende a a, f(x) decrece sin límite, lo cual se escribe Um f(x) x-u

11

=

- oo

(2)

para cualquier número N < O existe un o > O tal que

si O < lx - a l < ó entonces f(x) < N

Nota: La Ecuación (2) se puede leer como "el límite def(x), cuando x tiende a a, 111 finito negativo " , observando una vez más que el límite no existe "

y que el símbolo '" sólo indica el comportamiento de los valores de la función cuando x tiende a a. Podemos considerar límites unilaterales que son "infinitos". En particul ar '

LIMII 1:,;:,

IUO

!/

Y L.Ul� I I I�UJUAU

lím f(x)

=

\• (1 .

+ oo sifse define en todo número de algún intervalo abierto (a, e), y hi

�

para cualquier número N > O existe un o > O tal que '

O < x - a < o,

si

entonces f(x) > N

Se pueden dar definiciones semejantes si lím f(x) lhn f(x) = - oo .

+ oo , Iím f(x)

- oo,

x-o·

�

2.4 Límites

1

infinitos

10

-¡--------- - 1 '

Ahora supongamos que h es la función definida por la ecuación h (x)

2x x- l

l\n la Figura 3 se muestra la gráfica de esta función. Al estudiar las figuras 1 , 2 y 1 1 nótese que la gráfica de la función de la Figura 3 se comporta en forma diferente d1 lus otras dos. Obsérvese que 1

l!tn .¡

11111 1 1'

2x - = - oo X-1 2x

X

. =

1

+

"i

11

1·� dcclt , para la función definida por (3), a medida quex tiende a 1 con valores inh

1

1 �:on valores superiores, los valores de la función aumentan sin límite.

Antes de proceder a algunos ejemplos, necesitamos dos teoremas de límites rml Infinito.

�.4.3 TEOREMA 1 1 DE LÍMITE S1 r es cualquier entero positivo, entonces (t) lím

+ oo·'

11 \''

(JI) 11m

{ ::

,., x'

P llllllltr clón

�

s r es impar st r es par

}

Probaremos la parte (i). La prueba de la parte (ii) es semejante y 1

lll'!llrliiiN l'OIIIO ejercicio para el lector (véase el ejercicio 45). Debemos demostrar enloll

�tlli 1 11111

Ni

ptllll l:\lulquicr N > O existe una o > O tal que

() • \ '

ó

'' "

cmonces

1

-

x'

> N

o, lo que es igual, como x > O y N > O,

�tr

1

entonces

1 x' < ­ N

.

ununciado se cumple si o =

O O, O

�¡

00

11111e� n 1, los valores de la función disminuyen sin límite, y a medida que x se accrtll

u

O (x) = -4. X 1

¡,,tf(t•s) de la gráfica de lafunción y trácela(s).

-

2

x-4

3

1

_

1 (e) ll(x) = 3; f(x) = -; (b) g(x) = --¡; X X X 1

1

,'�)

(d) (x) = 4 x Para cada una de las siguientes funcione,, encuentre la asíntota vertical de la gráfica dt• 1:.. función y trácela: ·

34.

'J

!'

,,

1

1 1 1

1 1

1

1

1 1

'

�l

:X

�

1 1 1

1 t 1

1

FIGURA 10

o

3¡

1

1

\1

t

1

0

42. f(x) = x2 + 5x - 6 1

'.��

(x

3

2)2 picando la Definición 2.4.1. -2 44. Demuestre que lím ( 4)2 ..-4 Xpleando la Definición 2.4.2.

43.

Demuestre que

_

x+l

45. Demuestre el Teorema 2.4.3(ii).

-2 x+3 -4 x-5 -2 (x + W

46. 47. 48.

x2

1

(a)

(1

FIGURA 9

(x2] -

g(x) = -2; X (b) X 1

/11 1 t'JI'rcicios35 a 42 encuentre la(s) ast'nrow{s)

--­

4

1

t

·--4-

JI C! xl \'

S

funcione,, de la fun gráfica la de l halle la asimota vertica ción y trácela:

:1

'

( �2 - 2�4) (t2 + 23t - 4 - -+3 4)

2- S

lím

M lr(x) =

--;

l· oo

cm-

1- oo

cm-

Demuestre el Teorema 2.4.4(ii). Demuestre el Teorema 2.4.4(iii).

49. Demuestre el Teorema 2.4.5.

Demuestre el Teorema 2.4.4(iv).

SO. Dernue tre el Teorema 2.4.6.

51. 52.

"-

J, l 9

.u�.'i. e llttt

\

\

25•

-

X2 1 x3 + 9x2 + 20x 29. lím x- 3- X2 + X - 12 6x2 + x - 2 lim 30. x_,2 + 2X2 + 3X - 2 X- 1 31. lím -;:::===:�­ • 2x J - x2 - 1 1 x-2 32. Um > O, sin importar cuán pequeña sea, exista un ero N < O tal que lf(x) - L l <

DEFINICIÓN

o ((1, s�·n J una función definida en todos los números de algún interval limite de j(x), cuando x crece sin límite es L, y SSwrepresenta como "'

L

· E > o, r1o importa qué tan pequeña sea, existe un número /1. si para cualqu1cr O, tal que \ . , ......

si x >N siempre que

!f(x) - L l < €

�

+ oo, no tiene el mism� significado q�c, por cjc111 Nota: cuando se escribe x x _. 1 000. El símbolo x _. + oo indica el comportamiento de la vanable x. ....

�:

Nora: Como en el caso de la Definición 2.5 . 1 , el símbolox --. - oo sólo indica el com­ de la variable x.

JIIII tamiento

x2 + 1

11m j(X)

1 Z1

/(\)

1 1.6 1.� 1 K1!2353

l ll23077

1 111!0198 1 1)99800 1 ')99998

122

lÍMITES Y CONTINUIDAD

,

y

2.5 Limites en el infinito

EJEMPLO 1

lím

123

Obtener

4x- 3

x- + oo 2x + 5

FIGURA 1

Para emplear el Teorema 1 3 de límite, dividimos el numerador y el deno­ minador entre x, dándonos Solución

Los teoremas de límites 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 1 0 de la Sección 2.2, así como los 1 1 1 2 d e la Sección 2.4, n o s e modifican cuando "x --. a" se sustituye por "x .... + o•'

3

, 4x - 3 hm ---

x- + oo 2x + 5

o "x .... - oo". Existe además el siguiente teorema de límite adicional.

2.5.3 TEOREMA 13 DE LÍMITE

�ii)

lím 1.. x- + "" x'

=

=

x- + 00

lím

x

--

5 2+­ x

lím 4 - lím 3 · lím

..!_

lím 2 + lím 5 · lím

..!_

x - +� x·_ -� ""� + oo� X

x_ +_ oo -_ =-

Si r es cualquier entero positivo, entonces (i)

4--

_ _ ___

x - + oo

O =

lím j_ = O

2+ 5.o

4-3·0

=2

x--oo x '

\

x - + oo

x- + co X

Demostración de (i) Para probar la parte (i), debemos demostrar que la Definici1l1t 2.5.1 se cumple paraf(x} = llx' y L = O; esto es, debemos demostrar que para cu11l

quier E > O existe un número N > O tal que

1: 1 ,

<

-O

E

�

siem re que x > N

lxl' > _!_ siempre que

-

EJEMPLO 2

E

lím

r--oo

dur entre la potencia más alta de x que aparezca en el numerador o en el denominaSolución

x > N

lx l >

(+)

1: - O1 ,.

<

e

=

siempre qué x > N,

Esto demuestra la parte (i).

+

2 1 5 :; .- x2 x3 2x2 - x + 5 1m = lím 4x3 - 1 1 .... - CO 4 -­ x3

l.

�iempre que x > N

Para que esto se cumpla, tomamos N

Para usar el Teorema 1 3 de límite, dividimos el numerador y el denomi na­

11m, la cual, en este caso, es x3• Así tenemos

o, lo que es lo mismo, como r > O, llr

Determinar

•

(liE) 1 1'. �sí, podemos concluir que

si

N=

1

()

1/r

€

La demostración de la parte (ii) es análoga y se deja como ejercicio al lector (v�u el ejercicio 66).

• - oo

X

1 1'11n 2 · 1tm - - lím '

x � - co

x _: - «> X

x-. - co X 2

2·0-0+5·0

=0

+

lím 4 - lím

x - - oo = -----4-0

1 -

lím 5 · lím

x>- - co

..!..

x - - co x3

3

1

x- - co X

124

2.5 Limites en el infinito

lÍMITES Y CONTINUIDAD EJEMPLO

3

Hallar , 1 1m

x-

, � - oo

tím

+OO

Solución Ya que la potencia mayor dexes 2 y aparece dentro del signo radical, di11l 2 dimos el numerador y denominador entre fi , que es l x l . Entonces, tenemos

. hm

3x + 4

x-+«> J2x2 - 5

=

=

Como x -+ + 00, 11m , · t u>

• 1 1m

R 3x

4

-R

x>

R

o = J'=2 === -5 + oo 3 +4. x-

3

=--

(!) x- + Q) X 1' ( 1 ) + oo X

1 3 + lím 4 · lím

2-

= .o

• hm 5 ·

x- + «>

xl

' l 1m

3x

-X

+

(- 3) -

4

-X

lím

x- - oo

4·

lím

.!_

x- - co X

2 - lím 5 · lím _.!__ x·�·lím -0) x-- oo x-- a:> X2

-3-4.o .j2 - 5 . o

= - Ji3

4 -+X X

. hm

lxl

O; en consecuencia lxl = -x. Tenemos entonces

lím

3x

x- + «>

4 3x - +

x- - oo

O; por lo tanto lxl = x. Así, tenemos

x- + oo

1m

x-

2

Ji

Se pueden considerar límites "infinitos" en el infinito. Existen definiciones forma­ les para cada uno de los siguientes. lím f(x)

x- +O!)

x- + O, entonces existe una M > O tal quef(x) > N siem­ pre que x > M. Las otras definiciones se dejan como ejercicio para el lector (véase el ejercicio 63). ·

Obtener

11m

1•

=

5

2-­ xl R

-lxl x- - oo 2-­ R - --== =x-- oo � 2- l x R . 1 1m

- - oo , x <

+ X""' «> J

lím

4

=

4 +lxl 5 2xl

3x lxl

lím

3x + 4 !' 1m = J2x2 - 5 x-+ «>

EJEMPLO

Ya que x

. 3x + 4 1 •m x-- oo J2x2 - 5

+-

x- + oo J2x2

4

3x + J2x2 - 5

125

--- y =b ,

------ ------ ----- - y=b �

�--

lím f(x)=b

FIGURA 3

1Z6

2.5

LIMITES Y CONTINUIDAD

�-___/ 11111 /(\) /¡

lím f(x)=b

----------y=/;

·-

�,.,

.

FIGURA

I'IOURJ\ 4

127"

Límites en el infinito

S

FIGURA 7

EJEMPLO S 1

I!�Jl

..

Hallar

X+T xz

1 ··� limites del numerador y del denominador se consideran por separado.

Dividimos el numerador y el denominador entre x2 • 2 1 x 1 1 m -- = lím --l � • 1 w K+ 1 x- +oo 1 -+2 X X

Solución

1)� lu evaluación del límite del denominador tenemos 11m

, • 1 "'

( 1) 1

X

+2

X

=

1 + 1'1m ' 11m -

x-· + oo

X

x- + oo

2

l

X

lltll

' '

Por lo Lanto, el límite del denominador es O, y el denominador tiende � O a través d vulorcs positivos. ni límite del numerador es l y del Teorema 12(i) de límite se deduce que

1

"<

lím

=

x- t ..x,

=0- 1 =-1

�X

lím 1

x- + co

. Itm

( ) -+-

3

x-+oo X

5

X2

=

lím

-+

3

x- + oo X

=0+0 =0

5 lím -

x- + oo X2

l'111 In lnnto, tenemos el límite de un cociente en el cual el límite del numerador es - 1 • 1 dl'l denominador es O, donde el denominador se aproxima a O a través de valores l"'�lllvos. Por el Teorema l2(iii) de límite, se deduce que 1

lfm

=0+0 =0

(� ·_ )

2x - x2 = 3x + 5

t 1 t lV

- 00

1 1 1 lns secciones anteriores se estudiaron las asíntotas verticales de una gráfica como lllltl uplicación de los límites infinitos. Las asíntotas horizontales de una gráfica pro1 '' 1 1 Llouan una aplicación de los límites en el infinito. Una asíntota horizontal es una 1 dll paralela al eje x, y a continuación se expresa su definición formal.

DEFINICIÓN I.Jl!M PL.O 6

dice que la recta y = b es una asíntota horizontal de la gráfica de la función f Ullndo menos uno de los siguientes enunciados es verdadero:

Determinar

,.!!T"' f(x) ,

Solución

11m 2\ 3,\ ! 5

\ • 1 '

2 -- 1 X lím 5 x - + oo 3 x + x2

l!� f(x) = b, Y para algún número N, si x < N, entonces, f(x) :f. b. oo

I,JEMPLO ILUSTRATIVO 1

En las figuras 2 a 5 existe una porción de la gráuna función para la cual la recta y = b es una asíntota horizontal. En las IIJ!IIIIIS 2 y 3 es aplicable la parte (i) de la Definición 2.5.4, y en las figuras 4 y 5, I • P•I I I C aplicable es la (ii). En la gráfica de la Figura 6 resultan aplicables ambas par1 � (1) y (ii). • •

\' 2

= b, Y para algún número N, si x > N, entonces, f(x) :¡:. b.

11• 1 di.!

1

11

,

In Figura 7 se muestra la gráfica de una función/para la cual lím f(x) x- +oo

=

b,

iZO

LIMITES Y CONTINUIDAD

2.5 Límites en el infinito

11

y

1 1 1

11

l \., 1

_¡______

__

llllllltf\ 8

1 1 1

1 Z9

1

---

i\.,

-+--------

1 1

--�-L��L-f=-L-+2�-L-JL� x 1

FIGURA 9

__

pero no existe un número N para el que x > N, por lo quej(x) i= b. Por consiguienl �·1 In recta y = b no es una asíntota de la gráfica de/. En el ejercicio 59 de 1� sección d FIGURA 1 1

Obtener las asíntotas horizontales y trazar la gráfica de la función del!

nida por

f(x) = Solución

=

.JX2+T. X

x- +oo

Primero se considera lím /(�).

lím j(x) = lím

x- + �

x- +oo

x

·

.Jx2 + 1

l.1m

x-'+ oo

X

.JX2+T.

=_...,.Ü ... m

x- + oo

+

x - + oo

-

1

x2 x2 X

= lím

¡;} se obtiene

-:¡;z $0 2 -

J

l

1 x2

Pues x --. + 00, x > O; por lo tanto, lxl = x. De esta forma,

X

1'1m

x - + + oo

X

.JX2+T.

= lím

x-+ + oo

X

Rx2 1 +­

_

CX)

Jl+O 1

!1111 consiguiente, y de acuerdo a la Definición 2.5.4 (i)' la rectay = ¡ es una as¡'ntota limlzontal. : es - 1 , -2, -4, -6. -8. - 10, 1000.

2. En la Figura 9 e muestra la gráfica de./1

=

3;

2

1000.

x = 2 es una asíntota veril de acuerdo con la Definición 2.4.8(i i), la recta . ' '2 '

mlores dados dex. (a) ¿A qué tiendej(x) frl l/lle xcrece sin llínites? (b) ¿A qué tiende llll'dida que x disminuye sin límite? lou�a /{m f(x). (d) Obtenga lím f(x)

=2

,¡mila r, lím /1 (x) \"·• -co

o /t'rricios 1 a 10, proceda a lo siguieme: Use lo u/adora para tabular los mlores de f(x)

\:

y 11111 111111n, �·1l1l ha�c en la Definición 2.5.4(i), la recta 111

1 -

1000.

i) una asíntota vertical de la grr\ la r cciH x = 2 es, de acuerdo con la Definición 2.4.8( lkn dc/1 • = + oo

dl'

l-2¡9

ICIOS 2 . 5

/x v�

Esta ecuación define dos funciones: y

• � :r

x Y, por la Definición 2.5.4(i), la recta y = -2 es una asíntota horizontal de la gráfica de/2 • Además, lím Jr, (x) = -2 E · n 1a r··rgura 10 se muestra una gráfica dej2. x

ecuación

Solución

x

lím /2(x) -= lím

x - + :G

131

2.5 Límites en el infinito

,

��

1

+2; xes 2. 4, 6, 8, 10, lOO. 1000

\.1

2,

-

4,

t

-6, -8. - 1 0, - l OO,

7. /(x)

=

•

�; x es 2. 6, 10, 100, 1000, 4x +

l

1 0 000, 1 00 000 y

x es - 2, -6, - 1 O,

- 100, - 1 000, - 10 000, - 100 000. Sx- 3 8. /(x) = ; xcs 2, 6, 10, 100, 1000, !Ox + 1 1 O 000, t 00 000 y x es -2, -6, - 1 O, - 1 00, - 1000, - 1 0 000, - 1 00 000. x+l 9. f(x) = 2 ; x es 2, 6, 10, 100 1000 10 000 1 00 000

1000,

'

y

'

y x es -2, - 6, - 1 O,

- 1 0,000, - J 00 000.

t

- 1 00,

'

-

10. f(x) = -; xes 2, 6 JO 1 00 1000 1 0 000

x2 X+ 1 ' ' ' ' ' 100000 y xes - 2, -6, - 10, - 1 00. - 1000,

- 1 o 000, - 100 000.

J:'n los ejercícios 11 a JO, obtenga el /1ínite.

1 1 . l•un -­ +« 5t - 2

21 +

13.

ls

•

1 7.

1

•�

,

2x + 7 l.rm ..-- .. 4 - Sx 7x2 - 2x + 1 1,lnl -'"' 3x2 , 8x 1· 5 4 X+ 1,un -x-·

x - • cr

3x2 - 5

71'2 - 31· 19. lim � r- + y )' + 1 ·

x2 - 2x ..¡. 5

20. 1,om -• ., 7x" + x .<

•

. 6x- 4 1 2. lrm 3x + 1 1 + 5x . . . 14• l1111 2 - 3x

1

1

·'

16),

· '

•

1

• � 1

l.1111 •

1

, .• "* ,

18. lím

4s2 +· 3

2s2 - 1 "2 + 5

x·l

21. lfm

2 41. f(x) = � ..,¡x- - 4

4x3 + 2x2 - 5

, . " 8x + x + 2

22. 11m , " 1 ,., 2;\.

lhll

14. lfln

y . 1 "'

, ,

��·

lll, lim

Jc..

l7.

1K.

J

3x4 - 7x2 + 2

4x2 43. G(x) = 29

2yl - 4

5x3 - 12x + 7

46.

4x 2 - 1

( �) Hm (; )

\ •

f/1

t • 1 11

�

•

1¡ lll �

·

,

H111 .

'

1

X

111. 11111 1

•

x +4

Jx2 f- 4 �4

}w2 - 2w + 3

t' 1,l - 3• 1

1· 11 lo., •·/wciclos 31 a 36, obtenga el límite. (Suge­

l•'ll•ftl Ohten¡¡ll primero Ufla fracción con u11 111/lllr'l rulw ml'ional.)

\l,

11.

{}\l il - x) . 11111 ¡j;-.l 1 x - x) lhn 1

llltl '

11

1

11111

•

¡J\r¡ r - 2r) (\/,\ 1 1 1 - x)

,.. '"" ¡ �, · \(1

1

""'

1

1

'(

W.

;<

1 3

¡¡(x) = J - -

X

1

X 48. h(x) = n

1)

...¡x2

X

1

6 1 . Compruebe que

��..

' ·

60.

2x

_

38. ·f(x) = -4 - 3x x+

1 1

40. lt{x) = 1 + -i

X

63.

2\

2x 1 1

x2

f(x) = -2

8x + 3

trando que para cualquier E

62.

1 '

r·

QO

+

{X

65. Demuestre que M.

lím (6 - x - x2)

\ - " +OO

- oo

aplicando l a definición del ejercicio 63(a). Demuestre la parte (ii) del Teorema 13 de límite (2.5.3).

X

donde e(x) es el costo total dex kilogramos de un produ cto. Se mostró que lím e(x) x-10 no existe debido a que lím C(x) :t lím e(x). La gráfic a de e se muestra en la Figu• .r-•o x-10IU J . Observemos que hay una interrupción en la gráfica de e donde X = 10. Se esta­ blece que e es discontinua en 10. Esta discontinuida d la ocasiona el hecho de que 11m e(x) no ex.iste. Se vuelve a hacer referencia de esta función en el Ejemplo.Ilus­ ' ·10

=

(2x + 3)(x - 1 ) x- J

Se observó que/está definida para todos los valores de x except

4 dcn111 1 =

1 �:�� 1

oo; (e) l�m.. f(x) x-

00

(2)

o l . La gráfica corres­ pondiente consistente en todos los puntos ubicados sobre la recta y = 2x _+ 3 excepto ( 1 , 5) aparece en la Figura 2. Existe una interrupción en el punto ( 1 , 5) y establecemos que esta función/es discontinua en el número l . Esta discon tinuidad se presenta debido u quef(I) no existe . Sifes la función definida por (2) cuandox :t 1 , y si se define /(! ) = 2, por ejemplo, h1 función se define para todos los valores de x, pero todaví a hay _una interrupción en

>O existe un 11

x-�

-

de-

133

hn el Ejemplo Ilustrativo l de la Sección 2.3 se estudió la función e definida por Si 0 S S 10 e(x) = (1) 0.9x si JO < x

X

-4 · mero fl'< O tal que siempre que x < N. Demuestre la pane (i) del Teorema 1 2 de liml (2.4.4) si "x - a" se sustiwyc 1' "x _., + oo ' ' . Dé una definición para cada uno dt 1 siguientes limites: (a) lim f(x) """ '

(b) lím f(x)

+ oo

"tt.mdo que para cualquier N > O existe 11 M > O tal que siempre que x > M, enton­

f(x)

.!!�.. f(.\ )

58· f(x) =

1

--

el infinito

t rntivo l . En la Sécción 2 . 1 estudiamos la función f definida por la ecuación

N

x2 - 1

�)

.•

>O > N,

_

,- + OO

- \ 1 - 4 > N.

,.

1 aplicando la Definición 2.5..1; esto es, para ('1111/ quier t· mues/re que existe un número en1onces lf(x) - l l < e. tal que x x

mupruebe que lím (x2 - 4)

en

CONTINUIDAD DE UNA FUNCI N EN U N N Ú M ERO

En los ejercicios 57 a 60 pruebe que

59. f(x) = x1 +

..¡, 1 ¡, 1 Jr Jt 1 1

2.>. 1

x2

_ ,

49. 3xy - 2x - 4y - 3 = O SO. 2xy + 4x - 3y + 6 = O 51. xzl - x2 + 4)'2 = O 52. xy2 + 3y2 - 9x = O 53. (/ - 1 )(x - 3) = 6 54. 2x/ + 4y2 - 3x = O SS. x2y - 2x 1 - y - 2 = O 56. x1y + 4xy - x2 + x + 4 y - 6 -= O

57. f(x) =

¡.11 /ti\ r•/•'1dcffl\ 17 r/ 48, o/){ellga las aslíltotas hori­ , 1111tal l' 1'•'1 tlt 11/ 1• lltll'l' una gráfica de lafunción.

"· /(.\)

4x2

g(x) = 4

En tosejercicios 49 a 56, obtenga las asfnlolas lu111 ::.o111aly verlical y lrace una grdfica de la ecuacirlll

J;f+4

J¡1'1 1

-1

f(x) = ,--:¡-;-; ; + 5x + 6 ...¡ e

47. f(x) = � ...¡ x · - 2

- 4t

\

44.

2x 45· ll(x) = 6x2 + l lx - 10

5y + 3

--

3x +

-3\ 42. F(x) = x2 1 '

X -

4 2x ·1 1

11' -1 5

\1

2.5 Límites

LÍMITES Y CONTINUIDAD

132

1 '= '..._. _... . _,_ 1.. f1 1 .... .. 1.... "

10

1) I

15

1

1 :3 4

2.6.1

LIMITES

V

CONTINUIDAD

2.6 Continuidad de una función en un número

=

la gráfica (véase la Figura 3), la función sigue siendo discontinua en l . Sin emb EL

{/x/

=

x

SI 0 < X

{1 2 - 4

=

�

x2 -z5x - 1 )(x - x - 1 2)

(x

=

12)

­ · -

x" -

= __

=

17. g(x) =

19.

(x - l )(x2

/(x) =

16. ll(x)

si

{;�'

-3

si x = 4

5

\" + 2

""

si x ,¡. -3

{ x2 - 3x - 4 s i x ,¡. 4 x-4

l x - a l > O ya quecuandox == a, lf(x) -f(a) l será O, y dcc1l

)/

fJ.

x2 - 3x - 4

SI j hu de ser continua en a, f(a) debe existir; así, en el enunciado (8) no es nece�all h1 I'OIIdldón de que

12. H(x)

x+3

1\l uplicar la Definición 2 . 1 . 1 donde L esf(a), se sigue que (7) se cumplirá para cuul �pdc1 e > O si existe una o > O tal que

\1

1 1. G(x)

x2 + x - 6

f(a)

=

lO. h(x)

1'1/

=

Ir m f(x)

1 a 22 1race la wáfim d e la

los cuales la ./illlción es di scontinua " 1' por qué la /)(�/ini ción l. 6. ¡ 110 se C'/lll;1 ludas las disc·onlinuidade.\·.

• EJEMPLO ILUSTRATIVO 9

1 •(/

143

modo, menor que f. Tenem . UJe . nte os entonces' el sJg teorema, el cual sirve com nición alternativa de contínt ' · o la defiJ ,dad q ue se desea.

Si X :$; -2 si -2 < x ::;·2 si 2 < x

si x

ntcro. _

_ _

(�

144

LÍMITES Y

22. La función signo (véase el Ejemplo 1, Sección

2.3)

En los ejercicios 23 a 32 demuestre que lafunción es discontinua en el número a. Luego determine si la discontinuidades eliminable o esencial. Si es eli· minable defina f(a) de manera que la discontinuidad desaparezca.

·

9x2 - 4

{ 0

23. f(x) = Tx"'=2;

2

.

24. f(s) = s + 5

_

SI

-5 ; a

S = -5

}

3t + 2 sí 2 < t

26. f(x) = 27. f(x) =

x2 - x - 12 . a x2 + 2x 3

Si

_

{IX -

{

2

31

•

X

si x

x2 - 4x + 3

28. f(x) =

x-3

5

_ -

=

Si

3 t. f(x) =

�- f5 3 � )� 1 ;

X ;;::

;a

;a =

-

=

x2(x + 3)2

}

3

X 35 (x = 3 . g ) x x + l 36. h(x) = _

37. f(x) = 38.

G(x)

2x + 5

=

x3 + 7 �

x-2

1 -

x+ 1

Jx

_

nlt1 11a en O. Muestre que la clisconti· puede eliminarse y redefina g(O) de ¡ur w elimine la di�continuidad. lh llltt/se define por X

x :::; 1

. SI 1 < X

11111

211.\

l 1 ��� tlfica def. ¿En qué valore de xes 1111111 /? '

" u ll" - IIX

si x < 4

4 si 4 � x

y

; a=

3

2

O

si O <

< x :::; 200 0.65x si 200 < x (a) Trace la grá fica de C. (b) Determine dónde es disconlinua 1 (e) MueStre por qué la Definición 2.njunto de todos los números no negativos, el domin io de h es el conjunto de lm los números reales tal que 4 - x2 2:: O, es decir, todos los números contenidos n l'l llltcrvalo cerrado [-2, 2). La gráfic a de h se muestra en la Figura 1 . • y

2

146

2.6 Continuidad de

LIMITES Y CONTINUIDAD

En la Figura 1 se observa que h es continua en todo número del intervalo ahl (-2, 2). Más adelante en el Ejemplo 1 , se muestra la forma en que este hecho Pll• demostrarse por teoremas referentes a continuidad. Pero primero se necesita t�·n� l teorema importante en relación con el límite de una función compuesta. La O existe u n a ó 1 > O tal q ue entonces

a que lím g(x)

=

si

O < l x - a l < ó2

si

lg (x) - b l < o1

si

O < J x - al <

x-u

lf(y) - f(b)l < E 1

b, para cualquier entonces

51

l 1 l.'jcmplo siguiente demuestra su aplicación para determinar los números para función en particular es continua.

• llltll'' una

entonces

lg(x) - b l < ó 1

1/(g(x)) - /(b) l <

De los enunciados ( 3 ) y (2) concluimos que para cualquier € 1 > O existe una {), tal que de l o cual

entonces

e1

l.f(g(x)) - f(b)i < f1

se deduce que

lím /(g(x})

1 m (g í .f (x))

=

\ •ti

,. -u

=

1 t tlltlnur los valores de x pará los cuales h sea continua.

lhH IOn

La función h es la que se obtuvo en el Ejemplo Ilustrativo 1 como la fun­ donde f(x) Vx y g(x) = 4 - x2• Como g es una función poli-

l •lllllpucstaf o g,

1 111 l corema 2 .6 . 5( i i) .

=

1111, e� continua en todas partes. Además, fes continúa en todo número positivo

Por lo tanto, por el Teorema 2.7.2, h es continua en

todo

llltw 111 \ para el cual g(x) > O, es decir, cuando 4 - x2 > O. En consecuencia, h es HlllltUI en todo número del intervalo abierto (-2, 2).

\ 1 qué la función h del Ejemplo 1 es continua en todo número del intervalo abierto 1), �e dice que h es continua en el intervalo abierto (-2, 2).

f( b)

/(1 í m g (x))

n

x-a

se aplica en la Sección 2. 9 (su p lemen tar ia) para demostrar lm 1 limite 9 y 1 O. Otra aplicadón del Teorema 2. 7 . l está en la comprobat.:it'llt sigu ien te teorema acerca de la continuidad de una función compuesta. El l'eorcma 2. 7 . 1

Si

J4 - x2

> O existe una 52 > O tal que

Si O < lx - al < 52 , sustituimos y en el enunciado ( 1 ) por g(x) y obtencnw siguiente: para cualquier E ¡ > O existe una O tal que

52

•

1 1 1 t'''cma 2.7.2 afirma que una.función continua de una.función continua es con­

,._u

rema 2.6.6. Para cualquier

Debido

(Por (4))

o

lím .re� (x)) = .f( lím !!(X))

I Y - bl < ó,

g(x))

= (f g)(a)

o bien, de manera equivalente,

si

/(Jím

= f(g(a))

\---(1

Demostración

modo, podemos aplicar el Teorema 2.7 . 1 a la fun­

x-•a

lim (jo g)(x) = j(b)

' •a

(4)

LIIIIlpuest a f o g, con lo cual se tiene

=

=

147

Y a que g es continua en a,

Z. 7 . 1 TEOREMA Si lím

una función compuesta y continuidad en un intervalo

remas de

2.7.2 TEOREMA

Si la funció n g es continua en a y la función/es colllinua en ,J:(a). ción compuesta .f o g e'> �.:on t in ua en a.

que una función es continua en un intervalo abierto si y sólo si ésta es conti­ todo número de dicho intervalo.

nuevamente a la función h del Ejemplo l . Sabemos que h es conti­ intervalo abierto (-2, 2). Sin embargo, ya que h no está definida en cual­ h 1 llll crvalo abierto que contenga a -2, o a 2, no podemos considerar lím h(x) x--2 ltut lt(x}. Por lo tanto, para explicar el problema de la continuidad de h en el in-

N•••

tcCcrimos

''11 e l

tht cerrado [-2, 2], debemos ampliar el concepto de continuidad

entonces la 1

para incluir el un punto extremo de un intervalo cerrado. Hacemos esto definiendo la continuidad a la derecha y la continuidad a la izquierda.

1•111 lnuidad en

htlll o

148

LIMITES

Y

2 . 6 Continuidad de una función compuesta y continuidad en un intervalo

CONTINUIDAD

2 . 7.4 DEFINICION

UhM�rvcse la diferencia de terminología entre los ejemplos 1 y 2. En el Ejemplo 1 " llu que h es continua en cualquier número del intervalo abierto (-2, 2), mientras ' " c.:l Ejemplo 2, se llegó a la conclusión de h es contin ua en el intervalo cerrado

Decimos que la función!es continua a la derecha del número a si Y sólo si se 1. plen las siguientes tres condiciones: (i) [(a) existe; (ii) lím j(x) existe; x ·a·

x-u ·

(iii) lím f(x)

=

'

Una función cuyo dominio incluye el intervalo semiabierto por la derecha [ a,

.f(a).

b) e dice que es continua en [a, b) si y sólo si es continua en el intervalo abierto a, b) y es continua a la derecha de a.

2.7.5 DEFINICIÓN

(a, b) se dice que es continua en (a, b] si y sólo si es continua en el intervalo abtcrto (a, b) y es continua a la izquierda de b.

función cuyo dominio incluye el intervalo semiabierto por la izquierda

Decimos que la funciónjescontinuaa la izquierda del número a si Y sólo si se '-' plen las siguientes tres condiciones:

l'm•dcu darse definiciones análogas a las de la Definición 2.7.7, en relación con la los imervalos [a, + oo) y (-oo, b].

llllnui que 1 ic ne de volumen la caja. (b) ¿Cuál es el dominio de la !un (e) Demostrar que la función es continua en su dominio. .

Solución

(a) La Figura 2 representa una hoja determinada de cartón, y la Figura 3 nnl( 1•

caja obtenida de la pieza de cartón. Las dimensiones de la caja (en centl111 1 son entonces x, 1 2 - 2x y 12 - 2x. El volumen de la caja es el prod uc;l n ti tres dimensiones. Por lo tanto, si V(x) centímetros cúbicos es el volumen tk In V(x) = x(l 2 - 2x)( l 2 - 2x) 144x - 48x2 + 4x3

=

(b) De (6) se observa que V(O) O y V(6) = O. De las condiciones del problettlol l vamos que x no pue.de ser negativa y tampoco mayor que 6. Así, el do1nlul V es el intervalo cerrado [0, 6]. =

(e) Ya que Ves una función polinomial, Ves continua en todas partes. A�1 flll es continua en el intervalo cerrado [0, 6].

La función del Ejemplo 4 se vuelve a discutir en la Sección 4.2, donde se usa l'l 11

de que V es continua en el intervalo cerrado [0, 6]. para determinar el valor dl'

dará como resultado una caja con el mayor volumen posible. Ahora explicaremos un teorema muy importante acerca de una función qul' � tinua en un intervalo cerrado. Se denomina teorema del valor intermedio. 2. 7.8

y

TEOREMA

Teorema del valor intermedio

Si la función/es continua en el intervalo cerrado [a, b], y sif(a) :1= f(b), cnl(l para cualquier número k entre f(a) y f(b) existe un número e entre a y b t,tl

1

•kmostración de este teorema escapa a los objetivos de este lih�o; se pued� :ncon 11 11 1 1 texto de cálculo avanzado. Sin embargo, an�izaremos la 1 �terpretac10n geo­ tlut del teoréma. En la Figura 4, (0, k ) es cualqUJer punto del eJe y entre los pun111. /(a)) y (0, /(b)). El Teorema 2.7.8 establece que la rec�a y = k debe cor� ar la l l uyn ecuación es y = f(x) en el punto (e, k) donde e esta entre a y b. La F1gura -

111111 � l t ll esta intersección. . e valor para ulriiiOS que para algunos valores de k puede existir más de un pos1bl l l ll'lll'cma establece que siempre existe por lo menos un valor de e, pero que no es ,11 111mente único. La Figura S muestra tres posibles valores de c(c, , c2 Y c3) para

A ¡1111ticular. . . 1 1 ¡ 1,01·cma 2.7.8 establece que si la función fes cont1nua en el mt.ervalo cerrado 1•1, emonces ¡toma todos los valores entr� f�a) y f(b) cuando x toma todos los �t111., \!litre a y b. La importancia de la conunu1dad dejen (a, b] se demuestra en lll uh•1l!C ejemplo il ustrativo. Jl!MPLO ILUSTRATIVO 2

11 \ )

si 0 S X S 2

Consideremos la función f definida por

si 2 < X S 3

1 ¡111tl lea de esta función se muestra en la Figura 6: . _ 1 1 t u nciónfes discontinua en 2, el cual esta en el mterva.lo cerrado [0, 3 ] , /(0) = valor de e tal que 1 \ f( l) = 9. Si k es cualquier número entre l y 4, no ex1ste un • 4. entre Y 1 función la de valores hay k porque no (1 1 t 1 11\MPLO ILUSTRATIVO 3 l')

Sea g la función definida por

2 x-4

.f(l") - k .

y

y = f(x)

y = f(x)

1 1 1

1 1

1

�x -� --n---� 0+�

FIGURA 4

1 5 .1

_...._ 1-� )X ---!-

•• , 1 e 2 e J

b

FIGURA 6

I :"J

dl' l'�lll lll mlt\n �e muestra en la Figura 7 .

Ln l\ntd�\11 # l'' dllll'lllll inuu en 4, el cual está e n el intervalo cerrado [2, 5); ,11 ( ' 1 1 y g( 5 ) ) . SI A l'" cuulquicf número entre - 1 y 2 , no existe u n valor el e 1' 1

IJIIH I:IIi\li\,1

/... l· n particular, si k = J , entonces g (6) = l , pero 6 no 'l'l 2 y 5 tal que ,11 (( ) en el intervalo 12. 5 1 . -

2.6 Continuidad de una función compuesta y continuidad en un intervalo

'

EJEMPLO S

2.7 " / u /4, defina/ o g ydetermine/os ' •tttl'f o g es coruinua. 9 - x2

1 6 - x2

Dada la funciónjdefinida por

f(x) = 4 + 3x - x2

2 � x � 5

x2 - 16

(a) Verificar el teorema de valor intermedio si k l ; es decir, determinar un 111'11 contenido en el intervalo [2, 5] tal quej(c) = l . (b) Trazar la gráfica dejl'n 1 y mostrar el punto (e, 1).

x2 +

=

Solución

x

(a) Ya quejes una función polinómica, es continua en todas partes y, por talllt continua en [2, 5]. Com oj( 2) 6 y f(5) -6, el teorema de valor intL'IIII garantiza que hay un número e entre 2 y 5 tal que f(c) = l ; esto es,

4 + 3e - e2

=

3

±

3

2

( -2,

2

t t,

,l

1

1 \

(b) La gráfica que se requiere se presenta en la Figura 8. y

u(x) =

24. F(y) = 3

( -2, 2), [ -2, 2), (-2, 2], (-oo, -2), (2, +oo)

if;

+ 2y - y

26. Ejercicio 2.

25. Ejercicio 1 .

28. Ejercicio 4.

29. Ejercicio 9.

30. Ejercicio 10.

33. Ejercicio 13.

34. Ejercicio 14.

:n . Ejercicio 1 1 .

; y(x) = lxl

32. Ejercicio

(3, 7),

FIGURA 8

1.

[ -6, 4),

5, + 00)

(- 00, 0),

[ - 1 o, -5)

oo, 0), [0, + oo), (0, 2}, .

(2,

+

oo)

(0, IJ, ( - 1, 1), (0, 1),

•J, - 1),

(l, + oo)

1 2.

En /os ejercicios 35 a 38, trace lagráfica de lafun­ ción 1 que satisfaga las condiciones dadas. 35. fes continua en (- oo, 2] y (2, + oo) ; lím /(x) 4; lím f(x) = -3; lím f(x) = .•-o -2.r-2' + oo; lím f(x) = O. •-5 =

FIGURA 7

2; ( - 1 , 3), [ - 1, 3],

1

27. Ejercicio 3.

; y(x) = lxl

1 tJ),

2, 1 ]

En los ejercicios 25 a 34, determine e/.mayorinter· valo (o uni6n de intervalos) para los que lafunci6n f o g sea continua.

"" /1 u 24, determine el dominio de 1 dnpués deduzca si la función es 11/lllnua en cada uno de los inte�·va-

�· (

�

23. f(x) = J4 - x2:

(/(X) = y X

1

=

Si J < X 3-X + 00), ( -2, 1 ), [ - 2,

[ -2, 2),

1,

( - 00 , 1),

/ :: �; :� 1); r 1 }, [-

x_

[ - 1 , 3), ( - 1, 3]

2

Se rechaza Yí(3 J2T ) , ya que este número está fuera del intervalo [2, , , número V2 (3 + J2T) está e n el intervalo [2, 5] y

¡( /'21)

{�

22. h(x) =

x-2

3 e = ± J2T

+

(2, + co), [-4, 4), (-2,2)

19. g(x) = Jx2 - 9; (-oo, -3), (-oo, - 3), (3, + oo), l3, + oo), ( -3, 3) 20. f(x) = [x]; ( - t, t), (t, t}, (1, 2), [1, 2), (1, 2)

[ - 1, 1], ( - 1, + co), (1, tco)

x+3

J9+T2

---'-

-

r -4

-, -21. /(t) t-1

1

e2 - 3e - 3 = O e=

=

-

r+3

18. f(r) = -¡--; (0, 4), ( -2, 2), ( - co, -2),

Jt - l J . (-co, l) (-oo, l),

4

e

=

153

.•

36. fes continua en (-oo, 0) y [0, + oo); lím f(x) O; lím f(x) = 3; =

.-o·

..--4

lím /(x) = -3; lím f(x) - 2 .

.\-o •

.,-4

37. jcscontinua en(-oo,-J], (-3,3)y [3, + oo);

.•

lím f(x)

2; líin_ /(x) = O; · límJ(x) =

4; lím /(x) = -.

-5

·-·o

=

·- J

1; lim- f(x) = •-J

--

...-3 • 3

O; lím f(x) =

LIMITES Y CONTINUIDAD

154

38.

39.

-5; lím

j(x)

.

' -3·, xlí-o mj(x' x--s

-1,· ..lím j(x) 4-

5; Lím j(x) = O x-6

=

=

2; �4+ Jímf(x) = -

Determine el mayor intervalo (o unión de intervalos) en el que la función del ejercicio 1 7 de los ejercicios 2.3 es continua.

40. Determine el mayor intervalo (o unión de

intervalos) en el que la función del Ejemplo 4 de la Sección 2.3 es continua. 4 1. Un fabricante de cajas de hojalata sin tapa

desea hacer uso de hojas de metal con dimen­ siones de 8 x 15 cm cortando cuadrados iguales de las cuatro esquinas y doblando hacia arriba tos lados. (a) Si x centímetros es la longitud del lado del cuadrado de esquina por cortar, exprese el número de centímetros cúbicos que tiene de volumen la caja como función de x. (b) ¿Cuál el> el dominio de la función? (e) Demuestr , que la función es continua en su domiilio.

42. Suponga que el fabricante del que se habla en el ejercicio 41, elabora cajas sin tapa de pie· zas cuadradas de hojalata que miden k centí­ metros por lado. (a) Si x centlmetros es la longitud del lado del cuadrado porcortar, exprese el número de centímetros cúbicos que tendrá el volu­ men de la caja como función de x. (b) ¿Cuál es el dominio de la función? (e) Pruebe que la función es continua en su dominio.

. 43. Un terreno rectangular se va a cercar con 240

44.

en los otros tres lados. (a) Si la longitud del lado del jardi11 metros, que es paralelo a la casa. c�p1 el número de metros cuadrados qll\' ll de área dicho jardín como funcit'l11 1h (b) ¿Cuál es el dominio de la funció11'/ (e) Demuestre que la función es cont11111 • su dominio.

= O.

fes continua en (-oo, -2), (-2, 41 y (4, + 00); lím f(x) = O; lim-j(x) = -oo; lím2 + f(x) = x--2 · x- · 4

2.8 Cont inuidad de las funciones trigonomét ricas y teorema

metros de valla. (a) Si la longitud del terreno es x metros, exprese el número de metros cuadrados que tiene de área el terreno, como función dex. (b) ¿Cuál es el dominio de la función? (e) Demuestre que la función es continua er. su dominio.

Un jardín rectangular se va a ubicar de modo que un lado de la casa sirva como límite y se utilicen 100 metros de material para cercado

En los ejercicios 45 a 48 determine los valtllt las constantes e y k que hacen que la fundti/1 continua en (-oo, + oo) y trace la gráfica de/11 / ción resultante. 45• f(x)

kx -

{X {

si x < 2 si 2 :;;; x

x + 2c

si x < - 2

f(x) = 3cx + k sí - 2 S x :;;; 3x - 2k si 1 < x

=

llllt

=

52. f(x} = 53. f(x) =

S4. SS.

f(X) = f(x) =

[ -4.5, 3]; k

-.../100 - x\ [a, b] = [0, 8]; k

51. f(x) = �; [a, b] =

�

x+

{

; [a, b]

1 + X

2

2-

X

=

[ - 3, 1]; b

[ -4, lj; k = t

:;;; 1

{x2 - 4 si - 2 S x < 1 } x2 - 1 si 1 S x � 3

[ - 2, 3]; k = - l 5

; (a. /¡ 1

56. f(x) = --; [a, b] = [0, 1 ]; k = 2

2x - 1

1h llnida por f(x) =

t

dio garantiza que la ecuación xJ - 4x2 + x + 3 = O tiene una raíz entre 1 y 2 .

61 . Demuestre que el teorema del valor interme­

62.

Demuestre que el teorema del valor interme­ dio garantiza que la ecuación xl + x + 3 O tiene una raíz entre -2 y - 1 .

11

'lt

RICAS Y

s se hace uso del siguiente

�en 1

,-

�

1

(1)

no está definida cuando t = O. Para lograr una 1 l11f ttltiva de la existencia del límite de (1), consideramos valores de� cuan­ t 1 •�tn cercana a O. En la Tabla 1 se muestran los valore s de la función cuando tes 11, II IJ, 0.8, . . . , 0.1 y 0.01 , yen la Tabla 2 se incluyen Jos valores de la función cuando l.(), -0.9, -0.8, . . . , -0.1 y -0.0 1 . l tt hts dos tablas se observa que si el límite en (1) existe, éste puede ser igual a 1 . 1 ,.�, limite existe y es igual a 1 se demuestra en el Teorem a 2.8.2, pero en la demos'hknte que la función se

TABLA Z

=!

S� --4 � X � -2}; [u, /•l

SI -2 < X

f(a).

O Y /(1) < l . Considérese la función g para la cual g(x) = f(x) -x y aplíquese el teorema del valor intermedio a g en [0, 1].)

1 t�l udio de la continuidad de l'!5 funciones trigonométrica

1

2 + x - x2; [a, b] = [0, 3]; k 1 2 + 5x - 6; [a, b] [ - 1 , 2]; �

50. f(x) = x

=

f(x) � 1 si O � x � l . Demuestre que si fes continua en [0, I J , hay por lo menos un número e en [0, 1 ] tal quej(c) = c. .(Sugeren­ cia: Si ni O ni 1 valen lo que e, entoncesj(O) >

INUIDAD DE LAS FUNC IONE S TRIG ONOM MA DE ESTR ICCIÓ N

En los ejercicios 49 a 56 se indican una ./ill/t /1 y un intervalo cerrado [a, b ). Determine 11 1'/ rema de valor intermedio es válidoparael t•ctlt k dado. Si el teorema se cumple halle un 111/111 e tal quej(c) = k. Si el teorema no es vtílitltt la razón. Trace una gráfica de la curva y d O cuand o O < 1 < Yz 1r IHIIIIéro. Para la

U tndo -Yz1r

<

1

< 0.

"' '

2.8 Contin uidad de las funciones trigonorhétricas y teorema de estricción

'f rTIN l lrlllllll\0

I IM I I

(1) CIIN () (lt) lf1n ru" 1

11111

r •U

r •U

J¡

Jllm ( l r •O

JI

(ii i) lím eos 1 = cos O 1

\1!111 1 scn2

()

Hallar

o

El límite del teorema siguiente también es importante. Se deriva de los trc� 1 mas anteriores y de los teoremas de límites.

2.8.5 TEOREMA 1

-

cos t

1

Demostración

11m ,

r-O

1 - cos t l

=

cosx �en x

t)

Por lo tanto, la función coseno es continua en O.

lím t-0

O.

Como lím ( 1 - cos x) = O y lím sen x = O, los teoremas de límite no se

x-0 1 uplicar al cociente ( 1

_

. ] - COS X l¡m ---X x-o senx lím x-o X

1•

(1 - cos t)(l + cos t) = r-o t(l + COS t) . (1 - cos2 t)

-­

tm -:-::--'..;__ ----: �

"" hm ....,. .,- __.:...

=

l'ot el J'corcma 2.8.2, en 1 1 llnt s =

Se usa la identidad trigonométrica

'H.:Il f = 1 coSI

sen x COS X

0

T+O

= o

t •U

11

11111

1 '111 In tuntn,

lltll

0

f

V l'lllllo luN funciones seno y coseno son continuas en O, concluimos que 1

l

Determinar

sen t . sen t = Il m -- · Jtm ..,----1-o t r-o 1 + COS t

11 1 1111

-

o

.

•11

x-0

-

cosx)/senx. No obstante, si el numerador y el deno­ IIC dividen entre x, lo cual es válido pues x *O, podemos aplicar los teoremas \ J !U. Así, l - COS X co� lltn 1 = lím _:: _ �l. ' ll X x-o Sen X 11 X

r-o t(l + cos t) l. sen2 t--,= t m -:-:r-o t(l + COS t)

1

co� = 1 . O

f

= o

163

2 sen x - = 2 lím 2 2 2 X x-o X · COS X

) �cn 2 x

1 sen x sen x = 2 lím -- · lím -- lím x-o X x-O X x-O COS2 X ·

=2. 1 .

1 .1 =2

164

¿,ts l.OntmUidad de las funciones trigonométr icas y teorema de estricción

LIMITES Y CONTINUIDAD

Utilizando el Teorema 2.2.12 y los hechos de que las funciones seno y cosc•w continuas en O podemos demostrar el siguiente teorema.

1

2.8.6 TEOREMA

El dominio tanto de la función seno como la del coseno es el coul reales. Por lo tanto, deberemos demostrar que si a es cualc¡ll números los de todos número real, Demostración

lím cos x = cos a

J.-a

UD4:tolnes tangente, cotangente, secante y cosecante son continuas en sus '

1 M iii'IIIClStración del Teorema 2.8) se deja como ejercic io para el lector (veanse e]er" " 11 38).

Las funciones seno y coseno son continuas en cualquier número real. lím sen x = sen a y

x-a

'' 1

,,

J6, derermine el ltínire, si es

,-o

,-o

=

cos(t + a) = cos t cos a - sen t sen a

Oc (23) tenemos

lím sen(! + a) ""' lím (sen t cos a 1-·o

,-o

= lim sen 1 ¡-O

= O

·

cos t sen a)

lím cos a + lím cos r 1-0

cos a + 1

·

+

1-0

•

sen a

x-o

1-0

sen a

x-o

14. lím

11m cos(t + a) ¡-·O

x-o

18. l'lm

lím (cos t cos a - sen t sen a) 1-0

= lím cos 1 · lím cos a - lím sen r ,-o

= 1

·

1-0

cos a - O

= cosa

,-o

Lím sen a -o 1

sen a

Así pues, también se cumple la segunda ecuación de (22), por lo que la función L l es continua e n cualquier número real. Usando identidades trigonométricas, el Teorema 2.6.4 de la continuidad de 1111 1 cíón racional y el Teorema 2.8.6, se puede demostrar que las otras cuatro fu111 . lrigonométrícas son continuas en sus dominios.

1 - cos x

1 + senx

1

- cos2 x 2x

2

f

, 11

11 \

1

20. lím

,-o•

1 ' (Sugerencia: r (Sngerencia: r

=

1\uf(erencia: r

=

r

=

1\u¡.:erencia:

=

1 - COS X x2

.._ 1

sen 4y

cos 3y

V2 11' - x.)

V2 11' - x.)

x - 11'.)

x - 1r.)

31. lím

1 32. l.•m sen x sen­

sen(senx)

33. Dada 1 - cos2 x � f(x) � x! para toda x t:n el intervalo abierto (-\.171', Y'27r), encuentre x-0

X

x-·o

3x + 2x

X

,-o

lím j(x).

34. Dada -sen x � .f(x) � 2 + sen x para toda x en el intervalo abierto ( 7!' 0), encuentre lím .f(.r) . -;; � ,

\._

En losejercicios 35 a 38, demuesrre lllle la·función es conrinua en su dominio. 35.

La función 1angen1e.

36. La función co1angen1e. 37.

La función secanle.

39. Si l.f(x) 1 � M para toda x y M es una conslante, emplee el teorema de cslricción para demoslrar que lím x1 f(x) O. 38. La función cosecante.

,-o

sen x 26. l.lffi ::-2 ­ x-o

En los ejercicios 31 y 32, encuenrre el !Jíniresi exisre.

para roda x. .

-

tan4 2x 16. l.lffi--­ x-0 4x4

En consecuencia, la primera ecuación (22) se cumple, por lo que la función seno �· tinua en cualquier número real. A partir de (24), =

X_. -2

-

. 1 - cos 2z -.,12. llffi 4z :-0

Iím sen a

�

x-o

30. lím g(x), si lo(x) - 3J < 5(x + 2)2 para toda x x-3

. sen5 2x 8. ,1m --x-o 4x5

lO. lim

1

lím x2 sen-

29. lím g{x), si lo(x) + 41 < 2(3 - x)� para toda x

sen3 x 2 .C enunció un teorema (Teorema 2 . 1 .2) y en la Sección 2.2 t-.l' 1 1 diaron dol> teoremas (teoremas de límite 9 y lO) cuyas demostraciones se difirieron p " esta sección. Como se señaló en la Sección 2. 1 , el Teorema 2.1.2 es un teorema de unicidad 111 garantiza que de existir el límite de una función, éste es único. Lo volveremos a c.'tlllt ciar para proceder a su demostración. �u

=

x-u

L 1 y lím f(x)

=

L2, entonces L 1 = L . 2

1 11

O < lx - a l < o1

,¡

O < lx - a l < o2 entonces

A.� hu jsmo, como lím f(x) x-o

entonces =

1 1.1

L2 l

=

I [L¡ - f(x)] + [f(x) - L2] 1

1

El dominio dejes el conjunto de todos los números reales excepto

l'or lo tanto, a está en el dominio. La demostración se comple tará entonces si

l• 11111\ probar que '

a

s IL 1 - f(x) i + lf(x) - L2l

A'll, de ( 1 ), (2) y (3) podemos concluir que para cualquier f > O exjste una O¡ 111111 �l O tales que �1

() oc. lx - al < o1

y O < i x - a l < o2 entonces

1 L 1 - L2i < E + € Hl h rN ltt 111cnor de o 1 y o2, entonces o s o 1 y o s o2, y (4) establece que para Ul qult•J 1 .. O existe una o > O tal que NI

O < ix

si

O < lx - a l < o entonces

tt i < o entonces

Sin embargo, si e

=

I L 1 - L2l < 2E

V2 l L 1 - L2 1 , entonces (5) establece que existe una o > O 1111 IL, - L2i < IL1 - L2l

Ya que (6) es una contradicción, nuestra suposición es falsa. Así que L¡ rema queda demostrado.

=

L2, Y d

...!._ X.

fes continua en a.

L2, existe una ó2 > O tal qué

Aho1a bien, al escribir L 1 - L2 como L 1 -f(x) + f(x) - L2 y aplicar la desigunll del triángulo (Teorema 1 . 1 . 1 5 ) tenemos

=

X

if(x) - L ¡ l < E

I J(x) - L2i < E

de la función definida por f(x)

cualquier número excepto O, y

=

poro cualquier E > O existe una o1 > O tal que si

b, y si la función/ es continua en b,

11 rnll n uidad

Demostración Se supondrá que L 1 ,¡. L2 y se demostrará que esta suposició11 oll 11 n una contradicción. Ya que lím j(x) L 1 , de la Definición 2 . 1 . 1 se dedu O, si ó e SigUiente enunciado es verdadero:

r�

Ahora bien, 1

'

1! 1: 1! 1:

-ta < x - a < !a

2

p

h

� a), el cual co 111l

1a s;

!a < x < !a

-

IIPttllt�t ró

<

169

=

1! !1 -

<

=

mín ( Yz

a

'

e

_!_ SI a > O. Por lo tanto, f es continua en a si a •

·

Y2a 2 e),

a

> o. •

. para demostrarlo mediante la apli· de volver a enunciar el Teorema 9 de 1'mite

tic los teoremas 2 · 7

i 1 Y 2 9 1 , desarrollaremos un eJ·emplo que muestra los usos . . lcurcmas 2 .7 . 1 y 2 .9. 1 en 1a determm aclón del límite de un cociente. ·

·

·

. · Usando los teoremas 2. 7. 1 Y 2 9. 1 pero sm aplicar el Teorema 9 de límite IIft' de un cociente) determine ·

•

. . ...

¿,\:j

2

11111

11\

1

•

1 l.\ 1 �

'2

·

Scun

x2 +

=

g

x-a

+ 5

6

lím

11

=

=

lím g(x) = lím (x2 x�2 x-+2

+

lhn

, . l x2 + 2x + 5

·•

2x + 5)

13 Del Teorema 2.9.1, hes continua en 13; así pues, podemos utilizar el Teorema y entonces 1 IJ(g(x)) (por el Teorema 2.7.1) lt( l3) =

1 lím x- 2 g(x) = lím

J

=

h(lim g(x) ) x- 2

1

2x + 5

2.

·

Ml

­

•

M el Teorema 1 O dela continuidad límitepormedio delfunción/definida Teorema 2.7.1, hayporquef(x)utili111HII l l6n el teorema acerca de de una 1 tc.:orcma sesuestabl eció como ellaTeorema perola siguiente no se probófórmula, en la Sección se dará demostración, cual hace uso de donde , l •llquicr entero positivo: (11) l se deduce de h"

• ltm ( x - 3) · 1 un 2 x-2 x-2 X + 2x + 5

1 a"-2 b

111 '1 1

= 5 · fl

=

2.6.5,

+ · · ·

11111 1 1 a"-2 b + Mlldl)

· ·

·

+

+ ab"-2 + b"-1 )

==

a"

+

=

a"-1 b

ab"-2

+

b"-1 )

a"-1 b + +

·

·

y si lím g(x) M, entonces (\ M si M:i;O Sea hcon función definida porLah(x)funciónlxhesEntonces laenfunción puesta h 1/g(x). continua g se define h(g( x )) excepto en O, lo cual se deduce del Teorema 2.9.l. En consecuencia, todos llmj'(\) ' .,(

1

/ ( \) 1

... ll

11m

Demostración o

L.

1

1

=

>.-o

la

=

=

l

.

(¡u

términos de la segunda ecuación de los de la primera.

un entero positivo y 'Yx es impar, fes continua en todo número real es par, 1es continua en todo número positivo

al n al

·

· +

TEOREMA 9 DE LÍMITE St

+

(a - b)(an-1 + a"-2b + a"-3b2 + . . . + abn-2

���� u 111 a ( l l )

= f3

•

L

-11 1\ ho 1 11

6

, •J \

'"' /(\) ti 1./ ( ' )

l411t•t lll'IIIOStrar

Por lo tanto, usando el Teorema de límite, tenemos 4x- 3 . 4 -- =

6

L

1 = 13

í

l•

· -

=

=

!1111

..., _

x-2

la

lím h(g(x)) h g(x)) (por el Teorema 2. 7. 1) "" h(M) M1 llll•llla de límite y del resultado anterior, se tiene, (lím

l'undoncs

y

171

x-a

lns f y g definidas por f(x) 4x 3 (x) 2x Consi comoPrimero, el productono de/(x) úsese eJ Teorema 1/g(l), de lllul1• (límitedéresc/(x)/g(x) de un producto). obstante,y 1/g(x) debeydeterminarse considerando a por llg(x)h(x)como1/x,un valor de una funcióncompuesta compuesta. cualSi seheshacefunción definida entonces la función aquella definida por h(g(x)) 1/g(x). Ahora bien, 1

Solución

Uéi'I'IOStrac•ones de algunos teoremas de limite (Suplementario)

a.

n

1

a.

bn-1

· ·

+

ab"-1

ab"-1 +

b"

1

1"

¿.9 Demostraciones de algunos teoremas de limite (Suplementario)

I IMI I I 1 Y I IIN 1 11�11111/111

Demostración

Probamos el teorema si a es un número positivo, siendo impa1 u 1 El caso cuando a es negativa o cero y n es impar, se deja como ejercicio para cl lc¡l (ejercicio 19). Deseamos demostrar que si a > O, y f(x) = Vx, entonces fes continua en 11 ' que Va existe cuando a > O, la demostración se completará si se demuestra qut

1

-­

Como Vx se define para todo número no negativo, el intervalo abierto que rcqul la Definición 2 . 1 . 1 puede ser cualquier intervalo abierto que contenga a a y tc1111n • número no negativo como punto extremo izquierdo . Debemos demostrar que pa1 u 111 quier e > O existe una ó > O tal que

< l x - al < o entonces

IVx - Tal < E

" " l fx - v'al

-

,

_

a lf•)[(xlf•)" - 1 + (xll•)•-2a11• + . . . + x ''"(a11•)•-2 + (a l '")� 1 (x lf•)• 1 + (xlf•)" 2alf• + . . . + xlf•(a •l•)• - 2 + (alf•)• - •

y se obtiene

lx O, si o = mín (a, 0tricción de que si n es par, L > O.

"Yx. Entonces la funcll\11 Sea h la función definida por h (x) = ".JJ(x). Del Teorema 2.6.5 se deduc�: 1 ptlcNIII 1t ofcstá definida por h(f(x)) y L > O. Por lo tanto \'OI\IIn11u en 1.. si n es impar, o bien si n es par ' •tt

2.

x-a

r-3

h t- 4 1: L.

�

12,

.,-a

y - 1

16. Compruebe que si f(x) x-ú

21

= g(x) para todos los valores de x excepto x = a, entonces lím /(x) = lím g(x) si el límite existe.

use los Teoremas 2. 7.1 y

10, para determinar el límite.

1 11

10.

{/x -

lím

·- -

1/2

x-a

x-á

o-4 1- - 4

x-2

-Jiím 1 f(x)J2.

tonces lím l f(x) 1 existe y es 1 L 1 .

Y+ 5

, ­ 6. l.tm -

8. lím

=

15. Compruebe que si lím f(x) existe y es L, en-

-

4. lim --

"

Htt ,.¡

trc que lím f(x)

8 x-- 2 3x + 2 lim

x-u

).-11

17. Pruebe que sif(x)

res de x excepto x

1

J&r3 + 6

=

==

g.(x) para todos los valo­

a, entonces si lím g(x) A-a

no existe, lím f(x) tampoco existe. (Sugerenlím /(x)

x-ú

cia: Muestre que la suposición de que no existe

1

.\-a

• h•11 14 es continua en un número a y

ció

hllt 1 t'\ discontinua en a, ¿es posible

conduce

a

una

contradic-

n.)

18. Demuestre el Teorema 2.9.1 si a

"h•111c de las dos funciones,j/g, sea

< O.

19. Pruebe el Teorema 2.6.5 en el caso cuando a es negativa o cero y n es impar.

1 ' 11 a'l Demuestre su respuesta.

MITES DE FUNCIONES

t�t•tlcrcmos ahora a analizar cuatro teoremas que resultan necesarios para demos­ niKunos teoremas importantes de capítulos posteriores. Después de enunciar cada l'IHH se muestra un ejemplo gráfico'para ilustrarlo.

'!JL

O mostración

11m

nio y lím [ f(x)Jl existe y es positivo, demues-

nu t•l T. L. 9 para determinar el llmite.

ntaria)

?. . Z . 1 0 TEOREMA 1 0 DE LÍMITE

,

14. Sif(x) es no negativa para todaxen su domi­

1o'l11.\ 1 a 6, utilice los Teoremas 2. 7.1

REMAS ADICIONALES DE

=2

llrn. ''Jtc�>

2.9

y2 12. lím {/ r-o

ifJW

= h( lím f(x)) (por el Teorema 2. 7 . n =

4

'lOS

lo /111 7 a

x-7

.r-7

175

::/.f{x) - l í m h(.f(x)) \

=

u

ll(límf(x))

=

(por el Teorema 2. 7 . 1 )

/(x) existe y es positivo, entonces existe un intervalo abierto que contiene que f(x) > O para toda x 1

5

2x - 1

(

1<

e

en el intervalo.

Consideremos la función f definida por

176

LIMITES Y CONTINUIDAD

La gráfica de f se presenta en la Figura l . Como � "} f(x)

=

2.1 O Teoremas adícior.ales de límites de funciones (Suplementaría)

1 , y 1 > O, de acu •

177

con el Teorema 2 . 1 0 . 1 hay un intervalo abierto que contiene a 3 tal qucj(x) > O 1 todax :F 3 en el intervalo. Tal intervalo es (2, 4). De hecho, cualquier intervalo ahl ( a, b) para el cual lh :5 a < 3 y b > 3 nos será útil. cando la Definición 2 . 1 . 1 y tomando si

O < Jx - ·el < ó

entonces

x-e

SeaL = límj(x). Por hipótesis, L > 0. 11

Demostración del Teorema 2.10.1

E =

lhL, sabemos que hay una o > O wl

l f(x) - L l < Y2L

También lf(x) - L l < Y2L equivale a - V2L < f(x) - L < lhL (véase el Tcol 1 . 1 .10), lo cual a su vez es equivalente a Y2L < j(x) <

�L

También O < Jx - el < ó equivale a -ó < x - e < o pero x * e, lo cual a su equivalente a

�

e - ó < x < e + ó pero x * e - x está en el intervalo abierto (e - o, e + ó) pero x :F e

Con los enunciados (2) y (3) podemos sustituir ( 1 ) por el enunciado: si x está en el intervalo abierto (e - ó, e + ó) pero x * e entonces lhL < f(>.)

Como L > O, concluimos que f(x) > O para toda x :F e en el intervalo ni +

(e - o, e

o).

EJEMPLO 1

f(x)

=

Dada

-3x 2x- 7 x-l

(a) Demostrar que lím f(x) > O. (b) Comprobar el Teorema 2. 10.1 para esta función, encontrando un intervalo que contenga a 1 tal que j(x) > O para toda x * 1 en el intervalo. Solución

(a) r

�

-3x 2x - 7

=

3

5

Y

> 0 1._ 5

(b) Los valores de x en el intervalo abierto requerido deben ser tales que -3x 2x - 1

> 0

1 11 11l•sig

��ldad (4) se cumplirá cuando tanto el numerador como el denominador J)OStttvos o cuando ambos sean negativos . Se consideran dos casos. ' l 1 -3x > O y 2x - 7 > O. t •ll•dr , X < O Y x > ! . No hay un valor de x para el cual estas dos desiguald ades 11 \•llttlas. Por lo tanto, el conjunto de soluciones del Caso 1 es el conjunto vacío . lr•lll

1 .1 -3x < O y 2 x - 7 < O. t •ln•J, , x > O Y x < ! . El conjunto de

soluciones del Caso 2 es el intervalo (0, í ). desig l. lit ualdad (4) se cumple si x se encuentra en el intervalo abierto (0, f ). •••u luimos, entonces, que cualquier intervalo abierto (a, b) para el cual o :5 a < 1 /J S 1 s rá tal que con�enga a 1 y f(x) > O para toda x :F 1 en el intervalo. � 1 11111� ular, el mtervalo ( t , ) será un conj unto de soluciones. 2

existe Y es negativo, hay un intervalo abie rto que contiene a e, tal que para toda x >F e en el intervalo.

•1• 111ostración de este teorema se asem eja a la del Teorema 2 . 1 0.1 y se deja como In pura el lector (véase el ejercicio 1 7).

PLO ILUSTRATIVO 2

J - 2x

6-x

1 \

Sea

178

LIMITES Y CONTINUIDAD

1-

lím g(x} - -4 y -4 < O· POI 1 La Figura 2 presenta la graftca de g. Se sabe que x-l '

·

•

t o por e1 Teorema 2 lo 2 existe un intervalo abierto que contiene a 2 tal que ¡:( \ 1 l. 0 ara toda x * 2 en el intervalo. Dicho intervalo es � 2 , �>: Cualqu1er mterva1o •"1 11 (a, b) para el cual � s a < 2 y 2 < b s 6 sera suftc1ente. ·

�

·

·

EJEMPLO 2 g (x)

=

2k < o

1'111' lo tanto, lím g(x) < O siempre que k se halle en el intervalo ( !tí , + oo). x-k

�

1 otilo g(x) < O si y sólo si x > !tí , los intervalos abiertos (a, b ) requeridos que llllltcngana k, taJ que g(x) < O, son aquellos para los cuales !tí s a < k y b > k.

' ) 1 11 In Figura 3 se muestra una gráfica de g. En la figura se seleccion a el valor de A Vz . Notemos que lim g(x) g(k) y así g es continua en k. El punto (k, g(k)) x-k ��· Indica en la gráfica y g(k) < O. Obsérvese que para todos los valores de x en •unlquier intervalo abierto (a, b), donde Vz s a < k y b > k, la gráfica está en ntarto cuadrante y así g(x) < O. =

l

t=2X

(a) Determinar los valores de k, tales que � g(x) < O.

:�

,.¡

un valor P ticllllll (b) Hallar todos los intervalos abiertos (a, b) que contengan . k en (a, * x a � t para O < (x) g que k que cumpla la parte (a}, tal . _ 1 ( _, los geometnca de (e) Trazar la gráfica de g y mostrar en ella la interpretaclOn dos de las partes (a} Y (b).

�

'

Solución (a) Si k * Vz,

l 1 - 2k

Deseamos hallar los valores de k, para los cuales 1

1-27( < o

. . es negativo, es dcctt Esta destgualdad se cump¡·tra. SI Y sólo si el denominador si y

FIGURA Z

17 9

k > Vz

hl

Dada

l �� t=2X =

limites de funciones (Suplementaria)

-2k < - 1

·

El siguiente ejemplo también ilustra el Teorema 2.10.2.

2.1 O Teoremas adicionales de

L------ --- ---

·

que la función/está definida en algún intervalo abierto 1 que contiene

...........v posiblemente en e misma. Supongamos también que hay algún número el cual existe una o > O tal quef(x) s M siempre.que O < Jx - c J < o.

si lím f(x) existe y es igual a L, se tiene que L s M. x-e

/ que cumple la hipótesis del Teorema 2. 10.3. En ella podemos notar quef(l ) no

La Figura 4 muestra el trazo de la gráfica de una fun­

A th•flnida, pero f está definida en el intervalo abierto ( { , ! ) excepto en l . Ade­ • /(\) s ¡ siempreq ueO < J x - I J < Vz . Así, de1 Teorema 2.10.3se sigue

que 1 ( \) existe y es L, entonces L s t . De la figura, observamos que hay una L

.,

y

•

--� � �� LLL� � � -�r o 1 FIGURA 4

mm •1 .3 Suponemos que M < L Y demostra Demostración del Teorema 2.10 tal • O > E a ciert hay ción. Si M < L, dicha suposición nos lleva a una contradic que f(x) = L, existe una o1 > O tal M + E = L. Como lím x-e si O < !x - e l < o1 entonces if(x) - L l < E -

O < l x - e l < o1

si

Sustituyamos L por M + -

e;

O < lx ...... e < o1

si

si

O < l x - e l < ó1

entonces

L - e < f(x) < L +

E

concluimos que existe una o, > O tal que entonces entonces

(M + E) - e < f(x)

amente. Por tanto, es falsa nueslru "' Los enunciados (5) y (6) se contradicen mutu sición de que M < L. Entonces, L s M.

2.10.4 TEOREMA

algún intervalo abierto 1 que cont Supongamos que la función/ se define en ngamos también que existe algún nu e, excepto posiblemente en e mismo. Supo O < l x - el < o, entonces /(x) M para el cual existe una o > O tal que si L 2: M. Entonces, si lím f(x) existe y es igual a L, x-e

para el lector (véase el ejercicio 1 Hl La demostración se deja como ejercicio

ema 2. 10, 1

Figura 4 también ilustra el Teor EJEMPLO ILUSTRATIVO 4 La se dll11 V2 , entonces f(x) 2: t ; Y como ya < 1 ella se observa que si O < lx - 1 lru 4 estab 10 ( t., i ) excepto e n 1 , el Teorema 2, .

•

define en el intervalo abierto si lím f(x) existe y es L, entonces L 2: t . x-1

EJERCICIOS 2 . 1 0

(b) VerUique el Teorema 2. 10. 1 para /afunción/, ,-e

hallando un intervalo abierto que contenga a e, tal · que f(x) > O para toda x =1= e en el intervalo.

l. f(x) 2.

3.

=" l

2

f(x) = ?

5

4

;e=3

7

x -

1

:

e=4

e= 1 1 -; = f'(x) . J;

x-

¡

, -; e = - 1 4. f(x) = x- - 1 4 x -

1

uncul¡¡ En los ejercicios 5 a 8 se dan unaf < O; 1' (1 (x) g lím número c. (a) Muestre que .r�é un ejempl o de una funció n! que sea dis-

~·o ul i nu a en 1 y para la cual (ll) hm /(x) existe pcro/( 1) no existe. 1 · 1

(h) /( 1) existe pero lím /(x) no existe.

.-·1

(l) Hrn /(x)

' .,

y f( 1) existen , pero no son igua-

h'\ "'ti domini o de/ es el conjun to de todos los 11111 11 ~'' n~ reales yfes continu a en O, dem uesll l t(lll' ~i/(a ~ b) =j(a) + f(b) pa~a toda 11 Y11, l'IIIQnc csfes continua en todo numero . t..;tl•l domini o dejes el conjun to de todos los 1111 1\IC I o~ reales y fes continua en O, demues ''' que ,íj'((l 1 b) = f(a) · f(b) par.a toda 11 v 11, cntonc c,.fes continua en todo nu mero. In lm 1'/l'll'ldos 95 y 98 se refieren a la Sección 'illfl/t•lltl'/11111'1(1 2. 9. Ell los ejercicios 95 Y

96,. u~e los

11 "'''11111\ 1. 7 1y 2.9.1 perono el T.L.9 (el llmlle de

X

-

X+

En los ejercici os 97 y 98, use los teorem as 2. 7. 1 t 2.6.5, pero no el T. L. JO (el límite de una rlll ~ lf ésima), para obtener e/llmite.

97. lim J2x 2

-

9

98. lim ;c-

- 4

x-3

ifi

Los ejercicios 99 Y 100 se refieren a la Se('('/11 Suplem entaria 2. JO. 4x 2 - 9 99. Se daj(x) = 2 x 2 + ?x + 6 (a) Muestre que lím f(x) < O. .\ - -)/2 (b) Verifique el Teorem a 2. 10.2 para la 1111 ciónfd etermi nando un intervalo ahll'l l

que conten ga a- t tal quej(x ) < O¡ltlf toda x ,¡ - t en el intervalo.

x- 2

tOO. Se da,((x) == X+S · (a) Determine los valores de lím f(x) > O.

f

talc~ tll

.\- k

(b) Halle todos los intervalos abierto~ (rt, que conten gan un valor parucula1 ti que satisfaga la parte (a), tal que.f( 1) o para toda x *k en (a , b ). (e) Trace la gráfica dejy muest~ e ~n ht ' fi ca la interpr etación geomet n ca dr 1 resultados de las panes (a) Y(b).

1•1concepto de derivada se introd uce en la Sección 3.1 consid erando primer o su interpretación geométrica como la pendie nte de la recta tangen te a una curva. Cuand o una lunción tiene deriva da, se dice que es diferenciable, y en la Secció n 3.2 se estudi a la tt•lnción entre la diferenciabilidad y la contin uidad. La deriva da se calcul a por medio llr la operac ión de diferenciación, y en la Sección 3. 3 se enunc ian y demue stran los teo' ''lilas que ayuda n a llevar a cabo estas determinaciones sobre funciones algebraicas. Hn la Sección 3.4 se interp reta la deriva da como la intensidad o tasa de variación ll' llltiva. Esta interpr etació n destaca su impor tancia en mucho s campo s. Por ejemp lo, r11 l'lsica, la velocid ad de una partícu la en movim iento se define en forma de una deri\'ndu, pues se trata de la medid a de la intensidad de variac ión de un despla zamie nto \1111 respec to al tiempo . La rapide z de reprod ucción de bacterias propo rciona una de luM nplicaciones de la deriva da en biología. La velocidad o rapide z de una reacción químka tiene gran interés para el químico. Los economistas se interes an en conceptos como "''"'eso marginal, costo marginal y utilidad marginal, que son todos intensidades o tasas tlr variación. l•n la Sección 3.5 se estudi a la diferenciación de funciones trigon ométricas , y en la u·ión 3.6 se enuncia y se compr ueba la regla de la cadena, métod o muy útil en ht diferenciación de funciones compuestas. Dicha regla se aplica en la Sección 3.7 1' 11 a obtener la fórmu la que propo rciona la deriva da de la función potenc ia con expolio ti es racionales; en la Sección 3.8, para diferen ciar funciones definid as implícitamr ntc, y en la Secció n 3.9, para resolver proble mas con rapide ces de variación relaluundas. En la Sección 3.1 Ose estudi an las deriva das de orden superi or y su aplicación 11 11\ica al~ovimient o rectilín eo .

8d

LA DERIVADA Y LA DIFERENCIACIÓN

3. 1 La recta tangente y Ja derivada

187

3.1 LA RECTA TANGENTE Y LA DERIVADA Muchos problemas important es en Cálculo dependen de la determina ción de la rc~l~ tangente a una curva dada, en un punto específico de la misma. En geometría plar111 si la curva es una circunferencia, la tangente en un punto P de esta curva se define COIIII• la recta que corta a la circunfere ncia únicament e en un punto P. Esta definición 11 • es suficiente para una curva en general. Por ejemplo, en la Figura 1, la recta que dch da ser la tangente a la curva en el punto P, corta a la curva en otro punto Q. Para lh gar a uná definición adecuada de la recta tángente a la gráfica de una función en lllt punto situado en dicha gráfica, procedernos consideran do cómo definir la pendic111 de la recta tangente-e n el punto. Entonces tal recta se determina por medio de su Ptlll diente y el punto de tangencia. Sea la función/ continua en x 1 • Desearnos definir la pendiente de la recta tangcul a la gráfica de f en P(x1 , f(x 1)). Sea 1 el intervalo abierto que contiene a x 1 y en el cu 1 está definida f. Sea Q(x2 ,f(x2 )) otro punto sobre la gráfica de/, tal que x 2 IUitl bién está en l. Tracemos una recta a través de P y Q. Cualquier recta que pase por dtt puntos de una curva se llama recta secante; por lo tanto, la recta a través de P y Q rl~ lllltl recta secante. En la Figura 2 se muestra la recta secante para diversos valores dcll la a halla se Q figura, la En particular. \ 1 • La Figura 3 muestra una recta secante dw de P. Sjn embargo Q puede estar ya sea a la derecha o a la izquierda de P , couu VCiliOS en la Figura 2. Representemos la diferencia de las abscisas de Q y de P por Ax, de manera q111

Ax

= x2 -

x1

Obsérvese que Ax denota una variación en el valor de x cuando x cambia de x 1 a 1 y puede ser positiva o negativa. A esta variación se le denomina incremento de x. l)t 1 notarse que el símbolo Ax para un increment o de x no significa "delta

por x''.

1

1f(xz~- f(x¡) • • x:-x 1 --l._~.

1 1( 1.))

~----~x

Vulvnmos a la recta secantePQ que aparece en la Figura 3; su pendiente está dada por

,

/'()

f(x2) - /(x1)

h IIIJII C que la recta PQ no sea vertical. Ya que x2

t 111 tlr expresarse como 111¡'1)

= x 1 + Ax, la ecuación antert'or

f(x, + Ax) - f(x 1 ) ÁX

hd,rn, irnaginemo~ el P~~to P como un punto fijo y desplacemos el punto Q a lo 1Mt¡ctr < e la cu~a en dtrecciOn hacia P; es decir, Q se aproxima a P. Esto equivale a ', ,h que Ax hende a ce~o. Conforme esto sucede, la secante gira sobre el punto fijo d 1 ,¡ r~ta recta secante tlene una posición límite, es esta posición límite la "';'" •r~~~a tangente a la ~r~fica en P. Se desea así que la pendiente de la rect~~:n;:~~ •• MI 1 ICa en P sea el hrntte de mPQ cuando Ax tiende a cero, si este límite existe Si 1 m,'O = .+ oo o ~ oo' entonces, cuando Ax tiende a cero, la recta PQ se apr~xi-

l"l,

IIIMA l11 recta que pasa por P, la cual es paralela al eje y. En este caso querernos que 1 11 1 1 "'' 111 tangente a la gráfica en P sea la recta x = x 1 . Este anális·s nos eva a a

l•ulr111c definición.

que la función/ es continua en x 1 ; entonces, la recta tangente a la gráen el punto P(x1 , f(x 1)) es recta a través de P, cuya pendiente m(x1) se define como

'1' -c f

fiiOURA 1

m(x,)

=

lím f(x,

' - Ax-0

+ Ax)- /(xt) ÁX

(1)

80

3.1

LA DERIVADA y LA DIFERENCIACIÓN

f(x¡

lím,

+ Ax)- /(X¡) es + oo o Ax

.tU-O

La recta tange nte y la derivada

18 9

-oo

y

. hmo_ Ax-

f(x 1 + Ax)- f(x¡) es + oo Ax

0 -oo

. .. .. ón 3 1 1 no existe una tange nte a la grálk l• Sí no se cump len (i) m (u) de la D e f lntCI . . '

de f en el punto P(Xt '/(X¡ )).

1

.

2 E

_

las partes (a) a (e) deter mina r la JWII EJ EMPLO 1 Dadala~arabolay - x . ~a 2,4), (3 ,9);( b)(2, 4),(2 .1, 4.41l diente de la secan te a traves de los dos pund~o\~ de ~a tange nte a la paráb ola en el punl• (e) (2 , 4), (2 .01 , 4 .0401); (d) halla rlape n 1en (2, 4). 1 Solución Sean ma, m b, y m e as p endie ntes de las rectas secan tes para (a), (b) y (11 respe ctivam ente. 4.0401 - 4 4.41 - 4 (e) m, == ~2.01 - 2 (b) mb == 2.1 - 2

:::: 5

(d) f(x)

,.¡ punto

11

olucló n

=---o.o1

== 4.1

== 4.01

f(li 1 + ~x)

m(2) == lím .

(2

+ ~xf ~x

t\x ... O

= lím

4

~X

. (x + ~x?3(x 1 + ~x) + 4 -(x 1 3 -3x + 4) hm ..;.._:1_ _ 1 ;.. _ __:.._.. :..__;.....:;._~--....;.....

;..__

~X

Ax-0

. x 1 3 + 3x 1 2 ~x + 3x 1 (Ax)2 + (~xn - 3x - 3 ~x+ 4-x 1 3 + 3x 1 - 4 1 hm . A Ax-o L1X

3x 1 ~x + '--__.. (~x) ;.--_,._ - 3 ~x_ 1 (~x) lím _:___ _+_3x __:..':-;...._ 2

3

~X

l111t'HIO que Ax i' O, el numerador y el denom inado r puede n dividirse entre Ax para uhtrn cr

-4

+ 4 ~x + (~x)

~x) 3 - 3(x 1 + ~x) + 4

lím f(x¡ + ~x) - f(x,) Ax-o

t\x ... O

~

== hm

= (x 1 +

3x 1 + 4

2

+ ~x) - f(2)

.u-o

-

3x + 4. Enton ces

Ur ( 1),

= x2. De (1) tenem os j(2

=x3 -

Seaf( x)

f(x 1 ) = x 13

0.0401

0.41 == - 0.1

{X¡, Y1 ).

111(\ 1) 2

-

4

= lim [3x 1 2 + 3x 1 ~x

m(\ 1) =

Ax -o

3x 1 2

-

+ (~x?

3

-

3] (2)

~X

4 ~x

+ (~x?

= lím --~-x-Ax-o

= lím

(4 + ~x)

bx-0

=4 ' f"ca y un segmento de la tange nte en (2, 4). (e) La Figur a 4 mues tra 1a gra 1

= EJEMPLO y= x 3

-

Z

Deter mina r la pendiente de la tange nte a la curva

3x + 4

A 1In de grafic ar la ecuac ión del

Ejem plo 2, locali zamo s algun os punto s y se traza IUI ~~·¡¡ mento de la tangente en algun os de ellos. Se toman luego valores arbitr arios de x J'lll

medio de la ecuac ión se calcu la

el valor corre spond iente de y, así como el de m, ¡111 ~~·obt iene a partir de (2). Los result ados se muest1an en la Tabla 1 y en la Figur a

" rl.'preséQta la gráfic a. Es impo rtante deter mina r los puntos en los que la gráfic a 11 m• 1angen te horiz ontal . Puest o que una recta horiz ontal tiene pendi ente cero, estos 1'111111111 se obtie nen al estab lecer que m (x ) 1 = Oy despejando x 1 • Efectuand o el cálcu lo 1•111 c:ste ejemp lo, 3xr- 3 = O, lo cual da x = ± 1. Por lo tanto , la recta es l•tr ul~:l n al eje x en los punto s de abscisas igual a1 - 1 y l.

3. 1 La recta tangente Y la derivada

LA DERIVAD A Y LA DIFERENCIACIÓN

180

Y - 6 = -t(x - 2)

1'A8LA 1 )1

m

4

-3

(Í

o 9 o

2

9

2 ()

9y- 54 = -x + 2

X+ 9y- 56 =

Determ inar una ecuació n de la tangente a la curva del Ejemplo 2 ru

, y ) Solución Como la pendien te de la recta tangent e en cualquie r punto (x 1 1 dada por

C'll

cc"l' la pendiente de la tangent e en el punto (2, 6) es m (2) = 9. En consecuencia, una es te pendien y punto de ción de la recta deseada en la forma y- 6 = 9(x- 2) 9x - y - 12 =O

El tipo de límite en (l) sirve para determi nar pendiente de u na tangent e Yes uno ~e los concept os más importa ntes del Cálculo . E uso frecuente que de o concept un s co. específi nombre un llene

DEFINICIÓN , de La d~rivada de una función /es aquella ffunción , cuyo valor en f por notada ' d , d domin•'o del x ra un numero cualquie e esta ado por

m(xd = 3~- 3

/' (x)

=

lím f(x + .1x) - f(x) .1x

Ax-o

(3)

/

.1.2 DEFINICIÓN La recta normal de una gráfica en un punto dado es la perpend icular a la tangenl en dicho punto. La normal a la gráfica del Ejemplo 2 en el Plllll ,\ (2, 6) es perpend icular a la tangent e en dicho punto. De acuerdo con el Ejemplo 1 normnl la de te pendien la iente, pendien te de la tangente en (2, 6) es 9. Por consigu {2, 6) es - ~ y su ecuació n es

Si x, es un número particul ar en el dominio de/, entonces

/'(x,)

=

lím f(xl + .1x) - f(x1 ) .1x

Ax...o

(4)

~~ este límite existe. Al compar ar las fórmu la ( 1 4 notamo s que la pendiente de s ) Y ( ), f( ) fu t nngente a la gráfica de y 1 punto (xJ' f(x, )), es precisamente la derie en ' x = x en a evaluad f de \ udn 1·

• EJEMPLO ILUSTRATIVO 1

¡f'JQURA S

•

la

el punto (2, 6).

!1

Ü

La Figura 6 muestra la gráfica Y las rectas tangente y normal en (2, 6).

EJEMPLO 3

1

191

IEMPLO 4

Dadaf( x)

= 3x 2 +

12, obtener la derivad a def

3. 1 La recta tangente y la derivada

LA DERIVADA Y LA DI FERENCIACIÓN

== lím [3(2 + llx) 2 + 12] - [3(2) 2 + 12]

Si x es un número en el dominio de f, de la ecuación (3) obtenemos

Solución

f(x

f'(x) == lím

+ llx) -

l:lx

f(x)

== lím 12 + 12/:lx + 3(/:lx)2 + 12- 12 - 12

, l:lx

.u -o

. [3(x == hm

+ llx) 2 + 12] -

(3x

2

+

== lím 12 llx + 3(llx) 2

oX

+ 6x l:lx + 3(/:lx)2 + 12 -

3x2

== lím

3x

2

12

== lím (12 + 3 ll x) Ax-o

6x l:lx + 3(/:lx? ---'---'-Ax -o llx

= 12

= lím - -

(h) De la fórmula (7) tenemos

== lím (6x + 3 llx)

! '(2) == lím f(x) - f(2) x-2 X- 2

.u-o

= 6x Consecuen temente, la derivada de! es la función!' definida por (x) = 6x ·.E~ dm:'~ nio def' es el conjunto de todos los números reales, que es el m1smo dommJO dt

1:

= lím (3x 2 + 12) x-2

= ax--o lím

f(x 1

+ Ax) -

=

f(x,)

Ax

.u.

.

2

x-2

X -

24

2

2

3 lím (x - 2)(x + 2) x-2 X- 2

= 3 lím (x x-2

En ella, sea

+ 2)

= 12

X¡+ ÁX = X

Untonces

"A.x- O" equivale a "x _.

lt) Como del Ejemplo J,f'(x) =/6x, entoncesf '(2) Xt"

De (4), (5) y (6) obtenemo s la siguiente fórmula para f'(x, ):

f

X -

3x - 12 = ltm --

Considere mos ahora la fórmula (4) que es

j' (x 1)

llx

Ax-o

-

l:lx

.u-o

ll x

Ax-o

12)

A

Ax-0

193

= 12.

1·1uso del símbolo! ' para representa r la derivada·d e la funciónjf ue introducid o

el matemátic o francés J oseph Louis Lagrange (1736- 1813) en el siglo XVIII. Esta llnlución destaca que la función!' se deriva (o proviene) de la funciónfy su valor en ' ,., f'(x). SI (x, y) es un punto ubicado'en la gráfica def, entonces y = f(x), y y ' se usa asi1111 ~ 1110 como notación para la derivada def(x). Con la función/d efinida por la ecuah\n Y = f(x), podemos establecer que Jllll

, (x,)

=

. f(x) - f(x,) hm x-x x-x, 1

si eslc límite existe. La fórmula (7) es una alternativa de (4) para calcular f'(..\ ¡}

s Para la funciónfd el Ejemplo l , hallar la derivada dejen 2 dt' lt maneras: (a) Aplicando la fórmula (4); (b) aplicando la fórmula (7); (e) x por 2 en la expresión para f' (x} del Ejemplo l. EJEMPLO

Solución (a) f (x)

= 3x 2 +

f'(2)

= Ax-0 lím

12. De la fórmu la (4),

f(2

+ llx) llx

/(2)

~Y

= f(x

+ Ax) - f(x)

(8) luudc 4-Y recibe el nombre de incremento de y y denota un cambio en el valor de la lun11 1, entoncr· Solución Por la defm!Ctón del valor a s~ luto 1 _:. x2 Por lo tanto, f se puede defilllf {('\)

x-1

x - 1-

· 1 (e) Determ inar ~~ . d f (u) Traza r la gr á f1ca e · (b) Demo strar que fes contm ua en .

l'OIII O

Como las condiciones (i)-(iii) se cumplen en 1, fes continua en l. (e) f'_(l) = lím .f(x) - f(l) f'+( l) = lím f(x) - /(1)

Seaj la funció n defini da por

11 - x2 1

f(x) -

=O

(iii) lím f(x) = f(l)

j(x)- j(x,) x-lím_ x

ZOS

X

206

LA DERIVADA Y LA DIFERENCIACIÓN

C'_(lO)

=

3.2

C'+{lO)

lim C(x)- C(lO) x-lo x- 10

=

x-10•

+ 3) -

X-

f'_(2) = lím f(x) - .2{(2) 10

x-2

=

X -

10

.:..____2

lím

x-z ' = 1tm

x-2 -.

= 0.7

2

X -

2- X 2x(x - 2)

=

l1 -

Solución (a) La función f será continu a en b si lím_f(x) x-b 1 lím -

=

x-b+

= /(b) y

x-líf!l. b f(x)

= f(b) .

1 a 20, haga lo siguiente: (a) Trace rl•·lu f unción; (b) determin e si fes con',, (e) calcule /~ (x 1 ) y ¡ ; (x1) si exis1 il'lllline si/ es diferenciable en x 1 •

x-b+

x, = -4

= 1- tb

'Ab; por ío tanto,f será continu a en b si

IJ" - 41>

+ 4 =o

(b - 2)

2

,•

=o

1

si O< x < 2

- tx

'(x) = f(x) · g(x) · h'(x) + f(x} · g' (x) · h(x) + f'(x) · g(x) · h(x). (Sugerencia: Aplique dos veces el Teorem a 3.3.6.)

Emplee el resultado del ejercicio 47 para diferenciar las funciones de los ejercicios 48 a 51.

y 3 3 8 se obt1ene

7. f(x)

42. Halle una ecuació n de la recta tangente a la curva y = x 4 - 6x, y perpend icular a la recta X - 2y + 6 = 0. 43. Determ ine una ecuació n de cada una de las rectas normale s a la curva y = x 3 - 4x, y paralela s a la recta x + 8y - 8 = O. 44. Obteng a una ecuació n de cada una de las rectas tangente s a la curva 3y = x 3 - 3x 2 + 6x + 4, y paralelas a la recta 2x - y + 3 = O. 45. Determ ine una ecuació n de cada una de las 11~ pal'lfculas, A y B se despl azan a la un de n Parte . ontal horiz 'ltn \oh rc una recta de da dirigi cia distan la es s metro s y O, ll l tl pll

S

= 41 2

S

11 2

=

+ 51 + 3t

para la partíc ula 11 para la partíc ula ll

Si t = O al princ ipio, ¿para qué valon·, ti la velocidad de la partíc ula A excederá la Hl cidad de la partíc ula 8? 37. Las utilid ades de una tiend a que vctHh menu deo son de IOOy u.m. cuan do se ~w~l x u.m. diario s en publi cidad , y y = 2~011 36x - O. 2x2 • Empl ee la deriv ada para th 1 mina r si sería provechoso que el presup111 diario para publi cidad se incre ment e. ~ h•lll de (a) $60 y (b) $300. (e) ¿Cuá l es el ~ ' máxi mo para x abajo del cual es pro ve.·¡ hr incre ment ar el presu puest o de publi t·rc.hul 38 . Mues tre que para cualquier función linc:ul inten sidad de varia ción medi a dej(x) lllllll x camb ia de x, a x 1 + k es igual a la 1111 1 dad de variación insta ntáne a de j(x) c.· u

GONOMÉTRICAS DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRI

3.5

ada aplic amos la ident idmlt rara dem ostra r que la func ión seno tiene una deriv ¡¡ono métr ica, sen (a

+ b)

= sen a cos b +

lím sen (x llX-O

+

t

; 11m Ax-0

Hm •Ir •O

Ax->0

(2)

Óx

1 - cos (.6x) = O Ax

(3)

\ tl\ll Teor ema 2.8.2, Hm 11 ·O

sen(A x) _

J

-

Ax

(4)

J):• /u susti tución de (3) Y (4) en (2) obte nemo s l'(x) = - O · senx + cosx . 1 = cosx llt•III OS demo strad o así el teore ma siguiente.

TEOREMA D.t(sen x)

= cos x

IJitMPLO 1

O d0

2 que f(x) = x sen x, halla r j ' (x). a l oluclón Enco ntram os la deriv ada de un prod ucto de dos funciones aplic ando el Teo1 11111 3.3 .6. Por tanto ,

Dx(~2)sen .x

+ 2xse nx

=¡co saco s b- se-n a sen b 11 N la func ión defin ida por "'((1

/11) •

óx sen x [cos (óx) - 1] ÓX

+ b)

l\ ) - cosx

.6x) - sen x .6x

~-o

=

x) lím cos x) 11•m sen(ó Ax-o

· l'rua obte ner Ja·de rívad a d ,.~ la fu ncJ.ó n coseno proc ede • " mos Jgua1 que con la func ión idad idenr la mos j " "qUJ aplic

obte ne/ Se usa la (órm ula (1) para sen( x + .6x) a fi n de - sen x f' (x) = Hm senx cos(ó x) + cos xsen (óx)

1

(

11

l>e la defin ición de deriv ada, /' (x) .., lím f(x + .6x) - f(x) .6x ol Teor ema 2.8.5,

-- x 2 cosx

= senx

=

Ax

Ax~o

/ (\") = X 2 Dx(sen x) ,+

cosa sen b

y empl eamo s los teore mas 2.8.2 y 2.8.5. Sea f la función definida por f(x)

) cos(ó x) ( , == - lím 1 - óx hm senx ~o

231

+

lím g(x t.x -o

, -cos(x . 1•m hx - 0

,

hm Ax-o

cos xsen(óx)

---.....:....~

ÓX

+ óx) -

g(x)

óx

+ óx) -

cos 'x

óx

li't1111u/a (5) para cos( x + Ax) se emp1ea para obte ner

(5)

Z

. · 3.5 Derivadas de fa s f uncJo nes tnaonométricas

I.A DERIVADA Y LA DIFERENCIACIÚN

'( )

g

X

x sen(!:J.x)- cos x • cos x cos(!:J.x)- sen A = 11m uX

tanx = ~ cosx

= _!_ _

secx

cosx

Ax -0

.

= los que ayudarán a fam iliarizarse con el enunciad o.

2(cos 2 x- sen 2 x) il111

lo tanto,

• HJEMPLO ILUSTRATIVO 4

( ;'(x) (cos 2x)(2) St establecemos quef(x)

= sen x Y g(x) = 2x, entonces G es la función complll

j'(g(x))g (x)

(cos x)

Jl'(x)

scc x tan x

o

g está defi nida por

= f(g(x)) (2x 3

-

5x 2

+ 4) 10

·~'

/ '(g(x))

= 10[g(x)]9

1 (g(x))

= 10(2x 3 -

= 10x9;

5x 2 + 4)9

(8)

Si

1\dt•más, puesto que g(x)

· 1a d (cos x) podcmo~ calcular H ' (x) usando primero la '·ctentiC scc x

5x2 + 4

l'11111 aplicar (7) necesitamos cal~ular f'(g(x)) y g'(x). Comof(x ) = x' 0 ,J'(x)

1

fl(x)

Sea

1 111onces la función compues ta f

=

• EJEMPLO ILUSTRATIVO 3 JI (X)

'

(jo g)(x)

.f(g (x)) /(2x)

sen 2x Puesto qucf'(x) = cosx Y g' (x) = 2, podemos escribir (3) en la forma (i '(x)

= 2x 3 -

g (x)

1 n ,1!; es decir; G (X)

Regla de la cadena

scnx

= -COS X · -COS -X

1

¡¡'(x)

= scc x .

= ( l) -12- ( - senx) cos x

=

6x 2

-

=

2x 3 -

2

5x + 4, entbnccs

l Ox

(9)

1'"' lo tanto, de (7), (8) y (9) tenemos

( 1 o g)'(x) = f'(g(x))g '(x)

=

10(2x 3

-

5x 2 + 4)9 (6x 2

-

IOx)

•

&A

3.6

l.A DERIVADA Y LA DIFERENCIACIÓN

• EJEMPLO ILUSTRAT IVO S

= senx

f(x)

g(x)

=x

2

Sea

Entonces la función compuesta f o g está definida por (f o g)(x) = f(g(x)) = sen(x 2 + 3) Calculamo sf'(g(x)) y g'(x). Comof(x) = senx,f'(x ) f'(g(x))

=

f'(g(x))

= cos(x2 + 3)

Como g(x) g'(x)

h'(x) =

+3

x2

= cosx. En consecuencll1

EJEMPLO 1

r

determina r f'(x) por medio de la regla de la cadena.

Solución ubtener

l

•

3)

• EJEMPLO ILUSTRATIVO 6

r

f'(x)

Supóngase que

2 g(x) = - x-l

=-

1(4x 3 + 5x 2 = - 1{4x 3 + 5x 2 =

ti

= 5x

g'(x) =

-2

(x - 1)2

Debido a que h(x) = f(g(x)), tenemos, de la regla de la cadena, 11'( ) • f'(g(x)) · g'(x)

¡/

¡/y

2

h(x) =

(-2 )s x - l

+ 8) - 2 · D;c(4x 3 + 5x 2 - 7x + 8) 1x + 8)- 2(12x 2 + 10x - 7) 7x

+7 • + 8)2

.

[(~)4 ·] = 4 (~)3 .!!:_ (~) 3x - 1 3x - 1 dx 3x- 1 =

=

Cuando se calculan derivadas por medio de la regla de la cadena, en realidad 111• expresan las funciones / y g como se hizo en los ejemplos ilustrativos 4 a 7, sino1 se tienen en mente. Por ejemplo, para el cálculo realizado en el Ejemplo Ilust 6 escribiríamos

8r1, y aplicar la regla de la cadena para

De la regla de la cadena, tenemos

--

- 160 (x - 1)6

7x

+

Evaluar

=

(x - 1)2

-

lOx

-

+ 5x 2 -

.. 5(-2 )4 --~ 2 x- 1

-

1x

[(~)4 ] 3x- 1

oJuclón

Hnt onces 4

~ 12x

EJEMPLO 2 tlx

= (4x 3 + 5x 2 -

Escribir f(x)

(4x 3

determina r h' (x) se establece que

f' (x)

Dada la función

+ 3,

= 2x cos(x 2 +

J111ru

- 2 . (x - 1)2

1

(x- 1)6

1

= J'(g(x))g'( x) = [cos(x2 + 3)](2x)

=(X:

4

x - l

- 160

Así, de (7), (10) y (ll) resulta

/r (X)

Dx

x-1

2 )

= 2x

(Jo g)'(x)

245

5(-2 )4. (-2 )

= 5( x -

cos[g(x)]

=

Derivada de una función compuesta y regla de la cadena

4

(2x + 1)~ (3x- 1)(2)- (2x 3x - l· (3x- 1)2

4(2x + t?( - 5) (3x - 1)5

+

1)(3) ,

.. ~

20(2x + 1) 3 (3x - 1) 5

SI se emplea la notación de Leibniz para la derivada, la regla de la cadena puede esta"ltcerse de la manera siguiente:

~1 Y es función de u, de~inida por y = f(u) y 1u existe, y si u es función de x, derlnlda por u = g(x) Y d~ existe, entonces y es función de x y dy existe y está dx

dada por dy dx

=

dy du

du dx

·

(1 '1

Ent onces

= f(u)

(f o g)'(x)

= Dxf(u)

f'(g(x))

= f'(u)

g'(x)

= /) \¡¡

Ut illzurcmo s esta forma de la regla de la cadena para establece r fórmulas de dik1111 dndón de gran importan cia. En particula r, a partir de los teoremas 3.5. 1-3.5.6, se olll11 . Si u es una t 111 ll l'll lns sig uientes fórmulas de derivadas de funcione s trigonom étricas x, dón di fercnciab le de

O , (tan u)

= scc

1), (scc u) =

EJEMPLO 3

Dx(cos u)

cos u Dxu 2

=

-sen u Dxu

2 Dx(cot u) = -csc u Dxu

u Dxu

sec u tan u Dxu

Dx(csc u)

= -ese u cot u Dxu

Dada la función

tan(3/ 2

+

Utilizand o la regla de la cadena obtenem os scc2(312 + 2t) · D,(3t 2 + 2t)

1) sec (3L 2

2(11 +

EJEMPLO 4

y

2

+ 2) + 2t)

Dada la función

= sen(cosx )

f(x)

2

= (3x +

2)2 (x 2

-

5x) 3

dt•tcrmin ar f'(x). Solución

Considér ese a f como el producto de las funciones g y h, donde

= (3x 2 +

2)2

h (x)

= g (x)h' (x) +

f'(x)

= (x 2 -

5x )3

1'111

h(x)g'(x)

.

.....

medio de la regla de la cadena se determin an h'(x) y g'(x) 2 2 2 2 (3x + 2) [3(x - 5x) (2x·_: 5)J+ (x 2 - 5x) 3 [2(3x 2 + 2·)(6x)] • ' - 5) + 4x(~ 2 - 5x)] = 3(3 x l + ~)(x 2 - 5x) 2 [(.3x 2 -t; 2)(2x

/'(-..:) =

= 3(3x: "*:.2)(x 2 == 3(3x-

t:.JEMPLO 6

l nluclón

scc2(312 + 2t} · (6r

Dada

EJEMPLO S

IJ,(sec

2t)

determin ar F'(t).

1''(1)

J

= cos(cos x) [ - sen x = - sen x [cos(cos x)]

1h·l Teorema 3.3.6 para la derivada del producto de dos funcione s, tenemos

O,lf(u)] = f'(u)DxU

=

= cos(cos x)[Dx(cos x)]

M(x)

Con estas sustitucio nes (7) se convierte en

0 1 (sen u)

1 tX

Aplicamo s la regla de la cadena.

, para la derivadu ,

-;ubrayó que ni dy ni dxtenían por ahora significad o independ iente. Por lo tanto d ~ 1 y aunjpued a no tener un extremo relativo ahí. El sigUiente eJemplo tlustraliVIII senta dicha función. • EJEMPLO ILUSTRATIVO 3 j(x)

Solución

g'(x)

= xt/3 =~ 3x

si x

*O

En resumen, entonces, si una fu nción/est á definida en ~n número~· un11 1 ción necesaria para que/tenga un extremo relativo ahí es que/ (e) = Oo f (e) 1111 Pero esta condición no es suficiente.

4 . 1.4 DEFINICIÓN Si e es un número en el dominio de la función/Y si/' (e) ces e se llama un número crítico de f.

3x2/3

2 sen x cos x,

= t(cos 2x)2 = cos 2x

=

Y27r + k7r

donde k es cualquier entero

l•rccuentem ente estamos interesados en una función definida en un intervalo dado, y deseamos encontrar el mayor o menor valor de la función en dicho intervalo. Estos lnll•rvalos pueden ser cerrados, abiertos o cerrados en un extremo y abiertos en el otro. ll111ayor valor de la función en un intervalo se llama el valor máximo absoluto, y el numor valor de la función en el intervalo se llama el valor mínimo absoluto. Las siguien1 ' \l>n las definiciones exactas.

= Oo.f'(e) no existe • que la función/t iene un valor máximo absoluto en un intervalo , si existe número e en el intervalo, tal quef(e) ;:::: j(x) para toda x en el mismo. En tal / (e) es el valor máximo absoluto de f en el intervalo.

Encontrar los números críticos de la función f definida poi

que la función f tiene un valor mínimo absoluto en un intervalo, si existe e en el intervalo, tal quej(e) :5 f(x) para toda x en el mismo. En tal es el valor mínimo absoluto de f en el intervalo.

tlftl l' m ...rn

Solución f'(x) = !xl/3 + !x- 2¡3

=

=

lm números críticos de g son !l4 7r + Y2 k11', donde k es cualquier entero.

Debido a esta definición y a la explicació.n anterior, podemo~ concluir q~c 1111 dición necesaria para que una función tenga un extremo relatiVO en un nullllll t que e sea un número crítico.

= ~x-2i3(x + 4(x + 1)

Como sen 2x

Yuque g' (x) existe para toda x, los únicos números críticos son aquellos para los cualc\ g'(x) = O. Como cos 2x = Ocuando

2x

Además,/ '(0) no existe. La Figura 7 muestra la gráfica de f. La función no tictll' mos relativos.

EJEMPLO 1 x4/3 + 4xt/3.

Obtener los números críticos de la función g definida por g(x)

g(x) = { sen2x

Seafla función definida por

E l dominio de fes el conjunto de todos los números reales

j'(x)

EJEMPLO 2 scnxcosx,

1)

l

11

n lremo absoluto de una función en un ifltervalo es un valor máximo absoluto

11 . nlor mínimo absoluto de la funci ón en dicho intervalo. Una función puede o

1 lll't un extremo absoluto en un intervalo dado. En cada uno de los siguientes ejem-

j

Z90

VALORES EXTREMOS DE FUNCIONES.

T~CNIC AS DE GRAFICACIÓN

plos, se dan una funció n .Y u~ interva lo, y se determ inan los extrem os absolulo funció n en el intervalo SI existe alguno .

• EJEMPLO ILUSTRATIVO 4

Supon gamos que fes la funció n definid a plll

f(x) = 2x . · · ftiene un valo1 1111111 , fea dejen [1 4) se muest ra en la Figura 8 . La funcwn a gra 1 d 2 [1, 4) No existe un valor máxim o absolu to de f en [1 ' 4) VIl absolu to e en • · lím f(x) = 8, pero f(x) es siemp re menor que 8 en el ·mterva 1 d d o a o.

L

x-4-

• &JEMPLO ILUSTRATIVO S

Consid eremo s la funció n f defini da por

f(x) = -x2 .. . áfca dejen (-3 2] se muest ra en la Figura 9, donde la funcJO nftlenc 1111 1 a d ' (máx1mo abso1uto e 0 en 3• 2] · No existe valor mínim o absolu to dejen ( \, · . 1 d que hm f(x) -- - 9' pero f(x ) es siempr e mayor que - 9 en el mterva o m111 x-

L

g:

-3 ~

• EJEMPLO ILUSTRATIVO 6

4.1

y LA DIFERENCIAL

Valores máximo y mínimo de una función

Z91

La gráfica def en [-5 , 4] se tiene en la Figura 11. El valor máxim o absolu to def en [- 5, 4] se encuen tra en 1, y f(l) = 2; el valor mínim o absolu to def en [- 5, 4] se encuentra en -5 y J(-5) = -4. Notem os quefti ene un valor máxim o relativ o en l y un valor mínim o relativ o en 3. Notem os tambié n que 1 es un númer o crítico def, ya quej' no cxjste en 1 y que 3 es un númer o crítico def, ya quej'( 3) = O. •

• EJEMPLO ILUSTRATIVO 8 f(x)

=

La función J defini da por

1

x- 3

no tiene v'lor máxim o absolu to ni valor mínjm o absolu to en [ 1, 5]. Véase en la Figura 12 la gráfica de f; lím f(x) = - oo, así, f(x) puede hacers e menor que cualqu ier x- 3 númer o negati vo al tomar 3 - x > Oy menor que una ó positiv da. Tambi én lím f(x) = + oo; así, f(x) puede hacerse mayor que cualquaieradecua númer o positivo 1 ·3 ni tomar x - 3 > O y menor que una ó positiv a adecua da.

•

Cuand o no se especi fica ningún interva lo, podem os hablar de un extrem o absolu to

La funció n J definid a por

de una funció n. En tal caso, nos referim os a un extrem o absolu to de la funció n en todo

el domin io de dicha funció n. f(x)

X

=1 -xr

. ~v;mo absolu to ni valor mínim o absolu to en (- 1, 1). En la ¡:¡11111 no uene va1or mcuu se muest ra la gráfic a de f en (- 1' l ). Observ emos que lím f(x)

x-- 1,.

= - oo

Y

lím_f(x)

x-1

• EJEMPLO ILUSTRATIVO 7 .f(x) =

= + oo

Seafl a funció n defini da por

DEFINICIÓN dice que f(c) es el valor máxim o absolu to de la funció n! si e está en el domin io fy sif(c) :::::: f(x) para todos los valore s de x en el domin io de f.

dice quef{c ) es el valor mínim o absolu to de la funció n!, si e está en el domin io y si f(c) :s; f(x) para todos los valore s de x en el domin io de

X+ 1 si X< 1 {x2 _ 6x + 7 si 1 $ x

f.

y

y y

o

1

FIGURA 8

FIGURA 9

FIGURA 10

FIGURA 12

292

VALORES EXTREMOS DE FUNCIONES. T t CNICAS DE GRAFICACIÚN Y LA DIFERENCIAL

• EJEMPLO ILUSTRATIVO 9

f(x} = x 2

-

La gráfica de l!a función/definida por

4x + 8

4. 1 Valores máximo y mínimo de una f unción

valor mín_im.o abso.lut? de 'una función continua/en un intervalo cerrado [a, b] con el procedimiento SlgUJente:

es una parábola y ésta se encuentra en la Figura 13. El vértice de la parábola ~e l. en el punto (2, 4) y la parábola se abre hacia arriba. La función tiene un valor 11 11111 absoluto de 4 en 2. No existe valor máximo absoluto de f. Volviendo a los ejemplos ilustrativos 4-9, vemos que el único caso en el cual l· 1 ambos valores máximo y mínirrio absolutos es en el Ejemplo 7, donde la fu m h • continua en el intervalo cerrado [- 5, 4]. En los otros ejemplos o no se tiene 1111 h• valo cerrado o bien la función no es continua. Si una función es continua en 1111 h1 valo cerrado, existe un teorema, llamado teorema del valor extremo, el cuall\t" gura que la función tiene un valor máximo absoluto y un valor mínimo absnllll• el intervalo. La demostración de este teorema escapa a los objetivos de este lllt11 lector puede consultar un texto de cálculo avanzado para su demostración .

4. 1.9 TEOREMA

Teorema del valor extremo

Si Ja función/ es continua en el intervalo cerrado [a, b J, entonces/tiene Ull máximo absoluto y un valor mínimo absoluto en (a, b].

293

l. Obtener los valores de la función en los números críticos def en (a, b). 2. Hallar los valores def(a) y j(b). 3. El mayor de los valores de los pasos 1 y 2 es el valor máximo absoluto, y el menor de los valores de los pasos 1 y 2 es el valor mínimo absoluto.

EJEMP~O 3 {en [-2, \tí ].

3

Dadaf(x) = x + x

2

-

x + 1, encontrar los extremos absolutos de

Solución Comofes continua en [- 2, \tí ], el teorema del valor extremo se puede aplil'ar. Para encontrar los números críticos de f, primero determinamos j': f'(x) = 3x2 + 2x - 1 /'(x) existe para todos los números reales, y así los únicos números críticos de/serán o, tenemos los valores de x para los cuales f' (x) = O. Haciendo j' (x)

=

(3x- l)(x

+

1)

=O

lmtonces El Teorema 4.1.9 afirma que la continuidad de una función en un interva l o ~ '' es una condición suficiente para garantizar que la función tiene valores m:\ mínimo absolutos en el intervalo. Sin embargo, no se trata de una condició u 11 ria. Por ejemplo, la función cuya gráfica aparece en la Figura 14, tiene un valor 11111 absoluto en x = e y un valor mínimo absoluto en x = d, aun cuando la fuu\'ltiH discontinua en el interv.a lo abierto (-1, 1). Un extremo absoluto de una función continua en un intervalo cerrado delw extremo relativo o un valor de la función en un punto extremo del intervalo 1 una condición necesaria para que una función tenga extremo relativo en un 11 e es que e sea un número crítico, podemos determinar el valor máximo absohth

YJ

y

X=

- 1

Lo~ números críticos de f son - 1 y YJ , y cada uno de estos números se encuentra cm el ~ntervalo c7rrado [-2, \tí]. En la Tabla 1 tenemos los valores de la fu nción en

los numeros críticos y en los extremos del intervalo. .El valor ~~ximo absoluto def en (- 2, \tí ] es, por lo tanto 2, el cual ocurre en -1, Yel valo~ m1~1mo absolu~o dejen [- 2, \tí les -1 , el cual ocurre en el extremo izquierdo 2. El dibUJO de la gráf1ca de esta función en [-2, \tí ] se muestra en la Figura 15.

y

y

- 1

o FIGURA 13

X=

FIGURA 14

o~

1

TABLA 1

/(\)

-2

- 1

- 1

2

'

t H

l

2

Q

1

j{--------------~-·'

FIGURA 15

l> X

294

VALORES EXTREMOS DE FUNCIONES. TÉCNIC AS DE GRAFICACIÓN y LA DIFERENCIAL

D ad a !(X) = (X _ 2)213 • hallar los extrem os absolu tos de f en 11 ' . en {1 5] se puede apbca r el teorema del valor ext ' elu Ya quef es contm ua , •

EJEMPLO 4

Solución

f' (x)

4.2

./3 + x; [ - 3, +co)

v·l ... 7x; [0, 3) 1 (\)- U(x- 1) donde

o {1 SIsi. xo~< XoJ· ,. (-1, 1) ' 2 5 si x :f= 5}; (3, 5] ' six = 5

2

X

5

o

f(x) .

-4-__l.~~---'>---:~ X

o

1

2

1"

~\'j; (1, 3)

• h: [-in, i n] 1111 '\;

EJERCICIOS 4 . 1

l . /(\)

x.l 1- 7x 2

2. (/(\)

2x·' - 2x - 16x + 1 x'' 1 4x 3 - 2x•- 12x

\. J'(\)

4. ./( \) ~. r/(\)

f (t) K. f(. l

'l.

+ x4t3 -

- 12x 115

+ 34x2 +

3

'( ' 7 3 12/3

,~, .

10. /'(1)

11. f(x) •

3xlt3

3xz + 4)1/3

(,\' '(

1). 1!(\)

12. /(x)

' 71 ' ,,,, ~

\'~ 1 11 xl (1 1 4)2/3

••• 1(\)

5.x

2

\

' x !:> 80, la ganan cia por lugar es $8 y, por lo tanto, P(x) = 8x. Sin emba rgo, cuand o x > 80, la ganan cia en dólare s por lugar es 16 - 0.08( x- 80), dando enton ces P(x) = x[l 6 - 0.08( x- 80)]; por lo tanto, P(x) = 22.40 x- 0.08x 2 • Así tenem os,

A'(x) = 300 - !x . .· d A se encon trarán hadllh l Como A'(x) existe para toda x, los nume ros cnttco s e A'(x) = O, lo cual da X

= 112\h

«-km~

lím P(x) =

x- so-

lím

x-so -

= 1280. no

FIGURA 3

si 40 si 80

~ x ~ 80 < x ~ 280

La cota super ior de 280 para x se obtien e al notar que 11.20 x- 0.04x 2 = O cuand o x = 280; y cuand o x > 280, ll.20x - 0.04x 2 es negativo. No obsta nte que x, por defini ción, es un entero , para tener una funció n contin ua hacemos que x tome todos los valores reales en el interv alo [40, 280). Notem os que hay contin uidad en 80 ya que

(2-x) ~x km~

P(x) = { l6x 22.40x - 0.08x 2

FIGURA 4

16x

·lím

x- so •

P(x ) =

lím. (22.40x - 0.08x 2 )

x-so•

= 1280

de donde result a que el límite bilate ral lím P(x) = 640 = P(80) . Así, Pes contin ua x-80 en el interv alo cerrad o [40, 280], y el teorem a del valor extrem o garan tiza la existencia de un valor máxim o absol uto de P en este interv alo. Cuan do40 < x < 80,P' (x) = 8, ycuan do80 < x < 280,P '(x) = 11.20 - 0.08x. P'(80) no existe, ya que P~(80) = 8 y P :(80) = 4.80. Hacie ndo P'(x) = Otenem os, 22.40 - 0.16x = O X=

140

1

300

NES. Ti::CNICAS DE GRAFICACIÓN y LA DIFERENCIAL VAl OIU e, 1 Xrm MO::i 01 FUNCIO

4.2 Aplicaciones con un extrem o absolu to en un interva lo cerrad o

Lol> núme ros críticos de p son enton ces,80. Y 140. Evalu ando P(x} en los extrem o'ltlo 1 interv alo (40, 280] y en los núme ros cnt•co s,

P(40) = 320

P(80) = 640 P(l40 ) = 784 P (280) = O d p ntonc es 784 y ocurre cuand o x = 140. El valor máxim o absol uto e es, e 401 ' La capacidad de asient os debe ser de 1 ugare s, lo cual nos da una ganan cia dil\ll' bruta de $784.

. . del cilindro circul ar recto de volum 11 EJEMPLO 4 Encon trar las d•men s•one s. lar recto con un radio de 5 cm y \111 máxim o que pueda ser inscri to en un cono cJrcu altura de 12 cm. l! Solución Sea r el radio del cilind ro en centím etros: ~la altura del cilind ro en c~·u cub•cos. m'etros; V el volumen de l CJTm d r o. en .centím etros La Figura 5 ilustra el cilind ro mscn to en e 1 cono y la Figur a 6 ilustra una sc.:ll plana que pasa por el eje del cono. T d o degen erado el cual es el eje del co:w Si r = O y h = 12,. ~enemos un Cl ~~ i~dro de enera do , el cual es un diámetlltll r = 5 y h = O, tamb•en tenem os un Cll . gl la base del cono. Concluimos que r está en elmte rva o cerrado (O 51 y h está en elullt 1 ' vulo cerrad o (0, 12}. . . La siguie nte fórmu la expre sa V en termm os d e r y h·. V=

7rT2h

·nos de una sola variable necesitamos otra ecuac•'ó11 qt . Para expresharDV elan ~~gr~:a 6 usand o triáng ulos semej antes tenem os tncluya a r Y · e ' 12 - h 12 ~=s

30 1

Sustituyendo de (6) en la fórmu la (5), obten emos V como una función de r y escribimos con r en [0, 5] (7) Como V es contin ua en el interv alo cerrad o [0, 5], del teorem a del valor extrem o resulta que V tiene un valor máxim o absolu to en este interv alo. Los valores de r y h que dan este valor máxim o absol uto para V son los núme ros que desea mos encon trar V'(r) = 1ln(l Or - 3r2 ) Para encon trar los núme ros críticos de V, hacem os V ' (r) r( !O - 3r) = O

=

O y despe jamos r;

de donde obten emos

r =O

r = lf

Como V' (r) existe para todos los valores de r, los únicos núme ros críticos de V son Oy lf ; ambo s están en el interv alo cerrad o [0, 5]. El valor máxim o absol uto de Ven [0, 5] debe ocurri r en O, J.f , o 5. De la ecuac ión (7) obten emos

V(O) = O

V(Jf) = ~n

V(5) =O

Por lo tanto concluimos que el valor máximo absolu to de Ves~1r, y esto ocurre cuand o = .lf. Cuan do r = .!f, encon tramo s con la ecuac ión (6) que h = 4. Así, el volum en máxim o de un cilind ro inscrito en el cono dado es ~..\lnc m 3 , lo cual ocurre cuand o el radio es 13 cm y la altura es 4 cm.

r

°

.

11 =

5

E u ::;:

bora las cajas sin tapa a par tir de piezas cuadradas de estaño que miden k cm de lado. Determ ine la longitu d del lado del cuadra do de recorre para que el volum en de la caja sea el máxim o posible .

"'

Lt FIGURA 6

3. Refiér ase al ejercic io 43 de los Ejercic ios 2. 7. Obten ga las dimen siones del mayor campo rectan gular que pueda eercar se con 240m de valla.

1111 ase

1

E ~ "'

u

FIGURA S

de los ejercicios, la variable indepenpuede represen lar un entero Por ejemplo, en el ejercicio 17, si x el número de estudiantes, enlonc es x 1111 entero no nega1ivo. En dichos ejercítener los requis ilos necesarios de conliaplicar el cálculo, se hace que la v~ria­ ,...,,.,,~uPnfe represente un númer o real no /1111' definición,

60 - 12r

r, 111

al ejercic io 4 1 de los Ejercic ios 2. 7. 1.1brican1e de cajas de estaño desea nr piezas de 8 x 15 plg, cortan do cuaiguales en las cuatro esquin as y 11(10 los lados. Calcul e la longitu d neccdcl lado del cuadra do por cortar si se nbtcner de cada pieza de estaT\o una caja 1111111 del máxim o volum en posible. .1\C al ejercic io 42 de los Ejercic ios 2. 7. •n!tu que el fabrica nte del ejercic io 1 ela -

4. Determ ine las dimen siones de l mayor jardín rectang ular que pueda vallarsc con 100 pies de materi al de cercad o. t

s ) Si un lado de un campo rectang ula r va a tener

./

'COmo límite natura l un río, halle las dimen siones del terreno rectang ular más grande que puede cercar~e usando 240 m de valla para los otros tres lados .

oz

4.2 Aplicaciones con un extremo absoluto en un intervalo cerrado

VALORES EXTREMOS DE FUNCIONES. Tt::CNICAS DE GRAFICACIÓN y LA DIFERENCIAL

11 t nn~ultc el ejercicio 44 de Jos Ejer~icio.s 2.7. t lhtcnga las dimensiones del mayor Jardm rcctuvulur que pueda sembrars~ d~ modo q~t~ un l.~tlu de la casa sirva como lumte Yse uuhccn IC)(l pies de material de cercado para Jos otros 11 e~ lados. ll nl l ~: el número en el intervalo {0, 11 tal que 7' hl ~ti l'erencía entre el número Ysu cuadrado sea 1111 móxhno. 11 . llcterminc el número en el intervalo {VJ, 21 t:l IIIIC la diferencia entre el número Y su cu 111 ntlo ~ca un máximo. '' e>htenga el área del rectángulo más grande que u•ngu dos vértices en el eje x Y los otros dos ~·u n bien arriba del eje x Y que se encuentren 2 1•11 la parábola Y = 9 - x • IU Dctennine el área del mayor rectáng~lo que pucclu ser inscrito en una circunferencaa dada dt• •utlio r. 11 1J un Isla está ubicada en el punto A, 6 km mar mk•utro del punto más cercano B en una pi~ ya 11'1 111 Una mujer que se encuentra en una ts~a lh ~~·ulf hacia un punto C, 9 km playa abaJO th• IJ l.u mujer puede reñtar un bote por 1_5 th\huc' el kilómetro Y viajar por agua hact~ 1111 punto p entre BY C; entonces puede alqul· ltu un nulo con chofer a un costo de_l2 dólaICN po• kilómetro Yrecorrer un cammo recto dl' 1' a C. Determine la ruta menos costosa a "''llllll' del punto A al punto C. 1' lh·~llclvu el ejercicio 11 si el punto se t•u~·ucntra a sólo 7 km playa abajo de B. 1 \ lt~:~uclva el Ejemplo 1 de esta sección si el IHIIIII) e!>lá a 6 km río abajo de B.

e

e

' '' · 1'1 1 ¡cmplo 1 y los ejercicios 11' 12 Y 13 so.n · · CIIMIN c'pcciales del stgutente pro blema mas 11~· u c ntl. Sea

/(\) ,,.[a2+ :x2 + v(b- x) donde ""está en [0, b] Y u > v > O. Dernucs'' e que para que el valor mínimo absolut_o de j!.c plcscnteen un número d~ in~ ervato a~te~to (0, b), debe satisfacerse la stglllente dcstgual2 dad: av < bJu2 - V IS. SiR píes e~ el alcance de un proyectil, entonces

R :::

vJ sen 26 g

donde Vo pie/s es la velocidad íntdul g pie/s2 es la aceleración de la gravedad ~ 1 es la medida en radianes del ángulo que d 111 • do proyectil forma con la horizontaL .Dc11:1111l ne el ·valor de 8 que produzca un mt~:• VIII• máximo. Si un cuerpo de peso W libras es a~ra~IHIIh 16. a lo largo de un piso hori7.ontal ~~d~an tl' 1111• fuerza de magnitud F libras Y dmgtdo 1'11 1111 . lo de O radianes con el plano .. del Mll'h· angu entonces F está dada por la ecuacJOn

kW F = k sen 8 + cos 8

donde k es una constante llamada coel'illtlll 1 de fricción y O < k < l. Si 0 ~ 8 determine cos 8 cuando F sea mínima. x

o

a

FIGURA 2

ero entr e

. rvalo abie rto (a b) Inte el en dex alor gd Ya que fes con tinua en el intervalo el teor ema del ;alo~ por imocaerbra lo [a, b] sabe mos, .. extremo, que ftie ne un valor máx u b1y a en[ uto 1 so or mmJmo abs olut o . . va n • ' O en( a b1 . Co mo por hJpo f(b) Y O = a) resisf( ar , f(x) es dife rent e de cero que ften d -; Y ade mas b · máx r P al algu na x en (a, b) conclui mos· valo un ra Imo a solu to positivo . en a gún e ' en ( a, b) o un valor mín imo abs ol n b uto ~egatJvo en algú c2 en (a ' b) ' 0 · am os . De este mod o, par a e = e, 0 e- c 2, segun sea el e . · aso , exJste un extr emo absolut o en u n pum o m o [a b 1 p rval inte del or ten . b'é t ? r tant o, el extr emo abs olu tof( e) o po am ' n es un extr emo rela tivo Y com 1 r IpotesJs /'(c) existe, del Teo rema 4 1 3 · · resulta quc f'(e ) = O. Esto demuest ra e teor ema . Caso 2·.

y

e1

305

e

X

FIGURA 3

FIGURA 4

d

CAS DE GRAFICACIÓN Y LA DIFERENCIA L VALORES EXTRE MOS DE FUNCI ONES. TÉCNI 3 se cumplen las condiciones (1) EJEMPLO 1 Dada j(x) = 4x - 9x, verificar que cada uno de los siguientes intcrvh {ii) y (iii) de la hipótesis del teore ma de Rolle para un valor adecu ado de e en c:ul11 los: [- i , 0], [0, ! ] y [- i , ! ]. Lueg o, encon trar s f'(e) = O. 11110 de estos interv alos para los cuale 2 los valores de x, luego f es dill Solución f' (x) = 12x - 9; f' (x) existe para todos (-oo, + oo). Las cond iciones (i) ~ rcnciable en (- oo, + oo) y, por tanto , conti nua en alo. Para deter mina r en 1111 (ii) del teorema de RoiJe se cumplen en cualquier interv valores de x para los cualesj(..\) intervalos se cumple la condición (iii), obtenemos los O. Si f(x) = O,

4x(x 2

-

que existe algún punto en la curva entre A B e la recta tange nte es paral ela a la recta secante que pasa por A Y B· e d .Y • .dond ' s ec•r, eXJste algún núme ro e en (a, b) tal que J'(e)

=

f(b) - f(a) b-a

Consulte la Figur a 5. Tome mos el eje x a lo largo del segmento rectilíneo AB, Y obser vemos que el tearema del valor medio es una gener alizació n del teore ma de Rolle , el cual se emplea en esta demo straci ón. /

Demo straci ón

t) =O

lo cual nos da

y - !(a)

X= !

X= 0 X=- } o en[- f, 0). Análo gamenlt', 11 C'on a = -} y b = O, el teore ma de Rolle es válid teore ma de Rolle es válido en [0, tJ y [ -f, U os quef ' (x) Para encon trar los valores adecuados de e, estab lecem

= Oy obtenctru •

2

12x -9 =O lo cual nos da

\ - -Y2.J3 y X = Y2.J3

ión adecu ada para e es -V2 f3. lo.ll Po1 lo tanto , en el intervalo[- !,. O) una selecc [- ~. }] existen dos posihlll i nlcrvalo [0, U toma mos e = Vz ~. En el interv alo dudes para e: - Y2 .J3 o Vz ~el teore ma del valor ntl•llh Ahor a aplica mos el teore ma de Rolle para demo strar ma. teore este Jll lector debe conocer bien el conte nido de

4 ,3.Z TEOREMA Teorema del valor medio

p· Una ecuación de la recta que pasa por A Y B • e n 1a 1gura 5 es

= j(b) -b

!(a) ( x- a) a

_ f(b) - f(a) b - a (x - a) y -

· pr.:. · .. ora, SI . \X) rrude la distancia vertical entre un u P nto (x, f(x)) en la gráfic a de la funCIOn f. Y el punto corre spond iente en 1a recta secan te que pasa por A YB • entonces f(a) _ f(b) _ Fx f(a) b - a (x - a) ( ) - f(x) -

(1)

Demo stram os que esta función F cump le las tres.condiciones de la hipót esis del teorema de Rolle . ~a función Fes continua en el intervalo cer rada (a, b] ya que es la suma defy un po1momio lineal, Yambo s son cont'muos en ese punto p 1 . F satisf ace la condición (ü) d' 'ón (I). . · or o tanto , F cumple la can· ICI 1 nciable en (a, b). De la ecuadifere es ~e ción (i) vemos que F(a) = O Y F(b) ==Y~ · orlo tanto F cumple la condición (iii) del teorema de Rolle. . La conclusión del teorema de Roll e es que existe una e en el intervalo abier to (a, b) tal que F ' (e) = O. Pero

= f'(x) _

f(b) - f(a) b- a

(1) sea conti nua en el intervalo cerra do [a, b]; (11) sea diferenciable en el intervalo abier to (a, b ).

ntoncC$ existe un número e en el intervalo abier to (a,

1 (e)

b) tal que

/(b) - f(a) b-a

étrica mente . En un tlll· Antes de demo strar este teorema, lo interp retam os geom ente del segmenllll• pendi la de la gráfica de la función!, [f(b) - f (a)]l (b - a) es del valor medio 11111 ma teore línea que une los puntos A(a, f(a)) y B(b, j(b)) . El

+ f(a)

Ah

F'(x)

a/un a función tal que

307

4.3 Teorema de Rolle Y Teorema del valor medio

0 1--:----L---iL~ PIOURA S

..

08

VALORES EXTREMOS DE FUNCIONES. TÉCNICAS DE GRAFICACIÚN y LA DIFERENCIAL

4.3 Teorema de Rolle y Teorema del valor medio

f'(c) = f(2) - j(-2) 2- (-2)

/\SÍ

f(b) - f(a)

= f'(c) -

F ' (c)

¿Cuá l es la cond ición de la hipóte sis del teore ma del valor medio que no se cump le para

b- a

f cuand o a = - 2 y b = 2?

. cen( a b)tal que Por lo tanto , existe un nume ro ,

f'(c)

=

Soluc ión

La gráfic a de f se mues tra en la Figur a 6. j'(x) = ! x- 113

J(b) - f(a) b- a

O = f'(c)

309

P or lo tanto ,

f(b) - f(a) b- a

f'(c) = / (2) - f( - 2)

lo cual se querí a demo strar.

2 - ( - 2) ~~d a !(x)

EJEMPLO 2

xJ _

=-

sx

v•110 r med io es vahd a para a - 1 y e~ interv alo abier to (1. 3), tales que f'(c) =

3x ven. r· car que la hipót esis del teorclllll ti 1 1 • b = 3. 'Lueg o, encon trar todos los nume ro' ' 2

/(3) - f(l) 3- 1

. . . ., . . l fes conti nua Y difere nciab le par.I IPII Soluc ión Como fes una funcJO n po~;nol~~~ipótesis del teore ma del valor medio¡• •• los valores de x. Por lo tanto, se cump ~,;uulc squiera a Yb.

f'(x) == 3x2 j( l )

-

= -7

lOx - 3 y /(3)

= - 27

De aquí,

1Oc - 3 == - 1O

le '

1Oc + 7 == O

( \c

7)(c - 1) == O

=0 No existe un núme ro e para el

•

,

(' :=:

cual ~ = O. 3c

La fu nción ! es con tinua en el intervalo cerra do [-2, 2]; sin emba rgo,f no es diferencia ble en el interv alo abier to (-2, 2) ya quef ' (0) no existe. Por tanto , la condi ción (ii) de la hipót esis del teore ma del valor medio no se cump le paraf cuan do a = -2 y b = 2.

Se ha dicho ya que el teore ma del valor medio es uno de los más impo rtantes del cálcu lo porqu e se emple a para demo strar much os otros teorem as. E n tales casos , no es necesario obten er el valor del n úmer o garan tizad o por el teore ma. El hecho impo rtante es que dicho núme ro existe . Para ilustr ar la utilid ad del teore ma del valor medio , mostrarem os su uso en el siguie nte teore ma que neces itarem os en el Capít ulo 5.

Demo st ració n Supo nga mos quef no es const ante en el interv alo l. Enton ces existen dos núme ros distin tos x 1 y x en 1, dond e x 2 1 < x 2 , tales quef (x1 ) :1= f(x2 ). Com o por hipót esis/ ' (x) = O para toda x en 1, enton cesf( x) = Opara toda x en el interv alo

¡11 ~ ual nos da e

4

Si f es una funci ón tal quej '(x) = Opara todos los valor es de x en el interv alo 1, en tonces fes const ante en l . .

l ·..,ltlblccien do j'(c) = - 10, obten emos \rl

= ----

TEO REMA

- 27 - (-7) = - 10 2

/(3) - f(l) 3- 1

3c~ 13

l

1

• Ya que 1 no está en el interv alo abter to (1, 3) 1 único valor posib le para < ,e . :

-

t

x 213 traza r la gráfic a de f. Demo strar que no t·~l EJ EMPLO 3 Dad a !(x ) -: ' núme ro e en el interv alo abter to (- 2, 2) tal q uc

1

1

- 2

-!

FIGURA 6

L CAS DE GRAFICACIÓN Y LA DIFERENCIA VALORES EXTREMOS DE FUNCIONES. TÉCNI

0

4.4

toda x en [x 1, x 2 ) y fes contínuu '' cerra do [x 1 , x 2 ]. De a q uí fes diferencia ble para del valor medi o y COJH' Illl 1\' 1 , x2 ]. Por lo ta nto, se sa tisface la hipót esis del teore ma x < e < x 2 , ta l que lllOS q ue existe un número e, con 1

4 (\) ... ~;a= l,b = 6

(j

3(x - 4)213; a = - 4, b

O, y dt 1• [x , x ] entoncesf '(e) Pero como f'(x) = O, par a toda x en el inter valo 1 2 tra supo sición era q uef( x1 ) :¡1:./(\, l ecuac ión (2) se dedu ce quef (x1) = f (x 2 ). Nues cons tante en l. Por lo tanto , hay una cont radicción y así fes teore ma del valor medi o para dc11111 Otro teorema significativ o en el que se emplea el s en la sigui ente secci ón . damo 1rarlo lo co nstitu ye el Teor ema 4.4.3 , que

t•/t•rc·h•ios 1 a 4, verifique que las condi cio· de Rolle • (1), (il) 1' (iii) de la hipótesis del teorem a alo interv el en da indica n unció f la J)Or ' /11/IIJII•fl que e para ado adecu valor un halle ''"" 1 111'1-:0 olle. 1111' /111111 /u conclusión de/te orem a de R 11 '"'

,,,,

1 /(\)

1 /1\) ~

11 \)

+ 3; [ 1, 3] \ 1 2x 2 - x + 2; [1, 2] ~c11 2x; [0, in] "< 2 - 4x

la concl u· 1111 l'tllflt 1/tll•ctwdo para e, que cump la . medio valor ltltl th•l/t•lllt'IIICI del

1 lhl ""' \ 1 1 2x - 1; [0, 1] ,, t x 2 -x; f -2,1 ] fl ¡¡,¡ 1 11\ 1 \ J '. l o, 1J H /(\) J 1 ~en x; [0, }n]

J1 t cosx ;[-tn ,tnJ ':

1

~ \; [2, 6]

de la 1 11 lm t'/t•nlt lrl\ 11 u 16. (a) trace la gráfic a com· (b) do; indica alo /lltll'ltJn tlarla c•n 1•/ Interv 'OII(ItC'I()IIC'S (i), (ii) y (iii) de fa hipó· /11 111'/IC' le/\ lfl'.\ < a de Uolle y deter mine cuále s son teorem tlc•f tt'\1\ ltt\ I'Ofltlit•tone., f!IIP se ctiiii!Jien y cuáles, de haber de s cione condi tres fas si (e) lth, 1/CI \e mmp len; y

ltt 11111'f

NES.

U( FUNCIO

T~CNI CAS DE GRAFICACIÓN y

LA DIFERENCIA L

4 .4

Funciones crecientes y decrecientes y prueb a de la prime ra derivada

313

la Figu ra 1 y obse rvem os que cuan do la pend iente de la recta tange nte es posit iva, la funci ón es creciente, y cuan do la pend iente de la recta tange nte es nega tiva, la funci ón es decreciente. Ya que f' (x) es la pend iente de la recta tange nte a la curv a y = f(x), fes creciente cuan do f' (x) > O, y fes decrecient e cuan do f' (x) < O. Tam bién, como f' (x) es la razón de camb io de los valor es de la func iónf( x) con respe cto a x, cuan do f' (x) > O, los valores de la función crecen confo rme x crece ; y cuan do f' (x) < O, los valor es de la funci ón decrecen confo rme x crece .

1 . . 1¡

1 1

1 1 1

1

1 1

3 TEOREMA Sea/ una funci ón conti nua en el inter valo cerra do [a, b] y difer encia ble en el inter valo abier to (a, b): (i) sif'( x) > O para toda x en (a, b), ento nces /es creci ente en [a, b]; (ii) sif'(x ) < O para toda xen (a, b), ento nces /es decre

cient e en [a, b ).

riOURA 1

.

.

ue la absci sa aume nta en ambo s casos. Se dH ¡ tic In funci ón dism muye n a m~dida q d [ x ] y que dism inuye en el inl c:l o X ¡, 2 tllton ces que f aumen ta en el. mter'6valo cerra xpres an las defin iciones precisas de una 1.1111 'talo cerra do [x2, x31· A contm uact .n se e

Dem ostra ción de (i) Sean x y x dos núme ros cualesquiera en [a, b] tales que x < 1 2 1 x2 • Ento nces fes conti nua en (x , x ] y difer encia ble en (x1, x2 ). Del teore ma del valor 1 2 medio resul ta que existe algún núme ro e en (x 1 , x 2 ) tal que

dt'ln creciente o decreciente en un mterv alo .

, t DEFI NICIÓN .. n f defin ida en un inter valo es creci ente en ese fh dice que una f uncw inter valo '' ) ...óto si

f'(x 1 ) < f(x 2 ) siemp re que X¡ < X2 , d . mero s cuale squie ra en el inter valo. donde X¡ Y X2 son os nu . 1 u función de la Figu ra l es crec¡.en te en los siguientes inter valos cerra dos: (X¡' 1JI l\¡, \'4 1; (Xs, X6]; [X6, X7]; [X.s, X7} ·

11 .i'. DEFINICIÓN 'ón f defin ida en un inter valo es decreciente en ese intervnh• dln' que una f unc1 1 y ~oúl n si

SI!

/(\¡) >

f(x2 )

siemp re que

X¡

< x2

dn•H k '1 y Xz son dos núme ros cuale squie ra en el intervalo.

es decrecient e en los siguientes interv alos cernll h 1 11 función de la Figu ra l

1' 2• xd: [x4' Xsl· Si

. d . nte en un inter valo, se dice entonces q\1 una función fes crect.ente o ecrecle ,..¿_ es monó tona en el interv alo. . un criterio para deter mina r si una 1\11 Antes de enunciar un teorema que consu tuy,e ción es monótona en un intervalo, veam os que cede geom étricament e. Consulll'lll su

Com o x , < x 2, entonces x2 - x > O. También por hipó tesis ,j'(c) > O. Por lo tanto 1 /(x2 ) - f (x¡) > O, y asíf( x ) > f(x ). Hemos demo strad o, enton ces, quej (x ) < 2 1 1 f(x2 ) siem pre que x 1 < x 2 , y x y x sean cuale squie ra dos núme ros en el inter valo 1 2 [a, b]. Por lo tanto , por la Definición 4.4.1 resul ta quej es creciente en (a, b]. La demo strac ión de la parte (ii) es parec ida y se deja como ejercicio para el lecto r. (Véase el ejercicio 41 .) • Una aplic ación inme diata del Teor ema 4.4.3 es la demo strac ión de lo que se cono ce como prue ba de la prim era deriv ada para los extre mos relati vos de una funci ón.

TEOREMA

Prueba de la primera derivada para extremos relativos ..

Sea/ una funci ón conti nua en todos los punt os del inter valo abier to (a, b) que contiene al núme ro e, y supó ngas e quef ' existe en todos los punt os de (a, b) excepto, posibleme nte, en e: · (i) Si/' (x) > Opara todo s los valores de x en algún inter valo abier to que tenga a e como su punt o extre mo derec ho, y si/' (x) < Opara todos los valores de x en algún inter valo abier to que tenga a e como su punt o extre mo izqui erdo, ento nces /tien e un valor máxi mo relativo en c. (ii) Si/' (x) < Opara todos los valor es de x en algún inter valo abier to que tenga a e como su punt o extre mo derec ho, y si/' (x) > Opara todo s los valor es de

ACIÓN Y LA DIFERENCIAL VAIOIU S 1 X JIU MO!:. Ul IUNCIONI!S, TtCNICAS DE GRAFIC

. . Funciones crecientes Y decrecientes Y prueba de la pnmer a derrvada

4.4

o izquie rdo. x en algún intervalo abiert o que tenga a e como su punto extrem entonces f tiene un valor mínim o relativo en c.

315

y

que tiene a e como su pullttt Demostración de (i) Sea (d, e) (donde d > a) el intervalo alo. Del Teorema 4.4 . 1(11 c•Xtl etno derecho, para el cualj ' (x) >O para todax en el interv (e, e) (dond e e < b) el intervalo que ticiH'I t I C~ IIIItl quej es creciente en [d, e] . Sea Opara toda x en el interv.l!u (' corno su punto extremo izquie rdo, para el cualj '(x) < [e, e]. Como fes creciente en [d, el, d 1'01 el Teore ma 4.4.3 (ii),je s decreciente en "1 e, entonces f(x 1 ) < ./(ti ltl Defini ción 4.4. 1 sabemos que si x 1 está en [d, e] y x 1 4.4.2 concluimos que,¡ 1 1umbién, como jes decreciente en [e, e], de la Definición tanto, de la Definición 4.1 . 1, l'~t tí un (e, e] y x 2 =Fe, enton cesf(c ) > f(x2 ). Por lo tiene un valor máxim o relativo en c. (i) y se deja al lector. (Wu 1 La demostración de la parte (ii) es parecida a la de la parte el ejercicio 42.)

!1

1

1 1

1 1

1 1

i

expresa esencialmente qll La prueb a de la prime ra derivada para extremos relativos vo a negativo cua111h· positi si/es contin ua en e y f'(x) camb ia su signo algebraico de o en e; y si/'(11 relativ o \crece hacia el núme ro e, enton cesfti ene un valor máxim e, enton cc:~ 1 hacia crece x o combia su signo algebraico de negativo a positivo cuand tiene un valor mínimo relativo en c. ente, del Teorema 4,11 1 Las fig4ras 2 y 3 ilustra n las partes (i) y (ii), respectivam ón/qu e tiene un vnh•t funci una de l.'Unnd of'(c) existe. La Figur a 4 muest ra la gráfic a (x) > •0 cuaull1· rgo,j' emba sin ; liiÚximo relativo en un núme ro e, perof '(c) no existe de una fund111• a gráfic la os \' < e, y f'(x) < O cuando x >c. En la Figura 5 tenem < O cuuuth• f'(x) y , e < x o / para la cual e es un núme ro crítico , y f'(x) < O cuand \ > e; jno tiene un extremo relativo en c. En x 2 y x4 , la fuud1•1t En la Figura 1 aparecen más ilustraciones del Teore ma 4.4.4. o; aunque .\h relativ o llene u, valor máxim o relativo y en x 3 y x4 tiene un mínim en x 6 . o relativ o extrem n un número crítico de la función , no existe ningú n f: funció una de os nnresumen, para determinar los extremos relativ

1 1

cor-- - --+--__ ,. x

f'IGURA 4

FIGURA S

l. Encue ntre j ' (x). 2· Halle los núme ros críticos de/, es d · ralos cuale sf'(x) O o ~ara los cuale sj'(x) no e;iste . ecir, losva lores dexpa 3. Aphq ue el criterio de la prime ra deriva da (Teorem a 4.4.4).

=

Los siguientes ejemplos ilustran este procedimiento ..

EJE~PLO 1 Dada f(x) = x 3 - 6x2 + 9x + 1, en~ontrar los extremos relativos de f aphca ndo el criterio de la prime ra derivada . D s de x en los cuales

los valore ocurren los extremos relativos así com 1 : eterm mar cuales fes creciente Ylos los e~ alos_ mterv Tos o ient d~crec fes 1ntervalos en los cuales a. grafic la razar e. ._ Soluc10n j'(x) = 3x2 _ 12 x + 9 (x) J'(x)2 existe para todos los valore~ de x. Hacie ndoj' = O, tenemos 3x - l ~x + 9 == 0 3(x - 3)(x - 1)

== 0

lo cual nos da X =

!1

f

if'(c) =O 1

1

o FIGURA Z

FIGURA 3

y

X=

. . . Por ~anto, los '!.úmeros críticos ~e f son 1 3 ne un extremo Sijtle mmar de~er Par~ . lica~ a ros núme esos de o relativo en algun derivada. Los ra prime la de a enten el os resultados se resumen en la Tabla Í. P

f ) X

3

TABLA 1 f(x)

X Opara toda x, y la gn\ 1h dejes cóncava hacia arriba en cualquier punto. Para la función g del Ejemplo 1111 1rutivo 2, g" (x) < Opara toda x, y la gráfica de g es cóncava hacia abajo en cualqul • punto. Estas dos situaciones representan casos especiales del teorema que sigue

FIGURA 6

Entonces, por el Teorema 2.10. 1, existe un intervalo abierto 1 que contiene a e tal que f'(x) - f'(e) x-e >O

Y

= f(e) + /'(e)(x- e)

Demostración de (1) /"(e:) ... Um f'(x) x-e

X

>

= f(x) - [!(e) + f'(e)(x - e)]

f'(d )

=

j(x)- f(e) x-e

Es decir,

=f'(e) e

f(x)- / (e)

= f'(d)(x- e) para alguna d entre x

Al sustituir esta ecuación en (3) tenemos TQ = f'(d)(x - e) - f'(e)(x - e)

e

(3)

Por el teore~a del valor medib sabemos que existe algún número d entre x y e tal que

O,

f'(x)- f'(e)

x

(2)

Sea x un número en el intervalo 1 tal que x-¡. e, y sea Q el punto en la gráfica def cuya abscisa es x. A través de Q trazamos una recta paralela al eje y, y sea T el punto de intersección de esta recta con la recta tangente. (Véase la Figura 6.) Para demostrar que la gráfica dejes cóncava hacia arriba en (e, f(e)), debemos demostrar que el punto Q está sobre el punto To, lo que es lo mismo, que la distancia dirigida TQ > O para todos los valores de x :F e en l. TQ es igual a la ordenada de Q menos la ordenada de T. La ordenada de Q es f(x), y la ordenada de T se obtiene de la ecuación (2); así tenemos

TQ = [f(x) - f(e)] - f'(e)(x - e)

Sea/una función diferenciable en algún intervalo abierto que contenga a c. En ton~ (1) si/"(c) > O, la gráfica dejes cóncava hacia arriba en (e, / (e)) ; (U) si f"(c) < O, la gráfica dejes cóncava hacia abajo en (e, /(e)).

i~

(1)

para toda x -¡. e en l. Ahora consideremos la tangente a la gráfica dejen el punto (e, f (e)) . Una ecuación de tal tangente es

TQ

L .3 TEOREMA

Yo quej"(e)

FIGURA S

>

0

TQ = (x- e)[f'(d) - f'(e)]

ye

3ZZ

VALORES EXTREMOS DE FUNCIONES. TÉCN ICAS DE GRAFICACIÓN y LA DIFERENCIAL

Com o d se halla entre x Ye, d está en el inter valo

, al t mar x 1 Yast, o

4.5

= den la desiguul (~)

>0

d- e bos factores del lado derec ho de (41 Para prob ar que TQ > O demo stram os que am> . . . s·IX - e >. 0 entonces X e• y como d está entre x y 0e, enl· 1un tiene nelm tsmo s¡gno ' dS J'(d ) - J'(e )>O .Six -e< , en '"' ces d >e; porlo tanto , de la destgualda(S~ J'(d ) - f'(e) e.

323

• EJEMPLO ILUSTRATIVO 3 La Figu ra 8 ilustr a un punt o de inflex ión dond e la cond ición (i) de la Defín ición 4.5.4 se cump le; en este caso, la gráfi ca es cónc ava hacia abajo en los punt os inme diata ment e a la izqui erda del punt o de infle xión y la gráfi ca es cónc ava hacia arrib a en los punt os inme diata ment e a la derec ha del punt o de inflexión. La condición (ü) se ilustra en la Figur a 9, dond e el sentido de la conc avida d camb ia de cónc ava hacia arrib a a cónc ava hacia abajo en el punt o de infle xión. La Figu ra lO cons tituy e otro ejem plo de la cond ición (i), dond e el senti do de la conc avida d camb ia de abajo hacia arrib a en el punt o de infle xión. Note mos que en la Figu ra lO hay una recta tange nte horiz ontal en el punt o de inflex ión. •

dad (1), obten emos f'(d) - J'(e)

Conca vidad y punto s de inflexión

Para la gráfi ca de la Figu ra 1 existen punto s de infle xión en C, E y F. Una parte cruci al de la defin ición 4.5.4 es que la gráfi ca debe tener una recta tangente en un punt o de inflex ión. Cons idere mos, por ejem plo, la funci ón del Ejem plo 3 de la Secc ión 2.3. Ésta se defin e por medi o de n(x)

=

{42 -+

x

2

X2

s~. SI

x

<

1

1 l. Así, en el punt o (1, 3) en la gráfi ca el senti do de conc avida d camb ia de desce nden te a ascen dente . Sin emba rgo (1, 3) no es un punt o de infle xión, pues la gráfica no tiene una recta tange nte.a hí. •

EJEMPLO ILUSTRATIVO 4 Supo ngam os que se calcu la que 1 horas despu és de come nzar a traba jar a las 7 A.M. un obre ro que labor a en el depa rtam ento de ensam ble ha realiz ado una tarea deter mina da def( t) unida des y 2 3 f(t) = 211 + 91 - 1 o :S t :S 5

En la Tabl a 1 apare cen algun os valores de la funci ón para valor es enter os de t de 1 a S, y en la Figu ra 12 se mues tra la gráf icafe n el inter valo [0, 5]. f'(t) = 21

+ 18t - 3t 2

f"(t) = 18 - 6t = 6(3 - t) y

y

~ 1 1 1

1

1

1 1 ..J.__L~'-'---''-;> X

o

FIGURA 7

e

e

FIGURA 8

FIGURA 9

e FIGURA 10

TABL A 1 FIGURA 11

f (t) 1

2~

2

70

3 11 7

4 164

205

L ICAS DE GRAF ICACIÓN Y LA DIFERENCIA VALORES EXTREMOS DE FUNCIONES. TÉCN

4.5 Concavidad Y punto s de inflexión

325

. • EJEMPLO ILUSTRATI VO S C = x4. ~::r;:os la func ión/ definida por f(x) g~~i La . l:~x) = 4x3 Y f"(x ) = 12x2 á Ade 7 ra Figu la en tra 1 se mues m s, . O f (O) = O; pero com of"( x) > O st. x < O Yf" (x) > O . ava cónc 'b hacia . SI x < ' la gráfi ca es . arn a en los punt os de la gráfica situa mente a la izquierda de (O O) dlata mme :os d la a te men Yen Jos punt os inme diata consiguiente (O O) ' Por 0). (O, de a erec

un punt o de inflexión . "

1

2

3

4

5

PIOURA 12

f"(t) O cuan do O < t ciente en [3 , 5]. Por lo tanto , como ) '(11 f " (t)

= (x -

2)l fS + 3

24. g(x) = (2x - 6) 3 12 + 1 25. Si f(x) = axJ + bx2, determ ine a, h 1h mane ra que la gráfic a defte nga un puniP d• inflexión en ( 1, 2). 26. Sij(x ) = axl + bx2 + ex, determ ine a, 11 \ e de maner a que la gráfic a defte nga un puutu de inflexión en (1 , 2) y que la pendie nte tk lu tangen te de inflexión ahí sea -2. Sif(x ) = axl + bx2 + ex + d, determ i m• 11 27. b, cy dde maner a queft enga un extremo 11'111 tivo en (0, 3) y que su gráfic a tenga un puuh de inOexión en ( 1, -1). 28. Sif(x) = ax4 + bxl + cxz + dx + e, d l'lll mine los valore s de a, b, e d Ye de mane• a lf\l la gráfic a defte nga un punto de ~n~e~i o si x < e; f'(x} > O si x > ,., f"(x) > O si x < e; f"(x) < O si x ~ ' 35. f'(x) > O si x < e; /'(~) < O si . x > ' f"(x) > o si x < e; f (x} > OSI x '

4.6 Prueba de la segunda derivada para extrem os relativ os

f'(x} < O si x < e; f'(x) > O si x > e; f"(x) > O si x < e; f"(x) < O si x > e f"(c) = O; f'(c) = O; f"(x) > O si x < e; f"(x) e f(e) = O; J'(x) > Osi x < e; f"(x) > O si x > e /"(e) = O; f'(c) = O; f"(x) > O si x < e; f"(x) > Osi x > e f'(c) = O; f'(x) < O si x < e; f"(x) > O si x > e f"(c) =O; f'(c) = - -1; f"(x) Osi x > e ('(e) no existe ; f"(e) no existe ; f'(x) < O si x < e; f"(x) > O si x > e 11m J'(x) = +ro; lím f'(x) = O;

f"(x) > Osix < c;f"(x ) < O si x >e 11m f'(x) = +ro; lím f'(x) = - oo; f"(x) > O si x < e; f"(x) > O si x > e r race la gráfic a de una funci ón/pa ra la cual /(X), f'(x) y f"(x) exista n y sean positívas pura toda x.

1mee la gráfic a de una funci ón/ para la cual /(-.:), f'(x) y f"(x) exista n y sean negati vas 1111ra toda x.

329

49. Sif(x) = x5 , demue stre que O es un núme ro crítico de f pero que /(0) no es un extrem o relativ o. ¿Es el origen un punto de inflexión de la gráfic a f? Demu estre su respue sta.

50. Si/(x) = 3x 2 +

xixl. muest re que/ "(0) no existe, pero que la gráfic a de fes cónca va hacia arriba en cualqu ier punto .

51. Se calcul a que el emple ado de una tienda donde se vende n marco s para retrat o puede pintar y marcos x horas despu és de iniciar su trabaj o a las 8 A.M., y

y = 3x + 8x 2 - x 1

Os x s 4

Calcu le a qué hora el emple ado trabaj a con más eficac ia (es decir, a qué hora el emple ado alcanz a el punto de rendim ientos decrecientes). (Sugerencia: Véase el Ejemp lo Ilustrativo 4.) 52. Trace la gráfic a de la ecuación x 213 + y 213 = l. (Sugerencia: Esta no es la gráfic a de una función. Sin embar go, la porción de la gráfic a en el prime r cuadr ante si es la gráfic a de una función. Obten ga esta porción y después complete la gráfic a aplica ndo propie dades de simetr ía. La conca vidad tiene un papel muy impor tante en la resolu ción.)

PRUEBA DE LA SEGUNDA DERIVADA PARA EXTREMOS RELATIVOS En la Sección 4.4 aprendimos a determinar si una funci ón/tie ne un valor máximo relativo o un valor mínimo relativo en un núme ro crític o e, comp roban do el signo algebraico de/' en números que están en intervalos a la izqui erda y a la derecha de c. Otra prueba para los extremos relativos es la que sólo incluy e el núme ro crítico c. Antes de enunciar la prÚeba, en forma de.un teorema, damos una explicación geométrica informal que el lector deberá enten der por intuición. Supongamos que/ es una función tal que/ ' y/" existe n en algún intervalo abier to (a, b) que conte nga a e y que f' (e) = O; además, supongamos que f" es negativa en (a, b). A partir del Teorema 4.4.3(ii), como f"(x) < Oen (a, b), enton ces/' es decreciente en [a, b]. Com o el valor de/' en un punto de la gráfica de/d a la pendiente de la tangente en el punto , concluimos que la pendi ente de dicha tangente es decreciente en [a, b ]. En la Figur a l se muestra la gráfica de una func ión/ que tiene e~tas propiedades. Del Teore ma 4.5.3(ii), la gráfica deje s cóncava hacia abajo en todos los puntos de la figura y en ésta se mues tran segmentos de algunas tangentes en varios puntos. Observemos que la pendiente de la recta tange nte es decreciente en [a, b ]. Notemos que/t iene un valor máximo relativo en e, dond ef'(c ) = O y f"(c) < O.

4.6

VIII OHf.S EXTREMOS DE FUNCIONES. TÉCNICAS DE GRAFICA CIÓN y LA DIFERENCIAL

nción ue tiene las propied ades de la función dl•l /\hora supong amos que! es una fu . . q b) Entonc es del Teorem a 4.4.1(11 . · ' . párrafo anteno r, excep t o q u ef" es. posttlVaf'en (a,recient e en [a, b]. Así, la pendtcn h comof "(x) >O en (a, b), concluuno~;;~ ur~ ~ muestra un dibujo de la gr~fica 11 de la recta tangen te crece en [a, bl: gp Teorem a 4 5 3(i) la gráftca tk 1 . f t' e estas propted ades. or e1 · ' 111111 functón ~ue ~~n 1 untos de la figura y en ·ésta se muestr an M'l' L'S cóncav a hacta arnba en todos os p endientes crecen en [a, b]. La func:auu 11\CIItos de algunas rectas tangen tes cuyas pd j ' ( ) - O Y j "(e) > O. • · 0 relativo en e don e e 1 1icnc un valor mtmm .' n en la prueba de la segund a dl'tl Los hechos de los dos párrafo s anteno res se re~ume v•ula para extrem os relativos, que ahora enunct amos.

, 1 TEOREMA Prueba de la segun da derivada para extre mos relativos

o

. ualf'( ) - y j' existe para tod ~llliíti~et~ critico de una funció n/ en 1a e e - , . , . x en algún interva lo abierto qoe conten ga a c. SI f (e) extste Y . t1ene un va1or máxim o relativo si / "(e\1 < 0 • entonc es¡ . en c. f · alor núnimo relativo en c. si/"(c ) >o, entonc es llene un v:=::: :..:= ::.:.. :_------ . o del Teorem a 2.l0.2 Y para la parte (ii) th 1 Para demos trar la parte (t) se hace us f . a dichos teorem as y también a 1· erencta .. l'corcm a 2.10. 1· Ahora_.se puede hacer re . 2 10 que muestr an su interpr etacwn !llil 1lll.uras 1 Y 2 de la Seccwn Suplem entana . tllé't rica. Demos tración de (i) Por hipótesis,J"(c ) existe Y es negativa; así

! , (e) =

lím x-e

j'(x) - j'(c) _ e < O

Sea / 1 el interva lo abierto que contien e todos los valores de x en 1 para los cuales x < e; por lo tanto, e es el extrem o derech o del interva lo abierto 1 1 • Sea / 2 el intervalo abierto que contiene todos los valores de x en I para los cuales x > e; así, e es el extrem o izquier do del interva lo abierto / • 2 Entonc es, si x está en / 1 , x-e < O, y de la desigua ldad (1) conclu imos quej'(x ) f'(e) > O o, lo que es lo mismo , j'(x) > f'(c). Si x está en h, (x -e) > O, y de la ecuación (l) sabemo s quej'( x) - j'(e) < O o, lo que es lo mismo ,J' (x) < f'(c). Pero comqj '(e) = O, conclu imos que si x está en / ,j'(x) > O, y si x está en / 2 , 1 f' (x) < O. Por lo tanto, /' (x) cambia su signo algebraico de positivo a negativo cuando x crece hacia e y así, por el Teorem a 4.4.4, f tiene un valor máxim o relativo en e. La demost ración de la parte (ii) es semeja nte y la deiamo s como ejercic io para el lector (véase el ejercicio 46). • EJEMPLO 1 Dadaj( x) = x4 + !x 3 - 4x 2 , obtene r los máxim os y mínimo s relativos de f aplican do el criterio de la segund a derivad a. T razar la gráfica de f.

Solución Se calculan la primer a y segund a derivad as de f. f'(x) = 4x 3 + 4x 2 - 8x f " (x) = l 2x 2 + Sx- 8 Seaf'(x) X=

= O.

+ 2)(x - l) = O

4x(x

0

X=

-2

X =

Así, los números críticos dejson - 2, Oy l. Determ inamos si existe o no un extrem o relativo en cualquiera de estos números críticos obtenie ndo el signo que la segund a derivada tenga ahí. Los resulta dos se resumen en la Tabla l.

X

j'(x) - j'(c) < 0 paru toda x

331

TABLA 1

ma 2 lO 2 existe un intervalo abierto I que contiene a e 1a 1qu POI' lo tanto, por e1Teore · ·

x-e

Prueba de la segunda derivada para extremos relativos

\ - -2

o \ .. 1

* e en el intervalo.

/(X)

f'(x)

_:Ji o -t

f " (x)

o o o

+

+

Conclus ión

f tiene un valor mínimo relativo /tiene un valor máximo relativo f tiene un valor mínimo relativo

De la inform ación que aparece en la tabla y traslad ando a los ejes coorde nados unos cuanto s puntos más obtene mos la gráfica de f que se muestr a en la Figura 3.

(c. /(2L.

EJEMP LO 2 Obtene r Jos extrem os relativos de la función seno aplican do la prueba de la segund a derivad a. 1(c. /1•11

1 1

1 1

1

1 1 1

\

1

1

1

11

FlOURA 1

(1

b

FlOURA 2

Solució n

Sea

f(x) = sen x

1 utonces

f"(x)

= cos x f" (x) =

-sen x

332

VALORES EXTREMOS DE FUNCIONES. TÉCN ICAS DE GRAFICACION y LA

UIH:.~t.NLIAL

. . eros crític os se obtie nen hacie ndo f'(x) f"(x) existe para cualqUier x. Los num

4.6 Prueba de la segun da derivada para extrem os relativ os

= ()

o

cosx =

_ V: + k7r k es cualq uier enter o x - 211" • • trem o relati vo en cualq uiera de estos núme ros t •lll Dete rmin amos SI extste o no un ex . . h. Si k es un enter o par' enton u cos halla ndo el signo que la segu nda denv ada tiene a t.

f"(tn + k7t) =

En los ejem plos ilustr ativo s l, 2 y 3 tenem os ejem plos de tres funci ones, para cada una de las cuale s su segu nda deriv ada vale cero en un núme ro cuya prim era derivada también es cero; no obsta nte, una de ellas tiene ur valor mínim o relativo en ese número, otra tiene un valor máxi mo relativo en ese núme ro y la terce ra no tiene ningu no de esos valor es en dicho núme ro.

EJEMPLQ. 3

- sen (tn

+ k7t)

deter mina r los extre mos relativos dejm edian te la aplic ación del criter o de la segun da deriv ada cuan do sea posible. Utiliz ar la segu nda deriv ada para obten er cuales__quiera punto s de inflex ión de la grá fica dejy deter mina r dónd e la gráfi ca es cónc ava hacia arrib a y dónd e lo es hacia a bajo. Traz ar la gráfi ca corre spon dient e.

- 1 si k es un enter o par = {

Soluc ión

l si k es un enter o impa r

nda deriv ada se resumen ~·n 1 Los resul tados de la aplic ación de la prue ba de l a segu Tabla 2.

Com oj'(O ) no exist e, Oes un núme ro crític o de f. Otro s núme ros críticos se obtienen estab lecien do quef '(x) = O.

2

2

3x113 - 3x213 =

TABLA 2 f(x)

+ k1r

(k es enter o par) X := '12 11'

Dada

f(x) = x 213 - 2x t/3

= - cos k1t

X = '12 11'

333

+ k1r

(k es enter o impar )

f"(x)

Conclusión

j"(x)

f

o

2x 113

O

2 =O

-

tiene un valor máxim o relall\11

1

X=

o

+

ftien e un valor mínim o relallvu

' Si/"( c) = O, así com o/ (e) = O, ~o se p~ede concluir nada en relación coll '' . ·entesjustifican estaafirmt~ dl • . extremo re1auvo deje n e· Los ejemplos llustrauvos stgm ' 3 4 / " (\) • EJEM PLO ILUSTRATIVO 1 SI· f (x) -- x A'l enton ces f (x) = 4x Y aplic ar la prueb a de la prime r d 32. f'(e) = O; f'(d) = - 1; f"(d) = O; f'(e) = O; f"(x) O si x < d; f"(x) < O si d < x < e; f"(x) > O si x > e 35. f'(e) = O;f"(e) = O;f'(d) = -1;/"(d ) = O; f'(e) = O;f"(x) > O si x < e; f"(x) < O si e < x < d; f"(x) > O.si x > d 36. f'(c) = O; f"(c) = O; f'(d) = 1; f"(d) = O; f'(e) = O; f"(x) < O si x < e; f"(x) > O si e< x < d;f"(x) d 37. f'(e) = O; lím f'(x) = + oo; x-d -

lím f'(x) =

x-d '

f"(x)

+ oo; f'(e) = O;

> O si x < d; f"(x ) < O s i x > d

= O;

= - oo; Jím f'(x) = - oo; J'(e) = O; x-d •

38. f'(e)

lím f'(x)

x-d-

f"(x) < O si x < d; .f"(x) > O si x > d 39. f'(e) no existe ;j'(d) = -l;f"(d )' =O; f'(e) = O;f"(x) > O si x O si x > d 40. f'(e) = O;f'(d) = -l;f"(d ) = O; f'(e) no existeJ"(x) < O ·si x < d; f"(x) >O sid < x O s i e < x < d; f"(x) > O si x > d 43. Supong a que Yí .fi y - V2 V3 son número s críticos d e u na f un c ió n f y que f"(x ) = x ( Yíx 2 + 1). En cada uno de estos número s,

DIFERENCIAL VALORES EXTREMOS DE FUNCIONES. TÉCNICAS DE GRAFICAC IÓN Y LA

mínimo relativo y ningún valor m O y r '1: 1, demuestre que (a) si O < r < 1./tiene un

ti ,

vulor máximo relativo en 1; (b) si r > 1, f tll•nc un valor mínimo relativo en l . l>uduj(x) = x 3 + 3rx + 5, demuestre que (11) Hi r > O, f no tiene extremos relativos; (h) ~~ r < O, f tiene tanto un valor máximo lt' ltnivo como un valor mínimo relativo.

,.,¡,¡

1>omucstre el Teorema 4.6. 1(ii). 1>ndnf(x)

4. 7

= x 2 + rx- 1, demuestre que inde-

Jil'ndientem ente del valor de r,ftiene un valor

Trazo de la gráfiCa de una función

337

¡h(x)¡

, l1m = 0 x-+ oo g(x) Y con ello se establece (1).

EJEMPLO 1 h(x)

2

=

x

Obtener las asíntotas de la gráfica de la función h d e r·m1'd a por + 3

x-1

Y trazar la gráfica correspo ndiente.

Como

Solución

lím h(x)

x-1 -

= -oo

Y

= + oo

lím h(x)

x- 1 •

. . la recta x = 1 es una asíntota vertical No ha 2honzont alcs, debido a que si el numerad or Y denomin ador de h( .) d ' ~dasmtotas x se lVI en por x , obtenem os 3

4. 7 TRAZO DE LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN En las secciones 2.4 y 2.5 se dijo que una de las mejores ayudas para trazar la ¡11 ¡\1 de una función consiste en determin ar, si es que las hay, las asíntotas de la gn\11 tln la.Sección 2.4 se discutier on diversas asíntotas verticales y en la Sección 2.5 .~,, 1 1 diaron las horizonta les. Convien e repasar estas secciones pues aplicaremos lm 1 ceptos estudiad os en esta sección. A una asíntota de una gráfica que no es ni horizonta l ni vertical se la llama oblicua. En la Sección 11.6 se incluye la definició n formal (11.6.3) de una asínHlhl• cua. En este momento sólo asentarem os que la gráfica de una función racionul• l formaf(x )/g(x), donde el grado def(x) es de un orden unitario superior a l dt• 11 tiene la recta y = mx + b como asíntota oblicua, al demostra r que

b)'

= O lím lf((x)) - (mx + ~ • t «> g X Si dividimo s el polinomi o f(x) del numerad or entre el polinomi o g(x) del dc111 dor, se obtiene la suma de una función recta y una función racional: esto 1'-

f (x)

R(x)

= mx +

lfm ' f (x ) - (mx + g(x)

b)l =

¡---; - x2 ·

y cuando X

-+

lím lh(x)l g(x)

C uando el numerad or y el denomin ador de h(x)/g(x )se dividen entre la.potl llt a lta de x que aparezca en g(x), habrá un término constante en el denominad111 los demás términos· del denomin ador, así como todos los del numerad or, ~11 forma k/xr, donde k es una constante . Por consiguie nte, cuando x -+ 1 t••. 1 del numerad or será Oy el límite del denomin ador será una constant e. Oc ~·~t

-+ - oo

minador, Y cuando el numerad o

el J' .

d

J

r se

d' .d de h(x) es uno .mas que el grado del denolVI e por el denomm ador, obtenem os

h (x) = x + 1 + --..±_ x-1

In consecuencia ' la rec ta Y _- x +

1 es una asíntota obl' lcua. Pura trazar la gráfica de h se determin . h a SJ ay rectas tangentes horizonta les. De (2), lturmos

h'(r) = 2x(x- I) - (x2 (x - 1)2 2 x - 2x - 3 = (x - 1)2

'J

x- +..,

+ oo O bien X

e~ O. Sin embargo , el grado del nu·~era~:~:e e numerad or ~s 1 Yel del denomin ador

" 111 blecer

h(x) b + g(x)

do nde el grado del polinomi o h(x) es de un grado unitario inferior al g rado ti Entonces ,

>. • ¡ "'

1+ -x2

+ 3)

q~e h' (x) = O obtenem os

- 2x - 3=0

~' 1 l)(x - 3)=0

x=3

hav rectas tangentes horizont ales en los puntos (- 1 , 2) Y (3, 6). l~•wdo las asíntotas Ylas rectas tangentes h . os unos cuantos puntos obtenem os la or.~:.ontdalehs, Y trasladan do a los ejes 1

gra Jea e

que se presenta en la Fi-

.ó llniHcner el trazo de la gráfica de la f en este capítulo Y proceder com~~~~u~( se deben aplicar las propieda des

1tJNt ICINI •,, t I.C NtCi\S l)E GRAFI CACIÓN Y LA DIFERENCIAL

y

4.7 Trazo de la gráfica de una función

EJEMPLO 2

Dada

= x3 -

f(x)

339

3x 2 + 3

~al~r los extremo~ relativos. dej; los puntos de inflexión de la gráfica d e f ; los interva-

os ond ~jes~rec1ente; los mtervalo s dondefe s decrecien te; donde la gráfica es ó _ cava hacia la gráfica es cóncava hacia a bajo Y la pendiente de tangente de mflex1ón. Trazar la gráfica de f.

a~nba; ~onde

cualqcui~r

~i~~~óe~ 3.El dominio dejes el conj unto de todos los números reales. La intercep-

=

f'(x) FIOURA 1

3x2

6x f"(x)

-

= 6x- 6

Estableci ~d o quef' (x) = O, obtenemo~ x =

nem~

oy x

= 2. A partir dej" (x) =

x - l . ~ preparar la tabla consider amos los puntos en los q ue x =

Y x - 2 Y los mtervalo s que excluyan estos valores de x:

1. Determin ar el dominio de f. 2. Obtener las posibles intercepciones y de la gráfica. Localiza r las posibles inl cepciones x si la ecuación resultant e puede resolverse con facilidad. :l. Verificar si hay simetría con respecto al eje y y el origen. 4. Calcular f'(x) y f"(x). S. Determin ar los números críticos de f. Estos son los valores de x en el domi111 dejpara los quej'(x) no existe o es igual a cero. 6. Aplicar el criterio de la primera derivada (feorema 4.4.4) o bien el de la segund ucrivada (Teorem a 4. 6.1) para determin ar si en un número crucial hay un valtlJ máximo relativo, uno mínimo relativo, o ninguno de Jos dos. 7, Determin ar los intervalo s en los cuales! es creciente obtenien do los valores 1 x para los cualesj'{ x) es positiva;·determin ar los intervalos en los cuales} decreciente hallando los valores de x para los cuales!' (x) es negativa. Al lo( tizar los intervalo s en los cuales fes monótona, verificar asimismo los núm ros críticos en los cualesjn o tiene un extremo relativo. N Para obtener posibles puntos de inflexión , determin ar los números críticos d f , es decir, Los valores de x para los cualesf" (x) no existe o bienf"(x ) O En cada uno de estos valores de x, observar sif"(x) cambia de signo y si la gul fica tiene una recta tangente ahí para determin ar si en realidad hay un punl de inflexión. ~ Vt.•rificar si hay concavid ad de la gráfica. Determin ar los valores de x-para tu cuales f" (x) sea posítiva a fin de obtener los puntos en los cuales la gráfic•• cóncava hacia arriba; para obtener los puntos en los cuales la gráfica es con cava hacia abajo, determin ar los valores de x para los cuales!"(x) es negatl v 10 l s de utilidad calcular la pendient e de cada tangente de inflexión . 11. Veri ficar si hay asíntotas horizonta les, verticales u oblicuas posibles.

X