formulario Integrales y derivadas
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Formulario A ➟ Integrales
277
➠ Formulario A: Integrales
En este formulario: a, b, p, q, C ∈ son constantes reales, m, n ∈ N son enteros positivos y u = u ( x ) y v = v( x ) son funciones que dependen x. Fórmulas básicas 1. 2.
20.
∫ 0 dx = C ∫ k dx = kx + C
3.
∫ ( a ⋅ u ± b ⋅ v )dx = a ∫ udx ± b ∫ vdx + C
4.
n ∫ u du =
5.
∫ u dv = uv − ∫ v du
6.
a +C ln(a )
∫a
n
du =
u n+1 + C; ∀ n ≠ −1 regla de la potencia n +1
22. ∫ csc(u )cot(u ) du = − csc(c) + C
Fórmulas trigonométricas hiperbólicas
n
7.
du ∫ u = ln | u | +C
8.
∫e
u
integración por partes
21.
u sen(2u ) + +C 2 4 2 ∫ cos (u ) du = 1 [ u + sen(u )cos(u )] + C 2 sec( u ) tan( u ) du = sec(u ) + C ∫
dx = e + C u
Fórmulas trigonométricas 9.
∫ sen(u ) du = − cos(u ) + C
10.
∫ cos(u ) du = sen(u ) + C
23. ∫ sen h(u ) du = cosh(u ) + C 24. ∫ cosh(u ) du = sen h(u ) + C 25. ∫ tanh(u ) du = ln [ cosh(u )] + C 26. ∫ coth(u ) du = ln [sen h(u )] + C sen −1 [ tanh(u )] + C u −1 2 tanh e + C
27. ∫ sech(u ) du =
( )
u ln tanh + C ∫ csch(u ) du = 2 −2 coth −1 eu + C
11. ∫ tan(u )du =
28.
12. ∫ cot(u ) du = ln [sen(u )] + C
29. ∫ sech 2 (u ) du = tanh(u ) + C
ln [ sen(u )] + C
− ln [ cos(u )] + C
13.
ln [ sec(u ) + tan(u )] + C sec( u ) du = u π ∫ ln tan 2 + 4 + C
14.
ln [ csc(u ) − cot(u )] + C csc( u ) du = u ∫ ln tan + C 2
15. ∫ sec
2
18. ∫ cot 2 (u ) du = − cot(u ) − u + C u sen(2u ) − +C 2 4 ∫ sen (u ) du = 1 [ u − sen(u )cos(u )] + C 2 2
Cálculo integral • José Alfredo Ramos Beltrán
( )
30. ∫ csch2 (u ) du = − coth(u ) + C 31. ∫ tanh
2
(u ) du = u − tanh(u ) + C
32. ∫ coth 2 (u ) du = u − coth(u ) + C 33.
sen h(2u ) u − +C 4 2 ∫ sen h (u ) du = 1 [ sen h(u )cosh(u ) − u ] + C 2
34.
sen h(2u ) u + +C 4 2 ∫ cosh (u ) du = 1 [ sen h(u )cosh(u ) + u ] + C 2
(u ) du = tan(u ) + C
16. ∫ csc2 (u ) du = − cot(u ) + C 17. ∫ tan 2 (u ) du = tan(u ) − u + C
19.
2
2
35. ∫ sech(u ) tanh(u ) du = − sech(u ) + C 36. ∫ csch(u )coth(u ) du = − csch(u ) + C
Alfaomega
3
278
Formulario A ➟ Integrales
Fórmulas con
Fórmulas con 1
du
37. ∫ au + b = a ln ( au + b ) + C u
u
b
du = − 2 ln ( au + b ) + C 38. ∫ au + b a a
39. ∫ u du = (au + 3b) au + b 2a 2
u3
40. ∫ au + b du = −
2
2b(au + b ) b 2 + 3 ln ( au + b ) + C a3 a
−
(au + b )3 3b(au + b )2 3b 2 (au + b ) b 3 − 4 ln(au + b ) + C − + a4 a 3a 4 2a 4
3b(au + b )2 3b 2 (au + b ) b 3 + − 4 ln(au + b ) + C 2a 4 a4 a
du =
1
du
a
=− + ln 42. ∫ 2 u (au + b ) bu b 2 du
=−
1 +C a(au + b )
u
58. ∫
u2 2(3a 2 u 2 − 4 abu + 8b 2 ) du = au + b + C 15 a 3 au + b
1
b
2b au + b b2 − ln(au + b ) + C − 3 a3 a (au + b ) a 3 du 1 1 u ∫ u(au + b)2 = b(au + b) + b2 ln au + b + C du a 1 2 a au + b ∫ u 2 (au + b)2 = − b2 (au + b) − b2u + b 3 ln u + C u2
1
du
=− +C 48. ∫ (au + b )3 2(au + b )2 1
u
b
du = − 2 + +C 49. ∫ (au + b )3 a (au + b ) 2 a 2 (au + b )2 1 50. ∫ u 3 du = 3 2b − 3 b + ln(au + b ) + C (au + b ) a (au + b ) 2 a (au + b )2 a 3 2
2
51. ∫ (au + b) du = (au + b) 2a
2
+C
52. ∫ (au + b)n du = (au + b) (n + 1)a
n+1
53. ∫ u(au + b) du = (au + b) 2 (n + 2)a n
2 n 54. ∫ u (au + b) du =
(au + b )n+ 3 2b(au + b )n+2 b 2 (au + b )n+1 +C − + (n + 1)a 3 (n + 3)a 3 (n + 2)a 3
+C
n+ 2
−
1 au + b − b +C ln b au + b + b du ∫ u au + b = au + b 2 tan −1 +C −b b −
61. ∫
du = 45. ∫ (au + b )2
47.
u 2(au − 2b ) du = au + b + C 3a 2 au + b
60. ∫ 2 u
au + b +C u
44. ∫ (au + b)2 du = a 2 (au + b) + a 2 ln(au + b) + C
46.
57. ∫
u
= ln 41. ∫ +C u (au + b ) b au + b
43. ∫ (au + b )2
2 au + b du = +C a au + b
59. 1
du
56. ∫
∀ n ≠ −1
b(au + b )n+1 (n + 1)a 2
au + b du =
62. ∫ u
2 (au + b )3 +C 3a
au + b du =
63. ∫ u 2
2(3au − 2b ) (au + b )3 + C 15 a 2
au + b du =
2(15 a 2 u 2 − 12 abu + 8b 2 ) (au + b )3 + C 105 a 3
64. ∫
au + b du du = 2 au + b + b ∫ u u au + b
65. ∫
au + b au + b a du + ∫ du = − u2 u 2 u au + b
66. ∫
um 2u m au + b 2 mb u m−1 du = du − (2 m + 1)a (2 m + 1)a ∫ au + b au + b
67. ∫ m u
du au + b (2 m − 3)a du =− − ( m − 1)bu m−1 (2 m − 2)b ∫ u m−1 au + b au + b
68. ∫ u m
au + b du =
3 2u m 2 mb (au + b ) 2 − u m−1 au + bdu (2 m + 3)a (2 m + 3)a ∫
69. ∫
au + b au + b a du du = − + ( m − 1)u m−1 2( m − 1) ∫ u m−1 au + b um
70. ∫
au + b au + b (au + b ) 2 (2 m − 5)a du = − − du um ( m − 1)bu m−1 (2 m − 2)b ∫ u m−1
3
∀ n ≠ −1, −2
(au + b )n+ 3 2b(au + b )n+2 b 2 (au + b )n+1 +C − + (n + 3)a 3 (n + 2)a 3 (n + 1)a 3 ∀n ≠ −1, −2, −3
du au + b a du =− − bu 2b ∫ u au + b au + b
m+ 2
∀n ≠ −1, −2, −3 m 2(au + b ) 2 +C 71. ∫ (au + b) 2 du = a( m + 2)
72.
m+ 4
m+ 2
2(au + b ) 2 2b(au + b ) 2 ∫ u(au + b) du = a2 (m + 4) − a2 (m + 2) + C m 2
u m+1 (au + b )n nb m+ 6 m+ 4 m+ 2 + u m (au + b )n−1 du 55. m 2b 2 (au + b ) 2 2(au + b ) 2 4 b(au + b ) 2 m + n +1 m + n +1∫ 2 2 ∫ u (au + b) du = a 3 (m + 6) − a 3 (m + 4) + a 3 (m + 2) + C 73. u m (au + b )n+1 mb m −1 n m n ( ) − u au + b du u au + b du = ( ) ∫ ∫ m+ 6 m+ 4 m+ 2 ( m + n + 1)a ( m + n +m 1)a 2 2 2 2 2 b ( au + b ) 2( au + b ) 4 b ( au b ) + u m+1 (au + bu)n2+(1au m 2 + 2= m +C + n+1 − 3au + b ) 3 3 ∫ + + b+) n du ( u du − a ( m + 2) a ( m + 4) (n + 1)b (n + 1)b ∫ a ( m + 6)
Alfaomega
Cálculo integral • José Alfredo Ramos Beltrán
279
Formulario A ➟ Integrales
m
m
74.
(au + b ) 2 2(au + b ) 2 (au + b ) ∫ u du = m + b ∫ u
75.
(au + b ) 2 (au + b ) ∫ u 2 du = − bu
m
76. ∫
du u (au + b )
=
m 2
m+ 2 2
m− 2 2
93. ∫ u
du m
94. ∫
am (au + b ) 2 + du 2b ∫ u
2 b( m − 2)(au + b )
m− 2 2
+
1 b∫
du u (au + b )
du
=
m− 2 2
+a
(u
)
du = ∫
)
2 n
du 2
1 1 du + 2 a 2 (n − 1)(u 2 + a 2 )n−1 a 2 ∫ u (u 2 + a 2 )n−1
=
2 n
+a
)
2 n
=
(u
u m− 2 2
+a
)
2 n−1
du − a 2 ∫
1 du a2 ∫ u m u 2 + a2
(
)
n−1
−
u m−2 du (u 2 + a 2 )n
1 du a 2 ∫ u m− 2 u 2 + a 2
(
96.
1
78. ∫ 2 2 du = ln (u 2 + a 2 ) + C u +a 2
1
u
97. ∫ 2 2 du = ln(u 2 − a 2 ) + C u −a 2
79. 80.
u3 u 2 a2 2 2 ∫ u 2 + a2 du = 2 − 2 ln u + a + C
81.
u2 du 1 ∫ u(u 2 + a2 ) = 2a2 ln u 2 + a2 + C
82.
du 1 1 −1 u ∫ u 2 (u 2 + a2 ) = − a2u − a 3 tan a + C
100. ∫
u 2 − a2 du 1 = 2 ln +C 2 u (u − a ) 2 a u 2
83.
u2 du 1 1 ∫ u 3 (u 2 + a2 ) = − 2a2u 2 − 2a 4 ln u 2 + a2 + C
101. ∫
du 1 1 u − a = + ln +C u 2 (u 2 − a 2 ) a 2 u 2 a 3 u + a
u 1 u = 2 2 + tan −1 + C a 2 a (u + a 2 ) 2 a 3
102. ∫
u2 du 1 1 = 2 2 − 4 ln 2 +C 2 2 u (u − a ) 2 a u 2a u − a 2
(
84. ∫ 85. ∫ 86. ∫ 87. ∫
(u (u (u (u
88. ∫ u
90. ∫ 3 u
92. ∫
(u (u
+ a2 u
2
+ a2 u2
2
+ a2 u
2
(u
89. ∫ 2 u
91. ∫
2
)
2
du = −
2
)
)
99. ∫ 2 u 2 du = u u −a 2 3
103. ∫
1 +C 2(u 2 + a 2 )
104. ∫
u 1 u du = − + tan −1 + C a 2(u 2 + a 2 ) 2 a
2
105. ∫
a 1 du = + ln(u 2 + a 2 ) + C 2(u 2 + a 2 ) 2
2
)
+ a2
du + a2
du + a2 u +a
106. ∫
1 1 u = 2 2 + +C 2 a (u + a 2 ) 2 a 4 u 2 + a 2
2 2
du
2
2
2
+a 2
98. ∫ 2 u 2 du = u + a ln u − a + C u −a 2 u + a
2
du
(u
2
)
2
3
+ a2
(u
2
)
) )
n
2 n
) )
2
2
n
1 u − a ln +C du 2a u + a ∫ u 2 − a2 = 1 −1 u − coth + C a a
u2 −1 u ∫ u 2 + a2 du = u − a tan a + C
du
)
Fórmulas con
1 −1 u tan + C a a
u
(u
+a
um 2
95. ∫ um
Fórmulas con 77. ∫ u 2 + a 2
(u
du 2
107. ∫
1 u 3 u =− 4 − 4 2 − tan −1 + C a a u 2 a (u + a 2 ) 2 a 5 =−
1 1 1 u2 − 4 2 − 6 ln 2 +C 4 2 2 2a u 2 a (u + a ) a u + a 2
u 2n − 3 =− 2 + 2 a (n − 1)(u 2 + a 2 )n−1 (2 n − 2)a 2 du = −
∫
(u
1 +C 2(n − 1)(u 2 + a 2 )n−1
Cálculo integral • José Alfredo Ramos Beltrán
du 2
+ a2
)
n−1
108. ∫ 109. ∫ 110. ∫
2
+
a2 ln(u 2 − a 2 ) + C 2
2
3
(u
du − a2
2
)
=−
2
u 1 u − a − ln +C 2 a 2 (u 2 − a 2 ) 4 a 3 u + a
u 1 du = − +C (u 2 − a 2 )2 2(u 2 − a 2 )
( (
u2 u − a2 2
u3 u 2 − a2
)
2
du = −
u 1 u − a + ln +C 4a u + a 2 u 2 − a2
)
2
du = −
a 1 + ln u 2 − a 2 + C 2 2 u 2 − a2
du
(
u u −a 2
(
)
du
u 2 u 2 − a2
(
du
u u −a 3
(u
2
du 2
− a2
=−
2 2
)
n
) )
2
2 2
(
)
(
(
)
)
u2 1 1 + 4 ln 2 +C 2a u − a 2 2a2 u 2 − a2
(
)
=−
u 3 1 u − a − − 5 ln +C u + a 4a a 4 u 2a 4 u 2 − a2
=−
1 1 1 u2 − + 6 ln 2 +C 2a 4 u 2 2a 4 u 2 − a2 a u − a 2
=−
(
)
(
u
(
2 a 2 ( n − 1) u 2 − a 2
)
)
n−1
−
2n − 3
du
( 2n − 2 ) a 2 ∫ (u 2 − a 2 )n−1
Alfaomega
280
Formulario A ➟ Integrales
111. ∫
(u
112. ∫ u 113. ∫
u −a
2
(u
(u
du
−a
2
um 2
114. ∫ m u
)
2 n
−a
(u
du = −
)
)
2 n
− a2
)
=
n
2 ( n − 1) u − a 2
)
2 n−1
1
(
2 a ( n − 1) u − a 2
du = ∫
du 2
=−
2 n
(
1
(u
u m− 2 2
−a
2
)
2 n−1
)
2 n−1
du + a 2 ∫
1 du a 2 ∫ u m− 2 u 2 − a 2
(
)
n
+
128. ∫
+C 1 du − 2∫ a u u 2 − a2
(
(u
u m−2 2
− a2
)
n
)
n−1
130. ∫
du
1 du a2 ∫ u m u 2 − a2
(
)
n−1
115.
1 a + u ln +C 2a a − u
(a
−u
(a
2
− u2
1 u tanh −1 + C a a
u u 1 u 116. ∫ 2 2 du = − ln ( a 2 −∫uu22) +uC2 + a 2 du = ( 2 a −u
+a
4
)
=
)
u
)
u +a 2
133. ∫ u 2 −
)
2 n
118. ∫ 2 u 2 du = − u 2 a −u 119.
−
(
)
)
120. ∫
du 1 1 a + u = 2 + 3 ln +C a u 2a a − u u 2 a2 − u 2
136. ∫
121. ∫
u2 du 1 1 = − 2 2 + 4 ln 2 +C 2 2 a u a 2 2 a − u 2 u a −u
137. ∫
122. ∫ 123. ∫ 124. ∫ 125. ∫ 126. ∫ 127. ∫
(
3
(
(a
2
)
)
du −u
)
u
(
a2 − u 2
(
a − u2
u2 2
(a
u 2
)
du =
)
2
du =
)
2 2
du
(
u a −u 2
(
du 2
Alfaomega
du =
)
2 2
u a −u 2
u 1 a + u + 3 ln +C 4a a − u 2a a2 − u 2 2
2
3
−u
=
2 2
)
2 2
=
(
)
1 +C 2 a2 − u 2
(
)
3
2
u
u2
u 2 + a2 u3
138. ∫
u 2 + a2
)
)
u2 1 1 + 4 ln 2 +C 2 2 2a a − u 2 2a a − u
=−
2
(
)
1 u 3 a + u + + 5 ln +C a − u 4a a 4 u 2a 4 a2 − u 2
(
)
+C
)
+ a2
2
3
(
)
3 2
+C
u u 2 + a2 4
)
3 2
−
(
2
(u du =
2
+ a2 5
)
5 2
−
(
(
a2 u 2 + a2 3
)
3 2
+C
)
u
du = u 2 + a 2 + C du =
du =
(
)
u u 2 + a2 a2 − ln u + u 2 + a 2 + C 2 2
(u
2
+ a2 3
)
3 2
− a2 u 2 + a2 + C
2
du
2
u +a 2
du
2
u 2 + a2
=−
u 2 + a2 +C a 2u
=−
a + u 2 + a2 u 2 + a2 1 + 3 ln +C 2 2 2a u 2a u
142. ∫
a + u 2 + a2 u 2 + a2 du = u 2 + a 2 − a ln +C u u
143. ∫
u 2 + a2 u 2 + a2 + ln u + u 2 + a 2 + C du = − 2 u u
(
)
a 2u u 2 + a 2 a 4 − ln u + u 2 + a 2 + C 8 8
1 a + u 2 + a2 = − ln +C a u u +a 2
141. ∫ u 3
(
n−1
du
a 1 + ln a 2 − u 2 + C 2 2 a − u2
(
u +a 2
u 2 + a2
140. ∫
2
)
du
2 2 ln u + u + a + C = u u 2 + a2 sen h −1 + C a
139. ∫ u
)
2
(
2n − 3
( 2n − 2 ) a 2 ∫ ( a 2 − u 2 )n−1
)
u 1 a + u − ln +C 4a a − u 2 a2 − u 2
(
1
+
(
du
135. ∫
u2 du 1 ∫ u a2 − u 2 = 2a2 ln a2 − u 2 + C
(
)
2 n−1
u u 2 + a2 a2 + ln u + u 2 + a 2 + C 2 2
u + a du = 2
(
134. ∫ u
a ln a 2 − u 2 + C 2 2
2
2 a 2 ( n − 1) a 2 − u 2
(u du =
2
2
2
(
2 a ( n − 1) a − u 2
)
a2u u 2 + a 2 a 4 − ln u + u 2 + a 2 + C 8 8
117. ∫ 2 u 2 du = −u + a ln a + u + C a −u 2 a − u 3
(
u
du =
n
1 1 1 u2 + 4 2 + 6 ln 2 +C 4 2 2 2a u a a − u 2 2a a − u
=−
2 2
u 2 + a 2 du =
132. ∫ u
3 2 2
du
2
131. ∫
2
2
Fórmulas con
Fórmulas con du = ∫ a2 − u 2
129. ∫
(
du
u a −u 3
)
Cálculo integral • José Alfredo Ramos Beltrán
Formulario A ➟ Integrales
u 2 + a2 u 2 + a2 1 a + u 2 + a2 du = − − ln +C 3 2 u 2u 2a u
144. ∫ 145. ∫ 146. ∫ 147. ∫ 148. ∫ 149. ∫ 150. ∫ 151. ∫
u
1
u +a
2
(u
2
2
+a
3 2 2
)
4
2
−
2a
3
4
u +a 2
2
+
du
(u
2
+a u
(u
2
+a u2
(
u +a 2
u
(u
2
) ) ) )
u u +a
)
du
(
u 2 u 2 + a2
)
du
(
u 3 u 2 + a2
)
152. ∫ (u
3 2
3 2
2
+a
3 2 2
)
2 2 154. ∫ u (u + a )
(
a 2u u 2 + a 24
)
−
a
=−
2a 2u 2 u 2 + a 2
(
u u 2 + a2 4
du =
(u
du =
2
+a
2
+a u
)
+
)
3 2
2
+C
−
2
+a u2
)
du = −
u2
u −a 2
2
u3
161. ∫
3 2
du = −
2a 4
)
166.
2u
u 2 − a2
(u
2
+a u
)
+
a + u 2 + a2 3 2 3 u + a 2 − a ln +C 2 2 u
+
)
du = u 2 − a 2 + C
(
2
(
)
u u 2 − a2 a2 + ln u + u 2 − a 2 + C 2 2
du =
(u du =
du
u
u −a
3
2
2
2
− a2 3
)
3 2
+ a2 u 2 − a2 + C
u 2 − a2 1 u + 3 sec −1 + C a 2a 2u 2 2a
=
u 2 − a 2 du =
∫
(
3 2 2 2
()
3 24 2
167. ∫ u
(u
u − a du =
2
2
2
)
2
2
6
(
2
a + u 2 + a2 u 2 + a 2 − a 3 ln +C u
− a2
2
3
(
)
Cálculo integral • José Alfredo Ramos Beltrán
)
2
2
3 2
+C
u u 2 − a2 4
)
u −a
3
)
(u du =
2
− a2 5
)
)
5 2
3 2
+
+
(
(
a u 2 − a2 3
)
3 2
+C
u 2 − a2 u du = u 2 − a 2 − a sec −1 + C a u
170. ∫
u 2 − a2 u 2 − a2 + ln u + u 2 − a 2 + C du = − 2 u u
171. ∫
u 2 − a2 u 2 − a2 1 u + du = − sec −1 + C 3 a u 2u 2 2a
172. ∫
(
du
(u
2
−a
3 2 2
)
=−
u
a2 u 2 − a2
)
a 2u u 2 − a 2 a 4 − ln u + u 2 − a 2 + C 8 8
169. ∫
3u u 2 + a 2 3 2 + a ln u + u 2 + a 2 + C 2 2
(
)
(
)
u u 2 − a2 a2 − ln u + u 2 − a 2 + C 2 2
2 2 ∫ u u − a du =
168. ∫ u
3 2 2
2
3 2
(
u u +a a u u + ua u − aa u u +2 a 2 a 2 a u u− − aln ua+4 u 2 + a 2 2+ C 2 2 2 2 − + − ln u + u − a + C ∫6 u u −− a du24= 16 4 8 16 8 2
)
+ a2
= ln u + u 2 − a 2 + C
+C
)
2
du 1 u = sec −1 + C a + u 2 +162. 3 a2 ∫ u u 2 − a2 a a + 5 ln +C u u 2 + a2 2a 2 2 163. ∫ 2 du2 2 = u 2− a + C au u u −a
(
5 2 2
(u
3
3u u 2 + a 2 3 2 + a ln u + u 2 + a 2 + C 2 2
(
u
u 2 − a2
160. ∫
)
3 2 2
u 2 − a2
159. ∫
3a 2 u u 2 + a 2 3 4 + + a ln u + u 2 + a 2 + C 8 8 165.
)
u
3
)
du
158. ∫
164. ∫
5 2 2
5
(
)
+ a2
a + u 2 + a2 3 2 3 u + a 2 − a ln +C 2 2 u
1 a + u 2 + a2 ln +C a3 u
−
1
(
∫
(u
+
a4u u 2 + a2 a6 − ln u + u 2 + a 2 + C 16 16
156. (u −
2u
)
2
2
Fórmulas con
u 2 + a2
3 (u 2 + a 2 ) 23 (u 2 + a2 )2 + a2 du = 155. ∫ u 3
3 2 2
+a
+ ln u + u 2 + a 2 + C
u + a2
)
3 2 2
2
u 2 + a2 u =− − +C 4 a4u a u 2 + a2
du =
(
(u
(
u
2
a2 u 2 + a2
du = −
3 2 2
+C
u + a2
3a 2 u u 2 + a 2 3 4 + + a ln u + u 2 + a 2 + C 8 8
3 2 2
u
)
3
a + u 2 + a2 3 ln +C 5 2a u
153. ∫ u (u 2 + a )
−
1
2
1
=
3 2 2
3 2 2
5 2
∫
du = u 2 + a 2 +
3 2 2
2
(
2 + Cu + a
u 2 + a2
du = −
3 2 2
3
+a
a
u
2
du = −
3 2 2
du
(
=
3 2 2
3 2 2
157. ∫
(u
281
)
+C
Alfaomega
282 173. ∫ 174. ∫ 175. ∫ 176. ∫ 177. ∫ 178. ∫
Formulario A ➟ Integrales
u
(u
−a
2
u2
(u
−a
2
3 2 2
)
3 2 2
)
u3
(u
)
− a2
2
(
)
du
(
(
u u −a
+ ln u + u − a
u 2 − a2
=−
3 2
)
3 2 2
a2
u 2 − a2
)
1
−
191. ∫ 192. ∫
3
2a 4 u 2 − a2
−
)
5 3 1 = 2u u 2 − a 2 u 2 − a 2 − a 4 ln − u + u 2 − a 2 + C 8 16 8
5 2
180. ∫ u (u
−a
3 2 2
)
(u du =
+
(
a 2u u 2 − a
(u =−
24
)
−
(
(
183. ∫
−a u
)
5 2 2
)
6
+
(
a 2u u 2 − a 24
)
3
2
+C
a4u u 2 − a2 a6 + ln u + u 2 − a 2 + C 16 16 3 2 2 182. ∫ u (u − a ) 2 du =
3 2 2
5
5 2
u u2 − a
3
181. ∫ u 2 (u 2 − a2 ) 2 du = 3 2 2
)
− a2
2
184. ∫
(
u −a 2
3 2 2
)
u
(u
2
−a
3 2 2
u2
)
du =
(
(u
2
u −a
du = −
2
185. ∫
(u
2
− a2
2
u3
3 2
(u du = −
)
−a
2
− a2
2u 2
+
)
)
3 2
+
187. ∫
5
)
2
u = sen −1 + C a a2 − u 2
u
a −u
Alfaomega
2
du = − a 2 − u 2 + C
=−
a2 − u 2 +C a2u
=−
a + a2 − u 2 a2 − u 2 1 − 3 ln +C 2 2 2a u 2a u
2
u 3 a2 − u 2
u a2 − u 2 a2 u + sen −1 + C a 2 2
a 2 − u 2 du =
a −u 2
2
(a du = −
195. ∫ u
2
a − u du = −
196. ∫ u
3
a −u
199. ∫
+C
200. ∫ 201. ∫
(
)
202. ∫ 203. ∫ 204. ∫
du
2
a −u 2
2
2
2
(
3u u − a 3 − a 2 ln u + u 2 − a 2 + C 2 2 2
− a2 a2 − u 2 + C
3
(
)
3 2
+C
u a2 − u 2
(a du =
2
− u2
2
2
4
− u2 5
)
5 2
)
3 2
a 2u a 2 − u 2 a 4 u + sen −1 + C a 8 8
+
(
a2 a2 − u 2
−
3
)
3 2
+C
a + a2 − u 2 a2 − u 2 du = a 2 − u 2 − a ln +C u u a4u u 2 − a2 a6 − + ln u + u 2 − a 2 + C 16 16 2 2 2 2 198. ∫ a −2 u du = − a − u − sen −1 u + C u u a
3 u 2 − a2 3 u + − a sec −1 + C a 2 2
Fórmulas con 186. ∫
(
a2 u 2 − a
5 2 2
)
3 2
2
du
2
197. ∫
u − a 2 u 2 − a 2 + a 3 sec −1 + C a
3 2 2
u
)
)
3 2 2
3
(u
)
7
3u u 2 − a 2 3 2 + − a ln u + u 2 − a 2 + C 2 2
(
−a
7 2 2
3 2 2
3
)
1 a + a2 − u 2 = − ln +C a u a −u 2
194. ∫ u
)
− u2
2
du
du
193. ∫
3 u sec −1 + C a 2a5
(
u
u a2 − u 2 a2 u + sen −1 + C a 2 2
(a du =
a2 − u 2
190. ∫ u
+C
du = −
2
u3
5 3 1 u 2 − a 2 u 2 − a 2 − a 4 ln −u + u 2 − a 2 + C 8 16 8
3
179. ∫ (u 2 − a 2 ) 2 du = 2u
2
a −u 2
189. ∫
1 u − 3 sec −1 + C a u 2 − a2 a
2a 2u 2 u 2 − a 2
(
)+C
2
u 2 − a2 u − +C a4u a4 u 2 − a2
=−
=
2
1
a2
u2
188. ∫
(
u
du = −
3 2 2
u2 u2 − a du
+C
2
2
u u 2 − a2
2
u −a 2
du = u 2 − a 2 − 3
du
3
1
du = −
205. ∫
)
a2 − u 2 a2 − u 2 1 a + a2 − u 2 du = − + ln +C 3 2 u 2u 2a u du
(a
2
(a
2
−u
u −u
3 2 2
)
3 2 2
)
u2
(a
2
2
)
−u u3
(a
3 2 2
−u
3 2 2
)
du
(
u a2 − u
(
u a −u 2
u
a2 a2 − u 2
+C
1
du =
+C
a2 − u 2
u
du =
u − sen −1 + C a
a2 − u 2
a2
du = a 2 − u 2 +
3 2 2
du 2
=
)
3 2 2
)
=
a
1
2
=−
a −u 2
2
a − u2 2
−
+C
1 a + a2 − u 2 ln +C a3 u
a2 − u 2 u + +C a4u a4 a2 − u 2
Cálculo integral • José Alfredo Ramos Beltrán
206. ∫ 1
a 2u 2 a 2 − u 2
3 2
283
Formulario A ➟ Integrales
+
2a 4
du
(
u 3 a2 − u
3 2 2
)
=−
2a u 2
2
− u2
2
)
−u
3 2
6
)
5 2
+
(
a 2u a 2 − u 2 24
)
3 2
+
3
)
3 2
2
3 2 2
)
−u
2
− u2
− u2
2u 2
)
3 2
au 2 + bu + c 1 b 2 − 2 ac a + a2 − u 2 du b du 3 − + 218. ln + C ∫ u 2 au 2 + bu + c = 2 c 2 ln 5 u2 2 c 2 ∫ au 2 + bu + c cu 2a u
(
(
219. ∫
)
(
au 2 + bu + c
3a 2u a 2 − u 2 3 4 u + + a sen + C du 2a du 4 8 8 2 au + ba ∫ au 2 + bu + c 2 = 4 ac − b2 au 2 + bu + c + 4 ac − b2 ∫ au 2 + bu + c
du = −
(a
(
2
−u
) (
5 2 2
5
)
(
u a 2u− u
)(
+C
5 2 2
)
220. ∫
(
a 2u a 2 − u
2 au + b 2a du + 2 4 ac − b 2 ∫ au 2 + bu + c + bu + c
2
=
2
du = −
) ( 4 ac − b )( au
)
2
)
3 2 2
) bu a+ 2uc a 4
2
− u2
a6 b
( au
u
221. ∫
u + bu + c
2
)
bu + 2 c b du − 2 4 ac − b 2 ∫ au 2 + bu + c + bu + c
( 4 ac − b )( au
)
2
du
( au
2c ( a − uu ) a ( a − u ) (b − 2ac) u + bc ) du =∫ ( au 7+ bu +−c) du =5 a ( 4 ac++Cb )( au + bu + c) + 4 ac − b ∫ au 2 7 2 2
2
3 2 2
2
5 2 2
2
2
2
2
2
2
2
)
3 2
(a du =
2
− u2
)
3 2
u2 + bu + c
2
)
2
3 2 2
)
(
)
(a
3 2 2
)
)
(
(
)
223. ∫ u 2
du =
(
(b
2
)
− 2 ac u + bc
)(
a 4 ac + b 2 au 2 + bu + c
)
+
du 2c 4 ac − b 2 ∫ au 2 + bu + c
du + bu + c
2
(
−u
du = −
(
)
2
−u
(
−
)
)
2
2
(
)
(
)
=
2
1 b du − 2 c au 2 + bu + c 2 c ∫ au 2 + bu + c
(
)
(
)
2
+
1 du c ∫ u au 2 + bu + c
(
du
(
)
∫ u ( au
du = au + bu + c 2
2
2
)
(
2 au + b − b 2 − 4 ac ln +C b − 4 ac 2 au + b + b 2 − 4 ac 1
2
1
u
b
du
u2 u b b 2 − 2 ac du du = − 2 ln au 2 + bu + c + au + bu + c a 2a 2 a 2 ∫ au 2 + bu + c
(
2
)
b b − 2 ac du ln au 2 + bu + c + 2a2 2 a 2 ∫ au 2 + bu + c
)
2
217.
b du 1 u2 du ∫ u au 2 + bu + c = 2c ln au 2 + bu + c − 2c ∫ au 2 + bu + c
(
(
=−
1 3a du − c ∫ au 2 + bu + c cu au 2 + bu + c
(
)
(
)
2
−
2b du c ∫ u au 2 + bu + c
(
)
1
b du a du du 1 2 = − −1 2 au n+−1b− ∫ n−1 − ∫ n− 2 c + uC au 2 + bu + c c u + bu + c 2 tanc ( n − 1) u au 2 + bu + c 2 4 ac − b 4 ac − b
215. ∫ au 2 + bu + c du = 2a ln ( au 2 + bu + c ) − 2a ∫ au 2 + bu + c 216. ∫
)
2
b
du
a
du
225. ∫ u n ( au 2 + bu + c ) = − c ( n − 1) u n−1 − c ∫ u n−1 ( au 2 + bu + c ) − c ∫ u n−2 ( au 2 + bu + c ) n
214. ∫
)
)
du
Fórmulas con
(
)
au + bu + c 3u a − u 3 u + a 2sen + C 212. ∫ u 2 a 3a u 2 12 2b du du du ∫ u 2 au 2 + bu + c 2 = − cu au 2 + bu + c − c ∫ au 2 + bu + c 2 − c ∫ u au 2 + bu + c 2 3 3 a + a2 − u 2 a2 − u 2 2 a2 − u 2 2 3 a2 − u 2 3 m +C 213. ∫ u 3 du = − 2u 2 − 2 + 2 a ln u m−1 c u m− 2 b u m−1 u du = − ∫ 2 du − ∫ 2 du 224. ∫ 2 u au + bu + c a ( m − 1) a au + bu + c a au + bu + c 2 2 2 2 3 a −u 3 a+ a −u − + a ln um u m−1 c u m− 2 b u m−1 +C 2 2 u ∫ au 2 + bu + c du = a ( m − 1) − a ∫ au 2 + bu + c du − a ∫ au 2 + bu + cdu 2
(
2
−
3 2 2
(
+ a2
(a
(a du = −
−
− u2
2
du a + a2 − u 2 222. ∫ 2 3 2 2 2 + + − − u a ln a a C u au + bu + c 211. ∫ u 3 u 1 du b du du 1 = − + ∫ a + a 2 −∫u 2 2 2 2 c u au 2 + bu + c 2 c au 2 + bu + c 2 c ∫ au 2 + bu + c u au+ C+ bu + c a 2 − u 2 − a 3 ln u
(a
2
a −u 2
a4u a2 − u 2 a6 u + sen −1 + C a 16 16
210. ∫ u ( a
(a
2a
3
4
2 2 2 +− sen −1 2 ∫ +2C + 209. ∫ u ( a − u ) 2 du ∫=( −au 2 + bu6 + c )2 +du = − (24 4 ac − b a au + bu + c 4 ac − b 2 )( au 2 +16 bu + c ) 16
3
du =
+
)
u a2 − u
du =
3
(
2
(
208. ∫ u ( a
u a2 − u 2
a −u 2
au 2 + bu + c 1 b 2 − 2 ac du b du = 2 ln ∫ − cu + 2 c 2 ∫ au 2 + bu + c 2 2 2 2 a + a − u u au + bu + c 2c u2 3 3 − 5 ln +C u a2 − u 2 2a du
207. ∫ ( a
=−
1 2
)
Cálculo integral • José Alfredo Ramos Beltrán
)
(
)
Fórmulas con du
1
( a + u )2
226. ∫ u 3 + a 3 = 6a2 ln u 2 − au + a2 + a 2 u
1
1
3
2u − a +C tan −1 a 3
u 2 − au + a 2 1 2u − a +C tan −1 + a 3 a 3
227. ∫ u 3 + a 3 du = 6a ln (u + a )2 u2
1
228. ∫ u 3 + a 3 du = 3 ln (u 3 + a 3 ) + C
Alfaomega
)
2
284
Formulario A ➟ Integrales
229. ∫ u
(
u3 du 1 = 3 ln 3 +C 3a u + a 3 u 3 + a3
241. ∫
)
u 2 − au + a 2 du 1 1 1 242. −1 2u − a 230. ∫ u 2 u 3 + a 3 = − a 3u − 6a 4 ln (u + a )2 − a 4 3 tan a 3 + C
(
)
231. ∫
(u
3
+ a3
)
2
=
u4 du 1 = 2 ln 4 +C 4a u + a 4 + a4
)
4
1
u2
( u + a )2 u a 1 2 2u − 244. +C + 5 ln 2 + 5 tan −1 2 3 3 3 a 3 9a 3a u + a u − au + a 3a 3
(
)
u2 du 1 1 = − 4 2 − 6 tan −1 2 + C 4 4 a u a 2 2 a +a
∫ u (u 3
du
245. ∫ u 4 − a 4
)
=
1 1 u − a u ln tan −1 + C − a 4 a 3 u + a 2a 3
u 2 − a2 u 1 du = 2 ln 2 +C 246. 4 4 ∫ u 2 − au + a 2 u2 1 2 − 1 u a u − a 4 a u + a 2 −1 232. ∫ u 3 + a 3 2 du = 3a5 u 3 + a 3 + 18a 4 ln (u + a )2 + 3a 4 3 tan a 3 + C u2 1 u − a 1 u ln tan −1 + C du = 247. + 2 2 4 ∫ u − au + a a 1 1 4 a u + a 2a u − a4 −1 2u − a +C + tan ln + a 3 18 a 4 ( u + a )2 3a 4 3 3 248. ∫ 4 u 4 du = 1 ln u 4 − a 4 + C u −a 4 2 233. ∫ 3 u 3 2 du = − 31 3 + C 3 u +a u 4 − a4 1 du u +a 249. ∫ u u 4 − a 4 = 4 a 4 ln u 4 + C u3 du 1 1 234. ∫ 3 3 2 = 3a 3 u 3 + a 3 + 3a 6 ln u 3 + a 3 + C du 1 1 u−a 1 u u u +a 250. ∫ u 2 u 4 − a 4 = a 4 u + 4 a5 ln u + a + 2a5 tan −1 a + C u
(
)
∫ u (u
)
243. ∫ u 4 + a 4 du = 2a2 tan −1 a 2 + C
( u + a )2 1 2 2u − a +C + 5 ln 2 tan −1 5 2 a 3 9a u − au + a 3a 3
u2 u 3 + a3
(
u
u 2 − au + a 2 1 1 2u − a +C ln tan −1 − 4 2 4 a 3 6a (u + a ) a 3 du
u3 1 du = ln u 4 + a 4 + C u 4 + a4 4
u 2 + au n 2 u − au
u 2 − au ln 2 u + au
(
)
)
(
(
(
235. ∫ 236. ∫
(
)
(
)
du
(
u2 u 3 + a3
)
)
2
(
)
1 u2 4 u =− 6 − 6 3 − 6∫ 3 du 3a u + a 3 a u 3a u + a 3
(
)
u u u du = du − a3 ∫ 3 u 3 + a3 m−2 u + a3 m− 2
m
(
)
u 2 − a2 du 1 1 = 4 2 + 6 ln 2 +C 4 4 2a u 4a u + a 2 u −a
)
m− 3
1
du
)
(
251. ∫ u 3
)
1
du
237. ∫ u n (u 3 + a 3 ) = − a 3 ( n − 1) u n−1 − a 3 ∫ u n−3 (u 3 + a 3 )
Fórmulas con
252. ∫ sen ( au )du = −
cos ( au ) +C a
253. ∫ usen ( au ) du =
sen ( au ) u cos ( au ) − +C a2 a
u 2 + au 2 + a 2 1 −1 u 2 u 2 ln 2 − − tan −1 1 + tan 1 − 2 +C a 4 a 2 u − au 2 + a 2 2 a 3 2 ( au ) du = 2u sen ( au ) + 2 − u cos ( au ) + C 254. ∫au 2sen a2 a 3 a 2 + a2 1 −1 u 2 u 2 − tan −1 1 + − 3 tan 1 − +C 2 a a 2 + a 2 a 2 3u 2 6 6u u 3 255. ∫ u 3sen ( au ) du = a 2 − a 4 sen ( au ) + a 3 − a cos ( au ) + C u 2 − au 2 + a 2 u2 1 1 −1 u 2 u 2 −1 239. ∫ u 4 + a 4 du = 4 a 2 ln u 2 + au 2 + a2 − 2a 2 tan 1 − a − tan 1 + an + C u n cos ( au ) n n−1 + ∫ u cos ( au ) du 256. ∫ u sen( au ) du = − a a 2 2+a 1 −1 u 2 u 2 −1 tan 1 tan 1 + − + − − C u n cos ( au ) nu n−1 n ( n − 1) n−2 a a 2 + a 2 2 a 2 + 2 sen ( au ) − u sen ( au ) du 257. ∫ u nsen ( au ) du = − a a a2 ∫ du
238. ∫ u 4 + a 4
=
3
n−1 u n cos n ( nu −21) n−2 −1 u=2 −− au n du 1 1 2 +( au a 2)+ nu 1 sen ( au−)1 − u 2 ) du + 25 + ) du + C = − 4 ∫−u sen5 ( auln tan 1 − a 2 ∫−utansen 1( au 2 2 4 4 a u 4 a 2 u + au 2a+ a 2aa 2 a a +a
240. ∫ u (u 2
1
Fórmulas con
)
u 2 − au 2 + a 2 1 −1 u 2 u 2 n 2 + 5 − tan −1 1 + tan 1 − +C 2 a a u + au 2 + a 2 a 2
Alfaomega
u
258. ∫ sen 2 ( au )du = 2 −
sen ( 2 au ) +C 4a
Cálculo integral • José Alfredo Ramos Beltrán
Formulario A ➟ Integrales
cos ( au ) cos 3 ( au ) + +C a 3a
3 259. ∫ sen ( au )du = −
3u 4 260. ∫ sen ( au ) du = 8 −
Fórmulas con 275. ∫ cos ( au ) du =
sen ( 2 au ) sen ( 4 au ) + +C 4a 32 a
261. 262.
sen ( au ) ( au ) ( au ) ∫ u du = au − 3 ⋅ 3! + 5 ⋅ 5! − ...
263.
sen ( au ) sen ( au ) cos ( au ) ∫ u 2 du = − u + a ∫ u du
3
sen ( au ) +C a
276. ∫ u cos ( au )du =
u 2 usen ( 2 au ) cos ( au ) − − +C 4 4a 8a2
2 ∫ usen ( au )du =
285
cos ( au ) usen ( au ) + +C a2 a 2u
u2 2 − sen ( au ) + C a a 3
277. ∫ u 2 cos ( au )du = a 2 cos ( au ) +
5
3u 2 6 u 3 6u − 4 cos ( au ) + − 3 sen ( au ) + C 2 a a a a
278. ∫ u 3 cos ( au )du =
u n sen ( au ) n n−1 1 u n cos ( au )du = − ∫ u sen ( au ) du 279. ∫ ln ( csc ( au ) − cot ( au )) + C a a du a ∫ sen ( au ) = 1 au u n sen ( au ) nu n−1 n ( n − 1) n−2 n ln tan + C 280. ∫ u cos ( au )du = − a + a 2 cos ( au ) − a 2 ∫ u cos ( au )du a 2 264. n n−1 u sen ( au ) nu n ( n − 1) n−2 n ∫ u cos ( au )du3 = − 5a + a22n−1cos ( au ) − 2 n+a12 ∫ u cos ( au )du 2 2 − 1 Bn ( au ) 1 u ( au ) 7 ( au ) + ... 265. ∫ sen ( au ) du = a2 au + 18 + 1800 + ... + 2 n 1 ! + ( ) u sen ( 2 au ) 2 281. ∫ cos ( au )du = 2 + 4 a + C 2 n+1 1 ( au )3 + 7 ( au )5 + ... + 2 2 2 n−1 − 1 Bn ( au ) + ... sen ( au ) sen 3 ( au ) du = 2 au + − +C cos 3 ( au )du = 18 1800 2 n + 1)! a ( 282. ∫ a 3a
(
(
)
)
1
du
3u 4 283. ∫ cos ( au ) du = 8 +
266. ∫ sen 2 ( au ) = − a cot ( au ) + C cos ( au )
du
1
u 2 284. ∫ u cos ( au )du = 4
2
au +C 2
267. ∫ sen 3 ( au ) = − 2asen 2 ( au ) + 2a ln tan 268.
∫ sen ( au )sen (bu ) du = 1
du
sen (( a − b ) u ) 2 (a − b)
π
269. ∫ 1 − sen ( au ) = a tan 4 + u
u
1
π
π
271. ∫ 1 + sen ( au ) = − a tan 4 − 272.
sen (( a + b ) u ) 2 (a + b)
+C
a≠b
au +C 2
270. ∫ 1 − sen ( au ) du = a tan 4 + du
−
au 2 π au + ln sen + + C 2 a 2 4 2
au +C 2
u u π au 2 π au ∫ 1 + sen ( au )du = − a tan 4 − 2 + a2 ln sen 4 + 2 + C
273. ∫ 274. ∫
du
du
(1 + sen ( au ))
+
usen ( 2 au ) cos ( 2 au ) + +C 4a 8a2 2
4
6
285. ∫
cos ( au ) ( au ) + ( au ) − ( au ) + ... du = ln ( u ) − u 2 ⋅ 2! 4 ⋅ 4! 6 ⋅ 6!
286. ∫
cos ( au ) cos ( au ) sen ( au ) − a∫ du = − du u2 u u
287.
1 ln sec ( au ) + tan ( au ) + C du a = ∫ cos ( au ) 1 π au ln tan + + C a 4 2 u
2 4 6 2 n+ 2 5 ( au ) E ( au ) 1 ( au ) ( au ) + + + ... + n + ... 2 8 144 ( 2n + 2 )( 2n )!
288. ∫ cos ( au ) du = a 2
2 4 6 2 n+ 2 5 ( au ) E ( au ) 1 ( au ) ( au ) u + + ... + n + ... 1 π au 1du =3 2π au + + ) tan a + 2 + C 8 tan +∫ cos( au 144 ( 2n + 2 )( 2n )! 4 2 6a 4 2 2a
2
=
2
=−
(1 − sen ( au ))
sen ( 2 au ) sen ( 4 au ) + +C 4a 32 a
1 π au 1 π au tan − − tan 3 − + C 4 2 6a 4 2 2a
du
tan ( au ) +C a
du
sen ( au )
289. ∫ cos2 ( au ) =
1
π
290. ∫ cos3 ( au ) = 2a cos2 ( au ) + 2a ln tan 4 +
Cálculo integral • José Alfredo Ramos Beltrán
au +C 2
Alfaomega
286
Formulario A ➟ Integrales
sen (( a − b ) u )
291. ∫ cos ( au ) cos (bu ) du =
2 (a − b)
1
du
292. ∫ 1 − cos ( au ) = − a cot u
u
1
du
u
u
297. ∫
du
(1 − cos ( au )) du
2
(1 + cos ( au ))
2
=−
=
2 (a + b)
+C
a≠b
au 2 au + ln sen + C 2 a 2 2
au 2 au + ln cos + C 2 a 2 2
312.
Fórmulas con
300.
sen ( au ) +C 2a
cos ( p − q ) u 2 ( p − q)
−
cos ( p + q ) u 2 ( p + q)
sen n+1 ( au ) ∫ sen ( au ) cos ( au )du = a ( n + 1) + C cosn+1 ( au )
301. ∫ cosn ( au ) sen ( au ) du = − a ( n + 1)
+C
sen ( 4 au ) +C 32 a
1 π au 1 du ∫ sen2 ( au ) cos ( au ) = a ln tan 4 + 2 − asen ( au ) + C
du
1
305. ∫ sen ( au ) cos2 ( au ) = a ln tan
du
306. ∫ sen 2 ( au ) cos2 ( au ) = −
au 1 +C + 2 a cos ( au )
2 cot ( 2 au ) +C a
307. ∫
sen 2 ( au ) sen ( au ) 1 π au + ln tan + + C du = − cos ( au ) a a 4 2
308. ∫
cos2 ( au ) cos ( au ) 1 au + ln tan + C du = sen ( au ) a a 2
Alfaomega
cos ( au )
1
1
u
1 − ln cos ( au ) + C a = au du tan ( ) ∫ 1 ln sec ( au ) + C a
2 313. ∫ tan ( au ) du =
tan ( au ) −u+C a
3 314. ∫ tan ( au ) du =
tan 2 ( au ) 1 + ln cos ( au ) + C 2a a
tan n+1 au
+C
( ) n 2 316. ∫ tan ( au ) sec ( au )du = a ( n + 1) + C
317. ∫
sec 2 ( au ) 1 du = ln tan ( au ) + C tan ( au ) a du
1
318. ∫ tan ( au ) = a ln sen ( au ) + C 2 319. ∫ u tan ( au )du =
u tan ( au ) 1 u2 + 2 ln cos ( au ) − +C 2 a a
1
303. ∫ sen ( au ) cos ( au ) = a ln tan ( au ) + C 304.
u
tan n−1 au
n
du
sen ( au )
π au ln tan ± + C 8 2
( ) n n− 2 315. ∫ tan ( au ) du = a ( n − 1) − ∫ tan ( au )du
2
u 2 2 302. ∫ sen ( au ) cos ( au ) du = 8 −
2
Fórmulas con
1 au 1 au tan + tan 3 + C 2 6a 2 2a
299. ∫ sen ( pu ) cos ( qu )du = −
1
311. ∫ sen ( au ) ± cos ( au ) du = 2a ln sen ( au ) ± cos ( au ) ± 2 + C
1 au 1 au cot − cot 3 + C 2 6a 2 2a
298. ∫ sen ( au ) cos ( au )du =
du
309. ∫ sen ( au ) ± cos ( au ) = a
310. ∫ sen ( au ) ± cos ( au ) du = 2 ∓ 2a ln sen ( au ) ± cos ( au ) + C
au +C 2
295. ∫ 1 + cos ( au )du = a tan 296. ∫
sen (( a + b ) u )
au +C 2
293. ∫ 1 − cos ( au ) du = − a cot 294. ∫ 1 + cos ( au ) = a tan
−
Fórmulas con 1
320. ∫ cot ( au ) du = a ln sen ( au ) + C 321. ∫ cot 2 ( au ) du = −
cot ( au ) −u+C a
3 322. ∫ cot ( au ) du = −
cot 2 ( au ) 1 − ln sen ( au ) + C 2a a
cot n−1 au
( ) n 2 323. ∫ cot ( au ) csc ( au ) du = − a ( n + 1) + C
324. ∫
csc 2 ( au ) 1 du = − ln cot ( au ) + C cot ( au ) a
Cálculo integral • José Alfredo Ramos Beltrán
Formulario A ➟ Integrales
du
1
325. ∫ cot ( au ) = − a ln cos ( au ) + C 2 326. ∫ u cot ( au ) du = −
u cot ( au ) 1 u2 + 2 ln sen ( au ) − +C 2 a a
2 340. ∫ u csc ( au ) du = −
n 341. ∫ csc ( au ) du = −
287
u cot ( au ) 1 + 2 ln sen ( au ) + C a a
csc n−2 ( au ) cot ( au ) n − 2 + csc n−2 ( au ) du a ( n − 1) n −1 ∫
cot n−1 au
( ) n n− 2 327. ∫ cot ( au ) du = − a ( n − 1) − ∫ cot ( au ) du
Fórmulas con
u
328.
1 ln sec ( au ) + tan ( au ) + C a ∫ sec ( au )du = 1 π au ln tan + + C a 4 2
329.
2 ∫ sec ( au ) du =
tan ( au ) +C a
330.
3 ∫ sec ( au ) du =
sec ( au ) tan ( au ) 1 + ln sec ( au ) + tan ( au ) + C 2a 2a
n 331. ∫ sec ( au ) tan ( au ) du =
332.
343. ∫ usen −1
sec ( au ) +C an
1
sec n−2 ( au ) tan ( au ) n − 2 + sec n−2 ( au ) du a ( n − 1) n −1∫
3
345.
1 ln csc ( au ) − cot ( au ) + C a ∫ csc ( au ) du = 1 au ln tan + C a 2
cot ( au ) +C a
csc ( au ) cot ( au ) 1 au + ln tan + C ∫ csc ( au ) du = − 2a 2 a 2 3
338. ∫ cscn ( au ) cot ( au ) du = − 339.
5
7
346. 347.
u u sen −1 sen −1 a 1 a + a2 − u 2 a +C ∫ u 2 du = − u − a ln u 2
csc ( au ) +C na n
cos ( au ) du ∫ csc ( au ) = − a + C
Cálculo integral • José Alfredo Ramos Beltrán
2
−1 u −1 u 2 2 −1 u ∫ sen a dx = u sen a − 2u + 2 a − a sen a + C u
u
348. ∫ cos−1 a du = u cos−1 a −
Fórmulas con
337.
)
u u u u sen −1 1 ⋅ 3 1⋅ 3⋅ 5 a a a u a ∫ u du = a + 2 ⋅ 3 ⋅ 3 + 2 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 5 + 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ 7 ⋅ 7 + ⋅ ⋅ ⋅
349. ∫ u cos−1
2 336. ∫ csc ( au ) du = −
(
2 2 a2 − u 2 u3 u u + 2a +C sen −1 + 3 a 9
n
u
335.
a2 − u 2 + C
u 2 a2 u u a2 − u 2 −1 u +C du = − sen + a 4 4 a 2
u
333. ∫ u sec2 ( au ) du = a tan ( au ) + a 2 ln cos ( au ) + C 334.
u
342. ∫ sen −1 a du = usen −1 a +
344. ∫ u 2sen−1 a du =
sen ( au ) du ∫ sec ( au ) = a + C
n ∫ sec ( au ) du =
Fórmulas con funciones trigonométricas inversas
u 2 a2 u u a2 − u 2 −1 u +C du = − cos − a 4 4 a 2 u
350. ∫ u 2 cos−1 a du = 351. 352.
a2 − u 2 + C
(
)(
)
u 2 − 2a2 a2 − u 2 u3 u +C cos −1 − a 3 9
u u cos−1 sen −1 a a π ∫ u du = 2 ln (u ) − ∫ u du u u cos−1 cos−1 a 1 a + a2 − u 2 a +C ∫ u 2 du = − u + a ln u
353. ∫ cos
−1
2
2
u −1 u 2 2 −1 u du = u cos − 2u − 2 a − u cos + C a a a
u
u
a
354. ∫ tan −1 a du = u tan −1 a − 2 ln (u 2 + a 2 ) + C
Alfaomega
288
Formulario A ➟ Integrales
1
u
u
355. ∫ u tan −1 a du = 2 (u 2 + a 2 ) tan −1 a − u
356. ∫ u 2 tan −1 a du =
2 u3 a3 u au tan −1 − + ln u 2 + a 2 + C a 3 6 6
(
3
5
357. 358.
u tan −1 a u −1 u 1 u 2 + a 2 ∫ u 2 du = − a tan a − 2a ln u 2 + C
359.
a u −1 u 2 2 ∫ cot a du = u cot a + 2 ln u + a + C
360.
1 2 au u 2 −1 u ∫ u cot a du = 2 u + a cot a + 2 + C
(
−1
(
−1
u
)
7
u u u u tan −1 a u a a a ∫ u du = a − 32 + 52 − 72 + ⋅ ⋅ ⋅
361. ∫ u 2 cot −1 a du =
371.
au +C 2
372. ∫
363.
2
au
u
du
374. ∫ p + peau
)
375. ∫
)
(
du p + qeau
2 u3 a3 u au cot −1 + − ln u 2 + a 2 + C a 3 6 6
(
eau a eau + du n−1 ∫ n − 1 u n−1 ( n − 1) u
=
)
2
u 1 ln p + qeau + C − p ap
(
u u cot −1 cot −1 a a 1 u 2 + a2 ∫ u 2 du = − u + 2a ln u 2 + C
du
au
(
sen ( bu )du =
u m+1 1 u m+1 u sen −1 − du a m + 1 ∫ a2 − u 2 m +1
378. ∫ e
au
cos ( bu ) du =
365. ∫ u m cos−1 u du =
u m+1 1 u m+1 u cos −1 + du ∫ a m + 1 a2 − u 2 m +1
379. ∫ e
au
ln ( u )du =
366. ∫ u m tan −1 u du =
u m+1 a u m+1 u tan −1 − du 2 ∫ a m + 1 u + a2 m +1
a
a
367.
u m+1 a u m+1 m −1 u −1 u ∫ u cot a du = m + 1 cot a + m + 1 ∫ u 2 + a2 du
368. ∫ eau du = e
au
a
+C
1 u − + C a a
369. ∫ ueau du = e 370. ∫ u 2 eau du =
Alfaomega
au
eau 2 2u 2 + +C u − a a a2
q p +C q + − p − −
a2 − b2
+C
eau a cos ( bu ) + bsen ( bu ) a2 + b2
+C
eau ln ( u ) 1 eau − ∫ du a a u
Fórmulas con 380. ∫ ln (u ) du = u ln (u ) − u + C 2
Fórmulas con
)
p au e +C q
eau asen ( bu ) − b cos ( bu )
364. ∫ u msen −1 u du = a
(
)
1 tan −1 a pq au = e 1 ln 2 a − pq au e
376. ∫ peau + qe− au
377. ∫ e
)
u 1 1 + − 2 ln p + qeau + C p 2 ap p + qeau ap
=
)
u u cot tan −1 a a π = − du u du ln ( ) ∫ ∫ u u 2
3
eau au ( au ) ( au ) + + + ⋅⋅⋅ du = ln ( u ) + u 1 ⋅ 1! 2 ⋅ 2! 3 ⋅ 3!
373. ∫ e n du = −
−1
362.
u n eau u n enau nn−1 au n−1 au − ∫−u ∫e u due du a aa a n au n au u e u du e = du = n− 2 n− 2 au au n−1 n−1 ∫ ∫ n ( n −n1()nu− 1) u (⋅ −⋅ ⋅1+)n(n−!1)n+n! + C ∀ =∀ n = e uen − unun − nu + + 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + + n C a a a a a a2 a n a n
381. ∫ ln (u ) du = u ln (u ) 382. ∫ ln (u )
n
− 2u ln ( u ) + 2u + C n
n−1
du = u ln ( u ) − n ∫ ln ( u ) du
383. ∫ u ln (u )du =
u2 2
384. ∫ u m ln (u )du = 385. ∫
2
1 ln ( u ) − 2 + C
u m+1 1 ln ( u ) − +C m + 1 m + 1
ln ( u ) 1 du = ln 2 ( u ) + C u 2
Cálculo integral • José Alfredo Ramos Beltrán
Formulario A ➟ Integrales
386. ∫
ln ( u ) ln ( u ) 1 − +C du = − u2 u u
404. ∫
387. ∫ ln 2 (u )du = u ln 2 (u ) − 2u ln (u ) + 2u + C 388. ∫
du
390. 391.
u + a 2 2 2 2 ∫ ln u − a du = u ln u − a − 2u + a ln u − a + C
(
)
(
)
2
2
(
)
407. ∫ u cosh ( au ) du =
)
Fórmulas con 1
392. ∫ senh ( au )du = a cosh ( au ) + C 393.
u cosh ( au ) senh ( au ) ∫ usenh ( au ) du = a − a2 + C
394.
u2 2 2u ∫ u senh ( au ) du = a + a 3 cosh ( au ) − a2 senh ( au ) + C
395.
senh ( au ) ( au ) ( au ) ∫ u du = au + 3 ⋅ 3! + 5 ⋅ 5! + ⋅ ⋅ ⋅
396.
senh ( au ) senh ( au ) ∫ u 2 du = − u + a ∫ cosh ( au ) du
3
5
399.
usenh ( 2 au ) cosh ( 2 au ) u 2 ∫ usenh ( au )du = 4 a − 8a2 − 4 + C
400.
coth ( au ) du ∫ senh2 ( au ) = − a + C
402.
2
u 2 412. ∫ cosh ( au )du = 2 +
senh ( au ) cosh ( au ) +C 2a
u 2 413. ∫ u cosh ( au )du = 4
+
−
usenh ( 2 au ) cosh ( 2 au ) − +C 4a 8a2
tanh ( au ) +C a
n 417. ∫ cosh ( au )du =
2 ( p − q)
+C
u m cosh ( au ) m m−1 m − ∫ u cosh ( au ) du ∫ u senh ( au ) du = a a
n 403. ∫ senh ( au )du =
cosh ( au ) cosh ( au ) senh ( au ) + a∫ du = − du u2 u u
416. ∫ u m cosh ( au )du =
2
senh ( p − q ) u
6
410. ∫
415. ∫ cosh ( pu ) cosh ( qu ) du =
398.
4
cosh ( au ) ( au ) + ( au ) + ( au ) + ⋅ ⋅ ⋅ du = ln ( u ) + 2 ⋅ 2! 4 ⋅ 4! 6 ⋅ 6! u
du
senh ( au ) cosh ( au ) u − +C ∫ senh ( au )du = 2a 2
2 ( p + q)
2
409. ∫
414. ∫ cosh 2 ( au ) =
2
401. ∫ senh ( pu ) senh ( qu ) du =
2u cosh ( au ) u 2 2 + + 3 senh ( au ) + C a2 a a
2
au +C 2
senh ( p + q ) u
cosh ( au )du = −
du
397. ∫ senh ( au ) = a ln tanh
2
usenh ( au ) cosh ( au ) − +C a a2
411. ∫ cosh ( au ) = a tan −1 ( eau ) + C
2
1
du
senh ( au ) +C a
406. ∫ cosh ( au )du =
−1
408. ∫ u
du
n−2
Fórmulas con
u ∫ ln u + a du = u ln u + a − 2u + 2a tan a + C
(
cosh ( au )
du
389. ∫ u ln (u ) = ln ( ln (u )) + C 2
senh ( au ) senh ( au ) cosh ( au ) a + du = − du un ( n − 1) u n−1 n − 1 ∫ u n−1
405. ∫ senh n ( au ) = − a ( n − 1) senh n−1 ( au ) − n − 1 ∫ senh n−2 ( au )
ln n ( u ) ln n+1 ( u ) +C du = u n +1
2
289
senh ( p − q ) u 2 ( p − q)
+
senh ( p + q ) u 2 ( p + q)
+C
u m senh ( au ) m m−1 − ∫ u senh ( au ) du a a
cosh n−1 ( au ) senh ( au ) n − 1 + cosh n−2 ( au ) du an n ∫
418. ∫
cosh ( au ) cosh ( au ) senh ( au ) a + du = − du un ( n − 1) u n−1 n − 1 ∫ u n−1
419. ∫
senh ( au ) du n−2 du = + cosh n ( au ) a ( n − 1) cosh n−1 ( au ) n − 1 ∫ cosh n−2 ( au )
senh n−1 ( au ) cosh ( au ) n − 1 − senh n−2 ( au ) du an n ∫
Cálculo integral • José Alfredo Ramos Beltrán
Alfaomega
Formulario B ➟ Derivadas
291
➠ Formulario B: Derivadas
En este formulario: c es una constante real, f , g y u son funciones derivables en x . FÓRMULAS GENERALES 1.
d (c) = 0 dx
2.
d d ( cf ( x )) = c ( f ( x )) dx dx
3.
d [ f ( x ) ± g( x ) ] = f ′ ( x ) ± g′ ( x ) dx
4.
d [ f ( x )g ( x ) ] = f ( x )g ′ ( x ) + g ( x ) f ′ ( x ) dx
5.
d f ( x ) g ( x ) f ′ ( x ) − f ( x )g ′ ( x ) = dx g( x ) [ g( x )]2
6.
d du f ( u ) = f ′(u ) dx dx
7.
d n du u = nu n−1 dx dx
( )
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 8.
d (sen x ) = cos x dx
FUNCIONES LOGARÍTMICAS 20.
x x e )=e ( dx
21.
x x a ) = a ln a ( dx
22. 23. 24. 25. 26.
d
d
d dx d dx
( ln x ) =
1 x
(log a x ) =
1 x ln a
x x e )=e ( dx d
d dx
d
(a x ) = a x ln a ( ln x ) =
1
9.
d (cos x ) = −sen x dx
10.
d ( tan x ) = sec2 x dx
11.
d (cot x ) = − csc2 x dx
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
12.
d (sec x ) = sec x tan x dx
28.
13.
d (csc x ) = − csc x cot x dx
−1 sen x ) = ( dx
14.
d du (sen u ) = cos u dx dx
29.
−1 cos x ) = − ( dx
15.
d du ( cos u ) = −senu dx dx
30.
16.
d du ( tan u ) = sec2 u dx dx
1 −1 tan x ) = ( 2 dx 1+ x
31.
1 −1 cot x ) = − ( 2 dx 1+ x
32.
(sec−1 x ) = x dx
17.
d du ( cot u ) = − csc2 u dx dx
18.
d du (sec u ) = sec u tan u dx dx
19.
d du ( csc u ) = − csc u cot u dx dx
Cálculo integral • José Alfredo Ramos Beltrán
27.
dx d dx
x
(log a x ) =
1 x ln a
d
1 1− x
2
1
d
1− x
2
d
d
d
1 x
2
−1
Alfaomega
292
33.
Formulario B ➟ Derivadas
d dx
(
csc
−1
)
x =−
1 x x
2
−1
34.
d (sen−1u ) = 1 2 du dx 1 − u dx
35.
du d 1 cos−1 u = − dx 1 − u 2 dx
36.
d ( tan−1 u ) = 1 +1u 2 du dx dx
37.
(
)
49.
d du ( coth u ) = − csc h 2u dx dx
50.
d du (sec hu ) = − sec hu tanh u dx dx
51.
d du ( csc hu ) = − csc hu coth u dx dx
FUNCIONES HIPERBÓLICAS INVERSAS 52.
d 1 du cot −1 u = − dx 1 + u 2 dx
d 1 sen h −1 x = dx 1 + x2
53.
38.
du d 1 sec −1 u = dx u u 2 − 1 dx
d 1 cosh −1 x = 2 dx x −1
54.
39.
d ( csc−1 u ) = − 12 du dx u u − 1 dx
1 d tanh −1 x = dx 1 − x2
55.
1 d coth −1 x = − dx 1 − x2
FUNCIONES HIPERBÓLICAS
56.
d 1 sec h −1 x = − dx x 1 − x2
57.
d csc h −1 x = − dx x
58.
d du 1 sen h −1 u = 2 dx 1 + u dx
59.
d du 1 cosh −1 u = dx u 2 − 1 dx
60.
1 du d tanh −1 u = dx 1 − u 2 dx
61.
1 du d coth −1 u = − dx 1 − u 2 dx
62.
d du 1 sec h −1u = − dx u 1 − u 2 dx
63.
du d 1 csc h −1u = − 2 dx u u + 1 dx
40.
(
(
)
)
d (sen h x ) = cosh x dx
41.
d ( cosh x ) = sen h x dx
42.
d ( tanh x ) = sec h2 x dx
43.
d (coth x ) = − csc h2 x dx
44.
d (sec hx ) = − sec hx tanh x dx
45.
d (csc hx ) = − csc hx coth x dx
46.
d du (sen h u ) = cosh u dx dx
47.
d du ( cosh u ) = sen h u dx dx
48.
d du ( tanh u ) = sec h 2u dx dx
Alfaomega
(
(
( (
( (
(
(
(
(
(
(
)
)
)
)
)
)
1
x2 + 1
)
)
)
)
)
)
Cálculo integral • José Alfredo Ramos Beltrán
FORMULARIO C ➟ ÁLGEBRA, GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA
293
➠ Formulario C: Álgebra, Geometría y Trigonometría Figuras geométricas Triángulo rectángulo
b
Triángulo equilátero
a
a
Cuadrado
b
a
h
A=
1 1 ch = ab 2 2
c
,
P = a + b + c , c2 = a2 + b2
h=
Rectángulo
3 a 2
a
,
A=
a
3 2 a , P = 3a 4
A = a2 , P = 4a
Romboide
Trapezoide a
h
h
h
b
b
b
P = 2b + 2 h, A = bh
A = bh
1 A = (a + b )h 2
Círculo
Corona circular
Sector circular
r
r
θ
R
s
r
A = π r 2 , P = 2π r
A = π ( R − r ), P = 3a
Esfera
Cono circular recto
2
A=
2
1 2 r θ, s = rθ 2
Cilindro circular recto
h h r 4 V = π r 3 , S = 4π r 2 3
CÁLCULO INTEGRAL • JOSÉ ALFREDO RAMOS BELTRÁN
r r
1 V = π r 3, S = π r r 2 + h 2 3
V = π r h , S = 2π rh lateral 2
S = 2π rh + 2π r 2 total
Alfaomega
294
FORMULARIO C ➟ ÁLGEBRA, GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA
Elipse
Elipsoide
Paralelepípedo rectangular
b
b
h
a
c
a
a
b A = π ab
V = abh, S = 2 ( ab + ah + bh )
4 A = π abc 3
Pirámide
Cono truncado
Pirámide Regular
r1
h
h
h H
r2
V=
1 V = π h(r12 + 2 r1 r2 + r22 ) 3
1 abh 3
V=
a
aH 1 h 2 3
➠ Álgebra Fórmula cuadrática ax 2 + bx + c = 0 −b ± b − 4 ac 2a Discriminante b 2 − 4 ac x1,2 =
2
Desarrollo de productos notables y factorización ( x ± y )2 = x 2 ± 2 xy + y2 ( x ± y )3 = x 3 ± 3( x )2 ( y ) + 3( x )( y )2 ± y 3 n 1 n−1 n n n n n n−1 1 n n−2 2 x + x y + x y + ⋅⋅⋅ + x y + y ∀n = 0 1 2 n n − 1
( x + y )n =
n n! = Donde k k ! ( n − k )!
(x (x
Alfaomega
2 3
) ± y ) = ( x ± y)( x
− y 2 = ( x + y )( x − y ) 3
2
∓ xy + y 2
)
CÁLCULO INTEGRAL • JOSÉ ALFREDO RAMOS BELTRÁN
Formulario C ➟ Álgebra, Geometría y Trigonometría
Reglas de exponentes y radicales x m x n = x m+n
(x )
m n
=x
Valores de exponenciales, propiedades de los logaritmos e− n =
1
e0 = 1
xn = n x
m⋅n
x = x m−n xn 1 x−m = m x
n m
x =
m
( xy ) = n x n y
n
x = y
( xy )n = x n yn m n x
n n
e∞ → ∞
n
n
n
xn x y = y n
( x)
1 en
e−∞ → 0
n
x m = m xn
m
295
eln( x ) = x a loga x = x log a ( x ) =
x y
log10 ( x ) log10 ( a )
ln ( x ) = log e x
= mn x
ln ( x ) + ln ( y ) = ln ( xy ) x ln ( x ) − ln ( y ) = ln y
( )
n ln ( x ) = ln x n
log a ( x ) + log a ( y ) = log a ( xy ) x log a ( x ) − log a ( y ) = log a y
( )
b log a ( x ) = log a x b
➠ Geometría analítica Distancia entre dos puntos d=
Pendiente de una recta m=
( x2 − x1 )2 + ( y2 − y1 )2 y
∆y y2 − y1 = ∆x x2 − x1
y
(x2 , y2) P2
P2 (x2 , y2)
∆y
(x1 , y1)
(x1 , y1)
P1
P1
∆x
P3 (x2 , y1)
x Ecuación de la recta punto-pendiente
Cálculo integral • José Alfredo Ramos Beltrán
x Puntos de intersección de la recta
Alfaomega
296
Formulario C ➟ Álgebra, Geometría y Trigonometría
Ecuación de la recta punto-pendiente y − y1 = m ( x − x1 )
Puntos de intersección de la recta x y + =1 a b
(x1 , y1)
∀a ≠ 0; b ≠ 0
y
y
(0 , b)
x x
(a , 0)
Ecuación de la circunferencia con centro en el origen
Ecuación de la circunferencia con centro fuera del origen.
x 2 + y2 = r 2
( x − h )2 + ( y − k ) 2 = r 2 y
y
r
r
x
(h , k) x
Parábola
x
Parábola
p p p x 2 = 2 py; Foco F= 0, ; Extremos Izq − p, ; Der p, 2 2 2
p p p x 2 = −2 py; Foco F= 0, − ; Extremos Izq − p, − ; Der p, − 2 2 2
Lado Recto Lr = 2 p; Recta Directriz y = −
Lado Recto Lr = 2 p; Recta Directriz y =
p 2
y
y
y= F
(-h ,
p 2
)
(0 ,
p ) 2
y = - 2p
Alfaomega
p 2
( p,
p 2
)
x
(-p , 2p )
p 2
x F
(0 ,- 2p
)
( p ,- 2p )
Cálculo integral • José Alfredo Ramos Beltrán
Formulario C ➟ Álgebra, Geometría y Trigonometría
Parábola
Parábola
p p p y 2 = 2 px; Foco F= , 0 ; Extremos Inf , − p ;Sup , p 2 2 2 p Lado Recto Lr = 2 p; Recta Directriz x = − 2
p p p y 2 = −2 px; Foco F= − , 0 ; Extremos Inf − , − p ;Sup − , p 2 2 2 p Lado Recto Lr = 2 p; Recta Directriz x = 2
y
y p ,p) 2
( p
x=-2
((-
x
F
(
p ,0 ) 2
(
p ,- p ) 2
(-
Elipse centro en el origen x 2 y2 + =1 a2 b2
p , p) 2 p ,0 ) 2
x
p ,- p ) 2
y2 x 2 + =1 a2 b2
dF= a 2 − b 2
dF= a 2 − b 2
F1 ( 0, − dF ); F2 ( 0, dF )
y
y
b
p
x=2
Elipse centro en el origen
F1 ( − dF , 0 ); F2 ( dF, 0 )
( 0, dF ) F2
a F2
F1 (- dF, 0)
297
dF
x
a
dF
(dF, 0) A
x
b
( 0, -dF )
Cálculo integral • José Alfredo Ramos Beltrán
F1
Alfaomega
298
Formulario C ➟ Álgebra, Geometría y Trigonometría
Hipérbola
Hipérbola x 2 y2 − =1 a2 b2
y2 x 2 − =1 a2 b2
dF= a 2 + b 2
F1 ( − dF , 0 ); F2 ( dF , 0 )
dF= a 2 + b 2
F1 ( 0, − dF ); F2 ( 0, dF )
y
y
F2 ( 0, dF ) F1
F2
(- dF, 0)
dF
dF
x
x
(dF, 0) F1 ( 0, -dF )
División de un segmento en una razón r=
x2 − x1 xr − x1
r=
Ecuación general de la recta Ax + By + C = 0
y2 − y1 yr − y1
y
P ( x1, y1 )
B ( x2 , y2 ) ( xr , yr ) R
Alfaomega
Entonces: dPr =
Ax1 + Bx2 + C A2 + B2
y P ( x1 , y1 )
D ( x2 , yr )
S
A ( x1 , y1 )
Distancia de un punto a una recta
dPr
x
x
E( xr , y1 )
C ( x2 , y1 )
Ax +By +C =0
Cálculo integral • José Alfredo Ramos Beltrán
277
➠ Formulario A: Integrales
En este formulario: a, b, p, q, C ∈ son constantes reales, m, n ∈ N son enteros positivos y u = u ( x ) y v = v( x ) son funciones que dependen x. Fórmulas básicas 1. 2.
20.
∫ 0 dx = C ∫ k dx = kx + C
3.
∫ ( a ⋅ u ± b ⋅ v )dx = a ∫ udx ± b ∫ vdx + C
4.
n ∫ u du =
5.
∫ u dv = uv − ∫ v du
6.
a +C ln(a )
∫a
n
du =
u n+1 + C; ∀ n ≠ −1 regla de la potencia n +1
22. ∫ csc(u )cot(u ) du = − csc(c) + C
Fórmulas trigonométricas hiperbólicas
n
7.
du ∫ u = ln | u | +C
8.
∫e
u
integración por partes
21.
u sen(2u ) + +C 2 4 2 ∫ cos (u ) du = 1 [ u + sen(u )cos(u )] + C 2 sec( u ) tan( u ) du = sec(u ) + C ∫
dx = e + C u
Fórmulas trigonométricas 9.
∫ sen(u ) du = − cos(u ) + C
10.
∫ cos(u ) du = sen(u ) + C
23. ∫ sen h(u ) du = cosh(u ) + C 24. ∫ cosh(u ) du = sen h(u ) + C 25. ∫ tanh(u ) du = ln [ cosh(u )] + C 26. ∫ coth(u ) du = ln [sen h(u )] + C sen −1 [ tanh(u )] + C u −1 2 tanh e + C
27. ∫ sech(u ) du =
( )
u ln tanh + C ∫ csch(u ) du = 2 −2 coth −1 eu + C
11. ∫ tan(u )du =
28.
12. ∫ cot(u ) du = ln [sen(u )] + C
29. ∫ sech 2 (u ) du = tanh(u ) + C
ln [ sen(u )] + C
− ln [ cos(u )] + C
13.
ln [ sec(u ) + tan(u )] + C sec( u ) du = u π ∫ ln tan 2 + 4 + C
14.
ln [ csc(u ) − cot(u )] + C csc( u ) du = u ∫ ln tan + C 2
15. ∫ sec
2
18. ∫ cot 2 (u ) du = − cot(u ) − u + C u sen(2u ) − +C 2 4 ∫ sen (u ) du = 1 [ u − sen(u )cos(u )] + C 2 2
Cálculo integral • José Alfredo Ramos Beltrán
( )
30. ∫ csch2 (u ) du = − coth(u ) + C 31. ∫ tanh
2
(u ) du = u − tanh(u ) + C
32. ∫ coth 2 (u ) du = u − coth(u ) + C 33.
sen h(2u ) u − +C 4 2 ∫ sen h (u ) du = 1 [ sen h(u )cosh(u ) − u ] + C 2
34.
sen h(2u ) u + +C 4 2 ∫ cosh (u ) du = 1 [ sen h(u )cosh(u ) + u ] + C 2
(u ) du = tan(u ) + C
16. ∫ csc2 (u ) du = − cot(u ) + C 17. ∫ tan 2 (u ) du = tan(u ) − u + C
19.
2
2
35. ∫ sech(u ) tanh(u ) du = − sech(u ) + C 36. ∫ csch(u )coth(u ) du = − csch(u ) + C
Alfaomega
3
278
Formulario A ➟ Integrales
Fórmulas con
Fórmulas con 1
du
37. ∫ au + b = a ln ( au + b ) + C u
u
b
du = − 2 ln ( au + b ) + C 38. ∫ au + b a a
39. ∫ u du = (au + 3b) au + b 2a 2
u3
40. ∫ au + b du = −
2
2b(au + b ) b 2 + 3 ln ( au + b ) + C a3 a
−
(au + b )3 3b(au + b )2 3b 2 (au + b ) b 3 − 4 ln(au + b ) + C − + a4 a 3a 4 2a 4
3b(au + b )2 3b 2 (au + b ) b 3 + − 4 ln(au + b ) + C 2a 4 a4 a
du =
1
du
a
=− + ln 42. ∫ 2 u (au + b ) bu b 2 du
=−
1 +C a(au + b )
u
58. ∫
u2 2(3a 2 u 2 − 4 abu + 8b 2 ) du = au + b + C 15 a 3 au + b
1
b
2b au + b b2 − ln(au + b ) + C − 3 a3 a (au + b ) a 3 du 1 1 u ∫ u(au + b)2 = b(au + b) + b2 ln au + b + C du a 1 2 a au + b ∫ u 2 (au + b)2 = − b2 (au + b) − b2u + b 3 ln u + C u2
1
du
=− +C 48. ∫ (au + b )3 2(au + b )2 1
u
b
du = − 2 + +C 49. ∫ (au + b )3 a (au + b ) 2 a 2 (au + b )2 1 50. ∫ u 3 du = 3 2b − 3 b + ln(au + b ) + C (au + b ) a (au + b ) 2 a (au + b )2 a 3 2
2
51. ∫ (au + b) du = (au + b) 2a
2
+C
52. ∫ (au + b)n du = (au + b) (n + 1)a
n+1
53. ∫ u(au + b) du = (au + b) 2 (n + 2)a n
2 n 54. ∫ u (au + b) du =
(au + b )n+ 3 2b(au + b )n+2 b 2 (au + b )n+1 +C − + (n + 1)a 3 (n + 3)a 3 (n + 2)a 3
+C
n+ 2
−
1 au + b − b +C ln b au + b + b du ∫ u au + b = au + b 2 tan −1 +C −b b −
61. ∫
du = 45. ∫ (au + b )2
47.
u 2(au − 2b ) du = au + b + C 3a 2 au + b
60. ∫ 2 u
au + b +C u
44. ∫ (au + b)2 du = a 2 (au + b) + a 2 ln(au + b) + C
46.
57. ∫
u
= ln 41. ∫ +C u (au + b ) b au + b
43. ∫ (au + b )2
2 au + b du = +C a au + b
59. 1
du
56. ∫
∀ n ≠ −1
b(au + b )n+1 (n + 1)a 2
au + b du =
62. ∫ u
2 (au + b )3 +C 3a
au + b du =
63. ∫ u 2
2(3au − 2b ) (au + b )3 + C 15 a 2
au + b du =
2(15 a 2 u 2 − 12 abu + 8b 2 ) (au + b )3 + C 105 a 3
64. ∫
au + b du du = 2 au + b + b ∫ u u au + b
65. ∫
au + b au + b a du + ∫ du = − u2 u 2 u au + b
66. ∫
um 2u m au + b 2 mb u m−1 du = du − (2 m + 1)a (2 m + 1)a ∫ au + b au + b
67. ∫ m u
du au + b (2 m − 3)a du =− − ( m − 1)bu m−1 (2 m − 2)b ∫ u m−1 au + b au + b
68. ∫ u m
au + b du =
3 2u m 2 mb (au + b ) 2 − u m−1 au + bdu (2 m + 3)a (2 m + 3)a ∫
69. ∫
au + b au + b a du du = − + ( m − 1)u m−1 2( m − 1) ∫ u m−1 au + b um
70. ∫
au + b au + b (au + b ) 2 (2 m − 5)a du = − − du um ( m − 1)bu m−1 (2 m − 2)b ∫ u m−1
3
∀ n ≠ −1, −2
(au + b )n+ 3 2b(au + b )n+2 b 2 (au + b )n+1 +C − + (n + 3)a 3 (n + 2)a 3 (n + 1)a 3 ∀n ≠ −1, −2, −3
du au + b a du =− − bu 2b ∫ u au + b au + b
m+ 2
∀n ≠ −1, −2, −3 m 2(au + b ) 2 +C 71. ∫ (au + b) 2 du = a( m + 2)
72.
m+ 4
m+ 2
2(au + b ) 2 2b(au + b ) 2 ∫ u(au + b) du = a2 (m + 4) − a2 (m + 2) + C m 2
u m+1 (au + b )n nb m+ 6 m+ 4 m+ 2 + u m (au + b )n−1 du 55. m 2b 2 (au + b ) 2 2(au + b ) 2 4 b(au + b ) 2 m + n +1 m + n +1∫ 2 2 ∫ u (au + b) du = a 3 (m + 6) − a 3 (m + 4) + a 3 (m + 2) + C 73. u m (au + b )n+1 mb m −1 n m n ( ) − u au + b du u au + b du = ( ) ∫ ∫ m+ 6 m+ 4 m+ 2 ( m + n + 1)a ( m + n +m 1)a 2 2 2 2 2 b ( au + b ) 2( au + b ) 4 b ( au b ) + u m+1 (au + bu)n2+(1au m 2 + 2= m +C + n+1 − 3au + b ) 3 3 ∫ + + b+) n du ( u du − a ( m + 2) a ( m + 4) (n + 1)b (n + 1)b ∫ a ( m + 6)
Alfaomega
Cálculo integral • José Alfredo Ramos Beltrán
279
Formulario A ➟ Integrales
m
m
74.
(au + b ) 2 2(au + b ) 2 (au + b ) ∫ u du = m + b ∫ u
75.
(au + b ) 2 (au + b ) ∫ u 2 du = − bu
m
76. ∫
du u (au + b )
=
m 2
m+ 2 2
m− 2 2
93. ∫ u
du m
94. ∫
am (au + b ) 2 + du 2b ∫ u
2 b( m − 2)(au + b )
m− 2 2
+
1 b∫
du u (au + b )
du
=
m− 2 2
+a
(u
)
du = ∫
)
2 n
du 2
1 1 du + 2 a 2 (n − 1)(u 2 + a 2 )n−1 a 2 ∫ u (u 2 + a 2 )n−1
=
2 n
+a
)
2 n
=
(u
u m− 2 2
+a
)
2 n−1
du − a 2 ∫
1 du a2 ∫ u m u 2 + a2
(
)
n−1
−
u m−2 du (u 2 + a 2 )n
1 du a 2 ∫ u m− 2 u 2 + a 2
(
96.
1
78. ∫ 2 2 du = ln (u 2 + a 2 ) + C u +a 2
1
u
97. ∫ 2 2 du = ln(u 2 − a 2 ) + C u −a 2
79. 80.
u3 u 2 a2 2 2 ∫ u 2 + a2 du = 2 − 2 ln u + a + C
81.
u2 du 1 ∫ u(u 2 + a2 ) = 2a2 ln u 2 + a2 + C
82.
du 1 1 −1 u ∫ u 2 (u 2 + a2 ) = − a2u − a 3 tan a + C
100. ∫
u 2 − a2 du 1 = 2 ln +C 2 u (u − a ) 2 a u 2
83.
u2 du 1 1 ∫ u 3 (u 2 + a2 ) = − 2a2u 2 − 2a 4 ln u 2 + a2 + C
101. ∫
du 1 1 u − a = + ln +C u 2 (u 2 − a 2 ) a 2 u 2 a 3 u + a
u 1 u = 2 2 + tan −1 + C a 2 a (u + a 2 ) 2 a 3
102. ∫
u2 du 1 1 = 2 2 − 4 ln 2 +C 2 2 u (u − a ) 2 a u 2a u − a 2
(
84. ∫ 85. ∫ 86. ∫ 87. ∫
(u (u (u (u
88. ∫ u
90. ∫ 3 u
92. ∫
(u (u
+ a2 u
2
+ a2 u2
2
+ a2 u
2
(u
89. ∫ 2 u
91. ∫
2
)
2
du = −
2
)
)
99. ∫ 2 u 2 du = u u −a 2 3
103. ∫
1 +C 2(u 2 + a 2 )
104. ∫
u 1 u du = − + tan −1 + C a 2(u 2 + a 2 ) 2 a
2
105. ∫
a 1 du = + ln(u 2 + a 2 ) + C 2(u 2 + a 2 ) 2
2
)
+ a2
du + a2
du + a2 u +a
106. ∫
1 1 u = 2 2 + +C 2 a (u + a 2 ) 2 a 4 u 2 + a 2
2 2
du
2
2
2
+a 2
98. ∫ 2 u 2 du = u + a ln u − a + C u −a 2 u + a
2
du
(u
2
)
2
3
+ a2
(u
2
)
) )
n
2 n
) )
2
2
n
1 u − a ln +C du 2a u + a ∫ u 2 − a2 = 1 −1 u − coth + C a a
u2 −1 u ∫ u 2 + a2 du = u − a tan a + C
du
)
Fórmulas con
1 −1 u tan + C a a
u
(u
+a
um 2
95. ∫ um
Fórmulas con 77. ∫ u 2 + a 2
(u
du 2
107. ∫
1 u 3 u =− 4 − 4 2 − tan −1 + C a a u 2 a (u + a 2 ) 2 a 5 =−
1 1 1 u2 − 4 2 − 6 ln 2 +C 4 2 2 2a u 2 a (u + a ) a u + a 2
u 2n − 3 =− 2 + 2 a (n − 1)(u 2 + a 2 )n−1 (2 n − 2)a 2 du = −
∫
(u
1 +C 2(n − 1)(u 2 + a 2 )n−1
Cálculo integral • José Alfredo Ramos Beltrán
du 2
+ a2
)
n−1
108. ∫ 109. ∫ 110. ∫
2
+
a2 ln(u 2 − a 2 ) + C 2
2
3
(u
du − a2
2
)
=−
2
u 1 u − a − ln +C 2 a 2 (u 2 − a 2 ) 4 a 3 u + a
u 1 du = − +C (u 2 − a 2 )2 2(u 2 − a 2 )
( (
u2 u − a2 2
u3 u 2 − a2
)
2
du = −
u 1 u − a + ln +C 4a u + a 2 u 2 − a2
)
2
du = −
a 1 + ln u 2 − a 2 + C 2 2 u 2 − a2
du
(
u u −a 2
(
)
du
u 2 u 2 − a2
(
du
u u −a 3
(u
2
du 2
− a2
=−
2 2
)
n
) )
2
2 2
(
)
(
(
)
)
u2 1 1 + 4 ln 2 +C 2a u − a 2 2a2 u 2 − a2
(
)
=−
u 3 1 u − a − − 5 ln +C u + a 4a a 4 u 2a 4 u 2 − a2
=−
1 1 1 u2 − + 6 ln 2 +C 2a 4 u 2 2a 4 u 2 − a2 a u − a 2
=−
(
)
(
u
(
2 a 2 ( n − 1) u 2 − a 2
)
)
n−1
−
2n − 3
du
( 2n − 2 ) a 2 ∫ (u 2 − a 2 )n−1
Alfaomega
280
Formulario A ➟ Integrales
111. ∫
(u
112. ∫ u 113. ∫
u −a
2
(u
(u
du
−a
2
um 2
114. ∫ m u
)
2 n
−a
(u
du = −
)
)
2 n
− a2
)
=
n
2 ( n − 1) u − a 2
)
2 n−1
1
(
2 a ( n − 1) u − a 2
du = ∫
du 2
=−
2 n
(
1
(u
u m− 2 2
−a
2
)
2 n−1
)
2 n−1
du + a 2 ∫
1 du a 2 ∫ u m− 2 u 2 − a 2
(
)
n
+
128. ∫
+C 1 du − 2∫ a u u 2 − a2
(
(u
u m−2 2
− a2
)
n
)
n−1
130. ∫
du
1 du a2 ∫ u m u 2 − a2
(
)
n−1
115.
1 a + u ln +C 2a a − u
(a
−u
(a
2
− u2
1 u tanh −1 + C a a
u u 1 u 116. ∫ 2 2 du = − ln ( a 2 −∫uu22) +uC2 + a 2 du = ( 2 a −u
+a
4
)
=
)
u
)
u +a 2
133. ∫ u 2 −
)
2 n
118. ∫ 2 u 2 du = − u 2 a −u 119.
−
(
)
)
120. ∫
du 1 1 a + u = 2 + 3 ln +C a u 2a a − u u 2 a2 − u 2
136. ∫
121. ∫
u2 du 1 1 = − 2 2 + 4 ln 2 +C 2 2 a u a 2 2 a − u 2 u a −u
137. ∫
122. ∫ 123. ∫ 124. ∫ 125. ∫ 126. ∫ 127. ∫
(
3
(
(a
2
)
)
du −u
)
u
(
a2 − u 2
(
a − u2
u2 2
(a
u 2
)
du =
)
2
du =
)
2 2
du
(
u a −u 2
(
du 2
Alfaomega
du =
)
2 2
u a −u 2
u 1 a + u + 3 ln +C 4a a − u 2a a2 − u 2 2
2
3
−u
=
2 2
)
2 2
=
(
)
1 +C 2 a2 − u 2
(
)
3
2
u
u2
u 2 + a2 u3
138. ∫
u 2 + a2
)
)
u2 1 1 + 4 ln 2 +C 2 2 2a a − u 2 2a a − u
=−
2
(
)
1 u 3 a + u + + 5 ln +C a − u 4a a 4 u 2a 4 a2 − u 2
(
)
+C
)
+ a2
2
3
(
)
3 2
+C
u u 2 + a2 4
)
3 2
−
(
2
(u du =
2
+ a2 5
)
5 2
−
(
(
a2 u 2 + a2 3
)
3 2
+C
)
u
du = u 2 + a 2 + C du =
du =
(
)
u u 2 + a2 a2 − ln u + u 2 + a 2 + C 2 2
(u
2
+ a2 3
)
3 2
− a2 u 2 + a2 + C
2
du
2
u +a 2
du
2
u 2 + a2
=−
u 2 + a2 +C a 2u
=−
a + u 2 + a2 u 2 + a2 1 + 3 ln +C 2 2 2a u 2a u
142. ∫
a + u 2 + a2 u 2 + a2 du = u 2 + a 2 − a ln +C u u
143. ∫
u 2 + a2 u 2 + a2 + ln u + u 2 + a 2 + C du = − 2 u u
(
)
a 2u u 2 + a 2 a 4 − ln u + u 2 + a 2 + C 8 8
1 a + u 2 + a2 = − ln +C a u u +a 2
141. ∫ u 3
(
n−1
du
a 1 + ln a 2 − u 2 + C 2 2 a − u2
(
u +a 2
u 2 + a2
140. ∫
2
)
du
2 2 ln u + u + a + C = u u 2 + a2 sen h −1 + C a
139. ∫ u
)
2
(
2n − 3
( 2n − 2 ) a 2 ∫ ( a 2 − u 2 )n−1
)
u 1 a + u − ln +C 4a a − u 2 a2 − u 2
(
1
+
(
du
135. ∫
u2 du 1 ∫ u a2 − u 2 = 2a2 ln a2 − u 2 + C
(
)
2 n−1
u u 2 + a2 a2 + ln u + u 2 + a 2 + C 2 2
u + a du = 2
(
134. ∫ u
a ln a 2 − u 2 + C 2 2
2
2 a 2 ( n − 1) a 2 − u 2
(u du =
2
2
2
(
2 a ( n − 1) a − u 2
)
a2u u 2 + a 2 a 4 − ln u + u 2 + a 2 + C 8 8
117. ∫ 2 u 2 du = −u + a ln a + u + C a −u 2 a − u 3
(
u
du =
n
1 1 1 u2 + 4 2 + 6 ln 2 +C 4 2 2 2a u a a − u 2 2a a − u
=−
2 2
u 2 + a 2 du =
132. ∫ u
3 2 2
du
2
131. ∫
2
2
Fórmulas con
Fórmulas con du = ∫ a2 − u 2
129. ∫
(
du
u a −u 3
)
Cálculo integral • José Alfredo Ramos Beltrán
Formulario A ➟ Integrales
u 2 + a2 u 2 + a2 1 a + u 2 + a2 du = − − ln +C 3 2 u 2u 2a u
144. ∫ 145. ∫ 146. ∫ 147. ∫ 148. ∫ 149. ∫ 150. ∫ 151. ∫
u
1
u +a
2
(u
2
2
+a
3 2 2
)
4
2
−
2a
3
4
u +a 2
2
+
du
(u
2
+a u
(u
2
+a u2
(
u +a 2
u
(u
2
) ) ) )
u u +a
)
du
(
u 2 u 2 + a2
)
du
(
u 3 u 2 + a2
)
152. ∫ (u
3 2
3 2
2
+a
3 2 2
)
2 2 154. ∫ u (u + a )
(
a 2u u 2 + a 24
)
−
a
=−
2a 2u 2 u 2 + a 2
(
u u 2 + a2 4
du =
(u
du =
2
+a
2
+a u
)
+
)
3 2
2
+C
−
2
+a u2
)
du = −
u2
u −a 2
2
u3
161. ∫
3 2
du = −
2a 4
)
166.
2u
u 2 − a2
(u
2
+a u
)
+
a + u 2 + a2 3 2 3 u + a 2 − a ln +C 2 2 u
+
)
du = u 2 − a 2 + C
(
2
(
)
u u 2 − a2 a2 + ln u + u 2 − a 2 + C 2 2
du =
(u du =
du
u
u −a
3
2
2
2
− a2 3
)
3 2
+ a2 u 2 − a2 + C
u 2 − a2 1 u + 3 sec −1 + C a 2a 2u 2 2a
=
u 2 − a 2 du =
∫
(
3 2 2 2
()
3 24 2
167. ∫ u
(u
u − a du =
2
2
2
)
2
2
6
(
2
a + u 2 + a2 u 2 + a 2 − a 3 ln +C u
− a2
2
3
(
)
Cálculo integral • José Alfredo Ramos Beltrán
)
2
2
3 2
+C
u u 2 − a2 4
)
u −a
3
)
(u du =
2
− a2 5
)
)
5 2
3 2
+
+
(
(
a u 2 − a2 3
)
3 2
+C
u 2 − a2 u du = u 2 − a 2 − a sec −1 + C a u
170. ∫
u 2 − a2 u 2 − a2 + ln u + u 2 − a 2 + C du = − 2 u u
171. ∫
u 2 − a2 u 2 − a2 1 u + du = − sec −1 + C 3 a u 2u 2 2a
172. ∫
(
du
(u
2
−a
3 2 2
)
=−
u
a2 u 2 − a2
)
a 2u u 2 − a 2 a 4 − ln u + u 2 − a 2 + C 8 8
169. ∫
3u u 2 + a 2 3 2 + a ln u + u 2 + a 2 + C 2 2
(
)
(
)
u u 2 − a2 a2 − ln u + u 2 − a 2 + C 2 2
2 2 ∫ u u − a du =
168. ∫ u
3 2 2
2
3 2
(
u u +a a u u + ua u − aa u u +2 a 2 a 2 a u u− − aln ua+4 u 2 + a 2 2+ C 2 2 2 2 − + − ln u + u − a + C ∫6 u u −− a du24= 16 4 8 16 8 2
)
+ a2
= ln u + u 2 − a 2 + C
+C
)
2
du 1 u = sec −1 + C a + u 2 +162. 3 a2 ∫ u u 2 − a2 a a + 5 ln +C u u 2 + a2 2a 2 2 163. ∫ 2 du2 2 = u 2− a + C au u u −a
(
5 2 2
(u
3
3u u 2 + a 2 3 2 + a ln u + u 2 + a 2 + C 2 2
(
u
u 2 − a2
160. ∫
)
3 2 2
u 2 − a2
159. ∫
3a 2 u u 2 + a 2 3 4 + + a ln u + u 2 + a 2 + C 8 8 165.
)
u
3
)
du
158. ∫
164. ∫
5 2 2
5
(
)
+ a2
a + u 2 + a2 3 2 3 u + a 2 − a ln +C 2 2 u
1 a + u 2 + a2 ln +C a3 u
−
1
(
∫
(u
+
a4u u 2 + a2 a6 − ln u + u 2 + a 2 + C 16 16
156. (u −
2u
)
2
2
Fórmulas con
u 2 + a2
3 (u 2 + a 2 ) 23 (u 2 + a2 )2 + a2 du = 155. ∫ u 3
3 2 2
+a
+ ln u + u 2 + a 2 + C
u + a2
)
3 2 2
2
u 2 + a2 u =− − +C 4 a4u a u 2 + a2
du =
(
(u
(
u
2
a2 u 2 + a2
du = −
3 2 2
+C
u + a2
3a 2 u u 2 + a 2 3 4 + + a ln u + u 2 + a 2 + C 8 8
3 2 2
u
)
3
a + u 2 + a2 3 ln +C 5 2a u
153. ∫ u (u 2 + a )
−
1
2
1
=
3 2 2
3 2 2
5 2
∫
du = u 2 + a 2 +
3 2 2
2
(
2 + Cu + a
u 2 + a2
du = −
3 2 2
3
+a
a
u
2
du = −
3 2 2
du
(
=
3 2 2
3 2 2
157. ∫
(u
281
)
+C
Alfaomega
282 173. ∫ 174. ∫ 175. ∫ 176. ∫ 177. ∫ 178. ∫
Formulario A ➟ Integrales
u
(u
−a
2
u2
(u
−a
2
3 2 2
)
3 2 2
)
u3
(u
)
− a2
2
(
)
du
(
(
u u −a
+ ln u + u − a
u 2 − a2
=−
3 2
)
3 2 2
a2
u 2 − a2
)
1
−
191. ∫ 192. ∫
3
2a 4 u 2 − a2
−
)
5 3 1 = 2u u 2 − a 2 u 2 − a 2 − a 4 ln − u + u 2 − a 2 + C 8 16 8
5 2
180. ∫ u (u
−a
3 2 2
)
(u du =
+
(
a 2u u 2 − a
(u =−
24
)
−
(
(
183. ∫
−a u
)
5 2 2
)
6
+
(
a 2u u 2 − a 24
)
3
2
+C
a4u u 2 − a2 a6 + ln u + u 2 − a 2 + C 16 16 3 2 2 182. ∫ u (u − a ) 2 du =
3 2 2
5
5 2
u u2 − a
3
181. ∫ u 2 (u 2 − a2 ) 2 du = 3 2 2
)
− a2
2
184. ∫
(
u −a 2
3 2 2
)
u
(u
2
−a
3 2 2
u2
)
du =
(
(u
2
u −a
du = −
2
185. ∫
(u
2
− a2
2
u3
3 2
(u du = −
)
−a
2
− a2
2u 2
+
)
)
3 2
+
187. ∫
5
)
2
u = sen −1 + C a a2 − u 2
u
a −u
Alfaomega
2
du = − a 2 − u 2 + C
=−
a2 − u 2 +C a2u
=−
a + a2 − u 2 a2 − u 2 1 − 3 ln +C 2 2 2a u 2a u
2
u 3 a2 − u 2
u a2 − u 2 a2 u + sen −1 + C a 2 2
a 2 − u 2 du =
a −u 2
2
(a du = −
195. ∫ u
2
a − u du = −
196. ∫ u
3
a −u
199. ∫
+C
200. ∫ 201. ∫
(
)
202. ∫ 203. ∫ 204. ∫
du
2
a −u 2
2
2
2
(
3u u − a 3 − a 2 ln u + u 2 − a 2 + C 2 2 2
− a2 a2 − u 2 + C
3
(
)
3 2
+C
u a2 − u 2
(a du =
2
− u2
2
2
4
− u2 5
)
5 2
)
3 2
a 2u a 2 − u 2 a 4 u + sen −1 + C a 8 8
+
(
a2 a2 − u 2
−
3
)
3 2
+C
a + a2 − u 2 a2 − u 2 du = a 2 − u 2 − a ln +C u u a4u u 2 − a2 a6 − + ln u + u 2 − a 2 + C 16 16 2 2 2 2 198. ∫ a −2 u du = − a − u − sen −1 u + C u u a
3 u 2 − a2 3 u + − a sec −1 + C a 2 2
Fórmulas con 186. ∫
(
a2 u 2 − a
5 2 2
)
3 2
2
du
2
197. ∫
u − a 2 u 2 − a 2 + a 3 sec −1 + C a
3 2 2
u
)
)
3 2 2
3
(u
)
7
3u u 2 − a 2 3 2 + − a ln u + u 2 − a 2 + C 2 2
(
−a
7 2 2
3 2 2
3
)
1 a + a2 − u 2 = − ln +C a u a −u 2
194. ∫ u
)
− u2
2
du
du
193. ∫
3 u sec −1 + C a 2a5
(
u
u a2 − u 2 a2 u + sen −1 + C a 2 2
(a du =
a2 − u 2
190. ∫ u
+C
du = −
2
u3
5 3 1 u 2 − a 2 u 2 − a 2 − a 4 ln −u + u 2 − a 2 + C 8 16 8
3
179. ∫ (u 2 − a 2 ) 2 du = 2u
2
a −u 2
189. ∫
1 u − 3 sec −1 + C a u 2 − a2 a
2a 2u 2 u 2 − a 2
(
)+C
2
u 2 − a2 u − +C a4u a4 u 2 − a2
=−
=
2
1
a2
u2
188. ∫
(
u
du = −
3 2 2
u2 u2 − a du
+C
2
2
u u 2 − a2
2
u −a 2
du = u 2 − a 2 − 3
du
3
1
du = −
205. ∫
)
a2 − u 2 a2 − u 2 1 a + a2 − u 2 du = − + ln +C 3 2 u 2u 2a u du
(a
2
(a
2
−u
u −u
3 2 2
)
3 2 2
)
u2
(a
2
2
)
−u u3
(a
3 2 2
−u
3 2 2
)
du
(
u a2 − u
(
u a −u 2
u
a2 a2 − u 2
+C
1
du =
+C
a2 − u 2
u
du =
u − sen −1 + C a
a2 − u 2
a2
du = a 2 − u 2 +
3 2 2
du 2
=
)
3 2 2
)
=
a
1
2
=−
a −u 2
2
a − u2 2
−
+C
1 a + a2 − u 2 ln +C a3 u
a2 − u 2 u + +C a4u a4 a2 − u 2
Cálculo integral • José Alfredo Ramos Beltrán
206. ∫ 1
a 2u 2 a 2 − u 2
3 2
283
Formulario A ➟ Integrales
+
2a 4
du
(
u 3 a2 − u
3 2 2
)
=−
2a u 2
2
− u2
2
)
−u
3 2
6
)
5 2
+
(
a 2u a 2 − u 2 24
)
3 2
+
3
)
3 2
2
3 2 2
)
−u
2
− u2
− u2
2u 2
)
3 2
au 2 + bu + c 1 b 2 − 2 ac a + a2 − u 2 du b du 3 − + 218. ln + C ∫ u 2 au 2 + bu + c = 2 c 2 ln 5 u2 2 c 2 ∫ au 2 + bu + c cu 2a u
(
(
219. ∫
)
(
au 2 + bu + c
3a 2u a 2 − u 2 3 4 u + + a sen + C du 2a du 4 8 8 2 au + ba ∫ au 2 + bu + c 2 = 4 ac − b2 au 2 + bu + c + 4 ac − b2 ∫ au 2 + bu + c
du = −
(a
(
2
−u
) (
5 2 2
5
)
(
u a 2u− u
)(
+C
5 2 2
)
220. ∫
(
a 2u a 2 − u
2 au + b 2a du + 2 4 ac − b 2 ∫ au 2 + bu + c + bu + c
2
=
2
du = −
) ( 4 ac − b )( au
)
2
)
3 2 2
) bu a+ 2uc a 4
2
− u2
a6 b
( au
u
221. ∫
u + bu + c
2
)
bu + 2 c b du − 2 4 ac − b 2 ∫ au 2 + bu + c + bu + c
( 4 ac − b )( au
)
2
du
( au
2c ( a − uu ) a ( a − u ) (b − 2ac) u + bc ) du =∫ ( au 7+ bu +−c) du =5 a ( 4 ac++Cb )( au + bu + c) + 4 ac − b ∫ au 2 7 2 2
2
3 2 2
2
5 2 2
2
2
2
2
2
2
2
)
3 2
(a du =
2
− u2
)
3 2
u2 + bu + c
2
)
2
3 2 2
)
(
)
(a
3 2 2
)
)
(
(
)
223. ∫ u 2
du =
(
(b
2
)
− 2 ac u + bc
)(
a 4 ac + b 2 au 2 + bu + c
)
+
du 2c 4 ac − b 2 ∫ au 2 + bu + c
du + bu + c
2
(
−u
du = −
(
)
2
−u
(
−
)
)
2
2
(
)
(
)
=
2
1 b du − 2 c au 2 + bu + c 2 c ∫ au 2 + bu + c
(
)
(
)
2
+
1 du c ∫ u au 2 + bu + c
(
du
(
)
∫ u ( au
du = au + bu + c 2
2
2
)
(
2 au + b − b 2 − 4 ac ln +C b − 4 ac 2 au + b + b 2 − 4 ac 1
2
1
u
b
du
u2 u b b 2 − 2 ac du du = − 2 ln au 2 + bu + c + au + bu + c a 2a 2 a 2 ∫ au 2 + bu + c
(
2
)
b b − 2 ac du ln au 2 + bu + c + 2a2 2 a 2 ∫ au 2 + bu + c
)
2
217.
b du 1 u2 du ∫ u au 2 + bu + c = 2c ln au 2 + bu + c − 2c ∫ au 2 + bu + c
(
(
=−
1 3a du − c ∫ au 2 + bu + c cu au 2 + bu + c
(
)
(
)
2
−
2b du c ∫ u au 2 + bu + c
(
)
1
b du a du du 1 2 = − −1 2 au n+−1b− ∫ n−1 − ∫ n− 2 c + uC au 2 + bu + c c u + bu + c 2 tanc ( n − 1) u au 2 + bu + c 2 4 ac − b 4 ac − b
215. ∫ au 2 + bu + c du = 2a ln ( au 2 + bu + c ) − 2a ∫ au 2 + bu + c 216. ∫
)
2
b
du
a
du
225. ∫ u n ( au 2 + bu + c ) = − c ( n − 1) u n−1 − c ∫ u n−1 ( au 2 + bu + c ) − c ∫ u n−2 ( au 2 + bu + c ) n
214. ∫
)
)
du
Fórmulas con
(
)
au + bu + c 3u a − u 3 u + a 2sen + C 212. ∫ u 2 a 3a u 2 12 2b du du du ∫ u 2 au 2 + bu + c 2 = − cu au 2 + bu + c − c ∫ au 2 + bu + c 2 − c ∫ u au 2 + bu + c 2 3 3 a + a2 − u 2 a2 − u 2 2 a2 − u 2 2 3 a2 − u 2 3 m +C 213. ∫ u 3 du = − 2u 2 − 2 + 2 a ln u m−1 c u m− 2 b u m−1 u du = − ∫ 2 du − ∫ 2 du 224. ∫ 2 u au + bu + c a ( m − 1) a au + bu + c a au + bu + c 2 2 2 2 3 a −u 3 a+ a −u − + a ln um u m−1 c u m− 2 b u m−1 +C 2 2 u ∫ au 2 + bu + c du = a ( m − 1) − a ∫ au 2 + bu + c du − a ∫ au 2 + bu + cdu 2
(
2
−
3 2 2
(
+ a2
(a
(a du = −
−
− u2
2
du a + a2 − u 2 222. ∫ 2 3 2 2 2 + + − − u a ln a a C u au + bu + c 211. ∫ u 3 u 1 du b du du 1 = − + ∫ a + a 2 −∫u 2 2 2 2 c u au 2 + bu + c 2 c au 2 + bu + c 2 c ∫ au 2 + bu + c u au+ C+ bu + c a 2 − u 2 − a 3 ln u
(a
2
a −u 2
a4u a2 − u 2 a6 u + sen −1 + C a 16 16
210. ∫ u ( a
(a
2a
3
4
2 2 2 +− sen −1 2 ∫ +2C + 209. ∫ u ( a − u ) 2 du ∫=( −au 2 + bu6 + c )2 +du = − (24 4 ac − b a au + bu + c 4 ac − b 2 )( au 2 +16 bu + c ) 16
3
du =
+
)
u a2 − u
du =
3
(
2
(
208. ∫ u ( a
u a2 − u 2
a −u 2
au 2 + bu + c 1 b 2 − 2 ac du b du = 2 ln ∫ − cu + 2 c 2 ∫ au 2 + bu + c 2 2 2 2 a + a − u u au + bu + c 2c u2 3 3 − 5 ln +C u a2 − u 2 2a du
207. ∫ ( a
=−
1 2
)
Cálculo integral • José Alfredo Ramos Beltrán
)
(
)
Fórmulas con du
1
( a + u )2
226. ∫ u 3 + a 3 = 6a2 ln u 2 − au + a2 + a 2 u
1
1
3
2u − a +C tan −1 a 3
u 2 − au + a 2 1 2u − a +C tan −1 + a 3 a 3
227. ∫ u 3 + a 3 du = 6a ln (u + a )2 u2
1
228. ∫ u 3 + a 3 du = 3 ln (u 3 + a 3 ) + C
Alfaomega
)
2
284
Formulario A ➟ Integrales
229. ∫ u
(
u3 du 1 = 3 ln 3 +C 3a u + a 3 u 3 + a3
241. ∫
)
u 2 − au + a 2 du 1 1 1 242. −1 2u − a 230. ∫ u 2 u 3 + a 3 = − a 3u − 6a 4 ln (u + a )2 − a 4 3 tan a 3 + C
(
)
231. ∫
(u
3
+ a3
)
2
=
u4 du 1 = 2 ln 4 +C 4a u + a 4 + a4
)
4
1
u2
( u + a )2 u a 1 2 2u − 244. +C + 5 ln 2 + 5 tan −1 2 3 3 3 a 3 9a 3a u + a u − au + a 3a 3
(
)
u2 du 1 1 = − 4 2 − 6 tan −1 2 + C 4 4 a u a 2 2 a +a
∫ u (u 3
du
245. ∫ u 4 − a 4
)
=
1 1 u − a u ln tan −1 + C − a 4 a 3 u + a 2a 3
u 2 − a2 u 1 du = 2 ln 2 +C 246. 4 4 ∫ u 2 − au + a 2 u2 1 2 − 1 u a u − a 4 a u + a 2 −1 232. ∫ u 3 + a 3 2 du = 3a5 u 3 + a 3 + 18a 4 ln (u + a )2 + 3a 4 3 tan a 3 + C u2 1 u − a 1 u ln tan −1 + C du = 247. + 2 2 4 ∫ u − au + a a 1 1 4 a u + a 2a u − a4 −1 2u − a +C + tan ln + a 3 18 a 4 ( u + a )2 3a 4 3 3 248. ∫ 4 u 4 du = 1 ln u 4 − a 4 + C u −a 4 2 233. ∫ 3 u 3 2 du = − 31 3 + C 3 u +a u 4 − a4 1 du u +a 249. ∫ u u 4 − a 4 = 4 a 4 ln u 4 + C u3 du 1 1 234. ∫ 3 3 2 = 3a 3 u 3 + a 3 + 3a 6 ln u 3 + a 3 + C du 1 1 u−a 1 u u u +a 250. ∫ u 2 u 4 − a 4 = a 4 u + 4 a5 ln u + a + 2a5 tan −1 a + C u
(
)
∫ u (u
)
243. ∫ u 4 + a 4 du = 2a2 tan −1 a 2 + C
( u + a )2 1 2 2u − a +C + 5 ln 2 tan −1 5 2 a 3 9a u − au + a 3a 3
u2 u 3 + a3
(
u
u 2 − au + a 2 1 1 2u − a +C ln tan −1 − 4 2 4 a 3 6a (u + a ) a 3 du
u3 1 du = ln u 4 + a 4 + C u 4 + a4 4
u 2 + au n 2 u − au
u 2 − au ln 2 u + au
(
)
)
(
(
(
235. ∫ 236. ∫
(
)
(
)
du
(
u2 u 3 + a3
)
)
2
(
)
1 u2 4 u =− 6 − 6 3 − 6∫ 3 du 3a u + a 3 a u 3a u + a 3
(
)
u u u du = du − a3 ∫ 3 u 3 + a3 m−2 u + a3 m− 2
m
(
)
u 2 − a2 du 1 1 = 4 2 + 6 ln 2 +C 4 4 2a u 4a u + a 2 u −a
)
m− 3
1
du
)
(
251. ∫ u 3
)
1
du
237. ∫ u n (u 3 + a 3 ) = − a 3 ( n − 1) u n−1 − a 3 ∫ u n−3 (u 3 + a 3 )
Fórmulas con
252. ∫ sen ( au )du = −
cos ( au ) +C a
253. ∫ usen ( au ) du =
sen ( au ) u cos ( au ) − +C a2 a
u 2 + au 2 + a 2 1 −1 u 2 u 2 ln 2 − − tan −1 1 + tan 1 − 2 +C a 4 a 2 u − au 2 + a 2 2 a 3 2 ( au ) du = 2u sen ( au ) + 2 − u cos ( au ) + C 254. ∫au 2sen a2 a 3 a 2 + a2 1 −1 u 2 u 2 − tan −1 1 + − 3 tan 1 − +C 2 a a 2 + a 2 a 2 3u 2 6 6u u 3 255. ∫ u 3sen ( au ) du = a 2 − a 4 sen ( au ) + a 3 − a cos ( au ) + C u 2 − au 2 + a 2 u2 1 1 −1 u 2 u 2 −1 239. ∫ u 4 + a 4 du = 4 a 2 ln u 2 + au 2 + a2 − 2a 2 tan 1 − a − tan 1 + an + C u n cos ( au ) n n−1 + ∫ u cos ( au ) du 256. ∫ u sen( au ) du = − a a 2 2+a 1 −1 u 2 u 2 −1 tan 1 tan 1 + − + − − C u n cos ( au ) nu n−1 n ( n − 1) n−2 a a 2 + a 2 2 a 2 + 2 sen ( au ) − u sen ( au ) du 257. ∫ u nsen ( au ) du = − a a a2 ∫ du
238. ∫ u 4 + a 4
=
3
n−1 u n cos n ( nu −21) n−2 −1 u=2 −− au n du 1 1 2 +( au a 2)+ nu 1 sen ( au−)1 − u 2 ) du + 25 + ) du + C = − 4 ∫−u sen5 ( auln tan 1 − a 2 ∫−utansen 1( au 2 2 4 4 a u 4 a 2 u + au 2a+ a 2aa 2 a a +a
240. ∫ u (u 2
1
Fórmulas con
)
u 2 − au 2 + a 2 1 −1 u 2 u 2 n 2 + 5 − tan −1 1 + tan 1 − +C 2 a a u + au 2 + a 2 a 2
Alfaomega
u
258. ∫ sen 2 ( au )du = 2 −
sen ( 2 au ) +C 4a
Cálculo integral • José Alfredo Ramos Beltrán
Formulario A ➟ Integrales
cos ( au ) cos 3 ( au ) + +C a 3a
3 259. ∫ sen ( au )du = −
3u 4 260. ∫ sen ( au ) du = 8 −
Fórmulas con 275. ∫ cos ( au ) du =
sen ( 2 au ) sen ( 4 au ) + +C 4a 32 a
261. 262.
sen ( au ) ( au ) ( au ) ∫ u du = au − 3 ⋅ 3! + 5 ⋅ 5! − ...
263.
sen ( au ) sen ( au ) cos ( au ) ∫ u 2 du = − u + a ∫ u du
3
sen ( au ) +C a
276. ∫ u cos ( au )du =
u 2 usen ( 2 au ) cos ( au ) − − +C 4 4a 8a2
2 ∫ usen ( au )du =
285
cos ( au ) usen ( au ) + +C a2 a 2u
u2 2 − sen ( au ) + C a a 3
277. ∫ u 2 cos ( au )du = a 2 cos ( au ) +
5
3u 2 6 u 3 6u − 4 cos ( au ) + − 3 sen ( au ) + C 2 a a a a
278. ∫ u 3 cos ( au )du =
u n sen ( au ) n n−1 1 u n cos ( au )du = − ∫ u sen ( au ) du 279. ∫ ln ( csc ( au ) − cot ( au )) + C a a du a ∫ sen ( au ) = 1 au u n sen ( au ) nu n−1 n ( n − 1) n−2 n ln tan + C 280. ∫ u cos ( au )du = − a + a 2 cos ( au ) − a 2 ∫ u cos ( au )du a 2 264. n n−1 u sen ( au ) nu n ( n − 1) n−2 n ∫ u cos ( au )du3 = − 5a + a22n−1cos ( au ) − 2 n+a12 ∫ u cos ( au )du 2 2 − 1 Bn ( au ) 1 u ( au ) 7 ( au ) + ... 265. ∫ sen ( au ) du = a2 au + 18 + 1800 + ... + 2 n 1 ! + ( ) u sen ( 2 au ) 2 281. ∫ cos ( au )du = 2 + 4 a + C 2 n+1 1 ( au )3 + 7 ( au )5 + ... + 2 2 2 n−1 − 1 Bn ( au ) + ... sen ( au ) sen 3 ( au ) du = 2 au + − +C cos 3 ( au )du = 18 1800 2 n + 1)! a ( 282. ∫ a 3a
(
(
)
)
1
du
3u 4 283. ∫ cos ( au ) du = 8 +
266. ∫ sen 2 ( au ) = − a cot ( au ) + C cos ( au )
du
1
u 2 284. ∫ u cos ( au )du = 4
2
au +C 2
267. ∫ sen 3 ( au ) = − 2asen 2 ( au ) + 2a ln tan 268.
∫ sen ( au )sen (bu ) du = 1
du
sen (( a − b ) u ) 2 (a − b)
π
269. ∫ 1 − sen ( au ) = a tan 4 + u
u
1
π
π
271. ∫ 1 + sen ( au ) = − a tan 4 − 272.
sen (( a + b ) u ) 2 (a + b)
+C
a≠b
au +C 2
270. ∫ 1 − sen ( au ) du = a tan 4 + du
−
au 2 π au + ln sen + + C 2 a 2 4 2
au +C 2
u u π au 2 π au ∫ 1 + sen ( au )du = − a tan 4 − 2 + a2 ln sen 4 + 2 + C
273. ∫ 274. ∫
du
du
(1 + sen ( au ))
+
usen ( 2 au ) cos ( 2 au ) + +C 4a 8a2 2
4
6
285. ∫
cos ( au ) ( au ) + ( au ) − ( au ) + ... du = ln ( u ) − u 2 ⋅ 2! 4 ⋅ 4! 6 ⋅ 6!
286. ∫
cos ( au ) cos ( au ) sen ( au ) − a∫ du = − du u2 u u
287.
1 ln sec ( au ) + tan ( au ) + C du a = ∫ cos ( au ) 1 π au ln tan + + C a 4 2 u
2 4 6 2 n+ 2 5 ( au ) E ( au ) 1 ( au ) ( au ) + + + ... + n + ... 2 8 144 ( 2n + 2 )( 2n )!
288. ∫ cos ( au ) du = a 2
2 4 6 2 n+ 2 5 ( au ) E ( au ) 1 ( au ) ( au ) u + + ... + n + ... 1 π au 1du =3 2π au + + ) tan a + 2 + C 8 tan +∫ cos( au 144 ( 2n + 2 )( 2n )! 4 2 6a 4 2 2a
2
=
2
=−
(1 − sen ( au ))
sen ( 2 au ) sen ( 4 au ) + +C 4a 32 a
1 π au 1 π au tan − − tan 3 − + C 4 2 6a 4 2 2a
du
tan ( au ) +C a
du
sen ( au )
289. ∫ cos2 ( au ) =
1
π
290. ∫ cos3 ( au ) = 2a cos2 ( au ) + 2a ln tan 4 +
Cálculo integral • José Alfredo Ramos Beltrán
au +C 2
Alfaomega
286
Formulario A ➟ Integrales
sen (( a − b ) u )
291. ∫ cos ( au ) cos (bu ) du =
2 (a − b)
1
du
292. ∫ 1 − cos ( au ) = − a cot u
u
1
du
u
u
297. ∫
du
(1 − cos ( au )) du
2
(1 + cos ( au ))
2
=−
=
2 (a + b)
+C
a≠b
au 2 au + ln sen + C 2 a 2 2
au 2 au + ln cos + C 2 a 2 2
312.
Fórmulas con
300.
sen ( au ) +C 2a
cos ( p − q ) u 2 ( p − q)
−
cos ( p + q ) u 2 ( p + q)
sen n+1 ( au ) ∫ sen ( au ) cos ( au )du = a ( n + 1) + C cosn+1 ( au )
301. ∫ cosn ( au ) sen ( au ) du = − a ( n + 1)
+C
sen ( 4 au ) +C 32 a
1 π au 1 du ∫ sen2 ( au ) cos ( au ) = a ln tan 4 + 2 − asen ( au ) + C
du
1
305. ∫ sen ( au ) cos2 ( au ) = a ln tan
du
306. ∫ sen 2 ( au ) cos2 ( au ) = −
au 1 +C + 2 a cos ( au )
2 cot ( 2 au ) +C a
307. ∫
sen 2 ( au ) sen ( au ) 1 π au + ln tan + + C du = − cos ( au ) a a 4 2
308. ∫
cos2 ( au ) cos ( au ) 1 au + ln tan + C du = sen ( au ) a a 2
Alfaomega
cos ( au )
1
1
u
1 − ln cos ( au ) + C a = au du tan ( ) ∫ 1 ln sec ( au ) + C a
2 313. ∫ tan ( au ) du =
tan ( au ) −u+C a
3 314. ∫ tan ( au ) du =
tan 2 ( au ) 1 + ln cos ( au ) + C 2a a
tan n+1 au
+C
( ) n 2 316. ∫ tan ( au ) sec ( au )du = a ( n + 1) + C
317. ∫
sec 2 ( au ) 1 du = ln tan ( au ) + C tan ( au ) a du
1
318. ∫ tan ( au ) = a ln sen ( au ) + C 2 319. ∫ u tan ( au )du =
u tan ( au ) 1 u2 + 2 ln cos ( au ) − +C 2 a a
1
303. ∫ sen ( au ) cos ( au ) = a ln tan ( au ) + C 304.
u
tan n−1 au
n
du
sen ( au )
π au ln tan ± + C 8 2
( ) n n− 2 315. ∫ tan ( au ) du = a ( n − 1) − ∫ tan ( au )du
2
u 2 2 302. ∫ sen ( au ) cos ( au ) du = 8 −
2
Fórmulas con
1 au 1 au tan + tan 3 + C 2 6a 2 2a
299. ∫ sen ( pu ) cos ( qu )du = −
1
311. ∫ sen ( au ) ± cos ( au ) du = 2a ln sen ( au ) ± cos ( au ) ± 2 + C
1 au 1 au cot − cot 3 + C 2 6a 2 2a
298. ∫ sen ( au ) cos ( au )du =
du
309. ∫ sen ( au ) ± cos ( au ) = a
310. ∫ sen ( au ) ± cos ( au ) du = 2 ∓ 2a ln sen ( au ) ± cos ( au ) + C
au +C 2
295. ∫ 1 + cos ( au )du = a tan 296. ∫
sen (( a + b ) u )
au +C 2
293. ∫ 1 − cos ( au ) du = − a cot 294. ∫ 1 + cos ( au ) = a tan
−
Fórmulas con 1
320. ∫ cot ( au ) du = a ln sen ( au ) + C 321. ∫ cot 2 ( au ) du = −
cot ( au ) −u+C a
3 322. ∫ cot ( au ) du = −
cot 2 ( au ) 1 − ln sen ( au ) + C 2a a
cot n−1 au
( ) n 2 323. ∫ cot ( au ) csc ( au ) du = − a ( n + 1) + C
324. ∫
csc 2 ( au ) 1 du = − ln cot ( au ) + C cot ( au ) a
Cálculo integral • José Alfredo Ramos Beltrán
Formulario A ➟ Integrales
du
1
325. ∫ cot ( au ) = − a ln cos ( au ) + C 2 326. ∫ u cot ( au ) du = −
u cot ( au ) 1 u2 + 2 ln sen ( au ) − +C 2 a a
2 340. ∫ u csc ( au ) du = −
n 341. ∫ csc ( au ) du = −
287
u cot ( au ) 1 + 2 ln sen ( au ) + C a a
csc n−2 ( au ) cot ( au ) n − 2 + csc n−2 ( au ) du a ( n − 1) n −1 ∫
cot n−1 au
( ) n n− 2 327. ∫ cot ( au ) du = − a ( n − 1) − ∫ cot ( au ) du
Fórmulas con
u
328.
1 ln sec ( au ) + tan ( au ) + C a ∫ sec ( au )du = 1 π au ln tan + + C a 4 2
329.
2 ∫ sec ( au ) du =
tan ( au ) +C a
330.
3 ∫ sec ( au ) du =
sec ( au ) tan ( au ) 1 + ln sec ( au ) + tan ( au ) + C 2a 2a
n 331. ∫ sec ( au ) tan ( au ) du =
332.
343. ∫ usen −1
sec ( au ) +C an
1
sec n−2 ( au ) tan ( au ) n − 2 + sec n−2 ( au ) du a ( n − 1) n −1∫
3
345.
1 ln csc ( au ) − cot ( au ) + C a ∫ csc ( au ) du = 1 au ln tan + C a 2
cot ( au ) +C a
csc ( au ) cot ( au ) 1 au + ln tan + C ∫ csc ( au ) du = − 2a 2 a 2 3
338. ∫ cscn ( au ) cot ( au ) du = − 339.
5
7
346. 347.
u u sen −1 sen −1 a 1 a + a2 − u 2 a +C ∫ u 2 du = − u − a ln u 2
csc ( au ) +C na n
cos ( au ) du ∫ csc ( au ) = − a + C
Cálculo integral • José Alfredo Ramos Beltrán
2
−1 u −1 u 2 2 −1 u ∫ sen a dx = u sen a − 2u + 2 a − a sen a + C u
u
348. ∫ cos−1 a du = u cos−1 a −
Fórmulas con
337.
)
u u u u sen −1 1 ⋅ 3 1⋅ 3⋅ 5 a a a u a ∫ u du = a + 2 ⋅ 3 ⋅ 3 + 2 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 5 + 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ 7 ⋅ 7 + ⋅ ⋅ ⋅
349. ∫ u cos−1
2 336. ∫ csc ( au ) du = −
(
2 2 a2 − u 2 u3 u u + 2a +C sen −1 + 3 a 9
n
u
335.
a2 − u 2 + C
u 2 a2 u u a2 − u 2 −1 u +C du = − sen + a 4 4 a 2
u
333. ∫ u sec2 ( au ) du = a tan ( au ) + a 2 ln cos ( au ) + C 334.
u
342. ∫ sen −1 a du = usen −1 a +
344. ∫ u 2sen−1 a du =
sen ( au ) du ∫ sec ( au ) = a + C
n ∫ sec ( au ) du =
Fórmulas con funciones trigonométricas inversas
u 2 a2 u u a2 − u 2 −1 u +C du = − cos − a 4 4 a 2 u
350. ∫ u 2 cos−1 a du = 351. 352.
a2 − u 2 + C
(
)(
)
u 2 − 2a2 a2 − u 2 u3 u +C cos −1 − a 3 9
u u cos−1 sen −1 a a π ∫ u du = 2 ln (u ) − ∫ u du u u cos−1 cos−1 a 1 a + a2 − u 2 a +C ∫ u 2 du = − u + a ln u
353. ∫ cos
−1
2
2
u −1 u 2 2 −1 u du = u cos − 2u − 2 a − u cos + C a a a
u
u
a
354. ∫ tan −1 a du = u tan −1 a − 2 ln (u 2 + a 2 ) + C
Alfaomega
288
Formulario A ➟ Integrales
1
u
u
355. ∫ u tan −1 a du = 2 (u 2 + a 2 ) tan −1 a − u
356. ∫ u 2 tan −1 a du =
2 u3 a3 u au tan −1 − + ln u 2 + a 2 + C a 3 6 6
(
3
5
357. 358.
u tan −1 a u −1 u 1 u 2 + a 2 ∫ u 2 du = − a tan a − 2a ln u 2 + C
359.
a u −1 u 2 2 ∫ cot a du = u cot a + 2 ln u + a + C
360.
1 2 au u 2 −1 u ∫ u cot a du = 2 u + a cot a + 2 + C
(
−1
(
−1
u
)
7
u u u u tan −1 a u a a a ∫ u du = a − 32 + 52 − 72 + ⋅ ⋅ ⋅
361. ∫ u 2 cot −1 a du =
371.
au +C 2
372. ∫
363.
2
au
u
du
374. ∫ p + peau
)
375. ∫
)
(
du p + qeau
2 u3 a3 u au cot −1 + − ln u 2 + a 2 + C a 3 6 6
(
eau a eau + du n−1 ∫ n − 1 u n−1 ( n − 1) u
=
)
2
u 1 ln p + qeau + C − p ap
(
u u cot −1 cot −1 a a 1 u 2 + a2 ∫ u 2 du = − u + 2a ln u 2 + C
du
au
(
sen ( bu )du =
u m+1 1 u m+1 u sen −1 − du a m + 1 ∫ a2 − u 2 m +1
378. ∫ e
au
cos ( bu ) du =
365. ∫ u m cos−1 u du =
u m+1 1 u m+1 u cos −1 + du ∫ a m + 1 a2 − u 2 m +1
379. ∫ e
au
ln ( u )du =
366. ∫ u m tan −1 u du =
u m+1 a u m+1 u tan −1 − du 2 ∫ a m + 1 u + a2 m +1
a
a
367.
u m+1 a u m+1 m −1 u −1 u ∫ u cot a du = m + 1 cot a + m + 1 ∫ u 2 + a2 du
368. ∫ eau du = e
au
a
+C
1 u − + C a a
369. ∫ ueau du = e 370. ∫ u 2 eau du =
Alfaomega
au
eau 2 2u 2 + +C u − a a a2
q p +C q + − p − −
a2 − b2
+C
eau a cos ( bu ) + bsen ( bu ) a2 + b2
+C
eau ln ( u ) 1 eau − ∫ du a a u
Fórmulas con 380. ∫ ln (u ) du = u ln (u ) − u + C 2
Fórmulas con
)
p au e +C q
eau asen ( bu ) − b cos ( bu )
364. ∫ u msen −1 u du = a
(
)
1 tan −1 a pq au = e 1 ln 2 a − pq au e
376. ∫ peau + qe− au
377. ∫ e
)
u 1 1 + − 2 ln p + qeau + C p 2 ap p + qeau ap
=
)
u u cot tan −1 a a π = − du u du ln ( ) ∫ ∫ u u 2
3
eau au ( au ) ( au ) + + + ⋅⋅⋅ du = ln ( u ) + u 1 ⋅ 1! 2 ⋅ 2! 3 ⋅ 3!
373. ∫ e n du = −
−1
362.
u n eau u n enau nn−1 au n−1 au − ∫−u ∫e u due du a aa a n au n au u e u du e = du = n− 2 n− 2 au au n−1 n−1 ∫ ∫ n ( n −n1()nu− 1) u (⋅ −⋅ ⋅1+)n(n−!1)n+n! + C ∀ =∀ n = e uen − unun − nu + + 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + + n C a a a a a a2 a n a n
381. ∫ ln (u ) du = u ln (u ) 382. ∫ ln (u )
n
− 2u ln ( u ) + 2u + C n
n−1
du = u ln ( u ) − n ∫ ln ( u ) du
383. ∫ u ln (u )du =
u2 2
384. ∫ u m ln (u )du = 385. ∫
2
1 ln ( u ) − 2 + C
u m+1 1 ln ( u ) − +C m + 1 m + 1
ln ( u ) 1 du = ln 2 ( u ) + C u 2
Cálculo integral • José Alfredo Ramos Beltrán
Formulario A ➟ Integrales
386. ∫
ln ( u ) ln ( u ) 1 − +C du = − u2 u u
404. ∫
387. ∫ ln 2 (u )du = u ln 2 (u ) − 2u ln (u ) + 2u + C 388. ∫
du
390. 391.
u + a 2 2 2 2 ∫ ln u − a du = u ln u − a − 2u + a ln u − a + C
(
)
(
)
2
2
(
)
407. ∫ u cosh ( au ) du =
)
Fórmulas con 1
392. ∫ senh ( au )du = a cosh ( au ) + C 393.
u cosh ( au ) senh ( au ) ∫ usenh ( au ) du = a − a2 + C
394.
u2 2 2u ∫ u senh ( au ) du = a + a 3 cosh ( au ) − a2 senh ( au ) + C
395.
senh ( au ) ( au ) ( au ) ∫ u du = au + 3 ⋅ 3! + 5 ⋅ 5! + ⋅ ⋅ ⋅
396.
senh ( au ) senh ( au ) ∫ u 2 du = − u + a ∫ cosh ( au ) du
3
5
399.
usenh ( 2 au ) cosh ( 2 au ) u 2 ∫ usenh ( au )du = 4 a − 8a2 − 4 + C
400.
coth ( au ) du ∫ senh2 ( au ) = − a + C
402.
2
u 2 412. ∫ cosh ( au )du = 2 +
senh ( au ) cosh ( au ) +C 2a
u 2 413. ∫ u cosh ( au )du = 4
+
−
usenh ( 2 au ) cosh ( 2 au ) − +C 4a 8a2
tanh ( au ) +C a
n 417. ∫ cosh ( au )du =
2 ( p − q)
+C
u m cosh ( au ) m m−1 m − ∫ u cosh ( au ) du ∫ u senh ( au ) du = a a
n 403. ∫ senh ( au )du =
cosh ( au ) cosh ( au ) senh ( au ) + a∫ du = − du u2 u u
416. ∫ u m cosh ( au )du =
2
senh ( p − q ) u
6
410. ∫
415. ∫ cosh ( pu ) cosh ( qu ) du =
398.
4
cosh ( au ) ( au ) + ( au ) + ( au ) + ⋅ ⋅ ⋅ du = ln ( u ) + 2 ⋅ 2! 4 ⋅ 4! 6 ⋅ 6! u
du
senh ( au ) cosh ( au ) u − +C ∫ senh ( au )du = 2a 2
2 ( p + q)
2
409. ∫
414. ∫ cosh 2 ( au ) =
2
401. ∫ senh ( pu ) senh ( qu ) du =
2u cosh ( au ) u 2 2 + + 3 senh ( au ) + C a2 a a
2
au +C 2
senh ( p + q ) u
cosh ( au )du = −
du
397. ∫ senh ( au ) = a ln tanh
2
usenh ( au ) cosh ( au ) − +C a a2
411. ∫ cosh ( au ) = a tan −1 ( eau ) + C
2
1
du
senh ( au ) +C a
406. ∫ cosh ( au )du =
−1
408. ∫ u
du
n−2
Fórmulas con
u ∫ ln u + a du = u ln u + a − 2u + 2a tan a + C
(
cosh ( au )
du
389. ∫ u ln (u ) = ln ( ln (u )) + C 2
senh ( au ) senh ( au ) cosh ( au ) a + du = − du un ( n − 1) u n−1 n − 1 ∫ u n−1
405. ∫ senh n ( au ) = − a ( n − 1) senh n−1 ( au ) − n − 1 ∫ senh n−2 ( au )
ln n ( u ) ln n+1 ( u ) +C du = u n +1
2
289
senh ( p − q ) u 2 ( p − q)
+
senh ( p + q ) u 2 ( p + q)
+C
u m senh ( au ) m m−1 − ∫ u senh ( au ) du a a
cosh n−1 ( au ) senh ( au ) n − 1 + cosh n−2 ( au ) du an n ∫
418. ∫
cosh ( au ) cosh ( au ) senh ( au ) a + du = − du un ( n − 1) u n−1 n − 1 ∫ u n−1
419. ∫
senh ( au ) du n−2 du = + cosh n ( au ) a ( n − 1) cosh n−1 ( au ) n − 1 ∫ cosh n−2 ( au )
senh n−1 ( au ) cosh ( au ) n − 1 − senh n−2 ( au ) du an n ∫
Cálculo integral • José Alfredo Ramos Beltrán
Alfaomega
Formulario B ➟ Derivadas
291
➠ Formulario B: Derivadas
En este formulario: c es una constante real, f , g y u son funciones derivables en x . FÓRMULAS GENERALES 1.
d (c) = 0 dx
2.
d d ( cf ( x )) = c ( f ( x )) dx dx
3.
d [ f ( x ) ± g( x ) ] = f ′ ( x ) ± g′ ( x ) dx
4.
d [ f ( x )g ( x ) ] = f ( x )g ′ ( x ) + g ( x ) f ′ ( x ) dx
5.
d f ( x ) g ( x ) f ′ ( x ) − f ( x )g ′ ( x ) = dx g( x ) [ g( x )]2
6.
d du f ( u ) = f ′(u ) dx dx
7.
d n du u = nu n−1 dx dx
( )
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 8.
d (sen x ) = cos x dx
FUNCIONES LOGARÍTMICAS 20.
x x e )=e ( dx
21.
x x a ) = a ln a ( dx
22. 23. 24. 25. 26.
d
d
d dx d dx
( ln x ) =
1 x
(log a x ) =
1 x ln a
x x e )=e ( dx d
d dx
d
(a x ) = a x ln a ( ln x ) =
1
9.
d (cos x ) = −sen x dx
10.
d ( tan x ) = sec2 x dx
11.
d (cot x ) = − csc2 x dx
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
12.
d (sec x ) = sec x tan x dx
28.
13.
d (csc x ) = − csc x cot x dx
−1 sen x ) = ( dx
14.
d du (sen u ) = cos u dx dx
29.
−1 cos x ) = − ( dx
15.
d du ( cos u ) = −senu dx dx
30.
16.
d du ( tan u ) = sec2 u dx dx
1 −1 tan x ) = ( 2 dx 1+ x
31.
1 −1 cot x ) = − ( 2 dx 1+ x
32.
(sec−1 x ) = x dx
17.
d du ( cot u ) = − csc2 u dx dx
18.
d du (sec u ) = sec u tan u dx dx
19.
d du ( csc u ) = − csc u cot u dx dx
Cálculo integral • José Alfredo Ramos Beltrán
27.
dx d dx
x
(log a x ) =
1 x ln a
d
1 1− x
2
1
d
1− x
2
d
d
d
1 x
2
−1
Alfaomega
292
33.
Formulario B ➟ Derivadas
d dx
(
csc
−1
)
x =−
1 x x
2
−1
34.
d (sen−1u ) = 1 2 du dx 1 − u dx
35.
du d 1 cos−1 u = − dx 1 − u 2 dx
36.
d ( tan−1 u ) = 1 +1u 2 du dx dx
37.
(
)
49.
d du ( coth u ) = − csc h 2u dx dx
50.
d du (sec hu ) = − sec hu tanh u dx dx
51.
d du ( csc hu ) = − csc hu coth u dx dx
FUNCIONES HIPERBÓLICAS INVERSAS 52.
d 1 du cot −1 u = − dx 1 + u 2 dx
d 1 sen h −1 x = dx 1 + x2
53.
38.
du d 1 sec −1 u = dx u u 2 − 1 dx
d 1 cosh −1 x = 2 dx x −1
54.
39.
d ( csc−1 u ) = − 12 du dx u u − 1 dx
1 d tanh −1 x = dx 1 − x2
55.
1 d coth −1 x = − dx 1 − x2
FUNCIONES HIPERBÓLICAS
56.
d 1 sec h −1 x = − dx x 1 − x2
57.
d csc h −1 x = − dx x
58.
d du 1 sen h −1 u = 2 dx 1 + u dx
59.
d du 1 cosh −1 u = dx u 2 − 1 dx
60.
1 du d tanh −1 u = dx 1 − u 2 dx
61.
1 du d coth −1 u = − dx 1 − u 2 dx
62.
d du 1 sec h −1u = − dx u 1 − u 2 dx
63.
du d 1 csc h −1u = − 2 dx u u + 1 dx
40.
(
(
)
)
d (sen h x ) = cosh x dx
41.
d ( cosh x ) = sen h x dx
42.
d ( tanh x ) = sec h2 x dx
43.
d (coth x ) = − csc h2 x dx
44.
d (sec hx ) = − sec hx tanh x dx
45.
d (csc hx ) = − csc hx coth x dx
46.
d du (sen h u ) = cosh u dx dx
47.
d du ( cosh u ) = sen h u dx dx
48.
d du ( tanh u ) = sec h 2u dx dx
Alfaomega
(
(
( (
( (
(
(
(
(
(
(
)
)
)
)
)
)
1
x2 + 1
)
)
)
)
)
)
Cálculo integral • José Alfredo Ramos Beltrán
FORMULARIO C ➟ ÁLGEBRA, GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA
293
➠ Formulario C: Álgebra, Geometría y Trigonometría Figuras geométricas Triángulo rectángulo
b
Triángulo equilátero
a
a
Cuadrado
b
a
h
A=
1 1 ch = ab 2 2
c
,
P = a + b + c , c2 = a2 + b2
h=
Rectángulo
3 a 2
a
,
A=
a
3 2 a , P = 3a 4
A = a2 , P = 4a
Romboide
Trapezoide a
h
h
h
b
b
b
P = 2b + 2 h, A = bh
A = bh
1 A = (a + b )h 2
Círculo
Corona circular
Sector circular
r
r
θ
R
s
r
A = π r 2 , P = 2π r
A = π ( R − r ), P = 3a
Esfera
Cono circular recto
2
A=
2
1 2 r θ, s = rθ 2
Cilindro circular recto
h h r 4 V = π r 3 , S = 4π r 2 3
CÁLCULO INTEGRAL • JOSÉ ALFREDO RAMOS BELTRÁN
r r
1 V = π r 3, S = π r r 2 + h 2 3
V = π r h , S = 2π rh lateral 2
S = 2π rh + 2π r 2 total
Alfaomega
294
FORMULARIO C ➟ ÁLGEBRA, GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA
Elipse
Elipsoide
Paralelepípedo rectangular
b
b
h
a
c
a
a
b A = π ab
V = abh, S = 2 ( ab + ah + bh )
4 A = π abc 3
Pirámide
Cono truncado
Pirámide Regular
r1
h
h
h H
r2
V=
1 V = π h(r12 + 2 r1 r2 + r22 ) 3
1 abh 3
V=
a
aH 1 h 2 3
➠ Álgebra Fórmula cuadrática ax 2 + bx + c = 0 −b ± b − 4 ac 2a Discriminante b 2 − 4 ac x1,2 =
2
Desarrollo de productos notables y factorización ( x ± y )2 = x 2 ± 2 xy + y2 ( x ± y )3 = x 3 ± 3( x )2 ( y ) + 3( x )( y )2 ± y 3 n 1 n−1 n n n n n n−1 1 n n−2 2 x + x y + x y + ⋅⋅⋅ + x y + y ∀n = 0 1 2 n n − 1
( x + y )n =
n n! = Donde k k ! ( n − k )!
(x (x
Alfaomega
2 3
) ± y ) = ( x ± y)( x
− y 2 = ( x + y )( x − y ) 3
2
∓ xy + y 2
)
CÁLCULO INTEGRAL • JOSÉ ALFREDO RAMOS BELTRÁN
Formulario C ➟ Álgebra, Geometría y Trigonometría
Reglas de exponentes y radicales x m x n = x m+n
(x )
m n
=x
Valores de exponenciales, propiedades de los logaritmos e− n =
1
e0 = 1
xn = n x
m⋅n
x = x m−n xn 1 x−m = m x
n m
x =
m
( xy ) = n x n y
n
x = y
( xy )n = x n yn m n x
n n
e∞ → ∞
n
n
n
xn x y = y n
( x)
1 en
e−∞ → 0
n
x m = m xn
m
295
eln( x ) = x a loga x = x log a ( x ) =
x y
log10 ( x ) log10 ( a )
ln ( x ) = log e x
= mn x
ln ( x ) + ln ( y ) = ln ( xy ) x ln ( x ) − ln ( y ) = ln y
( )
n ln ( x ) = ln x n
log a ( x ) + log a ( y ) = log a ( xy ) x log a ( x ) − log a ( y ) = log a y
( )
b log a ( x ) = log a x b
➠ Geometría analítica Distancia entre dos puntos d=
Pendiente de una recta m=
( x2 − x1 )2 + ( y2 − y1 )2 y
∆y y2 − y1 = ∆x x2 − x1
y
(x2 , y2) P2
P2 (x2 , y2)
∆y
(x1 , y1)
(x1 , y1)
P1
P1
∆x
P3 (x2 , y1)
x Ecuación de la recta punto-pendiente
Cálculo integral • José Alfredo Ramos Beltrán
x Puntos de intersección de la recta
Alfaomega
296
Formulario C ➟ Álgebra, Geometría y Trigonometría
Ecuación de la recta punto-pendiente y − y1 = m ( x − x1 )
Puntos de intersección de la recta x y + =1 a b
(x1 , y1)
∀a ≠ 0; b ≠ 0
y
y
(0 , b)
x x
(a , 0)
Ecuación de la circunferencia con centro en el origen
Ecuación de la circunferencia con centro fuera del origen.
x 2 + y2 = r 2
( x − h )2 + ( y − k ) 2 = r 2 y
y
r
r
x
(h , k) x
Parábola
x
Parábola
p p p x 2 = 2 py; Foco F= 0, ; Extremos Izq − p, ; Der p, 2 2 2
p p p x 2 = −2 py; Foco F= 0, − ; Extremos Izq − p, − ; Der p, − 2 2 2
Lado Recto Lr = 2 p; Recta Directriz y = −
Lado Recto Lr = 2 p; Recta Directriz y =
p 2
y
y
y= F
(-h ,
p 2
)
(0 ,
p ) 2
y = - 2p
Alfaomega
p 2
( p,
p 2
)
x
(-p , 2p )
p 2
x F
(0 ,- 2p
)
( p ,- 2p )
Cálculo integral • José Alfredo Ramos Beltrán
Formulario C ➟ Álgebra, Geometría y Trigonometría
Parábola
Parábola
p p p y 2 = 2 px; Foco F= , 0 ; Extremos Inf , − p ;Sup , p 2 2 2 p Lado Recto Lr = 2 p; Recta Directriz x = − 2
p p p y 2 = −2 px; Foco F= − , 0 ; Extremos Inf − , − p ;Sup − , p 2 2 2 p Lado Recto Lr = 2 p; Recta Directriz x = 2
y
y p ,p) 2
( p
x=-2
((-
x
F
(
p ,0 ) 2
(
p ,- p ) 2
(-
Elipse centro en el origen x 2 y2 + =1 a2 b2
p , p) 2 p ,0 ) 2
x
p ,- p ) 2
y2 x 2 + =1 a2 b2
dF= a 2 − b 2
dF= a 2 − b 2
F1 ( 0, − dF ); F2 ( 0, dF )
y
y
b
p
x=2
Elipse centro en el origen
F1 ( − dF , 0 ); F2 ( dF, 0 )
( 0, dF ) F2
a F2
F1 (- dF, 0)
297
dF
x
a
dF
(dF, 0) A
x
b
( 0, -dF )
Cálculo integral • José Alfredo Ramos Beltrán
F1
Alfaomega
298
Formulario C ➟ Álgebra, Geometría y Trigonometría
Hipérbola
Hipérbola x 2 y2 − =1 a2 b2
y2 x 2 − =1 a2 b2
dF= a 2 + b 2
F1 ( − dF , 0 ); F2 ( dF , 0 )
dF= a 2 + b 2
F1 ( 0, − dF ); F2 ( 0, dF )
y
y
F2 ( 0, dF ) F1
F2
(- dF, 0)
dF
dF
x
x
(dF, 0) F1 ( 0, -dF )
División de un segmento en una razón r=
x2 − x1 xr − x1
r=
Ecuación general de la recta Ax + By + C = 0
y2 − y1 yr − y1
y
P ( x1, y1 )
B ( x2 , y2 ) ( xr , yr ) R
Alfaomega
Entonces: dPr =
Ax1 + Bx2 + C A2 + B2
y P ( x1 , y1 )
D ( x2 , yr )
S
A ( x1 , y1 )
Distancia de un punto a una recta
dPr
x
x
E( xr , y1 )
C ( x2 , y1 )
Ax +By +C =0
Cálculo integral • José Alfredo Ramos Beltrán
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