Ejemplos de varianza y desviación estándar

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Varianza y desviación estándar para datos no agrupados. 1. Una muestra tiene los siguientes datos: 3, 8, 7, 5, 9, 4. Calcular la varianza y la desviación estándar Primero se calcula la media aritmética.

𝑥̅ =

3 + 8 + 7 + 5 + 9 + 4 36 = =6 6 6

Se sustituye en la fórmula 𝒔𝟐 =

∑𝒏 ̅)𝟐 𝒊=𝟏(𝒙𝒊−𝒙 𝒏−𝟏

(3 − 6)2 + (8 − 6)2 + (7 − 6)2 + (5 − 6)2 + (9 − 6)2 + (4 − 6)2 𝑠 = 6−1 2

𝑠2 =

(−3)2 + (2)2 + (1)2 + (−1)2 + (3)2 + (−2)2 5

𝑠2 =

9 + 4 + 1 + 1 + 9 + 4 28 = = 5.6 5 5

𝒔𝟐 = 𝟓. 𝟔 Para calcular la desviación estándar se utiliza la siguiente fórmula 𝑠 = √𝑠 2

𝑠 = √5.6 𝒔 = 𝟐. 𝟑𝟕

Varianza y desviación estándar para datos agrupados. 1. La siguiente distribución se refiere al estudio sobre el tiempo de reacción (tiempo entre la señal de salida y el contacto del competidor con el agua) de una muestra de 30 nadadores con magnitudes antropométricas similares. Calcula la desviación estándar y la varianza. Tiempos de reacción (en segundos)

fi (No. de competidores)

Xi (Marca de clase)

fixi

0.78 – 0.79 0.80 – 0.81 0.82 – 0.83 0.84 – 0.85 0.86 – 0.87

2 4 8 6 10 n=30

0.785 0.805 0.825 0.845 0.865

1.57 3.22 6.6 5.07 8.65 25.11

𝑥𝑖 − 𝑥̅ Desvío

(𝑥𝑖 − 𝑥̅ )2 Desvío al cuadrado

-0.052 -0.032 -0.012 0.008 0.028

0.0027 0.001024 0.00014 0.000064 0.000784 0.004712

𝑓𝑖(𝑥𝑖 − 𝑥̅ )2 Producto de frecuencia por el desvío al cuadrado 0.0054 0.0040 0.0011 0.0003 0.0078 0.0186

a) Calcular la media aritmética 𝑥̅ =

𝑓𝑖𝑥𝑖 𝑛

𝑥̅ =

25.11 30

= 0.837

b) Calcular los desvíos para sustituir en la fórmula 𝑥𝑖 − 𝑥̅ c) Elevar al cuadrado los desvíos (𝑥𝑖 − 𝑥̅ )2 d) Multiplicar el cuadrado de los desvíos por la frecuencia 𝑓𝑖(𝑥𝑖 − 𝑥̅ )2 e) Sustituir en la fórmula para calcular la varianza con datos agrupados 𝑠 2 = 𝑠2 = f)

0.0186 = 0.00064 30 − 1

La desviación estándar se calcula con la fórmula 𝑠 = √𝑠 2 𝑠 = √0.00064 = 0.025

2 ∑𝑛 𝑖=1 𝑓𝑖 (𝑥𝑖 −𝑥̅ )

𝑛−1

Ejercicios. 1. Los siguientes valores corresponden a la suma de puntos de las caras de dos dados en una serie de quince lanzamientos: 12, 11, 8, 11, 5, 5, 11, 2, 4, 10, 3, 11, 5, 9, 3. Calcular la varianza y la desviación estándar. 2. La siguiente tabla corresponde al número de horas extras trabajadas durante un mes en una empresa de 50 trabajadores. Calcula la varianza y la desviación estándar.

Intervalo de clase 2–4 5–7 8 – 10 11 – 13 14 – 16

fi xi 8 3 10 6 14 9 11 12 7 15 n=50 3. En la siguiente tabla se muestran los datos del número de horas que quedan prendidas las lámparas de una avenida en una ciudad. Intervalo de clase 8.2 – 9.0 9.1 – 9.9 10.0 – 10.8 10.9 – 11.7 11.8 – 12.6

fi 2 4 8 5 3 n=22

4. Las siguientes son velocidades en m/s que un móvil ha registrado para recorrer distancias iguales. 13, 10, 13, 10, 11, 16, 14, 13. Calcula: a) El promedio de su velocidad b) La varianza c) La desviación estándar.