Explicación.- Generalización de la Regla de Ruffini_8b9cdfac9743519cf9897ba37e46fbe6

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Matemática para Ingeniería

Ejercicio y explicación

Generalización de la Regla de Ruffini Nota: La siguiente explicación es una ayuda complementaria de los conceptos vertidos en las páginas 123 y 124 del cuadernillo de la cátedra.

Recordamos Hacemos uso de la Regla de Ruffini cuando efectuamos una división y el polinomio divisor es mónico y de grado 1, por lo que tendrá la siguiente forma: (𝒙 − 𝒂) Ejercicio Vamos a explicar la Generalización de la Regla de Ruffini resolviendo el Ejercicio 53 b) de la página 125 53.b) Calcular el cociente y el resto de la siguiente división: 𝐱 𝟑 − 𝟓 𝐱 𝟐 + 𝐱 ∶ 𝟐𝐱 + 𝟏

Resolución

¿Qué debemos observar para decidir si aplicamos la Regla de Ruffini? ¿El polinomio divisor es de grado 1? Sí, ya que 1 es el mayor de los grados de sus términos 𝟐𝐱 𝟏 + 𝟏

¿El polinomio divisor es mónico? Decimos que un polinomio es mónico si el coeficiente principal es igual a 1. En este caso 𝟐𝐱 + 𝟏, el coeficiente principal es 2. Por ello, debemos factorizar el divisor y así obtenemos un polinomio mónico y de grado 1 asociado al divisor. 𝐝 𝐱 = 𝟐𝐱 + 𝟏 = 𝟐 𝐱 +

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𝟏 𝟐

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Ejercicio y explicación

De la factorización, trabajaremos con el polinomio mónico y de grado 1 obtenido: 𝒙−𝒂= 𝐱+

𝟏 𝟐

Haremos uso de la Regla de Ruffini. Para ello completamos el polinomio dividendo: 𝐱𝟑 − 𝟓 𝐱𝟐 + 𝐱𝟏 + 𝟎 𝐱𝟎

Coeficientes (polinomio completo y ordenado) 𝐱𝟑 1 𝒂=−

𝟏 𝟐

𝐱𝟐

𝐱𝟏

𝐱𝟎

−𝟓

1

0

𝟏 𝟐 𝟏𝟏 − 𝟐

𝟏𝟏 𝟒 𝟏𝟓 𝟒

−

1

𝟏𝟓 𝟖 𝟏𝟓 − 𝟖 −

Por lo tanto, aplicando la Regla de Ruffini, obtuvimos: cociente C'(x) 𝑪′ 𝒙 = 𝐱 𝟐 −

𝟏𝟏 𝟐

𝐱+

resto R 𝟏𝟓

𝑹=−

𝟒

𝟏𝟓 𝟖

ATENCIÓN! 𝟏

El cociente C'(x) es el obtenido de efectuar la división por el divisor 𝒙 + 𝟐 y no por el divisor original 𝟐𝒙 + 𝟏 .

El cociente C(x) de dividir por 𝟐𝒙 + 𝟏 será: 𝑪 𝒙 =

𝑪′ 𝒙 1 11 15 = x2 − x+ 𝟐 2 4 8

donde 2 es el factor común obtenido al factorizar el polinomio divisor en el punto N° 2. El resto R no se ve afectado.

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Ejercicio y explicación

En fin, la respuesta del ejercicio será: cociente C(x) 𝑪 𝒙 =

resto R

𝟏 𝟐 𝟏𝟏 𝟏𝟓 𝐱 − 𝐱+ 𝟐 𝟒 𝟖

𝑹=−

𝟏𝟓 𝟖

Ahora, una vez resuelto, comprenderemos lo efectuado haciendo uso del algoritmo de la división: 𝑷 𝒙 = 𝒅 𝒙 .𝑪 𝒙 + 𝑹 Con los datos del ejercicio, resulta que: 𝐱 𝟑 − 𝟓 𝐱 𝟐 + 𝐱 = 𝟐𝐱 + 𝟏 . 𝑪 𝒙 + 𝑹 Al sacar factor común: 𝐱𝟑 − 𝟓 𝐱𝟐 + 𝐱 = 𝟐 𝒙 +

𝟏 .𝑪 𝒙 + 𝑹 𝟐

Por propiedad conmutativa, reescribimos el primer término del segundo miembro: 𝐱𝟑 − 𝟓 𝐱𝟐 + 𝐱 = 𝒙 +

𝟏 .𝟐 .𝑪 𝒙 + 𝑹 𝟐 𝟏

Cuando aplicamos la regla de Ruffini, lo hicimos con el divisor 𝒙 + 𝟐 , obteniendo C'(x) y R por lo que:

𝐱𝟑 − 𝟓 𝐱𝟐 + 𝐱 = 𝒙 +

𝟏 . 𝑪′(𝒙) + 𝑹 𝟐

Si comparamos los dos pasos anteriores, observamos que: 𝟐 . 𝑪 𝒙 = 𝑪′ 𝒙 entonces: 𝑪 𝒙 =

𝑪′ 𝒙 𝟐

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Ejercicio y explicación

Concluimos que al generalizar la regla de Ruffini, debemos dividir el cociente obtenido C'(x) por el factor común para obtener C(x). Si queremos verificar, resolvemos: 𝑷 𝒙 = 𝒅 𝒙 .𝑪 𝒙 + 𝑹 𝐱 𝟑 − 𝟓 𝐱 𝟐 + 𝐱 = 𝟐𝐱 + 𝟏 .

𝟏 𝟐 𝟏𝟏 𝟏𝟓 𝟏𝟓 𝐱 − 𝐱+ − 𝟐 𝟒 𝟖 𝟖

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