(Cengel Series) Yunus A. Çengel_ John M. Cimbala-Mecánica de fluidos-McGraw-Hill (2012)

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MECÁNICA DE FLUID O S

MECÁNICA DE FLUID O S FUNDAMENTOS Y APLICACIONES

Segunda edición

YUNUS A. ÇENGEL University of Nevada, Reno

JOHN M. CIMBALA The Pennsylvania State University Revisión técnica: Sofía Faddeeva Sknarina Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, Campus Estado de México

Alberto Peña Bandrés Universidad del País Vasco, España

Antonio Rubén Benítez Gasca Instituto Tecnológico de Boca del Río

Alejandro Rivas Nieto Universidad de Navarra, España

César de Jesús Gutiérrez Pérez Reguera Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, Campus Querétaro

Armando Sansón Ortega Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, Campus Toluca

Guillermo Eduardo Mejía Hernández Instituto Tecnológico de Querétaro

Francisco J. Solorio Ordaz Universidad Nacional Autónoma de México

César Adolfo Ortega Vivas Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, Campus Querétaro

MÉXICO • BOGOTÁ • BUENOS AIRES • CARACAS • GUATEMALA • MADRID NUEVA YORK • SAN JUAN • SANTIAGO • SAO PAULO • AUCKLAND LONDRES • MILÁN • MONTREAL • NUEVA DELHI • SAN FRANCISCO SINGAPUR • SAN LUIS • SIDNEY • TORONTO

Director general: Miguel Ángel Toledo Editor sponsor: Pablo E. Roig Coordinadora editorial: Marcela I. Rocha Editora de desarrollo: Ana Laura Delgado Supervisor de producción: Zeferino García García Traducción: Víctor Campos Olguín/Sergio Sarmiento Ortega/Francisco Sánchez Fragoso

MECÁNICA DE FLUIDOS. FUNDAMENTOS Y APLICACIONES Segunda edición Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra, por cualquier medio, sin la autorización escrita del editor.

DERECHOS RESERVADOS © 2012, respecto a la segunda edición en español por McGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES, S.A. DE C.V. A Subsidiary of The McGraw-Hill Companies, Inc. Prolongación Paseo de la Reforma 1015, Torre A Piso 17, Colonia Desarrollo Santa Fe Delegación Álvaro Obregón C.P. 01376, México, D.F. Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana, Reg. Núm. 736 ISBN 978-607-15-0779-2 ISBN (primera edición en español): 978-970-10-5612-4

Traducido de la segunda edición de: Fluid Mechanics. Fundamentals and Applications by Yunus A. Çengel and John M. Cimbala. Copyright © 2010, by The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. ISBN 978-0-07-352926-4 1234567890

1345678902

Impreso en México

Printed in Mexico

Dedicatoria A todos los estudiantes: con la esperanza de fomentar deseo y entusiasmo por explorar los procesos internos de nuestro maravilloso universo, entre los cuales la mecánica de fluidos es una parte pequeña pero fascinante; nuestra esperanza es que este libro aumente su amor por el conocimiento, no sólo por la mecánica de fluidos, sino también por la vida.

ACERCA

DE

LOS AUTORES

Yunus A. Çengel es profesor emérito de Ingeniería mecánica en la Universidad de Nevada, en Reno, Estados Unidos. Recibe su grado de licenciatura en Ingeniería mecánica de la Universidad Técnica de Istanbul, y su grado de maestría en Ciencias y doctor en Ingeniería Mecánica de la Universidad Estatal de Carolina del Norte. Sus áreas de investigación son la energía renovable, la desalinización, el análisis exergético, el mejoramiento de la transferencia de calor y la conservación de exergía. Sirvió como director del Centro de Evaluación Industrial (IAC, por sus siglas en inglés) de la Universidad de Nevada en Reno, de 1996 a 2000. Ha dirigido grupos de estudiantes de ingeniería en numerosas plantas de manufactura en Nevada del Norte y California, para hacer evaluaciones industriales y preparar informes de conservación de energía, minimización de desperdicio y mejora de la productividad. El doctor Çengel es coautor del libro de texto, ampliamente adoptado, Termodinámica, sexta edición (2009), publicado por McGraw-Hill. También es autor de Transferencia de calor y masa, cuarta edición (2011), y coautor de Fundamentals of Thermal-Fluid Sciences, tercera edición (2008), publicados por McGraw-Hill. Algunos de estos textos han sido traducidos al chino, japonés, coreano, turco, italiano y griego. El doctor Çengel ha recibido diversos premios importantes a la enseñanza y obtuvo el Premio ASEE al Autor Distinguido de Meriam-Wiley por excelencia en la autoría en 1992 y en 2000. El doctor Çengel es un ingeniero profesional registrado en el Estado de Nevada y es miembro de la Sociedad Americana de Ingenieros Mecánicos (ASME, por sus siglas en inglés) y la Sociedad Americana para Educación en Ingeniería (ASEE, por sus siglas en inglés). John M. Cimbala es profesor de Ingeniería Mecánica en la Universidad Estatal de Pennsylvania, en University Park (Penn State). Recibió el grado de licenciatura en Ingeniería Aeroespacial de la Penn State y el de maestría en Aeronáutica del Instituto Tecnológico de California (CalTech). Se graduó como doctor en Aeronáutica del CalTech en 1984, bajo la supervisión del profesor Anatol Roshko, a quien estará por siempre agradecido. Sus áreas de investigación incluyen tanto el aspecto experimental como el computacional de la mecánica de fluidos y la transferencia térmica, la turbulencia, el modelado de turbulencia, la turbomaquinaria, calidad de aire en interiores y control de contaminación de aire. Durante el año académico 1993-1994, el profesor Cimbala tomó un periodo sabático para trabajar en el Centro de Investigación de la NASA en Langley, donde avanzó su conocimiento de dinámica de fluidos computacional (computational fluid dynamics) y modelado de turbulencia. El doctor Cimbala es coautor de otros tres libros de texto: Indoor Air Quality Engineering: Environmental Health and Control of Indoor Pollutants (2003), publicado por Marcel-Dekker, Inc.; Essentials of Fluid Mechanics: Fundamentals and Applications) (2008), y Fundamentals of Thermal-Fluid Sciences, tercera edición (2008), ambos publicados por McGraw-Hill. También ha contribuido parcialmente en otros libros y es autor o coautor de docenas de artículos en revistas y de conferencias. Se puede encontrar más información en www.mne.psu.edu/cimbala. El profesor Cimbala ha recibido múltiples premios a la enseñanza y concibe su oficio de escritor de libros de texto como una extensión de su amor por la enseñanza. Es miembro del Instituto Americano de Aeronáutica y Astronáutica (AIAA), la Sociedad Americana de Ingenieros Mecánicos (ASME), la Sociedad Americana para la Educación en Ingeniería (ASEE) y la Sociedad Física Americana (APS).

SUMARIO CAPÍTULO

UNO

INTRODUCCIÓN Y CONCEPTOS BÁSICOS

CAPÍTULO

1

DOS

PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS

37

CAPÍTULO TRES PRESIÓN Y ESTÁTICA DE FLUIDOS

CAPÍTULO

C U AT R O

CINEMÁTICA DE FLUIDOS

CAPÍTULO

73

131

CINCO

ECUACIONES DE CONSERVACIÓN DE MASA, DE BERNOULLI Y DE ENERGÍA 183

CAPÍTULO

SEIS

ANÁLISIS DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO DE LOS SISTEMAS DE FLUJO 239

CAPÍTULO

SIETE

ANÁLISIS DIMENSIONAL Y MODELADO

CAPÍTULO

OCHO

FLUJO EN TUBERÍAS

CAPÍTULO

283

337

NUEVE

ANÁLISIS DIFERENCIAL DE FLUJO DE FLUIDOS

CAPÍTULO

419

DIEZ

SOLUCIONES APROXIMADAS DE LA ECUACIÓN DE NAVIER-STOKES

CAPÍTULO

ONCE

FLUJO EXTERNO: ARRASTRE Y SUSTENTACIÓN

CAPÍTULO

583

DOCE

FLUJO COMPRESIBLE

635

CAPÍTULO TRECE FLUJO EN CANAL ABIERTO

CAPÍTULO TURBOMAQUINARIA

CAPÍTULO

701

C AT O R C E 761

QUINCE

INTRODUCCIÓN A LA DINÁMICA DE FLUIDOS COMPUTACIONAL

853

491

CONTENIDO

Prefacio

xv

CAPÍTULO

CAPÍTULO

PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS

UNO

INTRODUCCIÓN Y CONCEPTOS BÁSICOS 1-1

1

2-2 4

Condición de no-deslizamiento 6 Breve historia de la mecánica de fluidos 7 Clasificación de los flujos de fluidos 9

1-8

Densidad y gravedad específica 39 40

2-3

Presión de vapor y cavitación 41

2-4 2-5

Energía y calores específicos 43 Compresibilidad y velocidad del sonido 44 Coeficiente de compresibilidad 44 Coeficiente de expansión volumétrica 46 La velocidad del sonido y el número de Mach

Viscosidad 50

2-7

Tensión superficial y efecto capilar 55 Efecto capilar 58 Resumen 61

Bibliografía y lecturas recomendadas Problemas 63

20

Modelado en ingeniería

3-1

22

Técnica para la resolución de problemas 23

3-3 3-4

Engineering Equation Solver (EES) (Programa para resolver ecuaciones de ingeniería) 26 Flow-Lab 27

1-10 Exactitud, precisión y dígitos significativos 27 31

Proyector de aplicaciones: ¿qué tienen en común las explosiones nucleares y las gotas de lluvia? 32 33

76

Dispositivos de medición de presión 79 El barómetro 79 El manómetro 82 Otros instrumentos para medir la presión

24

73

Presión 74 Presión en un punto 75 Variación de la presión con la profundidad

3-2

Paquetes de software para ingeniería 25

Problemas

63

CAPÍTULO TRES PRESIÓN Y ESTÁTICA DE FLUIDOS

Resumen 31 Bibliografía y lecturas recomendadas

48

2-6

Modelado matemático de los problemas de ingeniería 21

Paso 1: Enunciado del problema 23 Paso 2: Esquema 24 Paso 3: Suposiciones y aproximaciones 24 Paso 4: Leyes físicas 24 Paso 5: Propiedades 24 Paso 6: Cálculos 24 Paso 7: Razonamiento, verificación y discusión

1-9

38

Proyector de aplicaciones: cavitación 62

Sistema y volumen de control 14 Importancia de las dimensiones y de las unidades 15 Algunas unidades SI e inglesas 16 Homogeneidad dimensional 19 Razones unitarias para conversión de unidades

1-7

37

Introducción 38

Densidad de los gases ideales

Regiones viscosas de flujo en comparación con las no-viscosas 9 Flujo interno en comparación con el externo 10 Flujo compresible en comparación con el incompresible 10 Flujo laminar en comparación con el turbulento 11 Flujo natural (o no-forzado) en comparación con el forzado 11 Flujo estacionario en comparación con el no-estacionario 11 Flujos unidimensional, bidimensional y tridimensional 13

1-5 1-6

2-1

Medio continuo

Introducción 2 ¿Qué es un fluido? 2 Áreas de aplicación de la mecánica de fluidos

1-2 1-3 1-4

DOS

86

Introducción a la estática de fluidos 87 Fuerzas hidrostáticas sobre superficies planas sumergidas 88 Caso especial: placa rectangular sumergida

90

3-5

Fuerzas hidrostáticas sobre superficies curvas sumergidas 93

3-6

Flotación y estabilidad

97

Estabilidad de los cuerpos sumergidos y de los flotantes

3-7

100

Fluidos en el movimiento del cuerpo rígido 102 Caso especial 1: Fluidos en reposo 104 Caso especial 2: Caída libre de un cuerpo de fluido

104

ix CONTENIDO Aceleración sobre una trayectoria recta 105 Rotación en un recipiente cilíndrico 107 Resumen 110 Bibliografía y lecturas recomendadas 111 Problemas 111

CAPÍTULO

Aceleración de una partícula de fluido 197 Deducción de la ecuación de Bernoulli 198 Balance de fuerzas a través de las líneas de corriente 200 Flujo no estacionario y compresible 200 Presiones estática, dinámica y de estancamiento 200 Limitaciones en el uso de la ecuación de Bernoulli 202 Línea de gradiente hidráulico (LGH) y línea de energía (LE) 203 Aplicaciones de la ecuación de Bernoulli 205

134

5-5

Patrones de flujo y visualización del flujo

4-5 4-6

5-6

Gráficas de los datos sobre flujo de fluidos 146

Análisis de energía de los flujos estacionarios 217

CAPÍTULO

SEIS

Otras descripciones cinemáticas 149

ANÁLISIS DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO DE LOS SISTEMAS DE FLUJO 239

Tipos de movimiento o deformación de los elementos de fluidos 149

6-1

Leyes de Newton 240

Vorticidad y rotacionalidad 154

6-2

Elección de un volumen de control 241

Comparación de dos flujos circulares

6-3

Fuerzas que actúan sobre un volumen de control 242 La ecuación de la cantidad de movimiento lineal 245

157

El teorema del transporte de Reynolds 158

6-4

Casos especiales 247 Factor de corrección del flujo de la cantidad de movimiento, B 247 Flujo estacionario 249 Flujo sin fuerzas externas 250

Proyector de aplicaciones: actuadores fluídicos 167 Bibliografía y lecturas recomendadas Problemas 168

CAPÍTULO

168

6-5 6-6

CINCO

ECUACIONES DE CONSERVACIÓN DE MASA, DE BERNOULLI Y DE ENERGÍA 183

Repaso del movimiento de rotación y de la cantidad de movimiento angular 259 La ecuación de la cantidad de movimiento angular 261 Casos especiales 263 Flujo sin momentos externos 264 Dispositivos de flujo radial 265 Resumen 269 Bibliografía y lecturas recomendadas Problemas 270

Introducción 184 Conservación de la masa 184 Conservación de la cantidad de movimiento Conservación de la energía 184

5-2

212

Caso especial: flujo incompresible sin aparatos de trabajo mecánico y con fricción despreciable 219 Factor de corrección de la energía cinética, a 219 Resumen 226 Bibliografía y lecturas recomendadas 227 Problemas 227

146

Deducción alternativa del teorema del transporte de Reynolds 163 Relación entre la derivada material y el RTT 165 Resumen 166

5-1

Ecuación general de la energía

Transferencia de energía por calor, Q 213 Transferencia de energía por trabajo, W 213

139

Gráficas de perfiles 147 Gráficas vectoriales 147 Gráficas de contornos 148

4-4

La ecuación de Bernoulli 197

131

Líneas de corriente y tubos de corriente 139 Líneas de trayectoria 140 Líneas de traza 142 Líneas fluidas 144 Técnicas refractivas de visualización del flujo 145 Técnicas de visualización del flujos sobre la superficie

4-3

5-4

Descripciones lagrangiana y euleriana 132 Campo de aceleraciones Derivada material 137

4-2

Energía mecánica y eficiencia 192

C U AT R O

CINEMÁTICA DE FLUIDOS 4-1

5-3

270

184

Conservación de la masa 185 Gastos de masa y de volumen 185 Principio de conservación de la masa 187 Volúmenes de control en movimiento o en deformación 189 Balance de masa para procesos de flujo estacionario 189 Caso especial: flujo incompresible 190

CAPÍTULO

SIETE

ANÁLISIS DIMENSIONAL Y MODELADO 7-1

Dimensiones y unidades 284

7-2

Homogeneidad dimensional 285 Eliminación de dimensiones de las ecuaciones

283

286

x CONTENIDO

7-3

Análisis dimensional y similitud 291

7-4

El método de repetición de variables y el teorema Pi de Buckingham 295

Proyector histórico: personas honradas con parámetros adimensionales 303

7-5

Pruebas experimentales y similitud incompleta 311 Configuración de un experimento y correlación de los datos experimentales 311 Similitud incompleta 312 Pruebas en el túnel de viento 312 Flujos con superficies libres 315

Proyector de aplicaciones: ¿cómo vuela una mosca? 318 Resumen 319 Bibliografía y lecturas recomendadas Problemas 319

CAPÍTULO

OCHO

FLUJO EN TUBERÍAS

337

Introducción 338

8-2

Flujos laminar y turbulento 339

8-3 8-4

340

9-3

NUEVE

Introducción 420 Conservación de masa: la ecuación de continuidad 420

La función de corriente 432 La función de corriente en coordenadas cartesianas 432 La función de corriente en coordenadas cilíndricas La función de corriente de flujo compresible 440

342

Flujo laminar en tuberías 343

9-4

357

9-5

Conservación de cantidad de movimiento lineal: ecuación de Cauchy 441

La ecuación de Navier-Stokes

446

Introducción 446 Fluidos newtonianos versus fluidos no-newtonianos 447 Deducción de la ecuación de Navier-Stokes para flujo isotérmico incompresible 448 Ecuaciones de continuidad y de Navier-Stokes en coordenadas cartesianas 450 Ecuaciones de continuidad y de Navier-Stokes en coordenadas cilíndricas 451

Pérdidas menores 364 Redes de tubería y selección de bombas 371 373

Medición de razón de flujo y de velocidad 380 Sonda de Pitot y sonda de Pitot estática (tubo de Prandtl) 381 Flujómetros de obstrucción: placas de orificio, medidores de Venturi y toberas de flujo 382 Flujómetros de desplazamiento positivo 386 Caudalímetros de desplazamiento positivo 386 Flujómetros de turbina 386 Flujómetros de área variable (rotámetro) 388 Flujómetros ultrasónicos 389 Flujómetros electromagnéticos 391

439

Deducción con el uso del teorema de divergencia 441 Deducción con el uso de un volumen de control infinitesimal 442 Forma alternativa de la ecuación de Cauchy 445 Deducción con el uso de la segunda Ley de Newton 445

Flujo turbulento en tuberías 351

Tuberías en serie y en paralelo 371 Sistemas de tuberías con bombas y turbinas

8-8

401

Deducción con el uso del teorema de divergencia 421 Deducción con el uso de un volumen de control infinitesimal 422 Forma alternativa de la ecuación de continuidad 425 Ecuación de continuidad en coordenadas cilíndricas 426 Casos especiales de la ecuación de continuidad 426

Esfuerzo de corte turbulento 353 Perfil de velocidad turbulento 354 La gráfica de Moody y la ecuación de Colebrook Tipos de problemas de flujo de fluidos 359

8-6 8-7

CAPÍTULO

9-1 9-2

Caída de presión y pérdida de carga 345 Efecto de la gravedad sobre la velocidad y el caudal en flujo laminar 347 Flujo laminar en tuberías no-circulares 348

8-5

Resumen 400 Bibliografía y lecturas recomendadas Problemas 402

ANÁLISIS DIFERENCIAL DE FLUJO DE FLUIDOS 419

La región de entrada 341 Longitudes de entrada

Proyector de aplicaciones: cómo funcionan, o no funcionan, los flujómetros de placa de orificio 399

319

8-1

Número de Reynolds

Flujómetros de vórtice 392 Anemómetros térmicos (de hilo calientey película caliente) 392 Velocimetría láser Doppler 394 Velocimetría de imagen de partícula 396

9-6

Análisis diferencial de problemas de flujo de fluidos 452 Cálculo del campo de presión para un campo de velocidad conocido 452 Soluciones exactas de las ecuaciones de continuidad y de Navier-Stokes 457 Resumen 475 Bibliografía y lecturas recomendadas 475 Problemas 476

xi CONTENIDO

CAPÍTULO

11-5 Flujo paralelo sobre placas planas 601

DIEZ

Coeficiente de fricción

SOLUCIONES APROXIMADAS DE LA ECUACIÓN DE NAVIER-STOKES 491

603

11-6 Flujo sobre cilindros y esferas 606 Efecto de rugosidad de superficie

10-1 Introducción 492 10-2 Ecuaciones adimensionalizadas de movimiento 493 10-3 Aproximación de flujo de Stokes

608

11-7 Sustentación 610 Efectos de los extremos de las alas 614 Sustentación generada por rotación 615 Resumen 619 BibliografÍa y lecturas recomendadas 620

496

Fuerza de arrastre sobre una esfera en flujo de Stokes

499

10-4 Aproximación para regiones invíscidas de flujo 501

Proyector de aplicaciones: reducción del arrastre 621 Problemas

622

Derivación de la ecuación de Bernoulli en regiones invíscidas de flujo 502

CAPÍTULO

10-5 La aproximación de flujo irrotacional 505

FLUJO COMPRESIBLE

Ecuación de continuidad 505 Ecuación de cantidad de movimiento 507 Deducción de la ecuación de Bernoulli en regiones irrotacionales de flujo 507 Regiones irrotacionales bidimensionales de flujo 510 Superposición de flujo en regiones irrotacionales 514 Flujos planares irrotacionales elementales 514 Flujos irrotacionales formados por superposición 521

Variación de la velocidad de fluido con el área de flujo 642 Relaciones de propiedades de flujo isentrópico de gas ideal 643

Ecuaciones de la capa límite 535 El procedimiento de capa límite 540 Espesor de desplazamiento 544 Espesor de la cantidad de movimiento 547 Capa límite turbulenta sobre placa plana 548 Capas límite con gradientes de presión 554 Técnica de la integral de la cantidad de movimiento para capas límite 559 Resumen 567 Bibliografía y lecturas recomendadas 568

Proyector de aplicaciones: formación de gotitas 509 570

CAPÍTULO

635

12-1 Propiedades de estancamiento 636 12-2 Flujo isentrópico unidimensional 639

10-6 La aproximación de capa límite 530

Problemas

DOCE

12-3 Flujo isentrópico en toberas 646 Toberas convergentes 646 Toberas convergente-divergentes

651

12-4 Ondas de choque y ondas de expansión 655 Choques normales 655 Choques oblicuos 661 Ondas de expansión de Prandtl-Meyer

665

12-5 Flujo en ducto con transferencia de calor en caso de fricción despreciable (flujo de Rayleigh) 669 Relaciones entre las propiedades para el flujo de Rayleigh 675 Flujo de Rayleigh bloqueado 676

12-6 Flujo adiabático en un ducto con fricción (flujo de Fanno) 678

ONCE

Relaciones entre las propiedades del flujo de Fanno Flujo de Fanno bloqueado 684

FLUJO EXTERNO: ARRASTRE Y SUSTENTACIÓN 583

681

Proyector de aplicaciones: interacción entre las ondas de choque y las capas límite 688

11-1 Introducción 584

Resumen 689 Bibliografía y lecturas recomendadas Problemas 690

11-2 Arrastre y sustentación 586

690

11-3 Arrastre debido a fricción y a presión 590 Reducción del arrastre mediante el diseño aerodinámico Separación de flujo 592

11-4 Coeficientes de arrastre de geometrías comunes 593 Sistemas biológicos y arrastre 597 Coeficientes de arrastre de vehículos Superposición 599

591

CAPÍTULO TRECE FLUJO EN CANAL ABIERTO

701

13-1 Clasificación de flujos en canales abiertos 702 598

Flujos uniforme y variado 702 Flujos laminares y turbulentos en canales

703

xii CONTENIDO

13-2 Número de Froude y velocidad de onda 705 Velocidad de ondas superficiales

707

13-3 Energía específica 709 13-4 Ecuaciones de conservación de masa y energía 712 13-5 Flujo uniforme en canales 713 Flujo uniforme crítico 715 Método de superposición para perímetros no uniformes 716

13-6 Mejores secciones transversales hidráulicas 719 Canales rectangulares 721 Canales trapezoidales 721

Parámetros adimensionales de turbinas 831 Velocidad específica de las turbinas 833

Proyector de aplicaciones: atomizadores de combustible rotatorios 837 Resumen 838 Bibliografía y lecturas recomendadas Problemas 839

CAPÍTULO

838

QUINCE

INTRODUCCIÓN A LA DINÁMICA DE FLUIDOS COMPUTACIONAL 853 15-1 Introducción y fundamentos 854

13-7 Flujo de variación gradual 723 Perfiles de superficie de líquido en canales abiertos, y (x) 725 Algunos perfiles representativos de la superficie 728 Soluciones numéricas del perfil de la superficie 730

13-8 Flujo de variación rápida y salto hidráulico 733 13-9 Control y medición del flujo 737 Compuertas de corriente subálvea 738 Compuertas de sobreflujo 740 Resumen 747 Bibliografía y lecturas recomendadas 748 Problemas 748

CAPÍTULO

C AT O R C E

TURBOMAQUINARIA

761

14-1 Clasificaciones y terminología 762 14-2 Bombas 764 Curvas de rendimiento de la bomba y correspondencia entre una bomba y un sistema de tubería 765 Cavitación de la bomba y la carga de aspiración neta positiva 771 Bombas en serie y en paralelo 774 Bombas de desplazamiento positivo 777 Bombas dinámicas 780 Bombas centrífugas 780 Bombas axiales 790

14-3 Leyes de semejanza para bombas 799 Análisis dimensional 799 Velocidad específica de la bomba Leyes de semejanza 803

14-5 Leyes de semejanza para turbinas 831

Motivación 854 Ecuaciones de movimiento 854 Procedimiento de solución 855 Ecuaciones de movimiento adicionales 857 Generación de la malla e independencia de la malla Condiciones de frontera 863 Condiciones de frontera de pared 863 La práctica hace al maestro 867

15-2 Cálculos de la DFC de flujo laminar 867 Región de entrada de flujo en una tubería a Re = 500 867 Flujo alrededor de un cilindro circular a Re = 150 870

15-3 Cálculos de la DFC de flujo turbulento 877 Flujo alrededor de un cilindro circular a Re = 10 000 879 Flujo alrededor de un cilindro circular a Re = 107 881 Diseño del estator con álabes guía para un ventilador de flujo axial 882

15-4 DFC con transferencia de calor 890 Aumento de temperatura en un intercambiador de calor de flujo cruzado 890 Enfriamiento de un arreglo de circuitos integrados 892

15-5 Cálculos de la DFC de flujo compresible 897 Flujo compresible por una tobera convergente-divergente Ondas de choque oblicuas en una cuña 902

Turbinas de desplazamiento positivo 808 Turbinas dinámicas 808 Turbinas de impulsión o acción 809 Turbinas de reacción 811 Turbinas de gas y de vapor 822 Turbinas de viento 822

898

15-6 Cálculos de la DFC para flujo en canal abierto 903 Flujo sobre una protuberancia en el fondo de un canal Flujo a través de una compuerta de descarga (salto hidráulico) 905

904

Proyector de aplicaciones: un estómago virtual 906 Resumen 907 Bibliografía y lecturas recomendadas Problemas 908

801

14-4 Turbinas 807

857

APÉNDICE

907

1

TABLAS Y GRÁFICAS DE PROPIEDADES (UNIDADES SI) 921 TABLA A-1

Masa molar, constante de gas y calores específicos de gas ideal de algunas sustancias 922

xiii CONTENIDO

TABLA A-2 TABLA A-3 TABLA A-4 TABLA A-5 TABLA A-6 TABLA A-7 TABLA A-8 TABLA A-9 TABLA A-10 TABLA A-11 TABLA A-13

TABLA A-14

TABLA A-15 TABLA A-16

Propiedades de puntos de ebullición y de congelación 923 Propiedades del agua saturada 924 Propiedades del refrigerante saturado 925 Propiedades del amoniaco saturado 926 Propiedades del propano saturado 927 Propiedades de líquidos 928 Propiedades de metales líquidos 929 Propiedades del aire a 1 atm de presión 930 Propiedades de gases a 1 atm de presión 931 Propiedades de la atmósfera a gran altitud 933 Funciones de flujo compresible isentrópico unidimensional para un gas ideal con k = 1.4 935 Funciones de onda de choque normal unidimensional para un gas ideal con k = 1.4 936 Funciones de flujo de Rayleigh para un gas ideal con k = 1.4 937 Funciones de flujo de Fanno para un gas ideal con k = 1.4 938

APÉNDICE

2

TABLAS Y GRÁFICAS DE PROPIEDADES (UNIDADES INGLESAS) 939 TABLA A-1I

Masa molar, constante de gas y calores específicos de gas ideal de algunas sustancias 940 TABLA A-2I Propiedades de puntos de ebullición y de congelación 941 TABLA A-3I Propiedades del agua saturada 942 TABLA A-4I Propiedades del refrigerante-134a saturado 943 TABLA A-5I Propiedades del amoniaco saturado 944 TABLA A-6I Propiedades del propano saturado 945 TABLA A-7I Propiedades de líquidos 946 TABLA A-8I Propiedades de metales líquidos 947 TABLA A-9I Propiedades del aire a 1 atm de presión 948 TABLA A-10I Propiedades de gases a 1 atm de presión 949 TABLA A-11I Propiedades de la atmósfera a gran altitud 951 Glosario 953 Índice 967

P R E FAC I O

ANTECEDENTES La mecánica de fluidos es un tema atractivo y fascinante, con aplicaciones prácticas ilimitadas, que van desde los sistemas biológicos microscópicos hasta los automóviles, los aviones y la propulsión de naves espaciales. La mecánica de fluidos ha sido históricamente una de las asignaturas más desafiantes para los estudiantes de licenciatura. A diferencia de materias de primer y segundo años, como la física, la química y la mecánica para ingeniería, en donde a menudo los estudiantes aprenden las ecuaciones y luego “las teclean” en sus calculadoras, en mecánica de fluidos el análisis adecuado de un problema necesita mucho más. En primer lugar los estudiantes deben evaluar el problema, hacer suposiciones o aproximaciones y justificarlas, aplicar las leyes físicas pertinentes en las formas adecuadas y resolver las ecuaciones resultantes antes de teclear cualquier número en sus calculadoras. Muchos problemas de la mecánica de fluidos necesitan más que el simple conocimiento de la materia, también exigen intuición física y experiencia. Nuestra intención es que este libro, mediante sus cuidadosas explicaciones de los conceptos y su manejo de ejemplos prácticos, esquemas, figuras y fotografías, salve la brecha entre el conocimiento y su aplicación adecuada. La mecánica de fluidos es una materia madura; las ecuaciones y las aproximaciones básicas están bien establecidas y se pueden encontrar en numerosos libros de introducción a la mecánica de fluidos. Los libros se distinguen principalmente por la forma en que se presenta el material. Un libro accesible de mecánica de fluidos debe presentar el material en orden progresivo, de lo sencillo a lo difícil, construyendo cada capítulo sobre cimientos colocados en los capítulos anteriores. De este modo, hasta los aspectos tradicionalmente desafiantes de la mecánica de fluidos se pueden aprender eficazmente. La mecánica de fluidos es, por su propia naturaleza, una materia altamente visual, y los estudiantes aprenden más fácilmente mediante estímulos visuales. Por tanto, es imperativo que un buen libro de mecánica de fluidos proporcione también figuras, fotografías y apoyos visuales de calidad que ayuden a explicar la importancia y el significado de las expresiones matemáticas.

OBJETIVOS Este libro fue hecho para usarse como libro de texto en el primer curso de mecánica de fluidos de estudiantes de licenciatura de ingeniería, en los años iniciales o avanzados. Se asume que los estudiantes tienen una preparación adecuada en cálculo diferencial e integral, física, mecánica para ingeniería y termodinámica. Los objetivos de este texto son: • Cubrir los principios y las ecuaciones básicas de la mecánica de fluidos. • Presentar numerosos y diversos ejemplos de ingeniería de la vida real para dar a los estudiantes una idea de cómo se aplica la mecánica de fluidos en la práctica de la ingeniería. • Desarrollar un entendimiento intuitivo de la mecánica de fluidos haciendo hincapié en la física y presentando figuras atractivas y apoyos visuales para reforzar la física. El texto contiene material suficiente para dar a los profesores la flexibilidad en cuanto a los temas que deben resaltar. Por ejemplo, los instructores de ingeniería aeronáutica y aeroespacial pueden destacar el flujo potencial, la resistencia al

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movimiento y la sustentación, el flujo compresible, la turbomaquinaria y la dinámica de fluidos computacional (DFC). En cambio, es posible que los profesores de ingeniería mecánica y civil elijan temas como flujos en tubos y en canales abiertos, respectivamente. El libro se ha escrito con suficiente amplitud en la cobertura para usarse, si se desea, en una secuencia de dos cursos de mecánica de fluidos.

NOVEDADES EN LA SEGUNDA EDICIÓN En esta edición, el contenido total y el orden de presentación no han cambiado significativamente, salvo por lo que se describe a continuación: cada capítulo comienza ahora con una atractiva fotografía, que busca estimular el interés por el contenido del capítulo. También se han agregado varias fotografías a lo largo de todo el libro, que a menudo sustituyen a los dibujos que aparecían anteriormente, con objeto de ejemplificar gráficamente las aplicaciones prácticas del tema en la vida real. Hemos cambiado la sección sobre velocidad del sonido del capítulo 12 (Fluido compresible) al capítulo 2 (Propiedades de los fluidos). En el capítulo 6 (Análisis de la cantidad de movimiento de los sistemas de flujo), la subsección titulada “Flujos sin momentos externos” se ha modificado sustancialmente para darle mayor claridad. Varias partes del capítulo 13 (Flujo en canal abierto) se han mejorado con la ayuda del profesor David F. Hill, incluyendo un ejemplo de solución numérica y varios problemas nuevos al final del capítulo que necesitan soluciones numéricas. En el capítulo 14 (Turbomaquinaria) se cambió la subsección titulada “Turbinas de gas y de vapor” del final del capítulo a la sección llamada “Turbinas”. También agregamos una subsección completamente nueva en el capítulo 14, titulada: “Turbinas de viento”, material que debe resultar oportuno y útil para los estudiantes, dada la cambiante situación energética actual. Finalmente, en el capítulo 15 (“Introducción a la dinámica de fluidos computacional”), se mejoró la sección sobre generación de cuadrículas con una explicación de mallas poliédricas, que han adquirido popularidad recientemente. En esta edición se agregaron nuevos problemas de ejemplo resueltos en la mayoría de los capítulos. También se sumaron más de 200 nuevos problemas de final de capítulo, y se modificaron muchos de los anteriores para hacerlos más versátiles y prácticos. La mejora más significativa en los problemas de final de capítulo se refiere a los ejercicios de dinámica de fluidos computacional (DFC) con FlowLab. En la primera edición, había 46 problemas de FlowLab, todos en el capítulo 15. En esta edición, hemos desarrollado 78 problemas nuevos de FlowLab, con la ayuda de Shane Moeykens, Ajay Parihar, Sujith Sukumaran y Ajey Walavalkar, de ANSYSFLUENT. Las nuevas plantillas de FlowLab están diseñadas con más objetivos fundamentales de la mecánica de fluidos, además de los objetivos de la DFC. Para profesores que quieran introducir a sus estudiantes a la DFC, se disponen de múltiples ejercicios de FlowLab distribuidos en todos los capítulos del libro. La mayoría de las plantillas nuevas de FlowLab ofrecen a los estudiantes la oportunidad de comparar soluciones analíticas o “manuales” con soluciones numéricas. Por ejemplo, cuando se estudian la viscosidad y el flujo en la brecha entre cilindros concéntricos giratorios, en el capítulo 2, se pueden también ejecutar diversos problemas de FlowLab con la misma geometría, donde los estudiantes pueden ver el perfil de velocidades lineales que, como se explicó en el capítulo 2, falla al aumentar el tamaño de la brecha. Este problema se vuelve a presentar en el capítulo 9, donde los estudiantes aprenden a resolver el problema para cualquier tamaño de brecha usando la ecuación de Navier-Stokes y, luego, comparando su solución analítica con las generadas con DFC.

FILOSOFÍA Y META Este libro sigue la misma filosofía que la de los textos: Termodinámica, de Y.A. Çengel y M.A. Boles, Transferencia de calor y masa, de Y.A. Çengel, y Funda-

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mentals of Thermal-Fluid Sciences, por Y.A. Çengel, R.H. Turner y J.M. Cimbala, todos publicados por McGraw-Hill. Concretamente, la meta de los autores es ofrecer un libro de texto de ingeniería que: • se comunique directamente con las mentes de los ingenieros del mañana de una forma sencilla y a la vez precisa. • conduzca a los estudiantes hacia un entendimiento claro y a una comprensión firme de los principios básicos de la mecánica de fluidos. • aliente el pensamiento creativo y el entusiasmo en vez de ser únicamente una ayuda para resolver problemas. La filosofía de los autores afirma que la mejor manera de aprender es mediante la práctica. Por tanto, se hace un esfuerzo especial en todo el libro para reforzar el material que se presentó (en el mismo capítulo y en capítulos anteriores). En todo el libro se muestran ejemplos generados con dinámica de fluidos computacional (DFC o CFD, del inglés computational fluid dynamics), y se proporciona un capítulo introductorio sobre tal herramienta. No se pretende enseñar detalles sobre los algoritmos numéricos relacionados con la DFC; esto se puede abordar de forma más adecuada en un curso independiente, generalmente a nivel de posgrado. La intención de este libro es introducir a los estudiantes de licenciatura a las capacidades y las limitaciones de la DFC como una herramienta de ingeniería. Se emplean soluciones de DFC en forma muy similar a como se usan los resultados experimentales de una prueba en túnel de viento, es decir, para reforzar el entendimiento de la física de flujos de fluidos y para ofrecer visualizaciones de flujo, que ayuden a explicar el comportamiento de los fluidos. Con alrededor de cien problemas de DFC con FlowLab de final de capítulo, los profesores tienen gran oportunidad para introducir los principios básicos de la DFC en todo el curso.

CONTENIDO Y ORGANIZACIÓN Este libro está organizado en 15 capítulos: comienza con los conceptos fundamentales de los fluidos y los flujos de fluidos, y termina con una introducción a la dinámica de fluidos computacional, cuya aplicación se está volviendo popular, incluso a nivel de licenciatura. • El capítulo 1 proporciona una introducción básica a los fluidos, las clasificaciones de flujos de fluidos, el volumen de control contra formulaciones de sistemas, las dimensiones, unidades, cifras significativas y técnicas de resolución de problemas. • El capítulo 2 trata acerca de las propiedades de fluidos tales como la densidad, la presión de vapor, los calores específicos, la velocidad del sonido, la viscosidad y la tensión superficial. • El capítulo 3 trata de la estática de fluidos y la presión, incluyendo manómetros y barómetros, fuerzas hidrostáticas en superficies sumergidas, flotación y estabilidad, y fluidos en movimiento de cuerpos rígidos. • El capítulo 4 cubre temas relacionados con la cinemática de fluidos, tales como las diferencias entre las descripciones de flujos de fluidos de Lagrange y Euler, patrones de flujo, visualización de flujos, vorticidad y rotacionalidad, y el teorema de transportación de Reynolds. • El capítulo 5 introduce las leyes fundamentales de conservación de la masa, el momento y la energía, con énfasis en el uso adecuado de las ecuaciones de masa, de Bernoulli y de energía, y en las aplicaciones de ingeniería de estas ecuaciones. • El capítulo 7 refuerza un concepto de homogeneidad dimensional e introduce el teorema Buckingham Pi de análisis dimensional, la similitud dinámica y el método de variables repetitivas, material que es útil en todo el resto del libro y en muchas disciplinas de ciencia e ingeniería.

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• El capítulo 8 se dedica al flujo en tubos y ductos. Explicamos las diferencias entre flujo laminar y uniforme, pérdidas por fricción en tubos y ductos y pérdidas menores en redes de tubería. También explicamos cómo seleccionar correctamente una bomba o un ventilador con adecuación a una red de tubería. Finalmente, explicamos diversos dispositivos experimentales que se usan para medir caudales y velocidades. • El capítulo 9 trata del análisis diferencial de flujo de fluidos, e incluye la deducción y la aplicación de la ecuación de continuidad, la ecuación de Cauchy y la ecuación de Navier-Stokes. También introducimos una función de corriente y describimos su utilidad en el análisis de flujos de fluidos. • El capítulo 10 explica diversas aproximaciones de la ecuación de NavierStokes, y da soluciones de ejemplo para cada aproximación, incluyendo flujo trepador, flujo invíscido y flujo irrotacional (potencial) y capas frontera. • El capítulo 11 trata de fuerzas sobre cuerpos (arrastre y sustentación), explicando la distinción entre fricción y arrastre por presión, y proporcionando coeficientes de arrastre para muchas geometrías comunes. Este capítulo destaca la aplicación práctica de mediciones en túnel de viento, combinadas con los conceptos de similitud dinámica y de análisis dimensional que se introdujeron antes en el capítulo 7. • El capítulo 12 extiende el análisis de flujo de fluidos al flujo compresible, donde el comportamiento de los gases se afecta en gran medida por el número de Mach, y los conceptos de ondas de expansión, ondas de choque normales y oblicuas, y flujo ahogado. • El capítulo 13 trata del flujo en canal abierto y algunas de las características peculiares relacionadas con el flujo de líquidos con una superficie libre, tales como las ondas superficiales y los saltos hidráulicos. • El capítulo 14 examina en más detalle la turbomaquinaria, incluyendo bombas, ventiladores y turbinas. Se pone énfasis en la forma en que trabajan las bombas y las turbinas, más que en su diseño detallado. También explicamos el diseño general de bombas y turbinas, con base en las leyes de similitud dinámica y en análisis simplificados de vectores de velocidad. • El capítulo 15 describe los conceptos fundamentales de la dinámica de fluidos computacional (DFC) y enseña a los estudiantes a usar sus códigos comerciales como herramienta para resolver problemas complejos de mecánica de fluidos. Destacamos la aplicación de la DFC más que los algoritmos usados en los códigos de la DFC. Al final de cada capítulo se incorporan un gran número de problemas. Los problemas que implican cálculos están en unidades SI, y aproximadamente 20% de ellos se escriben en unidades inglesas. Finalmente, se proporciona un conjunto amplio de apéndices con las propiedades termodinámicas y fluidas de diversos materiales, no sólo aire y agua como en la mayoría de los textos introductorios de fluidos. Muchos de los problemas de final de capítulo necesitan el uso de propiedades que se encuentran en estos apéndices.

HERRAMIENTAS DE APRENDIZAJE ÉNFASIS EN LA FÍSICA Un rasgo distintivo de este libro es su acento en los aspectos físicos de la materia, además de las representaciones y las manipulaciones matemáticas. Los autores creen que el énfasis en la educación de estudiantes de licenciatura debe seguir estando en desarrollar un sentido de los mecanismos físicos subyacentes y en el dominio de la resolución de problemas prácticos que un ingeniero tiene probabilidad de encontrar en la vida real. El desarrollo del entendimiento intuitivo debe también hacer que el curso sea una experiencia estimulante y valiosa para los estudiantes.

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USO EFECTIVO DE LA ASOCIACIÓN Una mente observadora no debe tener dificultad para entender las ciencias de la ingeniería. A final de cuentas, los principios de las ciencias de ingeniería se basan en nuestras experiencias cotidianas y en nuestras observaciones experimentales. Por tanto, se usa un enfoque físico e intuitivo en todo el presente texto. Con frecuencia se plantean paralelos entre el tema de la materia y las experiencias diarias de los estudiantes, de modo que ellos puedan relacionar el tema con lo que ya saben.

AUTODIDÁCTICO El material del texto se introduce a un nivel que el estudiante promedio puede seguir cómodamente. Habla a los estudiantes, no por encima de los estudiantes. De hecho, es autoinstructivo. Dado que los principios de la ciencia se basan en observaciones experimentales, la mayoría de las deducciones en este texto se sustentan en argumentos físicos, por lo cual son fáciles de seguir y entender.

AMPLIO APOYO DE ILUSTRACIONES Las figuras son importantes herramientas de aprendizaje que ayudan a los estudiantes a “visualizar” y el texto usa gráficas eficazmente. Contiene más figuras e ilustraciones que cualquier otro libro de su categoría. Las figuras atraen la atención y estimulan la curiosidad y el interés. La mayoría de las figuras en este texto tienen el propósito de servir como medio para destacar algunos conceptos clave que de otra manera no se percibirían; algunas sirven como resúmenes de página.

ENTRADA DE CAPÍTULO Y RESÚMENES Cada capítulo comienza con una visión general del material que se va a tratar. Al final de cada capítulo se incluye un resumen que da un repaso general de los conceptos básicos y las relaciones importantes, e indica por qué es importante el tema.

NUMEROSOS EJEMPLOS RESUELTOS CON UN PROCEDIMIENTO SISTEMÁTICO DE RESOLUCIÓN Cada capítulo contiene varios ejemplos desarrollados que clarifican el material e ilustran el uso de los principios básicos. Se usa un enfoque intuitivo y sistemático en la solución de los problemas de estos ejemplos, al mismo tiempo que se mantiene un estilo informal. Primero se plantea el problema y se identifican los objetivos. Luego, se establecen las suposiciones, junto con sus justificaciones. Las propiedades necesarias para resolver el problema se presentan en una lista por separado. Los valores numéricos se usan con sus unidades para destacar el hecho de que los números sin unidades carecen de sentido y de que las manipulaciones de unidades son tan importantes como la manipulación de los valores numéricos con la calculadora. A continuación de las soluciones, se explica su significado.

ABUNDANCIA DE PROBLEMAS REALES AL FINAL DE CADA CAPÍTULO Los problemas de final de capítulo se agrupan bajo temas específicos para facilitar la selección, tanto para los instructores como para los estudiantes. Dentro de cada grupo de problemas hay Preguntas de concepto, marcadas por una C, para verificar el nivel de entendimiento de conceptos básicos que tiene el estudiante. Los problemas catalogados como Problemas de repaso son de cobertura más amplia y no están directamente vinculados con una sección específica del capítulo; en algunos casos necesitan el repaso del material que se ha aprendido en capítulos anteriores. Los problemas designados como Diseño y ensayo tienen el propósito de animar a los estudiantes a hacer juicios de ingeniería, para llevar a cabo una exploración independiente sobre temas de interés y para comunicar sus hallazgos en forma profesional. Los problemas marcados con una I están en unidades inglesas, y los usuarios del SI pueden ignorarlos. Para los problemas con el ícono son de amplia cobertura, y están concebidos para resolverse en computadora, de preferencia usando el software EES u otro similar. Los problemas con el ícono

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se resuelven usando el software FlowLab de ANSYS-FLUENT, un paquete de DFC, fácil de usar, que utiliza plantillas predefinidas. En todo el libro se incluyen varios problemas relacionados con la economía y la seguridad, para fomentar la conciencia por estos temas entre los estudiantes de ingeniería. Las respuestas de los problemas seleccionados se enlistan inmediatamente después del problema, para comodidad de los estudiantes.

USO DE UNA NOTACIÓN COMÚN El uso de diferentes notaciones para las mismas cantidades en diferentes cursos de ingeniería ha sido durante mucho tiempo una fuente de descontento y confusión. Un estudiante que cursa tanto mecánica de fluidos como transferencia de calor, por ejemplo, tiene que usar la notación Q para el caudal volumétrico en un curso y para transferencia de calor en el otro. Frecuentemente se ha señalado la necesidad de unificar la notación en la enseñanza de ingeniería, incluso en algunos informes de convenciones patrocinadas por la National Science Foundation a través de coaliciones de la fundación; pero se ha conseguido muy poco hasta ahora a este respecto. Un ejemplo es el informe final de la “Mini-Convención sobre Innovaciones de Fuentes de Energía”, del 28 y 29 de mayo de 2003, en la Universidad de Wisconsin. En este texto hemos realizado un esfuerzo consciente para . reducir al mínimo este conflicto adoptando la notación usual termodinámica V para el caudal volumétrico, reservando la notación Q para transferencia de calor. Asimismo, usamos constantemente un punto superior para denotar la rapidez con respecto al tiempo. Pensamos que tanto los estudiantes como los instructores apreciarán este esfuerzo para promover una notación común.

SELECCIÓN DEL SI O SI / UNIDADES INGLESAS Aceptando el hecho de que las unidades inglesas se usan todavía ampliamente en algunas industrias, en este texto se usan tanto el SI como las unidades inglesas, con énfasis en el SI. El material de este texto se puede cubrir combinando el SI y las unidades inglesas o sólo el SI, dependiendo de la preferencia del profesor. Las tablas de propiedades y las gráficas de los apéndices se presentan en ambas unidades, salvo las que se refieren a cantidades adimensionales. Los problemas, las tablas y las gráficas que están en unidades inglesas están marcadas con una I después del nombre para reconocerlas fácilmente, y los usuarios del SI las pueden ignorar fácilmente.

COBERTURA COMBINADA DE LAS ECUACIONES DE BERNOULLI Y DE ENERGÍA La ecuación de Bernoulli es una de las ecuaciones que más se emplean en la mecánica de fluidos, pero también es una de las que con mayor frecuencia se usan mal. Por tanto, es importante destacar las limitaciones en el uso de esta ecuación idealizada y mostrar cómo manejar correctamente las imperfecciones y las pérdidas irreversibles. En el capítulo 5 se hace esto introduciendo la ecuación de la energía inmediatamente después de la ecuación de Bernoulli y se demuestra cómo las soluciones de muchos problemas prácticos de ingeniería son diferentes a las obtenidas usando la ecuación de Bernoulli. Esto ayuda a los estudiantes a desarrollar una visión realista de la ecuación de Bernoulli.

UN CAPÍTULO ESPECIAL SOBRE DFC En la práctica de ingeniería se usan extensamente códigos comerciales de Dinámica de Fluidos Computacional (CFD, por sus siglas en inglés), para el diseño y análisis de sistemas de flujo, y se ha vuelto muy importante para los ingenieros tener un entendimiento sólido de los aspectos fundamentales, las capacidades y las limitaciones de la DFC. Aceptando que la mayoría de programas de licenciatura de ingeniería no tienen espacio para un curso completo de DFC, se incluye aquí un capítulo separado para compensar esta deficiencia y para equipar a los estudiantes con una formación adecuada sobre la potencialidad y las debilidades de la DFC.

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PROYECTOR DE APLICACIONES En todo el libro se destacan ejemplos que se llaman Proyector de aplicaciones, en los que se muestra una aplicación de la mecánica de fluidos en la vida real. Un rasgo peculiar de estos ejemplos especiales es que han sido escritos por autores invitados. Los proyectores de aplicaciones están diseñados para mostrar a los estudiantes cómo la mecánica de fluidos tiene diversas aplicaciones en una amplia variedad de campos. También incluyen atractivas fotografías que provienen de las investigaciones de los autores invitados.

GLOSARIO DE TÉRMINOS DE MECÁNICA DE FLUIDOS En todos los capítulos, cuando se introduce y se define un término o concepto importante, aparece en tipo negrita. Los términos y conceptos fundamentales de mecánica de fluidos aparecen en un amplio glosario al final del libro, desarrollado por el profesor James Brasseur, de la Universidad Estatal de Pennsylvania. Este exclusivo glosario es una excelente herramienta de aprendizaje y repaso para los estudiantes al avanzar en su estudio de la mecánica de fluidos.

FACTORES DE CONVERSIÓN En las páginas posteriores del libro se incluyen listas de los factores de conversión de uso frecuente, las constantes físicas y las propiedades del aire y del agua a 20 °C y presión atmosférica.

NOMENCLATURA Los símbolos, subíndices y superíndices principales se enlistan en las páginas de posteriores del libro, para fácil referencia.

M AT E R I A L E S D E A P O Y O Esta obra cuenta con interesantes complementos que fortalecen los procesos de enseñanza-aprendizaje, así como la evaluación de los mismos, los cuales se otorgan a profesores que adoptan este texto para sus cursos. Para obtener más información y conocer la política de entrega de estos materiales, contacte a su representante McGraw-Hill.

RECONOCIMIENTOS Los autores quisieran agradecer los numerosos y valiosos comentarios, las sugerencias, las críticas constructivas y los elogios de los siguientes evaluadores y revisores de la segunda edición: Ramesh Agarwal Universidad de Washington

M. C. Altan Universidad de Oklahoma

Brian Barkdoll Universidad Tecnológica de Michigan

John R. Biddle, PhD Universidad Politécnica de California, en Pomona

Ahsan Choudhuri Universidad de Texas, en El Paso

William H. Colwill American Hydro Corporation

A. T. Conlisk Universidad Estatal de Ohio

Jason W. DeGraw Universidad Estatal de Pennsylvania

Z. Hugh Fan Universidad de Florida

David F. Hill Universidad Estatal de Pennsylvania

Nancy Ma Universidad Estatal de Carolina del Norte

Siva Nadarajah McGill University

Hayley Shen Universidad Clarkson

Robert Spall Universidad Estatal de Utah

Andrew D. Ware American Hydro Corporation

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También agradecemos a aquellos que recibieron nuestro reconocimiento en la primera edición de este libro, pero son demasiado numerosos para volverlos a mencionar aquí. Un agradecimiento especial para Gary S. Settles y sus asociados en la Penn State (Lori Dodson-Dreibelbis, J.D. Miller y Gabrielle Tremblay) por crear los atractivos videoclips. Del mismo modo, los autores reconocen a muchas personas en ANSYS-FLUENT, Inc., y en las plantillas de FlowLab de FLUENT: Shane Moeykens, Barbara Hutchings, Liz Marshall, Ashish Kulkarni, Ajai Parihar, Sujith Sukumaran, Ajey Walavalkar y R. Murali Krishnan. El autor también agradece a James Brasseur de Penn State por crear el preciso glosario de términos de mecánica de fluidos, Glenn Brown de Oklahoma State, por suministrar muchos datos de interés histórico en todo el texto, Mehmet Kanoglu de la Universidad de Gaziantep por preparar las soluciones de los problemas EES, y Tahsin Engin, de la Universidad de Sakarya por su aportación de varios problemas de fin de capítulo. También agradecemos al equipo de traducción al coreano, quienes en el proceso de traducción señalaron varios errores e incongruencias en la primera edición, que ahora han sido corregidos. El equipo incluye a Yun-ho Choi, de la Universidad Ajou; Nae-Hyun Kim, de la Universidad de Incheon; Woonjean Park, de la Universidad Coreana de Tecnología y Educación; Wonnam Lee, de la Universidad de Dankook; Sang-Won Cha, de la Universidad de Suwon; Man Yeong Ha, de la Universidad Nacional de Pusan, y Yeol Lee, de la Universidad Aeroespacial de Corea. Finalmente, debemos expresar un agradecimiento a nuestras familias, especialmente nuestras esposas, Zehra Çengel y Suzanne Cimbala, por su continua paciencia, su comprensión y su apoyo durante todo el tiempo de preparación de este libro, lo cual implicó muchas horas largas durante las cuales tuvieron que manejar solas los asuntos familiares, porque las caras de sus esposos estaban pegadas a una pantalla de computadora. Yunus A. Çengel John M. Cimbala

CAPÍTULO

1

INTRODUCCIÓN Y CONCEPTOS BÁSICOS n este capítulo de introducción se presentan los conceptos básicos de uso común en el análisis del flujo de fluidos. Inicia con un estudio de los estados de la materia y las numerosas maneras de clasificación del flujo de fluidos, como regiones de flujo viscosas en comparación con las no-viscosas, flujo interno en comparación con el externo, flujo compresible en comparación con el incompresible, flujo laminar en comparación con el turbulento, flujo natural en comparación con el forzado y flujo estacionario en comparación con el no-estacionario. También se discute la condición de no-deslizamiento en las interfaces sólido-fluido y se presenta una historia breve del desarrollo de la mecánica de fluidos. Después de mostrar los conceptos de sistema y de volumen de control, se repasan los sistemas de unidades que se usarán. En seguida se comenta cómo se preparan los modelos matemáticos para los problemas de ingeniería y cómo interpretar los resultados que se obtienen del análisis de esos modelos. A lo anterior le sigue la presentación de una técnica para la resolución de problemas sistemática e intuitiva, que se puede utilizar como un modelo en la resolución de problemas de ingeniería. Por último, se discuten la exactitud, la precisión y los dígitos significativos en las mediciones y cálculos de ingeniería.

E

OBJETIVOS Cuando el estudiante termine de leer este capítulo debe ser capaz de ■

■

■

■

Entender los conceptos básicos de la mecánica de fluidos Reconocer los diversos tipos de problemas de flujo de fluidos que se presentan en la práctica Modelar problemas de ingeniería y resolverlos de una manera sistemática Tener un conocimiento funcional de exactitud, precisión y dígitos significativos así como reconocer la importancia de la homogeneidad dimensional en los cálculos de ingeniería

Estriograma que muestra la pluma térmica producida por el profesor Cimbala, le da la bienvenida al fascinante mundo de la mecánica de fluidos. Michael J. Hargather y Brent A. Craven, Laboratorio de Dinámica de Gases de Penn State. Foto utilizada con permiso.

1

2 INTRODUCCIÓN Y CONCEPTOS BÁSICOS

1-1

FIGURA 1-1 La mecánica de fluidos trata de los líquidos y los gases en movimiento o en reposo. © Vol. 16/Photo Disc.

■

INTRODUCCIÓN

La mecánica es la ciencia física más antigua que trata tanto de los cuerpos en reposo como de aquellos en movimiento bajo la influencia de fuerzas. La rama de la mecánica que trata los cuerpos en reposo se llama estática, y la que trata de los cuerpos en movimiento se llama dinámica. La subcategoría mecánica de fluidos se define como la ciencia que estudia el comportamiento de los fluidos en reposo (estática de fluidos) o en movimiento (dinámica de fluidos), y la interacción de éstos con sólidos o con otros fluidos en las fronteras. La mecánica de fluidos también se menciona como dinámica de fluidos al considerar a los fluidos en reposo como un caso especial con velocidad cero (Fig. 1-1). La mecánica de fluidos también se divide en varias categorías. El estudio del movimiento de fluidos que son prácticamente incompresibles (como los líquidos, en especial el agua y los gases a bajas velocidades) suele mencionarse como hidrodinámica. Una subcategoría de ésta es la hidráulica, que estudia los flujos de líquidos en tubos y canales abiertos. La dinámica de gases trata del flujo de fluidos que sufren cambios significativos en la densidad, como el flujo de gases a través de toberas a altas velocidades. La categoría aerodinámica se ocupa del flujo de gases (en especial del aire) sobre cuerpos como aviones, cohetes y automóviles a altas o bajas velocidades. Algunas otras categorías como la meteorología, la oceanografía y la hidrología tratan de flujos que ocurren de manera natural.

¿Qué es un fluido?

Área de contacto, A a

Esfuerzo cortante t = F/A Fuerza, F

Goma deformada

Deformación por esfuerzo cortante, a

FIGURA 1-2 Deformación de una goma para borrar colocada entre dos placas paralelas bajo la influencia de una fuerza cortante. El esfuerzo cortante que se muestra es el que se ejerce sobre la goma; sobre la placa superior actúa un esfuerzo cortante igual pero opuesto.

El lector recordará, por lo aprendido en física, que una sustancia existe en tres estados de agregación: sólido, líquido y gas. (A temperaturas muy elevadas también existe como plasma.) Una sustancia en la fase líquida o en la gaseosa se conoce como fluido. La diferencia entre un sólido y un fluido se establece con base en la capacidad de la sustancia para oponer resistencia a un esfuerzo cortante (o tangencial) aplicado que tiende a cambiar su forma. Un sólido puede oponer resistencia a un esfuerzo cortante aplicado por medio de la deformación, en tanto que un fluido se deforma de manera continua bajo la influencia del esfuerzo cortante, sin importar lo pequeño que sea. En los sólidos, el esfuerzo es proporcional a la deformación, pero en los fluidos el esfuerzo es proporcional a la razón de deformación. Cuando se aplica un esfuerzo cortante constante, llega un momento en que un sólido, a un cierto ángulo fijo, deja de deformarse, en tanto que un fluido nunca deja de deformarse y tiende a cierta razón de deformación. Considérese un bloque rectangular de hule colocado de manera apretada entre dos placas. Conforme se tira de la placa superior con una fuerza F mientras se mantiene fija la placa inferior, el bloque de hule se deforma, como se muestra en la figura 1-2. El ángulo de deformación a (llamado deformación por esfuerzo cortante o desplazamiento angular) aumenta en proporción a la fuerza aplicada F. Si se supone que no existe deslizamiento entre el hule y las placas, la superficie superior del hule se desplaza en una cantidad igual al desplazamiento de la placa superior, en tanto que la superficie inferior permanece fija. En el equilibrio, la fuerza neta que actúa sobre la placa en la dirección horizontal debe ser cero y, por consiguiente, una fuerza igual y opuesta a F debe estar actuando sobre esa placa. Esta fuerza en oposición que se desarrolla en la interfaz placa-hule, debida a la fricción, se expresa como F  tA, en donde t es el esfuerzo cortante y A es el área de contacto entre la placa superior y el hule. Cuando se elimina la fuerza, el hule regresa a su posición original. Este fenómeno también se observaría con otros sólidos, como un bloque de acero, siempre que la fuerza aplicada no sobrepase el rango elástico. Si se repitiera este experimento con un fluido (por ejemplo, con dos placas paralelas colocadas en una masa grande de agua), la capa de fluido en contacto con la placa superior se movería con ésta en forma continua, a la velocidad de ella, sin importar lo pequeña que sea la fuerza F. La velocidad

3 CAPÍTULO 1

a)

b)

Normal a la superficie Fuerza que actúa F sobre el área dA

Fn

dA

Tangente a la superficie

Ft

Esfuerzo normal : s  Esfuerzo cortante: t 

Fn dA Ft dA

FIGURA 1-3 Esfuerzo normal y esfuerzo cortante en la superficie de un elemento de fluido. Para los fluidos en reposo, el esfuerzo cortante es cero y la presión es el único esfuerzo normal.

Superficie libre

^

del fluido disminuye con la profundidad debido a la fricción entre las capas del mismo, llegando a cero en la placa inferior. El lector recordará, por lo aprendido en estática, que el esfuerzo se define como fuerza por unidad de área y se determina cuando se divide la fuerza entre el área sobre la cual actúa. La componente normal de una fuerza que actúa sobre una superficie, por unidad de área, se llama esfuerzo normal, y la componente tangencial de una fuerza que actúa sobre una superficie, por unidad de área, se llama esfuerzo cortante (Fig. 1-3). En un fluido en reposo, el esfuerzo normal se llama presión. Las paredes del recipiente no ejercen el esfuerzo cortante al fluido en reposo y, de este modo, un fluido en reposo se encuentra en un estado de cero esfuerzo cortante. Cuando se quitan las paredes o se inclina un recipiente con líquido, se desarrolla una fuerza cortante y el líquido salpica o se mueve hasta formar una superficie libre horizontal. En un líquido se pueden mover cantidades grandes de moléculas en relación con las otras, pero el volumen permanece relativamente constante debido a las intensas fuerzas de cohesión entre ellas. Como resultado, un líquido toma la forma del recipiente que lo contiene y forma una superficie libre en un recipiente más grande que esté en un campo gravitacional. Por otra parte, un gas se expande hasta que encuentra las paredes del recipiente y llena el espacio completo del que dispone. Esto se debe a que las moléculas de un gas están espaciadas con amplitud y las fuerzas de cohesión entre ellas son débiles. A diferencia de los líquidos, los gases no pueden formar una superficie libre (Fig. 1-4). Aun cuando los sólidos y los fluidos se distinguen con facilidad en la mayoría de los casos, esta diferencia no es clara en algunos casos límite. Por ejemplo, el asfalto tiene la apariencia de un sólido y se comporta como tal, ya que opone resistencia al esfuerzo cortante durante periodos cortos. Pero se deforma con lentitud y se comporta como un fluido cuando estas fuerzas se ejercen durante periodos extensos. Algunos plásticos, el plomo y las mezclas de pastas aguadas exhiben un comportamiento semejante. Esos casos límite se encuentran más allá del alcance de este libro. Sin embargo, los fluidos que se tratarán en éste se podrán reconocer con facilidad. Los enlaces intermoleculares son los más fuertes en los sólidos y los más débiles en los gases. Una razón es que las moléculas en los sólidos están muy próximas entre sí, en tanto que en los gases están separadas por distancias relativamente grandes (Fig. 1-5). En un sólido las moléculas están dispuestas en un patrón que se repite en toda su extensión. Debido a las distancias pequeñas que hay entre las moléculas en un sólido, las fuerzas de atracción que ejercen éstas sobre cada una de las demás son grandes y las mantienen en posiciones fijas. El espaciamiento molecular en la fase

Líquido

Gas

FIGURA 1-4 A diferencia de un líquido, un gas no forma una superficie libre y se expande hasta llenar todo el espacio del que dispone.

c)

FIGURA 1-5 Disposición de los átomos en fases diferentes: a) las moléculas se encuentran en posiciones relativamente fijas en un sólido, b) grupos de moléculas se mueven unos respecto a otros en la fase líquida y c) las moléculas se mueven en todas direcciones al azar en la fase gaseosa.

4 INTRODUCCIÓN Y CONCEPTOS BÁSICOS

Manómetro

FIGURA 1-6 En una escala microscópica, la presión se determina por la interacción de las moléculas del gas por separado. Sin embargo, se puede medir la presión a una escala macroscópica con un manómetro.

líquida no es muy diferente al de la fase sólida, excepto que las moléculas ya no se encuentran en posiciones fijas con relación a cada una de las demás y pueden girar y trasladarse con libertad. En un líquido, las fuerzas intermoleculares son más débiles respecto a las de los sólidos, pero no obstante fuertes en comparación con las de los gases. En general, las distancias entre las moléculas aumentan ligeramente cuando un sólido se vuelve líquido, siendo el agua una excepción notable. En la fase gaseosa las moléculas están demasiado alejadas entre sí y no existe un orden molecular, se mueven en todas direcciones al azar, chocan continuamente con cada una de las demás y contra las paredes del recipiente en el cual están contenidas. En particular a bajas densidades, las fuerzas intermoleculares son muy débiles y las colisiones constituyen el único modo de interacción entre las moléculas. Éstas, en la fase gaseosa, están en un nivel de energía considerablemente más alto que en el de la fase líquida o sólida. Por lo tanto, el gas debe liberar una cantidad grande de su energía antes de que pueda condensarse o congelarse. Con frecuencia gas y vapor se usan como sinónimos. A la fase de vapor de una sustancia se le acostumbra dar el nombre de gas cuando se encuentra por arriba de la temperatura crítica. Por vapor suele implicarse a un gas que no se encuentra lejos de un estado de condensación. En las aplicaciones prácticas cualquier sistema de fluido consta de un gran número de moléculas y las propiedades de ese sistema por consiguiente dependen del comportamiento de ellas. Por ejemplo, la presión de un gas en un recipiente es el resultado de la transferencia de cantidad de movimiento entre las moléculas y las paredes de tal recipiente. Sin embargo, no es necesario conocer el comportamiento de las moléculas del gas para determinar la presión en el recipiente; bastaría con colocar un manómetro sujeto al recipiente (Fig. 1-6). Este enfoque macroscópico o clásico no exige un conocimiento del comportamiento de las moléculas individuales, y proporciona una manera directa y fácil de analizar los problemas de ingeniería. El enfoque más elaborado, microscópico o estadístico, que se basa en el comportamiento promedio de grandes grupos de moléculas individuales, es más complicado, y se usa en este texto sólo como material de apoyo.

Áreas de aplicación de la mecánica de fluidos

FIGURA 1-7 La dinámica de fluidos se usa frecuentemente en el diseño de corazones artificiales. Aquí se muestra el corazón artificial Penn State Total Electric. Foto cortesía del Laboratorio de Fotografía Biomédica del Instituto de Ingeniería Biomédica de Penn State. Se utiliza con autorización.

La mecánica de fluidos se utiliza ampliamente en actividades cotidianas y en el diseño de sistemas modernos de ingeniería, desde aspiradoras hasta aviones supersónicos. Por lo tanto, resulta importante desarrollar una comprensión adecuada de sus principios básicos. Para empezar, la mecánica de fluidos tiene un papel vital en el cuerpo humano. El corazón bombea constantemente sangre a todas las partes del cuerpo a través de las arterias y venas, y los pulmones son las regiones de flujo de aire en direcciones alternadas. Los corazones artificiales, las máquinas de respiración y los sistemas de diálisis están diseñados con base en la aplicación de la mecánica de fluidos (Fig 1-7). Una casa común es, en algunos aspectos, una sala de exhibición llena con aplicaciones de la mecánica de fluidos. Los sistemas de tubos para el agua fría, el gas natural y las aguas de desecho para cada una de las casas y toda una ciudad están diseñados en forma fundamental sobre la base de la mecánica de fluidos. Lo mismo también es cierto para la red de tuberías y ductos de los sistemas de calefacción y acondicionamiento del aire. Un refrigerador contiene tubos por los que fluye el refrigerante, un compresor que eleva la presión de éste y dos intercambiadores de calor en donde el refrigerante absorbe y rechaza el calor. La mecánica de fluidos desempeña un papel importante en el diseño de todos estos componentes. Incluso la operación de los grifos ordinarios se basa en esta mecánica. También se pueden ver numerosas aplicaciones de la mecánica de fluidos en un automóvil. Todos los componentes asociados con el transporte del combustible del tanque de éste hacia los cilindros —la línea de suministro del combus-

5 CAPÍTULO 1

tible, la bomba, los inyectores o el carburador— así como la mezcla del combustible con el aire en los cilindros y el purgado de los gases de combustión en los tubos de escape se analizan aplicando la mecánica de fluidos. Ésta también se aplica en el diseño del sistema de calefacción y acondicionamiento del aire, de los frenos hidráulicos, de la dirección hidráulica, de la transmisión automática y los sistemas de lubricación, del sistema de enfriamiento que incluye el radiador y la bomba de agua, además de los neumáticos. La suave forma aerodinámica de automóviles de modelo reciente es resultado de los esfuerzos por minimizar la fuerza de arrastre mediante la aplicación de un extenso análisis del flujo sobre superficies. A una escala más amplia, la mecánica de fluidos desempeña una parte importante en el diseño y análisis de aviones, barcos, submarinos, cohetes, motores de propulsión a chorro, turbinas de viento, aparatos biomédicos, sistemas de enfriamiento de componentes electrónicos y ductos de transporte de agua, petróleo crudo y gas natural. También se considera para el diseño de edificios, puentes e incluso de vallas publicitarias para asegurar que las estructuras puedan soportar la intensidad del viento. Numerosos fenómenos naturales como el ciclo de lluvias, los patrones meteorológicos, la elevación del agua del suelo hasta la punta de los árboles, los vientos, las olas del océano y las corrientes en las grandes masas de agua también son regidos por los principios de la mecánica de fluidos (Fig. 1-8).

Los flujos naturales y el clima

Barcos

Aviones y naves espaciales

© Vol. 16/Photo Disc.

© Vol. 5/Photo Disc.

© Vol. 1/Photo Disc.

Plantas generadoras

Cuerpo humano

Automóviles

© Vol. 57/Photo Disc.

© Vol. 110/Photo Disc.

Fotografía tomada por John M. Cimbala.

Turbinas de viento

Sistemas de tubos y plomería

Aplicaciones industriales

© Vol. 17/Photo Disc.

Fotografía tomada por John M. Cimbala.

Cortesía de UMDE Engineering, Contracting, and Trading. Reproducida con autorización.

FIGURA 1-8 Algunas áreas de aplicación de la mecánica de fluidos.

6 INTRODUCCIÓN Y CONCEPTOS BÁSICOS

1-2

FIGURA 1-9 Desarrollo de un perfil de velocidad debido a la condición de nodeslizamiento conforme un fluido fluye sobre el cuerpo de la parte delantera embotada. “Hunter Rouse: Laminar and Turbulent Flow Film”. Copyright IIHR-Hydroscience & Engineering, The University of Iowa. Reproducida con autorización.

Velocidad uniforme de aproximación, V

Velocidades relativas de las capas del fluido Velocidad cero en la superficie

Placa

FIGURA 1-10 Un fluido que fluye sobre una superficie en reposo llega a detenerse por completo en ésta, debido a la condición de no-deslizamiento.

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CONDICIÓN DE NO-DESLIZAMIENTO

El flujo de fluidos con frecuencia se encuentra limitado por superficies sólidas y resulta importante entender de qué manera la presencia de estas superficies afecta el flujo. Se sabe que el agua de un río no puede fluir a través de rocas grandes y las rodea. Es decir, la velocidad normal del agua hacia la superficie de la roca debe ser cero y el agua que se aproxima a esa superficie en forma normal llega a detenerse por completo en ésta. Lo que no es tan obvio es que el agua que se aproxima a la roca, desde cualquier ángulo, también llega a detenerse por completo en la superficie de ella y, por consiguiente, la velocidad tangencial del agua en la superficie también es cero. Considérese el flujo de un fluido en un tubo estacionario o sobre una superficie sólida que es no porosa (es decir, impermeable al fluido). Todas las observaciones experimentales indican que un fluido en movimiento llega a detenerse por completo en la superficie y adquiere una velocidad cero con relación a ella. Esto es, un fluido en contacto directo con un sólido “se pega” a la superficie debido a los efectos viscosos y no hay deslizamiento. A esta característica se le conoce como la condición de no-deslizamiento. La propiedad de los fluidos responsable de la condición de no-deslizamiento y el desarrollo de la capa límite es la viscosidad, y se explica en el capítulo 2. En la fotografía de la figura 1-9, obtenida de un video, se muestra con claridad la evolución de un gradiente de velocidad como resultado de la adherencia del fluido a la superficie de un cuerpo de la parte delantera embotada. La capa que se pega a la superficie desacelera la capa adyacente de fluido, debido a las fuerzas viscosas entre las capas de ese fluido, la cual desacelera a la capa siguiente y así sucesivamente (Fig. 1-10). Por lo tanto, la condición de no-deslizamiento es responsable del desarrollo del perfil de velocidad. La región del fluido adyacente a la pared, en la cual los efectos viscosos (y, por consiguiente, los gradientes de velocidades) son significativos se llama capa límite. Otra consecuencia de la condición de no-deslizamiento es el arrastre de superficie, que es la fuerza que ejerce un fluido sobre una superficie en la dirección de flujo. Cuando se fuerza a un fluido a moverse sobre una superficie curva, como el lado posterior de un cilindro, con una velocidad suficientemente elevada, la capa límite ya no puede permanecer adherida a la superficie y, en algún punto, se separa de ella; este fenómeno se conoce como separación del flujo (Fig. 1-11). Se hace notar que la condición de no-deslizamiento se aplica en todas partes a lo largo de la superficie, incluso corriente abajo del punto de separación. La separación del flujo se trata con mayor detalle en el capítulo 9. En la transferencia de calor se presenta un fnómeno semejante a la condición de no-deslizamiento. Cuando se ponen en contacto dos cuerpos a temperaturas diferentes, se tiene transferencia de calor hasta que los dos cuerpos adquieren la misma temperatura en los puntos de contacto. Por lo tanto, un fluido y una

Punto de separación

FIGURA 1-11 Separación del flujo sobre una superficie curva. Tomado de G. M. Homsy y otros, “Multi-Media Fluid Mechanics”, Cambridge Univ. Press (2001). ISBN 0-521-78748-3. Reproducida con autorización.

7 CAPÍTULO 1

superficie sólida tienen la misma temperatura en los puntos de contacto. A este efecto se le llama condición de no-salto en la temperatura.

1-3

■

BREVE HISTORIA DE LA MECÁNICA DE FLUIDOS1

Uno de los primeros problemas de ingeniería que enfrentó la humanidad a medida que se desarrollaban las ciudades era el suministro de agua para el uso doméstico y la irrigación de los cultivos. Nuestros estilos urbanos de vida sólo se pueden mantener con agua abundante y se ve con claridad, con base en la arqueología, que todas las civilizaciones sobresalientes de la prehistoria invirtieron en construcción y mantenimiento de sistemas acuíferos. Los acueductos romanos, algunos de los cuales todavía están en uso, son los mejores ejemplos conocidos. No obstante, quizá la ingeniería más impresionante desde el punto de vista técnico se realizó en la ciudad helénica de Pergamón, en la Turquía actual. Allí, desde los años 283 a 133 a.C. se construyeron una serie de tuberías de plomo y arcilla (Fig. 1-12), hasta de 45 km de largo, que operaban a presiones que sobrepasaban los 1.7 MPa (180 m de carga). Por desgracia, los nombres de casi todos estos primeros constructores se perdieron para la historia. Las colaboraciones más antiguas reconocidas a la teoría de la mecánica de fluidos las hizo el matemático griego Arquímedes (285-212 a.C.). Este matemático formuló y aplicó el principio de la flotación en la primera prueba no-destructiva de la historia, para determinar el contenido de oro en la corona del rey Herón I. Los romanos construyeron grandes acueductos y educaron a muchos de los pueblos conquistados en relación con los beneficios del agua limpia pero, en conjunto, tuvieron una mala comprensión de la teoría de los fluidos. (Quizá no debieron de haber matado a Arquímedes cuando saquearon Siracusa.) Durante la Edad Media, el empleo de la maquinaria con aplicación de los fluidos se expandió con lentitud, pero paulatinamente. Se diseñaron elegantes bombas de émbolo para desaguar las minas, se perfeccionaron la rueda hidráulica y el molino de viento para moler granos, forjar metal y otras tareas. Por primera vez en la historia de la humanidad registrada se realizó trabajo significativo sin la potencia de un músculo proporcionada por una persona o animal y, en general, estas invenciones recibieron el crédito cuando permitieron la Revolución industrial. Una vez más, se desconoce a los creadores de la mayor parte del progreso, aunque los aparatos fueron documentados adecuadamente por varios escritores técnicos, como Georgius Agricola (Fig. 1-13). El Renacimiento trajo el desarrollo continuo de los sistemas y máquinas con base en los fluidos pero, lo que es más importante, se perfeccionó el método científico y se adoptó en toda Europa. Simon Stevin (1548-1617), Galileo Galilei (1564-1642), Edme Mariotte (1620-1684) y Evangelista Torricelli (1608-1647) estuvieron entre los primeros en aplicar el método a los fluidos a medida que investigaban las distribuciones de la presión hidrostática y los vacíos. Ese trabajo lo integró y refinó el brillante matemático y filósofo Blaise Pascal (1623-1662). El monje italiano Benedetto Castelli (1577-1644) fue la primera persona en publicar un enunciado del principio de continuidad para los fluidos. Junto con la formulación de sus ecuaciones del movimiento para los sólidos, sir Isaac Newton (1643-1727) aplicó sus leyes a los fluidos y examinó la inercia y la resistencia de éstos, los chorros libres y la viscosidad. El suizo Daniel Bernoulli (1700-1782) y su asociado Leonard Euler (1707-1783) fundamentaron a ese esfuerzo. En conjunto, su trabajo definió las ecuaciones de la energía y de la cantidad de movimiento. El tratado clásico de Bernoulli, Hydrodynamica (1738), puede considerarse el primer texto sobre mecánica de fluidos. Por último, Jean d’Alembert (1717-1789) desarrolló la idea de componentes de la velocidad y de la acelera-

1

Esta sección es una colaboración del profesor Glenn Brown de Oklahoma State University.

FIGURA 1-12 Segmento de la línea de tubos de Pergamón. Cada sección de tubo de arcilla tenía de 13 a 18 cm de diámetro. Cortesía de Gunther Garbrecht. Reproducida con autorización.

FIGURA 1-13 Malacate de una mina impulsado por una rueda hidráulica reversible. G. Agricola, De Re Metalica, Basel, 1556.

8 INTRODUCCIÓN Y CONCEPTOS BÁSICOS

ción, una expresión diferencial de la continuidad y su “paradoja” de la resistencia cero para el movimiento uniforme estacionario. El desarrollo de la teoría de la mecánica de fluidos hasta el final del siglo XVIII tuvo poco impacto sobre la ingeniería, ya que las propiedades y los parámetros de los fluidos estaban mal cuantificados y la mayor parte de las teorías eran abstracciones que no se cuantificaban para fines de diseño. Esto iba a cambiar con el desarrollo de la escuela francesa de ingeniería dirigida por Riche de Prony (1755-1839). Prony (todavía conocido por su freno para medir la potencia) y sus asociados en París, en la Ecole Polytechnic y la Ecole Ponts et Chaussees, fueron los primeros en integrar el cálculo y la teoría científica en el currículo de ingeniería, el cual se convirtió en el modelo para el resto del mundo. (Por consiguiente, el estudiante sabe a quién culpar por su doloroso primer año de licenciatura.) Antonie Chezy (1718-1798), Louis Navier (1785-1836), Gaspard Coriolis (1792-1843), Henry Darcy (1803-1858) y muchos otros colaboradores a la ingeniería y teoría de los fluidos fueron estudiantes así como profesores de las escuelas. A mediados del siglo XIX, se fueron presentando avances fundamentales. El físico Jean Poiseuille (1799-1869) había medido con exactitud el flujo en tubos capilares para múltiples fluidos, mientras que, en Alemania, Gothilf Hagen (1797-1884) había establecido la diferencia entres el flujo laminar y el turbulento en tubos. En Inglaterra, Lord Osborn Reynolds (1842-1912) continuó ese trabajo y desarrolló el número adimensional que lleva su nombre. De manera análoga, en paralelo al primer trabajo de Navier, George Stokes (1819-1903) completó las ecuaciones generales del movimiento de los fluidos con fricción que tomaron sus nombres. William Froude (1810-1879), casi sin ayuda, desarrolló los procedimientos y constató el valor de las pruebas físicas en modelos. La pericia de los estadounidenses había igualado a la de los europeos, según quedó demostrado con el trabajo pionero de James Francis (1815-1892) y Lester Pelton (18291908) en las turbinas y la invención de Clemens Herschel (1842-1930) del medidor Venturi. El final del siglo XIX fue notable por la expansión de la teoría de los fluidos realizada por científicos e ingenieros irlandeses e ingleses que incluía, además de Reynolds y Stokes, William Thomson, Lord Kelvin (1824-1907), William Strutt, Lord Rayleigh (1842-1919) y sir Horace Lamb (1849-1934). Estos individuos investigaron un gran número de problemas, inclusive el análisis dimensional, el flujo irrotacional, el movimiento de vórtices, la cavitación y las ondas. En un sentido más amplio, su trabajo también profundizó en los enlaces entre la mecánica de fluidos, la termodinámica y la transferencia de calor.

FIGURA 1-14 Aparato original de Osborne Reynold para demostrar el inicio de la turbulencia en tubos, operado por John Lienhard, en la Universidad de Manchester, en 1975. Foto cortesía de John Lienhard, Universidad de Houston. Utilizada con permiso.

9 CAPÍTULO 1

El amanecer del siglo XX trajo dos desarrollos monumentales. En primer lugar, en 1903, los autodidactas hermanos Wright (Wilbur, 1867-1912; Orville, 1871-1948) a través de la aplicación de la teoría y la experimentación perfeccionaron el aeroplano. Su primitiva invención fue completa y contuvo todos los aspectos importantes de las naves modernas (Fig. 1-15). Las ecuaciones de Navier-Stokes tuvieron poco uso hasta esta época, debido a que eran demasiado difíciles de resolver. En una publicación que abrió el camino, en 1904, el alemán Ludwig Prandtl (1875-1953) demostró que los flujos de fluidos se pueden dividir en una capa cercana a las paredes, la capa límite, en donde los efectos de la fricción son significativos, y una capa exterior, en donde esos efectos son despreciables y se pueden aplicar las ecuaciones simplificadas de Euler y Bernoulli. Sus estudiantes, Theodore von Kármán (1881-1963), Paul Blasius (1883-1970), Johann Nikuradse (1894-1979) y otros se basaron en esa teoría en aplicaciones tanto a la hidráulica como a la aerodinámica. (Durante la Segunda Guerra Mundial, ambos bandos se beneficiaron de la teoría, ya que Prandtl permaneció en Alemania en tanto que su mejor estudiante, Theodore von Kármán, nacido en Hungría, trabajó en Estados Unidos.) La mitad del siglo XX podría considerarse como la edad de oro de las aplicaciones de la mecánica de fluidos. Las teorías existentes fueron adecuadas para las tareas que tenían que emprenderse y se definieron las propiedades y los parámetros de los fluidos. Estos acuerdos apoyaron una enorme expansión de los sectores aeronáutico, químico, industrial y de recursos acuíferos; donde cada uno dirigió a la mecánica de fluidos en nuevas direcciones. La investigación y el trabajo realizado en ella a finales del siglo XX fueron elementos dominados por el desarrollo de la computadora digital en Estados Unidos. La capacidad para resolver grandes problemas complejos, como el modelado del clima global, o para optimizar el diseño de un álabe de turbina, ha beneficiado a nuestra sociedad en tal manera que los desarrolladores del siglo XVIII de la mecánica de fluidos nunca pudieron haber imaginado (Fig. 1-16). Los principios que se presentan en las páginas siguientes se han aplicado en un rango muy amplio desde los flujos a escala microscópica de un momento de duración hasta los flujos simulados para un periodo de 50 años, para una cuenca completa de un río. En verdad es increíble. ¿Hacia dónde se dirigirá la mecánica de fluidos en el siglo XXI? Francamente, o inclusive una extrapolación limitada más allá del presente sería un completo desatino. No obstante, si la historia nos dice algo, es que los ingenieros estarán aplicando los conocimientos para beneficiar a la sociedad, investigando lo que no saben y divirtiéndose durante este proceso.

1-4

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FIGURA 1-15 Los hermanos Wright emprenden el vuelo en Kitty Hawk. National Air and Space Museum/Smithsonian Institution.

CLASIFICACIÓN DE LOS FLUJOS DE FLUIDOS

Al principio se definió mecánica de fluidos como la ciencia que trata del comportamiento de los fluidos en reposo o en movimiento, así como de la interacción con sólidos u otros fluidos, en las fronteras. Existe una amplia variedad de problemas del flujo de fluidos que se encuentran en la práctica y suele ser conveniente clasificarlos sobre la base de algunas características comunes, para que sea factible estudiarlos en grupos. Existen muchas maneras de clasificar los problemas del flujo de fluidos y, en seguida, se presentan algunas categorías generales.

Regiones viscosas de flujo en comparación con las no-viscosas Cuando dos capas de fluido se mueven una en relación con la otra, se desarrolla una fuerza de fricción entre ellas y la capa más lenta trata de desacelerar a la más rápida. Esta resistencia interna al flujo se cuantifica mediante la propiedad

FIGURA 1-16 El Oklahoma Wind Power Center (Centro de Energía Eólica), cerca de Woodward, consta de 68 turbinas, de 1.5 MW cada una. Cortesía de Steve Stadler, Oklahoma Wind Power Initiative. Reproducida con autorización.

10 INTRODUCCIÓN Y CONCEPTOS BÁSICOS

FIGURA 1-17 Flujo de una corriente de fluido, originalmente uniforme, sobre una placa plana y las regiones de flujo viscoso (próximas a la placa en ambos lados) y de flujo no-viscoso (lejos de la placa).

de viscosidad del fluido, la cual es una medida de la adherencia interna de éste. La viscosidad es causada por las fuerzas de cohesión entre las moléculas, en los líquidos, y por las colisiones moleculares en los gases. No existe fluido con viscosidad cero y, en consecuencia, en todos los flujos de fluidos intervienen los efectos viscosos en cierto grado. Los flujos en donde los efectos de la fricción son significativos se llaman flujos viscosos. Pero, en muchos flujos de interés práctico, se tienen regiones (por lo general regiones que no están cercanas a superficies sólidas) en donde las fuerzas viscosas son despreciablemente pequeñas en comparación con las fuerzas de inercia o de presión. Despreciar los términos viscosos en esas regiones de flujo no-viscosos simplifica mucho el análisis, sin pérdida considerable en la exactitud. En la figura 1-17 se muestra el desarrollo de regiones viscosas y no-viscosas de flujo como resultado de la inserción de una placa plana paralela al flujo en una corriente de fluido de velocidad uniforme. El fluido se pega a la placa en ambos lados debido a la condición de no-deslizamiento y la delgada capa límite en la cual los efectos viscosos son significativos, cercana a la superficie de la placa es la región de flujo viscoso. La región de flujo en ambos lados, lejana a la placa y que no es afectada por la presencia de ésta es la región de flujo no-viscoso.

Fundamentals of Boundary Layers, National Committee from Fluid Mechanics Films, © Education Development Center.

Flujo interno en comparación con el externo

FIGURA 1-18 Flujo externo sobre una pelota de tenis y la región de la estela turbulenta que se encuentra detrás de ella. Cortesía de la NASA y Cislunar Aerospace, Inc.

Un flujo de un fluido se clasifica como interno o externo, dependiendo de si a ese fluido se le obliga a fluir en un canal confinado o sobre una superficie. El flujo de un fluido no limitado sobre una superficie, como una placa, un alambre o un tubo, es flujo externo. El flujo en un tubo o ducto es flujo interno si el fluido queda por completo limitado por las superficies sólidas. Por ejemplo, el flujo de agua en un tubo es flujo interno y el flujo de aire sobre una pelota o alrededor de un tubo expuesto durante un día de viento constante es flujo externo (Fig. 1-18). El flujo de líquidos en un ducto se conoce como flujo en canal abierto si ese ducto sólo está lleno en forma parcial con el líquido y se tiene una superficie libre. Los flujos de agua en los ríos y zanjas de irrigación son ejemplos de estos flujos. Los flujos internos están dominados por la influencia de la viscosidad en todo el campo de flujo. En los flujos externos, los efectos viscosos quedan limitados a la capa límite cercana a las superficies sólidas y a las regiones de la estela corriente abajo de los cuerpos.

Flujo compresible en comparación con el incompresible Un flujo se clasifica como compresible o incompresible, dependiendo del nivel de variación de la densidad del fluido en ese flujo. La incompresibilidad es una aproximación y se dice que el flujo es incompresible si la densidad permanece aproximadamente constante a lo largo de todo el flujo. Por lo tanto, el volumen de todas las porciones del fluido permanece inalterado sobre el curso de su movimiento cuando el flujo se modela como es incompresible. En esencia, las densidades de los líquidos son constantes y, así, el flujo de ellos es típicamente incompresible. Por lo tanto, se suele decir que los líquidos son sustancias incompresibles. Por ejemplo, una presión de 210 atm hace que la densidad del agua líquida a 1 atm cambie en sólo 1 por ciento. Por otra parte, los gases son intensamente compresibles. Por ejemplo, un cambio de presión de sólo 0.01 atm causa un cambio de 1 por ciento en la densidad del aire atmosférico. Cuando se analizan los cohetes, las naves espaciales y otros sistemas en los que intervienen flujos de gas a velocidades altas (Fig. 1-19), la velocidad del flujo a menudo se expresa en términos del número adimensional de Mach que se define como Ma 

Velocidad del flujo V  c Velocidad del sonido

11 CAPÍTULO 1

en donde c es la velocidad del sonido cuyo valor es de 346 m/s en el aire a temperatura ambiente al nivel del mar. Se dice que un flujo es sónico cuando Ma  1, subsónico cuando Ma  1, supersónico cuando Ma  1, e hipersónico cuando Ma  1. Los parámetros adimensionales se analizan con detalle en el capítulo 7. Los flujos de líquidos son incompresibles hasta un nivel alto de exactitud, pero el nivel de variación en la densidad en los flujos de gases y el nivel consecuente de aproximación que se hace cuando se modelan estos flujos como incompresibles depende del número de Mach. Con frecuencia, los flujos de gases se pueden aproximar como incompresibles si los cambios en la densidad se encuentran por debajo del 5 por ciento, lo cual suele ser el caso cuando Ma  0.3. Por lo tanto, los efectos de la compresibilidad del aire se pueden despreciar a velocidad por debajo de alrededor de 100 m/s. Nótese que el flujo de un gas no es necesariamente uno compresible. Los pequeños cambios en la densidad de los líquidos correspondientes a cambios grandes en la presión todavía pueden tener consecuencias importantes. Por ejemplo, el irritante “golpe de ariete” en un tubo de agua es causado por las vibraciones del tubo generadas por la reflexión de ondas de presión que se presentan después del cierre repentino de las válvulas.

Flujo laminar en comparación con el turbulento Algunos flujos son suaves y ordenados en tanto que otros son considerados caóticos. El movimiento intensamente ordenado de un fluido, caracterizado por capas no-alteradas de éste se conoce como laminar. La palabra laminar proviene del movimiento de partículas juntas adyacentes del fluido, en “láminas”. El flujo de los fluidos intensamente viscosos, como los aceites a bajas velocidades, por lo general es laminar. El movimiento intensamente desordenado de un fluido, que es común se presente a velocidades altas y se caracteriza por fluctuaciones en la velocidad, se llama turbulento (Fig. 1-20). El flujo de fluidos de baja viscosidad, como el aire, a velocidades altas es por lo común turbulento. El régimen de flujo influye significativamente en la potencia requerida para el bombeo. Un flujo que se alterna entre laminar y turbulento se conoce como de transición. Los experimentos conducidos por Osborn Reynolds en la década de 1880 dieron como resultado el establecimiento del número adimensional de Reynolds, Re, como el parámetro clave para determinar el régimen de flujo en los tubos (Cap. 8).

Flujo natural (o no-forzado) en comparación con el forzado Se dice que el flujo de un fluido es natural o forzado, dependiendo de cómo se inicia el movimiento de ese fluido. En el flujo forzado, un fluido se obliga a fluir sobre una superficie o en un tubo por medio de medios externos, como una bomba o un ventilador. En los flujos naturales, cualquier movimiento del fluido se debe a medios naturales, como el efecto de flotación, el cual se manifiesta como la elevación del fluido más caliente (y por consiguiente, más ligero) y la caída del fluido más frío (y por lo tanto, el más denso) (Fig. 1-21). Por ejemplo, en los sistemas de celdas solares para el calentamiento de agua, es común que se aplique el efecto de termosifón para reemplazar las bombas cuando se coloca el tanque de agua lo suficientemente arriba de los colectores solares.

Flujo estacionario en comparación con el no-estacionario Con frecuencia, en ingeniería, se usan los términos estacionario y uniforme; en consecuencia, es importante entender con claridad sus significados. El término estacionario implica que no hay cambio en un punto con el tiempo. Lo opuesto a

FIGURA 1-19 Estriograma de un modelo a escala del transbordador espacial al probarse a Mach 3, en el túnel de viento supersónico del Penn State Gas Dynamics Lab. Se pueden apreciar numerosas ondas de choque oblicuas en el aire que rodea la nave. Fotografía de G. S. Settles, Penn State University. Utilizada con permiso.

Laminar

De transición

Turbulento

FIGURA 1-20 Flujos laminar, de transición y turbulento. Cortesía de ONERA, fotografía tomada por Werlé.

12 INTRODUCCIÓN Y CONCEPTOS BÁSICOS

FIGURA 1-21 En este estriograma, de una muchacha en traje de baño, la subida del aire más caliente y más ligero adyacente a su cuerpo indica que los humanos y los animales de sangre caliente están rodeados por flujos de aire cálido que sube. G. S. Settles, Gas Dynamics Lab, Penn State University. Reproducida con autorización.

estacionario es no-estacionario. El término uniforme implica que no hay cambio con el lugar sobre una región específica. Estos significados son coherentes con su uso cotidiano (amiga fiel, estacionaria, estable, distribución uniforme, etcétera). A menudo se usan los términos no-estacionario y transitorio de manera intercambiable, sin embargo no son sinónimos. En mecánica de fluidos, no-estacionario es el término más general que se aplica a cualquier flujo que no sea estacionario, pero transitorio es común aplicarlo para flujos en desarrollo. Por ejemplo, cuando se dispara un cohete, se tienen efectos transitorios (la presión se desarrolla en el interior del motor del cohete, el flujo se acelera, etcétera) hasta que el motor se estabiliza y opera en forma estacionaria. El término periódico se refiere a la clase de flujo no-estacionario en el cual éste oscila en torno a una media estacionaria. Muchos equipos, como las turbinas, los compresores, las calderas, los condensadores y los intercambiadores de calor operan durante largos periodos en las mismas condiciones y se clasifican como equipos de flujo estacionario. (Nótese que, por supuesto, el campo de flujo cercano a las álabes rotatorias de una turbomáquina es no-estacionario, pero se considera el campo total de flujo en lugar de los detalles en algunos lugares cuando se clasifican los equipos.) Durante el flujo estacionario, las propiedades del fluido pueden cambiar de punto a punto dentro de un equipo, pero en cualquier punto fijo permanecen constantes. Por lo tanto, el volumen, la masa y la energía total de un equipo de flujo estacionario o sección de flujo permanecen constantes en la operación estacionaria. Las condiciones de flujo estacionario pueden lograr aproximarse en equipos cuyo propósito es la operación continua, como las turbinas, las bombas, las calderas, los condensadores y los intercambiadores de calor de las plantas generadoras de energía o de los sistemas de refrigeración. Algunos equipos cíclicos, como los motores o compresores reciprocantes, no satisfacen las condiciones del flujo estacionario, ya que el flujo en las entradas y salidas es pulsante y no-estacionario. Sin embargo, las propiedades del fluido varían con el tiempo de una manera periódica y el flujo en estos equipos todavía se puede analizar como un proceso de flujo estacionario, utilizando los valores de las propiedades promediados respecto al tiempo. Algunas visualizaciones fascinantes del flujo de fluidos se encuentran en el libro An Album of Fluid Motion de Milton Van Dyke (1982). En la figura 1-22 se muestra una bella ilustración de un campo de flujo no-estacionario, tomada del libro de Van Dyke. La figura 1-22a es una imagen instantánea de un movimiento a alta velocidad; ésta revela grandes remolinos que se alternan, y que son vertidos, revueltos y turbulentos, hacia la estela periódicamente oscilante desde el borde posterior del objeto. Los remolinos producen ondas de choque que se mueven corriente arriba de manera alternada sobre las superficies superior e inferior del cuerpo aerodinámico, de modo no-estacionario. En la figura 1-22b se muestra el mismo campo de flujo, pero la película está expuesta durante un tiempo más largo, de modo que la imagen está promediada respecto al tiempo sobre 12 ciclos. El campo resultante de flujo promediado respecto al tiempo parece “estacionario”, ya que, en la larga exposición, se han perdido los detalles de las oscilaciones no-estacionarias. Uno de los trabajos más importantes de un ingeniero es determinar si, para solucionar el problema, basta con estudiar sólo las características de flujo “estacionario” promediadas respecto al tiempo o si se necesita un estudio más detallado de las características no-estacionarias. Si el ingeniero estuviera interesado sólo en las propiedades del campo total de flujo (como el coeficiente de arrastre promediado respecto al tiempo, la velocidad media y los campos de presión) serían suficientes una descripción promediada respecto al tiempo como la de la figura 1-22b, mediciones experimentales promediadas respecto al tiempo o un cálculo analítico o numérico del campo de flujo promediado respecto al tiempo. No obstante, si el ingeniero estuviera interesado en los detalles acerca del campo de flujo no-estacionario, como las vibraciones inducidas por el flujo, las fluctuacio-

13 CAPÍTULO 1

nes de la presión no-estacionarias o las ondas sonoras emitidas por los remolinos turbulentos o las ondas de choque, sería insuficiente una descripción del campo de flujo promediada respecto al tiempo. La mayor parte de los ejemplos analíticos o computacionales que se dan en este libro tratan de flujos estacionarios o promediados respecto al tiempo, y aun cuando en ocasiones resulta adecuado, también se señalan algunas características del flujo no-estacionario.

Flujos unidimensional, bidimensional y tridimensional Un campo de flujo se caracteriza mejor mediante la distribución de velocidad y, por consiguiente, se dice que un flujo es unidimensional, bidimensional o tridimensional si la velocidad del flujo varía en una, dos o tres dimensiones, respectivamente. Un flujo típico de un fluido comprende una configuración geométrica tridimensional y la velocidad puede variar en las tres dimensiones, y dar lugar al flujo tridimensional [V (x, y, z) en coordenadas rectangulares, o V (r, u, z) en coordenadas cilíndricas]. Sin embargo, la variación de la velocidad en ciertas direcciones puede ser pequeña en relación con la variación en otras y se pueden ignorar con error despreciable. En esos casos, el flujo se puede modelar de modo conveniente como uni o bidimensional, el cual es más fácil de analizar. Considérese el flujo estacionario de un fluido por un tubo circular sujeto a un tanque grande. La velocidad del fluido en todos los puntos sobre la superficie del tubo es cero, debido a la condición de no-deslizamiento, y el flujo es bidimensional en la región de entrada de ese tubo dado que la velocidad cambia tanto en la dirección r- como en la z-. El perfil de velocidad se desarrolla plenamente y permanece inalterado más allá de cierta distancia de la entrada (alrededor de 10 diámetros de tubo en el flujo turbulento y menos en el laminar, como se muestra en la Fig. 1-23) y se dice que, en esta región, se encuentra totalmente desarrollado. El flujo totalmente desarrollado en un tubo circular es unidimensional ya que la velocidad varía en la dirección radial, pero no en las direcciones angular u- o axial z-, como se muestra en la figura 1-23. Es decir, el perfil de velocidad es el mismo en cualquier ubicación axial z- y es simétrico respecto al eje del tubo. Nótese que la dimensionalidad del flujo también depende de la selección del sistema de coordenadas y de su orientación. Por ejemplo, el flujo en un tubo que se discutió es unidimensional en coordenadas cilíndricas, pero bidimensional en cartesianas (lo que ilustra la importancia de la selección del sistema de coordenadas más apropiado). Nótese también, que incluso en este flujo sencillo, la velocidad no puede ser uniforme a través de la sección transversal del tubo debido a la condición de no-deslizamiento. Pero, en una entrada bien redondeada al tubo, el perfil de velocidad se puede aproximar como si fuera casi uniforme a través del tubo, ya que la velocidad es casi constante en todos los radios, excepto muy cerca de la pared del tubo. Un flujo se puede tomar aproximadamente como bidimensional cuando una de sus dimensiones es mucho más grande que las otras y el flujo no cambia de manera apreciable a lo largo de la dimensión de mayor longitud. Por ejemplo, el →

→

Desarrollo del perfil de velocidad, V(r, z)

r

z

a)

Perfil de velocidad totalmente desarrollado, V(r)

b)

FIGURA 1-22 Estela oscilante de un cuerpo aerodinámico de parte posterior embotada a un número de Mach de 0.6. La fotografía a) es una imagen instantánea, en tanto que la b) es una imagen de larga exposición (promediada respecto al tiempo). a) Dyment, A., Flodrops, J. P. y Gryson, P. 1982 en Flow Visualization II, W. Merzkirch, ed., 331-336. Washington: Hemisphere. Reproducida con autorización de Arthur Dyment. b) Dyment, A. y Gryson, P. 1978 en Inst. Mèc. Fluides Lille, No. 78-5. Reproducida con autorización de Arthur Dyment.

FIGURA 1-23 Desarrollo del perfil de velocidad en un tubo circular. V  V(r, z) y, por consiguiente, el flujo es bidimensional en la región de entrada y se convierte en unidimensional corriente abajo, cuando el perfil de velocidad se desarrolla totalmente y permanece inalterado en la dirección del flujo, V  V(r).

14 INTRODUCCIÓN Y CONCEPTOS BÁSICOS

flujo del aire sobre la antena de un automóvil se puede considerar como bidimensional, excepto cerca de sus extremos, ya que la longitud de la antena es mucho mayor que su diámetro y el flujo de aire que choca contra ella es bastante uniforme (Fig. 1-24).

FIGURA 1-24 El flujo sobre la antena de un automóvil es aproximadamente bidimensional, excepto cerca de la punta y del extremo inferior de la misma.

Eje de simetría r u

z

FIGURA 1-25 Flujo axialmente simétrico sobre una bala.

SISTEMA

FRONTERA

FIGURA 1-26 Sistema, alrededores, frontera.

Frontera móvil GAS 2 kg 1.5 m3

Frontera fija

FIGURA 1-27 Sistema cerrado con una frontera móvil.

Flujo axisimétrico sobre una bala

Considere una bala que atraviesa por un aire en calma. Determine si el flujo del aire, promediado respecto al tiempo, sobre la bala es unidimensional, bidimensional o tridimensional (Fig. 1-25).

SOLUCIÓN Se debe determinar si el flujo del aire sobre una bala es unidimensional, bidimensional o tridimensional. Suposición No se tienen vientos significativos y la bala no está girando en torno a su eje. Análisis La bala posee un eje de simetría y, por lo tanto, es un cuerpo axialmente simétrico. El flujo del aire corriente arriba de la bala es paralelo a este eje y es de esperar que el flujo promediado respecto al tiempo sea rotacionalmente simétrico en relación al eje (se dice que un flujo de este tipo es axialmente simétrico o axisimétrico). En este caso, la velocidad varía con la distancia axial z y la radial r, pero no con el ángulo u. Por consiguiente, el flujo del aire, promediado respecto al tiempo, sobre la bala es bidimensional. Discusión Aun cuando el flujo del aire, promediado respecto al tiempo, es axialmente simétrico, el flujo instantáneo del aire no lo es, como se ilustra en la figura 1-22.

1-5

ALREDEDORES

GAS 2 kg 1 m3

EJEMPLO 1-1

■

SISTEMA Y VOLUMEN DE CONTROL

Un sistema se define como una cantidad de materia o una región en el espacio elegidas para su estudio. La masa o región que se encuentran afuera del sistema se conocen como los alrededores. La superficie real o imaginaria que separa el sistema de sus alrededores se llama frontera (Fig. 1-26). La frontera de un sistema puede ser fija o movible. Nótese que la frontera es la superficie de contacto compartida, tanto por el sistema como por los alrededores. Hablando en términos matemáticos, la frontera tiene espesor cero y, de este modo, no puede contener masa ni ocupar algún volumen en el espacio. Se puede considerar que los sistemas son cerrados o abiertos, dependiendo de si se elige una masa o un volumen en el espacio fijos para el estudio. Un sistema cerrado (también conocido como masa de control) consta de una cantidad fija de masa y ninguna masa puede cruzar su frontera. Pero la energía, en forma de calor o trabajo, puede cruzar la frontera y el volumen de un sistema cerrado no tiene que ser fijo. Como un caso especial, cuando no se permite que la energía cruce la frontera, ese sistema se conoce como sistema aislado. Considérese el dispositivo cilíndrico con émbolo que se muestra en la figura 1-27. Digamos que nos gustaría averiguar lo que sucede al gas encerrado cuando se calienta. Dado que se está enfocando la atención en el gas, éste es el sistema. Las superficies interiores del émbolo y del cilindro forman la frontera y supuesto que nada de masa está cruzándola, es un sistema cerrado. Nótese que la energía puede cruzar la frontera y parte de ésta (la superficie interior del émbolo, en este caso) se puede mover. Todo lo que se encuentra afuera del gas, incluyendo el émbolo y el cilindro, constituye los alrededores. Un sistema abierto, o volumen de control, como es frecuente llamarlo, es una región seleccionada de modo adecuado en el espacio. Suele encerrar un aparato que está relacionado con flujo de masa, como un compresor, una turbina o una

15 CAPÍTULO 1

tobera. El flujo por estos aparatos se estudia apropiadamente cuando se selecciona la región que se encuentra dentro de ellos como el volumen de control. Tanto masa como energía pueden cruzar la frontera de un volumen de control. Un gran número de problemas de ingeniería se relacionan con flujo de masa hacia adentro y hacia afuera de un sistema y, como consecuencia, se modelan como volúmenes de control. Un calentador de agua, un radiador de un automóvil, una turbina y un compresor están relacionados con flujo de masa y deben de analizarse como volúmenes de control (sistemas abiertos), en lugar de masa de control (sistemas cerrados). En general, cualquier región arbitraria en el espacio se puede seleccionar como volumen de control. No existen reglas concretas para la selección de volúmenes de control, pero es evidente que la elección adecuada hace que el análisis sea mucho más fácil. Si, por ejemplo, se fuera a analizar el flujo de aire por una tobera, una buena elección del volumen de control sería la región dentro de ella. Un volumen de control puede ser de tamaño y forma fijos, como en el caso de una tobera, o bien, puede comprender una frontera móvil, como se muestra en la figura 1-28. No obstante, la mayor parte de los volúmenes de control tienen fronteras fijas y, como consecuencia, no comprenden fronteras móviles. Un volumen de control también puede estar relacionado con interacciones de calor y trabajo, precisamente como un sistema cerrado, además de la interacción de masa.

Frontera imaginaria

Frontera real

VC (una tobera)

a) Un volumen de control (VC) con fronteras real e imaginaria

Frontera móvil VC

1-6

■

IMPORTANCIA DE LAS DIMENSIONES Y DE LAS UNIDADES

Cualquier cantidad física se puede caracterizar mediante las dimensiones. Las magnitudes asignadas a las dimensiones se llaman unidades. Algunas dimensiones básicas, como la masa m, la longitud L, el tiempo t, y la temperatura T se seleccionaron como dimensiones primarias o fundamentales, en tanto que otras, como la velocidad V, la energía E, y el volumen V se expresan en términos de las dimensiones primarias y se llaman dimensiones secundarias o dimensiones derivadas. Con el transcurso de los años se han desarrollado varios sistemas de unidades. A pesar de intensos esfuerzos de la comunidad científica y de ingeniería para unificar al mundo con un solo sistema de unidades, en la actualidad todavía son de uso común dos sistemas: el sistema inglés, el cual también se conoce como United States Customary System (USCS, sistema de uso común en Estados Unidos), y el sistema métrico SI (por Le Système International d’ Unités), el cual también es conocido como Sistema Internacional. El SI es un sistema sencillo y lógico basado en una relación decimal entre las diversas unidades y se usa para el trabajo científico y de ingeniería en la mayor parte de las naciones industrializadas, inclusive Inglaterra. Sin embargo, el sistema inglés no tiene una aparente base numérica sistemática y en este sistema diversas unidades están relacionadas entre sí en una forma un tanto arbitraria (12 in  1 ft, 1 mile  5 280 ft, 4 qt  1 gal, etcétera), lo cual lo hace confuso y difícil de aprender. Estados Unidos es el único país industrializado que todavía no ha realizado una conversión completa hacia el sistema métrico. Los esfuerzos sistemáticos para desarrollar un sistema de unidades universalmente aceptable se remontan hasta 1790, cuando la Asamblea Nacional Francesa encargó a la Academia Francesa de Ciencias presentar un sistema de unidades de ese tipo. Pronto se desarrolló en Francia una primera versión del sistema métrico, pero no halló una aceptación universal hasta 1875, cuando 17 naciones, inclusive Estados Unidos, prepararon y firmaron el Tratado de la Convención Métrica. En este tratado internacional se establecieron el metro y el gramo como las unidades métricas de longitud y masa, respectivamente, y se estableció una

Frontera fija

b) Un volumen de control (VC) con fronteras fija y móvil

FIGURA 1-28 Un volumen de control puede comprender fronteras fijas, móviles, reales e imaginarias.

16 INTRODUCCIÓN Y CONCEPTOS BÁSICOS

TABLA 1-1 Las siete dimensiones fundamentales (o primarias) y sus unidades en el SI Dimensión

Unidad

Longitud Masa Tiempo Temperatura Corriente eléctrica Cantidad de luz Cantidad de materia

metro (m) kilogramo (kg) segundo (s) kelvin (K) ampere (A) candela (cd) mole (mol)

TABLA 1-2 Prefijos estándar en unidades SI Múltiplo 1024 1021 1018 1015 1012 109 106 103 102 101 101 102 103 106 109 1012 1015 1018 1021 1024

Prefijo yotta, Y zetta, Z exa, E peta, P tera, T giga, G mega, M kilo, k hecto, h deka, da deci, d centi, c milli, m micro, m nano, n pico, p femto, f atto, a zepto, z yocto, y

Conferencia General de Pesos y Medidas (CGPM) que se iba a reunir cada seis años. En 1960, la CGPM produjo el SI, el cual se basó en seis cantidades fundamentales, y sus unidades se adoptaron en 1954, en la Décima Conferencia General de Pesos y Medidas: metro (m) para longitud, kilogramo (kg) para masa, segundo (s) para tiempo, ampere (A) para corriente eléctrica, grado Kelvin (°K) para temperatura y candela (cd) para intensidad luminosa (cantidad de luz). En 1971, la CGPM añadió una séptima cantidad y unidad fundamental: mole (mol) para cantidad de materia. Con base en el esquema de notación introducido en 1967, oficialmente se eliminó el símbolo de grado de la unidad de temperatura absoluta y todos los nombres de unidades se iban a escribir en minúsculas, aun cuando provinieran de nombres propios (Tabla 1-1). Sin embargo, la abreviatura de una unidad se iba a escribir con letra mayúscula, si esa unidad provenía de un nombre propio. Por ejemplo, la unidad SI de fuerza, la cual se nombró en honor de sir Isaac Newton (1647-1723), es el newton (no Newton) y se abrevia como N. Asimismo, se puede pluralizar el nombre completo de una unidad, pero su abreviatura no. Por ejemplo, la longitud de un objeto puede ser de 5 m o 5 metros, no de 5 ms o 5 metro. Por último, ningún punto se debe usar en las abreviaturas de unidades, a menos que aparezcan al final de una oración. Por ejemplo, la abreviatura de metro es m (no m.). El movimiento reciente hacia el sistema métrico en Estados Unidos parece haberse iniciado en 1968, cuando el Congreso, como respuesta a lo que estaba sucediendo en el resto del mundo, aprobó una Metric Study Act (Ley de estudio del sistema métrico). El Congreso continuó promoviendo un cambio voluntario hacia el sistema métrico, cuando aprobó la Metric Conversion Act (Ley de conversión al sistema métrico), en 1975. Un proyecto de ley para el cambio aprobado por el Congreso en 1988 fijó como fecha límite septiembre de 1992, para que todas las oficinas federales hicieran la conversión al sistema métrico. Sin embargo, las fechas límite se relajaron posteriormente sin que existieran planes claros para el futuro. Las industrias que están ligadas fuertemente en el comercio internacional (como la automotriz, la de bebidas sin alcohol y la de licores) han apresurado la conversión hacia el sistema métrico por razones económicas (tener un solo diseño a escala mundial, menores tallas e inventarios más reducidos, etc.). En la actualidad, casi todos los automóviles fabricados en Estados Unidos son métricos. Es probable que la mayor parte de los propietarios de automóviles no se den cuenta de esto hasta que intenten usar una llave de cubo del sistema inglés en un perno métrico. No obstante, la mayoría de las industrias se resistieron al cambio, retardando de este modo el proceso de conversión. En la actualidad, la sociedad estadounidense se desenvuelve en un sistema dual y permanecerá de esa manera hasta que se concluya la transición hacia el sistema métrico. Esto pone una carga adicional sobre los estudiantes de ingeniería de hoy, ya que se espera que retengan su comprensión del sistema inglés al mismo tiempo que aprendan, piensen y trabajen en términos del SI. Dada la posición de los ingenieros en el periodo de transición, en este libro se usan los dos sistemas de unidades, aunque en particular se resalta el empleo de las unidades SI. Como se señaló, el SI se basa en una relación decimal entre las unidades. En la tabla 1-2 se da una lista de los prefijos usados para expresar los múltiplos de las diversas unidades. Son estándar para todas las unidades y se recomienda al estudiante que los memorice debido a su uso generalizado (Fig. 1-29).

Algunas unidades SI e inglesas En el SI las unidades de masa, longitud y tiempo son el kilogramo (kg), el metro (m) y el segundo (s), respectivamente. Las unidades correspondientes en el siste-

17 CAPÍTULO 1

200 mL (0.2 L)

1 kg (10 3 g)

FIGURA 1-29 Los prefijos de las unidades SI se usan en todas las ramas de la ingeniería.

1 M (10 6 )

ma inglés son la libra-masa (lbm), el pie (ft) y el segundo (s). El símbolo de libra lb en realidad es la abreviatura de libra, la cual fue la antigua unidad romana para el peso. El sistema inglés retuvo este símbolo, incluso después de finalizar la ocupación romana de la Gran Bretaña, en el año 410. Las unidades de masa y longitud de los dos sistemas están relacionadas entre sí por 1 lbm  0.45359 kg 1 ft  0.3048 m

En el sistema inglés, la fuerza suele considerarse a menudo como una de las dimensiones primarias y se le asigna una unidad no-derivada, lo cual es una fuente de confusión y de error que hace que se necesite el uso de una constante dimensional (gc) en muchas fórmulas. Con el fin de evitar esta molestia, se considera la fuerza como una dimensión secundaria cuya unidad se obtiene a partir de la segunda ley de Newton; es decir,

F  ma

a = 1 m/s2

F=1N

a = 1 ft/s2

m = 32.174 lbm

F = 1 lbf

FIGURA 1-30 Definición de las unidades de fuerza.

Fuerza  (Masa) (Aceleración)

o

m = 1 kg

(1-1)

En el SI, la unidad de fuerza es el newton (N) y se define como la fuerza requerida para acelerar una masa de 1 kg a razón de 1 m/s2. En el sistema inglés, la unidad de fuerza es la libra-fuerza (lbf) y se define como la fuerza requerida para acelerar una masa de 32.174 lbm (1 slug) a razón de 1 ft/s2 (Fig. 1-30). Es decir, 1 kgf

1 N  1 kg  m/s2 1 lbf  32.174 lbm  ft/s2

Una fuerza de 1 N es en forma aproximada equivalente al peso de una manzana pequeña (m  102 g), en tanto que una fuerza de 1 lbf es aproximadamente equivalente al peso de cuatro manzanas medianas (mtotal  454 g), como se muestra en la figura 1-31. Otra unidad de fuerza de uso común en muchos países europeos es el kilogramo-fuerza (kgf), el cual es el peso de 1 kg de masa a nivel del mar (1 kgf  9.807 N). Es frecuente usar el término peso de modo incorrecto para expresar masa, en particular por los “vigilantes del peso” (weight watchers). A diferencia de la masa, el peso W es una fuerza. Es la fuerza gravitacional aplicada a un cuerpo y su magnitud se determina con base en la segunda ley de Newton, W  mg (N)

10 manzanas m  1 kg 1 manzana m  102 g

1N

4 manzanas m  1 lbm

1 lbf

(1-2)

en donde m es la masa del cuerpo y g es la aceleración gravitacional local (g es de 9.807 m/s2 o 32.174 ft/s2 a nivel del mar y 45° de latitud). En una báscula común para baño se mide la fuerza gravitacional que actúa sobre un cuerpo. El peso de la unidad de volumen de una sustancia se llama peso específico g y se determina a partir de g  rg, en donde r es la densidad. La masa de un cuerpo continúa siendo la misma sin importar su ubicación en el universo. Sin embargo, el peso cambia debido a un cambio en la aceleración

FIGURA 1-31 Magnitudes relativas de las unidades de fuerza newton (N), kilogramofuerza (kgf) y libra-fuerza (lbf).

18 INTRODUCCIÓN Y CONCEPTOS BÁSICOS

¡Ah!

FIGURA 1-32 Un cuerpo que pesa 150 lbf sobre la Tierra pesará sólo 25 lbf sobre la Luna.

kg

lbm

g = 9.807 m/s2 W = 9.807 kg · m/s2 = 9.807 N = 1 kgf

g = 32.174 ft/s2 W = 32.174 lbm · ft/s2 = 1 lbf

FIGURA 1-33 Peso de una unidad de masa a nivel del mar.

gravitacional. Un cuerpo pesa menos en la cima de una montaña, ya que g decrece con la altitud. Sobre la superficie de la Luna, un(a) astronauta pesa alrededor de la sexta parte de lo que él o ella pesan sobre la Tierra (Fig. 1-32). A nivel del mar, una masa de 1 kg pesa 9.807 N, como se ilustra en la figura 1-33. Sin embargo, una masa de 1 lbm pesa 1 lbf, lo cual conduce de manera equivocada a la gente a creer que libra-masa y libra-fuerza se pueden usar en forma intercambiable como libra (lb), lo cual constituye una fuente importante de error en el sistema inglés. Se debe destacar que la fuerza de gravedad que actúa sobre una masa se produce por la atracción entre las masas y, como consecuencia, es proporcional a las magnitudes de éstas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellas. Por lo tanto, la aceleración gravitacional g en un lugar depende de la densidad local de la corteza terrestre, la distancia al centro de la Tierra y, en menor extensión, de las posiciones de la Luna y del Sol. El valor de g varía con el lugar desde 9.8295 m/s2 a 4 500 m por debajo del nivel del mar hasta 7.3218 m/s2 a 100 000 m arriba de ese nivel. No obstante, a altitudes de hasta 30 000 m, la variación de g respecto del valor a nivel del mar de 9.807 m/s2 es menor de 1 por ciento. Por lo tanto, para la mayoría de los fines prácticos se puede suponer que la aceleración gravitacional es constante en 9.81 m/s2. Resulta interesante resaltar que en lugares por abajo del nivel del mar alcanza un máximo de alrededor de 4 500 m y, a mayor profundidad, empieza a disminuir. (¿Cuál piensa el lector que sea el valor de g en el centro de la Tierra?) La causa principal de confusión entre la masa y el peso es que aquélla suele medirse en forma indirecta cuando se mide la fuerza de gravedad que ejerce. Con este enfoque también se supone que las fuerzas ejercidas por otros efectos como la flotación en el aire y el movimiento de los fluidos son despreciables. Esto es como medir la distancia a una estrella midiendo el desplazamiento hacia el rojo, o medir la altitud de un avión midiendo la presión barométrica. Estas dos también son mediciones indirectas. La manera directa correcta de medir la masa es compararla con una masa conocida. Sin embargo, esto es tedioso y se aplica principalmente para calibración y medición de metales preciosos. El trabajo, el cual es una forma de energía, se define sencillamente como la fuerza multiplicada por la distancia; por lo tanto, tiene la unidad de “newtonmetro (N . m)”, la cual se llama joule (J); es decir, 1J1Nm

FIGURA 1-34 Un fósforo ordinario rinde alrededor de 1 Btu (o 1 kJ) de energía si se quema por completo. Fotografía de John M. Cimbala.

(1–3)

Una unidad más común para la energía en el SI es el kilojoule (1 kJ  103 J). En el sistema inglés, la unidad de energía es la Btu (British thermal unit; unidad térmica británica), la cual se define como la energía requerida para elevar la temperatura de 1 lbm de agua a 68°F en 1°F. En el sistema métrico, la cantidad de energía necesaria para elevar la temperatura de 1 g de agua a 14.5°C en 1°C se define como 1 caloría (cal), y 1 cal  4.1868 J. Las magnitudes del kilojoule y la Btu son casi idénticas (1 Btu  1.0551 kJ). Existe una forma sencilla de darse una idea de estas unidades: si enciende un fósforo ordinario y deja que se queme por completo, rinde aproximadamente 1 Btu (1 kJ) de energía (Fig. 1-34). La unidad para la tasa de energía con respecto al tiempo es el joule por segundo (J/s), que se llama watt (W). En el caso del trabajo, la tasa de energía con respecto al tiempo se llama potencia. Una unidad comúnmente usada de potencia es el caballo de fuerza (hp), que equivale a 746 W. La energía eléctrica se expresa ordinariamente en la unidad kilowatt-hora (kWh), equivalente a 3 600 kJ. Un aparato eléctrico con una potencia nominal de 1 kW consume 1kWh de electricidad cuando trabaja continuamente durante una hora. Cuando se habla de generación de potencia eléctrica, las unidades kW y kWh se confunden a menudo. Observe que kW o kJ/s es una unidad de potencia, mientras que kWh es una unidad de energía. Por lo tanto, expresiones como “la nueva turbina de

19 CAPÍTULO 1

viento generará 50 kW de electricidad por año” no tienen sentido y son incorrectas. Una expresión correcta debería ser algo como “la nueva turbina de viento, con una potencia nominal de 50 kW, generará 120 000 kWh de electricidad por año”.

Homogeneidad dimensional Todos saben, por lo aprendido en la escuela primaria, que manzanas no se suman con naranjas. Pero, de alguna manera, logramos hacerlo (por equivocación, por supuesto). En ingeniería, todas las ecuaciones deben ser dimensionalmente homogéneas. Es decir, todos los términos en una ecuación deben tener la misma unidad (Fig. 1-35). Si, en alguna etapa de un análisis, nos encontramos en posición de tener que sumar dos cantidades cuyas unidades son diferentes, es una clara indicación de que hemos cometido un error en una de las primeras etapas. De modo que la verificación de las dimensiones puede servir como una herraFIGURA 1-35 mienta valiosa para señalar los errores. Para ser dimensionalmente homogéneo, todos los términos en una ecuación deben tener la misma unidad. EJEMPLO 1-2

Generación de potencia eléctrica mediante una turbina de viento

© Reproducida con autorización especial de King Features Syndicate.

Una escuela paga $0.09/kWh por la potencia eléctrica. Para reducir su facturación de electricidad, la escuela instala una turbina de viento (Fig. 1-36), con una potencia nominal de 30 kW. Si la turbina opera 2 200 horas por año a la potencia nominal, determine la cantidad de potencia eléctrica que genera la turbina de viento y el dinero que ahorra la escuela por año.

SOLUCIÓN Se instala una turbina de viento para generar electricidad. Se deben determinar la cantidad de energía eléctrica que genera y la cantidad de dinero que se ahorra por año. Análisis La turbina de viento genera energía eléctrica a razón de 30 kW, o kJ/s. Entonces, la cantidad total de energía eléctrica que genera por año es

Energía total  (Energía por unidad de tiempo)(Intervalo de tiempo)  (30 kW)(2 200 h)  66 000 kWh El dinero que se ahorra por año es el valor monetario de esta energía, determinado como

Dinero ahorrado  (Energía total) (Costo unitario de la energía)  (66 000 kWh)($0.09/kWh)  $5 940 Discusión La producción anual de energía eléctrica también se podría determinar en kJ, por manipulación de las unidades, como

Energía total

3 600 s 1 kJ/s (30 kW)(2 200 h)a ba b 1h 1 kW

2.38

108 kJ

que equivale a 66 000 kWh (1 kWh = 3 600 kJ).

Todos saben, con base en la experiencia, que las unidades pueden provocar dolores terribles de cabeza si no se usan con cuidado cuando se resuelve un problema. Sin embargo, con cierta atención y habilidad, se pueden usar las unidades para lograr ventaja. Se pueden usar para comprobar fórmulas; inclusive se pueden usar para deducir fórmulas, como se explica en el ejemplo que sigue.

FIGURA 1-36 Una turbina de viento como la que se menciona en el ejemplo 1-2. Fotografía de Andy Cimbala

20 INTRODUCCIÓN Y CONCEPTOS BÁSICOS ACEITE

V = 2 m3 ρ = 850 kg/m3 m=?

FIGURA 1-37 Esquema para el ejemplo 1-3.

EJEMPLO 1-3

Obtención de fórmulas a partir de consideraciones relativas a las unidades

Se llena un tanque con aceite cuya densidad es r  850 kg/m3. Si el volumen del tanque es V  2 m3, determine la cantidad de masa m en el tanque.

SOLUCIÓN Se da el volumen de un tanque de aceite. Se debe determinar la masa del aceite. Suposición El aceite es una sustancia incompresible y, por consiguiente, su den-sidad es constante. Análisis En la figura 1-37 se da un esquema del sistema que acaba de describirse. Suponga que olvidó la fórmula que relaciona la masa con la densidad y el volumen. Pero se sabe que la masa no tiene la unidad de kilogramos. Es decir, cualesquiera que sean los cálculos que se hagan, debe de finalizarse con la unidad de kilogramos. Si se pone en perspectiva la información dada, se tiene:

r  850 kg/m3

y

V  2 m3

Resulta obvio que se puede eliminar m3 y terminar con kg al multiplicar estas dos cantidades. Como consecuencia, la fórmula que se está buscando debe de ser

m  rV

¡CUIDADO! CADA TÉRMINO DE UNA ECUACIÓN DEBE TENER LAS MISMAS UNIDADES

De donde,

m  (850 kg/m3)(2 m3)  1 700 kg Discusión Nótese que este procedimiento puede ser que no funcione para fórmulas más complicadas. Las constantes adimensionales pueden también estar presentes en las fórmulas y éstas no se pueden deducir simplemente por consideración de las unidades.

El estudiante debe de tener presente que una fórmula que no es dimensionalmente homogénea es errónea definitivamente, pero una fórmula dimensionalmente homogénea no necesariamente es correcta (Fig. 1-38).

Razones unitarias para conversión de unidades

FIGURA 1-38 Siempre verifique las unidades en sus cálculos.

Así como se pueden formar todas las dimensiones no-primarias, mediante combinaciones adecuadas de las dimensiones primarias, todas las unidades no-primarias (unidades secundarias) se pueden formar por combinaciones de las unidades primarias. Por ejemplo, las unidades de fuerza se pueden expresar como N  kg

m s2

y

lbf  32.174 lbm

ft s2

También se pueden expresar en forma más conveniente como razones unitarias para conversión de unidades como N 1 kg  m/s2

y

lbf 1 32.174 lbm  ft/s2

Las razones unitarias para la conversión de unidades son idénticamente iguales a 1 y no tienen unidades y, de este modo, esas razones (o sus inversas) se pueden insertar de modo conveniente en cualquier cálculo para convertir de manera apropiada las unidades (Fig. 1-39). Se alienta a los estudiantes a usar siempre las razones unitarias para conversión de unidades, como las que se dan aquí, al

21 CAPÍTULO 1

realizar esas conversiones. En algunos libros de texto se inserta la arcaica constante gravitacional gc definida como gc  32.174 lbm · ft/lbf · s2  kg · m/N · s2  1 en las ecuaciones para forzar que se ajusten las unidades. Esta práctica conduce a confusiones innecesarias y los autores de este libro rechazan de manera enérgica su uso. Se recomienda que, en lugar de ello, los estudiantes utilicen las razones unitarias para conversión de unidades.

32.174 lbmft/s2 1 kgm/s2 1 lbf 1N 1W 1 J/s

1 kJ 1 kPa 1 000 Nm 1 000 N/m2

0.3048 m 1 ft

EJEMPLO 1-4

1 min 60 s

1 lbm 0.45359 kg

Peso de una libra-masa

Usando sólo las razones unitarias para conversión de unidades, demuestre que 1.00 lbm pesa 1.00 lbf sobre la Tierra (Fig. 1.40).

SOLUCIÓN Se sujeta una masa de 1.00 lbm a la gravedad terrestre estándar. Se debe determinar su peso en lbf. Suposición Se suponen las condiciones estándar a nivel del mar. Propiedades La constante gravitacional es g  32.174 ft/s2. Análisis Se aplica la segunda ley de Newton para calcular el peso (fuerza) que corresponde a la masa y aceleración conocidas. El peso de cualquier objeto es igual a su masa multiplicada por el valor local de la aceleración gravitacional. Donde:

FIGURA 1-39 Toda relación de conversión de unidades (así como su inverso) es exactamente igual a uno. Aquí se muestran algunas relaciones de conversión de unidades que se usan comúnmente.

1 lbf W  mg  (1.00 lbm)(32.174 ft/s2)a b  1.00 lbf 32.174 lbm  ft/s2 Discusión La masa es la misma sin importar su ubicación. Sin embargo, en algún otro planeta, con un valor diferente de la aceleración gravitacional, el peso de 1 lbm diferiría del que se calculó aquí.

Cuando el lector compra una caja de cereal para el desayuno, en el empaque puede leerse “peso neto: una libra (454 gramos)”. (Fig. 1-41). Técnicamente, esto significa que el cereal que se encuentra dentro de la caja pesa 1.00 lbf sobre la Tierra y tiene una masa de 453.6 g (0.4536 g). Si se aplica la segunda ley de Newton, el peso real del cereal en la Tierra, en el sistema métrico, es W  mg  (453.6 g)(9.81 m/s2) a

1-7

■

1 kg 1N ba b  4.49 N 1 kg  m/s2 1 000 g

MODELADO MATEMÁTICO DE LOS PROBLEMAS DE INGENIERÍA

Un dispositivo o proceso de ingeniería se puede estudiar experimentalmente (haciendo pruebas y tomando mediciones) o analíticamente (por medio de análisis o cálculos). El enfoque experimental tiene la ventaja de que trata con el sistema físico real y la cantidad deseada se determina por medición, dentro de los límites del error experimental. No obstante, este procedimiento es caro, tardado y, a menudo, poco práctico. Además, el sistema que se está estudiando, incluso puede no existir. Por ejemplo, los sistemas completos de calefacción y de plomería de un edificio, por lo común deben dimensionarse antes de que en realidad se construya ese edificio con la base en las especificaciones dadas. El procedimiento analítico (incluye el numérico también) tiene la ventaja de que es rápido y no caro, pero los resultados obtenidos están sujetos a la exactitud de las suposiciones, aproximaciones e idealizaciones establecidas en el análisis. En los

lbm

FIGURA 1-40 Una masa de 1 lbm pesa 1 lbf sobre la Tierra.

22 INTRODUCCIÓN Y CONCEPTOS BÁSICOS

estudios de ingeniería, con frecuencia se logra un término medio mediante la reducción de las posibles opiniones a sólo unas cuantas por medio del análisis y, a continuación, verificando los resultados en forma experimental. Peso neto: Una libra (454 g)

FIGURA 1-41 Una peculiaridad del sistema métrico de unidades.

Problema físico Identifique las variables importantes

Aplique leyes físicas pertinentes

Establezca suposiciones y aproximaciones razonables

Una ecuación diferencial Aplique la técnica de resolución adecuada

Aplique las condiciones en la frontera e iniciales

Solución del problema

FIGURA 1-42 Modelado matemático de los sistemas físicos.

Modelado en ingeniería Las descripciones de la mayor parte de los problemas científicos comprenden ecuaciones que relacionan los cambios entre sí en algunas variables clave. Por lo general, cuanto más pequeño sea el incremento elegido en las variables cambiantes, más general y exacta es la descripción. En el caso límite de cambios infinitesimales o diferenciales en las variables, se obtienen ecuaciones diferenciales que suministran formulaciones matemáticas precisas para los principios físicos y leyes para representar las razones de cambio como derivadas. Por lo tanto, las ecuaciones diferenciales se usan para investigar una amplia variedad de problemas en las ciencias y la ingeniería (Fig. 1-42). No obstante, muchos problemas que se encuentran en la práctica se pueden resolver sin recurrir a las ecuaciones diferenciales y las complicaciones asociadas con ellas. El estudio de los fenómenos físicos comprende dos pasos importantes. En el primero se identifican todas las variables que afectan a los fenómenos, se establecen suposiciones y aproximaciones razonables y se estudia la interdependencia de estas variables. Se apela a las leyes físicas y los principios pertinentes y el problema se formula en términos matemáticos. La propia ecuación resulta muy instructiva, ya que muestra el grado de dependencia de algunas variables en relación con otras y la importancia de los diversos términos. En el segundo paso el problema se resuelve aplicando un procedimiento adecuado y se interpretan los resultados. Muchos procesos que parecen ocurrir en la naturaleza de manera aleatoria y sin orden alguno, de hecho están siendo gobernados por algunas leyes físicas visibles o no tan visibles. Si se advierten o no, estas leyes están allí, gobernando de manera firme y predecible lo que parecen ser sucesos comunes. La mayoría de estas leyes están definidas adecuadamente y bien comprendidas por los científicos. Esto hace posible predecir el curso de un suceso antes de que en realidad ocurra o estudiar de manera matemática varios aspectos de un suceso sin llevar a cabo en realidad experimentos caros y tardados. En esto se fundamenta el poder del análisis. Se pueden obtener resultados muy exactos para problemas prácticos significativos, con relativamente poco esfuerzo mediante la aplicación de un modelo matemático adecuado y realista. La preparación de esos modelos requiere un conocimiento adecuado de los fenómenos naturales que intervienen y las leyes pertinentes, así como un juicio sólido. Es obvio que un modelo norealista producirá resultados inexactos y, por consiguiente, inaceptables. Un o una analista que trabaja en un problema de ingeniería, a menudo se encuentra en una posición en que debe elegir entre un modelo muy exacto, pero complejo, y uno sencillo, pero no tan exacto. La elección correcta depende de la situación que se viva. La elección correcta suele ser el modelo más sencillo que produzca los resultados satisfactorios (Fig. 1-43). Asimismo, es importante considerar las condiciones reales de operación cuando se seleccione el equipo. La preparación de modelos muy exactos, pero complejos, en ocasiones no es tan difícil. Pero esos modelos no los usa con frecuencia un analista si son muy difíciles y tardados para resolver. Por lo mínimo, el modelo debe reflejar las características esenciales del problema físico que representa. Existen numerosos problemas significativos del mundo real que se pueden analizar con un modelo sencillo. Pero siempre se debe tener presente que los resultados obtenidos de un análisis son, en el mejor de los casos, tan exactos como las suposiciones establecidas en la simplificación del problema. Por lo tanto, la solución

23 CAPÍTULO 1

Disco rotor

Cuerpo simplificado

Suelo a) Problema real de ingeniería

b) Modelo mínimo esencial del problema de ingeniería

FIGURA 1-43 Con frecuencia en la mecánica de fluidos se usan modelos simplificados para obtener soluciones aproximadas a problemas de ingeniería difíciles. Aquí, se utiliza un disco como modelo del rotor del helicóptero. De un lado a otro del disco, se ejerce un cambio repentino de presión. El cuerpo del helicóptero se modela mediante un elipsoide simple. Este modelo simplificado proporciona las características esenciales del campo total de flujo de aire en la zona cercana al suelo. Foto de John M. Cimbala.

obtenida no debe aplicarse a situaciones donde las suposiciones originales no se cumplen. Una solución que no sea suficientemente coherente con la naturaleza observada del problema indica que el modelo matemático que se empleó es demasiado incipiente. En ese caso, debe prepararse un modelo más realista mediante la eliminación de una o más de las suposiciones cuestionables. Esto conducirá a un problema más complejo que, por supuesto, es más difícil de resolver. De este modo, cualquier solución para un problema debe interpretarse dentro del contexto de su formulación.

1-8

■

TÉCNICA PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

El primer paso en el aprendizaje de cualquier ciencia es captar los fundamentos y adquirir un conocimiento sólido de ella. El paso siguiente es dominar los fundamentos cuando se prueba este conocimiento. Esto se hace resolviendo problemas significativos del mundo real. La resolución de esos problemas, en especial los complicados, demanda un procedimiento sistemático. Abordando el problema paso a paso, un ingeniero puede reducir la resolución de un problema complicado a la resolución de unos problemas más simples (Fig. 1-44). Cuando se está resolviendo un problema, recomendamos que se apliquen los pasos siguientes, con tanto rigor como sea posible. Esto ayudará a evitar algunas de las dificultades comunes asociadas con la resolución de problemas.

Paso 1: Enunciado del problema Con palabras propias enuncie el problema con brevedad, dada la información clave dada y las cantidades que se deben encontrar. Esto es para verificar que se entendió el problema y los objetivos, antes de intentar la resolución de tal problema.

24 INTRODUCCIÓN Y CONCEPTOS BÁSICOS

Paso 2: Esquema

Solución

o

od

il fác Modo difícil

M

Problema

FIGURA 1-44 Un procedimiento paso a paso puede simplificar notablemente la solución de problemas.

Dibuje un esquema realista del sistema físico del que se trata y haga una lista de la información pertinente sobre la figura. El esquema no tiene que ser elaborado, sino debe semejarse al sistema real y mostrar las características clave. Indique cualesquiera interacciones de la energía y la masa con los alrededores. Colocar una lista de la información dada sobre el esquema ayuda a visualizar el problema completo de una sola vez. Asimismo, determine las propiedades que permanecen constantes durante el proceso (como la temperatura durante un proceso isotérmico) e indique sobre el esquema.

Paso 3: Suposiciones y aproximaciones Exponga cualesquiera hipótesis y aproximaciones apropiadas que se establezcan para simplificar el problema y hacer posible la obtención de una solución. Justifique las suposiciones cuestionables. Suponga valores razonables para las cantidades faltantes que sean necesarias. Por ejemplo, a falta de datos específicos para la presión atmosférica, se puede tomar que sea de 1 atm. No obstante, se debe destacar en el análisis que la presión atmosférica disminuye cuando aumenta la elevación. Por ejemplo, en Denver (elevación de 1 610 m) cae hasta 0.83 atm (Fig. 1-45).

Paso 4: Leyes físicas Aplique todas las leyes y principios físicos básicos pertinentes (como la conservación de la masa) y reduzca hasta su forma más sencilla mediante la aplicación de las suposiciones establecidas. Sin embargo, en primer lugar, debe identificarse con claridad la región a la cual se aplica la ley física. Por ejemplo, se analiza el incremento en la velocidad del agua que fluye por una tobera mediante la aplicación de la conservación de la masa entre la entrada y la salida de la misma.

Paso 5: Propiedades Determine las propiedades desconocidas, en estados conocidos, necesarias para resolver el problema con base en relaciones o tablas de las propiedades. Realice una lista por separado de las propiedades e indique la fuente de información, si es aplicable.

Paso 6: Cálculos

FIGURA 1-45 Las suposiciones que se establezcan cuando se resuelva un problema de ingeniería deben ser razonables y justificables.

Sustituya las cantidades conocidas en las relaciones simplificadas y realice los cálculos para determinar las incógnitas. Ponga atención a las unidades y a las cancelaciones de éstas, y recuerde que una cantidad dimensional sin una unidad no tiene significado. Asimismo, no se dé una implicación falsa de alta precisión copiando todos los dígitos que aparecen en la pantalla de la calculadora (redondee el resultado hasta un número apropiado de dígitos significativos (Sección 1-10).

Paso 7: Razonamiento, verificación y discusión Haga la comprobación para verificar que los resultados obtenidos son razonables e intuitivos, y compruebe la validez de las suposiciones cuestionables. Repita los cálculos que den por resultado valores cuestionables. Por ejemplo, en las mismas condiciones de prueba, la fuerza de arrastre que actúa sobre un automóvil no debe de incrementarse después de que se hizo más aerodinámica la forma de ese automóvil (Fig. 1-46). También, señale el significado de los resultados y comente sus implicaciones. Exprese las conclusiones a que se puede llegar de los resultados y cualesquiera

25 CAPÍTULO 1

FIGURA 1-46 Los resultados obtenidos a partir de un análisis de ingeniería se deben comprobar respecto a que sean razonables.

recomendaciones que se puedan hacer con base en ellos. Destaque las limitaciones bajo las cuales los resultados son aplicables y tome las precauciones contra cualesquiera malentendidos posibles y el uso de los resultados en situaciones en donde no son aplicables las suposiciones anteriores. Por ejemplo, si se determina que usar un tubo de diámetro más grande en una línea costará 5 000 dólares más en materiales, pero se reducirán los costos anuales de bombeo en 3 000 dólares, indique que la línea de diámetro más grande compensará la diferencial en su costo, por la electricidad que ahorra, en menos de dos años. No obstante, diga también que, en el análisis, sólo se consideran los costos adicionales del material relacionados con la línea de diámetro más grande. Recuerde que las soluciones que se presenten a sus profesores, y cualquier análisis de ingeniería que se muestre a otros, es una forma de comunicación. Por lo tanto, la nitidez, la organización, el acabado y el aspecto visual son de lo más importantes para lograr la efectividad máxima (Fig. 1-47). Además, la nitidez también sirve como una útil herramienta de verificación, ya que es muy fácil señalar los errores y las incoherencias en un trabajo limpio. La falta de cuidado y omitir pasos para ahorrar tiempo, a menudo terminan con un consumo mayor de tiempo y una ansiedad innecesaria. El procedimiento que se describe en los párrafos anteriores se aplica en los problemas de ejemplo resueltos, sin mencionar de manera explícita cada paso. Para algunos ejemplos, varios de los pasos pueden no ser aplicables o necesarios. Por ejemplo, con frecuencia no es práctico hacer una lista por separado de las propiedades. Sin embargo, no se puede hacer resaltar en exceso la importancia de seguir un procedimiento lógico y ordenado para resolver los problemas. La mayoría de las dificultades que se encuentran cuando se debe resolver un problema no se deben a una falta de conocimientos; más bien, se deben a una falta de organización. Se recomienda con intensidad al lector que siga estos pasos en la resolución de los problemas hasta que desarrolle su procedimiento propio que le funcione mejor.

1-9

■

PAQUETES DE SOFTWARE PARA INGENIERÍA

El lector puede preguntarse por qué estamos a punto de abordar el estudio a profundidad de los fundamentos de otra ciencia de ingeniería. Después de todo, aquellos problemas que probablemente se encuentren en la práctica se pueden resolver aplicando uno de varios elaborados paquetes de software de los que se dispone con facilidad en el mercado actual. Estos paquetes no sólo dan los resultados numéricos deseados, sino también los proporcionan en forma gráfica a color para presentaciones impresionantes. No se puede concebir la práctica de la ingeniería en la actualidad sin el uso de alguno de estos paquetes. Este tremendo poder de la computación del que se dispone con sólo oprimir un botón es tanto una bendición como una maldición. Es evidente que permite a los ingenieros resolver problemas con facilidad y rapidez, pero también abre la puerta para los abusos y la mala información. En manos de gente con falta de preparación, estos paquetes de software son tan peligrosos como las poderosas armas de sofisticada tecnología en manos de soldados mal entrenados.

Se solicita ayuda: Ingeniero organizado

FIGURA 1-47 Los empleadores aprecian mucho el orden y la organización.

26 INTRODUCCIÓN Y CONCEPTOS BÁSICOS

Attached is a pdf of the text with windows and approx sizes for the art. I'll give you rough ideas on the art, though you may have some different thoughts on approaching these. Fig 1 - 41 x 30 The boxes fall into 2 columns, Type 1/2 on left and Type 1 on right. Nonenzymatic glycation is in the middle, between columns. Oxidative Stress

and Axonal Degeneration are common outcomes and should be centered at the bottom beneath both columns (no need to stack them as shown). I wish I knew what the Polyol Pathway was, cause I'd like to illustrate it somehow. Fig 2 -- 41 x 26 This one's kinda straighforward, though I'd push Type 1/2 and Hyperglycemia further to the left, so that everything falls roughly under the other, Type 1 column. Fig 3 A + B -- 27 x 20 each panel (panel A may be shorter)

FIGURA 1-48 Un excelente programa de procesamiento de textos no hace que una persona sea un buen escritor; sencillamente hace que un buen escritor sea más eficiente.

Pensar que una persona, al utilizar los paquetes de software para ingeniería sin la capacitación apropiada sobre los fundamentos de ésta, pueda practicar la ingeniería es como pensar que una persona que puede usar una llave de tuercas pueda trabajar como mecánico de automóviles. Si fuera cierto que los estudiantes de ingeniería no necesitan estos cursos fundamentales que están tomando porque prácticamente todo se puede hacer por medio de las computadoras, con rapidez y facilidad, entonces también sería cierto que los empresarios ya no necesitarían a los ingenieros con salarios elevados, ya que cualquier persona que sabe cómo usar un programa de procesamiento de textos también puede aprender cómo usar esos paquetes de software. Sin embargo, las estadísticas hacen ver que la necesidad de contar con ingenieros va en aumento, a pesar de la disponibilidad de estos poderosos paquetes. Siempre debe recordarse que el poder de la computación y los paquetes de software de los que se dispone en la actualidad, son sólo herramientas y tienen únicamente significado en manos de los maestros. Contar con el mejor programa para el procesamiento de textos no hace que una persona sea un buen escritor, pero es evidente que hace que el trabajo de un buen escritor sea mucho más fácil y, por consiguiente, lo hace más productivo (Fig. 1-48). Las calculadoras manuales no eliminaron la necesidad de enseñar a los niños cómo sumar o restar, y los elaborados paquetes de software para medicina no ocuparon el lugar de la capacitación en las escuelas de medicina. Tampoco los paquetes de software para ingeniería reemplazarán a la educación tradicional en ésta. Sencillamente causarán un cambio del enfoque de los cursos de las matemáticas hacia la física. Es decir, se consumirá más tiempo en el salón de clases discutiendo los aspectos físicos de los problemas con mayor detalle y menor tiempo en la mecánica de los procedimientos de resolución. Todas estas herramientas malévolas y poderosas con las que se cuenta hoy ponen una carga adicional sobre los ingenieros de la actualidad. Todavía deben tener una comprensión completa de los fundamentos, desarrollar una “sensación” de los fenómenos físicos, ser capaces de poner los datos en una perspectiva apropiada y hacer juicios sólidos de ingeniería, precisamente como sus antecesores. Pero deben hacerlo mucho mejor y mucho más rápido, usando modelos con mayor realismo debido a las poderosas herramientas de que se dispone en la actualidad. Los ingenieros de antes tenían que apoyarse en los cálculos a mano, las reglas de cálculo y, posteriormente, en las calculadoras manuales y las computadoras. Hoy, se apoyan en los paquetes de software. El fácil acceso a ese poder y la posibilidad de una simple y mala comprensión o mala interpretación, causa un grave daño, por ello hacen que sea más importante que nunca en estos tiempos tener una capacitación sólida en los fundamentos de ingeniería. A través de este libro se hace un esfuerzo adicional para subrayar una comprensión intuitiva y física de los fenómenos naturales, en lugar de los detalles matemáticos de los procedimientos de resolución.

Engineering Equation Solver (EES) (Programa para resolver ecuaciones de ingeniería) EES es un programa que resuelve sistemas de ecuaciones algebraicas o diferenciales, lineales o no-lineales, en forma numérica. Tiene una biblioteca extensa de funciones integradas de propiedades termodinámicas, así como de funciones matemáticas, y permite al usuario suministrar los datos adicionales de las propiedades. A diferencia de algunos paquetes de software, EES no resuelve problemas de ingeniería; sólo resuelve ecuaciones que suministra el usuario. Por lo tanto, el usuario debe entender el problema y formularlo por medio de la aplicación de cualesquiera leyes y relaciones físicas pertinentes. EES le ahorra un tiempo y esfuerzo considerables sencillamente al resolver las ecuaciones matemáticas resultantes. Esto hace que sea posible intentar problemas significativos

27 CAPÍTULO 1

de ingeniería, que no son adecuados para los cálculos a mano, y conducir estudios paramétricos con rapidez y de manera conveniente. EES es un programa con una capacidad muy amplia y sin embargo intuitivo que es muy fácil de usar, como se muestra en el ejemplo 1-5. El uso y las capacidades del EES se explican en el apéndice 3.

EJEMPLO 1-5

Resolución de un sistema de ecuaciones con EES

La diferencia entre dos números es 4 y la suma de los cuadrados de estos dos números es igual a la suma de los números más 20. Determine estos dos números.

SOLUCIÓN Se dan relaciones para la diferencia y la suma de los cuadrados de dos números. Deben determinarse esos números. Análisis Se ejecuta el programa EES haciendo doble “clic” sobre su ícono, se abre un archivo nuevo y se escribe lo siguiente sobre la pantalla vacía que aparece:

x–y4 xˆ2yˆ2xy20 lo cual es una representación matemática exacta del enunciado del problema, denotando con x y y los números desconocidos. Se obtiene la solución de este sistema de dos ecuaciones no-lineales con dos incógnitas al hacer un solo “clic” sobre el ícono de “calculadora” que se encuentra en la barra de tareas. Esto da:

x5

y

y1

Discusión Nótese que todo lo que se hizo fue formular el problema como se haría sobre un papel; EES se hizo cargo de todos los detalles matemáticos de la resolución. Obsérvese también que las ecuaciones pueden ser lineales o no-lineales y se pueden colocar sin importar el orden con las incógnitas en cualquiera de los dos miembros. Los programas amigables para resolver ecuaciones, como el EES, permiten que el usuario se concentre en la física del problema, sin preocuparse acerca de las complejidades matemáticas asociadas con la resolución del sistema resultante de ecuaciones.

Flow-Lab Es importante para los estudiantes que inician en la mecánica de fluidos familiarizarse con la dinámica de fluidos computacional (CFD por sus siglas en inglés computacional fluid dynamics), como se expone a detalle en el capítulo 15. FlowLab es un software de CFD orientado al estudiante, que utiliza plantillas prediseñadas para permitir que prácticamente cualquiera procese un código CFD y obtenga resultados. FlowLab se basa en el programa comercial de CFD de ANSYS que se llama FLUENT. A lo largo de este libro, en los problemas de final de capítulo, se incluyen opciones con FlowLab. Cada problema está diseñado con dos objetivos: 1) aprender o reforzar un concepto de mecánica de fluidos y 2) familiarizarse con la ejecución de un código CFD fácil para el usuario. En muchos casos, se comparan las soluciones analíticas con las soluciones CFD.

1-10

■

EXACTITUD, PRECISIÓN Y DÍGITOS SIGNIFICATIVOS

En los cálculos de ingeniería, la información suministrada no se conoce hasta más allá de un cierto número de dígitos significativos, por lo general tres. Como

FIGURA 1-49 Imágenes en la pantalla EES para el ejemplo 1-5.

28 INTRODUCCIÓN Y CONCEPTOS BÁSICOS

consecuencia, los resultados que se obtengan posiblemente no puedan ser precisos hasta más dígitos significativos. Presentar los resultados con más dígitos significativos implica que existe mayor precisión y debe de evitarse. Sin importar el sistema de unidades que se emplee, los ingenieros deben estar conscientes de tres principios que rigen el uso apropiado de los números: exactitud, precisión y dígitos significativos. Para las mediciones de ingeniería se definen como sigue: • Error de exactitud (inexactitud) es el valor de una lectura menos el valor verdadero. En general, la exactitud de un conjunto de mediciones se refiere a la cercanía de la lectura promedio al valor verdadero. En general, la exactitud está asociada con errores fijos que pueden repetirse. • Error de precisión es el valor de una lectura menos el promedio de las lecturas. En general, la precisión de un conjunto de mediciones se refiere a lo fino de la resolución y a la capacidad de repetición del instrumento. En general, la precisión está asociada con errores aleatorios que no pueden repetirse. • Dígitos significativos son los dígitos que son relevantes y tienen significado. Una medición o un cálculo pueden ser muy precisos sin ser muy exactos y viceversa. Por ejemplo, supóngase que el valor verdadero de la velocidad del viento es de 25.00 m/s. Dos anemómetros A y B toman cinco lecturas de la velocidad del viento cada uno: Anemómetro A: 25.50, 25.69, 25.52, 25.58, y 25.61 m/s. Promedio de todas las lecturas  25.58 m/s. Anemómetro B: 26.3, 24.5, 23.9, 26.8, y 23.6 m/s. Promedio de todas las lecturas  25.02 m/s.

Es evidente que el anemómetro A es más preciso, ya que ninguna de las lecturas difiere en más de 0.11 m/s del promedio. Sin embargo, el promedio es 25.58 m/s, 0.50 m/s mayor que la velocidad verdadera del viento; esto indica un error por desviación significativo, también llamado error constante o error sistemático. Por otro lado, el anemómetro B no es muy preciso, ya que sus lecturas oscilan con amplitud respecto del promedio; pero su promedio global es mucho más cercano al valor verdadero. De aquí que el anemómetro B es más exacto que el A, al menos para este conjunto de lecturas, aun cuando es menos preciso. La diferencia entre exactitud y precisión se puede ilustrar de manera efectiva por analogía con el disparo de una pistola hacia un blanco, como se muestra esquemáticamente en la figura 1-50. El tirador A es muy preciso, pero no muy exacto, en tanto que el B tiene mejor exactitud global, pero menos precisión. Muchos ingenieros no ponen una atención apropiada al número de dígitos significativos en sus cálculos. El numeral menos significativo en un número implica la precisión de la medición o cálculo. Por ejemplo, un resultado escrito como

+++++ ++ +

+ + +

+ FIGURA 1-50 Ilustración de la exactitud en comparación con la precisión. El tirador A es más preciso, pero menos exacto; en tanto que el B es más exacto, pero menos preciso.

+

A

+

B

+

29 CAPÍTULO 1

1.23 (tres dígitos significativos) implica que el resultado es preciso hasta un dígito en la segunda cifra decimal; es decir, el número está en alguna parte entre 1.22 y 1.24. Expresar este número con más dígitos sería un engaño. El número de dígitos significativos se evalúa de manera más fácil cuando el número se escribe en notación exponencial; entonces se puede contar con sencillez el número de dígitos significativos, incluyendo los ceros. En la tabla 1-3 se muestran algunos ejemplos. Cuando se realizan cálculos o manipulaciones de varios parámetros, en general el resultado sólo es tan preciso como el parámetro menos preciso que se tenga en el problema. Por ejemplo, suponga que se multiplican A y B para obtener C. Si A 2.3601 (cinco dígitos significativos) y B  0.34 (dos dígitos significativos), entonces C  0.80 (sólo dos dígitos son significativos en el resultado final). Note que la mayor parte de los estudiantes se sienten tentados a escribir C  0.802434, con seis dígitos significativos, ya que eso es lo que se presenta en la pantalla de una calculadora después de multiplicar estos dos números. Vamos a analizar con cuidado este sencillo ejemplo. Suponga que el valor exacto de B es 0.33501, lo cual se lee en el instrumento como 0.34. Asimismo, observe que A es exactamente 2.3601, según se mide por medio de un instrumento más exacto y más preciso. En este caso, C  A B  0.79066 hasta cinco dígitos significativos. Note que la primera respuesta, C  0.80 está desviada en un dígito en la segunda cifra decimal. De igual manera, si B es 0.34499 y en el instrumento se lee 0.34, el producto de A y B sería 0.81421 con cinco dígitos significativos. La cuestión principal aquí es que 0.80 (hasta dos dígitos significativos) es lo mejor que se puede esperar con base en esta multiplicación ya que, para empezar, uno de los valores sólo tenía dos dígitos significativos. Otra manera de mirar esto es decir que más allá de los dos primeros dígitos significativos de la respuesta, el resto de los dígitos no tienen significado o no son significativos. Por ejemplo, si se informa que la calculadora presenta 2.3601 multiplicado por 0.34 igual a 0.802434, los últimos cuatro dígitos no solamente no tienen significado, pero además confunden al lector ya que hacen que él piense en una mayor precisión de la que realmente está presente. Como otro ejemplo, considérese un recipiente de 3.75 L lleno con gasolina cuya densidad es de 0.845 kg/L y determínese su masa. Es probable que el primer pensamiento que venga a la mente del lector sea multiplicar el volumen por la densidad para obtener 3.16875 kg como la masa, la cual implica con falsedad que la masa así determinada es precisa hasta seis dígitos significativos. Sin embargo, en realidad, la masa no se puede dar con más precisión que con tres dígitos significativos, ya que tanto el volumen como la densidad sólo son precisos hasta tres dígitos significativos. Por lo tanto, el resultado debe de redondearse hasta estos tres dígitos y la masa debe de darse como 3.17 kg, en lugar de lo que presenta la calculadora (Fig. 1-51). El resultado de 3.16875 kg sólo sería correcto si el volumen y la densidad fueran 3.75000 L y 0.845000 kg/L, respectivamente. El valor de 3.75 L implica que estamos seguros de que el valor de volumen es preciso dentro de 0.005 L, y no puede ser 3.74 o 3.76 L. No obstante, el volumen puede ser de 3.746, 3.750, 3.753, etcétera, ya que todos se redondean a 3.75 L. El lector también tiene que darse cuenta de que, a veces, con pleno conocimiento se introducen pequeños errores para evitar el problema de buscar datos más exactos. Por ejemplo, cuando se trata con agua líquida a menudo se usa el valor de 1 000 kg/m3 para la densidad, el cual es el valor de la densidad del agua pura a 0°C. Si se usa este valor a 75°C, se tendrá por resultado un error del 2.5 por ciento, ya que la densidad a esta temperatura es de 975 kg/m3. Los minerales y las impurezas que se tengan en el agua introducirán un error adicional. Siendo este el caso, no se debe de tener reservas para redondear los resultados

TABLA 1-3 Dígitos significativos

Número

Número de Notación dígitos sigexponencial nificativos

12.3 1.23 101 123 000 1.23 105 0.00123 1.23 103 40 300 4.03 104 40 300 4.0300 104 0.005600 5.600 103 0.0056 5.6 103 0.006 6. 103

3 3 3 3 5 4 2 1

FIGURA 1-51 Un resultado con más dígitos significativos que los dígitos de los datos que se dan implica falsamente una mayor precisión.

30 INTRODUCCIÓN Y CONCEPTOS BÁSICOS

finales hasta un número razonable de dígitos significativos. Además, tener un pequeño porcentaje de incertidumbre en los resultados de los análisis de ingeniería suele ser lo normal, no la excepción. Cuando se escriben resultados intermedios en un cálculo, resulta recomendable conservar varios dígitos “adicionales” para evitar los errores por redondeo; sin embargo, el resultado final debe escribirse con el número de dígitos significativos tomados en consideración. El lector también debe tener presente que cierto número de dígitos significativos de precisión en el resultado no implica la necesidad del mismo número de dígitos en la exactitud total. Por ejemplo, el error por desviación en una de las lecturas puede reducir de modo significativo la exactitud total del resultado, incluso, quizá conduciendo a que el último dígito significativo no tenga significado y reduciendo en uno el número total de dígitos confiables. Los valores que se determinan en forma experimental están sujetos a errores de medición y esos errores se reflejan en los resultados que se obtengan. Por ejemplo, si la densidad de una sustancia tiene una incertidumbre del 2 por ciento, entonces la masa que se determine usando este valor de la densidad también tendrá una incertidumbre del 2 por ciento. Por último, cuando se desconoce el número de dígitos significativos, el estándar aceptado en ingeniería es el de tres de estos dígitos. Por lo tanto, si la longitud de un tubo se da como de 40 m, se supondrá que es de 40.0 m, para justificar el uso de tres dígitos significativos en los resultados finales.

Manguera

EJEMPLO 1-6

Dígitos significativos y el gasto volumétrico

Josefina está realizando un experimento en el que usa agua fría de una manguera de jardín. Para calcular el gasto volumétrico que pasa por la manguera, ve cuánto tarda en llenarse un recipiente (Fig. 1-52). El volumen del agua reunida es V  1.1 gal en un periodo t  45.62 s, según se mide con un cronómetro. Calcule el gasto volumétrico del agua que pasa por la manguera en unidades de metros cúbicos por minuto. Recipiente

SOLUCIÓN Se debe determinar el gasto volumétrico a partir de las mediciones FIGURA 1-52 Esquema para el ejemplo 1-6, para la medición del gasto volumétrico.

del volumen y el intervalo de tiempo. Suposición 1 Josefina registró sus mediciones con propiedad, en tal forma que la medición del volumen es precisa hasta dos dígitos significativos, en tanto que el tiempo es preciso hasta cuatro dígitos significativos. 2 No se pierde agua debido a salpicadura . hacia fuera del recipiente. Análisis El gasto V es el volumen desplazado por unidad de tiempo y se expresa como:

Gasto volumétrico:

# V V t

Si se sustituyen los valores medidos, se tiene que el gasto volumétrico es

1.1 gal 3.785 10 3 m3 # 60 s a b a b  5.5  10 3 m3/min V 45.62 s 1 gal 1 min Discusión El resultado final se da hasta dos dígitos significativos, ya que no se puede tener confianza en alguna mayor precisión que ésa. Si éste fuera un paso intermedio en cálculos subsiguientes, se llevarían unos cuantos dígitos adicionales para evitar . el error acumulado por redondeo. En ese caso, el gasto se escribiría como: V  5.4759 103 m3/min. Con base en la información dada, no se puede decir algo más acerca de la exactitud del resultado, puesto que no se tiene información acerca de los errores sistemáticos en la medición del volumen ni en la del tiempo.

31 CAPÍTULO 1

FIGURA 1-53 Un instrumento con muchos dígitos de resolución (cronómetro c) puede ser menos exacto que uno con menos dígitos (cronómetro a). ¿Qué puede decir el lector acerca de los cronómetros b) y d)?

También tenga presente que la precisión correcta no garantiza la buena exactitud. Por ejemplo, si las baterías del cronómetro estuvieran bajas, su exactitud podría ser bastante mala, sin embargo, la lectura se seguiría presentando con cuatro dígitos significativos de precisión. En la práctica común, a menudo la precisión se asocia con la resolución, la cual es una medida que muestra con cuánta fineza el instrumento puede dar la medición. Posr ejemplo, se dice que un voltímetro digital con cinco dígitos en su pantalla es más preciso que uno digital con sólo tres. Sin embargo, el número de dígitos que se exhiban nada tienen que ver con la exactitud total de la medición. Un instrumento puede ser muy preciso sin ser muy exacto cuando se tienen errores significativos por desviación. Del mismo modo, un instrumento con muy pocos dígitos en su pantalla puede ser más exacto que uno con más dígitos (Fig. 1-53).

RESUMEN En este capítulo se presentaron y discutieron algunos conceptos básicos de la mecánica de fluidos. Una sustancia en la fase líquida o gaseosa se denomina como fluido. La mecánica de fluidos es la ciencia que trata del comportamiento de los fluidos en reposo o en movimiento y de su interacción con sólidos u otros fluidos en las fronteras. El flujo de un fluido ilimitado sobre una superficie es flujo externo, y el flujo en un tubo o ducto es flujo interno si el fluido está por completo limitado por superficies sólidas. El flujo de un fluido se clasifica como compresible o incompresible, dependiendo de la variación de densidad del flujo. Las densidades de los líquidos son en esencia constantes y, por consiguiente, lo normal es que el flujo de líquidos sea incompresible. El término estacionario implica ningún cambio. Lo opuesto a estacionario es no-estacionario. El término uniforme implica ningún cambio con el lugar sobre una región especificada. Se dice que un flujo es unidimensional cuando la velocidad cambia sólo en una dimensión. Un fluido en contacto directo con una superficie sólida se pega a esta superficie y no se

desliza. Esto se conoce como la condición de no-deslizamiento, la cual conduce a la formación de las capas límite a lo largo de las superficies sólidas. Un sistema de masa fija se conoce como sistema cerrado, y uno en el que interviene transferencia de masa a través de sus fronteras se llama sistema abierto o volumen de control. Un gran número de problemas de ingeniería se relacionan con flujo de masa hacia dentro y hacia fuera de un sistema y, por lo tanto, se modelan como volúmenes de control. En los cálculos de ingeniería, es importante poner atención particular en las unidades de las cantidades, para evitar errores causados por unidades incoherentes, y seguir un procedimiento sistemático. También es importante reconocer que la información dada no se conoce más que hasta un cierto número de dígitos significativos y los resultados que se obtengan es posible que no puedan ser exactos hasta más dígitos significativos. En todo este libro se utilizarán la información dada en dimensiones y unidades, la técnica de resolución de problemas, y la exactitud, la precisión y los dígitos significativos.

BIBLIOGRAFÍA Y LECTURAS RECOMENDADAS 1. American Society for Testing y Materials, Standards for Metric Practice, ASTM E 380-79, enero de 1980. 2. C. T. Crowe, J. A. Roberson y D. F. Elger, Engineering Fluid Mechanics, 7a. ed., Nueva York: Wiley, 2001.

4. G. M. Homsy, H. Aref, K. S. Breuer, S. Hochgreb, J. R. Koseff, B. R. Munson, K. G. Powell, C. R. Robertson y S. T. Thoroddsen, Multi-Media Fluid Mechanics (CD), Cambridge: Cambridge University Press, 2000.

3. R. W. Fox y A. T. McDonald, Introduction to Fluid Mechanics, 5a. ed., Nueva York: Wiley, 1999.

5. M. Van Dyke, An Album of Fluid Motion, Stanford, CA: The Parabolic Press, 1982.

32 INTRODUCCIÓN Y CONCEPTOS BÁSICOS

PROYECTOR DE APLICACIONES

■

¿Qué tienen en común las explosiones nucleares y las gotas de lluvia? Autor invitado: Lorenz Sigurdson, Vortex Fluid Dynamics Lab, University of Alberta

a)

b)

FIGURA 1-54 Comparación de la estructura de vórtice creada por: a) una gota de agua después de hacer impacto contra un estanque de agua (invertida, tomada de Peck y Sigurdson, 1994) y b) una prueba nuclear arriba del suelo en Nevada, en 1957 (U.S. Department of Energy). La gota de 2.6 mm se tiñó con un trazador fluorescente y se iluminó por medio de un destello estroboscópico 50 ms después de que había caído 35 mm y había hecho impacto contra el estanque transparente. La gota era aproximadamente esférica en el instante del impacto contra el estanque transparente de agua. Se usó la interrupción de un rayo láser por la gota que caía para disparar un medidor de tiempo que controló la duración del destello después del impacto de la gota. Los detalles del cuidadoso procedimiento experimental necesario para crear la fotografía de la gota los dan Peck y Sigurdson (1994) y Peck y otros (1995). En el caso de la bomba, principalmente calor y polvo cumplieron las funciones de los trazadores añadidos al flujo para filmar la gota. El calor proviene de la bola de fuego original, la cual para esta prueba en particular (el caso “Priscilla” de la Operation Plumbob) fue suficientemente grande como para llegar hasta el suelo desde donde la bomba estuvo inicialmente suspendida. Por lo tanto, la condición geométrica inicial del trazador fue una esfera intersecándose con el suelo. a) De Peck B. y Sigurdson, L. W., Phys. Fluids, 6(2)(Parte 1), 564, 1994. Reproducida con autorización del autor. b) United States Department of Energy. Fotografía tomada por Lorenz Sigurdson.

¿Por qué las dos imágenes de la figura 1-54 se ven parecidas? En la figura 1-54b) se muestra una prueba nuclear arriba del suelo realizada por el U.S. Department of Energy en 1957. Una explosión atómica creó una bola de fuego del orden de 100 m de diámetro. La expansión es tan rápida que se presenta una característica del flujo compresible: una onda de choque esférica en expansión. La imagen que se muestra en la figura 1-54a) es un evento cotidiano inocuo: una imagen invertida de una gota de agua teñida, después de que se ha dejado caer en un estanque de agua, mirándola desde abajo de la superficie del estanque. Podía haber caído de la cuchara de alguien en una taza de café, o ser una salpicadura secundaria después de que una gota de lluvia choca contra un lago. ¿Por qué existe una fuerte semejanza entre estos dos sucesos tan diferentes? La aplicación de los principios fundamentales de la mecánica de fluidos que se aprenda en este libro ayudará al lector a entender gran parte de la respuesta, aunque no pueda avanzar más profundo. El agua tiene una densidad más alta (Cap. 2) que el aire, de modo que la gota ha experimentado un empuje negativo (Cap. 3) conforme ha caído a través del aire antes del impacto. La bola de fuego de gas caliente es menos densa que el aire frío que la rodea, de modo que tiene un empuje positivo y se eleva. La onda de choque (Cap. 12) que se refleja del suelo también imparte una fuerza positiva hacia arriba a la bola de fuego. La estructura principal de la parte superior de cada una de las imágenes se llama anillo de vórtices. Este anillo es un minitornado de vorticidad (Cap. 4) concentrada, con los extremos del tornado haciendo un circuito alrededor para cerrarse sobre sí mismo. Las leyes de la cinemática (Cap. 4) hacen ver que este anillo de vórtices acarreará el fluido en una dirección hacia la parte superior de la página. Esto es de esperarse en los dos casos debido a las fuerzas aplicadas y a la ley de conservación de la cantidad de movimiento aplicadas a través de un análisis del volumen de control (Cap. 5). Se pudo analizar este problema con aplicación del análisis diferencial (Caps. 9 y 10) o con la dinámica computacional de fluidos (Cap. 15). Pero, ¿por qué la forma del material trazador se ve tan semejante? Esto ocurre si existe semejanza geométrica y cinemática (Cap. 7) aproximadas y si es semejante la técnica de visualización del flujo (Cap. 4). Los trazadores pasivos de calor y polvo para la bomba y de tinte fluorescente para la gota se introdujeron de manera semejante, como se observa en la captación de las figuras. Un conocimiento adicional de la cinemática y de la dinámica de los vórtices puede ayudar a explicar la semejanza de la estructura de vórtices que se aprecia en las imágenes con mucho más detalle, como lo discuten Sigurdson (1997) y Peck y Sigurdson (1994). Mire los lóbulos colgando debajo del anillo principal de vórtices, las estrías en el “tallo” y el anillo en la base de cada estructura. También existe semejanza topológica de esta estructura con otras estructuras de vórtices que se presentan en la turbulencia. La comparación de la gota y la bomba ha ayudado a comprender de cómo se crean y evolucionan las estructuras turbulentas. ¿Cuáles otros secretos de la mecánica de fluidos quedan por revelarse en la explicación de la semejanza entre estos dos flujos? Bibliografía Peck, B. y Sigurdson, L.W., “The Three-Dimensional Vortex Structure of an Impacting Water Drop”, Phys. Fluids, 6(2) (parte 1), p. 564, 1994. Peck, B., Sigurdson, L.W., Faulkner, B. y Buttar, I., “An Apparatus to Study Drop-Formed Vortex Rings”, Meas. Sci. Tech., 6, p. 1538, 1995. Sigurdson, L.W., “Flow Visualization in Turbulent Large-Scale Structure Research”, capítulo 6 en Atlas of Visualization, vol. III, Flow Visualization Society of Japan, eds., CRC Press, pp. 99-113, 1997.

33 CAPÍTULO 1

PROBLEMAS* Introducción, clasificación y sistema 1-1C ¿Qué es un fluido? ¿Cómo se diferencia de un sólido? ¿En qué es diferente un gas de un líquido? 1-2C

Defina flujos interno, externo y en canal abierto.

1-3C Defina flujo incompresible y fluido incompresible. ¿El flujo de un fluido compresible necesariamente debe tratarse como compresible? 1-4C Considere el flujo de aire sobre las alas de una aeronave. ¿Este flujo es interno o externo? ¿Y el flujo de gases a través de un motor de propulsión? 1-5C ¿Cómo se define el número Mach de un flujo? ¿Qué indica un número de Mach de 2? 1-6C Considere el flujo de aire con un número de Mach de 0.12. ¿Se debe aproximar este flujo como si fuera incompresible? 1-7C ¿Qué es la condición de no-deslizamiento? ¿Qué la causa? 1-8C ¿Qué es flujo forzado? ¿En qué difiere del flujo natural? ¿El flujo causado por los vientos es forzado o natural? 1-9C ¿Qué es una capa límite? ¿Qué causa el desarrollo de una capa límite? 1-10C ¿Cuál es la diferencia entre los enfoques clásico y el estadístico? 1-11C

¿Qué es un proceso de flujo estacionario?

1-12C Defina esfuerzo, esfuerzo normal, esfuerzo cortante y presión. 1-13C

¿Qué son sistema, alrededores y frontera?

1-14C ¿Cuándo un sistema es cerrado y cuándo es un volumen de control? 1-15C Se encuentra tratando de entender cómo funciona un compresor reciprocante de aire (Un dispositivo de cilindro y émbolo). ¿Qué sistema usaría? ¿Qué tipo de sistema es éste? 1-16C Al analizar la aceleración de gases que fluyen por una boquilla, ¿qué sistema elegiría? ¿Qué tipo de sistema es éste? 1-17 Un pequeño cilindro circular bidimensional está colocado en un cuarto con un gran volumen de aire inicialmente quieto a 300.0 K. El cilindro se calienta o se enfría. a) Describa lo que sucede al aire cuando se calienta el cilindro (algunos esquemas pueden ser útiles). Clasifique este tipo de flujo: ¿es de convección natural o forzada? ¿Es un flujo interno o externo? b) Describa lo que sucede al aire cuando se enfría el cilindro. c) Ejecute FlowLab con la plantilla Convection_natu-

ral_temperature. Varíe la temperatura del cilindro de Tc = 290 K (cilindro enfriado) a 310 K (cilindro calentado). Para cada caso, calcule y registre la velocidad vertical máxima del aire Vmáx. Observe la gráfica de perfil de temperatura para cada caso (Post-Contour-Activate). Grafique Vmáx como función de Tc. Explique la relación entre Vmáx y Tc. (¿Es una relación lineal, cuadrática, etc.?) 1-18 Un pequeño cilindro circular bidimensional está colocado en un gran túnel de aire con aire a 300.0 K. Se calienta el cilindro a una temperatura constante de 302.5 K. a) Clasifique el tipo de flujo para dos casos extremos: cero flujo de aire y velocidad de aire bastante alta. Describa lo que sucede al aumentar la velocidad del aire. b) Ejecute FlowLab con la plantilla Convection_mixed_velocity. Varíe la velocidad del aire dentro de los límites del software. Para cada caso, genere y guarde una gráfica de perfil de temperatura (Post-Contour-Activate). Imprima por lo menos tres casos (velocidad cero, velocidad media y velocidad máxima disponible). 1-19 Considere la región de flujo totalmente desarrollado de un flujo laminar, estacionario e incompresible en un tubo circular (redondo). a) Clasifique este flujo: ¿Es interno o externo? ¿Es de 1D, 2D o 3D? Explique. b) Ejecute FlowLab con la plantilla Pipe_1d_Reynolds a un número de Reynolds Re = 1 500. Registre el número de celdas de computación que se usan en la solución CFD, la caída de presión por unidad de longitud, la velocidad máxima, la velocidad promedio y el tiempo necesario de CPU. Repita con la plantilla Pipe_2d_Reynolds. Repita con la plantilla Pipe_3d_Reynolds. Compare los resultados de los tres casos y comente. Especialmente, ¿los resultados tienen alguna diferencia importante? ¿Y qué sucede con el número de celdas y el tiempo de CPU? ¿Hay alguna ventaja en la simulación de 2D o 3D en comparación con la simulación de 1D para este flujo? 1-20 Considere la región de entrada de un flujo laminar, estacionario e incompresible en un tubo circular (redondo). (El flujo no está totalmente desarrollado.) a) Clasifique este flujo: ¿Es interno o externo? ¿Es de 1D, de 2D o de 3D? Explique. b) Ejecute FlowLab con la plantilla Pipe_2d_ developing a un número de Reynolds Re = 150. Registre el número de celdas de computación usadas en la solución CFD, la caída de presión entre entrada y salida, y el tiempo necesario de CPU. Repita con la plantilla Pipe_3d_developing. Compare y comente los resultados de los dos casos. Especialmente, ¿los resultados tienen una diferencia importante? ¿Qué sucede con el número de celdas y el tiempo de CPU? ¿Hay alguna ventaja de la simulación en 3D en comparación con la simulación en 2D para este flujo?

Masa, fuerza y unidades * Los problemas designados por una “C” son preguntas de concepto y se alienta a los estudiantes a dar respuesta a todas. Los problemas designados por una “I” están en unidades inglesas y los usuarios del SI pueden ignorarlos. Los problemas con el ícono son de comprensión y se recomienda emplear un software como EES para resolverlos. Los problemas con el ícono pueden resolverse con el software FlowLab.

1-21C En un artículo nuevo, se afirma que un motor turbo-fan de engranes recientemente desarrollado produce 15 000 libras de empuje para impulsar hacia delante la aeronave. La “libra” que se menciona aquí ¿es lbm o lbf? Explique. 1-22C

¿Cuál es la diferencia entre libra-masa y libra-fuerza?

1-23C

¿Cuál es la diferencia entre kg-masa y kg-fuerza?

34 INTRODUCCIÓN Y CONCEPTOS BÁSICOS

1-24C ¿Cuál es la fuerza neta que actúa sobre un automóvil que avanza a una velocidad constante de 70 km/h a) sobre una carretera horizontal y b) sobre una carretera cuesta arriba? 1-25 Un tanque de plástico de 4 kg, que tiene un volumen de 0.2 m3, se llena con agua líquida. Suponga que la densidad del agua es de 1 000 kg/m3; y determine el peso del sistema combinado. 1-26 Determine la masa y el peso del aire contenido en un cuarto cuyas dimensiones son de 6 m 6 m 8 m. Suponga que la densidad del aire es de 1.16 kg/m3. Respuestas: 334.1 kg, 3 277 N

1-27 A una latitud de 45°, la aceleración gravitacional, como función de la elevación z sobre el nivel del mar, está dada por g  a  bz, en donde a  9.807 m/s2 y b  3.32 106 s2. Determine la altura sobre el nivel del mar en donde el peso de un objeto disminuirá en 1 por ciento. Respuesta: 29 539 m 1-28I Un astronauta de 180 lbm llevó su báscula de baño (una báscula de resortes) y una balanza de balancín (compara masas) a la Luna, en donde la gravedad local es g  5.48 ft/s2. Determine cuánto pesará a) en la báscula de resortes y b) en la balanza de balancín. Respuestas: a) 30.6 lbf; b) 180 lbf 1-29 A veces, la aceleración de los aviones de alta velocidad se expresa en g (en múltiplos de la aceleración estándar de la gravedad). Determine la fuerza neta, en N, que un hombre de 90 kg experimentaría en un avión cuya aceleración es de 6 g. 1-30

Se lanza una roca de 5 kg hacia arriba con una fuerza de 150 N, en un lugar en donde la aceleración gravitacional local es de 9.79 m/s2. Determine la aceleración de la roca, en m/s2. 1-31

Resuelva el problema 1-30 usando el software EES (o cualquier otro). Imprima la solución completa, incluya los resultados numéricos con sus unidades apropiadas. 1-32 El valor de la aceleración gravitacional g decrece con la elevación de 9.807 m/s2 a nivel del mar, hasta 9.767 m/s2 a una altitud de 13 000 m en donde se desplazan los grandes aviones de pasajeros. Determine el porcentaje de reducción en el peso de un avión que viaja a 13 000 m, en relación con su peso a nivel del mar. 1-33 Mientras resuelve un problema, una persona obtiene la ecuación E = 25 kJ + 7 kJ/kg en cierta etapa. Aquí E es la energía total y tiene la unidad de kilojoules. Determine cómo corregir el error y comente lo que podría haberlo causado. 1-34 Un calentador de resistencia de 4 kW en un calentador de agua trabaja durante 2 horas para elevar la temperatura del agua al nivel deseado. Determine la cantidad de energía eléctrica que se usa, tanto en kWh como en kJ. 1-35 El tanque de gasolina de un automóvil se llena con una boquilla que descarga gasolina a un caudal constante. Basándose en consideraciones de unidades de las cantidades, obtenga una V del relación para el tiempo de llenado en términos del volumen # tanque (en L), y el caudal de descarga de la gasolina (V , en L/s). 1-36 Una piscina de volumen V (en m3) se debe llenar de agua usando una manguera de diámetro D (en m). Si la velocidad de descarga promedio es V (en m/s) y el tiempo de llenado es t (en s), obtenga una relación para el volumen de la piscina

basada en consideraciones de unidades de la cantidades que intervienen en el problema. 1-37 Sólo con base en consideraciones de unidades, demuestre que la potencia necesaria para acelerar un automóvil de masa m (en kg) desde el reposo hasta la velocidad V (en m/s) en el intervalo de tiempo t (en s) es proporcional a la masa y al cuadrado de la velocidad del auto, e inversamente proporcional al intervalo de tiempo. 1-38 Un montacargas eleva un cajón de 90.5 kg a una altura de 1.80 m. a) Mostrando todo su trabajo y usando razones unitarias para conversión de unidades, calcule el trabajo realizado por el montacargas sobre el cajón, en unidades de kJ. b) Si tarda 12.3 segundos para elevar el cajón, calcule la potencia útil suministrada al cajón, en kilowatts. 1-39I El aguilón de un carro de bomberos eleva a un bombero (y su equipo, con peso total de 280 lbf) a 60 ft para extinguir un incendio de un edificio. a) Mostrando todo su trabajo y usando razones unitarias para conversión de unidades, calcule el trabajo realizado por el aguilón sobre el trabajador en unidades de Btu. b) Si la potencia útil que suministra el aguilón para elevar al bombero es 3.50 hp, estime cuánto tarda en elevar al bombero. 1-40I Un estudiante compra un acondicionador de aire de ventana de 5 000 Btu para la recámara de su apartamento. Lo monitorea durante una hora en un día caluroso, y determina que trabaja durante aproximadamente 60% del tiempo (ciclo de trabajo = 60%) para mantener el cuarto a temperatura aproximadamente constante. a) Mostrando todo su trabajo y usando razones unitarias para conversión de unidades, calcule la tasa de transferencia de calor al interior del cuarto a través de las paredes, ventanas, etc., en unidades de Btu/h, y en unidades de kW. b) Si la relación de eficiencia energética (EER) del acondicionador de aire es 9.0 y la electricidad cuesta 7.5 centavos de dólar por kilowatt-hora, calcule cuánto le cuesta (en centavos de dólar) hacer funcionar el acondicionador de aire durante una hora. 1-41 Un contenedor de 2.0 L se llena con agua a 20 °C de una manguera de jardín en 2.85 s. Usando relaciones de conversión de unidades y mostrando todo su trabajo, calcule el caudal volumétrico en litros por minuto (Lpm) y el caudal másico en kg/s. 1-42 Un avión vuela horizontalmente a 55.0 m/s. Su hélice proporciona 1 500 N de empuje (fuerza hacia delante) para vencer el arrastre aerodinámico (fuerza hacia atrás). Usando razonamiento dimensional y razones unitarias para conversión de unidades, calcule la potencia útil que da la hélice en unidades de kW y caballos de fuerza. 1-43 Si el avión del problema 1-42 pesa 1 450 lbf, estime la fuerza de elevación que producen las alas del avión (en lbf y newtons) cuando el avión vuela a 55.0 m/s.

Modelado y resolución de problemas de ingeniería 1-44C ¿Cuál es la diferencia entre precisión y exactitud? ¿Puede una medición ser muy precisa pero inexacta? Explique. 1-45C ¿Cuál es la diferencia entre el enfoque analítico y el experimental para los problemas de ingeniería? Discuta las ventajas y desventajas de cada uno.

35 CAPÍTULO 1

1-46C ¿Cuál es la importancia del modelado en la ingeniería? ¿Cómo se preparan los modelos matemáticos para los procesos de ingeniería? 1-47C Cuando se modela un proceso de ingeniería, ¿cómo se hace la elección correcta entre un modelo simple pero incipiente y uno complejo pero exacto? ¿Siempre el modelo complejo es una elección mejor ya que es más exacto? 1-48C ¿Cómo surgen las ecuaciones diferenciales en el estudio de un problema físico? 1-49C ¿Cuál es el valor de los paquetes de software para ingeniería en a) la educación en ingeniería y b) la práctica de la ingeniería? 1-50

Determine una raíz real positiva de esta ecuación, utilice EES (o un software similar): 3.5x3  10x0.5  3x  4

1-51

Resuelva este sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, utilice EES (u otro similar):

x3  y2  10.5 3xy  y  4.6 1-52

1-55 El peso de los cuerpos puede cambiar ligeramente de un lugar a otro, como resultado de la variación de la aceleración gravitacional g con la elevación. Tome en cuenta esta variación, use la relación del problema 1-27 pra determinar el peso de una persona de 80 kg a nivel del mar (z  0), en Denver (z  1 610 m), y en la cima del Monte Everest (z  8 848 m). 1-56 Un hombre va a un mercado tradicional a comprar un trozo de filete para la cena. Encuentra un filete de 12 oz (1 lbm = 16 oz) a un precio de 3.15 dólares. Entonces va al mercado internacional adyacente y encuentra un trozo de filete de 320 g, de idéntica calidad a un precio de 2.80 dólares. ¿Cuál de los dos trozos de filete es la mejor compra? 1-57 La fuerza de reacción desarrollada en un motor de propulsión para empujar un avión hacia adelante se llama empuje, y el desarrollado por el motor del Boeing 777 es de alrededor de 85 000 lbf. Exprese este empuje en N y kgf. 1-58 La fuerza de arrastre que ejerce el aire sobre un automóvil depende de un coeficiente adimensional de arrastre, la densidad del aire, la velocidad del automóvil, y el área frontal del automóvil. Es decir, FD = función(Carrastre, Afrontal, r, V). Basándose sólo en consideraciones de unidades, obtenga una relación para la fuerza de arrastre.

Resuelva este sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, utilice EES (u otro similar):

Aire V

2x  y  z  5 3x 2  2y  z  2 xy  2z  8 1-53

Resuelva este sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, utilice EES (u otro similar):

FIGURA P1-58

x y  z  1.5 2

x  3y

0.5

 xz  2

x  y  z  4.2 Problemas de repaso 1-54 Considere el flujo de aire a través de una turbina de viento cuyos álabes barren un área de diámetro D (en m). La velocidad promedio del aire a través del área barrida es V (en m/s). Con base en las unidades de las cantidades consideradas, demuestre que el caudal másico de aire (en kg/s) a través del área barrida es proporcional a la densidad del aire, la velocidad del aire y el cuadrado del diámetro del área barrida.

Problema de diseño y ensayo 1-59 Escriba un ensayo sobre los diversos instrumentos para medir la masa y el volumen que se han usado a través de toda la historia. Asimismo, explique el desarrollo de las unidades modernas para la masa y el volumen. 1-60 Busque en internet cómo sumar o restar números correctamente teniendo en cuenta el número de cifras significativas. Escriba un resumen de la técnica correcta y luego use la técnica para resolver los siguientes casos: a) 1.006  23.47, b) 703 200  80.4, y (c) 4.6903  14.58. Tenga cuidado de expresar su respuesta final con el número adecuado de dígitos significativos.

JCAPÍTULO

2

PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS n este capítulo se estudian las propiedades que se encuentran en el análisis del flujo de fluidos. En primer lugar, se examinan las propiedades intensivas y extensivas y se definen densidad y gravedad específica. A estos temas les sigue una discusión de las propiedades de presión de vapor, energía y sus diversas formas, los calores específicos de los gases ideales y de sustancias incompresibles, así como el coeficiente de compresibilidad. En seguida se analiza la propiedad de viscosidad, la cual tiene un papel dominante en la mayor parte de los aspectos del flujo de fluidos. Por último, se presenta la propiedad de tensión superficial y se determina el ascenso por capilaridad a partir de las condiciones de equilibrio estático. La propiedad de presión se estudia en el capítulo 3, junto con la estática de fluidos.

E

OBJETIVOS Cuando el estudiante termine de leer este capítulo debe ser capaz de: ■

■

■

Tener un conocimiento funcional de las propiedades básicas de los fluidos y entender la aproximación del medio continuo Tener un conocimiento funcional de la viscosidad y de las consecuencias de los efectos de la fricción en el flujo de fluidos Calcular los ascensos y descensos por capilaridad debidos al efecto de la tensión superficial

Se forma una gota cuando se fuerza un líquido a salir de un pequeño tubo. La forma de la gota está determinada por un equilibrio entre la presión, las fuerzas de gravedad y de tensión superficial. © Corbis RF

37

38 PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS

2-1 m V T P ρ

–12 m –12 V T P ρ

–12 m –12 V T P ρ

Propiedades extensivas Propiedades intensivas

FIGURA 2-1 Criterios para diferenciar las propiedades intensivas de las extensivas.

■

INTRODUCCIÓN

Cualquier característica de un sistema se conoce como propiedad. Algunas propiedades conocidas son la presión P, la temperatura T, el volumen V, y la masa m. La lista se puede extender hasta incluir unas menos conocidas como viscosidad, conductividad térmica, módulo de elasticidad, coeficiente de expansión térmica, resistividad eléctrica e, inclusive, la velocidad y la elevación. Se considera que las propiedades son intensivas o extensivas. Las propiedades intensivas son independientes de la masa de un sistema, como la temperatura, la presión y la densidad. Las propiedades extensivas son aquellas cuyos valores dependen del tamaño, o extensión, del sistema. La masa total, el volumen total V, y la cantidad total de movimiento son ejemplos de propiedades extensivas. Una manera fácil de determinar si una propiedad es intensiva o extensiva es dividir el sistema en dos partes iguales con una separación imaginaria, como se muestra en la figura 2-1. Cada una de las partes tendrá el mismo valor de las propiedades intensivas que el del sistema original, pero la mitad del valor de las propiedades extensivas. En general, se usan letras mayúsculas para denotar las propiedades extensivas (la masa m es una excepción importante) y minúsculas para las propiedades intensivas (las excepciones obvias son la presión P y la temperatura T ). Las propiedades extensivas por unidad de masa se llaman propiedades específicas. Algunos ejemplos de propiedades específicas son el volumen específico (v  V/m) y la energía total específica (e  E/m). El estado de un sistema se describe por sus propiedades. Pero, con base en la experiencia, se sabe que no es necesario especificar todas las propiedades para identificar un estado. Después de que se especifican los valores de una cantidad suficiente de propiedades, el resto de éstas toman ciertos valores. Es decir, la especificación de un número de propiedades es suficiente para identificar un estado. El número de propiedades necesario para identificar el estado de un sistema se expresa por medio del postulado del estado: El estado de un sistema compresible simple queda por completo especificado por dos propiedades intensivas independientes. Dos propiedades son independientes si se puede hacer variar una de ellas mientras que la otra permanece constante. No todas las propiedades son independientes y algunas se definen en términos de otras, como se explica en la sección 2-2.

Medio continuo

FIGURA 2-2 La escala de longitud correspondiente a la mayoría de los flujos, como sucede con las gaviotas en vuelo, es mayor en órdenes de magnitud que la trayectoria libre media de las moléculas de aire. Por lo tanto, aquí y para todos los flujos de fluidos que se consideran en este libro, la idealización del medio continuo es adecuada. © Getty RF

En la fase gaseosa, la materia está formada por átomos espaciados con amplitud. Sin embargo, es conveniente descartar la naturaleza atómica de una sustancia y verla como materia homogénea y continua, sin agujeros; es decir, un medio continuo. La idealización del medio continuo permite tratar las propiedades como funciones de punto y suponer que esas propiedades varían de manera continua en el espacio, sin discontinuidades por salto. Esta idealización es válida en tanto el tamaño del sistema con el que se trate sea grande en relación con el espacio entre las moléculas (Fig. 2-2). Éste es el caso en prácticamente todos los problemas, excepto en algunos especializados. La idealización del medio continuo está implícita en muchos enunciados que se hacen, como “la densidad del agua en un vaso es la misma en cualquier punto”. Para tener cierta idea de las distancias que intervienen en el nivel molecular, considérese un recipiente lleno con oxígeno a las condiciones atmosféricas. El diámetro de la molécula de oxígeno es aproximadamente de 3 1010 m y su masa es de 5.3 1026 kg. Asimismo, el recorrido libre medio de la molécula de oxígeno a la presión de 1 atm y a 20°C es 6.3 108 m. Es decir, una molécula de oxígeno recorre, en promedio, una distancia de 6.3 108 m (alrededor de 200 veces su diámetro) antes de chocar contra otra.

39 CAPÍTULO 2

También, se tiene alrededor de 3 1016 moléculas de oxígeno en el diminuto volumen de 1 mm3 a la presión de 1 atm y a 20°C (Fig. 2-3). El modelo del medio continuo es aplicable en tanto la longitud característica del sistema (como su diámetro) sea mucho mayor que el recorrido libre medio de las moléculas. A vacíos muy altos o a elevaciones muy grandes, el recorrido libre medio puede volverse grande (por ejemplo, es de alrededor de 0.1 m para el aire atmosférico a una elevación de 100 km). Para esos casos, debe aplicarse la teoría del flujo de gas rarificado y se debe considerar el impacto de las moléculas por separado. En este libro se limitará nuestra consideración a las sustancias que se pueden modelar como un medio continuo.

2-2

■

DENSIDAD Y GRAVEDAD ESPECÍFICA

La densidad se define como masa por unidad de volumen (Fig. 2-4). Es decir, Densidad:

r

m V

(kg/m3)

(2-1)

El recíproco de la densidad es el volumen específico v, el cual se define como volumen por unidad de masa. Es decir, v  V/m  1/r. Para un elemento diferencial de volumen de masa dm y volumen dV, la densidad se puede expresar como r  dm/dV. En general, la densidad de una sustancia depende de la temperatura y de la presión. La densidad de la mayoría de los gases es proporcional a la presión e inversamente proporcional a la temperatura. Por otro lado, los líquidos y sólidos en esencia son sustancias incompresibles y la variación de su densidad con la presión suele ser despreciable. Por ejemplo, a 20°C, la densidad del agua cambia de 998 kg/m3 a 1 atm a 1 003 kg/m3 a 100 atm, un cambio de sólo 0.5 por ciento. La densidad de los líquidos y los sólidos depende más fuertemente de la temperatura que de la presión. A 1 atm, por ejemplo, la densidad del agua cambia de 998 kg/m3 a 20°C a 975 kg/m3 a 75°C, un cambio de 2.3%, que todavía se puede despreciar en muchos análisis de ingeniería. A veces, la densidad de una sustancia se da en relación con la densidad de una sustancia conocida ampliamente; entonces se le llama gravedad específica o densidad relativa, y se define como la razón de la densidad de una sustancia a la densidad de alguna sustancia estándar, a una temperatura específica (por lo general, agua a 4°C, para la cual rH2 O  1 000 kg/m3). Esto es, Gravedad específica:

GE 

r rH2O

(2-2)

Nótese que la gravedad específica de una sustancia es una cantidad adimensional. Sin embargo, en unidades SI, el valor numérico de la gravedad específica de una sustancia es exactamente igual a su densidad en g/cm3 o kg/L (o 0.001 multiplicado por la densidad en kg/m3) ya que la densidad del agua a 4°C es 1 g/cm3  1 kg/L  1 000 kg/m3. Por ejemplo, la gravedad específica del mercurio a 20°C es 13.6; por lo tanto, su densidad a 20°C es 13.6 g/cm3  13.6 kg/L  13 600 kg/m3. En la tabla 2-1 se indican las cantidades correspondientes para la gravedad específica de algunas sustancias a 20°C. Nótese que las sustancias con gravedad específica menores que 1 son más ligeras que el agua y, en consecuencia, flotarían en ella. El peso de una unidad de volumen de una sustancia se llama peso específico o densidad de peso, y se expresa como

O2

1 atm, 20°C

3 × 1016 moléculas/mm3

VACÍO

FIGURA 2-3 A pesar de los grandes espacios entre las moléculas, una sustancia se puede tratar como un medio continuo debido al número muy grande de moléculas, inclusive en un volumen en extremo pequeño.

V = 12 m 3 m = 3 kg

ρ = 0.25 kg/m 3 1 3 v =– ρ = 4 m /kg

FIGURA 2-4 La densidad es masa por unidad de volumen; el volumen específico es volumen por unidad de masa.

TABLA 2-1 La gravedad específica de algunas sustancias a 20°C y 1 atm, a menos que se especifique otra cosa. Sustancia

GE

Agua Sangre (a 37°C) Agua de mar Gasolina Alcohol etílico Mercurio Madera balsa Madera densa de roble Oro Huesos Hielo (a 0°C) Aire

1.0 1.06 1.025 0.68 0.790 13.6 0.17 0.93 19.3 1.7–2.0 0.916 0.001204

40 PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS

Peso específico:

gs  rg

(N/m3)

(2-3)

en donde g es la aceleración gravitacional. Recuerde, por lo visto en el capítulo 1, que las densidades de los líquidos son en esencia constantes y a menudo se pueden tomar de manera aproximada como si fueran sustancias incompresibles durante la mayoría de los procesos, sin perser en la exactitud.

Densidad de los gases ideales Las tablas de propiedades proporcionan información muy exacta y precisa acerca de éstas; sin embargo, resulta conveniente contar con algunas relaciones sencillas entre las propiedades que sean suficientemente generales y exactas. Cualquier ecuación que relacione la presión, la temperatura y la densidad (o volumen específico) de una sustancia se llama ecuación de estado. La ecuación de estado más sencilla y conocida para sustancias en la fase gaseosa es la ecuación de estado del gas ideal, que se expresa como: Pv  RT

o

P  rRT

(2-4)

en donde P es la presión absoluta, v es el volumen específico, T es la temperatura termodinámica (absoluta), r es la densidad y R es la constante del gas. Esta constante del gas R es diferente para cada gas y se determina a partir de R  Ru /M, en donde Ru es la constante universal de los gases cuyo valor es Ru  8.314 kJ/kmol · K  1.986 Btu/lbmol · R, y M es la masa molar (llamada también peso molecular) del gas. En la tabla A-1 se dan los valores de R y M para varias sustancias. En el SI la escala de temperatura termodinámica es la escala Kelvin, y, en ella, la unidad de temperatura es el kelvin, K. En el sistema inglés, es la escala Rankine, y su unidad de temperatura es el rankine, R. Las diversas escalas de temperatura se interrelacionan por

FIGURA 2-5 El aire se comporta como gas ideal, incluso a velocidades muy altas. En esta imagen, una bala que viaja aproximadamente a la velocidad del sonido se abre paso a través de ambos lados de un globo, formando dos ondas de choque expansivas. También es visible la trayectoria turbulenta de la bala. Fotografía de Gary S. Settles, Laboratorio de Dinámica de Gases de Penn State. Se usa con permiso.

T(K)  T( C)  273.15  T(R)/1.8

(2–5)

T(R)  T( F)  459.67  1.8 T(K)

(2–6)

Es práctica común redondear las constantes 273.15 y 459.67 a 273 y 460, respectivamente. La ecuación 2-4 se llama ecuación de estado del gas ideal, o, sencillamente, relación del gas ideal: un gas que obedece esta relación se llama gas ideal. Para un gas ideal de volumen V, masa m, y número de moles N  m/M, la ecuación de estado del gas ideal también se puede escribir como PV  mRT o PV  NRuT. Para una masa fija m, si se escribe dos veces la relación de los gases ideales y se simplifican, las propiedades de un gas ideal en dos estados diferentes se interrelacionan por P1V1/T1  P2V2/T2. Un gas ideal es una sustancia hipotética que obedece la relación Pv  RT. De manera experimental se ha observado que la relación del gas ideal se aproxima con una buena precisión al comportamiento P-v-T de los gases reales a bajas densidades. A bajas presiones y altas temperaturas, la densidad de un gas decrece y tal gas se comporta como un gas ideal (Fig. 2-5). En el rango del interés práctico, muchos gases conocidos como aire, nitrógeno, oxígeno, hidrógeno, helio, argón, neón y kriptón, e inclusive gases más pesados, entre ellos bióxido de carbono, se pueden tratar como gases ideales con error despreciable (a menudo, menor de 1 por ciento). Sin embargo, los gases densos, como el vapor de agua en las plantas generadoras y el vapor refrigerante empleado en los refrigeradores, no deben tratarse como gases ideales porque suelen existir en un estado cercano a la saturación.

41 CAPÍTULO 2

EJEMPLO 2-1

6m

Densidad, gravedad específica y masa del aire en un cuarto

4m

Determine la densidad, la gravedad específica y la masa del aire en un cuarto cuyas dimensiones son 4 m 5 m 6 m a 100 kPa y 25°C (Fig. 2-6).

Solución Deben determinarse la densidad, la gravedad específica y la masa del aire que se encuentra en un cuarto. Suposición A las condiciones especificadas, el aire se puede tratar como un gas ideal. Propiedades La constante del gas del aire es R  0.287 kPa  m3/kg  K. Análisis La densidad del aire se determina con base en la relación del gas ideal P  rRT como: r

P RT

100 kPa (0.287 kPa m3/kg K)(25

273.15) K

AIRE P = 100 kPa T = 25°C

5m

FIGURA 2-6 Esquema para el ejemplo 2-1.

1.17 kg/m3

Entonces la gravedad específica del aire es:

GE

r

1.17 kg/m3

r H2O

1000 kg/m3

0.00117

Por último, el volumen y la masa del aire que se encuentra en el cuarto son:

V  (4 m)(5 m)(6 m)  120 m3 m  rV  (1.17 kg/m3)(120 m3)  140 kg Discusión Nótese que se convirtió la temperatura a la unidad K, partiendo de °C, antes de usarla en la relación del gas ideal.

2-3

■

PRESIÓN DE VAPOR Y CAVITACIÓN

Está bien establecido que la temperatura y la presión son propiedades dependientes para las sustancias puras durante los procesos de cambio de fase, existe una correspondencia uno a uno entre esas propiedades. A una presión determinada, la temperatura a la cual una sustancia pura cambia de fase se conoce como temperatura de saturación Tsat. De manera semejante, a una temperatura dada, la presión a la cual una sustancia pura cambia de fase se llama presión de saturación Psat. Por ejemplo, a una presión absoluta de 1 atmósfera estándar (1 atm o 101.325 kPa), la temperatura de saturación del agua es de 100°C. Inversamente, a una temperatura de 100°C, la presión de saturación del agua es de 1 atm. La presión de vapor Pv de una sustancia pura se define como la presión ejercida por su vapor en equilibrio de fases con su líquido a una temperatura dada. Pv es una propiedad de la sustancia pura y resulta ser idéntica a la presión de saturación Psat del líquido (Pv  Psat). Se debe tener cuidado en no confundir la presión de vapor con la presión parcial. La presión parcial se define como la presión de un gas o vapor en una mezcla con otros gases. Por ejemplo, el aire atmosférico es una mezcla de aire seco y vapor de agua, y la presión atmosférica es la suma de la presión parcial del aire seco y la presión parcial del vapor de agua. La presión parcial del vapor de agua constituye una fracción pequeña (por lo general, menor de 3 por ciento) de la presión atmosférica, ya que el aire es en su mayor parte nitrógeno y oxígeno. La presión parcial de un vapor debe ser menor que la presión de vapor, o igual a ésta, si no hubiera líquido presente. Sin embargo, cuando están presentes tanto el vapor y el líquido y el sistema está en equilibrio de fases, la presión parcial del vapor debe ser igual a la presión de vapor y se dice que el sistema está saturado. La rapidez de la evaporación desde masas abiertas de agua, como los lagos, es controlada por la diferencia entre la presión de vapor y la presión parcial. Por ejemplo, la presión de vapor del agua a 20°C es

Moléculas de agua: fase vapor

Moléculas de agua: fase líquida

FIGURA 2-7 La presión de vapor (presión de saturación) de una sustancia pura (por ejemplo, agua), es la presión que ejercen sus moléculas de vapor cuando el sistema está en equilibrio de fases con sus moléculas líquidas a una temperatura dada.

42 PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS

TABLA 2-2 Presión de saturación (o de vapor) del agua a varias temperaturas Temperatura T, °C 10 5 0 5 10 15 20 25 30 40 50 100 150 200 250 300

Presión de saturación Psat, kPa 0.260 0.403 0.611 0.872 1.23 1.71 2.34 3.17 4.25 7.38 12.35 101.3 (1 atm) 475.8 12554 32973 82581

FIGURA 2-8 Daño por cavitación en una muestra de aluminio de 16 mm por 23 mm probada a 60 m/s durante 2.5 h. La muestra se colocó en la región de colapso de las burbujas de cavitación, corriente abajo de un generador de cavitación que se diseñó de forma específica para producir un elevado potencial de daño. Fotografía tomada por David Stinebring, ARL / Pennsylvania State University. Reproducida con autorización.

de 2.34 kPa; por lo tanto, un cubo de agua a 20°C que se deje en un cuarto con aire seco a 1 atm continuará evaporándose hasta que suceda una de dos cosas: el agua se evapora por completo (no hay suficiente agua como para establecer el equilibrio de fases en el cuarto), o la evaporación se detiene cuando la presión parcial del vapor de agua en el cuarto se eleva hasta 2.34 kPa, punto en el que se establece el equilibrio de fases. Para procesos de cambio de fase entre las fases líquida y de vapor de una sustancia pura, la presión de saturación y la de vapor son equivalentes, ya que el vapor es puro. Note que el valor de la presión sería el mismo si se mide en la fase de vapor o en la líquida (siempre que se mida en un lugar cercano a la interface líquido-vapor, con la finalidad de evitar los efectos hidrostáticos). La presión de vapor aumenta con la temperatura. Por lo tanto, una sustancia a temperatura más alta hierve a presiones más elevadas. Por ejemplo, el agua hierve a 134°C en una olla a presión que opera a una presión absoluta de 3 atm, pero hierve a 93°C en una cacerola común a una elevación de 2 000 m, en donde la presión atmosférica es de 0.8 atm. En los apéndices 1 y 2 se dan las presiones de saturación (o vapor) para varias sustancias. La tabla 2-2 resume y facilita la referencia para el agua. La razón del interés en la presión de vapor es la posibilidad de caída de la presión del líquido, en los sistemas de flujo de líquidos, por abajo de la presión de vapor en algunos lugares y la vaporización resultante no planeada. Por ejemplo, el agua a 10°C se evaporará de manera instantánea y formará burbujas en los lugares (como las regiones de las puntas o los lados de succión de las aspas de las bombas) donde la presión cae por abajo de 1.23 kPa. Las burbujas de vapor (llamadas burbujas de cavitación debido a que forman “cavidades” en el líquido) colapsan conforme son barridas hacia fuera de las regiones de baja presión, con lo que se generan ondas de alta presión extremadamente destructivas. Este fenómeno, que es causa común de caída en el rendimiento e inclusive de la erosión de las aspas del impulsor, se llama cavitación, y constituye una consideración importante en el diseño de las turbinas y bombas hidráulicas (Fig. 2-8). La cavitación debe evitarse (o al menos minimizarse) en los sistemas de flujo, porque reduce el rendimiento, genera vibraciones y ruido molestos, y daña al equipo. Note que algunos sistemas de flujo emplean la cavitación para su beneficio, por ejemplo, los torpedos “supercavitacionales” de alta velocidad. Las puntas de presión resultantes del gran número de burbujas que se colapsan cerca de la superficie sólida durante un periodo largo pueden causar erosión, picadura de la superficie, falla por fatiga y la destrucción eventual de los componentes o la maquinaria. Se puede detectar la presencia de la cavitación en un sistema de flujo por su sonido característico de traquetear.

EJEMPLO 2-2

Presión mínima para evitar la cavitación

En un sistema de distribución de agua, se observa que la temperatura de ésta es de aproximadamente 30°C. Determine la presión mínima admisible en el sistema para evitar la cavitación.

SOLUCIÓN Debe determinarse la presión mínima en un sistema de distribución de agua, para evitar la cavitación. Propiedades La presión de vapor del agua a 30°C es de 4.25 kPa. Análisis Para evitar la cavitación, no debe permitirse que la presión en cualquier punto en el flujo caiga por abajo de la presión de vapor (o de saturación) a la temperatura dada; es decir: Pmín  Psat@30 C  4.25 kPa

43 CAPÍTULO 2

Por lo tanto, la presión debe de mantenerse arriba de 4.25 kPa en cualquier punto del flujo. Discusión Nótese que la presión de vapor se incrementa cuando aumenta la temperatura y, en consecuencia, el riesgo de cavitación es mayor a temperaturas más altas del fluido.

2-4

■

ENERGÍA Y CALORES ESPECÍFICOS

La energía puede existir en numerosas formas: térmica, mecánica, cinética, potencial, eléctrica, magnética, química y nuclear, y su suma constituye la energía total E (o e con base en una unidad de masa) de un sistema. Las formas de la energía relacionadas con la estructura molecular de un sistema y el grado de actividad molecular se llaman energía microscópica. La suma de las formas microscópicas de la energía se conoce como energía interna de un sistema y se denota por U (o u con base en una unidad de masa). La energía macroscópica de un sistema está relacionada con el movimiento y la influencia de algunos efectos externos: la gravedad, el magnetismo, la electricidad y la tensión superficial. La energía que un sistema tiene como resultado de su movimiento en relación con algún marco de referencia se llama energía cinética. Cuando todas las partes de un sistema se mueven con la misma velocidad, la energía cinética por unidad de masa se expresa como ec  V 2/2 en donde V denota la velocidad del sistema en relación con algún marco fijo de referencia. La energía que un sistema tiene como resultado de su elevación en un campo gravitacional se llama energía potencial y se expresa en términos de unidad de masa como ep  gz donde g es la aceleración gravitacional y z es la elevación del centro de gravedad de un sistema en relación con algún plano de referencia seleccionado de manera arbitraria. En la vida cotidiana con frecuencia se hace referencia a las formas sensible y latente de la energía interna como calor y se habla del contenido de calor de los cuerpos. Sin embargo, en ingeniería, esas formas se conocen como energía térmica para impedir cualquier confusión con la transferencia de calor. La unidad internacional de energía es el joule (J) o el kilojoule (1 kJ  1 000 J). Un joule es 1 N por 1 m. En el sistema inglés, la unidad de energía es la unidad térmica británica (Btu), definida como la energía necesaria para elevar la temperatura de 1 lbm de agua a 68°F en 1°F. Las magnitudes del kJ y la Btu son casi idénticas (1 Btu  1.0551 kJ). Otra unidad ampliamente conocida de la energía es la caloría (1 cal  4.1868 J), la cual se define como la energía necesaria para elevar la temperatura de 1 g de agua a 14.5°C en 1°C. En el análisis de los sistemas en los que se tiene flujo de fluidos, con frecuencia se encuentra la combinación de las propiedades u y Pv. Por conveniencia, esta combinación se conoce como entalpía h; es decir, Entalpía:

h  u  Pv  u 

P r

(2-7)

en donde P/r es la energía de flujo, también llamada trabajo de flujo, la cual es la energía por unidad de masa necesaria para mover el fluido y mantener el flujo. En el análisis de energía de los fluidos fluyentes, es conveniente tratar la energía de flujo como parte de la energía del fluido y representar la energía microscópica de una corriente de fluido por la entalpía h (Fig. 2-9). Nótese que la entalpía es una cantidad por unidad de masa y, en consecuencia, es una propiedad específica. Un sistema que carece de efectos como el magnético, el eléctrico y la tensión superficial, se llama sistema compresible simple. La energía total de un sistema compresible simple consta de tres partes: energías interna, cinética y potencial.

44 PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS

Fluido estacionario

Energía = u

En términos de una unidad de masa, se expresa como e  u  ec  ep. El fluido que entra o sale de un volumen de control tiene una forma adicional de energía: la energía de flujo P/r. Entonces la energía total de un fluido fluyente en términos de una unidad de masa es: efluyente

Fluido fluyente

P/r

e

h

ec

ep

Energía = h

FIGURA 2-9 La energía interna u representa la energía microscópica de un fluido no-fluyente, por unidad de masa, en tanto que la entalpía h representa la energía microscópica de un fluido fluyente por unidad de masa.

h

V2 2

gz

(kJ/kg)

(2–8)

donde h  P/r  u es la entalpía, V es la velocidad y z es la elevación del sistema en relación con algún punto externo de referencia. Cuando se utiliza la entalpía, en lugar de la energía interna, con la finalidad de representar la energía de un fluido fluyente, no es necesario preocuparse acerca del trabajo de flujo. Con la entalpía se toma en cuenta, de manera automática, la energía asociada con la acción de empujar el fluido. De hecho, ésta es la razón principal para definir la propiedad entalpía. Los cambios diferenciales y finitos en la energía interna y la entalpía de un gas ideal se pueden expresar en términos de los calores específicos como: du  cv dT

y

dh  cp dT

(2-9)

donde cv y cp son los calores específicos a volumen constante y a presión constante del gas ideal. Si se utilizan los valores de los calores específicos en la temperatura promedio, los cambios finitos en la energía interna y la entalpía se pueden expresar de manera aproximada como: u  cv,prom T

P1

y

h  cp,prom T

(2-10)

Para las sustancias incompresibles, los calores específicos a volumen constante y a presión constante son idénticos. Por lo tanto, cp  cv  c para los líquidos y el cambio en la energía interna de éstos se puede expresar como u  cprom T. Nótese que r  constante para las sustancias incompresibles, la diferenciación de la entalpía h  u  P/r da dh  du  dP/r. Si se integra, el cambio en la entalpía queda h  u  P/r  cprom T  P/r

(2-11)

Por lo tanto, h  u  cprom T para los procesos a presión constante y h  P/r para los procesos a temperatura constante de los líquidos.

2-5

■

COMPRESIBILIDAD Y VELOCIDAD DEL SONIDO

Coeficiente de compresibilidad P2 > P1

FIGURA 2-10 Los fluidos, como los sólidos, se comprimen cuando la presión aplicada se incrementa de P1 a P2.

Por experiencia, se sabe que el volumen (o la densidad) de un fluido cambia respecto a una variación en su temperatura o su presión. Los fluidos suelen expandirse cuando se calientan o despresurizan, y se contraen cuando se enfrían o presurizan. Pero la cantidad del cambio de volumen es diferente para fluidos diferentes y se necesita definir las propiedades que relacionan los cambios en el volumen con los cambios en la presión y en la temperatura. Dos de esas propiedades son el módulo de elasticidad de volumen k y el coeficiente de expansión volumétrica b. Es común observar que un fluido se contrae cuando se aplica más presión sobre él, y se expande cuando se reduce la presión que actúa sobre él (Fig. 2-10). Es decir, los fluidos actúan como sólidos elásticos respecto a la presión. Por lo tanto, de una manera análoga al módulo de elasticidad de Young de los sólidos, es apropiado definir un coeficiente de compresibilidad k (llamado también módulo de compresibilidad o módulo de elasticidad) para los fluidos como

45 CAPÍTULO 2

P

P b  ra b

v T

r T

k  v a

(Pa)

(2-12)

También se puede expresar de manera aproximada en términos de cambios finitos como: k

P P  v/v r/r

(T  constante)

(2-13)

Nótese que si v/v o r/r son adimensionales, k debe tener la dimensión de presión (Pa o psi). Asimismo, el coeficiente de compresibilidad representa el cambio en la presión correspondiente a un cambio relativo en el volumen o la densidad del fluido, mientras la temperatura permanezca constante. Entonces, se llega a la conclusión de que el coeficiente de compresibilidad de una sustancia verdaderamente incompresible (v  constante) es infinito. Un valor grande de k indica que se necesita un cambio también grande en la presión para causar un pequeño cambio relativo en el volumen y, de este modo, un fluido con un k grande es en esencia incompresible. Esto es típico para los líquidos y explica por qué éstos suelen considerarse como incompresibles. Por ejemplo, la presión del agua en condiciones atmosféricas normales debe elevarse hasta 210 atm para comprimirla en 1 por ciento, lo que corresponde a un valor del coeficiente de compresibilidad de k  21 000 atm. Los cambios pequeños en la densidad de los líquidos, pueden inclusive causar fenómenos interesantes en los sistemas de tuberías, como el golpe de ariete (caracterizado por un sonido que semeja al que se produce cuando se “martillea” un tubo). Éste se presenta cuando un líquido en una red de tuberías encuentra una restricción abrupta del flujo (como una válvula cerrada) y se comprime de manera local. Las ondas acústicas producidas chocan contra las superficies del tubo, codos y válvulas conforme se propagan y se reflejan a lo largo de éste, lo hacen vibrar y que emita el conocido sonido. Además de lo irritante del sonido, el golpe de ariete puede ser muy destructivo, dando lugar a fugas e incluso daños estructurales. Su efecto se puede detener con un supresor de golpe de ariete, que es una cámara volumétrica que contiene un fuelle o pistón para absorber el choque. Para tuberías de gran diámetro, se usa un tubo vertical llamado torre de compensación. Una torre de compensación tiene una superficie de aire libre en la parte superior y prácticamente no requiere de mantenimiento. Note que el volumen y la presión son inversamente proporcionales (el volumen decrece al aumentar la presión y, en consecuencia ∂P/∂v es una cantidad negativa) y el signo negativo en la definición (Ec. 2-12) garantiza que k sea una cantidad positiva. También, al diferenciar r  1/v da dr  dv/v 2, lo cual se puede reordenar como: dr dv  r v

(2-14)

Esto es, los cambios relativos en el volumen específico y la densidad de un fluido son de igual magnitud, pero de signo opuesto. Para un gas ideal, P  rRT y (∂P/∂r)T  RT  P/r, así, kgas ideal  P

(Pa)

(2-15)

Por lo tanto, el coeficiente de compresibilidad de un gas ideal es igual a su presión absoluta, y el coeficiente de compresibilidad del gas se incrementa cuando aumenta la presión. Si se hace la sustitución k  P en la definición del coeficiente de compresibilidad y se reordena, se obtiene

a)

b)

FIGURA 2-11 Supresores de golpe ariete: a) Una gran torre de compensación construida para proteger la tubería contra daños por ariete hidráulico. Fotografía Arris S. Tijseling, visitador de la Universidad de Adelaide, Australia. Se usa con permiso.

b) Supresores mucho más pequeños que se usan para suministrar agua a una lavadora doméstica. Fotografía cortesía de Oatey Co.

46 PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS

r P  r P

Gas ideal:

(T  constante)

(2-16)

Por lo tanto, el incremento porcentual en la densidad de un gas ideal durante una compresión isotérmica es igual al incremento porcentual en la presión. Para el aire a la presión de 1 atm, k  P  1 atm y una disminución de 1 por ciento en el volumen (V/V  0.01) corresponde a un incremento de P  0.01 atm en la presión. Pero, para el aire a 1 000 atm, k  1 000 atm y una disminución de 1 por ciento en el volumen corresponde a un incremento de P  10 atm en la presión. En consecuencia, un pequeño cambio relativo en el volumen de un gas puede causar un cambio grande en la presión, a presiones muy altas. El inverso del coeficiente de compresibilidad se llama compresibilidad isotérmica a y se expresa como: FIGURA 2-12 Convección natural sobre la mano de una mujer. G. S. Settles, Gas Dynamics Lab, Penn State University. Reproducida con autorización.

a

1 v 1 1 r  a b  a b k v P T r P T

(1/Pa)

(2-17)

La compresibilidad isotérmica de un fluido representa el cambio relativo en el volumen o la densidad correspondiente a un cambio unitario en la presión.

Coeficiente de expansión volumétrica

Q––– ∂T R ∂v

P

20°C 100 kPa 1 kg

21°C 100 kPa 1 kg

a) Una sustancia con un b grande ∂v Q––– ∂T RP

En general, la densidad de un fluido depende más de la temperatura que de la presión, y la variación de la densidad con la temperatura causan numerosos fenómenos naturales, como los vientos, las corrientes en los océanos, el ascenso de columnas de humo de las chimeneas, el manejo de globos de aire caliente, la transferencia de calor por convección natural, e inclusive, el ascenso del aire caliente, y de allí la frase “el aire caliente sube” (Fig. 2-12). Para cuantificar estos efectos se necesita una propiedad que represente la variación de la densidad de un fluido con la temperatura a presión constante. La propiedad que suministra esa información es el coeficiente de expansión volumétrica (o expansividad volumétrica) b, definido como (Fig. 2-13) b 

21°C 100 kPa 1 kg

b) Una sustancia con un b pequeño

FIGURA 2-13 El coeficiente de expansión volumétrica es una medida del cambio en el volumen de una sustancia con la temperatura a presión constante.

(1/K)

(2-18)

También se puede expresar de manera aproximada en términos de cambios finitos como: b

20°C 100 kPa 1 kg

1 v 1 r a b  a b r T P v T P

r/r v/v  T T

(a P constante)

(2-19)

Un valor grande de b para un fluido significará también un cambio considerable en la densidad con la temperatura, y el producto b T representa la fracción de cambio en el volumen de un fluido que corresponde a un cambio en la temperatura de T a presión constante. Se puede demostrar con facilidad que el coeficiente de expansión volumétrica de un gas ideal (P  rRT ) a una temperatura T equivale al inverso de la temperatura: b gas ideal 

1 T

(1/K)

(2-20)

donde T es la temperatura absoluta. En el estudio de las corrientes de convección natural, la condición de la masa principal de fluido que rodea las regiones finitas calientes o frías se indica con el subíndice “infinito” para que sirva como recordatorio de que éste es el valor a una distancia en donde no se siente la presencia de la región caliente o fría. En

47 CAPÍTULO 2

esos casos, el coeficiente de expansión volumétrica se puede expresar de manera aproximada como: b 

(r   r)/r T  T

o

r   r  rb(T  T)

(2-21)

en donde r es la densidad y T es la temperatura del fluido inmóvil alejado de la región de fluido caliente o frío. En el capítulo 3 se verá que las corrientes de convección natural son iniciadas por una fuerza de flotabilidad, que es proporcional a la diferencia en la densidad, la cual es proporcional a la diferencia en la temperatura a presión constante. Por lo tanto, cuanto mayor sea la diferencia de temperatura entre la parcela de fluido caliente o frío y la masa principal del fluido circundante, mayor es la fuerza de flotabilidad y, en consecuencia, más fuertes las corrientes de convección natural. Se pueden determinar los efectos combinados de los cambios en la presión y en la temperatura sobre el cambio de volumen de un fluido cuando se toma el volumen específico como una función de T y P. Si se diferencia v  v (T, P) y se utilizan las definiciones de los coeficientes de compresión y de expansión a y b se obtiene:

v

v dv  a b dT  a b dP  (b dT  a dP)v

P T

T P

(2-22)

Entonces el cambio relativo en el volumen (o la densidad) debido a cambios en la presión y temperatura se puede expresar de manera aproximada como: r v   b T  a P r v

EJEMPLO 2-3

(2-23)

Variación de la densidad con la temperatura y la presión

Considere agua inicialmente a 20°C y 1 atm. Determine la densidad final del agua a) si se calienta hasta 50°C a una presión constante de 1 atm y b) si se comprime hasta alcanzar la presión de 100 atm a una temperatura constante de 20°C. Tome la compresibilidad isotérmica del agua como a  4.80 105 atm1.

SOLUCIÓN Se considera agua a una temperatura y presión dadas. Se deben determinar las densidades del agua después de que se caliente y después de que se comprime. Suposiciones 1 El coeficiente de expansión volumétrica y la compresibilidad isotérmica del agua son constantes en el rango dado de temperatura. 2 Se realiza un análisis aproximado cuando se reemplazan los cambios diferenciales en las propiedades por cambios finitos. Propiedades La densidad del agua a 20°C y la presión de 1 atm es r1  998.0 kg/m3. El coeficiente de expansión volumétrica a la temperatura promedio de (20  50)/2  35°C es b  0.337 103 K1. La compresibilidad isotérmica del agua se da como a  4.80 105 atm1. Análisis Cuando las cantidades diferenciales se reemplazan por diferencias finitas y se supone que las propiedades a y b son constantes, el cambio en la densidad, en términos de los cambios en la presión y la temperatura, se expresa de forma aproximada como (Ec. 2-23): r  ar P  br T

48 PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS

a) El cambio en la densidad debido a la variación en la temperatura de 20°C hasta 50°C, a presión constante es

0.00050

b, 1/K

0.00050

r  br T  (0.337 10 3 K 1)(998 kg/m3)(50  20) K

0.00050

 10.0 kg/m3

0.00050

Note que r  r2  r1, la densidad del agua a 50°C y 1 atm es:

0.00050

r 2  r 1  r  998.0  (10.0)  988.0 kg /m3

0.00050 0.00050 20

25

30

35 T, °C

40

45

50

lo cual es casi idéntico al valor de 988.1 kg/m3 a 50°C que se encuentra en la tabla A-3. Esto se debe principalmente a que b varía con la temperatura aproximadamente de forma lineal, como se muestra en la figura 2-14.

b) El cambio en la densidad debido a un cambio en la presión de 1 atm hasta 100 atm a temperatura constante es:

FIGURA 2-14 Variación del coeficiente de la expansión volumétrica del agua b con la temperatura en un rango entre 20°C y 50°C.

r  ar P  (4.80 10 5 atm 1)(998 kg/m3)(100  1) atm  4.7 kg/m3 Entonces la densidad del agua a 100 atm y 20°C es:

r 2  r 1  r  998.0  4.7  1 002.7 kg/m3

Los datos se generaron y graficaron con el uso de EES.

Discusión Note que la densidad del agua disminuye cuando se calienta y aumenta cuando se comprime, como es de esperar. Este problema se puede resolver de modo más exacto con la aplicación del análisis diferencial, cuando se cuenta con formas funcionales de las propiedades. Frente de onda en movimiento

Émbolo

La velocidad del sonido y el número de Mach dV

h + dh P + dP r + dr

c

h Fluido P estacionario r

V

dV 0

x

P

P + dP P x

FIGURA 2-15 Propagación de una pequeña onda de presión a lo largo de un ducto.

Un parámetro importante en el estudio del flujo compresible es la velocidad del sonido (o la velocidad sónica), que se define como la velocidad a la que viaja una onda de presión infinitesimalmente pequeña a través de un medio. La onda de presión la puede causar una pequeña perturbación, que crea un ligero aumento en la presión local. Para obtener una relación para la velocidad del sonido en un medio, considere un ducto que está lleno con un fluido en reposo, como se muestra en la figura 2-15. Un émbolo ajustado en el ducto se mueve ahora a la derecha con la velocidad incremental constante dV, creando una onda sónica. El frente de onda se mueve a la derecha a través del fluido, a la velocidad del sonido c, y separa el fluido en movimiento adyacente al émbolo del fluido que todavía está en reposo. El fluido a la izquierda del frente de onda experimenta un cambio incremental en sus propiedades termodinámicas, mientras que el fluido que está a la derecha del frente de onda mantiene sus propiedades termodinámicas originales, como se muestra en la figura 2-15. Para simplificar el análisis, considere un volumen de control que abarca el frente de onda y se mueve con éste, como se muestra en la figura 2-16. Para un observador que viaje con el frente de onda, el fluido que está a la derecha parece moverse hacia el frente de onda con una velocidad c, y el fluido que está a la izquierda parece alejarse del frente de onda con una velocidad de c – dV. Por supuesto, el observador ve el volumen de control que abarca el frente de onda (y al mismo observador), como en reposo, y el observador está presenciando un proceso de flujo estacionario. El balance de masa de este flujo estacionario de una sola corriente se expresa como # m derecha

# m izquierda

49 CAPÍTULO 2

o

Volumen de control que viaja con el frente de onda.

rAc  (r  dr)A(c  dV)

Cancelando el área de sección transversal (o sección del flujo) A, y despreciando los términos de mayor orden, esta ecuación se reduce a c dr  r dV  0

Ningún calor ni trabajo cruza las fronteras del volumen de control durante este proceso de flujo estacionario, y el cambio en la energía potencial se puede despreciar. Entonces, el balance de energía de flujo uniforme eentrada  esalida se convierte en h

(c  dV)2 c2  h  dh  2 2

dh  c dV  0

donde hemos despreciado el término de segundo orden dV2. La amplitud de la onda sónica ordinaria es muy pequeña, y no causa ningún cambio apreciable en la presión ni en la temperatura del fluido. Por lo tanto, la propagación de una onda sónica no sólo es adiabática, sino también muy aproximadamente isentrópica. Entonces, la relación termodinámica T ds  dh  dP/r (véase Cengel y Bols, 2008) se reduce a 0

dh

dP r

o dP r

dh

Combinando las ecuaciones anteriores, se obtiene la expresión deseada para la velocidad del sonido como c2

dP dr

cuando

s

constante

o a

c2

P b r s

(2–24)

Se deja como ejercicio para el lector demostrar, usando relaciones de propiedades termodinámicas, que la ecuación 2-24 también se puede escribir como ka

c2

P b r T

(2–25)

donde k  cp /cv es la relación de calor específico del fluido. Observe que la velocidad del sonido en un fluido es una función de las propiedades termodinámicas de dicho fluido. Cuando el fluido es un gas ideal (P  rRT ), se puede hacer la diferenciación en la ecuación 2-25 para obtener c2

ka

P b r T

kc

(rRT) d r T

kRT

o c

2kRT

c – dV

c

h P r

FIGURA 2-16 Volumen de control que se mueve con la pequeña onda de presión a lo largo de un ducto. © Getty RF

que da

T¡ ds

h + dh P + dP r + dr

(2–26)

50 PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS AIRE

HELIO

284 m/s

200 K

347 m/s

300 K

832 m/s

1 019 m/s

Observando que la constante de los gases R tiene un valor fijo para un gas ideal especificado, y que la relación de calor específico k de un gas ideal es básicamente una función de la temperatura, vemos que la velocidad del sonido en un gas ideal especificado es una función sólo de la temperatura (Fig. 2-17). Un segundo parámetro importante en el análisis de flujo de fluidos compresibles es al número de Mach, Ma, que recibe su nombre del físico austriaco Ernst Mach (1838-1916). Es la relación entre la velocidad real del fluido (o la de un objeto en el fluido en reposo) y la velocidad del sonido en el mismo fluido en el mismo estado:

1 000 K 634 m/s

FIGURA 2-17 La velocidad del sonido cambia con la temperatura y varía según el fluido.

AIRE 220 K

V = 320 m/s

AIRE 300 K

V = 320 m/s Ma = 0.92

© Alamy RF

AIRE

V c

(2–27)

Observe que el número de Mach depende de la velocidad del sonido, que a su vez depende del estado del fluido. Por lo tanto, el número de Mach de un avión que vuela a velocidad de crucero constante en aire tranquilo puede ser diferente en distintas ubicaciones (Fig. 2-18). Los regímenes de fluido se describen a menudo en términos del número de Mach del flujo. El flujo se llama sónico cuando Ma = 1, subsónico cuando Ma  1, supersónico cuando Ma  1, hipersónico cuando Ma  1, y transónico cuando Ma  1.

Ma = 1.08

FIGURA 2-18 El número de Mach puede ser diferente a temperaturas diferentes, aun cuando la velocidad de vuelo sea la misma.

V = 200 m/s T = 30°C

Ma 

1 861 m/s

Difusor

FIGURA 2-19 Esquema para el ejemplo 2-4.

EJEMPLO 2-4 Número de Mach del aire que entra a un difusor Entra aire a un difusor como se muestra en la figura 2-19 con una velocidad de 200 m/s. Determine a) la velocidad del sonido y b) el número Mach a la entrada del difusor cuando la temperatura del aire es 30°C.

SOLUCIÓN Entra aire a un difusor a alta velocidad. Se deben determinar la velocidad del sonido y el número de Mach a la entrada del difusor. Suposición El aire en las condiciones especificadas se comporta como gas ideal. Propiedades La constante de gases del aire es R  0.287 kJ/kg · K, y su relación de calores específicos a 30°C es 1.4. Análisis Observamos que la velocidad del sonido en un gas varía con la temperatura, que está dada como 30°C. a) La velocidad del sonido en el aire a 30°C se determina, por la ecuación 2-26, como

c

2kRT

B

1 000 m2/s2 b 1 kJ/kg

(1.4)(0.287 kJ/kg K)(303 K)a

349 m/s

b) Entonces, el número de Mach resulta

Ma 

V 200 m/s   0.573 c 349 m/s

Discusión El flujo a la entrada del difusor es subsónico, ya que Ma  1.

2-6

■

VISCOSIDAD

Cuando dos cuerpos sólidos en contacto se mueven uno con respecto al otro, se crea una fuerza de fricción en la superficie de contacto en la dirección opuesta al movimiento. Por ejemplo, para mover una mesa sobre el piso, se le debe aplicar una fuerza en dirección horizontal, suficientemente grande como para vencer la fricción. La magnitud de la fuerza necesaria para mover la mesa depende del coeficiente de fricción entre la mesa y el piso.

51 CAPÍTULO 2

La situación es semejante cuando un fluido se mueve con respecto a un sólido o cuando dos fluidos se mueven uno con respecto al otro. Es posible moverse con relativa facilidad en el aire, pero no en el agua. Moverse en aceite sería inclusive más difícil, como se puede observar por el movimiento muy lento hacia abajo de una bola de vidrio que se deja caer en un tubo lleno con aceite. Parece que existe una propiedad que representa la resistencia interna de un fluido al movimiento o la “fluidez”, y esa propiedad es la viscosidad. La fuerza que un fluido fluyente ejerce sobre un cuerpo en la dirección del flujo se llama fuerza de arrastre, y la magnitud de ésta depende, en parte, de la viscosidad (Fig. 2-20). Para obtener una relación para la viscosidad, considérese una capa de fluido entre dos placas paralelas muy grandes (o, lo que es equivalente, dos placas paralelas sumergidas en una gran masa de fluido) separadas por una distancia  (Fig. 2-21). Ahora se aplica una fuerza paralela constante F a la placa superior, en tanto que la placa inferior se mantiene fija. Después de los efectos transitorios iniciales, se observa que la placa superior se mueve de manera continua, bajo la influencia de esta fuerza, a una velocidad constante V. El fluido, en contacto con la placa superior, se pega a la superficie de ésta y se mueve con ella a la misma velocidad, y el esfuerzo cortante t que actúa sobre esta capa de fluido es: t

F A

V

Aire

Fuerza de arrastre

V Agua

FIGURA 2-20 Un fluido que se mueve con relación a un cuerpo ejerce una fuerza de arrastre sobre el cuerpo, en parte por la fricción causada por la viscosidad. ®Getty RF

da

(2-28)

Área A N

donde A es el área de contacto entre la placa y el fluido. Nótese que la capa de fluido se deforma de manera continua bajo la influencia del esfuerzo cortante. El fluido en contacto con la placa inferior toma la velocidad de esa placa, la cual es cero (debido a la condición de no-deslizamiento, ver Sección 1-2). En el flujo laminar estacionario, la velocidad del fluido entre las placas varía de manera lineal entre 0 y V, y así, el perfil de velocidad y el gradiente de velocidad son: y u(y)  V /

y

du V  dy /

(2-29)

donde y es la distancia vertical medida desde la placa inferior. Durante un intervalo diferencial de tiempo dt, los lados de las partículas del fluido a lo largo de una recta vertical MN giran describiendo un ángulo diferencial db al mismo tiempo que la placa superior se mueve una distancia diferencial da  V dt. El desplazamiento o deformación angular (o deformación por esfuerzo cortante) se puede expresar como: db  tan b 

da V dt du   dt / / dy

(2-30)

Si se reordena, la razón de deformación bajo la influencia del esfuerzo cortante t queda: db du  dt dy

(2-31)

Por lo que se concluye de que la razón de deformación de un elemento de fluido equivale al gradiente de velocidad, du/dy. Además, se puede verificar de manera experimental que, para la mayoría de los fluidos, la razón de deformación (y, por lo tanto, el gradiente de velocidad) es directamente proporcional al esfuerzo cortante t, t 

db dt

o

Fuerza de arrastre

t 

du dy

(2-32)

db

y x

M

Nʹ

u =V

Fuerza F Velocidad V

 u= 0 Perfil de velocidades y u(y) = V 

FIGURA 2-21 El comportamiento de un fluido en flujo laminar entre dos placas paralelas cuando la placa superior se mueve con una velocidad constante.

52 PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS

Los fluidos para los cuales la razón de deformación es proporcional al esfuerzo cortante se llaman fluidos newtonianos en honor de sir Isaac Newton, quien lo expresó por primera vez en 1687. La mayoría de los fluidos comunes, como el agua, el aire, la gasolina y los aceites son newtonianos. La sangre y los plásticos líquidos son ejemplos de fluidos no-newtonianos En el flujo unidimensional de fluidos newtonianos, el esfuerzo cortante se puede expresar mediante la relación lineal: Esfuerzo cortante:

Esfuerzo cortante, t

Aceite

Viscosidad = pendiente m= a

t du / dy

=

a b

Agua

b

Aire Razón de deformación, du/dy

FIGURA 2-22 La razón de deformación (gradiente de velocidad) de un fluido newtoniano es proporcional al esfuerzo cortante, y la constante de proporcionalidad es la viscosidad.

t  m

du dy

Esfuerzo cortante, t

Seudoplástico Newtoniano

Dilatante

Razón de deformación, du/dy

FIGURA 2-23 Variación del esfuerzo cortante con la razón de deformación para fluidos newtonianos y no-newtonianos (la pendiente de una de las curvas en un punto es la viscosidad aparente del fluido en ese punto).

(2-33)

donde la constante de proporcionalidad m se llama coeficiente de viscosidad o viscosidad dinámica (o absoluta) del fluido, cuya unidad es kg/m · s, o de modo equivalente, N · s/m2 (o Pa  s, en donde Pa es la unidad de presión pascal). Una unidad común de la viscosidad es el poise, el cual equivale a 0.1 Pa  s (o el centipoise, el cual es un centésimo de poise). La viscosidad del agua a 20°C es 1.002 centipoise y, en consecuencia, la unidad centipoise sirve como una referencia útil. Una gráfica del esfuerzo cortante, en función de la razón de deformación (gradiente de velocidad) para un fluido newtoniano es una recta cuya pendiente es la viscosidad de ese fluido, como se muestra en la figura 2-22. Nótese que la viscosidad es independiente de la razón de deformación. Como la tasa de deformación es proporcional al esfuerzo cortante, la figura 2-22 revela que la viscosidad es en realidad un coeficiente en una relación esfuerzo-deformación. La fuerza cortante que actúa sobre una capa de fluido newtoniano (o, por la tercera ley de Newton, la fuerza que actúa sobre la placa) es: Fuerza cortante:

F  tA  mA

du dy

(N)

(2-34)

donde, una vez más, A es el área de contacto entre la placa y el fluido. Entonces la fuerza F requerida para mover la placa superior de la figura 2-21, a una velocidad constante de V al mismo tiempo que la placa inferior permanece en reposo, es: F  mA

Plástico de Bingham

(N/m2)

V /

(N)

(2-35)

Se puede usar esta relación de manera alternativa para calcular m cuando se mide la fuerza F. Por lo tanto, se puede utilizar el montaje experimental que se acaba de describir para medir la viscosidad de los fluidos. Note que, en condiciones idénticas, la fuerza F será muy distinta para fluidos diferentes. Para los fluidos no-newtonianos, la relación entre el esfuerzo cortante y la razón de deformación no es lineal, como se muestra en la figura 2-23. La pendiente de la curva en el diagrama de t en función de du/dy se conoce como viscosidad aparente del fluido. Los fluidos cuya viscosidad aparente se incrementa con la razón de deformación (como las soluciones con almidón o arena suspendidos) se conocen como fluidos dilatantes o espesantes al corte, y los que exhiben el comportamiento opuesto (el fluido que se vuelve menos viscoso a medida que se le sujeta a un corte más intenso, como algunas pinturas, las soluciones de polímero y los fluidos con partículas suspendidas) se conocen como fluidos seudoplásticos o adelgazantes al corte. Algunos materiales, como la pasta de dientes, pueden resistir un esfuerzo cortante finito y se comportan como un sólido, pero se deforman de manera continua cuando ese esfuerzo sobrepasa el del punto de fluencia, y en consecuencia, se comportan como un fluido. Esos materiales se conocen como plásticos de Bingham, en honor de Eugene C. Bingham (1878-1945), quien realizó trabajos pioneros sobre la viscosidad de los fluidos para la U. S. National Bureau of Standards, a principios del siglo XX.

53 CAPÍTULO 2

En mecánica de fluidos y transferencia de calor, con frecuencia aparece la razón de la viscosidad dinámica a la densidad. Por conveniencia, a esta razón se le da el nombre de viscosidad cinemática n y se expresa como n  m/r. Dos unidades comunes de la viscosidad cinemática son m2/s y el stoke (1 stoke  1 cm2/s  0.0001 m2/s). En general, la viscosidad de un fluido depende tanto de la temperatura como de la presión, aun cuando la dependencia respecto a la presión es más bien débil. Para los líquidos, la viscosidad dinámica y la cinemática son prácticamente independientes de la presión y suele descartarse cualquier variación pequeña con ésta, excepto a presiones extremadamente elevadas. Para los gases, éste también es el caso respecto a la viscosidad dinámica (a presiones bajas hasta moderadas), pero no lo es para la viscosidad cinemática dado que la densidad de un gas es proporcional a su presión (Fig. 2-24). La viscosidad de un fluido es una medida de su “resistencia a la deformación”. La viscosidad se debe a la fuerza de fricción interna que se desarrolla entre las diferentes capas de los fluidos a medida que se obligan a moverse unas con relación a las otras. En los líquidos, la viscosidad se origina por las fuerzas de cohesión entre las moléculas mientras que en los gases por las colisiones moleculares, además de que ésta varía mucho con la temperatura. La viscosidad de los líquidos decrece con la temperatura, en tanto que la de los gases se incrementa gracias a ella (Fig. 2-25). Esto se debe a que, en un líquido, las moléculas poseen más energía a temperaturas más elevadas y se pueden oponer con mayor fuerza a las grandes fuerzas de cohesión intermoleculares. Como resultado, las moléculas energizadas de los líquidos se pueden mover con mayor libertad. Por otro lado, en un gas las fuerzas intermoleculares son despreciables y a temperaturas elevadas las moléculas de los gases se mueven en forma aleatoria a velocidades más altas. Esto conduce a que se produzcan más colisiones moleculares por unidad de volumen por unidad de tiempo y, en consecuencia, en una mayor resistencia al flujo. La viscosidad de un fluido está relacionada a forma directa con la potencia de bombeo que se necesita para transportar un fluido en un tubo o para mover un cuerpo (como un automóvil en el aire o un submarino en el mar) a través de un fluido. La teoría cinética de los gases predice que la viscosidad de éstos es proporcional a la raíz cuadrada de la temperatura; es decir, m gas  1T . Esta predicción se confirma por las observaciones prácticas, pero es necesario tomar en cuenta las desviaciones para gases diferentes mediante la incorporación de algunos factores de corrección. La viscosidad de los gases se expresa como función de la temperatura por la correlación de Sutherland (de The U. S. Standard Atmosphere) como: Gases:

m

aT1/2 1  b/T

m  a10b/(Tc)

Aire a 20°C y 4 atm: m = 1.83 × 10 –5 kg/m ⋅ s  = 0.380 × 10 –5 m2/s

FIGURA 2-24 En general, la viscosidad dinámica no depende de la presión, pero la viscosidad cinemática sí depende de ésta.

Viscosidad

Líquidos

Gases (2-36)

donde T es la temperatura absoluta y a y b son constantes que se determinan en forma experimental. Nótese que es suficiente con medir las viscosidades a dos temperaturas diferentes para determinar estas constantes. Para el aire, los valores de estas constantes son a  1.458 106 kg/(m  s  K1/2) y b  110.4 K a las condiciones atmosféricas. La viscosidad de los gases es independiente de la presión, a presiones bajas hasta moderadas (desde un pequeño porcentaje de 1 atm hasta varias atm). Pero la viscosidad aumenta a presiones elevadas debido al incremento en la densidad. Para los líquidos, la viscosidad se expresa en forma aproximada como: Líquidos:

Aire a 20°C y 1 atm: m = 1.83 × 10 –5 kg/m ⋅ s  = 1.52 × 10 –5 m2/s

(2-37)

donde, una vez más, T es la temperatura absoluta y a, b, y c con constantes que se determinan de manera experimental. Para el agua, se emplean los valores

Temperatura

FIGURA 2-25 La viscosidad de los líquidos disminuye y la de los gases aumenta con la temperatura.

54 PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS

TABLA 2-3 Viscosidades dinámicas de algunos fluidos a 1 atm y 20°C (a menos que se indique otra cosa) Fluido

Viscosidad dinámica m, kg/m  s

Glicerina: 20°C 134.0 0°C 10.5 20°C 1.52 40°C 0.31 Aceite para motor: SAE 10W 0.10 SAE 10W30 0.17 SAE 30 0.29 SAE 50 0.86 Mercurio 0.0015 Alcohol etílico 0.0012 Agua: 0°C 0.0018 20°C 0.0010 100°C (líquido) 0.00028 100°C (vapor) 0.000012 Sangre, 37 C 0.00040 Gasolina 0.00029 Amoniaco 0.00015 Aire 0.000018 Hidrógeno, 0°C 0.0000088

a  2.414 105 N  s/m2, b  247.8 K, y c  140 K que conduce a un error de menos de 2.5 por ciento en la viscosidad, en el rango de temperatura de 0°C a 370°C (Touloukian et al., 1975). Las viscosidades de algunos fluidos a temperatura ambiente interior se muestran en la tabla 2-3. Se grafican contra la temperatura en la figura 2-26. Observe que las viscosidades de fluidos distintos son diferentes en varios órdenes de magnitud. También observe que es más difícil mover un objeto en un fluido de mayor viscosidad, como el aceite de motor, que en un fluido de menor viscosidad como el agua. Los líquidos, en general, son mucho más viscosos que los gases. Considérese una capa de fluido con espesor  dentro de una pequeña brecha entre dos cilindros concéntricos, como la delgada capa de aceite en una chumacera. La brecha entre los cilindros se puede modelar como dos placas paralelas planas separadas por un fluido. Note que el par de torsión (torque) es T  FR (fuerza multiplicada por el brazo del momento, el cual en este caso es el radio R del cilindro interior), la velocidad tangencial es V  vR (la velocidad angular multiplicada por el radio) y al tomar el área de la superficie mojada del cilindro interior como A  2pRL cuando se descarta el esfuerzo cortante que actúa sobre los dos extremos del cilindro interior, el par de torsión se puede expresar como: T  FR  m

0.5 0.4 0.3 0.2 0.1

Aceite SAE 10

Aceite de ricino Glicerina

0.06 0.04 0.03 0.02 Viscosidad absoluta m, N ⋅ s/m2

# 4p 2R3nL 2pR3vL m / /

Aceite SAE 30 Petróleo crudo (GE 0.86)

0.01 6 Queroseno 4 3 2

Anilina Mercurio

1 × 10–3

Tetracloruro de carbono

6 4 3 2

Benceno

Alcohol etílico Agua Gasolina (GE 0.68)

1 × 10–4

FIGURA 2-26 Variación de la viscosidad dinámica (absoluta de fluidos comunes con la temperatura a 1 atm (1 N  s/m2  1 kg/m  s  0.020886 lbf  s/ft2). F. M. White, Fluid Mechanics 4e. Copyright © 1999 The McGraw-Hill Companies, Inc. Reproducido con autorización.

6 4 3 2

Helio

5 –20

Bióxido de carbono

Aire

1 × 10–5

Hidrógeno 0

20

40 60 80 Temperatura, °C

100

120

(2-38)

55 CAPÍTULO 2

. donde L es la longitud del cilindro y n es el número de revoluciones por unidad de tiempo, el cual suele expresarse en rpm (revoluciones por minuto). Nótese que la distancia angular recorrida durante una rotación es 2p rad, y, en consecuencia, la relación entre la velocidad angular, en rad/min, y las rpm es v  . 2pn. Se puede usar la ecuación 2-38 para calcular la viscosidad de un fluido midiendo el par de torsión a una velocidad angular especificada. Por lo tanto, se pueden emplear dos cilindros concéntricos como un viscosímetro, aparato con el que se mide la viscosidad. EJEMPLO 2-5

Determinación de la viscosidad de un fluido

Se va a medir la viscosidad de un fluido con un viscosímetro construido con dos cilindros concéntricos de 40 cm de largo (Fig. 2-27). El diámetro exterior del cilindro interior es de 12 cm y la brecha entre los dos cilindros es de 0.15 cm. El cilindro interior se hace girar a 300 rpm y se mide el par de torsión que resulta ser de 1.8 N  m. Determine la viscosidad del fluido.

SOLUCIÓN Se da el par de torsión y las rpm de un viscosímetro de cilindro doble. Se debe determinar la viscosidad del fluido. Suposiciones 1 El cilindro interior está por completo sumergido en el aceite. 2 Los efectos viscosos en los dos extremos del cilindro interior son despreciables. Análisis El perfil de velocidad es lineal sólo cuando los efectos de la curvatura son despreciables y se puede tener una aproximación de este perfil como lineal, en este caso, ya que /R  0.025  1. Al despejar la viscosidad en la ecuación 2-38 y sustituyendo los valores dados, se determina que la viscosidad del fluido es:

(1.8 N  m)(0.0015 m) T/ m   0.158 N  s /m2 2 3# 2 4p R nL 4p (0.06 m)3(300/60 1/s)(0.4 m) Discusión La viscosidad depende significativamente de la temperatura e indicar un valor de ella sin mencionar una temperatura correspondiente tiene poco sentido. Por lo tanto, también tiene que medirse la temperatura del fluido durante el experimento y darse con este cálculo.

2-7

■

TENSIÓN SUPERFICIAL Y EFECTO CAPILAR

A menudo se observa que una gota de sangre forma una joroba sobre un vidrio horizontal; una gota de mercurio forma una esfera casi perfecta y se puede hacer rodar del mismo modo que una bola de acero, sobre una superficie lisa; las gotas de agua de la lluvia o del rocío se cuelgan de las ramas o de las hojas de los árboles; un combustible líquido inyectado en un motor forma una niebla de gotas esféricas; el agua que gotea de un grifo con fuga cae como gotas esféricas; una pompa de jabón que se lanza al aire toma una forma esférica, y el agua forma pequeñas gotas sobre los pétalos de las flores (Fig. 2-28a). En éstas y otras observaciones, las gotas de líquido se comportan como pequeños globos esféricos llenos con ese líquido y su superficie actúa como una membrana elástica estirada sometida a tensión. La fuerza de tracción que causa esta tensión actúa paralela a la superficie y se debe a las fuerzas de atracción entre las moléculas del líquido. La magnitud de esta fuerza por unidad de longitud se llama tensión superficial ss y se expresa en la unidad N/m (o lbf/ft en las unidades inglesas). Este efecto también se conoce como energía superficial (por unidad de área) y se expresa en la unidad equivalente de N  m/m2 o J/m2. En este caso, ss representa el trabajo de estiramiento que se necesita para hacer que aumente el área superficial del líquido en una cantidad unitaria.

Cilindro estacionario

R



n⋅ = 300 rpm Flecha

Fluido

FIGURA 2-27 Esquema para el ejemplo 2-5.

56 PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS

a)

b)

FIGURA 2-28 Algunas consecuencias de la tensión superficial. a) © AEE Fotosearch RF b) © Dennis Drenner/Visuals Unlimited.

Para visualizar cómo surge la tensión superficial, en la figura 2-29 se presenta una vista microscópica donde se consideran dos moléculas de líquido, una en la superficie y la otra a profundidad dentro del líquido. Las fuerzas de atracción que se aplican sobre la molécula interior por las moléculas que la rodean se equilibran entre sí debido a la simetría. Pero las fuerzas de atracción que actúan sobre la molécula en la superficie no son simétricas y las fuerzas de atracción que se aplican por las moléculas de gas que están arriba suelen ser muy pequeñas. Por lo tanto, existe una fuerza de atracción neta que actúa sobre la molécula en la superficie del líquido, la cual tiende a jalar de las moléculas que están en la superficie hacia el interior del líquido. Esta fuerza se equilibra por las fuerzas de repulsión provenientes de las moléculas que están debajo de la superficie y que están siendo comprimidas. El efecto de compresión resultante hace que el líquido minimice su área superficial. Ésta es la razón de la tendencia de las gotas de líquido de alcanzar una forma esférica, la cual tiene el área superficial mínima para un volumen dado. Quizás el lector también haya observado, que algunos insectos pueden aterrizar sobre el agua o, inclusive, caminar sobre ella (Fig. 2-28b) y que las agujas pequeñas de acero pueden flotar sobre el agua. De nuevo, estos fenómenos son posibles debido a la tensión superficial que equilibra los pesos de estos objetos. Para comprender mejor el efecto de la tensión superficial, considérese una película de líquido (como la película de una pompa de jabón) suspendida de un marco de alambre en forma de U, con un lado movible (Fig. 2-30). Normalmente, la película de líquido tiende a jalar del alambre movible hacia dentro, para minimizar su área superficial. Necesita aplicarse una fuerza F sobre ese alambre movible, en la dirección opuesta, para equilibrar este efecto de tirón. La delgada película que está en el aparato tiene dos superficies (la superior y la inferior) expuestas al aire, y por lo tanto, la longitud a lo largo de la cual actúa en este caso es 2b. Entonces, un equilibrio de fuerzas sobre el alambre movible da F  2bss, y de este modo, la tensión superficial se puede expresar como: ss 

FIGURA 2-29 Fuerzas de atracción que actúan sobre una molécula de líquido en la superficie y a profundidad de un líquido.

F 2b

(2-39)

Nótese que para b  0.5 m, la fuerza F medida (en N) es sencillamente la tensión superficial en N/m. Se puede usar un aparato de este tipo, con precisión suficiente, para medir la tensión superficial de varios fluidos. En el alambre con forma de U, la fuerza F permanece constante conforme se jala del alambre movible para estirar la película y aumentar su área superficial. Cuando se tira del alambre movible una distancia x, el área superficial aumenta en A  2b x, y el trabajo W realizado durante este proceso de estiramiento es W  Fuerza Distancia  F x  2bss x  ss A

donde se ha supuesto que la fuerza permanece constante en este caso. Este resultado también se puede interpretar como la energía superficial de la película se incrementa en una cantidad ss A durante este proceso de estiramiento, lo cual es coherente con la interpretación alternativa de ss como energía superficial por unidad de área. Esto es semejante a una banda de caucho que tiene mayor energía potencial (elástica) después de que se estira todavía más. En el caso de la película del líquido, el trabajo se usa para mover las moléculas del líquido de las partes interiores hacia la superficie, contra las fuerzas de atracción de las otras moléculas. Por lo tanto, la tensión superficial también se puede definir como el trabajo realizado por unidad de incremento en el área superficial del líquido.

57 CAPÍTULO 2

La tensión superficial varía mucho de una sustancia a otra y con la temperatura para una sustancia dada, como se muestra en la tabla 2-4. Por ejemplo, a 20°C la tensión superficial es de 0.073 N/m, para el agua, y de 0.440 N/m, para el mercurio rodeado por aire atmosférico. La tensión superficial del mercurio es lo suficientemente grande como para que las gotas formen bolas esféricas que se pueden hacer rodar como una bola sólida sobre una superficie plana sin mojarla. En general, la tensión superficial de un líquido disminuye con la temperatura y llega a cero en el punto crítico (por lo tanto, a temperaturas por arriba del punto crítico no se tiene una interface marcada líquido-vapor). El efecto de la presión sobre la tensión superficial suele ser despreciable. La tensión superficial de una sustancia puede cambiarse de manera considerable por la presencia de impurezas. Por lo tanto, se pueden agregar ciertos productos químicos, llamados surfactantes, a un líquido para disminuir su tensión superficial. Por ejemplo, los jabones y detergentes hacen disminuir la tensión superficial del agua y permiten su penetración por las pequeñas aberturas entre las fibras con el fin de lograr un lavado eficaz. Pero esto también significa que los aparatos cuya operación depende de la tensión superficial (como los tubos de calor) pueden ser destruidos por la presencia de impurezas debida a una inadecuada mano de obra. Se habla de la tensión superficial para los líquidos sólo en las interfaces líquido-líquido o líquido-gas. Por lo tanto, cuando se especifica la tensión superficial, es importante distinguir el líquido o gas adyacente. Asimismo, la tensión superficial determina el tamaño de las gotas de líquido que forma. Una gota que continúa creciendo por la adición de más masa se romperá cuando la tensión superficial ya no pueda mantenerla íntegra. Esto es semejante a lo que le pasa a un globo que se reventará mientras se infla, cuando la presión del interior se eleve por arriba de la resistencia del material del globo. Una interface curva indica una diferencia de presión (o “salto de presión”) de un lado al otro de ella, y se encuentra la presión más elevada en el lado cóncavo. Por ejemplo, se puede determinar el exceso de presión P dentro de una gota o burbuja, por arriba de la presión atmosférica, cuando se considere el diagrama de cuerpo libre de la mitad de ellas (Fig. 2-31). Nótese que la tensión superficial actúa a lo largo de la circunferencia y la presión actúa sobre el área, el equilibrio horizontal de fuerzas para la gota y la burbuja dan: Gota o burbuja de aire: Burbuja de jabón:

(2pR)ss  (pR2)Pgota → Pgota  Pi  Po  2(2pR)ss  (pR )Pburbuja 2

2ss R

(2-40)

4ss → Pburbuja  Pi  Po  (2-41) R

donde Pi y Po son las presiones dentro y fuera de la gota o burbuja, respectivamente. Cuando la gota o burbuja se encuentran en la atmósfera, Po es sencillamente la presión atmosférica. El factor 2 en el equilibrio de fuerzas para la burbuja se debe a que ésta consta de una película con dos superficies (interior y exterior), por lo que se tienen dos circunferencias en la sección transversal. También se puede determinar la presión en exceso en una gota (o una burbuja de gas en un líquido) cuando se considera un incremento diferencial en el radio de ella, debido a la adición de una cantidad diferencial de masa e interpretando la tensión superficial como el incremento en la energía superficial por unidad de área. Entonces el incremento en la energía superficial de la gota durante este proceso de expansión diferencial queda: dWsuperficial  ss dA  ss d(4pR 2) 8pRss dR

FIGURA 2-30 Estiramiento de una película de líquido con un alambre en forma de U y las fuerzas que actúan en el alambre movible de longitud b.

TABLA 2-4 Tensión superficial de algunos fluidos en aire a 1 atm y 20°C (a menos que se indique otra cosa) Fluido

Tensión superficial ss, N/m*

† Agua:

0°C 20°C 100°C 300°C Glicerina Aceite SAE 30 Mercurio Alcohol etílico Sangre, 37°C Gasolina Amoniaco Solución de jabón Queroseno

0.076 0.073 0.059 0.014 0.063 0.035 0.440 0.023 0.058 0.022 0.021 0.025 0.028

* Multiplíquese por 0.06852 para convertir a lbf/pie. † Vea los apéndices para datos más precisos del agua.

58 PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS

El trabajo de expansión que se realiza durante este proceso diferencial se determina al multiplicar la fuerza por la distancia, para obtener:

(2pR)σs

dWexpansión  Fuerza Distancia  F dR  (PA) dR  4pR2 P dR

(pR2)ΔPgota

Si se igualan las dos expresiones anteriores se tiene que Pgota  2ss /R, la cual es la misma relación obtenida antes y dada en la ecuación 2-40. Nótese que la presión en exceso en una gota o burbuja es inversamente proporcional al radio.

a) La mitad de una gota o de una burbuja de aire.

Efecto capilar

2(2πR)σs

(π R2)ΔPburbuja

b) Mitad de una burbuja de jabón

FIGURA 2-31 Diagrama de cuerpo libre de la mitad de una gota y de la mitad de una burbuja. f f Agua

Mercurio

a) Fluido que moja

b) Fluido que no moja

FIGURA 2-32 Ángulo de contacto para fluidos que mojan y que no-mojan.

FIGURA 2-33 Menisco de agua coloreada en un tubo de vidrio con un diámetro interior de 4 mm. Nótese que el borde del menisco se encuentra con la pared del tubo capilar y forman un ángulo de contacto muy pequeño. Fotografía tomada por Gabrielle Trembley, Pennsylvania State University. Reproducida con autorización.

Otra consecuencia interesante de la tensión superficial es el efecto capilar, el cual es el ascenso o descenso de un líquido en un tubo de diámetro pequeño insertado en un líquido. Esos tubos angostos o canales de flujo confinado se llaman capilares. El ascenso del queroseno por una mecha de algodón insertada en el recipiente de una lámpara con este combustible se debe a este efecto. El efecto de capilaridad también es parcialmente causante del ascenso del agua hasta la punta de los árboles altos. La superficie libre curva de un líquido en un tubo capilar se llama menisco. Es común observar que el agua en un recipiente de vidrio presenta una curvatura ligeramente hacia arriba en los bordes en donde toca la superficie del vidrio; pero, para el mercurio, ocurre lo contrario: se observa una curva hacia abajo en los bordes (Fig. 2-32). Este efecto suele expresarse del agua cuando se dice que moja el vidrio (al pegarse a él), en tanto que el mercurio no lo hace. La intensidad del efecto de capilaridad se cuantifica por el ángulo de contacto f, definido como el ángulo que la tangente a la superficie del líquido forma con la superficie sólida en el punto de contacto. La fuerza de tensión superficial actúa a lo largo de esta recta tangente hacia la superficie sólida. Se dice que un líquido moja la superficie cuando f  90° y no la moja cuando f  90°. En el aire atmosférico, el ángulo de contacto del agua (y de la mayor parte de otros líquidos orgánicos) con el vidrio es casi cero, f  0° (Fig. 2-33). Por lo tanto, la fuerza de tensión superficial actúa hacia arriba sobre el agua en un tubo de vidrio a lo largo de la circunferencia, tendiendo a jalar del agua hacia arriba. Como resultado, el agua asciende en el tubo hasta que el peso del líquido en el tubo, por arriba del nivel de éste en el recipiente, equilibra la fuerza de tensión superficial. En el aire, el ángulo de contacto es de 130° para el mercurio-vidrio, y de 26° para el queroseno-vidrio. Nótese que, en general, el ángulo de contacto es diferente para medios ambientes distintos (como otro gas o líquido en lugar del aire). El fenómeno del efecto de capilaridad se puede explicar en forma microscópica cuando se consideran las fuerzas de cohesión (las fuerzas entre las moléculas semejantes, como agua y agua) y las fuerzas de adhesión (las fuerzas entre las moléculas diferentes, como agua y vidrio). Las moléculas del líquido en la interfaz sólido-líquido están sometidas tanto a fuerzas de cohesión, por parte de las otras moléculas del líquido, como a fuerzas de adhesión, por parte de las moléculas del sólido. Las magnitudes relativas de estas fuerzas determinan si un líquido moja o no una superficie sólida. Es obvio que las moléculas de agua son atraídas con mayor intensidad hacia las moléculas de vidrio que como lo son hacia las otras moléculas de agua y, en consecuencia, el agua tiende a ascender a lo largo de la superficie del vidrio. Para el mercurio ocurre lo opuesto, lo cual causa que la superficie del líquido cercana a la pared del vidrio se deprima (Fig. 2-34). La magnitud del ascenso por capilaridad en un tubo circular se puede determinar a partir de un equilibrio de fuerzas sobre la columna cilíndrica de líquido de altura h en el tubo (Fig. 2-35). El fondo de la columna de líquido está al mismo nivel que la superficie libre en el recipiente y, por lo tanto, la presión allí debe ser la atmosférica. Ésta equilibra la presión atmosférica que actúa sobre la

59 CAPÍTULO 2

superficie superior de la columna de líquido, y en consecuencia, estos dos efectos se cancelan entre sí. El peso de la columna de líquido es aproximadamente:

Menisco

W  mg  rVg  rg(pR2h) h>0

Cuando se iguala la componente vertical de la fuerza de tensión superficial al peso, se obtiene:

Menisco h rf

Cuerpo Hundido

FIGURA 3-41 Un cuerpo sólido cuando cae dentro de un fluido puede hundirse, flotar o quedar en reposo en cualquier sitio de éste, dependiendo sobre su densidad relativa a la densidad del fluido.

Por lo tanto, la fracción sumergida del volumen de un cuerpo flotante es igual a la razón de la densidad promedio del cuerpo a la densidad del fluido. Nótese que cuando la razón de densidades es igual a uno, o mayor que uno, el cuerpo flotante se vuelve por completo sumergido. Con base en estas observaciones, se infiere que un cuerpo sumergido en un fluido 1) permanece en reposo en cualquier punto en el fluido, cuando su densidad es igual a la densidad del fluido; 2) se hunde hasta el fondo, cuando su densidad es mayor que la del fluido; y 3) asciende hasta la superficie del fluido y flota cuando la densidad del cuerpo es menor que la del fluido (Fig. 3-40). La fuerza de flotación es proporcional a la densidad del fluido y, por lo tanto, se podría pensar que la fuerza de flotación que ejercen los gases, como el aire, es despreciable. Es evidente que, en general, éste es el caso, pero hay excepciones significativas. Por ejemplo, el volumen de una persona es de alrededor de 0.1 m3, y, tomando la densidad del aire como 1.2 kg/m3, la fuerza de flotación que ejerce el aire sobre la persona es: FB  r f gV  (1.2 kgm3)(9.81 ms2)(0.1 m3)  1.2 N

El peso de una persona de 80 kg es de 80 9.81  788 N. Por lo tanto, en este caso, ignorar la flotación conduce a un error en el peso de sólo 0.15 por ciento, lo cual es despreciable. Pero los efectos de la flotación en los gases dominan en algunos fenómenos naturales importantes, como el ascenso del aire cálido en un medio ambiente más frío y el comienzo de las corrientes de convección natural, el ascenso de los globos de aire caliente o de helio y los movimientos del aire en la atmósfera. Por ejemplo, un globo de helio asciende como resultado del efecto de flotación hasta que alcanza una altitud en donde la densidad del aire (la cual disminuye con la altitud) se hace igual a la del helio contenido en el globo, se supone que el globo no se revienta para entonces y se ignore el peso del material del que está hecho. Los globos de aire caliente (Fig. 3-42) funcionan mediante principios similares. El principio de Arquímedes también se aplica en la geología moderna cuando se considera que los continentes flotan sobre un mar de magma.

EJEMPLO 3-10

FIGURA 3-42 La altitud de un globo de aire caliente se controla mediante la diferencia de temperatura entre el aire interior y el exterior, ya que el aire caliente es menos denso que el aire frío. Cuando el globo no sube ni baja, la fuerza de flotación dirigida hacia arriba equilibra exactamente el peso dirigido hacia abajo. © Getty RF

Medición de la gravedad específica mediante un hidrómetro

Si el lector tiene un acuario con agua de mar, es posible que haya usado un pequeño tubo cilíndrico de vidrio con algún peso de plomo en el fondo para medir la salinidad del agua simplemente con observar cuánto se hunde el tubo. Un aparato de ese tipo que flota en posición vertical y que se usa para medir la gravedad específica de un líquido se llama hidrómetro (Fig. 3-43). Su parte superior se eleva por arriba de la superficie del líquido y las divisiones que tiene marcadas permiten leer de manera directa la gravedad específica. El hidrómetro se calibra de manera que, en agua pura, da una lectura exactamente de 1.0, en la interfaz aire-agua. a) Obtenga una relación para la gravedad específica de un líquido como función de la distancia z a partir de la marca correspondiente al agua pura, y b) determine la masa del plomo que debe colocarse en un hidrómetro de 1 cm de diámetro y 20 cm de longitud, si debe flotar hundido hasta la mitad (la marca de 10 cm) en agua pura.

SOLUCIÓN Se debe medir la gravedad específica de un líquido con un hidrómetro. Se debe obtener una relación entre la gravedad específica y la distancia vertical a partir del nivel de referencia, así como la cantidad de plomo que se necesita agregar en el tubo para cierto hidrómetro. Suposiciones 1 El peso del tubo de vidrio es despreciable en relación con el peso del plomo agregado. 2 Se descarta la curvatura del fondo del tubo.

99 CAPÍTULO 3

Propiedades Se toma la densidad del agua pura como 1 000 kg/m3. Análisis a) Note que el hidrómetro está en equilibrio estático, la fuerza de flotación FB (el subíndice B es por la palabra inglesa buoyancy, que significa flotación) que ejerce el líquido debe ser siempre igual al peso W del hidrómetro. En agua pura, sea z0 la distancia vertical entre el fondo del hidrómetro y la superficie libre del agua. Si, en este caso, se hace FB  W, da

Whidró

FB, a

r a gVsub

r a gAz 0

(1)

donde A es el área de la sección transversal del tubo y ra es la densidad del agua pura. En un fluido más ligero que el agua (rf  ra), el hidrómetro se hundirá a una profundidad mayor y el nivel del líquido estará a una distancia de z por arriba de z0. De nuevo, si se realiza FB  W, da: (2)

Esta relación también es válida para los fluidos más pesados que el agua, tomando z hacia abajo de z0 para ser una cantidad negativa. Si aquí se igualan entre sí las ecuaciones (1) y (2), supuesto que el peso del hidrómetro es constante, y reordenando, se obtiene:

la cual es la relación entre la gravedad específica del fluido y z. Nótese que z0 es constante para un hidrómetro dado y z es negativa para los fluidos más pesados que el agua pura.

FIGURA 3-43 Esquema para el ejemplo 3-10.

b) Descartando el peso del tubo de vidrio, la cantidad de plomo que es necesario añadir a ese tubo se determina con base en el requisito de que el peso del plomo sea igual a la fuerza de flotación. Cuando el hidrómetro está flotando con la mitad de él sumergida en agua, la fuerza de flotación que actúa sobre él es de:

Si se iguala FB al peso del plomo da: a

Cuando se despeja m y se sustituye, se determina que la masa del plomo es

m

r a Vsum

r a (pR2hsum)

(1 000 kg m3)[p(0.005 m)2(0.1 m)]

0.00785 kg

Discusión Note que si se necesitara que el hidrómetro se hundiera sólo 5 cm en el agua, la masa necesaria de plomo sería la mitad de esta cantidad. Asimismo, es necesario verificar la suposición de que el peso del tubo de vidrio es despreciable, dado que la masa del plomo sólo es de 7.85 g.

EJEMPLO 3-11

Pérdida de peso de un objeto en agua de mar

Se usa una grúa para bajar objetos pesados en el mar (densidad  1 025 kg/m3) para un proyecto de construcción submarina (Fig. 3-44). Determine la tensión en el cable de la grúa debida a un bloque rectangular de concreto (densidad  2 300 kg/m3) cuando está a) suspendido en el aire y b) sumergido totalmente en el agua.

SOLUCIÓN Se baja un bloque de concreto en el mar. Se debe determinar la tensión en el cable antes y después que el bloque esté en el agua. Suposiciones 1 La flotación en el aire es despreciable. 2 El peso de los cables es despreciable.

FIGURA 3-44 Esquema para el ejemplo 3-11.

100 PRESIÓN Y ESTÁTICA DE FLUIDOS

Propiedades Las densidades se dan como 1 025 kg/m3 para el agua de mar y 2 300 kg/m3 para el concreto. Análisis a) Considere el diagrama de cuerpo libre del bloque de concreto. Las fuerzas que actúan sobre éste en el aire son su peso y la fuerza de tensión producida por el cable y dirigida hacia arriba. Estas dos fuerzas deben equilibrarse entre sí y, por lo tanto, la tensión en el cable debe ser igual al peso del bloque:

b) Cuando el bloque está sumergido en el agua, se tiene la fuerza adicional de flotación que actúa hacia arriba. En este caso, el balance de fuerzas da:

FIGURA 3-45 Para los cuerpos flotantes, como los barcos, la estabilidad es una consideración importante respecto a la seguridad.

Discusión Note que el peso del bloque de concreto y, por lo tanto, la tensión en el cable disminuyen en (10.8  6.0)/10.8  55 por ciento en el agua.

© Corbis/vol. 96.

Estabilidad de los cuerpos sumergidos y de los flotantes

FIGURA 3-46 La estabilidad se entiende con facilidad cuando se analiza una bola sobre el piso.

Una aplicación valiosa del concepto de flotación es la evaluación de la estabilidad de los cuerpos sumergidos y de los flotantes sin accesorios externos. Este tema tiene importancia en el diseño de los barcos y submarinos (Fig. 3-45). En seguida se incluyen comentarios cualitativos generales acerca de la estabilidad vertical y la rotacional. Se aplica la analogía de la “bola sobre el piso” con la finalidad de explicar los conceptos fundamentales de la estabilidad y la inestabilidad. En la figura 3-46 se muestran tres bolas en reposo sobre el piso. El caso a) es estable, ya que cualquier perturbación pequeña (alguien que mueva la bola hacia la derecha o hacia la izquierda) genera una fuerza de restitución (debida a la gravedad) que la regresa a su posición inicial. El caso b) es neutralmente estable, porque si alguien mueve la bola hacia la derecha o hacia la izquierda permanecería puesta en su nueva ubicación. No tiende a regresar a su ubicación original ni continúa moviéndose alejándose de ésta. El caso c) es una situación en la que puede ser que la bola esté en reposo en el momento, pero cualquier perturbación, inclusive infinitesimal hace que la bola ruede hacia abajo del promontorio (no regresa a su posición original, más bien diverge de ella). Esta situación es inestable. ¿Qué se puede decir acerca del caso en que la bola está sobre un piso inclinado? En realidad no es apropiado comentar la estabilidad para este caso, puesto que la bola no se encuentra en un estado de equilibrio. En otras palabras, no puede estar en reposo y rodaría del plano, inclusive sin que hubiera perturbación. Para un cuerpo sumergido o flotante en equilibrio estático, el peso y la fuerza de flotación que actúan sobre él se equilibran entre sí y, de manera inherente, esos cuerpos son estables en la dirección vertical. Si un cuerpo sumergido neutralmente flotante se asciende o desciende hasta una profundidad diferente, el

101 CAPÍTULO 3

FIGURA 3-47 Un cuerpo sumergido neutralmente flotante es a) estable si el centro de gravedad G, está directamente abajo del centro de flotación B, b) neutralmente estable si G y B coinciden y c) inestable si G está directamente arriba de B.

cuerpo permanecerá en equilibrio en esa ubicación. Si un cuerpo flotante se asciende o desciende mediante una fuerza vertical, el cuerpo regresará a su posición original tan pronto como se elimine el efecto externo. Por lo tanto, un cuerpo flotante posee estabilidad vertical, mientras que uno sumergido neutralmente flotante es neutralmente estable, puesto que no regresa a su posición original después de una perturbación. La estabilidad rotacional de un cuerpo sumergido depende de las ubicaciones relativas del centro de gravedad G del cuerpo y del centro de flotación B, el cual es el centroide del volumen desplazado. Un cuerpo sumergido es estable si tiene un fondo pesado y, en consecuencia, el punto G está directamente debajo del B (Fig. 3-47a). En esos casos, una perturbación rotacional del cuerpo produce un momento de restitución que lo regresa a su posición estable original. Un diseño estable para un submarino exige que los motores y las cabinas de la tripulación estén ubicados en la mitad inferior, para desplazar el peso hacia el fondo tanto como sea posible. Los globos con aire caliente o con helio (que se pueden concebir como si estuvieran sumergidos en el aire) también son estables, ya que la canastilla que lleva la carga está abajo. Un cuerpo sumergido cuyo centro de gravedad G está directamente arriba del B es inestable y cualquier perturbación hará que este cuerpo se voltee [caso c) de la Fig. 3-47]. Un cuerpo para el cual G y B coinciden es neutralmente estable (Fig. 3-47b). Éste es el caso de los cuerpos cuya densidad es constante en toda su extensión. Para esos cuerpos no existe tendencia de voltearse o enderezarse por sí mismos. ¿Qué se puede decir acerca de un caso en donde el centro de gravedad no esté alineado en la dirección vertical con el centro de flotación (Fig. 3-48)? En realidad no es apropiado comentar la estabilidad para este caso, ya que el cuerpo no se encuentra en un estado de equilibrio. En otras palabras, no puede estar en reposo y giraría hacia su estado estable, inclusive sin que hubiera perturbación. El momento de restitución en el caso de la figura 3-48 es en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj y hace que el cuerpo gire en ese sentido de modo que se alinee el punto G en la dirección vertical con el B. Nótese que puede haber alguna oscilación, pero llega el momento en que el cuerpo se establece en su estado de equilibrio estable [caso a) de la Fig. 3-47]. La estabilidad del cuerpo de la figura 3-48 es análoga a la de la bola sobre un piso inclinado. ¿Puede predecir el lector lo que sucedería si el peso del cuerpo de la figura 3-48 estuviera en el lado opuesto del mismo? Los criterios de estabilidad rotacional son semejantes para los cuerpos flotantes. Una vez más, si el cuerpo flotante tiene fondo pesado y, por lo tanto, el centro de gravedad G, está directamente abajo del centro de flotación B, el cuerpo siempre es estable. Pero, a diferencia de los cuerpos sumergidos, un cuerpo flotante inclusive puede ser estable cuando G está directamente arriba del B (Fig. 3-49). Esto se debe a que el centroide del volumen desplazado se mueve hacia uno de los lados hasta un punto B durante una perturbación rotacional, mientras que el centro de gravedad G, del cuerpo permanece inalterado. Si el punto B es-

FIGURA 3-48 Cuando el centro de gravedad G de un cuerpo sumergido neutralmente flotante no está alineado en la dirección vertical con el centro de flotación B, del cuerpo, el cuerpo no se encuentra en estado de equilibrio y giraría hasta alcanzar su estado estable, inclusive sin perturbación.

102 PRESIÓN Y ESTÁTICA DE FLUIDOS

FIGURA 3-49 Un cuerpo flotante es estable si su fondo es pesado y, por lo tanto, el centro de gravedad G está debajo del centroide B del mismo, o bien si el metacentro M está arriba del punto G. Sin embargo, el cuerpo es inestable si el punto M está abajo del punto G.

FIGURA 3-50 Una bola en una depresión entre dos elevaciones es estable para perturbaciones pequeñas, pero inestable para las grandes.

tá suficientemente lejos, estas dos fuerzas crean un momento de restitución y regresan el cuerpo a la posición original. Una medida de la estabilidad para los cuerpos flotantes es la altura metacéntrica GM, la cual es la distancia entre el centro de gravedad G, y el metacentro M (el punto de intersección de las líneas de acción de la fuerza de flotación antes y después de la rotación). El metacentro se puede considerar como un punto fijo para la mayor parte de las formas de los cascos, para ángulos pequeños de rotación, hasta de más o menos 20°. Un cuerpo flotante es estable si el punto M está arriba del G y, por consiguiente, GM es positiva, e inestable si el punto M está debajo del G y, en consecuencia, GM es negativa. En el último caso, el peso y la fuerza de flotación que actúan sobre el cuerpo inclinado generan un momento de volcadura, en lugar de uno de restitución, haciendo que el cuerpo se vuelque. La longitud de la altura metacéntrica GM por encima de G es una medida de la estabilidad: entre mayor sea, más estable es el cuerpo flotante. Como ya se indicó, un barco se puede inclinar hasta cierto ángulo máximo sin volcarse, pero más allá de ese ángulo se vuelca (y se hunde). Se hará una analogía final entre la estabilidad de los objetos flotantes y la de una bola que rueda por el piso. Imaginemos que la bola está en una depresión entre dos elevaciones (Fig. 3-50). Regresa a su posición de equilibrio estable después de que se le perturba (hasta un límite). Si la amplitud de la perturbación es demasiado grande, la bola rueda sobre el lado opuesto de la elevación y no regresa a su posición de equilibrio. Esta situación se describe como estable hasta cierto nivel límite de la perturbación, pero inestable más allá de ese límite.

3-7

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FLUIDOS EN EL MOVIMIENTO DEL CUERPO RÍGIDO

En la sección 3-1, se demostró que la presión en un punto dado tiene la misma magnitud en todas direcciones y es una función escalar En esta sección se obtienen relaciones para la variación de la presión en los fluidos que se mueven como un cuerpo sólido, con o sin aceleración, en ausencia de cualesquiera esfuerzos cortantes (es decir, ningún movimiento entre las capas de fluido una con relación a las otras). Muchos fluidos, como la leche y la gasolina, se transportan en camiones-tanques. En un camión de este tipo que acelera, el fluido se mueve con rapidez hacia la parte posterior y se presenta alguna salpicadura inicial. Pero, a continua-

103 CAPÍTULO 3

ción, se forma una nueva superficie libre (por lo general no horizontal), cada una de las partículas del fluido adquiere la misma aceleración y todo el fluido se mueve como un cuerpo rígido. Ningún esfuerzo cortante se desarrolla dentro de la masa del fluido, ya que no se tiene deformación y ningún cambio en la forma. También se presenta el movimiento de cuerpo rígido de un fluido cuando éste está en un tanque que gira alrededor de un eje. Considérese un elemento rectangular diferencial de fluido con longitudes de los lados dx, dy y dz en las direcciones x, y y z, respectivamente, estando el eje z en la dirección vertical (Fig. 3-51). Note que el elemento diferencial de fluido se comporta como un cuerpo rígido, la segunda Ley de Newton del movimiento para este elemento se puede expresar como: →

→

dF  dm  a

(3-34) →

donde dm → r dV  r dx dy dz es la masa del elemento de fluido, a es la aceleración y dF es la fuerza neta que actúa sobre el elemento. Las fuerzas que actúan sobre el elemento de fluido constan de fuerzas del cuerpo como la gravedad que actúa en toda la extensión del cuerpo del elemento y son proporcionales al volumen del propio cuerpo (y también las fuerzas eléctricas y magnéticas, las cuales no se considerarán en este texto) y las fuerzas superficiales como las fuerzas de presión, que actúan sobre la superficie del elemento y son proporcionales al área superficial (los esfuerzos cortantes también son fuerzas superficiales pero, en este caso, no se aplican ya que las posiciones relativas de los elementos de fluido permanecen inalteradas). Las fuerzas superficiales aparecen a medida que el elemento de fluido se aísla de sus alrededores para el análisis y el efecto del cuerpo separado del resto de fluido se reemplaza por una fuerza en ese lugar. Nótese que la presión representa la fuerza de compresión que se aplica sobre el elemento de fluido por el fluido circundante y siempre está dirigida hacia la superficie. Si se toma la presión en el centro del elemento como P, las presiones en las superficies superior e inferior del elemento se pueden expresar como P  ( P/ z) dz/2 y P  ( P/ z) dz/2, respectivamente. Cuando se nota que la fuerza de presión que actúa sobre una superficie es igual a la presión promedio multiplicada por el área superficial, la fuerza superficial neta que actúa sobre el elemento en la dirección z es la diferencia entre las fuerzas de presión que actúan sobre las caras superior e inferior, dFS, z  aP 

P dz

P

P dz b dx dy  aP  b dx dy   dx dy dz

z 2

z 2

z

(3-35)

De manera análoga, las fuerza superficiales netas en las direcciones x y y son (3-36)

Entonces la fuerza superficial (la cual es simplemente la fuerza de presión) que actúa sobre el elemento completo se puede expresar en forma vectorial como: →

→

→

→

dFS  dFS, x i  dFS, y j  dFS, z k →

P → P → P →  a i  j  k b dx dy dz  §P dx dy dz

x

y

z →

→

(3-37)

→

donde i , j y k son los vectores unitarios en las direcciones x, y y z, respectivamente, y: →

§P 

P → P → P → i j k

x

y

z

(3-38)

FIGURA 3-51 Fuerzas superficiales y del cuerpo que actúan sobre un elemento diferencial de fluido en la dirección vertical.

104 PRESIÓN Y ESTÁTICA DE FLUIDOS →

es el gradiente de presión. Nótese que  o “nabla” (del en inglés) es un operador vectorial que se usa para expresar los gradientes de una función escalar de manera compacta en forma vectorial. Asimismo, el gradiente de una función escalar se expresa en una dirección determinada y, por consiguiente, es una cantidad vectorial. La única fuerza del cuerpo que actúa sobre el elemento de fluido es el peso del propio elemento, que actúa en la dirección z negativa y se expresa como dFB, z  gdm  rg dx dy dz o, en forma vectorial, como: →

→

→

dFB, z  gdmk  rg dx dy dzk

(3-39)

Entonces la fuerza total que actúa sobre el elemento queda: →

→

→

→

→

dF  dFS  dFB  (§P  rgk) dx dy dz →

→

(3-40)

→

Si dF  dm  a  r dx dy dz  a se sustituye en la segunda Ley de Newton del movimiento, y se cancelan dx dy dz, la ecuación general del movimiento para un fluido que actúa como un cuerpo rígido (no se tienen esfuerzos cortantes) se determina que es: Movimiento de cuerpo rígido de fluidos:

(3-41)

Cuando se resuelven los vectores en sus componentes, esta relación se puede expresar de manera más explícita como: → → → →

P → P → P → i j k  rgk  r(a x i  a y j  a z k)

x

y

z

(3-42)

o, en forma escalar en las tres direcciones ortogonales, como: Fluidos en aceleración:

g

az

(3-43)

donde ax, ay y az son las aceleraciones en las direcciones x, y y z, respectivamente.

Caso especial 1: Fluidos en reposo Para los fluidos en reposo o en movimiento sobre una trayectoria recta a velocidad constante, todas las componentes de la aceleración son cero y las relaciones de las ecuaciones 3-43 se reducen a: Fluidos en reposo:

(3-44)

lo cual confirma que, en los fluidos en reposo, la presión permanece constante en cualquier dirección horizontal (P es independiente de x y y) y sólo varía en la dirección vertical como resultado de la gravedad [donde P  P(z)]. Estas relaciones son aplicables tanto para los fluidos compresibles como para los incompresibles.

Caso especial 2: Caída libre de un cuerpo de fluido Un cuerpo que cae libremente acelera bajo la influencia de la gravedad. Cuando la resistencia del aire es despreciable, la aceleración del cuerpo es igual a la gravitacional, y la aceleración en cualquier dirección horizontal es cero. Por lo tanto, ax  ay  0 y az  g. Entonces las ecuaciones del movimiento para los fluidos en aceleración (ecuaciones 3-43) se reducen a: Fluidos en caída libre:

(3-45)

105 CAPÍTULO 3

Por lo tanto, en un marco de referencia en movimiento con el fluido, se comporta como si estuviera en un medio ambiente con gravedad cero. También, la presión manométrica en una gota de líquido en caída libre es cero para toda ella. (En realidad, la presión manométrica está ligeramente arriba de cero debido a la tensión superficial, la cual mantiene la gota intacta.) Cuando se invierte la dirección del movimiento y se fuerza al fluido acelerar en la dirección vertical con az  g, cuando se coloca un recipiente de fluido en un elevador o en un vehículo espacial impulsado hacia arriba por un motor cohete, el gradiente de presión en la dirección z es P/ z  2rg. Por lo tanto, la diferencia de presión de la capa inferior y la superior de fluido ahora se duplica en relación con el caso del fluido en reposo (Fig. 3-52).

Aceleración sobre una trayectoria recta Considere un recipiente parcialmente lleno con un líquido. El recipiente se mueve sobre una trayectoria recta con una aceleración constante. Tome la proyección de la trayectoria de movimiento sobre el plano horizontal como el eje x y la proyección sobre el plano vertical como el eje z, como se muestra en la figura 3-53. Las componentes x y z de la aceleración son ax y az. No existe movimiento en la dirección y de donde, la aceleración en esa dirección es cero, ay  0. Entonces, las ecuaciones del movimiento para fluidos en aceleración (ecuación 3-43) se reducen a:

FIGURA 3-52 Efecto de la aceleración sobre la presión de un líquido durante la caída libre y la aceleración hacia arriba.

(3-46)

Por lo tanto, la presión es independiente de y. Entonces la diferencial total de P  P(x, z), la cual es ( P/ x) dx  ( P/ z) dz, queda: dP  ra x dx  r(g  a z) dz

(3-47)

Para r  constante, la diferencia de presión entre dos puntos 1 y 2 en el fluido se determina por integración como: P2  P1  ra x(x2  x1)  r(g  a z)(z 2  z 1)

(3-48)

Se toma el punto 1 como el origen (x  0, z  0) donde la presión es P0 y el punto 2 como cualquier punto en el fluido (sin subíndice), la distribución de presión se puede expresar como: Variación de la presión:

(3-49)

El ascenso (o descenso) vertical de la superficie libre en el punto 2, con relación al punto 1, se puede determinar cuando se elige tanto 1 como 2 sobre la superficie libre (de modo que P1  P2), y se despeja z2  z1 en la ecuación 3-48 (Fig. 3-54): Ascenso vertical de la superficie:

z s  z s2  z s1  

ax (x  x1) g  az 2

(3-50)

donde zs es la coordenada z de la superficie libre del líquido. La ecuación para las superficies de presión constante, llamadas isobaras, se obtiene a partir de la ecuación 3-47 cuando se realiza d P  0 y se reemplaza z por zisobara, la cual es la coordenada z (la distancia vertical) de la superficie, como función de x. Esto da: Superficies de presión constante:

(3-51)

FIGURA 3-53 Movimiento de cuerpo rígido de un líquido en un tanque en aceleración lineal.

106 PRESIÓN Y ESTÁTICA DE FLUIDOS

De esto se llega a la conclusión que las isobaras (inclusive la superficie libre) en un fluido incompresible con aceleración constante en movimiento lineal son superficies paralelas cuya pendiente en el plano xz es: Pendiente de las isobaras:

(3-52)

Es obvio que la superficie libre de un fluido de este tipo es una superficie plana y está inclinada a menos que ax  0 (la aceleración sólo es en la dirección vertical). También, la conservación de la masa, junto con la hipótesis de incompresibilidad (r  constante) necesita que el volumen del fluido permanezca constante antes y durante la aceleración. Por lo tanto, el ascenso del nivel del fluido en uno de los lados debe equilibrarse por un descenso de ese nivel en el otro lado. FIGURA 3-54 Líneas de presión constante (las cuales son las proyecciones de las superficies de presión constante sobre el plano xz) en un líquido en aceleración lineal, y el ascenso vertical.

EJEMPLO 3-12

Derrame de agua desde un tanque durante la aceleración

Una pecera de 80 cm de alto, con sección transversal de 2 m 0.6 m que está inicialmente llena con agua se va a transportar sobre la parte posterior de un camión (Fig. 3-55). El camión acelera desde 0 hasta 90 km/h en 10 s. Si se quiere que el agua no se derrame durante la aceleración, determine la altura inicial admisible del agua en la pecera. ¿Recomendaría que la pecera se alineara con el lado largo, o el corto, paralelo a la dirección del movimiento?

FIGURA 3-55 Esquema para el ejemplo 3-12.

SOLUCIÓN Se va a transportar una pecera sobre un camión. Deben determinarse la altura admisible del agua para evitar que se derrame durante la aceleración y la orientación adecuada de la pecera. Suposiciones 1 La carretera es horizontal durante la aceleración, de modo que ésta no tiene componente vertical (az  0). 2 Se supone que los efectos de la salpicadura, el frenado, el paso sobre topes y el ascenso de pendientes son secundarios y no se consideran. 3 La aceleración permanece constante. Análisis Se toma el eje x como la dirección del movimiento, que el eje z está en la dirección vertical ascendente y que el origen es la esquina inferior izquierda de la pecera. Note que el camión pasa de 0 a 90 km/h en 10 s, la aceleración del camión es: ax 

V (90  0) kmh 1 ms  a b  2.5 ms2 t 10 s 3.6 kmh

La tangente del ángulo que la superficie libre forma con la horizontal es:

El ascenso vertical máximo de la superficie libre ocurre en la parte posterior de la pecera, y el plano vertical a la mitad no experimenta ascenso ni descenso durante la aceleración, ya que es un plano de simetría. Entonces, el ascenso vertical en la parte posterior de la pecera en relación con el plano de en medio, para las dos orientaciones posibles, queda: Caso 1: El lado largo es paralelo a la dirección del movimiento:

Caso 2: El lado corto es paralelo a la dirección del movimiento:

107 CAPÍTULO 3

Por lo tanto, se supone que el ladeo no es un problema, sin duda la pecera debe orientarse de tal manera que su lado corto esté paralelo a la dirección del movimiento. En este caso, vaciar la pecera hasta que el nivel de su superficie libre descienda sólo 7.6 cm resultará adecuado para evitar el derrame durante la aceleración. Discusión Note que la orientación de la pecera es importante en el control del ascenso vertical. Asimismo, el análisis es válido para cualquier fluido con densidad constante, no sólo para el agua, ya que, en la resolución, no se utilizó información que pertenezca al agua.

Rotación en un recipiente cilíndrico Por experiencia se sabe que cuando un vaso lleno con agua se hace girar alrededor de su eje, se fuerza al fluido hacia afuera como resultado de la fuerza centrífuga y la superficie libre del líquido se vuelve cóncava. Esto se conoce como movimiento de vórtice forzado. Considere un recipiente cilíndrico vertical lleno parcialmente con un líquido. Ahora se hace girar el recipiente alrededor de su eje a una velocidad angular constante v, como se muestra en la figura 3-56. Después de los efectos transitorios iniciales, el líquido se moverá como un cuerpo rígido junto con el recipiente. No se tiene deformación y, por lo tanto, no puede haber esfuerzo cortante y cada partícula de fluido en el recipiente se mueve con la misma velocidad angular. Este problema se analiza mejor en coordenadas cilíndricas (r, u, z), tomando z a lo largo de la línea central del recipiente, dirigida del fondo hacia la superficie libre, puesto que la forma del recipiente es un cilindro y las partículas del fluido se someten a un movimiento circular. La aceleración centrípeta de una partícula de fluido que gira con una velocidad angular constante v a una distancia r del eje de rotación, es rv2 y está dirigida en forma radial hacia el eje de rotación (dirección r negativa). Es decir, ar  rv2. Se tiene simetría alrededor del eje z, el cual es el eje de rotación y donde no hay dependencia respecto de u. Entonces P  P(r, z) y au  0. También, az  0 puesto que no hay movimiento en la dirección z. Entonces las ecuaciones del movimiento para los fluidos en rotación (ecuaciones 3-43) se reducen a: (3-53)

Entonces la diferencial total de P  P(r, z), la cual es dP  ( P/ r)dr  ( P/ z)dz, queda: dP  rrv2 dr  rg dz

(3-54)

La ecuación para las superficies de presión constante se obtiene cuando se realiza dP  0 y se reemplaza z por zisobara, el cual es el valor de z (la distancia vertical) de la superficie, como función de r. Esto da: (3-55)

Integrando, se determina que la ecuación para las superficies de presión constante es:

FIGURA 3-56 Movimiento de cuerpo rígido de un líquido en un recipiente cilíndrico vertical giratorio.

108 PRESIÓN Y ESTÁTICA DE FLUIDOS

Superficies de presión constante:

(3-56)

la cual es la ecuación de una parábola. Por lo tanto, se llega a la conclusión que las superficies de presión constante, inclusive la superficie libre, son paraboloides de revolución (Fig. 3-57). El valor de la constante de integración C1 es diferente para distintas paraboloides de presión constante (es decir, para isobaras diferentes). Para la superficie libre, haciendo r  0 en la ecuación 3-56, da zisobara(0)  C1  hc, en donde hc es la distancia de la superficie libre al fondo del recipiente a lo largo del eje de rotación (Fig. 3-56). Entonces la ecuación para la superficie libre queda: zs 

FIGURA 3-57 Superficies de presión constante en un líquido en rotación.

v2 2 r  hc 2g

(3-57)

donde zs es la distancia de la superficie libre al fondo del recipiente en el radio r. La suposición anterior a este análisis es que hay líquido suficiente en el recipiente de modo que toda la superficie del fondo permanece cubierta con él. El volumen de un elemento de cascarón cilíndrico de radio r, altura zs, y espesor dr es dV  2przs dr. Entonces el volumen del paraboloide formado por la superficie libre es: V



R

2pz sr dr  2p

r0



a

R

r0

v2 2 v 2R2 r  hcb r dr  pR2 a  hcb 2g 4g

(3-58)

Dado que la masa se conserva y la densidad es constante, este volumen debe ser igual al volumen original del fluido en el recipiente, el cual es: V  pR2h0

(3-59)

donde h0 es la altura original del fluido en el recipiente sin rotación. Si se igualan entre sí estos dos volúmenes, la altura del fluido a lo largo de la línea central del recipiente cilíndrico queda: hc  h0 

v2R2 4g

(3-60)

Entonces la ecuación de la superficie libre queda: Superficie libre:

FIGURA 3-58 El espejo giratorio de mercurio líquido de 6 metros del Gran Telescopio Zenith, ubicado cerca de Vancouver, British Columbia, Canadá. Fotografía cortesía de Paul Hickson, de la Universidad de British Columbia. Se usa con autorización.

(3-61)

La forma paraboloide es independiente de las propiedades del fluido, por lo que la ecuación de la superficie libre se puede aplicar a cualquier fluido. Por ejemplo, al girar el mercurio líquido se forma un espejo que es útil en astronomía (Fig. 3-58). La altura vertical máxima se tiene en el borde, en donde r  R, y la diferencia máxima en las alturas entre el borde y el centro de la superficie libre se determina cuando se evalúa zs en r  R y también en r  0, y calcula su diferencia: Diferencia máxima en las alturas:

(3-62)

109 CAPÍTULO 3

Donde r  constante, la diferencia de presión entre los dos puntos 1 y 2 en el fluido se determina cuando se integra dP  rrv2 dr  rg dz. Esto da por resultado: P2  P1 

rv 2 2 (r 2  r 21)  rg(z 2  z 1) 2

(3-63)

Si se toma el punto 1 como el origen (r  0, z  0) donde la presión es P0 y el punto 2 como cualquier punto en el fluido (sin subíndice), la distribución de presión se puede expresar como: Variación de la presión:

(3-64)

Note que en un radio fijo, la presión varía en forma hidrostática en la dirección vertical, como en un fluido en reposo. Para una distancia vertical fija z, la presión varía con el cuadrado de la distancia radial r, y aumenta desde la línea central hacia el borde exterior. En cualquier plano horizontal la diferencia de presión entre el centro y el borde del recipiente de radio R es P  rv2R2/2.

EJEMPLO 3-13

Ascenso de un líquido durante la rotación

Un recipiente cilíndrico vertical de 20 cm de diámetro y 60 cm de alto, que se muestra en la figura 3-59, está parcialmente lleno con un líquido cuya densidad es 850 kg/m3 hasta una altura de 50 cm. Ahora se hace girar el cilindro a una velocidad constante. Determine la velocidad de rotación a la cual el líquido empezará a derramarse por lo bordes del recipiente.

SOLUCIÓN Se hace girar un recipiente cilíndrico vertical parcialmente lleno con un líquido. Se debe determinar la velocidad angular a la cual el líquido empezará a derramarse. Suposiciones 1 El aumento en la velocidad de rotación es muy lento, de modo que el líquido en el recipiente siempre actúa como un cuerpo rígido. 2 La superficie del fondo del recipiente permanece cubierta con líquido durante la rotación (ningún punto seco). Análisis Tomando el centro de la superficie del fondo del cilindro vertical giratorio como el origen (r  0, z  0), la ecuación de la superficie libre del líquido se da como:

z s  h0 

v2 2 (R  2r 2) 4g

Entonces la altura vertical del líquido en el borde del recipiente, donde r  R queda:

z s(R)  h0 

v 2R2 4g

donde h0  0.5 m es la altura original del líquido antes de la rotación. Justo antes de que el líquido empiece a derramarse, su altura en el borde del recipiente es igual a la del recipiente y, de este modo, zs (R)  0.6 m. En la última ecuación para v y se efectúan las sustituciones, se determina que la velocidad máxima de rotación del recipiente es:

v

4g(H  h0) B

2

R



4(9.81 ms2)[(0.6  0.5) m]  19.8 rads B (0.1 m)2

FIGURA 3-59 Esquema para el ejemplo 3-13.

110 PRESIÓN Y ESTÁTICA DE FLUIDOS

Note que una revolución completa corresponde a 2p rad, la velocidad de rotación del recipiente también se puede expresar en términos de revoluciones por minuto (rpm), como

Por lo tanto, la velocidad de rotación de este recipiente debe de limitarse a 189 rpm, para evitar cualquier derrame del líquido como resultado del efecto centrífugo. Discusión Note que el análisis es válido para cualquier líquido, ya que el resultado es independiente de la densidad o de cualquier otra propiedad del fluido. Debe verificarse también que la suposición de no existencia de puntos secos es válida. La altura del líquido en el centro es:

Ya que zs(0) es positiva, se valida la suposición.

RESUMEN La fuerza normal que ejerce un fluido por unidad de área se llama presión, y su unidad es el pascal, 1 Pa ≡ 1 N/m2. La presión con relación al vacío absoluto se llama presión absoluta, y la diferencia entre esta presión y la presión atmosférica local se llama presión manométrica. Las presiones por abajo de la atmosférica se llaman presiones de vacío. Las presiones absoluta, manométrica y de vacío están relacionadas por: Pman

Pabs

Patm

Pvac

Patm

Pabs

Pman

La presión que se ejerce en un punto en un fluido tiene la misma magnitud en todas direcciones. La variación de la presión con la elevación en un fluido en reposo se expresa por: dP  rg dz donde la dirección positiva z se toma hacia arriba. Cuando la densidad de un fluido es constante, la diferencia de presión de uno a otro lado de una capa de fluido de espesor z es Pabajo

Parriba

rg| z|

Pabove

gs| z|

Las presiones absoluta y manométrica en un fluido estático abierto a la atmósfera, a una profundidad h a partir de la superficie libre, son:

La presión en un fluido en reposo permanece constante en la dirección horizontal. La ley de Pascal expresa que la presión aplicada a un fluido confinado aumenta la presión en toda su extensión en la misma cantidad. La presión atmosférica se mide con un barómetro y se da por: Patm  rgh donde h es la altura de la columna de líquido.

La estática de fluidos trata acerca de los problemas asociados con los fluidos en reposo; se llama hidrostática cuando el fluido es un líquido. La magnitud de la fuerza resultante que actúa sobre una superficie plana de una placa completamente sumergida en un fluido homogéneo, es igual al producto de la presión PC en el centroide de la superficie y el área A de ésta y se expresa como:

donde hC  yC sen u es la distancia vertical del centroide a la superficie del líquido. La presión P0 suele ser la atmosférica, la cual se cancela en la mayoría de los casos porque actúa sobre los dos lados de la placa. El punto de intersección de la línea de acción de la fuerza resultante y la superficie es el centro de presión. La ubicación vertical de la línea de acción de la fuerza resultante se da por:

donde Ixx, C es el segundo momento de área respecto al eje x que pasa por el centroide de dicha área. Un fluido ejerce una fuerza hacia arriba sobre un cuerpo sumergido en él. Esta fuerza se conoce como fuerza de flotación y se expresa como: FB  rfgV donde V es el volumen del cuerpo. Esto se conoce como principio de Arquímedes y se expresa como: la fuerza de flotación que actúa sobre un cuerpo sumergido en un fluido es igual al peso de este último desplazado por el cuerpo; actúa hacia arriba y pasa por el centroide del volumen desplazado. Con densidad constante, la fuerza de flotación es independiente de la distancia del cuerpo a la superficie libre. Para los cuerpos flotantes, la fracción sumergida del volumen del cuerpo es igual a la razón de la densidad promedio de ese cuerpo a la densidad del fluido.

111 CAPÍTULO 3

La ecuación general del movimiento para un fluido que actúa como cuerpo rígido es: →

→

→

§P  rgk  ra Cuando la gravedad está alineada en la dirección z, se expresa en forma escalar como:

P  ra x,

x

P  ra y

y

y

P  r(g  a z)

z

donde ax, ay y az son las aceleraciones en las direcciones x, y y z, respectivamente. Durante el movimiento en aceleración lineal en el plano xz, la distribución de presión se expresa como P  P0  ra xx  r(g  a z)z Las superficies de presión constante (incluso la superficie libre) en un líquido en movimiento lineal con aceleración constante son superficies paralelas cuya pendiente en un plano xz es: Pendiente 

ax dz isobara  tan u  dx g  az

Durante el movimiento de cuerpo rígido de un líquido en un cilindro giratorio, las superficies de presión constante son paraboloides de revolución. La ecuación para la superficie libre es: z s  h0 

v2 2 (R  2r 2) 4g

donde zs es la distancia de la superficie libre al fondo del recipiente, en el radio r, y h0 es la altura original del fluido en el recipiente sin rotación. La variación de la presión en el líquido se expresa como: P  P0 

rv 2 2 r  rgz 2

donde P0 es la presión en el origen (r  0, z  0). La presión es una propiedad fundamental y es difícil imaginar un problema significativo de fluidos en que no intervenga. Por lo tanto, el lector verá esta propiedad en todos los capítulos siguientes. Sin embargo, la consideración de las fuerzas hidrostáticas que actúan sobre superficies planas o curvas está limitada principalmente a este capítulo.

BIBLIOGRAFÍA Y LECTURAS RECOMENDADAS 1. F. P. Beer, E. R. Johnston, Jr., E. R. Eisenberg y G. H. Staab, Vector Mechanics for Engineers, Statics, 7a. ed., Nueva York: McGraw-Hill, 2004.

2. D. C. Giancoli, Physics, 3a. ed., Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, 1991.

PROBLEMAS* Presión, manómetro y barómetro 3-1C ¿Cuál es la diferencia entre presión manométrica y presión absoluta? 3-2C Explique por qué algunas personas experimentan hemorragia nasal y otras experimentan dificultades de la respiración a grandes alturas. 3-3C Alguien afirma que la presión absoluta en un líquido de densidad constante se duplica cuando se duplica la profundidad. ¿Está usted de acuerdo?

* Los problemas designados por una “C” son preguntas de concepto y se alienta a los estudiantes a dar respuesta a todas. Los problemas designados por una “I” están en unidades inglesas y los usuarios del SI pueden ignorarlos. Los problemas con el ícono son de comprensión y se recomienda emplear un software como EES para resolverlos. Los problemas con el ícono pueden resolverse con el software FlowLab.

3-4C Se suspende un diminuto cubo de acero en agua por medio de un cable. Si las longitudes de los lados del cubo son muy pequeñas, ¿qué comparación habría entre las magnitudes de las presiones sobre la parte superior, el fondo y las superficies laterales de ese cubo? 3-5C Exprese la Ley de Pascal y dé un ejemplo de aplicación real de ella. 3-6C Considere dos ventiladores idénticos, uno a nivel del mar y el otro en la cima de una montaña alta, que funcionan a velocidades idénticas. ¿Qué comparación habría entre a) los gastos volumétricos y b) los gastos de masa de estos dos ventiladores? 3-7 El émbolo de un dispositivo vertical de cilindro-émbolo que contiene un gas tiene una masa de 85 kg y un área de sección transversal de 0.04 m2 (Fig. P3-7). La presión atmosférica local es de 95 kPa, y la aceleración gravitacional es 9.81 m/s2. a) Determine la presión dentro del cilindro. b) Si se transfiere algo de calor al gas y su volumen se duplica, ¿usted espera que cambie la presión dentro del cilindro?

112 PRESIÓN Y ESTÁTICA DE FLUIDOS

Patm = 95 kPa m = 85 kg

A = 0.04 m 2

FIGURA P3-7

3-8 Un vacuómetro conectado a una cámara da una lectura de 36 kPa en una ubicación en la que la presión atmosférica es de 92 kPa. Determine la presión absoluta dentro de la cámara. 3-9I Se usa un manómetro para medir la presión del aire en un tanque. El fluido del manómetro tiene una gravedad específica de 1.25 y la diferencia de alturas entre los dos ramos del manómetro es de 28 in. La presión atmosférica local es de 12.7 psia. Determine la presión absoluta en el tanque si el ramo del manómetro sujeto al tanque tiene el nivel del fluido a) más alto y b) más bajo que otro ramo. 3-10 Se presuriza el agua que está en un tanque mediante aire y se mide la presión con un manómetro de fluidos múltiples, como se muestra en la figura P3-10. Determine la presión manométrica del aire en el tanque si h1  0.2 m, h2  0.3 m, y h3  0.46 m. Tome las densidades del agua, el aceite y el mercurio como 1 000 kg/m3, 850 kg/m3, y 13 600 kg/m3, respectivamente.

3-13 En una localidad se lee que la presión absoluta en agua a una profundidad de 5 m es de 145 kPa. Determine a) la presión atmosférica local y b) la presión absoluta, en la misma localidad, a una profundidad de 5 m en un líquido cuya gravedad específica es de 0.78. 3-14I

Demuestre que 1 kgf/cm2  14.223 psi.

3-15I Un hombre que pesa 200 lb tiene un área total de impresión de sus pies de 72 in2. Determine la presión que este hombre ejerce sobre el suelo si a) está parado sobre los dos pies y b) está parado sobre uno de ellos. 3-16 Considere una mujer de 55 kg que tiene un área total de impresión de sus pies de 400 cm2. Quiere caminar sobre la nieve, pero ésta no soporta presiones mayores de 0.5 kPa. Determine el tamaño mínimo de los zapatos para nieve que ella necesita (área de impresión por zapato) para que pueda caminar sobre la nieve sin hundirse. 3-17 Un medidor de vacío está conectado a un tanque y da una lectura de 30 kPa en un lugar donde la lectura barométrica es de 755 mmHg. Determine la presión absoluta en el tanque. Tome rHg  13 590 kg/m3. Respuesta: 70.6 kPa 3-18I Un manómetro está conectado a un tanque y da una lectura de 50 psi en un lugar donde la lectura barométrica es de 29.1 in Hg. Determine la presión absoluta en el tanque. Tome rHg  848.4 lbm/ft3. Respuesta: 64.29 psia 3-19 Un manómetro está conectado a un tanque y da una lectura de 500 kPa en un lugar donde la presión atmosférica es de 94 kPa. Determine la presión absoluta en el tanque. 3-20 El agua de un depósito se eleva en un tubo vertical de diámetro interior D = 30 cm bajo la influencia de la fuerza de tracción F de un émbolo. Determine la fuerza necesaria para elevar el agua a una altura h = 1.5 m arriba de la superficie libre. ¿Cuál sería su respuesta para h = 3 m? Asimismo, tomando la presión atmosférica como 96 kPa, grafique la presión absoluta del agua en la cara del émbolo al variar h de 0 a 3 m.

F

h

D

Aire Agua

FIGURA P3-10 FIGURA P3-20 3-11 Determine la presión atmosférica en un lugar donde la lectura barométrica es de 735 mmHg. Tome la densidad del mercurio como 13 600 kg/m3. 3-12 Se lee que la presión manométrica en un líquido a una profundidad de 3 m es de 28 kPa. Determine la presión manométrica en el mismo líquido a una profundidad de 12 m.

3-21 El barómetro de un montañista marca 930 mbar al principio de un ascenso, y 820 mbar al final. Despreciando el efecto de la altitud sobre la aceleración local de la gravedad, determine la distancia vertical del ascenso. Suponga una densidad promedio del aire de 1.20 kg/m3. Respuesta: 974 m

113 CAPÍTULO 3

3-22 Se puede usar un barómetro básico para medir la altura de un edificio. Si las lecturas barométricas en las partes superior e inferior del edificio son de 730 y 755 mmHg, respectivamente, determine la altura del edificio. Suponga una densidad promedio del aire de 1.18 kg/m3.

3-27

Vuelva a considerar el problema 3-26. Use el software de EES (o cualquier otro programa de este tipo) e investigue el efecto de la fuerza del resorte, en el rango de 0 hasta 500 N. Trace la gráfica de la presión contra la fuerza del resorte y discuta los resultados. 3-28

Dos manómetros, uno de carátula y otro de tubo en U, están sujetos a un tanque de gas para medir su presión. Si la lectura en el manómetro de carátula es de 65 kPa, determine la distancia entre los dos niveles del fluido en el de tubo en U, si el fluido es a) mercurio (r  13 600 kg/m3) o b) agua (r  1 000 kg/m3). 65 kPa

FIGURA P3-22

3-23

Resuelva el problema 3-20 usando el software de EES (o cualquier otro programa de este tipo). Imprima la solución completa, inclusive los resultados numéricos con unidades apropiadas y tome la densidad del mercurio como 13 600 kg/m3. 3-24 Determine la presión que se ejerce sobre un buzo a 20 m por abajo de la superficie libre del mar. Suponga una presión barométrica de 101 kPa y una gravedad específica de 1.03 para el agua de mar. Respuesta: 303 kPa 3-25I Determine la presión ejercida sobre la superficie de un submarino que viaja a 300 ft por abajo de la superficie libre del mar. Suponga que la presión barométrica es de 14.7 psia y la gravedad específica del agua de mar es 1.03. 3-26 Un gas está contenido en un dispositivo de cilindro y émbolo en posición vertical. El émbolo tiene una masa de 4 kg y un área de la sección transversal de 35 cm2. Un resorte comprimido arriba del émbolo ejerce una fuerza de 60 N sobre éste. Si la presión atmosférica es de 95 kPa, determine la presión en el interior del cilindro. Respuesta: 123.4 kPa

FIGURA P3-28 3-29

Vuelva a considerar el problema 3-28. Use el software de EES (o cualquier otro programa de este tipo) e investigue el efecto de la densidad del fluido manométrico, en el rango de 800 hasta 13 000 kg/m3 sobre la diferencia en los niveles del fluido del manómetro de tubo en U. Trace la gráfica de la diferencia de alturas del fluido contra la densidad y comente los resultados. 3-30 Un manómetro de tubo en U que contiene aceite (r  850 kg/m3) está sujeto a un tanque lleno con aire. Si la diferencia del nivel del aceite entre las dos columnas es de 45 cm y la presión atmosférica es de 98 kPa, determine la presión absoluta del aire dentro del tanque. Respuesta: 101.75 kPa 3-31 Un manómetro de mercurio (r  13 600 kg/m3) está conectado a un ducto de aire para medir la presión en el interior. La diferencia en los niveles del manómetro es de 10 mm y la presión atmosférica es de 100 kPa. a) Establezca un juicio con base en la figura P3-31 y determine si la presión en el ducto está por arriba o por abajo de la atmosférica. b) Determine la presión absoluta en el ducto

10 mm

FIGURA P3-26

FIGURA P3-31

114 PRESIÓN Y ESTÁTICA DE FLUIDOS

3-32 Repita el problema 3-31 para una diferencia en los niveles del mercurio de 30 mm.

contiene los dos fluidos con una proporción de alturas aceiteagua de 6. Determine la altura de cada fluido en esa rama.

3-33 La presión sanguínea suele medirse colocando alrededor del antebrazo de una persona, al nivel del corazón, un tubo “aplanado” de tela que se llena con aire y que viene equipado con un manómetro (Fig. P3-33). Con un manómetro de mercurio y un estetoscopio se miden la presión sistólica (la presión máxima cuando el corazón está bombeando) y la diastólica (la presión mínima cuando el corazón está en reposo) en mmHg. Las presiones sistólica y diastólica de una persona sana son de alrededor de 120 mmHg y 80 mmHg, respectivamente y se indican como 120/80. Exprese estas dos presiones manométricas en kPa, psi y altura de una columna de agua (en m).

3-37 El elevador hidráulico en un taller de reparación de automóviles tiene un diámetro de salida de 40 cm y se deben levantar automóviles hasta de 1 800 kg. Determine la presión manométrica del fluido que debe mantenerse en el depósito.

3-34 La presión sanguínea máxima en el antebrazo de una persona sana es de alrededor de 120 mmHg. Se conecta a la vena un tubo vertical abierto a la atmósfera, en el brazo de una persona. Determine la altura hasta la que ascenderá la sangre en el tubo. Tome la densidad de la sangre como 1 040 kg/m3.

3-38 Agua dulce y agua de mar fluyen en tuberías horizontales paralelas, las cuales están conectadas entre sí por un manómetro de tubo en U doble, como se muestra en la figura P3-38. Determine la diferencia de presión entre las dos tuberías. Tome la densidad del agua de mar en ese lugar como r  1 035 kg/m3. ¿Puede ignorarse la columna de aire en el análisis?

Aire Agua dulce

40 cm Agua de mar

70 cm 60 cm 10 cm Mercurio

FIGURA P3-38 h

3-39 Repita el problema 3-38, reemplazando el aire con aceite cuya gravedad específica es de 0.72. 3-40I Se mide la presión en una tubería de gas natural con el manómetro que se muestra en la figura P3-40I, con una de las ramas abierta a la atmósfera en donde la presión atmosférica local es de 14.2 psi. Determine la presión absoluta en la tubería.

FIGURA P3-33 Aire

3-35 Considere a un hombre de 1.8 m de altura que está en posición vertical en agua y sumergido por completo en una alberca. Determine la diferencia entre las presiones que actúan en la cabeza y en los dedos de los pies de este hombre, en kPa.

Gas natural

2 pulg

14 pulg 22 pulg

3-36 Considere un tubo en U cuyas ramas están abiertas a la atmósfera. Ahora se vierte agua en una de las ramas del tubo y aceite ligero (r  790 kg/m3) en la otra. Una de las ramas contiene agua en un tramo de 70 cm de altura, en tanto que la otra

6 pulg

Mercurio GE = 13.6

Agua

FIGURA P3-40I Aceite 70 cm

Agua

FIGURA P3-36

3-41I Repita el problema 3-40I, ahora reemplazando el aire por aceite con una gravedad específica de 0.69. 3-42 Se mide la presión manométrica del aire que está en el tanque, como se muestra en la figura P3-42, y resulta ser de 65 kPa. Determine diferencia h en los niveles de mercurio.

115 CAPÍTULO 3

3-46I Dos tanques de aceite están interconectados a través de un manómetro. Si la diferencia entre los niveles de mercurio en las dos ramas es de 32 in, determine la diferencia de presión entre los dos tanques. Las densidades del aceite y del mercurio son 45 lbm/ft3 y 848 lbm/ft3, respectivamente.

FIGURA P3-42 3-43 Repita el problema 3-42, para una presión manométrica de 45 kPa. 3-44 La parte superior de un tanque de agua está dividida en dos compartimentos, como se muestra en la figura P3-44. Ahora se vierte un fluido con una densidad desconocida en uno de los lados y el nivel del agua se eleva cierta cantidad en el otro lado para compensar el efecto que se produce. Con base en las alturas finales de los fluidos, mostradas en la figura, determine la densidad del fluido añadido. Suponga que el líquido no se mezcla con el agua.

FIGURA P3-46I

3-47 Con frecuencia, la presión se da en términos de una columna de líquido y se expresa como “carga de presión”. Exprese la presión atmosférica estándar en términos de columnas de a) mercurio (GE  13.6), b) agua (GE  1.0) y c) glicerina (GE  1.26) Explique por qué suele usarse mercurio en los manómetros.

FIGURA P3-44 3-45 Se va a levantar una carga de 500 kg que está sobre el elevador hidráulico que se muestra en la figura P3-45, vertiendo aceite (r  780 kg/m3) en un tubo delgado. Determine cuál debe ser la altura h para empezar a levantar el peso.

FIGURA P3-45

3-48 Durante mucho tiempo se ha utilizado un sencillo experimento para demostrar cómo la presión negativa impide que el agua se derrame de un vaso invertido. Se invierte un vaso que está lleno por completo con agua y cubierto con un papel delgado, como se muestra en la figura P3-48. Determine la presión en el fondo del vaso y explique por qué no se derrama el agua.

FIGURA P3-48

116 PRESIÓN Y ESTÁTICA DE FLUIDOS

3-49 Dos cámaras con el mismo fluido en la base están separadas mediante un émbolo de 30 cm de diámetro cuyo peso es 25 N, como se muestra en la figura P3-49. Calcule las presiones manométricas en las cámaras A y B.

FIGURA P3-51

FIGURA P3-49

3-50 Considere un manómetro de doble fluido sujeto a un tubo de aire, como se muestra en la figura P3-50. Si la gravedad específica de uno de los fluidos es 13.55, determine la gravedad específica del otro para la presión absoluta indicada del aire. Tome la presión atmosférica como de 100 kPa. Respuesta:

3-52 Considere el sistema que se muestra en la figura P3-52. Si un cambio de 0.7 kPa en la presión del aire causa que la interface salmuera-mercurio de la columna derecha descienda 5 mm, en tanto que la presión en el tubo de la salmuera se mantiene constante, determine la razón A2/A1.

5.00

FIGURA P3-52 FIGURA P3-50

3-51 Se mide la diferencia de presión entre un tubo de aceite y uno de agua con un manómetro de doble fluido, como se muestra en la figura P3-51. Para las alturas y las gravedades específicas dadas de los fluidos calcule la diferencia de presión P  PB  PA.

3-53 Dos tanques de agua están interconectados mediante un manómetro de mercurio con los tubos inclinados, como se muestra en la figura P3-53. Si la diferencia de presión entre los dos tanques es de 20 kPa, calcule a y u.

117 CAPÍTULO 3

aceite hidráulico con una gravedad específica de 0.870 al interior al empujar hacia arriba y hacia abajo el pequeño émbolo del lado izquierdo, elevando lentamente el émbolo grande del lado derecho. Un automóvil que pesa 20 000 N se debe elevar con el gato. a) Al principio, cuando ambos émbolos están en la misma elevación (h  0), calcule la fuerza F1 en newtons que se necesita para sostener el peso del automóvil. b) Repita el cálculo después de que el automóvil ha sido elevado dos metros (h  2 m). Compare y comente.

FIGURA P3-53

3-54 Un recipiente con fluidos múltiples está conectado a un tubo en U, como se muestra en la figura P3-54. Para las gravedades específicas y las alturas de las columnas de los fluidos dadas, determine la presión manométrica en A. Además determine la altura de una columna de mercurio que crearía la misma presión en A. Respuestas: 0.415 kPa, 0.311 cm

3-56 Considere un gato hidráulico como el del problema 3-55. La gravedad específica del aceite hidráulico es 0.870. a) Para una fuerza dada F1 = 50 N y para el caso en el que h  0, calcule la fuerza F2 como función de la relación de áreas para el intervalo 50  A2/A1  1 000. Comente la relación entre F1 y A2/A1 (¿la relación es lineal, cuadrática, etc.?). b) Ejecute FlowLab usando la plantilla Hydraulic_press_area para las condiciones dadas en el mismo intervalo de relaciones de áreas. Compare con sus cálculos manuales. 3-57 Considere un gato hidráulico como el del problema 3-55. La relación de áreas es A2/A1  400. a) Para una fuerza dada F1  50 N y para el caso en el que h = 0, calcule la fuerza F2 como función de la densidad del fluido hidráulico para el intervalo 780 kg/m3 (keroseno)  r  998.2 kg/m3 (agua). Comente la relación entre F2 y r (¿la relación es lineal, cuadrática, etc.?). b) Ejecute FlowLab usando la plantilla Hydraulic_press_liquid para las condiciones dadas y el mismo intervalo de densidades. Compare con sus cálculos manuales. 3-58 Considere un gato hidráulico como el del problema 3-55. La gravedad específica del aceite hidráulico es 0.870, y la relación de áreas es A2/A1  400 (A1  1 cm2 y A2  0.04 m2). a) Para una diferencia de elevaciones dada, h  2 m, calcula la fuerza F2 como función de la fuerza aplicada F1 (¿la relación es lineal, cuadrática, etc.?). b) Ejecute FlowLab usando la plantilla Hydraulic_press_force para las condiciones dadas y el mismo intervalo de F1. Compare con sus cálculos manuales.

FIGURA P3-54

3-55 Considere un gato hidráulico que se usa en un taller de reparación de automóviles, como en la figura P3-55. Los émbolos tienen áreas de A1  1 cm2 y A2  0.04 m2. Se bombea

3-59 Considere un gato hidráulico como el del problema 3-55. La gravedad específica del aceite hidráulico es 0.870, y la relación de áreas A2/A1  400 (A1  1 cm2 y A2  0.04 m2). a) Para una fuerza aplicada dada F1  50 N, calcule la fuerza F2 como función de la diferencia de elevaciones h para el intervalo 0 m  h  4 m. Comente la relación entre F2 y h (¿la relación es lineal, cuadrática, etc.?). b) Ejecute FlowLab usando la plantilla Hydraulic_press_elevation para las condiciones dadas y el mismo intervalo de h. Compare con sus cálculos manuales.

Estática de fluidos: fuerzas hidrostáticas sobre un plano y sobre superficies curvas 3-60C Defina la fuerza hidrostática resultante que actúa sobre una superficie sumergida y el centro de presión.

FIGURA P3-55

3-61C Alguien afirma que puede determinar la magnitud de la fuerza hidrostática que actúa sobre una superficie plana sumergida en agua, sin importar su forma y orientación, si conociera la distancia vertical del centroide de esa superficie, tomada desde la superficie libre, y el área de la misma. ¿Es ésta una afirmación válida? Explique.

118 PRESIÓN Y ESTÁTICA DE FLUIDOS

3-62C Una placa plana horizontal sumergida está suspendida en agua mediante un cable sujeto al centroide de su superficie superior. Ahora se hace girar la placa 45° alrededor de un eje que pasa por su centroide. Analice el cambio en la fuerza hidrostática que actúa sobre la superficie superior de esta placa como resultado de esta rotación. Suponga que la placa permanece sumergida en todo momento.

duplica la altura de las paredes de la alberca y se llena, la fuerza hidrostática sobre cada pared ¿se duplicará o se cuadriplicará? Respuesta: a) 44.1 kN

3-63C Es posible que el lector haya advertido que las presas son mucho más gruesas en el fondo. Explique por qué las presas se construyen de esa manera.

3-71 Un cuarto en el nivel inferior de un barco para cruceros tiene una ventana circular de 30 cm de diámetro. Si el punto medio de la ventana está 4 m abajo de la superficie del agua, determine la fuerza hidrostática que actúa sobre la ventana y el centro de presión. Tome la gravedad específica del agua de mar como 1.025. Respuesta: 2 840 N, 4.001 m

3-64C Considere una superficie curva sumergida. Explique cómo determinaría la componente horizontal de la fuerza hidrostática que actúa sobre esta superficie.

3-70I Considere una presa de 200 ft de altura y 1 200 ft de ancho llena a toda su capacidad. Determine a) la fuerza hidrostática sobre la presa y b) la fuerza por unidad de área de la misma cerca de su parte superior y cerca del fondo.

3-65C Considere una superficie curva sumergida. Explique cómo determinaría la componente vertical de la fuerza hidrostática que actúa sobre esta superficie. 3-66C Considere una superficie circular sometida a fuerzas hidrostáticas por un líquido de densidad constante. Si se determinan las magnitudes de las componentes horizontal y vertical de la fuerza hidrostática resultante, explique cómo encontraría la línea de acción de esta fuerza. 3-67 Considere un pesado automóvil sumergido en un lago con un fondo plano. La puerta del lado del conductor mide 1.1 m de altura y 0.9 m de ancho, y el borde superior de la misma está 8 m abajo de la superficie del agua. Determine la fuerza neta que actúa sobre la puerta (normal a su superficie) y la ubicación del centro de presión si a) el automóvil está bien cerrado y contiene aire a presión atmosférica y b) el automóvil se llena con agua. 3-68I Se usa un cilindro sólido largo de radio de 2 ft, articulado en el punto A, como una compuerta automática, como se muestra en la figura P3-68I. Cuando el nivel del agua llega a 15 ft, la compuerta cilíndrica se abre girando en torno a la articulación en el punto A. Determine a) la fuerza hidrostática que actúa sobre el cilindro y su línea de acción cuando la compuerta se abre, y b) el peso del cilindro por ft de longitud del mismo.

Mar

4m

30 cm

FIGURA P3-71

3-72 El lado del muro de una presa de 100 m de largo que está en contacto con agua tiene forma de un cuarto de círculo con un radio de 10 m. Determine la fuerza hidrostática ejercida sobre la presa y su línea de acción cuando dicha presa está llena hasta el borde. 3-73 Una placa rectangular de 6 m de altura y 5 m de ancho bloquea el extremo de un canal de agua dulce de 5 m de profundidad, como se muestra en la figura P3-73. La placa está articulada en torno a un eje horizontal que está a lo largo de su borde superior y que pasa por un punto A, y su apertura la restringe un borde fijo en el punto B. Determine la fuerza que se ejerce sobre la placa por el borde.

15 pies

A A

2 pies 1m

FIGURA P3-68I 3-69 Considere una alberca construida sobre el suelo, con 4 m de largo, 4 m de ancho y 1.5 m de altura, con agua hasta el borde. a) Determine la fuerza hidrostática sobre cada pared y la distancia al suelo de la línea de acción de esta fuerza. b) Si se

5m

B

FIGURA P3-73

119 CAPÍTULO 3

3-74

Vuelva a considerar el problema 3-73. Use el software de EES (o cualquier otro programa de este tipo) e investigue el efecto de la profundidad del agua sobre la fuerza que se ejerce sobre la placa por el borde. Suponga que la profundidad del agua varía desde 0 hasta 5 m, en incrementos de 0.5 m. Haga una tabla y trace la gráfica de sus resultados.

Cable

0.75 m 45°

3-75I El flujo de agua desde un recipiente se controla por una compuerta con forma de L y de 5 ft de ancho, articulada en el punto A, como se muestra en la figura P3-75I. Si se desea que la compuerta se abra cuando la altura del agua sea de 12 ft, determine la masa del peso necesario W. Respuesta: 30,900 lbm

45° Articulación

FIGURA P3-78 3-79 Repita el problema 3-78 para el caso de una artesa semillena y con una altura del agua de 0.4 m directamente arriba de la articulación.

8 pies A

W B

Compuerta 15 pies 12 pies

3-80 Se debe construir un muro de contención contra un derrumbe de lodo con bloques rectangulares de concreto (r  2 700 kg/m3) de 1.2 m de altura y 0.25 m de ancho, como se muestra en la figura P3-80. El coeficiente de fricción entre el suelo y los bloques es f  0.3, y la densidad del lodo es alrededor de 1 800 kg/m3. Existe la preocupación de que los bloques de concreto puedan resbalarse o voltearse sobre el borde izquierdo inferior conforme suba el nivel del lodo. Determine la altura del lodo a la cual a) los bloques vencerán la fricción y empezarán a resbalar y b) los bloques se voltearán. 0.25 m

FIGURA P3-75I

3-76I 8 ft.

Repita el problema 3-75I para una altura del agua de 1.2 m

3-77 Una artesa de agua de sección transversal semicircular y con un radio de 0.7 m consta de dos partes simétricas articuladas entre sí en el fondo, como se muestra en la figura P3-77. Las dos partes se mantienen juntas por medio de cables y tensores colocados cada 3 m a lo largo de la longitud de la artesa. Calcule la tensión en cada cable cuando la artesa está llena hasta el borde.

FIGURA P3-80 3-81 Repita el problema 3-80 para bloques de concreto con un ancho de 0.4 m.

1.4 m

3-82 Cable

Articulación

FIGURA P3-77

3-78 Los dos costados de una artesa de agua con forma de V están articulados entre sí en el fondo, en donde se encuentran, como se muestra en la figura P3-78, formando ambos costados un ángulo de 45° respecto del suelo. Cada costado mide 0.75 m de ancho y las dos partes se mantienen juntas mediante cables y tensores colocados cada 6 m a lo largo de la longitud de la artesa. Calcule la tensión en cada cable cuando la artesa está llena hasta el borde. Respuesta: 5 510 N

Una compuerta de 4 m de largo con forma de un cuarto de círculo de radio 3 m y de peso despreciable está articulada alrededor de su borde superior A, como se muestra en la figura P3-82. La compuerta controla el flujo de agua sobre el reborde en B, donde está comprimida por un resorte. Determine la fuerza mínima necesaria del resorte para mantener cerrada la compuerta cuando el nivel del agua se eleva hasta A en el borde superior de la compuerta.

FIGURA P3-82

120 PRESIÓN Y ESTÁTICA DE FLUIDOS

3-83 Repita el problema 3-82 para un radio de 4 m para la compuerta. Respuesta: 314 kN 3-84 Considere una placa plana de espesor t, anchura w hacia el interior de la página y longitud b, sumergida en agua, como en la Fig. P3-84. La profundidad del agua desde la superficie hasta el centro de la placa es H, y el ángulo u se define con relación al centro de la placa. a) Genere una ecuación para la fuerza F sobre la cara superior de la placa como función (como máximo) de H, b, t, w, g, r y u. Ignore la presión atmosférica. En otras palabras, calcule la fuerza que es adicional a la fuerza debida a la presión atmosférica. b) Como prueba de su ecuación, sea H  1.25 m, b  1 m, t  0.2 m, w  1 m, g  9.807 m/s2, r  998.3 kg/m3, y u  30o. Si su ecuación es correcta, usted debe obtener una fuerza de 11.4 kN.

de su circunferencia sumergida en agua como en la figura P3-87. La profundidad del agua es h. a) Genere una ecuación para la fuerza F que actúa sobre el cilindro como función (como máximo) de h, R, w, g, r y L. Ignore la presión atmosférica, ya que ésta actúa en ambos lados del cilindro. b) Como prueba de su ecuación, sea h  5 m, R  0.5 m, w  1 m, g = 9.807 m/s2 y r  998.3 kg/m3. Si su ecuación es correcta, usted debe obtener una fuerza de 11.4 kN.

L Bisagra h R

R F H

FIGURA P3-87

t F

b

FIGURA P3-84

3-85 Considere la placa sumergida del problema 3-84. a) Para los valores que ahí se dan y para la placa alineada verticalmente (u  90o), calcule la fuerza F como función de la profundidad H en el intervalo 1  H  10 m. Comente la relación entre F y H (¿la relación es lineal, cuadrática, etc.?). b) Ejecute FlowLab usando la plantilla Submerged_plate_depth para las condiciones dadas y el mismo intervalo de profundidades H. Compare con sus cálculos manuales. Nota: FlowLab usa presión absoluta en sus soluciones, de modo que usted necesita restar la fuerza debida a la presión atmosférica de los resultados de FlowLab. 3-86 Considere la placa sumergida del problema 3-84. a) Para los valores que ahí se dan y para el centro de la placa ubicado en H = 1.25 m, calcula la fuerza F como función del ángulo u en el intervalo 0  u  90o. Comente la relación entre F y u. (¿la relación es lineal, cuadrática, etc.?). b) Ejecute FlowLab usando la plantilla Submerged_plate_angle para las condiciones dadas y el mismo intervalo de ángulos u. Compare con sus cálculos manuales. Nota: FlowLab usa presión absoluta en sus soluciones, de modo que usted necesita restar la fuerza debida a la presión atmosférica de los resultados de FlowLab. 3-87 Considere una compuerta cilíndrica bidimensional engoznada de radio R y anchura w hacia dentro de la página. El cilindro está reposando a nivel de suelo, con la cuarta parte

3-88 Considere la compuerta cilíndrica del problema 3-87. a) Para los valores ahí dados, calcule la fuerza F como función de la profundidad h en el intervalo 0.6  h  5 m. Comente la relación entre F y h (¿la relación es lineal, cuadrática, etc.?). b) Ejecute FlowLab usando la plantilla Cylindrical_gate_depth para las condiciones dadas y el mismo intervalo de profundidades h. Compare con sus cálculos manuales. 3-89 Considere la compuerta cilíndrica del problema 3-87. a) Para los valores ahí dados y con h = 5 m, calcule la fuerza F como función de la anchura L del agua en el depósito corriente arriba de la compuerta en el intervalo 0.2  L  2 m. Comente la relación entre F y L (¿la relación es lineal, cuadrática, etc.?). b) Ejecute FlowLab usando la plantilla Cylindrical_gate_width para las condiciones dadas y el mismo intervalo de anchuras L. Compare con sus cálculos manuales.

Flotación 3-90C ¿Qué es fuerza de flotación? ¿Qué la causa? ¿Cuál es la magnitud de la fuerza de flotación que actúa sobre un cuerpo sumergido cuyo volumen es V ? ¿Cuáles son la dirección y la línea de acción de la fuerza de flotación? 3-91C Considere dos bolas esféricas idénticas sumergidas en agua a profundidades diferentes. Las fuerzas de flotación que actúan sobre ellas ¿son las mismas o son diferentes? Explique. 3-92C Considere dos bolas esféricas de diámetro 5 cm —una de aluminio y la otra de acero— que están sumergidas en agua. Las fuerzas de flotación que actúan sobre ellas ¿son las mismas o son diferentes? Explique. 3-93C Considere un cubo de cobre de 3 kg y una bola del mismo metal de 3 kg sumergidas en un líquido. Las fuerzas de flotación que actúan sobre estos dos cuerpos ¿son las mismas o son diferentes? Explique.

121 CAPÍTULO 3

3-94C Comente la estabilidad de a) un cuerpo sumergido y b) uno flotante, cuyo centro de gravedad está arriba del centro de flotación. 3-95 Debe determinarse la densidad de un líquido mediante un hidrómetro viejo cilíndrico de 1 cm de diámetro cuyas marcas de división están borradas por completo. Primero, se deja caer el hidrómetro en agua y se marca el nivel correspondiente a ésta. Después se deja caer en el otro líquido y se observa que la marca para el agua ha ascendido 0.6 cm por arriba de la interface líquido-aire (Fig. P3-95). Si la altura de la marca para el agua es de 13.6 cm, determine la densidad del líquido.

del agua, determine la altura del bloque de hielo por abajo de la superficie. Respuesta: 1.05 cm 3-99 Se estima que 90% del volumen de un iceberg está debajo de la superficie, mientras que sólo es visible 10 % arriba de la superficie. Para agua de mar con una densidad de 1 025 kg/m3, estime la densidad del iceberg.

0.6 cm

13 cm

FIGURA P3-95 FIGURA P3-99 3-96I Se usa una grúa para bajar objetos pesados dentro de un lago, para un proyecto de construcción subacuática. Determine la tensión en el cable de la grúa debida a un bloque esférico de acero (densidad  494 lbm/ft3) de 3 ft de diámetro cuando está a) suspendido en el aire y b) sumergido por completo en el agua. 3-97 Se deben determinar el volumen y la densidad promedio de un cuerpo de forma irregular usando una balanza de resorte. El cuerpo pesa 7 200 N en el aire y 4 790 N en el agua. Determine el volumen y la densidad del cuerpo. Exprese sus suposiciones. 3-98 Considere un bloque cúbico grande de hielo que flota en el mar. Las gravedades específicas del hielo y del agua de mar son 0.92 y 1.025, respectivamente. Si una parte de 15 cm de alto del bloque de hielo se extiende por encima de la superficie

15 cm

FIGURA P3-98

3-100 Se deja caer una roca de granito (r  2 700 kg/m3) de 170 kg en un lago. Un hombre se sumerge y trata de levantarla. Determine cuánta fuerza necesita aplicar para levantarla del fondo del lago. ¿Cree el lector que puede hacerlo? 3-101 Se dice que Arquímedes descubrió su principio mientras se bañaba, ya que estaba pensando cómo podría determinar si la corona del rey Herón era en realidad de oro puro. Cuando estaba en la tina de baño, concibió la idea de que podía determinar la densidad promedio de un objeto irregular pesándolo en el aire y también en el agua. Si la corona pesó 3.20 kgf ( 31.4 N) en el aire y 2.95 kgf ( 28.9 N) en el agua, determine si la corona estaba hecha de oro puro. La densidad del oro es de 19,300 kg/m3. Explique cómo puede usted resolver este problema sin pesar la corona en el agua, pero utilizando una cubeta común, sin calibración para el volumen. Puede pesar algo en el aire. 3-102 Uno de los procedimientos comunes en los programas de acondicionamiento físico es determinar la razón de grasa a músculo del cuerpo. Esto se basa en el principio de que el tejido muscular es más denso que el grasoso y, por lo tanto, cuanto mayor sea la densidad promedio del cuerpo, más alta es la fracción de tejido muscular. Se puede determinar la densidad promedio del cuerpo si se pesa a la persona en el aire y también cuando está sumergida en el agua en un tanque. Trate todos los tejidos y huesos (que no son grasos) como músculos con una

122 PRESIÓN Y ESTÁTICA DE FLUIDOS

densidad equivalente rmúsculo, y obtenga una relación para la fracción en volumen de la grasa del cuerpo xgrasa. Respuesta: xgrasa  (rmúsculo  rprom)/(rmúsculo  rgrasa)

termine el ángulo que la superficie libre del agua forma con la horizontal. ¿Cuál sería su respuesta si la dirección del movimiento fuera descendente sobre la misma carretera y con la misma aceleración? 3-111I Un tanque cilíndrico vertical de 3 ft de diámetro, abierto a la atmósfera contiene agua hasta una altura de 1 ft. Ahora se hace girar el tanque alrededor de la línea central y el nivel del agua desciende en el centro al mismo tiempo que se eleva en los bordes. Determine la velocidad angular a la cual el fondo del tanque empezará a quedar expuesto. Asimismo, determine la altura máxima del agua en este momento.

FIGURA P3-102 3 pies

3-103 El casco de un bote tiene un volumen de 180 m3 y la masa total del mismo cuando está vacío es de 8 560 kg. Determine cuánta carga puede transportar este bote sin hundirse a) en un lago y b) en agua de mar con gravedad específica de 1.03.

FIGURA P3-111I

Fluidos en el movimiento de cuerpo rígido 3-104C ¿En qué condiciones puede tratarse una masa de fluido en movimiento como un cuerpo rígido? 3-105C Considere un vaso de agua. Compare las presiones promedio del agua en la superficie del fondo para los siguientes casos: el vaso está a) en reposo, b) moviéndose hacia arriba con velocidad constante, c) moviéndose hacia abajo con velocidad constante y d) moviéndose en la dirección horizontal con velocidad constante.

3-112 Se transporta un tanque cilíndrico de agua de 60 cm de alto y 40 cm de diámetro sobre una carretera horizontal. La aceleración más alta anticipada es de 4 m/s2. Determine la altura inicial admisible del agua en el tanque, si nada de ésta se derrama durante la aceleración. Respuesta: 51.8 cm

3-106C Considere dos vasos idénticos de agua, uno en reposo y el otro moviéndose sobre un plano horizontal con aceleración constante. Suponga que no hay salpicadura ni derrame, ¿cuál de los dos vasos tiene una presión más elevada en el punto a) delantero, b) medio y c) trasero de la superficie del fondo?

3-113 Un recipiente cilíndrico vertical, de 40 cm de diámetro y 90 cm de alto está semilleno con agua hasta una altura de 60 cm. Ahora se hace girar el tanque a una velocidad angular constante de 120 rpm. Determine cuánto descenderá el nivel del líquido en el centro del cilindro como resultado de este movimiento de rotación.

3-107C Considere un recipiente cilíndrico vertical parcialmente lleno con agua. Ahora se hace girar el cilindro alrededor de su eje a una velocidad angular especificada y se establece un movimiento de cuerpo rígido. Explique cómo resultará afectada la presión en el punto medio y en los bordes de la superficie del fondo debido a la rotación.

3-114 Una pecera que contiene agua hasta una altura de 60 cm se mueve en la cabina de un elevador. Determine la presión en el fondo de la pecera cuando el elevador está a) en reposo, b) moviéndose hacia arriba con una aceleración hacia arriba de 3 m/s2 y c) bajando con una aceleración hacia debajo de 3 m/s2 .

3-108 Un camión remolca un tanque de agua sobre una carretera horizontal y se mide que el ángulo que la superficie libre forma con la horizontal es de 12°. Determine la aceleración del camión.

3-115 Un tanque cilíndrico vertical, de 3 m de diámetro, que contiene leche, gira a una razón constante de 12 rpm. Si la presión en el centro de la superficie del fondo es de 130 kPa, determine la presión en el borde de la superficie del fondo del tanque. Tome la densidad de la leche como 1 030 kg/m.

3-109 Considere dos tanques llenos con agua. El primero de ellos mide 8 m de altura y está en reposo, en tanto que el segundo mide 2 m de altura y se mueve hacia arriba con una aceleración de 5 m/s2. ¿Cuál de los dos tanques tendrá una presión más elevada en el fondo? 3-110 Se está remolcando un tanque de agua sobre una cuesta de una carretera que forma 20° con la horizontal, con una aceleración constante de 5 m/s2 en la dirección del movimiento. De-

3-116 Se transporta leche con una densidad de 1 020 kg/m3 sobre una carretera horizontal en un carro-tanque cilíndrico de 7 m de largo y 3 m de diámetro (Fig. P3-116). El carro-tanque está completamente lleno con leche (no existe espacio de aire) y se acelera a 2.5 m/s2. Si la presión mínima en el carro tanque es de 100 kPa, determine la presión máxima y su ubicación. Respuesta: 47.9 kPa

123 CAPÍTULO 3

kg/m3. Ahora se hace girar el tanque alrededor de su eje vertical a razón de 70 rpm. Determine a) la diferencia entre las presiones en el centro de las superficies del fondo y de arriba y b) la diferencia entre las presiones en el centro y el borde de la superficie del fondo. 3-120

Vuelva a considerar el problema 3-119. Use el software de EES (o cualquier otro programa de este tipo) e investigue el efecto de la velocidad de rotación sobre la diferencia de presiones entre el centro y el borde de la superficie del fondo del cilindro. Suponga que la velocidad de rotación varía desde 0 rpm hasta 500 rpm, en incrementos de 50 rpm. Haga una tabla y trace la gráfica de sus resultados.

FIGURA P3-116 3-117 Repita el problema 3-116 para una desaceleración de 2.5 m/s2. 3-118 Las distancias entre los centros de dos ramas de un tubo en U abierto a la atmósfera es de 30 cm y el tubo contiene alcohol hasta una altura de 20 cm en ambas ramas. Ahora se hace girar el tubo alrededor de su rama izquierda a 4.2 rad/s. Determine la diferencia en la elevación entre las superficies del fluido en las dos ramas.

3-121I Un camión remolca un tanque rectangular de 22 ft de largo y 7 ft de alto, que está abierto a la atmósfera, sobre una carretera horizontal. El tanque está lleno con agua hasta una profundidad de 6 ft. Determine la aceleración o desaceleración máximas permitidas, si no debe derramarse agua durante el remolque. 3-122I Un tanque de 8 ft de largo, abierto a la atmósfera, inicialmente contiene agua hasta una altura de 3 ft. Un camión lo remolca sobre una carretera horizontal. El conductor aplica los frenos y el nivel del agua en el frente se eleva 0.5 ft por arriba del nivel inicial. Determine la desaceleración del camión. Respuesta: 4.03 ft/s2

30 cm

FIGURA P3-118 3-119 Un cilindro vertical sellado, de 1.2 m de diámetro y 3 m de alto, está lleno con gasolina cuya densidad es de 740

FIGURA P3-122I

3-123 Un tanque cilíndrico, de 3 m de diámetro y 7 m de largo, está lleno con agua. Un camión jala el tanque sobre una carretera horizontal estando horizontal el eje del cilindro de 7 m de largo. Determine la diferencia de presión entre los extremos delantero y trasero del tanque a lo largo de una recta horizontal, cuando el camión a) acelera a 3 m/s2 y b) desacelera a 4 m/s2.

Problemas de repaso 3-124 Un sistema de aire acondicionado exige que se tienda una sección de 20 m de largo de ducto de 15 cm de diámetro bajo del agua. Determine la fuerza ascendente que el agua ejercerá sobre el ducto. Tome las densidades del aire y del agua como 1.3 kg/m3 y 1 000 kg/m3, respectivamente.

FIGURA P3-119

3-125 A menudo los globos se llenan con gas helio porque pesa sólo alrededor de un séptimo de lo que pesa el aire en condiciones idénticas. La fuerza de flotación, la cual se puede expresar como Fb  rairegVglobo, impulsará al globo hacia arri-

124 PRESIÓN Y ESTÁTICA DE FLUIDOS

ba. Si éste mide 12 m de diámetro y transporta dos personas, de 70 kg cada una, determine la aceleración del globo cuando se acaba de liberar. Suponga que la densidad del aire es de r  1.16 kg/m3, y desprecie el peso de las cuerdas y la canastilla. Respuesta: 25.7

m/s2

r

12 m r

diferencia de presión entre la superficie superior y el fondo del cilindro. Respuesta: 109 kPa 3-131 Un dispositivo de cilindro y émbolo, en posición vertical y sin fricción, contiene un gas a 500 kPa. La presión atmosférica en el exterior es de 100 kPa y el área del pistón es de 30 cm2. Determine la masa del émbolo. 3-132 Una olla de presión cuece un alimento más rápido que una cacerola común ya que mantiene en su interior una presión y una temperatura más elevadas. La tapa de una de estas ollas está bien cerrada y el vapor de agua sólo se puede escapar por una abertura que está en medio de ella. Arriba de esta abertura hay una pieza metálica separada —la tapa de la válvula de escape— e impide que el vapor se escape hasta que la fuerza de presión vence su peso. De esta manera, el escape periódico del vapor impide que se cree cualquier presión potencialmente peligrosa, y mantiene a su vez la presión en el interior en un valor constante. Determine la masa de la tapa de la válvula de escape de una olla de presión cuya presión manométrica de operación es de 100 kPa y que tiene un área de sección transversal de la abertura de 4 mm2. Suponga una presión atmosférica de 101 kPa y dibuje el diagrama de cuerpo libre de la tapa de la válvula de escape. Respuesta: 40.8 g

FIGURA P3-125 3-126

Vuelva a considerar el problema 3-125. Use el software de EES (o cualquier otro programa de este tipo) e investigue el efecto del número de personas transportadas por el globo sobre la aceleración. Trace la gráfica de la aceleración contra el número de personas y analice los resultados. 3-127 Determine la cantidad máxima de carga, en kg, que puede transportar el globo descrito en el problema 3-125. Respuesta: 520.6 kg

3-128I La presión en una caldera de vapor se da como 75 kgf/cm2. Exprese esta presión en psi, kPa, atm y bars. 3-129 Se puede usar el barómetro básico como un aparato para medir la altitud en los aviones. El control de tierra informa de una lectura barométrica de 753 mmHg, en tanto que la lectura del piloto es de 690 mmHg. Estime la altitud del avión desde el nivel del suelo si la densidad promedio del aire es de 1.20 kg/m3. Respuesta: 714 m 3-130 La mitad inferior de un recipiente cilíndrico de 12 m de alto está llena con agua (r  1 000 kg/m3) y la superior con aceite que tiene una gravedad específica de 0.85. Determine la

Olla de presión

FIGURA P3-132 3-133 Se sujeta un tubo de vidrio a un tubo de agua, como se muestra en la figura P3-133. Si la presión del agua en el fondo

98 kPa

12 m

FIGURA P3-130

FIGURA P3-133

125 CAPÍTULO 3

del tubo es de 115 kPa y la presión atmosférica local es de 98 kPa, determine hasta qué altura se elevará el agua en el tubo, en m. Suponga g  9.8 m/s2 en ese lugar y tome la densidad del agua como 1 000 kg/m3. 3-134 Se encuentra un valor aproximado de la presión atmosférica promedio sobre la Tierra, como una función de la altitud, por la relación Patm  101.325 (1  0.02256z)5.256, donde Patm es la presión atmosférica en kPa y z es la altitud en km, tomándose z  0 en el nivel del mar. Determine las presiones atmosféricas aproximadas en Atlanta (z  306 m), Denver (z  1 610 m), ciudad de México (z  2 309 m), y la punta del Monte Everest (z  8 848 m). 3-135 Cuando se miden las pequeñas diferencias en la presión con un manómetro, con frecuencia se inclina una de sus ramas con el fin de mejorar la exactitud de la lectura. (La diferencia de presión todavía es proporcional a la distancia vertical y no a la longitud real del fluido a lo largo del tubo.) Se medirá la presión del aire en un ducto circular con un manómetro cuya rama abierta está inclinada 35° respecto a la horizontal, como se muestra en la figura P3-135. La densidad del líquido en el manómetro es 0.81 kg/L y la distancia vertical entre los niveles de fluido en las dos ramas es de 8 cm. Determine la presión manométrica del aire en el ducto y la longitud de la columna de fluido en la rama inclinada por arriba del nivel del mismo en la rama vertical.

3-137 Un recipiente cilíndrico cuyo peso es de 79 N está invertido y metido hacia el agua, como se muestra en la figura P3-137. Determine la diferencia de alturas h del manómetro y la fuerza F necesaria para mantenerlo en la posición en que se muestra.

25 cm

FIGURA P3-137

3-138 Se conecta una línea de gasolina a un manómetro de carátula a través de un manómetro de U doble, como se muestra en la figura P3-138. Si la lectura del manómetro de carátula es de 370 kPa, determine la presión manométrica de la línea de gasolina.

FIGURA P3-135 3-136I Considere un tubo en U cuyas ramas están abiertas a la atmósfera. Ahora, se vierten volúmenes iguales de agua y de aceite ligero (r  49.3 lbm/ft3) en ramas diferentes. Una persona sopla por el lado del aceite hasta que la superficie de contacto de los dos fluidos se mueve hasta el fondo del propio tubo y, de este modo, los niveles de los líquidos en las dos ramas son los mismos. Si la altura del fluido en cada una de las ramas es de 40 in, determine la presión manométrica que la persona ejerce sobre el aceite cuando sopla.

FIGURA P3-138

40 pulg

FIGURA P3-136I

3-139 Repita el problema 3-138 para una lectura de presión manométrica de 280 kPa. 3-140I Se conecta un tubo de agua a un manómetro de U doble, como se muestra en la figura P3-140I, en un lugar donde la presión atmosférica local es de 14.2 psia. Determine la presión absoluta en el centro del tubo.

126 PRESIÓN Y ESTÁTICA DE FLUIDOS

FIGURA P3-140I

FIGURA P3-142 3-141 Se mide la presión del agua que fluye por un tubo mediante la disposición que se muestra en la figura P3-141. Para los valores dados, calcule la presión en el tubo.

3-143 Se usa una tetera de agua con una tetera pequeña para té en su parte superior, para preparar té, como se muestra en la figura P3-143. La tetera pequeña para té puede bloquear parcialmente el escape de vapor y hacer que se eleve la presión en la tetera de agua y se pueda presentar un derrame de agua por el tubo de la tetera destinado para servir el agua. Descarte la expansión térmica de agua líquida y la variación en la cantidad de agua en el tubo, como despreciables en relación con la cantidad de agua en la tetera, y determine la altura máxima de agua fría que no causaría un derrame a presiones manométricas de vapor hasta de 0.32 kPa.

FIGURA P3-141

3-142 Considere un tubo en U lleno con mercurio, excepto la parte de 18 cm de alto de arriba, como se muestra en la figura P3-142. El diámetro de la rama derecha del tubo es D = 2 cm y el de la izquierda es el doble de ése. Se vierte aceite con gravedad específica de 2.72 en la rama izquierda, forzando a que algo del mercurio de la rama izquierda entre a la derecha. Determine la cantidad máxima de aceite que se puede agregar en la rama izquierda. Respuesta: 0.233 L

FIGURA P3-143

3-144 Repita el problema 3-143 tomando en consideración la expansión térmica del agua, conforme se calienta de 20°C hasta la temperatura de ebullición de 100°C.

127 CAPÍTULO 3

3-145 Se sabe que la temperatura de la atmósfera varía con la altitud. Por ejemplo, en la troposfera, la cual se extiende hasta una altitud de 11 km, se puede obtener una aproximación de la variación de la temperatura por T  T0  bz, donde T0 es la temperatura a nivel del mar, la cual se puede tomar como 288.15 K, y b  0.0065 K/m. La aceleración gravitacional también cambia con la altitud como g(z)  g0/(1  z/6 370 320)2 donde g0  9.807 m/s2 y z es la altura sobre el nivel del mar en m. Obtenga una relación para la variación de la presión en la troposfera a) ignorando y b) considerando la variación de g con la altitud. 3-146 La variación de la presión con la densidad en una capa gruesa de gas se da por P  Crn, donde C y n son constantes. Note que el cambio de la presión de uno a otro lado de una capa diferencial de fluido de espesor dz en la dirección vertical se da como dP  rg dz, obtenga una relación para la presión como función de la elevación z. Tome la presión y la densidad en z  0 como P0 y r0, respectivamente. 3-147 Los transductores de presión son de uso común para medir la presión cuando se generan señales analógicas por lo general en el rango de 4 mA hasta 20 mA, o 0 V-cd hasta 10 V-cd, como respuesta a la presión aplicada. Se puede usar el sistema cuyo esquema se muestra en la figura P3-147, para calibrar los transductores de presión. Se llena un recipiente rígido con aire presurizado y se mide la presión mediante el manómetro agregado. Se usa una válvula para regular la presión en el recipiente. Se miden simultáneamente la presión y la señal eléctrica para diversos ajustes y se hace una tabla con los resultados. Para el juego de mediciones dado, obtenga la curva de calibración en la forma de P  aI  b, donde a y b son constantes y calcule la presión que corresponde a una señal de 10 mA. h, mm I, mA

28.0 4.21

181.5 5.78

297.8 6.97

413.1 8.15

765.9 11.76

3-148 Un sistema se equipa con dos manómetros de carátula y uno de tubo en U, como se muestra en la figura P3-148. Para h  2 cm, determine la diferencia de presión P  P2  P1.

Fluido manométrico GE = 2.15

FIGURA P3-148

3-149 Un oleoducto y un tanque de aire rígido de 1.3 m3 están interconectados por un manómetro, como se muestra en la Fig. P3-149. Si el tanque contiene 15 kg de aire a 80°C, determine a) la presión absoluta en la tubería y b) el cambio en h cuando la temperatura en el tanque desciende hasta 20°C. Suponga que la presión en la tubería de aceite permanece constante y que el volumen de aire en el manómetro es despreciable con relación al volumen del tanque.

h, mm 1 027 1 149 1 362 1 458 1 536 I, mA 14.43 15.68 17.86 18.84 19.64

FIGURA P3-149

3-150 Se puede determinar la densidad de un cuerpo flotante con amarrarle pesos a éste hasta que él y los pesos se sumerjan por completo y, después, pesarlos por separado en el aire. Considere un tronco de madera que pesa 1 540 N en el aire. Si necesita 34 kg de plomo (r  11,300 kg/m3) para hundirse por completo junto con el plomo, determine la densidad promedio del tronco. Respuesta: 835 kg/m3 3-151

FIGURA P3-147

Una compuerta rectangular de 280 kg y 6 m de ancho, que se muestra en la figura P3-151, está

128 PRESIÓN Y ESTÁTICA DE FLUIDOS

articulada en B y se apoya contra el piso en A, formando un ángulo de 45° con la horizontal. La compuerta se va a abrir por su borde inferior por medio de la aplicación de una fuerza normal en su centro. Determine la fuerza mínima F necesaria para abrir la compuerta. Respuesta: 626 kN

3-156 Un domo hemisférico de 50 ton y 6 m de diámetro colocado sobre una superficie horizontal está lleno con agua, como se muestra en la figura P3-156. Alguien afirma que puede levantar este domo aplicando la ley de Pascal, con sujetar un tubo largo en la parte superior y llenarlo con agua. Determine la altura de agua en el tubo necesaria para levantar el domo. Descarte el peso del tubo y del agua en él. Respuesta: 0.77 m

FIGURA P3-151 3-152 Repita el problema 3-151 con una altura del agua de 1.2 m por arriba de la articulación en B. 3-153 Una compuerta rectangular de 3 m de alto y 6 m de ancho está articulada en el borde superior en A y está restringida mediante un reborde en B. Determine la fuerza hidrostática ejercida sobre la compuerta por el agua con 5 m de altura y la ubicación del centro de presión.

FIGURA P3-156 3-157 El agua en un depósito de 25 m de profundidad se mantiene en el interior por medio de un muro de 150 m de ancho cuya sección transversal es un triángulo equilátero, como se muestra en la figura P3-157. Determine a) la fuerza total (hidrostática  atmosférica) que actúa sobre la superficie interior del muro y su línea de acción y b) la magnitud de la componente horizontal de esta fuerza. Tome Patm  100 kPa.

FIGURA P3-153 FIGURA P3-157 3-154 Repita el problema 3-153 para una altura total del agua de 2 m. 3-155I Se construirá un túnel semicircular de 40 ft de diámetro debajo de un lago de 150 ft de profundidad y 800 ft de largo, como se muestra en la figura P3-155I. Determine la fuerza hidrostática total que actúa sobre el techo del túnel.

3-158 Un tubo en U contiene agua en la rama derecha y otro líquido en la izquierda. Se observa que cuando el tubo gira a 50

18 cm Túnel 40 pies

FIGURA P3-155I

FIGURA P3-158

129 CAPÍTULO 3

rpm alrededor de un eje que está a 15 cm de la rama derecha y a 5 de la izquierda, los niveles del líquido en las dos ramas se vuelven iguales. Determine la densidad del fluido en la rama izquierda. 3-159 Un cilindro vertical de 1 m de diámetro y 2 m de alto está lleno con gasolina cuya densidad es 740 kg/m3. Ahora se hace girar el tanque alrededor de su eje vertical a razón de 90 rpm, mientras está siendo acelerado hacia arriba a 5 m/s2. Determine a) la diferencia entre las presiones en los centros de las superficies del fondo y superior y b) la diferencia entre las presiones en el centro y el borde de la superficie del fondo.

3-162 Un globo elástico de aire con un diámetro de 30 cm se sujeta a la base de un recipiente parcialmente lleno con agua a 4°C, como se muestra en la figura P3-162. Si la presión del aire arriba del agua se incrementa de manera gradual de 100 kPa hasta 1.6 MPa, ¿cambiará la fuerza sobre el cable? Si es así, ¿cuál es el porcentaje de cambio en la fuerza? Suponga que la presión sobre la superficie libre y el diámetro del globo están relacionados por P  CDn, en donde C es una constante y n  2. El peso del globo y del aire en él es despreciable. Respuesta: 98.4 por ciento

FIGURA P3-162 FIGURA P3-159

3-160 Un tanque de 5 m de largo y 4 m de alto contiene agua hasta una profundidad de 2.5 m, cuando no está en movimiento y está abierto a la atmósfera a través de un desfogue en medio. Ahora se acelera el tanque hacia la derecha sobre una superficie horizontal, a 2 m/s2. Determine la presión máxima en el tanque con relación a la atmosférica. Respuesta: 29.5 kPa

3-163

Vuelva a considerar el problema 3-162. Use el software de EES (o cualquier otro programa de este tipo) e investigue el efecto de la presión del aire que está arriba del agua sobre la fuerza en el cable. Suponga que esta presión varía desde 0.5 MPa hasta 15 MPa. Trace la gráfica de la fuerza en el cable contra la presión del aire. 3-164 La densidad promedio de los témpanos es alrededor de 917 kg/m3. a) Determine el porcentaje del volumen total de un témpano sumergido en agua de mar de densidad 1 042 kg/m3. b) Aun cuando los témpanos están sumergidos en su mayor parte, se observa que se vuelcan. Explique cómo puede suceder esto. (Sugerencia: Considere la temperatura de los témpanos y del agua de mar.)

Problemas de diseño y ensayo

FIGURA P3-160

3-161

Vuelva a considerar el problema 3-160. Use el software de EES (o cualquier otro programa de este tipo) e investigue el efecto de la aceleración sobre la pendiente de la superficie libre del agua en el tanque. Suponga que la aceleración varía desde 0 m/s2 hasta 15 m/s2 en incrementos de 1 m/s2. Haga una tabla y trace la gráfica de sus resultados.

3-165 Se diseñarán zapatos para permitir que gente hasta de 80 kg, sean capaces de caminar sobre la superficie de agua dulce o de mar. Los zapatos se fabricarán de plástico soplado con la forma de una esfera, de una pelota de futbol (americano) o una rebanada de pan francés. Determine el diámetro equivalente de cada zapato y haga un comentario acerca de las formas propuestas desde el punto de vista de la estabilidad. ¿Cuál es su valoración de la posibilidad de colocar en el mercado estos zapatos? 3-166 Se debe determinar el volumen de una roca sin usar algún aparato de medición del volumen. Explique cómo podría hacerlo con una balanza impermeable de resorte.

130 PRESIÓN Y ESTÁTICA DE FLUIDOS

3-167 La densidad del acero inoxidable es alrededor de 8 000 kg/m3 (ocho veces más denso que el agua), pero una hoja de afeitar puede flotar en el agua, incluso con algo de peso añadido. El agua está a 20°C. La hoja de afeitar que se muestra en la fotografía mide 4.3 cm de longitud y 2.2 cm de anchura. Para simplificar, el área central recortada de la hoja se ha cubierto con cinta, de modo que sólo los filos externos contribuyen a los efectos de la tensión superficial. Como la hoja de afeitar tiene esquinas afiladas, el ángulo de contacto no importa. Más bien, el caso límite es cuando el agua toca la hoja verticalmente, como en el esquema (el ángulo efectivo de contacto a lo largo del filo de la hoja es de 180°). a) Considerando sólo la tensión superficial, estime (en gramos) cuánta masa total (hoja de afeitar  pesos adicionales) se puede soportar. b) Refine su análisis considerando que la hoja de afeitar empuja el agua hacia abajo, por lo cual también hay presentes efectos de la presión hidrostática. Pista: Usted también necesitará saber que, debido a la cur2ss vatura del menisco, la profundidad máxima es h  . B rg

Pesos adicionales h

Parriba = Patm

f=0 Pabajo

FIGURA P3-167a)

FIGURA P3-167b)

Fotografía de John M. Cimbala.

CAPÍTULO

4

CINEMÁTICA DE FLUIDOS a cinemática de fluidos trata la descripción del movimiento de los fluidos sin necesariamente considerar las fuerzas y momentos que lo causan. En este capítulo se introducen varios conceptos cinemáticos relacionados con los fluidos en movimiento. Se estudia la derivada material (sustancial) y su papel en la transformación de las ecuaciones de conservación con base en la descripción lagrangiana del flujo de fluidos (siguiendo una partícula de fluido) a las ecuaciones con base en la descripción euleriana del flujo de fluidos (que pertenece a un campo de flujo). En seguida, se comentan diversas maneras de visualizar los campos de fluidos —líneas de corriente, líneas de traza, líneas de trayectoria, líneas fluidas, y los métodos ópticos de estrioscopia y fotografía por sombras— y se describen tres maneras de trazar gráficas a partir de los datos del flujo: gráficas de perfiles, gráficas vectoriales y gráficas de contornos. Se explican las cuatro propiedades cinemáticas fundamentales del movimiento y deformación de los fluidos: razón de traslación, razón de rotación, razón de deformación lineal y razón de deformación por esfuerzo cortante. También se comentan los conceptos de vorticidad, rotacionalidad e irrotacionalidad en los flujos de fluidos. Por último, se estudia el teorema del transporte de Reynolds (RTT, por sus siglas en inglés), y se destaca su papel en la transformación de las ecuaciones del movimiento, de las que describen un sistema, o masa de control, hacia las que corresponden a un flujo de fluido hacia dentro y hacia fuera de un volumen de control. Se explica la analogía entre la derivada material para los elementos infinitesimales de fluido y el RTT para los volúmenes de control finitos.

L

OBJETIVOS Cuando el estudiante termine de leer este capítulo debe ser capaz de: ■

■

■

■

■

Entender el papel de la derivada material en la transformación entre las descripciones lagrangiana y euleriana Distinguir entre los diversos tipos de visualizaciones del flujo y los métodos para trazar gráficas de las características de un flujo de fluido Tener una percepción de las numerosas maneras en cómo se desplazan y se deforman los fluidos Distinguir entre regiones rotacionales e irrotacionales de flujo con base en las propiedades del flujo de vorticidad Entender la utilidad del teorema del transporte de Reynolds

Imagen satelital de un huracán cerca de la costa de Florida. Las pequeñas gotas de agua se mueven con el aire, lo cual permite visualizar el movimiento en remolino en sentido contrario al de las manecillas del reloj. Sin embargo, la mayor porción del huracán realmente es irrotacional, mientras que el núcleo (el ojo del huracán) es rotacional. ©Getty

131

132 CINEMÁTICA DE FLUIDOS

4-1

FIGURA 4-1 Con un número pequeño de objetos, como las bolas sobre una mesa de billar, se puede seguir la trayectoria de cada una de ellas por separado.

→

VA →

VB →

A

VC

→

xA B →

xB

C →

xC

FIGURA 4-2 En la descripción lagrangiana, debe seguirse el rastro de la posición y de la velocidad de cada partícula.

■

DESCRIPCIONES LAGRANGIANA Y EULERIANA

La materia llamada cinemática se interesa en el estudio del movimiento. En la mecánica de fluidos, la cinemática de fluidos es el estudio que explica cómo fluyen los fluidos y cómo describir su movimiento. Desde un punto de vista fundamental existen dos maneras de describir el movimiento. El primer método y más conocido es el que se aprendió en las clases de física de nivel preparatoria: seguir la trayectoria de los objetos por separado. Por ejemplo, todos hemos visto experimentos de física en los que una bola sobre una mesa de billar o un disco en una mesa de hockey sobre un colchón de aire choca con otra bola o contra la pared (Fig. 4-1). Se usan las leyes de Newton para describir el movimiento de objetos de ese tipo y se puede predecir con exactitud a dónde van y cómo se intercambia la cantidad de movimiento y la energía cinética de un objeto a otro. La cinemática de esos experimentos incluye → → , x , seguir el rastro del vector de posición de cada objeto, x A B . . . , y del vector de → → velocidad de cada uno de ellos, V A, V B, . . . , como funciones del tiempo (Fig. 4-2). Cuando se aplica este método a un fluido en movimiento, se le llama descripción lagrangiana del movimiento de fluido, en honor al matemático italiano Joseph Louis Lagrange (1736-1813). El análisis lagrangiano es análogo al análisis de sistemas que se aprendió en la clase de termodinámica; es decir, se sigue una masa fija. La descripción lagrangiana exige rastrear la posición y la velocidad de cada porción individual del fluido, llamada partícula fluida, y considerarla como una porción con identidad fija. Como el lector puede imaginar, ¡este método de descripción del movimiento es mucho más difícil para los fluidos que para las bolas de billar! En primer lugar, no se pueden definir e identificar con facilidad las partículas de fluido conforme se desplazan en todas direcciones. En segundo lugar, un fluido es un continuum (desde un punto de vista macroscópico), de modo que las interacciones entre las partículas de fluido no son tan fáciles de describir, a diferencia de las interacciones entre objetos distintos, como las bolas de billar o los discos de hockey. Además, las partículas de fluido se deforman de manera continua a medida que se mueven en el flujo. Desde el punto de vista microscópico, un fluido está formado por miles de millones de moléculas que se golpean continuamente entre sí, como las bolas de billar; pero la tarea de seguir al menos un subconjunto de estas moléculas es bastante difícil, aun para las computadoras más rápidas y más grandes. Sin embargo, existen muchas aplicaciones prácticas de la descripción lagrangiana, como seguir el rastro de escalares pasivos en un flujo, en los cálculos de la dinámica de los gases rarificados referentes al reingreso de una nave espacial en la atmósfera terrestre y en el desarrollo de sistemas de visualización y medición del flujo basados en el rastreo de las partículas (como se estudia en la sección 4-2). Un método más común de descripción del flujo de fluidos es la descripción euleriana del movimiento de fluidos, nombrada así en honor al matemático suizo Leonhard Euler (1707-1783). En esta descripción del flujo de fluidos, se define un volumen finito, llamado dominio del flujo o volumen de control, a través del cual un fluido fluye hacia dentro y hacia fuera. En lugar de rastrear las partículas individuales de fluido, se definen variables de campo, funciones del espacio y el tiempo, dentro del volumen de control. Por ejemplo, el campo de presión es un campo de variable escalar; en caso general para un flujo tridimensional no-estacionario, en coordenadas cartesianas: Campo de presión:

P  P(x, y, z, t)

(4-1)

De manera semejante se define el campo de velocidad como un campo de variable vectorial: Campo de velocidad:

→

→

V  V (x, y, z, t)

(4-2)

133 CAPÍTULO 4

Del mismo modo, el campo de aceleración también es un campo de variable vectorial, Campo de aceleración:

→

→

a  a (x, y, z, t)

(4-3)

De manera colectiva, estas variables de campo (y otras) definen el campo de flujo. El campo de velocidad de →la →ecuación 4-2 se puede desarrollar en las → coordenadas cartesianas (x, y, z), (i , j , k ) como: →

→

→

Un campo bidimensional estacionario de velocidad

Se da un campo estacionario, incompresible y bidimensional de velocidad por: →

→

(x, y ,z)

V(x, y, z, t)

(4-4)

Se puede realizar un desarrollo semejante para el campo de aceleración de la ecuación 4-3. En la descripción euleriana, todas esas variables de campo se definen en cualquier ubicación (x, y, z) en el volumen de control y en cualquier instante t (Fig. 4-3). En la descripción euleriana en realidad no importa lo que sucede a las partículas de fluido por separado; en lugar de ello, se centra la atención en la presión, la velocidad, la aceleración, etcétera, de cualquiera que sea la partícula de fluido que llegue a estar en el lugar de interés en el momento de interés. La diferencia entre estas dos descripciones se aclara más cuando se imagina a una persona que se encuentra en una ribera midiendo sus propiedades. En el enfoque lagrangiano, lanza al río una sonda que se desplaza corriente abajo con el agua. En el euleriano, ancla la sonda en una posición fija en el agua. Aun cuando existen muchas ocasiones en las que la descripción lagrangiana resulta útil, con frecuencia la euleriana es más conveniente para las aplicaciones de la mecánica de fluidos. Además, en general, las mediciones experimentales se ajustan más a la descripción euleriana. Por ejemplo, en un túnel de viento, por lo general se colocan →las sondas de velocidad y de presión en una ubicación fija en el flujo, midiendo V (x, y, z, t) o P(x, y, z, t). No obstante, en tanto que las ecuaciones del movimiento en la descripción lagrangiana, siguiendo las partículas de fluido por separado, se conocen bien (por ejemplo, la segunda ley de Newton), las ecuaciones del movimiento del flujo de fluidos no se aprecian con facilidad en la descripción euleriana y deben deducirse con todo cuidado. Lo haremos en el marco del análisis (integral) del control de volumen mediante el teorema de transporte de Reynolds al final de este capítulo. Desarrollamos las ecuaciones diferenciales de movimiento en el capítulo 9.

→

P(x, y, z, t)

→

V  (u, v, w)  u(x, y, z, t) i  v(x, y, z, t) j  w(x, y, z, t)k

EJEMPLO 4-1

Volumen de control

→

V  (u, v)  (0.5  0.8x) i  (1.5  0.8y) j

(1)

en donde las coordenadas x y y se dan en metros y la magnitud de la velocidad está en m/s. Un punto de estancamiento se define como un punto en el campo de flujo en donde la velocidad es idénticamente cero. a) Determínese si existen puntos de estancamiento en este campo de flujo y, si es así, ¿en dónde? b) Trace un esquema de vectores de velocidad en varias ubicaciones en el dominio, entre x  2 m hasta 2 m y y  0 m hasta 5 m; describa cualitativamente el campo de flujo.

SOLUCIÓN Para el campo dado de velocidad, deben determinarse la (las) ubicación (ubicaciones) del punto (de los puntos) de estancamiento. Se deben trazar varios vectores de velocidad y describirse el campo de velocidad. Suposiciones 1 El flujo es estacionario e incompresible. 2 El flujo es bidimensional, lo que implica que no existe componente z de la velocidad y tampoco se tiene variación de u o v →con z. Análisis a) Dado que V es un→ vector, todos sus componentes deben ser iguales a cero para que el propio V sea cero. Con la aplicación de la ecuación 4-4 y con igualar la ecuación 1 a cero:

FIGURA 4-3 En la descripción euleriana se definen las variables de un campo, tal como el campo de presión y el campo de velocidad, en cualquier lugar y cualquier instante.

134 CINEMÁTICA DE FLUIDOS 10 m/s

Escala:

→

x  0.625 m

v  1.5  0.8y  0

→

y  1.875 m

Punto de estancamiento:

4

Sí. Existe un punto de estancamiento localizado en x  0.625 m, y  1.875 m. b) Las componentes x y y de la velocidad se calculan a partir de la ecuación 1 para varias localizaciones (x, y) en el rango especificado. Por ejemplo, en el punto (x  2 m, y  3 m), u  2.10 m/s y v  0.900 m/s. La magnitud de la velocidad (la rapidez) en ese punto es 2.28 m/s. En éste y en un arreglo de otros lugares, el vector velocidad se construye a partir de sus dos componentes, los resultados se muestran en la figura 4-4. El flujo se puede describir como flujo de punto de estancamiento, en el cual el flujo entra desde arriba y abajo y se dispersa hacia la derecha e izquierda en torno a una recta horizontal de simetría en y  1.875 m. El punto de estancamiento del inciso a) está indicado en la figura 4-4 mediante un círculo. Si se observa con atención la región sombreada de la figura 4-4, este campo de flujo modela un flujo convergente y en aceleración de la izquierda hacia la derecha. Este tipo de flujo se podría encontrar, por ejemplo, cerca de la toma sumergida de boca acampanada de una presa hidroeléctrica (Fig. 4-5). La parte útil del campo dado de velocidad puede concebirse como una aproximación de primer orden de la parte sombreada del campo físico de flujo de la figura 4-5. Discusión Se puede verificar con base en el material del capítulo 9 que este campo de flujo es físicamente válido porque satisface la ecuación diferencial de conservación de masa.

3 y

u  0.5  0.8x  0

5

2 1 0

–1 –3

–2

–1

0 x

1

2

3

FIGURA 4-4 Vectores de velocidad para el campo de velocidad del ejemplo 4-1. Se muestra la escala mediante la flecha superior y las curvas trazadas con líneas continuas en negro representan las formas aproximadas de algunas líneas de corriente, con base en los vectores de velocidad calculados. El punto de estancamiento está indicado por el círculo azul. La región sombreada representa una parte del campo de flujo que puede ser una aproximación del flujo hacia una toma (Fig. 4-5).

Región en la cual está modelado el campo de velocidad

Líneas de corriente

FIGURA 4-5 Campo de flujo cerca de la toma en forma de una boquilla acampanada de una presa hidroeléctrica; se puede usar una parte del campo de velocidad del ejemplo 4-1 como una aproximación de primer orden de este campo físico de flujo. La región sombreada corresponde a la región sombreada de la figura 4-4.

Campo de aceleraciones El lector debe recordar de su estudio de la termodinámica, las leyes fundamentales de conservación (como la conservación de la masa y la primera ley de la termodinámica) se expresan para un sistema de masa fija (también llamado sistema cerrado, o simplemente sistema). En los casos en donde el análisis de un volumen de control (también conocido como sistema abierto) es más conveniente que el análisis de sistemas, es necesario volver a escribir estas leyes fundamentales en formas aplicables al volumen de control. El mismo principio se aplica aquí. De hecho, existe una analogía directa entre los sistemas en comparación con los volúmenes de control, en la termodinámica; y las descripciones lagrangianas en comparación con las eulerianas, en la dinámica de fluidos. Las ecuaciones del movimiento para el flujo de fluidos (como la segunda ley de Newton) se escriben para una partícula de fluido, a la cual se le da el nombre de partícula material. Si fuera a seguirse una partícula particular de fluido conforme se desplaza en todas direcciones en el flujo, se estaría empleando la descripción lagrangiana y las ecuaciones del movimiento serían directamente aplicables. Por ejemplo, se definiría la ubicación de la partícula en el espacio en términos de un vector de posición material (xpartícula(t), ypartícula(t), zpartícula(t)). Sin embargo, se necesita algo de manipulación matemática para convertir las ecuaciones del movimiento en formas aplicables para la descripción euleriana. Por ejemplo, considérese la segunda ley de Newton aplicada a la partícula mencionada: →

Segunda ley de Newton:

→

Fpartícula  mpartícula a partícula

(4-5)

→

donde F partícula es la fuerza neta que actúa sobre la partícula de fluido, mpartícula es su masa y a→partícula es su aceleración (Fig. 4-6). Por definición, la aceleración de la partícula de fluido es la derivada respecto al tiempo de la velocidad de la misma: →

Aceleración de una partícula de fluido:

→

a partícula 

dVpartícula dt

(4-6)

135 CAPÍTULO 4

Sin embargo, en cualquier instante t, la velocidad de la partícula es igual al valor local del campo de velocidad en la ubicación (xpartícula(t), ypartícula(t), la partícula→ de fluido se desplaza zpartícula(t)) de la misma, ya que, por definición, → con el propio fluido. En otras palabras, V partícula(t) V (xpartícula(t), ypartícula(t), zpartícula(t), t). Por lo tanto, para tomar la derivada respecto del tiempo en la ecuación 4-6, debe aplicarse la regla de la cadena, ya que la variable dependiente → (V ) es función de cuatro variables independientes, (xpartícula, ypartícula, zpartícula y t), →

→

a partícula 

dVpartícula dt

→





→

→

→

(4-7)

En la ecuación 4-7, es el operador de derivada parcial y d es el operador de derivada total. Considérese el segundo término de la parte derecha de la ecuación 4-7. Puesto que la aceleración está definida como la que corresponde a una partícula de fluido (descripción lagrangiana), la razón de cambio de la posición x de la partícula respecto al tiempo es dxpartícula/dt  u (Fig. 4-7), en donde u es la componente x del vector de velocidad definido por la ecuación 4-4. De manera análoga, dypartícula/dt  v y dzpartícula/dt  w. Además, en cualquier instante que se esté considerando, el vector de posición material (xpartícula, ypartícula, zpartícula) de la partícula de fluido en el marco de referencia lagrangiano es igual al vector de posición (x, y, z) en el marco euleriano. La ecuación 4-7 queda: →

→

→

→

dV V

V

V

V a partícula(x, y, z, t)   u v w dt

t

x

y

z

apartícula

→

→ → → dV V a(x, y, z, t)    (V  §)V dt

t →

(4-9)

→

donde  es el operador gradiente u operador nabla (también llamado en inglés del), un operador vectorial que se define en coordenadas cartesianas como: → → → →

bi j k § a

x, y, z

x

y

z

(4-10)

Entonces, en coordenadas cartesianas, las componentes del vector de aceleración son:

u

u

u

u u v w

t

x

y

z

ay 

v

v

v

v u v w

t

x

y

z

az 

w

w

w

w u v w

t

x

y

z

(4-11)

→

Fpartícula

FIGURA 4-6 Segunda ley de Newton aplicada a una partícula de fluido; el vector de aceleración (flecha gris oscuro) está en la misma dirección que la del vector de fuerza (flecha negra), pero el vector de velocidad (flecha gris claro) puede actuar en una dirección diferente.

(xpartícula + dxpartícula, ypartícula + dypartícula) Partícula de fluido en el instante t + dt dypartícula

Aceleración de una partícula de fluido expresada como una variable de campo:

ax 

(xpartícula, ypartícula, zpartícula)

(4-8)

donde también se usó (obvio) de que dt/dt  1. Por último, en cualquier instante t, el campo de aceleración de la ecuación 4-3 debe ser igual a la aceleración de la partícula de fluido que llegue a ocupar la ubicación (x, y, z) en ese instante t, ya que, por definición, la partícula de fluido se está acelerando con el flujo del fluido. De donde, se puede reemplazar a→partícula con a→(x, y, z, t) en las ecuaciones 4-7 y 4-8 para realizar la transformación del marco de referencia lagrangiano al euleriano. En forma vectorial, la ecuación 4-8 se puede escribir como: →

→

→

→

→

Coordenadas cartesianas:

→

Vpartícula V

mpartícula

V dxpartícula

V dy partícula

V dz partícula

V dt   

t dt xpartícula dt

y partícula dt

z partícula dt

Gradiente u operador nabla:

Partícula de fluido en el instante t + dt

→

dV dV(xpartícula, y partícula, z partícula, t)  dt dt

→

Partícula de fluido en el instante t

dxpartícula Partícula de fluido en el instante t

(xpartícula, ypartícula)

FIGURA 4-7 Cuando se sigue una partícula de fluido, la componente x de la velocidad, u, se define como dxpartícula/dt. De manera análoga, v  dypartícula/dt y w  dzpartícula/dt. Por sencillez, aquí se muestra el movimiento sólo en dos dimensiones.

136 CINEMÁTICA DE FLUIDOS →

FIGURA 4-8 El flujo de agua por la boquilla de una manguera de jardín ilustra que las partículas de un fluido se pueden acelerar, inclusive en un flujo estacionario. En este ejemplo, la velocidad de salida del agua es mucho más elevada que la del agua en la manguera, lo que implica que las partículas del fluido se han acelerado, aun cuando el flujo sea estacionario.

El primer término de la ecuación 4-9, V / t, se llama aceleración→ local y es → → diferente de cero sólo para los flujos no estacionarios. El término, (V · )V , recibe el nombre de aceleración convectiva (algunas veces la aceleración advectiva); este término puede ser diferente de cero inclusive para los flujos estacionarios. Explica el efecto de la partícula de fluido que se desplaza (en advección o en convección) hacia una nueva ubicación en el flujo, en donde el campo de velocidad es diferente. Por ejemplo, considere el flujo estacionario de agua por la boquilla de una manguera de jardín (Fig. 4-8). En el marco de referencia euleriano, se define como estacionario cuando las propiedades en cualquier punto en el campo de flujo no cambian respecto al tiempo. La velocidad a la salida de la boquilla es mayor de la que se tiene en la entrada de ella, y resulta claro que las partículas se aceleran, aun cuando el flujo es estacionario. La aceleración es diferente de cero por la presencia de los términos de aceleración convectiva en la ecuación 4-9. Nótese que aun cuando el flujo es estacionario desde el punto de vista de un observador en el marco de referencia euleriano, no lo es desde el marco de referencia lagrangiano en movimiento con una partícula de fluido que entra a la boquilla y se acelera a medida que pasa por ella.

EJEMPLO 4-2

Aceleración de una partícula de fluido en una boquilla

Para lavar su automóvil Nadia usa una boquilla similar a la que se ilustra en la figura 4-8. La boquilla tiene 3.90 in (0.325 ft) de largo, con un diámetro de entrada de 0.420 in (0.0350 ft) y uno de salida de 0.182 in (véase la figura 4-9). El . gasto volumétrico por la manguera de jardín (y a través de la boquilla) es V  0.841 gal/min (0.00187 ft3/s), y el flujo es estacionario. Estímese la magnitud de la aceleración de una partícula de fluido que pasa a lo largo de la línea central de la boquilla.

x usalida Dsalida

Dentrada uentrada

Δx

SOLUCIÓN Se debe estimar la aceleración siguiendo a una partícula de fluido que se desplaza a lo largo de la línea central de una boquilla. Suposiciones 1 El flujo es estacionario e incompresible. 2 La dirección x se toma a lo largo de la línea central de la boquilla. 3 Por simetría, v  w  0 a lo largo de la línea central, pero u aumenta a lo largo de la boquilla. Análisis El flujo es estacionario, de modo que el lector puede sentirse tentado a decir que la aceleración es cero. Sin embargo, aun cuando la aceleración local →

V / t es idénticamente cero para este campo de flujo estacionario, la aceleración → → → convectiva (V · )V no es cero. Primero calcule la componente x promedio de la velocidad en la entrada y la salida de la boquilla, dividiendo el gasto volumétrico entre el área de la sección transversal: Velocidad de entrada: u entrada 

FIGURA 4-9 Flujo del agua por la boquilla del ejemplo 4-2.

# V A entrada



# 4(0.00187 ft3/s) 4V   1.95 ft/s 2 ␲(0.0350 ft)2 ␲D entrada

De manera análoga, la velocidad promedio de salida es usalida  10.4 ft/s. Ahora se calculará la aceleración de dos maneras con resultados equivalentes. Primero se calcula un simple valor promedio de la aceleración en la dirección x, con base en el cambio en la velocidad dividido entre una estimación del tiempo de residencia de una partícula en la boquilla, t  x/uprom (Fig. 4-10). Por la definición fundamental de aceleración como la razón de cambio de la velocidad,

Método A:

ax 

u 2salida  u 2entrada u salida  u entrada u u salida  u entrada    t x/u promedio 2 x/(u salida  u entrada ) 2 x

137 CAPÍTULO 4 x

En el segundo método se hace uso de la ecuación para las componentes del campo de aceleración, en coordenadas cartesianas, ecuación 4-11:

Método B:

Partícula de fluido en el instante t + Δt Partícula de fluido en el instante t

Aquí se ve que sólo un término convectivo es diferente de cero. Se obtiene una aproximación de la velocidad promedio a través de la boquilla como el promedio de las velocidades de entrada y de salida y se usa una aproximación por diferencia finita de primer orden (Fig. 4-11) para el valor promedio de la derivada u/ x a lo largo de la línea central de la propia boquilla:

Δx

FIGURA 4-10 El tiempo de residencia t se define como el tiempo que tarda una partícula de fluido en pasar por la boquilla, desde la entrada hasta la salida (distancia x).

El resultado del método B es idéntico al del A. La sustitución de los valores dados conduce a:

Aceleración axial:

q

Discusión ¡Las partículas del fluido se aceleran a través de la boquilla casi cinco veces la aceleración de la gravedad (casi cinco g)! Este sencillo ejemplo ilustra con claridad que la aceleración de una partícula de fluido puede ser diferente de cero, inclusive en el flujo estacionario. Note que, en realidad, la aceleración es una función de punto, en tanto que se ha estimado una simple aceleración promedio a lo largo de toda la boquilla.

Δq dq ≅ Δq dx Δx Δx x

Derivada material Al operador de derivada total d/dt de la ecuación 4-9 se le da un nombre especial, el de derivada material; y se le asigna una notación especial, D/Dt, para hacer resaltar que se forma cuando sigue una partícula de fluido a medida que se mueve por el campo de flujo (Fig. 4-12). Otros nombres para derivada material incluyen total, de partícula, lagrangiana, euleriana y sustancial. → → D d

   (V  § ) Dt dt t

Derivada material:

FIGURA 4-11 Una aproximación por diferencia finita de primer orden para la derivada dq/dx es sencillamente el cambio en la variable dependiente (q) dividido entre el cambio en la variable independiente (x).

(4-12) t + 3 dt

Cuando se aplica la derivada material de la ecuación 4-12 al campo de velocidad, el resultado es el campo de aceleración, según se expresa por la ecuación 4-9, a la cual, en consecuencia, a veces se le da el nombre de aceleración material. →

Aceleración material:

→

a(x, y, z, t) 

→

t + dt t

→

→ → → DV dV V    (V  § )V Dt dt

t

(4-13)

La ecuación 4-12 se puede aplicar también a otras propiedades de los fluidos, además de la velocidad, tanto escalares como vectoriales. Por ejemplo, la derivada material de la presión se puede escribir como: Derivada material de la presión:

t + 2 dt

→ → DP dP P    (V  §)P Dt dt

t

(4-14)

FIGURA 4-12 La derivada material D/Dt se define cuando sigue una partícula de fluido conforme se desplaza por todo el campo de flujo. En esta ilustración, la partícula de fluido se está acelerando hacia la derecha a medida que se desplaza hacia arriba y hacia la derecha.

138 CINEMÁTICA DE FLUIDOS

D Dt

=

t

+

Local

Derivada material

La ecuación 4-14 representa la razón de cambio respecto al tiempo de la presión, siguiendo una partícula de fluido a medida que se desplaza por el flujo y contiene tanto componentes locales (no estacionarias) como convectivas (Fig. 4-13).

(V→  →) Convectiva

EJEMPLO 4-3 FIGURA 4-13 La derivada material D/Dt se compone de una parte local o no-estacionaria y una parte convectiva.

Aceleración material de un campo estacionario de velocidad

Considere el campo bidimensional estacionario e incompresible de velocidad del ejemplo 4-1. a) Calcule la aceleración material en el punto (x  2 m, y  3 m). b) Trace un esquema de los vectores de aceleración material en el mismo arreglo de valores x y y como en el ejemplo 4-1.

SOLUCIÓN Para el campo de velocidad dado, debe calcularse el vector de aceleración material en un punto particular y trazar la gráfica en un arreglo de ubicaciones en campo de flujo. Suposiciones 1 El flujo es estacionario e incompresible. 2 El flujo es bidimensional, lo que implica que no hay componente z de la velocidad y no hay variación de u o v con z. Análisis a) Se usa el campo de velocidad de la ecuación 1 del ejemplo 4-1 y la ecuación para las componentes de la aceleración material en coordenadas cartesianas (Ec. 4-11); se escriben expresiones para las dos componentes diferentes de cero del vector aceleración:

u

x

v

u

y

w

⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭

u

u

z

 0  (0.5  0.8x)(0.8)  (1.5  0.8y)(0)  0  (0.4  0.64x) m/s2

10 m/s2

y

ay  4

v

t



u

v

x

v

v

y

w

⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭

5

v

z

 0  (0.5  0.8x)(0)  (1.5  0.8y)(0.8)  0  (1.2  0.64y) m/s2

3 y



⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭

Escala:

u

t

⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭

ax 

2 1 0

–1 –3

–2

–1

0 x

1

2

3

FIGURA 4-14 Vectores de aceleración para el campo de velocidad de los ejemplos 4-1 y 4-3. La escala se muestra por la flecha superior y las curvas trazadas con línea continua en negro representan las formas aproximadas de algunas líneas de corriente, basadas en los vectores de velocidad calculados (véase la figura 4-4). El punto de estancamiento está indicado por el círculo gris.

En el punto (x  2 m, y  3 m), ax  1.68 m/s2 y ay  0.720 m/s2. b) Las ecuaciones del inciso a) se aplican a un arreglo de valores x y y en el dominio del flujo, dentro de los límites dados, y en la figura 4-14 se tienen las gráficas de los vectores de aceleración. Discusión El campo de aceleración es diferente de cero, aun cuando el flujo es estacionario. Arriba del punto de estancamiento (arriba de y  1.875 m), los vectores de aceleración trazados en la figura 4-14 apuntan hacia arriba y aumentan en magnitud cuando se alejan de ese punto. A la derecha del punto de estancamiento (a la derecha de x  0.625 m), los vectores de aceleración apuntan hacia la derecha y aumentan una vez más en magnitud cuando se alejan del punto de estacionamiento. Esto concuerda de manera cualitativa con los vectores de velocidad de la figura 4-4 y las líneas de corriente trazadas en la figura 4-14; es decir, en la parte superior derecha del campo de flujo, las partículas de fluido aceleran en la dirección superior derecha y, por lo tanto, se tuercen en contrasentido al movimiento de las manecillas del reloj, debido a la aceleración centrípeta hacia la derecha superior. El flujo debajo de y  1.875 m es una imagen especular del que se desarrolla arriba de esta recta de simetría, y el flujo a la izquierda de x  0.625 m es una imagen especular de aquel que se desarrolla a la derecha de esta recta de simetría.

139 CAPÍTULO 4

4-2

■

PATRONES DE FLUJO Y VISUALIZACIÓN DEL FLUJO

El estudio cuantitativo de la dinámica de fluidos exige matemáticas avanzadas; sin embargo, se puede aprender mucho con la visualización del flujo: el examen visual de las características del campo de flujo. La visualización del flujo es útil no sólo en los experimentos físicos (Fig. 4-15), sino también en las soluciones numéricas como la dinámica computacional de fluidos (computational fluid dynamics, por sus siglas en inglés, CFD). De hecho, precisamente lo primero que un ingeniero hace cuando utiliza CFD, después de obtener una solución numérica, es simular alguna forma de visualización del flujo, de modo que pueda ver la “imagen completa”, en vez de sólo una lista de números y datos cuantitativos. ¿Por qué? Porque la mente humana está diseñada para procesar con rapidez una cantidad increíble de información visual; como se dice: una imagen vale más que mil palabras. Existen numerosos tipos de patrones de flujo que se pueden visualizar, físicamente (experimentalmente) y/o en forma computacional.

FIGURA 4-15 Pelota de béisbol girando. El finado F. N. M. Brown dedicó muchos años para desarrollar y usar visualización mediante humo en túneles de viento en la Universidad de Notre Dame. En la fotografía, la velocidad del flujo es alrededor de 77 m/s y la pelota se hace girar a 630 rpm. Fotografía cortesía de T. J. Mueller.

Líneas de corriente y tubos de corriente Una línea de corriente es una curva que, en todas partes, es tangente al vector de velocidad local instantánea.

Las líneas de corriente son útiles como indicadores de la dirección instantánea del movimiento del fluido en todo el campo de flujo. Por ejemplo, las regiones de recirculación del flujo y de separación de un fluido de una pared sólida se identifican con facilidad por el patrón de líneas de corriente. Las líneas de corriente no se pueden observar directamente de manera experimental, excepto en los campos de flujo estacionario, en los cuales coinciden con las líneas de trayectoria y las líneas de traza, que se estudian a continuación. Sin embargo, desde el punto de vista matemático, se puede escribir una expresión sencilla para una línea de corriente con base en su definición. → → → → Considere una longitud infinitesimal de arco, dr  dxi  dyj  dzk a lo→lar→ go→ de una línea→de corriente; dr debe ser paralelo al vector velocidad local V  → ui  vj  wk por definición de línea de corriente. Mediante sencillos argumentos geométricos, con el uso de triángulos semejantes, se sabe que las compo→ → nentes de dr deben ser proporcionales a las de V (Fig. 4-16). De donde: Ecuación para una línea de corriente:

dr dx dy dz    u w v V

→

(4-15) Punto (x + dx, y + dy) →

donde dr es la magnitud de dr y V es la velocidad, la magnitud de V . En la figura 4-16, la ecuación 4-15 se ilustra en dos dimensiones para mayor sencillez. Para un campo conocido de velocidad, se puede integrar la ecuación 4-15 con el fin de obtener ecuaciones para las líneas de corriente. En dos dimensiones, (x, y), (u, v), se obtiene la ecuación diferencial siguiente: Línea de corriente en el plano:

dy v a b  u dx a lo largo de una línea de corriente

→

V

→

Línea de corriente

dr

dx y

v

dy u

Punto (x, y) x

(4-16)

En algunos casos sencillos, la ecuación 4-16 se puede resolver en forma analítica; en el caso general, debe resolverse en forma numérica. En cualquiera de los dos casos aparece una constante arbitraria de integración y la familia de curvas que satisfacen la ecuación 4-16 representa las líneas de corriente del campo de flujo.

FIGURA 4-16 Para el flujo bidimensional en el plano xy, el vector de la longitud de arco → dr  (dx, dy) a lo largo de una línea de corriente es tangente en todo punto al vector de velocidad instantánea → local V  (u, v).

140 CINEMÁTICA DE FLUIDOS 5

EJEMPLO 4-4

4

Para el campo bidimensional estacionario e incompresible de velocidad del ejemplo 4-1, trace la gráfica de varias líneas de corriente en la mitad derecha del flujo (x  0) y haga una comparación con los vectores de velocidad trazados en la figura 4-4.

3 y

Líneas de corriente en el plano xy ; una solución analítica

2 1 0

–1 0

1

2

3

4

5

x

FIGURA 4-17 Líneas de corriente (curvas de línea continua en negro) para el campo de velocidad del ejemplo 4-4; en la figura 4-4 están sobrepuestos los vectores de velocidad (flechas grises) para fines de comparación.

SOLUCIÓN Se debe generar una expresión analítica para las líneas de corriente y trazar su gráfica en el cuadrante superior derecho. Suposiciones 1 El flujo es estacionario e incompresible. 2 El flujo es bidimensional, lo que implica que no existe componente z de la velocidad y no se tiene variación de u o v con z. Análisis En este caso, se puede aplicar la ecuación 4-16; de donde, a lo largo de una línea de corriente: dy 1.5  0.8y v   u dx 0.5  0.8x Esta ecuación diferencial se resuelve por separación de variables:

dy dx  1.5  0.8y 0.5  0.8x

→

 1.5  0.8y   0.5  0.8x dy

dx

Después de algo de álgebra (la cual se deja al lector), se despeja y como función de x, a lo largo de una línea de corriente:

y

C  1.875 0.8(0.5  0.8x)

donde C es una constante de integración a la cual se le puede dar varios valores para trazar la gráfica de las líneas de corriente. En la figura 4-17 se muestran varias de estas líneas del campo de flujo. Discusión Se sobrepusieron los vectores de velocidad de la figura 4-4, sobre las líneas de corriente de la figura 4-17; la concordancia es excelente, en el sentido de que los vectores de velocidad señalan, en todo punto, tangentes en las líneas. Nótese que la magnitud de la velocidad no se puede determinar directamente a partir sólo de las líneas de corriente.

Líneas de corriente

Tubo de corriente

FIGURA 4-18 Un tubo de corriente consta de un haz de líneas de corriente.

Un tubo de corriente consta de un haz de líneas de corriente (Fig. 4-18), de forma muy semejante en la que un cable de comunicaciones consta de un haz de cables de fibras ópticas. Dado que las líneas de corriente son en todo punto paralelas a la velocidad local, por definición un fluido no puede cruzar una línea de corriente. Por extensión, el fluido que se encuentra dentro de un tubo de corriente debe permanecer allí y no puede cruzar la frontera de éste. Se debe tener presente que tanto las líneas de corriente como los tubos de corriente son cantidades instantáneas, definidas en un instante en particular según el campo de velocidad en ese instante. En un flujo no estacionario, el patrón de las líneas de corriente puede cambiar de manera significativa con el tiempo. Pero, en cualquier instante, el gasto de masa que pasa a través de cualquier sección transversal de un tubo de corriente debe seguir siendo el mismo. Por ejemplo, en una parte convergente de un campo de flujo incompresible, el diámetro del tubo de corriente debe disminuir conforme la velocidad aumenta, a fin de que la masa se conserve (Fig. 4-19a). Del mismo modo, el diámetro del tubo de corriente aumenta en las partes divergentes del flujo de fluido incompresible. (Fig. 4-19b).

Líneas de trayectoria Una línea de trayectoria es la trayectoria real recorrida por una partícula de fluido durante algún periodo.

141 CAPÍTULO 4

a)

b)

Las líneas de trayectoria son los patrones de flujo más fáciles de entender. Una línea de trayectoria es un concepto lagrangiano en el que sencillamente se sigue de una partícula de fluido conforme se desplaza en el campo de flujo (Fig. 4-20). De donde, una línea de trayectoria es lo mismo que el conjunto de las ubicaciones de la punta del vector de posición material (xpartícula(t), ypartícula(t), zpartícula(t)), comentado en la Sección 4-1, al que se le sigue el rastro durante algún intervalo finito. En un experimento físico, el lector puede imaginar una partícula trazadora del fluido marcada de alguna manera —mediante un color o haciéndola que brille— tal que se puede distinguir con facilidad respecto de las partículas circundantes del fluido. Ahora, imagine una cámara con el obturador abierto durante un cierto periodo, tinicio  t  tfin, en el cual se registra la trayectoria de la partícula; la curva resultante se llama línea de trayectoria. En la figura 4-21, se muestra un ejemplo interesante para el caso de las olas que se desplazan a lo largo de la superficie del agua en un tanque. Partículas trazadoras, neutralmente flotantes, están suspendidas en el agua y se toma una fotografía con exposición de tiempo durante un periodo completo de la ola. El resultado son líneas de trayectoria que tienen forma elíptica, que muestran a las partículas de fluido que se mecen hacia arriba y abajo, y hacia delante y atrás, pero regresan a su posición original después de completar un periodo de la ola; no se tiene un movimiento neto hacia delante. El lector puede haber experimentado algo semejante cuando se mece hacia arriba y abajo sobre las olas del océano.

FIGURA 4-19 En un campo de flujo incompresible, un tubo de corriente a) disminuye en diámetro a medida que el flujo se acelera o converge y b) aumenta en diámetro a medida que el flujo se desacelera o diverge. Partícula de fluido en t = tinicio Línea de trayectoria

Partícula de fluido en t = tfin Partícula de fluido en algún momento intermedio

FIGURA 4-20 Se forma una línea de trayectoria cuando se sigue la trayectoria real de una partícula de fluido.

FIGURA 4-21 Líneas de trayectoria producidas por partículas trazadoras blancas suspendidas en agua y capturadas por una fotografía con exposición de tiempo; conforme las olas pasan en dirección horizontal, cada partícula se desplaza en una trayectoria elíptica durante el periodo de una ola. Wallet, A. & Ruellan F. 1950, La Houille Blanche, 5: 483-489. Reproducida con autorización.

En una técnica experimental moderna conocida como velocimetría por imagen de partículas (PIV, particle image velocimetry, por sus siglas en inglés) se utilizan cinco segmentos cortos de las líneas de trayectoria de partículas para medir el campo de velocidad sobre todo el plano en un flujo (Adrian, 1991). (Avances recientes extienden también la técnica a tres dimensiones.) En la técnica PIV, se suspenden diminutas partículas trazadoras en el fluido, de modo muy semejante a cómo se ilustra en la figura 4-21. Sin embargo, el flujo se ilumina por medio de dos destellos (por lo general de un láser, como en la figura 4-22), para producir dos puntos brillantes sobre la película o fotosensor por cada partícula en movimiento. Entonces, se puede inferir tanto la magnitud como la dirección del vector de velocidad en cada ubicación de la partícula, suponiendo que las partículas trazadoras son suficientemente pequeñas como para que se muevan con el fluido. La fotografía digital moderna y la velocidad de respuesta de la computadora han permitido que se pueda realizar la técnica PIV con rapidez suficiente para que también se puedan medir las características no estacionarias del campo de flujo. En el capítulo 8 se comenta el sistema PIV con más detalle.

FIGURA 4-22 PIV aplicada a un modelo de automóvil en un túnel de viento. Cortesía de Dantec Dynamics, Inc. Reproducida con autorización.

142 CINEMÁTICA DE FLUIDOS

También se pueden calcular las líneas de trayectoria en forma numérica para un campo conocido de velocidad. Específicamente, la ubicación de la partícula → trazadora se integra sobre el tiempo, desde la ubicación de inicio, x inicio e instante de inicio, tinicio hasta algún instante posterior t. Ubicación de la partícula trazadora en el instante t:

→

→

x  x inicio 



t

→

V dt

(4-17)

tinicio

Cuando se calcula la ecuación 4-17 para t entre tinicio y tfin, una gráfica de la → punta del vector x (t) es la línea de trayectoria de la partícula de fluido durante ese intervalo, como se ilustra en la figura 4-20. Para algunos campos sencillos de flujo, la ecuación 4-17 se puede integrar en forma analítica. Para flujos más complejos, debe llevarse a cabo una integración numérica. Si el campo de velocidad es estacionario, cada una de las partículas de fluido seguirá líneas de corriente; por lo tanto, para el flujo estacionario, las líneas de trayectoria son idénticas a las líneas de corriente.

Líneas de traza

Tinte o humo

Una línea de traza es el lugar geométrico de las partículas de fluido que han pasado de manera secuencial por un punto prescrito en el flujo.

Partícula inyectada de fluido 1

Línea de traza 2 3

8

5 7 6

4 Objeto

V

FIGURA 4-23 Se forma una línea de traza por la introducción continua de tinte o humo desde un punto en el flujo. Las partículas trazadoras numeradas (1 a 8) se introdujeron de manera secuencial.

FIGURA 4-24 Líneas de traza producidas por fluido coloreado que se introdujo corriente arriba; como el flujo es estacionario, estas líneas de traza son las mismas que las líneas de corriente y las de trayectoria. Cortesía de ONERA. Fotografía de Werlé.

Las líneas de traza constituyen el patrón de flujo más común generado en un experimento físico. Si se inserta un tubo pequeño en un flujo y se introduce una corriente continua de fluido trazador (tinte en un flujo de agua o humo en flujo de aire), el patrón que se observa es una línea de traza. En la figura 4-23 se muestra un trazador que se inyecta en un flujo libre que contiene un objeto, como el borde delantero de un ala. Los círculos representan partículas separadas que se inyectan con fluido trazador, y que se liberan a intervalos uniformes. A medida que las partículas son forzadas por el objeto a salir de su camino, se aceleran moviéndose a lo largo de la superficie de éste, como lo indica la distancia incrementada entre cada una de esas partículas trazadoras en esa región. La línea de traza se forma al conectar todos los círculos por medio de una curva suave. En los experimentos físicos en un túnel de viento o de agua, el humo o el tinte se inyectan en forma continua, no como partículas separadas y, por definición, el patrón resultante de flujo es una línea de traza. En la figura 4-23, la partícula trazadora 1 se liberó un instante anterior al correspondiente de la partícula 2, y así de manera sucesiva. Desde el momento de su inyección en el flujo hasta el instante presente, la ubicación de cada una de las partículas trazadoras se determina por el campo de velocidad alrededor del objeto. Si el flujo es no estacionario, el campo de velocidad cambia y no se puede esperar que la línea de traza resultante se semeje a una de corriente o a una de trayectoria en cualquier instante dado. Sin embargo, si el flujo es estacionario, las líneas de corriente, las de trayectoria y las de traza son idénticas (Fig. 4-24). A menudo, las líneas de traza se confunden con las de corriente y las de trayectoria. Aun cuando los tres patrones de flujo son idénticos en el flujo estacionario, pueden ser bastante diferentes en el no estacionario. La diferencia principal es que una línea de corriente representa un patrón instantáneo de flujo, en un instante dado, en tanto que una de traza y una de trayectoria son patrones de flujo que tienen cierta edad y, en consecuencia, una historia asociada con ellas. Una línea de traza es una fotografía instantánea de un patrón de flujo integrado respecto del tiempo. Por otra parte, una línea de trayectoria es la trayectoria de una partícula de flujo expuesta en el tiempo durante algún periodo. La propiedad integrante respecto del tiempo de las líneas de traza se ilustra en un experimento realizado por Cimbala y otros investigadores (1988), reproducido en la figura 4-25. Los autores usaron un hilo de humo para visualizar el flujo en un túnel de viento. En operación, el hilo de humo es un delgado alambre vertical

143 CAPÍTULO 4 Cilindro a)

x/D 0

50

100

150

200

250

b) Cilindro

FIGURA 4-25 Líneas de traza formadas por humo que se introdujeron mediante un hilo de humo en dos lugares diferentes en la estela de un cilindro circular: a) alambre de humo precisamente corriente abajo del cilindro y b) alambre de humo localizado en x/D = 150. La naturaleza integrante respecto del tiempo de las líneas de traza se ve con claridad cuando se comparan las dos fotografías. Fotografías tomadas por John M. Cimbala.

que está recubierto con aceite mineral. El aceite forma una fila de bolitas a lo largo del alambre, debido a los efectos de la tensión superficial. Cuando una corriente eléctrica calienta el alambre, cada pequeña bola de aceite produce una línea de traza formada por humo. En la figura 4-25a, las líneas de traza se introducen desde un hilo de humo ubicado precisamente corriente abajo de un cilindro circular de diámetro D alineado normal al plano de visión. (Cuando se introducen múltiples líneas de traza a lo largo de un ducto, como en la figura 4-25, esto se menciona como rastra de líneas de traza.) El número de Reynolds del flujo es Re  rVD/m  93. Debido a los vórtices no estacionarios desprendidos en un patrón alternante desde el cilindro, el humo se agrupa en un patrón definido con claridad conocido como huella de vórtices de Kármán. Se puede observar un patrón similar a una escala mucho mayor en el flujo de aire en la cercanía de una isla (Fig. 4-26). Con base en la figura 4-25a, se puede pensar que los vórtices derramados siguen existiendo hasta varios cientos de diámetros corriente abajo del cilindro. Sin embargo, ¡el patrón de línea de traza de esta figura es engañoso! En la figura 4-25b, el hilo de humo está colocado 150 diámetros corriente abajo del cilindro. Las líneas de traza resultantes son rectas, lo que indica que los vórtices derramados en realidad han desaparecido a lo largo de esta distancia corriente abajo. En este lugar, el flujo es estacionario y paralelo y no se tienen más vórtices; la difusión viscosa ha causado que vórtices adyacentes de signo opuesto se cancelen entre sí a partir de la distancia superior a 100 diámetros de cilindro aproximadamente. Los patrones de la figura 4-25a cerca de x/D  150 son simplemente recuerdos de la huella de vórtices que existió corriente arriba. Las líneas de traza de la figura 4-25b, sin embargo, muestran las características de flujo correctas en esta región. Las líneas de traza generadas en x/D  150 son idénticas a las de corriente o a las de trayectoria en esa región del flujo —líneas rectas, casi horizontales— porque allí el flujo es estacionario. Para un campo conocido de velocidad, una línea de traza se puede calcular en forma numérica, aun con cierta dificultad. Es necesario seguir las trayectorias de flujo continuo de partículas trazadoras desde el instante de su inyección en el flujo hasta el instante actual, usando la ecuación 4-17. Matemáticamente se integra la ubicación de la partícula trazadora sobre el tiempo, desde el instante de su inyección tinyección, hasta el instante actual, tactual. La ecuación 4-17 queda: Ubicación integrada de la partícula trazadora:

→

→

x  x inyección



tactual

→

V dt

tinyección

(4-18)

FIGURA 4-26 Vórtices de Kármán visibles en las nubes en la cercanía de la isla Alexander Selkirk en el océano Pacífico del Sur. Fotografía hecha desde el Landsat 7 WRS Ruta 6 Hilera 83, centro: -33.18, -79.99, 9/15/1999, earthobservatory.nasa.gov. Cortesía de NASA.

144 CINEMÁTICA DE FLUIDOS

En un flujo complejo no estacionario, la integración debe realizarse en forma numérica, ya que el campo de velocidad cambia con el tiempo. Cuando el lugar geométrico de las ubicaciones de las partículas trazadoras en t  tactual se conectan por medio de una curva suave, el resultado es la línea de traza deseada. EJEMPLO 4-5

5 4

Se da un campo de velocidad, bidimensional no estacionario, e incompresible, por:

3 y

Comparación de los patrones de flujo en un flujo no estacionario

→

→

→

V  (u, v)  (0.5  0.8x) i  (1.5  2.5 sen (vt)  0.8y) j

2 1 0

–1 0

1

2

3

4

5

x Líneas de corriente en t = 2 s Líneas de trayectoria para 0 < t < 2 s Líneas de traza para 0 < t < 2 s

FIGURA 4-27 Líneas de corriente, de trayectoria y de traza para el campo oscilante de velocidad del ejemplo 4-5. Las líneas de traza y las de trayectoria son onduladas, debido a su historia integrada en el tiempo, pero las de corriente no lo son porque representan una fotografía instantánea del campo de velocidad.

(1)

donde la frecuencia angular v es igual a 2p rad/s (una frecuencia física de 1 Hz). Este campo de velocidad es idéntico al de la ecuación 1 del ejemplo 4-1, excepto por el término periódico adicional en la componente v de la velocidad. De hecho, dado que el periodo de oscilación es de 1 s, cuando el tiempo t es cualquier múltiplo entero de 12 s (t  0, 21, 1, 32, 2, . . . s), el término en seno de la ecuación 1 es cero y el campo de velocidad es instantáneamente idéntico al del ejemplo 4-1. Desde el punto de vista físico, se concibe un flujo entrante a una toma grande de forma acampanada que es oscilante hacia arriba y hacia abajo con una frecuencia de 1 Hz. Considere dos ciclos completos del flujo, de t  0 s hasta t  2 s. Compare las líneas de corriente instantáneas en t  2 s con las líneas de trayectoria y las de traza generadas durante el periodo de t  0 s hasta t  2 s.

SOLUCIÓN Se deben generar las líneas de corriente, las de trayectoria y las de traza y compararse, para el campo no estacionario de velocidad dado. Suposiciones 1 El flujo es incompresible. 2 El flujo es bidimensional, lo que implica que no existe componente z de la velocidad y no se tiene variación de u o v con z. Análisis Las líneas instantáneas de corriente en t  2 s son idénticas a las de la figura 4-17, y en la figura 4-27 se ha vuelto a trazar la gráfica de varias de ellas. Para simular las líneas de trayectoria, se utiliza la técnica de integración numérica de Runge-Kutta para marchar en el tiempo, desde t  0 s hasta t  2 s, trazando la trayectoria de las partículas de fluido liberadas en tres lugares: (x  0.5 m, y  0.5 m), (x  0.5 m, y  2.5 m) y (x  0.5 m, y  4.5 m). En la figura 4-27 se muestran estas líneas de trayectoria, junto con las de corriente. Por último, las líneas de traza se simulan cuando siguen las trayectorias de muchas partículas trazadoras de fluido, liberadas en los tres lugares dados, en instantes entre t  0 s y t  2 s, y conectando el lugar geométrico de sus posiciones en t  2 s. Las gráficas de estas líneas de traza también se tienen en la figura 4-27. Discusión Dado que el flujo es no estacionario, las líneas de corriente, las de trayectoria y las de traza no coinciden. De hecho, difieren de manera significativa entre sí. Note que las líneas de traza y las de trayectoria son onduladas, debido a la ondulante componente v de la velocidad. Se han tenido dos periodos completos de oscilación entre t  0 s y t  2 s, como se puede verificar con una observación cuidadosa de las líneas de trayectoria y de traza. Las líneas de corriente no tienen esas ondulaciones, puesto que no tienen historia; representan una fotografía instantánea del campo de velocidad en t  2 s.

Líneas fluidas Una línea fluida es un conjunto de partículas adyacentes de fluido que se marcaron en el mismo instante (anterior).

Las líneas fluidas son particularmente útiles para situaciones en donde se va a examinar la uniformidad de un flujo (o la falta de ello). En la figura 4-28 se ilus-

145 CAPÍTULO 4

tran las líneas fluidas de un flujo en un canal entre dos paredes paralelas. Debido a la fricción la velocidad del fluido es cero en las paredes (la condición de no deslizamiento) y los extremos superior e inferior de la línea fluida están anclados en sus lugares de arranque. En regiones del flujo alejadas de las paredes, las partículas marcadas de fluido se mueven a la velocidad local de éste, deformando la línea fluida. En el ejemplo de la figura 4-28, la velocidad en el centro del canal es bastante uniforme, pero las pequeñas desviaciones tienden a amplificarse con el tiempo, conforme se estira la línea fluida. Las líneas fluidas se pueden generar en forma experimental en un canal de agua por medio del uso de un hilo de burbujas de hidrógeno. Cuando se produce, durante un intervalo corto, una corriente eléctrica por el alambre catódico, se presenta electrólisis del agua y en la superficie de alambre se forman burbujas diminutas de gas de hidrógeno. Debido a que las burbujas son tan pequeñas, su flotación es casi despreciable y siguen bien el flujo del agua (Fig. 4-29).

Técnicas refractivas de visualización del flujo Otra categoría de visualización del flujo se basa en la propiedad refractiva de las ondas luminosas. Como el lector recordará de lo visto en sus estudios de física, la velocidad de la luz a través de un material puede diferir un tanto de la de otro material, o inclusive en el mismo material, si cambia su densidad. Conforme la luz viaja a través de un fluido hacia otro con un índice de refracción diferente, los rayos de luz se desvían (se refractan). Existen dos técnicas básicas de visualización del flujo en las que se utiliza el hecho de que el índice de refracción en el aire (u otros gases) varía con la densidad. Éstas son la técnica de estrioscopia y fotografía por sombras (o visualización de perfiles) (Settles, 2001). La interferometría es una técnica de visualización que utiliza el cambio de fase de la luz cuando pasa a través de aire de densidades variantes, como la base para la visualización del flujo y no se trata en este texto (véase Merzkirch, 1987). Todas estas técnicas son útiles para visualizar el flujo en campos del flujo en donde la densidad cambia de un lugar en el flujo a otro, como los flujos de convección natural (las diferencias de temperatura causan las variaciones en la densidad), los flujos mezclados (las especies de fluidos causan las variaciones en la densidad) y los flujos supersónicos (las ondas de choque y las de expansión causan las variaciones en la densidad). A diferencia de las visualizaciones del flujo en las que intervienen las líneas de traza, las de trayectoria y las líneas fluidas, en los métodos de estrioscopia y fotografía por sombras no se necesita inyectar un trazador visible (humo o tinte). En lugar de ello, las diferencias en la densidad y la propiedad refractiva de la luz proporcionan los medios necesarios para visualizar regiones de interés en

Línea fluida en t = 0

Flujo

Línea fluida en t = t1

Línea fluida en t = t2

Línea fluida en t = t3

FIGURA 4-28 Las líneas fluidas se forman marcando una línea de partículas de fluido y, a continuación, se observa el movimiento (y la deformación) de esa línea a través del campo de flujo; se muestran las líneas fluidas en t  0, t1, t2 y t3.

FIGURA 4-29 Se usan las líneas fluidas producidas por un hilo de burbujas de hidrógeno con el fin de visualizar la forma del perfil de velocidad de la capa límite. El flujo es de izquierda a derecha y el hilo de burbujas de hidrógeno está localizado a la izquierda del campo de visión. Las burbujas cercanas a la pared revelan una inestabilidad del flujo que conduce a turbulencia. Bippes, H. 1972 Sitzungsber, Heidelb. Akad. Wiss. Math. Naturwiss. Kl., núm. 3, 103-180; NASA TM-75243, 1978.

146 CINEMÁTICA DE FLUIDOS

FIGURA 4-30 La fotografía por sombras de una esfera de 14.3 mm en vuelo libre a través del aire a Ma  3.0. Se ve con claridad una onda de choque oblicua en la sombra, como un arco oscuro que se curva alrededor de la esfera y se conoce como onda de proa (véase el capítulo 12). A. C. Charters, Air Flow Branch, U.S. Army Ballistic Research Laboratory.

el campo de flujo, y permite “ver lo invisible”. La imagen producida (una fotografía por sombras) por la técnica de visualización de perfiles se forma cuando los rayos refractados de luz redisponen la sombra proyectada sobre una pantalla de visión o el plano focal de una cámara y hacen que aparezcan patrones brillantes y oscuros en la sombra. Los patrones oscuros indican el lugar en donde se originan los rayos refractados, en tanto que los brillantes marcan dónde finalizan, y pueden ser engañosos. Como resultado, las regiones oscuras están menos distorsionadas que las brillantes y son más útiles para interpretar la fotografía por sombras. Por ejemplo, en la fotografía por sombras de la figura 4-30, se puede tener confianza acerca de la forma y posición de la onda de choque de proa (el arco oscuro), pero la luz brillante refractada ha distorsionado el frente de la sombra de la esfera. Una fotografía por sombras no es una imagen óptica verdadera; es, después de todo, sencillamente una sombra. Sin embargo, en un estriograma, intervienen lentes (o espejos) y una cuchilla o cualquier otro dispositivo cortante para bloquear la luz refractada y es una imagen óptica enfocada verdadera. La formación de estriogramas es más complicada en comparación con las fotografías por sombras (véase Settles, 2001, en relación con los detalles), pero tiene varias ventajas. Por ejemplo, un estriograma no sufre de distorsión óptica por los rayos refractados de luz. La formación de estriogramas también es más sensible a los gradientes débiles de densidad, como los causados por la convección natural (Fig. 4-31) o por fenómenos graduales como la expansión en el flujo supersónico. También se han desarrollado técnicas de formación de estriogramas a color. Por último, se pueden ajustar más componentes en un montaje óptico estrioscópico, como la localización, la orientación y el tipo del dispositivo cortante, para producir una imagen que sea más útil para el problema que se esté tratando.

Técnicas de visualización del flujo sobre la superficie Por último, se mencionan brevemente algunas técnicas de visualización del flujo que resultan útiles a lo largo de superficies sólidas. La dirección del flujo de fluidos inmediatamente arriba de una superficie sólida se puede visualizar con mechones (hilos flexibles y cortos, pegados a la superficie en uno de sus extremos, que apuntan en la dirección del flujo). Los mechones son útiles en especial para localizar regiones de separación del flujo, en donde la dirección se invierte de manera repentina. Para el mismo fin, se puede aplicar una técnica llamada visualización por medio de aceite sobre superficie (el aceite que se coloca sobre la superficie forma venas que indican la dirección del flujo). Si llueve ligeramente y su automóvil está sucio (en especial en el invierno, cuando se riega sal sobre las carreteras), puede haber advertido rayas a lo largo del cofre y los costados del automóvil, o incluso sobre el parabrisas. Esto es semejante a lo que se observa con la visualización por medio de aceite sobre superficie. Ahora ya existen pinturas sensibles a la presión y a la temperatura que permiten a los investigadores observar la distribución de presión o de temperatura a lo largo de superficies sólidas.

4-3 FIGURA 4-31 Estriograma de la convección natural debida a una parrilla para asar. G. S. Settles, Gas Dynamics Lab, Penn State University. Reproducida con autorización.

■

GRÁFICAS DE LOS DATOS SOBRE FLUJO DE FLUIDOS

Sin importar cómo se obtengan los resultados (analítica o experimentalmente, o mediante programas de computación), con frecuencia es necesario trazar las gráficas de los datos de flujo en forma tal que se pueda visualizar cómo varían las propiedades de ese flujo en el tiempo y/o el espacio. El lector ya está fami-

147 CAPÍTULO 4

liarizado con las gráficas de tiempo, las cuales resultan especialmente útiles en los flujos turbulentos (por ejemplo, una componente de la velocidad trazada como función del tiempo), así como con las gráficas xy (por ejemplo, la presión como función del radio). En esta sección se comentan tres tipos adicionales de gráficas que son útiles en la mecánica de fluidos: las gráficas de perfiles, las vectoriales y las de contornos.

Gráficas de perfiles Una gráfica de perfiles indica cómo varía el valor de una propiedad escalar a lo largo de una dirección deseada en el campo de flujo.

Las gráficas de perfiles son las más sencillas de entender de las tres porque son semejantes a las gráficas xy que el lector ha generado desde la escuela primaria. A precisar, ha trazado la gráfica de cómo una variable y varía como función de una segunda variable x. En la mecánica de fluidos se pueden crear gráficas de perfiles de cualquier variable escalar (presión, temperatura, densidad, etcétera), pero la más común que se usa en este libro es la gráfica del perfil de velocidad. Se debe observar que como la velocidad es una cantidad vectorial, se suele trazar la gráfica de la magnitud de la velocidad o de una de las componentes del vector de velocidad como función de la distancia en alguna dirección deseada. Por ejemplo, una de las líneas fluidas en el flujo de la capa límite de la figura 4-29 se puede convertir en una gráfica del perfil de velocidad cuando se reconoce que, en un instante dado, la distancia horizontal recorrida por una de las burbujas de hidrógeno en la ubicación vertical y es proporcional a la componente x local de la velocidad u. En la figura 4-32 se trazó la gráfica de u como función de y. También se pueden obtener los valores de u para la gráfica en forma analítica (véanse los capítulos 9 y 10); en forma experimental con la aplicación de la PIV o alguna clase de instrumento de medición de la velocidad local (véase capítulo 8); o en forma computacional (véase capítulo 15). Nótese que tiene mayor significado físico en este ejemplo trazar la gráfica de u sobre la abscisa (eje horizontal) en vez de sobre la ordenada (eje vertical), aun cuando sea la variable dependiente, ya que entonces la posición y está en su orientación apropiada (hacia arriba), en lugar de atravesada. Por último, es costumbre añadir flechas a las gráficas de perfiles de velocidad para hacerlas visualmente más atractivas, aunque no se suministre información adicional mediante esas flechas. Si, por la flecha, se da la gráfica de más de una componente de la velocidad, se indica la dirección del vector de velocidad local y la gráfica del perfil de velocidad se convierte en una del vector de velocidad.

y

a)

u

b)

u

y

Gráficas vectoriales Una gráfica vectorial es un arreglo de flechas que indican la magnitud y dirección de una propiedad vectorial en un instante en el tiempo.

En tanto que las líneas de corriente indican la dirección del campo de velocidad instantánea, no indican de manera directa la magnitud de la velocidad (es decir, la rapidez). Por lo tanto, un patrón útil de flujo, tanto para los flujos experimentales como computacionales de fluidos, es la gráfica vectorial, que consta de un arreglo de flechas que indican la magnitud y la dirección de una propiedad vectorial instantánea. En la figura 4-4 ya se ha visto un ejemplo de una gráfica de vectores de velocidad y, en la figura 4-14, una de vectores de aceleración. Éstas se generaron analíticamente. Las gráficas vectoriales también se pueden generar a partir de datos obtenidos experimentalmente (por ejemplo, de mediciones PIV) o en forma numérica con base en cálculos CFD. Con la finalidad de ilustrar más las gráficas vectoriales, se generó un campo bidimensional de flujo que consiste en un flujo libre que choca contra un bloque de sección transversal rectangular. Se realizaron cálculos CFD y, en la figura 4-33, se

FIGURA 4-32 Gráficas de perfiles de la componente horizontal de la velocidad como función de la distancia vertical; flujo en la capa límite creciendo a lo largo de una placa plana horizontal: a) gráfica estándar de perfil y b) gráfica de perfil con flechas.

148 CINEMÁTICA DE FLUIDOS FLUJO

Zona de recirculación

Bloque

Plano de simetría

a)

FLUJO

Bloque b) Plano de simetría

muestran los resultados. Note que, por naturaleza, este flujo es turbulento y no estacionario, pero en la figura sólo se han calculado y presentado los resultados promediados en un tiempo largo. En la figura 4-33a se tienen las gráficas de las líneas de corriente; se muestra una vista del bloque completo y gran parte de su estela. Las líneas de corriente cerradas arriba y abajo del plano de simetría indican grandes zonas de recirculación, uno arriba y otro abajo de la recta de simetría. En la figura 4-33b, se muestra una gráfica de vectores de velocidad (debido a la simetría, sólo se muestra la mitad superior del flujo). Con base en esta gráfica, resulta claro que el flujo se acelera alrededor de la esquina corriente arriba del bloque, de tal manera que la capa límite no puede ajustarse a la esquina y se separa del propio bloque, con lo que se producen los grandes remolinos de recirculación corriente abajo de éste. (Note que estos vectores de velocidad son valores promediados en el tiempo; los vectores instantáneos cambian tanto de magnitud como de dirección con el tiempo, conforme se derraman los vórtices desde el cuerpo, de manera semejante a los de la figura 4-25a.) En la figura 4-33c se tiene la gráfica de una vista de acercamiento de la región del flujo separado, en donde se comprueba el flujo inverso en la mitad inferior del gran remolino de recirculación. Los códigos CFD modernos y los posprocesadores pueden agregar color a una gráfica vectorial. Por ejemplo, se pueden colorear los vectores según alguna otra propiedad del flujo, como la presión (rojo para la presión alta y azul para la baja), o bien, la temperatura (rojo para caliente y azul para frío). De esta manera se puede visualizar con facilidad no sólo la magnitud y dirección del flujo, sino también otras propiedades de manera simultánea.

Gráficas de contornos Una gráfica de contornos muestra las curvas de valor constante de una propiedad escalar (o magnitud de una propiedad vectorial) en un instante determinado.

Bloque

c)

FIGURA 4-33 Resultados de cálculos CFD de un flujo que choca contra un bloque; a) líneas de corriente, b) gráfica de los vectores de velocidad de la mitad superior del flujo y c) gráfica de los vectores de velocidad, vista de acercamiento que revela más detalles en la región de separación de flujo.

Si el lector ha practicado el excursionismo, está familiarizado con los mapas de curvas de nivel de los senderos. Los mapas constan de una serie de curvas cerradas, cada una de ellas indica una elevación o altitud constante. Cerca del centro de un grupo de esas curvas está el pico de la montaña o el fondo del valle; el pico real o el fondo del valle es un punto en el mapa que muestra la mayor elevación o la altitud más baja. Esos mapas son útiles en el sentido de que no sólo le dan una “vista a ojo de pájaro” de las corrientes y los senderos, etcétera, sino también puede ver con facilidad su elevación y en dónde un sendero es plano o empinado. En la mecánica de fluidos se aplica el mismo principio a varias propiedades escalares del flujo; se generan gráficas de contornos (también conocidas como gráficas de isocontornos) de la presión, la temperatura, la magnitud de la velocidad, la concentración de especies, las propiedades de turbulencia, etcétera. Una gráfica de contornos puede revelar con rapidez las regiones de valores altos (o bajos) de la propiedad del flujo que se está estudiando. Una gráfica de contornos puede consistir, sencillamente, de curvas que indiquen varios niveles de la propiedad; ésta se conoce como gráfica de líneas de contorno. De modo opcional, los contornos se pueden rellenar con colores o sombras de gris; esto se conoce como gráfica de contornos rellenos. En la figura 4-34 se muestra un ejemplo de contornos de presión, para el mismo flujo que el de la figura 4-33. En la figura 4-34a se muestran contornos rellenos con sombras de tonalidades grises para identificar las regiones de niveles diferentes de presión (las regiones oscuras indican presión baja y las regiones claras indican presión alta). Con base en esta figura, resulta claro que la presión es la más alta en la cara del frente del bloque y la más baja a lo largo de la cara superior, en la zona separada. La presión también es baja en la estela del bloque, como era de esperarse. En la figura 4-34b se muestran los mismos contornos de presión, pero como una gráfica de líneas de contorno con los niveles indicados de la presión manométrica en Pascal.

149 CAPÍTULO 4

En la CFD a menudo se presentan las líneas de contorno en colores llamativos, indicando por lo común con rojo el valor más alto del escalar y con azul el más bajo. El ojo humano sano puede identificar con facilidad una región roja o azul y, de este modo, localizar las regiones de valor alto o bajo de la propiedad del flujo. Debido a las bellas imágenes producidas por la CFD, a la dinámica computacional de fluidos a veces se le conoce como “dinámica de fluidos a todo color”.

4-4

■

FLUJO

OTRAS DESCRIPCIONES CINEMÁTICAS

Bloque Plano de simetría

Tipos de movimiento o deformación de los elementos de fluidos

a) FLUJO

En la mecánica de fluidos, como en la de los sólidos, un elemento puede pasar por cuatro tipos fundamentales de movimiento o deformación, como se ilustra en dos dimensiones en la figura 4-35: a) traslación, b) rotación, c) deformación lineal (a veces conocida como deformación por tensión) y d) deformación por esfuerzo cortante. El estudio de la dinámica de fluidos se complica todavía más porque los cuatro tipos de movimiento o deformación suelen ocurrir de manera simultánea. En virtud de que los elementos de fluidos pueden estar en movimiento constante, en la dinámica de fluidos es preferible describir el movimiento y la deformación de los elementos de fluido en términos de razones. En particular, se estudiarán la velocidad (razón de traslación), la velocidad angular (razón de rotación), y la razón de deformación lineal y la razón de deformación por esfuerzo cortante. Para que estas razones de deformación sean útiles en el cálculo de los flujos de fluidos, se les debe expresar en términos de la velocidad y de derivadas de la velocidad. La traslación y la rotación se entienden con facilidad ya que comúnmente se observan en el movimiento de partículas sólidas, como las bolas de billar (Fig. 4-1). Se requiere un vector para describir por completo la razón de traslación en tres dimensiones. El vector de razón de traslación se describe en forma matemática como el vector de velocidad. En coordenadas cartesianas: Vector de razón de traslación en coordenadas cartesianas: →

→

→

→

V  u i  v j  wk

(4-19)

En la figura 4-35a el elemento de fluido se ha movido en la dirección horizontal (x) positiva; de donde, u es positiva, en tanto que v (y w) son cero. La razón de rotación (velocidad angular) en un punto se define como la razón promedio de rotación de dos rectas inicialmente perpendiculares que se intersecan en ese punto. Por ejemplo, en la figura 4.35b, considere el punto en la esquina inferior izquierda del elemento de fluido inicialmente cuadrada. La arista izquierda y la inferior se intersecan en ese punto y, en el inicio, son perpendiculares. Estas dos líneas giran en contrasentido al movimiento de las manecillas del reloj, lo cual es, para las matemáticas, la dirección positiva. El ángulo entre estas dos rectas (o entre dos rectas cualesquiera inicialmente perpendiculares en este elemento de fluido) sigue siendo de 90° ya que, en la figura, se ilustra la rotación de un cuerpo sólido. Por lo tanto, las dos rectas giran con la misma rapidez y la razón de rotación en el plano es tan sólo la componente de la velocidad angular en ese plano. En el caso más general, pero todavía bidimensional (Fig. 4-36), la partícula de fluido se traslada y deforma según gira y la razón de rotación se calcula según la definición dada en el párrafo anterior. Es decir, se principia en el instante t1 con dos rectas inicialmente perpendiculares (rectas a y b de la figura 4-36) que se intersecan en el punto P, en el plano xy. Se siguen estas rectas a medida que se mueven y giran en un incremento infinitesimal de tiempo dt  t2  t1. En el

–20

–15 –10

0

10

–25 –30

20 40 –50

–35 –40

–60 Bloque 60 70

Plano de simetría b)

FIGURA 4-34 Gráficas de contornos del campo de presión debido al flujo que choca contra un bloque, según se producen por medio de cálculos CFD; sólo se muestra la mitad superior debido a la simetría; a) gráfica de contornos a escala rellenos en gris y b) gráfica de líneas de contorno en donde se muestran los valores de la presión referentes a presiones manométricas, en unidades de Pa (pascales).

150 CINEMÁTICA DE FLUIDOS

instante t2, la recta a ha girado en un ángulo aa, y la b lo ha hecho en un ángulo ab, y las dos rectas se han movido con el flujo como se indica en la figura (los valores de los dos ángulos se dan en radianes y, en el esquema, se muestran matemáticamente positivos). De esta manera el ángulo promedio de rotación es (aa  ab)/2, y la razón de rotación o velocidad angular en el plano xy es igual a la derivada respecto del tiempo de este ángulo promedio de rotación,

a)

b)

Razón de rotación del elemento de fluido alrededor del punto P de la figura 4-36: c)

v d)

FIGURA 4-35 Tipos fundamentales de movimiento o deformación de los elementos de fluido: a) traslación, b) rotación, c) deformación lineal y d) deformación por esfuerzo cortante.

d aa  ab 1 v u ¢ ≤ a  b dt 2 2 x y

(4-20)

Se deja como ejercicio comprobar la expresión de lado derecho de la ecuación 4-20, en donde se ha escrito v en términos de las componentes u y v de la velocidad, en lugar de los ángulos aa y ab. En tres dimensiones se debe definir un vector para la razón de rotación en un punto en el flujo, ya que su magnitud puede diferir en cada una de las tres dimensiones. La deducción del vector de razón de rotación en tres dimensiones se puede encontrar en numerosos libros de mecánica de fluidos, como el de Kundu y Cohen (2008) y el de White (1991). El vector de razón de rotación es igual al vector de velocidad angular y se expresa en coordenadas cartesianas como: Vector de razón de rotación en coordenadas cartesianas: →



a

Recta b

e aa  Recta a

Recta b

u a au a  dx b dt  dxa  u a dt

xa a d  § dt dxa

Longitud de PQ en dirección xa



(4-22)

dxa ¥

⎫ ⎬ ⎭

p/2

Longitud de PQ en la dirección xa

⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭

Elemento de fluido en el instante t2

d PQ  PQ a b dt PQ

⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭

P



u a

xa

Longitud de PQ en dirección xa

P u Elemento de fluido en el instante t1

(4-21)

La razón de deformación lineal se define como la razón de incremento en la longitud por unidad de longitud. Desde el punto de vista matemático, la razón de deformación lineal depende de la orientación o dirección inicial del segmento rectilíneo en el que se mide la deformación lineal. Por lo tanto, no se puede expresar como una cantidad escalar o vectorial. En vez de ello, se define la razón de deformación lineal en alguna dirección arbitraria, la cual se denota como la dirección xa. Por ejemplo, el segmento rectilíneo PQ de la figura 4-37 tiene una longitud inicial de dxa, y, como se muestra, crece hasta obtener el segmento rectilíneo PQ. A partir de la definición dada y utilizando las longitudes marcadas en la figura 4-37, la razón de deformación lineal en la dirección xa es:

b

v

v → 1 u

w → 1 v

u → 1 w a  bi  a  bj  a  bk 2 y

z 2 z

x 2 x

y

y

Recta a x

FIGURA 4-36 Para un elemento de fluido que se traslada y deforma según el esquema, la razón de rotación en el punto P se define como la razón promedio de rotación de dos rectas inicialmente perpendiculares (rectas a y b).

En coordenadas cartesianas, normalmente se toma la dirección xa como la de cada una de los tres ejes de coordenadas, aun cuando no es necesario restringirse a estas instrucciones. Razón de deformación lineal en coordenadas cartesianas: xx 

u

x

yy 

v

y

zz 

w

z

(4-23)

Para el caso más general, el elemento de fluido se mueve y se deforma como se muestra en el esquema de la figura 4-36. Se deja como ejercicio demostrar que la ecuación 4-23 todavía es válida para el caso general.

151 CAPÍTULO 4

Los objetos sólidos, como los alambres, las varillas y las vigas, se estiran cuando se jala de ellas. El lector debe recordar por su estudio de la mecánica para ingeniería, que cuando se estira uno de esos objetos en una dirección, suele contraerse en la(s) dirección (direcciones) normal(es) a esa dirección. Lo mismo se cumple para los elementos de fluido. En la figura 4-35c se estira el elemento de fluido, originalmente cuadrado, en la dirección horizontal y se contrae en la vertical. En consecuencia, la razón de deformación lineal es positiva en la dirección horizontal y negativa en la vertical. Si el flujo es incompresible, el volumen neto del elemento de fluido debe permanecer constante; de este modo, si el elemento se estira en una dirección, para compensar debe contraerse en una cantidad apropiada en la(s) otra(s) dirección (direcciones). Sin embargo, el volumen de un elemento de fluido compresible puede aumentar o disminuir conforme su densidad decrece o crece, respectivamente (la masa de un elemento de fluido debe permanecer constante pero, como r  m/V, la densidad y el volumen son inversamente proporcionales). Considere, por ejemplo, un volumen de aire en un cilindro que está siendo comprimido por un pistón (Fig. 4-38); el volumen del fluido decrece en tanto que su densidad aumenta de modo que la masa del elemento de fluido se conserva. La razón de incremento de volumen de un elemento de fluido por unidad de volumen se conoce como su razón de deformación volumétrica o razón de deformación de volumen. Su propiedad cinemática se define como positiva cuando el volumen aumenta. Otro sinónimo de razón de deformación volumétrica es el de razón de dilatación volumétrica, lo cual es fácil de recordar si se piensa cómo el iris del ojo se dilata (se agranda) cuando se expone a la luz tenue. Resulta que la razón de deformación volumétrica es la suma de las razones de deformación lineal en tres direcciones mutuamente ortogonales. Por lo tanto, en coordenadas cartesianas (Ec. 4-23), la razón de deformación volumétrica es: Razón de deformación volumétrica en coordenadas cartesianas: 1 DV 1 dV

u v w   ␧xx  ␧yy  ␧zz    V Dt V dt

x y

z

u +

u

∂u dx ∂x 

Q

Q P

(

P

∂u dx dt ∂x 

)

u +

u dt dx 

x

y x

FIGURA 4-37 La razón de deformación lineal en alguna dirección xa arbitraria se define como la razón de incremento en la longitud por unidad de longitud en esa dirección. La razón de deformación lineal sería negativa si disminuyera la longitud del segmento rectilíneo. Aquí consideramos el aumento en longitud del segmento rectilíneo PQ para convertirse en el segmento rectilíneo PQ, lo cual conduce a una razón de deformación lineal positiva. Las componentes de la velocidad y las distancias se truncan hasta el primer orden puesto que dxa y dt son infinitesimalmente pequeños.

(4-24)

En la ecuación 4-24 se usa la notación D en mayúsculas para enfatizar que se está hablando del volumen que corresponde a un elemento de fluido, es como decir, el volumen material del elemento de fluido (volumen de sustancia), como en la ecuación 4-12. La razón de deformación volumétrica es cero en un flujo incompresible.

La razón de deformación por esfuerzo cortante es la razón de deformación más difícil de describir y de entender. La razón de deformación por esfuerzo cortante en un punto se define como la mitad de la razón de disminución del ángulo entre dos rectas inicialmente perpendiculares que se intersecan en el punto. (La justificación por la cual se habla de la mitad quedará clara más adelante cuando se combinen la razón de deformación por esfuerzo cortante y la razón de deformación lineal en un tensor.) Por ejemplo, en la figura 4-35d, los ángulos inicialmente de 90° en las esquinas inferior izquierda y superior derecha del elemento cuadrado de fluido decrecen; ésta, por definición, es una deformación positiva por esfuerzo cortante. Sin embargo, los ángulos en las esquinas superior izquierda e inferior derecha del elemento cuadrado de fluido crecen a medida que ese elemento inicialmente cuadrado de fluido se deforma; ésta es una deformación negativa por esfuerzo cortante. Es obvio que no se puede describir la razón de deformación por esfuerzo cortante en términos sólo de una cantidad escalar o, inclusive, en términos de una cantidad vectorial para ese tema. Más bien, una descripción matemática completa de la razón de deformación por esfuerzo cortante requiere su especificación en cualesquiera dos direcciones mutuamente perpendiculares. En coordenadas cartesianas, los propios ejes constituyen la elección más obvia, aun cuando no es necesario restringirse a éstos. Considere un elemen-

Parcela de aire

Tiempo t1

Tiempo t2

FIGURA 4-38 Se está comprimiendo aire mediante un pistón en un cilindro; el volumen de un elemento de fluido que esté en el cilindro disminuye, lo que corresponde a una razón negativa de dilatación volumétrica.

152 CINEMÁTICA DE FLUIDOS aa-b en t2

Recta b Recta a

P v

to de fluido en dos dimensiones, en el plano xy. El elemento se traslada y se deforma con el tiempo como se ilustra en la figura 4-39. Se siguen dos rectas en principio mutuamente perpendiculares (rectas a y b en las direcciones x y y, respectivamente). El ángulo entre estas dos rectas decrece desde p/2 (90 ) hasta el ángulo marcado como aa-b en t2 en el esquema. Se deja como ejercicio demostrar que la razón de deformación por esfuerzo cortante en el punto P, para rectas inicialmente perpendiculares en las direcciones x y y, se da por:

Razón de deformación por esfuerzo cortante, rectas inicialmente perpendiculares en las direcciones x y y: Elemento de fluido en el instante t2 1d 1 u v e xy   a  a  b (4-25) 2 dt a-b 2 y x

aa-b = p/2

Recta b

La ecuación 4-25 se puede extender con facilidad a tres dimensiones. Por lo tanto, la razón de deformación por esfuerzo cortante es:

P Recta a u Elemento de fluido en el instante t1

y x

FIGURA 4-39 Para un elemento de fluido que se traslada y se deforma como se muestra en el esquema, la razón de deformación por esfuerzo cortante en el punto P se define como la mitad de la razón de disminución del ángulo entre dos rectas inicialmente perpendiculares (rectas a y b).

Razón de deformación por esfuerzo cortante en coordenadas cartesianas: ␧xy 

1 u v a  b 2 y x

A

C

D

A

B

FIGURA 4-40 Un elemento de fluido en el que se ilustra la traslación, la rotación, la deformación lineal, la deformación por esfuerzo cortante y la deformación volumétrica.

␧yz 

1 v w a  b 2 z y

(4-26)

Tensor de razones de deformación en coordenadas cartesianas:

D

B

1 w u a  b 2 x z

Por último, resulta que se pueden combinar matemáticamente la razón de deformación lineal y la razón de deformación por esfuerzo cortante en un tensor simétrico de segundo orden conocido como tensor de razones de deformación, el cual es una combinación de las ecuaciones 4-23 y 4-26:

␧xx ␧xy ␧ij  £␧yx ␧yy ␧zx ␧zy

C

␧zx 

u

x ␧xz 1 v u ␧yz≥  ¶ a  b 2 x y ␧zz 1 w u a  b 2 x z

1 u v a  b 2 y x

v

y 1 w v a  b 2 y z

1 2 1 2

u w  b

z x

v w a  b∂

z y

w

z a

(4-27)

El tensor de razones de deformación obedece todas las leyes de los tensores matemáticos, como las invariantes tensoriales, las leyes de transformación y los ejes principales. En la figura 4-40 se muestra una situación general (aunque bidimensional) en un flujo de fluido compresible en el cual están presentes de manera simultánea todos los movimientos y todas las deformaciones posibles. En particular, se tiene traslación, rotación, deformación lineal y deformación por esfuerzo cortante. Debido a la naturaleza compresible del fluido, también existe deformación volumétrica (dilatación). El lector ahora debe de tener una mejor apreciación de la complejidad inherente de la dinámica de fluidos y del refinamiento matemático necesario para describir por completo el movimiento de esos fluidos. EJEMPLO 4-6

Cálculo de las propiedades cinemáticas en un flujo bidimensional

Considere el campo bidimensional estacionario de velocidad del ejemplo 4-1: →

→

→

V  (u, v)  (0.5  0.8 x) i  (1.5  0.8 y) j

(1)

donde las longitudes se dan en unidades de m, el tiempo en s y la velocidad en m/s. Se tiene un punto de estancamiento en (0.625, 1.875) como se muestra en la figura 4-41. También, en esta figura, están trazadas las líneas de corriente del flujo. Calcule las diversas propiedades cinemáticas, es decir, la razón de traslación, la razón de rotación, la razón de deformación lineal, la razón de deformación por esfuerzo cortante y la razón de deformación volumétrica. Verifique que este flujo es incompresible.

153 CAPÍTULO 4

SOLUCIÓN Se deben calcular varias propiedades cinemáticas de un campo de velocidad y verificar que el flujo es incompresible. Suposiciones 1 El flujo es estacionario. 2 El flujo es bidimensional, lo que implica que no hay componente z de la velocidad y ninguna variación de u o v con z. Análisis Por la ecuación 4-19, la razón de traslación es sencillamente el propio vector de velocidad, dado por la ecuación 1; de donde:

Razón de traslación:

u  0.5  0.8x

v  1.5  0.8y

w0

4 3

y

2

(2)

1

La razón de rotación se encuentra con base en la ecuación 4-21. En este caso, supuesto que w  0 en todas partes y como ni u ni v varían con z, la única componente diferente de cero de la razón de rotación está en la dirección z. De donde,

0 –1

Razón de rotación:

→ 1 v u → 1 ␻  a  b k  (0  0)k  0 2 x y 2 →

En este caso, se ve que no hay rotación neta de las partículas de fluido conforme se mueven en todas direcciones. (Ésta es una pieza importante de información, la cual se comentará con más detalle más adelante en este capítulo y también en el capítulo 10.) Las razones de deformación lineal se pueden calcular en cualquier dirección arbitraria con aplicación de la ecuación 4-23. En las direcciones x, y y z, las razones de deformación lineal son:

␧xx 

u  0.8 s 1

x

␧yy 

v  0.8 s 1

y

␧zz  0

–3

(3)

1 1 u v a  b  (0  0)  0 2 y x 2

0

1

FIGURA 4-41 Líneas de corriente para el campo de velocidad del ejemplo 4-6. El punto de estancamiento se indica por el círculo en x  0.625 m y y  1.875 m.

(4)

6 5

(5) y

En consecuencia, no se tiene deformación por esfuerzo cortante en este flujo, como también se indica mediante la figura 4-42. Aunque la partícula muestra de fluido se deforma, continúa siendo rectangular; sus ángulos en las esquinas, en el inicio de 90°, continúan siendo de 90° a lo largo de todo el periodo del cálculo. Por último, la razón de deformación volumétrica se calcula a partir de la ecuación 4-24:

1 DV  ␧xx  ␧yy  ␧zz  (0.8  0.8  0) s 1  0 V Dt

–1 x

Por lo tanto, se predice que las partículas de fluido se estiran en la dirección x (razón de deformación lineal positiva) y se contraen en la dirección y (razón de deformación lineal negativa). Esto se ilustra en la figura 4-42, en donde se ha marcado una parcela inicialmente cuadrada de fluido con centro en (0.25, 4.25). Cuando se integran las ecuaciones 2 con el tiempo, se calcula la ubicación de las cuatro esquinas del fluido marcado, después de haber transcurrido 1.5 s. En efecto, esta parcela de fluido se ha estirado en la dirección x y contraído en la y, como se predijo. La razón de deformación por esfuerzo cortante se determina a partir de la ecuación 4-26. Debido a la bidimensionalidad, sólo se pueden tener razones diferentes de cero de deformación por esfuerzo cortante en el plano xy. Si se usan rectas paralelas a los ejes x y y como las rectas inicialmente perpendiculares, se calcula exy con base en la ecuación 4-26:

␧xy 

–2

4 3 2 1 –1

(6)

Puesto que la razón de deformación volumétrica es cero en todas partes, se puede decir en definitiva que las partículas de fluido no se están dilatando (expandiendo) ni contrayendo (comprimiendo) en volumen. Por consiguiente, se verifica que este flujo efectivamente es incompresible. En la figura 4-42, el área de la partícula sombreada de fluido se mantiene constante a medida que se mueve y se deforma en el campo de flujo. Discusión En este ejemplo, resulta que las razones de deformación lineal (exx y eyy) son diferentes de cero, en tanto que las razones de deformación por esfuerzo cor-

0

1

2

3

x

FIGURA 4-42 Deformación de una partícula inicialmente cuadrada del fluido marcado que se somete al campo de velocidad del ejemplo 4-6 durante un periodo de 1.5 s. El punto de estancamiento se indica por el círculo en x  0.625 m y y  1.875 m, y se han trazado varias líneas de corriente.

154 CINEMÁTICA DE FLUIDOS

tante (exy y su compañera simétrica eyx) son cero. Esto significa que los ejes x y y de este campo de flujo son los ejes principales. De donde, el tensor (bidimensional) de razones de deformación en esta orientación es:

e xy e 0.8 e ij  a xx ba e yx e yy 0

0 b s1 0.8

(7)

Si se hicieran girar los ejes en algún ángulo arbitrario, los nuevos ejes no serían ejes principales y los cuatro elementos del tensor de razones de deformación serían diferentes de cero. Puede ser que el lector recuerde, en sus clases de mecánica para ingeniería, la rotación de ejes por medio del uso de los círculos de Mohr con la finalidad de determinar los ejes principales, las deformaciones máximas por esfuerzo cortante, etcétera. En la mecánica de fluidos se pueden realizar análisis semejantes.

→

→

→

C=A B

4-5 VORTICIDAD Y ROTACIONALIDAD Ya se definió el vector de razón de rotación de un elemento de fluido (véase la ecuación 4-21). Una propiedad cinemática relacionada tiene gran importancia para el análisis de los flujos de fluidos; a saber, el vector de vorticidad se → define matemáticamente como el rotacional del vector de velocidad V ,

→

A

→

→

B

FIGURA 4-43 La dirección de un producto cruz de vectores se determina por la regla de la mano derecha.

→

→

→

z  § V  rot(V )

Vector de vorticidad:

(4-28)

Desde el punto de vista físico, se puede indicar la dirección del vector de vorticidad mediante la aplicación de la regla de la mano derecha para el producto cruz (Fig. 4-43). El símbolo z que se usa para la vorticidad es la letra griega zeta. El lector debe de tener en cuenta que este símbolo para la vorticidad no es de uso general en libros de texto de mecánica de fluidos; algunos autores usan la letra griega omega (v) en tanto que otros usan esta letra, pero en mayúscula (). → En este libro se usa v para denotar el vector de razón de rotación (vector velocidad angular) de un elemento de fluido. Resulta que el vector de razón de rotación es igual a la mitad del vector de vorticidad: →

→ z 1 → → 1 Vector de razón de rotación: v  § V  rot(V )  2 2 2 →

(4-29)

Por lo tanto, la vorticidad es una medida de la rotación de una partícula de fluido. Específicamente, Vorticidad es igual al doble de la velocidad angular de una partícula de fluido (Fig. 4-44). →

z

→

v

FIGURA 4-44 El vector de vorticidad es igual al doble del vector de velocidad angular de una partícula de fluido en rotación.

Si la vorticidad en un punto en un campo de flujo es diferente de cero, la partícula de fluido que llegue a ocupar ese punto en el espacio está girando; se dice que el flujo en esa región es rotacional. De modo semejante, si la vorticidad en una región del flujo es cero (o despreciablemente pequeña) las partículas de fluido allí no están girando; se dice que el flujo en esa región es irrotacional. Desde el punto de vista físico, las partículas de fluido que están en una región rotacional de un flujo giran a medida que avanzan en ese flujo. Por ejemplo, las partículas de fluido dentro de la capa límite viscosa cercana a una pared sólida son rotacionales (y, por lo tanto, tienen vorticidad diferente de cero), en tanto que las partículas de fluido que están afuera de la capa límite son irrotacionales (y su vorticidad es cero). Estos dos casos se ilustran en la figura 4-45. La rotación de los elementos de fluido se asocia con las estelas, las capas límites, el flujo a través de turbomaquinaria (ventiladores, turbinas, compresores, etcétera) y el flujo con transferencia de calor. La vorticidad de un elemento de fluido no puede cambiar, excepto por la acción de la viscosidad, el calentamien-

155 CAPÍTULO 4 Partículas de fluido sin rotación

Perfil de velocidad

Región exterior irrotacional del flujo Región rotacional de la capa límite

Pared

Partículas de fluido en rotación

to no uniforme (gradientes de temperatura) u otros fenómenos no uniformes. Por consiguiente, si un flujo se origina en una región irrotacional, continúa siendo irrotacional hasta que algún proceso no uniforme lo altera. Por ejemplo, el aire que entra por una admisión proveniente de alrededores tranquilos (quietos) es irrotacional y se mantiene así a menos que encuentre un objeto en su trayectoria o se someta a un calentamiento no uniforme. Si una aproximación de una región de flujo se puede considerar como irrotacional, las ecuaciones del movimiento se simplifican considerablemente, como se verá en el capítulo 10. → → → En coordenadas cartesianas, (i , j , k ), (x, y, z), y (u, v, w), la ecuación 4-28 se puede desarrollar como sigue: Vector de vorticidad en coordenadas cartesianas:

w v →

u w →

v u →  b i  a  b j  a  bk

y z

z x

x y

za

→

(4-30)

Si el flujo es bidimensional en el plano xy, la componente z de la velocidad (w) es cero y ni u ni v varían con z. Entonces, las dos primeras componentes de la ecuación 4-30 son idénticamente cero y la vorticidad se reduce a: Flujo bidimensional en coordenadas cartesianas: →

v u →  ≤k

x y

z¢

→

y

z

x

FIGURA 4-46 Para un flujo bidimensional en el plano xy, el vector de vorticidad siempre apunta en la dirección z o z. En esta ilustración, la partícula de fluido con forma de bandera gira en contrasentido al movimiento de las manecillas del reloj conforme se mueve en el plano xy; su vorticidad apunta en la dirección z positiva, como se muestra.

(4-31)

Note que si un flujo es bidimensional en el plano xy, el vector de vorticidad debe apuntar en la dirección z o en la z (Fig. 4-46).

EJEMPLO 4-7

FIGURA 4-45 Diferencia entre el flujo rotacional y el irrotacional: los elementos de fluido están en rotación en una región rotacional del flujo, pero no giran en una región irrotacional de ese flujo.

FLUJO

Contornos de vorticidad en un flujo bidimensional

Considere el cálculo CFD de un flujo libre bidimensional que choca contra un bloque de sección transversal rectangular, como se muestra en las figuras 4-33 y 4-34. Trace los contornos de vorticidad y coméntelo.

SOLUCIÓN Tiene que calcularse el campo de vorticidad para un campo dado de velocidad producido por CFD y, a continuación, generar una gráfica de contornos de esa vorticidad. Análisis Supuesto que el campo de flujo es bidimensional, la única componente diferente de cero de la vorticidad está en la dirección z, normal a la página en las figuras 4-33 y 4-34. En la figura 4-47 se muestra una gráfica de contornos de la componente z de la vorticidad para este campo de flujo. La región oscura cerca de la esquina superior izquierda del bloque indica valores negativos grandes de la vorticidad, lo que implica rotación en el sentido del movimiento de las manecillas del reloj de las partículas de fluido en esa región. Esto se debe a los enormes gradientes de velocidad que se encuentran en esta parte del campo de flujo; la capa lími-

Bloque

Plano de simetría

FIGURA 4-47 Gráfica de contornos del campo de vorticidad zz debido al flujo que choca contra un bloque, según se produjo mediante cálculos CFD; sólo se muestra la mitad superior debido a la simetría. Las regiones oscuras representan vorticidad negativa grande y las claras representan vorticidad positiva grande.

156 CINEMÁTICA DE FLUIDOS

te se separa de la pared en la esquina del cuerpo y forma una delgada capa de deslizamiento a través de la cual la velocidad cambia con rapidez. La concentración de la vorticidad en la capa de deslizamiento disminuye conforme esa vorticidad se difunde corriente abajo. La pequeña región con sombra clara cercana a la esquina derecha superior representa una región de vorticidad positiva (rotación en contrasentido al movimiento de las manecillas del reloj) —un patrón secundario de flujo causado por la separación de éste—. Discusión Se espera que la magnitud de la vorticidad sea más alta en regiones en donde las derivadas espaciales de la velocidad sean altas (vea la ecuación 4-30). Un examen minucioso revela que la región oscura de la figura 4-47 en realidad corresponde a los enormes gradientes de velocidad de la figura 4-33. Tenga presente que el campo de vorticidad de la figura 4-47 se promedia en el tiempo. El campo instantáneo de flujo es en realidad turbulento y no estacionario, y los vórtices se derraman del cuerpo escarpado.

EJEMPLO 4-8 Δt = 0

4

Determinación de la rotacionalidad en un flujo bidimensional

Considere el siguiente campo estacionario, incompresible y bidimensional de velocidad: 3

→

→

→

V  (u, v)  x 2 i  (2xy  1) j Δt = 0.25 s

y

¿Es rotacional o irrotacional este flujo? Trace el esquema de algunas líneas de corriente y argumente sobre ello.

2

1

Δt = 0.50 s

0 0

1

2 x

(1)

3

4

SOLUCIÓN Se debe determinar si un flujo con un campo dado de velocidad es rotacional o irrotacional y se deben trazar algunas líneas de corriente en el primer cuadrante. Análisis Supuesto que el flujo es bidimensional, la ecuación 4-31 es válida; de donde: Vorticidad:

FIGURA 4-48 Deformación de una partícula de fluido, inicialmente cuadrada, sometida al campo de velocidad del ejemplo 4-8, durante un periodo de 0.25 s y 0.50 s. También están trazadas varias líneas de corriente en el primer cuadrante. Se ve con claridad que este flujo es rotacional.

→

z¢

→ →

v u →  ≤ k  (2y  0)k  2yk

x y

(2)

Puesto que la vorticidad es diferente de cero, este flujo es rotacional. En la figura 4-48, se han trazado varias líneas de corriente del flujo en el primer cuadrante; se ve que el fluido se mueve hacia abajo y hacia la derecha. También se muestra la traslación y la deformación de una partícula de fluido: en t  0, la partícula de fluido es cuadrada; en t  0.25 s, se ha movido y deformado; y en t  0.50 s, la partícula se ha movido y deformado todavía más. En particular, la porción más cercana hacia la derecha de la partícula se mueve más rápido hacia la derecha y más rápido hacia abajo en comparación con la porción que está más cercana hacia la izquierda, con lo que la partícula se estira en la dirección x y se aplasta en la dirección vertical. Se ve con claridad que también se tiene una rotación neta de la partícula de fluido en sentido del movimiento de las manecillas del reloj, lo cual concuerda con el resultado de la ecuación 2. Discusión Con base en la ecuación 4-29, cada una de las partículas de fluido gi→ → ra con una→velocidad angular igual a v  y k , la mitad del vector de vorticidad. Dado que v no es constante, este flujo no es la rotación de un cuerpo sólido. Más → bien, v es una función lineal de y. Un análisis adicional revela que este campo de flujo es incompresible; el área sombreada que representan la partícula de fluido en la figura 4-48 permanecen constantes en los tres instantes. →

→

→

En coordenadas cilíndricas (er , e u, e z ), (r, u, z) y (ur, uu, uz) la ecuación 4-28 se puede desarrollar como: Vector de vorticidad en coordenadas cilíndricas: →

u r u z → 1 u z u u → 1 (ru u) u r → za  b er  a  b eu  a  b ez r u r r

z

z

r

u

(4-32)

157 CAPÍTULO 4

Para el flujo bidimensional en el plano ru, la ecuación 4-32 se reduce a: y

Flujo bidimensional en coordenadas cilíndricas:

z

1 (ru u) u r →  bk z a r r

u

→

(4-33)

→

Comparación de dos flujos circulares No todos los flujos con líneas de corriente circulares son rotacionales. Para ilustrar este punto, se considerarán dos flujos bidimensionales incompresibles y estacionarios, donde los dos tienen líneas de corriente circulares en el plano ru: Flujo A (rotación de cuerpo sólido):

ur  0

y

u u  vr

(4-34)

Flujo B (vórtice líneal):

ur  0

y

uu 

K r

(4-35)

donde v y K son constantes (los lectores atentos observarán que, en la ecuación 4-35 uu es infinita en r  0, lo cual, por supuesto, es físicamente imposible; para evitar este problema se ignora la región cercana al origen). Como en ambos casos la componente radial de la velocidad es cero, las líneas de corriente son círculos alrededor del origen. En la figura 4-50 se presentan esquemas de los perfiles de velocidad para los dos flujos, junto con sus líneas de corriente. Ahora se calcula y compara el campo de vorticidad para cada uno de estos dos flujos utilizando la ecuación 4-33.

Flujo B (vórtice líneal):

→ → 1 (vr 2) z a  0b k  2vk r

r

x →

→

donde se usa k como el vector unitario en la dirección z, en lugar de e z. Note que si un flujo es bidimensional en el plano ru, el vector de vorticidad debe apuntar en la dirección z o en la z (Fig. 4-49).

Flujo A (rotación de cuerpo sólido):

r u z

FIGURA 4-49 Para un flujo bidimensional en el plano ru, el vector de vorticidad siempre apunta en la dirección z (o z). En esta ilustración, la partícula de fluido con forma de bandera gira en sentido del movimiento de las manecillas del reloj conforme se mueve en el plano ru; su vorticidad apunta en la dirección z.

Flujo A

uu uu = vr

r

→

→ 1 (K) z a  0b k  0 r r

(4-36) a)

→

(4-37)

No es sorprendente que la vorticidad para la rotación de cuerpo sólido sea diferente de cero. De hecho, es constante con magnitud igual al doble de la velocidad angular y apunta en la misma dirección (esto concuerda con la ecuación 4-29). El flujo A es rotacional. Desde el punto de vista físico, esto significa que cada una de las partículas de fluido gira conforme da la vuelta alrededor del origen (Fig. 4-50a). Como contraste, la vorticidad del vórtice líneal es idénticamente cero en todas partes (excepto precisamente en el origen, el cual es una singularidad matemática). El flujo B es irrotacional. Físicamente, las partículas de fluido no giran conforme dan la vuelta alrededor del origen (Fig. 4-50b). Se puede hacer una sencilla analogía entre el flujo A y un carrusel o tiovivo, y el flujo B y una rueda de la fortuna (Fig. 4-51). Conforme el niño se mueve dando la vuelta en un tiovivo, ambos, el niño y el tiovivo, giran con la misma velocidad angular que la de la vuelta. Esto es análogo a un flujo rotacional. Como contraste, el niño en la rueda de la fortuna siempre permanece orientado en una posición vertical conforme describe su trayectoria circular. Esto es análogo a un flujo irrotacional.

Flujo B

uu uu =

K r

r

b)

FIGURA 4-50 Líneas de corriente y perfiles de velocidad para a) el flujo A, rotación de cuerpo sólido y b) flujo B, un vórtice líneal. El flujo A es rotacional, pero el B es irrotacional en todas partes, excepto en el origen.

158 CINEMÁTICA DE FLUIDOS

a)

b)

FIGURA 4-51 Una analogía sencilla: a) el flujo circular rotacional es análogo a un tiovivo, en tanto que b) el flujo circular irrotacional es análogo a una rueda de la fortuna. a) Tony Freeman/PhotoEdit; © Getty RF.

EJEMPLO 4-9

y

Determinación de la rotacionalidad de un sumidero lineal

A menudo se usa un sencillo campo bidimensional de velocidad, llamado sumidero lineal, para simular un fluido que está siendo succionado hacia una recta a lo largo del eje z. Suponga .que se conoce. el gasto volumétrico por unidad de longitud a lo largo del eje z, V /L, en donde V es una cantidad negativa. En dos dimensiones, en el plano ru:

r u x

Sumidero lineal:

ur 

# V 1 2pL r

y

uu  0

(1)

Dibuje varias líneas de corriente del flujo y calcule la vorticidad. ¿Este flujo es rotacional o irrotacional? Líneas de corriente

FIGURA 4-52 Líneas de corriente en el plano ru para el caso de un sumidero lineal.

SOLUCIÓN Se deben trazar las líneas de corriente del flujo dado y determinar su rotacionalidad. Análisis Puesto que sólo existe flujo radial y no tangencial, se sabe de inmediato que todas las líneas de corriente deben entrar al origen. En la figura 4-52 se han trazado varias líneas de corriente. La vorticidad se calcula a partir de la ecuación 4-33: # →

V 1 → 1 (ru u) 1 bb k  0  u rb k  a0  a z a r r

r

u

u 2pL r

→

(2)

Ya que el vector de vorticidad es cero en todas partes, este flujo es irrotacional. Discusión Se puede tener una aproximación bastante exacta de muchos campos prácticos de flujos relacionados con succión, como el flujo hacia admisiones y entradas, suponiendo un flujo irrotacional (Heinsohn y Cimbala, 2003).

4-6

■

EL TEOREMA DEL TRANSPORTE DE REYNOLDS

Con frecuencia, en la termodinámica y la mecánica de los sólidos, se trabaja con un sistema (también llamado sistema cerrado), que se define como una cantidad de materia de masa fija. En la dinámica de fluidos es más común que se trabaje

159 CAPÍTULO 4

con un volumen de control (también conocido como un sistema abierto), el cual se define como una región en el espacio elegida para su estudio. El tamaño y la forma de un sistema pueden cambiar durante un proceso, pero nada de masa cruza sus límites (es decir, la frontera del sistema). Por otra parte, en un volumen de control se permite que la masa entre o salga a través de sus límites, los cuales se conocen como superficies de control. Un volumen de control también puede moverse y deformarse durante un proceso, pero numerosas aplicaciones del mundo real se relacionan con volúmenes de control fijos e indeformables. En la figura 4-53 se ilustra un sistema y un volumen de control para un desodorante que se rocía desde una lata. Cuando se analiza el proceso de atomización, una elección natural para el análisis es el fluido en movimiento y deformación (un sistema) o el volumen limitado por las superficies interiores de la lata (un volumen de control). Estas dos selecciones son idénticas antes de atomizar el desodorante. Cuando se descarga algo del contenido de la lata, en el enfoque de sistema se considera la masa descargada como parte de ese sistema y se le sigue el rastro (una labor en verdad difícil); por lo tanto, la masa del sistema permanece constante. Desde el punto de vista conceptual, esto equivale a sujetar un globo sin inflar a la boquilla de la lata y dejar que el líquido atomizado lo infle. La superficie interior del globo ahora se convierte en parte del límite del sistema. Sin embargo, en el enfoque de volumen de control no se tiene interés en lo absoluto acerca del desodorante que ha escapado de la lata (otro interés que no sea el de sus propiedades a la salida) y de donde la masa del volumen de control disminuye durante este proceso, en tanto que su volumen permanece constante. Por lo tanto, en el enfoque de sistema se trata el proceso de atomización como una expansión del volumen del propio sistema, en tanto que en el de volumen de control se le considera como una descarga de fluido a través de la superficie de control de ese volumen que se considera fijo. La mayoría de los principios de la mecánica de fluidos se adoptan de la mecánica de los sólidos, en donde las leyes físicas que se refieren a las razones de cambio respecto del tiempo de propiedades extensivas se expresan para sistemas. En la mecánica de fluidos, con frecuencia es más conveniente trabajar con volúmenes de control y, por lo tanto, surge la necesidad de relacionar los cambios en un volumen de control con los cambios en un sistema. La relación entre las razones de cambio respecto del tiempo de una propiedad extensiva para un sistema y para un volumen de control se expresa por el teorema del transporte de Reynolds (RTT, Reynolds transport theorem), el cual proporciona el vínculo entre los enfoques de sistema y de volumen de control (Fig. 4-54). El RTT recibe ese nombre en honor al ingeniero inglés Osborne Reynolds (1842-1912), quien realizó un gran esfuerzo por avanzar su aplicación en la mecánica de fluidos. La forma general del teorema del transporte de Reynolds se puede deducir cuando se considera un sistema con una forma e interacciones arbitrarias, pero la deducción es bastante complicada. Para captar el significado fundamental del teorema, primero se le deduce de manera directa, usando una configuración geométrica sencilla y, a continuación, se generalizan los resultados. Considere el flujo de izquierda a derecha por una porción divergente (en expansión) de un campo de flujo como se ilustra en la figura 4-55. Los límites superior e inferior del fluido que se considera son líneas de corriente del flujo y se supone que éste es uniforme a través de cualquier sección transversal entre estas dos líneas. Se elige el volumen de control como un volumen fijo entre las secciones (1) y (2) del campo de flujo. Tanto la sección (1) como (2) son normales a la componente horizontal de la dirección del flujo. En algún instante inicial t, el sistema coincide con el volumen de control y, por lo tanto, los dos son idénticos (la región sombreada de color gris en la figura 4-55). Durante el intervalo de tiempo t, el sistema se mueve en la dirección del flujo, con velocidades uniformes V1 en la sección (1), y V2 en la sección (2). El sistema en este instante ulterior está indicado por la región sombreada con rectas inclinadas. La región des-

FIGURA 4-53 Dos métodos de análisis de la atomización de desodorante desde una lata: a) se sigue el fluido conforme se mueve y se deforma. Éste es el enfoque de sistema (ninguna masa cruza la frontera y la masa total del sistema permanece fija). b) Se considera un volumen interior fijo de la lata. Éste es el enfoque de volumen de control (la masa cruza la frontera).

Sistema

RTT

Volumen de control

FIGURA 4-54 El teorema del transporte de Reynolds (RTT) proporciona un vínculo entre el enfoque de sistema y el de volumen de control.

160 CINEMÁTICA DE FLUIDOS

cubierta por el sistema durante este movimiento está designada como sección I (forma parte del VC) y la nueva región cubierta por el sistema está designada como sección II (no forma parte del VC). Por lo tanto, en el instante t  t, el sistema consiste en el mismo fluido, pero ocupa la región CV  I  II. El volumen de control está fijo en el espacio y en todo instante continúa siendo la región sombreada de color gris que se ha marcado como CV. Represente por B cualquier propiedad extensiva (como la masa, la energía o la cantidad de movimiento) y sea b  B/m la propiedad intensiva correspondiente. Cuando se observe que las propiedades extensivas son aditivas, la propiedad extensiva B del sistema, en los instantes t y t  t se puede expresar como: Bsist, t  BVC, t

(el sistema y el VC (volumen de control) coinciden en el instante t)

Bsist, tt  BVC, tt  BI, tt  BII, tt

Cuando se resta la primera ecuación de la segunda y se divide entre t da: Bsist, tt  Bsist, t t



BVC, tt  BVC, t t



BI, tt t



B, tt t

Se toma el límite cuando t → 0, y se utiliza la definición de derivada, para obtener: dBsist dt

FIGURA 4-55 Un sistema en movimiento (región sombreada con rectas inclinadas) y un volumen fijo de control (región sombreada en color gris) en una porción divergente de un campo de flujo, en los instantes t y t  t. Los límites superior e inferior son líneas de corriente del flujo.



# # dBVC  B ent  B sal dt

(4-38)

o bien: dBsist dt



dBVC  b1r 1V1A 1  b2r 2V2A 2 dt

puesto que BI, tt  b1mI, tt  b1r 1V I, tt  b1r 1V1 t A 1 BII, tt  b2mII, tt  b2 r 2V II, tt  b2 r 2V2 t A 2

y # B ent

# BI

lím

# B sal

# B II

lím

t→0

t→0

BI, t

t

t BII, t

b1r 1V1 t A 1 b1r 1V1 A 1 t b2r 2V2 t A 2 lím b2r 2V2 A 2 t→0 t

lím

t→0

t

t

donde A1 y A2 son las áreas de las secciones transversales en las ubicaciones 1 y 2. La ecuación 4-38 expresa que la razón de cambio respecto del tiempo de la propiedad B del sistema es igual a la razón de cambio de B respecto del tiempo del volumen de control más el flujo neto de B hacia fuera de este volumen debido a la masa que cruza la superficie de control. Ésta es la relación deseada ya que relaciona el cambio de una propiedad de un sistema con el cambio de esa propiedad para un volumen de control. Note que la ecuación 4-38 se aplica en cualquier instante, en donde se supone que el sistema y el volumen de control ocupan el mismo espacio en ese instante particular. . . En este caso, el flujo de entrada Bent y el de salida, Bsal de la propiedad B son fáciles de determinar, ya que sólo se tiene una entrada y una salida, y las velocidades son aproximadamente normales a las superficies en las secciones (1) y (2). Sin embargo, en general, se pueden tener varias entradas y salidas y puede ser que la velocidad no sea normal a la superficie de control en el punto de ingreso. Asimismo, puede ser que la velocidad no sea uniforme. Con la finalidad de generalizar el proceso, se considera un área superficial diferencial, dA sobre → la superficie de control y se denota su vector normal exterior unitario por n . → → El gasto de la propiedad b a través de dA es rbV · n dA ya que el producto punto → → V · n da la componente normal de la velocidad. Entonces, por integración se

161 CAPÍTULO 4

determina que la razón neta de flujo de salida a través de toda la superficie de control (SC) es (Fig. 4-56): # # # B neta  B sal  B ent 



→

→

rbV  n dA

(flujo de entrada si es negativo)

(4-39)

SC

Un aspecto importante de esta relación es que de manera automática se resta el flujo de entrada del de salida, como se explica a continuación. El producto punto del vector de velocidad en un punto de la superficie de control y el vector normal exterior en ese punto es V  n  V

n cos u  V cos u , en donde u es el ángulo entre esos dos vectores,→ como se muestra en la figura 4-57. Para u  90 , → masa del voluse tiene cos u  0, de donde V · n  0 para el flujo de salida de → → men de control; y para u  90 , se tiene cos u  0, de donde V · n  0 para el flujo de→entrada de masa al volumen de control. Por lo tanto, la cantidad diferen→ cial rbV · n dA es positiva para la masa que fluye hacia fuera del volumen de control y negativa para la masa que fluye hacia dentro de ese volumen, y su integral sobre la superficie completa de control da la razón de flujo neto de salida de la propiedad B debido a la masa que cruza la superficie. En general, dentro del volumen de control, las propiedades pueden variar con la posición. En ese caso, la cantidad total de la propiedad B dentro del volumen de control debe determinarse por integración: BVC 



rb d V

(4-40)

VC

FIGURA 4-56 → → La integral de rbV  n dA sobre la superficie de control da la cantidad neta de la propiedad que fluye hacia afuera del volumen de control (hacia el volumen de control, si es negativa) por unidad de tiempo.



d rb dV , y dt VC representa la razón de cambio respecto del tiempo del contenido de la propiedad B en el volumen de control. Un valor positivo de dBVC/dt indica un aumento en el contenido de B, y uno negativo indica una disminución. Con la sustitución de las ecuaciones 4-39 y 4-40 en la ecuación 4-38 se llega al teorema del transporte de Reynolds, conocido también como transformación de sistema a volumen de control para un volumen fijo de control: Por lo tanto, el término dBVC/dt de la ecuación 4-38 es igual a

RTT, VC fijo:

dBsist dt



d dt



rb d V 

VC



→

→

rbV  n dA

(4-41)

SC

Puesto que el volumen de control no se mueve ni se deforma con el tiempo, la derivada respecto del tiempo en el primer término de la expresión del lado derecho de la ecuación se puede introducir a la integral, dado que el dominio de integración no cambia con el tiempo (en otras palabras, es irrelevante si se deriva o se integra primero). Pero, en ese caso, la derivada respecto del tiempo se debe expresar como una derivada parcial ( / t), ya que tanto la densidad como la cantidad b pueden depender de la posición dentro del volumen de control. Una forma alternativa del teorema del transporte de Reynolds para un volumen fijo de control es: dBsist RTT alternativo, VC fijo:

dt



(rb) d V 

t VC



 rbV  n dA →

→

(4-42)

SC

Resulta que la ecuación 4-42 también es válida para el caso más general de un volumen de control móvil y/o deformable, siempre y cuando ese vector de velo→ cidad V sea una velocidad absoluta (vista desde un marco de referencia fijo). A continuación se considera una alternativa más de expresar RTT. La ecuación 4-41 se dedujo para un volumen fijo de control. Sin embargo, muchos sistemas prácticos, como la turbina y las aspas de una hélice, incluyen volúmenes no fijos de control. Por fortuna, la ecuación 4-41 también es válida para volúmenes → de control en movimiento o deformación, siempre que la velocidad absoluta V → del fluido del último término se reemplace por la velocidad relativa V r .

FIGURA 4-57 Flujo de entrada y de salida de masa a través del área diferencial de una superficie de control.

162 CINEMÁTICA DE FLUIDOS →

Velocidad relativa:

→

V

→

VSC

Vr

→

→

V

(4-43)

VSC

→

donde V SC es la velocidad local de la superficie de control (Fig. 4-58). De donde, la forma más general del teorema del transporte de Reynolds es: RTT, VC no fijo:

SC

dBsist

d dt

dt →

→

→

Vr = V – VSC →

–VSC

FIGURA 4-58 La velocidad relativa que cruza una superficie de control se encuentra por la adición vectorial de la velocidad absoluta del fluido y la velocidad opuesta a la velocidad local de la superficie de control.

→

rb d V

→

(4-44)

rbVr n dA

VC

SC

Note que para un volumen de control que se mueve o deforma con el tiempo, la derivada respecto del tiempo debe aplicarse después de la integración, como en la ecuación 4-44. Como un ejemplo sencillo de un volumen de control en movimiento, considere un automóvil de juguete que se desplaza a una velocidad ab→ hacia la derecha. Un chorro de agua a alta velosoluta constante V auto  10 km/h → cidad (velocidad absoluta  V chorro  25 km/h hacia la derecha) choca contra la parte posterior del automóvil de juguete y lo impulsa (Fig. 4-59). Si se traza un → volumen de control alrededor del cochecito, la velocidad relativa es V r  25  10  15 km/h hacia la derecha. Esto representa la velocidad a la cual un observador que se mueve con el volumen de control (en movimiento con el→ coche) observaría el fluido cruzar la superficie de control. En otras palabras, V r es la velocidad del fluido que se expresa con relación a un sistema de coordenadas que se mueve con el volumen de control. Por último, mediante la aplicación del teorema de Leibnitz, se puede demostrar que el teorema del transporte de Reynolds para un volumen de control general que se mueve o deforma (Ec. 4-44) equivale a la forma dada por la ecuación 4-42, la cual se repite en seguida: RTT alternativo, VC no fijo:

dBsist dt

VC

t

→

(rb) d V

→

rbV n dA

(4-45)

SC →

En contraste con la ecuación 4-44, el vector de velocidad V de la ecuación 4-45 debe tomarse como la velocidad absoluta (según se ve desde un marco de referencia fijo) para aplicarse a un volumen no fijo de control. Durante el flujo estacionario, la cantidad de la propiedad B que está dentro del volumen de control permanece constante en el tiempo y la derivada respecto del tiempo de la ecuación 4-44 resulta cero. Entonces el teorema del transporte de Reynolds se reduce a:

Marco de referencia absoluto: Volumen de control →

Vchorro

→

Vauto

Marco de referencia relativo: Volumen de control →

→

→

Vr = Vchorro – Vauto

FIGURA 4-59 Teorema del transporte de Reynolds aplicado a un volumen de control en movimiento a velocidad constante.

RTT, flujo estacionario:

dBsist dt

→

→

rbVr n dA

(4-46)

SC

Note que, a diferencia del volumen de control, el contenido de la propiedad B del sistema puede cambiar con el tiempo durante un proceso estacionario. Pero, en este caso, el cambio debe ser igual a la propiedad neta transportada por la masa a través de la superficie de control (un efecto convectivo en lugar de un efecto no estacionario). En la mayoría de las aplicaciones prácticas del RTT a la ingeniería, el fluido cruza el límite del volumen de control en un número finito de admisiones y salidas bien definidas (Fig. 4-60). En esos casos, es conveniente cortar la superficie de control directamente a través de cada admisión y cada salida, y reemplazar la integral de superficie de la ecuación 4-44 con expresiones algebraicas aproximadas en cada una de ellas, basadas en los valores promedios de las propiedades del fluido que cruza la frontera. Defina rprom, bprom y Vr, prom como los valores promedio de r, b y Vr, respectivamente, a través de una admisión o de una sa1 lida con área A de la sección transversal (por ejemplo, bprom b dA). EnA A

163 CAPÍTULO 4

tonces, se tiene una aproximación de las integrales de superficie del RTT (Ec. 4-44), cuando se aplican sobre una admisión o una salida de área A de la sección transversal, extrayendo la propiedad b de la integral de superficie y reemplazándola con su promedio. Ésta conduce a: →

→

r

prom

A

→

3 1

#

 rbV  n dA  b  rV  n dA  b →

VC

2

prom m r

r

A

. donde mr es el gasto de masa a través de la admisión o de la salida en relación con la superficie de control (en movimiento). La aproximación en esta ecuación es exacta cuando la propiedad b es uniforme sobre el área A de la sección transversal. La ecuación 4-44 queda: dBsist dt



d dt



VC

# # rb d V  a mr bprom  a mr bprom sal

para cada salida

adm

(4-47)

para cada admisión

En algunas aplicaciones, se puede volver a escribir la ecuación 4-47 en términos de gasto o flujo volumétrico (en vez # de flujo# másico). En esos casos, se hace una aproximación adicional, que m r  r promV r  r promVr, prom A . Esta aproximación es exacta cuando la densidad del fluido r es uniforme sobre A; entonces la ecuación 4-47 se reduce a:

FIGURA 4-60 Ejemplo de volumen de control en el cual se tiene una admisión bien definida (1) y dos salidas bien definidas (2 y 3). En esos casos, la integral sobre la superficie de control en el RTT se puede escribir de manera más conveniente en términos de los valores promedios de las propiedades del fluido que cruza cada admisión y cada salida.

RTT aproximado para admisiones y salidas bien definidas: dBsist dt



d dt



VC

rb d V  a r prom bpromVr, prom A  a r prombpromVr,prom A sal

adm

para cada salida

(4-48)

para cada admisión

Note que estas aproximaciones simplifican mucho el análisis, pero puede ser que no siempre sean exactas, en especial en los casos en donde la distribución de la velocidad a lo largo del área de la admisión o salida no es muy uniforme (por ejemplo, los flujos en tubos; Fig. 4-60). En particular, la integral de la superficie de control de la ecuación 4-45 se vuelve no lineal cuando la propiedad b contiene un término de velocidad (por ejemplo, cuando se aplica el RTT a la → ecuación del momento lineal, b  V ), y la aproximación de la ecuación 4-48 conduce a errores. Por fortuna, se pueden eliminar los errores por medio de la inclusión de factores de corrección en la ecuación 4-48, como se comenta en los capítulos 5 y 6. Las ecuaciones 4-47 y 4-48 se aplican a volúmenes de control fijos o en movimiento pero, como se comentó con anterioridad, se debe usar la velocidad relativa para el caso de un volumen no fijo de control. Por ejemplo, en la ecuación . 4-47, el gasto de masa, mr es relativo a la superficie (en movimiento) de control, por ello el subíndice r.

*Deducción alternativa del teorema del transporte de Reynolds Es posible una deducción matemática más elegante del teorema del transporte de Reynolds mediante el uso del teorema de Leibniz (véase Kundu y Cohen, 2008). Es probable que el lector esté familiarizado con la versión unidimensional de este teorema, el cual le permite derivar una integral cuyos límites de integración son funciones de la variable con respecto de la cual necesita derivar (Fig. 4-61): Teorema unidimensional de Leibniz: d dt



x  b(t)

x  a(t)

G(x, t) dx 



a

b

G db da dx  G(b, t)  G(a, t)

t dt dt

* Se puede omitir esta sección sin pérdida de continuidad.

(4-49)

G(x, t)



x = b(t) G(x, t) dx

x = a(t)

a(t)

b(t)

x

FIGURA 4-61 Se necesita el teorema unidimensional de Leibniz cuando se calcula la derivada respecto del tiempo de una integral (con respecto a x) para la cual los límites de la misma son funciones del tiempo.

164 CINEMÁTICA DE FLUIDOS

El teorema de Leibniz toma en cuenta el cambio de los límites a(t) y b(t) respecto del tiempo, así como los cambios no estacionarios del integrando G(x, t) con el tiempo. EJEMPLO 4-10

Integración unidimensional de Leibniz

Simplifique la siguiente expresión tanto como sea posible:

F(t) 

d dt



x  Ct

e  x dx 2

(1)

x0

SOLUCIÓN Debe evaluarse F (t) a partir de la expresión dada. Análisis Se podría intentar primero la integración y, a continuación, derivar, pero ya que la ecuación 1 es de la forma de la ecuación 4-49, se usará el teorema 2 unidimensional de Leibniz. En este caso, G(x, t)  ex (G no es función del tiempo en este ejemplo sencillo). Los límites de integración son a(t)  0 y b(t)  Ct. De donde:



F(t) 

b

G db da dx  G(b, t)  G(a, t)

t dt dt

a

0

C

e

b2

F(t)  CeC t

2 2

→

(2)

0

Discusión Se le da la bienvenida al lector para que intente obtener la misma solución sin aplicar el teorema de Leibniz.

En tres dimensiones, el teorema de Leibniz para una integral de volumen es: Teorema tridimensional de Leibniz: d dt



G(x, y, z, t) d V 

V (t)

G dV 

t V (t)





→

→

GVA  n dA

(4-50)

A(t)

donde V(t) es un volumen en movimiento o deformación (función del tiempo), → A(t) es su superficie (frontera) y V A es la velocidad absoluta de esta superficie (en movimiento) (Fig. 4-62). La ecuación 4-50 es válida para cualquier volumen, que se mueve o se deforma arbitrariamente en el espacio y tiempo. En beneficio de la coherencia con los análisis anteriores, se hace que la función a integrar G sea rb para su aplicación al flujo de fluidos: Teorema tridimensional de Leibniz aplicado al flujo de fluidos: d dt

FIGURA 4-62 Se necesita el teorema tridimensional de Leibniz cuando se calcula la derivada respecto del tiempo de una integral de volumen para la cual el propio volumen se mueve o se deforma con el tiempo. Resulta que se puede usar la forma tridimensional del teorema Leibniz en una deducción alternativa del teorema del transporte de Reynolds.



rb d V 

V (t)

(rb) d V 

t V (t)





→

→

rbVA  n dA

(4-51)

A(t)

Si se aplica el teorema de Leibniz al caso especial de un volumen de sustancia → → (un sistema de masa fija que se mueve con el flujo del fluido), entonces V A  V en todas partes sobre la superficie de este volumen de sustancia, porque se mue→ ve con el fluido. En este caso, V es la velocidad local del fluido y la ecuación 4-51 queda: Teorema de Leibniz aplicado a un volumen de sustancia: d dt



V (t)

rb d V 

dBsist dt



(rb) d V 

t V (t)





→

→

rbV  n dA

(4-52)

A(t)

La ecuación 4-52 es válida en cualquier instante t. Se define el volumen de control de manera tal que, en este instante t, el volumen y el sistema ocupen el mismo espacio; en otras palabras, que sean coincidentes. En algún instante ulterior t  t, el sistema se movió y deformó con el flujo, pero el volumen de control puede haberse movido y deformado de manera diferente (Fig. 4-63). Sin

165 CAPÍTULO 4

embargo, la clave es que en el instante t, el sistema (volumen de sustancia) y el volumen de control son uno y el mismo. Así, se puede evaluar la integral de volumen de la parte derecha de la ecuación 4-52 sobre el volumen de control en el instante t, y la integral de superficie se puede evaluar sobre la superficie de control en el instante t; donde:

 (rb) d V  dt

t VC

dBsist

RTT general, VC no fijo:





rbV  ndA

Sistema (volumen de sustancia) y volumen de control en el instante t Sistema en el instante t + Δt

Flujo

(4-53)

SC

Esta expresión es idéntica a la de la ecuación 4-42 y es válida para un volumen de control con →forma arbitraria, en movimiento o deformación, en el instante t. Recuerde que V de la ecuación 4-53 es la velocidad absoluta del fluido.

EJEMPLO 4-11

Teorema del transporte de Reynolds en función de la velocidad relativa

A partir del teorema de Leibniz y del teorema general del transporte de Reynolds para un volumen de control que se mueve y deforma arbitrariamente, ecuación 4-53, pruebe que la ecuación 4-44 es válida.

SOLUCIÓN Debe probarse la ecuación 4-44. Análisis La versión tridimensional general del teorema de Leibniz (Ec. 4-50) se aplica a cualquier volumen. Elija aplicarlo al volumen de control de interés, el cual puede estar en movimiento o deformándose de manera diferente que el volumen de sustancia (Fig. 4-63). Al hacer G igual a rb, la ecuación 4-50 queda:

d dt



rb d V 

VC

(rb) d V 

t VC





rbVSC  n dA

(1)

SC

Se despeja la integral del volumen de control en la ecuación 4-53,

dBsist

(rb) d V  

t dt VC





rbV  n dA

(2)

SC

sustituye la ecuación 2 en la 1, y se obtiene

d dt



dBsist

rb d V 

dt

VC





rbV  n dA 

SC



rbVSC  n dA

(3)

SC

Se combinan los dos últimos términos y se reordenan:

dBsist dt



d dt



rb d V 

VC



rb(V  VSC)  n dA

(4)

SC

Pero, recuérdese que la velocidad relativa se define por la ecuación 4-43; donde:

RTT en términos de la velocidad relativa: dBsist dt



d dt



VC

Rb dV 



RbVr  n dA

(5)

SC

Discusión Efectivamente, la ecuación 5 es idéntica a la ecuación 4-44 y se demuestra el poder y la elegancia del teorema de Leibniz.

Relación entre la derivada material y el RTT El lector puede haber advertido una semejanza o analogía entre la derivada material, comentada en la sección 4-1, y el teorema del transporte de Reynolds, discutido en esta sección. De hecho, los dos análisis representan métodos para trans-

Volumen de control en el instante t + Δt

FIGURA 4-63 El volumen de sustancia (sistema) y el volumen de control ocupan el mismo espacio en el instante t (el área sombreada), pero se mueven y se deforman de manera diferente. En un instante ulterior no son coincidentes.

166 CINEMÁTICA DE FLUIDOS Descripción lagrangiana

D Dt

Descripción euleriana

Análisis de sistema

RTT

Análisis de volumen de control

FIGURA 4-64 El teorema del transporte de Reynolds para volúmenes finitos (análisis integral) es análogo a la derivada material para volúmenes diferenciales (análisis diferencial). En ambos casos, se transforma de un punto de vista lagrangiano o de sistema a un punto de vista euleriano o de volumen de control.

formar conceptos fundamentalmente lagrangianos a interpretaciones eulerianas de esos conceptos. Aun cuando el teorema del transporte de Reynolds trata de volúmenes de control de tamaño finito y la derivada material lo hace con partículas infinitesimales de fluido, la misma interpretación física fundamental se aplica a los dos (Fig. 4-64). De hecho, el teorema del transporte de Reynolds se puede concebir como la contraparte integral de la derivada material. En cualquiera de los dos casos, la razón total de cambio de alguna propiedad que sufre una porción identificada de fluido consta de dos partes: se tiene una parte local o no estacionaria que toma en cuenta los cambios en el campo de flujo con el tiempo (compare el primer término de la parte derecha de la ecuación 4-12 con el de la ecuación 4-45). También existe una parte convectiva que toma en cuenta el movimiento del fluido de una región del flujo hacia otra (compare los segundos términos de las partes derechas de las ecuaciones 4-12 y 4-45). Justamente como la derivada material se puede aplicar a cualquier propiedad de un fluido, escalar o vectorial, el teorema del transporte de Reynolds se puede aplicar también a cualquier propiedad escalar o vectorial. En los capítulos 5 y 6 se aplica el teorema del transporte de Reynolds a la conservación de la masa, de la energía, de la cantidad de movimiento y del momento angular, seleccionando como la propiedad B masa, energía, cantidad de movimiento y momento angular, respectivamente. De esta manera, se puede pasar con facilidad, al partir de las leyes fundamentales de conservación del sistema (punto de vista lagrangiano), hacia formas que son válidas y útiles en un análisis del volumen de control (punto de vista euleriano).

RESUMEN La cinemática de fluidos se interesa en describir el movimiento de fluidos sin necesidad de analizar las fuerzas responsables que lo causan. Existen dos descripciones fundamentales del movimiento de fluidos: lagrangiana y euleriana. En una descripción lagrangiana se siguen cada una de las partículas del fluido o agrupaciones de partículas de éste, en tanto que en la descripción euleriana se define un volumen de control a través del cual el fluido fluye hacia adentro o hacia afuera. Se transforman las ecuaciones del movimiento, de lagrangianas a eulerianas, mediante el uso de la derivada material para las partículas de fluido infinitesimales y la aplicasción del teorema del transporte de Reynolds (RTT) para sistemas de volumen finito. Para alguna propiedad extensiva B o su correspondiente propiedad intensiva b: → → Db b   (V  §)b Dt

t

Derivada material: RTT general, VC no fijo: dBsist dt



(rb) d V 

t VC





→

→

rbV  n dA

SC

En ambas ecuaciones, el cambio total de la propiedad, siguiendo una partícula de fluido o siguiendo un sistema, está formado por dos partes: una parte local (no estacionaria) y una parte convectiva (de movimiento). Existen varias maneras de visualizar y analizar los campos de flujo: líneas de corriente, líneas de traza, líneas de trayectoria, líneas fluidas, formación de imágenes de flujo a lo largo de superficie, fotografías por sombras, estriogramas, gráficas de perfi-

les, gráficas vectoriales y gráficas de contornos. En este capítulo se definen cada una de ellas y se dan ejemplos. En el flujo no estacionario general, las líneas de corriente, las de traza y las de trayectoria difieren, pero en el flujo estacionario, las líneas de corriente, las de traza y las de trayectoria coinciden. Se necesitan cuatro razones fundamentales del movimiento (razones de deformación) para describir por completo la cinemática del flujo de un fluido: la velocidad (razón de traslación), la velocidad angular (razón de rotación), la razón de deformación lineal, y la razón de deformación por esfuerzo cortante. La vorticidad es una propiedad de los flujos de fluidos que indica la rotacionalidad de las partículas del fluido. →

Vector vorticidad:

→

→

→

→

z  § V  rot (V)  2v

Una región del flujo es irrotacional si la vorticidad es cero en esa región. Los conceptos aprendidos en este capítulo se usan repetidas veces en todo el resto del libro. Se aplica el RTT para transformar las leyes de conservación de los sistemas cerrados hacia los volúmenes de control en los capítulos 5 y 6, y una vez más en el capítulo 9, en la deducción de las ecuaciones diferenciales del movimiento de fluidos. El papel de la vorticidad y de la irrotacionalidad se analiza nuevamente con mayor detalle en el capítulo 10, en donde se demuestra que la aproximación de irrotacionalidad reduce considerablemente la complejidad de la resolución de los problemas relacionados con flujos de fluidos. Por último, en casi todos los capítulos de este libro se usan varios tipos de visualización del flujo y de gráficas de los datos para describir la cinemática de campos de flujo que se dan como ejemplos.

167 CAPÍTULO 4

PROYECTOR DE APLICACIONES

■

Actuadores fluídicos

Autor invitado: Ganesh Raman, Illinois Institute of Technology Los actuadores fluídicos son aparatos en los que se utilizan circuitos lógicos de fluidos para producir velocidad oscilatoria o perturbaciones de la presión en chorros y capas de deslizamiento, para retrasar la separación, mejorar el mezclado y suprimir el ruido. Son potencialmente útiles para aplicaciones de control del flujo en la capa de deslizamiento, por muchas razones: no tienen piezas móviles; pueden producir perturbaciones que son controlables en frecuencia, amplitud y fase; pueden operar en medios ambientes térmicos severos y no son susceptibles a la interferencia electromagnética, son fáciles de integrar en un aparato en funcionamiento. Aun cuando la tecnología fluídica ha estado por allí durante muchos años, los avances recientes en la miniaturización y la microfabricación los han convertido en candidatos muy atractivos para el uso práctico. El actuador fluídico produce un flujo oscilatorio autosostenido que aplica los principios de fijación a la pared y contraflujo que ocurren dentro de los pasos en miniatura del aparato. En la figura 4-65 se demuestra la aplicación de un actuador fluídico para dirigir el empuje de un chorro. La dirección fluídica del empuje es importante para los diseños futuros de aeronaves, ya que pueden mejorar la maniobrabilidad, sin la complejidad de las superficies adicionales cercanas al escape de la tobera. En las tres imágenes de la figura 4-65, el chorro primario se descarga de derecha a izquierda y un solo actuador fluídico está ubicado en la parte superior. En la figura 4-65a, se muestra el chorro no perturbado. En las figuras 4-65b y c se muestra el efecto de imprimir dirección en dos niveles de actuación fluídica. Los cambios producidos en el chorro primario se caracterizan con la aplicación de velocimetría por imagen de partículas (PIV, particle image velocimetry). Una explicación simplificada es la siguiente: en esta técnica se introducen partículas trazadoras en el flujo y se iluminan mediante una cortina delgada de luz láser a la que se le pulsa para congelar el movimiento de esas partículas. La luz láser dispersada por las partículas se registra en dos instantes usando una cámara digital. Cuando se aplica una correlación espacial cruzada, se obtiene el vector de desplazamiento local. Los resultados indican que existe la posibilidad de integrar subelementos fluídicos múltiples en los componentes de aeronaves para mejorar el desempeño. En realidad, la figura 4-65 es una combinación de gráfica vectorial y gráfica de contornos. Los vectores de velocidad están sobrepuestos a las gráficas de contornos de la magnitud de la velocidad (rapidez). Las regiones blancas representan altas velocidades y las oscuras representan las bajas. Bibliografía Raman, G., Packiarajan, S., Papadopoulos, G., Weissman, C. y Raghu, S., “Jet Thrust Vectoring Using a Miniature Fluidic Oscillator”, ASME FEDSM 2001-18057, 2001. Raman, G., Raghu, S. y Bencic, T. J., “Cavity Resonance Suppression Using Miniature Fluidic Oscillators”, artículo 99-1900 de la AIAA, 1999.

a)

b)

c)

FIGURA 4-65 Campo de velocidad promediado en el tiempo, de un chorro de un actuador fluídico. Los resultados son de 150 realizaciones PIV, sobrepuestos sobre una imagen del flujo impregnado de partículas sólidas. Cada séptimo y segundo vector velocidad se muestran en las direcciones horizontal y vertical, respectivamente. Los niveles de contorno denotan la magnitud del campo de velocidad en m/s. a) Sin actuación; b) un solo actuador operando a 3 psig; c) un solo actuador operando a 9 psig. Cortesía de Ganesh Raman, Illinois Institute of Technology. Reproducida con autorización.

168 CINEMÁTICA DE FLUIDOS

BIBLIOGRAFÍA Y LECTURAS RECOMENDADAS 1. R. J. Adrian, “Particle-Imaging Technique for Experimental Fluid Mechanics”, Annual Reviews in Fluid Mechanics, 23, 1991, pp. 261-304. 2. J. M. Cimbala, H. Nagib y A. Roshko, “Large Structure in the Far Wakes of Two-Dimensional Bluff Bodies”, Journal of Fluid Mechanics, 190, 1988 , pp. 265-298. 3. R. J. Heinsohn y J. M. Cimbala, Indoor Air Quality Engineering, Nueva York: Marcel-Dekker, 2003. 4. P. K. Kundu e I.M. Cohen, Fluid Mechanics, Ed. 4, Londres, Inglaterra – Elsevier Inc., 2008.

5. W. Merzkirch, Flow Visualization, 2a. ed. Orlando, FL: Academic Press, 1987. 6. G. S. Settles, Schlieren and Shadowgraph Techniques: Visualizing Phenomena in Transparent Media, Heidelberg: Springer-Verlag, 2001. 7. M. Van Dyke, An Album of Fluid Motion, Stanford, CA: The Parabolic Press, 1982. 8. F. M. White, Viscous Fluid Flow, 2a. ed., Nueva York: McGraw-Hill, 1991.

PROBLEMAS* Problemas de introducción 4-1C Explique brevemente la diferencia entre los operadores de derivada d y . Si la derivada u/ x aparece en una ecuación, ¿qué implica esto acerca de la variable u? 4-2C ¿Qué significa la palabra cinemática? Explique qué abarca el estudio de la cinemática de fluidos. 4-3 Considere el flujo estacionario de agua por una boquilla axialmente simétrica de una manguera de jardín (Fig. P4-3). A lo largo de la línea central de la boquilla, la magnitud de la velocidad del agua aumenta de uentrada hasta usalida, como se muestra en la figura. Las mediciones revelan que la magnitud de la velocidad del agua en la línea central aumenta en forma parabólica a lo largo de la boquilla. Escriba una ecuación para la magnitud de la velocidad en la línea central, u(x), con base en los parámetros dados desde x  0 hasta x  L.

4-4 Considere el siguiente campo bidimensional estacionario de velocidad: →

→

→

V  (u, v)  (0.66  1.3x) i  (2.7  1.3y) j

¿Existe un punto de estancamiento en este campo de flujo? Si es así, ¿dónde está? Respuesta: x  0.508, y  2.08 4-5 Un campo de velocidad uniforme bidimensional está dado por → → → V  (u, v)  (0.781  4.67x) i  (3.54  4.67y) j Calcule las coordenadas del punto de estancamiento. 4-6 Considere el siguiente campo bidimensional estacionario de velocidad: →

→

→

V  (u, v)  (a 2  (b  cx)2) i  (2cby  2c 2xy) j

¿Existe un punto de estancamiento en este campo de flujo? Si es así, ¿dónde está?

Descripciones lagrangiana y euleriana Dentrada

Dsalida

4-7C ¿Cuál es la descripción lagrangiana del movimiento de fluidos?

uentrada

usalida u(x)

x=0

4-8C El método lagrangiano del análisis del flujo de fluidos ¿es más semejante al estudio de un sistema o al de un volumen de control? Explíquelo. 4-9C ¿Cuál es la descripción euleriana del movimiento de fluidos? ¿En qué difiere de la descripción lagrangiana?

x=L

4-10C Se coloca una sonda estacionaria en el flujo de un fluido y se mide la presión y la temperatura como funciones del

FIGURA P4-3

* Los problemas designados por una “C” son preguntas de concepto y se alienta a los estudiantes a dar respuesta a todas. Los problemas designados por una “I” están en unidades inglesas y los usuarios del SI pueden ignorarlos. Los problemas con el ícono son de comprensión y se recomienda emplear un software como EES para resolverlos. Los problemas con el ícono pueden resolverse con el software FlowLab.

Flujo Sonda

FIGURA P4-10C

169 CAPÍTULO 4

tiempo en un lugar del flujo (Fig. P4-10C). ¿Ésta es una medición lagrangiana o una euleriana? Explíquelo. 4-11C Una diminuta sonda electrónica de presión, neutralmente flotante, se libera dentro del tubo de admisión de una bomba de agua y transmite 2 000 lecturas de presión por segundo conforme pasa por dicha bomba. ¿Ésta es una medición lagrangiana o euleriana? Explíquelo. 4-12C Unos meteorólogos lanzan un globo meteorológico hacia la atmósfera. Cuando el globo alcanza una altitud en donde es neutralmente flotante, transmite información acerca de las condiciones del tiempo hacia las estaciones de monitoreo en tierra (Fig. P4-12C). ¿Ésta es una medición lagrangiana o una euleriana? Explíquelo.

4-14C El método euleriano del análisis del flujo de fluidos ¿es más semejante al estudio de un sistema o al de un volumen de control? Explíquelo. 4-15C Defina un campo estacionario de flujo en el marco de referencia euleriano. En un flujo estacionario de este tipo, ¿es posible para una partícula de fluido experimentar una aceleración diferente de cero? 4-16C Haga una lista de al menos otros tres nombres para la derivada material y escriba una breve explicación acerca de por qué cada nombre es apropiado. 4-17 Considere el flujo bidimensional, incompresible y estacionario por un ducto convergente (Fig. P4-17). Un sencillo campo aproximado de velocidad para este flujo es: →

→

→

V  (u, v)  (U0  bx) i  by j

Globo meteorológico lleno de helio

donde U0 es la velocidad horizontal en x  0. Note que en esta ecuación se ignoran los efectos viscosos a lo largo de las paredes, pero es una aproximación razonable para toda la gran parte del campo de flujo. Calcule la aceleración material para las partículas de fluido que pasan por este ducto. Dé su respuesta de dos maneras: 1) como las componentes de aceleración ax y ay y → 2) como el vector de aceleración a .

Instrumentación transmisora

y x

FIGURA P4-12C U0

4-13C A menudo se puede ver una sonda estática de Pitot que sobresale por la parte inferior de un avión (Fig. P4-13C). Conforme el avión vuela, la sonda mide la velocidad relativa del viento. ¿Ésta es una medición lagrangiana o euleriana? Explíquelo.

FIGURA P4-17 4-18 Se modela el flujo en un ducto convergente mediante el campo bidimensional y estacionario de velocidad del problema 4-17. El campo de presión se da por: P  P0 

r B2U0 bx  b 2(x 2  y 2)R 2

donde P0 es la presión en x  0. Genere una expresión para la razón de cambio de la presión siguiendo una partícula de fluido.

Sonda

4-19 Se da un campo bidimensional, incompresible y estacionario de velocidad por las siguientes componentes en el plano xy: u  1.85  2.33x  0.656y v  0.754  2.18x  2.33y

FIGURA P4-13C

Calcule el campo de aceleración (encuentre expresiones para las componentes de aceleración ax y ay), y calcule la aceleración en el punto (x, y)  (1, 2). Respuestas: ax  0.806, ay  2.21

170 CINEMÁTICA DE FLUIDOS

4-20 Se da un campo bidimensional, incompresible y estacionario de velocidad por las siguientes componentes en el plano xy: u  0.205  1.72x  0.851y v  0.509  0.953x  1.72y Calcule el campo de aceleración (encuentre expresiones para las componentes de aceleración ax y ay), y calcule la aceleración en el punto (x, y)  (1, 3). 4-21 Un campo de velocidad uniforme, incompresible, bidimensional (en el plano xy) está dado por →

→

→

V  (0.523  1.88x  3.94y) i  (2.44  1.26x  1.88y) j Calcule la aceleración en el punto (x, y)  (1.55, 2.07).

4-22 Para el campo de velocidad del problema 4-3, calcule la aceleración del fluido a lo largo de la línea central de la boquilla como función de x y los parámetros dados. 4-23 Considere el flujo estacionario en el difusor de un túnel de viento (Fig. P4-23). A lo largo de la línea central del difusor, la magnitud de la velocidad del aire disminuye de uentrada hasta usalida como se muestra en la figura. Las mediciones revelan que la magnitud de la velocidad del aire en la línea central decrece en forma parabólica a lo largo del difusor. Escriba una ecuación para la magnitud de la velocidad en la línea central, u(x), basada en los parámetros dados desde x  0 hasta x  L.

FIGURA P4-26C Visualización del flujo sobre un cono de 12°, a un ángulo de ataque de 16° y con un número de Reynolds de 15 000. La visualización se produce por fluido coloreado que se inyecta en el agua por orificios que están en el cuerpo. Cortesía de ONERA. Fotografía tomada por Werlé.

4-27C ¿Cuál es la definición de línea de trayectoria? ¿Qué indican las líneas de trayectoria? 4-28C ¿Cuál es la definición de línea de traza? ¿En qué difieren las líneas de traza de las de corriente? 4-29C Considere la visualización del flujo sobre un ala de un planeador delta de 15° de la figura P4-29C. ¿Se están viendo líneas de corriente, de traza, de trayectoria o la línea fluida? Explíquelo.

Dsalida Dentrada u(x)

usalida

uentrada

x=0

x=L

FIGURA P4-23

4-24 Para el campo de velocidad del problema 4-23, calcule la aceleración del fluido a lo largo de la línea central del difusor como función de x y los parámetros dados. Para L  1.56 m, uentrada  24.3 m/s, y usalida  16.8 m/s, calcule la aceleración en x  0 y x  1.0 m. Respuesta: 0, 131 m/s2

Patrones de flujo y visualización del flujo

FIGURA P4-29C Visualización del flujo sobre un ala de un planeador delta de 15°, a un ángulo de ataque de 20° y con un número de Reynolds de 20 000. La visualización se produce por fluido coloreado que se inyecta en el agua por orificios que están sobre la superficie inferior del ala. Cortesía de ONERA. Fotografía tomada por Werlé.

4-25C ¿Cuál es la definición de línea de corriente? ¿Qué indican las líneas de corriente? 4-26C Considere la visualización del flujo sobre un cono de 12° de la figura P4-26C. ¿Se están viendo líneas de corriente, de traza, de trayectoria o línea fluida? Explíquelo.

4-30C Considere la visualización del flujo de un vórtice terrestre de la figura P4-30C. ¿Se están viendo líneas de corriente, de traza, de trayectoria o línea fluida? Explíquelo.

171 CAPÍTULO 4

sualización del flujo (gráfica vectorial o gráfica de contornos) sería la más apropiada y explique por qué. a) Se debe visualizar la ubicación de la magnitud máxima de la velocidad del fluido. b) Se debe visualizar la separación del flujo en la parte posterior de los tubos. c) Se debe visualizar el campo de temperatura en todo el plano. d) Se debe visualizar la distribución de la componente de la vorticidad normal al plano.

FIGURA P4-30C Visualización del flujo de un remolino terrestre. Un chorro redondo de aire choca contra el suelo en presencia de un flujo libre de aire de izquierda a derecha (el suelo está en la parte inferior de la fotografía). La porción del flujo que viaje corriente arriba forma un flujo de recirculación conocido como remolino terrestre. La visualización se produce por un hilo de humo montado verticalmente a la izquierda del campo de visión. Fotografía tomada por John M. Cimbala.

4-31C Considere la visualización del flujo sobre una esfera de la figura P4-31C. ¿Se están viendo líneas de corriente, de traza, de trayectoria o línea fluida? Explíquelo.

Entrada

Salida

FIGURA P4-33C 4-34 Un flujo convergente en ducto (Fig. P4-17) se modela mediante el campo de velocidad uniforme bidimensional del problema 4-17. Genere una expresión analítica para las líneas de corriente del flujo. Respuesta: y  C/(U0  bx)

4-35I Un flujo convergente en ducto se modela mediante el campo de velocidad uniforme bidimensional del problema 4-17. Para el caso en el que U0  3.56 ft/s y b  7.66 s1, grafique varias líneas de corriente desde x  0 ft a 5 ft y y  2 ft a 2 ft. Asegúrese de mostrar la dirección de las líneas de flujo. 4-36 Considere el siguiente campo de velocidad bidimensional, incompresible y estacionario: →

→

→

V  (u, v)  (4.35  0.656x ) i  (1.22  0.656y) j

Genere una expresión analítica para las líneas de corriente del flujo y trace varias de estas líneas en el cuadrante superior derecho, desde x  0 hasta 5 y y  0 hasta 6.

FIGURA P4-31C Visualización del flujo sobre una esfera, con un número de Reynolds de 15 000. La visualización se produce por una exposición de burbujas de aire en el agua sobre una placa fotográfica por un intervalo de tiempo. Cortesía de ONERA. Fotografía tomada por Werlé.

4-32C ¿Cuál es la definición de línea fluida? ¿Cómo se pueden producir líneas fluidas en un canal de agua? Mencione una aplicación en donde las líneas fluidas sean más útiles que las de traza. 4-33C Considere una sección transversal que atraviesa un arreglo de tubos de un intercambiador de calor (Fig. P4-33C). Para la información deseada, elija cuál clase de gráfica de vi-

4-37 Considere el campo de velocidad bidimensional, incompresible y estacionario del problema 4-36. Genere una gráfica de los vectores de velocidad en el cuadrante superior derecho, desde x  0 hasta 5 y y  0 hasta 6. 4-38 Considere el campo de velocidad bidimensional, incompresible y estacionario del problema 4-36. Genere una gráfica vectorial del campo de aceleración en el cuadrante superior derecho, desde x  0 hasta 5 y y  0 hasta 6. 4-39 Se da un campo de velocidad bidimensional, incompresible y estacionario por →

→

→

V  (u, v)  (1  2.5x  y) i  (0.5  3x  2.5y) j

donde las coordenadas x y y están en m y la magnitud de la velocidad está en m/s. a) Determine si existen puntos de estancamiento en este flujo y, si es así, ¿dónde están?

172 CINEMÁTICA DE FLUIDOS

b) Trace una gráfica de los vectores de velocidad en varios lugares en el cuadrante superior derecho, para x  0 m hasta 4 m y y  0 m hasta 4 m; describa cualitativamente el campo de flujo. 4-40 Considere el campo de velocidad bidimensional, incompresible y estacionario del problema 4-39. a) Calcule la aceleración material en el punto (x  2 m, y  3 m). Respuestas: ax  8.50 m/s2, ay  8.00 m/s2 b) Trace una gráfica de los vectores de aceleración material en el mismo arreglo de valores x y y que en el problema 4-39. 4-41 El campo de velocidad para la rotación de cuerpo sólido en el plano ru (Fig. P4-41) se da por: ur  0

Específicamente, trace las curvas de magnitud constante de la velocidad V  0.5, 1.0, 1.5, 2.0 y 2.5 m/s. Asegúrese de indicar estas magnitudes en su gráfica. 4-43 El campo de velocidad para una fuente lineal en el plano ru (Fig. P4-43) está dado por: ur 

m 2pr

uu  0

donde m es la intensidad de la fuente lineal. Para el caso con m/(2p)  1.5 m2/s, trace una gráfica de contornos de la magnitud de la velocidad (rapidez). Específicamente, trace las curvas de magnitud constante de la velocidad V  0.5, 1.0, 1.5, 2.0 y 2.5 m/s. Asegúrese de indicar estas magnitudes en su gráfica.

u u  vr →

donde v es la magnitud de la velocidad angular (v apunta en la dirección z). Para el caso con v  1.5 s1, trace una gráfica de contornos de la magnitud de la velocidad (rapidez). Específicamente, trace las curvas de magnitud constante de la velocidad V  0.5, 1.0, 1.5, 2.0 y 2.5 m/s. Cerciórese de indicar estas magnitudes en su gráfica.

y

ur = m 2pr r u

uu uu = vr

x

r

FIGURA P4-43 FIGURA P4-41 4-42 El campo de velocidad para un vórtice líneal en el plano ru (Fig. P4-42) se da por: ur  0

uu 

K r

donde K es la intensidad del vórtice lineal. Para el caso con K  1.5 m2/s, trace una gráfica de contornos de la magnitud de la velocidad (rapidez).

uu K uu = r

r

FIGURA P4-42

4-44 Un pequeño cilindro circular bidimensional se coloca en un gran túnel de viento con aire a 300 K y velocidad de viento = 0.015 m/s. El cilindro se calienta o bien se enfría. Este flujo se clasifica como convección mixta (son importantes los efectos de convección tanto natural como forzada). Ejecute FlowLab con la plantilla Convection mixed temperature. Varíe la temperatura del cilindro de Tc = 290 K (cilindro enfriado) a 310 K (cilindro calentado). Para cada caso, construya, al menos esquemáticamente, una gráfica de perfil de temperaturas (Post-Contour-Activate) y una gráfica de líneas de corriente (Post-Streamlines-Activate). Haga ambas gráficas por lo menos para dos casos (a las dos temperaturas extremas de la pared del cilindro). Analice las gráficas. 4-45 Un cilindro circular muy pequeño de radio Ri gira a una velocidad angular vi dentro de un cilindro concéntrico mucho mayor, de radio Ro que gira a una velocidad angular vo. Un líquido de densidad r y viscosidad m está confinado entre los dos cilindros como en la Fig. P4-45. Se pueden despreciar los efectos gravitacional y de los extremos del cilindro (el flujo es bidimensional hacia dentro de la página). Si vi  vo y ha transcurrido un largo tiempo, genere una expresión para el perfil de velocidad tangencial, uu como función (como máximo) de r, v, Ri, Ro, r, y m, donde v  vi  vo. También calcule el momento de torsión que ejerce el fluido sobre el cilindro interior y sobre el cilindro exterior.

173 CAPÍTULO 4 Líquido: r, m

vo

Ro vi Ri

Cilindro interior Cilindro exterior

FIGURA P4-45 4-46 Considere los dos cilindros concéntricos giratorios del problema 4-45 con Ri  0.006 m, Ro  0.600 m, r  1 259.9 kg/m3 y m  10.0 kg/m · s. Para vi  vo  100 rpm, calcule y grafique uu como función de r. Ejecute FlowLab con la plantilla Concentric_solid a la misma rapidez de rotación. Grafique el perfil de velocidad tangencial (XY Plost-Velocity Profile at different radial locations-Plot). Guarde los datos en un archivo de hoja de cálculo csv (comma separated values = valores separados por coma) para posprocesamiento (FileExport data, teclee el nombre de archivo con terminación .csv, y Export data). Grafique los resultados CFD en la misma gráfica que los resultados analíticos y compárelos. 4-47 Considere los mismos dos cilindros concéntricos del problema 4-45. Ahora, sin embargo, el cilindro interior gira, pero el cilindro exterior es estacionario. En el caso límite, cuando el cilindro exterior es muy grande, en comparación con el cilindro interior (imagine el cilindro interior girando muy rápido mientras su radio se vuelve muy pequeño), ¿a qué clase de flujo se aproxima éste? Explique. Al suponer que ha transcurrido un largo tiempo después del inicio del proceso, genere una expresión para el perfil de velocidad tangencial, uu, como función (como máximo) de r, vi, Ri, Ro, r y m. Una pista: Su respuesta puede contener una constante (desconocida), que se puede obtener especificando una condición de frontera en la superficie del cilindro interior. 4-48 Considere los dos cilindros concéntricos giratorios del problema 4-47, con Ri  0.006 m, Ro  0.600 m, vi  500 rpm, vo  0, r  1 259.9 kg/m3 y m  10.0 kg/m  s. Calcule y grafique uu como función de r. Ejecute FlowLab con la plantilla Concentric_small_inner a la misma rapidez de rotación del cilindro interior. Grafique el perfil de velocidad tangencial (XY Plots-Velocity profile at diffent radial locations-Plot). Guarde los datos en un archivo de hoja de cálculo cvs (comma separated values = valores separados por coma) para posprocesamiento (File-Export data, teclee el nombre de archivo con terminación .csv y Export data). Grafique los resultados CFD en la misma gráfica que los cálculos analíticos y compare. 4-49 Considere el flujo de agua a través de un ducto bidimensional convergente-divergente. Ejecute FlowLab con plantilla Duct-inlet_velocity, con la velocidad de entrada ajustada a 2 m/s. Genera una gráfica de perfil de presiones (Compute Result y luego Post-contour- Activate; como predeterminado se obtiene una gráfica de perfil de presiones). File-

Print-Graphics, seleccione el destino como File, especifique un nombre de archivo y pulse Accept. Genere una gráfica de perfil de velocidad mediante Modify-Edit, seleccione velocity-magnitude y Apply. Guarde con un nombre de archivo diferente. Imprima las gráficas tanto de presión como de velocidad, comente y compare (por ejemplo, ¿cuando la velocidad es alta, también la presión es alta?). 4-50 Nuevamente consideramos el flujo de agua a través de un ducto convergente-divergente, Aquí comparamos las líneas de corriente entre un flujo bidimensional y un flujo axisimétrico con la misma geometría de paredes. Ejecute FlowLab con la plantilla Duct_inlet_velocity, con la velocidad de entrada ajustada a 2 m/s. Genere una gráfica de líneas de flujo (aplique Post-Deactivate a graficado de perfil, si está activado. Luego, pulse streamlines-Activate). Modify y Edit lo graficado de perfil, cambie el número de intervalos a 10 y Apply. FilePrint Graphics, seleccione el destino como File, especifique un nombre de archivo, y Accept. Repita para el caso axisimétrico (use la plantilla Duct_axisymmetric) a la misma velocidad y el mismo número de intervalos de líneas de corriente. Asegúrese de guardar la gráfica con un nombre de archivo diferente. Imprima ambas gráficas de líneas de corriente, comente y compare.

Movimiento y deformación de elementos fluidos; vorticidad y rotacionalidad. 4-51C Nombre y describa con brevedad los cuatro tipos fundamentales de movimiento o deformación de las partículas de fluido. 4-52C

Explique la relación entre vorticidad y rotacionalidad.

4-53 Se modela el flujo en un ducto convergente (Fig. P4-17) mediante el campo bidimensional y estacionario de velocidad del problema 4-17. ¿Éste es un campo rotacional o irrotacional? Muestre el procedimiento. Respuesta: irrotacional 4-54 Se modela el flujo en un ducto convergente mediante el campo bidimensional y estacionario de velocidad del problema 4-17. Una partícula de fluido (A) está ubicada sobre el eje x en x  xA en el instante t  0 (Fig. P4-54). En algún instante posterior t, la partícula de fluido se ha movido corriente abajo con el flujo hasta una nueva ubicación x  xA, como se muestra en la figura. Puesto que el flujo es simétrico respecto del eje x, la partícula de fluido permanece sobre este eje en todo instante.

Partícula de fluido en algún instante ulterior t y A x

A

Partícula de fluido en el instante t = 0

FIGURA P4-54

174 CINEMÁTICA DE FLUIDOS

Genere una expresión analítica para la ubicación x de la partícula de fluido en algún instante arbitrario t, en términos de su ubicación inicial xA y las constantes U0 y b. En otras palabras, desarrolle una expresión para xA. (Sugerencia: Se sabe que u  dxpartícula/dt cuando sigue una partícula de fluido. Obtenga u, separe variables e integre.)

Partícula de fluido en algún instante ulterior t

A

4-55 Se modela el flujo en un ducto convergente por el campo bidimensional y estacionario de velocidad del problema 4-17. Puesto que el flujo es simétrico respecto del eje x, el segmento rectilíneo AB a lo largo del eje x permanece sobre este eje, pero se estira, de la longitud j hasta la longitud j  j conforme fluye a lo largo de la línea central del canal (Fig. P4-55). Genere una expresión analítica para el cambio en la longitud del segmento rectilíneo, j. (Sugerencia: Use el resultado del problema 4-54.) Respuesta: (xB  xA)(ebt  1)

y A

B

A B

x

j

A

y x

Partícula de fluido en el instante t = 0

FIGURA P4-57

4-58 Se modela el flujo en un ducto convergente mediante el campo bidimensional y estacionario de velocidad del problema 4-17. A medida que el segmento rectilíneo vertical AB se desplaza corriente abajo, se contrae de la longitud h hasta la longitud h  h como se muestra en la figura P4-58. Genere una expresión analítica para el cambio en la longitud del segmento rectilíneo, h. Note que el cambio en la longitud h, es negativo. (Sugerencia: Use el resultado del problema 4-57).

j + Δj h + Δh

B h

B

y

FIGURA P4-55

A x

4-56 Con los resultados del problema 4-55 y la definición fundamental de la razón de deformación lineal (la razón de incremento de la longitud por unidad de longitud), desarrolle una expresión para esa razón en la dirección x (exx) de las partículas de fluido localizadas sobre la línea central del canal. Compare su resultado con la expresión general para exx en términos del campo de velocidad; es decir, exx  u/ x. (Sugerencia: Tome el límite conforme el tiempo t → 0. Puede ser que necesite un desarrollo truncado en serie para ebt.) Respuesta: b 4-57 Se modela el flujo en un ducto convergente por el campo bidimensional y estacionario de velocidad del problema 4-17. Una partícula de fluido (A) está ubicada en x  xA y y  yA en el instante t  0 (Fig. P4-57). En algún instante ulterior t, la partícula de fluido se ha desplazado corriente abajo con el flujo hasta una nueva ubicación x  xA, y  yA, como se muestra en la figura. Genere una expresión analítica para la ubicación y de la partícula de fluido en algún instante arbitrario t, en términos de su ubicación inicial yA y la constante b. En otras palabras, desarrolle una expresión para yA. (Sugerencia: Se sabe que v  dypartícula/dt cuando sigue una partícula de fluido. Sustituya la ecuación para v, separe variables e integre). Respuesta: yAebt

A

FIGURA P4-58 4-59 Use los resultados del problema 4-58 y la definición fundamental de la razón de deformación lineal (la razón de incremento de la longitud por unidad de longitud), desarrolle una expresión para esa razón en la dirección y (eyy) de las partículas de fluido que se mueven corriente abajo en el ducto. Compare su resultado con la expresión general para eyy en términos del campo de velocidad; es decir, eyy  v/ y. (Sugerencia: Tome el límite conforme el tiempo t → 0. Puede ser que necesite un desarrollo truncado en serie para ebt.) 4-60I

Modele el flujo en un ducto convergente mediante el campo bidimensional y estacionario de velocidad del problema 4-17. Para el caso en el que U0 = 5.0 ft/s y b  4.6 s1, considere una partícula inicialmente cuadrada de fluido con dimensiones de las aristas de 0.5 ft y con centro en

175 CAPÍTULO 4

x  0.5 ft y y  1.0 ft y t  0 (Fig. P4-60I). Calcule con todo cuidado en dónde estará la partícula de fluido y cómo se verá en el instante t  0.2 s más tarde, y trace la gráfica correspondiente. Haga un comentario acerca de la distorsión de esa partícula (Sugerencia: Use los resultados de los problemas 4-54 y 4-57.)

4-68 Para el campo de velocidad del problema 4-63, calcule el vector de vorticidad. ¿En cuál→dirección apunta el vector de vorticidad? Respuesta: (a2  b1)k en z  dirección 4-69 Considere el flujo de deslizamiento bidimensional, incompresible y estacionario para el cual el campo de velocidad es: →

→

→

V  (u, v)  (a  by) i  0 j

donde a y b son constantes. En la figura P4-69 se tiene un esquema de una pequeña partícula rectangular de fluido de dimensiones dx y dy en el instante t. La partícula de fluido se mueve y se deforma con el flujo, de tal manera que en un instante posterior (t  dt), la partícula ya no es rectangular, como también se muestra en la figura. En la figura P4-69 se ha nombrado la ubicación inicial de cada esquina de la partícula de fluido. La esquina inferior izquierda está en (x, y) en el instante t, en donde la componente x de la velocidad es u  a  by. En el instante ulterior, esta esquina se mueve hasta (x  u dt, y), o:

Partícula inicialmente cuadrada del fluido en t = 0

y ?

x

(x  (a  by) dt, y)

Forma desconocida y ubicación de la partícula de fluido en un instante ulterior t

a) De manera semejante, calcule la ubicación de cada una de las otras tres esquinas de la partícula del fluido, en el instante t  dt. b) A partir de la definición fundamental de la razón de deformación lineal (la razón de incremento de la longitud por unidad de longitud), calcule las razones de deformación lineal exx y eyy.

FIGURA P4-60I

4-61I Con base en los resultados del problema 4-60I, verifique que el campo de flujo en el ducto convergente de verdad es incompresible. 4-62 Se modela el flujo en un ducto convergente mediante el campo bidimensional y estacionario de velocidad del problema 4-17. Use la ecuación de la razón de deformación volumétrica para verificar que este campo de flujo es incompresible. 4-63 Una ecuación general para un campo bidimensional y estacionario de velocidad que es lineal en las dos direcciones espaciales (x y y) es: →

→

Respuesta: 0, 0

c) Compare sus resultados con los obtenidos a partir de las ecuaciones para exx y eyy en coordenadas cartesianas; es decir: e xx 

u

x

e yy 

v

y

Partícula en el instante t

Partícula en el instante t + dt

→

V  (u, v)  (U  a 1x  b1y) i  (V  a 2x  b2y) j

donde U, V y los coeficientes de las variables espaciales x y y son unas constantes. Se supone que sus unidades se definen de manera apropiada. Calcule las componentes x y y del campo de aceleración. 4-64 Para el campo de velocidad del problema 4-63, ¿qué relación debe existir entre los coeficientes para garantizar que el campo de flujo sea incompresible? Respuesta: a1  b2  0 4-65 Para el campo de velocidad del problema 4-63, calcule las razones de deformación lineal en las direcciones x y y. Respuesta: a1, b2

(x + dx, y + dy) (x, y + dy)

dx

dx

dy dx

dx (x, y)

(x + dx, y) y

u = a + by x

FIGURA P4-69

4-66 Para el campo de velocidad del problema 4-63, calcule la razón de deformación por esfuerzo cortante en el plano xy. 4-67 Combine sus resultados de los problemas 4-65 y 4-66 para formar el tensor bidimensional de razones de deformación eij en el plano xy, e xx e ij  ¢ e yx

e xy ≤ e yy

¿En qué condiciones los ejes x y y serían los ejes principales? Respuesta: b1  a2  0

4-70 Aplique dos métodos para verificar que el flujo del problema 4-69 es incompresible: a) calcule el volumen de la partícula de fluido en los dos instantes y b) calcule la razón de deformación volumétrica. Nótese que se debe completar el problema 4-69 antes de comenzar. 4-71 Considere el campo bidimensional, incompresible y estacionario de flujo del problema 4-69. Use los resultados del problema 4-69a, y realice lo siguiente:

176 CINEMÁTICA DE FLUIDOS

a) A partir de la definición fundamental de la razón de deformación por esfuerzo cortante (la mitad de decrecimiento del ángulo entre dos rectas inicialmente perpendiculares que se intersecan en un punto), calcule la razón de deformación por esfuerzo cortante, exy en el plano xy. (Sugerencia: Use las aristas inferior e izquierda de la partícula de fluido, las cuales se intersecan a 90° en la esquina inferior izquierda de la partícula misma en el instante inicial.) b) Compare sus resultados con los obtenidos a partir de la ecuación para exy en coordenadas cartesianas; es decir: e xy 

1 u v ¢  ≤ 2 y x

Respuestas: a) b/2, b) b/2

4-72 Considere el campo bidimensional, incompresible y estacionario de flujo del problema 4-69. Use los resultados del problema 4-69a y realice lo siguiente: a) A partir de la definición fundamental de la razón de rotación (la razón promedio de rotación de dos rectas inicialmente perpendiculares que se intersecan en un punto), calcule la razón de rotación de la partícula de fluido en el plano vz. (Sugerencia: use las aristas inferior e izquierda de la partícula de fluido, las cuales se intersecan a 90° en la esquina inferior izquierda de la propia partícula, en el instante inicial.) b) Compare sus resultados con los obtenidos a partir de la ecuación para vz en coordenadas cartesianas; es decir: vz 

1 v u ¢  ≤ 2 x y

Respuestas: a) b/2, b) b/2

4-73 Con base en los resultados del problema 4-72: a) ¿Este flujo es rotacional o irrotacional? b) Calcule la componente z de la vorticidad para este campo de flujo. 4-74 Un elemento bidimensional de fluido, de dimensiones dx y dy se traslada y se distorsiona como se muestra en la figura P4-74, durante el periodo infinitesimal dt  t2  t1. Las compo-

nentes de la velocidad en el punto P en el instante inicial, son u y v en las direcciones x y y, respectivamente. Demuestre que la magnitud de la razón de rotación (velocidad angular) alrededor del punto P en el plano xy es: 1 v u ¢  ≤ 2 x y

vz 

4-75 Un elemento bidimensional de fluido, de dimensiones dx y dy se traslada y se distorsiona como se muestra en la figura P4-74, durante el periodo infinitesimal dt  t2  t1. Las componentes de la velocidad en el punto P, en el instante inicial, son u y v en las direcciones x y y, respectivamente. Considere el segmento rectilíneo PA de la figura P4-74 y demuestre que la magnitud de la razón de deformación lineal en la dirección x es: e xx 

u

x

4-76 Un elemento bidimensional de fluido, de dimensiones dx y dy se traslada y se distorsiona como se muestra en la figura P4-74, durante el periodo infinitesimal dt  t2  t1. Las componentes de la velocidad en el punto P, en el instante inicial, son u y v en las direcciones x y y, respectivamente. Demuestre que la magnitud de la razón de deformación por esfuerzo cortante alrededor del punto P, en el plano xy, es: e xy 

1 u v ¢  ≤ 2 y x

4-77 Considere un campo incompresible, bidimensional y estacionario de flujo en el plano xy. La razón de deformación lineal en la dirección x es 2.5 s1. Calcule la razón de deformación lineal en la dirección y. 4-78 Un tanque cilíndrico de agua gira en una rotación de cuerpo sólido, en contrasentido al movimiento de las manecillas del reloj alrededor de su eje vertical (Fig. P4-78), con una velo. cidad angular n  260 rpm. Calcule la vorticidad de las par→ tículas de fluido en el tanque. Respuesta: 54.5 k rad/s

z

rborde

ab Superficie libre

B

A

Recta b

r n⋅

aa P Recta a

Recta b v B dy

Elemento del fluido en el instante t2 p/2

P dx

A u

Líquido y

Recta a Elemento del fluido en el instante t1

FIGURA P4-74

x

FIGURA P4-78 4-79 Un tanque cilíndrico de agua gira alrededor de su eje vertical (Fig. P4-78). Se usa un sistema PIV para medir el cam-

177 CAPÍTULO 4

po de vorticidad del flujo. El valor medido de la vorticidad en la dirección z es de 45.4 rad/s y es constante dentro de un ±0.5 por ciento en todas las partes en las que se mide. Calcule la velocidad angular de rotación del tanque en rpm. ¿Está girando el tanque en el sentido de las manecillas del reloj o en contrasentido alrededor del eje vertical? 4-80 Un tanque cilíndrico de radio rborde  0.354 m gira alrededor de su eje vertical (Fig. P4-78). El tanque está parcialmente lleno con aceite. La magnitud de la velocidad del borde es de 3.61 m/s en contrasentido al movimiento de las manecillas del reloj (mirándolo desde arriba), y el tanque se ha mantenido girando con rapidez durante un tiempo suficiente como para encontrarse en rotación de cuerpo sólido. Para cualquier partícula de fluido en el tanque, calcule la magnitud de la componente de la vorticidad en la dirección z vertical. Respuesta: 20.4 rad/s 4-81 Considere un campo bidimensional e incompresible de flujo en el cual se mueve y deforma una partícula de fluido inicialmente cuadrada. La dimensión de la partícula de fluido es a en el instante t y está alineada con los ejes x y y como se muestra en la figura P4-81. En cierto instante posterior, la partícula todavía está alineada con los ejes x y y, pero se ha deformado hasta constituir un rectángulo de longitud horizontal 2a. ¿Cuál es la longitud vertical de la partícula rectangular de fluido en este instante ulterior?

¿Este flujo es rotacional o irrotacional? Si es rotacional, calcule la componente de la vorticidad en la dirección z. Las partículas de fluido en este flujo ¿giran en el sentido del movimiento de las manecillas del reloj o en contrasentido? Respuestas: sí, V/h, en el sentido de las agujas del reloj

V

h

u=V

y h

y x

FIGURA P4-84

4-85 Para el flujo de Couette de la figura P4-84, calcule las razones de deformación lineal en las direcciones x y y, y calcule la razón de deformación por esfuerzo cortante exy. 4-86 Combine sus resultados del problema 4-85 para formar el tensor bidimensional de razones de deformación, eij,

y a

→ y→ i  0j h

→

V  (u, v)  V

e xx e xy ≤ e ij  ¢ e yx e yy

x

¿Los ejes x y y son ejes principales? 4-87 Un campo de velocidad tridimensional uniforme está dado por

a

→

V  (u, v, w)

FIGURA P4-81

→

 (2.49  1.36x  0.867y) i 4-82 Considere un campo bidimensional y compresible de flujo en el cual una partícula de fluido inicialmente cuadrada se mueve y se deforma. La dimensión de la partícula de fluido es a en el instante t y está alineada con los ejes x y y, como se muestra en la figura P4-81. En cierto instante ulterior, la partícula todavía está alineada con los ejes x y y pero se ha deformado hasta formar un rectángulo de longitud horizontal 1.06a y longitud vertical 0.931a (la dimensión de la partícula en la dirección z no cambia, ya que el flujo es bidimensional). ¿En qué porcentaje ha aumentado o disminuido la densidad de la partícula de fluido? 4-83 Considere el siguiente campo tridimensional y estacionario de velocidad: →

V  (u, v, w) →

→

→

 (3.0  2.0x  y) i  (2.0x  2.0y) j  (0.5xy)k

→

→

 (1.95x  1.36y) j  ( 0.458xy)k

Calcule el vector de vorticidad como función de las variables espaciales (x, y, z). 4-88 Un campo de velocidad bidimensional uniforme está dado por →

V  (u, v) →

 (1.35  2.78x  0.896y) i →

 (3.45x  cx  2.78y) j

Calcule la constante c de manera que el campo de flujo sea irrotacional. 4-89 Un campo de velocidad tridimensional uniforme está dado por →

→

Calcule el vector de vorticidad como función del espacio (x, y, z).

V  (1.35  2.78x  0.754y  4.21z) i

4-84 Considere el flujo de Couette (flujo entre dos placas paralelas infinitas separadas por una distancia h, con la placa superior en movimiento y la inferior en reposo, como se ilustra en la figura P4-84), totalmente desarrollado. El flujo es bidimensional, incompresible y estacionario en el plano xy. El campo de velocidad se da por:

 (3.45  cx  2.78y  bz) j

→

→

 (  4.21x  1.89y)k

Calcule las constantes b y c de manera que el campo de flujo sea irrotacional.

178 CINEMÁTICA DE FLUIDOS

4-90 Un campo de velocidad tridimensional uniforme está dado por →

donde  M es el momento neto aplicado al sistema. Use el RTT y la ecuación anterior para deducir la ecuación de conservación del momento angular para un volumen de control.

Calcule las constantes a, b y c de manera que el campo de flujo sea irrotacional.

4-97 ble:

Simplifique la expresión siguiente tanto como sea posi-

F(t) 

Teorema del transporte de Reynolds 4-91C Explique brevemente el propósito del teorema de transporte de Reynolds (RTT). Escriba el RTT para la propiedad extensiva B como una “ecuación verbal”, explicando cada término en sus propias palabras. 4-92C Explique brevemente las similitudes y diferencias entre la derivada material y el teorema de transporte de Reynolds. 4-93C Verdadero o falso: para cada proposición, elija si es verdadera o falsa y explique su respuesta con brevedad. a) El teorema del transporte de Reynolds es útil para transformar las ecuaciones de sus formas en el volumen de control, que se presentan de manera natural, hacia sus formas en sistemas. b) El teorema del transporte de Reynolds sólo es aplicable a los volúmenes de control que no están deformándose. c) El teorema del transporte de Reynolds se puede aplicar a los campos de flujo estacionarios y a los no estacionarios. d) El teorema del transporte de Reynolds se puede aplicar tanto a las cantidades escalares como a las vectoriales. 4-94 Considere la forma general del teorema del transporte de Reynolds (RTT) dada por:

→



xBt

e 2x dx 2

xAt

(Sugerencia: Aplique el teorema unidimensional de Leibniz.) Respuesta:

d 4-98 Considere la integral dt modos:



2t

x2dx. Resuélvala de dos

t

a) Tome primero la integral y luego la derivada con respecto al tiempo. b) Use el teorema de Leibniz. Compare sus resultados. 4-99

Resuelva la integral

d dt



2t

xxdx hasta donde pueda.

t

Problemas de repaso 4-100 Considere el flujo de Poiseuille (flujo entre dos placas paralelas infinitas separadas por una distancia h, con tanto la placa superior como la inferior en reposo y un gradiente de presión forzada, dP/dx, impulsando el flujo, como se ilustra en la figura P4-100), totalmente desarrollado (dP/dx es una constante negativa). El flujo es bidimensional, incompresible y estacionario en el plano xy. Las componentes de la velocidad se dan por: u

donde V r es la velocidad del fluido con relación a la superficie de control. Sea Bsist la masa m de un sistema de partículas de fluido. Se sabe que, para un sistema, dm/dt  0 ya que, por definición, ninguna masa entra ni sale del mismo. Use la ecuación dada para deducir la ecuación de conservación de la masa para un volumen de control.

d dt

1 dP 2 (y  hy) 2m dx

v0

donde m es la viscosidad del fluido. Este flujo ¿es rotacional o irrotacional? Si es rotacional, calcule la componente de la vorticidad en la dirección z. Las partículas de fluido en este flujo ¿giran en el sentido del movimiento de las manecillas del reloj o en contrasentido?

4-95 Considere la forma general del teorema del transporte de Reynolds (RTT), dada en el problema 4-94. Sea Bsist el momen→ to lineal mV de un sistema de partículas de fluido. Se sabe que, para un sistema, la segunda ley de Newton es:

FIGURA P4-100 Use el RTT y la ecuación anterior para deducir la ecuación de momento lineal para un volumen de control. 4-96 Considere la forma general del teorema del transporte de Reynolds (RTT), dada en el problema 4-94. Sea Bsist el momen→ → → r mV de un sistema de partículas de fluido, to angular H → en donde r es el brazo de palanca que produce el momento. Se sabe que, para un sistema, la conservación del momento angular se puede expresar como:

4-101 Para el flujo bidimensional de Poiseuille del problema 4-100, calcule las razones de deformación lineal en las direcciones x y y, y calcule la razón de deformación por esfuerzo cortante exy. 4-102 Combine sus resultados del problema 4-101 para formar el tensor bidimensional de razones de deformación eij en el plano xy,

179 CAPÍTULO 4

e e xy e ij  ¢ xx ≤ e yx e yy Los ejes x y y ¿son ejes principales? 4-103

Considere el flujo bidimensional de Poiseuille del problema 4-100. El fluido entre las placas es agua a 40°C. Suponga que la altura de la ranura es h  1.6 mm y el gradiente de presión, dP/dx  230 N/m3. Calcule y trace las gráficas de siete líneas de trayectoria desde t  0 hasta t  10 s. Las partículas de fluido se liberan en x  0 y en y  0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1.0, 1.2 y 1.4 mm. 4-104

Considere el flujo bidimensional de Poiseuille del problema 4-100. El fluido entre las placas es agua a 40°C. Suponga que la altura de la ranura es h  1.6 mm y el gradiente de presión, dP/dx  230 N/m3. Calcule y trace las gráficas de siete líneas de traza generadas por un tiralíneas de tinte que introduce trazas de ese tinte en x  0 y en y  0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1.0, 1.2 y 1.4 mm (Fig. P4-104). El tinte se introduce desde t  0 hasta t  10 s, y se deben trazar las gráficas de las líneas de traza en t  10 s.

4-108 Considere el flujo axialmente simétrico de Poiseuille, flujo en un tubo redondo de diámetro R (diámetro D  2R), con un gradiente de presión forzada, dP/dx impulsando el flujo, como se ilustra en la figura P4-108, totalmente desarrollado (dP/dx es una constante negativa). El flujo es axialmente simétrico en torno al eje x, incompresible y estacionario. Las componentes de la velocidad se dan por: u

1 dP 2 (r  R2) 4m dx

ur  0

uu  0

donde m es la viscosidad del fluido. Este flujo ¿es rotacional o irrotacional? Si es rotacional, calcule la componente de la vorticidad en la dirección circunferencial (u) y comente el signo de la rotación.

FIGURA P4-108

FIGURA P4-104

4-105

Repita el problema 4-104, excepto que el tinte se introduce desde t  0 hasta t  10 s, y se deben trazar líneas de traza en t  12 s en vez de 10 s.

4-109 Para el flujo axialmente simétrico de Poiseuille del problema 4-108, calcule las razones de deformación lineal en las direcciones x y r, y calcule la razón de deformación por esfuerzo cortante exr. El tensor de razones de deformación en las coordenadas cilíndricas (r, u, x) y (ur, uu, ux), es: e rr e ru e ij  £e ur e uu e xr e xu

u r 1

uu 1 u r ar a b  b

r 2 r r r u u

u 1 1 u ur

1 u r u  ¶ ar a b  b  2 r r r u r u r 1 u r u x 1 1 u x u u a  b a  b 2 x

r 2 r u

x

4-106

Compare los resultados de los problemas 4-104 y 4-105 y comente la razón de deformación lineal en la dirección x. Considere el flujo bidimensional de Poiseuille del problema 4-100. El fluido entre las placas es agua a 40°C. Suponga que la altura de la ranura es h  1.6 mm y el gradiente de presión, dP/dx  230 N/m3. Imagine un hilo de burbujas de hidrógeno estirado verticalmente, a través del canal, en x  0 (Fig. P4-107). El hilo se enciende y se apaga en tal forma que las burbujas se producen de manera periódica con la finalidad de crear líneas fluidas. Se generan cinco líneas fluidas distintas en t  0, 2.5, 5.0, 7.5 y 10.0 s. Calcule y trace las gráficas de manera que se vean estas cinco líneas en el instante t  12.5 s.

e rx e ux≥ e xx

4-107

1 u r u x a  b 2 x

r

u

u 1 1 x u a  b∂ 2 r u

x

u x

x

4-110 Combine sus resultados del problema 4-109 para formar el tensor de razones axialmente simétricas de deformación, eij, e rr e ij  a e xr

e rx b e xx

Los ejes x y r ¿son ejes principales? 4-111 Se obtiene una aproximación del flujo de aire que entra a un accesorio de aspiradora por medio de las componentes siguientes de la velocidad en el plano del centro (el plano xy): u

# x 2  y 2  b2 Vx pL x 4  2x 2y 2  2x 2b 2  y 4  2y 2b 2  b 4

y

FIGURA P4-107

# V y x 2  y 2  b2 v pL x 4  2x 2y 2  2x 2b 2  y 4  2y 2b 2  b 4

180 CINEMÁTICA DE FLUIDOS

donde b es la distancia hasta el. accesorio por arriba del piso, L es la longitud del accesorio y V es el gasto volumétrico de aire que se está absorbiendo hacia la manguera (Fig. P4-111). Determine la ubicación de cualquier (cualesquiera) punto(s) de estancamiento en este campo de flujo. Respuesta: en el origen

· V y L

b

Piso

x

z

4-116 En un campo de flujo uniforme bidimensional en el plano xy, la componente x de la velocidad es u  ax  by  cx2  dxy donde a, b, c y d son constantes con las dimensiones adecuadas. Genere una expresión general para la componente de la velocidad v, de modo que el campo de flujo sea incompresible. 4-117 En numerosas ocasiones un flujo libre bastante uniforme encuentra un cilindro circular largo normal a dicho flujo (Fig. P4-117). Los ejemplos incluyen el aire que fluye alrededor de la antena de un automóvil, el viento que sopla contra un asta bandera o un poste telefónico, el viento que choca contra los alambres eléctricos y las corrientes oceánicas que chocan contra las vigas redondas sumergidas que soportan las plataformas petroleras. En todos estos casos, el flujo en la parte posterior del cilindro se separa y es no estacionario y, por lo común, turbulento. Sin embargo, el flujo en la mitad delantera del cilindro es mucho más estacionario y predecible. De hecho, excepto por una delgada capa límite cercana a la superficie del cilindro, se puede obtener una aproximación del campo de flujo por medio de las siguientes componentes bidimensionales y estacionarias de la velocidad, en el plano xy o ru:

FIGURA P4-111

u r  V cos ua1 

4-112 Considere la aspiradora del problema 4-111. Para el ca. so en donde b  2.0 cm, L  35 cm y V  0.1098 m3/s, cree una gráfica de vectores de velocidad en la mitad superior del plano xy desde x  3 cm hasta 3 cm hasta y  0 cm hasta 2.5 cm. Trace tantos vectores como necesita para adquirir una buena comprensión del campo de flujo. Nota: la velocidad es infinita en el punto (x, y)  (0, 2.0 cm), de modo que no intente trazar un vector de velocidad en ese punto. 4-113 Considere el campo de velocidad aproximado dado para la aspiradora del problema 4-111. Calcule la magnitud de la velocidad del flujo a lo largo del piso. La mayor probabilidad de que las partículas de polvo sean absorbidas por la aspiradora es en el lugar de la magnitud máxima de la velocidad. ¿En dónde está ese lugar? ¿Cree el lector que la aspiradora realizará una adecuada absorción directamente debajo de la admisión (en el origen)? ¿Por qué sí o por qué no? 4-114 Considere un campo de flujo bidimensional y estacionario en el plano xy cuya componente x de la velocidad se da por: u  a  b(x  c)2 donde a, b y c son constantes con unidades apropiadas. ¿De qué forma necesita ser la componente y de la velocidad para que el campo de flujo sea incompresible? En otras palabras, genere una expresión para v como función de x, y, y las constantes de la ecuación dada en tal forma que el flujo sea incompresible. Respuesta: 2b(x  c)y  f (x)

4-115 En un campo de flujo uniforme bidimensional en el plano xy, la componente x de la velocidad es u  ax  by  cx

2

donde a, b y c son constantes con las dimensiones adecuadas. Genere una expresión general para la componente de la velocidad v, de modo que el campo de flujo sea incompresible.

a2 b r2

u u  V sen ua1 

a2 b r2

Este flujo ¿es rotacional o irrotacional? Explíquelo.

V

y r

x r=a

FIGURA P4-117 4-118 Considere el campo de flujo del problema 4-117 (flujo sobre un cilindro circular). Considere sólo la mitad delantera del flujo (x  0). Existe un punto de estancamiento en la mitad delantera del campo de flujo. ¿En dónde está? Dé su respuesta tanto en coordenadas cilíndricas (r, u) como en cartesianas (x, y). Considere la mitad corriente arriba (x  0) del campo de flujo del problema 4-117 (flujo sobre un cilindro circular). Se introducirá un parámetro llamado función de corriente, c, el cual es constante a lo largo de las líneas de corriente en los flujos bidimensionales, como el que se está considerando aquí (Fig. P4-119). El campo de velocidad del problema 4-117 corresponde a una función de corriente dada por: 4-119

c  V sen uar 

a2 b r

a) Haga c igual a una constante y genere una ecuación para una línea de corriente. (Sugerencia: resuelva la ecuación cuadrática para despejar r como función de u.)

181 CAPÍTULO 4

4-120 Considere el campo de flujo del problema 4-117 (flujo sobre un cilindro circular). Calcule las dos razones de deformación lineal en el plano ru; es decir, calcule err y euu. Comente si los segmentos lineales de fluido se estiran (o contraen) en este campo de flujo. (Sugerencia: El tensor de razones de deformación en coordenadas cilíndricas se da en el problema 4-109).

Líneas de corriente c4 c3 c2

y

c1 x

FIGURA P4-119 b) Para el caso particular en el que V  1.00 m/s y un radio del cilindro a  10.0 cm, trace las gráficas de varias líneas de corriente en la mitad corriente arriba del flujo (90  u  270 ). En beneficio de la coherencia, trace la gráfica en el rango 0.4 m  x  0 m, 0.2 m  y  0.2 m, con valores de la función de corriente igualmente espaciados entre 0.16 m2/s y 0.16 m2/s.

4-121 Con base en sus resultados del problema 4-120, analice si el flujo es compresible o incompresible. Respuesta: el flujo es incompresible

4-122 Considere el campo de flujo del problema 4-117 (flujo sobre un cilindro circular). Calcule eru, la razón de deformación por esfuerzo cortante en el plano ru. Compruebe si las partículas de fluido en este flujo se deforman debido al esfuerzo cortante o no. (Sugerencia: El tensor de razones de deformación en coordenadas cilíndricas se da en el problema 4-109).

CAPÍTULO

5

ECUACIONES DE C O N S E R VA C I Ó N D E M A S A , DE BERNOULLI Y DE ENERGÍA n este capítulo se tratan tres ecuaciones de uso común en la mecánica de fluidos: la ecuación de conservación de masa, de Bernoulli y de energía. La ecuación de conservación de masa es una expresión del principio de conservación de masa. La ecuación de Bernoulli se refiere a la conservación de la energía cinética, potencial y la energía de flujo de un flujo de fluido y su transformación de una en otra en las regiones del flujo en donde las fuerzas viscosas netas son despreciables y donde se aplican otras condiciones restrictivas. La ecuación de energía es un enunciado del principio de conservación de la misma. En la mecánica de fluidos es conveniente separar la energía mecánica de la térmica y considerar la transformación de la primera en térmica, resultado de los efectos de fricción, como pérdida de energía mecánica. Entonces la ecuación de la energía se convierte en el balance de la energía mecánica. Este capítulo inicia con un panorama general de los principios de conservación y la relación de conservación de la masa. A esto le sigue un análisis de varias formas de energía mecánica y la eficiencia de algunos dispositivos que realizan trabajo mecánico, como las bombas y las turbinas. En seguida, se deduce la ecuación de Bernoulli mediante la aplicación de la segunda ley de Newton a un elemento de fluido, a lo largo de una línea de corriente, y se demuestra su uso en diversas aplicaciones. Se continúa con el desarrollo de la ecuación de energía en una forma adecuada para que se emplee en la mecánica de fluidos y se introduce el concepto de pérdida de carga. Por último, se aplica la ecuación de energía a varios sistemas de ingeniería.

E

OBJETIVOS Cuando el estudiante termine de leer este capítulo debe ser capaz de ■

■

■

■

Aplicar la ecuación de conservación de masa para balancear los gastos entrantes y salientes en un sistema de flujo Reconocer varias formas de la energía mecánica y trabajar con eficiencias de transformación de energía Entender el uso y limitaciones de la ecuación de Bernoulli y aplicarla para resolver diversos problemas de flujo de fluidos. Trabajar con la ecuación de energía que se expresa en función de cargas y se usa para determinar la potencia desarrollada por turbinas y las necesidades de consumo de potencia para los procesos de bombeo.

Alrededor del mundo se están construyendo “granjas” de turbinas de viento para extraer la energía cinética del viento y convertirla en energía eléctrica. En el diseño de una turbina de viento se utilizan los balances de masa, de energía, de momento y de momento angular. La ecuación de Bernoulli también es útil en la etapa de diseño preliminar. © Getty RF

183

184 ECUACIONES DE CONSERVACIÓN DE MASA

5-1

FIGURA 5-1 Numerosos dispositivos de flujo de fluidos, como esta turbina hidráulica de rueda Pelton, se analizan mediante la aplicación de los principios de conservación de la masa, de la cantidad de movimiento y de la energía. Cortesía de Hydro Tasmania, www.hydro.com.a. Reproducida con autorización.

■

INTRODUCCIÓN

El lector está familiarizado con numerosas leyes de conservación, como las leyes de conservación de masa, de energía y de cantidad de movimiento. Históricamente, estas leyes se aplicaron por vez primera a una cantidad fija de materia, llamada sistema cerrado o simplemente sistema, y después se extendieron a regiones en el espacio llamadas volúmenes de control. Las relaciones de conservación también se conocen como ecuaciones de balance, dado que cualquier cantidad conservada se debe balancear durante un proceso. A continuación, se describen brevemente las relaciones de conservación de la masa, de la cantidad del movimiento y de la energía (Fig. 5-1).

Conservación de la masa La relación de conservación de la masa para un sistema cerrado que pasa por un cambio se expresa como msist  constante o dmsist/dt  0, lo cual es un enunciado del hecho obvio que la masa del sistema permanece constante durante un proceso. Para un volumen de control (VC), el balance de masa se expresa en la forma de razón como Conservación de la masa:

dmVC # # m ent  m sal  dt

(5-1)

. . donde m ent y m sal son las razones totales de flujo de masa hacia dentro y hacia fuera del volumen de control, respectivamente, y dmVC/dt es la razón de cambio de la masa dentro de las fronteras de ese volumen. En la mecánica de fluidos, la relación de conservación de la masa escrita para un volumen diferencial de control suele llamarse ecuación de continuidad. La conservación de la masa se trata en la sección 5-2.

Conservación de la cantidad de movimiento El producto de la masa y de la velocidad de un cuerpo se llama momento lineal o cantidad de movimiento del cuerpo, y la cantidad de movimiento de un cuerpo rí→ → gido de masa m que se mueve con una velocidad V es mV. La segunda ley de Newton afirma que la aceleración de un cuerpo es proporcional a la fuerza neta que actúa sobre él e inversamente proporcional a su masa, y que la razón de cambio de la cantidad de movimiento de un cuerpo es igual a la fuerza neta que actúa sobre ese cuerpo. Por lo tanto, la cantidad de movimiento de un sistema permanece constante cuando la fuerza neta que actúa sobre él es cero, y donde se conserva la cantidad de movimiento de esos sistemas. Esto se conoce como el principio de conservación de la cantidad de movimiento. En la mecánica de fluidos es común referirse a la segunda ley de Newton como la ecuación del momento lineal, la cual se trata en el capítulo 6, junto con la ecuación del momento angular.

Conservación de la energía La energía se puede transferir a un sistema cerrado, o extraerse de éste por medio de calor o de trabajo, y el principio de conservación de la energía exige que la energía neta transferida a un sistema, o extraída de él durante un proceso, sea igual al cambio en el contenido de energía de ese sistema. Los volúmenes de control incluyen la transferencia de energía también por la vía del flujo de masa, y el principio de conservación de la energía, también conocido como balance de energía, se expresa como: Conservación de la energía:

# # dE VC E ent  E sal  dt

(5-2)

. . donde E ent y E sal son las razones de transferencia de energía hacia dentro y hacia fuera del volumen de control. En la mecánica de fluidos se suele limitar la con-

185 CAPÍTULO 5

sideración sólo a las formas mecánicas de la energía. La conservación de la energía se trata en la sección 5-6

5-2

■

CONSERVACIÓN DE LA MASA

El principio de conservación de la masa es uno de los principios más fundamentales de la naturaleza. Todos estamos familiarizados con este principio y es fácil entenderlo. Una persona no tiene que ser un científico para imaginarse cuánto aderezo de vinagre y aceite se obtendrá cuando se mezclan 100 g de aceite con 25 g de vinagre. Inclusive las ecuaciones químicas se balancean con base en el principio de conservación de la masa. Cuando 16 kg de oxígeno reaccionan con 2 kg de hidrógeno, se forman 18 kg de agua (Fig. 5-2). En un proceso electrolítico, el agua se separará de vuelta a 2 kg de hidrógeno y 16 kg de oxígeno. Realmente, no es exacto confirmar que la masa se conserva. Ocurre que la masa m y la energía E pueden convertirse una en otra, según la conocida fórmula propuesta por Albert Einstein (1879-1955): E  mc2

2 kg H2

16 kg O2

18 kg H2O

FIGURA 5-2 La masa se conserva, inclusive, durante las reacciones químicas.

(5-3)

donde c es la velocidad de la luz en el vacío, la cual es c  2.9979 108 m/s. Esta ecuación sugiere que hay equivalencia entre masa y energía. Todos los sistemas físicos y químicos muestran interacciones de energía con su alrededor; pero la cantidad de energía que participa es equivalente a una masa extremadamente pequeña en comparación con la masa total del sistema. Por ejemplo, cuando se forma 1 kg de agua a partir de oxígeno e hidrógeno, a las condiciones atmosféricas comunes la cantidad de energía liberada es de 15.8 MJ, lo cual corresponde a una masa de 1.76 1010 kg. Sin embargo, en las reacciones nucleares, la equivalencia en masa de la cantidad de energía que interactúa es una fracción importante de la masa total que participa. Por lo tanto, en la mayoría de los análisis de ingeniería, consideramos tanto la masa como la energía como cantidades conservadas. Para los sistemas cerrados, el principio de conservación de la masa se usa de manera implícita cuando se establece que la masa del sistema permanezca constante durante el proceso. Sin embargo, para los volúmenes de control, la masa puede cruzar las fronteras y, por consiguiente, se debe considerar la razón de la masa que entra y que sale del volumen de control.

Gastos de masa y de volumen La cantidad de masa que fluye a través de una sección transversal por unidad de tiempo se llama razón de flujo de masa, o simplemente flujo o gasto másico, . se denota por m. Se pone un punto sobre el símbolo para indicar razón de cambio respecto al tiempo. Un fluido fluye hacia dentro o hacia fuera de un volumen de control normalmente por tubos o ductos. El gasto diferencial de masa de fluido que fluye a través de un pequeño elemento de área, dAc (el subíndice corresponde a la primera letra de la palabra inglesa cross-section), en una sección transversal de tubo, es proporcional al propio dAc, a la densidad r del fluido y a la componente de la velocidad del flujo normal a dAc, la cual se denota como Vn, (Fig. 5-3) y se expresa de la siguiente manera: .

dm  rVn dAc

(5-4)

Note que se usan tanto d como d para indicar las cantidades diferenciales, pero, por lo general, d se usa para cantidades (como calor, trabajo y transferencia de masa) que son funciones de trayectoria y tienen diferenciales inexactas, en tanto que d se usa para cantidades (como las propiedades) que son funciones de punto y tienen diferenciales exactas. Por ejemplo, para el flujo en el tubo exterior de

→

V

dAc

Vn →

n

Superficie de control

FIGURA 5-3 La velocidad normal Vn para una superficie es la componente de la velocidad perpendicular a esa superficie.

186 ECUACIONES DE CONSERVACIÓN DE MASA

un ducto que consta de dos tubos concéntricos de radio interior r1 y radio exte-

Vprom

rior r2, se tiene



2

dA c  A c2  A c1  p(r 22  r 21), pero

1

FIGURA 5-4 La velocidad promedio Vprom se define como la magnitud de la velocidad promediada a lo largo de la sección transversal.

Ac

Vprom

V = VpromAc

Sección transversal

FIGURA 5-5 El gasto volumétrico es el volumen de fluido que fluye a través de una sección transversal por unidad de tiempo.



2

# # dm  mtotal (razón

1

. . total de flujo de masa total en el tubo exterior), no m2 – m1. Para valores especificados de r1 y r2, el valor de la integral de dAc es fijo (de allí provienen los nombres de función de punto y diferencial exacta), pero éste no es el caso para . la integral de dm (de ahí provienen los nombres de función de trayectoria y diferencial inexacta). La razón de flujo de masa que cruza toda el área de la sección transversal de un tubo o de un ducto se obtiene por integración: # m

 dm#   rV dA n

Ac

(kg/s)

c

(5-5)

Ac

No obstante que la ecuación 5-5 siempre es válida (de hecho, es exacta), no siempre es práctica porque implica integración. En lugar de ello, resultaría conveniente expresar el flujo másico en términos de valores promediados sobre la sección transversal del tubo. En un flujo compresible, r y Vn varían a lo largo de la sección transversal. Sin embargo, en muchas aplicaciones prácticas, la densidad es esencialmente uniforme sobre la sección transversal del tubo y se puede extraer r afuera de la integral de la ecuación 5-5. Pero la velocidad nunca es uniforme sobre una sección transversal de un tubo debido a la condición de no deslizamiento en las paredes. Más bien, la velocidad varía desde cero en las paredes hasta algún valor máximo en la línea central del tubo o cerca de éste. Se define la velocidad promedio Vprom como el valor de Vn promediado a lo largo de toda la sección transversal del tubo (Fig. 5-4): Vprom

Velocidad promedio:

 V dA

1 Ac

n

(5-6)

c

Ac

donde Ac es el área de la sección transversal normal a la dirección del flujo. Note que si la magnitud de la velocidad fuera Vprom en toda la sección transversal, el gasto de masa sería idéntico al que se obtiene cuando se integra el perfil real de velocidad. De donde, para el flujo incompresible o inclusive para el flujo compresible para el cual r sea uniforme a lo largo de Ac, la ecuación 5-5 queda: # m  rVprom A c

(5-7)

(kg/s)

Para el flujo compresible se puede concebir r como la densidad promedio sobre la sección transversal y entonces, no obstante, se usa la ecuación 5-7 como una aproximación razonable. Por sencillez, se elimina el subíndice de la velocidad promedio. A menos que se indique lo contrario, V denota la velocidad promedio en la dirección del flujo. Asimismo, Ac denota el área de la sección transversal normal a la dirección del flujo. El volumen del fluido que fluye a través de una sección transversal por unidad de tiempo se llama razón .de flujo volumétrico, o gasto volumétrico, o simplemente flujo volumétrico, V (Fig. 5-5), y se da por: # V

 V dA  V n

c

prom A c

 VA c

(m3/s)

(5-8)

Ac

En 1628, el monje italiano Benedetto Castelli (1577-1644) publicó una primera forma de la ecuación. 5-8. Note que en muchos textos de mecánica de fluidos se . usa Q en lugar de V para el gasto volumétrico. Aquí se usa V para evitar confusión con la transferencia de calor. Las razones de flujo de masa y de volumen están relacionadas por: # # V # m  rV  v

(5-9)

187 CAPÍTULO 5

donde v es el volumen específico. Esta relación es análoga a m  m  rV  V/v, la cual es la relación entre la masa y el volumen de un fluido en un recipiente.

Principio de conservación de la masa Este principio para un volumen de control se puede expresar como: la transferencia neta de masa hacia dentro un volumen de control, o hacia fuera de éste, durante un intervalo t, es igual al cambio neto (aumento o disminución) en la masa total que está dentro de ese volumen en el transcurso de t; es decir: Masa total que entra Masa total que sale Cambio neto durante t en la a al VC durante t b  a del VC durante tb  a masa que está dentro del VC b

o m ent  msal  mVC

(kg)

(5-10)

donde mVC  mfinal – minicial es el cambio en la masa del volumen de control durante el proceso (Fig. 5-6). Esto también se puede expresar en la forma de razones: # # ment  msal  dmVC/dt

(kg/s)

FIGURA 5-6 Principio de conservación de la masa para una tina común de baño.

(5-11)

. . donde m ent y m sal son las razones totales de flujo de masa hacia dentro y hacia fuera del volumen de control, y dmCV/dt es la razón de cambio de la masa que está dentro de las fronteras de ese volumen. Con frecuencia, se hace mención de las ecuaciones 5-10 y 5-11 como el balance de masa y son aplicables a cualquier volumen de control que pase por alguna clase de proceso. Considere un volumen de control de forma arbitraria, como se muestra en la figura 5-7. La masa de un volumen diferencial dV que esté dentro del volumen de control es dm  r dV. Por integración se determina que la masa total dentro del volumen de control en cualquier instante t es: Masa total dentro del VC:

mVC 



r dV

(5-12)

VC

Entonces la razón de cambio de la cantidad de masa dentro del volumen de control se puede expresar de la siguiente maneraa: Razón de cambio de la masa dentro del VC:

dmVC d  dt dt



r dV

(5-13)

VC

Para el caso especial en el que nada de masa cruza la superficie de control (es decir, el volumen de control es un sistema cerrado), el principio de conservación de la masa se reduce al de un sistema que se puede expresar como dmVC/dt  0. Esta relación es válida si el volumen de control está fijo, en movimiento o deformándose. Considérese ahora el flujo de masa hacia fuera o hacia dentro del volumen de control a través de un área diferencial dA sobre la superficie de control de un volumen fijo. Sea n→ el vector unitario, normal →a la suprficie dA y dirigido hacia fuera de volumen de control, normal a ésta y V la velocidad del flujo dA en relación con un sistema fijo de coordenadas, como se muestra en la figura 5-7. En general, la velocidad cruza la superficie dA y forma un ángulo u con la normal exterior de ésta, y la razón de→ flujo másico es proporcional a la componente nor→ mal de la velocidad Vn  V cos u cambiándose desde un valor de flujo hacia fuera cuando u  0 (el flujo es normal a dA), pasando por cero, cuando u  90° (el flujo es tangente a dA), hasta llegar a un flujo máximo hacia dentro cuando u  180° (el flujo es normal a dA, pero en dirección opuesta). Al aplicar el con-

FIGURA 5-7 Volumen diferencial de control, dV, y superficie diferencial de control, dA, usados en la deducción de la relación de conservación de la masa.

188 ECUACIONES DE CONSERVACIÓN DE MASA

cepto del producto punto de dos vectores, la magnitud de la componente normal de la velocidad se puede expresar de la siguiente manera: →

→

Vn  V cos u  V  n

Componente normal de la velocidad:

(5-14)

El flujo másico a través de dA es proporcional a la densidad del fluido r, a la velocidad normal Vn y al área de flujo dA, y se puede expresar como: Razón diferencial de flujo de masa: → # → dm  rVn dA  r(V cos u) dA  r(V  n) dA

(5-15)

El flujo másico neto hacia adentro o hacia afuera del volumen de control a . través de toda la superficie de control se obtiene cuando se integra dm sobre esa superficie: # La razón neta de flujo de masa: mneto 





# dm 

SC

→

rVn dA 

CS



→

→

r(V  n ) dA

(5-16)

SC

Note que V · n→  V cos u es positiva para u  90° (flujo hacia fuera) y negativa para u  90° (flujo hacia dentro). Por lo tanto, se toma en cuenta de manera automática la dirección del flujo y la integral de la ecuación 5-16 da directamente . la razón neta de flujo de masa. Un valor positivo para m neto indica flujo neto hacia fuera y uno negativo indica flujo de masa neto hacia dentro. . . Si se reordena la ecuación 5-11 como dmCV/dt  msal  ment  0, entonces se puede expresar la relación de conservación de la masa para un volumen fijo de control como: Conservación de la masa, caso general:

d dt



r dV 

VC



→

→

r(V  n) dA  0

(5-17)

SC

Ésta expresa que la razón de cambio respecto al tiempo de la masa que está dentro del volumen de control más la razón neta de flujo de masa a través de la superficie de control es igual a cero. También se puede deducir la relación general de conservación de la masa para un volumen de control con la aplicación del teorema del transporte de Reynolds (RTT, por sus siglas en inglés) cuando se toma la propiedad B como la masa m (capítulo 4). Entonces se tiene b  1, ya que cuando se divide la masa, entre la masa, para obtener la propiedad por unidad de masa, da la unidad. Asimismo, la masa de un sistema es constante y su derivada respecto al tiempo es cero. Es decir dmsist/dt  0. Entonces el teorema del transporte de Reynolds se reduce de inmediato a la ecuación 5-17, como se muestra en la figura 5-8, y de este modo se ilustra que el teorema del transporte de Reynolds en verdad es un recurso muy poderoso. Cuando se divide la integral de superficie de la ecuación 5-17 en dos partes —una para las corrientes salientes (término positivo) y otra para las entrantes (término negativo)— la relación general de conservación de la masa también se puede expresar como: FIGURA 5-8 La ecuación de conservación de masa se obtiene cuando se reemplaza B en el teorema del transporte de Reynolds por la masa m y b por 1 (m por unidad de masa  m/m  1).

d dt

r dV CV

a r ƒ Vn ƒ A sal

a r ƒ Vn ƒ A

0

(5-18)

ent

donde A representa el área para una entrada o una salida, y se usa el signo de sumatoria para subrayar que deben considerarse todas las entradas y salidas. Si se usa la definición de flujo másico, la ecuación 5-18 también se puede expresar como: d dt



VC

# # r dV  a m  a m ent

sal

o

dm VC # #  am am dt ent sal

(5-19)

Se tiene una flexibilidad considerable en la selección de un volumen de control cuando se resuelve un problema. Varias elecciones de este volumen son disponi-

189 CAPÍTULO 5

bles, pero algunas son más convenientes que otras. La selección de un volumen de control no debe llevar a las complicaciones innecesarias. La elección apropiada de un volumen de control puede hacer que la resolución de un problema aparentemente complicado sea más bien fácil. Una regla sencilla al elegir un volumen de control es hacer que la superficie de control sea normal al flujo en todos los lugares donde se se crucen la →superficie y el flujo, siempre que sea posible. De esta → manera, el producto punto V · n se convierte, simplemente, en la magnitud de la velocidad, y la integral

 r(V  n ) dA se vuelve rVA (Fig. 5-9). →

→

a) Superficie de control formando un ángulo con el flujo

A

Volúmenes de control en movimiento o en deformación Las ecuaciones 5-17 y 5-19 también son válidas para volúmenes de control en movimiento y en deformación, siempre que se reemplace la velocidad absoluta → → V por la velocidad relativa Vr , la cual es la velocidad del fluido con relación a la superficie de control (capítulo 4). En el caso de un volumen de control que está moviéndose pero no esté deformando, la velocidad relativa es la velocidad del fluido que observa una persona en movimiento con el volumen de control y se → → → → → expresa como Vr  V  VSC, en donde V es la velocidad del fluido y VSC es la velocidad de la superficie de control, ambas en relación con un punto fijo en el exterior. Note que ésta es una sustracción vectorial. En algunos problemas prácticos (como la inyección de un medicamento a través de la aguja de una jeringa por el movimiento forzado del émbolo) intervienen volúmenes de control en deformación. Todavía se pueden usar las relaciones de conservación de la masa desarrolladas para esos volúmenes siempre que la velocidad del fluido que cruza una parte en deformación de la superficie de control se exprese en relación con ésta (es decir, la velocidad del fluido se debe expresar en relación con un marco de referencia sujeto a la parte en deformación de la superficie de control). En este caso, una vez más, la velocidad relativa en → → →  V  V cualquier punto sobre la superficie de control se expresa como V r SC, → en donde VSC es la velocidad local de esa superficie de control en ese punto en relación con un punto fijo en el exterior del volumen de control.

b) Superficie de control normal al flujo

FIGURA 5-9 Siempre debe seleccionarse una superficie de control normal al flujo en todos los lugares donde se cruce con ese flujo del fluido, para evitar complicaciones, aun cuando el resultado sea el mismo.

Balance de masa para procesos de flujo estacionario En el transcurso de un proceso de flujo estacionario, la cantidad total de masa contenida dentro de un volumen de control no cambia con el tiempo (mVC  constante). Entonces el principio de conservación de la masa exige que la cantidad total de masa que entra en un volumen de control sea igual a la cantidad total de masa que sale de él. Por ejemplo, para la boquilla de una manguera de jardín en operación estacionaria, la cantidad de agua que entra a la boquilla por unidad de tiempo es igual a la cantidad de agua que sale de ella por unidad de tiempo. Cuando se trata con procesos de flujo estacionario no se tiene interés en la cantidad de masa que fluye hacia fuera o hacia dentro de un dispositivo en un transcurso de tiempo; en lugar de ello, se tiene interés en la cantidad de masa que flu. ye por unidad de tiempo; es decir, la razón de flujo de masa m . El principio de conservación de la masa para un sistema general de flujo estacionario con entradas y salidas múltiples se puede expresar en la forma de razón como (Fig. 5-10): Flujo estacionario:

# # am am ent

(kg/s)

(5-20)

sal

Ésta expresa que la razón total de masa que entra en un volumen de control es igual a la razón total de masa que sale de él. Numerosos dispositivos de ingeniería, como toberas, difusores, turbinas, compresores y bombas, forman una sola corriente (sólo una entrada y una salida).

FIGURA 5-10 Principio de conservación de la masa para un sistema de flujo estacionario con dos entradas y una salida.

190 ECUACIONES DE CONSERVACIÓN DE MASA

Para estos casos se denota el estado de entrada por el subíndice 1 y el de salida por el subíndice 2, y se eliminan los signos de suma. Entonces la ecuación 5-20 se reduce, para sistemas de flujo estacionario con una sola corriente, a: Flujo estacionario (una sola corriente):

# # m1  m2

→

r 1V1 A 1  r 2V2 A 2

(5-21)

Caso especial: flujo incompresible Las relaciones de conservación de la masa se pueden simplificar todavía más cuando el fluido es incompresible, el cual suele ser el caso para los líquidos. Cuando se cancela la densidad en ambos miembros de la relación general del flujo estacionario da: Flujo estacionario e incompresible:

# # aV  aV ent

FIGURA 5-11 Cuando transcurre un proceso de flujo estacionario, los gastos volumétricos no se conservan necesariamente, aun cuando sí se conserven los flujos de masa.

Manguera de jardín Cubeta

FIGURA 5-12 Esquema para el ejemplo 5-1.

(5-22)

Para sistemas de una sola corriente de flujo uniforme, la ecuación 5-22 se convierte en # # Flujo estacionario e incompresible (una sola corriente): V 1  V 2 → V1 A 1  V2 A 2 (5-23)

Siempre se debe tener presente que no existen cosas como principio de “conservación del volumen”. Por lo tanto, los gastos volumétricos hacia dentro y hacia fuera de un aparato pueden ser diferentes. El gasto volumétrico a la salida de un compresor de aire es mucho menor que el que se tiene en la admisión, aun cuando la razón de flujo de masa de aire a través del compresor es constante (Fig. 5-11). Esto se debe a la densidad más alta del aire a la salida del compresor. Sin embargo, para el flujo estacionario de líquidos, los gastos volumétricos, así como los de masa, permanecen constantes, ya que los líquidos son esencialmente sustancias incompresibles (de densidad constante). El flujo de agua por la boquilla de una manguera de jardín es un ejemplo de este último caso. El principio de conservación de la masa exige tomar en cuenta toda pequeña porción de masa que participe en un proceso. Si el lector puede verificar el saldo de su chequera (mantener al día los depósitos y disposiciones o, sencillamente, si observa el principio de “conservación del dinero”), no debe tener dificultades en aplicar el principio de conservación de la masa a los sistemas de ingeniería. EJEMPLO 5-1

Boquilla

(m3/s)

sal

Flujo de agua por la boquilla de una manguera de jardín

Se usa una manguera de jardín que tiene una boquilla de riego para llenar una cubeta de 10 gal. El diámetro de la manguera es de 2 cm y se reduce hasta 0.8 cm en la salida de la boquilla (Fig. 5-12). Si transcurren 50 s para llenar la cubeta con agua, determine a) las razones de flujo volumétrico y de masa del agua que pasa por la manguera y b) la velocidad promedio del agua a la salida de la boquilla.

SOLUCIÓN Se usa una manguera de jardín para llenar una cubeta con agua. Se deben determinar las razones de flujo volumétrico y de masa y la velocidad a la salida. Suposiciones 1 El agua es una sustancia incompresible. 2 El flujo por la manguera es estacionario. 3 No hay desperdicio de agua por salpicadura. Propiedades Se toma la densidad del agua como 1 000 kg/m3  1 kg/L. Análisis a) Note que se descargan 10 gal de agua en 50 s, las razones de flujo volumétrico y de masa son: # V 10 gal 3.7854 L V  a b  0.757 L/s t 50 s 1 gal # # m  rV  (1 kg/L)(0.757 L/s)  0.757 kg/s

191 CAPÍTULO 5

b) El área de la sección transversal de la salida de la boquilla es:

A sal  pr 2e  p(0.4 cm)2  0.5027 cm2  0.5027 10  4 m2 El gasto volumétrico por la manguera y por la boquilla es constante; entonces, la velocidad promedio del agua en la salida de la boquilla queda:

# V 0.757 L/s 1 m3 Vsal   a b  15.1 m/s A sal 0.5027 10  4 m2 1 000 L

Discusión Se puede demostrar que la velocidad promedio en la manguera es de 2.4 m/s. Por lo tanto, la boquilla aumenta la velocidad del agua en más de seis veces.

EJEMPLO 5-2

Descarga de agua de un tanque

Un tanque cilíndrico de agua con 4 ft de alto y 3 ft de diámetro cuya parte superior está abierta a la atmósfera está al principio lleno con agua. Ahora, se quita el tapón de descarga que está cerca del fondo del tanque cuyo diámetro es de 0.5 m y un chorro de agua se vierte hacia fuera (Fig. 5-13). La velocidad promedio del chorro se da por V  12gh, en donde h es la altura del agua en el tanque medida desde el centro del agujero (una variable) y g es la aceleración gravitacional. Determínese cuánto tiempo transcurrirá para que el nivel del agua en el tanque descienda hasta 2 ft, medido desde el fondo.

SOLUCIÓN Se quita el tapón cercano al fondo de un tanque de agua. Se debe determinar el tiempo que tarda en descargarse la mitad del agua que está en el tanque. Suposiciones 1 El agua es una sustancia incompresible. 2 La distancia entre el fondo del tanque y el centro del agujero es despreciable en comparación con la altura total del agua. 3 La aceleración gravitacional es de 32.2 ft/s2. Análisis Se toma el volumen ocupado por el agua como el volumen de control. En este caso, decrece el tamaño de este volumen, conforme el nivel del agua desciende y por lo tanto éste es un volumen de control variable (también se pudo tratar esto como un volumen fijo de control, que consiste en el volumen interior del tanque descartando el aire que reemplaza el espacio que deja vacío el agua). Es obvio que es un problema de flujo no estacionario, ya que las propiedades (como la cantidad de masa) en el interior del volumen de control cambian con el tiempo. La relación de conservación de la masa para un volumen de control que pasa por cualquier proceso se da en la forma de razón como: dmVC # # ment  msal  dt

(1)

. En el transcurso de este proceso nada de masa entra al volumen de control (m ent  0), y el gasto de masa del agua descargada se puede expresar como:

# msal  (rVA)sal  r22gh A chorro

(2)

donde Achorro  pD 2chorro /4 es el área de la sección transversal del chorro, la cual es constante. Nótese que la densidad del agua es constante, la masa del agua en el tanque en cualquier instante es:

m VC  rV  rA tanqueh

(3)

donde Atanque  pD 2tanque/4 es el área de la base del tanque cilíndrico. Si se sustituyen las ecuaciones 2 y 3 en la relación de balance de masa (ecuación 1) da:

 r 22gh A chorro 

d(rA tanque h) r(pD 2tanque /4) dh → r22gh(pD 2chorro /4)  dt dt

Aire Agua

h0 h2

h 0

Dchorro

Dtanque

FIGURA 5-13 Esquema para el ejemplo 5-2.

192 ECUACIONES DE CONSERVACIÓN DE MASA

Cuando se cancelan las densidades y otros términos comunes, y se separan las variables, se obtiene:

dt  

D 2tanque

dh D 2chorro 22gh

Se integra desde t  0, en el cual h  h0, hasta t  t, en el cual h  h2, da:



t

dt  

0

D 2tanque D 2chorro 22g



h2

h0

dh 2h

t

2h 0  2h2 2g/2

a

D tanque 2 b D chorro

Al sustituir, se determina que el tiempo de descarga es:

t

24 ft  22 ft 3 12 in 2 a b  757 s  12.6 min 0.5 in 232.2/2 ft/s2

Por lo tanto, se vaciará la mitad del tanque en 12.6 min después de quitar el tapón del agujero de descarga. Discusión Al usar la misma relación, con h2  0, obtenemos t  43.1 min para que se descargue toda la cantidad de agua que está en el tanque. Por lo tanto, se necesita más tiempo para vaciar la mitad de abajo del tanque que vaciar la mitad de arriba. Esto se debe a la disminución en la velocidad promedio de descarga del agua, cuando decrece h.

5-3

FIGURA 5-14 La energía mecánica es un concepto útil para flujos que no incluyen transferencia significativa de calor ni conversión significativa de energía, como es el caso del flujo de gasolina desde un depósito subterráneo a un automóvil. © Corbis RF

■

ENERGÍA MECÁNICA Y EFICIENCIA

Gran cantidad de sistemas de fluidos se diseñan para transportar un fluido de un lugar a otro con un gasto, una velocidad y una diferencia de elevación especificados, y durante este proceso el sistema puede generar trabajo mecánico en una turbina o puede consumir este tipo de trabajo en una bomba o en un ventilador (Fig. 5-14). En estos sistemas no interviene la transformación de energía nuclear, química o térmica en energía mecánica. Asimismo, no incluyen transferencia de calor en cualquier cantidad significativa y, en esencia, operan a temperatura constante. Los sistemas de este tipo se pueden analizar de manera conveniente cuando se consideran sólo las formas mecánicas de energía y los efectos de fricción que hacen que se pierda la energía mecánica (es decir, que se convierta en energía térmica que suele no poder usarse para algún propósito útil). La energía mecánica se define como la forma de energía que se puede convertir completa y directamente a trabajo mecánico por medio de un dispositivo mecánico ideal como lo es una turbina ideal. Las formas comunes de la energía mecánica son la energía cinética y la potencial. Sin embargo, la energía térmica no es energía mecánica, puesto que no se puede convertir en trabajo de manera directa y por completo (segunda ley de la termodinámica). Una bomba transfiere energía mecánica a un fluido cuando aumenta su presión, y una turbina extrae ese tipo de energía de un fluido cuando hace bajar su presión. Por lo tanto, la presión de un fluido fluyente también está asociada con su energía mecánica. De hecho, la unidad de presión Pa es equivalente a Pa  N/m2  N · m/m3  J/m3, lo cual es energía por unidad de volumen, y el producto Pv, o su equivalente P/r, tiene la unidad de J/kg, lo cual es energía por unidad de masa. Note que la propia presión no es una forma de energía. Pero una fuerza de presión que actúa sobre un fluido a lo largo de una distancia produce trabajo, conocido como trabajo del flujo, en la cantidad de P/r por unidad de masa. El trabajo del flujo se expresa en función de las propiedades del fluido y es conveniente verlo como parte de la energía de un fluido fluyente y llamarlo

193 CAPÍTULO 5

energía de flujo. Por lo tanto, la energía mecánica de un fluido fluyente se puede expresar en cuanto a la unidad de masa como: emec 

P V2   gz r 2

h

V2/2

es la energía cinética y gz es la energía donde P/r es la energía de flujo, potencial del fluido, todo por unidad de masa. Entonces, el cambio en la energía mecánica de un fluido en el curso de un flujo incompresible queda: emec 

P2  P1 V 22  V 21   g(z 2  z 1) r 2

E mec, pérdida E mec, sal Salida de energía mecánica 1  Entrada de energía mecánica E mec, ent E mec, ent

h

Turbina

4

(5-24)

(5-25)

Una eficiencia de conversión de menos de 100 por ciento indica que esa conversión es menos que perfecta y se han presentado algunas pérdidas en el curso de ella. Una eficiencia mecánica de 74 por ciento indica que 26 por ciento de la sa-

z

˙ W

Generador

(kJ/kg)

Por lo tanto, la energía mecánica de un fluido no cambia durante el flujo si su presión, densidad, velocidad y elevación permanecen constantes. En ausencia de cualesquiera pérdidas, el cambio en la energía mecánica representa el trabajo mecánico suministrado al fluido (si emec  0) o extraído de éste (si emec .  0). La potencia máxima (ideal) que genera una turbina, por ejemplo, es W máx  . m emec, como se muestra en la figura 5-15. Considérese un depósito de altura h lleno con agua, como se muestra en la figura 5-16, con el nivel de referencia seleccionado en la superficie del fondo. La presión manométrica y la energía potencial por unidad de masa son, respectivamente, Pman, A  0 y epA  gh en un punto A en la superficie libre, y Pman, B  rgh y epB  0 en el punto B en el fondo del depósito. Una turbina hidráulica ideal produciría el mismo trabajo por unidad de masa, wturbina  gh, si recibe agua (o cualquier otro fluido con densidad constante) desde la parte superior o desde el fondo del depósito. Note que también se supone flujo ideal (ninguna pérdida irreversible) a lo largo del tubo que conduce del tanque a la turbina. Por lo tanto, la energía mecánica total del agua en el fondo equivale a la de la parte superior. La transferencia de energía mecánica suele realizarse cuando se hace girar una flecha, y por eso a menudo se hace referencia a la energía mecánica como trabajo en la flecha. Una bomba o un ventilador reciben trabajo en la flecha (por lo común proviene de un motor eléctrico) y lo transfieren al fluido como energía mecánica (menos las pérdidas por fricción). Por otro lado, una turbina convierte la energía mecánica de un fluido en trabajo en la flecha. En ausencia de cualesquiera factores irreversibles —como la fricción—, la energía mecánica se puede convertir por completo de una forma mecánica hacia otra y la eficiencia mecánica de un dispositivo o proceso se puede definir como: h mec 

1

˙ W ˙ emec  m ˙ g(z1  z4)  m ˙ gh máx  m como P1  P4  Patm y V1  V4  0 a) ˙ W

Turbina 2 3 Generador

˙ W ˙ emec  m ˙ máx  m

(P2  P3) r

m ˙

P r

ya que V2  V3 y z2  z3 b)

FIGURA 5-15 La energía mecánica se ilustra mediante una turbina hidráulica ideal acoplada a un generador ideal. En ausencia de pérdidas irreversibles, la potencia máxima producida es proporcional a a) el cambio en la elevación de la superficie del agua entre el reservorio aguas arriba y el reservorio aguas abajo, o b) (vista en acercamiento) la caída de presión del agua entre un punto inmediatamente aguas arriba de la turbina y un punto inmediatamente aguas abajo.

Pman = 0 ep = gh A m· · · Wmáx = mgh

0 B Pman = rgh ep = 0

m·

· · Wmáx = mgh

FIGURA 5-16 La energía mecánica disponible del agua a nivel del fondo de un contenedor es igual a la energía mecánica disponible a cualquier otra profundidad, incluyendo la superficie libre del contenedor.

194 ECUACIONES DE CONSERVACIÓN DE MASA Ventilador

50.0 W 1

m· = 0.506 kg/s 2

lida de energía mecánica se convierte en energía térmica como resultado del calentamiento por fricción (Fig. 5-17) y esto se manifestará como un ligero aumento en la temperatura del fluido. En los sistemas de fluidos suele tenerse interés en aumentar la presión, la velocidad o la elevación de un fluido. Esto se realiza al suministrar energía mecánica al fluido mediante una bomba, un ventilador o un compresor (se hará referencia a todos ellos como bombas). O se tiene interés en el proceso inverso de extracción de energía mecánica del fluido mediante una turbina para producir potencia mecánica mediante una flecha giratoria que puede impulsar un generador o cualquier otro dispositivo rotatorio. El grado de perfección del proceso de conversión entre el trabajo mecánico suministrado o extraído y la energía mecánica del fluido se expresa por la eficiencia de la bomba y la eficiencia de la turbina, definidas como: Aumento en la energía mecánica # # W bomba, u E mec, fluido del fluido  # h bomba   # Entrada de energía mecánica W flecha, ent W bomba

FIGURA 5-17 La eficiencia mecánica de un ventilador es la relación entre la razón de aumento de energía mecánica del aire y el suministro de potencia mecánica.

(5-26)

. . . donde Emec, fluido  E mec, sal  E mec, ent es la razón de aumento en la . energía mecánica del fluido, la cual equivale a la potencia útil de bombeo, Wbomba, u, suministrada al fluido, y: # # W flecha, sal Salida de energía mecánica W turbina  h turbina   # # Disminución en la energía 0  E mec, fluido 0 W turbina, e mecánica del fluido

(5-27)

. . . donde E mec, fluido  E mec, ent  E mec, sal es la razón de disminución en la energía mecánica del fluido, . la cual equivale a la potencia mecánica extraída del fluido por la turbina Wturbina, e, y se usa el signo de valor absoluto para evitar tener valores negativos para las eficiencias. Una eficiencia de una bomba o una turbina de 100 por ciento indica una conversión perfecta entre el trabajo en la flecha y la energía mecánica del fluido y se puede tender a este valor (pero nunca alcanzarlo) conforme se minimizan los efectos de la fricción. La eficiencia mecánica no debe confundirse con la eficiencia del motor y la eficiencia del generador, las cuales se definen como: hturbina  0.75

hgenerador  0.97 ⋅ Welect, sal

Motor:

hturbina -gen  hturbinahgenerador  0.75 0.97  0.73

FIGURA 5-18 La eficiencia total de un turbogenerador es el producto de la eficiencia de la turbina y la eficiencia del generador, y representa la fracción de la energía mecánica del fluido convertida en energía eléctrica.

(5-28)

y

Turbina Generador

# Salida de potencia mecánica W flecha, sal h motor   # Entrada de potencia eléctrica W eléct, ent

Generador:

# W eléct, sal Salida de potencia eléctrica h generador   # Entrada de potencia mecánica W flecha, ent

(5-29)

Por lo general, una bomba está acoplada con su motor y el de una turbina con su generador. Por lo tanto, por lo general se tiene interés en la eficiencia combinada o total de las combinaciones bomba-motor y turbogenerador (Fig. 5-18), las cuales se definen como: # # W bomba, u E mec, fluido h bomba-motor  h bomba h motor  #  # W eléct, ent W eléct, ent

(5-30)

y # # W eléct, sal W eléct, sal h turbina-gen  h turbina h generador  #  # W turbina, e 0 E mec, fluido 0

(5-31)

195 CAPÍTULO 5

Todas las eficiencias que acaban de definirse varían entre 0 y 100 por ciento. El límite inferior de 0 por ciento corresponde a la conversión de toda la entrada de energía eléctrica o mecánica en energía térmica y, en este caso, el dispositivo funciona como un calentador de resistencia. El límite superior de 100 por ciento corresponde al caso de conversión perfecta, sin fricción ni otros factores irreversibles y, en consecuencia, no hay conversión de energía mecánica o eléctrica en energía térmica (nada de pérdidas).

EJEMPLO 5-3

Rendimiento de un turbogenerador hidráulico

Se usará el agua de un lago para generar electricidad por medio de la instalación de un turbogenerador hidráulico en un lugar donde la profundidad del agua es de 50 m (Fig. 5-19). El agua se alimentará a razón de 5 000 kg/s. Si se mide que la potencia eléctrica generada es de 1 862 kW y la eficiencia del generador es de 95 por ciento, determínese: a) la eficiencia total del turbogenerador, b) la eficiencia mecánica de la turbina y c) la potencia en la flecha suministrada por la turbina al generador.

SOLUCIÓN Un turbogenerador hidráulico va a generar electricidad a partir del agua de un lago. Deben determinarse la eficiencia total, la eficiencia de la turbina y la potencia en la flecha. Suposiciones 1 El nivel de agua en el lago permanece constante. 2 La energía mecánica del agua a la salida de la turbina es despreciable. Propiedades La densidad del agua puede tomarse como r  1 000 kg/m3. Análisis a) Por conveniencia, se toma el fondo del lago como el nivel de referencia. Entonces, la energía cinética y la potencial del agua son cero y el cambio en su energía mecánica por unidad de masa queda: e mec, ent

Pent

e mec, sal

Psal

V 2ent

r 0

V 2sal 2

g(z ent

z sal)

0

gh (9.81 m/s2)(50 m) a

1 kJ/kg 1 000 m 2/s2

b

0.491

kJ kg

Por tanto, la razón a la cual la energía mecánica es suministrada a la turbina por el fluido y la eficiencia total quedan:

# 0 E mec, fluido 0

# m(emec, ent

h total

emec, sal) (5 000 kg/s)(0.491 kJ/kg) 2 455 kW # W elect, sal 1 862 kW hturbina-gen 0.760 # 0 E mec, fluido 0 2 455 kW

1

h50 m

b) Si se conoce la eficiencia total y la del generador, la eficiencia mecánica de la turbina se determina a partir de:

h turbina-gen

h turbina hgenerador

h turbina

h turbina-gen h generador

0.76 0.95

Turbina

0.800 Generador hgenerador = 95%

2 . m  5 000 kg/s

c) La salida de potencia en la flecha se determina con base en la definición de eficiencia mecánica,

# W flecha, sal

# hturbina 0 E mec, fluido 0

(0.800)(2 455 kW)

1 964 kW

1 960 kW

FIGURA 5-19 Esquema para el ejemplo 5-3.

196 ECUACIONES DE CONSERVACIÓN DE MASA

Discusión Note que el lago alimenta 2 455 kW de energía mecánica a la turbina, la cual convierte 1 964 kW de ella en trabajo en la flecha que impulsa el generador, el cual genera 1 862 kW de potencia eléctrica. Se tienen pérdidas irreversibles a través de cada componente.

EJEMPLO 5-4

Conservación de la energía para una bola oscilante de acero

Se analizará el movimiento de una bola de acero en un tazón hemisférico de radio h, que se muestra en la figura 5-20. Inicialmente, la bola se sostiene en el lugar más alto, en el punto A y, a continuación, se suelta. Obtenga relaciones para la conservación de la energía de la bola para los casos de los movimientos sin fricción y real.

SOLUCIÓN Se suelta una bola de acero en un tazón. Deben obtenerse relaciones para el balance de energía. Suposición Para el caso del movimiento sin fricción la fricción entre la bola, el tazón y el aire es despreciable. Análisis Cuando la bola se suelta, se acelera por la influencia de la gravedad, alcanza su velocidad máxima (y elevación mínima) en el punto B en el fondo del tazón y se mueve hacia arriba, hacia el punto C, en el lado opuesto. En el caso ideal de movimiento sin fricción, la bola oscilará entre los puntos A y C. El movimiento real incluye la conversión de la energía cinética y la potencial de la bola entre sí, junto con el hecho de vencer la resistencia al movimiento debido a la fricción (realizando trabajo contra la fricción). El balance general de energía para cualquier sistema que pasa por cualquier proceso es: E ent E sal



E sistema

⎫ ⎬ ⎭

⎫ ⎬ ⎭

Transferencia neta de energía por calor, trabajo y masa

Cambio en las energías interna cinética, potencial, etcétera

Entonces el balance de energía para la bola, para un proceso desde el punto 1 hasta el 2, queda:

wfricción  (ec 2  ep2)  (ec 1  ep1) o

V 21 V 22  gz 1   gz 2  wfricción 2 2 ya que no se tiene transferencia de energía por calor o masa y no hay cambio en la energía interna de la bola (el calor generado por el calentamiento debido a la fricción se disipa hacia el aire circundante). A menudo, el término de trabajo contra la fricción, wfricción, se expresa como epérdida, con la finalidad de representar la pérdida (conversión) de energía mecánica hacia energía térmica. Para el caso utópico de movimiento sin fricción, la última relación se reduce a:

z

A

h

Bola de acero

C

V 21 V 22  gz1   gz2 2 2

o

V2  gz  C  constante 2

1

0

B

2

FIGURA 5-20 Esquema para el ejemplo 5-4.

donde el valor de la constante es C  gh. Es decir, cuando los efectos de fricción son despreciables, la suma de la energía cinética y la potencial de la bola se mantienen constantes. Discusión Con certeza, ésta es una forma más intuitiva y conveniente de la ecuación de conservación de la energía, para éste y otros procesos similares, como el movimiento de oscilación del péndulo de un reloj de pared. La relación obtenida es análoga a la ecuación de Bernoulli que se deduce en la sección 5-4.

197 CAPÍTULO 5

En la mayoría de los procesos que se presentan en la práctica intervienen sólo ciertas formas de la energía y, en esos casos, es más conveniente trabajar con las versiones simplificadas del balance de energía. Para sistemas que sólo se relacionan con formas mecánicas de la energía y su transferencia como trabajo en la flecha, el principio de conservación de la energía se puede expresar de manera conveniente como:

2

h

E mec, ent  E mec, sal  E mec, sistema  E mec, pérdida

(5-32)

donde Emec, pérdida representa la conversión de energía mecánica en energía térmica debido a factores irreversibles como la fricción. Para es. en operación . . un sistema tacionaria, el balance de energía mecánica queda E mec, ent  E mec, sal  E mec, pérdida (Fig. 5-21).

5-4

■

LA ECUACIÓN DE BERNOULLI

La ecuación de Bernoulli es una relación aproximada entre la presión, la velocidad y la elevación , y es válida en regiones de flujo estacionario e incompresible en donde las fuerzas netas de fricción son despreciables (Fig. 5-22). Pese a su simplicidad, la ecuación de Bernoulli demostró que es un instrumento muy potente en mecánica de fluidos. En esta sección, se deduce la ecuación de Bernoulli a partir del principio de conservación de momento lineal, se demuestra su utilidad y se analizan sus limitaciones. La aproximación clave en la deducción de la ecuación de Bernoulli es que los efectos viscosos son despreciablemente pequeños en comparación con los efectos de inercia, gravitacionales y de la presión. Puesto que todos los fluidos tienen viscosidad (no existe un “fluido no viscoso”), esta aproximación no puede ser válida para todo un campo de flujo de interés práctico. En otras palabras, no se puede aplicar la ecuación de Bernoulli en todas partes en un flujo, sin importar qué tan pequeña sea la viscosidad del fluido. Sin embargo, resulta que la aproximación es razonable en ciertas regiones de muchos flujos prácticos. Se hará referencia a esas regiones como regiones no viscosas del flujo y se enfatiza que no son regiones en donde el propio fluido es no viscoso o sin fricción sino, más bien, que son regiones en donde las fuerzas viscosas o de fricción netas son despreciablemente pequeñas en comparación con las otras fuerzas que actúan sobre las partículas del fluido. Debe tenerse cuidado cuando se utiliza la ecuación de Bernoulli, porque es una aproximación que sólo se aplica a las regiones no viscosas del flujo. En general, los efectos de la fricción siempre son importantes muy cerca de las paredes sólidas (capas límite) y directamente corriente abajo de los cuerpos (estelas). Por tanto, la aproximación de Bernoulli es útil por lo general en regiones del flujo por fuera de las capas límite y estelas, en donde el movimiento del fluido lo rigen los efectos combinados de la presión y la gravedad.

Aceleración de una partícula de fluido El movimiento de una partícula y la trayectoria que sigue se describen mediante el vector de velocidad como función de tiempo y las coordenadas espaciales y la posición inicial de la partícula. Cuando el flujo es estacionario (sin cambio con respecto al tiempo en una ubicación especificada), todas las partículas que pasan por el mismo punto siguen la misma trayectoria (que es la línea de corriente), y los vectores de velocidad permanecen tangentes a la trayectoria en cada punto. Con frecuencia conviene describir el movimiento de una partícula en términos de su distancia s, a lo largo de una línea de corriente, junto con el radio de curvatura a lo largo de esta línea. La velocidad de la partícula está relacionada con la distancia por V  ds/dt, la cual puede variar a lo largo de la línea de corriente. En el flujo bidimensional, la aceleración se puede descomponer en dos ele-

· Wbomba 1

Flujo estacionario V1 = V2  0 z2 = z1 + h P1 = P2 = Patm · · · Emec, ent = Emec, sal + Emec, pérdida · · · · Wbomba + mgz 1 = mgz2 + Emec, pérdida · · · Wbomba = mgh + Emec, pérdida

FIGURA 5-21 La mayoría de los problemas de flujo de fluidos incluyen sólo formas mecánicas de la energía y ese tipo de problemas se resuelven de manera conveniente cuando se aplica un balance de energía mecánica.

Ecuación de Bernoulli válida

Ecuación de Bernoulli no válida

FIGURA 5-22 La ecuación de Bernoulli es una ecuación aproximada que sólo es válida en regiones no viscosas del flujo, donde las fuerzas viscosas netas son despreciablemente pequeñas en comparación con las fuerzas de inercia, gravitacionales y de presión. Ese tipo de regiones se presentan por fuera de las capas límite y de las estelas.

198 ECUACIONES DE CONSERVACIÓN DE MASA

FIGURA 5-23 En un flujo estacionario puede ser que un fluido no se acelera con el tiempo en un punto fijo, pero puede ser que se acelere en el espacio.

mentos: la aceleración en la dirección de la corriente as, tangenciaal a la línea de corriente, y la aceleración normal an, en la dirección normal a la línea de corriente, la cual se da como an  V2/R. Note que la aceleración en la dirección de la corriente se debe a un cambio en la magnitud de la velocidad a lo largo de una línea de corriente, y la normal se debe a un cambio en la dirección. Para las partículas que se mueven a lo largo de una trayectoria recta, an  0 ya que el radio de curvatura es infinito y, por consiguiente, no hay cambio en la dirección. La ecuación de Bernoulli es resultado de un balance de fuerzas a lo largo de una línea de corriente. Puede tenerse la tentación de pensar que la aceleración es cero en el flujo estacionario, dado que la aceleración es la razón de cambio de la velocidad con el tiempo, y en este flujo no hay cambio con el tiempo. Sin embargo, la boquilla de una manguera de jardín hace ver que esta apreciación no es correcta. Inclusive, en el flujo estacionario y, por lo tanto, de un flujo másico constante, el flujo se acelera a su paso por la boquilla (Fig. 5-23, como se comentó en el capítulo 4). Estacionario sencillamente significa ningún cambio con el tiempo en un lugar especificado, pero el valor de una cantidad puede cambiar de un lugar a otro. En el caso de una boquilla, la velocidad del agua permanece constante en un punto especificado, pero cambia de la entrada a la salida (el agua se acelera a lo largo de la boquilla). Matemáticamente esto puede expresarse de la manera siguiente: se toma la velocidad V de una partícula de fluido como una función de s y t. Cuando se toma la diferencial total de V(s, t) y se dividen ambos miembros entre dt, da: dV 

V

V ds  dt

s

t

y

dV V ds V   dt

s dt

t

(5-33)

Ya que en el flujo estacionario ,V/,t  0 y por eso V  V(s), y la aceleración en la dirección s queda: as 

dV V ds V dV   VV dt

s dt s ds

(5-34)

donde V  ds/dt, si se sigue una partícula de fluido conforme se mueve a lo largo de una línea de corriente. Por lo tanto, la aceleración en el flujo estacionario se debe al cambio de la velocidad con la posición.

Deducción de la ecuación de Bernoulli z

Considere el movimiento de una partícula de fluido en un campo de flujo estacionario. Cuando se aplica la segunda ley de Newton (la cual se define como la relación de conservación del momento lineal en la mecánica de fluidos) en la dirección s, sobre una partícula en movimiento a lo largo de una línea de corriente, da:

Flujo estacionario a lo largo de una línea de corriente

(P + dP) dA g ds

a Fs  ma s u

P dA W n

s

ds

(5-35)

En regiones del flujo en donde las fuerzas netas de fricción son despreciables, las fuerzas significativas que actúan en la dirección s son la presión (que actúa sobre ambos lados) y la componente del peso de la partícula en la dirección s (Fig. 5-24). Por lo tanto, la ecuación 5-35 queda:

dz

u dx

x

FIGURA 5-24 Fuerzas que actúan sobre una partícula de fluido a lo largo de una línea de corriente.

P dA  (P  dP) dA  W sen u  mV

dV ds

(5-36)

donde u es el ángulo entre la normal a la línea de corriente y el eje vertical z en ese punto, m  rV  r dA ds es la masa, W  mg  rg dA ds es el peso de la partícula de fluido y sen u  dz/ds. Se sustituye:

199 CAPÍTULO 5

dP dA  rg dA ds

dz dV  r dA ds V ds ds

(5-37) (Flujo estacionario a lo largo de una línea de corriente) General:

Cuando se cancela dA de cada término y se simplifica, dP  rg dz  rV dV

(5-38)

V + gz = constante ––  dP r + –– 2 2

Si se nota que V dV  12 d(V 2) y se divide cada término entre r, da dP 1  2 d(V 2)  g dz  0 r

Flujo incompresible (r = constante): (5-39)

P V 2 + gz = constante –– r + –– 2

Integrando obtenemos Flujo estacionario:



dP V 2   gz  constante (a lo largo de una línea de corriente) rr 2 (5-40)

ya que los dos últimos términos son diferenciales exactas. En el caso del flujo incompresible, el primer término también se convierte en una diferencial exacta y su integración da:

FIGURA 5-25 La ecuación de Bernoulli se deduce cuando se supone un flujo incompresible y, en consecuencia, no debe usarse para flujos con efectos significativos de compresibilidad.

Flujo estacionario e incompresible: P V2   gz  constante (a lo largo de una línea) r 2

(5-41)

Ésta es la famosa ecuación de Bernoulli, la cual tiene una amplia aplicación en mecánica de fluidos para el flujo estacionario e incompresible, a lo largo de una línea de corriente, en las regiones no viscosas del flujo. La ecuación de Bernoulli la expresó por primera vez en palabras el matemático suizo Daniel Bernoulli (1700-1782) en un texto escrito en 1738, cuando estaba trabajando en San Petersburgo, Rusia. Posteriormente su asociado Leonhard Euler (17071783) la dedujo en forma de ecuación en 1755. El valor de la constante (ecuación 5-41) puede evaluarse en cualquier punto de la línea de corriente en donde se conozcan la presión, densidad, velocidad y elevación. La ecuación de Bernoulli también puede escribirse entre dos puntos cualesquiera sobre la misma línea de corriente como: Flujo estacionario e incompresible:

P1 V 21 P2 V 22   gz 1    gz 2 r r 2 2

(5-42)

Se reconoce V2/2 como la energía cinética, gz como la energía potencial y P/r como la energía de flujo, todo por unidad de masa. Por lo tanto, la ecuación de Bernoulli puede concebirse como una expresión del balance de energía mecánica y se puede enunciar del modo siguiente (Fig. 5-26): La suma de la energía cinética, la potencial y la de flujo de una partícula de fluido es constante a lo largo de una línea de corriente en el transcurso del flujo estacionario, cuando los efectos de la compresibilidad y de la fricción son despreciables.

La energía cinética, la potencial y la de flujo son las formas mecánicas de la energía, como se comenta en la sección 5-3, y la ecuación de Bernoulli puede concebirse como el “principio de conservación de la energía mecánica”. Esto equivale al principio general de conservación de la energía para los sistemas que no se relacionan con la conversión de la energía mecánica y la térmica entre sí y, en consecuencia, la energía mecánica y la térmica se conservan por separado. La ecuación de Bernoulli expresa que, en el estacionario e incompresible, con fricción despreciable, las diversas formas de la energía mecánica se transforman entre sí, pero su suma permanece constante. En otras palabras, no se tiene disipación de energía mecánica en ese tipo de flujos, puesto que no existe fricción que convierta esa energía mecánica en energía térmica sensible (interna).

FIGURA 5-26 La ecuación de Bernoulli afirma que la suma de la energía cinética, la potencial y la de flujo de una partícula de fluido es constante a lo largo de una línea de corriente en el flujo estacionario.

200 ECUACIONES DE CONSERVACIÓN DE MASA

A

B PA > PB a)

z

z C

A

B Fluido en reposo

D Fluido en movimiento

PB – PA = PD – PC b)

FIGURA 5-27 La presión disminuye hacia el centro de curvatura cuando las líneas de corriente son curvas a), pero la variación de presión por la elevación en flujo estacionario e incompresible a lo largo de una línea recta b) es la misma que la que ocurre en un fluido en reposo.

Debe recordarse que la energía se transfiere a un sistema como trabajo cuando se aplica una fuerza a este sistema a lo largo de una distancia. Si se toma en cuenta la segunda ley de Newton del movimiento, la ecuación de Bernoulli también puede concebirse de la manera siguiente: el trabajo realizado por las fuerzas de presión y de gravedad sobre la partícula de fluido es igual al aumento en la energía cinética de esa partícula. La ecuación de Bernoulli se obtiene a partir de la segunda ley de Newton para una partícula fluida que se mueve en línea recta. También se puede obtener a partir de la primera ley de la termodinámica aplicada a un sistema de flujo uniforme, como se muestra en la sección 5-6. Pese a las aproximaciones intensamente restrictivas que se usaron en su deducción, la ecuación de Bernoulli es de uso común en la práctica, ya que diversos problemas prácticos de flujo de fluidos pueden analizarse con ella, con exactitud razonable. Esto se debe a que numerosos flujos de interés práctico en la ingeniería son estacionarios (o, por lo menos, estacionarios en sus valores medios), los efectos de la compresibilidad son relativamente pequeños y las fuerzas netas de fricción son despreciables en las regiones de interés en el flujo.

Balance de fuerzas a través de las líneas de corriente Se deja como ejercicio demostrar que un balance de fuerzas en la dirección n normal a la línea de corriente da como resultado la relación siguiente aplicable a través de las líneas de corriente para el flujo estacionario e incompresible: P  r

 R dn  gz  constante V2

(a través de las líneas de corriente)

(5-43)

donde R es el radio local de curvatura de la línea de corriente. Para flujo en líneas de corriente curvas (Fig. 5-27a), la presión disminuye hacia el centro de curvatura, y las partículas de fluido experimentan una fuerza centrípeta y una aceleración centrípeta correspondientes debido a este gradiente de presión. Para un flujo a lo largo de un línea recta, R →  y la ecuación 5-43 se reducen a P/r  gz  constante, o P  rgz  constante la cual es una expresión para la variación de la presión hidrostática con la distancia vertical para una masa de fluido en reposo. Por lo tanto, la variación de la presión con la elevación en el flujo estacionario e incompresible a lo largo de una recta es la misma que aquella en el fluido en reposo (Fig. 5-27b).

Flujo no estacionario y compresible De manera análoga, cuando se usan los dos términos de la expresión de la aceleración (ecuación 5-33), se puede demostrar que la ecuación de Bernoulli para el flujo no estacionario y compresible es: Flujo no estacionario y compresible:



dP  r



2

V V ds   gz  constante

t 2

(5-44)

Presiones estática, dinámica y de estancamiento La ecuación de Bernoulli determina que la suma de la energía de flujo, la cinética y la potencial de una partícula de fluido a lo largo de una línea de corriente es constante. Por lo tanto, la energía cinética y la potencial del fluido pueden convertirse a energía de flujo (y viceversa) en un flujo, lo cual hace que cambie la presión. Este fenómeno puede hacerse más visible cuando se multiplica la ecuación de Bernoulli por la densidad r: P

V2  rgz  constante (a lo largo de una línea de corriente) 2

(5-45)

201 CAPÍTULO 5

Cada término de esta ecuación tiene unidades de presión y, por tanto, cada uno representa alguna clase de presión: • P es la presión estática (no incorpora efectos dinámicos); representa la presión termodinámica real del fluido. Ésta es la misma que la presión usada en la termodinámica y las tablas de propiedades. • rV 2/2 es la presión dinámica, representa el aumento en la presión cuando el fluido en movimiento se detiene de manera isentrópica. • rgz es la presión hidrostática, la cual no es presión en un sentido real, porque su valor depende del nivel de referencia seleccionado; toma en cuenta los efectos de elevación, es decir, del peso del fluido sobre la presión. (Tenga cuidado con el signo: A diferencia de la presión hidrostática rgh, que aumenta con la profundidad del fluido h, el término de presión hidrostática rgz disminuye con la profundidad del fluido.) La suma de la presión estática, la dinámica y la hidrostática se llama presión total. Por lo tanto, la ecuación de Bernoulli expresa que la presión total a lo largo de una línea de corriente es constante. La suma de la presión estática y la dinámica se llama presión de estancamiento y se expresa como: Pestanc  P 

V2 2

(kPa)

Proporcional a la presión dinámica Proporcional Piezómetro a la presión de estancamiento, 2 Proporcional V r –– Pestanc a la presión 2 estática, P

Tubo de Pitot

V

Punto de estancamiento V=

√ 2(P r

estanc

– P)

FIGURA 5-28 Las presiones estática, dinámica y de estancamiento, medidas mediante tubos piezométricos.

(5-46)

La presión de estancamiento representa la presión en un punto en donde el fluido se detiene totalmente siendo llevado al reposo de una manera isentrópica. En la figura 5-28 se muestran la presión estática, la dinámica y de estancamiento. Cuando la presión estática y de estancamiento se miden en un lugar especificado, puede calcularse la velocidad del fluido en ese lugar a partir de: V

2(Pestanc  P) B

r

(5-47)

La ecuación 5-47 es útil en la medición de la velocidad del flujo cuando se usa una combinación de una toma de presión estática y una de presión de estancamiento (llamada tubo de Pitot) como se ilustra en la figura 5-28. Una toma de presión estática es, simplemente, un pequeño agujero taladrado en una pared en tal forma que el plano de ese agujero es paralelo a la dirección del flujo. Éste mide la presión estática. Un tubo de Pitot es un tubo pequeño con su extremo abierto alineado hacia el flujo de manera que sienta la presión plena de impacto del fluido fluyente. Éste mide la presión de estancamiento. En situaciones en que la presión estática y de estancamiento de un líquido fluyente son mayores que la presión atmosférica puede fijarse un tubo vertical transparente, llamado tubo piezométrico (o piezómetro) a la toma de presión estática y al tubo de Pitot, como se ilustra en la figura 5-28. El líquido sube en el tubo piezométrico hasta una altura de columna (carga) que es proporcional a la presión que se está midiendo. Si se requiere medir las presiones por abajo de la atmosférica, o las presiones en gases, los tubos piezométricos no funcionan. Sin embargo, todavía pueden usarse estas tomas de presión estática y de estancamiento, pero deben conectarse a alguna otra clase de instrumento de medición de la presión, como un manómetro diferencial en U o un transductor de presión (capítulo 3). A veces es conveniente integrar los agujeros para la medición de presión estática a un tubo de Pitot. El resultado es una sonda de Pitot (también conocida como la sonda de Pitot-Darcy o el tubo de Prandtl). Una sonda de Pitot conectada a un transductor de presión o a un manómetro mide la presión dinámica (y, por lo tanto, la velocidad del fluido) directamente. Cuando se mide la presión estática taladrando un agujero en la pared del tubo, debe tenerse cuidado en cerciorarse que la abertura del agujero está al ras con la

FIGURA 5-29 Acercamiento de la imagen de una sonda de Pitot-Darcy en la que se muestran el agujero para la presión de estancamiento y dos de los cinco agujeros circunferenciales para la presión estática. Fotografía tomada por Po-Ya Abel Chuang. Reproducida con autorización.

Alta

Correcta

Baja

FIGURA 5-30 La falta de cuidado en el taladrado, para la toma de presión estática, puede dar como resultado una lectura errónea de la presión.

202 ECUACIONES DE CONSERVACIÓN DE MASA Línea de corriente de estancamiento

FIGURA 5-31 Líneas de traza producidas por el fluido coloreado que se introdujo corriente arriba de un perfil aerodinámico; como el flujo es estacionario, las líneas de traza son las mismas que las de corriente y las de trayectoria. Está marcada la línea de corriente de estancamiento. Cortesía de ONERA. Fotografía realizada por Werlé.

superficie de la propia pared, sin extrusiones antes o después de él (Fig. 5-30). De lo contrario, la lectura incorporará algunos efectos dinámicos y, en consecuencia, será errónea. Cuando un cuerpo estacionario se sumerge en una corriente, el fluido se detiene en la nariz del mismo (el punto de estancamiento). La línea de corriente que se extiende desde lejos y llega hasta el punto de estancamiento y se llama línea de corriente de estancamiento (Fig. 5-31). Para un flujo bidimensional en el plano xy, el punto de estancamiento en realidad es una recta paralela al eje z y la línea de corriente de estancamiento en realidad es una superficie que separa el fluido que fluye sobre el cuerpo del que fluye debajo de éste. En un flujo incompresible, el fluido se desacelera casi isentrópicamente, desde su valor de velocidad de flujo libre hasta cero en el punto de estancamiento y, de este modo, la presión en éste es la presión de estancamiento.

Limitaciones en el uso de la ecuación de Bernoulli La ecuación de Bernoulli (ecuación 5-41) es una de las que con más frecuencia se usan, adecuada e indebidamente, en la mecánica de fluidos. Su versatilidad, sencillez y facilidad de aplicación la hacen una herramienta muy valiosa para utilizarse en el análisis, pero los mismos atributos la hacen muy tentadora para usarla indebidamente. Por lo tanto, es importante conocer las restricciones acerca de la posibilidad de aplicarla y observar las limitaciones relativas a su uso, como se explica a continuación: 1. Flujo estacionario La primera limitación de la ecuación de Bernoulli consiste en que es aplicable al flujo estacionario. Por lo tanto, no debe usarse durante los periodos de arranque y de paro, o durante los periodos de cambio en las condiciones de flujo. Note que existe una forma no estacionaria de la ecuación de Bernoulli (ecuación 5-44), cuyo estudio está fuera de los objetivos de este texto (véase Panton, 1996). 2. Efectos viscosos despreciables En todo flujo interviene algo de fricción, sin importar qué tan pequeña sea, y los efectos de la fricción pueden ser despreciables. o no. La situación se complica aún más por la magnitud del error que puede tolerarse. En general, los efectos de la fricción son despreciabless para tramos cortos del flujo, con secciones transversales grandes, en especial con velocidades bajas del flujo. Los efectos de la fricción suelen ser importantes en tramos largos y angostos del flujo, en la región de la estela corriente abajo de un objeto y en las secciones de flujo divergente, como en los difusores, debido a la mayor posibilidad de que el fluido se separe de las paredes en esas configuraciones geométricas. Los efectos de la fricción también son significativos cerca de las superficies sólidas y, por lo tanto, la ecuación de Bernoulli suele ser aplicable a lo largo de una línea de corriente en la región del núcleo del flujo, pero no a lo largo de la línea de corriente cercana a la superficie (Fig. 5-32). Un componente que perturbe la estructura de líneas de corriente del flujo y, en consecuencia, cause una mezcla y un contraflujo considerables, como una entrada aguda de un tubo, o una válvula parcialmente cerrada en una sección del flujo pueden hacer que la ecuación de Bernoulli no pueda aplicarse. 3. Ningún trabajo en la flecha La ecuación de Bernoulli se dedujo basándose en un balance de fuerzas sobre una partícula en movimiento a lo largo de una línea de corriente. Por lo tanto, esta ecuación no se aplica a un tramo del flujo en el que intervenga una bomba, una turbina, un ventilador o cualquier otra máquina o impulsor, ya que estos aparatos destruyen las líneas de corriente y llevan a cabo interacciones de energía con las partículas del fluido. Cuando el tramo del flujo en consideración incluye cualquiera de estos aparatos, debe usarse la ecuación de la energía para tomar en cuenta la entrada o salida de trabajo en la flecha. Sin embargo, puede aplicarse la

203 CAPÍTULO 5

ecuación de Bernoulli a una sección del flujo antes o después de pasar por una máquina (en el supuesto, claro, que se satisfacen las otras restricciones referentes a su uso). En esos casos, la constante de Bernoulli cambia de corriente arriba a corriente abajo del dispositivo. 4. Flujo incompresible Una de las suposiciones establecidas en la deducción de la ecuación de Bernoulli es que r  constante y, por lo tanto, el flujo es incompresible. Esta condición la satisfacen los líquidos y también los gases con números de Mach menores a 0.3, dado que los efectos de la compresibilidad y, por lo tanto, las variaciones de la densidad de los gases son despreciables a esas velocidades relativamente bajas. Note que existe una forma compresible de la ecuación de Bernoulli para el flujo comprensible (ecuaciones 5-40 y 5-44). 5. Transferencia de calor desprecible La densidad de un gas es inversamente proporcional a la temperatura, y no debe usarse la ecuación de Bernoulli para los tramos del flujo en el que se tenga un cambio significativo en la temperatura, como las secciones de calentamiento o enfriamiento. 6. Flujo a lo largo de una línea de corriente Es decir, la ecuación de Bernoulli, P/r  V 2/2  gz  C es aplicable a lo largo de una línea de corriente y, en general, el valor de la constante C es diferente para distintas líneas de corriente. Pero cuando una región del flujo es irrotacional y, en consecuencia, no hay vorticidad en el campo de flujo, el valor de la constante C continúa siendo el mismo para todas las líneas de corriente y, por lo tanto, la ecuación de Bernoulli se vuelve también aplicable a través de esas líneas de corriente (Fig. 5-33). Por lo tanto, no es necesario preocuparse por las líneas de corriente cuando el flujo es irrotacional y puede aplicarse la ecuación de Bernoulli entre dos puntos cualesquiera en la región irrotacional del flujo (capítulo 10). Para mayor sencillez, la ecuación de Bernoulli se dedujo considerando el flujo bidimensional en el plano xz, pero la ecuación también es válida para el caso general del flujo tridimensional, en tanto se aplique a lo largo de la misma línea de corriente. Siempre deben tenerse presentes las suposiciones establecidas en la deducción de la ecuación de Bernoulli y verificar que se cumplan.

Línea de gradiente hidráulico (LGH) y línea de energía (LE) Con frecuencia es conveniente representar de manera gráfica el nivel de la energía mecánica, usando alturas, con la finalidad de facilitar la visualización de los diversos términos de la ecuación de Bernoulli. Esto se realiza cuando se divide cada término de esa ecuación entre g, para dar: V2 P   z  H  constante rg 2g

(a lo largo de una línea de corriente)

(5-48)

Cada término de esta ecuación tiene las dimensiones de longitud y representa algún tipo de “carga” de un fluido fluyente, como se describe a continuación: • P/rg es la carga de presión: representa la altura de una columna de fluido que produce la presión estática P. • V 2/2g es la carga de velocidad: representa la elevación necesaria para que un fluido alcance la velocidad V durante una caída libre sin fricción. • z es la carga de elevación: representa la energía potencial del fluido. Asimismo, H es la carga total para el flujo. Por lo tanto, la ecuación de Bernoulli se puede expresar en términos de cargas como: la suma de las cargas de presión, de velocidad y de elevación a lo largo de una línea de corriente que es

FIGURA 5-32 Los efectos de la fricción y los componentes que perturban la estructura aerodinámica del flujo en una sección de éste invalidan la ecuación de Bernoulli.

204 ECUACIONES DE CONSERVACIÓN DE MASA 1 2 Líneas de corriente P V 22 P V2 ––1 + ––1 + gz1 = ––2 + –– + gz2 r r 2 2

FIGURA 5-33 Cuando el flujo es irrotacional, la ecuación de Bernoulli se vuelve aplicable entre dos puntos cualesquiera a lo largo del flujo (no sólo sobre la misma línea de corriente).

FIGURA 5-34 Una forma alternativa de la ecuación de Bernoulli se expresa en términos de cargas como: la suma de las cargas de presión, de velocidad y de elevación es constante a lo largo de una línea de corriente.

constante en el flujo estacionario, cuando los efectos de la compresibilidad y de la fricción son despreciables (Fig. 5-34). Si se colocara un piezómetro (éste mide la presión estática) en un tubo presurizado, como se muestra en la figura 5-35, el líquido subiría hasta una altura de P/rg por arriba del centro del tubo. La línea de gradiente hidráulico (LGH, o HGL por sus siglas en inglés, hydraulic grade line), también conocida como línea piezométrica o línea de alturas piezométricas, se obtiene cuando se hace esto en varios lugares a lo largo del tubo y se traza una línea que pase por los niveles del líquido en los piezómetros. La distancia vertical arriba del centro del tubo es una medida de la presión dentro del tubo. De manera análoga, si se coloca un tubo de Pitot (éste mide la presión estática + la dinámica) en un tubo, el líquido subiría hasta una altura de P/rg  V2/2g por arriba del centro del tubo, o a una distancia de V2/2g arriba de la LGH. La línea de energía (LE, EGL por sus siglas en inglés, energy grade line), también conocida como la línea de alturas totales, se obtiene cuando se hace esto en varios lugares a lo largo del tubo y se traza una línea que pase por los niveles del líquido en los tubos de Pitot. Note que el fluido también tiene la carga de elevación z (a menos que se tome el nivel de referencia en la línea central del tubo), la LGH y la LE se pueden definir de la manera siguiente: la línea que representa la suma de las cargas de presión estática y de elevación, P/rg  z, se llama línea de gradiente hidráulico, la línea que representa la carga total del fluido, P/rg  V 2/2g  z, se llama línea de energía. La diferencia entre las alturas des la LE y la LGH es igual a la carga dinámica V2/2g. Se observa lo siguiente acerca de la LGH y la LE: • Para las masas en reposo, como los depósitos o los lagos, la LE y la LGH coinciden con la superficie libre del líquido. En estos casos, la elevación z de la superficie libre representa tanto la LE como la LGH, porque que la velocidad es cero y la presión estática (manométrica) es cero. • La LE siempre está a una distancia V2/2g arriba de la LGH. Estas dos líneas se aproximan entre sí conforme disminuye la velocidad y divergen cuando ésta aumenta. La altura de la LGH decrece cuando aumenta la velocidad y viceversa. • En un flujo idealizado que satisface la ecución de Bernoulli, la LE es horizontal y su altura se mantiene constante. Éste también sería el caso para la LGH cuando la velocidad del flujo fuera constante (Fig. 5-36). • Para el flujo en canal abierto, la LGH coincide con la superficie libre del líquido y la LE está a la distancia V2/2g arriba de esa superficie libre. • A la salida de un tubo, la carga de presión es cero (presión atmosférica) y, por eso, la LGH coincide con esa salida (ubicación 3 en la figura 5-35). • La pérdida de energía mecánica debida a los efectos de fricción (conversión a energía térmica) hace que la LE y la LGH se inclinen hacia abajo en la dirección del flujo. La pendiente es una medida de la pérdida de carga en el

z 0 V12/2g

LGH

FIGURA 5-35 Línea de gradiente hidráulica (LGH) y línea de energía (LE) para la descarga libre desde un depósito por un tubo horizontal con un difusor.

LE

1

Difusor

V 22 /2g

2 3 Plano arbitrario de referencia (z = 0)

205 CAPÍTULO 5

tubo (lo que se trata con detalle en el capítulo 8). Un accesorio que genere efectos considerables de fricción, como una válvula, causa una caída repentina tanto en la LE como en la LGH en ese lugar. • Se tiene un salto empinado en la LE y la LGH siempre que se añade energía mecánica al fluido (por medio de una bomba, por ejemplo). Del mismo modo ocurre una caída empinada en la LE y la LGH siempre que se extrae energía mecánica del fluido (mediante una turbina, por ejemplo), como se muestra en la figura 5-37. • La presión manométrica de un fluido es cero en los lugares donde la LGH se interseca con el fluido. La presión en un tramo del flujo que esté arriba de la LGH es negativa y la presión en una sección que esté abajo de la LGH es positiva (Fig. 5-38). Por lo tanto, un dibujo preciso de un sistema de tuberías con la LGH sobrepuesta puede usarse para determinar las regiones en donde la presión en el tubo es negativa (por abajo de la presión atmosférica). La última observación permite evitar situaciones en donde la presión cae por abajo de la presión de vapor del líquido (lo cual causa cavitación, como se vio en el capítulo 2). La consideración apropiada es necesaria en la colocación de una bomba de líquido para asegurar que la presión del lado de la succión no caiga demasiado, en especial a temperaturas altas, a las cuales la presión de vapor es más alta que a bajas temperaturas. Ahora se examinará la figura 5-35 de manera más cuidadosa. En el punto 0 (en la superficie del líquido), la LE y la LGH están al nivel de la superficie del líquido puesto que allí no hay flujo. La LGH decrece con rapidez a medida que el líquido se acelera dentro del tubo; sin embargo, la LE decrece muy lentamente a través de la entrada redondeada del tubo. La LE decae de manera continua a lo largo de la dirección del flujo debido a la fricción y a otras pérdidas irreversibles en ese flujo. La LE no puede aumentar en la dirección del flujo, a menos que se alimente energía al fluido. La LGH puede subir o caer en la dirección del flujo, pero nunca puede sobrepasar a la LE. La LGH sube en el tramo del difusor conforme la velocidad disminuye y la presión estática se recobra un poco; sin embargo, la presión total no se recobra y la LE decrece a través del difusor. La diferencia entre la LE y la LGH es V21 /2g en el punto 1 y V22/2g en el punto 2. Puesto que V1 > V2, la diferencia entre las dos líneas es más grande en el punto 1 que en el 2. La pendiente hacia abajo de las dos líneas es más grande para la sección de diámetro más pequeño del tubo, puesto que la pérdida de carga por fricción es más grande. Por último, la LGH decae hasta la superficie del líquido a la salida, dado que la presión allí es la atmosférica. Pero, la LE, no obstante, está más arriba que la LGH en la cantidad de V22/2g en virtud de que, a la salida, V3  V2.

LE

(Horizontal)

LGH

2/2g

V

P –– g

z Nivel de referencia 0

FIGURA 5-36 En un flujo idealizado que satisface la ecuación de Bernoulli, la LE es horizontal y su altura se mantiene constante. Pero éste no es el caso para LGH si la velocidad del flujo varía.

LE LGH

Turbina

Bomba

· Wbomba

· Wturbina

FIGURA 5-37 Se tiene un salto empinado en la LE y en la LGH siempre que se añade energía mecánica al fluido mediante una bomba, y se tiene una caída empinada siempre que se extrae energía mecánica del fluido por medio de una turbina.

Aplicaciones de la ecuación de Bernoulli Hasta ahora se han abordado los aspectos fundamentales de la ecuación de Bernoulli. Ahora demostramos su uso en una amplia variedad de aplicaciones, mediante ejemplos.

Negativa P P=0 LGH

P=0

Positiva P Positiva P

EJEMPLO 5-5

Agua rociada en el aire

Fluye agua de una manguera (Fig. 5-39). Un niño coloca su dedo pulgar para cubrir la mayor parte de la salida de la manguera, y hace que salga un chorro delgado de agua a alta velocidad. La presión en la manguera inmediatamente corriente arriba del pulgar del niño es 400 kPa. Si la manguera se sostiene hacia arriba, ¿a qué altura máxima podría llegar el chorro?

FIGURA 5-38 La presión (manométrica) de un fluido es cero en los lugares en donde la LGH se interseca con dicho fluido y la presión es negativa (vacío) en el tramo del flujo que esté arriba de la LGH.

206 ECUACIONES DE CONSERVACIÓN DE MASA 2

SOLUCIÓN Se rocía agua hacia el aire desde una manguera conectada a la tubería principal. Debe determinarse la altura máxima que puede alcanzar el chorro. Suposiciones 1 El flujo que sale hacia el aire es estacionario, incompresible e irrotacional (de modo que es aplicable la ecuación de Bernoulli). 2 Los efectos de la tensión superficial son despreciables. 3 La fricción entre el agua y el aire es despreciable. 4 Los efectos irreversibles que pueden ocurrir a la salida de la manguera debido a la abrupta contración no se consideran. Propiedades La densidad del agua se toma como 1 000 kg/m3. Análisis Este problema considera la transformación de la energía de flujo, la cinética y la potencial entre sí, sin que intervengan bombas, turbinas ni componentes de disipación con pérdidas grandes por fricción y es adecuado para aplicar la ecuación de Bernoulli. La altura del agua será máxima con las suposiciones planteadas. La velocidad dentro de la manguera es relativamente baja (V12 106, en especial cuando e/L  104. En general, la rugosidad de la superficie aumenta el coeficiente de arrastre en flujo turbulento. Sin embargo, para cuerpos romos, como un cilindro circular o esfera, un aumento en la rugosidad de la superficie puede disminuir el coeficiente de arrastre. Esto se hace cuando se dispara el flujo en turbulencia a un número de Reynolds menor, y por lo tanto se provoca que el fluido que circunda el cuerpo se apegue más a la superficie por atrás del cuerpo, con lo que se estrecha la estela y se reduce de manera considerable el arrastre debido a presión. Es deseable que los perfiles aerodinámicos generen la mayor sustentación mientras produzcan el menor arrastre. En consecuencia, una medida de desempeño de las superficies de sustentación es la razón de la sustentación al arrastre, CL/CD. La mínima velocidad segura de vuelo de una aeronave puede determinarse a partir de: Vmín 

2W B rCL, máx A

Para un peso dado, la velocidad de aterrizaje o de despegue puede minimizarse cuando se maximiza el producto del coeficiente de sustentación y el área del ala, CL, máxA. Para las alas del avión y otras superficies de sustentación de tamaño finito, la diferencia de presión entre las superficies inferior y superior dirigen el fluido en las puntas hacia arriba. Esto forma un remolino que gira, llamado vórtice de extremo. Los vórtices de extremo que interactúan con el flujo libre imponen fuerzas sobre las puntas de las alas en todas direcciones, inclusive en la dirección del flujo. La componente de la fuerza en la dirección del flujo se agrega al arrastre y se llama arrastre inducido. Entonces, el arrastre total de un ala es la suma del arrastre inducido (efectos tridimensionales) y el arrastre de la superficie de sustentación. Se observa que la sustentación se desarrolla cuando un cilindro o esfera en un flujo rota a una razón suficientemente alta. El fenómeno de producir sustentación mediante la rotación de un cuerpo sólido se llama efecto de Magnus. En el capítulo 15 se presentan algunos flujos externos, junto con todos los detalles de flujo que incluyen gráficas de campos de velocidad, y que se resuelven por paquetes de dinámica de fluido computacional.

BIBLIOGRAFÍA Y LECTURAS RECOMENDADAS 1. I. H. Abbott, “The Drag of Two Streamline Bodies as Affected by Protuberances and Appendages”, NACA Report 451, 1932.

3. I. H. Abbott, A. E. von Doenhoff y L. S. Stivers, “Summary of Airfoil Data”, NACA Report 824, Langley Field, VA, 1945.

2. I. H. Abbott y A. E. von Doenhoff, Theory of Wing Sections, Including a Summary of Airfoil Data. Nueva York: Dover, 1959.

4. J. D. Anderson, Fundamentals of Aerodynamics, 2a. ed. Nueva York: McGraw-Hill, 1991.

621 CAPÍTULO 11

PROYECTOR DE APLICACIONES

■

Reducción del arrastre

Autor invitado: Werner J. A. Dahm, The University of Michigan Una reducción de sólo un pequeño porcentaje en el arrastre que actúa sobre un vehículo aéreo, un vehículo naval de superficie o un vehículo submarino puede traducirse en una considerable reducción en el peso del combustible y costos de operación, o en aumento en el rango y carga del vehículo. Un medio para lograr esta reducción del arrastre es controlar de manera activa, los vórtices de corriente que ocurren de manera natural en la subcapa viscosa de la capa límite turbulenta en la superficie del vehículo. La delgada subcapa viscosa en la base de cualquier capa límite turbulenta es un poderoso sistema no-lineal capaz de amplificar pequeñas perturbaciones inducidas por el microactuador en grandes reducciones en el arrastre del vehículo. Numerosos estudios experimentales, computacionales y teóricos han demostrado que son posibles reducciones de 15 a 25 por ciento en el esfuerzo de corte cuando se controlan de manera adecuada estas estructuras de subcapa. El desafío es desarrollar grandes arreglos densos de microactuadores que puedan manipular estas estructuras para lograr reducción de arrastre en vehículos aeronáuticos e hidronáuticos prácticos (Fig. 11-57). Las estructuras de subcapa, por lo general, son de cientos de micras, y por lo tanto se adaptan adecuadamente a la escala de sistemas microelectromecánicos (MEMS, por sus siglas en inglés). En la figura 11-58 se muestra un ejemplo de un tipo de este arreglo actuador a microescala con base en el principio electrocinético que potencialmente es adecuado para el control activo de subcapa en vehículos reales. El flujo electrocinético proporciona una manera de mover pequeñas cantidades de fluido en escalas de tiempo muy rápidas en dispositivos muy pequeños. Los actuadores impulsivamente desplazan un volumen fijo de fluido entre la pared y la subcapa viscosa en una manera que contrarresta el efecto de los vórtices de subcapa. Una arquitectura de sistema que se basa en celdas unitarias independientes, apropiada para grandes arreglos de estos microactuadores, ofrece requisitos de procesamiento de control enormemente reducidos dentro de celdas unitarias individuales, que consiste de un número relativamente pequeño de sensores y actuadores individuales. Para desarrollar y producir arreglos de microactuadores electrocinéticos a tamaño real, que puedan satisfacer muchos de los requisitos para el control activo de subcapa de capas límite turbulentas en condiciones de vehículo real, se usa la consideración fundamental de los principios de escalamiento que gobiernan al flujo electrocinético, así como la estructura y dinámica de la subcapa y las tecnologías de microfabricación. Estos arreglos de actuadores microelectrocinéticos (MEKA, por sus siglas en inglés), cuando se fabrican con sensores de esfuerzo de corte que también se basan en la fabricación de sistemas microelectromecánicos, en el futuro podrían permitir a los ingenieros lograr reducciones notables en el arrastre que actúa sobre vehículos aeronáuticos e hidronáuticos. Referencias Diez-Garias, F. J., Dahm, W. J. A. y Paul, P. H., “Microactuator Arrays for Sublayer Control in Turbulent Boundary Layers Using the Electrokinetic Principle,” AIAA Paper No. 2000-0548, AIAA, Washington, DC, 2000. Diez, F. J. y Dahm, W. J. A., “Electrokinetic Microactuator Arrays and System Architecture for Active Sublayer Control of Turbulent Boundary Layers,” AIAA Journal, vol. 41, 2003, pp. 1906-1915.

Mosaico 250 250 actuadores

Celda unitaria básica 6 6 actuadores w/DSP

Elemento sensor/actuador 1 sensor  1 actuador

FIGURA 11-57 Arreglos de microactuadores que reducen el arrastre en el casco de un submarino. Se muestra la arquitectura del sistema con mosaicos compuestos de celdas unitarias que contienen sensores y actuadores.

FIGURA 11-58 Arreglo de actuadores microelectrocinéticos (MEKA-5) con 25 600 actuadores individuales a 325 mm de espaciamiento para reducción de arrastre hidronáutico a tamaño real. Acercamiento de una sola celda unitaria (imagen superior) y vista parcial del arreglo completo (imagen inferior).

622 FLUJO EXTERNO

5. R. D. Blevins, Applied Fluid Dynamics Handbook. Nueva York: Van Nostrand Reinhold, 1984. 6. S. W. Churchill y M. Bernstein, “A Correlating Equation for Forced Convection from Gases and Liquids to a Circular Cylinder in Cross Flow”, Journal of Heat Transfer 99, 1977, pp. 300-306.

11. G. M. Homsy, H. Aref, K. S. Breuer, S. Hochgreb, J. R. Koseff, B. R. Munson, K. G. Powell, C. R. Robertson, S. T. Thoroddsen, Multi-Media Fluid Mechanics (CD). Cambridge University Press, 2000. 12. W. H. Hucho, Aerodynamics of Road Vehicles. London: Butterworth-Heinemann, 1987.

7. S. Goldstein, Modern Developments in Fluid Dynamics. London: Oxford Press, 1938.

13. H. Schlichting, Boundary Layer Theory, 7a. ed. Nueva York: McGraw-Hill, 1979.

8. J. Happel y H. Brenner, Hidrodinámica de bajos números de Reynolds con aplicaciones especiales para medios particulados. Norwell, MA: Kluwer Academic Publishers, 1983.

14. M. Van Dyke. An Album of Fluid Motion. Stanford, CA: The Parabolic Press, 1982. 15. J. Vogel, Life in Moving Fluids, 2a. ed. Boston: Willard Grand Press, 1994.

9. S. F. Hoerner, Fluid-Dynamic Drag. [Publicado por el autor.] Biblioteca del Congreso, 64, 1966.

16. F. M. White, Fluid Mechanics, 5a. ed. Nueva York: McGraw-Hill, 2003.

10. J. B. Holmes, Cálculo de estructuras con carga de viento. Londres: Spon Press (Taylor y Francis), 2001.

PROBLEMAS* Arrastre, sustentación y coeficientes de arrastre 11-1C ¿Cuál automóvil es más probable que tenga mayor rendimiento de combustible: uno con esquinas agudas u otro con contornos que recuerdan una elipse? ¿Por qué? 11-2C ¿Cuál ciclista es más probable que vaya más rápido: uno que mantiene su cabeza y su cuerpo en la posición más erecta u otro que se incline hacia abajo y lleve su cuerpo más cerca de sus rodillas? ¿Por qué? 11-3C Considere un flujo laminar sobre una placa plana. ¿Cómo cambia el coeficiente local de fricción con la posición? 11-4C Explique cuándo un flujo externo es bidimensional, tridimensional y axisimétrico. ¿Qué tipo de flujo es el flujo de aire sobre un automóvil? 11-5C ¿Cuál es la diferencia entre la velocidad corriente arriba y la velocidad de flujo libre? ¿Para qué tipos de flujo estas dos velocidades son iguales? 11-6C ¿Cuál es la diferencia entre cuerpos currentilíneos (aerodinámicos) y romos? Una pelota de tenis ¿es un cuerpo aerodinámico o romo? 11-7C Mencione algunas aplicaciones en las que es deseable un gran arrastre. 11-8C ¿Qué es arrastre? ¿Qué lo provoca? ¿Por qué usualmente se intenta minimizarlo?

* Los problemas designados por una “C” son preguntas de concepto y se alienta a los estudiantes a dar respuesta a todas. Los problemas designados por una “I” están en unidades inglesas y los usuarios del SI pueden ignorarlos. Los problemas con el ícono son de comprensión y se recomienda emplear un software como EES para resolverlos. Los problemas con el ícono pueden resolverse con el software FlowLab.

11-9C ¿Qué es sustentación? ¿Qué la provoca? ¿Contribuye la fuerza del corte a la sustentación? 11-10C Durante flujo sobre un cuerpo dado se miden la fuerza de arrastre, la velocidad corriente arriba y la densidad del fluido. Explique cómo determinaría el coeficiente de arrastre. ¿Qué área usaría en los cálculos? 11-11C Durante flujo sobre un esbelto cuerpo dado, como un ala, se miden la fuerza de sustentación, la velocidad corriente arriba y la densidad del fluido. Explique cómo determinaría el coeficiente de sustentación. ¿Qué área usaría en los cálculos? 11-12C Defina el área frontal de un cuerpo expuesto a flujo externo. ¿Cuándo es adecuado usar el área frontal en los cálculos de arrastre y sustentación? 11-13C Defina el área de planta de un cuerpo expuesto a flujo externo. ¿Cuándo es adecuado usar el área de planta en los cálculos de arrastre y sustentación? 11-14C

¿Qué es velocidad terminal? ¿Cómo se determina?

11-15C ¿Cuál es la diferencia entre arrastre debido a fricción y arrastre debido a presión? ¿Cuál es más significativo para cuerpos esbeltos como las superficies de sustentación? 11-16C ¿Cuál es el efecto de la rugosidad de superficie sobre el coeficiente de arrastre debido a fricción en flujos laminar y turbulento? 11-17C En general, ¿cómo varía el coeficiente de arrastre con el número de Reynolds a a) números de Reynolds bajos y moderados y b) a números de Reynolds altos (Re  104)? 11-18C Las cubiertas se unen a la parte frontal y trasera de un cuerpo cilíndrico para hacerlo parecer más aerodinámico. ¿Cuál es el efecto de esta modificación sobre a) el arrastre debido a fricción, b) el arrastre debido a presión y c) el arrastre total? Suponga que el número de Reynolds es lo suficientemente alto como para que el flujo sea turbulento para ambos casos.

623 CAPÍTULO 11 V

Cubiertas

Cilindro

FIGURA P11-18C

11-19C ¿Cuál es el efecto de cambiar la forma de un cuerpo por una más currentilínea sobre a) el arrastre debido a fricción y b) el arrastre debido a presión? ¿El arrastre total que actúa sobre un cuerpo necesariamente disminuye como resultado de cambiar la forma a una más currentelínea? Explíquelo. 11-20C ¿Qué es la separación de flujo? ¿Qué la provoca? ¿Cuál es el efecto de la separación de flujo sobre el coeficiente de arrastre? 11-21C ¿Qué es el drafting (succión)? ¿Cómo afecta el coeficiente de arrastre del cuerpo succionado? 11-22 Un automóvil se desplaza a una velocidad constante de 80 km/h. Determine la velocidad corriente arriba por usar en un análisis de flujo de fluidos si a) el aire es tranquilo, b) el viento sopla contra la dirección de movimiento del automóvil a 30 km/h y c) el viento sopla en la misma dirección de movimiento del automóvil a 50 km/h.

11-26I Para reducir el coeficiente de arrastre, y en consecuencia mejorar el rendimiento de combustible, debe reducirse el área frontal de un automóvil. Determine la cantidad de combustible y dinero que se ahorra al año como resultado de disminuir el área frontal de 18 a 15 ft2. Suponga que el automóvil recorre 12 000 mi al año a una velocidad promedio de 55 mi/h. Considere que la densidad y el precio de la gasolina son 50 lbm/ft3 y $3.10/gal, respectivamente; la densidad del aire es 0.075 lbm/ft3, el poder calorífico de la gasolina es de 20 000 Btu/lbm; y la eficiencia global del motor es de 30 por ciento. 11-27I

Reconsidere el problema 11-26I. Con el software EES (o algún otro) investigue el efecto de la variación del área frontal sobre el consumo anual de combustible del automóvil. Varíe el área frontal de 10 a 30 ft2 en incrementos de 2 ft2. Tabule y grafique los resultados. 11-28

Una placa de señalamiento circular tiene un diámetro de 50 cm y está expuesta a vientos normales de hasta 150 km/h a 10°C y 100 kPa. Determine la fuerza de arrastre que actúa sobre la placa de señalamiento. También determine el momento de flexión que actúa sobre la base del poste, cuya altura desde el suelo hasta la base de la placa de señalamiento es de 1.5 m. No tome en cuenta el arrastre sobre el poste.

150 km/h

SIGN SIG

11-23 La resultante de la fuerza de presión y las fuerzas de corte que actúan sobre un cuerpo se mide en 580 N, y hace 35° con la dirección del flujo. Determine las fuerzas de arrastre y sustentación que actúan sobre el cuerpo.

1.5 m

FIGURA P11-28 V FR = 580 N 35°

FIGURA P11-23

11-24 Durante un experimento a un número de Reynolds alto, la fuerza de arrastre total que actúa sobre un cuerpo esférico de diámetro D  12 cm expuesto a flujo de aire a 1 atm y 5°C se mide en 5.2 N. El arrastre debido a presión que actúa sobre el cuerpo se calcula, cuando se integra la distribución de presión (medida con sensores de presión a través de la superficie), en 4.9 N. Determine el coeficiente de arrastre debido a fricción de la esfera. Respuesta: 0.0115 11-25 El coeficiente de arrastre de un auto, en las condiciones de diseño de 1 atm, 25°C y 90 km/h, se va a determinar experimentalmente en un gran túnel de viento en una prueba a escala completa. La altura y la anchura del auto son 1.40 m y 1.65 m, respectivamente. Si la fuerza horizontal que actúa sobre el auto se mide como 280 N, determine el coeficiente total de arrastre de este auto. Respuesta: 0.33

11-29I La carga del viento es una consideración de primordial importancia en el diseño de los soportes de los anuncios espectaculares, como se pone en evidencia por los muchos anuncios espectaculares que caen durante los vientos fuertes. Determine la fuerza del viento que actúa sobre un anuncio espectacular de 8 ft de alto y 20 ft de ancho, debido a vientos de 75 mi/h en la dirección normal, cuando las condiciones atmosféricas son de 14.3 psia y 40°F. Respuesta: 4 640 lbf 11-30 Los taxis, por lo general, llevan letreros con publicidad para obtener ingresos adicionales, pero, también aumentan el costo del combustible. Considere un letrero que consiste de un bloque rectangular de 0.30 m de alto, 0.9 m de ancho y 0.9 m

Pa’s Pizza

TAXI

FIGURA P11-30

624 FLUJO EXTERNO

de largo, colocado en la parte superior de un taxi de modo que el letrero tiene una área frontal de 0.3 m por 0.9 m por los cuatro lados. Determine el aumento en el costo de combustible anual de este taxi debido a este letrero. Suponga que el taxi recorre 60 000 km al año a una velocidad promedio de 50 km/h y la eficiencia global del motor es de 28 por ciento. Considere que la densidad, precio unitario y poder calorífico de la gasolina es de 0.72 kg/L, $1.10/L y 42 000 kJ/kg, respectivamente, y que la densidad del aire es de 1.25 kg/m3. 11-31I A la velocidad de autopista, casi la mitad de la potencia generada por el motor del automóvil se usa para superar el arrastre aerodinámico, y por lo tanto el consumo de combustible es casi proporcional a la fuerza de arrastre en un camino a nivel. Determine el porcentaje de aumento en consumo de combustible de un automóvil por unidad de tiempo cuando una persona que normalmente conduce a 55 mi/h ahora comienza a conducir a 75 mi/h.

es 0.332, rcombust.  50.2 lbm/ft3, y el poder calorífico del combustible es 1.53 107 ft . lbf/lbm. El combustible cuesta $3.50 por galón. Use las propiedades estándar del aire. Tenga cuidado con las conversiones de unidades. 11-34 Durante las fuertes ventiscas, los vehículos altos, como los RV (vehículos recreativos) y los semirremolques, pueden ser lanzados afuera del camino, y los furgones de mercancías de sus rieles, en especial cuando están vacíos y en áreas abiertas. Considere un semirremolque de 5 000 kg que mide 9 m de largo, 2.5 m de alto y 2 m de ancho. La distancia entre el fondo del camión y el camino es de 0.75 m. Ahora el camión se expone a vientos desde su superficie lateral. Determine la velocidad del viento que lo volteará sobre un lado. Considere que la densidad del aire es de 1.1 kg/m3 y suponga que el peso está uniformemente distribuido. 2m

11-32 A Suzy le gusta manejar con una tonta pelota girasol en la antena de su auto. El área frontal de la pelota es A = 2.08 10–3 m2. Al aumentar los precios de la gasolina, su esposo se preocupa porque ella está desperdiciando combustible debido al arrastre adicional sobre la pelota. Él realiza una prueba rápida en el túnel de viento de su universidad, y mide el coeficiente de arrastre como CD  0.87 a casi todas las velocidades del aire. Estime cuántos litros de combustible gasta ella por año por tener esta pelota en su antena. Use la siguiente información adicional: Ella maneja alrededor de 19 000 km por año, a una velocidad promedio de 16.4 m/s. La eficiencia general del auto es 0.312, rcombust.  0.802 kg/L, y el poder calorífico del combustible es 44 020 kJ/kg. Use las propiedades estándar del aire. ¿La cantidad de combustible desperdiciado es significativa?

9m 2.5 m

0.75 m

FIGURA P11-34 11-35 Una ciclista que pesa 80 kg desciende en su bicicleta de 15 kg sobre un camino con una pendiente de 12° sin pedalear o frenar. La ciclista tiene un área frontal de 0.45 m2 y un coeficiente de arrastre de 1.1 cuando no se inclina, y un área frontal de 0.4 m2 y un coeficiente de arrastre de 0.9 en la posición de carrera. Sin considerar la resistencia de rodamiento ni la fricción en los cojinetes, determine su velocidad terminal para ambas posiciones. Considere que la densidad del aire es de 1.25 kg/m3. Respuestas: 90 km/h, 106 km/h 11-36 Para medir la velocidad del viento, por lo general se usa una turbina (veleta) con dos o cuatro copas hemisféricas huecas conectadas a un pivote. Considere una turbina de viento

FIGURA P11-32 Fotografía de Suzanne Cymbala.

40 cm

11-33I Bill consigue un empleo de repartidor de pizzas. La pizzería le hace instalar un letrero en el techo de su auto. El área frontal del letrero es A  0.612 ft2, y él estima el coeficiente de arrastre como CD  0.94 a casi todas las velocidades del aire. Estime cuánto dinero adicional le cuesta a Bill por año por concepto de combustible para su auto con el letrero, en comparación con el auto sin el letrero. Use la siguiente información: Él conduce alrededor de 10 000 millas por año a una velocidad promedio de 45 mph. La eficiencia general del auto

FIGURA P11-36

625 CAPÍTULO 11

con dos copas de 8 cm de diámetro con una distancia de centro a centro de 40 cm, como se muestra en la figura P11-36. El pivote se atasca como resultado de algún mal funcionamiento y las copas dejan de rotar. Para una velocidad de viento de 15 m/s y densidad de aire de 1.25 km/m3, determine el torque máximo que esta turbina aplica sobre el pivote. 11-37

Reconsidere el problema 11-36. Con el software EES (o algún otro) investigue el efecto de la velocidad del viento sobre el torque que se aplica al pivote. Varíe la velocidad del viento de 0 a 50 m/s en incrementos de 5 m/s. Tabule y grafique los resultados. 11-38I Un barco remolca, a 12 ft/s, un tanque esférico de 5 ft de diámetro totalmente sumergido en agua fresca. Si supone flujo turbulento, determine la potencia de remolque necesaria. 11-39 Durante el movimiento estacionario de un vehículo sobre un camino a nivel, la potencia suministrada a las ruedas se usa para superar el arrastre aerodinámico y la resistencia de rodamiento (el producto del coeficiente de resistencia de rodamiento y el peso del vehículo), si supone que la fricción en los cojinetes de las ruedas es despreciable. Considere un automóvil que tiene una masa total de 950 kg, un coeficiente de arrastre de 0.32, un área frontal de 1.8 m2 y un coeficiente de resistencia de rodamiento de 0.04. La potencia máxima que el motor puede transferir a las ruedas es de 80 kW. Determine a) la velocidad a la que la resistencia de rodamiento es igual a la fuerza de arrastre aerodinámico y b) la velocidad máxima de este automóvil. Considere que la densidad del aire es de 1.20 kg/m3. Reconsidere el problema 11-39. Con el software EES (o algún otro) investigue el efecto de la velocidad del automóvil sobre la potencia necesaria para superar a) la resistencia de rodamiento, b) el arrastre aerodinámico y c) sus efectos combinados. Varíe la velocidad del automóvil de 0 a 150 km/h en incrementos de 15 km/h. Tabule y grafique los resultados.

del aire se considera en 1.25 kg/m3, estime la velocidad del viento durante la noche cuando se volteó el bote. Considere que el coeficiente de arrastre del bote es 0.7. Respuesta: 159 km/h 11-43 Para reducir el coeficiente de arrastre y así mejorar la eficiencia de combustible de los automóviles, el diseño de los espejos retrovisores laterales ha cambiado drásticamente en las décadas recientes, desde una simple placa circular hasta una forma aerodinámica. Determine la cantidad de combustible y dinero que se ahorra por año como resultado de reemplazar un espejo plano de 13 cm de diámetro por otro con dorso hemisférico, como se muestra en la figura. Suponga que el auto se conduce 24 000 km por año a una velocidad promedio de 95 km/h. Considere la densidad y el precio de la gasolina como 0.75 kg/L y $0.90/L, respectivamente; el poder calorífico de la gasolina como 44 000 kJ/kg y la eficiencia general del motor como 30 por ciento.

Espejo plano 95 km/h

Espejo redondeado 95 km/h

D = 13 cm

D = 13 cm

FIGURA P11-43

11-40

11-41 Un submarino puede tratarse como un elipsoide con un diámetro de 5 m y una longitud de 25 m. Determine la potencia necesaria para cruce horizontal y estacionariamente a 65 km/h a través de agua de mar cuya densidad es de 1 025 kg/m3. También determine la potencia necesaria para remolcarlo en aire cuya densidad es de 1.30 kg/m3. Suponga que el flujo es turbulento en ambos casos.

11-44 Un globo de aire caliente de 5 m de diámetro que tiene una masa total de 230 kg está en reposo en el aire en un día sin viento. Repentinamente, el globo se ve sujeto a vientos de 40 km/h. Determine la aceleración inicial del globo en la dirección horizontal. 11-45I El coeficiente de arrastre de un vehículo aumenta cuando sus ventanas se bajan y su “quemacocos” se abre. Un auto deportivo tiene un área frontal de 18 ft2 y un coeficiente de “Quemacocos” cerrado

65 km/h Submarino

CD  0.32

FIGURA P11-41 11-42 Una mañana se encuentra a un bote de basura, de 0.90 m de diámetro y 1.1 m de alto, volteado debido a vientos fuertes durante la noche. Si se supone que la densidad promedio de la basura en su interior es de 150 kg/m3, y que la densidad

CD  0.41

FIGURA P11-45I

“Quemacocos” abierto

626 FLUJO EXTERNO

arrastre de 0.32 cuando las ventanas y “quemacocos” están cerrados. El coeficiente de arrastre aumenta a 0.41 cuando el “quemacocos” está abierto. Determine el consumo de potencia adicional del automóvil cuando el “quemacocos” está abierto a a) 35 mi/h y b) 70 mi/h. Considere que la densidad del aire es de 0.075 lbm/ft3.

alto y 10 m de largo de una casa. Si supone que la superficie de la pared es lisa, determine el arrastre debido a fricción que actúa sobre la pared. ¿Cuál sería su respuesta si la velocidad del viento se duplica? ¿Qué tan real es tratar al flujo sobre las superficies de las paredes como flujo sobre una placa plana? Respuestas: 16 N, 58 N

11-46 Una esfera plástica de 6 mm de diámetro, cuya densidad es de 1 150 kg/m3, se libera en el agua a 20°C. Determine la velocidad terminal de la esfera en el agua. 11-47 Considere el flujo sobre un modelo simplificado bidimensional de un automóvil. La velocidad en corriente libre es V  60.0 mph (26.8 m/s). Ejecute FlowLab con la plantilla Automobile_drag. Varíe la forma de la parte posterior del auto y registre el coeficiente de arrastre para cada forma. También grafique líneas de corriente cercanas a la parte posterior para dos casos: arrastre máximo y arrastre mínimo. Compare y comente sus resultados. ¿Cuál caso da el menor coeficiente de arrastre? ¿Por qué? 11-48 Ejecute FlowLab con la plantilla Automobile_3d. En este ejercicio, comparamos el coeficiente de arrastre para un automóvil totalmente tridimensional con el que se predice para la aproximación bidimensional del problema anterior. Observe que la solución tarda un tiempo largo en converger y necesita una cantidad significativa de recursos de computadora. Por lo tanto, la solución convergente ya está disponible en esta plantilla. Observe el coeficiente de arrastre. ¿Es mayor o menor que la predicción bidimensional? Comente estas diferencias. Observe los vectores de velocidad tridimensionales alrededor del auto haciendo girar la vista (botón izquierdo del ratón), moviendo la imagen (botón medio del ratón) y haciendo acercamientos (botón derecho del ratón). Para generar vectores de velocidad, elija Post-iso-x-coor-Activate. Elija Modify y mueva el cursor para observar los vectores de velocidad en varios planos a lo largo del eje x. Genere una gráfica que muestre lo que sucede al aire inmediatamente corriente abajo del auto y explique por qué el arrastre es tan alto para esta forma de automóvil.

Aire 5°C 55 km/h

4m

10 m

FIGURA P11-54 11-55I

Fluye aire a 70°F a 25 ft/s sobre una placa plana de 10 ft de largo. Determine el coeficiente de fricción local a intervalos de 1 ft y grafique los resultados contra la distancia desde el borde de entrada. 11-56 La sección de formación de una planta de plásticos produce una hoja continua de plástico que mide 1.2 m de ancho y 2 mm de grosor a una razón de 18 m/min. La hoja, en ambos lados a lo largo de sus superficies, está expuesta al flujo de aire a una velocidad de 4 m/s normal a la dirección de movimiento de la hoja. El ancho de la sección de enfriamiento por aire es tal que un punto fijo sobre la hoja de plástico pasa a través de dicha sección en 2 s. Con las propiedades del aire a 1 atm y 60°C, determine la fuerza de arrastre que el aire ejerce sobre la hoja de plástico en la dirección del flujo de aire.

Aire 4 m/s Hoja de plástico

Flujo sobre placas planas 11-49C ¿Qué representa el coeficiente de fricción en el flujo sobre una placa plana? ¿Qué relación tiene con la fuerza de arrastre que actúa sobre la placa? 11-50C ¿Qué propiedad del fluido causa la formación de la capa límite de velocidad? ¿Cuál es el efecto de la velocidad sobre el grosor de la capa límite? 11-51C ¿Cómo se determina el coeficiente de fricción promedio en flujo sobre una placa plana? 11-52I Fluye aceite ligero a 75°F sobre una placa plana de 22 ft de largo con una velocidad de flujo libre de 6 ft/s. Determine la fuerza de arrastre total por unidad de ancho de la placa. 11-53 La presión atmosférica local en Denver, Colorado (elevación 1 610 m), es de 83.4 kPa. El aire a esta presión y a 25°C fluye con una velocidad de 6 m/s sobre una placa plana de 2.5 m 8 m. Determine la fuerza de arrastre que actúa sobre la superficie superior de la placa si el aire fluye paralelo a) al lado de 8 m de largo y b) al lado de 2.5 m de largo. 11-54 Durante un día de invierno, se encuentra el viento a 55 km/h, a 5°C y 1 atm que sopla paralelo a una pared de 4 m de

18 m/min

FIGURA P11-56 11-57 Considere flujo laminar de un fluido sobre una placa plana. Ahora se duplica la velocidad de flujo libre del fluido. Determine el cambio en la fuerza de arrastre sobre la placa. Suponga que el flujo permanece laminar. Respuesta: Un aumento de 2.83 veces

11-58I Considere un camión refrigerador que viaja a 70 mi/h en una localidad donde la temperatura del aire está a 1 atm y 80°F. Su compartimiento refrigerado puede considerarse como una caja rectangular de 9 ft de ancho, 8 ft de alto y 20 ft de largo. Si supone que el flujo de aire sobre toda la superficie exterior es turbulento y en contacto con la superficie (no hay

627 CAPÍTULO 11

separación de flujo), determine la fuerza de arrastre que actúa sobre las superficies superior y lateral y la potencia necesaria para superar este arrastre.

20 ft 8 ft

Aire, 80°F V  70 mi/h

Camión refrigerador

FIGURA P11-58I 11-59I

Reconsidere el problema 11-58I. Con el software EES (o algún otro) investigue el efecto de la velocidad del camión sobre la fuerza de arrastre total que actúa sobre las superficies superior y lateral, y la potencia necesaria para superarla. Varíe la velocidad del camión de 0 a 100 mi/h en incrementos de 10 mi/h. Tabule y grafique los resultados. 11-60 Fluye aire a 25°C y 1 atm sobre una larga placa plana con una velocidad de 8 m/s. Determine la distancia desde el borde de entrada de la placa, donde el flujo se vuelve turbulento, y el grosor de la capa límite en dicha posición. 11-61

Repita el problema 11-60, utilice agua.

11-62 La superficie superior del vagón de un tren que avanza a 70 km/h tiene 3.2 m de ancho y 8 m de largo. Si el aire exterior está a 1 atm y 25°C, determine la fuerza de arrastre que actúa sobre la superficie superior del vagón.

Aire 25°C

masa de 2 kg, como se muestra en la figura P11-63. Ahora se enciende un ventilador, y aire a 1 atm y 25°C fluye hacia abajo sobre ambas superficies de la placa con una velocidad de flujo libre de 10 m/s. Determine la masa del contrapeso que se necesita agregar con la finalidad de equilibrar la placa en este caso. 11-64 Considere la capa de frontera laminar que se desarrolla sobre una placa plana (Fig. P11-64). Ejecute FlowLab con la plantilla Plate_laminar. La velocidad de entrada y la longitud se eligen de tal manera que el número de Reynolds al final de la placa, ReL  rVL/m, sea aproximadamente 1 105, exactamente en el borde de transición hacia la turbulencia. A partir de sus resultados de CFD, calcule lo siguiente y compare con la teoría: a) la forma del perfil de la capa de frontera en x  L (compare con el perfil de Blasius), b) el espesor de la capa de frontera d como función de x y c) el coeficiente de arrastre sobre la placa.

Simetría V Velocidad entrada

Efluente salida

x=0 Simetría

x=L Pared

FIGURA P11-64

11-65 Repita el problema 11-64, pero para flujo turbulento sobre una placa plana lisa. Use la plantilla de Flow Lab Plate_turbulent. El número de Reynolds al final de la placa es aproximadamente 1 107 para este caso, claramente más allá de la región de transición

70 km/h

Flujo sobre cilindros y esferas FIGURA P11-62 11-63 El peso de una delgada placa plana de 50 cm 50 cm de dimensiones se equilibra con un contrapeso que tiene una Aire 25°C, 10 m/s

11-66C En flujo sobre cilindros, ¿por qué el coeficiente de arrastre cae súbitamente cuando el flujo se vuelve turbulento? ¿Acaso no se supone que la turbulencia aumenta el coeficiente de arrastre, en vez de disminuirlo? 11-67C En el flujo sobre cuerpos romos como un cilindro, ¿cómo difiere el arrastre debido a presión del arrastre debido a fricción? 11-68C ¿Por qué la separación de flujo en flujo sobre cilindros se demora en caso de flujo turbulento?

Placa

50 cm

FIGURA P11-63

50 cm

11-69I Una tubería de diámetro exterior de 1.2 in atraviesa un río de 140 ft de ancho, mientras está totalmente sumergida en agua. La velocidad de flujo promedio del agua es de 10 ft/s, y la temperatura del agua es de 70°F. Determine la fuerza de arrastre que el río ejerce sobre la tubería. Respuesta: 1 490 lbf 11-70 Una larga tubería de vapor de 8 cm de diámetro pasa a través de cierta área abierta a los vientos. Determine la fuerza de arrastre que actúa sobre la tubería por unidad de su longitud cuando el aire está a 1 atm y 5°C y el viento sopla cruzando la tubería con una velocidad de 50 km/h.

628 FLUJO EXTERNO

11-71 Considere granizo de 0.8 cm de diámetro que cae libremente en aire atmosférico a 1 atm y 5°C. Determine su velocidad terminal. Considere que la densidad del granizo es de 910 kg/m3. 11-72 Se observa que una partícula de polvo de 0.1 mm de diámetro, cuya densidad es de 2.1 g/cm3, está suspendida en el aire a 1 atm y 25°C en un punto fijo. Estime la velocidad ascendente del movimiento del aire en dicha posición. Suponga que se aplica la Ley de Stokes. ¿Es ésta suposición válida? Respuesta: 0.62 m/s

11-73 Partículas de polvo de 0.06 mm de diámetro y 1.6 g/cm3 de densidad están inestables durante vientos fuertes y se elevan a 350 m cuando la situación se calma. Estime cuánto tiempo transcurrirá para que las partículas de polvo caigan de vuelta al suelo en aire tranquilo a 1 atm y 15°C, y sus velocidades. No considere el tiempo transitorio inicial durante el cual las partículas de polvo aceleran a su velocidad terminal, y suponga que se aplica la Ley de Stokes.

diante un chorro ascendente de aire. Los niños se sorprenden porque siempre regresa al centro cuando se empuja con un dedo hacia un lado del chorro. Explique este fenómeno con la ecuación de Bernoulli. También determine la velocidad del aire si la pelota tiene una masa de 3.1 g y un diámetro de 4.2 cm. Suponga que el aire está a 1 atm y 25°C. 11-76I Una persona extiende sus brazos descubiertos hacia el aire que sopla en el exterior a 1 atm y 60°F y 20 mi/h con la finalidad de sentir de cerca la naturaleza. Si se trata el brazo como un cilindro de 2 ft de largo y 3 in de diámetro, determine la fuerza de arrastre sobre ambos brazos. Respuesta: 1.02 lbf

Aire 60°F, 20 mi/h

Un tronco cilíndrico de pino (densidad  513 kg/m3) de 2 m de largo y 0.2 m de diámetro, es suspendido en posición horizontal por una grúa. Está expuesto a vientos normales de 40 km/h a 5°C y 88 kPa. Sin considerar el peso del cable y su arrastre, determine el ángulo u que el cable formará con la horizontal y su tensión. 11-74

FIGURA P11-76I

θ

2m 40 km/h 0.2 m

FIGURA P11-74

11-75 Una de las demostraciones populares en los museos de ciencia incluye la suspensión de una pelota de ping pong me-

Chorro de aire Pelota

11-77 Una línea de transmisión eléctrica de 6 mm de diámetro se expone al viento. Determine la fuerza de arrastre que se ejerce sobre una sección de 160 m de largo de cable durante un día de viento cuando el aire está a 1 atm y 15°C y el viento sopla a través de la línea de transmisión a 65 km/h. 11-78 Una fórmula empírica útil para el coeficiente de arrastre sobre una esfera con números de Reynolds moderados (flujo laminar) es CD  0.4 

24 6  Re 1  2Re

Se afirma que esta fórmula es válida dentro de ±10 por ciento para 0  Re  105. Veamos qué tan bueno es CFD para predecir el coeficiente de arrastre para un intervalo bajo de números de Reynolds. Ejecute FlowLab con la plantilla Cylinder_axi_ Reynolds, que calcula CD como función del número de Reynolds para flujo uniforme laminar sobre una esfera. Ejecute varios casos en el intervalo 1  Re  100 y compare los resultados CFD con los predichos por la fórmula empírica. Comente sus resultados. 11-79 Una fórmula empírica para el coeficiente de arrastre sobre un cilindro a números de Reynolds moderados (flujo laminar) es CD  1  10.0 Re2/3

FIGURA P11-75

629 CAPÍTULO 11

Se afirma que esta fórmula es válida dentro de ±10 por ciento para 1  Re  2 105. Veamos qué tan bueno es CFD para predecir el coeficiente de arrastre para un intervalo bajo de números de Reynolds. Ejecute FlowLab con la plantilla Cylinder_2D_ Reynolds, que calcula CD como función del número de Reynolds para un flujo uniforme laminar sobre un cilindro. Ejecute varios casos en el intervalo 1  Re  100 y compare los resultados CFD con los predichos por la fórmula empírica. Comente sus resultados.

11-92 Una pelota de tenis con 57 g de masa y 6.4 cm de diámetro se golpea con una velocidad inicial de 105 km/h y un giro hacia atrás de 4 200 rpm. Determine si caerá o se elevará debido al efecto combinado de la gravedad y la sustentación debida al giro poco después de ser golpeada. Suponga que el aire está a 1 atm y 25°C.

4 200 rpm

Sustentación 11-80C Fluye aire y éste pasa a una superficie de sustentación simétrica a un ángulo de ataque cero. a) La sustentación y b) el arrastre que actúan sobre la superficie de sustentación ¿serán cero o distintas de cero?

105 km/h

11-81C Fluye aire y éste pasa a una superficie de sustentación no-simétrica a un ángulo de ataque cero. a) La sustentación y b) el arrastre que actúan sobre la superficie de sustentación ¿serán cero o distintas de cero? 11-82C ¿Por qué la contribución de los efectos viscosos a la sustentación usualmente son despreciables para las superficies de sustentación? 11-83C Fluye aire y éste pasa a una superficie de sustentación simétrica a un ángulo de ataque de 5°. a) La sustentación y b) el arrastre que actúan sobre la superficie de sustentación ¿serán cero o distintas de cero? 11-84C ¿Qué es la pérdida de sustentación? ¿Qué provoca que una superficie de sustentación pierda sustentación? ¿Por qué a las aeronaves comerciales no se les permite volar en condiciones cercanas a la pérdida de sustentación? 11-85C Tanto la sustentación como el arrastre de una superficie de sustentación aumentan con un incremento en el ángulo de ataque. En general, ¿cuál aumenta a una razón mayor, la sustentación o el arrastre? 11-86C ¿Por qué los flaps se usan en los bordes de entrada y salida de las alas de los aviones grandes durante el despegue y el aterrizaje? ¿Puede una aeronave despegar o aterrizar sin ellos?

FIGURA P11-92

11-93 Considere que una aeronave despega a 190 km/h cuando está totalmente cargada. Si el peso de la aeronave aumenta 20 por ciento como resultado de la sobrecarga, determine la velocidad a la que despegará la aeronave sobrecargada. Respuesta: 208 km/h

11-94 Considere un avión cuya velocidad de despegue es de 220 km/h y que tarda 15 s en despegar a nivel del mar. Para un aeropuerto a una elevación de 1 600 m (como Denver), determine a) la velocidad de despegue, b) el tiempo de despegue y c) la longitud de pista adicional necesaria para este avión. Suponga aceleración constante para ambos casos.

11-87C ¿Cómo afectan los flaps a la sustentación y el arrastre de las alas? 11-88C ¿Cuál es el efecto de los vórtices de extremo de ala (la circulación del aire desde la parte inferior de las alas hacia la parte superior) sobre el arrastre y la sustentación? 11-89C ¿Qué es el arrastre inducido sobre las alas? ¿Puede el arrastre inducido minimizarse cuando se usan alas largas y estrechas, o alas cortas y anchas? 11-90C Explique por qué se agregan placas terminales o alas pequeñas a algunas alas de avión. 11-91C Fluye aire y éste pasa a una pelota esférica. ¿La sustentación que se ejerce sobre la pelota es cero o distinta de cero? Conteste la misma pregunta si la pelota gira.

220 km/h

FIGURA P11-94

11-95I Un avión consume combustible a una tasa de 7 gal/min cuando vuela a una altitud constante de 10 000 ft a velocidad constante. Si supone que el coeficiente de arrastre y la eficiencia del motor permanecen iguales, determine la tasa de

630 FLUJO EXTERNO

consumo de combustible a una altitud de 30 000 ft a la misma velocidad. 11-96 Un avión jumbo jet tiene una masa aproximada de 400 000 kg cuando está totalmente cargado con más de 400 pasajeros y despega a una velocidad de 250 km/h. Determine la velocidad de despegue cuando el avión tiene 100 asientos vacíos. Suponga que cada pasajero con equipaje pesa 140 kg y las posiciones de las alas y flaps se mantienen iguales. Respuesta: 246 km/h

11-97

Reconsidere el problema 11-96. Con el software EES (o algún otro) investigue el efecto del número de pasajeros sobre la velocidad de despegue de la aeronave. Varíe el número de pasajeros de 0 a 500 en incrementos de 50. Tabule y grafique los resultados. 11-98 Una pequeña aeronave tiene un área de ala de 28 m2, un coeficiente de sustentación de 0.45 en condiciones de despegue y una masa total de 2 500 kg. Determine a) su velocidad de despegue a nivel del mar en condiciones atmosféricas estándar, b) la carga del alar y c) la potencia requerida para mantener una velocidad de crucero constante de 300 km/h para un coeficiente de arrastre de crucero de 0.035. 11-99 Un pequeño avión tiene una masa total de 1 800 kg y un área de ala de 42 m2. Determine coeficientes de sustentación y arrastre mientras vuela a una altitud de 4 000 m con una velocidad constante de 280 km/h y que genera 190 kW de potencia. 11-100 La superficie de sustentación NACA 64(1)-412 tiene una razón de sustentación al arrastre de 50 a un ángulo de ataque de 0°, como se muestra en la figura 11-43. ¿En qué ángulo de ataque aumentará esta razón a 80?

La velocidad en corriente libre y la longitud central se eligen de modo que el número de Reynolds basado en V y Lc es de alrededor de 107 (capa frontera de turbulencia sobre casi todo el plano aerodinámico). Ejecute FlowLab con la plantilla Airfoil_angle a varios valores de a entre 2 y 20°. Para cada caso, calcule CL y CD. Grafique CL y CD como funciones de a. ¿Aproximadamente a qué ángulo de ataque pierde sustentación este plano aerodinámico? 11-105 En este problema se estudia el efecto del número de Reynolds sobre los coeficientes de sustentación y arrastre de un plano aerodinámico a varios ángulos de ataque. Observe que el plano aerodinámico que se usa aquí es diferente del que se usó en el problema anterior. Ejecute FlowLab con la plantilla Airfoil_Reynolds. Para el caso de Re  3 106, calcule y grafique CL y CD como funciones de a entre 2° y 20°. ¿Cuál es el ángulo de pérdida de sustentación? Repita para Re  6 106. Compare los dos resultados y comente el efecto del número de Reynolds sobre la sustentación y el arrastre de este plano aerodinámico.

Problemas de repaso 11-106I El compartimiento de pasajeros de una minivan que viaja a 60 mi/h en aire ambiente a 1 atm y 80°F puede modelarse como una caja rectangular de 3.2 ft de alto, 6 ft de ancho y 11 ft de largo. El flujo de aire sobre las superficies exteriores puede suponerse turbulento debido a las intensas vibraciones producidas. Determine la fuerza de arrastre que actúa sobre las superficies superior y las dos laterales de la “van” y la potencia necesaria para superarla.

11-101 Considere un avión ligero que tiene un peso total de 15 000 N y un área de ala de 46 m2 y cuyas alas recuerdan la superficie de sustentación NACA 23012 sin flaps. Con los datos de la figura 11-45, determine la velocidad de despegue en un ángulo de ataque de 5° a nivel del mar. También determine la velocidad de pérdida de sustentación. Respuesta: 94 km/h, 67.4

Aire 60 mi/h 80°F

km/h

11-102I Una pelota lisa de 2.4 in de diámetro y que rota a 500 rpm, se libera en una corriente de agua a 60°F que fluye a 4 ft/s. Determine las fuerzas de sustentación y arrastre que actúan sobre la pelota cuando acaba de dejarse en el agua. 11-103

Un avión tiene una masa de 50 000 kg, un área de ala de 300 m2, un coeficiente de sustentación máximo de 3.2 y un coeficiente de arrastre de crucero de 0.03 a una altitud de 12 000 m. Determine a) la velocidad de despegue a nivel del mar, si supone que está 20 por ciento sobre la velocidad de pérdida de sustentación, y b) el empuje que los motores deben suministrar para una velocidad de crucero de 700 km/h.

11-104 Considere un flujo sobre un plano aerodinámico bidimensional de longitud central Lc a un ángulo de ataque a en un flujo de velocidad en corriente libre V con densidad r y viscosidad m. El ángulo a se mide en relación con el flujo. En este ejercicio se calculan los coeficientes de sustentación adimensional y de arrastre CL y CD que corresponden a las fuerzas de sustentación y de arrastre FL y FD, respectivamente.

FIGURA P11-106I

11-107 Un tanque esférico de 1.2 m de diámetro externo se ubica en el exterior a 1 atm y 25°C, y está expuesto a vientos a 48 km/h. Determine la fuerza de arrastre ejercida por el viento sobre el tanque. Respuesta: 16.7 N 11-108 Un anuncio publicitario rectangular de 2 m de alto y 4 m de ancho está unido a un bloque rectangular de concreto (densidad  2 300 kg/m3) de 4 m de ancho y 0.15 de alto, mediante dos postes de 5 cm de diámetro y 4 m de alto (parte expuesta), como se muestra en la figura P11-108. Si debe soportar vientos de 150 km/h desde cualquier dirección, determine a) la fuerza de arrastre máxima sobre el anuncio, b) la fuerza de arrastre que actúa sobre los postes y c) la longitud mínima L del bloque de concreto para que el anuncio resista los vientos. Considere que la densidad del aire es de 1.30 kg/m3.

631 CAPÍTULO 11 4m 2m

4m Concreto

4m L

0.15 m

FIGURA P11-112

FIGURA P11-108 11-113I

11-109 Un bote de plástico cuya superficie inferior se puede aproximar como una superficie plana de 1.5 m de ancho y 2 m de largo, debe desplazarse por el agua a 15°C con velocidad de hasta 45 km/h. Determine el arrastre debido a fricción que el agua ejerce sobre el bote y la potencia necesaria para superarlo.

45 km/h

Un avión comercial tiene una masa total de 150 000 lbm y un área de planta de ala de 1 800 ft2. El avión tiene una velocidad de crucero de 550 mi/h y una altitud de crucero de 38 000 ft, donde la densidad del aire es de 0.0208 lbm/ft3. El avión tiene flaps de doble ranura para usarlos durante el despegue y el aterrizaje, pero vuela con los flaps retraídos. Si se supone que las características de sustentación y de arrastre de las alas pueden aproximarse con las propiedades del perfil NACA 23012, determine a) la velocidad mínima segura para despegar y aterrizar con y sin flaps extendidos, b) el ángulo de ataque para volar en vuelo de crucero de manera estacionaria a la altitud de crucero y c) la potencia que se necesita suministrar para ofrecer suficiente empuje para superar el arrastre. Considere que la densidad del aire en el suelo es de 0.075 lbm/ft3. 11-114 Una pelota lisa de 9 cm de diámetro tiene una velocidad de 36 km/h durante un golpe común. Determine el porcentaje de aumento en el coeficiente de arrastre si a la pelota se le da un giro de 3 500 rpm en el aire a 1 atm y 25°C.

FIGURA P11-109

11-115 Un paracaidista y su paracaídas de 8 m de diámetro pesan 950 N. Si considera que la densidad promedio del aire es 8m

11-110

Reconsidere el problema 11-109. Con el software EES (o algún otro), investigue el efecto de la velocidad del bote sobre la fuerza de arrastre que actúa sobre la superficie inferior del bote y la potencia necesaria para superarlo. Varíe la velocidad del bote de 0 a 100 km/h en incrementos de 10 km/h. Tabule y grafique los resultados. 11-111 La chimenea cilíndrica de una fábrica tiene un diámetro exterior de 1.6 m y una altura de 35 m. Determine el momento de flexión en la base de la chimenea cuando está sometida a vientos de 110 km/h. Considere las condiciones atmosféricas como 20°C y 1 atm. 11-112 Considere un dirigible que se puede tomar aproximadamente como un elipsoide de 3 m de diámetro y 8 m de longitud que está amarrado a tierra. En un día de viento, la tensión de la cuerda debida al efecto neto de flotación se mide como 120 N. Determine la tensión de la cuerda cuando hay vientos de 50 km/h que soplan a lo largo del dirigible (paralelos al eje del dirigible).

950 N

FIGURA P11-115

632 FLUJO EXTERNO

de 1.2 kg/m3, determine la velocidad terminal del paracaidista. Respuesta: 4.9 m/s

11-116 Se propone satisfacer las necesidades de agua de un vehículo recreativo (RV) con la instalación de un tanque cilíndrico de 2 m de largo y 0.5 m de diámetro en lo alto de éste. Determine la necesidad adicional de potencia del RV a una velocidad de 95 km/h cuando el tanque se instala de tal modo que sus superficies circulares enfrentan a) el frente y la parte posterior y b) los lados del RV. Suponga que las condiciones atmosféricas son de 87 kPa y 20°C. Respuestas: a) 1.67 kW, b) 7.55 kW

2m

de resistencia de rodamiento de 0.05 (cuando se multiplica el peso de un vehículo por el coeficiente de resistencia de rodamiento proporciona la resistencia de rodamiento), una resistencia de fricción de cojinete de 350 N y una velocidad máxima de 110 km/h sobre un camino a nivel durante un crucero estacionario en clima tranquilo con una densidad de aire de 1.25 kg/m3. Ahora, se instala una cubierta al frente para suprimir la separación y volver aerodinámico el flujo sobre la superficie superior del tracto-remolque, y el coeficiente de arrastre se reduce a 0.76. Determine la velocidad máxima del tractorremolque con la cubierta. Respuesta: 133 km/h 11-120 La Ley de Stokes puede emplearse para determinar la viscosidad de un fluido cuando se libera dentro de él un objeto esférico y se mide su velocidad terminal en dicho fluido. Esto puede hacerse cuando se grafica la distancia recorrida contra el tiempo y se observa cuando se vuelve lineal la curva. Durante este experimento, una pelota de vidrio de 3 mm de diámetro (r  2 500 kg/m3) se suelta en un fluido cuya densidad es de 875 kg/m3, y la velocidad terminal se mide en 0.16 m/s. Sin considerar los efectos de pared, determine la viscosidad del fluido.

0.5 m

FIGURA P11-116 Pelota de vidrio

0.16 m/s

11-117 Un motor de automóvil puede considerarse como un bloque rectangular de 0.4 m de alto, 0.60 m de ancho y 0.7 m de largo. El aire ambiente está a 1 atm y 15°C. Determine la fuerza de arrastre que actúa sobre la superficie inferior del bloque del motor mientras el auto viaja a una velocidad de 120 km/h. Suponga que el flujo es turbulento sobre toda la superficie debido a la agitación constante del bloque del motor.

FIGURA P11-120

Respuesta: 1.22 N

Aire 120 km/h 15°C Bloque de motor

FIGURA P11-117

11-118

Calcule el grosor de la capa límite en un flujo sobre una placa plana de 2.5 m de largo a intervalos de 25 cm y grafique la capa límite sobre la placa para el flujo de a) aire, b) agua y c) aceite de motor a 1 atm y 20°C a una velocidad corriente arriba de 3 m/s. 11-119 Un tracto-remolque de 17 000 kg con área frontal de 9.2 m2, un coeficiente de arrastre de 0.96, un coeficiente

11-121 Durante un experimento, tres pelotas de aluminio (rs  2 600 kg/m3) que tienen diámetros de 2, 4 y 10 mm, respectivamente, se liberan en un tanque lleno con glicerina a 22°C (rf  1 274 kg/m3 y m  1 kg/m · s). Se mide que sus velocidades terminales de asentamiento son 3.2, 12.8 y 60.4 mm/s, respectivamente. Compare estos valores con las velocidades predichas por la Ley de Stokes para fuerza de arrastre FD  3pmDV, que es válida para números de Reynolds muy bajos (Re  1). Determine el error cometido para cada caso y valore la precisión de la Ley de Stokes. 11-122 Repita el problema 11-121 y considere la forma general de la ley de Stokes expresada como FD  3pmDV  (9p/16)rV 2D2 donde r es la densidad del fluido. 11-123 Una pequeña pelota de aluminio con D  2 mm y rs  2 700 kg/m3 se libera en un enorme contenedor lleno con aceite a 40°C (rf  876 kg/m3 y m  0.2177 kg/m · s). Se espera que el número de Reynolds sea pequeño y por lo tanto sea aplicable la Ley de Stokes para fuerza de arrastre FD  3pmDV. Demuestre que la variación de velocidad con el tiempo puede expresarse como V  (a/b)(1  ebt) donde; a  g(1  rf /rs) y b  18m/(rs D2). Grafique la variación de la velocidad con el tiempo, y calcule el tiempo que tarda la pelota en alcanzar 99 por ciento de su velocidad terminal.

633 CAPÍTULO 11

11-124

Fluye aceite de motor a 40°C sobre una larga placa plana a una velocidad de 6 m/s. Determine la distancia xcr desde el borde de entrada de la placa, donde el flujo se vuelve turbulento; calcule y grafique el grosor de la capa límite sobre una longitud de 2xcr. 11-125I A Janie le gusta conducir con una pelota de tenis en la antena de su automóvil. El diámetro de la pelota es D  2.62 in, y su factor de rugosidad equivalente es e/D  1.5 103. Sus amigos le dicen que está desperdiciando gasolina debido al arrastre adicional sobre la pelota. Estime cuánto dinero (en dólares) desperdicia por año por conducir con esta pelota de tenis en su antena. Use la siguiente información adicional: Ella conduce principalmente en la carretera, alrededor de 12 000

millas por año, a una velocidad promedio de 55 mph. La eficiencia general del auto es 0.308, rcombust.  50.2 lbm/ft3, y el valor calorífico del combustible es 1.47 107 ft · lbf/lbm. El combustible cuesta $4.00 por galón. Use las propiedades estándar del aire. Tenga cuidado con las conversiones de unidades. ¿Debe Janie quitar la pelota de tenis?

Problemas de diseño y ensayo 11-126 Escriba un ensayo acerca de la historia de la reducción de los coeficientes de arrastre de los automóviles y obtenga los datos del coeficiente de arrastre para algunos modelos recientes de automóviles de los catálogos de los fabricantes de autos. 11-127 Escriba un ensayo acerca de los flaps que se usan en los bordes de entrada y salida de las alas de las aeronaves comerciales. Explique cómo los flaps afectan los coeficientes de arrastre y sustentación durante el despegue y el aterrizaje. 11-128 Los grandes aviones comerciales cruzan a considerables altitudes (aproximadamente hasta 40 000 ft) para ahorrar combustible. Explique cómo volar a grandes altitudes reduce el arrastre y ahorra combustible. Explique también por qué los aviones pequeños vuelan a altitudes relativamente bajas.

FIGURA P11-125I Fotografía de John M. Cimbala

11-129 Numerosos conductores apagan su aire acondicionado y bajan las ventanillas de sus autos con la esperanza de ahorrar combustible. Pero, se afirma que este aparente “enfriamiento gratuito” en realidad aumenta el consumo de combustible del automóvil. Investigue acerca de este tema y escriba un ensayo sobre cuál práctica ahorrará gasolina y en qué condiciones.

CAPÍTULO

FLUJO COMPRESIBLE asta ahora hemos limitado nuestra atención principalmente a flujos para los cuales las variaciones de densidad y los efectos de compresibilidad son insignificantes. Sin embargo, en este capítulo se abandona esta limitante y se consideran fluidos que implican cambios importantes en la densidad. Estos flujos llamados flujos compresibles se encuentran con frecuencia en dispositivos que incluyen el flujo de gases a altas velocidades. Los flujos compresibles combinan la dinámica de fluidos y la termodinámica, ambas son absolutamente indispensables para el desarrollo de los fundamentos teóricos necesarios. En este capítulo se comentan las relaciones generales asociadas con fluidos compresibles para un gas ideal con calores específicos constantes. Al inicio del capítulo se introducen los conceptos de estado de estancamiento, velocidad del sonido y número de Mach para flujos compresibles. Las relaciones entre las propiedades estáticas y de estancamiento se desarrollan para flujos isentrópicos de gases ideales, y se expresan en función de la razón de calores específicos y el número de Mach. Se tratan los efectos de los cambios del área en flujos isentrópicos unidimensionales subsónicos y supersónicos. Estos efectos se ilustran considerando el flujo isentrópico a través de toberas convergentes y toberas convergentes-divergentes. Se estudia el concepto de ondas de choque y la variación de las propiedades de flujo a través de ondas de choque normales y oblicuas. Para finalizar, se consideran los efectos de la fricción y la transferencia de calor en flujos compresibles, además se incluyen relaciones para los cambios en las propiedades.

H

12 OBJETIVOS Cuando el estudiante termine de leer este capítulo debe ser capaz de: ■

■

■

■

Medir las consecuencias de la compresibilidad en un flujo de gas. Entender por qué una tobera debe tener una sección divergente para acelerar el gas a velocidades supersónicas. Predecir choques y calcular cambios de las propiedades a través de una onda de choque. Entender los efectos de la fricción y la transferencia de calor en flujos compresibles.

Estriograma de alta velocidad del estallido de un globo de juguete sobrellenado con aire comprimido. Esta exposición de 1 microsegundo capta la piel reventada del globo y revela la burbuja interna de aire comprimido que comienza a expandirse. El estallido del globo también genera una onda de choque débil esférica, que aquí es visible como un círculo que rodea al globo. En la parte central a la derecha se puede ver la silueta de la mano del fotógrafo sobre la válvula de aire. Fotografía de G. S. Settles, Penn State University. Se utiliza con permiso.

635

636 FLUJO COMPRESIBLE

12-1

a)

■

PROPIEDADES DE ESTANCAMIENTO

Cuando se analizan volúmenes de control, es muy conveniente combinar la energía interna y la energía de flujo de un fluido en un solo término: entalpía, definida por unidad de masa como h  u  P/r. Cada vez que la energía cinética y la energía potencial de un fluido son insignificantes, como sucede con frecuencia, la entalpía representa la energía total de un fluido. Para flujos a altas velocidades, como los que fluyen en motores de propulsión (Fig. 12-1), la energía potencial del fluido es insignificante, pero la energía cinética no lo es. En tal caso, es conveniente combinar la entalpía y la energía cinética del fluido en un solo término llamado entalpía de estancamiento (o entalpía total) h0, definido por unidad de masa como: h0  h 

b)

FIGURA 12-1 Los aviones y los motores de propulsión implican altas velocidades, y por esta razón, al analizarlos, el término de la energía cinética siempre debe tomarse en cuenta. a) Foto cortesía de NASA, http://lisar.larc.nasa. gov/IMAGES/SMALL/EL-1999-00108.jpeg, y b) cortesía de Pratt and Whitney. Reproducido con permiso.

V2 2

(kJ/kg)

(12-1)

Cuando la energía potencial de un fluido es insignificante, la entalpía de estancamiento representa la energía total de un flujo de fluido por unidad de masa. De esta manera se simplifica el análisis termodinámico de flujos a altas velocidades. En este capítulo se cita como entalpía estática la entalpía normal h —cada vez que sea necesario— para distinguirla de la entalpía de estancamiento. Observe que la entalpía de estancamiento es una combinación de las propiedades de un fluido, tal como la entalpía estática. Ambas entalpías son idénticas cuando la energía cinética de un fluido es despreciable. Considere el flujo estacionario de un fluido a través de un ducto, tal como una tobera, un difusor, o cualquier otro conducto de flujo en el cual el flujo es adiabático y donde no se realiza el trabajo de flecha o trabajo eléctrico, como se muestra en la figura 12-2. Al suponer que el fluido experimenta pequeños cambios en su elevación y en su energía potencial, el balance de energía . . o ninguno (E ent  E sal) para este dispositivo de flujo estacionario de una entrada y una salida se reduce a: h1 

V 21 V 22  h2  2 2

(12-2)

h 01  h02

(12-3)

o

Entonces, en ausencia de cualquier interacción de calor y de trabajo, así como de cualquier cambio en la energía potencial, la entalpía de estancamiento de un fluido permanece constante durante un proceso de flujo estacionario. Los flujos a través de toberas y difusores por lo general satisfacen estas condiciones, y cualquier aumento en la velocidad del fluido en estos dispositivos origina un decremento equivalente en la entalpía estática del fluido. Si el fluido se lleva al reposo, entonces la velocidad del estado 2 es 0 y la ecuación 12-2 es: h1 

FIGURA 12-2 Flujo estacionario de un fluido a través de un ducto adiabático.

V 21  h2  h02 2

Así, la entalpía de estancamiento representa la entalpía de un fluido cuando se lleva al reposo adiabáticamente. Durante el proceso de estancamiento, la energía cinética de un fluido se convierte en entalpía (energía interna  energía de flujo), la cual da como resultado un aumento en la temperatura y la presión del fluido (Fig. 12-3). Las propiedades de un fluido en estado de estancamiento se llaman propiedades de estancamiento (temperatura de estancamiento, presión de estancamiento, densidad de

637 CAPÍTULO 12

estancamiento, etc.). El estado de estancamiento y las propiedades de estancamiento se indicarán con el subíndice 0. El estado de estancamiento se llama estado de estancamiento isentrópico cuando el proceso de estancamiento es reversible y adiabático (es decir, isentrópico). La entropía de un fluido permanece constante durante el proceso isentrópico de llevar el fluido al estado de estancamiento. El proceso real (irreversible) y el proceso isentrópico de llevar al reposo un flujo de fluido se ilustra en el diagrama h-s de la figura 12-4. Observe que la entalpía de estancamiento del fluido (y la temperatura de estancamiento si el fluido es un gas ideal) es la misma para ambos casos. Sin embargo, la presión de estancamiento real es menor que la presión de estancamiento isentrópica porque la entropía aumenta durante el proceso real de estancamiento como resultado de la fricción del fluido. Con frecuencia, los procesos de estancamiento se aproximan a isentrópicos y a las propiedades de estancamiento isentrópico se les llama simplemente propiedades de estancamiento. Cuando el fluido se aproxima como un gas ideal con calores específicos constantes, su entalpía puede reemplazarse por cpT y la ecuación 12-1 puede expresarse como: cpT0  cpT 

FIGURA 12-3 La energía cinética se convierte en entalpía durante un proceso de estancamiento. © Reproducido con permiso especial de King Features Syndicate.

V2 2

o T0  T 

V2 2cp

(12-4)

En ésta, T0 se llama temperatura de estancamiento (o temperatura total), y representa la temperatura que alcanza un gas ideal cuando se lleva al reposo adiabáticamente. El término V2/2cp corresponde al incremento de la temperatura alcanzado durante tal proceso y se llama temperatura dinámica. Por ejemplo, la temperatura dinámica del aire que fluye a 100 m/s es (100 m/s)2/(2 1.005 kJ/kg · K)  5.0 K. Por lo tanto, cuando el aire a 300 K y 100 m/s se lleva al reposo adiabáticamente (en la punta de la sonda de medición de temperatura, por ejemplo), su temperatura alcanza el valor de estancamiento de 305 K (Fig. 12-5). Observe que para los flujos a bajas velocidades, las temperaturas de estancamiento y estática (o normal) son prácticamente iguales. Pero, para flujos a altas velocidades, la temperatura medida por una sonda en reposo colocada en el fluido (temperatura de estancamiento) puede ser considerablemente mayor que la temperatura estática del fluido. La presión que alcanza un fluido cuando se lleva al reposo isentrópicamente se llama presión de estancamiento P0. Para un gas ideal con calores específicos constantes, P0 está relacionado con la presión estática del fluido mediante: T0 k/(k1) P0 a b P T

(12-5)

Se observa que r  1/v y al utilizar la relación isentrópica Pv k  P0v k0, el cociente entre la densidad de estancamiento y la densidad estática pueden expresarse como: r0 T0 1/(k1) a b r T

(12-6)

Cuando se usan entalpías de estancamiento, no es necesario referirse a.la energía . cinética de manera explícita. Entonces el balance de energía Eent  Esal para el dispositivo de flujo estacionario con una entrada y una salida puede expresarse como: qent  went  (h01  gz 1)  qsal  wsal  (h02  gz 2)

(12-7)

FIGURA 12-4 El estado real, el estado de estancamiento real y el estado de estancamiento isentrópico de un fluido en un diagrama h-s.

638 FLUJO COMPRESIBLE

donde h01 y h02 son las entalpías de estancamiento en los estados 1 y 2, respectivamente. Cuando el fluido es un gas ideal con calores específicos constantes, la ecuación 12-7 se convierte en: (qent  qsal)  (went  wsal)  cp(T02  T01)  g(z 2  z 1)

(12-8)

donde T01 y T02 son las temperaturas de estancamiento. Note que los términos de la energía cinética no aparecen explícitamente en las ecuaciones 12-7 y 12-8, pero los términos de la entalpía de estancamiento consideran su contribución. EJEMPLO 12-1 FIGURA 12-5 La temperatura de un gas ideal que fluye a una velocidad V aumenta en V 2/ 2cp cuando el gas se lleva al reposo.

Compresión del aire a alta velocidad en un avión

Un avión vuela a una velocidad de crucero de 250 m/s a una altitud de 5 000 m, donde la presión atmosférica es de 54.05 kPa y la temperatura ambiente del aire es de 255.7 K. El aire ambiente se desacelera primero en un difusor antes de que entre al compresor (Fig. 12-6). Se considera que el difusor y el compresor son isentrópicos. Determine a) la presión de estancamiento a la entrada al compresor y b) el trabajo que debe realizar el compresor por unidad de masa del aire comprimido si la razón de presiones de estancamiento a la salida y la entrada del compresor es 8.

SOLUCIÓN Aire a alta velocidad entra al difusor y el compresor de un avión. Se determinarán la presión de estancamiento del aire a la entrada del compresor y el trabajo necesario para impulsar el compresor. Suposiciones 1 El difusor y el compresor son isentrópicos. 2 El aire es un gas ideal con calores específicos constantes e iguales a sus valores en temperatura ambiente. Propiedades El calor específico a presión constante cp y la razón de calores específicos k del aire a temperatura ambiente son: cp  1.005 kJ/kg  K

FIGURA 12-6 Esquema para el ejemplo 12-1.

y

k  1.4

Análisis a) En condiciones isentrópicas, la presión de estancamiento a la entrada del compresor (salida del difusor) puede determinarse a partir de la ecuación 12-5. No obstante, primero es necesario encontrar la temperatura T01 a la entrada del compresor. Con base en las suposiciones expuestas, T01 puede determinarse en la ecuación 12-4:

T01  T1 

1 kJ/kg V 21 (250 m/s)2 a  255.7 K  b 2cp (2)(1.005 kJ/kg  K) 1 000 m2/s2

 286.8 K De la ecuación 12-5:

P01  P1 a

T01 k/(k1) 286.8 K 1.4/(1.41) b  (54.05 kPa)a b T1 255.7 K

 80.77 kPa La temperatura del aire se incrementaría en 31.1°C y la presión en 26.72 kPa mientras que el aire se desacelera desde 250 m/s hasta velocidad cero. Estos aumentos en la temperatura y la presión del aire se deben a la conversión de la energía cinética en entalpía.

b) Para determinar el trabajo del compresor es necesario conocer la temperatura de estancamiento del aire a la salida del compresor T02. La razón de presiones de estancamiento a través del compresor P02/P01 se especifica como 8. Mientras que el proceso de compresión se considere isentrópico, T02 puede determinarse a partir de la relación isentrópica del gas ideal (Ec. 12-5):

P02 (k1)/k T02  T01 a b  (286.8 K)(8)(1.41)/1.4  519.5 K P01

639 CAPÍTULO 12

Se ignoran los cambios en la energía potencial y la transferencia de calor, el trabajo consumido por el compresor por unidad de masa del aire comprimido se determina de la ecuación 12-8:

went  cp(T02  T01)  (1.005 kJ/kg  K)(519.5 K  286.8 K)  233.9 kJ/kg De esta manera, el trabajo suministrado al compresor es 233.9 kJ/kg. Discusión Note que con el uso de las propiedades de estancamiento, automáticamente se justifica cualquier cambio en la energía cinética del flujo de fluido.

12-2

■

FLUJO ISENTRÓPICO UNIDIMENSIONAL

Un parámetro importante en el estudio del flujo compresible es la velocidad del sonido, c, que se mostró en el capítulo 2 que estaba relacionada con otras propiedades del fluido como c  2( P/ r)s

(12-9)

c  2k( P/ r)T

(12-10)

o Para un gas ideal, se simplifica a c  2kRT

(12-11)

donde k es la relación de calores específicos del gas y R es la constante específica del gas. La relación de la velocidad del flujo con la velocidad del sonido es el número adimensional de Mach, Ma, Ma 

V c

(12-12)

Durante la circulación de un fluido a través de dispositivos como toberas, difusores y los pasajes entre los álabes de las turbinas, las características numéricas de flujo varían principalmente en la dirección del flujo y éste puede aproximarse con buena exactitud como un flujo isentrópico unidimensional. Por lo tanto, esto merece consideración especial. Antes de presentar un comentario formal del flujo isentrópico unidimensional se ilustran algunos aspectos importantes de éste con ejemplo.

EJEMPLO 12-2

Gas que fluye a través de un ducto convergente-divergente

Se tiene dióxido de carbono que fluye de manera estacionaria a través de un ducto con área de sección transversal variante, tal como la tobera que se muestra en la figura 12-7, a una razón de flujo de masa de 3.00 kg/s. El dióxido de carbono entra al ducto con una presión de 1 400 kPa y 200°C con una velocidad baja, y se expande en la tobera hasta una presión de 200 kPa. El ducto está diseñado de tal manera que el flujo puede considerarse isentrópico. Determine la densidad, velocidad, área de flujo y número de Mach en cada posición a lo largo del ducto que corresponda a la caída de presión de 200 kPa.

FIGURA 12-7 Esquema para el ejemplo 12-2.

640 FLUJO COMPRESIBLE

SOLUCIÓN Dióxido de carbono entra a condiciones especificadas a un ducto con área de sección transversal variante. Las propiedades del flujo se determinarán a lo largo del ducto. Suposiciones 1 El dióxido de carbono es un gas ideal con calores específicos constantes e iguales a sus valores a temperatura ambiente. 2 El flujo a través del ducto es estacionario, unidimensional e isentrópico. Propiedades Para simplicidad se usa cp  0.846 kJ/kg · K y k  1.289 para realizar los cálculos, los cuales son los valores del calor específico a presión constante y la razón de calores específicos del dióxido de carbono a temperatura ambiente. La constante de gas del dióxido de carbono es R  0.1889 kJ/kg · K. Análisis Se observa que la temperatura a la entrada es casi igual a la temperatura de estancamiento porque la velocidad a la entrada es pequeña. El flujo es isentrópico y la temperatura de estancamiento y la presión de estancamiento a lo largo del ducto permanecen constantes. Por lo tanto: T0  T1  200 C  473 K y

P0  P1  1 400 kPa Para ilustrar el procedimiento de la solución, se calculan las propiedades en la posición donde la presión es de 1 200 kPa, la primera posición que corresponde a la caída de presión de 200 kPa. De la ecuación 12-5:

P (k  1)/k 1 200 kPa (1.289  1)/1.289 T  T0 a b  (473 K) a b  457 K P0 1 400 kPa A partir de la ecuación 12-4:

V

22cp(T0 B

T)

2(0.846 kJ/kg K)(473 K

164.5 m/s

1 000 m2/s3 b 1 kJ/kg

457 K) a

164 m/s

De la relación del gas ideal:

r

1 200 kPa P   13.9 kg/m3 RT (0.1889 kPa  m3/kg  K)(457 K)

De la relación de la razón de flujo de masa:

A

# 3.00 kg/s m   13.1 10  4 m2  13.1 cm2 rV (13.9 kg/m3)(164.5 m/s)

De las ecuaciones 12-11 y 12-12:

c  2kRT  Ma 

B

(1.289)(0.1889 kJ/kg  K)(457 K) a

1 000 m2/s2 b  333.6 m/s 1 kJ/kg

V 164.5 m/s   0.493 c 333.6 m/s

Los resultados para las otras posiciones correspondientes a la caída de presión especificada se resumen en la tabla 12-1 y se grafican en la figura 12-8. Discusión Observe que mientras la presión disminuye, la temperatura y la velocidad del sonido disminuyen mientras que la velocidad del fluido y el número de Mach aumentan en la dirección del flujo. La densidad disminuye lentamente al principio y después rápidamente mientras que la velocidad del fluido aumenta.

641 CAPÍTULO 12

TABLA 12-1 Variación de las propiedades de fluido en la dirección del flujo en el ducto descrito en el ejemplo 12-2 para m  3 kg/s  constante

P, kPa

T, K

V, m/s

r, kg/m3

c, m/s

A, cm2

Ma

1 400 1 200 1 000 800 767* 600 400 200

473 457 439 417 413 391 357 306

0 164.5 240.7 306.6 317.2 371.4 441.9 530.9

15.7 13.9 12.1 10.1 9.82 8.12 5.93 3.46

339.4 333.6 326.9 318.8 317.2 308.7 295.0 272.9

 13.1 10.3 9.64 9.63 10.0 11.5 16.3

0 0.493 0.736 0.962 1.000 1.203 1.498 1.946

* 767 kPa es la presión crítica donde el número de Mach es igual a la unidad.

FIGURA 12-8 Variación de las propiedades normalizadas de un fluido y del área de sección transversal en un ducto con la caída de presión de 1 400 a 200 kPa.

Se nota del ejemplo 12-2 que el área de flujo disminuye cuando baja la presión, que cae a un valor crítico de presión al cual el número de Mach es unitario, y entonces el área comienza a aumentar mientras que la presión continúa disminuyendo. El número de Mach es igual a la unidad en la región de menor área de flujo, llamada garganta (Fig. 12-9). Se observa que la velocidad del fluido continúa en aumento después de pasar por la garganta, aunque el área de flujo aumenta rápidamente en esta región. Este incremento en la velocidad a través de la garganta se debe a la rápida disminución en la densidad del fluido. El área de flujo del ducto considerada en este ejemplo, primero disminuye y luego aumenta. Estos ductos se llaman toberas convergente-divergentes. Se usan para acelerar gases a velocidades supersónicas y no deben confundirse con las toberas de Venturi (también llamadas tubos de Venturi o medidores de Venturi) usadas estrictamente para flujos incompresibles. La primera vez que se empleó la tobera convergente-divergente fue en 1893, en una turbina de vapor diseñada por el ingeniero sueco, Carl G. B. de Laval (1845-1913); por esta razón, con frecuencia a las toberas convergentes-divergentes se les llama toberas de Laval.

FIGURA 12-9 En una tobera la sección transversal de área más pequeña se llama garganta.

642 FLUJO COMPRESIBLE

Variación de la velocidad de fluido con el área de flujo El ejemplo 12-2 muestra que son muy complejas las relaciones entre velocidad, densidad y área de flujo en caso de flujos isentrópicos en un ducto. En esta sección se investigan estas relaciones con mayor profundidad, y se establecen relaciones para la variación de las razones de las propiedades estáticas y de estancamiento en función del número de Mach para tales propiedades como presión, temperatura y densidad. Se comienza esta investigación con la búsqueda de relaciones entre presión, temperatura, densidad, la velocidad, área de flujo y número de Mach para flujos isentrópicos unidimensionales. Se considera el balance de masa para un proceso de flujo estacionario: # m  rAV  constante

Se busca el diferencial y se divide la ecuación resultante entre la razón de flujo de masa y se obtiene: dr dA dV   0 r A V

(12-13)

Al despreciar la energía potencial, el balance de energía para un flujo isentrópico sin interacciones de trabajo puede expresarse de forma diferencial como (Fig. 12-10): dP  V dV  0 r

(12-14)

Esta relación es también la forma diferencial de la ecuación de Bernoulli cuando se desprecian los cambios en la energía potencial, la cual es una forma de conservación de la cantidad de movimiento para volúmenes de control de flujo estacionario. Cuando se combinan las ecuaciones 12-13 y 12-14, se tiene: dr dA dP 1 a  b  r V 2 dP A

FIGURA 12-10 Obtención de la forma diferencial de la ecuación de energía para un flujo isentrópico estacionario.

(12-15)

Se reordena la ecuación 12-9 como ( r/ P)s  1/c2 y se sustituye en la ecuación 12-15, que da: dA dP  (1  Ma2) A rV 2

(12-16)

Ésta es una relación importante para flujo isentrópico en ductos porque describe la variación de la presión en función de la variación del área de flujo. Note que A, r y V son cantidades positivas. Para flujos subsónicos (Ma  1), el término 1Ma2 es positivo; por eso dA y dP deben tener el mismo signo. Esto es, la presión del fluido debe aumentar si el área de flujo del ducto aumenta, y debe disminuir si el área de flujo del ducto disminuye. Por lo tanto, a velocidades subsónicas la presión disminuye en ductos convergentes (toberas aceleradoras subsónicas) y aumenta en ductos divergentes (difusores subsónicos o toberas desaceleradoras subsónicas). En un flujo supersónico (Ma  1) el término 1Ma2 es negativo y, por lo tanto, dA y dP deben tener signos opuestos. Esto es, la presión del fluido debe aumentar si el área de flujo del ducto disminuye, y debe disminuir si el área del flujo del ducto aumenta. Por lo tanto, a velocidades supersónicas la presión disminuye en ductos divergentes (toberas aceleradoras supersónicas) y aumenta en ductos convergentes (difusores supersónicos o toberas desaceleradoras supersónicas). Otra relación importante para el flujo isentrópico de un fluido se obtiene cuando se sustituye rV  dP/dV de la ecuación 12-14 en la ecuación 12-16: dA dV   (1  Ma2) A V

(12-17)

643 CAPÍTULO 12

Esta ecuación determina la forma de una tobera aceleradora o de un difusor de flujos isentrópicos subsónicos o supersónicos. Al notar que A y V son cantidades positivas, se llega a la siguiente conclusión: Para flujo subsónico (Ma  1), Para flujo supersónico (Ma  1), Para flujo sónico (Ma  1),

dA 0 dV dA 0 dV dA 0 dV

Por lo tanto, la forma apropiada de una tobera depende de la velocidad más alta deseada relativa a la velocidad de sonido. Para acelerar un fluido debe usarse una tobera convergente a velocidades subsónicas y una tobera divergente a velocidades supersónicas. Las velocidades encontradas en la práctica en aplicaciones más comunes están muy por abajo de la velocidad sónica, y así es natural imaginar una tobera aceleradora como un ducto convergente. Sin embargo, la velocidad más alta que puede alcanzarse mediante una tobera convergente es la velocidad sónica, la cual ocurre a la salida de la tobera convergente. Si se extiende aún más una tobera convergente disminuyendo el área de flujo con la esperanza de acelerar el fluido a velocidades supersónicas, como se muestra en la figura 12-11, se tendrá una gran decepción. Ahora, la velocidad sónica ocurrirá a la salida de la extensión convergente, en vez de la sección transversal correspondiente a la salida de la tobera convergente original, y la razón de flujo de masa a través de la tobera convergente extendida disminuirá debido a la reducción del área. Con base en la ecuación 12-16, la cual es una expresión de los principios de conservación de masa y energía, debe añadirse una sección divergente a una tobera convergente para acelerar el fluido a velocidades supersónicas. El resultado es una tobera convergente-divergente. El fluido pasa primero por una sección subsónica (convergente), donde el número de Mach aumenta mientras que el área de flujo de la tobera disminuye, y entonces alcanza el valor de la unidad en la garganta de la tobera. El fluido continúa acelerándose mientras pasa por una . sección supersónica (divergente). Al notar que m  rAV para un flujo estacionario, se observa que la gran disminución en la densidad hace posible la aceleración en la sección divergente. Un ejemplo de este tipo de flujo es el de gases de combustión calientes a través de una tobera aceleradora en una turbina de gas. El proceso opuesto ocurre a la entrada de un motor de un avión supersónico. El fluido se desacelera al pasar primero por un difusor supersónico, el cual tiene el área que disminuye en la dirección de flujo. En teoría, el flujo alcanza un número de Mach igual a la unidad en la garganta del difusor. Después el fluido se desacelera en un difusor subsónico, el cual tiene un área de flujo que se incrementa en la dirección de flujo como se muestra en la figura 12-12.

Relaciones de propiedades de flujo isentrópico de gas ideal A continuación se desarrollarán las relaciones entre las propiedades estáticas y las propiedades de estancamiento de un gas ideal en función de la razón de calores específicos k y el número de Mach Ma. Se considera que el flujo es isentrópico y que el gas tiene calores específicos constantes. La temperatura T de un gas ideal en cualquier lugar en el flujo está relacionada con la temperatura de estancamiento T0 por medio de la ecuación 12-4: T0  T 

V2 2cp

FIGURA 12-11 No pueden alcanzarse velocidades supersónicas al añadir una sección convergente adicional a una tobera convergente. Cuando se hace esto, solamente se traslada la sección transversal sónica corriente abajo y se disminuye la razón del flujo de masa.

644 FLUJO COMPRESIBLE

FIGURA 12-12 Variación de las propiedades de flujo en las toberas aceleradoras y toberas desaceleradoras (difusores) subsónicas y supersónicas.

o T0 V2 1 T 2cpT

Al notar que cp  kR/(k  1), c2  kRT, y Ma  V/c, se observa que: V2 V2 k  1 V2 k1  a b 2a b Ma2 2cpT 2[kR/(k  1)]T 2 2 c

Se sustituye y se tiene: T0 k1 1 a b Ma2 T 2

(12-18)

la cual es la relación deseada entre T0 y T. La razón de la presión de estancamiento a la presión estática se obtiene al sustituir la ecuación 12-18 en la ecuación 12-5: k/(k1) P0 k1  c1  a b Ma2d P 2

(12-19)

La razón de la densidad de estancamiento a la densidad estática se obtiene al sustituir la ecuación 12-18 en la ecuación 12-6: 1/(k1) r0 k1  c1  a b Ma2d r 2

FIGURA 12-13 Cuando Mat  1, las propiedades en la garganta de una tobera se convierten en propiedades críticas (el subíndice t se debe a la palabra en inglés throat, que significa garganta).

(12-20)

Los valores numéricos de T/T0, P/P0 y r/r0 en función del número de Mach para k  1.4 se dan en la tabla A-13 y son muy útiles para cálculos prácticos de flujo compresible de aire. Las propiedades del fluido en una región donde el número de Mach es igual a uno son llamadas propiedades críticas, y las razones expresadas por las ecuaciones 12-18 a la 12-20 se llaman razones críticas (Fig. 12-13). Es práctica común en el análisis de flujo compresible representar los valores críticos con un

645 CAPÍTULO 12

asterisco (*) como superíndice. Se toma Ma  1 en las ecuaciones 12-18 a la 12-20 y resulta: T* 2  T0 k  1

(12-21)

2 k/(k1) P* a b P0 k1

(12-22)

r* 2 1/(k1) b a r0 k1

(12-23)

Estas razones se evalúan para varios valores de k y se indican en la tabla 12-2. Las propiedades críticas de flujo compresible no deben confundirse con las propiedades termodinámicas de las sustancias en el punto crítico (como la temperatura crítica Tc y la presión crítica Pc). TABLA 12-2 Razones de presión, temperatura y densidad críticas para el flujo isentrópico de algunos gases ideales

P* P0 T* T0 r* r0

Vapor sobrecalentado k  1.3

Productos calientes de combustión k  1.33

Aire k  1.4

Gases, monoatómicos k  1.667

0.5457

0.5404

0.5283

0.4871

0.8696

0.8584

0.8333

0.7499

0.6276

0.6295

0.6340

0.6495

EJEMPLO 12-3

Temperatura y presión críticas de un flujo de gas

Calcule la temperatura y presión críticas del dióxido de carbono para el flujo descrito en el ejemplo 12-2 (Fig. 12-14).

SOLUCIÓN Para el flujo tratado en el ejemplo 12-2, debe calcularse la temperatura y presión críticas. Suposiciones 1 El flujo es estacionario, adiabático y unidimensional. 2 El dióxido de carbono es un gas ideal con calores específicos constantes. Propiedades La razón de calores específicos del dióxido de carbono a temperatura ambiente es k  1.289. Análisis Los cocientes de las temperatura y presión críticas a las de estancamiento se determinan como:

2 T* 2    0.8737 T0 k  1 1.289  1 1.289/(1.2891) P* 2 k/(k1) 2 b b a a  0.5477 P0 k1 1.289  1

Al considerar que la temperatura y la presión de estancamiento son, para el ejemplo 12-2, T0  473 K y P0  1 400 kPa, se obtiene que la temperatura y la presión críticas en este caso son:

FIGURA 12-14 Esquema para el ejemplo 12-3.

646 FLUJO COMPRESIBLE

T*  0.8737 T0  (0.8737)(473 K)  413 K P*  0.5477P0  (0.5477)(1 400 kPa)  767 kPa Discusión Observe que estos valores concuerdan con los que se muestran en la tabla 12-1, tal como se esperaba. Asimismo, valores diferentes de éstos en la garganta indicarían que el flujo no es crítico, y que el número de Mach no es igual a uno.

12-3

■

FLUJO ISENTRÓPICO EN TOBERAS

Toberas convergentes o convergente-divergentes se encuentran en numerosas aplicaciones de ingeniería, inclusive en turbinas de gas y de vapor, sistemas de propulsión de aviones, naves espaciales y en sopladores industriales de viento y fuego. En esta sección se revisan los efectos de la contrapresión (es decir, la presión del receptor, la presión aplicada en la región de descarga de la tobera) sobre la velocidad de salida, el caudal másico y la distribución de presiones a lo largo de la tobera.

Toberas convergentes

Depósito Pr = P 0 Tr = T0

Pe Pb (Contrapresión)

Vr = 0

x P /P0

1

1 2

P* P0

0

3 Presión de salida más baja

4 5

Pb = P0 Pb > P* Pb = P* Pb < P* Pb = 0

FIGURA 12-15 Efecto de la contrapresión en la distribución de presión en una tobera convergente.

x

Considere flujo subsónico a través de una tobera convergente como se muestra en la figura 12-15. La entrada de la tobera está sujeta a un depósito a presión Pr y temperatura Tr (el subíndice r se debe a la palabra en inglés reservoir, que significa depósito). El depósito es lo suficientemente grande y la velocidad a la entrada de la tobera es despreciable. Puesto que la velocidad del fluido en el depósito es cero y el flujo a través de la tobera se aproxima como isentrópico, la presión de estancamiento y temperatura de estancamiento del fluido en cualquier sección transversal de la tobera son iguales a la presión y temperatura del tanque, respectivamente. Ahora se comenzará a reducir la contrapresión y se observarán los efectos resultantes sobre la distribución de la presión a lo largo de la tobera, como se muestra en la figura 12-15. Si la contrapresión Pb (el subíndice b se debe a la palabra en inglés backpressure, que significa contrapresión) es igual a P1 la cual es igual a Pr, entonces no hay flujo y la distribución de presión es uniforme a lo largo de la tobera. Cuando la contrapresión disminuye hasta tomar el valor de P2, la presión de salida Pe también cae hasta P2. Esto origina que la presión a lo largo de la tobera disminuya en la dirección del flujo. Cuando la cotrapresión se reduce a P3 ( P*, la cual es la presión necesaria para aumentar la velocidad del fluido hasta alcanzar la velocidad del sonido en la salida de la garganta de la tobera), el flujo de masa alcanza un máximo valor y se dice que el flujo está bloqueado o estrangulado. Además, cuando se reduce la contrapresión hasta P4 o más aún, no habrá cambios adicionales en la distribución de presión o cualquier otro cambio alguno a lo largo de la tobera. En las condiciones del flujo estacionario, la razón del flujo de masa a través de la tobera es constante y puede expresarse como: P k # m  rAV  a b A(Ma 2kRT)  PAMa RT B RT

Se resuelve T de la ecuación 12-18 y P de la ecuación 12-19 y se sustituye: # m

AMaP0 2k/(RT0) [1  (k  1)Ma2/2](k  1)/[2(k  1)]

(12-24)

647 CAPÍTULO 12

Así, la razón del flujo de masa de un fluido particular a través de una tobera es una función de las propiedades de estancamiento del fluido, el área del flujo y el número de Mach. La ecuación 12-24 es válida en cualquier sección transver. sal, y de esta manera m puede evaluarse en cualquier posición a lo largo de la tobera. Para un área de flujo A y propiedades de estancamiento T0 y P0 especificados, la razón máxima del flujo de masa puede determinarse al diferenciar la ecuación 12-24 respecto a Ma e igualar el resultado a cero. Esto da como resultado Ma  1. Puesto que la única sección dentro de una tobera en donde el número de Mach puede ser unitario, es la sección de área de flujo mínima (la garganta), la razón del flujo de masa a través de una tobera es máximo cuando Ma  1 en la garganta. Cuando se denota esta área por A* se obtiene una expresión para el flujo de masa máximo al sustituir Ma  1 en la ecuación 12-24: 2 (k  1)/[2(k  1)] k # mmáx  A*P0 a b B RT0 k  1

(12-25)

Por lo tanto, para un gas ideal en particular, el flujo de masa máximo a través de una tobera con un área de garganta dada se define por la presión de estancamiento y la temperatura de estancamiento a la entrada. El flujo másico puede controlarse si se cambia la presión de estancamiento y la temperatura de estancamiento, y así una tobera convergente puede usarse como un medidor de flujo. La razón de flujo también puede controlarse, por supuesto, si se varía el área en la garganta. Este principio es muy importante para procesos químicos, aparatos médicos, medidores de flujo, y donde quiera que el flujo de masa de un gas sea conocido y controlado. . Una gráfica de m contra Pb /P0 para una tobera convergente se muestra en la figura 12-16. Se observa que la razón del flujo de masa aumenta cuando disminuye Pb /P0, alcanza un máximo en Pb  P*, y permanece constante para valores de Pb /P0 menores que esta razón crítica. También se ilustra en esta figura el efecto de la contrapresión sobre la presión de salida Pe (el subíndice e se debe a la palabra en inglés exit, que significa salida) en la tobera. Se observa que: Pb Pe  e P*

para Pb # P* para Pb  P*

5 m⋅ máx

(12-26)

4

3

2

1 P* P0

1.0

Pe /P0

Pb P0

1

1.0 2 P* 5 P0

0

En resumen, para todas las contrapresiones menores que la presión crítica P*, la presión en la salida Pe de una tobera convergente es igual a P*, el número de Mach en la salida es uno, y la razón del flujo de masa es la razón de flujo máxima. Debido a que la velocidad del flujo es sónica en la garganta para la razón de flujo máxima, una contrapresión menor que la presión crítica no puede detectarse en el flujo corriente arriba de la tobera y no afecta la razón de flujo. Los efectos de la temperatura de estancamiento T0 y la presión de estancamiento P0 sobre la razón del flujo de masa a través de una tobera convergente se ilustran en la figura 12-17, donde la razón de flujo de masa se grafica contra la razón de las presiones estática y de estancamiento en la garganta Pt /P0. Un incremento en P0 (o un decremento en T0) aumentará la razón de flujo de masa a través de una tobera convergente; un decremento en P0 (o un aumento en T0) lo hará disminuir. Puede llegarse a la misma conclusión al observar con cuidado las ecuaciones 12-24 y 12-25. Una relación para la variación del área de flujo A a lo largo de la tobera respecto al área A* de la garganta puede obtenerse al combinar las ecuaciones 12-24 y 12-25 aplicadas para la misma razón de masa de flujo y propiedades de estancamiento de un fluido particular. Esto lleva a: (k  1)/[2(k  1)] A 1 2 k1  ca b a1  Ma2b d A* Ma k  1 2

m

4

3

P* P0

1.0

Pb P0

FIGURA 12-16 Efecto de la contrapresión Pb en la . razón del flujo de masa m y la presión a la salida Pe de una tobera convergente.

648 FLUJO COMPRESIBLE Mat = 1

Mat

1)

s

s2

las ecuaciones de conservación de masa y de cantidad de movimiento en una sola ecuación y graficarla en un diagrama h-s se obtiene la curva llamada línea de Rayleigh. Ambas líneas se muestran en el diagrama h-s de la figura 12-26. Como se comprobará más adelante en el ejemplo 12-7, los puntos de máxima entropía sobre estas líneas (puntos a y b) corresponden a Ma  1. Los estados sobre la parte superior de las curvas son subsónicos y sobre la parte inferior, supersónicos. Las líneas de Fanno y de Rayleigh se intersecan en dos puntos (puntos 1 y 2), que representan los dos estados donde las tres ecuaciones de conservación se satisfacen. Uno de éstos (estado 1) corresponde al estado antes del choque, y el otro (estado 2) corresponde al estado después del choque. Se observa que el flujo es supersónico antes del choque y subsónico después. Por lo tanto, el flujo cambiará de supersónico a subsónico si ocurre una onda de choque normal. Cuanto mayor sea el número de Mach antes del choque, más fuerte será el choque. En el caso límite de Ma  1, la onda de choque simplemente se convierte en una onda de propagación de sonido. Se muestra en la figura 12-26 que la entropía aumenta: s2  s1. Esto se espera porque el flujo a través del choque es adiabático, pero irreversible. El principio de la conservación de energía (Ec. 12-31) exige que la entalpía de estancamiento permanezca constante durante el choque; h01  h02. Para gases ideales h  h(T), y así: Choque normal

T01  T02 P P0 V Ma T T0 r s

aumenta disminuye disminuye disminuye aumenta permanece constante aumenta aumenta

FIGURA 12-27 Variación de las propiedades del flujo a través de un choque normal.

(12-34)

Esto significa que la temperatura de estancamiento de un gas ideal también permanece constante durante el choque. Sin embargo, se nota que la presión de estancamiento disminuye durante el choque debido a las irreversibilidades, mientras que la temperatura normal (estática) aumenta drásticamente debido a la conversión de energía cinética en entalpía y causa un gran descenso en la velocidad del fluido (Fig. 12-27). Ahora se desarrollarán las relaciones entre varias propiedades antes y después del choque para un gas ideal con calores específicos constantes. Una relación para la razón de las temperaturas estáticas T2/T1 se obtiene al aplicar la ecuación 12-18 dos veces: T01 k1 1 a b Ma21 T1 2

y

T02 k1 1 a b Ma22 T2 2

Se divide la primera ecuación entre la segunda y al notar que T01  T02, se tiene:

657 CAPÍTULO 12

T2 1  Ma21(k  1)/2  T1 1  Ma22(k  1)/2

(12-35)

A partir de la ecuación de estado del gas ideal: r1 

P1 RT1

y

r2 

P2 RT2

Se sustituyen éstas en la ley de conservación de masa r1V1  r2V2 y al notar que Ma  V/c y c  1kRT , se tiene que: T2 P2V2 P2Ma2c2 P2Ma2 2T2 P2 2 Ma2 2    a b a b T1 P1V1 P1Ma1c1 P1Ma1 2T1 P1 Ma1

(12-36)

Cuando se combinan las ecuaciones 12-35 y 12.36 se obtiene la razón de presiones a través del choque: P2 Ma1 21  Ma21(k  1)/2  P1 Ma2 21  Ma22(k  1)/2

Línea de Fanno:

(12-37)

La ecuación 12-37 es una combinación de las ecuaciones de conservación de la masa y la energía; por lo tanto, es también la ecuación de la línea de Fanno para un gas ideal con calores específicos constantes. Una relación similar para la línea de Rayleigh puede obtenerse si se combinan las ecuaciones de conservación de la masa y la ecuación de cantidad de movimiento. A partir de la ecuación 12-32: P1  P2 

# m (V  V1)  r 2V 22  r 1V 21 A 2

Sin embargo, P P rV 2  a b(Ma c)2  a b (Ma 2kRT)2  Pk Ma2 RT RT

Así, P1(1  kMa21)  P2(1  kMa22)

o Línea de Rayleigh:

P2 1  kMa21  P1 1  kMa22

(12-38)

Cuando se combinan las ecuaciones 12-37 y 12-38 se obtiene: Ma22 

Ma21  2/(k  1) 2Ma21 k/(k  1)  1

(12-39)

Esta ecuación representa la intersección de las líneas de Fanno y Rayleigh y relaciona el número de Mach corriente arriba del choque al número de Mach corriente abajo del choque. El choque de ondas no se limita solamente a toberas supersónicas. Este fenómeno también se observa en la entrada del motor de un avión supersónico, donde el aire pasa por un choque y desacelera a velocidades subsónicas antes de entrar al difusor del motor (Fig. 12-28). Las explosiones también producen la propagación de ondas de choque normales muy poderosas que pueden ser muy destructivas (Fig. 12-29). En la tabla A-14 se indican razones de varias propiedades de flujo después y antes del choque para un gas ideal con k  1.4. Al revisar esta tabla se encuen-

FIGURA 12-28 La entrada de aire de un jet supersónico de combate está diseñada de tal manera que una onda de choque a la entrada desacelera el aire a velocidades subsónicas, aumentando la presión y la temperatura del aire antes de que entre al motor. © Getty RF

658 FLUJO COMPRESIBLE

FIGURA 12-29 Estriograma de una onda de explosión (onda de choque normal esférica en expansión) producida por un petardo detonado dentro de una lata metálica colocada sobre una base. El choque se expande radialmente hacia fuera en todas las direcciones a velocidad supersónica que disminuye con el radio desde el centro de la explosión. El micrófono en la parte derecha inferior, cuando pasa la onda de choque, registra el cambio repentino en la presión y provoca el destello de unos microsegundos de duración al cual se expone la fotografía. Fotografía de G. S. Settles, Penn State University. Reproducido con autorización.

(s2

tra que Ma2 (el número de Mach después del choque) es siempre menor que 1 y cuanto mayor es el número de Mach supersónico antes del choque, menor es el número de Mach subsónico después del choque. También se observa que la presión estática, la temperatura y la densidad aumentan después del choque, mientras que la presión de estancamiento disminuye. El cambio de entropía en el choque se obtiene cuando se aplica éste a la ecuación del cambio de entropía de un gas ideal:

s1)/R

s2 – s1 > 0

s2  s1  cP ln

0 s2 – s1 < 0

IMPOSIBLE Flujo subsónico antes del choque

Ma1 = 1 Flujo supersónico Ma1 antes del choque

FIGURA 12-30 Cambio de entropía a través del choque normal.

T2 P2  R ln T1 P1

(12-40)

la cual puede expresarse en términos de k, R y Ma1 al incluir las relaciones desarrolladas anteriormente en esta sección. La gráfica del cambio de entropía adimensional en el choque normal (s2  s1)/R contra Ma1 se muestra en la figura 12-30. Puesto que el flujo a través de la onda de choque es adiabático e irreversible, la segunda ley de termodinámica exige que el flujo aumente su entropía al atravesar la onda de choque. Por lo tanto, una onda de choque no puede existir para valores de Ma1 menores que la unidad, donde el cambio de entropía sería negativo. Para flujos adiabáticos, las ondas de choque existen solamente para flujos supersónicos, Ma1  1.

EJEMPLO 12-7

El punto de entropía máxima en la línea de Fanno

Demuestre que el punto de entropía máxima en la línea de Fanno (punto a de la figura 12-26) para el flujo estacionario adiabático de un fluido en un ducto corresponde a la velocidad sónica, Ma = 1.

SOLUCIÓN Se debe demostrar que el punto de entropía máxima en la línea Fanno para flujo estacionario adiabático corresponde a la velocidad sónica. Suposición El flujo es estacionario, adiabático y unidimensional. Análisis En ausencia de toda interacción de calor y trabajo, y de cambios en la energía potencial, la ecuación de energía potencial para flujo estacionario se reduce a

659 CAPÍTULO 12

h

V2  constante 2

Diferenciando se obtiene

dh  V dV  0 Para un choque muy delgado, con cambio despreciable del área del ducto a través del choque, la ecuación de continuidad del flujo estacionario (conservación de la masa) se expresa como

rV  constante Diferenciando, se obtiene

r dV  V dr  0 Despejando dV, se obtiene

dV  V

dr r

Combinando esto con la ecuación de energía, se tiene

dh  V 2

dr 0 r

que es la ecuación para la línea de Fanno en forma diferencial. En el punto a (el punto de entropía máxima), ds = 0. Entonces, por la segunda relación (T ds  dh  v dP) se tiene dh  v dP  dP/r. Sustituyendo se obtiene

dr dP  V2 0 r r

a s  constante

Despejando V, se obtiene

P 1/2 V a b

r s que es la relación para la velocidad del sonido, ecuación 12-9. Por lo tanto, V = c, y la prueba se ha realizado.

EJEMPLO 12-8

Ondas de choque en una tobera convergente-divergente

Si el aire que fluye a través de una tobera convergente-divergente del ejemplo 12-6 experimenta una onda de choque normal en el plano de salida de la tobera (Fig. 12-31), determine lo siguiente: a) la presión de estancamiento, la presión estática, la temperatura estática y la densidad estática después del choque; b) el cambio de entropía en el choque; c) la velocidad a la salida, y d) la razón de flujo de masa en la tobera. Considere el flujo estacionario, unidimensional, con k  1.4, e isentrópico desde la entrada a la tobera hasta la onda de choque.

SOLUCIÓN El aire que fluye a través de una tobera convergente-divergente experimenta una onda de choque normal en la salida de la tobera. Se determinará el efecto de la onda de choque en varias propiedades.

Onda de choque

m· = 2.86 kg/s

1

Ma1 = 2 P = 1.0 MPa 2 01 P1 = 0.1278 MPa T1 = 444.5 K 3 1 = 1.002 kg/m

FIGURA 12-31 Esquema para el ejemplo 12-8.

660 FLUJO COMPRESIBLE

Suposiciones 1 El aire es un gas ideal con calores específicos constantes e iguales a sus valores a temperatura ambiente. 2 El flujo a través del difusor es estacionario, unidimensional e isentrópico antes que ocurra el choque. 3 La onda de choque ocurre en el plano de salida. Propiedades El calor específico a presión constante y la razón de calores específicos del aire son cp  1.005 kJ/kg . K y k  1.4. La constante de gas del aire es de 0.287 kJ/kg  K. Análisis a) Las propiedades del fluido a la salida de la tobera justo antes de la onda de choque (denotadas por el subíndice 1) se evaluaron en el ejemplo 12-6 como las propiedades a la salida de la tobera y son:

P01  1.0 MPa

P1  0.1278 MPa

T1  444.5 K

r 1  1.002 kg/m3

Las propiedades del fluido después del choque (denotadas por el subíndice 2) se relacionan con aquéllas antes del choque mediante las funciones enlistadas en la tabla A-14. Para Ma1  2.0, se lee:

Ma2  0.5774

P02  0.7209 P01

P2  4.5000 P1

T2  1.6875 T1

r2  2.6667 r1

Entonces la presión de estancamiento P02, la presión estática P2, la temperatura estática T2 y la densidad estática r2 después del choque son:

P02  0.7209P01  (0.7209)(1.0 MPa)  0.721 MPa P2  4.5000P1  (4.5000)(0.1278 MPa)  0.575 MPa T2  1.6875T1  (1.6875)(444.5 K)  750 K r 2  2.6667r 1  (2.6667)(1.002 kg/m3)  2.67 kg/m3 b) El cambio de entropía en el choque es:

s2  s1  cr ln

T2 P2  R ln T1 P1

 (1.005 kJ/kg  K) ln (1.6875)  (0.287 kJ/kg  K) ln (4.5000)  0.0942 kJ/kg  K Así, la entropía del aire aumenta mientras el flujo experimenta un choque normal, el cual es muy irreversible. c) La velocidad del aire después del choque puede determinarse a partir de V2  Ma2c2, donde c2 es la velocidad del sonido en las condiciones de la salida después del choque:

V2  Ma2c2  Ma2 2kRT2 1 000 m2/s2  (0.5774) (1.4)(0.287 kJ/kg  K)(750.1 K) a b B 1 kJ/kg  317 m/s d) La razón del flujo de masa a través de la tobera convergente-divergente con condiciones sónicas en la garganta no se afecta por la presencia de las ondas de choque en la tobera. Por lo tanto, la razón del flujo de masa en este caso es la misma que se determinó en el ejemplo 12-6:

# m  2.86 kg/s Discusión Este resultado relacionado con el flujo másico puede verificarse fácilmente para cualquier valor del número de Mach antes de la onda de choque considerablemente mayor que uno al usar los valores de las propiedades de flujo en la salida del difusor después de la onda de choque.

661 CAPÍTULO 12

En el ejemplo 12-8 se ilustra el hecho que la presión de estancamiento y la velocidad disminuyen mientras que la presión, la temperatura y la densidad estáticas, así como la entropía, aumentan en el choque (Fig. 12-32). El aumento en la temperatura del fluido corriente abajo de una onda de choque es de gran importancia para la ingeniería de aviones y naves espaciales porque éste crea problemas de transferencia de calor en los bordes delanteros de las alas y la nariz cónica de vehículos espaciales diseñados para regresar a la Tierra y en los recién propuestos aviones hipersónicos. El sobrecalentamiento, de hecho, originó la trágica pérdida del transbordador espacial Columbia en febrero de 2003 al entrar a la atmósfera terrestre.

Choques oblicuos No todas las ondas de choque son normales (perpendiculares a la dirección de flujo). Por ejemplo, cuando un transbordador espacial viaja a velocidades supersónicas a través de la atmósfera, produce un complicado patrón de choques que consiste en ondas de choque inclinadas llamadas ondas de choques oblicuas (Fig. 12-33). Como puede apreciarse, algunas partes de las ondas de choque oblicuas son curvas, mientras que otras son rectas. Se considera primero las ondas de choque oblicuas rectas, como las que se producen cuando un flujo supersónico (Ma1  1) incide en una delgada cuña bidimensional de semiángulo d (Fig. 12-34). Puesto que la información acerca de la cuña no puede difundirse corriente arriba en un flujo supersónico, el fluido “no sabe” nada acerca de la cuña hasta que golpea su punta. En este momento, debido a que el fluido no puede pasar a través de una cuña, de manera repentina cambia su dirección en un ángulo llamado ángulo de viraje o ángulo de giro o ángulo de deflexión u. El resultado es una onda de choque oblicua recta que forma un ángulo de choque o ángulo de onda b, medido con respecto a la dirección del flujo que incide en la cuña (Fig. 12-35). Para que el flujo de masa se conserve, b obviamente debe ser mayor que d. Puesto que el número de Reynolds para flujos supersónicos es usualmente grande, la capa límite creciente a lo largo de la cuña es muy delgada y se desprecian sus efectos. El flujo, por lo tanto, cambia su dirección al mismo ángulo que el semiángulo de cuña; por precisar, el ángulo de deflexión u es igual al semiángulo d de la cuña. Si se considera el efecto del espesor de desplazamiento de la capa límite (capítulo 10), el ángulo de deflexión u del flujo que experimenta el choque oblicuo resulta ser ligeramente mayor que el semiángulo d. Igual que en caso de las ondas de choque normales, el número de Mach disminuye en un choque oblicuo, y las ondas de choque oblicuas son posibles sola-

FIGURA 12-32 Cuando un domador de leones chasquea su látigo, se forma una onda de choque débil cerca de la punta y se difunde radialmente. La presión dentro de la onda de choque en expansión es mayor que la presión de ambiente del aire, y esto es lo que causa el chasquido cuando la onda de choque llega al oído del león. ©Getty RF

FIGURA 12-33 Estriograma de un modelo pequeño del transbordador espacial Orbiter que se prueba a Mach 3 en un túnel de viento supersónico de Penn State Gas Dynamics Lab. Pueden observarse varios choques oblicuos en el aire que rodea la nave espacial. Fotografía de G. S. Settles, Penn State University. Reproducido con autorización.

662 FLUJO COMPRESIBLE

FIGURA 12-34 Onda de choque oblicua con el ángulo de choque b provocada por una delgada cuña bidimensional de semiángulo d. El flujo gira el ángulo de deflexión u corriente abajo del choque, y el número de Mach disminuye.

mente si el flujo corriente arriba es supersónico. Sin embargo, a diferencia de las ondas de choque normales, en los cuales el número de Mach corriente abajo es siempre subsónico, Ma2 corriente abajo de un choque oblicuo puede ser subsónico, sónico o supersónico, esto depende del número de Mach corriente arriba Ma1 y del ángulo de giro. Para analizar la onda de choque oblicua recta de la figura 12-35 se separan los vectores de velocidad corriente arriba y corriente abajo de la onda en componentes normal y tangencial a ella, y se considerará un pequeño volumen de control alrededor de la onda. Todas las propiedades del fluido (velocidad, densidad, presión, etc.) en la parte de la cara pequeña izquierda inferior del volumen de control ubicada corriente arriba del choque son idénticas a las propiedades en la parte de la cara pequeña superior asimismo corriente arriba del choque. Lo mismo es válido para las partes de las mismas caras pequeñas que se ubican corriente abajo del choque. Por lo tanto, las razones del flujo de masa que entra y sale a través de estas caras se cancelan entre sí, y la conservación de masa se reduce a la igualdad de flujos a través de otras dos caras (grandes) de volumen de control r 1V1, n A  r 2V2, n A → r 1V1, n  r 2V2, n

(12-41)

donde A es el área de la superficie de control paralela al choque. Puesto que A es la misma de cada lado del choque, ésta se eliminó de la ecuación 12-41. Como se esperaría, la componente tangencial de la velocidad (paralela a la onda de choque oblicua) no cambia durante el choque, es decir V1, t  V2, t. Esto se comprueba fácilmente al aplicar al volumen de control la componente tangencial de la ecuación de cantidad de movimiento. Al aplicar la componente normal de la ecuación de conservación de cantidad de movimiento y al notar que las únicas fuerzas que actúan son las de presión, se tiene: P1 A  P2 A  rV2, n AV2, n  rV1, n AV1, n → P1  P2  r 2V 22, n  r 1V 21, n

(12-42)

Finalmente, puesto que no existe trabajo efectuado por o sobre el volumen de control y no hay transferencia de calor dentro o fuera del volumen de control, la entalpía de estancamiento no cambia en un choque oblicuo, y la ley de conservación de la energía da: FIGURA 12-35 Vectores de velocidad en un choque oblicuo con un ángulo de onda b y un ángulo de deflexión u.

1 1 1 1 h01  h02  h0 → h1  V 21, n  V 21, t  h2  V 22, n  V 22, t 2 2 2 2

Pero como V1,t  V2, t, esta ecuación se reduce a: 1 1 h 1  V 21, n  h2  V 22, n 2 2

(12-43)

Una comparación cuidadosa revela que las ecuaciones de la conservación de masa, cantidad de movimiento y energía (Ecs. 12-41 a 12-43) para un choque oblicuo son idénticas a las que se tienen para un choque normal, excepto que están escritas en términos de la componente normal de la velocidad. Por lo tanto, las relaciones de choque normal obtenidas previamente se aplican también a choques oblicuos, pero deben escribirse en términos de los números de Mach Ma1, n y Ma2, n normales al choque oblicuo. Esto puede visualizarse fácilmente mediante la rotación de los vectores de velocidad en la figura 12-35 a un ángulo p/2  b, de tal manera que el choque oblicuo parezca ser vertical (Fig. 12-36). La trigonometría da como resultado: Ma1, n  Ma1 sen b

y

Ma2, n  Ma2 sen(b  u)

(12-44)

donde Ma1, n  V1, n/c1 y Ma2, n  V2, n/c2. Desde el punto de vista que se muestra en la figura 12-36, se observa lo que parece un choque normal, pero con un flujo tangencial sobrepuesto “para pasear por allí”. Así,

663 CAPÍTULO 12

Todas las ecuaciones, tablas, etc., para choques normales se aplican a choques oblicuos, con la condición de que se usen solamente las componentes normales del número de Mach.

De hecho, puede pensarse de los choques normales como una especie de choques oblicuos en los cuales el ángulo de choque es b  p/2, o 90°. Se reconoce de manera inmediata que un choque oblicuo puede existir solamente si Ma1, n  1 y Ma2, n  1. Las ecuaciones de choque normal apropiadas para choques oblicuos de un gas ideal se resumen en la figura 12-37 en términos de Ma1, n. Para el ángulo de onda b y el número de Mach corriente arriba Ma1 dados, se usa la primera parte de la ecuación 12-44 para calcular Ma1, n y después se usan las tablas para el choque normal (o sus ecuaciones correspondientes) para obtener Ma2, n. Si se conociera también el ángulo de deflexión u, podría calcularse Ma2 de la segunda parte de la ecuación 12-44. Pero en una aplicación típica, se conoce b o u, pero no ambos ángulos. Por fortuna, un poco más de transformaciones algebraicas proporcionan una relación entre u, b y Ma1. Se comienzan las transformaciones al observar que tan b  V1, n/V1, t y tan(b  u)  V2, n/V2, t (Fig. 12-36). Pero como V1, t  V2, t. Se combinan estas dos expresiones para obtener: V2, n V1, n



tan(b  u) 2  (k  1)Ma21, n 2  (k  1)Ma21 sen 2 b   tan b (k  1)Ma21 sen 2 b (k  1)Ma21, n

(12-45)

donde se utilizó también la ecuación 12-44 y las cuatro ecuaciones de la figura 12-37. Se aplican identidades trigonométricas para cos 2b y tan(b  u), por precisar: cos 2b  cos2 b  sen 2 b

y

tan(b  u) 

FIGURA 12-36 Los mismos vectores de la figura 12-35, pero rotados en un ángulo p/2  b, de manera que el choque oblicuo es vertical. Los números de Mach normales Ma1, n, y Ma2, n también se presentan en la figura.

tan b  tan u 1  tan b tan u

Después de algunos pasos algebraicos, la ecuación 12-45 se reduce a: La relación u-b-Ma:

tan u 

2 cot b(Ma21 sen 2 b  1) Ma21(k  cos 2b)  2

(12-46)

La ecuación 12-46 proporciona el ángulo de deflexión u como función unívoca del ángulo de onda de choque b, la razón de calores específicos k y el número de Mach corriente arriba Ma1. Para el aire (k  1.4), se grafica u contra b para varios valores de Ma1 en la figura 12-38. Llama la atención que esta gráfica se presenta con frecuencia con ejes intercambiados (b contra u) en libros de texto dedicados a flujos compresibles, puesto que, desde el punto de vista de física del proceso, el ángulo de onda b se determina por el ángulo de deflexión u. Puede aprenderse mucho si se estudia la figura 12-38. A continuación se enlistan algunas observaciones: • En la figura 12-38 se muestra el rango completo de ondas de choque posibles para determinado número de Mach de flujo libre, desde el más débil hasta el más fuerte. Para cualquier valor del número de Mach Ma1 mayor que 1, el rango de posibles valores de u y b empieza en u  0° correspondiente a algún valor de b entre 0 y 90°, logra un valor máximo u  umáx correspondiente a un valor intermedio de b, y después regresa a u  0° para b  90°. Los choques oblicuos en línea recta para b o u fuera de este rango no pueden existir. En Ma1  1.5, por ejemplo, los choques oblicuos en línea recta no pueden existir en aire con ángulo de choque b menor que aproximadamente 42°, o con un ángulo de deflexión u mayor que aproximadamente 12°. Si el semiángulo de la cuña es mayor que umáx, la onda de choque se curva y separa de la punta de cuña para formar lo que se llama onda de choque separada u onda de proa (Fig. 12-39). El ángulo de onda b de la onda de choque separada es de 90° en la región alrededor de la punta de la cuña, pero b disminuye a medida de que la onda de choque separada se curva en la

FIGURA 12-37 Relaciones de las propiedades a través de un choque oblicuo de un gas ideal en función de la componente normal del número de Mach corriente arriba Ma1, n.

664 FLUJO COMPRESIBLE

FIGURA 12-38 Dependencia del ángulo de deflexión u del ángulo de choque b en un choque oblicuo recto para varios valores del número de Mach corriente arriba Ma1. Los cálculos están realizados para un gas ideal con k  1.4. La línea punteada negra conecta los puntos de máximo ángulo de deflexión (u = umáx). Los choques oblicuos débiles están a la izquierda de esta línea, mientras que los choques oblicuos fuertes están a la derecha de esta línea. La línea punteada gris conecta puntos en donde el número de Mach corriente abajo es sónico (Ma2  1). El flujo supersónico corriente abajo (Ma2  1) está a la izquierda de esta línea, mientras que el flujo subsónico corriente abajo (Ma2  1) está a la derecha de esta línea.

•

•

•

• FIGURA 12-39 Una onda de choque oblicua separada ocurre corriente arriba de una cuña bidimensional de semiángulo d cuando d es mayor que el máximo ángulo posible de deflexión u. Un choque de esta clase se llama onda de proa, debido a la semejanza con la ola de agua que se forma en la proa de un barco.

•

dirección corriente abajo. Para el análisis, las ondas de choque separadas son mucho más complicadas que las ondas de choque oblicuas rectas. De hecho, no existen soluciones simples, y la predicción de ondas de choque separadas implica métodos computacionales (Cap. 15). Un comportamiento similar de los choques oblicuos se observa en el flujo axisimétrico alrededor de los conos, como en la figura 12-40, aunque la relación u-b-Ma para flujos axisimétricos difiere de aquella de la ecuación 12-46. Cuando un flujo supersónico incide en un cuerpo romo (sin punta afilada), el semiángulo d de la punta es de 90°, y no puede existir un choque oblicuo no separado de la superficie del cuerpo, cualquiera que sea el número de Mach. De hecho, una onda de choque separada ocurre enfrente de todos semejantes cuerpos romos sin nariz (punta) aguda, sin importar si son bidimensionales, axisimétricos, o totalmente tridimensionales. Por ejemplo, una onda de choque separada enfrente del modelo de transbordador espacial se muestra en la figura 12-33 y enfrente de una esfera, en la figura 12-41. Mientras que u es la función unívoca de Ma1 y b para un valor dado de k, hay dos posibles valores de b para u  umáx. La línea negra punteada en la figura 12-38 pasa por los puntos correspondientes a valores de umáx y divide el rango de las ondas de choque en la región de ondas de choque oblicuas débiles (correspondientes al menor valor de b) y la región de ondas de choque oblicuas fuertes (correspondientes al mayor valor de b). Para un valor dado de u, el choque débil es más común y es “preferido” por el flujo a menos que las condiciones de presión corriente abajo sean lo suficientemente drásticas para formar un choque fuerte. Para un número de Mach corriente arriba Ma1 dado, existe un único valor de u para el cual el número de Mach corriente abajo Ma2 es exactamente 1. La línea gris punteada en la figura 12-38 pasa por los puntos correspondientes a los valores de Ma2  1. A la izquierda de esta línea, Ma2  1, y a la derecha de esta línea Ma2  1. Las condiciones sónicas corriente abajo suceden en la gráfica en la región de las ondas débiles con valores de u muy cercanos a umáx. Por lo tanto, el flujo corriente abajo de un choque oblicuo fuerte es siempre subsónico (Ma2  1). El flujo corriente abajo de un choque oblicuo débil permanece supersónico, excepto para un rango estrecho de u justo por abajo de umáx, donde éste es subsónico, aunque se le llama choque oblicuo débil. Conforme el número de Mach corriente arriba se aproxima al infinito, los choques oblicuos en línea recta se hacen posibles para cualquier b entre 0 y 90°, pero el máximo ángulo de giro para k  1.4 (aire) es de umáx  45.6°, el cual ocurre a b  67.8°. Los choques oblicuos en línea recta con ángulos de

665 CAPÍTULO 12 a)

b)

c)

giro más grandes que el valor de umáx no son posibles, cualquiera que sea el número de Mach. • Para un valor dado del número de Mach corriente arriba, existen dos ángulos de choque para los cuales no ocurre el cambio de dirección de flujo (u  0°): el caso fuerte, b  90°, corresponde a un choque normal, y el caso débil, b  bmín, corresponde a la onda del choque oblicua más débil posible para este número de Mach dado; esta onda oblicua se llama onda de Mach. Las ondas de Mach las ocasionan, por ejemplo, irregularidades muy pequeñas en la superficie de las paredes de un túnel de viento supersónico (se muestran algunas en las figuras 12-33 y 12-40). Las ondas de Mach no tienen efecto alguno en el flujo porque el choque es despreciablemente débil. De hecho, en el caso límite, las ondas de Mach son isentrópicas. El ángulo de choque para las ondas de Mach es la función unívoca del número de Mach y está dado por el símbolo m. No debe confundirse éste con el coeficiente de viscosidad. El ángulo m se llama ángulo de Mach y se encuentra al igualar u a cero en la ecuación 12-46, resolverla para b  m y escoger la raíz más pequeña. Se tiene: Ángulo de Mach:

m  sen 1(1/Ma1)

FIGURA 12-40 Vistas fijas de la videografía de estriovideografía que ilustran la separación de una onda de choque oblicua, en aire a Mach 3, del cono debido al incremento de semiángulo d del cono. En caso de a) d  20° y b) d  40°, el choque oblicuo no se separa, pero para c) d  60°, el choque oblicuo se ha separado y forma una onda de proa. Fotografía de G. S. Settles, Penn State University. Reproducido con autorización.

(12-47)

Puesto que la razón de calores específicos aparece solamente en el denominador de la ecuación 12-46, m es independiente de k. Por lo tanto, puede estimarse el número de Mach de cualquier flujo supersónico simplemente con medir el ángulo de Mach y aplicar la ecuación 12-47.

Ondas de expansión de Prandtl-Meyer Ahora se analizan las situaciones en las cuales el flujo supersónico gira en dirección opuesta, tal como sucede en la parte superior de una cuña bidimensional que se encuentra a un ángulo de ataque mayor que su semiángulo d (Fig. 12-42). A este tipo de flujo se le conoce como flujo de expansión, mientras que un flujo que produce una onda oblicua puede llamarse flujo de compresión. Como ya se vio, el flujo cambia de dirección por la ley de conservación de masa. Sin embargo, a diferencia de un flujo de compresión, un flujo de expansión no se obtiene debido a una onda de choque. Por el contrario, aparece una región de expansión continua llamada abanico de expansión, formada por un número infinito de ondas de Mach llamadas ondas de expansión de Prandtl-Meyer. En otras palabras, el flujo no cambia su dirección repentinamente mediante un choque oblicuo, pero sí gradualmente: cada sucesiva onda de Mach gira el flujo en una cantidad infinitesimal. Puesto que cada onda de expansión individual es isentrópica, el flujo que atraviesa todo el abanico de expansión es también isentrópico. El número de Mach corriente abajo de la región de expansión aumenta (Ma2  Ma1), mientras que la presión, la densidad y la temperatura disminuyen, de la misma manera como esto ocurre en la parte supersónica (de expansión) de una tobera convergente-divergente.

FIGURA 12-41 Fotografía por sombras de una esfera de 12– in de diámetro en vuelo libre en el aire a Ma = 1.53. El flujo es subsónico atrás de aquella parte de la onda de proa que está delante de la esfera y sobre su superficie hasta casi 45°. Cerca de 90° la capa laminar límite se separa a través de un choque oblicuo y rápidamente se vuelve turbulenta. La estela fluctuante genera un sistema de disturbios débiles que emergen a la segunda onda de choque de “recompresión”. Fotografía de A. C. Charters, as found in Van Dyke, 1982.

666 FLUJO COMPRESIBLE Ondas de expansión

m1 Ma1  1

Ma2 m2

Choque oblicuo

FIGURA 12-42 Un abanico de expansión en la parte superior del flujo formado por una cuña bidimensional a un ángulo de ataque en un flujo supersónico. El flujo gira un ángulo u, y el número de Mach aumenta a través del abanico de expansión. Se indican los ángulos de Mach corriente arriba y corriente abajo del abanico de expansión. Se muestran para simplicidad solamente tres ondas de expansión, pero de hecho, existe un número infinito de ellas. (Un choque oblicuo se presenta en la parte inferior de este flujo.)

FIGURA 12-43 Un cilindro combinado con el cono de 12.5° de semiángulo en un flujo a número de Mach de 1.84. Las capas límite se vuelven turbulentas a una pequeña distancia corriente abajo de la nariz y generan ondas de Mach que son visibles en esta fotografía por sombras. Las ondas de expansión se ven en las esquinas traseras del cuerpo y en el borde posterior del cono. Fotografía de A. C. Charters, as found in Van Dyke, 1982.

El ángulo de inclinación de las ondas de expansión de Prandtl-Meyer es el ángulo de Mach local m, como se bosqueja en la figura 12-42. El ángulo de Mach de la primera onda de expansión se determina fácilmente como m1  sen1(1/Ma1). Similarmente, m2 sen1(1/Ma2), donde debe tenerse cuidado al medir el ángulo con respecto a la nueva dirección del flujo corriente abajo de la región de expansión, por precisar, a la dirección paralela a la superficie superior de la cuña de la figura 12-42 si se desprecia la influencia de la capa límite que se forma en la superficie. Pero, ¿cómo se determina Ma2? Resulta que el ángulo u de giro de flujo al atravesar el abanico de expansión puede calcularse mediante la integración, al utilizar las relaciones del flujo isentrópico. Para un gas ideal, el resultado es (Anderson, 2003): Ángulo de giro a través de un abanico de expansión:

u  n(Ma2)  n(Ma1)

(12-48)

donde n(Ma) es un ángulo llamado función de Prandtl-Meyer (no debe confundirse con la viscosidad cinemática): n(Ma) 

k  1 1 k1 tan a (Ma2  1)b  tan1 a 2Ma2  1b Bk  1 Bk  1

(12-49)

Observe que n(Ma) es un ángulo, y puede calcularse en grados o en radianes. Desde el punto de vista de la física, n(Ma) es el ángulo a través del cual el flujo debe expandirse, comenzando con n  0 a Ma  1 para alcanzar un número de Mach supersónico, Ma  1. Para encontrar Ma2 para valores conocidos de Ma1, k y u, se calcula n(Ma1) a partir de la ecuación 12-49, n(Ma2) a partir de la ecuación 12-48 y luego Ma2 de la ecuación 12-49, pero el último paso exige resolver la ecuación implícita con respecto a Ma2. Debido a que no hay transferencia de calor ni interacciones de trabajo, y que el flujo puede aproximarse como un flujo isentrópico en la región de expansión, T0 y P0 permanecen constantes, y se usan las relaciones del flujo isentrópico obtenidas previamente para calcular otras propiedades de flujo corriente abajo de la expansión, tales como T2, r2 y P2. Los abanicos de expansión de Prandtl-Meyer también ocurren en flujos supersónicos axialmente simétricos, por ejemplo, en las esquinas y el borde posterior del cuerpo formado al combinar un cono con un cilindro (Fig. 12-43). Interacciones extremadamente complejas y, para algunos de nosotros, muy bellas, que incluyen ambas ondas, de choque y de expansión, ocurren en el chorro supersónico producido por una tobera “sobreexpandida”, como en la figura 12-44. El análisis de estos flujos está fuera de los objetivos de este texto; los lectores interesados pueden consultar libros de texto sobre flujos compresibles como Thompson (1972), Leipmann y Roshko (2001) y Anderson (2003).

667 CAPÍTULO 12

FIGURA 12-44 Las interacciones complejas entre las ondas de choque y las ondas de expansión en un chorro supersónico “sobreexpandido”. El flujo se visualiza mediante una interferograma diferencial semejante a una estriograma. Fotografía de H. Oertel sen. Reproducido por cortesía de The French-German Research Institute of Saint-Louis, ISL. Reproducido con autorización.

EJEMPLO 12-9

Estimación del número de Mach a partir de las líneas de Mach

Estime el número de Mach de flujo libre corriente arriba del transbordador espacial de la figura 12-33; parta solamente de la figura. Compare con el valor del número de Mach proporcionado en el texto que acompaña la figura.

SOLUCIÓN Se estimará el número de Mach de una figura y se comparará con el valor conocido. Análisis Con transportador se mide el ángulo de las líneas de Mach en el flujo libre: m  19°. El número de Mach se obtiene de la ecuación 12-47,

1 m  sen 1 a b Ma1

Ma1 

1 sen 19°

Ma1  3.07

Choque débil Ma1 bdébil d  10°

El número de Mach estimado coincide con el valor experimental 3.0 0.1. Discusión El resultado es independiente de las propiedades del fluido. a) Choque fuerte Ma1

EJEMPLO 12-10

Cálculo de onda de choque oblicua

Aire supersónico a Ma1  2.0 y 75.0 kPa incide en una cuña bidimensional de semiángulo d  10° (Fig. 12-45). Calcule los dos posibles ángulos de choque oblicuo bdébil y bfuerte, que podrían producirse por esta cuña. Para cada caso, calcule la presión y el número de Mach corriente abajo del choque oblicuo, compare y analice.

SOLUCIÓN Se calcularán el ángulo de choque, el número de Mach y la presión corriente abajo de los choques oblicuos débil y fuerte formados por una cuña bidimensional. Suposiciones 1 El flujo es estacionario. 2 La capa límite sobre la cuña es muy delgada. Propiedades El fluido es aire con k  1.4.

bfuerte d  10°

b)

FIGURA 12-45 Dos posibles ángulos de choque oblicuo, a) bdébil y b) bfuerte, provocado por una cuña bidimensional de semiángulo d  10°.

668 FLUJO COMPRESIBLE

Análisis Debido a la suposición 2, el ángulo de deflexión de la onda de choque oblicua es casi igual al semiángulo de la cuña, es decir, u  d  10°. A Ma1  2.0 y u  10°, se resuelve la ecuación 12-46 para los dos valores posibles del ángulo de choque oblicuo b: Bdébil  39.3° y Bfuerte  83.7°. A partir de estos valores se usa la primera parte de la ecuación 12-44 para calcular el número de Mach normal corriente arriba Ma1, n:

Choque débil:

Ma1, n  Ma1 sen b

Ma1, n  2.0 sen 39.3  1.267

Ma1, n  Ma1 sen b

Ma1, n  2.0 sen 83.7  1.988

y

Choque fuerte:

Se sustituyen estos valores de Ma1, n en la segunda ecuación de la figura 12-37 para calcular el número de Mach normal corriente abajo Ma2, n. Para el choque débil, Ma2, n  0.8032, y para el choque fuerte, Ma2, n  0.5794. También se calcula la presión corriente abajo para cada caso, usando la tercera ecuación de la figura 12-37, lo cual da como resultado:

Choque débil: P2 2k Ma21, n  k  1  P1 k1

P2  (75.0 kPa)

2(1.4)(1.267)2  1.4  1  128 kPa 1.4  1

P2  (75.0 kPa)

2(1.4)(1.988)2  1.4  1  333 kPa 1.4  1

y

Choque fuerte: P2 2k Ma21, n  k  1  P1 k1

Para finalizar, se usa la segunda parte de la ecuación 12-44 para calcular el número de Mach corriente abajo:

Choque débil:

Ma2 

Ma2, n sen( b  u)



0.8032  1.64 sen(39.3  10 )

y

Choque fuerte:

Ma2 

Ma2, n sen (b  u)



0.5794  0.604 sen(83.7  10 )

Los cambios en el número de Mach y la presión a través del choque fuerte son mayores que los cambios a través del choque débil, como se esperaba. Discusión Puesto que la ecuación 12-46 es implícita con respecto a b, se resuelve mediante algún método numérico que incluye varias iteraciones o con un paquete computacional de resolución de ecuaciones, tal como EES. Para ambos choques oblicuos, débil y fuerte, Ma1, n es supersónico y Ma2, n es subsónico. Sin embargo, Ma2 es supersónico en caso del choque débil, pero subsónico en caso del choque fuerte. También pueden utilizarse las tablas de choque normal en lugar de las ecuaciones, pero se pierde precisión. Ma1  2.0 Ma2 d  10°

FIGURA 12-46 Abanico de expansión ocasionado por una inclinación repentina de una superficie plana a un ángulo d  10°.

EJEMPLO 12-11

Cálculo de la onda de expansión de Prandtl-Meyer

Un flujo de aire supersónico a Ma1  2.0 y 230 kPa fluye paralelo a una superficie plana que abruptamente se inclina hacia abajo en un ángulo de d  10° (Fig. 12-46). Se desprecia cualquier efecto causado por la capa límite formada en la superficie, se calcula el número de Mach Ma2 y la presión P2 corriente abajo.

669 CAPÍTULO 12

SOLUCIÓN Se calcula el número de Mach y la presión corriente abajo de una región de expansión repentina en la superficie. Suposiciones 1 El flujo es estacionario. 2 La capa límite en la superficie es muy delgada. Propiedades El aire es un fluido con k  1.4. Análisis Debido a la suposición 2, el ángulo de deflexión total del flujo es casi igual al ángulo de inclinación de la superficie, es decir, u  d  10°. Con Ma1  2.0 se resuelve la ecuación 12-49 para la función de Prandtl-Meyer corriente arriba:

n(Ma)  

k1 k  1 1 tan a (Ma2  1)b  tan1 a 2Ma2  1b Bk  1 Bk  1

1.41 1 1.41 tan a (2.0 2 1)b  tan1 a22.0 2 1b  26.38° B 1.41 B 1.41

A continuación, se usa la ecuación 12-48 para calcular la función de PrandtlMeyer corriente abajo:

u  n(Ma2)  n(Ma1) → n(Ma2)  u  n(Ma1)  10  26.38  36.38 Ma2 se encuentra al resolver la ecuación 12-49, la cual está implícita. Un paquete de resolución de ecuaciones es de gran ayuda. Se obtiene Ma2  2.38. Existen también en Internet las calculadoras de flujo compresible, que resuelven las ecuaciones implícitas de este tipo y las ecuaciones para ambas ondas de choque, oblicuas y normales; por ejemplo, www.aoe.vt.edu/~devenpor/aoe3114/ calc.html Al usar las relaciones isentrópicas para calcular la presión corriente abajo, se obtiene: k/(k  1) k1 bMa22d P2/P0 2 P2  P1  (230 kPa)  126 kPa k/(k  1) P1/P0 k1 2 c1  a bMa1d 2

c1  a

Debido a que ésta es una onda de expansión, el número de Mach aumenta y la presión disminuye, como se esperaba. Discusión También podría encontrarse temperatura, densidad, etc., corriente abajo si se emplean las relaciones isentrópicas apropiadas.

12-5

■

FLUJO EN DUCTO CON TRANSFERENCIA DE CALOR EN CASO DE FRICCIÓN DESPRECIABLE (FLUJO DE RAYLEIGH)

Hasta ahora se han limitado las consideraciones principalmente a flujos isentrópicos, también llamados flujos reversibles adiabáticos, ya que no implican transferencia de calor ni irreversibilidades como fricción. Numerosos problemas de flujo compresible que se encuentran en la práctica incluyen reacciones químicas como combustión, reacciones nucleares, evaporación y condensación, así como aumento de calor o pérdida de éste a través de las paredes del ducto. Estos problemas son difíciles de analizar con exactitud, ya que implican cambios importantes en la composición química durante el flujo, y la conversión de las energías latente, química y nuclear en energía térmica (Fig. 12-47). Las características esenciales de estos flujos complejos pueden capturarse, sin embargo, por un análisis muy simple al modelar la generación o la absorción de la energía térmica y la transferencia de calor a través de las paredes del ducto a

Toberas de combustible o barras de aspersión

Entrada de aire

Estabilizador de flama

FIGURA 12-47 Numerosos problemas prácticos de flujo compresible implican combustión que puede modelarse como la transferencia de calor al flujo de fluido a través de las paredes del ducto.

670 FLUJO COMPRESIBLE

.

Q P1, T 1, r 1

P2 , T 2 , r 2

V1

V2

Volumen de control

FIGURA 12-48 Volumen de control para el flujo en un ducto de área constante con transferencia de calor en caso de fricción despreciable.

la misma razón y al despreciar cualquier cambio en la composición química. Este problema simplificado es, no obstante, demasiado complicado para un tratamiento elemental del tema, ya que el flujo puede incluir fricción, variación en el área del ducto y efectos multidimensionales. Esta sección se limita a considerar el flujo unidimensional en un ducto con área de sección transversal constante y con efectos de fricción despreciables. Considere el flujo unidimensional estacionario de un gas ideal con calores específicos constantes en un ducto de área constante con transferencia de calor, pero con fricción despreciable. Estos flujos se conocen como flujos de Rayleigh en honor a Lord Rayleigh (1842-1919). Las ecuaciones de conservación de masa, cantidad de movimiento y energía para el volumen de control que se muestra en la figura 12-48 pueden escribirse de la siguiente manera: Ecuación de continuidad Al observar que el área de la sección transversal . . A del ducto es constante, la relación m1  m2 o r1A1V1  r2 A2V2 se reduce a: r 1V1  r 2V2

(12-50)

Ecuación de cantidad de movimiento en x Al notar que los efectos de la fricción son despreciables y por lo tanto no hay fuerzas de corte, y al considerar que no hay fuerzas externas o de cuerpo, la ecuación de cantidad # # de movimiento en la dirección del flujo a F  a bm V  a bmV sal

ent

(en la dirección x) se convierte en un balance entre las fuerzas de presión estática y la transferencia de cantidad de movimiento. Note que los flujos están a altas velocidades y son turbulentos, por esta razón el factor de corrección del flujo de cantidad de movimiento es aproximadamente 1 (b  1), razón por la cual no se considera. Entonces: # # P1A 1  P2A 2  mV2  mV1 → P1  P2  (r 2V2)V2  (r 1V1)V1

o P1  r 1V 21  P2  r 2V 22

(12-51)

Ecuación de la energía El volumen de control no incluye fuerzas de corte, trabajo de flecha o algunos otros tipos de trabajo, y el cambio de la. energía potencial es despreciable. Si la razón de transferencia.de calor es Q y el ca. lor transferido por unidad de masa del fluido. es q . Q/m, la ecuación de balance de la energía de flujo estacionario E ent  E sal es: # V 21 V 22 # # Q  m ah1  b  m ah2  b 2 2

→

q  h1 

V 21 V 22  h2  2 2

(12-52)

Para un gas ideal con calores específicos constantes, h  cp T y así: q  cp(T2  T1) 

V 22  V 21 2

(12-53)

o q  h02  h01  cp(T02  T01)

(12-54)

Por lo tanto, la entalpía de estancamiento h0 y la temperatura de estancamiento T0 cambian en el flujo de Rayleigh (ambas aumentan cuando se transfiere calor al fluido y q es positivo, y ambas disminuyen cuando el calor se transfiere del fluido, por lo tanto, q es negativo). Cambio de entropía En ausencia de cualquier irreversibilidad tal como la fricción, la entropía de un sistema cambia solamente debido a la transferencia de calor: ésta aumenta con el suministro de calor y disminuye con la

671 CAPÍTULO 12

pérdida de calor. La entropía es una propiedad y por lo tanto una función de estado; el cambio de entropía de un gas ideal con calores específicos constantes al pasar del estado 1 al estado 2 está dado por: s2  s1  cp ln

T2 P2  R ln T1 P1

(12-55)

La entropía del fluido puede aumentar o disminuir en el flujo de Rayleigh, esto depende de la dirección de la transferencia del calor. Ecuación de estado Note que P  rRT, las propiedades P, r y T del gas ideal en los estados 1 y 2 están relacionadas entre sí por: P1 P2  r 1T1 r 2T2

(12-56)

Considere un gas con propiedades conocidas R, k y cp. Para un estado de entrada 1, las propiedades de entrada P1, T1, r1 V1 y s1 se conocen. Las cinco propiedades de salida P2, T2, r2, V2 y s2 pueden determinarse a partir de las ecuaciones 12-50, 12-51, 12-53, 12-55 y 12-56 para cualquier valor especificado del calor transferido q. Cuando la velocidad y la temperatura se conocen, el número de Mach puede determinarse a partir de Ma  V/c  V/ 1kRT . Obviamente hay un número infinito de posibles estados 2 corriente abajo correspondientes al estado dado corriente arriba 1. Una manera práctica de determinar estos estados corriente abajo es considerar varios valores de T2 y calcular todas las otras propiedades así como el calor transferido q para cada T2 a partir de las ecuaciones 12-50 a la 12-56. Se grafican los resultados en un diagrama T-s que da una curva que pasa por el estado específico de entrada, como se muestra en la figura 12-49. La gráfica del flujo de Rayleigh en un diagrama T-s se llama línea de Rayleigh. Pueden hacerse varias observaciones importantes a partir de esta gráfica y de los resultados de los cálculos: 1. Todos los estados que satisfacen las ecuaciones de conservación de masa, cantidad de movimiento y energía así como las relaciones entre las propiedades pertenecen a la línea de Rayleigh. Por lo tanto, para un estado inicial dado, el fluido no puede existir en algún estado corriente abajo que esté fuera de la línea de Rayleigh en un diagrama T-s. De hecho, la línea de Rayleigh es el lugar de todos los estados corriente abajo posibles físicamente que corresponden al estado inicial. 2. La entropía aumenta con el suministro de calor al fluido, y así el estado se desplaza a la derecha a lo largo de la línea de Rayleigh mientras que se transfiere calor al fluido. El número de Mach es Ma  1 en el punto a, el cual es el punto de máxima entropía (vea el ejemplo 12-12 para comprobarlo). Los estados sobre la rama superior de la línea de Rayleigh por arriba del punto a son subsónicos, y los estados sobre la rama inferior por abajo del punto a, supersónicos. Un proceso en la dirección a la derecha sobre la línea de Rayleigh corresponde a la adición de calor, y a la izquierda, al rechazo, cualquiera que sea el valor inicial del número de Mach. 3. El calentamiento aumenta el número de Mach para flujos subsónicos, pero lo disminuye para flujos supersónicos. Durante el calentamiento, el número de Mach de flujo se aproxima a Ma  1 en ambos casos (desde 0 en flujo subsónico y desde  en flujo supersónico). 4. Es evidente que a partir del balance de energía q  cp (T02  T01) el calentamiento aumenta la temperatura de estancamiento T0 para ambos flujos, subsónico y supersónico, y el enfriamiento la disminuye. (El valor máximo de T0 ocurre a Ma  1.) Esto es también el caso para la temperatura estática T, excepto para el estrecho rango de número de Mach 1/ 1k  Ma  1 en flujo subsónico (vea el ejemplo 12-12). Ambos,

T

Mab = 1/ k

Tmáx

b

Ma < 1 Enfriamiento (Ma S 0) Calefacción (Ma S 1) Ma > 1 Calefacción (Ma S 1)

a Maa = 1

smáx

Enfriamiento (Ma S ) s

FIGURA 12-49 Diagrama T-s para el flujo en un ducto de área constante con transferencia de calor en caso de fricción despreciable (flujo de Rayleigh).

672 FLUJO COMPRESIBLE Calentamiento

T1

Flujo subsónico

T01

T2  T 1 o T2  T 1 T02  T 01

Calentamiento

T1

Flujo supersónico

T01

T2  T 1 T02  T 01

FIGURA 12-50 En proceso de calentamiento, la temperatura del flujo siempre aumenta si el flujo de Rayleigh es supersónico, pero la temperatura puede realmente disminuir si el flujo es subsónico.

temperatura y número de Mach aumentan con el calentamiento en flujos subsónicos, pero T alcanza un máximo Tmáx a Ma  1/ 1k (la cual es 0.845 para el aire), entonces disminuye. Puede parecer sorprendente que la temperatura del fluido disminuya mientras que se le transfiere calor. Pero no es más sorprendente que el incremento de la velocidad en la parte divergente de una tobera convergente-divergente. El efecto del enfriamiento en esta región lo ocasiona el gran aumento en la velocidad del fluido, y la temperatura decae de acuerdo con la relación T0  T  V 2/2cp. Observe también que el calor rechazado en la región 1/ 1k  Ma  1 causa el incremento en la temperatura del fluido (Fig. 12-50). 5. La ecuación de cantidad de movimiento P KV  constante, donde K rV  constante (a partir de la ecuación de continuidad) revela que la velocidad y la presión estática tienen tendencias opuestas. Por lo tanto, la presión estática disminuye con el aumento de calor en flujos subsónicos (porque la velocidad y el número de Mach aumentan), pero aumenta con el incremento de calor en flujos supersónicos (porque la velocidad y el número de Mach disminuyen). 6. La ecuación de continuidad rV  constante indica que la densidad y la velocidad son inversamente proporcionales. Por lo tanto, la densidad disminuye con el calor transferido al fluido en un flujo subsónico (ya que la velocidad y el número de Mach aumentan), pero aumenta con el calor recibido en un flujo supersónico (porque la velocidad y el número de Mach disminuyen). 7. En la mitad izquierda de la figura 12-49, la rama inferior de la línea de Rayleigh está más pronunciada que la rama superior (en términos de s en función de T), lo cual indica que el cambio de entropía correspondiente a un cambio de temperatura especificado (y así, a la cantidad de calor dada) es mayor en un flujo supersónico. Los efectos del calentamiento y del enfriamiento en las propiedades del flujo de Rayleigh se enlistan en la tabla 12-3. Observe que el calentamiento y el enfriamiento tienen efectos opuestos en la mayoría de las propiedades. También observe que la presión de estancamiento disminuye durante el calentamiento y aumenta durante el enfriamiento sin importar que el flujo sea subsónico o supersónico.

TABLA 12-3 Efectos de calentamiento y enfriamiento en las propiedades de flujo de Rayleigh

Calentamiento

Enfriamiento

Propiedad

Subsónico

Supersónico

Subsónico

Supersónico

Velocidad, V Número de Mach, Ma Temperatura de estancamiento, T0 Temperatura, T

Aumenta Aumenta

Disminuye Disminuye

Disminuye Disminuye

Aumenta Aumenta

Aumenta Aumenta para Ma  1/k1/2 Disminuye para Ma  1/k1/2 Disminuye

Aumenta Aumenta

Disminuye Disminuye

Aumenta

Disminuye Disminuye para Ma  1/k1/2 Aumenta para Ma  1/k1/2 Aumenta

Disminuye

Disminuye Disminuye Aumenta

Disminuye Aumenta Aumenta

Aumenta Aumenta Disminuye

Aumenta Disminuye Disminuye

Densidad, r Presión de estancamiento, P0 Presión, P Entropía, s

673 CAPÍTULO 12

EJEMPLO 12-12

Extremos en la línea de Rayleigh

Considérese el diagrama T-s del flujo de Rayleigh, como se muestra en la figura 12-51. Con el empleo de las formas diferenciales de las ecuaciones de conservación y las relaciones entre las propiedades, demuestre que el número de Mach en el punto de máxima entropía (punto a) es Maa  1, y que Mab  1/ 1k en el punto de máxima temperatura (punto b).

SOLUCIÓN Se debe demostrar que Maa  1 en el punto de máxima entropía y que Mab  1/ 1k en el punto de máxima temperatura en la línea de Rayleigh. Suposición Las consideraciones relacionadas con el flujo de Rayleigh son válidas (es decir, el flujo es estacionario, unidimensional, de un gas con propiedades constantes, en un ducto del área de sección transversal constante y con efectos de fricción despreciables). Análisis Las formas diferenciales de las ecuaciones de continuidad (rV  constante), cantidad de movimiento [P  (rV )V  constante], gas ideal (P  rRT ) y cambio de entalpía (h  cp T ) pueden expresarse como: rV  constante P  (rV)V  constante P  rRT

→

dr dV  r V

r dV  V dr  0

dP  rV dV

dP  (rV) dV  0

dP  rR dT  RT dr

→

dP dT dr   r P T

(1)

(2)

(3)

La forma diferencial de la relación del cambio de entropía (Ec. 12-40) de un gas ideal con calores específicos constantes es:

ds  cp

dT dP  R T P

(4)

Se sustituye la ecuación 3 en la ecuación 4, y se tiene:

ds  cp

dr dr R dT dT dT dr dT   R a  b  (cp  R) R R r r r T T T k1 T

(5)

ya que:

cp  R  cv → kcv  R  cv → cv  R/(k  1) Se dividen ambos lados de la ecuación 5 por dT y se combina con la ecuación 1:

R R dV ds   dT T(k  1) V dT

(6)

Se divide la ecuación 3 entre dV y se combina con las ecuaciones 1 y 2 dadas, y se reordenan los términos:

dT T V   dV V R

(7)

Se sustituye la ecuación 7 en la ecuación 6 y se reordena:

R(kRT  V 2) ds R R    dT T(k  1) T  V 2/R T(k  1)(RT  V 2)

(8)

Al poner ds/dT  0 y resolver la ecuación resultante R(kRT  V 2)  0 con respecto a la velocidad V, se obtiene la velocidad en el punto a:

Va  2kRTa

y

Maa 

Va 2kRTa  1 ca 2kRT a

(9)

FIGURA 12-51 Diagrama T-s del flujo de Rayleigh considerado en el ejemplo 12-12.

674 FLUJO COMPRESIBLE

Por lo tanto, existen condiciones sónicas en el punto a, y así el número de Mach es 1. Se pone dT/ds  (ds/dT)1  0 y cuando se resuelve la ecuación resultante T(k  1) (RT  V 2)  0 se encuentra la velocidad en el punto b:

Vb 2RTb 1 (10)   cb 2kRT 2k b Por lo tanto, el número de Mach en el punto b es Mab  1/ 1k . Para el aire k  Vb  2RTb

Mab 

y

1.4 y así Mab  0.845. Discusión Observe que en el flujo de Rayleigh se alcanzan las condiciones sónicas al valor máximo de entropía, pero la temperatura máxima ocurre en el flujo subsónico.

EJEMPLO 12-13

Efecto de la transferencia de calor en la velocidad del flujo

Inicie con la forma diferencial de la ecuación de la energía y demuestre que la velocidad del flujo aumenta con la adición de calor en un flujo subsónico de Rayleigh, pero disminuye en un flujo supersónico de Rayleigh.

SOLUCIÓN Debe demostrarse que la velocidad del flujo aumenta con la adición de calor en flujo subsónico de Rayleigh y que ocurre lo contrario en flujo supersónico. Suposiciones 1 Las suposiciones relacionadas con el flujo de Rayleigh son válidas. 2 No hay interacciones de trabajo y los cambios en la energía potencial son despreciables. Análisis Considere la transferencia de calor al fluido en una cantidad diferencial dq. La forma diferencial de la ecuación de la energía puede expresarse como: dq  dh0  dah 

V2 b  cp dT  V dV 2

(1)

Se divide entre cpT, se factoriza dV/V y se tiene:

dq dT V dV dV V dT (k  1)V 2    a  b cpT T cpT V dV T kRT

(2)

donde también se ha usado cp  kR/(k  1). Observe que Ma2  V 2/c2  V 2/kRT y con la ecuación 7 para dT/dV del ejemplo 12-12 se obtiene dq

V1

Flujo subsónico

V2  V 1

Flujo supersónico

V2  V 1

FIGURA 12-52 El proceso de calentamiento aumenta la velocidad en un flujo subsónico, pero la disminuye en un flujo supersónico.

(3)

Se cancelan los dos términos de en medio en la ecuación 3 ya que V 2/TR  k Ma2 se efectúan algunos arreglos y se obtiene la relación deseada:

dV dq 1  V cpT (1  Ma2)

dq

V1

dq dV V T V dV V2  a a  b  (k  1)Ma2b  a1   k Ma2  Ma2b cpT V T V R V TR

(4)

En el flujo subsónico, 1  Ma2  0 y así el calor transferido y el cambio en la velocidad tienen el mismo signo. Como resultado, el calentamiento del fluido (dq  0) aumenta la velocidad del flujo mientras que el enfriamiento disminuye. En el flujo supersónico, sin embargo, 1 – Ma2  0 y el calor transferido y el cambio de velocidad tienen signos opuestos. Como resultado, el calentamiento del fluido (dq  0) disminuye la velocidad del flujo mientras que el enfriamiento aumenta (Fig. 12-52). Discusión Observe que calentar el fluido tiene el efecto opuesto sobre la velocidad del flujo en los flujos de Rayleigh subsónicos y supersónicos.

675 CAPÍTULO 12

Relaciones entre las propiedades para el flujo de Rayleigh

T0 T0*

Frecuentemente se desea expresar las variaciones de propiedades en términos del número de Mach Ma. Observe que Ma  V/c  V/ 1kRT y así V  Ma 1kRT , rV 2  rkRTMa2  kPMa2

(12-57)

ya que P  rRT. Al sustituir en la ecuación de cantidad de movimiento (Ec. 12-51) se tiene que P1  kP1Ma21  P2  kP2Ma22, lo cual puede reordenarse como: P2 1  kMa21  P1 1  kMa22

r 1 V2 Ma2 2kRT2 Ma2 2T2    r 2 V1 Ma 2kRT Ma 2T 1

1

(12-59)

1

Entonces la relación del gas ideal (Ec. 12-56) se convierte en: T2 P2 r 1 1  kMa21 Ma2 2T2  a ba b T1 P1 r 2 1  kMa22 Ma1 2T1

(12-60)

Cuando se resuelve la ecuación 12-60 para el cociente de temperaturas T2/T1 se tiene: T2 Ma2(1  kMa21) 2 a b T1 Ma1(1  kMa22)

(12-61)

Cuando se sustituye esta relación en la ecuación 12-59, se obtiene la relación para las razones de densidad o de velocidad: r 2 V1 Ma21(1  kMa22)   r 1 V2 Ma22(1  kMa21)

(12-62)

Las propiedades de flujo en condiciones sónicas son, usualmente, fáciles de determinar y, por lo tanto, el estado crítico correspondiente a Ma  1 sirve para el flujo compresible como un conveniente punto de referencia. Al tomar el estado 2 como sónico (Ma2  1 y usar * como superíndice) y el estado 1 como cualquier estado (sin superíndice), las relaciones de las propiedades en las ecuaciones 12-58, 12-61 y 12-62, se reducen a (Fig. 12-53): P 1k  P* 1  kMa2

Ma(1  k) 2 T a b T* 1  kMa2

y

(k  1)Ma2[2  (k  1)Ma2] (1  kMa2)2

P0 (k  1)Ma2 k/(k  1) k  1 2  a  b 2 * P0 k1 1  kMa Ma(1  k) 2 T a b T* 1  kMa2 P 1k  P* 1  kMa2 V * (1  k)Ma2  V*  1  kMa2

(12-58)

Al utilizar nuevamente V  Ma 1kRT , la ecuación de continuidad r1V1  r2V2 puede expresarse como:

1



r* (1  k)Ma2 V   r V* 1  kMa2

(12-63)

Pueden obtenerse relaciones similares para la temperatura de estancamiento y la presión de estancamiento adimensionales: T0 T0 T T* Ma(1  k) 2 k1 k  1 1 2   a1  Ma b a b a1  b 2 T*0 T T* T0* 2 2 1  kMa

(12-64)

las cuales se simplifican en: (k  1)Ma232  (k  1)Ma24 T0  T0* (1  kMa2)2

(12-65)

FIGURA 12-53 Resumen de las relaciones del flujo de Rayleigh.

676 FLUJO COMPRESIBLE

También: k/(k1) P0 P0 P P* k1 1k k  1 k/(k1) 2 Ma b   a1  b a b a1  2 P*0 P P* P*0 2 2 1  kMa

(12-66)

las cuales se simplifican en: P0 2  (k  1)Ma2 k/(k  1) k1  a b 2 P*0 1  kMa k1

(12-67)

Las relaciones de las ecuaciones 12-63, 12-65 y 12-67 permiten calcular: presión, temperatura, densidad, velocidad, temperatura de estancamiento y presión de estancamiento, adimensionalmente, para el flujo de Rayleigh de un gas ideal con el valor de k especificado, para cualquier número de Mach dado. Los resultados representativos están dados en forma tabular y de gráfica en la tabla A-15 para k  1.4.

Flujo de Rayleigh bloqueado

FIGURA 12-54 Para un estado de entrada dado, la transferencia de calor máxima posible ocurre cuando las condiciones sónicas se alcanzan a la salida.

Es evidente desde los comentarios anteriores que el flujo subsónico de Rayleigh en un ducto puede acelerarse mediante calentamiento hasta la velocidad sónica (Ma  1). ¿Qué ocurre si el fluido continúa calentándose? ¿Continuará el fluido acelerándose a velocidades supersónicas? Un examen de la línea de Rayleigh indica que el fluido en el estado crítico Ma  1, no puede acelerarse a velocidades supersónicas mediante calentamiento. Por lo tanto, el fluido está bloqueado o estrangulado. Esto es análogo a la imposibilidad de acelerar un fluido a velocidades supersónicas en una tobera convergente simplemente al extender la sección convergente. Si se continúa calentando el fluido, simplemente se moverá el estado crítico más adelante corriente abajo y se reducirá la razón de flujo, ya que la densidad del fluido en el estado crítico ahora será más pequeña. Por lo tanto, para un estado de entrada dada, el estado crítico correspondiente fija la transferencia de calor máximo posible para un flujo estacionario (Fig. 12-54). Esto es: qmáx  h*0  h01  cp(T *0  T01)

(12-68)

El calor adicional transferido ocasiona el fenómeno de bloqueo y por lo tanto un cambio en el estado de entrada (la velocidad de entrada disminuye), y el flujo ya no sigue sobre la misma línea de Rayleigh. Cuando se enfría el flujo de Rayleigh subsónico, se reduce su velocidad y el número de Mach se aproxima a cero mientras que la temperatura se aproxima al cero absoluto. Observe que la temperatura de estancamiento T0 es máxima en el estado crítico Ma  1. En un flujo de Rayleigh supersónico, el calentamiento disminuye la velocidad del flujo. El calentamiento mayor del máximo posible simplemente aumenta la temperatura y mueve el estado crítico corriente abajo, lo cual resulta en una reducción del flujo másico del fluido. Puede parecer que es posible enfriar un flujo supersónico de Rayleigh tanto cuanto uno guste, pero resulta que hay un límite. Se toma el límite de la ecuación 12-65 cuando el número de Mach se aproxima al infinito: LímMa



T0 1 1 2 T *0 k

(12-69)

el cual produce T0/T*0  0.49 para k  1.4. Por lo tanto, si la temperatura crítica de estancamiento es 1 000 K, el aire no puede ser enfriado a menos de 490 K en un flujo de Rayleigh. Físicamente esto significa que la velocidad de flujo alcanza el infinito al mismo tiempo que la temperatura alcanza 490 K, lo cual es físicamente imposible. Cuando un flujo no puede permanecer supersónico, el flujo experimenta una onda de choque normal y se convierte en un flujo subsónico.

677 CAPÍTULO 12

EJEMPLO 12-14

Flujo de Rayleigh en un combustor tubular

Una cámara de combustión consiste de un combustor tubular de 15 cm de diámetro. Aire comprimido entra en los tubos a 550 K, 480 kPa y 80 m/s (Fig. 12-55). Combustible con un valor de poder calorífico de 42 000 kJ/kg se inyecta al aire y se quema a una razón de masas de aire y combustible de 40. Aproxime el proceso de combustión con la transferencia de calor al aire y determine la temperatura, presión, velocidad y número de Mach en la salida de la cámara de combustión.

SOLUCIÓN Se quema combustible en una cámara de combustión tubular con aire comprimido. Se determinarán temperatura, presión, velocidad y número de Mach en la salida. Suposiciones 1 Las suposiciones relacionadas con el flujo de Rayleigh son válidas (es decir, el flujo es estacionario, unidimensional, de un gas con propiedades constantes, en un ducto del área de sección transversal constante, con efectos de fricción insignificantes). 2 La combustión es completa y el proceso de combustión se sustituye por el proceso de adición de calor, sin considerar el cambio en la composición química del flujo. 3 El aumento en el flujo másico debido a la inyección del combustible es despreciable. Propiedades Se toman las propiedades del aire como k  1.4, cp  1.005 kJ/kg · K, y R  0.287 kJ/kg · K. Análisis La densidad a la entrada y la razón del flujo de masa del aire son:

r1 

P1 480 kPa   3.041 kg/m3 RT1 (0.287 kJ/kg  K)(550 K)

# maire  r 1A 1V1  (3.041 kg/m3) 3p(0.15 m)2/44(80 m/s)  4.299 kg/s La razón de flujo de masa de combustible y la razón de transferencia de calor son (la abreviación HV se debe a las palabras en inglés heat value, que significan poder calórico):

# maire 4.299 kg/s #   0.1075 kg/s mcomb  AF 40 # # Q  mcomb HV  (0.1075 kg/s)(42 000 kJ/kg)  4 514 kW # Q 4 514 kJ/s q #   1 050 kJ/kg maire 4.299 kg/s La temperatura de estancamiento y el número de Mach a la entrada son:

T01

c1

Ma1

T1

V 21 2cp

2kRT1 V1 c1

550 K

B

1 kJ/kg (80 m/s)2 a b 2(1.005 kJ/kg K) 1 000 m2/s2

(1.4)(0.287 kJ/kg K)(550 K)a

80 m/s 470.1 m/s

553.2 K

1 000 m2/s2 b 1 kJ/kg

470.1 m/s

0.1702

La temperatura de estancamiento a la salida, a partir de la ecuación de la energía q  cp(T02  T01), es:

T02  T01

q cp

553.2 K

1 050 kJ/kg 1.005 kJ/kg K

1 598 K

FIGURA 12-55 Esquema del combustor tubular que se analiza en el ejemplo 12-14.

678 FLUJO COMPRESIBLE

El valor máximo de la temperatura de estancamiento T *0 ocurre a Ma  1, y su valor puede determinarse de la tabla A-15 o a partir de la ecuación 12-65. Para Ma1  0.1702 se lee T0/T *0  0.1291. Por lo tanto,

T*0 

T01 553.2 K   4 284 K 0.1291 0.1291

La razón de las temperaturas de estancamiento a la salida y el número de Mach correspondiente, a partir de la tabla A-15, son:

T02 1 598 K   0.3730 T*0 4 284 K

Ma2  0.3142  0.314

Las funciones del flujo de Rayleigh correspondientes a los números de Mach en la salida y en la entrada son (Tabla A-15):

Ma1  0.1702:

T1  0.1541 T*

P1  2.3065 P*

V1  0.0668 V*

Ma2  0.3142:

T2  0.4389 T*

P2  2.1086 P*

V2  0.2082 V*

La temperatura, la presión y la velocidad a la salida son:

T2 T2/T* 0.4389    2.848 T1 T1/T* 0.1541 P2 P2/P* 2.1086    0.9142 P1 P1/P* 2.3065 V2 V2/V* 0.2082   3.117  V1 V1/V* 0.0668

T2  2.848T1  2.848(550 K)  1 570 K P2  0.9142P1  0.9142(480 kPa)  439 kPa V2  3.117V1  3.117(80 m/s)  249 m/s

Discusión Observe que, como se esperaba, la temperatura y la velocidad aumentan y la presión disminuye en este flujo de Rayleigh subsónico al calentarlo. Este problema también puede resolverse si se usan las relaciones apropiadas en vez de valores tabulados, las cuales pueden también introducirse en un paquete computacional para obtener las soluciones con computadora.

12-6

■

FLUJO ADIABÁTICO EN UN DUCTO CON FRICCIÓN (FLUJO DE FANNO)

La fricción en las superficies, asociada con el flujo a altas velocidades a través de dispositivos cortos con gran área de sección transversal, como toberas de gran tamaño, es frecuentemente despreciable, y el flujo a través de estos dispositivos puede aproximarse a uno libre de fricción. Pero la fricción en las superficies es importante y debe considerarse cuando se estudian largos tramos de flujo, como ductos largos, especialmente cuando el área de sección transversal es pequeña. En esta sección se considerarán flujos compresibles en ductos de área de sección transversal constante con fricción en las paredes importante, pero con insignificante transferencia de calor. Considere el flujo estacionario, adiabático y unidimensional de un gas ideal con calores específicos constantes en ducto de área de sección transversal constante con efectos de fricción importantes. Estos flujos se llaman flujos de

679 CAPÍTULO 12

Fanno. Las ecuaciones de conservación de la masa, de la cantidad de movimiento y de la energía para el volumen de control en la figura 12-56 pueden escribirse así: Ecuación de continuidad Observe que el área de la sección transversal A . . del ducto es constante (y por lo tanto A1  A2  Ac), la relación m1  m2 o r1A1V1  r2 A2V2 se reduce a: r 1V1  r 2V2

rV  constante

(12-70)

Ecuación de la cantidad de movimiento en x Se denota por Ffricción la fuerza ejercida por la superficie interior en el fluido y se considera que no existen otras fuerzas externas o del cuerpo. La ecuación de cantidad de # # movimiento a F  a bmV  a bmV en la dirección del fluido sal

ent

FIGURA 12-56 Volumen de control para un flujo adiabático en un ducto de área constante con fricción.

puede expresarse # # P1A  P2 A  Ffricción  mV2  mV1

P1  P2 

Ffricción A

 (r 2V2)V2  (r 1V1)V1

donde, aunque existe fricción en las paredes, y los perfiles de la velocidad no son uniformes, se aproxima el factor de corrección b de flujo de cantidad de movimiento como b  1 para simplicidad porque el flujo es turbulento. P1  r 1V 21  P2  r 2V 22 

Ffricción A

(12-71)

Ecuación de la energía El volumen de control no incluye la transferencia de calor e interacciones de trabajo y el cambio de la energía potencial es despreciable. .Entonces . la ecuación de balance de la energía para flujo estacionario E ent  E sal es: h1 

V 21 V 22  h2  2 2

h01  h02

h0  h 

V2  constante 2

(12-72)

Para un gas con calores específicos constantes, h  cp T y así: T1 

V 21 V 22  T2  2cp 2cp

T01  T02

T0  T 

V2  constante 2cp

(12-73)

Por lo tanto, la entalpía de estancamiento h0 y la temperatura de estancamiento T0 permanecen constantes en el flujo de Fanno. Cambio de entropía En ausencia de cualquier transferencia de calor, la entropía de un sistema cambia solamente debido a irreversibilidades como la fricción, cuyo efecto siempre aumenta la entropía. Por lo tanto, la entropía del fluido debe aumentar en el flujo de Fanno. El cambio de entropía en este caso equivale al aumento de entropía o generación de entropía, y para un gas ideal con calores específicos constantes se expresa como: s2  s1  cp ln

T2 P2  R ln  0 T1 P1

(12-74)

680 FLUJO COMPRESIBLE

Ecuación de estado Se observa que P  rRT, las propiedades P, r y T de un gas ideal en los estados 1 y 2 están interrelacionadas por: P1 P2  r 1T1 r 2T2

FIGURA 12-57 Diagrama T-s para un flujo adiabático con fricción en un ducto de área constante (flujo de Fanno). Los valores numéricos se dan para el aire con k = 1.4 a condiciones de entrada T1 = 500 K, P1 = 600 kPa, V1 = 80 m/s y un valor de s1 = 0 asignado.

FIGURA 12-58 La fricción ocasiona que el número de Mach aumente y la temperatura disminuya en un flujo de Fanno subsónico, pero sucede lo opuesto en un flujo de Fanno supersónico.

(12-75)

Considere un gas con propiedades conocidas R, k y cp que fluye en un ducto de área de sección transversal constante A. Para un estado de entrada 1 específico, las propiedades de entrada P1, T1, r1, V1 y s1 se conocen. Las cinco propiedades a las salidas P2, T2, r2, V2 y s2 pueden determinarse a partir de las ecuaciones de 12-70 a la 12-75 para cualquier valor especificado de la fuerza de fricción Ffricción. Cuando se conocen la velocidad y la temperatura, los números de Mach en la entrada y en la salida pueden determinarse a partir de la relación Ma  V/c  V/ 1kRT . Obviamente existe un número infinito de posibles estados 2 corriente abajo correspondientes al estado 1 dado corriente arriba. Una manera práctica de determinar estos estados corriente abajo es suponer varios valores de T2 y calcular, a partir de las ecuaciones de 12-70 a la 12-75, el resto de las propiedades y la fuerza de fricción para cada temperatura T2 supuesta. Se grafican los resultados en un diagrama T-s, y se tiene una curva que pasa a través del estado de entrada especificado, como se muestra en la figura 12-57. La gráfica del flujo de Fanno en un diagrama T-s se llama línea de Fanno. Pueden hacerse varias observaciones importantes a partir de esta gráfica y los resultados de los cálculos: 1. Todos los estados que satisfacen las ecuaciones de conservación de la masa, la cantidad de movimiento y la energía, así como las relaciones entre las propiedades, están sobre la línea de Fanno. Por lo tanto, para un estado de entrada dado, el fluido no puede existir en cualquier estado corriente abajo fuera de la línea de Fanno en el diagrama T-s. De hecho, la línea de Fanno es el lugar de todos los posibles estados corriente abajo correspondientes a un estado inicial. Observe que si no hubiera fricción, las propiedades del flujo permanecerían constantes en el ducto en el flujo de Fanno. 2. La fricción ocasiona un aumento en la entropía, y por lo tanto un proceso siempre sigue a la derecha de la línea de Fanno. En el punto de máxima entropía, el número de Mach es Ma  1. Todos los estados en la parte superior de la línea de Fanno son subsónicos y todos aquéllos en la parte inferior son supersónicos. 3. La fricción aumenta el número de Mach del flujo de Fanno subsónico, pero disminuye el número de Mach del flujo de Fanno supersónico. El número de Mach tiende hacia la unidad (Ma  1) en ambos casos. 4. El balance de energía exige que la temperatura de estancamiento T0  T  V 2/2cp permanezca constante en el flujo de Fanno. Pero la temperatura real puede cambiar. La velocidad aumenta y por lo tanto la temperatura disminuye en un flujo subsónico, pero ocurre lo opuesto en un flujo supersónico (Fig. 12-58). 5. La ecuación de continuidad rV  constante indica que la densidad y la velocidad son inversamente proporcionales. Por lo tanto, el efecto de la fricción es disminuir la densidad en un flujo subsónico (porque la velocidad y el número de Mach aumentan), pero aumenta la densidad en un flujo supersónico (porque la velocidad y el número de Mach disminuyen). Los efectos de la fricción en las propiedades del flujo de Fanno se muestran en la tabla 12-4. Observe que los efectos de fricción en gran parte de las propiedades en un flujo subsónico son opuestos a aquéllas en un flujo supersónico. Sin embargo, el efecto de la fricción es disminuir siempre la presión de estancamiento, sin importar si el flujo es subsónico o supersónico. La fricción no tiene

681 CAPÍTULO 12

TABLA 12-4 Efectos de fricción en las propiedades de flujo de Fanno Propiedad

Subsónico

Supersónico

Velocidad, V Número de Mach, Ma Temperatura de estancamiento, T0 Temperatura, T Densidad, r Presión de estancamiento, P0 Presión, P Entropía, s

Aumenta Aumenta Constante Disminuye Disminuye Disminuye Disminuye Aumenta

Disminuye Disminuye Constante Aumenta Aumenta Disminuye Aumenta Aumenta

efectos en la temperatura de estancamiento, porque la fricción simplemente origina la transformación de energía mecánica en una cantidad equivalente de energía térmica.

Relaciones entre las propiedades del flujo de Fanno En un flujo compresible es conveniente expresar la variación de las propiedades en términos del número de Mach, y el flujo de Fanno no es la excepción. Sin embargo, el flujo de Fanno implica la fuerza de fricción, la cual es proporcional al cuadrado de la velocidad cuando el factor de fricción es constante. Pero en flujos compresibles, la velocidad varía notablemente a través de éste y, por lo tanto, es necesario realizar un análisis diferencial para considerar la variación de la fuerza de fricción. Se comenzará por obtener las formas diferenciales de las ecuaciones de conservación y las relaciones entre las propiedades. Ecuación de continuidad La forma diferencial de la ecuación de continuidad se obtiene diferenciando la relación de continuidad rV  constante y mediante algunos arreglos: r dV  V dr  0

→

dr dV  r V

(12-76)

. . . Ecuación de la cantidad de movimiento en x Se observa que m1  m2  m  rAV y A1  A2  A, y al aplicar la ecuación de cantidad de movimiento # # a F  a bmV  a bmV al volumen de control diferencial de la sal

ent

figura 12-59, se obtiene: # # PA c  (P  dP)A  dFfricción  m (V  dV)  mV

donde nuevamente se aproxima el factor de corrección b del flujo de cantidad de movimiento como 1. Esta ecuación se simplifica a: dPA  dFfricción  rAV dV

o

dP 

dFfricción  rV dV  0 A

(12-77)

FIGURA 12-59 Volumen de control diferencial para un flujo adiabático en un ducto de área constante con fricción.

682 FLUJO COMPRESIBLE

La fuerza de fricción está relacionada con el esfuerzo cortante en las paredes tw y el factor de fricción local fx mediante la ecuación: fx f x A dx 4A dFfricción  tw dA s  tw p dx  a rV 2b dx  rV 2 8 Dh 2 Dh

(12-78)

donde dx es la longitud del tramo del flujo, p es el perímetro y Dh  4A/p es el diámetro hidráulico del ducto (observe que Dh se reduce al diámetro normal D para un ducto de sección transversal circular). Cuando se sustituye: dP 

rV 2 f x dx  rV dV  0 2D h

(12-79)

Notando que V  Ma 1kRT y P  rRT, se tiene que rV 2  rkRTMa2  kPMa2 y rV  kPMa2/V. Se sustituye en la ecuación 12-79, fx dV 1 dP  dx  0 2 2D h V kMa P

(12-80)

Ecuación de la energía Se observa que cp  kR/(k  1) y V 2  Ma2kRT, la ecuación de la energía T0  constante o T  V 2/2cp  constante puede expresarse como: T0  T a1 

k1 Ma2b  constante 2

(12-81)

Al diferenciar y reacomodar términos se tiene: 2(k  1)Ma2 dMa dT  T 2  (k  1)Ma2 Ma

(12-82)

la cual es una expresión para el cambio diferencial de la temperatura en términos de un cambio diferencial del número de Mach. Número de Mach La relación del número de Mach para gases ideales puede expresarse como V 2  Ma2kRT. Al diferenciar y reacomodar términos se obtiene: 2V dV  2MakRT dMa  kRMa2 dT →

(12-83)

V2 V2 dMa  dT 2V dV  2 Ma T

Al dividir cada término entre 2V 2 y reacomodar: dV dMa 1 dT   V Ma 2 T

(12-84)

Al combinar las ecuaciones 12-84 y 12-82 se obtiene el cambio de velocidad en términos del número de Mach como: (k  1)Ma2 dMa dV dMa   V Ma 2  (k  1)Ma2 Ma

dMa dV 2  V 2  (k  1)Ma2 Ma

o

(12-85)

Gas ideal La forma diferencial de la ecuación del gas ideal se obtiene al diferenciar la ecuación P  rRT, dP  rR dT  RT dr

→

dP dT dr   r P T

(12-86)

683 CAPÍTULO 12

Al combinar ésta con la ecuación de continuidad (Ec. 12-76) se tiene: dP dT dV   P T V

(12-87)

Al combinar ahora las ecuaciones 12-82 y 12-84 se obtiene: 2  2(k  1)Ma2 dMa dP  P 2  (k  1)Ma2 Ma

(12-88)

la cual es una expresión para los cambios diferenciales en P con Ma. Se sustituyen las ecuaciones 12-85 y 12-88 en la ecuación 12-80 y al simplificar términos se obtiene la ecuación diferencial para la variación del número de Mach respecto a x de la siguiente manera: fx 4(1  Ma2) dx  dMa 3 Dh kMa 32  (k  1)Ma24

(12-89)

Si se considera que todos los flujos de Fanno tienden a Ma  1, de nuevo es conveniente utilizar el punto crítico (es decir, el estado sónico) como punto de referencia y expresar las propiedades del flujo en relación con las propiedades del punto crítico, inclusive si el flujo real nunca alcanza el punto crítico. Cuando se integra la ecuación 12-89 desde cualquier estado (Ma  Ma y x  x) hasta el estado crítico (Ma  1 y x  xcr) se obtiene: (k  1)Ma2 fL* 1  Ma2 k  1   ln 2 Dh 2k kMa 2  (k  1)Ma2

(12-90)

donde f es el factor de fricción promedio entre x y xcr, el cual se considera constante, y L*  xcr  x es la longitud del ducto necesaria para que el número de Mach alcance el valor de uno bajo la influencia de fricción en las paredes. Por lo tanto, L* representa la distancia entre una sección dada donde el número de Mach es Ma y una sección (imaginaria si el ducto no es lo suficientemente largo para alcanzar Ma  1) en donde se presentan las condiciones sónicas (Fig. 12-60). Observe que el valor de fL*/Dh es fijo para un número de Mach dado y, por lo tanto, los valores de fL*/Dh pueden tabularse en función de Ma para un k especificado. También se tiene que el valor de la longitud de ducto L* necesaria para alcanzar las condiciones sónicas (o la “longitud sónica”) es inversamente proporcional al factor de fricción. Por lo tanto, para un número de Mach dado, L* es mayor en ductos con superficies lisas y menor en ductos con superficies rugosas. La longitud real del ducto L entre dos secciones que tienen números de Mach Ma1 y Ma2 puede determinarse a partir de: fL fL* fL* a b a b Dh Dh 1 Dh 2

(12-91)

El factor de fricción promedio f, en general, es diferente en distintas partes del ducto. Si se considera a f constante en todo el ducto (incluso en la extensión hipotética del ducto hasta el estado sónico), entonces la ecuación 12-91 se reduce a: L  L*1  L*2

( f  constante)

(12-92)

Por lo tanto, la ecuación 12-90 puede usarse para ductos cortos que nunca alcanzan Ma  1 y también para ductos largos con Ma  1 en la salida. El factor de fricción depende del número de Reynolds Re  rVDh /m, el cual varía en el ducto, y la rugosidad adimensional e/Dh de la superficie. Sin embargo, la variación del número de Reynolds es moderada, ya que rV  constante (debido a la ecuación de continuidad), y cualquier cambio en el número de Rey-

FIGURA 12-60 La longitud L* representa la distancia entre la sección dada donde el número de Mach es Ma y la sección real o imaginaria donde el número de Mach es Ma* = 1.

684 FLUJO COMPRESIBLE

nolds se debe solamente a la variación de la viscosidad con la temperatura. Por lo tanto, es razonable evaluar f a partir del diagrama de Moody o de la ecuación de Colebrook tratada en el capítulo 8 a un valor promedio del número de Reynolds y considerar el factor de fricción constante. Éste es el caso del flujo subsónico, puesto que los cambios de temperatura implícitos son relativamente pequeños. Tratar el factor de fricción para el flujo supersónico está fuera del objetivo de este texto. La ecuación de Colebrook está implícita para f y, por lo tanto, es más conveniente usar la relación explícita de Haaland: 1 2f

6.9 e/D 1.11 a b d Re 3.7

 1.8 logc

(12-93)

Los números de Reynolds de los flujos compresibles son por lo general altos, y para los números de Reynolds muy grandes (flujo turbulento totalmente rugoso), el factor de fricción es independiente del número de Reynolds. Para Re → , la ecuación de Colebrook se reduce a 1/ 1f  2.0 log 3(e/D h)/3.74. Las relaciones para otras propiedades de flujo pueden determinarse de manera similar al integrar las relaciones de dP/P, dT/T y dV/V de las ecuaciones 12-79, 12-82 y 12-85, respectivamente, desde cualquier estado (las propiedades y el número de Ma no se marcan con ningún subíndice) al estado sónico (las propiedades se marcan con el superíndice de asterisco y Ma  1), con los siguientes resultados (Fig. 12-61):

FIGURA 12-61 Resumen de las relaciones del flujo de Fanno.

1/2 P 1 k1  a b 2 P* Ma 2  (k  1)Ma

(12-94)

k1 T  T* 2  (k  1)Ma2

(12-95)

1/2 r* k1 V  Ma a b  2 r V* 2  (k  1)Ma

(12-96)

Una relación similar puede obtenerse para la presión de estancamiento adimensional de la siguiente manera: k/(k1) 1/2 P0 P0 P P* k1 1 k1 k  1 k/(k1)   a1  b a1  Ma2b a b 2 * * P0 P P* P 0 2 Ma 2  (k  1)Ma 2

la cual implica: r0 P0 1 2  (k  1)Ma2 (k1)/[2(k1)]   a b P *0 r *0 Ma k1

(12-97)

Observe que la temperatura de estancamiento T0 es constante para un flujo de Fanno y, por lo tanto, T0/T*0  1 en cualquier lugar del ducto. Las ecuaciones de la 12-90 a la 12-97 permiten calcular presión, temperatura, densidad, velocidad, presión de estancamiento adimensionales y fL*/Dh para el flujo de Fanno de un gas ideal con k especificado para cualquier número de Mach dado. Algunos resultados representativos se dan en forma tabular y gráfica en la tabla A-16 para k 1.4.

Flujo de Fanno bloqueado Es evidente a partir del comentario previo que la fricción provoca el flujo de Fanno subsónico en un ducto de área constante a acelerarse hasta la velocidad sónica, y el número de Mach se convierte exactamente en la unidad a la salida de un ducto de cierta longitud. Esta longitud se llama longitud máxima, longitud sónica o longitud crítica, y se denota por L*. En este momento surge la curiosidad por conocer qué sucede si se extiende la longitud del ducto a un valor por arriba de L*. Se tiene la pregunta: ¿se acelerará el flujo hasta alcanzar velocidades supersónicas? La respuesta es un no definitivo porque a Ma  1 el flujo está en el punto de máxima entropía, y para seguir a lo largo de la línea de

685 CAPÍTULO 12

Fanno a la región supersónica se necesita que la entropía del fluido disminuya, lo cual sería una violación de la segunda ley de la termodinámica (observe que el estado de salida debe permanecer sobre la línea de Fanno para satisfacer todas las leyes de conservación). Por lo tanto, el flujo está bloqueado o estrangulado. Esto de nuevo es análogo al hecho de que no se puede acelerar un gas hasta velocidades supersónicas en una tobera convergente simplemente si se extiende la parte convergente de la tobera. Si se extiende la longitud del ducto por arriba de L*, simplemente se mueve el estado crítico corriente abajo y se reduce la razón de flujo. Esto origina un cambio en el estado de entrada (la velocidad de entrada disminuye), y el flujo se mueve a una línea de Fanno diferente. Un aumento adicional en la longitud del ducto ocasiona un decremento adicional en la velocidad de entrada y, por lo tanto, en la razón del flujo de masa. La fricción causa que el flujo de Fanno supersónico en un ducto de área constante se desacelere, y el número de Mach tienda a disminuirse hasta la unidad. Por lo tanto el número de Mach a la salida nuevamente es Ma  1 si la longitud del ducto es L*, como sucede en un flujo subsónico. Pero a diferencia de un flujo subsónico, un aumento adicional en la longitud del ducto por arriba de L* no puede bloquear el flujo debido a que éste ya está bloqueado. En cambio, esto origina una onda de choque normal que ocurre en lugar adecuado para que el flujo subsónico que surge después de la onda de choque continúe fluyendo en el ducto y se convierta nuevamente en sónico justo a la salida del ducto (Fig. 1262). Un aumento en la longitud del ducto todavía mayor traslada la onda de choque corriente arriba, y si se incrementa la longitud, la onda llega a ubicarse a la entrada del ducto. Si se sigue incrementando la longitud aún más, la onda del choque se ubica en la parte divergente de la tobera convergente-divergente que originalmente generó el flujo supersónico, pero la razón del flujo de masa permanece aún sin verse afectada porque la razón del flujo de masa se establece por las condiciones sónicas en la garganta de la tobera y no se cambia a menos que se cambien las condiciones en la garganta.

EJEMPLO 12-15

FIGURA 12-62 Si el largo del ducto L es mayor que L*, el flujo de Fanno supersónico es siempre sónico a la salida del ducto. Al extender el ducto, la onda de choque normal se desplaza corriente arriba.

Flujo de Fanno bloqueado

Entra aire en un ducto liso adiabático de 3 cm de diámetro a Ma1  0.4, T1  300 K y P1  150 kPa (Fig. 12-63). Si el número de Mach en la salida del ducto es 1, determine la longitud del ducto y la temperatura, presión y velocidad a la salida del ducto. Determine también el porcentaje de presión de estancamiento perdida en el ducto.

SOLUCIÓN Entra aire a un ducto adiabático de área constante en un estado especificado y abandona el ducto en el estado sónico. Deben determinarse longitud del ducto, temperatura, presión y velocidad a la salida y el porcentaje de presión de estancamiento perdida. Suposiciones 1 Las suposiciones relacionadas con el flujo de Fanno son válidas (es decir, el flujo de un gas ideal con propiedades constantes en un ducto adiabático de área de sección transversal constante es estacionario, con fricción). 2 El factor de fricción es constante en el ducto. Propiedades Se toman las propiedades del aire como k  1.4, cp  1.005 kJ/kg · K, R  0.287 kJ/kg · K y n  1.58 105 m2/s. Análisis Primero se determinarán la velocidad y el número de Reynolds a la entrada: c1  2kRT1 

B

(1.4)(0.287 kJ/kg  K)(300 K) a

1 000 m2/s2 b  347 m/s 1 kJ/kg

V1  Ma1c1  0.4(347 m/s)  139 m/s Re1 

V1D (139 m/s)(0.03 m)  2.637 10 5  n 1.58 10 5 m2/s

FIGURA 12-63 Esquema para el ejemplo 12-15.

686 FLUJO COMPRESIBLE

El factor de fricción se determina a partir de la ecuación de Colebrook:

1 2f

e/D 1 0 2.51 2.51 b →  2.0 loga b   3.7 Re2f 3.7 2f 2.637 10 5 2f

 2.0 loga

cuya solución es:

f  0.0148 Las funciones del flujo de Fanno correspondientes a la entrada de un número de Mach 0.4 son (Tabla A-16):

P01 fL*1 T1 P1 V1  1.5901  1.1628  2.6958  0.4313  2.3085 P*0 T* P* V* D Note que * denota las condiciones sónicas, las cuales existen a la salida del ducto, la longitud del ducto, la temperatura, la presión y la velocidad a la salida son:

L*1 

2.3085D 2.3085(0.03 m)   4.68 m f 0.0148

T* 

T1 300 K   258 K 1.1628 1.1628

P* 

P1 150 kPa   55.6 kPa 2.6958 2.6958

V* 

V1 139 m/s   322 m/s 0.4313 0.4313

Por lo tanto, para el factor de fricción dado, la longitud del ducto debe ser de 4.68 m para que el número de Mach alcance el valor de 1 en la salida del ducto. La fracción de presión de estancamiento P01 perdida en el ducto debido a la fricción es:

P *0 P01  P*0 1 1 1  0.371 P01 P01 1.5901

o

37.1%

Discusión Este problema puede resolverse también si se usan relaciones apropiadas en vez de los valores tabulados de las funciones de Fanno. Además, se determinó el factor de fricción a las condiciones de entrada y se consideró que permanece constante en el ducto. Para verificar la validez de esta suposición se calcula el factor de fricción a las condiciones de salida. Se puede mostrar que el factor de fricción en la salida del ducto es 0.0121 y experimenta una caída de 18 por ciento, lo cual es considerable. Por lo tanto, debería repetirse el cálculo usando el valor promedio del factor de fricción (0.0148  0.0121)/2  0.0135. Esto daría una longitud del ducto L*1  2.3085(0.03m)/0.0135  5.13 m, y este valor es el que debe reportarse como la longitud del ducto. L  27 m P1  220 kPa T1  450 K V1  85 m/s

L2*

Salida Ma2

Ma*  1 T* P* V*

L*1 x

Extensión hipotética del ducto al estado sónico

FIGURA 12-64 Esquema para el ejemplo 12-16.

EJEMPLO 12-16

Condiciones de salida del flujo de Fanno en un ducto

Entra aire a un ducto adiabático de 5 cm de diámetro y de 27 m de longitud a V1  85 m/s, T1  450 K y P1  220 kPa (Fig. 12-64). El valor estimado del factor de fricción promedio del ducto es 0.023. Determine el número de Mach a la salida del ducto y la razón del flujo de masa del aire.

SOLUCIÓN Entra aire, en un estado especificado, a un ducto adiabático de área constante y una longitud dada. Deben determinarse el número de Mach a la salida y la razón de flujo de masa.

687 CAPÍTULO 12

Suposiciones 1 Las suposiciones relacionadas con el flujo de Fanno son válidas (es decir, el flujo de un gas ideal con propiedades constantes en un ducto adiabático de área de sección transversal constante es estacionario, con fricción). 2 El factor de fricción es constante a lo largo del ducto. Propiedades Se toman las propiedades del aire como k  1.4, cp  1.005 kJ/kg · K y R  0.287 kJ/kg · K. Análisis Lo primero que es necesario saber es si el flujo está bloqueado a la salida o no. Por lo tanto, primero se determina el número de Mach a la entrada y el valor correspondiente de la función fL*/Dh:

c1  2kRT1  Ma1 

B

(1.4)(0.287 kJ/kg  K)(450 K) a

1 000 m2/s2 b  425 m/s 1 kJ/kg

V1 85 m/s   0.200 c1 425 m/s

A este número de Mach en la tabla A-16 corresponde el valor (fL*/Dh)1  14.5333. Al usar la longitud real del ducto L, se tiene:

fL (0.023)(27 m)   12.42  14.5333 Dh 0.05 m Por lo tanto, el flujo no está bloqueado en la salida y el número de Mach es menor que 1. La función fL*/Dh para el estado de salida se calcula de la ecuación 12-91:

a

fL* fL* fL b a b   14.5333  12.42  2.1133 Dh 2 Dh 1 Dh

El número de Mach correspondiente a este valor de fL*/Dh es 0.42, que se obtiene de la tabla A-16. Por lo tanto, el número de Mach a la salida del ducto es:

Ma2  0.420 La razón del flujo de masa del aire se determina a partir de las condiciones de entrada:

r1 

P1 220 kPa 1 kJ  b  1.703 kg/m3 a RT1 (0.287 kJ/kg  K)(450 K) 1 kPa  m3

# maire  r 1A 1V1  (1.703 kg/m3) 3p(0.05 m)2/44 (85 m/s)  0.284 kg/s Discusión Observe que se necesita un ducto de 27 m de longitud para que el número de Mach aumente de 0.20 a 0.42, pero solamente 4.6 m de longitud para que aumente de 0.42 a 1. Por lo tanto, el número de Mach aumenta mucho más rápido en la cercanía a las condiciones sónicas. Para tener una visión más completa, se determinará la longitud L* correspondiente a los valores de fL*/Dh a la entrada y la salida del ducto. Observe que f se consideró constante a lo largo de todo el ducto, las longitudes máximas (o sónicas) para la entrada y la salida del ducto son:

L máx, 1  L*1  14.5333 L máx, 2  L*2  2.1133

Dh 0.05 m  14.5333  31.6 m f 0.023

Dh 0.05 m  2.1133  4.59 m f 0.023

(o, Lmáx, 2  Lmáx, 1  L  31.6  27  4.6 m). Por lo tanto, el flujo alcanzaría las condiciones sónicas a la salida si se añadiera un ducto de 4.6 m de longitud al ducto existente.

688 FLUJO COMPRESIBLE

PROYECTOR DE APLICACIONES

■

Interacción entre las ondas de choque y las capas límte

Autor invitado: Gary S. Settles, The Pennsylvania State University

FIGURA 12-65 Onda de choque normal sobre el ala de un avión comercial de propulsión L-1011 en vuelo transónico que se hizo visible por la distorsión de la imagen de las nubes a baja altitud sobre el Océano Pacífico que se ven en el fondo de la fotografía. U.S. Govt. Fotografía de Carla Thomas, NASA Dryden Research Center.

FIGURA 12-66 Fotografía por sombras de interacción a Ma de 3.5 generada por una aleta colocada sobre una placa plana. La onda de choque oblicua generada por la aleta (en la parte superior de la imagen) se bifurca en forma de una l por abajo de la cual la capa límite se separa y se enrolla. El flujo de aire al atravesar esta l por arriba de la zona de separación forma un “chorro” supersónico que se curva hacia abajo e incide en la superficie. Para visualizar este flujo de interacción tridimensional se necesita una técnica óptica especial conocida como fotografía por sombras cónicas. Fotografía de F. S. Alvi y G. S. Settles.

Las ondas de choque y las capas límite son fenómenos más incompatibles en la naturaleza. Las capas límite, tal como se describieron en el capítulo 10, son susceptibles para separar los perfiles aerodinámicos dondequiera que ocurran gradientes de presión adversos. Por otro lado, las ondas de choque producen gradientes de presión adversos muy fuertes, puesto que un aumento finito en la presión estática ocurre a través de una onda de choque a lo largo de una distancia extremadamente corta. Por lo tanto, cuando una capa límite encuentra una onda de choque, un patrón complicado de flujo se forma y las capas límite con frecuencia se separan de la superficie a la cual estaban adheridas. Existen casos importantes en vuelos de alta velocidad y en pruebas en túneles de viento, donde estos conflictos son inevitables. Por ejemplo, un avión comercial con motores de propulsión opera en el vuelo de crucero al límite inferior del régimen de flujo transónico, donde el flujo de aire sobre sus alas llega a ser supersónico y después regresa a ser subsónico a través de una onda de choque normal (Fig. 12-65). Si dicho avión vuela considerablemente más rápido y supera el número de Mach para el cual fue diseñado, ocurren serios disturbios aerodinámicos debido a las interacciones de las ondas de choque y las capas límite que causan la separación de flujo de las alas. Este fenómeno limita la velocidad de aviones comerciales en todo el mundo. Algunos aviones militares están diseñados para superar este límite y volar a velocidades supersónicas, pero las interacciones entre las ondas de choque y las capas límite son, no obstante, factores limitantes a la entrada de aire a sus motores de propulsión. La interacción de una onda de choque y una capa límite es un tipo de interacción viscosa-invíscida, en la cual el flujo viscoso de la capa límite enfrenta una onda de choque esencialmente invíscida generada en el flujo libre. La capa límite se vuelve más lenta y más gruesa debido al choque, y puede separarse. La onda de choque, sin embargo, se bifurca cuando ocurre la separación del flujo (Fig. 12-66). Cambios mutuos en la onda de choque y en la capa límite continúan hasta que se alcanzan las condiciones de equilibrio. Dependiendo de las condiciones de frontera, la interacción puede variar en dos o tres dimensiones y puede ser estacionaria o no-estacionaria. Es difícil analizar un flujo con interacciones tan fuertes, y no existen soluciones simples. Además, en muchos de los problemas de interés práctico la capa límite en estudio es turbulenta. Mediante métodos computacionales modernos pueden predecirse numerosas características de estos flujos a partir de la solución numérica de las ecuaciones de Navier-Stokes para los números de Reynolds promediados obtenida por una supercomputadora. Los experimentos en túneles de viento tienen un papel importante en la orientación y validación de estos cálculos. No obstante la interacción entre una onda de choque y una capa límite se ha convertido en uno de los problemas de investigación de mayor interés en la dinámica de fluidos contemporánea. Referencias Knight, D. D. et al., “Advances in CFD Prediction of Shock Wave Turbulent Boundary Layer Interactions”, Progress in Aerospace Sciences 39(2-3), 2003, pp. 121-184, 2003. Alvi, F. S. y Settles, G. S., “Physical Model of the Swept Shock Wave/Boundary-Layer Interaction Flowfield”, AIAA Journal 30, septiembre 1992, pp. 2252-2258.

689 CAPÍTULO 12

RESUMEN En este capítulo se examinaron los efectos de la compresibilidad en un flujo de gas. Cuando se tratan flujos compresibles, es conveniente combinar la entalpía y la energía cinética del fluido en un solo término llamado entalpía de estancamiento (o entalpía total) h0, definida como: V2 h0  h  2

y

Las propiedades de un fluido en estado de estancamiento son llamadas propiedades de estancamiento y se indican con un subíndice 0. La temperatura de estancamiento de un gas ideal con calores específicos constantes es: T0  T 

V2 2cp

P0 T0 k/(k1) a b P T

r0 T0 1/(k1) a b r T

y

La velocidad a la cual una onda infinitesimal de presión se propaga a través de un medio es la velocidad del sonido. Para un gas ideal se expresa como: c

P b  2kRT B r s a

El número de Mach es la razón de la velocidad real del fluido respecto a la velocidad del sonido en el mismo estado: Ma 

P0 P

c1

a

r0 r

c1

a

k

bMa2

1 2

k

b Ma2d

1 2

k 2

k/(k 1)

1/(k 1 b Ma2d

1)

1/(k1) r* 2 a b r0 k1

La presión fuera del plano de salida de una tobera se llama contrapresión. Para todas las contrapresiones menores que P*, la presión en el plano de salida de una tobera convergente es igual a P*, el número de Mach en el plano de salida es igual a 1 y la razón del flujo de masa es máxima (la de bloqueo o de estrangulamiento). En cierto rango de las contrapresiones, el fluido que alcanza la velocidad sónica en la garganta de una tobera convergente-divergente y que se acelera a velocidades supersónicas en la parte divergente de la tobera, experimenta un choque normal que causa un aumento repentino en la temperatura y la presión, y una caída en la velocidad a niveles subsónicos. El flujo que atraviesa una onda de choque es muy irreversible y por lo tanto no puede aproximarse como flujo isentrópico. Las propiedades de un gas ideal con calores específicos constantes antes (subíndice 1) y después (subíndice 2) de un choque se relacionan mediante: T01  T02

V c

Un flujo se llama sónico cuando Ma  1, subsónico cuando Ma  1 y supersónico cuando Ma  1, hipersónico cuando Ma  1 y transónico cuando Ma  1. Las toberas cuya área de flujo disminuye en la dirección del flujo, se llaman toberas convergentes. Aquellas cuya área de flujo primero disminuye y después aumenta se llaman toberas convergente-divergentes. La sección de menor área de flujo en una tobera se llama garganta. La velocidad máxima a la cual un fluido puede acelerarse en una tobera convergente es la velocidad sónica. Acelerar un fluido a velocidades supersónicas es posible solamente en toberas convergente-divergentes. En todas las toberas convergentes-divergentes supersónicas, la velocidad de flujo en la garganta es la velocidad del sonido. Las razones de las propiedades de estancamiento y estáticas para gases ideales con calores específicos constantes pueden expresarse en términos del número de Mach como:

1

Cuando Ma  1, las razones de las propiedades estáticas y de estancamiento para temperatura, presión y densidad se llaman razones críticas y se denotan por un * como superíndice: T* 2 P* 2 k/(k 1)  a b T0 k  1 P0 k 1 y

la cual representa la temperatura que un gas ideal debe obtener si se lleva al reposo adiabáticamente. Las propiedades de estancamiento de un gas ideal están relacionadas con las propiedades estáticas del fluido mediante:

a

T0 T

Ma2 

(k  1)Ma21  2 B 2kMa21  k  1

T2 2  Ma21(k  1)  T1 2  Ma22(k  1) y

P2 1  kMa21 2kMa21  k  1   k1 P1 1  kMa22

Estas ecuaciones también son válidas para un choque oblicuo, pero la componente del número de Mach normal al choque oblicuo se usa en vez del número de Mach. El flujo unidimensional estacionario de un gas ideal con calores específicos constantes en un ducto de área constante con transferencia de calor y de fricción despreciable, se llama flujo de Rayleigh. Las relaciones entre las propiedades y las curvas para un flujo de Rayleigh están en la tabla A-15. El calor transferido en el flujo de Rayleigh puede determinarse a partir de: q  cp(T02  T01)  cp(T2  T1) 

V 22  V 21 2

690 FLUJO COMPRESIBLE

El flujo estacionario, adiabático, con fricción, de un gas ideal con calores específicos constantes en un ducto de área constante se llama flujo de Fanno. La longitud del ducto necesaria para que el número de Mach alcance el valor de uno bajo la influencia de la fricción en las paredes del ducto se denota por L* y se expresa como: fL* 1  Ma2 k  1 (k  1)Ma2   ln 2 Dh 2k kMa 2  (k  1)Ma2 donde f es el factor de fricción promedio. La longitud del ducto entre dos secciones donde los números de Mach son Ma1 y Ma2 se determina de:

fL* fL* fL a b a b Dh Dh 1 Dh 2 En un flujo de Fanno, la temperatura de estancamiento T0 permanece constante. Otras relaciones entre las propiedades y las curvas para el flujo de Fanno se dan en la tabla A-16. Este capítulo proporciona una visión de los flujos compresibles de tal manera que motive al lector a profundizar en su estudio de este tema tan interesante. Algunos flujos compresibles se analizarán en el capítulo 15 mediante dinámica de fluidos computacional.

BIBLIOGRAFÍA Y LECTURAS RECOMENDADAS 1. J. D. Anderson, Modern Compressible Flow with Historical Perspective, 3a. ed., Nueva York: McGraw-Hill, 2003. 2. Y. A. Çengel y M. A. Boles, Thermodynamics: An Engineering Approach, 6a. ed., Nueva York: McGraw-Hill, 2008.

8.

3. H. Cohen, G. F. C. Rogers y H. I. H. Saravanamuttoo. Gas Turbine Theory, 3a. ed., Nueva York: Wiley, 1987.

9.

4. W. J. Devenport. Compressible Aerodynamic Calculator, http://www.aoe.vt.edu/~devenpor/aoe3114/calc.html 5. R. W. Fox y A. T. McDonald, Introduction to Fluid Mechanics, 5a. ed., Nueva York: Wiley, 1999. 6. H. Liepmann y A. Roshko. Elements of Gas Dynamics, Dover Publications, Mineola, NY, 2001.

10. 11. 12.

NACA Report 1135, http://naca.larc.nasa.gov/reports/ 1953/naca-report-1135/. A. H. Shapiro, The Dynamics and Thermodynamics of Compressible Fluid Flow, vol. 1, Nueva York: Ronald Press Company, 1953. P. A. Thompson. Compressible-Fluid Dynamics, Nueva York: McGraw-Hill, 1972. United Technologies Corporation. The Aircraft Gas Turbine and Its Operation, 1982. M. Van Dyke, An Album of Fluid Motion, Stanford, CA: The Parabolic Press, 1982. F. M. White, Fluid Mechanics, 5a. ed., Nueva York: McGraw-Hill, 2003.

7. C. E. Mackey, responsible NACA officer and curator. Equations, Tables, and Charts for Compressible Flow.

PROBLEMAS* Propiedades de estancamiento 12-1C En aplicaciones de aire acondicionado, la temperatura se mide insertando una sonda en el flujo. Así, la sonda mide la temperatura de estancamiento. ¿Puede esto originar algún error importante? 12-2C ¿Cómo y por qué se define la entalpía de estancamiento h0?, ¿qué tan diferente es de la entalpía normal (o estática)? 12-3C

¿Qué es la temperatura dinámica?

12-4C Un avión vuela a una alta velocidad de crucero en el aire inmóvil. ¿Cómo difiere la temperatura del aire en la punta

* Los problemas designados por una “C” son preguntas de concepto y se alienta a los estudiantes a dar respuesta a todas. Los problemas designados por una “I” están en unidades inglesas y los usuarios del SI pueden ignorarlos. Los problemas con el ícono son de comprensión y se recomienda emplear un software como EES para resolverlos. Los problemas con el ícono pueden resolverse con el software FlowLab.

de la nariz de la nave en relación con la temperatura del aire a una distancia del avión? 12-5 Entra aire a un compresor con una presión de estancamiento de 100 kPa y una temperatura de estancamiento de 27°C, y se comprime a una presión de estancamiento de 900 kPa. Suponiendo que el proceso de compresión es isentrópico, determine el suministro de potencia al compresor para un caudal másico de 0.06 kg/s. Respuesta: 15.8 kW 12-6 Aire a 320 K fluye en un ducto a una velocidad de: a) 1, b) 10, c) 100 y d) 1 000 m/s. Determine la temperatura que una sonda en reposo colocada dentro del ducto registrará para cada caso. 12-7 Calcule la temperatura de estancamiento y la presión de estancamiento para las siguientes sustancias que fluyen en un ducto: a) helio a 0.25 MPa, 50°C y 240 m/s; b) nitrógeno a 0.15 MPa, 50°C y 300 m/s, y c) vapor de agua a 0.1 MPa, 350°C y 480 m/s. 12-8 Determine la temperatura de estancamiento y la presión de estancamiento del aire que fluye a 36 kPa, 238 K y 470 m/s. Respuestas: 348 K, 136 kPa

691 CAPÍTULO 12

12-9I Fluye vapor de agua a través de un dispositivo a una presión de estancamiento de 120 psia, a una temperatura de estancamiento de 700°F, y a una velocidad de 900 ft/s. Al suponer el comportamiento de un gas ideal, determine la presión estática y la temperatura del vapor en este estado. 12-10 Fluye aire a través de un dispositivo tal que la presión de estancamiento es de 0.6 MPa, la temperatura de estancamiento es de 400°C, y la velocidad es de 570 m/s. Determine la presión estática y la temperatura del aire en este estado. Respuestas: 518.6 K, 0.23 MPa

12-11 Los productos de combustión entran a una turbina de gas a una presión de estancamiento de 1.0 MPa y una temperatura de estancamiento de 820°C, y expanden a una presión de estancamiento de 100 kPa. Si para los productos de combustión k  1.33 y R  0.287 kJ/kg · K, y si el proceso de expansión puede aproximarse como un proceso isentrópico, determine la potencia desarrollada por la turbina por unidad de flujo másico.

Flujo isentrópico unidimensional 12-12C Un gas inicialmente a velocidad supersónica, entra en un ducto convergente adiabático. Explique cómo esto afecta a a) la velocidad, b) la temperatura, c) la presión y d) la densidad del fluido. 12-13C Un gas inicialmente a velocidad supersónica entra en un ducto divergente adiabático. Discuta cómo esto afecta a a) la velocidad, b) la temperatura, c) la presión y d) la densidad del fluido. 12-14C Considere una tobera convergente con velocidad sónica en la salida. Se reduce el área de salida mientras las condiciones en la entrada permanecen constantes. ¿Qué sucederá con a) la velocidad de salida y con b) la razón del flujo de masa a través de la tobera? 12-15C Un gas inicialmente a velocidad subsónica entra en un ducto convergente adiabático. Explique cómo esto afecta a a) la velocidad, b) la temperatura, c) la presión y d) la densidad del fluido. 12-16C Un gas inicialmente a velocidad subsónica entra en un ducto divergente adiabático. Explique cómo esto afecta a a) la velocidad, b) la temperatura, c) la presión y d) la densidad del fluido. 12-17C Un gas con presión de estancamiento y temperatura de estancamiento especificadas se acelera hasta Ma  2 en una tobera convergente-divergente y hasta Ma  3 en otra tobera. ¿Qué puede decirse acerca de las presiones en las gargantas de estas dos toberas? 12-18C ¿Es posible acelerar un gas a una velocidad supersónica en una tobera convergente? Explique. 12-19 En marzo de 2004, la NASA lanzó con éxito un motor de combustión-supersónica ramjet experimental (llamado scramjet) que alcanzó un número Mach de 7, lo que estableció récord. Tomando la temperatura del aire como 20°C, determine la velocidad de este motor. Respuesta: 8 040 km/h 12-20I Reconsidere el motor scramjet que se describe en el problema 12-19. Determine la velocidad de este motor en millas por hora que corresponde a un número Mach de 7 en el aire, y a una temperatura de 0°F.

12-21 Considere un avión comercial grande a velocidad de crucero de 920 km/h en el aire, a una altitud de 10 km, donde la temperatura estándar del aire es 50°C. Determine si la velocidad del avión es subsónica o supersónica. 12-22 Calcule la temperatura crítica, la presión y la densidad de a) aire a 200 kPa, 100°C y 250 m/s, y b) helio a 200 kPa, 40°C y 300 m/s. 12-23 Dióxido de carbono a 1 200 kPa y 600 K inicialmente inmóvil se acelera isentrópicamente hasta un número de Mach de 0.6. Determine la temperatura y la presión del dióxido de carbono después de esta aceleración. Respuestas: 570 K, 957 kPa

12-24 Entra aire a una tobera convergente-divergente a una presión de 800 kPa con velocidad despreciable. ¿Cuál es la presión mínima que puede obtenerse en la garganta de la tobera? Respuesta: 423 kPa

12-25 Entra helio a una tobera convergente-divergente a 0.7 MPa, 800 K y 100 m/s. ¿Cuáles son la temperatura y la presión más bajas que pueden obtenerse en la garganta de la tobera? 12-26 Aire a 200 kPa, 100°C y número de Mach Ma  0.8 fluye en un ducto. Calcule la velocidad, la presión de estancamiento, la temperatura de estancamiento y la densidad de estancamiento del aire. 12-27

Reconsidere el problema 12-26. Use el software EES (u otro), estudie el efecto de los números de Mach en el rango de 0.1 a 2 sobre la velocidad y la presión de estancamiento, la temperatura de estancamiento y la densidad de estancamiento del aire. Grafique cada parámetro en función del número de Mach. 12-28 Un avión se diseña para volar a un número de Mach Ma  1.4, a 8 000 m de altitud, donde la temperatura atmosférica es de 236.15 K. Determine la temperatura de estancamiento en el borde delantero del ala. 12-29I Aire a 25 psia, 320°F y número de Mach Ma  0.7 fluye en un ducto. Calcule la velocidad y la presión de estancamiento, la temperatura de estancamiento y la densidad de estancamiento del aire. Respuestas: 958 ft/s, 856 R, 34.7 psia, 0.109 lbm/ft3

Flujo isentrópico en toberas 12-30C ¿Qué sucedería si se intentara desacelerar un fluido supersónico mediante una tobera divergente? 12-31C ¿Qué sucedería si se intentara acelerar aún más un fluido supersónico con una tobera divergente? 12-32C Considere un flujo subsónico en un tobera convergente con condiciones de entrada fijas. ¿Cuál es el efecto de la caída de contrapresión a la presión crítica sobre a) la velocidad de salida, b) la presión de salida y c) la razón del flujo de masa a través de la tobera? 12-33C Considere un flujo subsónico en un tobera convergente con condiciones específicas en la entrada y presión crítica en la salida de la tobera. ¿Cuál es el efecto de la caída de con-

692 FLUJO COMPRESIBLE

trapresión hasta la presión crítica sobre a) la velocidad de salida, b) la presión de salida y c) la razón del flujo de masa a través de la tobera? 12-34C Considere que una tobera convergente y una convergente-divergente tienen la misma área en la garganta. Para las mismas condiciones de entrada, ¿cómo compararía las razones de flujo de masa a través de estas dos toberas? 12-35C Considere un gas que fluye a través de una tobera convergente con condiciones de entrada especificadas. Se sabe que la mayor velocidad que puede alcanzar un fluido a la salida de la tobera es la velocidad sónica, que es el punto para el cual el flujo de masa en la tobera es máximo. Si fuera posible alcanzar velocidades hipersónicas a la salida de la tobera, ¿cómo afectaría este hecho a la razón del flujo de masa en la tobera? 12-36C Ma?

¿Cómo difiere el parámetro Ma* del número de Mach

12-37C Considere el flujo isentrópico de un fluido en una tobera convergente-divergente con velocidad subsónica en la garganta. ¿Cómo afecta la parte divergente de la tobera a a) la velocidad, b) la presión y c) la razón del flujo de masa del fluido? 12-38C ¿Es posible acelerar un fluido a velocidades supersónicas al tener en la garganta una velocidad diferente de la sónica? Explíquelo. 12-39 Explique por qué la razón de flujo másico máximo por unidad de área para un gas ideal dado depende solamente de P0 / 1T0. Para un gas ideal con k  1.4 y R  0.287 kJ/kg · K, # encuentre la constante a tal que m/A*  aP0 / 1T 0.

12-46 Repita el problema 12-45, pero con un flujo supersónico a la entrada. 12-47 Entra nitrógeno a una tobera convergente-divergente a 700 kPa y 400 K con velocidad despreciable. Determine la velocidad, la presión, la temperatura y la densidad críticas en la tobera. 12-48 Un gas ideal con k  1.4 fluye en una tobera en la cual el número de Mach es de 2.4 en una sección transversal de 36 cm2 de área. Suponga flujo isentrópico y determine el área de flujo en la posición donde el número de Mach es 1.2. 12-49 Repita el problema 12-48, pero para un gas ideal con k  1.33. 12-50I Entra aire a un tobera convergente-divergente de un túnel de viento supersónico a 150 psia y 100°F con velocidad baja. El área de la sección de prueba es igual al área de la salida de la tobera, la cual es de 5 ft2. Calcule la presión, la temperatura, la velocidad y el flujo de masa en la sección de prueba para un número de Mach Ma  2. Explique por qué el aire debe estar muy seco (sin humedad) para esta aplicación. Respuestas: 19.1 psia, 311 R, 1 729 ft/s, 1 435 lbm/s

12-51

Entra aire a una tobera convergente a 900 kPa y 400 K con velocidad despreciable. El área de la garganta de la tobera es de 10 cm2. Considere flujo isentrópico y calcule y grafique la presión a la salida, la velocidad a la salida y la razón del flujo de masa contra la contrapresión Pb para el rango 0.9 # Pb # 0.1 MPa.

12-40 Para un gas ideal obtenga la expresión para la razón de la velocidad del sonido a Ma  1 a la velocidad del sonido correspondiente a la temperatura de estancamiento, c*/c0.

12-52

12-41 Entra aire por una boquilla axisimétrica a 1.2 Mpa con velocidad despreciable. Considerando el flujo como aproximadamente isentrópico, determine la contrapresión que daría como resultado un numero de Mach de salida de 1.8. Respuesta: 209

12-53 Fluye aire (k = 1.4) por una tobera axisimétrica convergente-divergente con radio de garganta igual a 0.075 m. Las condiciones de entrada son fijas (P0, entrada = 220 kPa, Pentrada  210 kPa, y T0, entrada  300 K); pero la contrapresión Pb se puede variar. a) Calcule el caudal máximo posible en unidades de kg/s por esta tobera, despreciando los efectos viscosos. b) Ejecute FlowLab usando la plantilla Nozzle_axisymmetric, que modela este mismo flujo. Asegúrese de usar una contrapresión suficientemente baja de modo que el flujo se estrangule. Compare los resultados CFD con su cálculo. c) Repita para una tobera bidimensional con la misma forma de perfil de pared, pero que tenga una profundidad de 1 m. [Área de garganta  2(0.075 m)(1 m).] ¿Cuál caso (2-D o axisimétrico) tiene el caudal másico más alto? Explique. d) Compare con los resultados CFD ejecutando la plantilla FlowLab Nozzle_ 2d.

kPa

12-42 Entra aire a una tobera a 0.6 MPa, 420 K, y velocidad de 150 m/s. Considere flujo isentrópico y determine la presión y la temperatura del aire en la posición donde la velocidad del aire es igual a la del sonido. ¿Cuál es la razón del área en esta posición al área de la entrada? Respuestas: 359 K, 348 KPa, 0.573

12-43 Repita el problema 12-42, pero considere que la velocidad en la entrada es despreciable. 12-44I Entra aire a una tobera a 30 psi, 630 R y la velocidad de 450 ft/s. Suponga flujo isentrópico y determine la presión y la temperatura del aire en la posición donde la velocidad del aire es igual a la del sonido. ¿Cuál es la razón del área en esta posición al área de la entrada? Respuesta: 539 R, 17.4 psia, 0.574 12-45 Un gas ideal en un proceso de flujo estacionario, adiabático y reversible fluye en un conducto que primero converge y luego diverge. Para un flujo subsónico a la entrada bosqueje la variación de la presión, velocidad y número de Mach a lo largo de la longitud del conducto cuando el número de Mach en la mínima área del conducto es igual a uno.

Reconsidere el problema 12-51. Use el software EES (u otro) y resuelva el problema para las condiciones de entrada de 0.8 MPa y 1 200 K.

12-54 Considere el flujo compresible de aire por una tobera axisimétrica convergente-divergente. Las condiciones de entrada son fijas (P0, entrada  220 kPa, Pentrada = 210 kPa y T0, entrada  300 K), pero la contrapresión Pb se puede variar. Ejecute FlowLab usando la plantilla Nozzle_axisymmetric. Ejecute varios casos con contrapresiones comprendidas entre 100 kPa y 219 kPa. Para cada caso, calcule el caudal másico (kg/s) a través de la tobera, y grafique como función de Pb/P0, entrada. Explique sus resultados.

693 CAPÍTULO 12

12-55 Ejecute FlowLab usando la plantilla Nozzle_2d, que es igual que en el problema 12-54, salvo que el flujo es bidimensional en vez de axisimétrico. Compare los dos casos y comente las similitudes y diferencias. 12-56 Ejecute FlowLab usando la plantilla Nozzle_axisymmetric. Para el caso en que Pb = 100 kPa (Pb/ P0, entrada = 0.4545), grafique los perfiles de presiones y de números de Mach para verificar que hay presencia de un choque normal cerca de la salida del dominio de cálculo. Repita para Pb = 215 kPa (Pb/P0, entrada = 0.9773). Comente sobre las principales diferencias entre estos dos casos.

Ondas de choque y ondas de expansión 12-57C ¿Puede una onda de choque formarse en la sección convergente de una tobera convergente-divergente? Explíquelo. 12-58C ¿Qué representan los estados sobre la línea de Fanno y la línea de Rayleigh? ¿Qué representan los puntos de intersección de estas dos curvas? 12-59C ¿Puede el número de Mach de un fluido ser mayor que 1 después de un choque normal? Explíquelo. 12-60C ¿Cómo afecta un choque normal a) a la velocidad del fluido, b) a la temperatura estática, c) a la temperatura de estancamiento, d) a la presión estática y e) a la presión de estancamiento? 12-61C ¿Cómo ocurre un choque oblicuo? ¿En qué difieren los choques oblicuos de los choques normales? 12-62C Para que ocurra un choque oblicuo, ¿debe ser supersónico el flujo corriente arriba? ¿Debe ser subsónico el flujo corriente abajo de un choque oblicuo? 12-63C Se dice que un choque oblicuo puede analizarse como un choque normal con la condición que la componente normal de la velocidad (normal a la superficie de onda de choque) se use en el análisis. ¿Está de acuerdo? 12-64C Considere que un flujo de aire se aproxima a la punta de una cuña bidimensional y experimenta un choque oblicuo. ¿En qué condiciones la onda de choque oblicua se separa de la punta de la cuña y forma una onda de proa?, y ¿cuál es el valor numérico del ángulo de choque de la onda separada en su parte que está enfrente de la punta de la cuña? 12-65C Considere que un flujo supersónico incide en la nariz redondeada de un avión. El choque oblicuo que se forma frente a la nariz ¿será una onda de choque separada o una onda que toque la nariz del avión? Eplíquelo.

12-68 Calcule el cambio de entropía del aire al atravesar la onda de choque del problema 12-67. Respuesta: 0.218 kJ/kg · K

12-69 Entra aire en una tobera convergente-divergente de un túnel de viento supersónico a 1 MPa y 300 K con una velocidad pequeña. Si ocurre un choque normal en el plano de salida de la tobera a Ma  2.4, determine: presión, temperatura, número de Mach, velocidad y presión de estancamiento después de la onda de choque. Respuestas: 448 kPa, 284 K, 0.523, 177 m/s, 540 kPa 12-70 Entra aire en una tobera convergente-divergente con velocidad baja a 2.0 MPa y 100°C. Si el área de salida de la tobera es 3.5 veces el área de la garganta, ¿cuál debe ser la contrapresión para producir un choque normal en el plano de salida de la tobera? Respuesta: 0.661 MPa 12-71 ¿Cuál debe ser la contrapresión en el problema 12-70 para que ocurra un choque normal en la posición donde el área de la sección transversal es el doble del área de la garganta? 12-72 Aire que fluye en una tobera de una manera estacionaria experimenta un choque normal a un número de Mach de Ma  3.2. Si la presión y la temperatura del aire son 58 kPa y 270 K, respectivamente, corriente arriba del choque, calcule: presión, temperatura, velocidad, número de Mach y presión de estancamiento corriente abajo del choque. Compare estos resultados con los obtenidos para el helio que experimenta el choque normal en las mismas condiciones. 12-73 Calcule el cambio de entropía del aire en resultado de onda de choque del problema 12-72. 12-74I

Aire que fluye en una tobera de una manera estacionaria experimenta un choque normal a un número de Mach de Ma = 2.5. Si la presión y la temperatura del aire son 10.0 psia y 440.5 R, respectivamente, corriente arriba del choque, calcule: presión, temperatura, velocidad, número de Mach y presión de estancamiento corriente abajo del choque. Compare estos resultados con los obtenidos para el helio que experimenta el choque normal en las mismas condiciones. 12-75I

Reconsidere el problema 12-74I. Use el software EES (u otro) y estudie los efectos para ambas sustancias de aire y helio que fluyen de manera estacionaria en una tobera cuando ocurre un choque a un número de Mach en el rango 2  Ma1  3.5. Además de la información solicitada, calcule el cambio de entropía del aire y el helio en el choque normal. Tabule estos resultados en una tabla paramétrica. 12-76 Para un gas ideal que atraviesa un choque normal, desarrolle una relación para V2/V1 en términos de k, Ma1 y Ma2.

12-66C ¿Son aplicables las relaciones isentrópicas de gases ideales para flujos que atraviesan a) ondas de choque normales, b) ondas de choque oblicuas y c) ondas de expansión de Prandtl-Meyer?

12-77

Calcule y grafique el cambio de entropía del aire debido a un choque normal para números de Mach corriente arriba entre 0.5 y 1.5 en incrementos de 0.1. Explique las ondas de choque normales que pueden ocurrir sólo para números de Mach corriente arriba mayores que Ma = 1.

12-67 Entrada de aire a un choque normal a 18 kPa, 205 K y 740 m/s. Calcule la presión de estancamiento, número de Mach corriente arriba del choque, presión, temperatura, velocidad, número de Mach y presión de estancamiento corriente abajo del choque.

12-78 Considere un flujo de aire que se aproxima a la nariz de una cuña bidimensional a un número de Mach de 5. Use la figura 12-38 y determine el ángulo de choque mínimo y el máximo ángulo de deflexión que una onda de choque oblicua recta puede tener.

694 FLUJO COMPRESIBLE

12-79I Aire que fluye a 6 psia, 480 R y Ma1  2.0 es forzado a experimentar una compresión al girar 15°. Determine: número de Mach, presión y temperatura del aire después de la compresión. 12-80 Considere un flujo supersónico de aire en condiciones corriente arriba de 70 kPa y 260 K y número de Mach de 2.4 que incide en una cuña bidimensional de semiángulo de 10°. Si el eje de la cuña se inclina 25° respecto a la dirección de flujo de aire corriente arriba, determine: número de Mach, presión y temperatura corriente abajo en la región por encima de la cuña. Respuestas: 3.105, 23.8 kPa, 191 K

Ma2 Ma1  2.4 25°

10°

12-87 Fluye aire (k = 1.4) sobre una cuña bidimensional con medio ángulo d en Ma = 2.0. Comenzando con d = 5°, calcule el ángulo de choque oblicuo débil b (en grados). Aumente en 5° d y repita hasta que no pueda calcular b. Para esta cuña en particular, ¿a qué ángulo no es posible un choque oblicuo asociado? Ejecute FlowLab con la plantilla Wedge_2D para los mismos casos, incluyendo uno con d mayor que el que usted pudo calcular analíticamente. Compare sus resultados analíticos con los calculados por CFD y comente. Especialmente, comente lo que sucede con la onda de choque en el valor alto de d. 12-88 Fluye aire (k = 1.4) sobre una cuña axisimétrica con medio ángulo d en Ma = 3.0. Ejecute FlowLab usando la plantilla Wedge_axisymmetric para tres casos: d = 20°, 40° y 60°. Para cada caso, genere una gráfica de perfil de presiones (que debe ser el perfil predeterminado, graficado automáticamente; si no es así, elija Post-Contour-Activate. Para hacer un archivo gráfico de la gráfica, elija File-Print Graphics, seleccione el destino como File, especifique un nombre de archivo, y elija Accept. Compare con las fotografías de visualización experimental de flujo en el libro de texto para estos mismos casos, y comente sus resultados.

FIGURA P12-80 12-81 Reconsidere el problema 12-80. Determine el número de Mach, la presión y la temperatura corriente abajo en la región por abajo de la cuña, para un choque oblicuo con un número de Mach corriente arriba de 5. 12-82I Aire a 12 psia, 30°F y un número de Mach de 2.0 es forzado a girar hacia arriba debido a una rampa que forma un ángulo de 8° con la dirección de flujo. Como resultado, se forma un choque oblicuo débil. Determine: ángulo de choque, número de Mach, presión y temperatura después del choque. 12-83 Aire que fluye a 40 kPa, 280 K y Ma1  3.6 es forzado a experimentar una expansión al girar 15°. Determine: número de Mach, presión y temperatura del aire después de la expansión. Respuestas: 4.81, 8.31 kPa, 179 K 12-84 Aire a 60 kPa, 240 K y un número de Mach de 3.4 incide en una cuña bidimensional de semiángulo de 8°. Determine los dos posibles ángulos de choque oblicuo, bdébil y bfuerte, que podrían provocarse por esta cuña. Para cada caso calcule presión, temperatura y número de Mach corriente abajo del choque oblicuo. 12-85 Fluye aire (k = 1.4) sobre una cuña bidimensional con medio ángulo de 10°. Para 1.5 % Ma % 5.0, calcule el ángulo de choque débil oblicuo b (en grados). Ejecute FlowLab con la plantilla Wedge_2D. Esta plantilla calcula el ángulo de choque oblicuo para flujo supersónico en cuña. Compare sus resultados analíticos con los calculados por CFD y comente. 12-86 Repita el problema 12-85, pero para el caso axisimétrico —un cono con medio ángulo de 10°— usando la plantilla FlowLab Wedge_axisymmetric. [Usted no tiene ecuaciones para cálculos analíticos para este caso.] Compare los resultados 2D y axisimétricos calculados por CFD, y comente. Especialmente, para el mismo ángulo y el mismo número Mach, ¿cuál caso (2D o axisimétrico) tiene el menor valor de b? ¿Por qué?

Flujo en ducto con transferencia de calor de fricción despreciable (flujo de Rayleigh) 12-89C ¿Cuál es el rasgo característico del flujo de Rayleigh?, ¿cuáles son las suposiciones principales asociadas con el flujo de Rayleigh? 12-90C Sobre un diagrama T-s de flujo de Rayleigh, ¿qué representan los puntos sobre la línea de Rayleigh? 12-91C ¿Cuál es el efecto en la entropía producido por el aumento de calor y el calor perdido en el flujo de Rayleigh? 12-92C Considere un flujo subsónico de Rayleigh de aire a un número de Mach de 0.92. Se transfiere calor al fluido y el número de Mach aumenta a 0.95. La temperatura T del fluido ¿aumenta, disminuye o permanece constante en este proceso?, ¿qué sucede con la temperatura de estancamiento T0? 12-93C ¿Cuál es el efecto del calentamiento del fluido en la velocidad de flujo en caso de un flujo de Rayleigh subsónico? Conteste la misma pregunta, pero para un flujo de Rayleigh supersónico. 12-94C Considere un flujo subsónico de Rayleigh que se acelera a la velocidad sónica (Ma  1) en la salida del ducto debido al calentamiento. Si se continúa calentando al fluido, ¿cómo será el flujo a la salida del ducto: supersónico, subsónico o permanecerá sónico? 12-95 Considere una cámara de combustión tubular de un diámetro de 16 cm. Entra aire al tubo a 450 K, 380 kPa y 55 m/s. Se quema combustible con poder calorífico de 39 000 kJ/kg al inyectarlo al aire. Si el número de Mach a la salida es 0.8, determine la razón de flujo de masa a la cual se quema el combustible y la temperatura a la salida. Considere una combustión completa y desprecie el aumento de flujo de masa debido a la inyección del combustible.

695 CAPÍTULO 12 Combustible P1  380 kPa T1  450 K V1  55 m/s

Ma2  0.8

12-104 Entra gas argón a un ducto cuya área de sección transversal es constante, a Ma1  0.2, P1  320 kPa y T1  400 k y a una razón de 1.2 kg/s. Desprecie las pérdidas por fricción, y determine la máxima razón de transferencia de calor al argón que no causaría la reducción de su flujo másico.

Cámara de combustión

FIGURA P12-95 12-96 Se calienta aire mientras fluye subsónicamente en un ducto. Cuando la cantidad de calor transferido alcanza un valor de 52 kJ/kg, se observa que el flujo se bloquea, y que la velocidad y la presión estática medidas a la salida son de 620 m/s y 270 kPa. Desprecie las pérdidas por fricción y determine: velocidad, temperatura estática y presión estática a la entrada del ducto. 12-97I Fluye aire con fricción despreciable en un ducto de 4 pulgadas de diámetro a una razón de 5 lbm/s. La temperatura y la presión a la entrada son T1  800 R y P1  30 psia, y el número de Mach a la salida es Ma2  1. Determine la razón de transferencia de calor y la caída de presión para este ducto. Entra aire a un ducto sin fricción a V1  70 m/s, T1  600 K y P1  350 kPa. Si se deja que la temperatura de salida T2 varíe desde 600 hasta 5 000 K, evalúe el cambio de entropía a intervalos de 200 K y dibuje la línea de Rayleigh en un diagrama T-s. 12-98

12-99I Se calienta aire mientras que fluye en un ducto cuadrado de 6 6 in con fricción despreciable. En la entrada, el aire está a T1  700 R, P1  80 psia, y V1  260 ft/s. Determine la razón a la cual debe trasferirse calor al aire para bloquear el flujo en la salida del ducto y el cambio de entropía del aire en este proceso. 12-100 Aire comprimido al salir del compresor de un motor de propulsión entra a una cámara de combustión a T1  550 K, P1  600 kPa y Ma1  0.2 a una razón de 0.3 kg/s. Al quemar combustible se transfiere calor al aire a una razón de 200 kJ/s mientras éste fluye en un ducto con fricción despreciable. Determine el número de Mach a la salida del ducto y la disminución en la presión de estancamiento P01 – P02 en este proceso. Respuestas: 0.319, 21.8 kPa

12-101 Repita el problema 12-100, pero para una razón de transferencia de calor de 300 kJ/s. 12-102 Entra aire a un ducto rectangular a I1  300 k, P1  420 Kpa y Ma1  2. Se transfiere calor al aire en una cantidad de 55 kJ/kg mientras que fluye a través del ducto. Desprecie las pérdidas por fricción y determine la temperatura y el número de Mach a la salida del ducto. Respuestas: 386 K, 1.64 55 kJ/kg P1  420 kPa T1  300 K Ma1  2

FIGURA P12-102

12-103 Repita el problema 12-102 considerando que el aire se enfría a una cantidad de 55 kJ/kg.

Aire

12-105 Considere un flujo supersónico de aire en un ducto de 10 cm de diámetro con fricción despreciable. Entra aire al ducto a Ma1  1.8, P01  210 kPa, y T01  600 K, y se desacelera debido al calentamiento. Determine la máxima temperatura hasta la cual puede calentarse el aire mediante adición de calor tal que el flujo másico permanezca constante.

Flujo adiabático en un ducto con fricción (flujo de Fanno) 12-106C ¿Cuál es el aspecto característico del flujo de Fanno? ¿Cuáles son las principales aproximaciones correspondientes al flujo de Fanno? 12-107C En un diagrama T-s del flujo de Fanno, ¿qué representan los puntos sobre la línea de Fanno? 12-108C ¿Cuál es el efecto de la fricción en la entropía del fluido en el flujo de Fanno? 12-109C Considere un flujo subsónico de Fanno de aire con un número de Mach a la entrada de 0.70. Si el número de Mach aumenta a 0.90 en la salida del ducto como resultado de la fricción, ¿aumentarán, disminuirán o permanecerán constantes las siguientes cantidades a) temperatura de estancamiento T0, b) presión de estancamiento P0 y c) entropía s del fluido? 12-110C Considere un flujo supersónico de Fanno de aire con un número de Mach en la entrada de 1.8. Si el número de Mach disminuye a 1.2 en la salida del ducto como resultado de la fricción, ¿aumentarán, disminuirán o permanecerán constantes las siguientes cantidades a) temperatura de estancamiento T0, b) presión de estancamiento P0 y c) entropía s del fluido? 12-111C ¿Cuál es el efecto de la fricción sobre la velocidad del flujo en flujo de Fanno subsónico? Responda la misma pregunta para flujo de Fanno supersónico. 12-112C Considere un flujo de Fanno subsónico acelerado a la velocidad sónica (Ma  1) en la salida del ducto como resultado de la fricción. Si la longitud del ducto se aumenta más, el flujo en la salida ¿será supersónico, subsónico o permanecerá sónico? La razón de flujo de masa ¿aumentará, disminuirá o permanecerá constante como resultado del aumento en la longitud del ducto? 12-113C Considere un flujo de Fanno supersónico desacelerado a la velocidad sónica (Ma  1) en la salida del ducto como resultado de la fricción. Si la longitud del ducto se aumenta más, el flujo en la salida ¿será supersónico, subsónico o permanecerá sónico? La razón de flujo de masa ¿aumentará, disminuirá o permanecerá constante como resultado del aumento en la longitud del ducto? 12-114 Entra aire a un ducto adiabático de 15 cm de diámetro a las siguientes condiciones de entrada V1  150 m/s, T1 

696 FLUJO COMPRESIBLE

500 K y P1  200 kPa. Para un factor de fricción de 0.014, determine la longitud del ducto desde la entrada hasta la sección transversal donde la velocidad es el doble de la velocidad de entrada. Determine también la caída de presión en este tramo del tubo.

12-120 Entra aire a un ducto adiabático de 5 cm de diámetro a Ma1  0.4, T1  550 K y P1  200 kPa. El factor de fricción promedio para el ducto es estimado como 0.016. Si el número de Mach a la salida del ducto es 0.8, determine: longitud del ducto, temperatura, presión y velocidad a la salida del ducto.

12-115 Entra aire a un ducto adiabático de 15 m de longitud y 4 cm de diámetro a V1  70 m/s, T1  500 K y P1  300 kPa. El factor de fricción promedio para el ducto se estima como 0.023. Determine el número de Mach a la salida del ducto, la velocidad de salida y la razón del flujo de masa del aire. 12-116 Aire a T0  300 K y P0  100 kPa de una manera estacionaria se extrae de la habitación mediante una bomba de vacío a través de un tubo adiabático de 2 cm de diámetro y 50 cm de longitud equipada con boquilla convergente a la entrada. El flujo en su tramo correspondiente a la boquilla puede considerarse como el flujo isentrópico, y el factor de fricción promedio para este ducto se toma de 0.018. Determine el flujo másico máximo de aire que puede extraerse a través de este tubo y el número de Mach a la entrada del tubo. Respuestas: 0.624 kg/s, 0.611

P1  200 kPa T1  550 K

Ma2  0.8

Ma1  0.4 L

FIGURA P12-120 12-121I Fluye aire en un ducto de 6 in de diámetro y 50 ft de longitud cuyas condiciones de entrada son V1  500 ft/s, T01  650 R y P1  50 psia. Para un factor de fricción promedio de 0.02, determine: velocidad, temperatura y presión a la salida del ducto. 12-122

P0  100 kPa T0  300 K

D  2 cm

Bomba de vacío

L  50 cm

Considere un flujo de aire subsónico a través de un ducto de 20 cm de diámetro con condiciones en la entrada Ma1  0.1, T1  330 K y P1  180 kPa. Tome un factor de fricción promedio de 0.02 y determine la longitud del ducto necesaria para acelerar el flujo a un número de Mach igual a la unidad. Calcule también la longitud del ducto a intervalos del número de Mach de 0.1 para 0.1  Ma  1. Explique los resultados. 12-123

Repita el problema 12-122 para gas helio.

FIGURA P12-116 Entra gas argón con k  1.667, cp  0.5203 kJ/kg · K y R  0.2081 kJ/kg · K a un ducto de 8 cm de diámetro a V1  70 m/s, T1  520 K y P1 350 kPa. Tome el factor de fricción promedio como 0.005 y deje que la temperatura T2 varíe desde 540 K hasta 400 K, evalúe el cambio de entropía a intervalos de 10 K y dibuje la línea de Fanno en un diagrama T-s.

12-124 12-117 Repita el problema 12-116, pero para un factor de fricción de 0.025 y un tubo de 1 m de longitud. 12-118 Entra aire a un ducto adiabático de 5 cm de diámetro y 4 m de longitud a Ma1  2.8 , T1  380 K y P1  80 kPa. Se observa que ocurre un choque normal a una distancia de 3 m de la entrada. Tome el factor de fricción promedio como 0.007 y determine: velocidad, temperatura y presión a la salida del ducto. Respuestas: 572 m/s, 813 K, 328 kPa

P1  80 kPa T1  380 K Ma1  2.8

Choque normal

L1  3 m

FIGURA P12-118 12-119I Gas helio con k  1.667 entra en un ducto de 6 in de diámetro a Ma1  0.2, P1  60 psia y T1  600 R. Para un factor de fricción promedio de 0.025, determine la longitud máxima del ducto que no ocasionará reducción en la razón del flujo de masa del helio. Respuesta: 291 ft

Problemas de repaso 12-125 Fluye aire (r = 1.225 kg/m3 y m = 1.789 5 10 kg/m · s) sobre una sonda estática Pitot de diámetro d = 5 mm que está alineada directamente dentro del flujo. Nos interesa determinar qué tan bien funciona la aproximación de Bernoulli cuando aumenta el número de Mach. Ejecute FlowLab usando la plantilla Pitot_static_compressible. Esta plantilla calcula el flujo sobre una sonda estática Pitot e incluye pérdidas viscosas. Varíe el número de Mach de 0.1 a 2.0 y registre la velocidad en corriente libre y las presiones de estancamiento y estáticas calculadas en la superficie de la sonda estática Pitot para cada caso. Usando la aproximación de Bernoulli, calcule la velocidad en corriente libre basada en estas presiones, y compare con la velocidad conocida de entrada. ¿Aproximadamente a qué número de Mach excede 2 por ciento el error de la velocidad calculada? Comente sus resultados. 12-126 Entra nitrógeno a un ducto con área de flujo variable a 400 K, 100 kPa y número de Mach 0.3. Suponiendo un flujo

697 CAPÍTULO 12

uniforme isentrópico, determine la temperatura, la presión y el número de Mach en una ubicación en la que el área de flujo se ha reducido en 20 por ciento. 12-127 Repita el problema 12-126 para un número de Mach de entrada de 0.5. 12-128 El empuje desarrollado por el motor de un Boeing 777 es de alrededor de 380 kN. Suponiendo flujo estrangulado en las toberas, determine el flujo másico del aire por la tobera. Considere las condiciones ambientes como 295 K y 95 kPa. 12-129 Una sonda estacionaria de temperatura insertada en un ducto por el que fluye aire a 190 m/s, marca 85°C. ¿Cuál es la temperatura real del aire? Respuesta: 67.0°C 12-130 Entra nitrógeno a un intercambiador de calor de flujo estacionario a 150 kPa, 10°C y 100 m/s, y recibe calor en una cantidad de 150 kJ/kg mientras que fluye a través de él. El nitrógeno sale del intercambiador de calor a 100 kPa con una velocidad de 200 m/s. Determine: presión de estancamiento y temperatura de estancamiento del nitrógeno a la entrada y salida del intercambiador de calor. 12-131 Encuentre una expresión para la velocidad del sonido con base en la ecuación de estado de Van der Waals P  RT(v  b)  a/v 2. Use la expresión obtenida, determine la velocidad del sonido en dióxido de carbono a 80°C y 320 kPa y compare el resultado obtenido al suponer el comportamiento de gas ideal. Las constantes de Van der Waals para el dióxido de carbono son a  364.3 kPa · m6/kmol2 y b  0.0427 m3/kmol. 12-132 Obtenga la ecuación 12-10 a partir de la ecuación 12-9 y use la regla cíclica y las relaciones de las propiedades termodinámicas cp T

s a b

T P

y

cv T

s b .

T v

a

donde la velocidad sea igual a la velocidad del sonido. ¿Cuál es la razón del área de esta sección al área de entrada? 12-138 Repita el problema 12-137, pero considere que la velocidad de entrada es despreciable. 12-139

Entra aire a 0.9 MPa y 400 K a una tobera convergente con una velocidad de 180 m/s. El área de la garganta es de 10 cm2. Considere un flujo isentrópico, y calcule y grafique la razón del flujo de masa a través de la tobera, la velocidad de salida, el número de Mach a la salida y la razón de la presión de salida a la presión de estancamiento contra la razón de la contrapresión a la presión de estancamiento para un rango de contrapresiones de 0.9 # Pb # 0.1 MPa. 12-140 Entra nitrógeno a una tobera convergente-divergente a 620 kPa y 310 K con una velocidad despreciable y experimenta un choque normal en una sección donde el número de Mach es Ma  3.0. Calcule lo siguiente: presión, temperatura, velocidad, número de Mach y presión de estancamiento corriente abajo del choque. Compare estos resultados con los resultados para el aire que experimenta un choque normal en las mismas condiciones. 12-141 Un avión vuela a un número de Mach Ma1  0.8 a una altitud de 7 000 m donde la presión es de 41.1 kPa y la temperatura es de 242.7 K. El aire al salir del difusor que está a la entrada del motor, tiene un número de Mach Ma2  0.3. Para una razón de flujo de masa de 65 kg/s determine el aumento en la presión estática a través del difusor y el área de salida. 12-142 Se expande helio en una tobera desde 1 MPa, 500 K, y una velocidad despreciable hasta 0.1 MPa. Calcule las área de la garganta y de la salida para una razón de flujo de masa de 0.46 kg/s, al suponer que el flujo es isentrópico. ¿Por qué esta tobera debe ser convergente-divergente? Respuestas: 6.46 cm2, 10.8 cm2

12-133 Para gases ideales que experimentan el proceso de flujos isentrópicos, obtenga expresiones para P/P*, T/T* y r/r* como funciones de k y Ma. 12-134 Use las ecuaciones 12-4, 12-13 y 12-14, y verifique que para el flujo estacionario de gases ideales dT0/T  dA/A  (1  Ma2) dV/V. Explique los efectos del calentamiento y los cambios de área en la velocidad de un gas ideal en un flujo estacionario para a) flujo subsónico y b) flujo supersónico. 12-135 Un avión subsónico vuela a una altitud de 5 000 m donde las condiciones atmosféricas son 54 kPa y 256 K. Una sonda de Pitot estática mide la diferencia entre la presión de estancamiento y la estática que resulta ser de 22 kPa. Calcule la velocidad del avión y el número de Mach de vuelo. Respuestas: 230 m/s, 0.716

12-143I Se expande helio en una tobera desde 220 psia, 740 R y velocidad despreciable hasta 15 psia. Calcule las áreas de la garganta y de la salida para una razón de flujo de masa de 0.2 lbm/s, al suponer que el flujo es isentrópico. ¿Por qué esta tobera debe ser convergente-divergente? 12-144

Use el software EES y las relaciones en la tabla A-13, calcule las funciones de flujo compresible unidimensional para un gas ideal con k  1.667 y presente sus resultados al duplicar la tabla A-13. 12-145

Use el software EES y las relaciones en la tabla A-14, calcule las funciones de choque normal unidimensional para un gas ideal con k  1.667 y presente sus resultados al duplicar la tabla A-14.

12-136 Grafique en seguida el parámetro de flujo de masa # m 2RT0 /(AP0) contra el número de Mach para k  1.2, 1.4 y 1.6 en el rango de 0  Ma  1.

12-146 Considere una mezcla equimolar de oxígeno y nitrógeno. Determine: temperatura, presión y densidad críticas para una temperatura de estancamiento de 800 K y una presión de estancamiento de 500 kPa.

12-137 Entra gas helio a una tobera a 0.6 MPa, 560 K y con una velocidad de 120 m/s. Considere un flujo isentrópico y determine la presión y la temperatura del helio en una sección

12-147 En flujo compresible, las mediciones de velocidad con sonda de Pitot pueden ser excesivamente erróneas si se usan las relaciones desarrolladas para flujo incompresible. Por lo tanto,

698 FLUJO COMPRESIBLE

es esencial que las relaciones para flujo compresible se usen cuando se evalúa la velocidad a partir de las mediciones con sonda de Pitot. Considere un flujo supersónico de aire a través de un canal. Un medidor insertado dentro del flujo ocasiona una onda de choque que ocurre corriente arriba del medidor, y se miden la presión de estancamiento y la temperatura de estancamiento como 620 kPa y 340 K, respectivamente. Si la presión estática corriente arriba es 110 kPa, determine la velocidad de flujo.

Las propiedades del aire en la entrada se mantienen a Ma1  0.6, P1  350 kPa y T1  420 K durante todo el tiempo. Al despreciar las pérdidas por fricción, determine la razón máxima de transferencia de calor al aire en el ducto sin afectar las condiciones de entrada. Respuesta: 716 kW Qmáx P1  350 kPa T1  420 K Ma1  0.6

P1  110 kPa Onda de choque

P02  620 kPa T02  340 K

FIGURA P12-155 12-156

FIGURA P12-147

12-148

Usando software EES (u otro) y la relación dada en la tabla A-13, calcule las funciones del flujo unidimensional isentrópico variando el número de Mach corriente arriba de 1 a 10 en incrementos de 0.5 para el aire con k = 1.4. 12-149

Repita el problema 12-148, pero para metano con k  1.3.

12-150

Usando software EES (u otro) y las relaciones dadas en la tabla A-14, genere las funciones de choque normal unidimensional variando el número de Mach corriente arriba de 1 a 10 en incrementos de 0.5 para aire con k = 1.4. 12-151

Repita el problema 12-150, pero para metano con k  1.3.

12-152 Se extrae aire de una habitación a T0  290 K y P0  90 kPa mediante una bomba de vacío a través de un tubo adiabático de 3 cm de diámetro y 2 m de longitud, equipado con boquilla convergente en la entrada. El flujo en la sección de la tobera puede considerarse como isentrópico. La presión estática es de 87 kPa en la entrada del tubo y de 55 kPa en la salida de éste. Determine lo siguiente: razón del flujo de masa del aire a través del ducto, velocidad del aire en la salida del ducto y factor de fricción promedio para el ducto. 12-153 Entra aire a un ducto adiabático de 4 cm de diámetro en condiciones de entrada Ma1  2.2, T1  250 K y P1  80 kPa y sale con el número de Mach Ma2 = 1.8. Tome el factor de fricción promedio de 0.03 y determine la velocidad, temperatura y presión a la salida. 12-154 Se enfría aire mientras fluye a través de un ducto de 20 cm de diámetro. Las condiciones de entrada son Ma1  1.2, T01  350 K y P01  240 kPa y el número de Mach a la salida es Ma2  2.0. Al despreciar los efectos de fricción determine la razón de enfriamiento del aire. 12-155 Se calienta aire mientras fluye subsónicamente a través de un ducto cuadrado de 10 cm 10 cm de dimensiones.

Repita el problema 12-155, pero para helio.

12-157 Se acelera aire mientras se calienta en un ducto con fricción despreciable. Entra aire con V1  100 m/s, T1  400 K y P1  35 kPa y sale a un número de Mach Ma2  0.8. Determine el calor transferido al aire, en kJ/kg. Determine también la cantidad máxima de transferencia de calor sin reducir la razón de flujo de masa del aire. 12-158 Aire en condiciones sónicas y temperatura y presión estáticas de 460 K y 320 kPa, respectivamente, es acelerado hasta un número de Mach de 1.6 al enfriarlo mientras fluye a través de un ducto con área de sección transversal constante. Despreciando los efectos de la fricción, determine la transferencia de calor del aire necesaria, en kJ/kg. Respuesta: 28.2 kJ/kg 12-159 Gases de combustión con una razón de calores específicos promedio k  1.33 y constante de gas R  0.280 kJ/kg  K entran a un ducto adiabático de 10 cm de diámetro con condiciones a la entrada Ma1  2, T1  510 K y P1  180 kPa. Si ocurre un choque normal en una sección a 2 m desde la entrada, determine la velocidad, la temperatura y la presión a la salida del ducto. Tome el factor de fricción promedio como 0.010. 12-160

Considere un flujo de aire supersónico a través de un ducto adiabático de 12 cm de diámetro con condiciones en la entrada T1  530 K, P1  80 kPa, y Ma1  3. Tome el factor de fricción promedio como 0.03 y determine la longitud del ducto necesaria para desacelerar el flujo a un número de Mach igual a 1. Calcule también la longitud del ducto a intervalos del número de Mach de 0.25 y grafique la longitud del ducto contra el número de Mach para 1  Ma  3. Explique el resultado. 12-161

Fluye aire a través de un ducto adiabático de 6 cm de diámetro con condiciones en la entrada V1  120 m/s, T1  400 K, P1  100 kPa y un número de Mach a la salida Ma2  1. Para estudiar el efecto de la longitud del ducto en la razón del flujo de masa y la velocidad de entrada, se extiende el ducto hasta que duplique su longitud mientras que P1 y T1 permanecen constantes. Tome el factor de fricción promedio como 0.02 y calcule la razón del flujo de masa y la velocidad a la entrada para varias longitudes de extensión y grafíquelas contra las longitudes de extensión. Explique los resultados.

699 CAPÍTULO 12

12-162

Use el software EES (u otro) y determine la forma de una tobera convergente-divergente para aire que fluye a una razón de flujo de masa de 3 kg/s si las condiciones de estancamiento a la entrada son 1 400 kPa y 200°C. Considere que el flujo es isentrópico. Repita el cálculo a los intervalos de 50 kPa de la caída de presión hasta la presión a la salida de 100 kPa. Grafique la tobera a la escala. Calcule y grafique también el número de Mach en la tobera. 12-163

Vapor de agua a 6.0 MPa y 700 K entra en una tobera convergente con velocidad despreciable. El área de la garganta de la tobera es de 8 cm2. Considere un flujo isentrópico y grafique la presión de salida, la velocidad de salida y la razón de flujo de masa a través de la tobera contra la presión del receptor Pb, para 6.0 # Pb # 3.0 MPa. Trate al vapor de agua como un gas ideal con k  1.3, cp  1.872 kJ/kg · K y R  0.462 kJ/kg · K. 12-164 Encuentre la expresión para la razón de la presión de estancamiento después de la onda de choque a la presión estática antes de la onda de choque como función de k y del número de Mach corriente arriba de la onda de choque Ma1.

Problemas de diseño y ensayo 12-165 Pregunte si hay un túnel de viento supersónico en su universidad. Si lo hay, obtenga las dimensiones del túnel de viento y las temperaturas y presiones así como el número de Mach en

varias secciones durante su operación. ¿Para qué experimentos típicos se usa el túnel de viento? 12-166 Suponga que tiene un termómetro y un dispositivo para medir la velocidad del sonido en un gas. Explique cómo puede determinar la fracción molar de helio en una mezcla de gas de helio y aire. 12-167 Diseñe un túnel de viento cilíndrico de 1 m de longitud cuyo diámetro sea de 25 cm y que opere a un número de Mach de 1.8. Entra aire atmosférico al túnel de viento a través de una tobera convergente-divergente, en la cual el aire se acelera a una velocidad supersónica. El aire sale del túnel de viento a través de un difusor convergente-divergente en el cual el aire se desacelera a una velocidad muy baja antes de entrar a la sección del ventilador. Desprecie cualquier irreversibilidad. Especifique las presiones y las temperaturas en varias secciones así como la razón de flujo de masa del aire a las condiciones de flujo estacionario. ¿Por qué con frecuencia es necesario deshumedecer el aire antes que entre al túnel de viento?

P0 T0

Ma  1.8

FIGURA P12-167

D  25 cm

CAPÍTULO

FLUJO EN CANAL ABIERTO l flujo en canal abierto implica que el flujo en el canal está abierto a la atmósfera, pero el flujo en conducto es también el flujo en canal abierto si el líquido no cubre el conducto por completo y, por lo tanto, hay una superficie libre. Un flujo en canal abierto implica sólo líquido (usualmente agua o agua residual) expuesto a un gas (por lo general aire, el cual se encuentra a la presión atmosférica). El flujo en tuberías se conduce por una diferencia de presión, mientras que el flujo en canal abierto se conduce de manera natural por gravedad. El flujo del agua en un río, por ejemplo, se conduce por la diferencia de elevación entre río corriente arriba y río corriente abajo. La razón de flujo en un canal abierto está establecida por el balance dinámico entre gravedad y fricción. La inercia del flujo de un líquido también se vuelve importante en flujos no estacionarios. La superficie libre coincide con la línea de gradiente hidráulico (LGH o en inglés HGL de hydraulic grade line) y la presión es constante a lo largo de la superficie libre. La altura de una superficie libre medida desde el fondo del canal y, debido a ella, todas las dimensiones de la sección transversal del flujo a lo largo del canal no se conocen a priori y cambian con la velocidad promedio del flujo. En este capítulo se exponen los principios básicos de los flujos en canal abierto y sus correspondientes correlaciones para flujo estacionario unidimensional en canales de secciones transversales comunes. Se puede obtener información detallada en diversos libros que se han escrito sobre el tema, algunos de los cuales se incluyen en la lista de referencias.

E

13 Objetivos Cuando el estudiante termine de leer este capítulo debe ser capaz de: ■

■

■

■

Entender cómo difieren los flujos en canales abiertos de los flujos en tuberías. Aprender los diferentes regímenes de flujo en canales abiertos y sus características. Predecir si los saltos hidráulicos ocurren a lo largo del flujo, y calcular la fracción de energía que se disipa en éstos. Aprender cómo las razones de flujo en canales abiertos se miden con el empleo de compuertas o vertederos.

Cualquier flujo de un líquido con una superficie libre es un tipo de flujo en canal abierto. En esta fotografía, el río Nicholson serpentea por el norte de Australia. © Getty RF

701

702 FLUJO EN CANAL ABIERTO

13-1

■

CLASIFICACIÓN DE FLUJOS EN CANALES ABIERTOS

El flujo en canal abierto se refiere al flujo de un líquido en canales abiertos respecto a la atmósfera o en un conducto parcialmente lleno y se caracteriza por la presencia de una interfase líquido-gas, llamada superficie libre (Fig. 13-1). La mayoría de los flujos naturales encontrados en la práctica, como los de agua en riachuelos, ríos e inundaciones, además de cunetas a los lados de carreteras, estacionamientos o techos, son también flujos en canales abiertos. Los sistemas de flujo en canal abierto hechos por el hombre incluyen sistemas de irrigación, alcantarillas, desagües y cunetas, y el diseño de estos sistemas es un área importante de aplicación de la ingeniería. FIGURA 13-1 En un canal abierto, la velocidad del flujo es cero sobre las superficies lateLos flujos en canal abierto, tanto rales y en el fondo del canal debido a la condición de no deslizamiento, y mánaturales como artificiales, se xima en el plano de simetría de flujo, para las geometrías simétricas, típicacaracterizan por una superficie libre mente un poco por debajo de la superficie libre como se muestra en la figura abierta hacia la atmósfera. 13-2. Debido a los flujos secundarios, que ocurren hasta en los canales rectos © Vol. 16/PhotoDisc. si ellos son estrechos la máxima velocidad axial ocurre abajo de la superficie libre, por lo general, en algún lugar. Además, la velocidad del flujo varía en la dirección de éste en la mayoría de los casos. Por lo tanto, la distribución de la velocidad (y en consecuencia el flujo) en canales abiertos es en general tridimensional. Sin embargo, en la práctica de la ingeniería las ecuaciones están escritas en términos de la velocidad promedio en secciones transversales del canal. Debido a que la velocidad promedio varía solamente con la distancia x en la dirección del flujo, V es una variable unidimensional. La unidimensionalidad hace posible resolver problemas importantes de la vida real de manera simple por cálculos a mano, y se restringe en este capítulo a tratar flujos con velocidad promedio unidimensional. A pesar de su sencillez, las ecuaciones unidimensionales dan resultados de buena precisión y se aplican comúnmente FIGURA 13-2 en la práctica. Curvas típicas de velocidad axial consLa condición de no deslizamiento en las paredes de un canal causa los gratante en un canal abierto de sección dientes de velocidad, y el esfuerzo de corte tw se desarrolla a lo largo de las sutransversal trapezoidal; los valores son perficies mojadas del canal. El esfuerzo de corte t varía a lo largo del perímetro w relativos a la velocidad promedio. mojado en la sección transversal dada y ofrece resistencia al flujo. La magnitud de esta resistencia depende de la viscosidad del fluido como también del gradiente de velocidad en las paredes del canal. Los flujos en canales abiertos se clasifican también como estacionarios o no estacionarios. Se dice que un flujo es estacionario si no cambia con el tiempo en una posición dada. La cantidad representativa en flujos en canales abiertos es la profundidad del flujo (o la velocidad promedio), la cual podría variar a lo largo del canal. Se considera que el flujo es estacionario si la profundidad del flujo no varía con el tiempo en cualquier lugar dado a lo largo del canal (aunque ésta podría variar de un lugar a otro). De otra manera, es no estacionario. En este capítulo se tratan solamente los casos de flujos estacionarios.

Flujos uniforme y variado El flujo en canales abiertos también se clasifica como uniforme o no uniforme (también llamado variado), esto depende de cómo la profundidad del flujo y (la distancia de la superficie libre desde el fondo del canal medida en la dirección vertical) varía a lo largo del canal. Se dice que el flujo en un canal es uniforme si la profundidad del flujo (y por lo tanto la velocidad promedio) se mantiene constante. De otra manera, el flujo es no uniforme o variado, lo cual indica que la profundidad varía con la distancia en la dirección del flujo. Las condiciones

703 CAPÍTULO 13

del flujo uniforme comúnmente se encuentran en la práctica en tramos largos y rectos de canales con pendiente y sección transversal constantes. En canales abiertos de pendiente y sección transversal constantes, el líquido se acelera hasta que la pérdida de carga debida a los efectos de fricción se iguala a la caída de elevación. El líquido en este momento alcanza su velocidad final y se establece un flujo uniforme. El flujo se mantiene uniforme siempre que la pendiente, la sección transversal y la rugosidad del canal no tengan algún cambio. La profundidad del flujo en flujos uniformes se llama profundidad normal yn, la cual es un parámetro característico importante para flujos en canales abiertos (Fig. 13-3). La presencia de una obstrucción en el canal, como una compuerta, o un cambio de la pendiente o de sección transversal, ocasiona que la profundidad del flujo cambie y en consecuencia el flujo se convierta en variado o no uniforme. Estos flujos variados son comunes en canales naturales o hechos por el hombre como ríos, sistemas de irrigación y canales de desagüe. El flujo variado se llama flujo de variación rápida (FVR, RVF por sus siglas del inglés: rapidly varied flow,) si la profundidad del flujo cambia considerablemente sobre una distancia relativamente corta en la dirección del flujo (como el paso del flujo de agua a través de una compuerta parcialmente abierta o sobre las cascadas o caídas) y flujo de variación gradual (FVG, GVF por sus siglas del inglés: gradually varied flow,) si la profundidad del flujo cambia gradualmente en una distancia larga a lo extenso del canal. Una región de flujo de variación gradual por lo general ocurre entre las regiones de un flujo de variación rápida y un flujo uniforme, como se muestra en la figura 13-4. En flujos de variación gradual se puede trabajar con la velocidad promedio unidimensional, tal y como se trabaja con ella en flujos uniformes. Sin embargo, la velocidad promedio no siempre es la más útil o el parámetro más apropiado para flujos de variación rápida. Por lo tanto, el análisis de flujos de variación rápida es bastante complicado, en especial cuando el flujo es no estacionario (como el rompimiento del oleaje en la playa). Para una razón de flujo conocida, la altura del flujo en una región de flujo de variación gradual (i.e. el perfil de la superficie libre) en un canal abierto en específico, puede determinarse en un modo de paso a paso, cuando se empieza por analizar en la sección transversal donde las condiciones del flujo se conocen, y se evalúa la pérdida de carga, la caída de elevación y la velocidad promedio para cada paso.

FIGURA 13-3 Para el flujo uniforme en un canal abierto, la profundidad de flujo y y la velocidad de flujo promedio V permanecen constantes.

Flujos laminares y turbulentos en canales Al igual que el flujo en tuberías, el flujo en un canal abierto puede ser laminar, de transición o turbulento, esto depende del valor del número de Reynolds expresado como: Re  FU

FVG

rVR h VR h  m n FVR

(13-1)

FVG

FU

FIGURA 13-4 Flujo uniforme (FU) flujo de variación gradual (FVG) y flujo de variación rápida (FVR) en un canal abierto.

704 FLUJO EN CANAL ABIERTO

Aquí V es la velocidad promedio del líquido, n es la viscosidad cinemática y Rh es el radio hidráulico definido como la razón entre el área de la sección transversal del flujo Ac (el subíndice c se debe a la palabra en inglés: cruss-section, que significa sección transversal) y el perímetro mojado p: Radio hidráulico:

Rh 

Ac p

(m)

(13-2)

Si se considera que con frecuencia los canales abiertos vienen con secciones transversales irregulares, el radio hidráulico sirve como la longitud característica y proporciona uniformidad al tratamiento de canales abiertos. También, el número de Reynolds es constante para todo el tramo del flujo uniforme de un canal abierto. Puede suponerse que los radios hidráulicos podrían definirse como la mitad de los diámetros hidráulicos, pero éste no es el caso por desgracia. Como se recuerda, el diámetro Dh, para un flujo en una tubería se define como Dh  4Ac /p, así que el diámetro hidráulico es simplemente el diámetro de tubería en caso de tuberías circulares. Sin embargo, la relación entre radio hidráulico y diámetro hidráulico se vuelve: Diámetro hidráulico:

FIGURA 13-5 La relación entre el radio hidráulico y el diámetro hidráulico no es lo que se podría esperar.

Dh 

4A c  4R h p

(13-3)

Así, se ve que el radio hidráulico es de hecho una cuarta parte en vez de la mitad del diámetro hidráulico (Fig. 13-5). Por lo tanto, un número de Reynolds basado en el radio hidráulico es una cuarta parte del número de Reynolds basado en el diámetro hidráulico como la longitud característica. Así que no sería ninguna sorpresa que el flujo sea laminar para Re  2 000 en caso de flujos en tubería, pero para Re  500 en caso de flujos en canal abierto. También, el flujo en un canal abierto es, por lo general, turbulento para Re  2 500 y de transición para 500  Re  2 500. El flujo laminar se encuentra cuando una delgada capa de agua (como el agua que corre por cunetas de carreteras o estacionamientos) fluye a baja velocidad. La viscosidad cinemática del agua a 20ºC es 1.00 10–6 m2/s, y la velocidad promedio de flujo en canales abiertos es usualmente arriba de 0.5 m/s. También, el radio hidráulico es, por lo general, mayor que 0.1 m. Por lo tanto, el número de Reynolds asociado con el flujo del agua en canales abiertos es usualmente mayor de 50 000, así que el flujo es casi siempre turbulento. Note que el perímetro mojado incluye los lados y el fondo del canal que están en contacto con el líquido, esto no incluye la superficie libre y las partes de los lados expuestas al aire. Por ejemplo, el perímetro mojado y el área de flujo de sección transversal de un canal rectangular de altura h y de anchura b conteniendo agua de una profundidad y son p  b  2y y Ac  yb respectivamente. Entonces: Canal rectangular:

Rh 

Ac yb y   p b  2y 1  2y/b

(13-4)

Otro ejemplo sería el radio hidráulico de un flujo de drenaje de agua a una profundidad y de un estacionamiento de ancho b (Fig. 13-6): Capa líquida de grosor y:

Rh 

Ac yb yb   y p b  2y b

(13-5)

ya que b  y. Por lo tanto, el radio hidráulico para el flujo de una capa de líquido sobre una superficie larga es simplemente el grueso de la capa de líquido.

705 CAPÍTULO 13

FIGURA 13-6 Relaciones de radios hidráulicos para varias geometrías de canal abierto.

13-2

■

NÚMERO DE FROUDE Y VELOCIDAD DE ONDA

El flujo en canal abierto se clasifica como subcrítico o tranquilo, crítico, y supercrítico o rápido, esto depende del valor del número de Froude adimensional que se trata en el capítulo 7 y se define como: Fr 

Número de Froude:

V 2gL c

(13-6)

donde g es la aceleración gravitacional, V es la velocidad promedio del líquido en la sección transversal y Lc es la longitud característica, la cual se toma como la profundidad del flujo y para canales rectangulares anchos y para estos canales Fr  V/ 1gy. El número de Froude es un parámetro importante que rige el tipo del flujo en canales abiertos. El flujo se clasifica como: Fr  1

Flujo subcrítico o tranquilo

Fr  1

Flujo crítico

Fr  1

Flujo supercrítico o rápido

(13-7)

706 FLUJO EN CANAL ABIERTO

FIGURA 13-7 Analogía entre el número de Mach en un flujo compresible y el número de Froude en un flujo de canal abierto.

Esto se parece a la clasificación de flujos compresibles respecto al número de Mach, subsónico para Ma  1, sónico para Ma  1, y supersónico para Ma  1 (Fig. 13-7). En efecto, el denominador del número de Froude tiene la dimensión de la velocidad, y éste representa la velocidad c0 a la cual una pequeña alteración viaja sobre un líquido inmóvil, como se mostrará en otra sección. Por lo tanto, en analogía con el número de Mach, el número de Froude se expresa como la razón de la velocidad del flujo respecto a la velocidad de onda, Fr  V/c0, justo como el número de Mach se expresa como la razón de la velocidad del flujo respecto a la velocidad de sonido, Ma  V/c. Es posible pensar también que el número de Froude puede ser la raíz cuadrada de la razón de la fuerza de inercia (o dinámica) respecto a la fuerza de gravedad (o peso). Esto se demuestra cuando se multiplican ambos, numerador y denominador del cuadrado del número de Froude V2/gLc, por rA, donde r es la densidad y A es un área representativa, lo cual resulta: Fr 2 

1 Fuerza de inercia V 2 rA 2( 2 rV 2A)   mg gL c rA Fuerza de gravedad

(13-8)

Aquí LcA representa el volumen, rLcA es la masa de volumen de este fluido, y mg es el peso. El numerador es dos veces la fuerza de inercia 12 rV2A, y puede pensarse ésta como la presión dinámica 12 rV2 por el área de sección transversal A. Por lo tanto, el flujo en un canal abierto es dominado por las fuerzas de inercia en un flujo rápido y por las fuerzas de gravedad en flujos tranquilos. Por consiguiente, a velocidades de flujo lentas (Fr  1), una pequeña alteración viaja corriente arriba (con una velocidad c0  V relativa al observador en reposo) y afecta las condiciones de flujo corriente arriba. Éste se llama flujo tranquilo o subcrítico. Pero, a velocidades de flujo altas (Fr  1), una pequeña alteración no puede viajar corriente arriba (de hecho, la onda es llevada corriente abajo con una velocidad V  c0 relativa al observador en reposo) así que las condiciones de flujo corriente arriba no pueden ser influidas por las condiciones de flujo corriente abajo. Éste se llama flujo rápido o supercrítico, y el flujo en este caso es controlado por las condiciones corriente arriba. Por lo tanto, una onda superficial viaja corriente arriba cuando Fr  1, y es arrastrada corriente abajo cuando Fr  1, y parece congelada sobre la superficie cuando Fr  1. También, la velocidad de la onda superficial se incrementa con la profundidad del flujo y, y una alteración sobre la superficie se propaga más rápido en canales profundos que en canales poco profundos. Se considera el flujo de un líquido en un canal rectangular abierto a la atmós. fera de un área de sección transversal Ac con una razón de flujo volumétrico V. Cuando el flujo es crítico, Fr  1 y la velocidad promedio del flujo es V  # 1gy c, donde yc es la profundidad crítica. Note que V  A cV  A c 1gy c, la profundidad puede expresarse como: Profundidad crítica (caso general):

# V2 yc  2 gA c

(13-9)

Para un canal rectangular de ancho b se tiene Ac  byc, y la relación de la profundidad crítica se reduce a: Profundidad crítica (canal rectangular):

FIGURA 13-8 Definiciones de flujo subcrítico y flujo supercrítico en términos de la profundidad crítica.

yc  a

# V 2 1/3 b gb 2

(13-10)

La profundidad del líquido es y  yc para flujos subcríticos y y  yc para flujos supercríticos (Fig. 13-8). Como en el caso de un flujo compresible, un líquido puede acelerarse desde subcrítico hasta supercrítico. Por supuesto, éste puede desacelerar desde un flujo

707 CAPÍTULO 13

supercrítico hasta un subcrítico, pero éste puede suceder cuando se experimenta un choque. El choque en este caso se llama salto hidráulico, el cual corresponde a un choque normal en un flujo compresible. Por lo tanto, la analogía entre un canal abierto y el flujo compresible es evidente.

Velocidad de ondas superficiales Todos estamos familiarizados con las ondas formadas sobre superficies libres del océano, lagos, ríos y hasta en las albercas. Las ondas superficiales pueden ser muy altas, como las que se ven en los océanos o aquellas que apenas se notan. Algunas son suaves, otras se rompen en la superficie. Es necesario un entendimiento básico del movimiento de onda para el estudio de ciertos aspectos del flujo en un canal abierto, y aquí se presenta una breve descripción. Un detallado tratamiento del movimiento de onda puede encontrarse en numerosos libros escritos sobre el tema. Un parámetro importante en el estudio del flujo en un canal abierto es la velocidad de onda c0, la cual es la velocidad de una pequeña alteración que viaja sobre un líquido. Considere un canal largo y ancho, que inicialmente contiene un líquido inmóvil de altura y. El extremo del canal avanza a la velocidad dV, generando una onda superficial de altura dy que se propaga a una velocidad c0 dentro de un líquido inmóvil, como se muestra en la figura 13-9a. Ahora considere un volumen de control que rodee el frente de la onda y que se mueva con ésta, como se muestra en la figura 13-9b. Para un observador que viaja con el frente de onda, el líquido de su derecha parece moverse hacia el frente de onda con una velocidad c0 y el líquido de su izquierda parece alejarse del frente de onda con una velocidad de c0  dV. Por supuesto el observador pensaría que el volumen de control que rodea el frente de onda (y a él o ella) está en reposo, y que él o ella es testigo de un proceso de flujo estacionario. . . El balance de la masa de flujo estacionario m1  m2 (o ecuación de continuidad) para el volumen de control de ancho b puede expresarse como: rc0 yb  r(c0  dV)(y  dy)b ˛

→

dV  c0

dy y  dy

(13-11)

Pueden formularse las siguientes suposiciones: 1) la velocidad es aproximadamente constante a través del canal y los factores de corrección de cantidad de movimiento de flujo (b1 y b2) son iguales a uno; 2) la distancia a través de la onda es corta y por lo tanto la fricción en el fondo de la superficie y la resistencia del aire en la parte de arriba son despreciables; 3) los efectos dinámicos son despreciables, y por lo tanto la presión en el líquido varía hidrostáticamente; en términos de presión manométrica, P1, prom  rgh1, prom  rg(y/ 2) y P2, prom  . . rgh2, prom  rg(y  dy)/2; 4) la razón de flujo de masa es constante: m1  m2  rc0yb, y 5) no hay fuerzas externas o fuerzas de cuerpo y, por lo tanto, las únicas fuerzas que actúan sobre el volumen de control en la dirección horizontal x son las fuerzas de presión. Entonces, la ecuación de cantidad de movimiento → # → # → a F  a bmV  a bmV en la dirección x se convierte en un balance entre sal

ent

las fuerzas de presión hidrostática y la transferencia de cantidad de movimiento: # # P2, prom A 2  P1, prom A 1  m (V2)  m (V1)

(13-12)

Note que tanto la velocidad promedio de entrada como la de salida son negativas, porque están en la dirección negativa de x. Se sustituye: rg(y  dy)2b rgy 2b   rc0yb(c0  dV)  rc0yb(c0) 2 2

(13-13)

Posición de movimiento

dy c0 dV y

Líquido en reposo

Movimiento del frente de onda a) Generación y propagación de una onda

Volumen dy de control

y

c0dV c0 rg(y  dy) (2)

(1)

rgy

b) Volumen de control relacionado con el observador que viaja junto con la onda, con la distribución de presión manométrica mostrada

FIGURA 13-9 Generación y análisis de una onda en un canal abierto.

708 FLUJO EN CANAL ABIERTO

o

Compuerta de desagüe

ga1  Salto hidráulico Flujo subcrítico

Flujo supercrítico

Flujo subcrítico

FIGURA 13-10 Flujo supercrítico a través de una compuerta.

b)

FIGURA 13-11 Se puede observar un salto hidráulico en un plato cuando a) está colocado hacia arriba, pero no cuando b) está colocado hacia abajo. Fotografía por Abel Po-Ya Chuang. Reproducido con permiso.

(13-14)

Al combinar las ecuaciones de cantidad de movimiento y de continuidad y reordenar los términos se tiene: c 20  gya1 

dy dy b a1  b y 2y

(13-15)

Por lo tanto, la velocidad de onda c0 es proporcional a la altura de la onda dy. Para las ondas superficiales infinitesimales, dy  y y así: Ondas superficiales infinitesimales:

a)

dy b dy  c0 dV 2y

c0  2gy

(13-16)

Por lo tanto, la velocidad de ondas superficiales infinitesimales es proporcional a la raíz cuadrada de la profundidad del líquido. Note otra vez que este análisis es válido sólo para cuerpos de agua de poca profundidad, así como los que se encuentran en canales abiertos. De otra manera, la velocidad de la onda es independiente de la profundidad del líquido en aguas profundas, como los océanos. La velocidad de onda también puede determinarse del balance de energía, en vez de la ecuación de cantidad de movimiento, combinado con la ecuación de continuidad. Note que las ondas finalmente disminuyen por los efectos de viscosidad que se desprecian en este análisis. También, para un flujo en canal de sección transversal no rectangular, en el cálculo del número de Froude, en vez de la profundidad del flujo y, debe utilizarse la profundidad hidráulica definida como yh  Ac/Lt donde Lt (el subíndice t se debe a la palabra en inglés tup, que significa parte superior) es el ancho de la parte superior de la sección transversal del flujo. Para un canal circular lleno a la mitad, por ejemplo, la profundidad hidráulica es yh  (pR2/ 2)/ 2R  pR/4. Por experiencia se sabe que cuando se arroja una piedra a un lago, las ondas concéntricas que se propagan en todas direcciones se desvanecen después de alguna distancia. Cuando una piedra se tira a un río, el frente de onda corriente arriba se desplaza corriente arriba si el flujo es tranquilo o subcrítico (V  c0), y lo hace corriente abajo si el flujo es rápido o supercrítico (V  c0), y se mantiene en reposo en lugares donde se forma un flujo crítico (V  c0). Se preguntará el lector por qué se pone mucha atención si el flujo es subcrítico o supercrítico. La razón es que este fenómeno influye notablemente en el flujo. Por ejemplo, la piedra en un lecho de un río puede causar que el nivel del agua en este lugar se incremente o disminuya, dependiendo si el flujo es subcrítico o supercrítico. También, el nivel del líquido baja gradualmente en la dirección del flujo en flujos subcríticos y puede ocurrir un repentino levantamiento del nivel del líquido, llamado salto hidráulico, en flujos supercríticos (Fr  1) al mismo tiempo que el flujo desacelera hasta alcanzar velocidades subcríticas (Fr  1). Este fenómeno puede ocurrir corriente abajo de una compuerta de desagüe (Fig. 13-10). El líquido se aproxima a la compuerta con una velocidad subcrítica, pero el nivel del líquido corriente arriba es suficientemente alto para acelerar la velocidad del líquido a un nivel supercrítico mientras éste pasa por la compuerta (como el flujo de gas que pasa en una tobera convergente-divergente). Pero, si la sección del canal corriente abajo no tiene la inclinación suficiente, no puede mantener su velocidad supercrítica, y el líquido saltará a un nivel más alto con un área de sección transversal más grande y, por lo tanto, a una velocidad subcrítica más baja. Para finalizar, los flujos en ríos, canales y sistemas de irrigación son usualmente subcríticos. Pero el flujo en compuertas y desbordes es usualmente supercrítico.

709 CAPÍTULO 13

Puede crear un bello salto hidráulico la siguiente ocasión que lave platos (Fig. 13-11). Deje que el agua que sale del grifo golpee el centro de un plato. Mientras que el agua se dispersa radialmente, su profundidad disminuye y el flujo se vuelve supercrítico. Finalmente un salto hidráulico ocurre, el cual se observa como un repentino incremento en la profundidad del agua. ¡Inténtelo!

13-3

■

ENERGÍA ESPECÍFICA

Línea de energía

Considere el flujo de un líquido en un canal en una sección transversal donde la profundidad del flujo es y, la velocidad promedio del flujo V y la elevación relativa del fondo del canal a algún nivel de referencia dado z. Por sencillez, se desprecia la variación de la velocidad del líquido a lo largo la sección transversal y se supone que la velocidad debe ser V en todas partes. La energía mecánica total del líquido en un canal en términos de carga se expresa como (Fig. 13-12): Hz

V2 V2 P  zy rg 2g 2g

V2 2g

Es

y

(13-17) z

en donde z es la carga de elevación, P/rg  y es la carga de presión manométrica y V 2/ 2g es la carga dinámica o de velocidad. La energía total en la ecuación 13-17 no es una representación realista de la energía verdadera de un fluido que fluye ya que el nivel de referencia que se eligió para la elevación y por lo tanto el valor de la carga de elevación z es un tanto arbitrario. La energía intrínseca del fluido a través de la sección transversal puede expresarse con mayor realidad si se toma como punto de referencia el fondo del canal y de esa manera z  0 en ese punto. Entonces, la energía mecánica total del fluido en términos de la carga será la suma de la carga de presión y la carga dinámica. La suma de la carga de presión y la carga dinámica de un líquido en un canal abierto se llama energía específica Es (el subíndice s se debe a la palabra en inglés: specific, que significa específica) y se expresa como (Bakhmeteff, 1932): Es  y 

V2 2g

Dato de referencia

FIGURA 13-12 La energía específica Es de un líquido en un canal abierto es la energía mecánica total (expresada como carga hidráulica) relativa al fondo del canal.

(13-18)

como se muestra en la figura 13-12. Considere el flujo en un canal abierto .con un ancho constante b. Se observa que si el flujo volumétrico del fluido es V  AcV  ybV, la velocidad promedio del flujo puede expresarse de la siguiente manera: V

# V yb

(13-19)

Al sustituirlo en la ecuación 13-18, la energía específica puede expresarse de la siguiente manera: Es  y 

# V2 2gb 2y 2

y . V  constante

Es  y

(13-20)

Esta ecuación es muy instructiva porque muestra la variación de la energía específica respecto a la profundidad del flujo. Durante flujos estacionarios en un canal abierto . la razón de flujo es constante, y una gráfica de Es contra y para constantes V y b está dada en la figura 13-13. A partir de esta figura se observa lo siguiente: • La distancia desde un punto en el eje vertical y, a la curva, representa la energía específica correspondiente a este valor de profundidad y. La parte entre la línea Es  y y la curva corresponden a la carga dinámica (o energía cinética) del líquido, y la parte restante, a la carga de presión (o energía del flujo).

V2 2g y yc

Flujo subcrítico, Fr  1 Flujo supercrítico, Profundidad Fr  1 crítica

Fr  1 Es, mín

Es

FIGURA 13-13 Variación de la energía específica Es respecto a la profundidad y para una razón de profundidad específica.

710 FLUJO EN CANAL ABIERTO

• La energía específica tiende a infinito cuando y → 0 (debido a que la velocidad se aproxima a infinito), y se vuelve igual a la profundidad del flujo y para valores grandes de y (debido a que la velocidad y en consecuencia la energía cinética se vuelven muy pequeñas). La energía específica alcanza un valor mínimo Es,mín en un punto intermedio, llamado punto crítico, caracterizado por la profundidad crítica yc y la velocidad crítica Vc. La energía específica mínima también se llama energía crítica. • Existe una energía específica mínima Es,mín necesaria para mantener el flujo . Es no puede tener volumétrico V dado. En consecuencia, la energía específica . el valor abajo de Es, mín para un flujo volumétrico V dado. • Una línea horizontal interseca la curva de la energía específica solamente en un punto, así que un valor fijo de la profundidad del flujo corresponde a un valor fijo de la energía específica. Esto es de esperarse, puesto que la veloci. dad tiene valor fijo cuando V, b y y se especifican. Sin embargo, para Es  Es,mín, una línea vertical interseca la curva en dos puntos, indicando que un fluido puede tener dos profundidades diferentes (y por lo tanto dos velocidades diferentes) correspondientes a un valor fijo de energía específica. Esas dos profundidades se llaman profundidades alternas. Para flujos a través de compuerta de desagüe con pérdida de fricción despreciable (así que Es  constante), la profundidad más alta corresponde al flujo corriente arriba, y la profundidad más baja corresponde al flujo corriente abajo (Fig. 13-14). • Un pequeño cambio en la energía específica cerca del punto crítico causa gran diferencia entre las profundidades alternas y podría causar una violenta fluctuación en el nivel del flujo. Por lo tanto, las operaciones cerca del punto crítico deben evitarse en el diseño de canales abiertos.

Compuerta

V1

y1

y2

V2

FIGURA 13-14 Una compuerta de desagüe ilustra las profundidades alternas: el líquido profundo corriente arriba de la compuerta y el líquido de poca profundidad corriente abajo.

El valor de la energía específica mínima y la profundidad crítica en donde éste ocurre, pueden determinarse si se diferencia Es de la ecuación 13-20 respecto . a y para constantes b y V y se establece que la derivada sea igual a cero: # # dE s d V2 V2 b 1 2 30  ay  dy dy 2gb 2y 2 gb y

(13-21)

Se resuelve para y, la cual es la profundidad del flujo crítico yc, se tiene: # V 2 1/3 y c  a 2b gb

(13-22)

. La razón de flujo en un punto crítico puede expresarse como V  ycbVc. Al sustituir, la velocidad crítica se determina para ser: Vc  2gy c

(13-23)

la cual es la velocidad de onda. El número de Froude en este punto es: Fr 

V 2gy



Vc 2gy c

1

(13-24)

que indica que el punto de la energía específica mínima es efectivamente el punto crítico, y el flujo se convierte en crítico cuando la energía específica alcanza su valor mínimo. Se supone que el flujo es subcrítico en velocidades de flujo más bajas y por lo tanto en profundidades de flujo más altas (la rama más alta de la curva en la figura 13-13), supercrítico en velocidades de flujo más altas y por lo tanto en profundidades del flujo más bajas (la rama más baja de la curva), y crítico en el punto crítico (el punto de la energía específica mínima).

711 CAPÍTULO 13

Al notar que Vc  1gy c, la energía específica mínima (o crítica) puede expresarse sólo en términos de la profundidad crítica como: E s, mín  y c 

V 2c gy c 3  yc   y 2g 2g 2 c

(13-25)

En flujos uniformes la profundidad del flujo y la velocidad del flujo, y por lo tanto la energía específica, permanecen constantes ya que E s  y  V 2/2g. La pérdida de la carga se recupera a la caída en la elevación (el canal está inclinado hacia abajo en la dirección del flujo). Sin embargo, en un flujo no uniforme la energía específica podría incrementarse o disminuir, dependiendo de la pendiente del canal y sus pérdidas por fricción. Por ejemplo, si la caída en la elevación a lo largo de un tramo del flujo es mayor que la pérdida de carga a lo largo de este tramo, entonces la energía específica aumenta en una cantidad igual a la diferencia entre la caída de la elevación y la pérdida de carga. El concepto de la energía específica se convierte en un recurso particularmente útil cuando se estudian flujos variados.

EJEMPLO 13-1

Tipo del flujo y profundidad alterna

El agua fluye de manera estacionaria en un canal abierto de 0.4 m de ancho a una razón de 0.2 m3/s (Fig. 13-15). Si la profundidad es de 0.15 m, determine la velocidad y si el flujo es subcrítico o supercrítico. También determine la profundidad alterna del flujo si el tipo de flujo cambiara.

0.2 m3/s

SOLUCIÓN Se considera el flujo del agua en un canal abierto rectangular. El tipo de flujo, la velocidad del flujo y la profundidad alterna también se determinarán. Suposición La energía específica es constante. Análisis La velocidad promedio del flujo se determina por:

# # V V 0.2 m3/s  3.33 m/s V   A c yb (0.15 m)(0.4 m) La profundidad crítica para este flujo es:

yc  a

# 1/3 (0.2 m3/s)2 V 2 1/3 b a b  0.294 m 2 2 2 gb (9.81 m/s )(0.4 m)

Por lo tanto, el flujo es supercrítico porque la profundidad real del flujo y  0.15 m, y y  yc. Otra manera de determinar el tipo del flujo es con el cálculo del número de Froude.

Fr 

V 3.33 m/s   2.75 1gy 2(9.81 m/s2)(0.15 m)

Otra vez, el flujo es supercrítico ya que Fr  1. La energía específica para las condiciones dadas es:

E s1  y 1 

# (0.2 m3/s)2 V2  (0.15 m)   0.7163 m 2 2 2gb y 1 2(9.81 m/s2)(0.4 m)2(0.15 m)2

Entonces, la profundidad alterna se determina por Es1  Es2 y es:

# V2 E s2  y 2  2gb 2y 22

→

0.7163 m  y 2 

(0.2 m3/s)2 2(9.81 m/s2)(0.4 m)2y 22

Al resolver para y2 se obtiene que la profundidad alterna es y2  0.69 m. Por lo tanto, si el tipo del flujo cambiara de supercrítico a subcrítico mientras se mantuviera una energía específica constante, la profundidad del flujo aumentaría de 0.15 a 0.69 m.

0.15 m 0.4 m

FIGURA 13-15 Esquema para el ejemplo 13-1.

712 FLUJO EN CANAL ABIERTO

Discusión Note que si el agua experimentara un salto hidráulico con energía específica constante (la pérdida por fricción fuera igual a la caída en la elevación), la profundidad del flujo se incrementaría a 0.69 m, al considerar por supuesto que las paredes del canal serían suficientemente altas.

13-4 Línea de energía

Hzy

2

V2 2g

V 2g

■

ECUACIONES DE CONSERVACIÓN DE MASA Y ENERGÍA

Los flujos en canales abiertos incluyen líquidos cuyas densidades son casi constantes y por lo tanto la conservación de masa del flujo estacionario unidimensional, o ecuación de continuidad, puede expresarse de la siguiente manera: # V  A cV  constante

a y

V

A ya

Ése es el producto de la sección transversal del flujo y la velocidad promedio del flujo permanece constante a lo largo del canal. La ecuación de continuidad entre dos secciones a a lo largo del canal se expresa como: Ecuación de continuidad:

z

Dato de referencia

FIGURA 13-16 Energía total de un líquido que fluye en un canal abierto.

(13-26)

A c1V1  A c2V2

(13-27)

la cual es idéntica a la ecuación de continuidad de flujo estacionario de líquido en una tubería. Note que ambas, la sección transversal y la velocidad promedio del flujo, pueden variar a lo largo del flujo pero, como se establece, su producto permanece constante. Para determinar la energía total del flujo de un líquido en un canal abierto con respecto a un nivel de referencia, como se muestra en la figura 13-16, se considera un punto A en el líquido a una distancia a de la superficie libre (y así una distancia y  a desde el fondo del canal). Al notar que la elevación, la presión (presión hidrostática relativa a la superficie libre) y la velocidad en el punto A son zA  z  (y  a), PA  rga y VA  V, respectivamente, la energía total del líquido en términos de la carga es: HA  z A 

rga V 2 PA V 2A V2    z  (y  a)  zy rg 2g rg 2g 2g

(13-28)

la cual es independiente de la ubicación del punto A en la sección transversal. Por lo tanto, la energía mecánica total de un líquido en cualquier sección transversal de un canal abierto puede expresarse en términos de carga como: Hzy

V2 2g

(13-29)

donde y es la profundidad del flujo, z es la elevación del fondo de un canal y V es la velocidad promedio del flujo. Entonces la ecuación de energía aplicada al flujo unidimensional en un canal abierto entre la sección corriente arriba 1 y la sección corriente abajo 2 puede escribirse de la siguiente manera: Ecuación de energía:

z1  y1 

V 21 V 22  z2  y2   hL 2g 2g

(13-30)

La pérdida de carga hL debida a efectos de fricción se expresa semejante al flujo en tuberías como: hL  f

L V2 L V2 f D h 2g R h 8g

(13-31)

en donde f es el factor de fricción promedio y L es la longitud del canal entre las secciones 1 y 2. La relación Dh  4Rh debe observarse cuando se use el radio hidráulico en vez del diámetro hidráulico.

713 CAPÍTULO 13

El flujo en canales abiertos se conduce por la gravedad, y por lo tanto un canal típico está ligeramente cuesta abajo. La pendiente del fondo del canal se expresa de la siguiente manera: S 0  tan a 

z1  z2 z1  z2  x2  x1 L

(13-32)

donde a es el ángulo del fondo del canal respecto a la horizontal. En general, la pendiente del fondo S0 es muy pequeña, y por lo tanto el fondo del canal es casi horizontal. Por lo tanto, L  x2 – x1, donde x es la distancia en la dirección horizontal. También, la profundidad del flujo y medida en la dirección vertical puede considerarse como la profundidad normal del canal con un error despreciable. Si el fondo del canal es recto y la pendiente del fondo es constante, la caída vertical entre las secciones 1 y 2 puede expresarse como z 1  z 2  S 0L. Entonces la ecuación de la energía (Ecuación 13-30) se convierte en y1 

Ecuación de energía:

V 21 V 22  S 0L  y 2   hL 2g 2g

(13-33)

Esta ecuación tiene la ventaja de ser independiente del nivel de referencia de elevación. En el diseño de sistemas de canales abiertos, la pendiente del fondo se selecciona de tal manera que provee una caída adecuada de elevación para vencer la pérdida de carga de fricción y en consecuencia el flujo se mantenga a una razón de flujo deseada. Por lo tanto, hay una conexión cercana entre la pérdida de carga y la pendiente del fondo y por ello tiene sentido expresar la pérdida de carga como la pendiente (o la tangente de un ángulo). Esto se hace cuando se define una pendiente de fricción como: hL Sf  L

Pendiente de fricción:

y1 

V 21 V 22  y2   (S f  S 0)L 2g 2g

■

y1 (1)

z

(13-35)

Note que la pendiente de fricción es igual a la pendiente del fondo cuando la pérdida de carga es igual a la caída de elevación. Esto es Sf  S0 cuando hL  z1 – z2. La figura 13-17 también muestra la línea de energía, la cual es una distancia z  y  V 2/ 2g (energía mecánica total de un líquido expresada como una carga) sobre el nivel de referencia horizontal. La línea de energía por lo general reinclina como el mismo canal, resultado de las pérdidas por fricción; la caída vertical es igual a la pérdida de carga hL. Note que si no hay pérdida de carga, la línea de energía sería horizontal aun cuando el canal no lo sea. Las cargas de elevación y de velocidad (z  y y V 2/ 2g) serían capaces de convertirse una en la otra durante el flujo en este caso, pero la suma permanecería constante.

13-5

V1

hL Línea de energía

V22 2g V2

L

y2

(13-34)

Entonces, la ecuación de energía puede escribirse de la siguiente manera: Ecuación de energía:

V12 2g

FLUJO UNIFORME EN CANALES

Se mencionó en la sección 13-1 que un flujo en un canal se llama flujo . uniforme si la profundidad del flujo (y la velocidad promedio de flujo ya que V  AcV  constante en flujo estacionario) permanece constante. Las condiciones de un flujo uniforme se encuentran, por lo común, en canales largos y rectos con una pendiente, y una sección transversal constantes y un revestimiento de las super-

(2) aa z1 Pendiente : S0  constante z2

x1

Dato de referencia horizontal

x2

x

FIGURA 13-17 La energía total de un líquido en dos secciones de un canal abierto.

714 FLUJO EN CANAL ABIERTO

y1 (1) z

z1

x1

V1  V2  V0 y1  y2  yn

y2

a (2) Pendiente: z2 S0  tan a  constante x2  x1  Lcosa  L x2

x

Pérdida de carga  pérdida de elevación hL  z1  z2  S0L

FIGURA 13-18 En un flujo uniforme, la profundidad de flujo y, la velocidad de flujo promedio V, y la pendiente de fondo S0 permanecen constantes, y la pérdida de carga es igual a la pérdida de elevación, hL  z1  z2  Sf L  S0L.

ficies del canal homogéneo. En el diseño de canales abiertos es muy deseable tener flujos uniformes en la mayoría de los sistemas ya que significa tener un canal de altura constante, lo cual es más fácil de diseñar y construir. La profundidad del flujo en flujos uniformes se le llama profundidad normal yn y a la velocidad promedio del flujo, velocidad de flujo uniforme V0. El flujo permanece uniforme mientras la pendiente, la sección transversal y la rugosidad de la superficie del canal no tengan algún cambio (Fig. 13-18). Cuando la pendiente del fondo aumenta, la velocidad del flujo aumenta y la profundidad del flujo disminuye. Por lo tanto, un nuevo flujo uniforme se establece con una nueva (más baja) profundidad. Lo contrario ocurre si la pendiente del fondo disminuye. En el caso del flujo en canal abierto de pendiente S0, sección transversal Ac, y el factor de fricción f constantes, se alcanza la velocidad final y en consecuencia el flujo uniforme se establece cuando la pérdida de la carga se iguala a la caída de elevación. Por lo tanto: hL  f

L V2 D h 2g

o

S 0L  f

L V 20 R h 8g

(13-36)

ya que hL  S0L en un flujo uniforme y Dh  4Rh. Cuando se resuelve la segunda relación para V0, la velocidad del flujo uniforme y la razón de flujo se determinan de la siguiente manera V0  C2S 0R h

y

# V  CA c 2S 0R h

(13-37)

donde C  28g/f

(13-38)

se llama coeficiente de Chezy. Las ecuaciones 13-37 y el coeficiente C son nombrados en honor al ingeniero francés Antoine Chezy (1718-1798), quien fue el primero en proponer una relación similar hacia 1769. El coeficiente de Chezy es una cantidad dimensional, y su valor varía desde 30 m1/2/s para canales pequeños con superficies rugosas hasta 90 m1/2/s para canales largos con superficies lisas (o de 60 ft1/2/s hasta 160 ft1/2/s en unidades inglesas). El coeficiente de Chezy puede determinarse de manera directa con la ecuación 13-38; primero se determina el factor de fricción f como se hace en caso de flujo en tubería en el capítulo 8 con ayuda del diagrama de Moody o la ecuación de Colebrook para el flujo totalmente rugoso (Re → ), f  [2.0 log(14.8R h /e)]2

(13-39)

donde e es la rugosidad de superficies de canal promedio. Note que el flujo en un canal abierto usualmente es turbulento, y el flujo está totalmente desarrollado al momento cuando el flujo uniforme se establece. Por lo tanto, es razonable usar el factor de fricción para flujo turbulento totalmente desarrollado. También en números de Reynolds grandes, las curvas del factor de fricción correspondientes a la rugosidad relativa especificada son casi horizontales, y por lo tanto el factor de fricción es independiente del número de Reynolds. El flujo en esa región se llama flujo turbulento totalmente rugoso (Cap. 8). Desde que surgieron las ecuaciones de Chezy, numerosos investigadores han realizado esfuerzos considerables para desarrollar las relaciones empíricas para la velocidad promedio y el flujo volumétrico más simples. La ecuación de uso más generalizado la desarrolló independientemente el francés Philippe Gaspard Gauckler (1826-1905) en 1868 y el irlandés Robert Manning (1816-1897) en 1889.

715 CAPÍTULO 13

Ambos observaron que la constante en la ecuación de Chezy puede expresarse de la siguiente manera: a C  R 1/6 n h

(13-40)

donde n se llama coeficiente de Manning, cuyo valor depende de la rugosidad de la superficie del canal. Cuando se sustituye en las ecuaciones 13-37, se tienen las siguientes relaciones empíricas conocidas como ecuaciones de Manning (también referidas como las ecuaciones de Gauckler-Manning ya que las propuso primero Philippe Gaspard Gauckler) para la velocidad promedio y la razón del flujo: Flujo uniforme:

a V0  R 2/3 S 1/2 n h 0

y

# a 1/2 V  A c R 2/3 h S0 n

(13-41)

El factor a es una constante dimensional cuyo valor en SI es a  1 m1/3/s. Note que 1 m  3.2808 ft, su valor en unidades inglesas es: a  1 m1/3/s  (3.2808 ft)1/3/s  1.486 ft1/3/s

(13-42)

Note que la pendiente del fondo S0 y el coeficiente de Manning n son cantidades adimensionales, y en unidades SI, las ecuaciones 13-41 proporcionan la velocidad en m/s y la razón de flujo en m3/s, cuando Rh se expresa en m (las unidades correspondientes en unidades inglesas son ft/s y ft3/s cuando Rh se expresa en ft). Experimentalmente se han determinado valores de n que se indican en la tabla 13-1, para numerosos canales naturales y artificiales. En la literatura se proporcionan tablas más extensas. Note que el valor en n varía desde 0.010 para un canal de vidrio hasta 0.150 para un plano inundado cargado con árboles (15 veces más que para un canal de vidrio). Existe considerable incertidumbre en el valor de n, especialmente en canales naturales, como debe esperarse, porque ningún canal es exactamente igual a otro. La dispersión puede ser 20 por ciento o más. Sin embargo, el coeficiente n se aproxima independiente de la forma y el tamaño del canal, y varía solamente con la rugosidad de la superficie.

Flujo uniforme crítico El flujo en un canal abierto se vuelve flujo crítico cuando el número de Froude Fr  1 y en consecuencia la velocidad del flujo es igual a la velocidad de onda Vc  1gy c, donde yc es la profundidad crítica del flujo, definida previamente . (Ec. 13-9). Cuando el flujo volumétrico V, la pendiente del canal S0 y el coeficiente de Manning n se conocen, la profundidad normal del flujo yn puede determinarse a partir de la ecuación de Manning (Ec. 13-41). Sin embargo, puesto que Ac y Rh son ambas funciones de yn, con frecuencia la ecuación termina siendo implícita en yn y para resolverla se necesita una solución numérica (o el método de prueba y error). Si yn  yc, el flujo es un flujo crítico uniforme y la pendiente del fondo S0 es igual a la pendiente crítica Sc en este caso. Cuando la. profundidad del flujo yn se conoce en vez de la razón de flujo volumétrico V, el flujo volumétrico puede determinarse de la ecuación de Maning y la profundidad del flujo crítico de la ecuación 13-9. Otra vez el flujo es crítico sólo si yn  yc. . En caso de un flujo uniforme crítico, S0  Sc, y yn  yc. Al reemplazar V y S0 # en la ecuación de Manning por V  A c 1gy c y Sc, respectivamente, y al resolver esta ecuación para Sc, se obtiene la siguiente relación general para una pendiente crítica: Pendiente crítica (caso general):

Sc 

gn 2y c a 2R 4/3 h

(13-43)

TABLA 13-1 Valores promedios del coeficiente de Manning n para un flujo de agua en canales abiertos* Tomado de Chow (1959).

Material de las paredes del canal

n

A. Canales recubiertos artificialmente de Vidrio 0.010 Cobre 0.011 Acero liso 0.012 Acero pintado 0.014 Acero remachado 0.015 Hierro fundido 0.013 Concreto acabado 0.012 Concreto no acabado 0.014 Madera aplanada 0.012 Madera no aplanada 0.013 Azulejo 0.014 Ladrillo 0.015 Asfalto 0.016 Metal corrugado 0.022 Escombro 0.025 B. Canales excavados en tierra Limpio 0.022 Grava 0.025 Con raíces de maleza 0.030 Con piedras, adoquines 0.035 C. Canales naturales Limpio y recto 0.030 De flujo lento con fondos profundos 0.040 Ríos grandes 0.035 Corrientes de montaña 0.050 D. Llanuras inundables Pastadero, terreno agrícola 0.035 Con poca maleza 0.050 Con mucha maleza 0.075 Con árboles 0.150 * La incertidumbre en n puede ser 20 por ciento o más.

716 FLUJO EN CANAL ABIERTO

Para flujo de película o flujo en un canal ancho rectangular con b  yc, la ecuación 13-43 se simplifica a: Pendiente crítica (b  yc):

Sc 

gn 2 a 2y 1/3 c

(13-44)

Esta ecuación da la pendiente necesaria para mantener un flujo crítico de profundidad yc, en un canal ancho rectangular que tiene un coeficiente de Manning de n.

Método de superposición para perímetros no uniformes La rugosidad de la superficie y en consecuencia el coeficiente de Manning para la mayoría de los canales naturales y para algunos canales hechos por el hombre varían a lo largo del perímetro mojado o tan sólo a lo largo del canal. Un río, por ejemplo, podría tener un fondo pedregoso en su fondo regular, pero una superficie cubierta con arbustos en todo su extenso plano inundado. Existen métodos para resolver este problema, ya sea encontrar el coeficiente efectivo de Manning n adecuado para toda la sección transversal del canal, o dividir la sección del canal en subsecciones y aplicar el principio de superposición. Por ejemplo, la sección transversal del canal puede dividirse en N subsecciones, cada una con sus propios coeficiente de Manning y razón de flujo. Cuando se determina el perímetro de una sección, sólo se considera la porción mojada de la frontera de esta sección, y las partes de frontera imaginarias se ignoran. La razón de flujo en el canal es la suma de las razones de flujo en todas las subsecciones, como se ilustra en el ejemplo 13-4.

EJEMPLO 13-2

y  0.52 m u  60° b  0.8 m

FIGURA 13-19 Esquema para el ejemplo 13-2.

Razón de flujo uniforme en un canal abierto

Se tiene agua que fluye en un canal excavado en la tierra donde crece maleza, de sección transversal trapezoidal, con un ancho de fondo de 0.8 m, un ángulo del trapezoide de 60° y una pendiente de fondo de 0.3° de ángulo como se muestra en la figura 13-19. Si la profundidad del flujo se mide en 0.52 m, determine la razón del flujo del agua en el canal. ¿Cuál sería la respuesta si el ángulo del fondo fuera 1°?

SOLUCIÓN Fluye agua en un canal de forma trapezoidal con dimensiones dadas excavado en la tierra donde crece maleza. La razón de flujo corresponde al valor medido de la profundidad del flujo y debe determinarse. Suposiciones 1 El flujo es estacionario y uniforme. 2 La pendiente del fondo es constante. 3 La rugosidad de la superficie mojada del canal y por lo tanto el coeficiente de fricción son constantes. Propiedades El coeficiente de Manning para un canal abierto con una superficie cubierta de raíces de maleza es n  0.030. Análisis El área de sección transversal, el perímetro y el radio hidráulico del canal son: y 0.52 m b  (0.52 m)a0.8 m  b  0.5721 m2 tan u tan 60 2y 2 0.52 m pb  0.8 m   2.001 m sen u sen 60 A c 0.5721 m2  0.2859 m Rh   p 2.991 m A c  yab 

La pendiente del fondo del canal es:

S 0  tan a  tan 0.3  0.005236

717 CAPÍTULO 13

Entonces, la razón de flujo en el canal se determina por la ecuación de Manning:

# a 1 m1/3s 12 (0.5721 m2)(0.2859 m)2/3(0.005236)12  0.60 m3/s V  A cR 23 h S0  n 0.030 La razón de flujo para el ángulo del fondo de 1º puede determinarse con S0 .  tan a  tan 1°  0.01746 en la última relación. Éste da V  1.1 m3/s. Discusión Note que la razón de flujo es una función que depende considerablemente del ángulo de inclinación del fondo. También existe una considerable incertidumbre en el valor del coeficiente de Manning, y en consecuencia en el cálculo de la razón de flujo. Diez por ciento de incertidumbre en n resulta en 10 por ciento de incertidumbre en la razón de flujo. Por lo tanto, las respuestas finales se dan con sólo dos dígitos significativos.

EJEMPLO 13-3

. V  51 ft3/s

Altura de un canal rectangular

Se transporta agua en un canal rectangular de concreto inacabado con un ancho de fondo de 4 ft y un flujo volumétrico de 51 ft3/s. El terreno es tal que el fondo del canal tiene una caída en su elevación de 2 ft por cada 1 000 ft de largo. Determine la altura mínima del canal en condiciones de flujo uniforme (Fig. 13-20). ¿Cual sería la respuesta si el fondo tuviera una caída de sólo 1 ft por cada 1 000 ft?

SOLUCIÓN Fluye agua en un canal rectangular de concreto con un ancho de fondo especificado. La altura mínima del canal por determinar corresponde a una razón de flujo especificada. Suposiciones 1 El flujo es estacionario y uniforme. 2 La pendiente del fondo es constante. 3 La rugosidad de la superficie de las paredes del canal y por lo tanto el coeficiente de fricción son constantes. Propiedades El coeficiente de Manning para un canal abierto con superficies de concreto inacabado es n  0.014. Análisis El área de sección transversal, el perímetro y el radio hidráulico del canal son:

A c  by  (4 ft)y

p  b  2y  (4 ft)  2y

Rh 

Ac 4y  p 4  2y

La pendiente del fondo del canal es S0  2/1 000  0.002. Con la ecuación de Manning, la razón de flujo en el canal puede expresarse de la siguiente manera:

# a 12 V  A cR 23 h S0 n 51 ft3/s 

23 4y 1.486 ft1/3s (4y ft2)a ftb (0.002)12 0.014 4  2y

la cual no es una ecuación lineal en y. Con el empleo de un paquete computacional como EES o una solución numérica iterativa se determina que la profundidad del flujo es:

y  2.5 ft Si la caída del fondo fuera sólo de 1 ft por cada 1 000 ft de largo, la pendiente de fondo sería S0  0.001, y la profundidad del flujo sería y  3.3 ft. Discusión Note que y es la profundidad del flujo, y por consiguiente éste es el valor mínimo para la altura del canal. También, existe considerable incertidumbre en el valor del coeficiente de Manning n. Este hecho debe tomarse en cuenta al decidir cuál debe ser la altura del canal por construir.

y

b  4 ft

FIGURA 13-20 Esquema para el ejemplo 13-3.

718 FLUJO EN CANAL ABIERTO 6m

8m

1

2

Canal natural limpio n1  0.030

Un poco de maleza n2  0.050

2m

3m

s

FIGURA 13-21 Esquema para el ejemplo 13-4.

EJEMPLO 13-4

Canales de rugosidad no uniforme

Fluye agua en un canal cuya pendiente de fondo es 0.003. Su sección transversal se muestra en la figura 13-21. Las dimensiones y los coeficientes de Manning para las superficies de diferentes subsecciones se muestran en la figura. Determine la razón de flujo en el canal y el coeficiente de Manning eficiente para el canal.

SOLUCIÓN Fluye agua en un canal con propiedades de la superficie no uniformes. La razón de flujo y el coeficiente de Manning eficiente deben determinarse. Suposiciones 1 El flujo es estacionario y uniforme. 2 La pendiente del fondo es constante. 3 Los coeficientes de Manning no varían a lo largo del canal. Análisis El canal incluye dos partes con diferentes rugosidades y por lo tanto es apropiado dividir el canal en dos subsecciones como se indica en la figura 13-21. La razón de flujo para cada sección puede determinarse por la ecuación de Manning, y la razón total de flujo puede determinarse al sumar las razones de flujo en las subsecciones. La longitud del lado del canal triangular es s  132  32  4.243 m. Entonces el área del flujo, el perímetro y el radio hidráulico del canal para cada subsección y el canal entero se vuelven: Subsección 1: A c1  21 m2

p1  10.486 m

R h1 

A c1 21 m2   2.00 m p1 10.486 m

Subsección 2: A c2  16 m2

p2  10 m

R h2 

A c2 16 m2   1.60 m p2 10 m

El canal completo: A c  37 m2

p  20.486 m

Rh 

Ac 37 m2   1.806 m p 20.486 m

Con el uso de la ecuación de Manning para cada subsección, la razón total de flujo en el canal se determina de la siguiente manera:

# # # a a 12 V  V 1  V 2  A c1R 23 A R 23S 12 h1 S 0  n1 n 2 c2 h2 0 (21 m2)(2 m)2/3 (16 m2)(1.60 m)2/3  d(0.003)12 0.030 0.050

 (1 m1/3s) c

 84.8 m3/s  85 m3/s

719 CAPÍTULO 13

Si se conoce la razón total de flujo, el coeficiente de Manning eficiente para el canal completo puede determinarse con la ecuación de Manning de la siguiente manera:

n ef 

aA cR 2h3S 102 (1 m1/3s)(37 m2)(1.806 m)2/3(0.003)12  0.035  # 84.8 m3s V

Discusión El coeficiente de Manning eficiente nef del canal se encuentra entre dos valores n, como era de esperarse. El promedio ponderado del coeficiente de Manning del canal es nprom  (n1p1  n2p2)/p  0.040, el cual es muy diferente de nef. Por lo tanto, usar el promedio ponderado del coeficiente de Manning para el canal completo puede ser tentador, pero no sería muy preciso.

13-6

■

MEJORES SECCIONES TRANSVERSALES HIDRÁULICAS

Los sistemas de canales abiertos por lo general se diseñan para transportar líquidos de un lugar a otro de una elevación más baja a una razón de flujo específico bajo la influencia de la gravedad al costo más bajo posible. Note que no se necesita suministrar energía, y por esto el costo del sistema de canales abiertos consiste primordialmente del costo de la construcción inicial, la cual es proporcional al tamaño físico del sistema. Por lo tanto, para una longitud de un canal en específico, el perímetro del canal representa también el costo del sistema, y éste debe mantenerse al mínimo para no incrementar el tamaño y por lo tanto el costo del sistema. Desde otra perspectiva, la resistencia del flujo se debe al esfuerzo cortante tw y al área de la pared, la cual es equivalente al perímetro mojado por unidad de longitud del canal. Por lo tanto, para un área de sección transversal del flujo Ac, cuanto más pequeño sea el perímetro mojado p, más pequeña será la fuerza de fricción, y en consecuencia la velocidad promedio y la razón de flujo serán mayores. Desde una perspectiva más, para cierta geometría de un canal con una pendiente de fondo S0 y un revestimiento de las superficies del canal (y por lo tanto el coeficiente de rugosidad n) especificados, la velocidad del flujo se obtiene por 12 la fórmula de Manning: V  aR 23 h S 0 n. Por lo tanto, la velocidad del flujo es proporcional al radio hidráulico, y el radio hidráulico debe maximizarse (por lo tanto el perímetro debe minimizarse ya que Rh  Ac /p) para que pueda maximizarse la velocidad promedio del flujo o la razón de flujo por unidad del área de la sección transversal. Entonces, se llega a la siguiente conclusión:

R y

FIGURA 13-22 La mejor sección transversal hidráulica para el canal abierto es un semicírculo, ya que éste tiene el perímetro mojado mínimo para una sección transversal especificada, y por consecuencia la mínima resistencia de flujo.

La mejor sección transversal hidráulica para un canal abierto es la que tiene el máximo radio hidráulico o, proporcionalmente, la que tiene menor perímetro mojado para una sección transversal especificada.

La forma con el perímetro mínimo por unidad de área es un círculo. Por lo tanto, con base en la mínima resistencia del flujo, la mejor sección transversal para un canal abierto es un semicírculo (Fig. 13-22). Sin embargo, es usualmente más barato construir un canal abierto con lados rectos (como los canales con secciones transversales trapezoidales o rectangulares) en vez de uno semicircular, y la forma general del canal puede especificarse a priori. Por lo que tiene sentido analizar cada una de las formas geométricas por separado para determinar la mejor sección transversa. Como un ejemplo inductivo, se considera un canal rectangular de concreto acabado (n  0.012) con un ancho b, profundidad de flujo y con una pendiente de fondo de 1° (Fig. 13-23). Para determinar los efectos de la relación de dimen-

y

b

FIGURA 13-23 Un canal rectangular abierto de ancho b y profundidad de flujo y. Para un área de sección transversal dada, la mayor razón de flujo ocurre cuando y  b/2.

720 FLUJO EN CANAL ABIERTO

TABLA 13-2

. Variación del radio hidráulico Rh y razón de flujo V con razón y/b para un canal rectangular con Ac  1 m2, S0  tan 1° y n  0.012 Relación de dimensiones y/b

Ancho del canal b, m

Profundidad del flujo y, m

Perímetro p, m

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.5 2.0 3.0 4.0 5.0

3.162 2.236 1.826 1.581 1.414 1.291 1.195 1.118 1.054 1.000 0.816 0.707 0.577 0.500 0.447

0.316 0.447 0.548 0.632 0.707 0.775 0.837 0.894 0.949 1.000 1.225 1.414 1.732 2.000 2.236

3.795 3.130 2.921 2.846 2.828 2.840 2.869 2.907 2.951 3.000 3.266 3.536 4.041 4.500 4.919

Radio Razón .de hidráulico flujo V, Rh, m m3/s 0.264 0.319 0.342 0.351 0.354 0.352 0.349 0.344 0.339 0.333 0.306 0.283 0.247 0.222 0.203

4.53 5.14 5.39 5.48 5.50 5.49 5.45 5.41 5.35 5.29 5.00 4.74 4.34 4.04 3.81

5.75

. Razón de flujo V, m3/s

5.35

4.95

4.55

4.15

FIGURA 13-24 Variación de la razón de flujo en un canal rectangular con relación de dimensiones r  y/b para Ac  1 m2 y S0  tan 1 .

3.75

0

1

2

3

4

5

Relación de dimensiones r  y/b

. siones y/b sobre el radio hidráulico Rh y el caudal V para un área de sección . transversal de 1 m2, Rh y V se evalúan por la fórmula de Manning. Los resultados se tabulan en la tabla 13-2 y se grafican en la figura 13-24 para relaciones de dimensiones de 0.1 a 5. Observamos en esta tabla y en la gráfica que el caudal aumenta al incrementar la relación de dimensiones y/b, alcanza un máximo . cuando y/b = 0.5 y luego comienza a disminuir (los valores numéricos de V también se pueden interpretar como las velocidades de flujo en m/s, ya que Ac  1 m2). Se observa la misma tendencia para el radio hidráulico, pero una tendencia opuesta para el perímetro mojado p. Estos resultados confirman que la mejor sección transversal para una forma dada del canal es la que tiene el máximo radio hidráulico, o, proporcionalmente, la que tiene el perímetro mojado menor.

721 CAPÍTULO 13

Canales rectangulares Considere el flujo de un líquido en un canal abierto de sección transversal rectangular de un ancho b y una profundidad de flujo y. El área de sección transversal y el perímetro mojado en una sección de flujo son: Ac  yb

p  b  2y

y

(13-45)

Se resuelve la primera relación de la ecuación 13-45 para b y se sustituye en la segunda relación, lo que da: p

Ac  2y y

(13-46)

Ahora se aplica el criterio de la mejor sección transversal hidráulica para un canal abierto, la cual es la que tiene el menor perímetro mojado para una sección transversal dada. Se toma la derivada de p respecto a y mientras se mantiene constante Ac: Ac by dp b  22 22 2 y dy y y

(13-47)

Al hacer dp/dy  0 y resolver para y, se obtiene el siguiente criterio para la mejor sección transversal hidráulica: y

La mejor sección transversal hidráulica (canal rectangular):

b 2

(13-48)

Por lo tanto, un canal abierto rectangular debe diseñarse de tal manera que la altura del líquido sea la mitad del ancho del canal para minimizar la fricción o maximizar la razón de flujo para un área de sección transversal dada. Esto también minimiza el perímetro y en consecuencia el costo de la construcción. Este resultado confirma lo encontrado en la tabla 13-2 que y  b/2 proporciona la mejor sección transversal.

Canales trapezoidales Ahora se considera el flujo del líquido en un canal abierto de una sección transversal trapezoidal con un ancho de fondo b, profundidad de flujo y y un ángulo del trapezoide u medido desde la horizontal, como se muestra en la figura 13-25. El área de sección transversal y el perímetro mojado en la sección de flujo son: A c  ab 

y by tan u

y

pb

2y sen u

u (13-49) b

Se resuelve la primera relación de la ecuación 13-49 para b y se sustituye en la segunda relación para obtener: p

Ac y 2y   y tan u sen u

(13-50)

Se toma la derivada de p respecto a y y se mantienen constantes Ac y u, obteniéndose: Ac b  ytan u dp 1 1 2 2   2    y dy tan u sen u tan u sen u y

(13-51)

Al hacer dp/dy  0 y resolver para y, se obtiene el siguiente criterio para la mejor sección transversal hidráulica para cualquier ángulo u de un trapezoide especificado: La mejor sección transversal hidráulica (canal trapezoidal):

y

b sen u 2(1  cos u)

y s

(13-52)

Rh 

Ac y(b  y/tan u)  p b  2y/sen u

FIGURA 13-25 Parámetros para un canal trapezoidal.

722 FLUJO EN CANAL ABIERTO

Para un caso especial donde u es igual a 90º (un canal rectangular), esta relación se reduce a y  b/2 como era de esperarse. El radio hidráulico Rh para un canal trapezoidal puede expresarse de la siguiente manera: Rh 

A c y(b  ytan u) y(b sen u  y cos u)   p b sen u  2y b  2ysen u

(13-53)

Se reordena la ecuación 13-52 como b sen u  2y(1  cos u), se sustituye dentro de la ecuación 13-53 y se simplifica, y el radio hidráulico para un canal trapezoidal con la mejor sección transversal se convierte en: Rh 

Radio hidráulico para la mejor sección transversal:

y 2

(13-54)

Por lo tanto, el radio hidráulico es la mitad de la profundidad del flujo para un canal trapezoidal con la mejor sección transversal y es independiente del ángulo u del trapezoide. De la misma manera se busca el ángulo del trapezoide correspondiente a la mejor sección transversal hidráulica con sólo tomar la derivada de p de la ecuación 13-50 respecto al ángulo u y mantener constantes Ac y y. Después se hace dp/du  0, y se resuelve la ecuación resultante para el ángulo u. Esto resulta ser: Mejor ángulo trapezoide:

u  60

(13-55)

Se sustituye el mejor ángulo del trapezoide u  60º en la relación de la mejor sección transversal hidráulica y  b sen u/(2  2 cos u) y se tiene: Mejor profundidad de flujo para u  60°:

y

23 b 2

(13-56)

Entonces la longitud del lado lateral de la sección del flujo y el área se convierten en: y b

3 b 2

s 60°

b y 3 Rh   b 2 4

y b232  b sen 60 232

p  3b A c  ab 

3 3 2 Ac  b 4

FIGURA 13-26 La mejor sección transversal para canales trapezoidales es la mitad de un hexágono.

(13-57) (13-58)

y b 232 3 23 2 b y  ab  b(b232)  b tan u tan 60 4

(13-59)

porque tan 60  23. Por lo tanto, la mejor sección transversal para canales trapezoidales es la mitad de un hexágono (Fig. 13-26). Esto no debe sorprender ya que un hexágono se aproxima a un círculo, y la mitad de un hexágono tiene el menor perímetro por unidad de área de la sección transversal de todos los canales trapezoidales. La mejor sección transversal hidráulica para otras formas de canales puede determinarse de manera similar. Por ejemplo, puede mostrarse que la mejor sección transversal hidráulica de un canal circular de diámetro D corresponde a y  D/2.

EJEMPLO 13-5

La mejor sección transversal de un canal abierto

Se transporta agua a razón de 2 m3/s mediante un flujo uniforme en un canal abierto cuyas superficies están revestidas con asfalto. La pendiente del flujo es 0.001. Determine las dimensiones de la mejor sección transversal si la forma del canal es a) rectangular y b) trapezoidal (Fig. 13-27).

723 CAPÍTULO 13

SOLUCIÓN Se transporta agua en un canal abierto con una razón especificada. Deben determinarse las mejores dimensiones del canal para las formas rectangular y trapezoidal. Suposiciones 1 El flujo es estacionario y uniforme. 2 La pendiente del fondo es constante. 3 La rugosidad de la superficie mojada del canal y por lo tanto el coeficiente de fricción son constantes. Propiedades El coeficiente de Manning para un canal abierto con revestimiento de asfalto es n  0.016. Análisis a) La mejor sección transversal para un canal rectangular ocurre cuando la altura del flujo es la mitad de la anchura del canal, y  b/2. Entonces el área de sección transversal, el perímetro y el radio hidráulico del canal son:

A c  by 

b2 2

p  b  2y  2b

Rh 

b b y  2 2

b

Ac b  p 4 y

Se sustituye en la ecuación de Manning,

# a 12 V  A cR 23 h S0 n

→

# 2(0.016)(2 m3/s)4 2/3 3/8 2nV 4 2/3 3/8 b a b a b a2S 0 (1 m1/3s)20.001

se obtiene b 1.84 m. Por lo tanto, Ac  1.70 nes para el mejor canal rectangular son:

b  1.84 m

y

m2,

p  3.68 m y las dimensio-

y  0.92 m

b) La mejor sección transversal para un canal trapezoidal ocurre cuando el ángulo del trapezoide es 60º y la altura del flujo es y  b132. Entonces:

A c  y(b  b cos u)  0.523b 2(1  cos 60 )  0.75 23b 2 p  3b

y 23 Rh   b 2 4

Se sustituye en la ecuación de Manning:

# a 12 V  A c R 23 h S0 n

→

3/8 (0.016)(2 m3/s) b a b 2/3 1/3 0.7523a 23/4b (1 m s) 20.001

donde b 1.12 m. Por lo tanto, Ac  1.64 m2, p  3.37 m y las dimensiones para el mejor canal trapezoidal son:

b  1.12 m

y  0.973 m

y

u  60

Discusión Observe que la sección transversal trapezoidal es mejor debido a que ésta tiene un perímetro más pequeño (3.37 contra 3.68 m) y por lo tanto un costo menor. Sin embargo, la velocidad promedio a través del canal trapezoidal es mayor, ya que Ac es menor.

13-7

■

FLUJO DE VARIACIÓN GRADUAL

Hasta este momento se consideraba un flujo uniforme cuando la profundidad del flujo y y la velocidad del flujo V se mantienen constantes. En esta sección se toma en cuenta un flujo de variación gradual (FVG), la cual es una forma de flujo estacionario no uniforme con una variación gradual en la profundidad y velocidad de flujo (pendientes pequeñas y sin cambios bruscos) y una superficie libre que siempre se mantiene suave (sin discontinuidades o zigzag). Flujos que implican cambios rápidos de profundidad y velocidad del flujo, llamados flujos de variación rápida (FVR) se tratan en la sección 13-8. Un cambio en la pendiente del fondo o un cambio de la sección transversal o una obstrucción en el

3 b 2

b 60° b

FIGURA 13-27 Esquema para el ejemplo 13-5.

724 FLUJO EN CANAL ABIERTO

Horizontal V2 2g

Pendiente de fricción Sf Línea de energía, H

V

V  dV

y

z, H

zb

x

dhL (V  dV)2 2g

Pendiente de fondo S0 dx

camino del flujo pueden causar que el flujo uniforme se vuelva un flujo de variación gradual o rápida. Los flujos de variación rápida ocurren en un tramo corto de un canal con el área de superficie mojada relativamente pequeña; por lo tanto, las pérdidas por fricción relacionadas con los esfuerzos cortantes son despreciables. Las pérdidas de carga en FVR son altas y se deben a la intensa agitación y turbulencia. Las pérdidas en FVG, por otro lado, se deben más que todo a los efectos de fricción a lo largo del canal y pueden determinarse con la fórmula de Manning. En flujos de variación gradual la profundidad del flujo y la velocidad varían lentamente y la superficie libre es estable. Esto hace posible formular la variación de la profundidad del flujo a lo largo del canal con ayuda de la ley de la conservación de masa y el principio de la conservación de energía y también obtener las relaciones para el perfil de la superficie libre. En un flujo uniforme, la pendiente de la línea de energía es igual a la pendiente del fondo del canal. Por lo tanto, la pendiente de fricción es igual a la pendiente del fondo Sf  S0. En flujos de variación gradual, sin embargo, estas pendientes son diferentes (Fig. 13-28). Considere un flujo estacionario en un canal abierto rectangular con un ancho b, tome en cuenta alguna variación en la pendiente del fondo y una profundidad del agua también gradual. Nuevamente, se escribe la ecuación en términos de la velocidad promedio V y se considera que la distribución de la presión es hidrostática. De la ecuación 13-17, la carga total del líquido en cualquier sección transversal es H  zb  y  V 2/2g, donde zb es la distancia vertical de la superficie del fondo del nivel de referencia. Al diferenciar H respecto a x se tiene:

y  dy

dz b dy V dV V2 d dH  az b  y  b    dx dx 2g dx dx g dx

zb  dzb

Pero H es la energía total del líquido y por lo tanto dH/dx es la pendiente de la línea de energía (cantidad negativa), la cual es igual al valor negativo de la pendiente de la fricción, como se muestra en la figura 13-28. También, dzb /dx es igual al valor negativo de la pendiente del fondo. Por lo tanto:

Nivel de referencia horizontal x  dx x

FIGURA 13-28 Variación de las propiedades a lo largo de un tramo diferencial de flujo en un canal abierto a las condiciones de flujo de variación gradual (FVG).

dhL dH   S f dx dx

dz b  S 0 dx

y

(13-60)

(13-61)

Se sustituye la ecuación 13-61 en la ecuación 13-60 y se tiene: S0  Sf 

dy V dV  dx g dx

(13-62)

. La ecuación de continuidad para flujo estacionario en canal rectangular es V  ybV  constante. Al diferenciar respecto a x resulta: 0  bV

dy dV  yb dx dx

→

dV V dy  y dx dx

(13-63)

Se sustituye la ecuación 13-63 en la ecuación 13-62 notando que V 1gy es el número de Froude, S0  Sf 

dy V 2 dy dy dy    Fr 2 gy dx dx dx dx

(13-64)

Al resolver para dy/dx se obtiene la relación deseada para la razón de cambio de la profundidad del flujo (o el perfil de la superficie) en flujo de variación gradual en un canal abierto: La ecuación FVG:

dy S 0  S f  dx 1  Fr 2

(13-65)

725 CAPÍTULO 13

el cual es análogo a la variación del área del flujo como una función del número de Mach en flujo compresible. Esta relación se deduce a partir de un canal rectangular, pero también es válida para canales de otras secciones transversales constantes si el número de Froude se expresa adecuadamente. Una solución analítica o numérica de esta ecuación diferencial, para un conjunto de los parámetros especificados, da la profundidad del flujo y como una función de x, y la función y(x) es el perfil de la superficie. La tendencia general de la profundidad del flujo, ya sea que aumente, disminuya o se mantenga constante a lo largo del canal, depende del signo de dy/dx, el cual depende de los signos de numerador y denominador de la ecuación 13-65. El número de Froude es siempre positivo y también lo es la pendiente de fricción Sf (excepto en el caso idealizado de un flujo con fricción despreciable para el cual tanto hL como Sf son cero). La pendiente del fondo S0 es positiva para tramos de pendiente descendente (por lo general el caso), cero para tramos horizontales y negativa para tramos con pendiente ascendente (flujo adverso). La profundidad del flujo se incrementa cuando dy/dx  0, disminuye cuando dy/dx  0, y se mantiene constante (por lo tanto la superficie libre es paralela al fondo del canal, como en flujos uniformes) cuando dy/dx  0 y también S0  Sf (Fig. 13-29). Para valores específicos de S0 y Sf, el término dy/dx puede ser positivo o negativo; depende si el número de Froude es mayor o menor que 1. Por lo tanto, el comportamiento de los flujos subcrítico y supercrítico son opuestos. Para S0  Sf  0, por ejemplo, la profundidad del flujo se incrementa en la dirección del flujo en flujos subcríticos, pero disminuye en flujos supercríticos. La determinación del signo del denominador 1  Fr2 es fácil; éste es positivo para flujos subcríticos (Fr  1), y negativo para flujos supercríticos (Fr  1). Pero el signo del numerador depende de las magnitudes relativas de S0 y Sf. Observe que la pendiente de la fricción Sf es siempre positiva y su valor es igual a la pendiente del canal S0 en flujo uniforme, y  yn. La pendiente de fricción es una cantidad que varía con la distancia en el sentido de la corriente, y se calcula mediante la ecuación de Manning, con base en la profundidad de cada ubicación en el sentido de la corriente, como se muestra en el ejemplo 13-6. Note que la pérdida de carga se incrementa cuando aumenta la velocidad, y la velocidad es inversamente proporcional a la profundidad de flujo para una razón de flujo dada, Sf  S0, por lo tanto S0  Sf  0 cuando y  yn, y Sf  S0 y en consecuencia S0  Sf  0 cuando y  yn. El numerador S0  Sf es siempre negativo en la horizontal (S0  0) y canales de pendiente ascendente (S0  0); por lo tanto, la profundidad del flujo disminuye en la dirección del flujo en caso de flujo subcrítico en estos canales.

Perfiles de superficie de líquido en canales abiertos, y (x) Los sistemas de canales abiertos se diseñan y construyen con base en la profundidad del flujo proyectada a lo largo del canal. Por lo tanto, es importante ser capaz de predecir la profundidad del flujo para una razón de flujo y una geometría del canal especificadas. Una gráfica de profundidades de flujo proporciona el perfil de superficie y(x) de flujo. Las características generales de los perfiles de superficie para flujos de variación gradual dependen de la pendiente del fondo y la profundidad del flujo relativa a las profundidades críticas y normales. Un canal abierto típico incluye varias secciones de diferentes pendientes de fondo S0 y distintos regímenes de flujo, por lo tanto varios tramos de diferentes perfiles de superficie. Por ejemplo, la forma general del perfil de superficie en un tramo de pendiente decreciente de un canal es diferente a un tramo de pendiente ascendente. Asimismo, el perfil en flujos subcríticos es diferente al perfil en flujos supercríticos. Distinto de un flujo uniforme que no incluye fuerzas de

FIGURA 13-29 Un río de movimiento lento, de profundidad y sección transversal aproximadamente constantes, como el río Chicago que aquí se muestra, es un ejemplo de flujo uniforme con S0  Sf y dy/dx  0. © Getty RF

726 FLUJO EN CANAL ABIERTO A S H

Pronunciado

Adverso

C Horizontal M Crítico Suave

FIGURA 13-30 Designación de las letras S, C, M, H y A para perfiles superficiales de líquido para diferentes tipos de pendientes.

1 Superficie libre en flujo uniforme 2 Superficie libre en flujo crítico

yn

3

yc y

Fondo del canal

FIGURA 13-31 Designación de los números 1, 2 y 3 para perfiles superficiales de líquido basada en el valor de la profundidad de flujo relativa a las profundidades crítica y normal.

inercia, flujos de variación gradual implican aceleración y desaceleración de líquido. El perfil de superficie refleja el balance dinámico entre el peso del líquido, la fuerza de fricción y los efectos inerciales. Cada perfil de superficie se define por una letra que indica la pendiente del canal y por el número que indica la profundidad del flujo relativa a la profundidad crítica yc y la profundidad normal yn. La pendiente del canal puede ser suave (M, de mild en inglés), crítica (C), pronunciada (S, de steep en inglés), horizontal (H) o adversa (A) (Fig. 13-30). Se dice que la pendiente del canal es suave si yn  yc, pronunciada si yn  yc, crítica si yn  yc, horizontal si S0  0 (pendiente del fondo cero) y adversa si S0  0 (pendiente negativa). Note que el líquido fluye cuesta arriba en un canal abierto que tiene una pendiente adversa. La clasificación de un tramo del canal depende de la razón de flujo y la sección transversal del canal, como también de la pendiente del fondo del canal. Un tramo del canal que se clasifica por tener una pendiente suave para cierto flujo, puede tener una pendiente pronunciada para otro, y aún más, una pendiente crítica para un tercero. Por lo tanto, se necesita calcular la profundidad crítica yc y la profundidad normal yn, antes de evaluar la pendiente. La designación de números indica la posición inicial de la superficie libre del líquido para una pendiente de canal dada relativa a los niveles de la superficie libre en flujos crítico y uniforme, como se muestra en la figura 13-31. Un perfil de la superficie se designa por 1 si la profundidad del flujo está arriba de las profundidades crítica y normal (y  yc y y  yn), por 2 si la profundidad del flujo está entre las dos (yn  y  yc o yn  y  yc), y por 3 si la profundidad del flujo está abajo de las profundidades crítica y normal (y  yc y y  yn). Por lo tanto, tres perfiles diferentes son posibles para un tipo específico de pendiente del canal. Pero en el caso de los canales con pendientes cero o adversas, el flujo de tipo 1 no puede existir porque el flujo nunca puede ser uniforme en canales cuesta arriba u horizontales y por lo tanto la profundidad normal no está definida. También el flujo de tipo 2 no existe en canales con pendiente crítica porque las profundidades crítica y normal son idénticas en este caso. Las cinco clases de pendientes y los tres tipos de posiciones iniciales comentados dan un total de 12 configuraciones distintas para perfiles de la superficie en FVG, todos tabulados en la tabla 13-3. El número de Froude también se da para cada caso con Fr  1 para y  yc, como también se indica el signo de la pendiente dy/dx del perfil de la superficie determinado con la ecuación 13-65, dy/dx  (S0  Sf)/(1  Fr2). Note que dy/dx  0, y por lo tanto la profundidad del flujo aumenta en la dirección del flujo, cuando ambos S0  Sf y 1  Fr2 son positivos o negativos. En caso opuesto dy/dx  0 y la profundidad del flujo disminuye. En flujos de tipo 1, la profundidad del flujo aumenta en la dirección de flujo y el perfil de la superficie se aproxima al plano horizontal asintóticamente. En flujos de tipo 2, la profundidad del flujo disminuye y el perfil de la superficie se aproxima al valor de yc o yn, a aquel que es más bajo. En flujos de tipo 3, la profundidad del flujo aumenta y el perfil de la superficie tiende a yc o yn. Estas tendencias de perfiles de superficie continúan mientras que no haya un cambio en la pendiente del flujo o en la rugosidad. Considere el primer caso de la tabla 13-3 designado con M1 (pendiente suave del canal y y  yn  yc). El flujo es subcrítico porque y  yc y por lo tanto Fr  1 y 1  Fr2  0. También Sf  S0 y en consecuencia S0 – Sf  0, ya que y  yn, y por lo tanto la velocidad del flujo es menor que la velocidad en flujo normal. Por esto, la pendiente del perfil de la superficie dy/dx  (S0  Sf)/(1  Fr2)  0, y la profundidad del flujo y aumenta en la dirección de flujo. Pero como y aumenta, la velocidad del flujo disminuye, y por consiguiente Sf y Fr se aproxima a cero. Consecuentemente, dy/dx se aproxima a S0 y la razón de incremento en la profundidad del flujo se vuelve igual a la pendiente del canal. Para esto es necesario que el perfil de la superficie se vuelva horizontal a los valores de y

727 CAPÍTULO 13

TABLA 13-3 Clasificación de perfiles superficiales en flujo de variación gradual. La escala vertical está significativamente exagerada. Pendiente del canal

Notación del perfil

Pronunciada (S) yc  yn S0  Sc

S1

M2

Número de Froude

y  yc

Fr  1

S2

yn  y  yc

Fr  1

S3

y  yn

Fr  1

M1 M3

Profundidad de flujo

Pendiente del perfil

Perfil de la superficie

dy 0 dx dy 0 dx dy 0 dx

Horizontal S1

yc

yn

S2 S3

Fondo del canal, S 0  Sc

Crítica (C) yc  yn S0  Sc

C1

y  yc

Fr  1

C3

y  yc

Fr  1

dy 0 dx dy 0 dx

Horizontal C1

yc  yn

C1

C3

C3

Fondo del canal, S 0  Sc

Suave (M) yc  yn S0  Sc

M1

y  yn

Fr  1

M2

yc  y  yn

Fr  1

M3

y  yc

Fr  1

M1 M3

M2

dy 0 dx dy 0 dx dy 0 dx

Punto de inicio yn

Horizontal M1 Perfil de la Profundidad superficie y(x) normal M2

yc Profundidad crítica M3

Horizontal (H) yn →  S0  0 H2 H3

H2

y  yc

Fr  1

H3

y  yc

Fr  1

dy 0 dx dy 0 dx

Fondo del canal, S 0  Sc H2 yc

H2

H3

Fondo del canal, S 0  0

Adversa (A) S0  0 A2 A2 A3

A2

y  yc

Fr  1

A3

y  yc

Fr  1

dy 0 dx dy 0 dx

A2 yc A3

Fondo del canal, S 0  0

728 FLUJO EN CANAL ABIERTO

grandes. Entonces concluimos que el perfil de superficie M1 al principio sube en la dirección del flujo y luego tiende a una asíntota horizontal. Como y → yc en flujos subcríticos (como en M2, H2 y A2), se tiene Fr → 1 y 1  Fr2 → 0; por lo tanto la pendiente dy/dx tiende al infinito negativo. Pero cuando y → yc en flujos supercríticos (como en M3, H3 y A3) se tiene Fr → 1 y 1  Fr2 → 0, por consiguiente la pendiente dy/dx, la cual es una cantidad positiva, tiende a infinito. Por eso, la superficie libre crece casi verticalmente y la profundidad del flujo aumenta muy rápido. Esto no puede sostenerse físicamente y la superficie libre se derriba. El resultado es un salto hidráulico. La suposición unidimensional no es aplicable cuando esto sucede.

Algunos perfiles representativos de la superficie Un sistema de canal abierto típico incluye algunos tramos de diferentes pendientes con conexiones llamadas transiciones. Por consiguiente, el perfil global de la superficie del flujo es un perfil continuo hecho de perfiles individuales antes descritos. Algunos perfiles representativos de la superficie que comúnmente se encuentran en canales abiertos, inclusive algunos perfiles compuestos, se muestran en la figura 13-32. Para cada caso, el cambio en el perfil de la superficie se produce por un cambio en la geometría del canal como un cambio brusco en la pendiente o una obstrucción en el flujo, por ejemplo una compuerta. Más perfiles compuestos pueden encontrarse en libros especializados que se enlistan en las referencias. Un punto sobre el perfil de la superficie representa la altura del flujo en este punto que satisface las ecuaciones de conservación de masa, cantidad de movimiento y energía. Note que dy/dx  1 y S0  1 en un flujo de variación gradual y ambas pendientes, del canal y del perfil de la superficie, en estos esquemas están muy exageradas para mejor visualización. Muchos canales y perfiles de la superficie aparecerían casi horizontales si se dibujaran a escala. La figura 13-32a muestra el perfil de la superficie para un flujo de variación gradual en un canal con pendiente suave y una compuerta. El flujo subcrítico corriente arriba (note que el flujo es subcrítico porque la pendiente es suave) se vuelve más lento mientras se aproxima a la compuerta (como cuando un río se aproxima a una presa) y el nivel del líquido crece. El flujo que pasa por la compuerta es supercrítico (porque la altura de la abertura es menor a la profundidad crítica). Por lo tanto, el perfil de la superficie es M1 antes de la compuerta y M3 después de la compuerta pero antes del salto hidráulico. Un tramo de un canal abierto puede tener una pendiente negativa e incluir un flujo cuesta arriba, como se muestra en la figura 13-32b. Un flujo con una pendiente adversa no puede mantenerse a menos que las fuerzas de inercia superen las fuerzas de gravedad y viscosidad que se oponen al movimiento del flujo. Por lo tanto, a una sección del canal cuesta arriba le sigue una sección cuesta abajo o una caída libre. Para flujos subcríticos con pendiente adversa que se aproximan a la compuerta, la profundidad del flujo disminuye cuanto más se acerque a la compuerta, dando paso a un perfil A2. Un flujo que pasa por la compuerta es normalmente supercrítico y da paso a un perfil A3, previo al salto hidráulico. La sección de canal abierto en la figura 13-32c incluye un cambio en la pendiente de inclinada a menos inclinada. La velocidad del flujo en la parte menos pronunciada es más lenta (una caída de elevación menor para conducir el flujo). Por lo tanto, la profundidad del flujo es más grande cuando un flujo uniforme se establece otra vez. Note que un flujo uniforme con pendiente pronunciada debe ser supercrítico (y  yc), la profundidad del flujo aumenta desde la inicial hasta el nuevo nivel uniforme de manera suave a través de un perfil S3. En la figura 13-32d se muestra un perfil de la superficie formado por un canal abierto que incluye varias secciones de flujo. Inicialmente la pendiente es suave

729 CAPÍTULO 13

yn1

Flujo uniforme

Salto hidráulico

M1

Flujo uniforme yn2

M3

yc yn2

Suave a) Flujo a través de una compuerta de esclusa en un canal abierto con una pendiente suave Salto hidráulico A2

A2

A3 yc Adverso b) Flujo a través de una compuerta de esclusa en un canal abierto con una pendiente adversa y efluente libre yc yn1

Fluj

o un

iform

S3

e

Flujo uniforme

y  yn2

Pendiente pronunciada

yn2

Pendiente menos pronunciada

c) Flujo uniforme supercrítico que cambia desde una pendiente pronunciada a la pendiente menos pronunciada

yn1

Flujo uniforme

yc

M2 S2 yn2

Flujo uniforme

Suave

Salto hidráulico H3

H2 yc

Pronunciado

Efluente libre

Horizontal d) Flujo uniforme supercrítico con efluente libre que cambia desde una pendiente suave hacia la pronunciada y después hacia una horizontal

y el flujo es uniformes y subcrítico. Después, la pendiente cambia a pronunciada, y el flujo se vuelve supercrítico cuando un flujo uniforme se establece. La profundidad crítica ocurre al cambio de la pendiente. El cambio en la pendiente está acompañado por una disminución suave en la profundidad del flujo a través de un perfil M2 al final de la sección de la pendiente suave, y a través de un perfil S2 al principio de la sección de la pendiente pronunciada. En secciones horizontales, la profundidad del flujo aumenta primero de manera suave a través del perfil H3, y después rápidamente durante el salto hidráulico. La profundidad del flujo entonces disminuye a través del perfil H2 mientras que el líquido se acelera hacia el final del canal a una caída libre. El flujo se vuelve crítico antes de al-

FIGURA 13-32 Algunos perfiles superficiales comunes encontrados en el flujo de un canal abierto. Todos los flujos son de izquierda a derecha.

730 FLUJO EN CANAL ABIERTO

canzar el final del canal, y la caída libre controla el flujo corriente arriba después del salto hidráulico. El flujo que entra a la caída libre es supercrítico. Note que un flujo uniforme no puede establecerse en un canal horizontal ya que las fuerzas de gravedad no tienen componentes en la dirección del flujo y el flujo es conducido por las fuerzas de inercia.

Soluciones numéricas del perfil de la superficie La predicción del perfil de la superficie y(x) es parte importante en el diseño de sistemas de canales abiertos. Un comienzo adecuado para determinar el perfil de la superficie se da mediante la identificación de puntos a lo largo del canal, llamados puntos de control, donde puede calcularse la profundidad del flujo, sólo con conocer su razón. Por ejemplo, la profundidad del flujo en un tramo de un canal rectangular donde ocurren . flujos críticos, llamados puntos críticos, pueden determinarse como yc  (V 2/gb2)1/3. La profundidad normal yn, la cual es la profundidad del flujo alcanzada cuando el flujo uniforme está establecido, también sirve como un punto de control. Cuando las profundidades en los puntos de control estén disponibles, el perfil de superficie corriente arriba o corriente abajo puede determinarse, de manera usual por una integración numérica de la ecuación diferencial no lineal (Ec. 13-65, que aquí se repite) dy S 0  S f  dx 1  Fr 2

(13-66)

La pendiente de fricción Sf se determina por las condiciones de flujo uniforme, y el número de Froude, por la relación apropiada de la sección transversal del canal. EJEMPLO 13-6 y y0  0.8 m

0 Pendiente del fonfo, S0  0.001

FIGURA 13-33 Esquema para el ejemplo 13-6

Flujo de variación gradual con perfil de superficie M1

Se considera un flujo de agua de variación gradual cambiante en amplio canal rectangular con un caudal por unidad de anchura de 1 m3/s  m y un coeficiente de Manning n = 0.02. La pendiente del canal es 0.001 y, en la ubicación x = 0, se mide la profundidad de flujo como 0.8 m. a) Determine las profundidades normal y crítica del flujo y clasifique el perfil de la superficie de agua y b) calcule la profundidad de flujo y en x = 1 000 m mediante la integración numérica de la ecuación de flujo de variación gradual en el intervalo de 0  x  1 000 m. Repita la parte b) para obtener las profundidades de flujo para diferentes valores de x, y grafique el perfil de superficie (Fig. 13-33).

SOLUCIÓN Se considera un flujo de agua de variación gradual en un amplio canal rectangular. Se deben determinar las profundidades de flujo normal y crítica, el tipo de flujo y la profundidad de flujo en una ubicación especificada, y se debe graficar el perfil de superficie. Suposiciones 1 El canal es amplio y el flujo de variación gradual. 2 La pendiente del fondo es constante. 3 La rugosidad de la superficie mojada del canal y, por consiguiente, el coeficiente de fricción, son constantes. Propiedades El coeficiente de Manning del canal se da como n = 0.02. Análisis a) Se dice que el canal es amplio, y por lo tanto, el radio hidráulico es igual a la profundidad de flujo, Rh  y. Conociendo el caudal por unidad de anchura (b = 1 m), la profundidad normal se determina por la ecuación de Manning como # a a a 5/3 1/2 1/2 2/3 1/2 V  AcR 2/3 h S 0  (yb)y S 0  by S 0 n n n # 3/5 (V/b)n 3/5 (1 m2/s)(0.02) yn  a 1/2 b  a b  0.76 m aS 0 (1 m1/3/s)(0.001)1/2

731 CAPÍTULO 13

La profundidad crítica para este flujo es # # # (V /b)2 1/3 (1 m2/s)2 1/3 V2 V2 yc  2  → y  a b a b  0.47 m c 2 g gAc g(by) (9.81 m/s2) Observando que yc  yn  y en x  0, vemos en la tabla 13-3 que el perfil de superficie del agua durante este FVG se clasifica como M1.

b) Conociendo la condición inicial y (0)  0.8 m, la profundidad de flujo y en cualquier ubicación x se determina por integración numérica de la ecuación de FVG

dy S0  Sf  dx 1  Fr2 donde el número de Froude para un canal rectangular amplio es

Fr 

V 2gy



# V/by 2gy



# V/b 2gy 3

y la pendiente de fricción se determina por la ecuación de flujo uniforme haciendo S0  Sf,

# # # (V /b)n 2 (V /b)2n2 a → S  a b  V  by 5/3S 1/2 f f n a 2y 10/3 ay 5/3

Sustituyendo, la ecuación de FVG para un canal rectangular amplio se convierte en

Distancia a lo largo del canal, m s0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1 000

# dy S0  (V/b)2n2/(a 2y 10/3) #  dx 1  (V /b)2/(gy 3) que es altamente no lineal, y por lo tanto difícil (si no imposible) de integrar analíticamente. Afortunadamente, hoy en día, la resolución numérica de ecuaciones no lineales, usando un programa como EES o Matlab, es fácil. De esta manera, la solución de la ecuación diferencial no lineal de primer orden sujeta a la condición inicial y (x1)  y1 se expresa como

y  y1 



x2

x1

# S0  (V/b)2n 2/(a 2y 10/3) # donde f(x,y)  f(x,y)dx where 1  (V/b)2/(gy 3)

Profundidad del agua, m 0.80 0.82 0.86 0.90 0.96 1.03 1.10 1.18 1.26 1.35 1.44

2.0 1.8

y donde y  y(x) es la profundidad del agua en la ubicación especificada x. Para valores numéricos dados, este problema se puede resolver usando EES como sigue:

x1  0; y10.8 “m, condición inicial” x2  1 000 “m, longitud del canal” f_xy  (S_0-((Vol/b)^2*n^2/y(10/3)))/(1-(Vol/b)^2/(g*y^3)) “la ecuación FVG que se debe integrar” y = y 1 + integral (f_xy x, x1, x2) “ecuación integral con el intervalo de iteración automático”. Copiando el miniprograma anterior en una pantalla EES en blanco y calculando, se obtiene la profundidad de agua en una ubicación de 1 000 m,

y(x2)  y(1 000m)  1.44 m

1.4

y

1.2 y, m

Vol  1 “m^3/s, caudal volumétrico por unidad de anchura, b  1 m” b  1 “m, anchura del canal” n  0.02 “coeficiente de Manning” S_0  0.001 “pendiente del canal” g  9.81 “aceleración gravitacional, m/s^2”

1.6

1.0 yn

0.8 0.6

yc

0.4 0.2 0.0 0

200

400

600 x, m

800

1 000

FIGURA 13-34 Profundidad del flujo y perfil de superficie para el problema de FVG del ejemplo 13-6.

732 FLUJO EN CANAL ABIERTO

clear all domain=[0 1000]; % limits on integral s0=.001; % channel slope n=.02; % Manning roughness q=1; % per-unit-width flowrate g=9.81; % gravity (SI) y0=.8; % initial condition on depth [X,Y]=ode45(‘simple_flow_derivative’, [domain(1) domain (end)],y0, [],s0,n,q,g,domain); plot (X, Y, ‘k’) axis([0 1000 0 max(Y)]) xlabel(‘x (m)’);ylabel(‘y (m)’); ************** function yprime=simple_flow_derivative(x,y,flag,s 0, n,q,g, (domain) yprime=(s0-n.^2*q.^2./y.^(10/3))./(1q.^2/g./y.^3);

FIGURE 13-35 Programa de Matlab para resolver el problema de FVG del ejemplo 13-6.

b  y2m 2

Observe que la función incorporada al programa EES “integral” realiza numéricamente integraciones entre límites especificados usando un intervalo de iteración ajustado automáticamente. Las profundidades de agua en diferentes ubicaciones a lo largo del canal se obtienen mediante la repetición de los cálculos con diferentes valores de x2. Graficando los resultados se obtiene el perfil de superficie, como se muestra en la figura 13-34. Usando la herramienta de ajuste de curva de EES, podemos incluso ajustar la curva de los datos de profundidad de flujo con el siguiente polinomio de segundo orden,

yaprox (x)

0.7930

0.0002789x

3.7727

10 7x2

Se puede demostrar que los resultados de profundidad de flujo que se obtienen de esta fórmula de ajuste de curva no difieren de los datos tabulados en más de 1 por ciento. Discusión El resultado gráfico confirma la predicción cualitativa de la tabla 13-3 de que un perfil M1 debe dar profundidad de agua creciente en la dirección corriente abajo. Este problema también se puede resolver usando otros programas, como Matlab, al introducir el código de programación que se da en la figura 13-35.

EJEMPLO 13-7

Clasificación de la pendiente del canal

Fluye agua de manera uniforme en un canal rectangular abierto con superficies inacabadas de concreto. El canal mide 6 m de ancho. La profundidad del flujo es 2 m y la pendiente del fondo es de 0.004. Determine si la pendiente del canal debe clasificarse como suave, crítica o pronunciada para este flujo (Fig. 13-36).

SOLUCIÓN Fluye agua uniformemente en un canal. Se debe determinar si la pendiente del canal es suave, crítica o pronunciada para este flujo. Suposiciones 1 El flujo es estacionario y uniforme. 2 La pendiente del fondo es constante. 3 La rugosidad de la superficie mojada del canal y por lo tanto el coeficiente de fricción son constantes. Propiedades El coeficiente de Manning para un canal abierto con superficies de concreto inacabado es n  0.014. Análisis El área de la sección transversal, el perímetro y el radio hidráulico son: A c  yb  (2 m)(6 m)  12 m2

b6m S0  0.004

FIGURA 13-36 Esquema para el ejemplo 13-7.

p  b  2y  6 m  2(2 m)  10 m Rh 

A c 12 m2   1.2 m p 10 m

La razón de flujo se determina con la ecuación de Manning de la siguiente manera:

# a 1 m1/3s 12 (12 m2)(1.2 m)2/3(0.004)12  61.2 m3/s V  A c R 23 h S0  n 0.014 Se observa que el flujo es uniforme, la razón de flujo específico corresponde a la profundidad normal y por lo tanto y  yn  2 m. La profundidad crítica para este flujo es:

yc 

# (61.2 m3s)2 V2   2.65 m 2 gA c (9.81 m/s2)(12 m2)2

La pendiente del canal, con estas condiciones se clasifica como pronunciada, porque yn  yc, y el flujo es supercrítico. Discusión Si la profundidad del flujo fuera mayor de 2.65 m, se diría que la pendiente de canal es suave. Por lo tanto, sólo la pendiente del fondo no es suficiente para clasificar un canal cuesta abajo como suave, crítico o pronunciado.

733 CAPÍTULO 13

13-8

■

FLUJO DE VARIACIÓN RÁPIDA Y SALTO HIDRÁULICO

Recuerde que un flujo en canales abiertos se llama flujo de variación rápida (FVR, RVF por las siglas del inglés: rapidly varied flow) si su profundidad cambia de manera evidente en una distancia relativamente corta en la dirección del flujo (Fig. 13-37). Estos flujos ocurren en compuertas de desagüe, vertederos de pared delgada o gruesa, cascadas y la sección de transición de canales que se expanden o se contraen. Un cambio en la sección transversal del canal es importante razón para que los flujos de variación rápida ocurran. Pero algunos flujos de variación rápida, como los flujos a través de compuertas de desagüe, suceden inclusive en regiones donde la sección transversal del canal es constante. Usualmente los flujos de variación rápida son complicados por el hecho de que implican importantes efectos multidimensionales y transitorios, flujos inversos y separación de flujos (Fig. 13-38). Por lo tanto, los flujos de variación rápida por lo general se estudian de manera experimental o numéricamente. Pero pese a estas complejidades, no obstante es posible analizar algunos flujos de variación rápida con precisión razonable si se usan aproximaciones unidimensionales. El flujo en canales inclinados puede ser supercrítico, y éste puede cambiar a subcrítico si el canal no puede mantener un flujo supercrítico debido a una reducción de la pendiente del canal o el incremento de los efectos de fricción. Cualquier cambio de supercrítico a subcrítico ocurre mediante un salto hidráulico. Un salto hidráulico implica considerables procesos de mezcla y agitaciones, y por consiguiente una cantidad considerable de disipación de energía mecánica. Considere un flujo estacionario a través de un volumen de control que rodea un salto hidráulico, como se muestra en la figura 13-39. Para hacer posible un análisis simple, se necesitan establecer las siguientes suposiciones: 1. La velocidad es aproximadamente constante a través de las secciones 1 y 2 del canal, y por lo tanto, los factores de corrección del momento del flujo son b1  b2  1. 2. La presión en el líquido varía hidrostáticamente, y se considerará la presión manométrica solamente ya que la presión atmosférica actúa sobre todas las superficies y su efecto se cancela. 3. El esfuerzo del corte y las pérdidas asociadas son despreciables respecto a las pérdidas que ocurren durante el salto hidráulico debido a su intensa agitación. 4. El canal es ancho y horizontal. 5. No hay fuerzas externas o de cuerpo más que la gravedad. . . Para un canal de ancho b, la ley de conservación de la masa m2  m1 puede expresarse como ry1bV1  ry2bV2 o y 1V1  y 2V2

(13-67)

Note que las únicas fuerzas que actúan en el volumen de control en la dirección horizontal x son las fuerzas de presión. La ecuación de cantidad de movimiento → #→ # → a F  a bm V  a bm V en la dirección x se vuelve un equilibro entre las sal

ent

fuerzas de presión hidrostática y la transferencia de cantidad de movimiento: # # P1, prom A 1  P2, prom A 2  mV2  mV1

(13-68)

donde P1, prom  rgy1/2 y P2, prom  rgy2/2. Para un canal de ancho b, se tiene . . . que A1  y1b, A2  y2b, y m  m 2  m 1  rA1V1  ry1bV1. Al sustituir y simplificar, la ecuación de cantidad de movimiento se reduce a: y 21  y 22 

2y 1V1 (V2  V1) g

(13-69)

FIGURA 13-37 El flujo de variación rápida sucede cuando ocurre un cambio repentino de flujo, tal como un cambio abrupto en la sección transversal.

FIGURA 13-38 Al navegar por los rápidos, un kayak encuentra diversas características tanto de flujo de variación gradual (FVG) como de flujo de variación rápida (FVR), siendo este último más emocionante. © Getty RF

734 FLUJO EN CANAL ABIERTO Línea de energía

hL

Volumen de control

V2

rgy1 (1)

2y 1V 21 (y 1  y 2) gy 2

y2 2 y2 a b   2Fr 21  0 y1 y1

y

Es2  y2 

V 22 2g

Subcrítico

Supercrítico Es1

(13-71)

donde Fr1  V1 1gy 1. Ésta es una ecuación cuadrática para y2/y1, y tiene dos raíces, una negativa y otra positiva. Note que y2/y1 no puede ser negativa ya que tanto y2 como y1 son cantidades positivas, la razón de profundidades y2/ y1 se determina de la siguiente manera

2

1

(13-70)

Cuando se cancelan los factores comunes y1  y2 en ambos lados y se reacomodan, se obtiene:

(2) rgy2

x

y 21  y 22 

y2

V1

y1

Se elimina V2 con el uso de V2  (y1/y2)V1 que se obtiene de la ecuación 13-67 para llegar a:

y2  0.5a1  21  8Fr 21 b y1

Razón de profundidades:

(13-72)

Es

FIGURA 13-39 Esquema y diagrama de la profundidad de flujo contra la energía específica para un salto hidráulico (la energía específica disminuye).

La ecuación de energía (Ec. 13-30) para el tramo de flujo horizontal puede expresarse de la siguiente manera: y1 

V 21 V 22  y2   hL 2g 2g

(13-73)

Note que V2  (y1/y2)V1 y Fr1  V1  1gy 1, la pérdida de carga relacionada con el salto hidráulico se expresa así: hL  y 1  y 2 

y 1Fr 21 y 21 V 21  V 22  y1  y2  a1  2b 2g 2 y2

(13-74)

La línea de energía para un salto hidráulico se muestra en la figura 13-39. La caída en la línea de energía a través del salto representa la pérdida de carga hL relacionada con el salto. Para Fr1 y y1 dadas, la profundidad del flujo corriente abajo y2 y la pérdida de carga hL pueden calcularse con las ecuaciones 13-72 y 13-74, respectivamente. Si se traza hL contra Fr1, se revela que hL se vuelve negativa cuando Fr1  1, lo cual es imposible (esto corresponderá a una entropía negativa, lo cual sería una violación a la segunda ley de la termodinámica). Por lo tanto, se llega a la conclusión que el flujo corriente arriba debe ser supercrítico (Fr1  1) cuando ocurre un salto hidráulico. En otras palabras, es imposible para un flujo subcrítico experimentar un salto hidráulico. Esto es análogo al flujo de gas supersónico (el número de Mach mayor que 1) que experimente una onda de choque. La pérdida de carga es una medida de la energía mecánica disipada mediante la fricción de fluido interna, y la pérdida de carga es usualmente indeseable porque representa la energía mecánica perdida. Pero algunas veces los saltos hidráulicos se diseñan junto con cuencos amortiguadores y aliviaderos de presas, y es deseable desperdiciar tanta energía mecánica como sea posible para minimizar la energía mecánica del agua y por lo tanto su potencial para causar daños. Esto se hace primero cuando se producen flujos supercríticos, al convertir grandes presiones en grandes velocidades lineales, y después se permite que el flujo se agite y disipe parte de su energía cinética, hasta que se rompa y se desacelere hasta una velocidad subcrítica. Por lo tanto, una medida de desempeño de un salto hidráulico es la fracción de su disipación de energía.

735 CAPÍTULO 13

La energía específica de un líquido antes del salto hidráulico es Es1  y1  Entonces, la razón de disipación de energía (Fig. 13-40) puede expresarse de la siguiente manera:

Línea de energía hL

V 21/2g.

Razón de disipación de energía 

hL hL hL   E s1 y 1  V 212g y 1(1  Fr 212)

V2 (13-75)

La fracción de la energía disipada se extiende sólo desde un porcentaje para saltos hidráulicos débiles (Fr1  2) hasta 85 por ciento para saltos hidráulicos fuertes (Fr1  9). A diferencia de un choque normal en un flujo de gas, el cual ocurre prácticamente en una sección transversal de tal manera que su grosor es despreciable, el salto hidráulico ocurre sobre una longitud considerable del canal. En el rango de los números de Froude de interés práctico, se observa que la longitud del salto hidráulico es desde 4 hasta 7 veces la profundidad del flujo corriente abajo y2. Estudios experimentales indican que el salto hidráulico puede clasificarse en cinco categorías como se muestra en la tabla 13-4. Esto depende ante todo del valor del número de Froude corriente arriba Fr1. Para Fr1 un poco mayor que 1, el líquido crece ligeramente durante el salto hidráulico y produce ondas de ubicación permanente. A un valor de Fr1 más grande, ocurren ondas oscilatorias muy peligrosas. El rango deseable del número de Froude es 4.5  Fr1  9, en el cual se producen ondas estacionarias estables y bien balanceadas con altos niveles de disipación de energía en el salto. Saltos hidráulicos con Fr1  9 producen ondas muy agitadas. La razón de profundidades y2/y1 varía del valor ligeramente por arriba de 1, en saltos ondulares que son leves e incluyen pequeños crecimientos del nivel de la superficie, hasta 12 en saltos fuertes, que son grandes e incluyen crecimientos altos del nivel de la superficie. Esta sección se limita a considerar los canales horizontales rectangulares anchos, para los cuales y los efectos de los bordes del canal y de la gravedad sean despreciables. Saltos hidráulicos en canales no rectangulares y canales con pendiente se comportan de manera similar, pero las características del flujo y por lo tanto la relación para la razón de profundidades, pérdida de carga, longitud del salto y la razón de disipación son diferentes.

EJEMPLO 13-8

V 22 2g

V 12 2g

y2

V1

y1 (1)

(2)

Razón de disipación 

hL hL  Es1 y1  V12/2g

FIGURA 13-40 La razón de disipación de energía representa la fracción de energía mecánica disipada durante un salto hidráulico.

Salto hidráulico

Se observa que el agua que se descarga dentro de un canal horizontal rectangular de 10 m de ancho, desde una compuerta de esclusa, está experimentando un salto hidráulico. La profundidad del flujo y la velocidad antes del salto son de 0.8 m y 7 m/s, respectivamente. Determine a) la profundidad del flujo y el número de Froude después del salto, b) la pérdida de carga y la razón de disipación y c) la potencia que pudiera servir para generar energía, pero se perdió debido al salto hidráulico (Fig. 13-41).

SOLUCIÓN El agua con profundidad y velocidad específicas experimenta un salto hidráulico en un canal horizontal. La profundidad y el número de Froude después del salto, la pérdida de carga y la razón de disipación y la potencia desperdiciada deben determinarse. Suposiciones 1 El flujo es estacionario o cuasi-estacionario. 2 El canal es suficientemente ancho, así que los efectos de los bordes son despreciables. Propiedades La densidad del agua es 1 000 kg/m3.

Línea de energía hL

V1  7 m/s y1  0.8 m

(1)

y2

V2

(2)

FIGURA 13-41 Esquema para el ejemplo 13-8.

736 FLUJO EN CANAL ABIERTO

TABLA 13-4 Clasificación de saltos hidráulicos Fuente: Oficina de Reclamación U.S. (1955).

Corriente Razón de Fracción arriba profundidades de energía Fr1 y2/y1 disipada 1

1

0

Perfil de superficie

Descripción

Salto imposible. Violaría la segunda ley de la termodinámica.

1-2

5%

Ondulatorio (onda de ubicación permanente). Pequeño aumento en la superficie de nivel. Baja disipación de la energía. Las ondas superficiales se desarrollan cerca de Fr = 1.7.

1.7-2.5

2-3.1

5-15%

Salto débil. La superficie aumenta suavemente con pequeños rulos. Baja disipación de la energía.

2.5-4.5

3.1-5.9

15-45%

Salto oscilatorio. Las pulsaciones causadas por los chorros entrantes en el fondo generan ondas que pueden viajar por millas y dañar diques de tierra. Deben evitarse en el diseño de cuencos amortiguadores.

4.5-9

5.9-12

45-70%

Salto estable. Estable, bien balanceado e insensible a condiciones corriente abajo. Intenso movimiento de remolino y alto nivel de disipación de energía en el salto. Rango recomendado para diseño.

9

12

70-85%

Salto fuerte. Agresivo e intermitente. Muy efectivo en disipación de energía, pero puede ser menos económicamente en comparación.

1-1.7

Análisis a) El número de Froude antes del salto hidráulico es:

Fr1 

V1 2gy 1



7 m/s 2(9.81 m/s2)(0.8 m)

 2.50

que es mayor que 1. Por lo tanto, el flujo es sin duda supercrítico antes del salto. La profundidad del flujo, velocidad y número de Froude después del salto son:

y 2  0.5y 1a1  21  8Fr 21 b  0.5(0.8 m)a1  21  8 2.50 2 b  2.46 m V2  Fr2 

y1 0.8 m (7 m/s)  2.28 m/s V  y 2 1 2.46 m V2 2gy 2



2.28 m/s 2(9.81 m/s2)(2.46 m)

 0.464

737 CAPÍTULO 13

Note que la profundidad del flujo se triplica y el número de Froude se reduce a un quinto después del salto.

b) La pérdida de carga se determina con la ecuación de energía y es:

hL  y 1  y 2 

V 21  V 22 (7 m/s)2  (2.28 m/s)2  (0.8 m)  (2.46 m)  2g 2(9.81 m/s2)

 0.572 m La energía específica del agua antes del salto y la razón de disipación son:

E s1  y 1 

V 21 (7 m/s)2  (0.8 m)   3.30 m 2g 2(9.81 m/s2)

Razón de disipación de energía 

hL 0.572 m  0.173  E s1 3.30 m

Por lo tanto, 17.3 por ciento de la carga disponible (o energía mecánica) del líquido se pierde (se convierte en energía térmica) en resultado de los efectos de fricción en este salto hidráulico.

c) La razón del flujo de masa del agua es:

# m#  V  by 1V1  (1 000 kg/m3)(0.8 m)(10 m)(7 m/s)  56 000 kg/s Entonces, la disipación de potencia correspondiente a la pérdida de carga de 0.572 m se convierte en:

# E disipación  m# ghL  (56 000 kg/s)(9.81 m/s2)(0.572 m)a

1N b 1 kg  m/s2

 314 000 N  m/s  314 kW Discusión Los resultados muestran que el salto hidráulico es un proceso muy disipativo que desperdicia 314 kW de potencia que podría aprovecharse. Esto es, si el agua se redirecciona a una turbina hidráulica en vez de ser liberada en una compuerta de desagüe, hasta 314 kW de potencia podría generarse. Pero este potencial se convierte en energía térmica inútil en vez de una energía útil y provoca un incremento de temperatura del agua de # E disipación 314 kJ/s T  #   0.0013 C (56 000 kg/s)(4.18 kJ/kg  C) mcp Observe que un calentador eléctrico de 314 kW podría causar el mismo incremento de temperatura en el agua que fluye a una razón de 56 000 kg/s.

13-9

■

CONTROL Y MEDICIÓN DEL FLUJO

La razón de flujo en tuberías y conductos se controla por numerosas clases de válvulas. El flujo líquido en canales abiertos, sin embargo, no está limitado, y por consiguiente la razón de flujo se controla al bloquear el canal de manera parcial. Esto se realiza ya sea cuando se permite que el líquido fluya sobre la obstrucción o debajo de ésta. Una obstrucción que permita que el líquido fluya sobre ésta se llama vertedero, y a una obstrucción con una abertura ajustable en el fondo y que permita al flujo del líquido pasar por abajo de éste se le llama compuerta de corriente subálvea. Estos mecanismos pueden usarse para controlar la razón de flujo en el canal y también para medirlo.

738 FLUJO EN CANAL ABIERTO Compuerta de esclusa

Compuerta de esclusa

Tambor y1

y1

Vena contracta

V1 a

V1 y2

V2

y2

V1

y2

a b) Compuerta de esclusa con efluente ahogado

a) Compuerta con efluente libre

y1

V2

V2

c) Compuerta de tambor

FIGURA 13-42 Tipos comunes de compuertas de corriente subálvea para controlar la razón de flujo.

y

Compuertas de corriente subálvea

Flujo subcrítico Es1  y1 

V 21 2g

1

2c

Compuerta sin pérdidas por fricción

Efluente ahogado Flujo supercrítico 2b 2a

Es

Es1  Es2a

FIGURA 13-43 Esquema y diagrama de la profundidad de flujo contra la energía específica para el flujo a través de compuertas de corriente subálvea.

Existen numerosos tipos de compuertas de corriente subálvea para controlar la razón de flujo, cada uno con ciertas ventajas y desventajas. Compuertas de corriente subálvea se localizan en el fondo de la pared, dique o canal abierto. Dos tipos comunes de compuertas de corriente subálvea son la compuerta de esclusa y la compuerta de tambor, que se muestran en la figura 13-42. Una compuerta de esclusa es usualmente vertical y tiene una superficie plana, mientras que la compuerta de tambor tiene una sección transversal circular con una superficie currentilínea. Cuando la compuerta está abierta, el líquido corriente arriba se acelera mientras se aproxima a la compuerta, alcanza su velocidad crítica en la compuerta, y se acelera hasta alcanzar una velocidad supercrítica después de pasar por la compuerta. Por lo tanto, una compuerta de corriente subálvea es análoga a la tobera convergente-divergente en la dinámica de gas. La descarga desde una compuerta de corriente subálvea se llama efluente libre si el chorro del líquido que corre afuera de la compuerta está expuesto a la atmósfera (Fig. 13-42a), y se le llama efluente ahogado (o sumergido) si la descarga del líquido se regresa y sumerge el chorro, como se muestra en la figura 13-42b. En efluentes ahogados, el chorro del líquido experimenta un salto hidráulico, y por consiguiente el flujo corriente abajo es subcrítico. También los efluentes ahogados implican un nivel alto de turbulencias y flujos inversos, como también una gran pérdida de carga hL. El diagrama de la profundidad del flujo contra la energía específica para flujos que salen de las compuertas de corriente subálvea con efluentes libre y ahogado se muestra en la figura 13-43. Note que la energía específica se mantiene constante para compuertas idealizadas con efectos de fricción despreciables (desde el punto 1 hasta el punto 2a), pero disminuye para las compuertas reales. El flujo corriente abajo es supercrítico si tiene una compuerta con efluente libre (punto 2b), pero subcrítico para un efluente ahogado (punto 2c) ya que un efluente ahogado también involucra un salto hidráulico al flujo subcrítico, el cual representa considerables procesos de mezcla y disipación de energía. Si se supone que los efectos de fricción son despreciables y que la velocidad corriente arriba (o en el depósito) sea baja, se puede mostrar con la ecuación de Bernoulli que la velocidad de la descarga de efluente libre es (véase capítulo 5 para más detalles) V  22gy 1

(13-76)

739 CAPÍTULO 13 0.6 Efluente libre 0.5

0.4

Cd 0.3

0.2 Efluente ahogado

FIGURA 13-44 Coeficientes de descarga a través de compuertas de corriente subálvea para efluentes libre y ahogado.

0.1 y2/a  2 0

0

2

3

4

5

6

4

6

7

8 8 y1/a

10

12

14

16

Tomado de Henderson, Open Channel Flow. 1a. ed., © 1966. Reimpreso con autorización de Pearson Education, Inc., Upper Saddle River, NJ.

Se puede tomar en cuenta los efectos de fricción y modificar esta relación al introducir el coeficiente de descarga Cd. Entonces, la velocidad de la descarga en la compuerta y la razón de flujo se convierten en: V  C d 22gy 1

# V  C d ba22gy 1

y

(13-77)

en donde b y a son la anchura y la altura de la abertura de la compuerta, respectivamente. El coeficiente de descarga Cd  1 para flujos idealizados, pero Cd  1 para flujos reales que pasan a través de las compuertas. De manera experimental se determinaron los valores de Cd para compuertas de corriente subálvea que se trazan en la figura 13-44 como funciones del coeficiente de contracción y2/a y la razón de profundidad y1/a. Observe que la mayoría de los valores de Cd para efluentes libres de compuertas verticales se extienden entre 0.5 y 0.6. Los valores de Cd caen de manera angulosa para efluentes ahogados, como era de esperarse, y la razón de flujo disminuye si se mantienen las mismas condiciones corriente arriba. Para un valor dado de y1/a el valor de Cd disminuye al incrementar y2/a .

EJEMPLO 13-9

Compuertas de esclusa con efluentes ahogados

Se libera el agua desde un depósito de 3 m de profundidad a un canal abierto de 6 m de ancho a través de una compuerta de 0.25 m de alto con la abertura localizada en el fondo. La profundidad del flujo después de que se calmen todas las turbulencias es 1.5 m. Determine la razón de la descarga (Fig. 13-45).

Compuerta de desagüe

SOLUCIÓN El agua se libera desde un depósito a través de una compuerta a un canal abierto. Para profundidades de flujo especificadas, la razón de la descarga tiene que determinarse. Suposiciones 1 El flujo es estacionario o cuasi-estacionario. 2 El canal es suficientemente ancho, así que los efectos de los bordes son despreciables. Análisis La razón de la profundidad y1/a y el coeficiente de contracción y2/a son:

y1 3m   12 a 0.25 m

y

y2 1.5 m  6 a 0.25 m

y1  3 m y2  1.5 m a  0.25 m

FIGURA 13-45 Esquema para el ejemplo 13-9.

740 FLUJO EN CANAL ABIERTO

El coeficiente de descarga correspondiente se determina de la figura 13-44 y es Cd  0.47. Entonces, la razón de la descarga se convierte en:

# V  C d ba22gy 1  0.47(6 m)(0.25 m)22(9.81 m/s2)(3 m)  5.41 m3/s Discusión En el caso del efluente libre, el coeficiente de descarga sería Cd  0.59, con una razón de flujo correspondiente de 6.78 m3/s. Por lo tanto, la razón de flujo disminuye considerablemente cuando el efluente es ahogado.

Compuertas de sobreflujo Recuerde que la energía mecánica total de un líquido en cualquier sección transversal de un canal abierto puede estar expresada en términos de cargas como H  zb  y  V 2/2g, donde y es la profundidad del flujo, zb es la elevación del fondo del canal y V es la velocidad promedio del flujo. En el flujo con efectos de fricción despreciable (pérdida de carga hL  0), la energía mecánica total se mantiene constante, y la ecuación unidimensional de la energía para un flujo en un canal abierto entre una sección 1 corriente arriba y una sección 2 corriente abajo puede ser expresada de la siguiente manera: z b1  y 1 

y . V  constante

V2 2g y yc

Fr  1

Profundidad crítica

V 21 V 22  z b2  y 2  2g 2g

o

E s1  z b  E s2

(13-78)

Flujo subcrítico, Fr  1

donde Es  y  V 2/2g es la energía específica y zb  zb2  zb1 es la elevación del punto del fondo en la sección 2 relativa a la sección 1. Por lo tanto, la energía específica de un flujo del líquido se incrementa en |zb| durante el flujo cuesta abajo (note que zb es negativo en canales con inclinaciones hacia abajo), disminuye en zb en el flujo cuesta arriba, y se mantiene constante en el flujo horizontal (la energía específica también disminuye en hL en todos los casos si los efectos de fricción no son despreciables). . Para un canal abierto de ancho constante b, V  AcV  byV  constante en . un flujo estacionario y V  V /Ac. Entonces, la energía específica puede expresarse así:

Flujo supercrítico, Fr  1

# V2 Es  y  2gb 2y 2

Es  y

Emín

FIGURA 13-46 Variación de la energía específica Es respecto a la profundidad y para una razón de flujo especificada.

Es

(13-79)

La variación de la energía específica Es con una profundidad del flujo y para flujos estacionarios en un canal con ancho constante b está trazada en la figura 13-46. Este diagrama es extremadamente valioso, ya que muestra los estados permitidos en el flujo. Después que las condiciones corriente arriba en la sección 1 del flujo estén especificadas, el punto correspondiente al estado del líquido en cualquier sección 2 se ubica en el diagrama Es  y sobre la curva de la energía específica que pasa a través del punto 1.

Flujo con fricción despreciable sobre un tope Considere flujo estacionario con fricción despreciable sobre un tope de altura zb en un canal horizontal de ancho constante b, como se muestra en la figura 13-47. La ecuación de la energía en este caso es, de la ecuación 13-78: E s2  E s1  z b

(13-80)

Por lo tanto, la energía específica de un líquido disminuye en zb mientras éste fluye sobre el tope, y el estado del líquido en el diagrama de Es  y se desplaza hacia la izquierda en zb como se muestra en la figura 13-47. La ecuación de

741 CAPÍTULO 13

conservación de masa para el canal de un gran ancho es y2V2  y1V1 y por consiguiente V2  (y1/y2)V1. Entonces la energía específica de un líquido sobre el tope puede expresarse de la siguiente manera: E s2  y 2 

V 22 2g

→

E s1  z b  y 2 

V 21 y 21 2g y 22

y

1a

(13-81)

Al reordenar términos:

Flujo subcrítico

2a

V 21 2 y 0 y 32  (E s1  z b)y 22  2g 1

(13-82)

la cual es una ecuación polinomial de tercer grado en y2 y por lo tanto tiene tres soluciones. Descartando la solución negativa, ocurre que la profundidad del flujo sobre el tope puede tener dos valores. Ahora, la pregunta curiosa es: el nivel del líquido ¿aumenta o disminuye sobre el tope? La intuición dice que el cuerpo completo del líquido seguirá al tope y por consiguiente la superficie del líquido aumentará cuando pase por el tope, pero esto no necesariamente es así. Note que la energía específica es la suma de la profundidad del flujo y la carga dinámica, y cada escenario es posible, dependiendo cómo cambia la velocidad. El diagrama de Es-y de la figura 13-47 proporciona la respuesta definitiva. Si el flujo es subcrítico antes del tope (estado 1a), la profundidad del flujo y2 disminuye (estado 2a). Si la disminución de la profundidad del flujo es mayor a la altura del tope (es decir y1  y2  zb), la superficie libre se suprime. Pero si el flujo es supercrítico mientras se aproxima al tope (estado 1b), la profundidad del flujo aumenta por arriba del tope (estado 2b) y crea un tope más alto sobre la superficie libre. La situación se invierte si el canal tiene una depresión de profundidad zb en vez de un tope. La energía específica en este caso aumenta (así que el estado 2 está a la derecha del estado 1 en el diagrama de Es  y) ya que zb es negativo. Por lo tanto, la profundidad aumenta mientras el flujo que se aproxima es subcrítico y disminuye si éste es supercrítico. Considere ahora el flujo sobre un tope con fricción despreciable como ya se indicó. Mientras la altura del tope zb está en aumento, el punto 2 (ya sea 2a o 2b para flujos subcríticos o supercríticos) continúa desplazándose hacia la izquierda en el diagrama de Es -y, hasta que finalmente alcanza el punto crítico. Esto significa que el flujo sobre el tope es crítico cuando la altura de éste es zc  Es1  Esc  Es1  Emín, y la energía específica del líquido alcanza su nivel mínimo. La pregunta en la mente es: ¿qué pasa si la altura del tope se incrementa más adelante?; la energía específica del líquido ¿continúa disminuyendo? La respuesta a esta pregunta es un rotundo no, ya que el líquido está hasta su nivel mínimo de energía, y su energía no puede disminuir más. En otras palabras, el líquido ya está hasta el punto más apartado de la izquierda en el diagrama de Es-y, y un punto más a la izquierda no puede satisfacer la ley de conservación de la masa, cantidad de movimiento y energía. Por lo tanto, el flujo debe mantenerse crítico. El flujo en este estado se dice que está bloqueado. En dinámica de gas, esto es análogo al flujo en una tobera convergente que acelera mientras la presión que recibe el flujo a la salida de la tobera disminuye y alcanza la velocidad del sonido a la salida de la tobera cuando la presión afuera de la salida de la tobera alcanza el valor de la presión crítica. Pero la velocidad del flujo a la salida de la tobera se mantiene en el nivel sónico sin importar qué tanto más se disminuye la presión que recibe el flujo afuera de la salida de la tobera. Aquí otra vez, el flujo está bloqueado.

Vertederos de pared gruesa (o de cresta ancha) El comentario acerca del flujo sobre un tope alto puede resumirse de la siguiente manera: el flujo sobre una obstrucción lo suficientemente alta en un canal

zb 2b

Flujo supercrítico 1b

Emín  Ec

Es

Flujo corriente arriba supercrítico

y1

y2

V1

Flujo corriente arriba subcrítico V2

zb Tope

FIGURA 13-47 Esquema y diagrama de la profundidad contra la energía específica del flujo sobre un tope para flujos corriente arriba subcrítico y supercrítico.

742 FLUJO EN CANAL ABIERTO

abierto es siempre crítico. Estas obstrucciones colocadas intencionalmente en un canal abierto para medir la razón de flujo se llaman vertederos. Por lo tanto, la velocidad de flujo sobre un vertedero lo suficientemente ancho es la velocidad crítica y se expresa como V  1gy c, donde yc es la profundidad crítica. Entonces la razón de flujo sobre un vertedero de ancho b puede expresarse como: # V  A cV  y cb2gy c  bg 12y 32 c Descarga V1

H

Pw

Vc

yc

Vertedero de pared gruesa Lw

(13-83)

Un vertedero de pared gruesa es un bloque rectangular de altura Pw y longitud Lw (el subíndice w se debe a la palabra en inglés: weir, que significa vertedero) que tiene una cresta horizontal sobre la cual ocurre un flujo crítico (Fig. 13-48). La carga corriente arriba por encima de la superficie superior se llama carga de vertedero y se denota por H. Para obtener la relación de la profundidad crítica yc en términos de la carga de vertedero, se escribe la ecuación de la energía entre la sección corriente arriba y la sección sobre el vertedero para flujos con fricción despreciable como:

FIGURA 13-48 Flujo sobre un vertedero de pared gruesa.

H  Pw 

V 2c V 21  y c  Pw  2g 2g

(13-84)

Se cancela Pw de ambos lados, se sustituye Vc  1gy c y se tiene: yc 

V 21 2 aH  b 3 2g

(13-85)

Se sustituye esta relación en la ecuación 13-83, y entonces la razón de flujo para este caso de flujo ideal con fricción despreciable puede determinarse como: # V 21 32 2 32 V ideal  b2ga b aH  b 3 2g

(13-86)

Esta relación define la dependencia funcional de la razón de flujo de los parámetros de flujo, pero sobrevalúa la razón de flujo en varios porcientos porque no se consideran los efectos de fricción. Estos efectos se consideran correctamente cuando se modifica la relación teórica (Ec. 13-86) por medio de un coeficiente de descarga del vertedero Cdv determinado experimentalmente como: Vertedero de pared gruesa:

# V 21 32 2 32 V  C dv, grueso b2ga b aH  b 3 2g

(13-87)

donde valores razonablemente correctos de los coeficientes de descarga para vertederos de pared gruesa pueden obtenerse a partir de (Chow, 1959): C dv, grueso 

0.65 21  HPw

(13-88)

Relaciones más correctas, pero más complicadas para Cdv, grueso se encuentran disponibles en la literatura (por ejemplo, Ackers, 1978). También la velocidad V1 es muy baja usualmente, y puede despreciarse. Esto se cumple especialmente para el caso de vertederos altos. Entonces la razón de flujo puede aproximarse como: Vertedero de pared gruesa con V1 pequeña:

# 2 32 V  C dv, grueso b2g a b H 32 3

(13-89)

Se debe tener en la mente que la necesidad básica para el uso de las ecuaciones 13-87 a 13-89 es el establecimiento del flujo crítico por encima del vertedero, y esto pone algunas limitaciones en la longitud del vertedero Lw. Si el verte-

743 CAPÍTULO 13

dero es demasiado largo (Lw  12H), los efectos de fricción dominan y causan que el flujo sobre el vertedero sea subcrítico. Si el vertedero es demasiado corto (Lw  2H), el líquido no es capaz de acelerarse a la velocidad crítica. Con base en esta observación, la longitud apropiada de un vertedero de pared gruesa es 2H  Lw  12H. Observe que un vertedero que es demasiado largo para un flujo puede ser demasiado corto para otro flujo, dependiendo del valor de la carga del vertedero H. Por lo tanto, el rango de la razón de flujo debe conocerse antes de seleccionar un vertedero.

Vertederos de pared delgada (o de cresta afilada) Un vertedero de pared delgada es una placa vertical colocada en un canal, la cual fuerza al líquido a fluir a través de una abertura para medir la razón de flujo. El tipo de vertedero se caracteriza por la forma de la abertura. Una placa vertical delgada con un borde superior derecho se llama vertedero rectangular porque la sección transversal del flujo sobre éste es rectangular; un vertedero con abertura triangular se llama vertedero triangular, etcétera. Un flujo corriente arriba es subcrítico y se convierte en crítico cuando se aproxima al vertedero. El líquido continúa acelerándose y descargándose como un flujo supercrítico que se parece a un chorro libre. La razón de la aceleración es la disminución continua en la elevación de la superficie libre y la conversión de la carga de elevación en carga de velocidad. Las correlaciones de la razón de flujo que se dan a continuación suponen que la corriente en la caída libre del líquido que ya pasó la cresta afilada del vertedero, llamada napa, está separada de la superficie vertical del vertedero. Posiblemente será necesario ventilar el espacio bajo la napa para asegurar una presión atmosférica por debajo de ella. También existen relaciones empíricas para vertederos ahogados. Considere el flujo de un líquido sobre un vertedero de pared delgada que está colocado en un canal horizontal, como se muestra en la figura 13-49. Por sencillez, la velocidad corriente arriba del vertedero es aproximada como casi constante a través de la sección transversal 1. La energía total corriente arriba del líquido expresada como una carga relativa al fondo del canal es la energía específica, la cual es la suma de la profundidad de flujo y la carga de velocidad. Esto es y1  V 12/2g, donde y1  H  Pw. El flujo sobre el vertedero no es unidimensional ya que el líquido sufre grandes cambios en la velocidad y en la dirección sobre el vertedero. Pero la presión dentro de la napa es atmosférica. Una relación simple para la variación de la velocidad de un líquido sobre el vertedero puede obtenerse cuando se considera fricción despreciable y se escribe la ecuación de Bernoulli entre en un punto del flujo corriente arriba (punto 1) y un punto sobre el vertedero a una distancia h desde el nivel del líquido corriente arriba como: H  Pw 

V 21 u 22  (H  Pw  h)  2g 2g

(13-90) H

Se cancelan los términos comunes y se resuelve para u2, la distribución de la velocidad ideal sobre el vertedero se determina como: u 2  22gh  V 21

(13-91)

En realidad, el nivel superficial del agua disminuye sobre el vertedero mientras el agua empieza a caer libremente (el efecto de descenso en la parte superior) y la separación del flujo en la cima del borde del vertedero reduce la napa aún más (el efecto de contracción en la parte inferior). Como resultado, la altura del flujo sobre el vertedero es considerablemente más pequeña que H. Cuando los efectos de descenso y contracción se ignoran por simplicidad, la razón de flujo

V1

u2(h)

h Napa

2 1 Pw

y x

(1)

Vertedero (2)

FIGURA 13-49 Flujo sobre un vertedero de pared delgada.

744 FLUJO EN CANAL ABIERTO

se obtiene al integrar, sobre el área total de flujo, el producto de la velocidad de flujo y el área diferencial: # V



u 2 dA c2 

Ac



H

22gh  V 21 w dh

(13-92)

h0

donde w es el ancho del área de flujo a la distancia h desde la superficie libre corriente arriba. En general, w es una función de h. Pero para un vertedero rectangular, w  b, el cual es constante. Entonces la integral puede realizarse fácilmente y la razón de flujo para un vertedero rectangular en caso de un flujo ideal con fricción y efectos de descenso y contracción asimismo despreciables se determina como: # V 21 32 V 21 32 2 V ideal  b22g caH  b  a b d 3 2g 2g

(13-93)

Cuando la altura del vertedero es grande en relación con la carga del vertedero (Pw  H), la velocidad corriente arriba V1 es pequeña y la carga de velocidad corriente arriba puede despreciarse. Esto es, V 12/2g  H. Entonces: # 2 V ideal, rec  b22gH 32 3

(13-94)

Por lo tanto, la razón de flujo puede determinarse cuando se conocen dos cantidades geométricas: el ancho de la pared b y la carga del vertedero H, la cual es la distancia vertical entre la cresta del vertedero y la superficie libre corriente arriba. Este análisis simplificado proporciona la forma general de la relación de la razón de flujo, pero necesita modificarse al considerar la fricción y los efectos de tensión superficial, los cuales tienen un papel secundario, así como los efectos de descenso y de contracción. Nuevamente esto se hace cuando se multiplican las relaciones de la razón de flujo ideal por un coeficiente de descarga del vertedero determinado experimentalmente Cdv. Entonces la razón de flujo para un vertedero rectangular de pared delgada se expresa como: Vertedero rectangular de pared delgada:

# 2 V rec  C dv, rec b 22gH 32 3

(13-95)

donde, de la Ref. 1 (Ackers, 1978): H C dv, rec  0.598  0.0897 Pw

Superficie libre corriente arriba

H

Pw

h

w u

Placa de vertedero

FIGURA 13-50 Geometría de un vertedero triangular (o en forma de “V”) de pared delgada. Esta vista es desde corriente abajo mirando hacia corriente arriba.

para

H 2 Pw

(13-96)

Esta fórmula se aplica a un amplio rango de números de Reynolds corriente arriba definidos como Re  V1H/v. Más precisas, pero también más complicadas se encuentran relaciones disponibles en la literatura. Observe que la ecuación 13-95 es válida para vertederos rectangulares de ancho completo. Si lo ancho del vertedero es menor que lo ancho del canal y el flujo se fuerza a contraerse, se debe incorporar un coeficiente adicional de la corrección relacionada con la contracción para tomar en cuenta apropiadamente este efecto. Otro tipo de vertederos de pared delgada que por lo general se usa para medición del flujo es el vertedero triangular (también llamado vertedero de corte en V) que se muestra en la figura 13-50. El vertedero triangular tiene la ventaja de mantener una carga de vertedero H alta, inclusive para razones de flujo pequeñas, debido a la disminución del área de flujo con la disminución de H, y así puede utilizarse para medir un amplio rango de razones de flujo con una buena precisión. A partir de consideraciones geométricas, el ancho de corte puede expresarse como w  2(H  h) tan(u/2), donde u es el ángulo de corte en V. Se sustituye en la ecuación 13-92 y se realiza la integral, se obtiene la razón de flujo ideal para un vertedero triangular como:

745 CAPÍTULO 13

# 8 u V ideal, tri  tan a b 22gH 52 15 2

(13-97)

donde se ha despreciado nuevamente la carga de velocidad corriente arriba. Por conveniencia, la fricción y otros efectos disipativos se consideran al multiplicar la razón ideal de flujo por el coeficiente de descarga del vertedero. Entonces la razón de flujo para un vertedero triangular de pared delgada es: # V

Vertedero triangular de pared delgada:

C dv, tri

8 u tana b 22gH 5 2 15 2

(13-98)

donde el rango típico de valores de Cdv, tri es entre 0.58 y 0.62. Por lo tanto, la fricción del fluido, la constricción del área del flujo, y otros efectos disipativos originan que la razón de flujo a través del vertedero triangular real disminuya 40 por ciento comparado con el caso ideal. Para casos más prácticos (H  0.2 m y 45°  u  120°), el valor del coeficiente de descarga del vertedero Cdv, tri es aproximadamente de 0.58. Valores más precisos se encuentran en la literatura.

EJEMPLO 13-10

Depresión sobre el tope

Flujo subcrítico sobre un tope

Agua que fluye en un ancho canal abierto horizontal encuentra un tope de 15 cm de altura en el fondo del canal. Si la profundidad del flujo es de 0.80 m y la velocidad es de 1.2 m/s antes del tope, determine si la superficie del agua se reduce sobre el tope (Fig. 13-51) y, si es así, en cuánto.

y1  0.80 m

y2

zb  0.15 m

SOLUCIÓN Agua que fluye en un canal abierto encuentra un tope. Debe determinarse si la superficie del agua se reduce sobre el tope. Suposiciones 1 El flujo es estacionario. 2 Los efectos de fricción son despreciables de tal manera que no hay disipación de energía mecánica. 3 El canal es lo suficientemente ancho, así que los efectos en los bordes son despreciables. Análisis El número de Froude corriente arriba y la profundidad crítica son

Fr1  yc  a

V1 2gy 1



1.2 m/s 2(9.81 m2/s)(0.80 m)

 0.428

# (by 1V1)2 13 y 21V 21 13 (0.8 m)2(1.2 ms)2 13 V 2 13 b a b  a b  a b  0.455 m 2 2 g gb gb 9.81 m/s2

Tope

V1  1.2 m/s y

1

y1 y2

zb

El flujo es subcrítico puesto que Fr  1 y por lo tanto la profundidad de flujo disminuye sobre el tope. La energía específica corriente arriba es:

E s1  y 1 

V 21 (1.2 m/s)2  (0.80 m)   0.873 m 2g 2(9.81 m/s2)

Flujo subcrítico

2

Es2

Es1

Es

La profundidad de flujo sobre el tope puede determinarse a partir de:

y 32

 (E s1 

z b)y 22

V 21 2 y1  0  2g

Se sustituye,

y 32  (0.873  0.15 m)y 22 

(1.2 m/s)2 (0.80 m)2  0 2(9.81 m/s2)

o

y 32  0.723y 22  0.0470  0 Al usar un paquete computacional para resolver ecuaciones, las tres raíces de esta ecuación son 0.59, 0.36 y 0.22 m. Se descarta la solución negativa ya que es físicamente imposible. También se elimina la solución 0.36 m ya que este va-

FIGURA 13-51 Esquema y diagrama de la profundidad de flujo contra la energía específica para el ejemplo 13-10.

746 FLUJO EN CANAL ABIERTO

lor es menor que la profundidad crítica, y puede ocurrir solamente en flujos supercríticos. Así, únicamente la solución que tenga significado para la profundad de flujo sobre el tope es y2  0.59 m. Entonces, la distancia de la superficie del agua sobre el tope desde el fondo del canal es zb  y2  0.15  0.59  0.74 m, la cual es menor que y1  0.80 m. Por lo tanto, la superficie se reduce sobre el tope en la cantidad de:

Reducción  y 1  (y 2  z b)  0.80  (0.59  0.15)  0.06 m Discusión Note que al tener y2  y1 no indica necesariamente que la superficie del agua se reduce (ésta puede inclusive aumentar sobre el tope). La superficie se reduce sobre el tope solamente cuando la diferencia y1  y2 es mayor que la altura del tope zb. El valor actual de la reducción puede también ser diferente de 0.06 m debido a los efectos de la fricción que se desprecian en el análisis.

b 5 m y1  1.5 m V1 Pw  0.60 m

Vertedero rectangular de pared delgada

FIGURA 13-52 Esquema para el ejemplo 13-11.

EJEMPLO 13-11

Medición de la razón de flujo mediante un vertedero

El caudal de agua en un canal horizontal abierto de 5 m de anchura se mide mediante un vertedero de cresta afilada de 0.60 m de altura, de igual anchura. Si la profundidad de agua corriente arriba es 1.5 m, determine el caudal de agua (Fig. 13-52).

SOLUCIÓN Se mide la profundidad del agua corriente arriba en un canal horizontal equipado con un vertedero rectangular. Se determina la razón de flujo. Suposiciones 1 El flujo es estacionario. 2 La carga de velocidad corriente arriba es despreciable. 3 El canal es lo suficientemente ancho, así que los efectos en los bordes son despreciables. Análisis La carga del vertedero es: H  y 1  Pw  1.5  0.60  0.90 m El coeficiente de descarga del vertedero es:

C dv, rec  0.598  0.0897

H 0.90  0.598  0.0897  0.733 Pw 0.60

Se satisface la condición H/Pw  2, ya que 0.9/0.6  1.5. Entonces la razón del flujo del agua a través del canal es:

# 2 V rec  C dv, rec b 22gH 32 3  (0.733)

2 (5 m)22(9.81 m/s2)(0.90 m)32 3

 9.24 m3/s Discusión La velocidad corriente arriba y la carga de velocidad corriente arriba son: # V 21 (1.23 m/s)2 V 9.24 m3/s   1.23 m/s y   0.077 m V1  by 1 (5 m)(1.5 m) 2g 2(9.81 m/s2) Esto es 8.6 por ciento de la carga del vertedero, una cantidad importante. Cuando se considera la carga de velocidad corriente arriba, la razón de flujo toma el valor de 10.2 m3/s, la cual es casi 10 por ciento más grande que el valor determinado. Por lo tanto, es buena práctica considerar la carga de velocidad corriente arriba al menos que la altura del vertedero Pw sea muy grande con relación a la carga del vertedero H.

747 CAPÍTULO 13

RESUMEN Un flujo de canal abierto se refiere al flujo de líquidos en canales abiertos a la atmósfera o en conductos parcialmente llenos. Se dice que el flujo en un canal es uniforme si la profundidad del flujo (y por lo tanto la velocidad promedio) permanece constante. De otra manera se dice que el flujo es no uniforme o variado. El radio hidráulico se define como Rh  Ac / p. El número de Froude adimensional se define como: Fr 

V 2gL c



V 2gy

El flujo se clasifica como subcrítico para Fr  1, crítico para Fr  1 y supercrítico para Fr  1. La profundidad de flujo en flujos críticos se llama profundidad crítica y se expresa como: # V2 yc  2 gA c

# V 2 13 y c  a 2b gb

o

donde b es el ancho del canal para canales anchos. La velocidad a la cual viaja una perturbación superficial a través de un líquido de profundidad y es la velocidad de onda c0, la cual se expresa como c0  1gy. La energía mecánica total de un líquido en un canal se expresa en términos de las cargas como: V2 H  zb  y  2g donde zb es la carga de elevación, P/rg  y es la carga de presión y V2/2g es la carga de velocidad. La suma de las cargas dinámicas y de presión se llama energía específica Es: V2 Es  y  2g La ecuación de conservación de masa es Ac1V1  Ac2V2. La ecuación de la energía se expresa como: y1 

V 21 V 22  S 0L  y 2   hL 2g 2g

Aquí hL es la pérdida de carga y S0  tan u es la pendiente de fondo del canal. La pendiente de fricción está definida como Sf  hL/L. La profundidad de flujo uniforme se llama profundidad normal yn, y la velocidad promedio se llama velocidad de flujo uniforme V0. La velocidad y la razón de flujo están dadas por: a V0  R 23 S 12 n h 0

y

# a 12 V  A cR 23 h S0 n

donde n es el coeficiente de Manning cuyo valor depende de la rugosidad de las superficies del canal, y a  1 m1/3/s  (3.2808 ft)1/3/s  1.486 ft1/3/s. Si yn  yc, el flujo es crítico uniforme, y la pendiente de fondo SC es igual a la pendiente crítica SC que se expresa como: Sc 

gn 2y c a

2

R 43 h

la cual se simplifica en

Sc 

gn 2 a 2y 13 c

para una película de flujo o un flujo en un canal rectangular con b  yc.

La mejor sección transversal hidráulica para un canal abierto es aquella con el radio hidráulico máximo, o equivalente, aquella con el perímetro mojado mínimo para una sección transversal específica. El criterio para la mejor sección transversal hidráulica para un canal rectangular es y  b/2. La mejor sección transversal para un canal trapezoidal es la mitad de un hexágono. En flujo de variación gradual (GVF, por sus siglas en inglés), la profundidad del flujo cambia gradualmente y suavemente en función de la distancia corriente abajo. El perfil de superficie y (x) se calcula por integración de la ecuación de FVG, dy S0  Sf  dx 1  Fr2 En flujos de variación rápida (GVF, por sus siglas en inglés), la profundidad de flujo varía de forma marcada sobre una distancia relativamente corta en la dirección del flujo. Cualquier cambio de flujo supercrítico a flujo subcrítico ocurre a través de un salto hidráulico, el cual es un proceso altamente disipativo. La razón de profundidades y2/y1, pérdida de carga y razón de energía disipada durante un salto hidráulico se expresan como: y2  0.5a1  21  8Fr 21 b y1 hL  y 1  y 2   y1  y2  Razón de disipación  

V 21  V 22 2g y 21 y 1Fr 21 a1  2b 2 y2

hL hL  E s1 y 1  V 212g hL y 1(1  Fr 21 2)

Una obstrucción que permite al líquido fluir sobre ésta se llama vertedero, y una obstrucción con una puerta ajustable en el fondo que permite que el líquido fluya por debajo se llama compuerta de corriente subálvea. La razón de flujo a través de una compuerta de desagüe está dado por: # V  C d ba22gy 1 donde b y a son lo ancho y la altura de la compuerta abierta, respectivamente, y Cd es el coeficiente de descarga, el cual toma en cuenta para los efectos de fricción. Un vertedero de pared gruesa es un bloque rectangular que tiene una cresta (borde superior) sobre el cual ocurre el flujo. La carga corriente arriba de la superficie superior del vertedero se llama carga del vertedero, H. La razón de flujo se expresa como: # V 21 32 2 32 V  C dv, gruesob2g a b aH  b 2g 3 donde el coeficiente de descarga es:

748 FLUJO DE CANAL ABIERTO

C dv, grueso 

Para un vertedero triangular de pared delgada, la razón de flujo está dada por

0.65 21  HPw

La razón de flujo para un vertedero rectangular de pared delgada se expresa como: # 2 V rec  C dv, rec b22gH 32 3 donde H C dv, rev  0.598  0.0897 Pw

para

H 2 Pw

# 8 u tan a b 22gH 52 V  C dv, tr i 15 2 donde el rango típico de los valores de Cdv, tri es entre 0.58 y 0.62. El análisis de canal abierto se usa por lo general en el diseño de sistemas de alcantarillado, sistemas de irrigación, desagües y diques. Algunos flujos de canales abiertos se analizan en el capítulo 15 con el uso de dinámica de fluidos computacional (DFC, CFD del inglés: computacional fluid dynamics).

BIBLIOGRAFÍA Y LECTURAS RECOMENDADAS 1. P. Ackers et al. Weirs and Flumes for Flow Measurement. Nueva York: Wiley, 1978.

6. F. M. Henderson. Open Channel Flow. Nueva York: Macmillan, 1966.

2. B. A. Bakhmeteff. Hydraulics of Open Channels. Nueva York: McGraw-Hill, 1932.

7. C. C. Mei. The Applied Dynamics of Ocean Surface Waves. Nueva York: Wiley, 1983.

3. M. H. Chaudhry. Open Channel Flow. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, 1993.

8. U. S. Bureau of Reclamation. “Research Studies on Stilling Basins, Energy Dissipaters, and Associated Appurtenances”, Hydraulic Lab Report Hyd.-399, junio 1, 1955.

4. V. T. Chow. Open Channel Hydraulics. Nueva York: McGraw-Hill, 1959. 5. R. H. French. Open Channel Hydraulics. Nueva York: McGraw-Hill, 1985.

PROBLEMAS* Clasificación, número de Froude y velocidad de onda 13-1C ¿En qué difiere un flujo de canal abierto de un flujo interno?

13-6C Considere un flujo estacionario totalmente desarrollado en un canal abierto de sección transversal rectangular con una inclinación de 5° de su fondo. ¿Será el ángulo de la inclinación de la superficie libre también de 5°? Explíquelo.

13-2C ¿Qué fuerza impulsa el flujo en un canal abierto? ¿Cómo se establece la razón de flujo en un canal abierto?

13-7C ¿Qué origina que el flujo en un canal abierto varíe (que sea no uniforme)? ¿Cómo difiere el flujo de variación rápida del flujo de variación gradual?

13-3C ¿Cómo difiere un flujo uniforme de un flujo no uniforme en canales abiertos? ¿En qué clase de canales se observa flujo uniforme?

13-8C En canales abiertos, ¿cómo se define al radio hidráulico? Conociendo el radio hidráulico, ¿cómo puede determinarse el diámetro hidráulico?

13-4C ¿Qué es la profundidad normal? Explique cómo se establece en canales abiertos.

13-9C Dada la velocidad promedio de flujo y la profundidad de flujo, explique cómo determinaría si el flujo en un canal abierto es tranquilo, rápido o crítico.

13-5C ¿Cómo es el cambio de presión a lo largo de la superficie libre en un flujo de canal abierto?

* Los problemas designados por una “C” son preguntas de concepto y se alienta a los estudiantes a dar respuesta a todas. Los problemas designados por una “I” están en unidades inglesas y los usuarios del SI pueden ignorarlos. Los problemas con el ícono son de comprensión y se recomienda emplear un software como EES para resolverlos.

13-10C ¿Qué es el número de Froude? ¿Cómo está definido? ¿Cuál es su significado físico? 13-11C ¿Qué es la profundidad crítica en un flujo de canal abierto? Para una velocidad promedio de flujo dada, ¿cómo se determina? 13-12C Se observa que el flujo de canal abierto sufre un salto hidráulico. ¿Es el flujo corriente arriba del salto necesariamente supercrítico?, ¿el flujo corriente abajo del salto es necesariamente subcrítico?

749 CAPÍTULO 13

13-13 Fluye agua de manera uniforme a 20°C en un canal rectangular ancho con una velocidad promedio de 2 m/s. Si la profundidad del agua es 0.2 m, determine a) si el flujo es laminar o turbulento y b) si el flujo es subcrítico o supercrítico. 13-14 Fluye agua a 20°C en un canal circular de 3 m de diámetro parcialmente lleno con una velocidad promedio de 2 m/s. Si la profundidad máxima del agua es 0.75 m, determine los radios hidráulicos, el número de Reynolds y el régimen de flujo.

R  1.5 m

0.75 m

FIGURA P13-14 13-15 Considere el flujo de agua en un canal ancho. Determine la velocidad de una pequeña perturbación en el flujo si la profundidad del flujo es a) 25 cm y b) 80 cm, ¿cuál sería su respuesta si el fluido fuera aceite? 13-16 Se tiene agua a 15°C que fluye de manera uniforme en un canal rectangular de 2 m de profundidad con una velocidad promedio de 4 m/s. Si la profundidad del agua es de 8 cm, determine si el flujo es subcriítico o supercrítico. Respuesta: supercrítico

13-17 Después de una pesada lluvia, fluye agua sobre una superficie de concreto con una velocidad promedio de 1.3 m/s. Si la profundidad del agua es de 2 cm, determine si el flujo es subcrítico o supercrítico. 13-18I Fluye agua a 70°F de manera uniforme en un canal rectangular ancho con una velocidad promedio de 6 ft/s. Si la profundidad del agua es de 0.5 ft, determine a) si el flujo es laminar o turbulento y b) si el flujo es subcrítico o supercrítico. 13-19 Una onda se origina en el mar debido a una fuerte sacudida durante un sismo. Tomando la profundidad promedio del agua como 2 km y la densidad del agua de mar como 1 030 kg/m3, determine la velocidad de propagación de esta onda.

es supercrítico, ¿la energía específica del agua en estos dos canales puede ser idéntica? Explíquelo. 13-24C Durante un flujo estacionario y uniforme a través de un canal abierto de sección transversal rectangular, una persona afirma que la energía específica del fluido permanece constante. Una segunda persona afirma que la energía específica disminuye a lo largo de flujo debido a los efectos de la fricción y a la pérdida de carga. ¿Con cuál de las dos personas está de acuerdo? Explíquelo. 13-25C ¿Cómo se define la pendiente de fricción? ¿En qué condiciones ésta es idéntica a la pendiente de fondo de un canal abierto? 13-26C Considere el flujo estacionario de un líquido en un canal rectangular ancho. Si se dice que la línea de energía del flujo es paralela al fondo del canal cuando las pérdidas de fricción son despreciables, ¿está de acuerdo? 13-27C Considere el flujo estacionario unidimensional en un canal rectangular ancho. Alguien afirma que la energía mecánica total del fluido en la superficie libre de una sección transversal es igual a aquella que tiene el fluido en el fondo del canal de la misma sección transversal. ¿Está de acuerdo? Explíquelo. 13-28C ¿Cómo es la energía mecánica total del fluido en caso de un flujo estacionario unidimensional en un canal rectangular ancho en términos de las cargas? ¿Cómo está relacionada con la energía específica del fluido? 13-29C Exprese la ecuación unidimensional de energía para un flujo en canal abierto entre una sección corriente arriba 1 y una sección corriente abajo 2, y explique cómo la pérdida de carga puede determinarse. 13-30C Para una razón de flujo dado en un canal abierto, se estudia la variación de la energía específica respecto a la profundidad. Una persona afirma que la energía específica para un fluido debe ser mínima cuando el flujo es crítico, pero otra persona afirma que la energía es mínima cuando el flujo es subcrítico. ¿Cuál es su opinión al respecto? 13-31C Considere un flujo supercrítico estacionario de agua a través de un canal rectangular abierto con una razón de flujo constante. Alguien afirma que a mayor profundidad de flujo, mayor es la energía específica. ¿Está de acuerdo con esto? Explíquelo.

13-20 Fluye agua a 10°C en un canal circular medio lleno de 3 m de diámetro con una velocidad promedio de 2.5 m/s. Determine el radio hidráulico, el número de Reynolds y el régimen, de flujo (laminar o turbulento).

13-32 Fluye agua de manera estacionaria en un canal rectangular de 1.4 m de ancho a una razón de 0.7 m3/s. Si la profundidad de flujo es 0.40 m, determine la velocidad de flujo y si el flujo es subcrítico o supercrítico. Determine también la profundidad de flujo alterno si el carácter del flujo se cambiara.

13-21 2 m.

13-33 Fluye agua a 15°C a una profundidad de 0.4 m con una velocidad promedio de 6 m/s en un canal rectangular. Determine la energía específica del agua y si el flujo es subcrítico o supercrítico.

Repita el problema 13-20 para un diámetro de canal de

Energía específica y ecuación de la energía 13-22C ¿Cómo es la energía específica de un fluido que fluye en un canal abierto definido en términos de carga? 13-23C Considere un flujo estacionario de agua a través de dos canales rectangulares abiertos con razones de flujo idénticas. Si el flujo en uno de los canales es subcrítico y en el otro

13-34

Fluye agua a 15° a una profundidad de 0.4 m con una velocidad promedio de 6 m/s en un canal rectangular. Determine a) la profundidad crítica, b) la profundidad alterna y c) la energía específica mínima. 13-35 Fluye agua a 10°C en un canal rectangular de 6 m de anchura, con una profundidad de 0.55 m y un caudal de 12

750 FLUJO DE CANAL ABIERTO

m3/s. Determine a) la profundidad crítica, b) si el flujo es subcrítico o supercrítico y c) la profundidad alterna. Respuestas: a) 0.742 m, b) supercrítico, c) 1.03 m

13-36I Fluye agua a 65°F a una profundidad de 0.8 ft con una velocidad promedio de 14 ft/s en un canal rectangular ancho. Determine a) el número de Froude, b) la profundidad crítica y c) si el flujo es subcrítico o supercrítico. ¿Cuáles serían sus respuestas si la profundidad del flujo fuera de 0.2 ft? 13-37I Repita el problema 13-36I para velocidad promedio de 10 ft/s. 13-38 Fluye agua a través de un canal hexagonal con ancho de fondo de 2 m a una razón 60 m3/s. Determine a) la velocidad promedio y b) si el flujo es subcrítico y supercrítico. 13-39 Repita el problema 13-38 pero con una razón de flujo de 30 m3/s. 13-40 Fluye agua a través de un canal rectangular de 4 m de ancho con una velocidad promedio de 7 m/s. Si el flujo es crítico, determine la razón de flujo del agua. Respuesta: 140 m3/s 13-41 Fluye agua a través de un canal de acero de 50 cm de diámetro lleno hasta la mitad con una velocidad promedio de 2.8 m/s. Determine la razón de volumen del flujo y si el flujo es subcrítico o supercrítico.

Flujo uniforme y mejores secciones transversales hidráulicas

cambio, d) disminuye a la mitad o e) disminuye por un factor de 21/3. 13-50 Durante un flujo uniforme en canales abiertos, la velocidad de flujo puede determinarse a partir de las .ecuacio1/2 nes de Manning expresadas como V0  (a/n)R2/3 h S 0 y V  (a/n) 1/2. ¿Cuál es el valor y las dimensiones de la constante a AcR2/3 S h 0 en estas ecuaciones en unidades SI? Explique también, cómo puede determinarse el coeficiente de Manning n cuando se conoce el factor de fricción f. 13-51

Muestre que para un flujo uniforme crítico, la relagn 2y c ción general de pendiente crítica S c  2 43 se reduce a a Rh gn 2 S c  2 13 para flujos con b  yc. a yc 13-52 Fluye agua de manera uniforme en un canal circular medio lleno de 2 m de diámetro y de inclinación de 1.5 m/km. Si el canal está hecho de concreto acabado, determine la razón de flujo del agua. 13-53 Fluye agua de manera uniforme en un canal de concreto acabado de sección transversal trapezoidal con un ancho de fondo de 0.8 m, un ángulo trapezoidal de 50°, y una pendiente de fondo de 0.4°. Si la profundidad de flujo cuando se mide resulta que es de 0.52 m, determine la razón de flujo del agua a través del canal.

13-42C ¿Cuándo se dice que el flujo en un canal abierto es uniforme? ¿En qué condiciones el flujo en un canal abierto permanece uniforme? 13-43C Durante un flujo en canal abierto, alguien afirma que la pérdida de carga puede determinarse simplemente multiplicando la inclinación del fondo por la longitud del canal. ¿Puede esto ser tan simple? Explíquelo. 13-44C Considere el flujo uniforme en un canal rectangular ancho. Si la inclinación de fondo aumenta, la profundidad de flujo a) aumentará, b) disminuirá o c) permanecerá constante. Explíquelo. 13-45C ¿Cuál es la mejor sección transversal hidráulica para un canal abierto, una con radio hidráulico pequeño u otra con radio hidráulico grande? 13-46C ¿Cuál es la mejor sección transversal hidráulica para un canal abierto: a) circular, b) rectangular, c) trapezoidal o d) triangular? 13-47C La mejor sección transversal hidráulica para un canal rectangular abierto es aquella cuya altura de fluido es a) la mitad, b) el doble, c) igual o d) un tercio del ancho del canal.

y  0.52 m u  50 b  0.8 m

FIGURA P13-53 13-54I Un canal semicircular de 6 ft de diámetro fabricado de concreto no acabado debe transportar agua uniformemente a una distancia de 1 milla. Si la razón de flujo debe alcanzar el valor de 150 ft3/s cuando el canal está lleno, determine la diferencia de elevación mínima a través del canal. 13-55 Un canal trapezoidal con un ancho de fondo de 6 m, ancho de superficie libre de 12 m y profundidad de flujo de 2.2 m, descarga agua a una razón de 120 m3/s. Si las superficies del canal se corrugan con asfalto (n  0.016), determine la elevación mínima del canal por km. Respuesta: 5.61 m

13-48C La mejor sección transversal hidráulica para un canal trapezoidal con un ancho de base b es aquel cuya longitud del borde de lado es a) b, b) b/2, c) 2b o b) 13b.

12 m

13-49 Considere un flujo uniforme a través de un canal abierto con un coeficiente de Manning n  0.015. Si se duplica el coeficiente de Manning (n  0.030) como resultado de algún crecimiento de algas sobre las superficies del canal mientras la sección transversal permanece constante, la razón de flujo a) se duplica, b) disminuye en un factor de 12, c) permanece sin

2.2 m

6m

FIGURA P13-55

751 CAPÍTULO 13

13-56 Reconsidere el problema 13-55. Si la máxima altura de flujo que puede acomodarse en el canal es 3.2 m, determine la razón de flujo máxima a través del canal. 13-57 Considere el agua que fluye a través de dos canales idénticos con secciones de flujo cuadradas de 3 m 3 m. Ahora se combinan los dos canales, formando un canal de 6 m de ancho. La razón de flujo se ajusta de tal manera que la profundidad de flujo permanezca constante en 3 m. Determine el porcentaje de aumento en la razón de flujo como resultado de combinar los canales.

13-61I Se transporta agua en un canal de hierro fundido rectangular con una profundidad desde el fondo de 6 ft a una razón de 70 ft3/s. El terreno es tal que el fondo se inclina 1.5 ft por 1 000 ft de longitud. Determine la altura mínima del canal en condiciones de flujo uniforme.

. V  70 ft3/s

y

3m

b  6 ft

3m

FIGURA P13-61I 3m

3m

FIGURA P13-57

13-58 Un canal trapezoidal hecho de concreto no acabado tiene una pendiente de fondo de 1°, un ancho de base de 5 m y una inclinación del lado superficial de 1:1, como se muestra en la figura P13-58. Para una razón de flujo de 25 m3/s, determine la profundidad normal h.

h 45°

45° 5m

13-62 Un canal trapezoidal de tierra limpia con una anchura de fondo de 1.8 m y una pendiente de superficie lateral de 1:1 debe drenar uniformemente agua a razón de 8 m3/s a una distancia de 1 km. Si la profundidad de flujo no debe exceder 1.2 m, determine la caída de elevación necesaria. Respuesta: 3.90 m 13-63 Un sistema de drenado con una inclinación constante de 0.0015 debe construirse de tres canales circulares hechos de concreto acabado. Dos de los canales tienen un diámetro de 1.2 m y conducen el agua al tercer canal. Si todos los canales deben correr medio llenos y las pérdidas en las uniones son despreciables, determine el diámetro del tercer canal. Respuesta: 1.56 m 13-64 Fluye agua en un canal cuya inclinación del fondo es de 0.002 y cuya sección de área transversal se muestra en la figura P13-64. Las dimensiones y los coeficientes de Manning para las superficies en diferentes subsecciones también están dadas en la figura. Determine la razón de flujo a través del canal y el coeficiente de Manning efectivo del canal.

FIGURA P13-58

13-59 Repita el problema 13-58 para un canal excavado en la tierra y cubierto de raíces de maleza con n  0.030. 13-60 Un canal para agua con forma de “V” de hierro fundido que se muestra en la figura P13-60 tiene una inclinación del fondo de 0.5°. Para una profundidad de flujo de 1.2 m en el centro, determine la razón de descarga en caso de un flujo uniforme. Respuesta: 5.08 m3/s

2m

1.5 m

6m

10 m

1

2

Canal de concreto n1  0.014

Roce ligero n2  0.050

2m

FIGURA P13-64

1.2 m 35°

FIGURA P13-60

35°

13-65 Un canal pluvial circular de acero de 2 m de diámetro interno (n = 0.012) debe descargar agua uniformemente a razón de 12 m3/s a una distancia de 1 km. Si la profundidad máxima debe ser 1.5 m, determine la caída de elevación necesaria.

752 FLUJO DE CANAL ABIERTO

R  0.5 m

percrítico, la profundidad del flujo a) aumentará, b) permanecerá constante o c) disminuirá en la dirección del flujo. 13-76C ¿Es posible que un flujo subcrítico efectúe un salto hidráulico? Explíquelo.

y  0.25 m

FIGURA P13-65

13-66 Se debe transportar agua en un canal abierto cuyas superficies están cubiertas de asfalto a una razón de 4 m3/s en flujo uniforme. La inclinación del fondo es de 0.0015. Determine las dimensiones de la sección transversal más adecuada si la forma del canal es a) circular de diámetro D, b) rectangular de ancho de fondo b y c) trapezoidal de ancho de fondo b. 13-67

Considere un flujo uniforme en un canal rectangular de asfalto con área de flujo de 2 m2 y una inclinación en el fondo de 0.0003. Varíe la razón de profundidad-ancho y/b desde 0.1 a 2.0, calcule y grafique la razón de flujo y confirme que la sección transversal de flujo más adecuada ocurre cuando la razón profundidad-ancho es de 0.5.

13-77C ¿Por qué algunas veces se usa el salto hidráulico para disipar energía mecánica? ¿Cómo se define la razón de disipación de energía para un salto hidráulico? 13-78C Considere un flujo de agua estacionario en un canal inclinado de sección transversal rectangular. Si el flujo es supercrítico, la profundidad del flujo a) aumentará, b) permanecerá constante o c) disminuirá en la dirección del flujo. 13-79C Considere un flujo de agua estacionario en un canal inclinado de sección transversal rectangular. Si el flujo es subcrítico y la profundidad del flujo es menor que la profundidad normal (y  yn), la profundidad del flujo a) aumentará, b) permanecerá constante o c) disminuirá en la dirección del flujo. 13-80 Fluye agua de manera uniforme en un canal rectangular con superficies de concreto acabado. El ancho del canal mide 3 m, la profundidad del flujo es de 1.2 m y la inclinación del fondo es 0.002. Determine si la pendiente del canal debería clasificarse como suave, crítica o pronunciada para este flujo.

13-68I Se va a construir un canal rectangular con una pendiente de fondo de 0.0004 para transportar agua a razón de 750 ft3/s. Determine las mejores dimensiones del canal si se debe construir de a) concreto sin acabado y b) concreto con acabado. Respuesta: a) 16.7 ft 8.28 ft, b) 15.6 ft 7.81 ft

13-69I

Repita el problema 13-68I para un caudal de 650 ft3/s.

Flujos de variación gradual, flujos de variación rápida y salto hidráulico

y  1.2 m

13-70C ¿En qué difiere un flujo de variación, o no uniforme, de un flujo uniforme? b3m

13-71C ¿Cómo difiere un flujo de variación gradual (FVG) de un flujo de variación rápida (FVR)? 13-72C Alguien afirma que las pérdidas por fricción asociadas con el esfuerzo de corte sobre las superficies del canal, pueden ignorarse en el análisis de flujos de variación rápida, pero deben considerarse en el análisis de variación gradual. ¿Está de acuerdo con esta afirmación? Justifique su respuesta. 13-73C Considere un flujo estacionario en un canal horizontal de sección transversal rectangular. Si el flujo es subcrítico, la profundidad del flujo a) aumentará, b) permanecerá constante o c) disminuirá en la dirección del flujo. 13-74C Considere un flujo estacionario de agua en un canal inclinado de sección transversal rectangular. Si el flujo es subcrítico y la profundidad de flujo es mayor que la profundidad normal (y  yn), la profundidad de flujo a) aumentará b) permanecerá constante o c) disminuirá en la dirección del flujo. 13-75C Considere un flujo estacionario de agua en un canal horizontal de sección transversal rectangular. Si el flujo es su-

FIGURA P13-80

13-81 Considere flujo uniforme de agua en un canal amplio de ladrillo de pendiente 0.6°. Determine el intervalo de profundidad de flujo para el cual se clasifica el canal como de pendiente pronunciada. 13-82I Considere un flujo de agua a través de un canal de 12 ft de profundidad de concreto no acabado con una inclinación de fondo de 0.5°. Si la razón de flujo es de 300 ft3/s, determine si la inclinación del canal es suave, crítica o pronunciada. Clasifique también el perfil de la superficie mientras se desarrolla el flujo para profundidad de flujo de 3 ft. 13-83 Fluye agua en un canal de hierro fundido en forma de “V” de 90° con una inclinación de fondo de 0.002 a una razón de 3 m3/s. Determine si la inclinación del canal puede clasificarse como suave, crítica o pronunciada para este canal. Respuesta: suave

753 CAPÍTULO 13

13-84

Se descarga agua en un canal rectangular horizontal con una profundidad de 8 m desde una compuerta, y se observa que hay un salto hidráulico. La profundidad y la velocidad antes del salto son de 1.2 m y 9 m/s, respectivamente. Determine a) la profundidad de flujo y el número de Froude después del salto, b) la pérdida y la razón de disipación y c) la energía mecánica disipada por el salto hidráulico.

Antes

yn

Después V1  9 m/s y1  1.2 m

(1)

y2

V2 yn

(2)

FIGURA P13-84 x0

13-85 Agua que fluye en un canal horizontal ancho con profundidad de flujo de 42 cm y una velocidad promedio de 12 m/s experimenta un salto hidráulico. Determine la pérdida de carga relacionada con el salto hidráulico. 13-86 Durante un salto hidráulico en un canal ancho, la profundidad de flujo aumenta de 0.6 a 3 m. Determine las velocidades y el número de Froude antes y después del salto, y la razón de disipación de energía. 13-87 Considere el flujo de agua en un canal de 10 m de ancho a una razón de 70 m3/s y una profundidad de flujo de 0.50 m. El agua sufre un salto hidráulico y la profundidad del flujo después del salto resulta ser de 4 m. Determine la potencia mecánica desperdiciada durante este salto. Respuesta: 4.35 MW 13-88 La velocidad y la profundidad de flujo del agua después de un salto hidráulico se miden y resultan ser 1.7 m y 3 m/s, respectivamente. Determine la profundidad de flujo y la velocidad antes del salto, y la fracción de energía mecánica disipada.

FIGURA P13-90

13-91

Considere flujo de variación gradual sobre una protuberancia en un canal amplio, como se muestra en la figura P13-91. La velocidad inicial del flujo es 0.75 m/s, la profundidad inicial de flujo es 1 m, el parámetro de Manning es 0.02 y la elevación del fondo del canal se escribe como zb  zb exp[0.001(x 100)2] donde la altura máxima de la protuberancia zb es igual a 0.15 m, y la cúspide de la protuberancia se ubica en x  100 m. a) Calcule y grafique la profundidad crítica del flujo y (donde exista) la profundidad normal del flujo. b) Integre la ecuación FVG en el intervalo 0  x  200 m, y comente sobre el com-

13-89I Fluye agua en un canal ancho a una profundidad 2 ft y una velocidad 40 ft/s y experimenta un salto hidráulico. Determine la profundidad de flujo y el número de Froude después del salto y la pérdida de carga adecuada con el salto. 13-90

Considere flujo uniforme de agua en un canal rectangular amplio con un caudal por unidad de anchura de 1.5 m3/s . m y coeficiente de Manning de 0.03. La pendiente del canal es 0.0005. a) Calcule las profundidades normal y crítica del flujo y determine si el flujo uniforme es subcrítico o supercrítico. b) Luego se instala un dique (en x  0) con objeto de embalsar un reservorio de agua corriente arriba. Esto eleva el perfil de superficie de agua corriente arriba, creando una curva de “retorno de agua” (Fig. P13-90). La nueva profundidad de agua inmediatamente corriente arriba del dique es 2.5 m. Determine a qué distancia corriente arriba del dique se extiende el “reservorio”. Usted puede considerar la frontera del reservorio como el punto en el que la profundidad de agua está dentro de 5 por ciento de la profundidad uniforme original del agua. Respuesta: 3 500 m

y1  1 m

x0

100 m

FIGURA P13-91

754 FLUJO DE CANAL ABIERTO

portamiento de la superficie libre a la luz del esquema de clasificación presentado en la tabla 13-3. 13-92

Considere el flujo de agua de variaSalto ción gradual en un canal de irrigación rectangular amplio con un caudal por unidad de anchura de 5 m3/s  m, una pendiente de 0.01, y yf  0.08 m coeficiente de Manning de 0.02. El flujo tiene y0  0.01 m lugar inicialmente a profundidad uniforme. En una ubicación dada, x = 0, el flujo entra a una longitud x0 x3 de 200 m del canal donde la falta de mantenimiento ha provocado una rugosidad del canal de 0.03. Después de este tramo del canal, la rugosidad FIGURA P13-95 vuelve a su valor inicial (con mantenimiento). a) Calcule las profundidades normal y crítica del flujo para los dos salto hidráulico ideal para ayudar a ubicar la posición en la que segmentos distintos. b) Resuelva numéricamente la ecuación de ocurrirá un salto en un canal. Considere un salto creado en una flujo de variación gradual dentro del intervalo 0  x  400 m. canaleta amplia (Rh  y) horizontal (S0  0) de laboratorio con Grafique su solución (es decir, y contra x) y comente acerca del una longitud de 3 m y un coeficiente de Manning de 0.009. El comportamiento de la superficie del agua. flujo supercrítico bajo la compuerta tiene una profundidad inicial de 0.01 m en x  0. La “cola de compuerta” que resulta tiene una profundidad de 0.08 m en x  3 m. El caudal por uniyn1 dad de anchura es 0.025 m3/s  m. a) Calcule la profundidad Superficie Superficie crítica del flujo y verifique que los flujos inicial y final son rugosa más lisa supercrítico y subcrítico, respectivamente. b) Determine la ubicación del salto hidráulico. Sugerencia: Integre la ecuación 0 x 200 m 200 m FVG entre x  0 y una ubicación “conjeturada” del salto, aplique la ecuación de relaciones de profundidades del salto, e integre la ecuación FVG usando esta condición inicial nueva desde FIGURA P13-92 la ubicación del salto hasta x  3 m. Si usted no obtiene la profundidad deseada, pruebe con una nueva ubicación del salto. 13-93 Considere un canal de agua rectangular amplio Respuesta: 1.80 m con un caudal por unidad de anchura de 5 m3/s  13-96 Considere la ecuación de flujo de variación gradual, m y un coeficiente de Manning de n = 0.02. El canal incluye un tramo con longitud de 100 m con una pendiente de S01  dy S0  Sf  0.01 seguido de un tramo de 100 m de longitud con una pendx 1  Fr 2 diente de S02 = 0.02. a) Calcule las profundidades normal y crítica para los dos segmentos del canal. b) Dada una profundidad Para el caso de un canal amplio rectangular, demuestre que esto inicial de agua de 1.25 m, calcule y grafique el perfil de superse puede reducir a la forma siguiente, que muestra explícitaficie del agua sobre la longitud total de 200 m del canal. Tammente la importancia de la relación entre y, yn y yc: bién clasifique los dos segmentos del canal (M1, A2, etc.). dy S0[1  ( yn /y)10/3]  dx 1  ( yc /y)3 y0 13-97I

Considere el flujo de variación gradual de agua en un canal rectangular de 20 ft de anchura con

x0

FIGURA P13-93 13-94

y y0 V0  5.2 ft/s

Repita el problema 13-93 para el caso de una profundidad inicial de agua de 0.75 m en vez de

1.25 m. Aunque no se puede usar la ecuación de FVG para predecir directamente un salto hidráulico, se puede acoplar con la ecuación de relación de profundidades del

0

x S0  0.01

13-95

FIGURA P13-97I

755 CAPÍTULO 13

un caudal de 300 ft3/s y un coeficiente de Manning de 0.008. La pendiente del canal es 0.01, y en la ubicación x = 0, la velocidad media de flujo se mide como 5.2 ft/s. Determine la clasificación del perfil de superficie del agua e integrando numéricamente la ecuación FVG, calcule la profundidad de flujo y en a) x = 500 ft, b) 1 000 ft y c) 2 000 ft.

13-105I Un vertedero de pared delgada, cuyo ancho coincide con el ancho del canal, se usa para medir la razón de flujo de agua en un canal rectangular de 12 ft de ancho. La razón de flujo máximo a través del canal es 180 ft3/s y la profundidad de flujo corriente abajo desde el vertedero no debe exceder 5 ft. Determine la altura apropiada del vertedero.

Control de flujo en canales

13-106 Considere un flujo uniforme en un canal rectangular ancho con una profundidad de 2 m, fabricado de concreto no acabado, colocado en una pendiente de 0.0022. Determine la razón de flujo de agua por metro de ancho del canal. Ahora fluye agua sobre un tope de 15 cm de altura. Si la superficie del agua sobre el tope permanece plana (sin aumentar o disminuir), determine el cambio en la razón de descarga del agua por metro de ancho del canal. (Sugerencia: Investigue si una superficie plana sobre un tope es posible).

13-98C Dibuje un diagrama de profundidad-energía específica para un flujo a través de compuertas subacuáticas, e indique el flujo a través de las compuertas para los casos de a) compuertas sin fricción, b) compuertas con efluente libre, c) compuertas con efluente ahogado (incluyendo el salto hidráulico de regreso a flujo subcrítico). 13-99C ¿Cuál es el principio de un vertedero de pared gruesa usado para medir el flujo en un canal abierto? 13-100C Para compuertas de esclusa, ¿cómo define el coeficiente de descarga Cd? ¿Cuáles son los valores típicos de Cd para compuertas con efluente libre? ¿Cuál es el valor de Cd para un flujo ideal sin fricción a través de la compuerta?

13-107 Se tiene agua que fluye en un canal ancho y encuentra un tope de 22 cm de altura desde el fondo del canal. Si la profundidad del flujo es de 1.2 m y la velocidad es de 2.5 m/s antes del tope, determine si el flujo está bloqueado sobre el tope y explíquelo.

13-101C Considere un flujo estacionario sin fricción sobre un tope de altura z en un canal horizontal con profundidad constante b. Mientras el fluido fluye por arriba del tope, ¿la profundidad de flujo aumenta, disminuye o permanece constante? Considere que el flujo es subcrítico. 13-102C Considere el flujo de un líquido sobre una protuberancia durante un flujo subcrítico en un canal abierto. La energía específica y la profundidad de flujo disminuyen sobre la protuberancia mientras que la altura aumenta. ¿Cuál será el carácter del flujo cuando la energía específica alcanza su valor mínimo? ¿El flujo se convertirá en supercrítico si la altura de la protuberancia se aumenta aún más? 13-103C ¿Qué es un vertedero de pared delgada? ¿Con base en qué se clasifican los vertederos de pared delgada? 13-104 Fluye agua desde un depósito de 12 m de profundidad a un canal abierto de 6 m de ancho a través de una compuerta de 1 m de altura abierta en el depósito hacia el fondo del canal. Si la profundidad de flujo corriente abajo de la compuerta es de 3 m, determine la razón de descarga a través de la compuerta.

Depresión sobre el tope

y1  1.2 m

y2

zb  0.22 m

Tope

V1  2.5 m/s

FIGURA P13-107 13-108 Considere el flujo uniforme de agua en un canal ancho con velocidad de 8 m/s y profundidad de flujo de 8.0 m. El agua fluye sobre un tope de 30 cm de altura. Determine el cambio (aumento o disminución) en el nivel de la superficie del agua sobre el tope. Determine también si el flujo sobre el tope es subcrítico o supercrítico. 13-109 El caudal de agua en un canal horizontal de 6 m de anchura se mide usando un vertedero rectangular de cresta afilada de 0.90 m de altura que se extiende por toda la anchura del canal. Si la profundidad del agua corriente arriba es 2.2 m, determine el caudal del agua. Respuesta: 19.1 m3/s

Compuerta

y1  2.2 m V1

y1  12 m

Pw  0.90 m y2  3 m a1m

FIGURA P13-104

Vertedero rectagular de cresta afilada

FIGURA P13-109

756 FLUJO DE CANAL ABIERTO

13-110 Repita el problema 13-109 pero en el caso de un vertedero de 1 m de altura. 13-111 Fluye agua sobre un vertedero rectangular de pared delgada de 2 m de altura. La profundidad del flujo corriente arriba del vertedero es de 3 m, y se descarga agua desde el vertedero a un canal de concreto no acabado con el mismo ancho en donde se establecen condiciones de flujo uniforme. Si no debe ocurrir un salto hidráulico en el flujo corriente abajo, determine la pendiente máxima corriente abajo del canal. 13-112 Considere agua que fluye sobre un vertedero de pared gruesa suficientemente largo de 0.80 m de altura. Si la profundidad de flujo mínima es de 0.50 m, determine la razón de flujo por metro de ancho del canal y la profundidad de flujo corriente arriba del canal. 13-113 La razón de flujo del agua a través de un canal de 8 m de ancho (dentro de la página) se controla con una compuerta. Si las profundidades de flujo cuando se miden resultan ser 1.3 y 0.45 m respectivamente, determine la razón de flujo y el número de Froude corriente abajo de la compuerta.

13-118 La razón de flujo de agua que fluye en un canal de 3 m de ancho debe medirse con un vertedero triangular de pared delgada de 0.5 m por arriba del fondo del canal con un ángulo de corte de 60°. Si la profundidad de flujo corriente arriba desde el vertedero es de 1.5 m, determine la razón de flujo de agua a través del canal. Tome el coeficiente de descarga del vertedero como 0.60. Respuesta: 0.818 m3/s

Superficie del agua

1m

60° Pared delgada

0.5 m 3m

FIGURA P13-118

13-119 Repita el problema 13-118 para una profundidad de flujo corriente arriba de 0.90 m.

Compuerta

13-120 Un vertedero triangular de pared delgada con un ángulo de corte de 100° se usa para medir la razón de la descarga del agua desde un gran lago a un aliviador. Si se usara en su lugar un vertedero con la mitad del ángulo de corte (u  50°), determine el porcentaje en la reducción de la razón de flujo. Considere que la profundidad del agua y el coeficiente de descarga del vertedero permanecen constantes.

y1  1.3 m

y2  0.45 m

FIGURA P13-113

13-114I Fluye agua a través de una compuerta de 1.1 ft de altura en la entrada y se descarga con efluente libre. Si la profundidad de flujo corriente arriba es de 5 ft, determine la razón de flujo por unidad de ancho y el número de Froude corriente abajo de la compuerta.

13-121 Un vertedero de pared gruesa de 0.80 m de altura se usa para medir la razón del flujo de agua en un canal rectangular de 5 m de ancho. La profundidad del flujo corriente arriba desde el vertedero es de 1.8 m. Determine la razón de flujo a través del canal y la profundidad mínima de flujo por arriba del vertedero.

Descarga 1.8 m

13-115I Repita el problema 13-114I para el caso de una compuerta ahogada de profundidad de flujo corriente abajo de 3.3 ft. 13-116 Se descarga agua desde un lago de 8 m de profundidad a un canal a través de una compuerta de 5 m de ancho y 0.6 m de altura abierta en el fondo del canal. Si la profundidad de flujo corriente abajo desde la compuerta se mide y resulta ser de 4 m, determine la razón de descarga. 13-117I Considere que fluye agua a través de un canal ancho con una profundidad de flujo de 8 ft. Ahora fluye agua a través de una compuerta de 1 ft de abertura y el flujo de descarga de efluente libre subsecuentemente sufre un salto hidráulico. Ignorando cualquier pérdida asociada con la compuerta misma, determine la profundidad de flujo y las velocidades antes y después del salto, y la fracción de la energía mecánica disipada en el salto.

0.80 m

Vertedero de pared gruesa

FIGURA P13-121 13-122 Repita el problema 13-121 para una profundidad de flujo corriente arriba de 2.2 m. 13-123 Considere un flujo uniforme de agua en un canal ancho fabricado de concreto no acabado, colocado sobre una pendiente de 0.0022. Ahora fluye agua sobre una protuberancia de 15 cm de altura. Si el flujo sobre la protuberancia es exactamente crítico (Fr  1), determine la razón de flujo y la profundidad de flujo sobre la protuberancia por metro de ancho. Respuestas: 20.3 m3/s, 3.48 m

757 CAPÍTULO 13

y1

13-131 Considere un canal de agua de 1 m de diámetro interior construido de concreto con acabado (n = 0.012). La pendiente del canal es 0.002. Para una profundidad de flujo de 0.32 m al centro, determine el caudal de agua por el canal.

y2 zb  15 cm

Respuesta: 0.258 m3/s

Tope Pendiente  0.0022

R 0.5 m

FIGURA P13-123

0.32 m

Problemas de repaso 13-124 Fluye agua a través de un canal rectangular de 2.2 m de ancho con un coeficiente de Manning de n  0.012. Si la profundidad del agua es de 0.9 m y la pendiente del fondo es de 0.6° determine la razón de descarga del canal en caso de flujo uniforme. 13-125 Un canal rectangular con un ancho de fondo de 5 m descarga agua a una razón de 16 m3/s. Determine la profundidad de flujo abajo del cual el flujo es supercrítico. Respuesta: 1.01 m

13-126 Fluye agua en un canal con una velocidad promedio de 4 m/s. Determine si el flujo es subcrítico o supercrítico para las siguientes profundidades de flujo: a) 0.2 m, b) 2 m y c) 1.63 m. 13-127 Un canal trapezoidal con un ancho de fondo de 4 m y una pendiente de lado de 45°, descarga agua a una razón de 18 m3/s. Si la profundidad de flujo es de 0.6 m, determine si el flujo es subcrítico o supercrítico.

FIGURA P13-131

13-132

Reconsidere el problema 13-131. Variando la relación de profundidad de flujo al radio y/R, de 0.1 a 1.9, mientras se mantenga constante el área de flujo, y evaluando el caudal, demuestre que la mejor sección transversal para el flujo a través de un canal circular ocurre cuando el canal está lleno a la mitad. Tabule y grafique sus resultados. 13-133 Considere el flujo de agua a través de una muesca parabólica que se muestra en la figura P13-133. Desarrolle una relación para la razón de flujo y calcule su valor numérico para el caso ideal en el cual la velocidad de flujo está dada por la ecuación de Torricelli V  12g(H  y). Respuesta: 0.123 m3/s

b  0.4 m

13-128

Un canal rectangular de 5 m de ancho cubierto de concreto acabado se diseñó para transportar agua a una distancia de 1 km a una razón de 12 m3/s. Con el empleo del software EES (u otro), investigue el efecto de la pendiente del fondo sobre la profundidad de flujo (y así sobre la altura necesaria del canal). El ángulo varía de 5 hasta 10° en incrementos de 0.5°. Tabule y grafique la profundidad del flujo contra el ángulo de fondo y explique los resultados. 13-129

Repita el problema 13-128, pero para un canal trapezoidal que tiene un ancho en la base de 5 m y un ángulo de su lado lateral de 45°. 13-130 Un canal trapezoidal con paredes de ladrillo tiene una pendiente del fondo de 0.001 y un ancho en la base de 6 m, y los lados superficiales están inclinados a 25° con la horizontal, como se muestra en la figura P13-130. Si la profundidad normal mide 2 m, estime la razón de flujo del agua a través del canal. Respuesta: 52.5 m3/s

y  cx2

H  0.5 m

y x

FIGURA P13-133

13-134I Un canal rectangular de concreto no acabado debe construirse para descargar agua de manera uniforme a una razón de 300 ft3/s. Para el caso de la mejor sección transversal, determine el ancho del fondo del canal si la caída de elevación disponible es a) 7 y b) 10 ft por milla. Respuestas: a) 9.38 ft y b) 8.77 ft por milla

13-135I Repita el problema 13-134I para el caso de un canal trapezoidal con la mejor sección transversal. 2m 25°

25° 6m

FIGURA P13-130

13-136 Fluye agua en un canal cuya pendiente de fondo es 0.5° y cuya sección transversal es como se muestra en la figura P13-136. Las dimensiones y los coeficientes de Manning para las superficies en las diferentes subsecciones también se dan en la figura. Determine la razón de flujo a través del canal y el coeficiente de Manning efectivo para el canal.

758 FLUJO DE CANAL ABIERTO 10 m

6m 1m Canal de tierra n1  0.022

Vegetación densa n2  0.075

1m

3m

FIGURA P13-136

13-142 Fluye agua de manera uniforme en un canal circular lleno hasta la mitad con un diámetro de 1.8 m, colocado con una inclinación de 0.0004. Si la razón de flujo es de 2.2 m3/s, determine el coeficiente de Manning del canal y el número de Froude. Respuestas: 0.0215 y 0.657 13-143 Fluye agua en un canal horizontal ancho aproximándose a una protuberancia de 20 cm de altura con una velocidad de 1.25 m/s y una profundidad de flujo de 1.8 m. Determine la velocidad, profundidad de flujo y número de Froude sobre la protuberancia. y1  1.8 m

13-137 Considere dos canales idénticos, uno rectangular con ancho de fondo b y otro circular de diámetro D, con razones de flujo, pendientes de fondo y paredes superficiales idénticas. Si la altura de flujo en el canal rectangular es también b y el canal circular fluye a la mitad, determine la relación entre b y D. 13-138 Considere flujo de agua por un canal con sección en V. Determine el ángulo u que hace el canal con la horizontal para el cual el flujo es más eficiente.

y u

u

y2 V2

V1  1.25 m/s

20 cm

FIGURA P13-143 13-144 Reconsidere el problema 13-143. Determine la altura de la protuberancia para la cual el flujo sobre ésta es crítico (Fr  1). 13-145 Considere que el agua que fluye a través de un canal rectangular ancho sufre un salto hidráulico. Muestre que la razón de los números de Froude antes y después del salto puede expresarse en términos de las profundidades de flujo y1 y y2 antes y después del salto, respectivamente, como

FIGURA P13-138

Fr1/Fr2  1(y 2y 1)3.

13-139 La razón de flujo de agua en un canal rectangular de 6 m de ancho se mide usando un vertedero rectangular de pared delgada de 1.1 m de altura que cruza todo el canal. Si corriente arriba la altura por encima del vertedero es de 0.60 m, determine la razón de flujo del agua. 13-140I Considere dos canales rectangulares idénticos de 15 ft de ancho, cada uno equipado con vertederos muy anchos de 3 ft de altura, excepto que el vertedero es de pared gruesa en uno de los canales y de pared delgada en el otro. Para una profundidad de flujo de 5 ft en ambos canales, determine la razón de flujo a través de cada canal. Respuestas: 149 ft3/s, 66.0 ft3/s 13-141

En la práctica, la muesca “V” se usa por lo general para medir la razón de flujo en canales abiertos. Con el uso de la ecuación ideal de Torricelli V  12g(H  y) para la velocidad, desarrolle una relación para la razón de flujo a través de la muesca “V” en términos del ángulo u. Muestre también la variación de la razón de flujo con u evaluando la razón de flujo para u  25, 40, 60 y 75°, y grafique sus resultados.

13-146 Una compuerta con efluente libre se usa para controlar la razón de descarga de agua a través de un canal. Determine la razón de flujo por unidad de ancho cuando la puerta se eleva hasta producir un hueco de 40 cm y la profundidad de flujo corriente arriba cuando se mide resulta ser de 2.2 m. Determine también la profundidad de flujo y la velocidad corriente abajo. 13-147 El agua que fluye en un canal ancho con una profundidad de flujo de 45 cm y una velocidad promedio de 8 m/s sufre un salto hidráulico. Determine la fracción de la energía mecánica del fluido disipada en este salto. Respuesta: 36.8 por ciento

13-148 El agua que fluye a través de una compuerta sufre un salto hidráulico, como se muestra en la figura P13-148. La veloCompuerta

y1

y2

H  25 cm u

FIGURA P13-141

y

V1  1.25 m/s

FIGURA P13-148

y3  3 m V3  4 m/s

759 CAPÍTULO 13

cidad del agua es de 1.25 m/s antes de alcanzar la puerta y 4 m/s después del salto. Determine la razón de flujo del agua a través de la compuerta por metro de ancho del canal, las profundidades de flujo y1 y y2 y la razón de disipación de energía del salto.

disipa por medio de un salto hidráulico, durante el cual la profundidad del agua aumenta de 0.70 a 5.0 m. Determine las velocidades del agua antes y después del salto, y la potencia mecánica disipada por metro de ancho del vertedero.

13-149 Repita el problema 13-148 para una velocidad de 3.2 m/s después de un salto hidráulico.

Problemas de diseño y ensayo

13-150 Se descarga agua desde un lago de 5 m de profundidad dentro de un canal de concreto acabado con una pendiente de fondo de 0.004 a través de una compuerta de 0.5 m de altura abierta en el fondo. Un poco después se establecen condiciones de flujo uniforme supercrítico y el agua experimenta un salto hidráulico. Determine la profundidad de flujo, velocidad y número de Froude después del salto. Ignore la pendiente de fondo cuando se analiza el salto hidráulico. 13-151 Se descarga agua desde un dique a un canal de desagüe para evitar el desbordamiento y reducir el riesgo de inundaciones. Un gran porcentaje de potencia destructiva de agua se

13-152 Por medio de catálogos o websites obtenga información de tres diferentes fabricantes de vertederos. Compare los diferentes diseños de los vertederos y explique las ventajas y desventajas de cada diseño. Indique las aplicaciones para las cuales cada uno de los diseños es más satisfactorio. 13-153 Considere agua que fluye en un rango de 10 a 15 m3/s a través de un canal rectangular de sección horizontal de 5 m de ancho. Se instalará un vertedero de pared rectangular o de pared triangular delgada para medir la razón de flujo. Si la profundidad del agua permanece por debajo de 2 m todo el tiempo, especifique el tipo y dimensiones del vertedero apropiado. ¿Qué respondería si el rango fuera de 0 a 15 m3/s?

CAPÍTULO

TURBOMAQUINARIA n este capítulo se tratan los principios de una aplicación común e importante de la mecánica de fluidos, la turbomaquinaria. Primero se clasifican las turbomáquinas en dos amplias categorías, bombas y turbinas. Después se analizan estas turbomáquinas con todo detalle, principalmente desde el punto de vista cualitativo, y se explican los principios de su operación. Se destaca el diseño preliminar y, más que dar detalles, se presenta el rendimiento general de las turbomáquinas. Además, se analiza cómo hacer que correspondan los requisitos de un sistema de flujo de fluidos con las características de una turbomáquina. Parte considerable de este capítulo se dedica a las leyes de semejanza de la tubomaquinaria, aplicación práctica del análisis dimensional. Se muestra cómo se usan estas leyes para diseñar nuevas turbomáquinas, que son similares de manera geométrica a las ya existentes.

E

14 OBJETIVOS Cuando el estudiante termine de leer este capítulo debe ser capaz de: ■

■

■

■

Identificar varios tipos de bombas y turbinas, así como entender su funcionamiento. Aplicar el análisis dimensional para diseñar nuevas bombas y turbinas geométricamente similares a las existentes. Efectuar análisis vectorial básico del flujo adentro y afuera de bombas y turbinas. Utilizar velocidad específica para el diseño preliminar y selección de bombas y turbinas.

Los motores jet de los aviones comerciales modernos son turbomáquinas de alta complejidad que incluyen tanto la sección de bomba (el compresor) como la de turbina. © Stockbyte/PunchStock/RF

761

762 TURBOMAQUINARIA

14-1 Entrada de flujo

Bomba

Eent

Salida del flujo Esal

v Energía suministrada, Esal > Eent a) Entrada de flujo

Turbina

Salida de flujo Esal

Eent v

Energía extraída, Esal < Eent b)

FIGURA 14-1 a) Una bomba suministra energía a un fluido, en tanto que b) una turbina extrae energía de un fluido.

Volumen de control

Dent Vent

Bomba

Dsal Vsal Psal

Pent v

FIGURA 14-2 En el caso del flujo estacionario, la ley de conservación de la masa establece que la cantidad de masa que sale de una bomba sea igual a la cantidad de masa que entra a la misma; en el caso de flujo incompresible en donde las áreas de las secciones transversales de la entrada y la salida son iguales (Dsal = Dent), se puede llegar a la conclusión que Vsal = Vent, pero Psal  Pent.

■

CLASIFICACIONES Y TERMINOLOGÍA

Existen dos amplias categorías de turbomaquinaria, bombas y turbinas. La palabra bomba es un término general que designa a cualquier máquina hidráulica que añada energía a un fluido. Algunos autores llaman a las bombas dispositivos que absorben energía, porque la energía se les debe suministrar, y transfieren la mayor parte de esta energía al fluido, por lo regular, mediante una flecha rotatoria (Fig. 14-1a). El incremento en la energía hidráulica se experimenta como un aumento en la presión del fluido. Por otro lado, las turbinas son dispositivos que producen energía porque extraen la energía del fluido y transforman la mayor parte de esa energía a una forma de energía mecánica, casi siempre mediante una flecha rotatoria (Fig. 14-1b). El fluido en la descarga de la turbina experimenta una pérdida de energía, por lo general en forma de pérdida de presión. Cualquier persona podría pensar que la energía que se suministra a una bomba aumenta la velocidad del fluido que pasa por ella, y que una turbina extrae la energía del fluido y le disminuye velocidad. Esto no es necesariamente el caso. Considere un volumen de control alrededor de una bomba (Fig. 14-2). Se suponen condiciones estacionarias. Con esto se da a entender que ni la cantidad de masa ni la velocidad rotacional de los álabes rotatorios cambia con el tiempo (el campo de flujo detallado en las cercanías de los álabes rotatorios dentro de la bomba no es estacionario, pero el análisis del volumen de control no tiene que ver con los detalles del interior del volumen de control). De acuerdo con la ley de conservación de la masa, se sabe que la cantidad de masa que entra a la bomba debe ser igual a la cantidad de masa que abandona la bomba. Si el flujo es incompresible, el gasto volumétrico en la entrada y el gasto volumétrico en la descarga también deben ser iguales. Además, si el diámetro de la descarga es igual al de la entrada, la conservación de la masa exige que la velocidad promedio en la descarga debe ser idéntica a la velocidad promedio en la entrada. En otras palabras, la bomba no aumenta necesariamente la velocidad del fluido que pasa por ella, sino que incrementa la presión del fluido. Claro que, cuando la bomba se apaga ya no habrá ningún flujo. Así que, la bomba sí aumenta la velocidad del fluido si se le compara con el caso en que no hay bomba en el sistema. Sin embargo, de acuerdo con los cambios desde la entrada hasta la salida a través de la bomba, no necesariamente aumenta la velocidad del fluido (la velocidad de salida podría ser más baja que la velocidad de entrada si el diámetro de la descarga es mayor que el de la entrada). El objetivo de tener una bomba es añadir energía al fluido, lo que da como resultado un incremento en la presión de éste, no necesariamente un aumento en la velocidad del fluido cuando pasa por la bomba.

Puede plantearse un enunciado similar respecto a una turbina:

ΔP •

Ventilador Bajo Alto

Fuelle Medio

Compresor Alto

Medio

Bajo

FIGURA 14-3 Cuando las bombas se usan con gases se llaman ventiladores, sopladores o compresores, lo cual depende de los valores relativos del incremento de presión y el gasto volumétrico.

El objetivo de instalar una turbina es extraer energía de un fluido, lo que origina menor presión en éste, no necesariamente una menor velocidad del fluido cuando pasa por la turbina.

Las máquinas hidráulicas que impulsan líquidos se denominan bombas; sin embargo, por lo que se refiere a los gases hay varios nombres para las máquinas que los mueven (Fig. 14-3). Un ventilador es una bomba de gases que eleva ligeramente la presión y la razón de un flujo alta. Entre los ejemplos están los sopladores centrífugos y los ventiladores en jaula de ardilla del sistema de ventilación de los automóviles, hornos y ventiladores de álabes. Un compresor es una bomba de gas diseñada para entregar caudales, desde bajos hasta moderados, a una presión muy alta. Como ejemplos están las compresoras de aire que activan herramienta neumática y que llenan de aire las llantas de los vehículos en las es-

763 CAPÍTULO 14

taciones de servicio, además los compresores de gas refrigerante que se utilizan en las bombas de calor, refrigeradores y acondicionadores de aire. El nombre apropiado para las bombas y las turbinas, en las cuales la energía se suministra o se extrae mediante la flecha rotatoria es turbomáquinas, ya que el prefijo latino turbo significa girar. No todas las bombas y las turbinas cuentan con una flecha rotatoria. La bomba de aire manual que se utiliza para inflar los neumáticos de las bicicletas es un ejemplo adecuado (Fig. 14-4a). El movimiento reciprocante hacia arriba y hacia abajo de un émbolo sustituye una flecha rotatoria en este tipo de bomba, y es más adecuado llamarla simplemente máquina hidráulica, en vez de turbomáquina. Una bomba antigua para pozo opera de manera similar para bombear agua en vez de aire (Fig. 14-4b). Sin embargo, las palabras turbomáquina y turbomaquinaria se utilizan con frecuencia para referirse a todos los tipos de bombas y turbinas sin importar si utilizan una flecha rotatoria o no. Las máquinas hidráulicas podrían clasificarse en máquinas de desplazamiento positivo o máquinas dinámicas, según sea la manera en la que ocurre la transferencia de energía. En las máquinas de desplazamiento positivo, el fluido se dirige hacia adentro de un volumen cerrado. La transferencia de energía al fluido se acompaña por un movimiento de las fronteras del volumen cerrado, lo cual causa la expansión o la contracción del volumen, debido a lo cual se succiona líquido o se fuerce a salir, respectivamente. El corazón es un ejemplo adecuado de una bomba de desplazamiento positivo (Fig. 14-5a). Está diseñado con válvulas de una sola dirección que se abren para dejar que la sangre entre cuando las cámaras del corazón se expanden, y otras válvulas de un solo sentido que se abren cuando la sangre se fuerce a salir de dichas cámaras cuando éstas se contraen. Un ejemplo de una turbina de desplazamiento positivo es el medidor de agua de las casas (Fig. 14-5b), en el cual el agua se obliga a entrar en una cámara cerrada de un volumen que se expande, que está conectada a una flecha de descarga que gira a medida que el agua entra a la cámara. Las fronteras del volumen se colapsan entonces, hacen girar un poco más la

Vena cava superior

a)

b)

FIGURA 14-4 No todas las bombas tienen flecha rotatoria; a) la energía se suministra a esta bomba manual para inflar neumáticos cuando se realiza un movimiento ascendente y descendente del brazo de una persona para bombear aire; b) se usa un mecanismo similar para bombear agua en una antigua bomba para pozos. a) Fotografía de Andrew Cimbala, reproducida con autorización. b) © The McGraw-Hill Companies, Inc./Ellen Behrman, fotógrafa.

Arteria pulmonar Aorta

Aurícula izquierda Aurícula derecha Válvula pulmonar

Ventrículo izquierdo

Vena pulmonar Válvula mitral Válvula aórtica

Ventrículo derecho

Vena cava inferior Válvula tricúspide a)

b)

FIGURA 14-5 a) El corazón humano es un ejemplo de una bomba de desplazamiento positivo; la sangre se bombea por la expansión y contracción de las cámaras del corazón, llamadas ventrículos. b) El medidor de agua común que se encuentra en todas las casas es un ejemplo de turbina de desplazamiento positivo; por cada revolución de la flecha, el agua llena y abandona una cámara de volumen conocido. Fotografía cortesía de Niagara Meters, Spartanburg, SC. Reproducido con autorización.

764 TURBOMAQUINARIA

flecha de descarga y dejan que el agua siga su camino hasta el fregadero, la regadera, etc. El medidor del agua registra cada giro de 360° de la flecha de descarga, ya que está calibrado precisamente al volumen conocido del líquido en la cámara. En las máquinas dinámicas no hay un volumen cerrado. En este caso, los álabes rotatorios suministran energía a un fluido o la extraen de él. Por lo que se refiere a las bombas, los álabes rotatorios se llaman álabes o aspas de rueda móvil o álabes de rotor (en América Latina) o rodete (en España) o de impulsor, y en las turbinas se llaman álabes o aspas del rodete o rotor. Ejemplos de bombas dinámicas son las bombas acorazadas y las bombas entubadas (aquellas que tienen una carcasa que cubre los álabes, como la bomba de agua de algunos automóviles) y las bombas descubiertas (como los ventiladores de techo que se usan en las casas, las hélices de un aeroplano o el rotor de un helicóptero). Ejemplos de turbinas dinámicas son las turbinas acorazadas, como la hidroturbina que extrae energía del agua en una planta hidroeléctrica, y las turbinas descubiertas como la turbina eólica que extrae energía del viento (Fig. 14-6). FIGURA 14-6 Una turbina eólica es un ejemplo adecuado de una máquina dinámica del tipo abierto; el aire hace girar las aspas y la flecha de salida acciona un generador eléctrico. The Wind Turbine Company. Reproducido con autorización.

14-2

■

BOMBAS

Se usan algunos parámetros fundamentales para analizar el rendimiento de una bomba. La razón de flujo de masa del fluido a través de la bomba, m· , es un parámetro obvio fundamental en el funcionamiento de las bombas. En el caso del fluido incompresible es más común utilizar el gasto volumétrico en vez del gasto másico. En la industria de la turbomaquinaria, el flujo volumétrico se denomina capacidad, y es, simplemente, el gasto másico dividido entre la densidad del fluido: # # m V r

Gasto volumétrico (capacidad):

(14-1)

Además, el rendimiento de una bomba se caracteriza por su carga hidrostática neta H, que se define como el cambio en la carga hidrostática de Bernoulli entre la entrada y la descarga de la bomba: Carga hidrostática neta:

H a

V2 V2 P P    zb  a  zb rg 2g rg 2g sal ent

(14-2)

La dimensión de la carga hidrostática neta es longitud, y con frecuencia se menciona como altura de una columna equivalente de agua, hasta en el caso de una bomba que no bombea agua. Por lo que se refiere al líquido que se bombea, la carga hidrostática de Bernoulli en la entrada equivale a la altura total o altura de línea de energía (LE, EGL por sus siglas en inglés) en la entrada LEent, que se obtiene cuando se alinea un tubo de Pitot en el centro del flujo según se ilustra en la figura 14-7. La línea de referencia dinámica en la descarga LEsal, se obtiene de la misma manera, como se ilustra en la figura. En el caso general, la salida de la bomba podría estar a una altura distinta que la entrada y su diámetro y velocidad promedio podría no ser los mismos que en la entrada. Independientemente de estas diferencias, la carga hidrostática H es igual a la diferencia entre LEsal y LEent: H  LEsal  LEent

Carga hidrostática neta para una bomba de líquidos:

Considere el caso especial de un flujo incompresible a través de una bomba en la cual los diámetros de la entrada y la salida son idénticos, y están a la misma altura. La ecuación 14-2 se reduce a: Caso especial con Dsal  Dent y zsal  zent:

H

Psal  Pent rg

765 CAPÍTULO 14

En este caso simplificado, la carga hidrostática neta es simplemente el aumento de la presión en la bomba que se expresa como carga (altura de la columna de fluido). La carga hidrostática neta es proporcional a la potencia útil entregada al fluido. Se acostumbra llamar a esta potencia hidráulica potencia útil, inclusive si el líquido que se bombea no es agua y hasta si la potencia no se mide en unidad de caballos de fuerza. En el aspecto de las dimensiones, se debe multiplicar la carga hidrostática neta de la ecuación 14-2 por la cantidad de masa y la aceleración de la gravedad para obtener las dimensiones de potencia. Por tanto: Potencia útil:

# # # Wpotencia útil  mgH  rgV H

(14-3)

Todas las bombas sufren pérdidas irreversibles a causa de la fricción, fugas internas, separación del flujo en la superficie de los álabes, disipación turbulenta, entre otras. En consecuencia, la energía mecánica que se suministra a la bomba . debe ser mayor que Wpotencia útil. En la terminología de las bombas, la potencia externa que se proporciona a la bomba se denomina potencia al freno o potencia de accionamiento o potencia absorbida, la cual se abrevia como bhp (por las siglas del inglés: brake horsepower). En el caso representativo de una flecha rotatoria que suministra la potencia al freno: Potencia al freno:

# bhp  Wflecha  vTflecha

(14-4)

donde v es la velocidad rotacional de la flecha (rad/s) y Tflecha es el momento de torsión o par de torsión que se suministra a la flecha. Se define eficiencia de la bomba hbomba como la relación de la potencia útil y la potencia suministrada: Eficiencia de la bomba:

h bomba 

# W

 # Wflecha

# W

bhp

# rgV H  vTflecha

(14-5)

Curvas de rendimiento de la bomba y correspondencia entre una bomba y un sistema de tubería El máximo flujo volumétrico en una bomba ocurre cuando la carga hidrostática neta es cero, H  0; este flujo se llama descarga libre de la bomba. La condición de descarga libre se logra cuando es inexistente la restricción de flujo en la entrada o la salida de la bomba, en. otras palabras, cuando no hay carga en la bomba. En este punto de operación, V es grande, pero H es cero; la eficiencia de la bomba es cero porque la bomba no está haciendo trabajo útil, como es evidente por la ecuación 14-5. En el otro extremo, la carga al cierre es la .presión hidrostática neta que se presenta cuando el gasto volumétrico es cero, V  0, y se obtiene cuando la abertura de descarga de la bomba está bloqueada. En estas . condiciones, H es grande pero V es igual a cero; la eficiencia de la bomba (Ec. 14-5) es otra vez cero porque la bomba no realiza trabajo útil. Entre estos dos extremos, desde el cierre hasta la descarga libre, la carga hidrostática neta de la bomba, al incrementar el caudal, podría incrementarse un poco desde su valor al cierre, pero definitivamente H debe disminuir a cero a medida que el gasto volumétrico aumenta hasta su valor de descarga libre. La eficiencia de la bomba alcanza su valor máximo en algún punto entre la condición de cierre y la condición de descarga libre; este punto de operación de eficiencia máxima se denomina punto de la mejor eficiencia (PME, best efficiency point, BEP por sus siglas en inglés) o punto nominal o punto de diseño y se denota con un. asterisco (H*, . V *, bhp*). Las curvas de H, hbomba y bhp como funciones de V se denominan curvas de rendimiento de la bomba (o bien, curvas características, capítulo 8); las curvas representativas a una velocidad rotacional se grafican en la figura 14-8. Las curvas del rendimiento de la bomba cambian con la velocidad rotacional. Es importante tener en cuenta que para el caso de condiciones estacionarias, una bomba puede operar sólo según su curva de rendimiento. Por tanto, el pun-

H

Vsal

zsal Dent

Psal

Bomba

Vent

Dsal

zent

Pent

LEent

v bhp

LATsal

Plano de referencia (z = 0)

FIGURA 14-7 La carga hidrostática neta de una bomba, H, se define como el cambio en la carga total en la ecuación de Bernoulli desde la entrada hasta la descarga; en el caso de un líquido, equivale al cambio en la altura de la línea de energía, H  LEsalida  LEentrada, en relación con algún plano de referencia arbitrario; bhp es la potencia al freno, la potencia suministrada a la bomba.

766 TURBOMAQUINARIA

to de operación de un sistema de tuberías se determina cuando se hacen corresponder la demanda del sistema (carga hidrostática neta necesaria) con el rendimiento de la bomba (carga hidrostática neta disponible). En una aplicación representativa, Hnecesaria y Hdisponible coinciden en un único valor de caudal, que es el punto de operación o punto de servicio del sistema. El punto de operación permanente de un sistema de tuberías está establecido en el gasto volumétrico donde Hnecesaria  Hdisponible.

FIGURA 14-8 Curvas de rendimiento típicas de una bomba centrífuga con álabes inclinadas hacia atrás; podría ser diferente la forma de las curvas para otros tipos de bombas, y las curvas cambian conforme se modifica la velocidad de rotación de la flecha.

FIGURA 14-9 El punto de operación de un sistema de tuberías se establece como el gasto volumétrico en donde la curva de la demanda del sistema y la curva de rendimiento de la bomba se intercecan.

En el caso determinado de un sistema de tuberías con sus pérdidas mayores y menores y cambios de altura, entre otras variaciones, la carga hidrostática neta necesaria se incrementa con el gasto volumétrico. Por otro lado, la carga hidrostática neta disponible de la mayoría de las bombas disminuye con el caudal, como se muestra en la figura 14-8, por lo menos sobre la mayor parte de su rango de operación recomendado. Por lo tanto, la curva de la demanda del sistema y la curva de rendimiento de la bomba se cruzan como se ilustra en la figura 14-9, y esto determina el punto de operación. Con suerte, el punto de operación está en el punto de la mejor eficiencia o cerca del mismo de la bomba. Pero en la mayoría de los casos, como se ilustra en la figura 14-9, la bomba no trabaja a su eficiencia óptima. Si la eficiencia es de lo más importante, entonces debe seleccionarse a la bomba con todo cuidado (o bien, debe diseñarse una nueva bomba) de tal modo que el punto de operación esté tan cerca del punto de la mejor eficiencia como sea posible. A veces es posible cambiar la velocidad de rotación de la flecha de modo que una bomba existente pueda funcionar mucho más cerca de su punto de diseño (el punto de la mejor eficiencia). Hay situaciones infortunadas donde la curva del sistema y la curva de rendimiento de la bomba se cruzan en más de un punto de operación. Esto sucede cuando una bomba que tiene cambios de pendiente en su curva característica de la carga hidrostática neta se monta en un sistema de tuberías cuya curva de demanda es casi plana, como se ilustra en la figura 14-10. Aunque es raro, estas situaciones son posibles y deben evitarse porque el sistema podría “oscilar” en busca de un punto de operación, lo que ocasionaría un flujo no estacionario. Es muy fácil acoplar un sistema de tuberías a un bomba cuando que se advierte que el término para carga útil de la bomba (hbomba,u) que se usó en la ecuación de energía expresada en su forma de cargas (capítulo 5) es el mismo que la carga hidrostática neta (H) que se usa en este capítulo. Por ejemplo, considere un sistema general de tuberías con cambios de altura, pérdidas mayores y menores y aceleración del fluido (Fig. 14-11). Primero se resuelve la ecuación de energía para la carga hidrostática neta necesaria Hnecesaria: Hnecesaria  hbomba, u 

P2  P1 a 2V 22  a 1V 21   (z 2  z 1)  hturbina  hL, total rg 2g

(14-6)

donde se supone que el sistema carece de turbina, aunque el término puede agregarse, si es necesario. Los factores de corrección de la energía cinética también se han incluido en la ecuación 14-6 para tener mayor exactitud, aun cuando es práctica común en la industria de la turbomaquinaria ignorarlos (se supone con frecuencia que a1 y a2 son iguales a la unidad porque el flujo es turbulento). La ecuación 14-6 se evalúa desde la entrada del sistema de tuberías (punto 1, corriente arriba de la bomba) hasta la descarga del sistema de tuberías (punto 2, corriente abajo de la bomba). La ecuación 14-6 concuerda con la intuición, porque señala que la carga hidrostática útil de la bomba que se entrega al fluido realiza lo siguiente: • Incrementa la presión estática del fluido desde el punto 1 hasta el punto 2 (primer término de la derecha). • Aumenta la presión dinámica (energía cinética) del fluido desde el punto 1 hasta el punto 2 (segundo término de la derecha).

767 CAPÍTULO 14

• Aumenta la elevación (energía potencial) del fluido desde el punto 1 hasta el punto 2 (tercer término de la derecha). • Vence las pérdidas irreversibles de carga hidrostática en el sistema de tuberías (último término de la derecha). En un sistema general, el cambio en la presión estática, presión dinámica y elevación pueden ser positivas o negativas, en tanto que las pérdidas de carga irreversibles siempre son positivas. En muchos de los problemas de ingeniería mecánica y civil, en los cuales el fluido es un líquido, el término de elevación es importante; pero cuando el fluido es un gas, tal como sucede en los problemas de ventilación y contaminación del aire, el término de elevación es despreciable casi siempre. Para acoplar una bomba a un sistema y para determinar el punto de operación, se iguala Hnecesaria de la ecuación 14-6 con Hdisponible, la cual es la carga hidrostática neta (casi siempre conocida) de la bomba como una función del gasto volumétrico. Punto de operación:

Hrequerida  Hdisponible

FIGURA 14-10 Deben evitarse las situaciones en las cuales puede haber más de un único punto de operación. En estos casos se prefiere instalar una bomba diferente.

(14-7)

La situación más común es que el ingeniero seleccione una bomba poco más potente que la que en realidad se necesita. El gasto volumétrico a través del sistema de tubería es poco más grande que el necesario, por lo que se instala una válvula o un amortiguador en la línea, de modo que el caudal pueda disminuirse cuando se necesite.

EJEMPLO 14-1

Punto de operación de un ventilador en un sistema de ventilación

Un sistema de ventilación local (ducto de campana y extracción) se utiliza para extraer el aire y los contaminantes que se producen en una operación de limpieza en seco (Fig. 14-12). El conducto es cilíndrico y está hecho de acero galvanizado con costuras longitudinales y juntas cada 30 in (0.76 m). El diámetro interior (DI) del conducto es D  9.06 in (0.230 m) y su longitud total es L  44.0 ft (13.4 m). Hay cinco codos CD3-9 a lo largo del tubo. La altura de rugosidad equivalente de este conducto es 0.15 mm, y cada codo tiene un coeficiente de pérdidas menores (locales) de KL  C0  0.21. Observe la notación C0 para el coeficiente de pérdidas menores, se usa por lo general en la industria de la ventilación (ASHRAE, 2001). Con el fin de asegurar la . ventilación adecuada, el gasto volumétrico mínimo necesario por el conducto es V  600 cfm (pies cúbicos por minuto), es decir, 0.283 m3/s a 25°C. En los manuales del fabricante, el coeficiente de pérdida en la entrada de la campana es 1.3 con base en la velocidad en el conducto. Cuando el regulador de tiro está totalmente abierto, el coeficiente de pérdida es 1.8. Hay un ventilador centrífugo de diámetros de 9-0 in en la entrada y en la salida. Sus datos de rendimiento se proporcionan en la tabla 14-1, de acuerdo con el fabricante. Señale el punto de operación de este sistema de ventilación local y trace una gráfica de los incrementos de presión necesarios y disponibles en función del gasto volumétrico. ¿Es adecuado el ventilador seleccionado?

SOLUCIÓN Se estimará el punto de operación para un sistema de ventilación y conductos determinados y se graficarán los incrementos de presión necesarios y disponibles del ventilador en función del gasto volumétrico. Se determinará si el ventilador es adecuado. Suposiciones 1 El flujo es estacionario. 2 La concentración de contaminantes es baja en el aire; las propiedades del fluido son las del aire. 3 El flujo en la descarga es turbulento y totalmente desarrollado en una tubería con a  1.05. Propiedades Para el aire a 25°C, n  1.562 105 m2/s y r  1.184 kg/m3. La presión atmosférica normal es Patm  101.3 kPa.

FIGURA 14-11 En la ecuación 14-6 se destaca el papel de una bomba en un sistema de tuberías, es decir, la bomba incrementa (o disminuye) la presión estática, la presión dinámica y la elevación del fluido y contrarresta las pérdidas irreversibles.

768 TURBOMAQUINARIA

Análisis Se aplica la ecuación de la energía para el caso estacionario en su forma de las cargas (Ec. 14-6) a partir del punto 1 en la región del aire estancado en la habitación hasta el punto 2 en la descarga del conducto:

Hnecesaria 

(1)

⎫ ⎬ ⎭

P2  P1 a 2V 22  a 1V 21   (z 2  z 1)  hL, total rg 2g se ignora en el caso de gases

En la ecuación 1 podría ignorarse la velocidad del aire en el punto 1, ya que se eligió (con inteligencia) lo suficiente lejos de la entrada de la campana de modo que el aire está casi estancado. En el punto 1, P1 es igual a Patm, y en el punto 2, P2 también es igual a Patm, porque la boquilla descarga en el aire del exterior sobre el techo del edificio. Por tanto, los términos de la presión se cancelan y la ecuación 1 se reduce a:

Hnecesaria

Carga neta necesaria:

a 2V 22  hL, total 2g

(2)

La pérdida de carga total en la ecuación 2 es una combinación de las pérdidas mayores y menores, y depende del gasto volumétrico. Debido que el diámetro del tubo es constante:

Pérdida total de carga debido a las irreversibilidades:

FIGURA 14-12 El sistema de ventilación local del ejemplo 14-1, en el que se muestra un ventilador y todas las pérdidas menores.

hL, total  af

L V2  a K Lb D 2g

(3)

El factor de rugosidad adimensional es e/D  (0.15 mm)/(230 mm)  6.52 104. El número de Reynolds del aire que fluye por el conducto es:

# # DV D 4V 4V  Re   n n pD2 npD

Número de Reynolds:

(4)

El número de Reynolds varía con el gasto volumétrico. En el caudal mínimo necesario, la velocidad del aire por el conducto es V  V2  6.81 m/s, y el número de Reynolds es:

TABLA 14-1 Datos del fabricante de rendimiento del ventilador del ejemplo 14-1* . V, pcm Hdisponible, pulg de H2O 0 250 500 750 1 000 1 200

0.90 0.95 0.90 0.75 0.40 0.0

* Note que los datos de aumento de presión se enlistan como in (pulgadas) de columna de agua, aun cuando el aire es el fluido. Ésta es la práctica común en la industria de la ventilación.

Re 

4(0.283 m3/s)  1.00 10 5 (1.562 10 5 m2/s)p(0.230 m)

A partir del diagrama de Moody (o de la ecuación de Colebrook), con este número de Reynolds y este factor de rugosidad, el factor de fricción es f  0.0209. La suma de todos los coeficientes de pérdidas menores es:

a K L  1.3  5(0.21)  1.8  4.15

Pérdidas menores:

(5)

Cuando se sustituyen estos valores en el caudal mínimo necesario en la ecuación 2, la carga hidrostática neta necesaria del ventilador para el caudal mínimo es:

Hrequerida  aa 2  f

L V2  a K Lb D 2g

 a1.05  0.0209

(6.81 m/s)2 13.4 m  4.15b  15.2 m de aire 0.230 m 2(9.81 m/s2)

(6)

Observe que la carga hidrostática se expresa en unidades de la altura de una columna equivalente del fluido bombeado, que en este caso es aire. Se convierte a una altura de una columna equivalente de agua multiplicándola por el cociente de la densidad del aire a la densidad del agua:

769 CAPÍTULO 14

Hrequerida, pulg de agua  Hrequerida, aire  (15.2 m)

r aire r agua

1.184 kg/m3

1 pulg a b 998.0 kg/m3 0.0254 m

 0.709 pulg de agua

(7)

Se repiten los cálculos con varios valores de gasto volumétrico y se comparan con la carga hidrostática neta disponible del ventilador de la figura 14-13. El punto de operación es a un caudal de alrededor de 650 cfm (cubic feet per minute, pies cúbicos por minuto), en que tanto la carga hidrostática neta requerida como la disponible son iguales a casi 0.83 pulgadas (in) de agua. Se llega a la conclusión que el ventilador seleccionado es más que adecuado para el trabajo. Discusión El ventilador que se compró es poco más potente que lo que se necesita, ya que produce un caudal superior al necesario. La diferencia es pequeña y aceptable; la válvula de mariposa del regulador de tiro podría estar parcialmente cerrada para disminuir el caudal a 600 cfm (pies cúbicos por minuto) si es necesario. Por seguridad, es evidente mejor adquirir un ventilador más potente cuando se usa con un sistema para controlar la contaminación del aire.

Es común en la industria de las bombas ofrecer varias opciones de diámetro del rotor, o rodete, para una misma carcasa de la bomba. Las razones son varias: 1) abatir costos de manufactura, 2) posibilitar un incremento de capacidad cuando se cambia sólo el rotor, 3) estandarizar los montajes de instalación y 4) hacer posible la reutilización del equipo para aplicaciones distintas. Cuando se grafica el rendimiento de tal “familia” de bombas, los fabricantes no trazan curvas separadas de H, hbomba y bhp para cada diámetro de la rueda móvil como se muestra en la figura 14-8. Prefieren combinar las curvas de rendimiento de toda la familia de bombas de distintos diámetros de rotor en una sola gráfica (Fig. . 14-14). De manera específica, trazan una curva de H en función de V para cada diámetro de rotor en la misma forma que en la figura 14-8, pero crean unas curvas de contorno de eficiencia constante trazando curvas suaves que pasan por todos los puntos que tienen el mismo valor de hbomba para las diferentes elecciones de diámetro del rotor. A menudo, las curvas de contorno de potencia al freno constante se trazan en la misma gráfica de manera similar. Puede verse un ejemplo en la figura 14-15 para una familia de bombas centrífugas que fabrica Taco, Inc. En este caso se muestran cinco diámetros del rotor, pero la carcasa de la bomba es idéntica en las cinco opciones. Como se puede ver en la figura 14-15, los fabricantes de las bombas no siempre trazan por completo sus curvas de rendimiento de las bombas para la descarga libre. La causa es que, por lo regular, las bombas no operan ahí debido a los bajos valores de carga hidrostática neta y eficiencia. Si se necesitan valores superiores de caudal y carga hidrostática neta, el cliente debe seleccionar la carcasa que le sigue en tamaño, o considerar usar unas bombas adicionales en serie o en paralelo. Según la gráfica de rendimiento de la figura 14-15, es evidente que para una carcasa de bomba determinada, a medida que es más grande el rotor es mayor la eficiencia máxima que se alcanza. ¿Por qué entonces alguien compraría una bomba con rotor menos grande? Para contestar a esta pregunta, debe reconocerse que la aplicación del cliente requiere una cierta combinación de caudal y carga hidrostática neta. Si las condiciones se cumplen con un diámetro de rotor particular, posiblemente habría más beneficio por el costo al sacrificar eficiencia de la bomba con la finalidad de satisfacer dichas condiciones.

FIGURA 14-13 La carga hidrostática neta en función del caudal para el sistema de ventilación del ejemplo 14-1. El punto donde los valores de H disponible y necesaria coinciden es el punto de operación.

FIGURA 14-14 Curvas de rendimiento típicas para una familia de bombas centrífugas de igual diámetro de carcasa, pero distintos diámetros de rotor.

770 TURBOMAQUINARIA

15H

P(1 1.2

kW

)

10H

P(7

.5k

W)

FIGURA 14-15 Ejemplo de una gráfica de rendimiento proporcionada por un fabricante de una línea de bombas centrífugas. Cada bomba tiene la misma carcasa, pero diferente diámetro del rotor. Cortesía de Taco, Inc., Cranston, RI. Reproducido con autorización.

EJEMPLO 14-2

Selección de la dimensión del rotor para una bomba

Para una operación de lavado en una planta de generación de electricidad se necesitan 370 galones por minuto de agua (gpm). La carga hidrostática neta es alrededor de 24 ft para este caudal. Una ingeniera recién contratada revisa algunos catálogos y decide comprar el rotor de 8.25 in de la bomba centrífuga serie F1 modelo 4013 de Taco de la figura 14-15. Si la bomba opera a 1 160 rpm, como se especifica en la gráfica de rendimiento, según el razonamiento de la ingeniera, su curva de rendimiento se corta a los 370 gpm en H  24 ft. Su jefe, quien está muy interesado en la eficiencia, observa las curvas y se da cuenta que la eficiencia de esta bomba en su punto de operación es de sólo 70 por ciento. También ve que la opción del rotor de 12.75 in alcanza una eficiencia mayor (casi 76.5 por ciento) al mismo caudal. Asimismo, note que puede instalarse una válvula reguladora corriente abajo de la bomba para incrementar la carga hidrostática neta necesaria de modo que la bomba funcione a su mayor eficiencia. Pide a la ingeniera principiante que justifique su elección del diámetro del rotor. Es decir, le pide que calcule qué opción del rotor (de 8.25 in o de 12.75 in) necesitaría la mínima cantidad de electricidad para operar (Fig. 14.16). Haga la comparación y analice los resultados.

771 CAPÍTULO 14

SOLUCIÓN En el caso de un caudal y carga hidrostática neta determinados, se calcula qué tamaño del rotor necesita la mínima cantidad de energía y se analizan los resultados. Suposiciones 1 El agua está a 70°F. 2 Los requisitos del flujo (gasto volumétrico y carga hidrostática neta) son constantes. Propiedades Para agua a 70°F, r  62.30 lbm/ft3. Análisis A partir de las curvas de contorno de la potencia al freno que se muestran en la gráfica de rendimiento de la figura 14-15, la ingeniera principiante estima que la bomba con un rotor menor necesita casi 3.2 hp del motor. Luego comprueba su estimación por medio de la ecuación 14-5:

¿Quiere decirme que la bomba menos eficiente en realidad ahorra en costos de energía?

Potencia al freno (bhp) requerida para la opción del rotor de 8.25 in (pulg): # (62.30 lbm/ft3)(32.2 ft/s2)(370 gal/min)(24 ft) rgV H bhp   h bomba 0.70 hp  s 0.1337 ft3 1 min lbf ba ba b  3.20 hp ba 2 60 s 550 ft  lbf gal 32.2 lbm  ft/s

a

Por otro lado, la opción del rotor de diámetro mayor necesita:

bhp requerida para la opción del rotor de 12.75 in (pulg): bhp  8.78 hp . con el uso del punto de operación de la bomba, a saber, V  370 gpm, H  72.0 ft y hbomba  76.5 por ciento (Fig. 14-15). Es evidente que, la opción del rotor de diámetro menor es la mejor elección a pesar de su menor eficiencia, porque utiliza menos de la mitad de la energía. Discusión Aunque la bomba del rotor mayor operaría a un valor un poco más alto de eficiencia, entregaría casi 72 ft de carga hidrostática neta al caudal necesario. Esto es una exageración, por lo que se necesitaría la válvula reguladora para compensar la diferencia entre esta carga hidrostática neta y la carga neta requerida de flujo de 24 ft de columna de agua. Una válvula reguladora no hace más que disipar energía mecánica; de modo que la ganancia en eficiencia de la bomba es más que compensación por las pérdidas en la válvula reguladora. Si los requisitos de carga hidrostática del flujo o capacidad se incrementan en algún momento en el futuro, se compra un rotor más grande para la misma carcasa.

Cavitación de la bomba y la carga de aspiración neta positiva Cuando se bombean líquidos es muy probable que la presión local dentro de la bomba caiga por abajo de la presión de vapor del líquido Pv (Pv también se denomina presión de saturación Psat; en las tablas termodinámicas aparece como función de la temperatura de saturación). Cuando P  Pv, se producen burbujas llenas de vapor, que reciben el nombre de burbujas de cavitación. En otras palabras, el líquido hierve localmente, que es característico en el lado de la aspiración de los álabes rotatorios del rotor, donde ocurre la presión más baja (Fig. 14-17). Después de que se forman las burbujas de cavitación, se transportan por la bomba hasta regiones donde la presión es mayor, lo cual ocasiona el colapso rápido de las mismas. Precisamente este colapso de las burbujas es lo indeseable porque ocasiona ruido, vibración, reduce la eficiencia, pero lo más importante es que daña los álabes del rotor. El colapso repetido de las burbujas cerca de la superficie de los álabes les ocasiona picaduras o erosión, y, con el paso del tiempo, les provoca fallas catastróficas.

FIGURA 14-16 En algunas aplicaciones, una bomba de menor eficiencia de la misma familia de bombas podría funcionar con menor consumo de energía. Sin embargo, una elección mejor sería una bomba cuyo punto de mejor eficiencia se localizara en el punto de operación necesaria, pero esta bomba no siempre se encontrará disponible en el mercado.

772 TURBOMAQUINARIA Se forman burbujas de cavitación

Colapso de la burbujas de cavitación

Lado de presión Álabe del rotor Lado de aspiración

Con el fin de evitar la cavitación, es necesario tener la certeza de que la presión local en cualquier punto de la bomba se mantiene por arriba de la presión de vapor. Ya que la presión es lo más fácil de medir (o estimar) en la entrada de la bomba, los criterios de la cavitación se especifican siempre en la entrada de la bomba. Es adecuado utilizar un parámetro de flujo llamado carga de aspiración neta positiva (net positive suction head, NPSH, por sus siglas en inglés), que se define como la diferencia entre la carga de presión de estancamiento en la entrada de la bomba y la carga de la presión de vapor: Carga de aspiración neta positiva:

v

FIGURA 14-17 Burbujas de cavitación que se forman y conlapsan en el lado de aspiración de un álabe del rotor.

Carga hidrostática

H

NPSHnecesaria 0

•

V

0

FIGURA 14-18 Gráfica de las curvas de rendimiento de una bomba en la cual están graficadas la carga hidrostática neta y la carga de aspiración neta positiva necesaria contra el gasto volumétrico.

H Carga hidrostática

Sin cavitación

Cavitación

NPSH

NPSH ncesaria

0 0

•

Vmáx

•

V

FIGURA 14-19 El gasto volumétrico en el cual la NPSH real y la NPSH necesaria coinciden representa el caudal máximo que puede entregar la bomba sin que haya cavitación.

NPSH  a

Pv V2 P  b  rg 2g entrada de la bomba rg

(14-8)

Los fabricantes de bombas prueban sus productos en instalaciones con el fin de verificar si se genera cavitación, hacen variar de una manera controlada el gasto volumétrico y la presión de entrada. Específicamente, a un caudal y a una temperatura del líquido determinados, la presión en la entrada de la bomba se reduce con lentitud hasta que la cavitación se presenta en algún lugar dentro de la bomba. El valor de NPSH se calcula por medio de la ecuación 14-8 y se registra a estas condiciones de operación. Este proceso se repite a distintos caudales, después el fabricante publica un parámetro de rendimiento llamado carga de aspiración neta positiva necesaria (NPSHnecesaria), que se define como la NPSH mínima necesaria para evitar la cavitación en la bomba. El valor medido de NPSHnecesaria varía con el gasto volumétrico y, por tanto, NPSHnecesaria se grafica con frecuencia en la misma gráfica de curva de rendimiento de la bomba como carga neta (Fig. 14-18). Cuando la NPSHnecesaria se expresa en unidades adecuadas de carga hidrostática del líquido que se está bombeando, la NPSHnecesaria es independiente del tipo de líquido. Pero, si la carga de aspiración neta positiva se expresa para un líquido en particular en unidades de presión como pascales o psi (libras fuerza por pulgadas cuadradas), el ingeniero debe ser cuidadoso y convertir esta presión en una columna de altura equivalente del líquido real que se está bombeando. Observe que puesto que NPSHnecesaria es por lo regular mucho más pequeña que H en la mayor parte de la curva de rendimiento, con frecuencia se traza en un eje vertical ampliado y separado con el fin de que haya claridad en la información (Fig. 14-15) o como curvas de contorno cuando se muestra para el caso de una familia de bombas. Por lo común, la NPSHnecesaria aumenta con el gasto volumétrico, aunque para algunas bombas disminuye con . V a caudales bajos cuando la bomba no opera con suficiente eficiencia, como se ilustra en la figura 14-18. Para que una bomba no sufra cavitación, la NPSH real o disponible debe ser mayor que NPSHnecesaria. Es importante hacer notar que el valor de NPSH, aparte de variar con el caudal, también se modifica con la temperatura del líquido porque Pv es una función de la temperatura. NPSH también depende del tipo de líquido que se bombea, ya que hay una curva única de Pv contra T para cada líquido. Debido a que las pérdidas irreversibles de carga hidrostática en el sistema de tuberías corriente arriba de la entrada se incrementan con el caudal, la presión de estancamiento en la entrada de la . bomba disminuye con el caudal. Por tanto, el valor de NPSH disminuye con V como se ilustra en la figura 14-19. Si se identifica el gasto volumétrico en el cual las curvas de NPSH real y NPSHnecesaria se cortan, entonces es posible estimar el gasto volumétrico máximo que la bomba puede entregar sin que se genere cavitación (Fig. 14-19).

EJEMPLO 14-3

Caudal máximo para evitar que se genere cavitación en la bomba

Se utiliza el rotor de 11.25 in de la bomba centrífuga de la serie FI modelo 4013 de Taco de la figura 14-15 para bombear agua a 25°C desde un depósito

773 CAPÍTULO 14

cuya superficie está 4.0 ft por arriba del eje central de la admisión de la bomba (Fig. 14-20). El sistema de tuberías, desde el depósito hasta la bomba, consiste en 10.5 ft de tubo de hierro fundido con un diámetro interior de 4.0 in y con una altura de rugosidad promedio de 0.02 in. Hay varias pérdidas menores: una entrada de bordes agudos (KL  0.5), tres codos regulares de 90° embridadas (KL  0.3 cada uno) y una válvula de globo embridada totalmente abierta (KL  6.0). Estime el gasto volumétrico máximo (en galones por minuto) que pueden bombearse sin que se genere cavitación. Si el agua estuviera más caliente, ¿se incrementaría o disminuiría este caudal máximo? ¿Por qué? Explique cómo podría aumentarse el caudal máximo a la vez que se evita la cavitación.

1 z1 Depósito

Sistema de tubería de entrada

Bomba

SOLUCIÓN En el caso de una bomba y un sistema de tuberías dados se estimará el gasto volumétrico máximo que se puede bombear sin que se genere cavitación. También se analizará el efecto de la temperatura del agua y cómo podría incrementarse el caudal máximo. Suposiciones 1 El flujo es estacionario. 2 El líquido es incompresible. 3 El flujo en la entrada de la bomba es turbulento y totalmente desarrollado, con a  1.05. Propiedades Para el agua a T  25°C, r  997.0 kg/m3, m  8.91 104 kg/m · s, y Pv  3.169 kPa. La presión atmosférica estándar es Patm  101.3 kPa. Análisis Se aplica la ecuación de la energía para el caso de flujo estacionario en la forma de cargas a lo largo de una línea de corriente desde el punto 1 en la superficie del depósito hasta el punto 2 de la entrada de la bomba:

P1 a 1V 21 P2 a 2V 22    z 1  hbomba, u   z 2  hturbina, e  hL, total rg rg 2g 2g

(1)

En la ecuación 1 se ignoró la velocidad del agua en la superficie del depósito (V1  0). No hay turbina en el sistema de tubería. Además, aunque hay una bomba en el sistema, no hay bomba entre los puntos 1 y 2; por lo tanto, el término de la carga hidrostática de la bomba también se anula. Se despeja de la ecuación 1 P2 /rg, que es la presión en la entrada de la bomba expresada como una carga:

Carga de presión en la entrada de la bomba: P2 Patm a 2V 22   (z 1  z 2)   hL, total rg rg 2g

(2)

Observe que en la ecuación 2 se reconoce que P1  Patm porque la superficie del depósito está expuesta a presión atmosférica. La carga de aspiración neta positiva disponible en la entrada de la bomba se obtiene de la ecuación 14-8. Luego de la sustitución de la ecuación 2, se obtiene:

NPSH disponible:

NPSH 

Patm  Pv (a 2  1)V 22  (z 1  z 2)  hL, total  rg 2g

(3)

Como ya se conocen Patm, Pv y la diferencia de altura, todo lo que falta es determinar la pérdida de carga hidrostática irreversible total en el sistema de tuberías, lo cual depende del gasto volumétrico. Como el diámetro de la tubería es constante:

Pérdida de carga hidrostática irreversible:

hL, total  af

L V2  a K Lb D 2g

(4)

El resto del problema se resuelve de manera fácil con computadora. Para un caudal específico, se calcula la velocidad V y el número de Reynolds Re. Con Re y la rugosidad conocida de la tubería se utiliza el diagrama de Moody (o la ecuación de Colebrook) para obtener el factor de fricción f. La suma de todos los coeficientes de pérdidas menores es:

Pérdidas menores:

a K L  0.5  3 0.3  6.0  7.4

(5)

z2 Válvula

2

FIGURA 14-20 Sistema de tubería de admisión desde el depósito 1 hasta la entrada de la bomba 2, para el ejemplo 14-3.

774 TURBOMAQUINARIA 30

. En seguida se ilustra un cálculo realizado a mano. En V  400 galones por minuto (0.02523 m3/s), la velocidad promedio del agua en la tubería es:

NPSH NPSH disponible, disponible, 25°C 25°C 25 NPSH disponible, 60°C

V

NPSH, ft

20 Sin No cavitación, cavitation, TT==25°C 25C

15

NPSH Required necesaria NPSH

10

Sin cavitation, No cavitación, T = 60°C 60C 300

400

500 • V, gpm

(101 300  3 169) N/m2 kg  m/s2 a b  1.219 m N (997.0 kg/m3)(9.81 m/s2)  a0.0306

0 600

700

FIGURA 14-21 Carga de aspiración neta positiva en función del gasto volumétrico para la bomba del ejemplo 14-3 a dos temperaturas. Se predice que la cavitación ocurre a los caudales mayores que el del punto donde coinciden los valores de la NPSH disponible y la NPSH requerida.

a)

(6)

lo cual da un número de Reynolds Re  rVD/m  3.538 105. Con este número de Reynolds y un factor de rugosidad e/D  0.005, la ecuación de Colebrook da f  0.0306. Cuando se sustituyen las propiedades dadas, junto con f, D, L y las ecuaciones 4, 5 y 6 en la ecuación 3, se determina la carga de aspiración neta positiva disponible a este caudal:

NPSH  5

# # 2 4(0.02523 m3/s) 1 in 4V V  a  b  3.112 m/s 2 2 A pD 0.0254 m p(4.0 in)

(3.112 m/s)2 10.5 ft  7.4  (1.05  1)b 0.3333 ft 2(9.81 m/s2)

 7.148 m  23.5 ft

(7)

La carga de aspiración neta positiva necesaria se obtiene de la figura 14-15. En el ejemplo, el caudal es de 400 galones por minuto (gpm), la NPSHnecesaria está justo por arriba de 4.0 ft (pies). Como la NPSH real es mucho más alta que este valor, no hay que preocuparse por la cavitación a este caudal. Se usa EES (o una hoja de cálculo) para determinar NPSH en función del gasto volumétrico; los resultados se grafican en la figura 14-21. Es evidente en esta gráfica que a 25°C, la cavitación se presenta a caudales por encima de alrededor de 600 gpm, cerca a la descarga libre. Si el agua estuviera a más de 25°C, la presión de vapor se incrementaría, disminuiría la viscosidad y la densidad se reduciría ligeramente. Los cálculos se repiten para T  60°C, donde r  983.3 kg/m3, m  4.67 104 kg/m · s, y Pv  19.94 kPa. Los resultados también están graficados en la figura 14-21, en la que vemos que el gasto volumétrico máximo sin cavitación disminuye con la temperatura (a casi 555 gpm a 60°C). Este decremento concuerda con la intuición, ya que el agua más caliente ya está más cerca de su temperatura de ebullición. Para terminar, ¿cómo es posible incrementar el caudal máximo? Cualquier modificación que aumente la NPSH disponible ayuda. Puede aumentarse la altura de la superficie del depósito (para que sea mayor la carga hidrostática). También puede reacomodarse la tubería de modo que sólo se necesite un codo, e instalar una válvula esférica en lugar de la válvula de globo (con el fin de disminuir las pérdidas menores). Puede incrementarse el diámetro de la tubería y disminuir la rugosidad de la superficie (para aminorar las pérdidas mayores). En este problema en particular, las pérdidas menores ejercen la influencia más grande, pero en muchos problemas, las pérdidas mayores son más importantes, e incrementar el diámetro de la tubería es más eficaz. Ésta es una razón por la cual muchas bombas centrífugas tienen un diámetro de entrada mayor que el diámetro de salida. Discusión Observe que NPSHnecesaria no depende de la temperatura del agua, pero la NPSH real o disponible disminuye con la temperatura (Fig. 14-21).

Bombas en serie y en paralelo

b)

FIGURA 14-22 A veces, la conexión de dos bombas muy diferentes en a) serie o b) paralelo ocasiona problemas.

Cuando es necesario que el gasto volumétrico o la presión se incremente una cantidad pequeña, puede pensarse en añadir una bomba menos grande en serie o en paralelo con la bomba original. Las instalaciones en serie o en paralelo son aceptables en algunas aplicaciones, pero conectar bombas diferentes en serie o en paralelo puede ocasionar problemas, sobre todo si una de las bombas es más grande que la otra (Fig. 14-22). Una mejor opción es incrementar la velocidad de la bomba original, o la potencia de la entrada (un motor eléctrico mayor), o sustituir el rotor por uno más grande, o cambiar de bomba e instalar una mayor.

775 CAPÍTULO 14

El razonamiento lógico para tomar esta decisión se puede ver en las curvas de rendimiento de la bomba, y advertir que la sobrepresión y el gasto volumétrico están relacionados. Conectar bombas desiguales en serie puede originar problemas porque el gasto volumétrico que pasa por cada una debe ser el mismo, pero la sobrepresión global es igual al aumento de presión de una bomba más el de la otra. Si las curvas de rendimiento de las bombas son muy distintas, la bomba más pequeña podría ser forzada a operar más allá de su caudal de descarga libre, y en consecuencia ésta actúa como una pérdida de carga, y se reduce la cantidad total de volumen. Cuando se instalan bombas diferentes en paralelo también se originan problemas porque la sobrepresión total debe ser la misma, pero el gasto volumétrico neto es la suma de la que pasa por cada rama. Si las bombas no tienen las dimensiones adecuadas, la bomba más pequeña no sería capaz de manejar la carga hidrostática enorme para ella, por lo que el flujo en esta rama, en realidad, podría regresarse; esto reduciría de manera inadvertida la sobrepresión global. En cada caso, la potencia suministrada a la bomba más pequeña se desperdiciaría. Con estas cuestiones en la mente, existen numerosas aplicaciones donde dos o más bombas similares operan en serie o en paralelo. Cuando funcionan en serie, la carga hidrostática neta combinada es simplemente la suma de las cargas hidrostáticas netas de cada bomba (lo que da un gasto volumétrico): Carga hidrostática neta combinada para n bombas en serie: n

Hcombinada  a Hi

(14-9)

i1

La ecuación 14-9 se ilustra en la figura 14-23 para tres bombas conectadas en serie. En este ejemplo, la bomba 3 es la más potente y la bomba 1 es la de menor empuje. La carga al cierre de las tres bombas conectadas en serie es igual a la suma de la carga al cierre de cada bomba. En el caso de valores bajos de gasto volumétrico, la carga hidrostática neta de las tres bombas en serie es igual a H1  H2  H3. Más allá de la descarga libre de la bomba 1 (en la figura 14-23), esta bomba debe ser desconectada y sacarse del circuito. De lo contrario estaría trabajando más allá de su punto de operación de diseño máximo, y la bomba o su motor podrían dañarse. Además, la carga hidrostática neta en esta bomba sería negativa, como ya se señaló antes, lo cual contribuiría a las pérdidas netas en el sistema. Con la bomba 1 fuera del circuito, la carga hidrostática neta combinada se vuelve H2  H3. De igual manera, más allá de la descarga libre de la

Carga al cierre de bombas combinadas H

La bomba 12 debe debe desconectarse y sacarse del La bomba circuito 21 debe

H1 + H 2 + H 3 Carga hidrostática neta combinada

Bomba 1 Bomba 2

H 2 + H3

desconectarse y sacarse del circuito Sólo H3

Bomba 3

0 0

•

Descarga libre de bombas combinadas

V

FIGURA 14-23 Curva de rendimiento (línea al centro) de tres bombas muy distintas conectadas en serie. A caudales bajos, la carga hidrostática neta combinada es igual a la suma de la carga hidrostática neta de cada bomba. Sin embargo, para evitar daños en la bomba y pérdida de carga hidrostática neta combinada, debe desconectarse y sacar del circuito aquella de las bombas para la cual el caudal se vuelve más grande que la descarga libre de esta bomba, como se indica con las líneas verticales grises discontinuas. Si las tres bombas fueran idénticas, no sería necesario desactivar ninguna de las bombas, ya que la descarga libre de cada bomba sería el mismo gasto volumétrico.

776 TURBOMAQUINARIA

bomba 2, esta bomba debe desconectarse también y ponerse fuera del circuito, y, entonces, la carga hidrostática neta combinada es igual a H3 solamente, según se señala a la derecha de la segunda línea vertical gris y de guiones en la figura 14-23. En este caso, la descarga libre combinada es la misma que la de la bomba 3 sola, si se supone que las otras dos bombas están desconectadas. Cuando dos o más bombas idénticas o similares están conectadas en paralelo, sus cantidades de volumen individuales (y no sus cargas hidrostáticas netas) se suman: Capacidad combinada para n bombas en paralelo: n # # V combinada  a V i

(14-10)

i1

FIGURA 14-24 Curva de rendimiento de una bomba (extremo inferior izquierdo) para tres bombas en paralelo. A un valor bajo de carga hidrostática neta, la capacidad combinada es igual a la suma de las capacidades de cada bomba. No obstante, para evitar daños en la bomba y pérdida de capacidad combinada, debe apagarse y sacar del circuito aquella de las bombas para la cual la carga hidrostática neta se vuelve más grande que la carga al cierre de esta bomba, según lo indican las líneas horizontales, grises y discontinuas. Esa rama de la bomba se debe cerrar por medio de una válvula para evitar que el flujo invierta su dirección. Si las tres bombas fueran idénticas, no sería necesario apagar ninguna de las bombas, ya que la carga al cierre de cada bomba ocurriría a la misma carga hidrostática neta.

Como ejemplo, considere las mismas tres bombas, pero conectadas ahora en paralelo. La curva de rendimiento de las bombas combinadas se muestra en la figura 14-24. La descarga libre de las tres bombas combinadas es igual a la suma de la descarga libre de cada una de las bombas. En el caso de valores bajos de . carga neta, la capacidad de las tres bombas en paralelo es igual a V1 . hidrostática .  V2  V3. Por arriba de la carga de cierre de la bomba 1 (arriba de la primera línea horizontal y discontinua de la figura 14-24), la bomba 1 debe cerrarse y bloquear su rama (por medio de una válvula). Si no es así, podría estar funcionando más allá de su punto de operación de diseño máximo, por lo que la bomba o su motor podrían dañarse. Además, el gasto volumétrico a través de esta bomba sería negativo, como se estableció antes, lo que contribuiría a una pérdida neta en el Con la bomba 1 apagada y desactivada, la capacidad com. sistema. . binada es V2  V3. Sucede lo mismo si la bomba 2 funciona por arriba de su carga al cierre; esta bomba . se debe desactivar y bloquear. La capacidad combinada es entonces sólo V3 como se indica antes, en la segunda recta horizontal gris y discontinua de la figura 14-24. En este caso, la carga al cierre combinada es la misma que la de la bomba 3 sola, si se supone que las otras dos bombas están cerradas y sus ramales están bloqueados. En la práctica, varias bombas podrían combinarse en paralelo para entregar un gran caudal (Fig. 14-25). Entre los ejemplos están los bancos de bombas que se utilizan para hacer que el agua circule en torres de enfriamiento y en circuitos de agua helada (Wright, 1999). Lo ideal es que todas las bombas sean idénticas de modo que no haya que cerrar alguna de ellas en determinado momento (Fig. 14-24). Es prudente instalar válvulas de no retroceso en cada ra-

Carga al cierre de bombas combinadas H ⋅ Sólo V 3

La bomba 2 debe desconectarse ⋅ ⋅ V2 + V3

La bomba 1 debe desconectarse ⋅ ⋅ ⋅ V1 + V2 + V3

Bomba 2

Bomba 3 Capacidad combinada

Bomba 1

0 0

Descarga libre de bombas combinadas

⋅ V

777 CAPÍTULO 14

FIGURA 14-25 A menudo, varias bombas idénticas funcionan en paralelo de modo que se puede alcanzar un gran gasto volumétrico cuando es necesario. Se ilustran tres bombas en paralelo. Cortesía de Goulds Pumps, ITT Industries. Reproducido con autorización.

mal, de manera que cuando una bomba necesita apagarse (para darle mantenimiento o cuando se necesita que el caudal sea bajo) se evite que el flujo regrese por la bomba. Note que las válvulas y la tubería adicionales que se necesitan para una red de bombas en paralelo añaden más pérdidas de carga al sistema; por tanto, el rendimiento global de la combinación de bombas no es el óptimo.

Bombas de desplazamiento positivo En el transcurso de siglos se han diseñado numerosas bombas de desplazamiento positivo. En todos los diseños, el fluido se aspira dentro de un volumen en expansión y luego se expulsa cuando ese volumen se contrae, pero el mecanismo que provoca que cambie el volumen es muy diferente entre los diversos diseños. Algunos diseños son muy simples, como la bomba peristáltica de tubo flexible (Fig. 14-26a), en la que pequeñas ruedas comprimen un tubo, lo cual empuja hacia adelante al fluido (este mecanismo es parecido a la peristalsis en el esófago o en los intestinos, donde músculos en vez de ruedas comprimen el tubo). Otros son más complejos, ya que necesitan levas rotatorias con lóbulos sincronizados (Fig. 14-26b), engranes que se conectan (Fig. 14-26c) o tornillos (Fig. 14-26d). Las bombas de desplazamiento positivo son ideales cuando se necesita alta presión, como en el bombeo de líquidos viscosos o mezclas, lodos o suspensiones espesas, y donde se necesita medir o despachar cantidades de líquido precisas, como en las aplicaciones médicas.

778 TURBOMAQUINARIA

a)

b)

c)

d)

FIGURA 14-26 Ejemplos de bombas de desplazamiento positivo: a) bomba peristáltica de tubería flexible, b) bomba rotatoria de tres lóbulos, c) bomba de engranes y d) bomba de doble tornillo. Adaptado de F. M. White, Fluid Mechanics 4/e. Copyright © 1999. The McGraw-Hill Companies, Inc. Reproducido con autorización.

FIGURA 14-27 Cuatro fases (separadas un octavo de una vuelta) en la operación de una bomba rotatoria de dos lóbulos, un tipo de bomba de desplazamiento positivo. La región sombreada de gris claro representa una porción del fluido empujada por el rotor superior, y la región sombreada de gris oscuro representa la porción del fluido empujada por el rotor inferior, el cual gira en la dirección opuesta. El flujo va de izquierda a derecha.

Entrada

Salida

45°

90°

135°

180°

Para ilustrar la operación de una bomba de desplazamiento positivo se han dibujado cuatro fases de la mitad de un ciclo de una bomba rotatoria simple con dos lóbulos en cada rotor (Fig. 14-27). Los dos rotores están sincronizados mediante una caja de engranes para que giren a la misma velocidad angular, pero en dirección opuesta. En el diagrama, el rotor superior gira en el sentido de las manecillas del reloj y el rotor inferior gira en dirección contraria, aspirando fluido desde la izquierda y lo descarga hacia la derecha. Un punto blanco está dibujado en uno de los lóbulos de cada rotor para ayudar a imaginar la rotación. Existen huecos entre los rotores y la carcasa y entre los lóbulos de los mismos rotores, como se ilustra (y se exagera) en la figura 14-27. El fluido puede fugar-

779 CAPÍTULO 14

se por estos huecos, lo que reduce la eficiencia de la bomba. Los fluidos de alta viscosidad no pueden pasar por los huecos con tanta facilidad; por tanto, la carga neta (y la eficiencia) de una bomba rotatoria aumenta en general con la viscosidad, como se muestra en la figura 14-28. Ésta es una razón por la que las bombas rotatorias (y otros tipos de bombas de desplazamiento positivo) son una adecuada elección para bombear fluidos y mezclas, lodos y suspensiones muy viscosas. Por ejemplo, se utilizan cuando el motor del automóvil bombea aceite y en la industria alimentaria para bombear líquidos pesados como jarabes, pasta de jitomate y chocolate, y sopas preparadas. La curva de rendimiento de la bomba (carga hidrostática neta contra capacidad) de una bomba rotatoria es casi vertical en todo su intervalo de operación que se recomienda, ya que la capacidad es claramente constante sin importar la carga a una velocidad rotacional determinada (Fig. 14-28). No obstante, a valores muy altos de carga hidrostática neta que corresponde a una presión de salida de la bomba muy alta, las fugas se vuelven graves, inclusive para fluidos de alta viscosidad, como lo indica la línea gris discontinua de la figura 14-28. Además, el motor que acciona la bomba no puede vencer el intenso momento de torsión (torque) que causa esta presión alta de descarga, y el motor empieza a perder velocidad o sufre sobrecarga, con lo que se puede llegar a quemar el motor. Por tanto, los fabricantes de bombas rotatorias no recomiendan operar la bomba por arriba de cierta carga hidrostática neta, la cual está casi siempre por abajo de la carga al cierre. Con frecuencia, las curvas de rendimiento de la bomba que entrega el fabricante ni siquiera muestran el rendimiento de la bomba fuera de su intervalo de operación recomendado. Las bombas de desplazamiento positivo ofrecen muchas ventajas en comparación con las dinámicas. Por ejemplo, una bomba de desplazamiento positivo es mejor para conducir líquidos sensibles al esfuerzo cortante, ya que el esfuerzo cortante inducido es mucho menor que el de una bomba dinámica que opera a presión y caudal similares. La sangre es un líquido sensible al esfuerzo cortante. Ésta es una razón por la cual las bombas de desplazamiento positivo se usan en corazones artificiales. Una bomba de desplazamiento positivo muy bien sellada, genera una presión de vacío importante en su entrada, aun cuando no esté cebada, y, por tanto, es capaz de elevar un líquido varios metros por abajo de la bomba. Esta clase de bombas se denominan bombas de autocebado (Fig. 14-29). Por último, el rotor o los rotores de una bomba de desplazamiento positivo funcionan a velocidades menores que la del rotor (rueda móvil o rodete) de una bomba dinámica a cargas similares, lo cual prolonga la vida útil de los sellos, etcétera. Las bombas de desplazamiento positivo también tienen desventajas. Su gasto volumétrico no puede cambiar a menos que se modifique la rotación (esto no es tan sencillo como parece, ya que la mayoría de los motores eléctricos de corriente alterna (CA) está diseñada para operar a una o más velocidades rotacionales fijas). Generan una presión muy alta en el lado de la descarga, y si la salida se bloquea, podría haber roturas o el motor se puede sobrecalentar, como ya se explicó. Con frecuencia, la protección contra presión excesiva (es decir, válvula para atenuar la presión) se necesita por esta causa. Debido a su diseño, las bombas de desplazamiento positivo podrían entregar un flujo pulsátil que sería inaceptable en algunos usos. El análisis de las bombas de desplazamiento positivo es directo. A partir de las características geométricas de la bomba se calcula el volumen cerrado (Vcerrado) que se llena (y se descarga) por cada n rotaciones de la flecha. El gasto volumé. trico es entonces igual a la velocidad de rotación que se multiplica por n Vcerrado y se divide entre n: Gasto volumétrico, bomba de desplazamiento positivo:

# # Vcerrado V n n

(14-11)

Carga al cierre Carga hidrostática neta máxima recomendada

H

Intervalo de operación recomendado 0

Velocidad creciente •

0

Descarga libre

V

FIGURA 14-28 Comparación de las curvas de rendimiento de una bomba rotatoria que opera a la misma velocidad, pero con fluidos de diferentes viscosidades. Para evitar la sobrecarga del motor la bomba no debe operar en la región sombreada.

Bomba de autocebado

Salida

Manguera Entrada

FIGURA 14-29 Una bomba que eleva un líquido aun cuando la bomba está “vacía” se llama bomba de autocebado.

780 TURBOMAQUINARIA

EJEMPLO 14-4 ⋅ V

Entrada

⋅ V

Salida

Gasto volumétrico a través de una bomba de desplazamiento positivo

Una bomba de desplazamiento positivo con dos lóbulos, similar a la de la figura 14-27 desplaza 0.45 cm3 de aceite de motor SAE 30 en el volumen Vlóbulo de cada lóbulo, según el esquema de la figura 14-30. Calcule la cantidad del volu. men de aceite para el caso de n  900 rpm.

Vlóbulo

FIGURA 14-30 La bomba rotatoria de dos lóbulos del ejemplo 14-4. El flujo va de izquierda a derecha.

SOLUCIÓN Se calcula el gasto volumétrico de aceite que pasa por una bomba de desplazamiento positivo para volúmenes del lóbulo y velocidad de rotación determinados. Suposiciones 1 El flujo promedio es estacionario. 2 No hay fugas entre los lóbulos ni entre los lóbulos y la carcasa. 3 El aceite es incompresible. Análisis Cuando se inspecciona la figura 14-27, se observa que la mitad de la rotación (180° para n  0.5 rotaciones) de las dos flechas rotatorias, el volumen total del aceite bombeado es Vcerrado  2Vlóbulo. El gasto volumétrico se calcula después con la ecuación 14-11, # 2(0.45 cm3) # Vcerrado  1 620 cm3/min  (900 rot/min) V n n 0.5 rot

Descarga del flujo Álabe Refuerzo del rotor Entrada v

Discusión Si hubiera fugas en la bomba, el gasto volumétrico sería menor. La densidad del aceite no se necesita para calcular el gasto volumétrico. Pese a esto, conforme aumenta la densidad del fluido es mayor el momento de torsión de la flecha y la potencia al freno que se necesitan.

a)

Bombas dinámicas Álabe

Descarga Refuerzo del rotor

Entrada de flujo v b) Álabe Entrada de flujo

Descarga Núcleo del rotor

v

c)

FIGURA 14-31 El rotor o impulsor (parte que gira) de las tres principales categorías de bombas dinámicas: a) flujo centrífugo, b) flujo mixto (radioaxial) y c) flujo axial.

Existen tres tipos principales de bombas dinámicas que cuentan con álabes rotatorios, las cuales de llaman álabes de rueda móvil o álabes del rotor o impulsor (en América Latina) o rodete (en España). Estos elementos imparten una cantidad de movimiento al fluido. Por esta razón se les llama algunas veces bombas rotodinámicas o, simplemente, bombas rotatorias (no deben confundirse con las bombas de desplazamiento positivo). También existen bombas dinámicas no rotatorias, como las bombas de chorro (o bombas de inyección) y las bombas electromagnéticas, las cuales no se estudian en este libro. Las bombas rotatorias se clasifican por la manera en la cual el flujo sale de la bomba: flujo radial (centrífugo), flujo axial y flujo mixto (o radioaxial) (Fig. 14-31). En el caso de una bomba de flujo radial, el fluido entra de manera axial (en la misma dirección que el eje de la flecha giratoria) en el centro de la bomba, pero se descarga de manera radial (o tangencialmente) a lo largo del radio exterior de la carcasa de la bomba. Por esta razón las bombas centrífugas reciben también el nombre de bombas de flujo radial. En el caso de una bomba de flujo axial, el fluido entra y sale axialmente, en general a lo largo de la parte exterior de la bomba debido al bloqueo de la flecha, motor y núcleo, entre otros. Una bomba de flujo mixto es considerada intermedia entre centrífuga y axial, ya que el flujo entra en forma axial, no necesariamente en el centro, pero se descarga a un ángulo entre las direcciones radial y axial.

Bombas centrífugas Las bombas centrífugas y los sopladores se identifican con facilidad por su carcasa en forma de caracol llamada voluta (Fig. 14-32). Se encuentran en todos lados en los hogares: en la máquina lavaplatos, tinas de baño, lavadoras y secadoras de ropa, secadoras para el cabello, aspiradoras, campanas de extracción de

781 CAPÍTULO 14

cocina, sistema de ventilación del sanitario, sopladores, hornos, entre otros aparatos. Se utilizan en automóviles: la bomba del agua del motor y el ventilador en la unidad de aire acondicionado, entre otros aditamentos. Asimismo, las bombas centrífugas están en la mayoría de las industrias: se utilizan en sistemas de ventilación de construcciones, en las operaciones de lavado, en depósitos de enfriamiento y torres de enfriamiento, aparte de otras numerosas operaciones industriales en las cuales los fluidos tienen que bombearse. En la figura 14-33 se ilustra un diagrama de una bomba centrífuga. Observe que, con frecuencia, un refuerzo rodea los álabes para aumentar su rigidez. En la terminología de las bombas, todo el ensamble que gira y que consiste en la flecha, los álabes del impulsor, el núcleo y el refuerzo del impulsor se denomina rodete o rotor. El fluido entra de manera axial a través de la parte central hueca de la bomba (el ojo), después del cual el fluido enfrenta los álabes rotatorios, adquiere velocidad tangencial y radial por la transferencia de cantidad de movimiento por parte de los álabes, y adquiere velocidad radial adicional por las fuerzas llamadas centrífugas, que son en realidad falta de fuerzas centrípetas para sostener el movimiento circular. El flujo sale del rotor después de ganar tanto velocidad como presión cuando es lanzado radialmente hacia afuera del rotor hacia la voluta. Como se ilustra en la figura 14-33, la voluta es un difusor en forma de caracol cuyo objetivo es desacelerar el movimiento rápido del fluido que abandona los bordes posteriores de los álabes del rotor, debido a lo cual aumenta todavía más la presión del fluido, y combinar y dirigir el flujo desde todos los pasajes entre los álabes hacia una salida común. Según se mencionó ya, si el flujo es estacionario en sus valores promedio, si es incompresible y si los diámetros de entrada y salida son iguales, la velocidad media del flujo en la salida es idéntica a la de la entrada. Por tanto, no es necesariamente la velocidad, sino la presión la que se incrementa desde la entrada hasta la salida a través de una bomba centrífuga. Existen tres tipos de bombas centrífugas que justifican un análisis, con base en las características geométricas de los álabes, como se ilustra en la figura 1434: álabes inclinados hacia atrás, álabes radiales y álabes inclinados en el sentido del giro. Las bombas centrífugas con álabes inclinados hacia atrás (Fig. 14-34a) son las más comunes. Proporcionan la más alta eficiencia de los tres porque el fluido pasa por los pasajes de los álabes con la mínima cantidad de giros. Algunos álabes tienen forma currentilínea, lo cual produce una operación similar, pero una eficiencia todavía mayor. El incremento de presión es intermedio entre los otros dos tipos de bombas centrífugas. Las que tienen álabes radiales (también denominados álabes rectos, Fig. 14-34b) tienen las características geo-

FIGURA 14-32 Un soplador centrífugo típico con su característica voluta en forma de caracol. Cortesía de The New York Blower Company, Willowbrook, IL. Reproducido con autorización.

FIGURA 14-33 Vista lateral y frontal de una bomba centrífuga típica. El fluido ingresa en forma axial en el punto medio de la bomba (el ojo), es lanzado hacia la parte exterior de los álabes del rotor (o impulsor o rodete), luego pasa al difusor de expansión (voluta) y se descarga por un lado de la bomba. Se define r1 y r2 como las ubicaciones radiales de los álabes del rotor en la entrada y la salida, respectivamente; b1 y b2 son los anchos de los álabes en la entrada y la salida del rotor, respectivamente.

782 TURBOMAQUINARIA

FIGURA 14-34 Los tres tipos principales de bombas centrífugas son los que tienen a) álabes inclinados hacia atrás, b) álabes radiales y c) álabes inclinados en el sentido del giro; d) comparación de las curvas de rendimiento, de la carga hidrostática neta y potencia al freno, para los tres tipos de bombas centrífugas.

métricas más sencillas y generan el incremento de presión más grande de los tres tipos de bombas para una diversidad de valores de gasto volumétrico, pero el incremento de presión disminuye con rapidez después del punto de eficiencia máxima. Las bombas centrífugas con álabes inclinados en el sentido del giro (Fig. 14-34c) producen un incremento de presión que es casi constante, si bien más bajo que el de los álabes inclinados hacia atrás y de los álabes rectos, en una diversidad amplia de cantidades de volumen. Por lo general, las bombas centrífugas con álabes inclinados en el sentido del giro tienen más de estos elementos, pero son más pequeños, como se ilustra en la figura 14-34c). Estas bombas tienen una eficiencia máxima inferior que la de las bombas de los álabes rectos. Se prefieren las bombas con álabes radiales e inclinados hacia atrás para aplicaciones donde es necesario proporcionar gasto volumétrico e incremento de presión dentro de un estrecho margen de valores. Si se requiere un rango más amplio de flujo volumétrico, incremento de presión, o ambos, el rendimiento de las bombas con álabes radiales o inclinados hacia atrás podría no cumplir con las nuevas demandas; estos tipos de bombas son menos robustos. La operación de las bombas con álabes inclinados en el sentido del giro es más flexible y se adecua a una amplia variación de las condiciones de bombeo, a costo de una eficiencia menor y bajo incremento de presión por unidad de potencia absorbida. Si se necesita una bomba para generar un gran incremento de presión en un amplio intervalo de flujo volumétrico, entonces la bomba centrífuga con álabes inclinados en el sentido del giro es adecuada Las curvas de rendimiento de la carga hidrostática neta y la potencia al freno para estos tres tipos de bombas centrífugas se comparan en la figura 14-34d). Las curvas se han ajustado de tal manera que cada bomba alcanza la misma descarga libre (gasto volumétrico máximo a carga neta cero). Note que estos esquemas son cualitativos sólo con el propósito de hacer la comparación, por lo que las curvas de rendimiento medidas y reales difieren bastante en forma, dependiendo de los detalles del diseño de la bomba. Por lo que se refiere a cualquier inclinación de los álabes del rotor (hacia atrás, radiales o en sentido del giro), se pueden analizar los vectores velocidad en los álabes. El campo de flujo real es no estacionario, tridimensional y quizá compresible. Con el objetivo de simplificar el análisis se considera flujo estacionario en el marco de referencia absoluto y en el marco de referencia relativo que gira con el rotor. Se considera sólo flujo incompresible y sólo la componente de la velocidad radial o normal (subíndice n) y la componente de la velocidad circunferencial o tangencial (subíndice t) desde la entrada del álabe hasta la salida del álabe. No se considera la componente de la velocidad axial (a la derecha en la figura 14-35 y perpendicular al plano de la vista frontal presentada en la figura 14-33). En otras palabras, aunque hay una componente de la velocidad axial diferente de cero en el rotor, ésta no entra en el análisis. Un acercamiento de la vista lateral de una bomba centrífuga simplificada se proporciona en la figura 14-35, donde se definen V1,n y V2,n como las componentes normales medias de la velocidad en los radios r1 y r2, respectivamente. Aunque se muestra un espacio entre el álabe y la carcasa, se supone en el análisis simplificado que no existen fugas por ese espacio. . El gasto volumétrico V que entra a la bomba por el ojo atraviesa el área de sección transversal que tiene forma de la superficie lateral de un cilindro de longitud b1 correspondiente al ancho del álabe a la distancia r1 del eje y de radio de base r1. La ley de conservación de la masa necesita que este mismo gasto volumétrico pase por el área de la semejante sección transversal definida por el ancho del álabe b2 y el radio r2. Si se utilizan estas componentes normales medias de la velocidad V1,n y V2,n definidas en la figura 14-35, puede escribirse: Gasto volumétrico:

# V  2pr1b1V1, n  2pr2b2V2, n

(14-12)

783 CAPÍTULO 14

de la cual se obtiene: V2, n  V1, n

r1b1 r2b2

(14-13)

Es evidente de la ecuación 14-13 que V2,n podría ser menor, igual o mayor que V1,n, dependiendo de los valores de b y r en los dos radios. En la figura 14-36 se ilustra un esquema de un acercamiento de la vista frontal de un álabe, donde se indican las componentes radial y tangencial de la velocidad. Está dibujado un álabe inclinado hacia atrás, pero el mismo análisis es válido para los álabes de cualquier inclinación. La entrada del álabe (en el radio r1) se desplaza a una velocidad tangencial vr1. De manera similar, la salida del álabe se desplaza a una velocidad tangencial vr2. Es evidente en la figura 14-36 que estas dos velocidades tangenciales difieren no sólo en magnitud, sino también en dirección, debido a la inclinación del álabe. Se define ángulo del borde de ataque o ángulo del borde delantero o ángulo de arista de entrada b1 como el ángulo del álabe relativo a la dirección tangencial inversa en el radio r1. Y de la misma manera se define el ángulo del borde posterior o ángulo de arista de salida b2 como el ángulo del álabe relativo a la dirección tangencial inversa en el radio r2. En seguida se plantea una aproximación importante para simplificar el análisis. Se supone que el flujo incide al álabe paralelo al borde delantero del álabe y abandona el álabe paralelo al borde posterior del álabe. En otras palabras:

FIGURA 14-35 Acercamiento de la vista lateral de la bomba centrífuga simplificada con el objetivo de efectuar el análisis de los vectores de velocidad; V1,n y V2,n se definen como las componentes normales (radiales) medias de la velocidad a unos radios r1 y r2, respectivamente.

Se supone que, en todos los puntos, el flujo es tangente a la superficie del álabe cuando se observa desde un marco de referencia que gira con el álabe.

En la entrada, esta aproximación recibe a veces el nombre de condición de entrada suave, que no debe confundirse con las ondas de choque (capítulo 12). Más bien, la terminología quiere decir que hay un flujo suave en el álabe del rotor sin un repentino giro. El supuesto de que no hay separación del flujo en ninguna parte en toda la superficie del álabe es inherente en esta aproximación. Si la bomba centrífuga opera en condiciones de diseño o cerca de ellas, esta suposición es válida. Sin embargo, cuando la bomba funciona lejos de sus condiciones de diseño, el flujo se podría separar de la superficie del álabe (casi siempre lo hace en el lado de la aspiración donde hay gradientes de presión adversos), por lo que esta simplificación no sería→válida. → Los vectores velocidad V 1,relativa y V 2,relativa se trazan paralelos a la superficie del álabe en la figura 14-36, de acuerdo con el supuesto de simplificación. Son vectores de velocidad vistos desde el marco de referencia relativo de un observador que se desplaza junto con el álabe que gira. Cuando se añade vectorial→ mente velocidad tangencial vr1 (la velocidad del álabe en el radio r1) a V 1,relativa para completar el paralelogramo de la figura 14-36, el vector resultante es la ve→ locidad absoluta del→ fluido V 1 en la entrada del álabe. De manera exactamente similar se obtiene V 2, la velocidad absoluta del fluido en la salida del álabe (también se muestra en la figura 14-36). Para tener completo el panorama, las componentes de la velocidad normal V1,n y V2,n también se presentan en la figura 14-36. Observe que estas componentes normales de la velocidad son independientes del marco de referencia que se use, absoluto o relativo. Para evaluar el momento de torsión en la flecha rotatoria, se aplica la relación de la cantidad de movimiento angular para un volumen de control, como se estudió en el capítulo 6. Se elige un volumen de control que circunde los álabes del rotor, desde el radio r1 al r2, como se muestra en el diagrama de la figura 1437. También se presentan en la figura 14-37 los ángulos a1 y a2, que se definen como el ángulo de desviación del vector de la velocidad absoluta de la dirección normal en los radios r1 y r2, respectivamente. Para cumplir con el concepto de tratar un volumen de control como una “caja negra”, se ignoran los detalles

FIGURA 14-36 Acercamiento de la vista frontal de la bomba centrífuga simplificada con el objetivo de efectuar el análisis de los vectores de velocidad. Los vectores de velocidad absoluta del fluido se muestran por medio de flechas gruesas. Se supone que el flujo es tangente en cualquier punto a la superficie de los álabes cuando se observa desde un marco de referencia que gira con el álabe, como lo indican los vectores de velocidad relativa.

784 TURBOMAQUINARIA

de los álabes individuales. Entonces, se supone que el flujo entra al volumen de → control con velocidad absoluta uniforme→V 1 en toda la circunferencia de radio r1 y sale con velocidad absoluta uniforme V 2 en toda la circunferencia de r2. Puesto que→ el momento de la cantidad de movimiento se→define como el pro→ → ducto cruz r V , sólo las componentes tangenciales de V 1 y V 2 se relacionan con el momento de torsión de la flecha. Estas componentes se muestran como V1,t y V2,t, en la figura 14-37. Se obtiene como resultado que el momento de torsión de la flecha es igual al cambio en el momento de la cantidad de movimiento desde la entrada hasta la salida, de acuerdo con la ecuación de Euler de la turbomáquina (que también se llama fórmula de Euler de la turbina), que se deduce en el capítulo 6. Ecuación de Euler de la turbomáquina:

# Tflechat  rV (r2V2, t  r1V1, t)

(14-14)

O, en términos de los ángulos a1 y a2 y las magnitudes de los vectores de la velocidad absoluta: FIGURA 14-37 Volumen de control (sombreado) que se usa para analizar la cantidad de movimiento angular del flujo en una bomba centrífuga; se señalan las componentes de la velocidad tangencial absoluta V1,t y V2,t.

Otra forma de la ecuación de Euler de la turbomáquina: # Tflecha  rV (r2V2 sen a 2  r1V1 sen a 1)

(14-15)

En el análisis simplificado las pérdidas irreversibles son inexistentes. De donde, la eficiencia .de la bomba hbomba  1, lo que lleva por referencia lógica que la potencia útil Wpotencia útil y la potencia al freno bhp son lo mismo. Si se usan las ecuaciones 14-3 y 14-4: # # # bhp  vTflecha  rvV (r2V2, t  r1V1, t)  W potencia útil  rgV H

(14-16)

la cual, cuando se resuelve, da la carga hidrostática neta H: Carga hidrostática neta:

EJEMPLO 14-5

1 H  (vr2V2, t  vr1V1, t) g

(14-17)

Operación de un soplador ideal

. Un soplador gira a n  1 750 rpm (183.3 rad/s). El aire entra al soplador normal a los álabes (a1  0°) y sale con un ángulo de 40° desde la dirección radial (a2  40°) como se señala en la figura 14-38. El radio de entrada es r1  4.0 cm, y el ancho de entrada del álabe es b1  5.2 cm. El radio de salida es r2  8.0 cm y el ancho de salida del álabe es b2  2.3 cm. El gasto volumétrico es 0.13 m3/s. Si se supone una eficiencia de 100 por ciento, calcule la carga hidrostática neta que produce este soplador en milímetros equivalentes de altura de una columna de agua. Calcule también la potencia al freno necesaria en watts.

SOLUCIÓN Se calcula la potencia al freno y la carga hidrostática neta de un ventilador ideal a un gasto volumétrico y velocidad de rotación dados. Suposiciones 1 El flujo es estacionario en sus valores promedio. 2 No hay fugas en el espacio entre los álabes del rotor y la carcasa del ventilador. 3 El aire es incompresible. 4 La eficiencia del ventilador es de 100 por ciento (no hay pérdidas irreversibles). Propiedades La densidad del aire es de raire 1.20 kg/m3. Análisis Puesto que el gasto volumétrico (capacidad) se conoce, entonces se determinan las componentes de la velocidad en la entrada y la salida mediante la ecuación 14-12:

FIGURA 14-38 Volumen de control y vectores de la velocidad absoluta para el soplador centrífugo del ejemplo 14-5. La vista es a lo largo del eje del soplador.

V1, n 

# V 0.13 m3/s   9.947 m/s 2pr1b1 2p(0.040 m)(0.052 m)

(1)

V1  V1, n, y V1, t  0, puesto que a1  0°. De igual manera, V2, n  11.24 m/s, y

V2, t  V2, n tan a 2  (11.24 m/s) tan(40 )  9.435 m/s

(2)

785 CAPÍTULO 14

En seguida se aplica la ecuación 14-17 para predecir la carga hidrostática neta:

H

(3)

F

v 183.3 rad/s (r V  r1V1, t )  (0.080 m)(9.435 m/s)  14.1 m g 2 2, t 9.81 m/s2 0

Observe que la carga hidrostática neta de la ecuación 3 está en metros de aire, el fluido bombeado. Para convertir la presión en unidades de milímetros equivalentes de una columna de agua se multiplica por el cociente de la densidad del aire entre densidad del agua:

Hcolumna de agua  H

r aire r agua

 (14.1 m)

1.20 kg/m3 1 000 mm a b  17.0 mm de agua 1m 998 kg/m3

(4)

Para terminar, se aplica la ecuación 14-16 para predecir la potencia al freno que se requiere:

# Ws bhp  rgV H  (1.20 kg/m3)(9.81 m/s2)(0.13 m3/s)(14.1 m)a b kg  m/s2  21.6 W

(5)

Discusión Observe la conversión de unidades en la ecuación 5 para pasar de kilogramos, metros y segundos a watts. Esta conversión es muy útil en muchos cálculos de turbomaquinaria. La carga hidrostática neta real que se entrega al aire es inferior a la que se pronostica con la ecuación 3, porque hay ineficiencia. De manera similar, la potencia al freno real será superior a la que se obtiene mediante la ecuación 5 debido a las ineficiencias en el soplador, fricción en la flecha, entre otros aspectos.

Para diseñar la forma de los álabes se recurre a la trigonometría con el fin de obtener expresiones para V1,t y V2,t en términos de los ángulos del álabe b1 y b2. Cuando se aplica la ley de los cosenos (Fig. 14-39)→al triángulo de la figura 1436 formado por el vector de la velocidad absoluta V 2, vector de la velocidad re→ lativa V 2, relativa y la velocidad tangencial del álabe en el radio r2 (de magnitud vr2) se obtiene: V 22  V 22, relativa  v 2r 22  2vr2V2, relativa cos b 2

(14-18)

Pero también se observa de la figura 14-36 que: V2, relativa cos b 2  vr2  V2, t

La sustitución de esta ecuación en la ecuación 14-18 da: 1 vr2V2, t  (V 22  V 22, relativa  v 2r 22) 2

(14-19)

Una ecuación similar resulta para la entrada del álabe (cambian todos los subíndices 2 de la ecuación 14-19 a subíndice 1). Cuando se sustituyen en la ecuación 14-17 se tiene: Carga hidrostática neta: H

1 [(V 22  V 21)  (v 2r 22  v 2r 21)  (V 22, relativa  V 21, relativa)] 2g

(14-20)

En lenguaje sencillo, la ecuación 14-20 establece que en el caso ideal (sin pérdidas irreversibles), la carga hidrostática neta es proporcional al cambio en la energía cinética absoluta, más el cambio en la energía cinética en la punta del rotor, menos el cambio en la energía cinética relativa desde la entrada hasta la

FIGURA 14-39 La ley de los cosenos se utiliza para analizar una bomba centrífuga.

786 TURBOMAQUINARIA

salida del rotor. Para finalizar, si se igualan las ecuaciones 14-20 y 14-2 donde los subíndices 2 son para la salida del flujo y los subíndice 1 para la entrada de flujo, se tiene: a

V 2relativa v 2r 2 V 2relativa v 2r 2 P P    zb  a   zb  rg rg 2g 2g 2g 2g sal ent

(14-21)

Tenga en cuenta que no estamos limitados a analizar sólo la entrada o la salida. De hecho podría aplicarse la ecuación 14-21 a dos radios cualesquiera del rotor. En general, se escribe entonces una ecuación que se conoce como ecuación de Bernoulli en un marco de referencia rotatorio: FIGURA 14-40 En el caso de la suposición de que el flujo pasa por un rotor sin pérdidas irreversibles, con frecuencia es más conveniente trabajar con un marco de referencia relativo que gire con el rotor. En ese caso, la ecuación de Bernoulli tiene un término adicional, como se indica en la ecuación 14-22.

V 2relativa v 2r 2 P    z  constante rg 2g 2g

Note que la ecuación 14-22 es la misma que la ecuación común de Bernoulli, excepto que como la velocidad usada es la velocidad relativa (en el marco de referencia rotatorio), aparece un término “extra” en la ecuación (el tercer término en la parte izquierda de la ecuación 14-22) para justificar los efectos rotacionales (Fig. 14-40). Es necesario destacar que la ecuación 14-22 es una aproximación válida sólo para el caso ideal en el cual no hay pérdidas irreversibles en el rotor. No obstante, es valiosa como una aproximación de primer orden para flujo por el rotor de una bomba centrífuga. Ahora se examina la ecuación 14-17, la ecuación de la carga hidrostática neta, con más detalle. Puesto que el término que contiene V1,t lleva un signo negativo, se obtiene la H máxima y hace V1,t  0 (se supone que no hay mecanismo en el ojo de la bomba que pueda generar un valor negativo de V1,t). Por tanto, una aproximación de primer orden para la condición de diseño de la bomba es hacer V1,t  0. En otras palabras, se selecciona el ángulo de entrada del álabe b1 tal que el flujo en el álabe sea sencillamente radial desde un marco de referencia absoluto, por lo que V1,n  V1. Los vectores de velocidad en r  r1 en la figura 14-36 se amplifican y vuelven a dibujarse en la figura 14-41. Cuando se aplican las fórmulas trigonométricas se tiene: V1, t  vr1 

FIGURA 14-41 Acercamiento de la vista frontal de los vectores de velocidad a la entrada de un álabe del rotor. El vector de velocidad absoluta se ilustra como una flecha gruesa.

(14-22)

V1, n tan b 1

(14-23)

Una expresión similar se obtiene para V2,t (se reemplazan los subíndices 1 por 2), o de hecho, para cualquier radio entre r1 y r2. Cuando V1,t  0 y V1,n  V1: vr1 

V1, n tan b 1

(14-24)

Para finalizar, cuando se combina la ecuación 14-24 con la ecuación 14-12, se tiene una expresión para el gasto volumétrico en función del ángulo de entrada del álabe b1 y velocidad rotacional: # V  2pb1vr 21 tan b 1

(14-25)

La ecuación 14-25 puede usarse para un diseño preliminar de la forma de álabe que se ilustra en el ejemplo 14-6.

EJEMPLO 14-6

Diseño preliminar de una bomba centrífuga

Se desea diseñar una bomba centrífuga para bombear refrigerante R-134a líquido a temperatura ambiente y a presión atmosférica. Los radios de entrada y salida del rotor son r1  100 mm y r2  180 mm, respectivamente (Fig. 14-42).

787 CAPÍTULO 14

Los anchos de la entrada y la salida del rotor son b1  50 y b2  30 mm (perpendicular al plano de la página de la figura 14.42). La bomba debe entregar 0.25 m3/s del líquido a una carga hidrostática neta de 14.5 m cuando el rotor gira a 1 720 rpm. Diseñe la forma del álabe para el caso en el cual estas condiciones de operación son las condiciones de diseño de la bomba (V1,t  0, como se ilustra en la figura); específicamente, calcule los ángulos b1 y b2, y analice la forma del álabe. Prediga también la potencia que necesita la bomba.

SOLUCIÓN Para el caso de un caudal dado, carga hidrostática neta y dimensiones determinadas de una bomba centrífuga, se diseña la forma del álabe (ángulo del borde delantero y ángulo del borde posterior). También se estima la potencia que requiere la bomba. Suposiciones 1 El flujo es estacionario. 2 El líquido es incompresible. 3 No hay pérdidas irreversibles en el rotor. 4 Es sólo un diseño preliminar. Propiedades Por lo que se refiere al refrigerante R-134a a T  20°C, vf  0.0008157 m3/kg. Entonces, r  1/vf  1 226 kg/m3. Análisis Se calcula la potencia útil necesaria con la ecuación 14-3,

# # Wpotencia útil  rgV H

FIGURA 14-42 Geometría y vectores de velocidades absoluta y relativa para el diseño del rotor de la bomba centrífuga del ejemplo 14-6.

Ws  (1 226 kg/m3)(9.81 m/s2)(0.25 m3/s)(14.5 m) a b kg  m/s2  43 600 W La potencia al freno que se necesita será mayor que ésta en una bomba real. Sin embargo, para apegarse a las aproximaciones para este diseño preliminar, se supone una. eficiencia de 100 por ciento de modo que bhp es aproximadamente igual a Wpotencia útil:

# hp bhp  W potencia útil  43 600 W a b  58.5 hp 745.7 W En el informe se presentan los resultados finales con dos cifras significativas para cumplir con la precisión de las cantidades dadas; entonces, la bhp  59 fuerzas de caballo. En todos los cálculos con rotación, es necesario convertir la velocidad rotacio. nal de n (rpm) a v (rad/s), como se ilustra en la figura 14-43:

v  1720

rot 2p rad 1 min a ba b  180.1 rad/s min rot 60 s

(1)

FIGURA 14-43 La adecuada conversión de unidades demanda que las unidades de rotación estén en rad/s.

Se calcula el ángulo de entrada del álabe por medio de la ecuación 14-25:

# V 0.25 m3/s b 1  arctan a b  arctan a b  23.8 2 2pb1vr 1 2p(0.050 m)(180.1 rad/s)(0.10 m)2 Se determina b2 mediante la ecuación deducida previamente en el análisis elemental. Primero, por la condición de diseño en la cual V1,t  0, la ecuación 1417 se reduce a:

Carga hidrostática neta:

F

vr2V2, t 1 H  (vr2V2, t  vr1V1, t )  g g 0

de donde se calcula la componente de la velocidad tangencial:

V2, t 

gH vr2

(2)

Mediante la ecuación 14-12 se encuentra la componente normal de la velocidad:

# V V2, n  2pr2b2

(3)

788 TURBOMAQUINARIA

Después se aplican las mismas propiedades trigonométricas que se usaron para deducir la ecuación 14-23, pero en el borde posterior del álabe y no en el borde delantero. El resultado es:

V2, t  vr2 

V2, n tan b 2

donde se obtiene finalmente b2:

b 2  arctan a

b vr2  V2,t V2, n

(4)

Después de sustituir las ecuaciones 2 y 3 en la ecuación 4 y reemplazar los valores numéricos se obtiene:

b 2  14.7

FIGURA 14-44 Tres formas posibles de los álabes para el diseño del rotor de una bomba centrífuga del ejemplo 14-6. Todos los tres álabes tienen un ángulo del borde delantero b1  24° y un ángulo del borde posterior b2  15°, pero difieren en cómo b varía con el radio. El esquema está a escala.

Los resultados finales se reportan con sólo dos cifras significativas. Por tanto, el diseño preliminar necesita álabes inclinados hacia atrás con b1  24° y b2 ≅ 15°. Después que se determinan los ángulos del borde delantero y del borde posterior, se diseña la forma detallada del álabe del rotor haciendo variar poco a poco el ángulo del álabe b desde b1 a b2 a medida que el radio se incrementa de r1 a r2. Como se ilustra en la figura 14-44, el álabe puede ser de varias formas mientras se conserve b1 ≅ 24° y b2 ≅ 15°, lo cual depende de cómo varíe b con el radio. En la figura, los tres álabes empiezan en el mismo lugar (ángulo absoluto de cero) en el radio r1; el ángulo del borde delantero para los tres álabes es b1  24°. El álabe de longitud media (el gris claro de la figura 14-44) se construye cuando se hace variar linealmente b con r. Su borde posterior corta el radio r2 en un ángulo absoluto de aproximadamente 93°. El álabe más largo (el álabe negro de la figura) se construye cuando se hace variar b con mayor rapidez cerca de r1 que de r2. En otras palabras, la curvatura del álabe es más notable cerca de su borde delantero que cerca de su borde posterior. Corta el radio exterior en un ángulo absoluto de aproximadamente 114°. Para terminar, el álabe más pequeño (el álabe gris mediano de la figura 14-44) es menos curvo cerca de su borde delantero, pero más curvo cerca de su borde posterior. Corta a r2 en un ángulo absoluto de casi 77°. No es inmediatamente obvio cuál es la mejor forma para el álabe. Discusión Tenga en la mente que es sólo un diseño preliminar en el cual se ignoran las pérdidas irreversibles. Una bomba real tendría pérdidas, y la potencia al freno que se necesita sería superior (quizá 20 a 30 por ciento mayor) que el valor estimado aquí. En una bomba real con pérdidas, un álabe más corto tiene la fricción superficial menor, pero los esfuerzos normales sobre el álabe son mayores porque el flujo gira de manera más abrupta cerca del borde posterior, donde las velocidades son mayores. Esto podría originar problemas estructurales si los álabes no son muy gruesos, sobre todo cuando se bombean líquidos de alta densidad. La fricción superficial es mayor en un álabe más largo, pero los esfuerzos normales son menores. Además, puede verse en una estimación simple del volumen de un álabe en la figura 14-44 que para el mismo número de álabes, a medida que éstos son más largos, hay mayor obstrucción del flujo, ya que los álabes son de un grosor finito. Por otro lado, el efecto del espesor de desplazamiento de las capas límite, las cuales se generan a lo largo de la superficie de los álabes (capítulo 10), ocasiona un bloqueo aún más intenso en el caso de los álabes largos. Obviamente, se necesita alguna optimización ingenieril para determinar la forma exacta del álabe.

¿Cuántos álabes deben utilizarse en un rotor? Si se usan muy pocos, será elevada la pérdida de flujo circulatorio. Estas pérdidas se presentan porque hay un número finito de álabes. Recuerde que en el análisis preliminar se supuso

789 CAPÍTULO 14

una velocidad tangencial uniforme V2,t, en toda la circunferencia de la salida del volumen de control (Fig. 14-37). Esto es estrictamente correcto sólo si hay un número infinito de álabes infinitesimalmente delgados. Por supuesto que en una bomba real, la cantidad de álabes es finita y los álabes no son infinitesimalmente delgados. Como resultado, la componente tangencial del vector de velocidad absoluta no es uniforme, pero decrece en los espacios entre los álabes como se ilustra en la figura 14-45a). El resultado neto es un valor efectivamente más pequeño de V2,t, el cual a su vez disminuye la carga hidrostática neta real. Esta pérdida de la carga neta (y eficiencia de la bomba) se denomina pérdida de flujo circulatorio. Por el contrario, si hay demasiados álabes (como en la figura 1445b) hay pérdidas excesivas porque se bloquea el flujo y pérdidas por el crecimiento de las capas límite, todo lo cual ocasiona de nuevo unas velocidades de flujo no uniformes en el radio exterior de la bomba y carga hidrostática y eficiencia bajas. Estas pérdidas se conocen como pérdidas por cortocircuito. El punto esencial es que es necesario que se efectúe un estudio de optimización con objeto de elegir tanto la forma como la cantidad de álabes. Sin embargo, este estudio está fuera de los objetivos de este libro. Una visita rápida a las publicaciones especializadas en turbomaquinaria muestra que 11, 14 y 16 son las cantidades comunes de álabes en el rotor para bombas centrífugas de tamaño mediano. Después que se ha diseñado la bomba en cuanto a carga hidrostática neta y caudal especificados (condiciones de diseño), se puede estimar su carga hidrostática neta en condiciones que no son las de diseño. En otras palabras, si se conservan fijos b1, b2, r1, r2, b1, b2 y v puede hacerse variar el gasto volumétrico por arriba y por abajo del caudal de diseño. Se tienen todas las ecuaciones: la ecuación 14-17 para la carga hidrostática neta H en términos de las componentes de la velocidad tangencial absoluta V1,t y V2,t, la ecuación 14-23 para V1,t

FIGURA 14-45 a) A El rotor de una bomba centrífuga con pocos álabes origina una pérdida excesiva de flujo circulatorio: la velocidad tangencial en el radio externo r2 es menor en los intervalos entre los álabes que en los bordes posteriores de los álabes (se ilustran los vectores de la velocidad tangencial absoluta). b) En cambio, puesto que el grosor de los álabes reales del rotor es finito, un rotor con demasiados álabes ocasiona pérdidas por cortocircuito, debido a la excesiva obstaculización del flujo y la fricción superficial (los vectores de velocidad en un marco de referencia que gira con el rotor se ilustran a la salida de una corona de álabes). El punto esencial es que los ingenieros deben optimizar la forma de los álabes y su cantidad.

790 TURBOMAQUINARIA

FIGURA 14-46 Carga neta en función del gasto volumétrico para la bomba del ejemplo 14-6. La diferencia entre el rendimiento pronosticado y el real se debe a que, en la predicción, no se consideraron las irreversibilidades.

y V2,t, como funciones de las componentes normales de la velocidad absoluta V1,n y V2,n .y la ecuación 14-12 para V1,n y V2,n como funciones del gasto volumétrico V. En la figura . 14-46 se combinan estas ecuaciones para generar una gráfica de H contra V para la bomba diseñada en el ejemplo 14-6. Las líneas grises gruesas continuas es el rendimiento pronosticado con base en el estudio preliminar. . La curva de rendimiento predicha es casi lineal con respecto al cambio de V por abajo y por arriba de las condiciones de diseño ya que el término vr1V1, t en la ecuación 14-17 es pequeño en comparación con el término vr2V2,t. Recuerde que en las condiciones de diseño pronosticadas se estableció que V1,t  0. Para los flujos volumétricos superiores a éste, la ecuación 1423 predice que V1,t es negativa. Sin embargo, de acuerdo con las hipótesis no es posible tener valores negativos de V1,t. Por tanto, la pendiente de la curva de rendimiento predicha cambia de manera repentina más allá de las condiciones de diseño. En la figura 14-46 se ilustra también el rendimiento real de esta bomba centrífuga. El rendimiento predicho está muy cercano al real en la región cercana a las condiciones de diseño, pero las dos curvas se desvían de manera importante en las regiones alejadas de las condiciones de diseño. Para todos los flujos volumétricos, la carga hidrostática neta real es inferior a la carga hidrostática neta pronosticada. La causa son los efectos irreversibles, como la fricción en la superficie de los álabes, fugas de líquido entre los álabes y la carcasa, rotación (remolino) del líquido en la región del ojo antes de entrar al rotor, separación del flujo en los bordes delanteros de los álabes (pérdidas por impacto) o en los ensanchamientos de los pasajes de flujo, pérdidas por flujo circulatorio, pérdidas por cortocircuito y disipación irreversible de remolinos en la voluta, entre otros.

Bombas axiales

FIGURA 14-47 Los álabes de una bomba de flujo axial se comportan como las alas de un aeroplano. El ala gira el aire hacia abajo cuando genera fuerza de sustentación FL.

FIGURA 14-48 Torbellino descendente y el incremento de presión en el plano del rotor de un helicóptero; el rotor es un tipo de bomba de flujo axial.

No utilizan las fuerzas centrífugas. Los álabes del rotor se comportan más como las alas de los aeroplanos (Fig. 14-47), ya que se genera una fuerza de sustentación con el cambio de la cantidad de movimiento del fluido cuando giran los álabes. El rotor de un helicóptero, por ejemplo, es un tipo de bomba axial (Fig. 14-48). La fuerza de sustentación sobre el álabe la causan las diferencias de presión entre las superficies superiores e inferiores del álabe, y el cambio en la dirección del flujo crea un torbellino descendente (una columna de aire que desciende) a través del plano del rotor. Desde una perspectiva de tiempo promediado, hay un salto de presión en el plano del rotor inducido por el flujo de aire descendente (Fig. 14-48). Pero el plano del rotor puede girarse para que quede vertical, y entonces se tiene una hélice (Fig. 14-49a). Tanto el rotor del helicóptero como las hélices del aeroplano son ejemplos de ventiladores abiertos de flujo axial, puesto que no hay tubo o carcasa que rodee las puntas de las aspas. El ventilador de ventana común que se encuentra en las ventanas de las recámaras opera en verano según los mismos principios, pero el objetivo es hacer que fluya aire y no el ejercer una fuerza. Es seguro que hay una fuerza neta que actúa sobre la carcasa del ventilador. Si el aire corre de izquierda a derecha, la fuerza sobre el ventilador actúa a la izquierda, y el ventilador queda sujeto por el marco de la ventana. Otra función de la carcasa que rodea al ventilador es que actúa como un tubo corto, el cual ayuda a dirigir el flujo y elimina algunas pérdidas en las puntas de las aspas. El pequeño ventilador para enfriar que se encuentra dentro de las computadoras es un ejemplo de un ventilador de flujo axial; se parece a un ventilador para las ventanas, pero en miniatura (Fig. 14-49b) y es un ejemplo de un ventilador de flujo axial entubado. Si se observa detenidamente un álabe de la hélice del aeroplano que se ilustra en la figura 14-49a), un álabe del rotor de un helicóptero, un álabe de la

791 CAPÍTULO 14

FIGURA 14-49 Los ventiladores de flujo axial pueden ser abiertos o cubiertos: a) una hélice es un ventilador abierto y b) el ventilador de enfriamiento de una computadora es un ventilador entubado.

a)

a) Cortesía de Whirl Wind Propellers Corporation. Reproducido con autorización. b) Courtesy ebmpapst Mulfingen GmbH & Co. KG. Reproducido con autorización.

b)

hélice de un modelo de aeroplano controla por radio o hasta un álabe de un ventilador de ventana debidamente diseñado, se ve que la superficie está torcida. En particular, el perfil del álabe en un corte transversal cerca de la raíz o la base del álabe está a un ángulo de inclinación (u) mayor que el perfil en su sección transversal cerca de la punta, ubase  upunta (Fig. 14-50). La razón es que la velocidad tangencial del álabe se incrementa en forma lineal con el radio: u u  vr

(14-26) →

Entonces, a un radio determinado, la velocidad V relativa del aire relativa con respecto al álabe en la primera aproximación se estima como la suma vectorial de → → la velocidad de entrada V entrada y la velocidad del álabe V álabe opuesta: →

→

→

Vrelativa  Ventrada  Válabe →

(14-27)

donde la magnitud de V álabe es igual a la velocidad tangencial del álabe uu, de → acuerdo con la ecuación 14-26. La dirección de V álabe es tangencial a la trayectoria rotacional del álabe. En la posición del álabe que se muestra en la figura → 14-50, V álabe está a la izquierda. → En la figura 14-51 se calcula V relativa por un método gráfico mediante la ecuación 14-27 con dos radios, el radio en la base y el radio en la punta del álabe del rotor que se ilustra en la figura 14-50. Como se puede ver, el ángulo relativo de ataque a es el mismo en cualquier caso. En realidad, la cantidad de deformación por torsión está determinada cuando se establece el ángulo de inclinación u tal que a es igual en cualquier radio. → Observe también que la magnitud de la velocidad relativa V relativa aumenta desde la base hasta la punta. Se infiere entonces que la presión dinámica que encuentran los cortes transversales del álabe se incrementa con el radio, y la fuerza de sustentación por unidad de ancho normal al plano de la figura 14-51 también se incrementa con el radio. Las hélices tienden a ser más angostas en la base y más amplias hacia la punta, con el objetivo de aprovechar la mayor contribución de la fuerza de sustentación de la región más cercana a la punta. Sin embargo, el álabe está redondeado exactamente en la punta para evitar excesiva fuerza de arrastre inducida (capítulo 11) que existiría si el álabe estuviera cortado en forma aguda como en la figura 14-50. La ecuación 14-27 no es exacta por varias razones. Primero, el movimiento de rotación del rotor impone un movimiento giratorio al flujo de aire (Fig. 14-52).

FIGURA 14-50 Un álabe de rotor muy bien diseñado tiene una superficie torsida como lo muestran los cortes transversales en color gris oscuro a través de uno de los tres álabes; el ángulo de inclinación del álabe u es mayor en la base que en la punta porque la velocidad tangencial del álabe aumenta con el radio.

792 TURBOMAQUINARIA aa aa

→

Vrelativa

upunta

→

Válabe

→

Ventrada

→

Ventrada

→

ubase

Válabe

→

Vrelativa

FIGURA 14-51 → Cálculo gráfico V relativa con dos radios: a) base y b) punta del álabe del rotor que se ilustra en la figura 14-50.

a)

b)

Esto reduce la velocidad tangencial efectiva del álabe relativa con respecto al aire entrante. Segundo, puesto que la base del rotor es de tamaño finito, el aire se acelera alrededor de él, con lo que aumenta localmente la velocidad del aire en los cortes transversales del álabe cercanos a la base. Tercero, el eje del rotor o la hélice podría no estar alineado exactamente paralelo al aire entrante. Para concluir, la velocidad del aire no puede determinarse con facilidad, porque resulta que el aire se acelera cuando se aproxima al rotor que está girando. Existen métodos para obtener un valor aproximado de éstos y otros efectos secundarios, pero están fuera de los objetivos de este libro. La aproximación de primer orden que da la ecuación 14-27 es adecuada para plantear un diseño preliminar de rotores e impulsores, como se ilustra en el ejemplo 14-7.

v

FIGURA 14-52 Los álabes de una hélice que gira inducen el movimiento giratorio en el fluido que los rodea.

EJEMPLO 14-7

Cálculo de la torsión de una hélice de aeroplano

Suponga que se está diseñando la hélice para el modelo de un aeroplano que se controla por radio. El diámetro total de la hélice es de 34.0 cm y el diámetro del núcleo es de 5.5 cm (Fig. 14-53). La hélice gira a 1 700 rpm, y el perfil aerodinámico escogido para el corte transversal de la hélice alcanza su eficiencia máxima a un ángulo de ataque de 14°. Calcule el ángulo de inclinación del álabe, desde la base hasta la punta del álabe, tal que a  14° en cualquier punto a lo largo del álabe de la hélice cuando el aeroplano vuela a 30 millas por hora (13.4 m/s). Dhélice

→

Vviento

Nariz del aeroplano

Dnúcleo

→

Válabe

FIGURA 14-53 Esquema para el diseño de la hélice de un modelo de aeroplano del ejemplo 14-7. No está a escala.

SOLUCIÓN Debe calcularse el ángulo de inclinación u del álabe desde la base hasta la punta del impulsor, de tal modo que el ángulo de ataque sea de a  14° en cada radio a lo largo del álabe de la hélice. Suposiciones 1 El aire a estas velocidades bajas es incompresible. 2 Se ignoran los efectos secundarios de remolinos y aceleración del aire →a medida que se aproxima a la hélice; es decir, se supone que la magnitud de Ventrada es igual a la velocidad de la nave. 3 El aeroplano vuela a tal nivel que el eje de la hélice es paralelo a la velocidad del aire entrante. Análisis La velocidad del aire con respecto al álabe a cualquier radio en la primera aproximación se calcula mediante la ecuación 14-27. En la figura 14-54 se ilustra un esquema de los vectores de velocidad a un radio arbitrario r. De acuerdo con las características geométricas se observa que: Ángulo de inclinación a un radio arbitrario r:

uaf

(1)

793 CAPÍTULO 14

y

0 Ventrada 0

0 Ventrada 0 f  arctan →  arctan vr 0 Válabe 0 →

→

(2)

donde se utilizó también la ecuación 14-26 para la velocidad del álabe a radio r. En la base (r  Dcubo/2  2.75 cm), la ecuación 2 se transforma en:

1 rot 60 s 13.4 m/s u  a  f  14  arctan c a ba b d  83.9 (1 700 rot/min)(0.0275 m) 2p rad min f

a

Respecto al ángulo de inclinación en la punta (r  Dimpulsor/2  17.0 cm), éste es:

13.4 m/s 1 rot 60 s u  a  f  14  arctan c a ba b d  37.9 (1 700 rot/min)(0.17 m) 2p rad min

u →

Vrelativa

En los radios entre la base y la punta, las ecuaciones 1 y 2 se utilizan para calcular u en función de r. Los resultados se grafican en la figura 14-55. Discusión El ángulo de inclinación no es lineal debido a la función de arcotangente en la ecuación 2.

FIGURA 14-54 Vectores de velocidad correspondientes a algún radio arbitrario r de la hélice del ejemplo 14-7.

90 80 70 u, grados

Las hélices de un aeroplano tienen el ángulo de inclinación variable, lo que quiere decir que la inclinación del álabe completo puede ajustarse mediante un mecanismo articulado en el núcleo. Por ejemplo, cuando un aeroplano con la hélice funcionando está en el aeropuerto calentando sus motores a altas revoluciones por minuto, ¿por qué no empieza a desplazarse? Por una simple razón: los frenos están aplicados. Pero lo más importante es que la inclinación de los álabes de la hélice está ajustada de tal modo que el ángulo promedio de ataque de las secciones transversales del perfil aerodinámico de álabe es cero: no se genera ninguna fuerza de propulsión neta. Mientras el aeroplano se mueve hacia la pista de despegue, la inclinación se ajusta de tal manera que se produzca una pequeña fuerza de propulsión. Cuando el aeroplano despega, las rpm del motor son altas, y la inclinación del álabe se ajusta para que la hélice entregue la máxima fuerza de propulsión. En la mayoría de los casos, la inclinación puede ajustarse inclusive “hacia atrás” (ángulo de ataque negativo) para proporcionar la fuerza de propulsión inversa la que reduce la velocidad del aeroplano después de aterrizar. En la figura 14-56 se grafican las curvas cualitativas de rendimiento de una hélice típica. Al contrario que en los ventiladores centrífugos, la potencia al freno tiende a disminuir con el caudal. Además, la curva de eficiencia se inclina más hacia la derecha en comparación con la de los ventiladores centrífugos (vea la Fig. 14-8). El resultado es que la eficiencia disminuye con rapidez para flujos volumétricos mayores que los del punto de mejor eficiencia. La curva de carga hidrostática neta disminuye también de manera continua con el caudal (aunque hay algunas ondulaciones) y su forma es bastante diferente que la de un ventilador centrífugo. Si no son exageradas las demandas de carga hidrostática, las hélices pueden funcionar más allá del punto de eficiencia máxima para alcanzar. flujos volumétricos más altos. Puesto que bhp disminuye a valores altos de V, no hay una penalización de potencia cuando el ventilador funciona con caudales altos. Por esta razón es tentador instalar un ventilador de un tamaño un poco menor, y lanzarlo a que trabaje más allá de su punto de mejor eficiencia. Por otro lado, si opera por abajo del punto de su eficiencia máxima, el flujo podría ser ruidoso e inestable, lo cual es indicio de que el ventilador tal vez es de tamaño un poco mayor de lo necesario. Debido a estas razones, por lo general es me-

→

–Válabe

→

Vviento

Núcleo

60 Punta 50 40 30 0

5

10 r, cm

15

20

FIGURA 14-55 Ángulo de inclinación del álabe en función del radio para la hélice del ejemplo 14-7.

794 TURBOMAQUINARIA

hbomba

H, hbomba, o bhp

H

bhp

⋅ V

0 0

FIGURA 14-56 Curvas de rendimiento de una hélice típica que es un ventilador de flujo axial.

Rotor

Núcleo

Motor

v

a) Rotor 1

Núcleo

Motor

v v Rotor 2 Rotor

Caja de engranes b) Núcleo

Motor

v

Estator c)

FIGURA 14-57 Un ventilador de flujo axial entubado a) impone el movimiento giratorio al flujo existente, mientras que b) un ventilador de flujo axial con el segundo rotor contrarrotatorio y c) un ventilador de flujo axial con el estator de álabes guía están diseñados para eliminar el movimiento giratorio.

jor operar una hélice en su punto de eficiencia máxima o ligeramente por arriba de éste. Cuando un ventilador de flujo axial de un solo rotor se usa para mover un fluido en una tubería se le llama ventilador axial de tubo (Fig. 14-57a). En numerosas aplicaciones prácticas de ingeniería de los ventiladores de flujo axial, como los extractores de aire de las cocinas, ventiladores entubados para los sistemas de aire acondicionado de edificios, campanas de extracción de humo y ventiladores para enfriar el radiador de los automóviles no importa el movimiento giratorio que producen los álabes al girar (Fig. 14-57a). Pero el movimiento giratorio y la intensidad incrementada de la turbulencia pueden continuar por buena distancia corriente abajo, y hay aplicaciones donde el flujo giratorio (o su ruido y turbulencia que lo acompañan) es totalmente indeseable. Entre los ejemplos se encuentran ventiladores en túneles de viento y algunos ventiladores especializados para ventilar minas. Existen dos diseños básicos que eliminan en gran medida el movimiento giratorio: se instala un segundo rotor, que gira en la dirección opuesta, en serie con el rotor ya existente para formar un par de rotores de los sentidos de giro opuestos; tal ventilador se denomina ventilador contrarrotatorio de flujo axial (Fig. 14-57b). El movimiento giratorio que genera el rotor corriente arriba es anulado por el movimiento giratorio en la dirección opuesta que produce un rotor corriente abajo. Otra opción es añadir un conjunto de álabes de estator, corriente arriba o corriente abajo del rotor. Como lo indica su nombre, los álabes de estator son aletas guía estacionarias (no giran), que simplemente redireccionan el fluido. Un ventilador de flujo axial con un conjunto de álabes de rotor (la rueda móvil o el rodete o impulsor) y un conjunto de álabes de estator llamadas guías (el estator) se denomina ventilador axial con aletas de guía (Fig. 14-57c). El diseño del álabe del estator del ventilador axial con aletas de guía, es mucho más simple y menos caro de implantar que el diseño de un ventilador contrarrotatorio de flujo axial. El movimiento giratorio del fluido corriente abajo de un ventilador axial de tubo desperdicia energía cinética y tiene alto grado de turbulencia; el ventilador axial con aletas de guía recupera parte de esta energía cinética desperdiciada y disminuye el grado de turbulencia. Por tanto, los ventiladores axiales con aletas de guía son más silenciosos y más eficientes en el uso de energía que los ventiladores axiales de tubo. Un ventilador contrarrotatorio de flujo axial con un diseño adecuado puede ser más silencioso y más eficiente en el uso de la energía. Además, ya que hay dos conjuntos de álabes rotatorios, se obtiene un incremento de presión superior con el diseño contrarrotatorio. La construcción de un ventilador contrarrotatorio de flujo axial es más compleja, naturalmente, porque necesita dos motores sincronizados o una caja de engranes. Los ventiladores de flujo axial pueden accionarse por una banda o por transmisión directa. El motor de un ventilador axial con aletas de guía y transmisión directa se instala en la mitad del tubo. Es práctica común (y diseño adecuado) utilizar los álabes de estator para proporcionar apoyo físico al motor. En la figura 14-58 se presentan fotografías de un ventilador axial de tubo que se acciona mediante una banda y un ventilador axial con aletas de guía y transmisión directa. Los álabes de estator del ventilador axial con aletas de guía se localizan atrás (corriente abajo) de los álabes del rotor en la figura 14-58b). Otro diseño podría ser colocar los álabes del estator corriente arriba del rotor, lo que impone el movimiento giratorio previo a la entrada al rotor. El movimiento giratorio impuesto por los álabes del rotor elimina después este movimiento giratorio previo. El diseño de la forma de los álabes es directo en todos estos diseños de ventiladores de flujo axial, por lo menos en la primera aproximación. Para simplificar, se supone que los álabes son delgados (es decir, los álabes son de láminas de metal) y no álabes de forma aerodinámica. Por ejemplo, considere un ventilador de flujo axial con aletas de guía con álabes de rotor ubicados corriente arriba de los álabes del estator (Fig. 14-59). La distancia entre el rotor y el estator

795 CAPÍTULO 14

FIGURA 14-58 Ventiladores de flujo axial: a) ventilador de flujo axial entubado accionado por banda sin estator con álabes guía y b) ventilador, accionado por motor, de flujo axial con el estator con álabes guía para reducir el movimiento giratorio y mejorar la eficiencia. a)

b)

se ha exagerado en la figura para poder dibujar los vectores velocidad entre los álabes. Se supone que el radio del núcleo del estator es igual que el radio del núcleo del rotor, de modo que el área de flujo de la sección transversal es constante. Al igual que se hizo con la hélice, se considera la sección transversal del álabe del rotor cuando pasa verticalmente frente al observador. Ya que hay múltiples álabes, el siguiente álabe pasa poco después. Con un radio elegido r, se efectúa la aproximación bidimensional de que los álabes pasan como una serie infinita de álabes bidimensionales, que se denomina fila de álabes o cascada. Una suposición similar se plantea para los álabes del estator, aun cuando son estacionarios. Ambas coronas de álabes se ilustran en la figura 14-59. En la figura 14-59b), los vectores de velocidad se ven desde un marco de referencia absoluto, es decir, el de un observador inmóvil que mira horizontalmente al ventilador de flujo axial con aletas de guía. El flujo entra desde la izquierda a una velocidad Vent en la dirección horizontal (axial). La fila de álabes del rotor se desplaza a una velocidad constante vr vertical hacia arriba en este marco de referencia, como se señala. Estos álabes en movimiento hacen girar al flujo, que abandona el borde posterior → hacia arriba y a la derecha, como se indica en la figura 14-59b) como vector V rt (el subíndice significa borde posterior del rotor, de las palabras en inglés: trailing edge). Para hallar la magnitud y dirección de → V rt se vuelven a dibujar las filas de álabes y los vectores en un marco de referencia relativo (el marco de referencia del álabe del rotor) en la figura 14-59c). Este marco de referencia se obtiene cuando se resta la velocidad del álabe del rotor (sumando un vector de magnitud vr que apunta verticalmente hacia abajo) de todos los vectores velocidad. De acuerdo con la figura 14-59c), el vector de ve→ locidad relacionado con el borde delantero del álabe del rotor es V ent, relativa, → calculado como la suma de vectores de V ent y el vector dirigido hacia abajo de magnitud vr. La inclinación del álabe del rotor se ajusta de tal manera que la → velocidad V ent, relativa es paralela (tangencial) al borde delantero del álabe del rotor en esta sección transversal. El álabe del rotor hace girar el flujo. Se supone que el flujo que abandona el álabe del rotor es paralelo al borde posterior del álabe (desde el marco de refe→ rencia relativo), como se ilustra en la figura 14-59c) como vector V rt, relativa. Tam→ bién se sabe que la componente horizontal (axial) de vector V rt,relativa debe ser → igual a vector V ent con objeto de conservar la masa. Observe en la figura 14-59 que se supone un flujo incompresible y un área de flujo constante, que es normal a la página. Por consiguiente, la componente axial de la velocidad debe ser en todas partes igual a Vent. Esta información establece la→ magnitud del vector → V rt, relativa, que no es la misma que la magnitud de vector V ent, relativa. Regresando al marco de referencia absoluto de la figura 14-59b),→ la velocidad absoluta vec→ tor V rt se calcula como la suma vectorial de vector V rt, relativa y el vector vertical hacia arriba de magnitud vr.

a) © Barry Blower, ASC LP. Reproducido con autorización. b) Fotografía cortesía de Howden Buffalo, Inc. Reproducido con autorización.

796 TURBOMAQUINARIA →

FIGURA 14-59 Análisis de un ventilador de flujo axial con álabes guía a un radio r al usar la aproximación bidimensional de la fila de álabes; a) vista completa, b) marco de referencia absoluto y c) marco de referencia relacionado con los álabes del rotor giratorio (impulsor).

Para finalizar, el álabe del estator se diseña de tal manera que V rt es paralela al borde delantero del álabe del estator. Una vez más, se hace girar al flujo, esta vez lo hace el álabe del estator. Su borde posterior es horizontal de modo que el flujo sale axialmente (sin movimiento giratorio). La velocidad final del flujo de salida debe ser idéntica a la de entrada por la ley de conservación de la masa si se supone flujo incompresible y área de flujo constante que es normal a la pági→ → na. En otras palabras, V sal  V ent. Para que la información esté completa, la velocidad del flujo a la salida en el marco de referencia relativo se traza en la figu→ → ra 14-59c). Asimismo, se tiene que V sal, relativa  V ent, relativa. Ahora, suponga que se repite el análisis para todos los radios desde el núcleo hasta la punta. Al igual que en caso de la hélice, se diseñarían los álabes con un cierto torcimiento, ya que el valor de vr aumenta con el radio. Se puede lograr una modesta ganancia en la eficiencia a las condiciones de diseño si se usan formas aerodinámicas, en vez de láminas de metal para los álabes; la mejora es más importante en condiciones que no son de diseño. Si se encuentran, por decir algo, siete álabes en el rotor de un ventilador de flujo axial con aletas de guía, ¿cuántos álabes de estator debe haber allí? Podría decirse que siete, para que el estator correspondiera con el rotor, pero ¡éste sería un diseño pésimo! ¿Por qué? Porque en el instante de tiempo en que un álabe del rotor pase directamente frente a un álabe del estator, los seis de sus hermanos estarán haciendo lo mismo. Cada uno de los álabes del estator encontraría a la vez el flujo agitado de la estela del álabe de un rotor. El flujo resultante sería tanto pulsátil como ruidoso, y la unidad entera vibraría severamente. Para no llegar a estos extremos, una práctica adecuada de diseño es escoger el número de álabes del estator de tal manera que no haya un común denominador con el número de álabes del rotor. Combinaciones como siete y ocho, siete y nueve, seis y siete o nueve y once son elecciones correctas. Las combinaciones como ocho y diez (el común denominador es dos) o nueve y doce (el común denominador es tres) no son elecciones correctas. En la figura 14-60 se grafican las curvas de rendimiento de un ventilador de flujo axial con aletas de guía típico. Las formas generales son muy similares a las de la hélice (Fig. 14-56). El lector puede referirse a esa parte. Después de todo, un ventilador de flujo axial con aletas de guía es en realidad lo mismo que un ventilador de hélice o uno de tubo axial, excepto por los álabes del estator adicionales que enderecen el flujo y tienden a suavizar las curvas de rendimiento. Ya se comentó que un ventilador de flujo axial entrega un gasto volumétrico alto, pero a bajo incremento de presión. Algunas aplicaciones necesitan tanto caudal elevado como incremento de presión alto. En estos casos pueden combinarse en serie varios pares de estator-rotor, casi siempre con una flecha o eje común y núcleo también común (Fig. 14-61). Cuando dos o más pares de rotor-estator se combinan así, entonces se habla de una bomba de flujo axial de varias etapas. Se efectúa un análisis a la fila de álabes similar al de la figura 14-59 para cada una de las etapas sucesivas. Los detalles del análisis pueden ser complicados a causa de los efectos de la compresibilidad y porque el área de flujo desde el núcleo hasta la punta podría no ser constante. Por ejemplo, en un compresor de flujo axial de varias etapas, el área de flujo disminuye corriente abajo. Los álabes de cada etapa sucesiva se vuelven más pequeños a medida que el aire se comprime aún más. En una turbina de flujo axial de varias etapas, el área de flujo casi siempre aumenta corriente abajo a medida que la presión se pierde en cada etapa sucesiva de la turbina. Un ejemplo muy conocido de una turbomáquina que utiliza compresores de flujo axial de varias etapas y turbinas de flujo axial de varias etapas es el motor de turboventilador, que se usa para impulsar los modernos aeroplanos comerciales. En la figura 14-62 se ilustra un diagrama de un motor de turboventilador. Parte del aire pasa por el ventilador, el cual crea la fuerza de propulsión bastante semejante a una hélice. El resto del aire pasa por un compre-

797 CAPÍTULO 14

sor de baja presión, un compresor de alta presión, una cámara de combustión, una turbina de alta presión y, por último, por una turbina de baja presión. El aire y los productos de combustión son descargados a alta velocidad para proporcionar aún más la fuerza de propulsión. Los paquetes de la dinámica de fluidos computacional (CFD, Computational fluid dynamics, por sus siglas en inglés) son muy útiles en el diseño de estas turbomáquinas tan complejas (capítulo 15).

EJEMPLO 14-8

Diseño de un ventilador de flujo axial con aletas guía para un túnel de viento

Se desea diseñar un ventilador de flujo axial con aletas guía para accionar un túnel de viento. No debe haber movimiento giratorio corriente abajo del ventilador. Se decidió que los álabes del estator deben estar corriente arriba de los álabes del rotor (Fig. 14-63) para proteger los álabes del rotor contra el daño que le pudieran causar de manera accidental objetos que caigan en el ventilador. Para reducir costos, los álabes del estator y los del rotor se construirán con lámina de metal. El borde delantero de cada álabe del estator está alineado en forma axial (bbde  0.0°) y su borde posterior está a un ángulo de bbpe  60.0° a partir del eje como se muestra en el esquema (el subíndice “bde” indica borde delantero del estator, y “bpe” significa borde posterior del estator). Hay 16 álabes de estator. Para condiciones de diseño, la velocidad del flujo axial por los álabes es 47.1 m/s, y el rotor gira a 1 750 rpm. A un radio r  0.40 m, calcule los ángulos del borde delantero y del borde posterior del álabe del rotor, y realice un esquema de la forma del álabe. ¿Cuántos álabes debe haber en el rotor?

FIGURA 14-60 Curvas de rendimiento típicas de un ventilador de flujo axial con álabes guía.

SOLUCIÓN Se diseñará el álabe del rotor para condiciones de flujo y forma del álabe del estator dadas. Específicamente, se calcularán los ángulos del borde delantero y del borde posterior del álabe del rotor y se delineará su forma. También se decidirá cuántos álabes de rotor deben construirse.

FIGURA 14-61 Una bomba de flujo axial y de varias etapas consiste en dos o más pares de rotor y estator.

FIGURA 14-62 Turboventilador Pratt & Whitney PW 4000; un ejemplo de una turbomáquina de flujo axial de varias etapas. Cortesía de Pratt & Whitney. Reproducido con autorización.

798 TURBOMAQUINARIA

Suposiciones 1 El aire es aproximadamente incompresible. 2 El área de flujo entre el núcleo y la punta es constante. 3 Es apropiado el análisis bidimensional de la fila de álabes. Análisis Primero se analiza el flujo por el estator desde un marco de referencia absoluto mediante la aproximación bidimensional de una cascada (fila de álabes) de los álabes del estator (Fig. 14-64). El flujo entra en forma axial (horizontalmente) y gira 60.0° hacia abajo. Debido a que la componente axial de la velocidad debe permanecer constante por la ley de conservación de masa, la magnitud → de la velocidad cuando el flujo deja el borde posterior del álabe del estator V bpe, se calcula que es:

FIGURA 14-63 Esquema del ventilador de flujo axial con álabes guía del ejemplo 14-8. El estator precede al rotor, y se desconoce la forma del álabe, que es la que debe diseñarse.

Vent cos b bpe

Vbpe

47.1 m/s cos (60.0 )

94.2 m/s

(1)

→

Se supone que la dirección de V bpe es la del borde posterior del estator. En otras palabras, se supone que el flujo gira precisamente por la fila de álabes y sale paralelo al borde posterior del álabe, como se muestra en la figura 14-64. → Se pasa V bpe al marco de referencia relativo que se desplaza con los álabes del rotor. A un radio de 0.40 m, la velocidad tangencial de los álabes del rotor es:

uu

vr

(1 750 rot/min) a

2p rad 1 min ba b (0.40 m) rot 60 s

73.30 m/s

(2)

Debido a que la fila de álabes del rotor se mueve hacia arriba como se muestra en la figura 14-63, se añade una velocidad hacia abajo con la magnitud que da → la ecuación 2 para trasladar a V bpe al marco de referencia delineado en la figura 14-65. El ángulo del borde delantero del rotor, bbdr, se determina mediante las leyes trigonométricas,

b bdr

arctan arctan

vr

Vent tan b bpe Vent

(73.30 m/s)

(47.1 m/s) tan (60.0 ) 47.1 m/s

73.09

(3)

La fila de álabes hace girar al aire de tal manera que éste deja el borde posterior del álabe del rotor en un ángulo cero (en forma axial, sin movimiento giratorio) a partir de un marco de referencia absoluto. Esto determina el ángulo del borde posterior del rotor, bbpr. Específicamente, cuando se añade una velocidad hacia arriba de magnitud vr (Ec. 2) a la velocidad relativa cuando sale del borde → posterior del rotor, V bpr, relativa, es necesario→transformar una vez más al marco de referencia absoluto, con lo que se obtiene V bpr, la velocidad al dejar el borde pos→ terior del rotor. Es esta velocidad, V bpr, la que debe ser axial →(horizontal). Ade→ más, por la ley de conservación la masa, V bpr, debe ser igual a V ent, ya que se su→ pone un flujo incompresible. Si se trabaja hacia atrás, se construye V bpr, relativa en la figura 14-66. Cuando se aplican las leyes trigonométricas se tiene:

FIGURA 14-64 Análisis de los vectores de velocidad del flujo sobre la fila de álabes guía del estator del ventilador de flujo axial del ejemplo 14-8; marco de referencia absoluto (el subíndice bpe significa borde posterior estator).

b bpr

arctan

vr Vent

arctan

73.30 m/s 47.1 m/s

57.28

(4)

Se llega a la conclusión que el álabe del rotor con este radio tiene un ángulo del borde delantero de casi 73.1° (Ec. 3) y un ángulo del borde posterior de casi 57.3° (Ec. 4). Un esquema del álabe del rotor con este radio se ilustra en la figura 14-65; la curvatura total es pequeña, a saber, menor de 16° desde el borde delantero al posterior. Por último, para evitar interacciones de la estela del álabe del estator con el borde delantero del álabe del rotor, se escoge la cantidad de álabes del rotor de tal manera que no haya común denominador con el número de álabes del estator. Dado que son 16 los álabes del estator, se eligen 13, 15 o 17 álabes para el ro-

799 CAPÍTULO 14

tor. No sería apropiado elegir 14 porque comparte un denominador común, el 2, con el número 16. Si se escoge el 12 sería peor, porque comparte los denominadores comunes 2 y 4. Discusión Se puede repetir el cálculo para todos los radios desde el núcleo hasta la punta, que completaría el diseño de todo el rotor. Habría torsión de la superficie del álabe, como se mencionó ya.

14-3

■

LEYES DE SEMEJANZA PARA BOMBAS

Análisis dimensional La turbomaquinaria es un ejemplo muy práctico del poder y utilidad del análisis dimensional (capítulo 7). Se aplica el método de variables de repetición a la relación entre gravedad multiplicada por la carga hidrostática neta (gH) y las pro. piedades de la bomba como gasto volumétrico (V ); cierta longitud característica, por lo común el diámetro de los álabes del rotor (D); la altura de rugosidad de la superficie del álabe (e) y la velocidad rotacional del rotor (v), junto con las propiedades del fluido densidad (r) y viscosidad (m). Note que se trata al grupo gH como una variable. Los grupos adimensionales Pi se muestran en la figura 1467; el resultado es la siguiente relación en la que intervienen parámetros adimensionales: # gH V rvD2 e , b  función de a 3, m D v 2D2 vD

(14-28)

Un análisis similar con la potencia al freno de entrada como una función de las mismas variables da como resultado: # V rvD2 e , b  función de a 3, m D vD rv 3D5 bhp

FIGURA 14-65 Análisis de la velocidad del flujo en el borde posterior del álabe guía del estator cuando el flujo incide al borde delantero del álabe del rotor; marco de referencia relativo (el subíndice bpr significa borde posterior de rotor y bdr es borde delantero de rotor).

(14-29)

El segundo parámetro adimensional (o grupo ) en la parte derecha de ambas ecuaciones 14-28 y 14-29 es obviamente un número de Reynolds, porque vD es una velocidad característica: Re 

rvD2 m

El tercer grupo  en la parte derecha es el parámetro de rugosidad adimensional. Se asignan símbolos a los tres nuevos grupos dimensionales en estas dos ecuaciones y se les nombra de la siguiente manera: Parámetros de bomba adimensionales: C H  Coeficiente de carga hidrostática  # V C Q  Coeficiente de capacidad  vD3 C P  Coeficiente de potencia 

gH v 2D2 (14-30)

bhp rv 3D5

Note el subíndice Q en el símbolo para el coeficiente de capacidad. Esto viene de la nomenclatura encontrada en muchos libros de mecánica de fluidos y turbo-

FIGURA 14-66 Análisis de la velocidad del flujo en el borde posterior del rotor; marco de referencia absoluto.

800 TURBOMAQUINARIA

. maquinaria, de que Q y no V es el gasto volumétrico de la bomba. Se usa la notación CQ para ser . congruentes con la convención de turbomaquinaria, aun cuando se emplea V para el gasto volumétrico para evitar confusión con la transferencia de calor. Cuando se bombean líquidos, la cavitación debe analizarse y se necesita otro parámetro adimensional relacionado con la carga de aspiración neta positiva necesaria. Por fortuna, se sustituye simplemente la NPSHnecesaria en vez de H en el análisis dimensional, debido a que tienen dimensiones idénticas (longitud). El resultado es: C NPSH  Coeficiente de aspiración 

FIGURA 14-67 Análisis dimensional de una bomba.

FIGURA 14-68 El análisis dimensional es útil para modificar a escala dos bombas geométricamente similares. Si todos los parámetros adimensionales de la bomba A equivalen a los de la bomba B, las dos bombas son dinámicamente similares.

gNPSH necesaria v 2D2

(14-31)

Otras variables, como la distancia entre las puntas de los álabes y la carcasa de la bomba y el grosor del álabe, pueden agregarse al análisis dimensional si es necesario. Por fortuna, estas variables por lo general son sólo de menor importancia y no se consideran aquí. De hecho, podría afirmarse que dos bombas no son inclusive estrictamente similares desde el punto de vista geométrico a menos que se modifique a escala la distancia entre las puntas de los álabes y la carcasa, el grosor del álabe y la rugosidad de la superficie. Las relaciones obtenidas mediante el análisis dimensional, como las ecuaciones 14-28 y 14-29, pueden interpretarse de la siguiente manera: si dos bombas, A y B, son geométricamente similares (la bomba A es proporcional a la bomba B, aunque sean de tamaño distinto), y si las  independientes son iguales entre sí (en este caso si CQ,A  CQ,B, ReA  ReB y eA/DA  eB/DB), entonces se garantiza que las  dependientes son iguales entre sí también. En particular, CH,A  CH,B de la ecuación 14-28 y CP,A  CP,B de la ecuación 1429. Si se establecen estas condiciones, se dice que las dos bombas son dinámicamente similares (Fig. 14-68). Cuando se logra la similitud dinámica, se dice que el punto de operación en la curva de rendimiento de la bomba A y el punto de operación correspondiente en la curva de rendimiento de la bomba B son homólogos. La necesidad de igualdad de los tres parámetros adimensionales independientes, puede atenuarse un poco. Si los números de Reynolds de la bomba A y la bomba B numéricamente exceden varios miles, dentro de las bombas existen condiciones de flujo turbulento. Resulta que para flujo turbulento, si los valores de ReA y ReB no son iguales, pero tampoco demasiado alejados, la similitud dinámica entre las dos bombas es no obstante una aproximación razonable. Esta condición afortunada se llama independencia del número de Reynolds (note que si las bombas operan en régimen laminar, el número de Reynolds, por lo regular, debe permanecer como un parámetro de escala). En la mayoría de los casos de análisis prácticos de ingeniería de turbomaquinaria, el efecto de diferencias en el parámetro de rugosidad es también pequeño, a menos que las diferencias de rugosidad sean grandes, como cuando se pasa de una bomba muy pequeña a una bomba muy grande (o viceversa). Así, para numerosos problemas prácticos, puede ignorarse el efecto de Re y e/D. Así, las ecuaciones 14-28 y 1429 se reducen a: C H  función de C Q

C P  función de C Q

(14-32)

Como siempre, el análisis dimensional no predice la forma de las relaciones funcionales de la ecuación 14-32, pero una vez que estas relaciones se obtienen para una bomba particular, pueden generalizarse para bombas similares desde el punto de vista geométrico que son de diámetros distintos, operan a velocidades rotacionales y flujos diferentes y funcionan inclusive con fluidos de densidad y viscosidad distintas.

801 CAPÍTULO 14

Se transforma la ecuación 14-5 para la eficiencia de la bomba en una función de parámetros adimensionales de la ecuación 14-30: hbomba

# r(V )(gH) bhp

r(vD3CQ)(v2D2CH) 3

5

CQCH CP

rv D CP

función de CQ

(14-33)

Puesto que hbomba es ya adimensional, es por sí mismo otro parámetro de bomba adimensional. Debido a que la ecuación 14-33 revela que hbomba se puede formar mediante la combinación de otros treparámetros adimensionales , hbomba es innecesaria para el análisis de bomba adimensional. Sin embargo, es, de hecho, un parámetro útil. Dado que CH, CP y hbomba son funciones sólo de CQ, es común graficar estos tres parámetros como funciones de CQ en la misma gráfica, y se genera un conjunto de curvas de rendimiento adimensionales para bombas. En la figura 14-69 se proporciona un ejemplo para el caso de una bomba centrífuga típica. Las formas de curva para otros tipos de bombas serían, por supuesto, diferentes. Las leyes de similitud simplificadas de las ecuaciones 14-32 y 14-33 fallan cuando el prototipo de escala completa es significativamente mayor que su modelo (Fig. 14-70); el rendimiento del prototipo es por lo general mejor. Hay varias razones para esto: la bomba prototipo suele operar a números de Reynolds altos que no se logran en el laboratorio. Se sabe del diagrama de Moody, que el factor de fricción disminuye con el número de Reynolds, como también el espesor de la capa límite. Por tanto, la influencia de las capas límite viscosas es menos importante cuando aumenta el tamaño de la bomba porque las capas límite ocupan un porcentaje menos importante del flujo que pasa por el rotor. Además, la rugosidad relativa (e/D) en las superficies de los álabes del rotor prototipo podría ser significativamente más pequeña que la de los álabes de la bomba modelo a menos que las superficies del modelo sean pulidas a microescala. Por último, las bombas grandes de escala completa tienen más pequeña la distancia entre las puntas de los álabes y la carcasa en relación con el diámetro del álabe; por tanto, las pérdidas y las fugas en las puntas de los álabes son menos importantes. Se han desarrollado algunas ecuaciones empíricas para considerar el incremento de eficiencia entre un modelo pequeño y un prototipo de escala completa. Moody sugirió una ecuación para turbinas (1926), pero también se puede usarla como una corrección de primera aproximación para bombas:

FIGURA 14-69 Cuando la curvas de rendimiento de una familia de bombas geométricamente similares se grafican en términos de parámetros adimensionales, se reducen a un solo conjunto de curvas de rendimiento adimensionales. Los valores en el punto de la mejor eficiencia se indican con asteriscos.

Ecuación de Moody de corrección de eficiencia para bombas: D modelo 15 h bomba, prototipo  1  (1  h bomba, modelo)a b D prototipo

(14-34)

Velocidad específica de la bomba Otro parámetro adimensional útil, conocido como velocidad específica de la bomba (NSp) se forma mediante una combinación de parámetros CQ y CH: Velocidad específica de la bomba:

# # (V vD3)12 vV 12 N Sp    C H 3/4 (gHv 2D2)34 (gH)34 C Q1/2

(14-35)

Si los ingenieros observaran sus unidades de manera cuidadosa, NSp se listaría siempre como un parámetro adimensional. Por desgracia, los ingenieros en su práctica diaria se han acostumbrado a usar unidades inconsistentes en la ecuación 14-35, lo cual convierte el parámetro adimensional NSp en un una cantidad dimensional inconveniente (Fig. 14-71). Surge una confusión todavía mayor, porque algunos ingenieros prefieren unidades de revoluciones por minuto (rpm) para la velocidad rotacional, mientras que otros utilizan revoluciones por segundo (Hz), esta última es más común en Europa. Además, los ingenieros en Esta-

FIGURA 14-70 Cuando se prueba un modelo a pequeña escala para predecir el rendimiento de una bomba prototipo a escala completa, la eficiencia medida del modelo es por lo común un poco menor que la del prototipo. Existen ecuaciones de corrección empíricas, como la ecuación 14-34, para considerar que la eficiencia de la bomba de mayor tamaño es mejor.

802 TURBOMAQUINARIA

dos Unidos en su práctica diaria ignoran por lo general la constante gravitacional en la definición de NSp. En este libro, se añaden los subíndices “Eur” o “EUA (US)” a NSp para distinguir las formas dimensionales de la velocidad específica de bomba de la forma adimensional. En Estados Unidos se acostumbra escribir H en unidades de pies (la carga hidrostática neta .se expresa como una altura de columna equivalente del fluido que se bombea), V en unidades de galo. nes por minuto (gpm) y la velocidad de rotación en términos de n (rpm) en lugar de v (rad/s). Por medio de la ecuación 14-35, se define: Velocidad de la bomba, unidades usuales de US: N Sp, US 

FIGURA 14-71 Aunque la velocidad específica de la bomba es un parámetro adimensional, es común escribirla como una cantidad dimensional mediante un conjunto de unidades incongruente.

# # (n, rpm)(V , gpm)12 (H, ft)34

(14-36)

En Europa se acostumbra . escribir H en unidades de metros (e incluir g.  9.81 m/s2 en la ecuación), V en unidades de m3/s, y la velocidad de rotación n en uni. dades de revoluciones por segundo (Hz) en lugar de v (rad/s) o n (rpm). Con la ecuación 14-35, se define: Velocidad de la bomba, unidades usuales europeas: # # (n, Hz)(V , m3/s)12 N Sp, Eur  (gH, m2/s2)34

(14-37)

Las conversiones entre estas tres formas de velocidad específica de la bomba se proporcionan en la figura 14-72 como relaciones, para conveniencia del lector. Cuando llegue a practicar la ingeniería debe tener cuidado de saber qué forma de velocidad específica de bomba se emplea, aunque esto no siempre podría ser evidente. Desde el punto de vista técnico, la velocidad específica de la bomba se podría aplicar a cualquier condición de operación y sería sólo otra función de CQ. Sin embargo, ésa no es la manera como se usa habitualmente. En cambio, es común definir la velocidad específica de la bomba en sólo un punto de operación, a saber, el punto nominal, o el punto de mejor eficiencia (MPE) de la bomba. El resultado es un solo número que caracteriza a la bomba. La velocidad específica de la bomba se usa para identificar la operación de una bomba en sus condiciones óptimas (punto nominal, o punto de mejor eficiencia) y es útil para la selección preliminar de la bomba.

Según la gráfica de la figura 14-73, las bombas centrífugas tienen un rendimiento óptimo para NSp cercano a 1, mientras que las bombas de flujo mixto y las axiales se desempeñan mejor a NSp cercano a 2 y 5, respectivamente. Resulta que si NSp es menor que alrededor de 1.5, una bomba centrífuga es la mejor elección. Si NSp es mayor que cerca de 3.5, debe usarse una bomba axial. Estos intervalos se indican en la figura 14-73 en términos de NSp, NSp,USA y NSp,Eur. En la gráfica se ilustran los tipos de álabes para referencia. FIGURA 14-72 Conversiones entre las tres definiciones de la velocidad específica de la bomba: adimensional, expresada en unidades usuales en Estados Unidos. y expresada en unidades usuales en Europa. Los valores numéricos se dan hasta cuatro cifras significativas. En caso de la conversión a NSp, US se supone la gravedad terrestre estándar.

EJEMPLO 14-9

Uso de la velocidad específica en el diseño preliminar de la bomba

Se diseña una bomba para entregar 320 gpm de gasolina a temperatura ambiente. La carga hidrostática neta necesaria es de 23.5 ft (de gasolina). Ya se determinó que la flecha de la bomba girará a 1 170 rpm. Calcule la velocidad específica de la bomba en forma adimensional y en la forma usual de Estados Unidos. Con base en su resultado, decida qué clase de bomba dinámica sería más adecuada para esta aplicación.

803 CAPÍTULO 14

FIGURA 14-73 Eficiencia máxima como función de la velocidad específica de la bomba para los tres tipos principales de bomba dinámica. Las escalas horizontales muestran la velocidad específica adimensional (NSp), la velocidad específica en unidades usuales en Estados Unidos (NSp,USA) y la velocidad específica en unidades usuales en Europa (NSp,Eur).

SOLUCIÓN Se calculará la velocidad específica de la bomba y luego se determinará una bomba centrífuga, de flujo mixto o axial como la mejor opción para esta aplicación particular. Suposiciones 1 La bomba opera cerca de su punto de mejor eficiencia. 2 La curva de eficiencia máxima en función de la velocidad específica de la bomba sigue la figura 14-73 razonablemente bien. Análisis Primero, se calcula la velocidad específica de la bomba en unidades usuales de Estados Unidos:

N Sp, US 

(1 170 rpm)(320 gpm)12 (23.5 ft)34

 1 960

(1)

Se convierte a la velocidad específica normalizada mediante el factor de conversión dado en la figura 14-72:

N Sp  N Sp, US a

N Sp N Sp, US

b  1 960(3.658 10 4)  0.717

(2)

Usando el resultado de la ecuación 1 o la 2, la figura 14-73 muestra que una bomba centrífuga es la elección más adecuada. Discusión Observe que las propiedades del fluido nunca entraron en los cálculos. El hecho de que se esté bombeando gasolina y no algún otro líquido como el agua es irrelevante. Sin embargo, la potencia al freno necesaria para hacer funcionar la bomba sí depende de la densidad del fluido.

Leyes de semejanza Se han creado grupos adimensionales útiles para relacionar dos bombas cualesquiera, que son similares tanto desde el punto de vista geométrico como dinámico. Es conveniente resumir las relaciones de similitud como proporciones. Algunos autores llaman a estas relaciones reglas de similitud, otros las llaman leyes de afinidad o leyes de semejanza. Para dos estados homólogos cualesquiera A y B:

Leyes de afinidad:

# V B vB D B 3 a b #  V A vA D A

(14-38a)

HB vB 2 D B 2 a b a b vA HA DA

(14-38b)

bhpB r B vB 3 D B 5  a b a b bhpA r A vA DA

(14-38c)

804 TURBOMAQUINARIA

FIGURA 14-74 Cuando se aplican las leyes de afinidad a una sonda bomba, en la que lo único que varía es la velocidad rotacional de la flecha, v, o rpm de . flecha, n, las ecuaciones 14-38 se reducen a las que se muestran, para las que puede usarse una ayuda mnemotécnica para recordar el . exponente en v (o en n): (Los problemas muy difíciles son tan fáciles como 1, 2, 3).

Las ecuaciones 14-38 se aplican a bombas y turbinas. Los estados A y B pueden ser dos estados homólogos cualesquiera entre cualquier par de turbomáquinas geométricamente similares, o inclusive entre dos estados homólogos de la misma máquina. Algunos ejemplos son: cambiar la velocidad rotacional o bombear un fluido diferente con la misma bomba. Para el caso simple de una bomba en la que varía v, pero se bombea el mismo fluido, DA  DB y rA  rB. En este caso, las ecuaciones 14-38 se reducen a las formas que se muestran en la figura 14-74. Se ha creado una combinación de palabras para ayudar a recordar el exponente sobre v, como se indica en la figura. Note también que dondequiera que haya una relación de dos velocidades rotacionales (v), pueden sustituirse los . valores apropiados de rpm (n) ya que la conversión es la misma en el numerador y el denominador. Las leyes de semejanza de las bombas son bastante útiles como una herramienta de diseño. En particular, suponga que se conocen las curvas de rendimiento de una bomba existente, y la bomba opera con eficiencia y confiabilidad razonables. El fabricante de la bomba decide diseñar una nueva bomba más grande para otras aplicaciones, por ejemplo, bombear un fluido mucho más pesado o entregar una carga hidrostática neta considerablemente mayor. En lugar de comenzar desde cero, los ingenieros suelen aumentar la escala de un diseño existente. Las leyes de semejanza para bombas permiten que tal cambio de escala se realice con una cantidad mínima de esfuerzo.

EJEMPLO 14-10

Efectos de duplicar la velocidad de la bomba

El profesor Seymour Fluids emplea un pequeño túnel de agua de ciclo cerrado para realizar la investigación de visualización de flujo. Le gustaría duplicar la velocidad del agua en la sección de prueba del túnel y comprende que la manera menos cara de hacerlo es duplicar la velocidad rotacional de la bomba de flujo. Lo que ignora es la potencia adicional del nuevo motor eléctrico. Si el profesor duplica la velocidad de flujo, aproximadamente ¿en qué factor debe incrementarse la potencia?

SOLUCIÓN Para duplicar el valor de v, se calculará el factor por el que debe incrementarse la potencia del motor de la bomba. Suposiciones 1 El agua permanece a la misma temperatura. 2 Después de duplicar la velocidad, la bomba opera en condiciones homólogas a las originales. Análisis Puesto que ni el diámetro ni la densidad cambian, la ecuación 14-38c) se reduce a: Razón de potencia al freno necesaria:

FIGURA 14-75 Cuando se incrementa la velocidad de la bomba, la carga hidrostática neta aumenta de manera muy rápida; la potencia al freno se incrementa de manera aún más rápida.

bhpB vB 3 a b vA bhpA

(1)

Cuando se establece vB  2vA en la ecuación 1 se obtiene bhpB  8bhpA. Así, la potencia para el motor de la bomba se debe incrementar por un factor de 8. Un análisis similar con la ecuación 14-38b) muestra que la carga hidrostática neta de la bomba se incrementa en un factor de 4. Como se ve en la figura 14-75, tanto la carga hidrostática neta como la potencia se incrementan con rapidez cuando se incrementa la velocidad de la bomba. Discusión El resultado es sólo aproximado, porque no se incluyó ningún análisis del sistema de tubería. Si duplicar la velocidad de flujo por la bomba incrementa la carga hidrostática disponible por un factor de 4, duplicar la velocidad de flujo por el túnel de agua no necesariamente incrementa la carga hidrostática necesaria del sistema por el mismo factor de 4 (por ejemplo, el factor de fricción disminuye con el número de Reynolds, excepto a valores muy altos de éste). En otras palabras, la suposición 2 no es forzosamente correcta. Por supues-

805 CAPÍTULO 14

to que el sistema se ajustará a un punto de operación en el cual coinciden la carga hidrostática necesaria y la disponible, pero este punto no es por necesidad homólogo con el punto de operación original. Sin embargo, la aproximación es útil como resultado de primera aproximación. El profesor Fluids podría preocuparse también por la posibilidad de cavitación a la velocidad mayor.

EJEMPLO 14-11

Diseño de una nueva bomba geométricamente similar

TABLA 14-2

Después de la graduación, el lector entra a trabajar a una compañía que fabrica bombas. Uno de los productos más vendidos de su compañía es una bomba de agua, la cual se llamará bomba A. Su diámetro de rotor es DA  6.0 cm, y sus . datos de rendimiento cuando opera a nA  1 725 rpm (vA  180.6 rad/s) se muestran en la tabla 14-2. El departamento de investigación de mercado recomienda que la compañía diseñe un nuevo producto, a saber, una bomba más grande (a la que se llamará bomba B) que se empleará para bombear líquido refrigerante R-134a a temperatura ambiente. La bomba se diseñará de modo que su punto de mejor eficiencia ocurra lo más cerca posible a un gasto volumétrico . de VB  2 400 cm3/s y a una carga hidrostática neta de HB  450 cm (de R134a). El ingeniero principal (su jefe) le indica que lleve a cabo algún análisis preliminar por medio de las leyes de semejanza para determinar si se puede diseñar y construir la bomba que sea geométricamente similar y que satisfaga los requerimientos dados. a) Grafique las curvas de rendimiento de la bomba A en forma dimensional y adimensional, e identifique el punto de la mejor eficiencia. b) . Calcule el diámetro requerido de la bomba DB, la velocidad rotacional nB, y la potencia al freno bhpB para el nuevo producto.

Datos del fabricante de rendimiento de una bomba de agua que opera a 1 725 rpm a temperatura ambiente (Ejemplo 14-11)* . V, cm3/s H, cm hbomba, % 100 200 300 400 500 600 700

180 185 175 170 150 95 54

32 54 70 79 81 66 38

* La carga hidrostática neta está en centímetros de columna de agua.

SOLUCIÓN a) Para determinada tabla de datos de rendimiento de una bomba de agua, se graficarán las curvas de rendimiento en su forma dimensional y adimensional y se identificará el PME (BEP). b) Se diseñará una nueva bomba geométricamente similar para el refrigerante R-134a que opere en su PME (BEP) a las condiciones de diseño dadas. Suposiciones 1 La nueva bomba se puede fabricar de modo que sea geométricamente similar a la bomba existente. 2 Ambos líquidos (agua y refrigerante R134a) son incompresibles. 3 Ambas bombas operan en condiciones estacionarias. Propiedades A la temperatura ambiente (20°C), la densidad del agua es ragua  998.0 kg/m3 y la del refrigerante R-134a es rR-134a  1 226 kg/m3. Análisis a) Primero, se aplica a los datos de la tabla 14-2 un ajuste de mínimos cuadrados de curva polinomial de segundo orden para obtener curvas de rendimiento suaves. Éstas se grafican en la figura 14-76, junto con una curva para la potencia al freno, que se obtiene de la ecuación 14-5. Un cálculo de muestra, con . conversión de unidades, se presenta en la ecuación 1 para los datos a VA  500 cm3/s, que es casi el punto de la mejor eficiencia:

# r agua gV AHA bhpA  h bomba,A 

(998.0 kg/m3)(9.81 m/s2)(500 cm3/s)(150 cm) 1m 4 Ws a b a b 0.81 100 cm kg  m/s2

 9.07 W

(1)

. Note que el valor real de bhpA que se encuentra en la figura 14-76 a VA  500 cm3/s difiere un poco del de la ecuación 1 debido a que el ajuste de la curva de mínimos cuadrados atenúa la dispersión en los datos tabulados originales.

FIGURA 14-76 Curvas de rendimiento dimensionales suavizadas para la bomba de agua del ejemplo 14-11.

806 TURBOMAQUINARIA

A continuación se usan las ecuaciones 14-30 para convertir los datos dimensionales de la tabla 14-2 en parámetros adimensionales. Los cálculos de muestra se ilustran en las ecuaciones de 2 a 4 en el .mismo punto de operación que antes (en el lugar aproximado del PME, BEP). A VA  500 cm3/s el coeficiente de capacidad es aproximadamente:

# V 500 cm3/s CQ    0.0128 vD3 (180.6 rad/s)(6.0 cm)3

(2)

El coeficiente de carga hidrostática a este flujo es alrededor de:

CH 

gH 2

vD

2



(9.81 m/s2)(1.50 m)  0.125 (180.6 rad/s)2(0.060 m)2

(3)

. Por último, el coeficiente de potencia a VA  500 cm3/s es aproximadamente:

CP 

FIGURA 14-77 Curvas de rendimiento adimensionales suavizadas para las bombas del ejemplo 14-11; el PME (BEP, por sus siglas en inglés) se estima como el punto de operación donde hbomba es máxima.

kg  m/s2 9.07 W  a b  0.00198 rv 3D5 (998 kg/m3)(180.6 rad/s)3(0.060 m)5 W  s bhp

(4)

. Estos cálculos se repiten (con ayuda de una hoja de cálculo) a valores de VA entre 100 y 700 cm3/s. Los datos obtenidos se ajustan por el método de mínimos cuadrados para que las curvas de rendimiento normalizadas sean suaves y se grafican en la figura 14-77. Note que hbomba se grafica como una fracción y no como un porcentaje. Además, con la finalidad de ubicar las tres curvas en la misma gráfica con una sonda ordenada, y con la abscisa centrada aproximadamente alrededor de la unidad, se ha multiplicado CQ por 100, CH por 10 y CP por 100. Se encontrará que estos parámetros adimensionales funcionan adecuadamente para una amplia variedad de bombas, desde muy pequeñas hasta muy grandes. También se bosqueja en la figura 14-77 una línea vertical en el PME (BEP) que se obtiene a partir de los datos ajustados por el método de los mínimos cuadrados. Los datos ajustados producen los siguientes parámetros adimensionales de rendimiento de la bomba en el PME (BEP):

C Q*  0.0112

C H*  0.133

C P*  0.00184

h*bomba  0.812

(5)

b) Se diseña la nueva bomba de tal manera que su punto de mejor eficiencia sea homólogo al PME(BEP) de la bomba original, pero con un fluido distinto, un diámetro de bomba diferente y otra velocidad rotacional. Con los valores identificados en la ecuación 5, se usan las ecuaciones 14-30 .para obtener las condiciones de operación de la nueva bomba. A saber, ya que VB y HB son cantidades conocidas (condiciones de diseño), las ecuaciones 14-30 se resuelven de manera simultánea para DB y vB. Después de aplicar unas transformaciones algebraicas en las que se elimina vB, se calcula el diámetro de diseño para la bomba B:

# 14 (0.0024 m3/s)2(0.133) V 2BC H* 14 b a DB  a b  0.108 m 2 2 2 (C *Q) gHB (0.0112) (9.81 m/s )(4.50 m)

(6)

En otras palabras, la bomba A necesita una modificación de escala por un factor de DB/DA  10.8 cm/6.0 cm  1.80. Con el valor de DB conocido, se vuelve a las ecuaciones 14-30 para determinar vB, la velocidad rotacional de diseño para la bomba B:

# VB 0.0024 m3/s vB    168 rad/s 3 (C *Q)D B (0.0112)(0.108 m)3

→

# nB  1 610 rpm

(7)

Por último, la potencia al freno requerida para la bomba B se calcula de las ecuaciones 14-30:

bhpB  (C*P )r Bv 3BD 5B Ws  (0.00184)(1 226 kg/m3)(168 rad/s)3(0.108 m)5 a b 160 W kg  m2/s

(8)

807 CAPÍTULO 14

Otro método es aplicar las leyes de semejanza de modo directo, con lo cual se eliminan algunos pasos intermedios. De las ecuaciones 14-38 a) y b) se determina DB cuando se elimina la relación vB/vA. . Luego, se inserta el valor conocido de DA y los valores de la curva de ajuste de VA y HA en el PME(BEP) (Fig. 14-78). El resultado concuerda con el que se calculó antes. De manera similar puede calcularse vB y bhpB. Discusión Aunque el valor deseado de vB se calculó de manera precisa, un aspecto práctico es lo difícil (si no es que imposible) de encontrar un motor eléctrico que gire exactamente a las rpm deseadas. Los motores eléctricos estándar monofásicos, 60 Hz, 120 V CA funcionan por lo general a 1 725 o 3 450 rpm. Así, es posible que no pueda satisfacerse la necesidad de rpm con una bomba de toma directa. Por supuesto, si la bomba es impulsada por banda o si hay una caja de engranes o un controlador de frecuencia, se puede ajustar con facilidad la configuración para producir la razón de rotación deseada. Otra opción es que, puesto que vB es sólo un poco menos grande que vA, se acciona la nueva bomba a velocidad de motor estándar (1 725 rpm), de modo que se proporciona una bomba un poco más poderosa de lo necesario. La desventaja de esta opción es que la nueva bomba operaría entonces en un punto que no es exactamente el PME (BEP).

14-4

■

FIGURA 14-78 Las leyes de semejanza pueden emplearse con el fin de obtener una expresión para el nuevo diámetro de la bomba DB; wB y bhpB pueden obtenerse de manera similar (no se muestra).

TURBINAS

Las turbinas se han utilizado durante siglos para convertir la energía mecánica libre disponible de ríos y el viento en trabajo mecánico útil, por lo general mediante un eje rotatorio. La parte giratoria de una bomba se llama impulsor o rotor (en América Latina) o rodete (en España), y la parte rotatoria de una hidroturbina se llama en castellano rotor o rodete. Cuando el fluido de trabajo es agua, las turbomáquinas se llaman turbinas hidráulicas o hidroturbinas. Cuando el fluido de trabajo es aire y la energía se extrae del viento, la máquina se llama turbina de viento o turbina eólica. La palabra molino de viento debe aplicarse técnicamente sólo cuando la salida de energía mecánica se usa para moler granos, como en la antigüedad (Fig. 14-79). Sin embargo, la mayoría de las personas emplean la palabra molino de viento para describir cualquier turbina de viento, ya sea que se utilice para moler granos, bombear agua o generar electricidad. En las centrales eléctricas, alimentadas con carbón o energía nuclear, el medio de trabajo por lo general es vapor; por consiguiente, las turbomáquinas que convierten la energía del vapor en energía mecánica mediante una flecha rotatoria se llaman turbinas de vapor. Un nombre más genérico para las turbinas que emplean un gas comprimible como medio de trabajo es turbinas de gas (la turbina en un comercial moderno motor de propulsión es un tipo de turbina de gas). En general, las turbinas que producen energía tienen una eficiencia global un poco mayor que las bombas que absorben energía. Las hidroturbinas grandes, por ejemplo, alcanzan eficiencias globales arriba de 95 por ciento, mientras que la mejor eficiencia de bombas grandes es un poco más de 90 por ciento. Hay varias razones para esto. Primera, las bombas de manera normal operan a velocidades rotacionales mayores que las turbinas; por tanto, los esfuerzos de corte y las pérdidas por fricción son mayores. Segunda, la conversión de energía cinética en energía de flujo (bombas) tiene, inherentemente, mayores pérdidas que la operación inversa (turbinas). Esto puede considerarse de la siguiente manera: debido a que la presión aumenta en una bomba (gradiente de presión adverso), pero disminuye en una turbina (gradiente de presión favorable), las capas límite tienen menos probabilidades de separarse en una turbina que en una bomba. Tercera, las turbinas (en particular las turbomáquinas) suelen ser mucho más grandes que las bombas, y las pérdidas viscosas se vuelven menos importantes a me-

FIGURA 14-79 Un molino de viento restaurado en Brewster, MA, que se empleó en la centuria de 1800 para moler grano (note que las aspas deben estar cubiertas para funcionar). Los modernos “molinos de viento” que generan electricidad se denominan más adecuadamente turbinas de viento. Cortesía de Brewster Historical Society Museum, Brewster, MA. Reproducido con autorización.

808 TURBOMAQUINARIA

dida que aumenta el tamaño. Por último, mientras que las bombas operan por lo general en una amplia variedad de flujos, la mayoría de las turbinas utilizadas para generar electricidad funcionan dentro de un rango de condiciones de operación más estrecho y a una velocidad constante controlada; por tanto, pueden diseñarse para que operen de manera muy eficiente en esas condiciones. En Estados Unidos, el suministro eléctrico estándar de CA es de 60 Hz (3 600 ciclos por minuto); así, la mayoría de las turbinas de viento, agua y vapor operan a velocidades que son fracciones naturales de esto, a saber, 7 200 rpm divididas entre el número de polos en el generador, por lo general un número par. Las hidroturbinas grandes operan usualmente a velocidades bajas como 7 200/60  120 rpm o 7 200/48  150 rpm. Las turbinas de gas que se emplean para la generación de potencia funcionan a velocidades mucho más grandes, ¡algunas hasta 7 200/2  3 600 rpm! Igual que las bombas, las turbinas se clasifican en dos amplias categorías, de desplazamiento positivo y dinámicas. En su mayoría, las turbinas de desplazamiento positivo son dispositivos pequeños que se emplean para medir el gasto volumétrico, mientras que las turbinas dinámicas van desde las diminutas hasta las enormes y se usan para medir el flujo y la producción de potencia. A continuación de detallan ambas categorías. a)

Turbinas de desplazamiento positivo

b)

FIGURA 14-80 El flujómetro de líquido de disco nutante es un tipo de turbina de desplazamiento positivo que se emplea para medir caudal: a) vista de corte y b) diagrama que muestra el movimiento de un disco nutante. Este tipo de flujómetro se emplea de manera común como medidor de agua doméstico. Foto cortesía de Niagara Meters, Spartanburg, SC.

Una turbina de desplazamiento positivo podría considerarse como una bomba de desplazamiento positivo que funciona de la manera opuesta: cuando el fluido entra a un volumen cerrado, hace girar una flecha o desplaza una varilla reciprocante. El volumen de fluido encerrado es desplazado hacia fuera cuando entra más fluido al dispositivo. El fluido experimenta una pérdida de carga neta al pasar por la turbina de desplazamiento positivo; en otras palabras, se extrae energía del fluido móvil y se convierte en energía mecánica. Sin embargo, las turbinas de desplazamiento positivo en general no se usan para producir potencia, sino para medir flujo volumétrico o volumen de fluido. El ejemplo más común es el medidor de agua doméstico (Fig. 14-80). En muchos medidores de agua comerciales se emplea un disco nutante que se bambolea y gira cuando pasa agua por el medidor. Tiene una esfera en su centro con uniones apropiadas que transforma el movimiento de giro excéntrico del disco nutante en rotación de un eje. El volumen de fluido que pasa a través del dispositivo cuando el eje gira 360°, se conoce con precisión; por tanto, el dispositivo registra el volumen total de agua. Cuando el agua fluye a velocidad moderada desde un grifo en la casa, puede oírse a veces un sonido burbujeante que proviene del medidor de agua, éste es el sonido del disco nutante que se bambolea dentro del medidor. Existen, por supuesto, otros diseños de turbina de desplazamiento positivo, del mismo modo que existen varios diseños de bombas de desplazamiento positivo.

Turbinas dinámicas Las turbinas dinámicas se usan como dispositivos para medir flujo y también como generadores de potencias. Por ejemplo, los meteorólogos emplean un anemómetro de tres copas para medir la velocidad del viento (Fig. 14-81a). Los investigadores de mecánica de fluidos experimental utilizan pequeñas turbinas de varias formas (la mayoría de ellas semejan pequeñas hélices) para medir la velocidad del aire o la velocidad del agua (capítulo 8). En estas aplicaciones, la salida de potencia de la flecha y la eficiencia de la turbina son de poco interés. Más bien, estos instrumentos están diseñados de modo que su velocidad rotacional puede calibrarse con exactitud para la velocidad del fluido. Entonces, cuando se

809 CAPÍTULO 14

FIGURA 14-81 Ejemplos de turbinas dinámicas: a) un típico anemómetro de tres copas empleado para medir la velocidad del viento y b) un aeroplano de investigación Piper PA28, con turbinas diseñadas para extraer energía de los vórtices de las puntas de alas.

a)

b)

a) Image copyright Campbell Scientific, Inc., Logan, UT, USA. Todos los derechos reservados. Reproducido con autorización. b) NASA Langley Research Center.

cuenta de manera electrónica el número de rotaciones por segundo de los álabes, el dispositivo calcula y muestra la velocidad del fluido. Una aplicación novedosa de una turbina dinámica se muestra en la figura 1481b). Los investigadores de la NASA montaron turbinas en las puntas de las alas de un aeroplano de investigación Piper PA28, para extraer energía de los vórtices de las puntas de las alas (capítulo 11); la energía extraída se convirtió en electricidad que se utiliza para satisfacer la demanda de energía a bordo. En este capítulo se enfatiza en las turbinas dinámicas grandes que se diseñan para producir electricidad. La mayor parte de la explicación que aquí se da se relaciona con hidroturbinas que utilizan el gran cambio de elevación en una presa para generar electricidad. Existen dos tipos básicos de turbina dinámica, de impulso y de reacción, cada uno de los cuales se analiza con cierto detalle. Cuando se comparan las dos turbinas dinámicas que producen potencia, las turbinas de impulso demandan una carga hidrostática mayor, pero pueden operar con cantidades de volumen más pequeñas. Las turbinas de reacción pueden operar con una carga hidrostática mucho menor, pero necesitan mayor cantidad de flujo.

Turbinas de impulsión o acción En una turbina de impulsión, el fluido se envía por una tobera aceleradora de modo que la mayor parte de su energía mecánica se convierte en energía cinética. El chorro a alta velocidad choca con los álabes en forma de cubeta llamados cucharas o cucharones o cangilones o paletas que transfieren la energía a la flecha de la turbina, como se ilustra en la figura 14-82. Lester A. Pelton (18291908) inventó en 1878 la turbina de impulsión moderna y más eficiente, y la rueda giratoria ahora se llama rueda de Pelton en su honor. Los cangilones de una rueda de Pelton están diseñados para que dividan el flujo a la mitad y cambien la dirección del flujo casi 180° (respecto a un marco de referencia que se mueve con el aspa), según se ilustra en la figura 14-82b). Según la leyenda, Pelton modeló la arista del divisor según las fosas de la nariz de una vaca. Una porción de la parte extrema de cada cangilón se corta para que la mayor parte del chorro pueda atravesar el cangilón que no está alineado con el chorro (cangilón n  1 en la figura 14-82a) para alcanzar el cangilón más alineado (cangilón n en la figura 14-82a). De esta manera, se utiliza la cantidad máxima de cantidad de movimiento del chorro. Estos detalles se observan en una fotografía de una rueda Pelton (Fig. 14-83). En la figura 14-84 se muestra una rueda Pelton en operación; se observa con claridad la división y el cambio de dirección del chorro de agua. Se analiza la salida de potencia de una turbina de Pelton mediante la ecuación de Euler para la turbomáquina. La salida de potencia de la flecha es igual a vTflecha, donde Tflecha se expresa por medio de la ecuación 14-14:

FIGURA 14-82 Esquema de una turbina de impulsión tipo Pelton; la flecha de la turbina gira cuando el fluido de alta velocidad de uno o más chorros incide en los cangilones montados en el eje de la turbina. a) Vista lateral, marco de referencia absoluto, y b) vista desde el fondo de una sección transversal del cangilón n, marco de referencia rotatorio.

810 TURBOMAQUINARIA

FIGURA 14-83 Vista de cerca de una turbina Pelton que muestra el diseño detallado de los cangilones; el generador eléctrico está a la derecha. Esta rueda Pelton se encuentra en el museo de la estación de energía de Waddamana, cerca de Bothwell, Tasmania. Cortesía de Hydro Tasmania, www.hydro.com.au Reproducida con autorización.

FIGURA 14-84 Vista desde el fondo de una rueda Pelton en operación que ilustra la separación y desviación del chorro de agua en el cangilón. El chorro de agua entra desde la izquierda, y la rueda Pelton gira a la derecha. Cortesía de VA TECH HYDRO. Reproducida con autorización.

Ecuación de Euler para una turbina: # # W flecha  vTflecha  rvV (r2V2, t  r1V1, t)

(14-39)

Debe tenerse cuidado con los signos negativos, debido a que éste es un dispositivo que produce energía y no uno que absorbe energía. Para las turbinas, es conveniente definir el punto 2 como la entrada y el punto 1 como la salida. El centro del cangilón se mueve a velocidad tangencial rv, como se ilustra en la figura 14-82. Se simplifica el análisis si se supone que como hay una abertura en la parte extrema de cada cangilón, el chorro completo choca con el cangilón que está en el fondo de la rueda en el instante en consideración (cangilón n en la Fig. 14-82a). Además, ya que el tamaño del cangilón y el diámetro del chorro de agua son pequeños en comparación con el radio de la rueda, se aproximan r1

811 CAPÍTULO 14

y r2 como iguales a r. Por último, se supone que el agua se desvía un ángulo b sin perder velocidad; en el marco de referencia relativo que se mueve con el cangilón, la velocidad de salida relativa es Vj  rv (la misma que la velocidad relativa de entrada) como se ilustra en la figura 14-82b). Volviendo al marco de referencia absoluto, que es necesario para la aplicación de la ecuación 14-39, la componente tangencial de la velocidad en la entrada V2,t, es simplemente la velocidad del chorro, Vj. Se construye un diagrama de velocidad en la figura 14-85 como ayuda para calcular la componente tangencial de la velocidad absoluta a la salida, V1,t. Después de aplicar un poco de trigonometría puede comprobarse después de notar que sen (b  90°)  cos b: V1, t  rv  (Vj  rv) cos b

Cuando se sustituye esta ecuación, la ecuación 14-39 produce: # # W flecha  rrvV {Vj  [rv  (Vj  rv)cos b]}

que se simplifica: Potencia de flecha producida:

# # W flecha  rrvV (Vj  rv)(1  cos b)

FIGURA 14-85 Diagrama de velocidad del flujo que entra y sale de un cangilón de turbina Pelton. Se traslada la velocidad del flujo de descarga del marco de referencia móvil al marco de referencia absoluto cuando se añade la velocidad del cangilón (rv) a la derecha.

(14-40)

Es obvio que la potencia máxima se logra en teoría si b  180°. Sin embargo, si ése fuera el caso, el agua que sale de un cangilón golpearía la parte posterior del cangilón vecino que viene detrás, así que se reduciría el par de torsión y la potencia generados. Resulta que en la práctica, la potencia máxima se logra cuando se reduce b a alrededor de 160° a 165°. El factor de eficiencia debido a b menor de 180° es: Factor de eficiencia debido a b:

# W flecha, real 1  cos b hb  #  1  cos (180 ) W flecha, real

(14-41)

Cuando b  160°, por ejemplo, hb  0.97, que corresponde a una pérdida de cerca de 3 por ciento. . Por último, se ve de la ecuación 14-40 que la salida. de potencia de flecha Wflecha es cero si rv  0 (la rueda no gira en absoluto). Wflecha es también cero si rv  Vj (el cangilón se mueve a la velocidad del chorro). En alguna parte entre estos dos extremos se ubica la velocidad óptima de la rueda. Si se iguala a cero la derivada de la ecuación 14-40 respecto a rv, se encuentra que esto ocurre cuando rv  Vj /2 (el cangilón se mueve a la mitad de la velocidad del chorro, como se ilustra en la figura 14-86). Para una turbina de Pelton real, existen otras pérdidas además de la que experimenta ecuación 14-41: la fricción mecánica, el arrastre de los cangilones, la fricción a lo largo de las superficies internas de los cangilones, el desalineo del chorro y el cangilón cuando gira, la salpicadura hacia atrás y las pérdidas en la tobera aceleradora. Aun así, la eficiencia de una turbina de Pelton diseñada adecuadamente se aproxima a 90 por ciento. En otras palabras, hasta 90 por ciento de la energía mecánica disponible del agua se transforma en energía rotatoria de flecha.

Turbinas de reacción El otro tipo principal de hidroturbina para producir energía es la turbina de reacción, que consta de aspas guía fijas llamadas aspas directrices fijas o aspas del distribuidor fijas; aspas guía ajustables denominadas también aspas del distribuidor ajustables o aspas (o álabes) guía (o directrices) ajustables (u orientables) o compuertas distribuidoras; y unas aspas giratorias conocidas como aspas del rodete o rotor (Fig. 14-87). El flujo entra tangencialmen-

FIGURA 14-86 La potencia máxima teórica que se logra con una turbina Pelton ocurre cuando la rueda gira a v = Vj /(2r), es decir, cuando el cangilón se mueve a la mitad de la velocidad del chorro de agua.

812 TURBOMAQUINARIA

FIGURA 14-87 Una turbina de reacción difiere considerablemente de una turbina de impulsión; en vez de usar chorros de agua, se llena una voluta con agua arremolinada que impulsa al rotor. Para aplicaciones de hidroturbinas, el eje es por lo común vertical. Se muestran las vistas superior y lateral, incluidas las aspas guía fijas y las aspas guía ajustables.

te a presión alta, es desviado hacia el rotor mediante las aspas del distribuidor fijas a medida que se desplaza a lo largo de la carcasa en espiral o voluta, y luego pasa por las aspas del distribuidor ajustables con una componente de velocidad tangencial grande. La cantidad de movimiento se intercambia entre el fluido y el rotor a medida que gira este último, y hay una gran caída de presión. A diferencia de la turbina de impulsión, el agua llena por completo la carcasa de una turbina de reacción. Por esta razón, una turbina de reacción produce, por lo general, más potencia que una turbina de impulsión de los mismos diámetro, carga hidrostática neta y flujo volumétrico. La variación del ángulo de las aspas del distribuidor ajustables sirve para controlar el gasto volumétrico en el rotor (en la mayoría de los diseños las aspas del distribuidor ajustables pueden aproximarse entre sí, de modo que se reduce el flujo de agua hacia el rotor). En condiciones de diseño, el flujo que sale de las aspas del distribuidor ajustables choca paralelo al borde del aspa del rotor (desde un marco de referencia giratorio) para evitar pérdidas por impacto. Note que en un diseño adecuado, el número de aspas del distribuidor ajustables no comparte un denominador común con el número de aspas del rotor. De lo contrario, habría vibración intensa causada por el impacto simultáneo de dos o más estelas de las aspas del distribuidor ajustables en los bordes delanteros de las aspas del rotor. Por ejemplo, en la figura 14-87 hay 17 aspas móviles y 20 directrices. Éstos son números representativos para muchas hidroturbinas de reacción grandes, como se ilustra en las fotografías de las figuras 14-89 a 14-90. El número de aspas del distribuidor fijas y aspas del distribuidor ajustables es por lo general el mismo (hay 20 aspas del distribuidor fijas en la figura 14-87). Esto no es un problema, ya que ninguna de ellas gira, y no interesa la interacción de estela no estacionaria. Existen dos tipos principales de turbinas de reacción, Francis y Kaplan. La turbina Francis es algo similar en configuración geométrica a una bomba centrífuga o de flujo mixto, pero con el flujo en dirección contraria. Sin embargo, note que una bomba típica que opera a la inversa no sería una turbina muy efectiva. La turbina Francis se nombra en honor a James B. Francis (1815-1892), quien la diseñó en la década de 1840. En contraste, la turbina Kaplan se parece a un ventilador de flujo axial que funciona en sentido contrario. Si alguna vez ha visto a un ventilador de ventana comenzar a girar en la dirección equivocada cuando el viento sopla fuerte hacia la ventana, puede imaginar el principio de operación básico de una turbina Kaplan. La turbina Kaplan se nombra en honor de su inventor, Viktor Kaplan (1876-1934). En realidad existen varias subcategorías de las turbinas Francis y Kaplan, y la terminología que se emplea en el campo de las hidroturbinas no siempre es estándar. Recuerde que las bombas dinámicas se clasifican según el ángulo al que el flujo sale del álabe del rotor: centrífuga (radial), de flujo mixto, o axial (figura 14-31). De manera similar, pero inversa, se clasifican las turbinas de reacción de acuerdo con el ángulo al que entra el flujo al rotor (Fig. 14-88). Si el flujo entra de manera radial al rotor como en la figura 14-88a), la turbina se llama turbina Francis de flujo radial (vea también la figura 14-87). Si el flujo entra al rotor a cierto ángulo entre radial y axial (Fig. 14-88b), la turbina se llama turbina Francis de flujo mixto. Este último es más común. Algunos ingenieros de hidroturbinas usan el término “turbina Francis” sólo cuando hay una banda en el rotor como en la figura 14-88b). Las turbinas Francis son más adecuadas para cargas hidrostáticas que están entre las cargas hidrostáticas altas de las turbinas Pelton y las cargas hidrostáticas bajas de turbinas Kaplan. Una turbina Francis grande típica podría tener 16 o más aspas de rotor y puede lograr una eficiencia de turbina de 90 a 95 por ciento. Si el rotor no tiene banda y el flujo entra al rotor parcialmente girado, se llama turbina de hélice de flujo mixto o sólo turbina de flujo mixto (Fig. 14-88c). Por último, si el flujo es desviado axialmente antes de entrar al rotor (Fig. 14-88d), la turbina se denomina turbina de flujo

813 CAPÍTULO 14

FIGURA 14-88 Las características distintivas de las cuatro subcategorías de turbinas de reacción: a) flujo radial de turbina Francis, b) Flujo mixto (radioaxial) de turbina Francis, c) flujo mixto de turbina de hélice, d) flujo axial de turbina de hélice. La diferencia principal entre b) y c) es que los rotores de flujo mixto de turbina Francis tienen una banda que gira con el rotor, no así los rotores de flujo mixto de turbina de hélice. Existen dos tipos de turbinas de hélice de flujo mixto: las turbinas Kaplan tienen el mecanismo que permite ajustar el ángulo de inclinación de las aspas del rotor, pero las aspas del rotor de las turbinas de hélice son fijas. Note que la terminología que se emplea aquí no es universal entre los libros de texto de turbomaquinaria ni entre los fabricantes de hidroturbinas.

axial. Los rotores de una turbina de flujo axial por lo general tienen sólo de tres a ocho aspas, menos que las turbinas Francis. De éstas existen dos tipos: turbinas Kaplan y turbinas de hélice. Se dice que las turbinas Kaplan son de doble regulación porque el flujo se controla de dos maneras, al girar las aspas de distribuidor ajustables y al cambiar el ángulo de inclinación de las aspas pivotadas del rotor. Las turbinas de hélice son casi idénticas a las turbinas Kaplan, excepto que las aspas del rotor están fijas (el ángulo de inclinación no es ajustable), y el caudal se regula sólo por medio de las aspas de distribuidor ajustables (regulación simple). En comparación con las turbinas Pelton y Francis, las turbinas Kaplan y las de hélice son más adecuadas para carga hidrostática baja y gasto volumétrico alto. Sus eficiencias compiten con las de las turbinas Francis y pueden ser tan altas como 94 por ciento. La figura 14-89 es una fotografía del rotor de flujo radial de una turbina Francis de flujo radial. Se muestra a los trabajadores para dar una idea del tamaño de los rotores en una central hidroeléctrica. La figura 14-90 es una fotografía del rotor de flujo mixto de una turbina Francis, y la figura 14-91 es una fotografía del rotor de flujo axial de una turbina Kaplan. La vista es desde la entrada (parte superior). En la figura 14-92 se muestra una presa hidroeléctrica representativa que utiliza turbinas de reacción Francis para generar electricidad. La caída total o global Htotal se define como la diferencia de elevación entre la superficie del depósito corriente arriba de la presa y la superficie del agua que sale de la presa, Htotal  zA – zE. Si no hubiera pérdidas irreversibles en cualquier parte del sistema, la cantidad máxima de potencia que podría generarse con la turbina sería: Producción de potencia ideal:

# W ideal

# rgV Htotal

(14-42)

Por supuesto, hay pérdidas irreversibles en todo el sistema, de modo que la potencia producida en realidad es menor que la potencia ideal que se expresa en la ecuación 14-42.

814 TURBOMAQUINARIA

FIGURA 14-89 Rotor de una turbina Francis de flujo radial utilizado en la estación hidroeléctrica de Round Butte, en Madras, OR. Hay 17 aspas de rotor de diámetro externo 11.8 ft (3.60 m). La turbina gira a 180 rpm y produce 119 MW de potencia a un caudal de 127 m3/s a partir de una carga hidrostática neta de 105 m. Foto cortesía de American Hydro Corporation, York, PA. Reproducida con autorización.

FIGURA 14-90 Rotor de una turbina Francis de flujo mixto empleada en la estación hidroeléctrica de Smith Mountain, en Roanoke, VA. Hay 17 aspas de rotor de diámetro externo 20.3 ft (6.19 m). La turbina gira a 100 rpm y produce 194 MW de potencia a un caudal de 375 m3/s a partir de una carga hidrostática neta de 54.9 m. Foto cortesía de American Hydro Corporation, York, PA. Reproducida con autorización.

815 CAPÍTULO 14

FIGURA 14-91 Hélice de cinco aspas de una turbina Kaplan que se emplea en la estación hidroeléctrica de Warwick, en Cordele, GA. Hay cinco aspas de rotor de diámetro externo 12.7 ft (3.87 m). La turbina gira a 100 rpm y produce 5.37 MW de potencia a un caudal de 63.7 m3/s a partir de una carga hidrostática neta de 9.75 m. Foto cortesía de American Hydro Corporation, York, PA. Reproducida con autorización.

FIGURA 14-92 Configuración característica y terminología para una planta hidroeléctrica que utiliza una turbina Francis para generar electricidad; el esquema no está a escala. Los tubos de Pitot se muestran sólo para propósitos ilustrativos.

816 TURBOMAQUINARIA

Se sigue el flujo de agua por todo el sistema de la figura 14-92, y se definen términos y analizan pérdidas a lo largo del trayecto. Se empieza en el punto A corriente arriba de la presa, donde el agua está sin movimiento, a presión atmos. férica y en su elevación más alta zA. El agua fluye a un gasto volumétrico V por un gran tubo llamado canal de toma que pasa por la presa. El flujo al canal de toma puede detenerse cuando se cierra una gran compuerta llamada compuerta de aguas arriba en la entrada del canal de toma. Si se insertara un tubo Pitot en el punto B, en el extremo del canal de toma justo antes de la turbina, como se ilustra en la figura 14-92, el agua en el tubo subiría hasta una altura de columna igual a la altura total o altura de la línea de energía en la entrada de la turbina LEentrada (EGL, por sus siglas en inglés). Esta altura de columna es menor que el nivel del agua en el punto A, debido a pérdidas irreversibles en el canal de toma y su entrada. El flujo pasa entonces por la turbina, que se conecta mediante una flecha al generador eléctrico. Note que el generador eléctrico por sí mismo tiene pérdidas irreversibles. Desde una perspectiva de la mecánica de fluidos, sin embargo, interesan sólo las pérdidas en la turbina y corriente abajo de la turbina. Después de pasar por el rotor, el fluido que sale (punto C) aún tiene energía cinética considerable y quizá movimiento giratorio. Para recuperar algo de esta energía cinética (que de otro modo se desperdiciaría), el flujo entra a un difusor de área extensible llamado tubo de aspiración, que vuelve horizontal al flujo y lo desacelera, al mismo tiempo que incrementa la presión antes de descargar en el agua corriente abajo, en el denominado canal de descarga. Si se insertara otro tubo de Pitot en el punto D (la salida del tubo de aspiración), el agua en el tubo subiría hasta una altura de columna igual a la altura de la línea de energía indicada como LEsalida en la figura 14-92 (EGL, por sus siglas en inglés). Puesto que el tubo de aspiración se considera parte integral de la turbina, la carga hidráulica neta en la turbina se especifica como la diferencia entre LEentrada y LEsalida, carga hidrostática neta para una turbina hidráulica: H  LEentrada  LEsalida

(14-43)

Expresada en palabras: La carga hidrostática neta de una turbina se define como la diferencia entre la altura de la línea de energía justo corriente arriba de la turbina y la altura de la línea de energía en la salida del tubo de aspiración.

En la salida del tubo de aspiración (punto D) la velocidad de flujo es considerablemente menor que en el punto C corriente arriba del tubo de aspiración; sin embargo, es finita. Toda la energía cinética que sale del tubo de aspiración se disipa en el canal de descarga. Esto representa una pérdida de carga hidrostática irreversible y la razón de que la LEsalida, sea mayor que la elevación de la superficie del canal de descarga, zE. Sin embargo, en un tubo de aspiración diseñado adecuadamente ocurre una recuperación de presión importante. El tubo de aspiración hace que la presión en la salida del rotor (punto C) disminuya por abajo de la presión atmosférica. Esto permite que la turbina utilice la carga hidrostática disponible de manera más eficiente. En otras palabras, el tubo de aspiración causa que la presión en la salida del rotor sea menor que la que se tendría sin el tubo de aspiración, así que se incrementa el cambio de presión desde la entrada hasta la salida de la turbina. No obstante, los diseñadores deben ser cuidadosos porque las presiones por abajo de la presión atmosférica podrían originar cavitación, la cual es indeseable por muchas razones, como se explicó antes. Si se tuviera interés en la eficiencia neta de toda la central hidroeléctrica, se definiría esta eficiencia como la desazón entre la potencia eléctrica real a la potencia ideal (Ec. 14-42), con base en la caída total. En este capítulo se da mayor

817 CAPÍTULO 14

importancia a la eficiencia de la turbina. Por costumbre, la eficiencia de la turbina se basa en la carga hidrostática neta H y no en la caída total Htotal. En particular, hturbina se define como la razón entre la salida de potencia al freno (potencia de flecha de la turbina real) y la potencia útil (potencia extraída del agua que fluye por la turbina): # W flecha

bhp h turbina  #  # W potencia útil rgHV

Eficiencia de la turbina:

(14-44)

Note que la eficiencia de la turbina hturbina es el recíproco de la eficiencia de la bomba hbomba, puesto que bhp es la salida real en lugar de la entrada requerida (Fig. 14-93). Observe también que se está considerando sólo una turbina a la vez en esta explicación. La mayoría de las centrales hidroeléctricas tiene varias turbinas dispuestas en paralelo. Esto ofrece a la compañía de luz la oportunidad de apagar algunas de las turbinas durante las horas de poca demanda de energía y para dar mantenimiento. La presa Hoover, en Boulder City, Nevada, por ejemplo, tiene 17 turbinas en paralelo, 15 de las cuales son turbinas Francis grandes idénticas, que pueden producir casi 130 MW de electricidad cada una (Fig. 14-94). La caída total máxima es de 590 ft (180 m). La producción de potencia máxima total de la central sobrepasa 2 GW (2 000 MW). Se realizan diseños y análisis preliminares de turbinas de la misma manera que se hizo antes para bombas, mediante la ecuación de Euler para turbomáquina y diagramas de velocidad. De hecho, se mantiene la misma notación, a saber, r1 para el radio interno y r2 para el radio externo de las aspas rotatorias. Sin embargo, para una turbina la dirección de flujo es opuesta a la de la bomba, de modo que la entrada está en el radio r2 y la salida está en el radio r1. Para un análisis de primera aproximación se supone que las aspas son infinitamente delgadas. Se supone también que las aspas están alineadas de manera que el flujo es siempre tangente a la superficie del aspa, y se ignoran los efectos viscosos (capas lí-

a)

b)

FIGURA 14-94 a) Vista aérea de la presa Hoover y b) la porción superior (visible) de varios generadores eléctricos en paralelo impulsados por turbinas hidráulicas en la presa Hoover. a) United States Department of the Interior. Bureau of Reclamation-Lower Colorado Region; b) Foto de Jim Steinhart, PlanetWare.

La eficiencia se define siempre como h = eficiencia =

salida real entrada necesaria

Así, para una bomba, hbomba =

⋅ ⋅ Wpotencia útil rgHV = ⋅ bhp Wflecha

y para una turbina ⋅ Wflecha bhp hturbina = ⋅ = ⋅ Wpotencia útil rgHV

FIGURA 14-93 Por definición, la eficiencia debe ser menor que unidad. La eficiencia de turbina es inversa de la eficiencia de bomba.

818 TURBOMAQUINARIA

b2

V2,t vr2

→

V2, relativa V2,n r1 →

V2

v

r2

FIGURA 14-95 Vectores de velocidad relativa y absoluta y configuración geométrica para el radio externo del rotor de una turbina Francis. Los vectores de velocidad absoluta están en negritas.

→

b1

V2, relativa vr1 →

r1

→

V2

r2

V1

→

V1, relativa

v

FIGURA 14-96 Vectores de velocidad relativa y absoluta y configuración geométrica para el radio interno de un rotor de una turbina Francis. Los vectores de velocidad absoluta están en negritas.

mite) en las superficies. Las mejores aproximaciones se obtienen al usar los paquetes de dinámica de fluidos computacional. Considere, por ejemplo, la vista superior de la turbina Francis de la figura 1487. Los vectores de velocidad se trazan en la figura 14-95 para el marco de referencia absoluto y el marco de referencia relativo que gira con el rotor. Comienza con el aspa guía fija (línea negra gruesa en la figura 14-95), el flujo, y se desvía de modo que choca con el aspa del rotor (línea gris gruesa) a velocidad absoluta → V 2. Pero el aspa del rotor gira en contrasentido a las manecillas del reloj, y en el radio r2 se desplaza tangencialmente al extremo inferior izquierdo a velocidad . Para trasladar al marco de referencia rotatorio, se forma el vector suma de vr → 2 V 2 y→ el negativo de vr2, como se ilustra en el bosquejo. La resultante es el vector V 2,relativa, que es paralelo al borde delantero del aspa del rotor (ángulo b2 desde la recta tangente →al círculo r2). La componente tangencial V2,t, del vector de velocidad absoluta V 2 se necesita para la ecuación de Euler de turbomáquina (Ec. 14-39). Después de aplicar algunas operaciones trigonométricas: Borde principal del rotor:

V2, t  vr2 

V2, n tan b 2

(14-45)

Cuando se sigue el flujo a lo largo del aspa del rotor en el marco de referencia relativo (rotatorio), se ve que el flujo se desvía de modo que sale paralelo al borde posterior del aspa del rotor (ángulo b1 desde la línea tangente al círculo r1). Por último, para trasladar de nuevo al marco de referencia absoluto se suma vec→ torialmente V 1,relativa y la velocidad del aspa vr1, que actúa a la→izquierda como se ilustra en la figura 14-96. La resultante es el vector absoluto V 1. Puesto que la masa debe conservarse, las componentes normales de los vectores de velocidad absoluta V1,n y V2,n se relacionan por medio de la ecuación 14-12, donde los anchos de las aspas b1 y b2 se definen en la figura 14-87. Después de aplicar algo de trigonometría (que resulta ser idéntica a la del borde delantero), se genera una expresión para la componente tangencial V1,t del vector de velocidad abso→ luta V 1 para uso en la ecuación de Euler de turbomáquina: Borde posterior del rotor:

V1, t  vr1 

V1, n tan b 1

(14-46)

Los lectores atentos notarán que la ecuación 14-46 para una turbina es idéntica a la ecuación 14-23 para una bomba. Esto no es fortuito, pero resulta del hecho de que los vectores de velocidad, ángulos, etc., se definen de la misma manera para una turbina que para una bomba excepto que todo fluye en sentido contrario. Se puede ver de la ecuación de Euler de turbomáquina que la potencia máxima se obtiene cuando V1,t  0, es decir, cuando la aspa del rotor desvía el flujo tanto que la dirección del movimiento giratorio a la salida del rotor es contraria a la rotación del rotor. Esta situación se llama movimiento giratorio invertido (Fig. 14-97). En la práctica, los rotores de aspa fija en la mayoría de las hidroturbinas Francis se diseñan de manera que suministren una pequeña cantidad del movimiento giratorio invertido al flujo que sale del rotor. Sin embargo, no se desea un gran movimiento giratorio invertido. Resulta que la eficiencia de la turbina disminuye con rapidez a medida que aumenta la cantidad del movimiento giratorio invertido porque a mayor movimiento giratorio, mayor es la energía cinética del agua a la salida de la turbina, gran parte de la cual termina siendo desperdiciada (los tubos de aspiración no son 100 por ciento eficientes). Además, si el movimiento giratorio invertido puede incrementar la potencia de salida, el giro extra necesita una carga hidrostática neta mayor para un determinado gasto volumétrico. Resulta obvio que se necesita mucho ajuste para diseñar la hidroturbina más eficiente dentro de las restricciones de diseño impuestas. Debe recordarse también que el flujo es tridimensional; hay una componente axial de la velocidad cuando el flujo cambia de dirección hacia abajo en el tubo de aspi-

819 CAPÍTULO 14

ración. No toma mucho tiempo entender que las herramientas de simulación por computadora son de valiosa ayuda para los diseñadores de turbinas. De hecho, con la ayuda de paquetes modernos de dinámica de fluidos computacional (DFC), la eficiencia de las turbinas se ha incrementado hasta el punto en que las mejoras de turbinas antiguas en plantas hidroeléctricas son aconsejables desde el punto de vista económico. Un ejemplo de resultado de DFC se muestra en la figura 14-98 para una turbina Francis de flujo mixto.

v

Remolino inverso

EJEMPLO 14-12

Efecto de las eficiencias de los componentes en la eficiencia de la planta

Se está diseñando una planta hidroeléctrica. La carga hidrostática bruta desde el reservorio hasta el canal de descarga es 1 065 ft, y el caudal volumétrico del agua a través de cada turbina es 203 000 gpm a 70°F. Hay 12 turbinas paralelas idénticas, cada una de las cuales tiene una eficiencia de 95.2 por ciento, y todas las demás pérdidas mecánicas (en el canal de carga, etc.) se estima que reducen la salida en 3.5 por ciento. El generador mismo tiene una eficiencia de 94.5 por ciento. Estime la producción de potencia eléctrica de la planta en MW.

FIGURA 14-97 En algunas turbinas Francis de flujo mixto, las condiciones de alta potencia y alto caudal volumétrico provocan a veces un remolino inverso, en el que el flujo que sale del rodete forma remolino en la dirección opuesta a la del rodete, como se muestra en el esquema.

SOLUCIÓN Se debe estimar la producción de potencia de una planta hidroeléctrica. Propiedades La densidad del agua a T = 70°F es 62.30 lbm/ft3.

FIGURA 14-98 Distribución de presión estática (gráfica de contorno en escala de grises) en las superficies de las aspas del rotor según se calcula mediante un paquete de DFC; la presión está en pascales. Se muestra un rotor de turbina Francis de flujo mixto que gira en contrasentido a las manecillas de reloj respecto al eje z. Sólo se modeló una corona de aspas, pero la imagen se reproduce 16 veces debido a la simetría. Las presiones mayores (regiones claras) se encuentran cerca de los bordes delanteros de las aspas del rotor del lado de superficie de presión, mientras que las presiones menores (regiones oscuras) ocurren en la superficie de succión de las aspas del rotor cerca del borde posterior. Foto cortesía de American Hydro Corporation, York, PA. Reproducida con autorización.

820 TURBOMAQUINARIA

V2, t a2

Análisis La potencia ideal que produce una hidroturbina es # # Wideal rgVHtotal

V2 n

→

V2

(62.30 lbm/ft3)(32.2 ft/s2)(203 000 gal/min)(1065 ft) V1, t

r2

→

a

a1

V1

V1, n

r1

lbf s2 ft3 1.356 W 1 min 1 MW b a0.1337 b a ba ba 6 b 32.2 lbm ft gal ft lbf/s 60 s 10 W

40.70 MW Pero las ineficiencias en la turbina, el generador y el resto del sistema reducen la producción real de potencia eléctrica. Para cada turbina,

v

# Welectrica Volumen de control

# Widealhturbinahgeneradorhotros

(40.70 MW)(0.952)(0.945)(1

0.035)

35.3 MW Finalmente, como hay 12 turbinas en paralelo, la potencia total producida es

FIGURA 14-99 Vista de arriba de las velocidades absolutas y ángulos de flujo en el rotor de una turbina Francis que se diseña para una presa hidroeléctrica (ejemplo 14-13). El volumen de control se extiende de la entrada a la salida del rotor.

# Wtotal electrica

→

V2 b2

b1 →

V1

r2

a1 r1

v

FIGURA 14-100 Bosquejo del diseño del aspa del rotor del ejemplo 14-13, vista de arriba. Se ilustran también un aspa guía fija y los vectores de velocidad absoluta.

12(35.3 MW)

424 MW

Comentario Una pequeña mejora en cualquiera de las eficiencias termina aumentando la producción de potencia y por tanto aumenta la rentabilidad de las empresas generadoras de potencia eléctrica.

EJEMPLO 14-13

a2

# 12Welectrica

Diseño de hidroturbina

Se rediseña una hidroturbina Francis de flujo radial para reemplazar una turbina antigua en una presa hidroeléctrica. La nueva turbina debe satisfacer las siguientes restricciones de diseño con el fin de acoplarse con la instalación existente: el radio de entrada del rotor es r2  8.20 ft (2.50 m) y su radio de salida es r1  5.80 ft (1.77 m). El ancho de las aspas del rotor son b2  3.00 ft (0.914 m) y b1  8.60 ft (2.62 m) en la entrada y la salida, respectivamente. El rotor debe . girar a n  120 rpm (v  12.57 rad/s) para impulsar el generador eléctrico de 60 Hz. Las aspas directrices ajustables desvían el flujo en un ángulo a2  33° desde la dirección radial en la entrada del rotor, y el flujo a la salida del rotor tendrá un ángulo a1 entre 10° y 10° desde la dirección radial (Fig. 14-99) para el flujo apropiado por el tubo de aspiración. El gasto volumétrico en condiciones de diseño es 9.50 106 gpm (599 m3/s), y la carga total que proporciona la presa es Htotal  303 ft (92.4 m). a) Calcule los ángulos de aspa del rotor de entrada y salida, b2 y b1, respectivamente, y prediga la salida de potencia y la carga hidrostática neta necesaria si se ignoran las pérdidas irreversibles para el caso de a1  10° desde la dirección radial (con el movimiento giratorio). b) Repita los cálculos para el caso de a1  0° desde la dirección radial (sin movimiento giratorio). c) Repita los cálculos para el caso de a1  10° desde la dirección radial (el movimiento giratorio invertido).

SOLUCIÓN Para determinado conjunto de criterios para el diseño de una hidroturbina se calcularán los ángulos de aspa del rotor, la carga hidrostática neta necesaria y la salida de potencia para tres casos, dos con el movimiento giratorio a la salida del rotor y uno sin tal. Suposiciones 1 El flujo es estacionario. 2 El fluido es agua a 20°C. 3 Las aspas son infinitesimalmente delgadas. 4. El flujo es tangente en todas partes a las aspas del rotor. 5 Se ignoran las pérdidas irreversibles en la turbina. Propiedades Para el agua a 20°C, r  998.0 kg/m3. Análisis a) De la ecuación 14-12 se despeja la componente normal de la velocidad a la entrada:

821 CAPÍTULO 14

# V 599 m3/s V2, n    41.7 m/s 2pr2b2 2p(2.50 m)(0.914 m)

(1)

Con la figura 14-99 como guía, la componente de la velocidad tangencial a la entrada es:

V2, t  V2, n tan a 2  (41.7 m/s) tan 33  27.1 m/s

(2)

Ahora, de la ecuación 14-45 se despeja el ángulo del borde delantero b2:

V2, n 41.7 m/s b 2  arctana b  arctana b  84.1 vr2  V2, t (12.57 rad/s)(2.50 m)  27.1 m/s

(3)

Las ecuaciones 1 a 3 se repiten para la salida del rotor, con los siguientes resultados:

Salida de rotor:

V1, n  20.6 m/s,

V1, t  3.63 m/s,

b 1  47.9

(4)

La vista superior de esta aspa del rotor se bosqueja (a escala) en la figura 14-100. Con las ecuaciones 2 y 4, se estima la potencia de salida de la flecha a partir de la ecuación de Euler para turbomáquina, ecuación 14-39:

# # Wflecha  rvV(r2V2, t  r1V1, t)  (998.0 kg/m 3)(12.57 rads/s)(599 m3/s) [(2.50 m)(27.2 m/s)  (1.77 m)(3.63 m/s)]a  461 MW  6.18 105 hp

MW  s b 10 6 kg  m2/s2 (5)

Por último, se calcula la carga hidrostática neta necesaria con la ecuación 1444, y se supone que hturbina  100 por ciento puesto que se ignoran las irreversibilidades,

H

10 6 kg  m2/s2 bhp 461 MW b 78.6 m (6) a # 3 2 3 MW  s rgV (998.0 kg/m )(9.81 m/s )(599 m /s)

b) Cuando se repiten los cálculos para el caso de ausencia del movimiento giratorio en la salida del rotor (a1  0°), el ángulo de borde posterior del aspa del rotor se reduce a 42.8°, y la potencia de salida se incrementa a 509 MW (6.83  105 hp). La carga hidrostática neta necesaria se incrementa a 86.8 m. c) Cuando se repiten los cálculos para el caso del movimiento giratorio invertido en la salida del rotor (a1  10°), el ángulo de borde posterior del aspa se reduce a 38.5°, y la potencia producida se incrementa a 557 MW (7.47 105 hp). La carga hidrostática neta necesaria se incrementa a 95.0 m. Una gráfica de potencia y carga hidrostática neta en función del ángulo de flujo a la salida del rotor a1 se muestra en la figura 14-101. Puede verse que tanto la potencia al freno como H se incrementan con la disminución de a1. Discusión La potencia de salida teórica se incrementa en alrededor de 10 por ciento cuando se elimina el movimiento giratorio a la salida del rotor y en casi otro 10 por ciento cuando hay 10° del movimiento giratorio invertido. Sin embargo, la carga total disponible desde la presa es sólo de 92.4 m. Así, el caso del movimiento giratorio invertido del inciso c) es imposible, ya que se necesita que la predicha carga hidrostática neta sea mayor que Htotal. Recuerde que éste es un diseño preliminar en el que se ignoran las irreversibilidades. La salida de potencia real será menor y la carga hidrostática neta necesaria real será mayor que los valores predichos aquí.

FIGURA 14-101 Carga hidrostática neta necesaria ideal y potencia al freno como funciones del ángulo de flujo saliente del rotor para la turbina del ejemplo 14-13.

822 TURBOMAQUINARIA

FIGURA 14-102 Los álabes de la turbina (llamadas cangilones) de una turbina típica de vapor de dos etapas que se usa en una planta de potencia eléctrica nuclear o de carbón. El flujo es de izquierda a derecha, y la etapa de alta presión está a la izquierda y la de baja presión en el lado a la derecha. Cortesía de Alstom. Se usa con permiso.

Turbinas de gas y de vapor La mayor parte de nuestras exposiciones hasta el momento se han referido a hidroturbinas. Ahora se estudiarán las turbinas diseñadas para usarse con gases, como los productos de combustión o el vapor. En una planta eléctrica de carbón o nuclear, se produce vapor de alta presión en una caldera y luego se envía a una turbina de vapor para producir electricidad. Debido al recalentamiento, la regeneración y otros esfuerzos para aumentar la eficiencia total, estas turbinas de vapor usualmente tienen dos etapas (alta presión y baja presión). La mayoría de las turbinas para plantas eléctricas son dispositivos de etapas múltiples de flujo axial como la que se muestra en la figura 14-102. No se muestran los álabes del estator (llamadas toberas) que dirigen el flujo entre cada conjunto de cangilones de álabes de la turbina (llamados cangilones). El análisis de turbinas de flujo axial es muy similar al de ventiladores de flujo axial, como se explicó en la sección 14-2, y no se repite aquí. En los motores de aviones jet se usan turbinas de flujo axial similares (Fig. 14-62) y los generadores de turbina de gas (Fig. 14-103). Un generador de turbina de gas a un motor jet, salvo que en vez de producir empuje, la turbomáquina está diseñada para transferir tanta energía del combustible como sea posible al eje giratorio, que está conectado a un generador eléctrico. Las turbinas de gas que se usan para la generación de potencia eléctrica son usualmente mucho mayores que los motores de jet, por supuesto, ya que trabajan en el suelo. Como con las hidroturbinas, se obtiene un aumento significativo de eficiencia al aumentar el tamaño total de la turbina.

Turbinas de viento* Al aumentar la demanda global de energía, disminuye la oferta de combustibles fósiles y sigue aumentando el precio de la energía. Para responder al aumento en la demanda de energía global, se deben aprovechar las fuentes renovables de energía tales como la energía solar, la eólica, la energía de oleaje, la de mareas,

* Mucho del material de esta sección está condensado de Manwell et al. (2002), y el autor agradece al Prof. J. F. Manwell, J. G. McGowan y A. L. Rogers por su ayuda al revisar esta sección.

823 CAPÍTULO 14

FIGURA 14-103 El conjunto de rotor de la turbina de gas MS7001F que se está haciendo descender dentro de la mitad inferior de la carcasa. El flujo es de derecha a izquierda, y el conjunto de álabes del rotor corriente arriba (que se llaman álabes) constituye el compresor de etapas múltiples, y el conjunto de álabes del rotor corriente abajo (llamadas cangilones) constituyen la turbina de etapas múltiples. Los álabes del estator del compresor (que se llaman paletas) y los álabes del estator de la turbina (que se llaman toberas) se pueden ver en la mitad inferior de la carcasa de la turbina de gas. Esta turbina de gas gira a 3600 rpm y produce más de 135 MW de potencia. Cortesía de GE Energy.

la hidroeléctrica y la geotérmica. Esta sección se concentra en las turbinas de viento que se usan para generar electricidad. Se observa la distinción entre los términos molino de viento, que se usa para la generación de potencia mecánica (para moler grano, para bombear agua, etc.) y turbina de viento, que se usa para la generación de potencia eléctrica, aunque técnicamente ambas máquinas son turbinas, ya que extraen las energías del fluido. Aunque el viento es “gratuito” y renovable, las turbinas de viento modernas son costosas y tienen una desventaja obvia en comparación con la mayor parte de los demás dispositivos de generación de potencia: producen potencia sólo cuando sopla el viento, por lo cual la producción de potencia de una turbina de viento es inherentemente carente de uniformidad. Además, es igualmente obvio el hecho de que las turbinas de viento se deben instalar donde sopla el viento, en sitios que muchas veces están alejados de las redes eléctricas tradicionales y exigen la construcción de nuevas líneas de potencia de alto voltaje. Sin embargo, se espera que las turbinas de viento desempeñen un papel siempre creciente en el suministro global de energía para un futuro previsible. Se han propuesto numerosos diseños innovadores de turbinas de viento, y se han probado a lo largo de los siglos, como se muestra en el esquema de la figura 14-104. Generalmente clasificamos las turbinas de viento por la orientación de su eje de rotación: turbinas de viento de eje horizontal (horizontal axis wind turbine, HAWT) y turbinas de eje vertical (vertical axis wind turbine, VAWT). Un modo alternativo de clasificarlas es por el mecanismo que proporciona momento de torsión al eje de rotación: de sustentación o de arrastre. Hasta el momento, ninguno de los diseños de VAWT ni de los diseños de arrastre han obtenido la eficiencia ni el éxito de las turbinas del tipo HAWT de sustentación. Por esta razón, la gran mayoría de turbinas de viento que se construyen en el mundo son de este tipo, a menudo colocados en grupos que se llaman cariñosamente granjas de viento (figura 14-105). Por esta razón, las del tipo HAWT de sustentación es el único tipo de turbinas de viento que se explica en detalle en esta sección. [Vea Manwell et al. (2002) para una explicación detallada sobre por qué los dispositivos del tipo de arrastre tienen inherentemente menor eficiencia que los dispositivos de sustentación.]

824 TURBOMAQUINARIA

825 CAPÍTULO 14

FIGURA 14-104 Diversos diseños de turbinas de viento y su categorización. Adaptado de Manwell et al. (2002).

826 TURBOMAQUINARIA a)

b)

FIGURA 10-105 a) En todo el mundo están surgiendo “granjas” eólicas como ésta de Altamont Pass en California, para ayudar a reducir la demanda global de combustibles fósiles. b) ¡Algunas turbinas de viento se están instalando incluso en edificios! [Estas tres turbinas están en un edificio del World Trade Center en Bahrain.] a) © The McGraw-Hill Companies, Inc./John Flournay, fotógrafo. b) © Adam Jam/Getty Images

Toda turbina de viento tiene una curva característica de desempeño de potencia. En la Fig. 14-106 se muestra el esquema de una curva típica, en la que se grafica la producción de potencia eléctrica como función de la velocidad de viento V a la altura del eje de la turbina. Hay tres ubicaciones clave en la escala de velocidad de viento: • Velocidad de conexión es la velocidad mínima del viento a la cual se puede generar potencia útil. • Velocidad nominal es la velocidad del viento que produce la potencia nominal, usualmente la máxima. FIGURA 14-106 Curva típica de desempeño de potencia de turbinas de viento, con definiciones de velocidades de conexión, nominal y de desconexión.

• Velocidad de desconexión es la velocidad máxima del viento a la cual está diseñada la turbina de viento para producir potencia. A velocidades de viento mayores que la de desconexión, los álabes de la turbina se hacen parar mediante algún tipo de mecanismo de freno, para evitar daños y por razones de seguridad. La sección corta de la línea discontinua indica la potencia que se produciría si no se implementara la desconexión.

827 CAPÍTULO 14

El diseño de los álabes de la turbina HAWT incluye conicidad y torsión para elevar al máximo el desempeño, y es similar al diseño de ventiladores de flujo axial (hélices) como se explicó en la sección 14-2, y no se repite aquí. El diseño de la torsión de los álabes de turbinas, por ejemplo, es casi idéntico al diseño de la torsión de aspas de hélice, como en el ejemplo 14-7, y el ángulo de torsión del álabe disminuye del eje a la punta, de una manera muy similar a la de una hélice. Aunque la mecánica de fluidos del diseño de turbinas de viento es crítica, la curva de desempeño de potencia también se ve afectada por el generador eléctrico, la caja de engranes y cuestiones estructurales. En todo componente aparecen, por supuesto, ineficiencias, como en todas las máquinas. Se define el área de disco A de una turbina de viento como el. área circular barrida por los álabes al girar. La potencia disponible de viento Wdisponible en el área de disco se calcula como la rapidez de cambio de la energía cinética del viento, # Wdisponible

d(12mV 2) dt

1 2dm 2V

dt

1 2 # 2V m

1 2 2 V rVA

1 3 2 rV A

(14-47)

Se observa de inmediato que la potencia de viento disponible es proporcional al área de disco: duplicando el diámetro de la turbina expone a la turbina de viento a una potencia de viento disponible cuatro veces mayor. Para comparación de varias turbinas de viento y ubicaciones, es más útil pensar en términos de la potencia de viento disponible por unidad de área, llamada densidad de potencia de viento, usualmente en unidades de W/m2, # Wdisponible A

Densidad de potencia de viento:

1 2

(14-48)

rV 3

Por tanto, • La densidad de potencia de viento es directamente proporcional a la densidad del aire; el aire frío tiene una mayor densidad de potencia de viento que el aire caliente, a la misma velocidad, aunque este efecto no es tan significativo como la velocidad del viento. • La densidad de potencia de viento es proporcional al cubo de la velocidad del viento: al duplicarse la velocidad de viento aumenta la densidad de potencia de viento por un factor de 8. ¡Debe ser obvio, entonces, por qué las granjas eólicas se ubican donde la velocidad del viento es alta! La ecuación 14-48 es una ecuación instantánea. Como todos sabemos, sin embargo, una velocidad de viento varía mucho durante el día y durante el año. Por esta razón, es útil definir la densidad promedio de potencia de viento en términos del promedio anual de velocidad de viento, V , basada en promedio horario como Densidad promedio de potencia de viento:

# Wdisponible A

1 2

rpromV 3Ke

(14-49)

donde Ke es un factor de corrección que se llama factor de patrón de energía. En principio, es análogo al factor de energía cinética a empleada en los análisis de volumen de control (Cap. 5). Ke se define como Ke

1 N 3 Vi NV 3 ia1

(14-50)

donde N = 8 760, que es el número de horas en un año. Como regla general empírica, una ubicación se considera mala para la construcción de turbinas de viento si la densidad promedio de potencia de viento es menor de alrededor de 100 W/m2; se considera buena si es de alrededor de 400 W/m2, y excelente si es mayor de alrededor de 700 W/m2. Hay otros factores que afectan la elección

828 TURBOMAQUINARIA

de sitio para turbinas de viento, tales como la intensidad de la turbulencia atmosférica, el terreno, los obstáculos (edificios, árboles, etc.), el impacto ambiental, etc. Ver Manwell et al. (2002) para más detalles. Para propósitos de análisis, una velocidad de viento dada V y la eficiencia aerodinámica de una turbina de viento se consideran como la fracción de la potencia de viento disponible que extraen los álabes de la turbina. Esta eficiencia comúnmente se llama coeficiente de potencia, Cp Cp

Coeficiente de potencia:

FIGURA 14-107 Los volúmenes de control grande y pequeño para el análisis de desempeño ideal de turbinas de viento confinado por un tubo de corriente axisimétrico divergente.

# Wsalida del eje del rotor # Wdisponible

# Wsalida del eje del rotor 1 2

(14-51)

rV3 A

Es relativamente sencillo calcular el coeficiente de potencia máximo posible para una turbina de viento, y esto lo hizo por primera vez Albert Betz (18851968) a mediados de la década de 1920. Se consideran dos volúmenes de control que rodean el área de disco —un volumen de control grande y un volumen de control pequeño— como se muestra en forma esquemática en la figura 14107, considerando la velocidad de viento corriente arriba V como V1. El tubo de corriente axisimétrico (confinado por las líneas de corriente como se dibuja en la parte superior e inferior de la Fig. 14-107) se puede imaginar que forma un “ducto” imaginario para el flujo de aire a través de la turbina. La ecuación de momento del volumen de control para el volumen de control grande para flujo uniforme es →

aF

# → a bm V

salida

#→ a bm V

entrada

y se analiza en la dirección de la corriente (x). Como las ubicaciones 1 y 2 están suficientemente lejos de la turbina, se consideran P1 = P2 = Patm, por lo cual no hay ninguna fuerza de presión neta sobre el volumen de control. Se aproximan las velocidades a la entrada (1) y a la salida (2) como uniformes a V1 y V2, respectivamente; y los factores de corrección de fluctuación de momento son por tanto b1  b2  1. La ecuación de momento se reduce a # # # FR  mV2  mV1  m(V2  V1)

(14-52)

El volumen de control más pequeño en la figura 14-107 envuelve la turbina; pero A3 = A4 = A, ya que el volumen de control es infinitesimalmente delgado en el límite (la turbina aproximadamente se considera como un disco). Como el aire se considera como incompresible, V3 = V4. Sin embargo, la turbina de viento extrae energía del aire, provocando una caída de presión. Por tanto, P3  P4. Cuando se aplica la componente en la dirección de la corriente de la ecuación de momento del volumen de control sobre el volumen de control pequeño, obtenemos FR  P3A  P4A  0

→

FR  (P4  P3)A

(14–53)

La ecuación de Bernoullli ciertamente no es aplicable en toda la turbina, ya que está extrayendo energía del aire. Sin embargo, es una aproximación razonable entre las ubicaciones 1 y 3 y entre las ubicaciones 4 y 2: n

P1 rg

FIGURA 14-108 Esquema cualitativo de los perfiles promedio de velocidad y presión en la dirección de la corriente a través de una turbina de viento.

V12 2g

z1

P3 rg

V32 2g

z3

y

P4 rg

V42 2g

z4

P2 rg

V22 2g

z2

En este análisis ideal, inicialmente la presión es la atmosférica a una gran distancia corriente arriba (P1 = Patm), se eleva gradualmente de P1 a P3, cae repentinamente de P3 a P2, terminando a la presión atmosférica (P2 = Patm) (figura 14108). Sumamos las ecuaciones 14-52 y 14-53, haciendo P1 = P3 = Patm y V3 = V4. Además, como la turbina de viento es horizontal, z1 = z2 = z3 = z4 (los efectos de la gravedad son despreciables en el aire, de cualquier manera). Después de algo de álgebra, esto da:

829 CAPÍTULO 14

V12  V22 P3  P4  r 2

(14-54)

  rV3A en la ecuación 14-52 y luego combinando el resultado Sustituyendo m con las ecuaciones 14-53 y 14-54, se obtiene V3 

V1  V2 2

(14-55)

Así, se concluye que la velocidad promedio del aire a través de una turbina de viento ideal es el promedio aritmético de las velocidades lejanas corriente arriba y corriente abajo. Por supuesto, la validez de este resultado está limitada por la aplicabilidad de la ecuación de Bernoulli. Por conveniencia, una nueva variable a se define como la pérdida fraccional de velocidad desde el punto lejano corriente arriba hasta el disco de la turbina como a

V1  V3 V1

(14-56)

La velocidad a través de la turbina se vuelve entonces V3  V1(1  a), y el cau  rAV  rAV (1  a). Combidal másico a través de la turbina se vuelve m 3 1 nando esta expresión para V3 con la ecuación 14-55, se obtiene V2  V1(1  2a)

(14-57)

Para una turbina de viento ideal sin pérdidas irreversibles tales como la fricción, la potencia generada por la turbina es simplemente la diferencia entre las energías cinéticas entrante y saliente. Realizando algo de álgebra, se obtiene 2 2 2 2 2 #  V1  V2  rAV1(1  a)V1  V1 (1  2a)  2rAV13a(1  a)2 Wideal  m 2 2

(14-58)

Nuevamente, suponiendo que no hay pérdidas irreversibles al transferir la potencia de la turbina al eje de la turbina, la eficiencia de la turbina de viento se expresa como el coeficiente de potencia definido en la ecuación 14-51 como CP

# Wsalida del eje del rotor 1 2

rV13A

# Wideal 1 2

2 rAV13a(1 1 2

rV13A

rV13A

a)2

4a(1

a)2

(14-59)

Finalmente, como cualquier buen ingeniero sabe, se calcula el valor máximo posible de CP haciendo dCP/da = 0, y despejando a. Esto da a = 1, o 1/3, y los detalles se dejan como ejercicio. Como a = 1 es el caso trivial (sin generación de potencia), se concluye que a debe ser igual a 1/3 para el coeficiente de potencia máximo. Sustituyendo a = 1/3 en la ecuación 14-59, obtenemos CP, máx

1 4 a1 3

1 2 b 3

16 27

0.5926

(14-60)

Este valor de CP, máx representa el coeficiente de potencia máximo posible de cualquier turbina de viento, y se conoce como el límite de Betz. Todas las turbinas de viento reales tienen un coeficiente de potencia máximo obtenible menor que éste, debido a las pérdidas irreversibles que se han ignorado en este análisis ideal. La figura 14-109 en la siguiente página muestra el coeficiente de potencia CP como función de la relación de la velocidad de la punta de los álabes de la turbina vR a la velocidad de viento V para diversos tipos de turbinas de viento, donde v es la velocidad angular de los álabes de la turbina de viento, y R es su radio. En esta gráfica se ve que una turbina de viento tipo hélice ideal tiende al límite de Betz cuando vR/V tiende al infinito. Sin embargo, el coeficiente de potencia de turbinas de viento reales llega a un máximo en un valor finito de vR/V y luego cae más allá de éste. En la práctica, tres efectos principales dan

830 TURBOMAQUINARIA

FIGURA 14-109 Desempeño (coeficiente de potencia) de varios tipos de turbinas de viento como función de la relación entre la velocidad de la punta del álabe y la velocidad del viento. Hasta ahora, ningún diseño ha conseguido mejor desempeño que la turbina de viento de eje horizontal (horizontal axe wind turbine, HAWT, por sus siglas en inglés). Adaptado de Robinson (1981, Ref. 10).

como resultado un coeficiente de potencia máximo obtenible que es menor que el límite de Betz: • Rotación de la estela del rotor (remolino). • Número finito de álabes del rotor y sus correspondientes pérdidas de punta (se genera vórtices de punta en la estela de los álabes del rotor por la misma razón por la que se generan en las alas finitas de un avión, ya que en ambos casos se produce “sustentación”) (vea el Cap. 11). • Arrastre aerodinámico diferente a cero sobre los álabes del rotor [arrastre friccional así como arrastre inducido (vea el Cap. 11)]. Vea Manwell et al. (2002) para una explicación adicional acerca de cómo tener en cuenta estas pérdidas. Además, las pérdidas mecánicas debidas a la fricción del eje dan como resultado coeficientes de potencia máximos obtenibles todavía más bajos. Otras pérdidas mecánicas y eléctricas en la caja de engranes, el generador, etc., también reducen la eficiencia general de la turbina de viento, como antes se mencionó. Como se ve en la figura 14-109, la “mejor” turbina de viento es la HAWT de alta velocidad, y ésta es la razón por la que usted ve que se instala este tipo de turbina de viento en todo el mundo. En resumen, las turbinas de viento proporcionan una alternativa “verde” en vez de los combustibles fósiles, y al aumentar el precio de los combustibles fósiles, las turbinas de viento se harán más comunes.

EJEMPLO 14-14

Potencia generada por una turbina de viento

Para ahorrar dinero, una escuela planea generar algo de su propia electricidad usando una turbina de viento HAWT en la cima de una colina, relativamente ventosa. Como estimado conservador basado en los datos de la figura 14-109, esperan obtener un coeficiente de potencia de 40 por ciento. La eficiencia combinada de la caja de engranes y el generador se estima como 85 por ciento. Si el diámetro del disco de la turbina de viento es 12.5 m, estime la producción de potencia eléctrica cuando el viento sopla a 10.0 m/s.

SOLUCIÓN Se debe estimar la potencia generada por una turbina de viento. Suposiciones 1 El coeficiente de potencia es 0.40, y la eficiencia combinada de la caja de engranes y el generador es 0.85. 2 El aire está a 20°C. Propiedades A 20°C, la densidad del aire es 1.204 kg/m3.

831 CAPÍTULO 14

Análisis Por la definición de coeficiente de potencia, # Wsalida del eje del rotor CP 12 rV3 A CP 12 rV3(pD2/4) Pero la potencia eléctrica real que se produce es menor que esto, debido a las ineficiencias de la caja de engranes y del generador, # Wproducción eléctrica

CPprV 3D2 8 kg m 3 (0.40)p a1.204 3b a10.0 b (12.5 m)2 s N W m (0.85) a b ba 8 kg m/s2 N m/s

hcaja engranes/generador

25 118 W

25 kW

Discusión La respuesta final es con dos cifras significativas, ya que no se puede esperar nada mejor que esto, con base en la información dada y en las aproximaciones. Para darle a usted una idea de cuánta potencia eléctrica es ésta, considere que un secador de pelo típico consume alrededor de 1 500 W, de modo que esta potencia es suficiente para hacer funcionar más de 16 secadores de pelo simultáneamente. La escuela necesitaría realizar un análisis de costos para calcular cuánto tardaría en pagarse a sí misma la turbina de viento considerando la reducción en electricidad adquirida a la empresa eléctrica.

14-5

■

LEYES DE SEMEJANZA PARA TURBINAS

Parámetros adimensionales de turbinas Se definen los grupos adimensionales (grupos Pi) para turbinas de manera muy parecida a como se hizo en la sección 14-3 para bombas. Sin considerar el número de Reynolds y los efectos de la rugosidad, se trata con las mismas variables dimensionales: la . gravedad multiplicada por la carga hidrostática neta (gH), gasto volumétrico (V ), diámetro de las aspas del rotor (D), velocidad rotacional del rotor (v), la potencia al freno producida (bhp) y la densidad del fluido (r), como se ilustra en la figura 14-110. De hecho, el análisis dimensional es idéntico ya sea que se analice una bomba o una turbina, excepto . por el hecho de que para las turbinas se toma la potencia al freno en vez de V como la variable independiente. Además, se emplea hturbina (Ec. 14-44) en lugar de hbomba como la eficiencia adimensional. A continuación se incluye un resumen de los parámetros adimensionales. Parámetros de turbina adimensionales: C H  Coeficiente de carga hidrostática 

gH v 2D2

C Q  Coeficiente de capacidad 

# V vD3

(14-61)

C P  Coeficiente de potencia 

bhp 3

5

rv D

h turbina  Eficiencia de turbina 

bhp

# rgHV

Cuando se grafican las curvas de rendimiento de la turbina se usa CP en vez de CQ como el parámetro independiente. En otras palabras, CH y CQ son funciones de CP, y, por tanto, hturbina es una función de CP, puesto que: h turbina 

CP  función de C P C QC H

(14-62)

Las leyes de semejanza (Ecs. 14-38) pueden aplicarse a turbinas y también a bombas, lo que permite aumentar o disminuir a escala el tamaño de las turbinas

FIGURA 14-110 Las principales variables usadas para el análisis dimensional de una turbina. El diámetro característico de la turbina, D, es usualmente el diámetro del rodete Drodete o el diámetro de descarga Ddescarga.

832 TURBOMAQUINARIA

(Fig. 14-111). Se emplean también para predecir el rendimiento de determinada turbina que opera a diferentes velocidades y flujos igual como se hizo antes para bombas. Las simples leyes de semejanza son estrictamente válidas si el modelo y el prototipo funcionan a número de Reynolds idénticos y son similares de manera exacta desde el punto de vista geométrico (inclusive la rugosidad superficial relativa y la distancia entre las puntas de aspas y la carcasa). Por desgracia, no siempre es posible satisfacer todos estos criterios cuando se realizan pruebas de modelo, porque el número de Reynolds que puede lograrse en este tipo de pruebas es por lo común mucho menos grande que el del prototipo, y las superficies de modelo tienen rugosidad y la distancia entre las puntas de aspas y la carcasa relativos más grandes. Cuando el prototipo de escala completa es considerablemente más grande que el modelo, el rendimiento del prototipo es por lo general mejor, por las mismas razones explicadas antes para las bombas. Existen ecuaciones empíricas para considerar el incremento de eficiencia entre un modelo pequeño y un prototipo de escala completa. Moody (1926) recomendó una de esas ecuaciones y puede usarse como corrección de primera aproximación: Ecuación de Moody de corrección para eficiencia de turbinas:

FIGURA 14-111 El análisis dimensional es útil para la adaptación a escala de dos turbinas geométricamente similares. Si los parámetros adimensionales de la turbina A son equivalentes a los de la turbina B, las dos turbinas son dinámicamente similares.

h turbina, prototipo  1  (1  h turbina, modelo)a

D modelo 15 b D prototipo

(14-63)

Note que la ecuación 14-63 se usa también como una corrección de primera aproximación cuando se ajustan las bombas modelo a escala completa (Ec. 1434). En la práctica, los ingenieros de hidroturbinas encuentran por lo general que el incremento real de eficiencia del modelo al prototipo es sólo de alrededor de dos tercios del incremento que se expresa en la ecuación 14-63. Por ejemplo, suponga que la eficiencia de un modelo a escala de un décimo es 93.2 por ciento. La ecuación 14-63 predice una eficiencia de prototipo de escala completa de 95.7 por ciento, o un incremento de 2.5 por ciento. En la práctica, se esperan sólo cerca de dos tercios de este incremento, o 93.2  2.5(2/3)  94.9 por ciento. Algunas ecuaciones de corrección más avanzadas se obtienen de la International Electrotechnical Commission (IEC, por sus siglas en inglés), una organización a nivel mundial para estandarización. EJEMPLO 14-15

Aplicación de las leyes de semejanza para turbinas

Se diseña una turbina para una presa hidroeléctrica. En vez de partir desde cero, los ingenieros deciden adaptar geométricamente una turbina diseñada con anterioridad que tiene excelente historia de rendimiento. La turbina existente (turbina . A) tiene diámetro DA  2.05. m y gira a nA  120 rpm (vA  12.57 rad/s). En su 3 punto de mejor eficiencia, VA  350 m /s, HA  75.0 m de agua y bhpA  242 MW. La nueva turbina (turbina B) es para una instalación más grande. Su generador girará a la misma velocidad (120 rpm), pero su carga hidrostática neta será mayor (HB  104 m). Calcule el diámetro de la nueva turbina de modo que fun. cione con mayor eficiencia y calcule VB, bhpB y hturbina,B.

SOLUCIÓN Se diseñará una nueva hidroturbina ajustando una ya existente. En particular se calculará el diámetro de la nueva turbina, el gasto volumétrico y la potencia al freno. Suposiciones 1 La nueva turbina es, desde el punto de vista geométrico, similar a una hidroturbina existente. 2 Los efectos de número de Reynolds y los de la rugosidad son despreciables. 3 La nueva compuerta también es similar a la existen-

833 CAPÍTULO 14

te, de modo que el flujo que entra a la nueva turbina (perfil de velocidad, turbulencia, intensidad, etc.) es similar al de la turbina existente. Propiedades La densidad del agua a 20°C es r  998.0 kg/m3. Análisis Puesto que la nueva turbina B es dinámicamente similar a la turbina existente A, se tiene interés sólo en un punto de operación homólogo particular de ambas turbinas, a saber, el punto de la mejor eficiencia. De la ecuación 1438b) se despeja DB:

# HB nA 104 m 120 rpm  2.41 m DB  DA #  (2.05m) B HA nB B 75.0 m 120 rpm . Luego, de la ecuación 14-38a) se despeja VB,

# # # nB D B 3 120 rpm 2.41 m 3 V B  V A a # b a b  (350 m3/s)a ba b  572 m3/s 120 rpm 2.05 m nA D A Por último, de la ecuación 14-38c) se despeja bhpB,

# r B nB 3 D B 5 ba# b a b r A nA DA

bhpB  bhpA a

998.0 kg/m3

 (242 MW)a

120 rpm 3 2.41 m 5 ba b a b  548 MW 3 120 rpm 2.05 m 998.0 kg/m

Como comprobación, se calculan los parámetros de turbina adimensionales de la ecuación 14-61 para ambas turbinas con el fin de mostrar que de hecho estos dos puntos de operación son homólogos y la eficiencia de la turbina se calcula como 0.942 para ambas turbinas (Fig. 14-112). Sin embargo, como se explicó, la similitud dinámica total no puede lograrse en realidad entre las dos turbinas como resultado de los efectos de escala (las turbinas más grandes tienen por lo general mayor eficiencia). El diámetro de la nueva turbina es más o menos de 18 por ciento mayor que el de la turbina existente, así que el incremento de eficiencia debido al tamaño de la turbina no debe ser importante. Esto se comprueba mediante la ecuación de Moody de corrección para eficiencia (Ec. 14-63), se considera a la turbina A como el “modelo” y la B como el “prototipo”:

Corrección de eficiencia: D A 15 2.05 m 15 b 1  (1  0.942) a b  0.944 2.41 m DB

h turbina, B  1  (1  h turbina, A)a

o 94.4 por ciento. De hecho, la corrección de primera aproximación produce una eficiencia predicha para la turbina más grande que es sólo una fracción de un porcentaje mayor que el de la turbina más pequeña. Discusión Si el flujo que entra a la nueva turbina desde la compuerta no fuera similar al de la turbina existente (por ejemplo, tenga el perfil de velocidad e intensidad de turbulencia diferentes), no podría esperarse la similitud dinámica exacta.

Velocidad específica de las turbinas En la explicación de las leyes de escalamiento de bombas (Sec. 14-3), se define otro útil parámetro adimensional, la velocidad específica de la bomba (NSp), basada en CQ y CH. Podría emplearse la misma definición de la velocidad específica para turbinas, pero como para turbinas CP en vez de CQ es el parámetro adimensional independiente, se define de modo distinto la velocidad específica de la turbina (NSt), a saber, en términos de CP y CH: Velocidad específica de la turbina: N St 

C 1/2 P C 5/4 H



(bhp/rv 3D5)12 2

2 54

(gH/v D )



v(bhp)12 r 12(gH)54

(14-64)

FIGURA 14-112 Parámetros adimensionales para ambas turbinas del ejemplo 14-15. Puesto que las dos turbinas operan en puntos homólogos, sus parámetros adimensionales deben coincidir.

834 TURBOMAQUINARIA

La velocidad específica de la turbina se llama también velocidad específica de potencia en algunos libros de texto. Se deja como ejercicio comparar las definiciones de velocidad específica de la bomba (Ec. 14-35) y la velocidad específica de la turbina (Ec. 14-64) con el fin de mostrar que: Relación entre NSt y NSp:

FIGURA 14-113 En algunas plantas de energía se emplea una bomba-turbina para almacenar energía: a) la bombaturbina bombea agua durante los periodos de baja demanda de energía y b) la bomba-turbina genera electricidad durante los periodos de alta demanda de energía.

N St  N Sp 2h turbina

(14-65)

Note que la ecuación 14-65 no se aplica a una bomba que opera hacia atrás como una turbina o viceversa. Hay aplicaciones en las que la misma turbomáquina se emplea como bomba y como turbina; estos dispositivos de denominan de modo apropiado turbinas-bombas. Por ejemplo, una central eléctrica que se acciona con energía nuclear o al quemar el carbón mineral podría bombear agua a una mayor elevación durante los tiempos de baja demanda de energía, y luego hacer circular esa agua por la misma turbomáquina (que opera como una turbina) durante los tiempos de mayor demanda de energía (Fig. 14-113). Este tipo de instalaciones suele aprovechar las diferencias de elevación naturales en sitios montañosos y logran cargas totales importantes (arriba de 1 000 ft) sin la construcción de una presa. En la figura 14-114 se muestra una fotografía de una turbina-bomba. Note que hay ineficiencias en la turbina-bomba cuando funciona como bomba y también cuando opera como turbina. Además, puesto que una turbomáquina debe estar diseñada para operar como bomba y turbina, ni hbomba ni hturbina son tan altas como lo serían para una bomba o turbina construidas para funcionar como tales. No obstante, la eficiencia global de este tipo de almacenamiento de energía es de más o menos 80 por ciento para una turbina-bomba bien diseñada. En la práctica, la turbina-bomba podría operar a gasto volumétrico y rpm distintos cuando funciona como turbina en comparación a cuando opera como bomba, debido a que el punto de la mejor eficiencia de la turbina no necesariamente es el mismo que el de la bomba. Sin embargo, para el caso simple en el que el flujo y las rpm son los mismos para las operaciones de bomba y turbina, se emplean las ecuaciones 14-35 y 14-64 para comparar la velocidad específica de la bomba y la de la turbina. Después de aplicar algunas operaciones algebraicas: Relación de velocidad específica de la turbina y la bomba a los mismos gasto y rpm: Hbomba 34 bhpbomba 34 N St  N Sp 2h turbina a b  N Sp(h turbina)54(h bomba)34 a b Hturbina bhpturbina

FIGURA 14-114 Rotor de una bomba-turbina empleada en la estación de embalse de agua bombeada de Yards Creek, en Blairstown, NJ. Hay siete aspas de rotor de diámetro externo 17.3 ft (5.27 m). La turbina gira a 240 rpm y produce 112 MW de potencia a un caudal de 56.6 m3/s a partir de una carga hidrostática neta de 221 m. Foto cortesía de American Hydro Corporation, York, PA. Reproducida con autorización.

(14-66)

835 CAPÍTULO 14

Ya se analizaron algunos problemas con las unidades de velocidad específica de la bomba, pero estos mismos problemas podrían ocurrir con la velocidad específica de la turbina. A saber, aunque NSt es por definición un parámetro adimensional, los ingenieros están acostumbrados a usar unidades incongruentes que transforman a NSt en una cantidad adimensional problemática. En Estados Unidos, la mayoría de los ingenieros de turbinas escriben la velocidad rotacional en unidades de revoluciones por minuto (rpm), bhp en unidades de caballos de fuerza y H en unidades de pies. Además, pasan por alto la constante gravitacional g y la densidad r en la definición de NSt (se supone que la turbina trabaja en la tierra y que el fluido de trabajo es agua). Se define: Velocidad específica de la turbina, unidades usuales de EUA: N St, US 

# (n, rpm) (bhp, hp)12 (H, ft)54

(14-67)

Existe cierta discrepancia en las publicaciones de turbomaquinaria acerca de las conversiones entre las dos formas de velocidad específica de la turbina. Para convertir NSt,USA a NSt, se divide entre g5/4 y r1/2, y después se usan las relaciones de conversión para cancelar las unidades. Se fija g  32.174 ft/s2 y se supone que el agua tiene una densidad de r  62.40 lbm/ft3. Cuando se transforma de manera apropiada v a rad/s, el favor de conversión es NSt,US  0.02301NSt o NSt  43.46NSt,US. Sin embargo, algunos autores convierten v a revoluciones por segundo al introducir un factor de 2p en la conversión, es decir, NSt,US  0.003662NSt o NSt  273.1NSt,US. La primera conversión es más común y se resume en la figura 14-115. También hay una versión métrica o SI de la velocidad específica de las turbinas que se está haciendo más popular en estos días, y la prefieren muchos diseñadores de hidroturbinas. Se define del mismo modo que la usual velocidad específica de bombas de Estados Unidos (Ec. 14-36), salvo que se usan unidades SI (m3/s en vez de gpm, y m en vez de ft), NSt, SI 

# # (n, rpm)(V , m3/s)1/2 (H, m)3/4

(14-68)

También se le nombra: velocidad específica a la capacidad para distinguirla de la velocidad específica a la potencia (Ec. 14-64). Una ventaja es que NSt, SI se puede comparar más directamente con la velocidad específica de bomba, y por tanto es útil para alcanzar turbinas-bomba. Sin embargo, es menos útil para comparar NSt, SI con valores anteriormente publicados de NSt o NSt, US, debido a la diferencia fundamental entre sus definiciones. Desde el punto de vista técnico, la velocidad de turbina específica se podría aplicar a cualquier condición de operación y sería sólo otra función de CP. Sin embargo, ésta no es la manera como se emplea usualmente. En cambio, es común definir la velocidad específica de la turbina sólo en el punto de la mejor eficiencia (PME, BEP por sus siglas en inglés) de la turbina. El resultado es un solo número que identifica a la turbina. La velocidad específica de la turbina se emplea para identificar la operación de una turbina en sus condiciones óptimas (punto de mejor eficiencia) y es útil para la selección preliminar de la turbina.

Como se grafica en la figura 14-116, las turbinas de impulsión tienen un rendimiento óptimo para NSt cercano a 0.15, mientras que las turbinas Francis y Kaplan funcionan mejor a NSt cercano a 1 y 2.5, respectivamente. Resulta que si NSt es menor que cerca de 0.3, una turbina de impulsión es la mejor elección. Si NSt está entre alrededor de 0.3 y 2, una turbina Francis es la mejor elección.

FIGURA 14-115 Conversiones entre las definiciones de la velocidad específica de la turbina: adimensional y en unidades usuales en Estados Unidos. Los valores numéricos se expresan hasta cuatro cifras significativas. En las conversiones se supone gravedad terrestre estándar y agua como medio de trabajo.

836 TURBOMAQUINARIA

FIGURA 14-116 Eficiencia máxima como función de la velocidad específica de turbina para tres tipos principales de turbina dinámica. Las escalas horizontales muestran la velocidad específica adimensional (NSt) y la velocidad específica de turbina en unidades usuales de Estados Unidos (NSt,US). En la gráfica se proporcionan también los dibujos de los tipos de aspas para referencia.

Cuando NSt es mayor que casi 2, debe emplearse una turbina Kaplan. Estos intervalos se indican en la figura 14-116 en términos de NSt y NSt,US.

EJEMPLO 14-16

Velocidad específica de la turbina

Calcule y compare la velocidad específica de la turbina para la turbina pequeña A y la turbina B grande del ejemplo 14-15.

SOLUCIÓN Se comparará la velocidad específica de dos turbinas dinámicamente similares. Propiedades La densidad del agua a T  20°C es r  998.0 kg/m3. Análisis Se calcula la velocidad específica adimensional para la turbina A: N St, A  

vA(bhpA)12 54 r 12 A (gHA)

kg  m/s2 12 (12.57 rad/s)(242 10 6 W)12 a b  1.615  1.62 (998.0 kg/m3)12[(9.81 m/s2)(75.0 m)]54 W  s

y para la turbina B:

N St, B  

vB(bhpB)12 54 r 12 B (gHB)

kg  m/s2 12 (12.57 rad/s)(548 10 6 W)12 a b  1.615  1.62 (998.0 kg/m3)12 [(9.81 m/s2)(104 m)]54 W  s

Se observa que las velocidades específicas para las dos turbinas son las mismas. Como comprobación de los conocimientos de álgebra se calcula NSt en la figura 14-117 de una manera diferente por medio de su definición en términos de CP y CH (Ec. 14-64). El resultado es el mismo (excepto por el error de redondeo). Por último, se calcula la velocidad específica de turbina en unidades usuales de Estados Unidos a partir de las conversiones de la figura 14-115.

FIGURA 14-117 Cálculo de la velocidad específica de turbina mediante los parámetros adimensionales CP y CH para el ejemplo 14-16 (vea la figura 14-112 para valores de CP y CH para la turbina A y la turbina B).

N St, US, A  N St, US, B  43.46N St  (43.46)(1.615)  70.2 Discusión Debido a que las turbinas A y B operan en puntos homólogos, no es sorpresa que sus velocidades específicas de turbina sean las mismas. De hecho, si no lo fueran, sería una señal segura de un error algebraico o de cálculo. De la figura 14-116, una turbina Francis es de hecho la elección apropiada para una velocidad específica de turbina de 1.6.

837 CAPÍTULO 14

PROYECTOR DE APLICACIONES

■

Atomizadores de combustible rotatorios

Autor invitado: Werner J. A. Dahm, University of Michigan Las tasas de rotación muy altas a las que operan los dispositivos de turbinas de gas pequeños, que con frecuencia se aproximan a 100 000 rpm, permiten a los atomizadores centrífugos rotatorios crear la dispersión de combustible líquido que se quema en el combustor. Observe que un atomizador de 10 cm de diámetro que gira a 30 000 rpm imparte 490 000 m/s2 de aceleración (50 000 g) al combustible líquido, lo cual permite que tales atomizadores de combustible produzcan potencialmente muy pequeños tamaños de gota. Los tamaños reales de gota dependen de las propiedades del fluido, inclusive las densidades del líquido y del gas rL y rG, las viscosidades mL y mG, y la tensión superficial líquido-gas ss. En la figura 14-118 se muestra un atomizador rotatorio que gira a una velocidad v, con canales radiales en el borde a radio nominal R (R1  R2)/2. El combustible fluye hacia los canales debido a la aceleración Rv2 y forma una película líquida en las paredes de los canales. La fuerte aceleración origina un grosor de película t característico de sólo alrededor de 10 mm. La forma del canal es tal que produce un rendimiento de atomización deseable. Para una forma específica, los tamaños de gota resultantes dependen de la velocidad de flujo cruzado Vc Rv hacia el que emana la película en la salida del canal, junto con las propiedades del gas y el líquido. De éstas, existen cuatro grupos adimensionales que determinan el rendimiento de atomización: las razones de la densidades líquido-gas y viscosidades r [rL/rG] y m [mL/mG], el número de Weber para la película Wet [rGV c2t/ss], y el número de Ohnesorge Oht [mL/(rLsst)1/2]. Note que Wet da la razón característica entre las fuerzas aerodinámicas que ejerce el gas sobre la película líquida y las fuerzas de tensión superficial que actúan en la superficie del líquido, mientras que Oht proporciona la razón entre las fuerzas viscosas en la película líquida y las fuerzas de tensión superficial que actúan sobre la película. Juntas, expresan la importancia relativa de los tres efectos físicos principales relacionados con el proceso de atomización: inercia, difusión viscosa y tensión superficial. En la figura 14-119 se muestran ejemplos del proceso de separación del líquido para varias formas de canal y velocidades de rotación, se observa mediante una fotografía láser por pulsos de 10 ns. Los tamaños de gota resultan ser relativamente insensibles a cambios en el número de Ohnesorge, ya que los valores para atomizadores de combustible prácticos están en el límite Oht  1 y, por tanto, los efectos viscosos son relativamente de poca importancia. Sin embargo, el número de Weber es crucial puesto que los efectos de tensión superficial e inercia dominan el proceso de atomización. A números de Wet pequeños, el líquido experimenta separación subcrítica, en la cual la tensión superficial jala la delgada capa líquida hacia una sonda columna que después se separa para formar gotas relativamente grandes. A valores supercríticos de Wet, la delgada película líquida se separa de forma aerodinámica en finos tamaños de gota del orden del grosor de la película t. De resultados como éstos, los ingenieros elaboran de manera exitosa atomizadores de combustible rotatorios para aplicaciones prácticas. Referencias Dahm, W. J. A., Patel, P. R., y Lerg, B. H., “Visualization and Fundamental Analysis of Liquid Atomization by Fuel Slingers in Small Gas Turbines”, AIAA Paper núm. 2002-3183, AIAA, Washington, DC, 2002.

FIGURA 14-118 Esquema de a) un atomizador de combustible rotatorio y b) vista de acercamiento de la película de combustible líquido a lo largo de las paredes del canal.

FIGURA 14-119 Fotografías de la atomización del líquido mediante atomizadores de combustible rotatorios, que muestran la desintegración subcrítica a valores relativamente bajos de Wet (parte superior), para los cuales los efectos de tensión superficial son suficientemente fuertes en relación con la inercia para jalar la delgada película líquida hacia columnas grandes y la desintegración supercrítica a valores mayores de Wet (parte inferior), para los cuales la inercia domina sobre la tensión superficial y la delgada película se atomiza en finas gotas. Reimpresa con autorización de Werner J. A. Dahm, University of Michigan.

838 TURBOMAQUINARIA

RESUMEN La turbomaquinaria se clasifica en dos categorías amplias, bombas y turbinas. La palabra bomba es un término general para cualquier máquina de fluido que añade energía a un fluido. Se explica cómo ocurre esta transferencia de energía para varios tipos de diseños de bomba, tanto bombas de desplazamiento positivo como bombas dinámicas. La palabra turbina se refiere a una máquina de fluido que extrae energía de un fluido. Existen también turbinas de desplazamiento positivo y turbinas dinámicas de varios tipos. La ecuación más útil para el diseño preliminar de turbomaquinaria es la ecuación de Euler de turbomáquina, # Tflecha  rV (r2V2, t  r1V1, t) Note que para bombas, la entrada y la salida están a los radios r1 y r2, respectivamente, mientras que para turbinas, la entrada está al radio r2 y la salida está al radio r1. Se muestran varios ejemplos donde las formas de álabes para bombas y turbinas están diseñadas con base en las velocidades de flujo deseadas. Luego, con la ecuación de Euler de turbomáquina, se predice el rendimiento de la turbomáquina. Las leyes de semejanza de turbomaquinaria ilustran una aplicación práctica del análisis dimensional. Las leyes de semejanza se emplean en el diseño de nuevas turbomáquinas, que son similares desde el punto de vista geométrico a las turbomáquinas existentes. Tanto para bombas como para turbinas, los parámetros adimensionales principales son el coeficiente de carga hidrostática, el coeficiente de capacidad y el coeficiente de potencia, definidos, respectivamente, como: # bhp gH V CQ  CP  3 5 CH  2 2 3 vD vD rv D Además de éstos, se define la eficiencia de la bomba y la eficiencia de la turbina como recíprocas entre sí:

# # W potencia útil gV H h bomba   # bhp W flecha # bhp W flecha h turbina  #  # W potencia útil rgV H Por último, se definen otros dos parámetros adimensionales útiles llamados velocidad específica de la bomba y velocidad específica de la turbina, respectivamente, como: N Sp 

C1/2 Q

 3/4

CH

# vV 12 (gH)34

N St 

C1/2 P

v(bhp)12

CH

r 12(gH)54

 5/4

Estos parámetros son útiles para la selección preliminar del tipo de bomba o turbina que es más apropiado para determinada aplicación. Se exponen las características básicas de diseño tanto de hidroturbinas como de turbinas de viento. Para estas últimas, se deduce un límite superior del coeficiente de potencia, que es el límite de Betz. 1 1 2 16 4 a1 0.5926 b 3 3 27 El diseño de turbomaquinaria asimila el conocimiento de varias áreas importantes de la mecánica de fluidos, entre otras análisis de masa, energía y cantidad de movimiento (capítulos 5 y 6); análisis dimensional y modelado (capítulo 7); flujo en tuberías (capítulo 8); análisis diferencial (capítulos 9 y 10), y aerodinámica (capítulo 11). Además, para turbinas de gas y otros tipos de turbomáquinas que operan con gases, se necesita el análisis de flujo compresible (capítulo 12). Por último, la dinámica de fluidos computacional (capítulo 15) tiene un papel importante en el diseño de turbomáquinas altamente eficientes. CP, máx

BIBLIOGRAFÍA Y LECTURAS RECOMENDADAS 1. ASHRAE (American Society of Heating, Refrigerating and Air Conditioning Engineers, Inc.). ASHRAE Fundamentals Handbook, ASHRAE, 1791 Tullie Circle, NE, Atlanta, GA, 30329; ediciones cada cuatro años: 1993, 1997, 2001, etcétera.

6. Earl Logan, Jr. Turbomachinery: Basic Theory and Applications, 2a. ed. Nueva York: Marcel Dekker, Inc., 1993.

2. L. F. Moody. “The Propeller Type Turbine”, ASCE Trans., 89, p. 628, 1926.

8. Terry Wright. Fluid Machinery: Performance, Análisis, and Design. Boca Raton, FL: CRC Press, 1999.

3. Earl Logan, Jr., ed. Handbook of Turbomachinery. Nueva York: Marcel Dekker, Inc., 1995.

9. J. F. Manwell, J. G. McGowan y A. L. Rogers. La energía del viento explicada: Teoría, diseño y aplicación, West Sussex, Inglaterra: John Wiley & Sons, LTC, 2002.

4. A. J. Glassman, ed. Turbine Design and Application. NASA Sp-290, NASA Scientific and Technical Information Program. Washington, DC, 1994. 5. D. Japikse y N. C. Baines. Introduction to Turbomachinery. Norwich, VT: Concepts ETI, Inc., y Oxford: Oxford University Press, 1994.

7. R. K. Turton. Principles of Turbomachinery, 2a. ed. Londres: Chapman & Hall, 1995.

10. M. L. Robinson. “La turbina de viento Darrieus para generación de potencia eléctrica”, J. Royal Aeronautical Society, vol. 85, pp. 244-255, junio de 1981.

839 CAPÍTULO 14

PROBLEMAS* Problemas generales 14-1C ¿Cuál es el término más común para una turbomáquina que produce energía? ¿Y respecto a una turbomáquina que absorbe energía? Explique esta terminología. En particular, ¿desde cuál marco de referencia se definen estos términos, el del fluido o el de los alrededores? 14-2C ¿Cuáles son las diferencias principales entre ventiladores, sopladores y compresores? Explique en términos de aumento de presión y gasto volumétrico. 14-3C Liste por lo menos dos ejemplos comunes de ventiladores, de sopladores y de compresores.

b) Los diámetros de salida y entrada son iguales (Dsalida  Dentrada). c) El diámetro de salida es mayor que el diámetro de entrada (Dsalida  Dentrada). 14-9 Un compresor de aire incrementa la presión (Psalida  Pentrada) y la densidad (rsalida  rentrada) del aire que pasa por él (Fig. P14-9). Para el caso en el que los diámetros de entrada y salida son iguales (Dsalida  Dentrada), ¿cómo cambia la velocidad promedio en el compresor? En particular, ¿Vsalida es menor, igual o mayor que Ventrada? Explíquelo. Respuesta: menor que

14-4C Analice la diferencia principal entre una turbomáquina de desplazamiento positivo y una turbomáquina dinámica. Dé un ejemplo de cada una para bombas y turbinas. 14-5C Para una bomba, explique la diferencia entre potencia al freno y potencia útil, y defina también la eficiencia de la bomba en términos de estas cantidades. 14-6C Para una turbina, explique la diferencia entre potencia al freno y potencia útil, y defina también la eficiencia de la turbina en términos de estas cantidades. 14-7C Explique por qué hay un término “extra” en la ecuación de Bernoulli en un marco de referencia rotatorio. 14-8 Una bomba de agua incrementa la presión del agua a través de ella (Fig. P14-8). Se supone que el agua es incompresible. Para cada uno de los tres casos listados a continuación, ¿cómo cambia la velocidad promedio del agua en la bomba? En particular, Vsalida es menor, igual o mayor que Ventrada? Muestre sus ecuaciones y explíquelas. a) El diámetro de salida es menor que el diámetro de entrada (Dsalida  Dentrada).

FIGURA P14-8

FIGURA P14-9

14-10 Fluye aire por un tubo de sección circular de 1 m de diámetro que tiene una turbo-máquina en línea. Ejecute FlowLab con la plantilla Pump_turbine_incompressible. Esta plantilla se aproxima a la bomba o turbina especificando un aumento repentino (bomba) o una disminución repentina (turbina) en la presión a la mitad del trayecto al tubo. El flujo es incompresible. Varíe el cambio de presión de 10 000 a 10 000 Pa, y escriba los resultados en la tabla para cada caso. Para cada uno, calcule el caudal másico corriente arriba y corriente abajo usando los valores de densidad y velocidad promedio calculados por FlowLab. Compare con el caudal másico calculado. También compare los caudales másicos corriente arriba y corriente abajo. Comente sus resultados. 14-11 Fluye aire por un tubo de sección circular de 1 m de diámetro que tiene una turbo-máquina en línea. Ejecute FlowLab con la plantilla Pump_turbine_compressible. Esta plantilla se aproxima a la bomba o a la turbina especificando un aumento repentino (bomba) o una disminución repentina (turbina) en la presión a la mitad de la trayectoria al tubo. El flujo es compresible, y se considera al aire como gas ideal. Varíe el cambio de presión de 10 000 a 10 000 Pa, y escriba los resultados en la tabla para cada caso. Para cada uno, calcule el caudal másico corriente arriba y corriente abajo usando los valores de densidad y velocidad promedio calculados por FlowLab. Compare con el caudal másico calculado. Compare también los caudales másicos corriente arriba y corriente abajo. Comente sus resultados.

Bombas * Los problemas designados por una “C” son preguntas de concepto y se alienta a los estudiantes a dar respuesta a todas. Los problemas designados por una “I” están en unidades inglesas y los usuarios del SI pueden ignorarlos. Los problemas con el ícono son de comprensión y se recomienda emplear un software como EES para resolverlos. Los problemas con el ícono pueden resolverse con el software FlowLab.

14-12C Hay tres categorías principales de bombas dinámicas. Haga una lista y defínalas. 14-13C Para cada enunciado acerca de bombas centrífugas elija si es verdadero o falso y explique su respuesta de manera breve.

840 TURBOMAQUINARIA

a) Una bomba centrífuga con álabes radiales tiene una eficiencia mayor que la misma bomba con álabes inclinados hacia atrás. b) Una bomba centrífuga con álabes radiales produce un aumento de presión más grande que la misma bomba . con álabes inclinados hacia atrás en un intervalo amplio de V. c) Una bomba centrífuga con álabes inclinados hacia delante es una buena elección para proveer un aumento de presión grande en un intervalo amplio de gastos volumétricos. d) Una bomba centrífuga con álabes inclinados hacia delante quizá tendría menos álabes que una bomba del mismo tamaño con álabes inclinados hacia atrás o radiales. 14-14C La figura P14-14C muestra dos ubicaciones posibles para una bomba de agua en un sistema de tuberías que bombea agua de un depósito inferior a uno superior. ¿Cuál lugar es mejor? ¿Por qué?

14-15C Defina la carga de aspiración neta positiva y la carga de aspiración neta positiva necesaria, y explique cómo se emplean estas dos cantidades para garantizar que no ocurra cavitación en una bomba. 14-16C Considere el flujo a través de una bomba de agua. Para cada enunciado elija si es verdadero o falso, y explique de manera breve su respuesta. a) Cuanto más rápido sea el flujo por una bomba, hay más probabilidades de que ocurra cavitación. b) Cuando aumenta la temperatura del agua, la NPSHnecesaria también aumenta. c) Cuando aumenta la temperatura del agua, la NPSH disponible aumenta también. d) Cuando aumenta la temperatura del agua, es probable que ocurra cavitación. 14-17C Explique por qué, usualmente, no es recomendable colocar en serie o en paralelo dos (o más) bombas distintas. 14-18C Considere una típica bomba centrífuga. Seleccione el inciso de cierto o falso y discuta brevemente su respuesta. . . a) V en la descarga libre de la bomba es mayor que V en su punto de mejor eficiencia. b) En la carga al cierre de la bomba, la eficiencia de la bomba es cero. c) En el punto de la mejor eficiencia, su carga neta está en su valor máximo. d) En la descarga libre de la bomba, la eficiencia de la bomba es cero. 14-19C Escriba la ecuación que define la carga de aspiración neta positiva, NPSH (disponible) real. De esta definición, explique por lo menos cinco formas de disminuir la probabilidad de cavitación en la bomba, para los mismos líquido, temperatura y gasto volumétrico. 14-20C Considere un flujo estacionario, incompresible, por dos bombas idénticas (bombas 1 y 2), ya sea en serie o en paralelo. Para cada enunciado elija si éste es verdadero o falso y explique su respuesta de manera breve. a) El gasto o caudal por las dos bombas en serie es . volumétrico . igual a V1  V2. b) La carga hidrostática neta global por las dos bombas en serie es igual a H1  H2. . . c) El caudal por las dos bombas en paralelo es igual a V1  V2. d) La carga hidrostática neta global por las dos bombas en paralelo es igual a H1  H2.

FIGURA P14-14C

14-21C En la figura P14-21C se muestra una gráfica de la carga hidrostática neta de la bomba como una función del caudal o capacidad de la bomba. En la figura, indique la carga al cierre, la descarga libre, la curva de rendimiento de la bomba, la curva del sistema y el punto de operación.

841 CAPÍTULO 14 1 H

V1  0

z1

Depósito

0

Bomba 0

•

V

FIGURA P14-21C 2

14-22 Suponga que la bomba de la figura P14-21C se sitúa entre dos depósitos de agua con sus superficies libres abiertas a la atmósfera. ¿Cuál superficie libre está a mayor altura, la que corresponde al depósito que suministra agua a la entrada de la bomba o la que corresponde al depósito conectado a la salida de la bomba? Justifique su respuesta mediante la ecuación de la energía entre las dos superficies libres. 14-23 Suponga que la bomba de la figura P14-21C está situada entre dos grandes depósitos de agua con sus superficies libres abiertas a la atmósfera. Explique de manera cuantitativa lo que sucedería con la curva de rendimiento de la bomba si la superficie libre del depósito de salida aumentara de altura con todo lo demás igual. Repita para la curva del sistema. Qué sucedería con el punto de operación, ¿disminuiría el caudal en el punto de operación, aumentaría o permanecería. igual? Indique el cambio en la gráfica cualitativa de H contra V , y explíquelo, (Sugerencia: Emplee la ecuación de la energía entre la superficie libre del depósito corriente arriba de la bomba y la superficie libre del depósito corriente abajo de la bomba). 14-24 Suponga que la bomba de la figura P14-21C se sitúa entre dos grandes depósitos de agua con sus superficies libres abiertas a la atmósfera. Explique de manera cuantitativa qué sucedería con la curva de rendimiento de la bomba si se cambiara una válvula en la tubería 100 por ciento abierta a 50 por ciento abierta, con todo lo demás sin cambio. Repita para la curva del sistema. Qué sucedería con el punto de operación, ¿el caudal disminuiría, aumentaría o permanecería sin cambio en el punto de operación? . Indique el cambio en una gráfica cualitativa de H contra V, y explíquelo. (Sugerencia: Emplee la ecuación de la energía entre la superficie libre del depósito corriente arriba y la superficie libre del depósito corriente abajo.) Respuesta: disminuye

14-25 Considere el sistema de flujo ilustrado en la figura P1425. El fluido es agua y la bomba es de tipo centrífuga. Genere una gráfica cualitativa de la carga hidrostática neta de la bomba como una función de la capacidad de la bomba. En la figura, indique la carga al cierre, la descarga libre, la curva de rendimiento de la bomba, la curva del sistema y el punto de operación. (Sugerencia: Considere con cuidado la carga hidrostática neta necesaria en condiciones de flujo cero.)

z2

V2

FIGURA P14-25

14-26 Suponga que la bomba de la figura P14-25 opera en condiciones de descarga libre. La tubería, tanto corriente arriba como corriente abajo de la bomba, tiene un diámetro interno de 2.0 cm y rugosidad casi cero. El coeficiente de pérdidas menores relacionado con la entrada de borde agudo es 0.50, cada válvula tiene un coeficiente de pérdidas menores igual a 2.4 y cada uno de los tres codos tiene un coeficiente de pérdidas menores de 0.90. La contracción a la salida reduce el diámetro por un factor de 0.60 (60 por ciento del diámetro de la tubería), y el coeficiente de pérdidas menores de la contracción es 0.15. Note que este coeficiente de pérdidas menores se basa en la velocidad de salida promedio, no en la velocidad promedio por la tubería. La longitud de la tubería es de 8.75 m y la diferencia de alturas es (z1 – z2)  4.6 m. Estime el caudal por esta tubería. Respuesta: 34.4 Lpm

14-27 Repita el problema 14-26, pero con una tubería rugosa de e  0.12 mm de rugosidad. Suponga que se emplea una bomba modificada, de modo que la nueva bomba opera en sus condiciones de descarga libre, como en el problema 14-26. Suponga que las otras dimensiones y parámetros son los mismos que para este problema. ¿Sus resultados concuerdan con la intuición? Explíquelo. 14-28

Considere el sistema de tubería de la figura P1425, con todas las dimensiones, parámetros, coeficientes de pérdidas menores, etc., del problema 14-26. La curva característica de la bomba sigue un ajuste de curva parabólica, . Hdisponible  H0  aV 2, donde H0  19.8 m es la carga al cierre para la bomba y a  0.00426 m/(Lpm)2 es un. coeficiente del ajuste de curva. Estime el caudal de operación V en Lpm (litros por minuto) y compare con el del problema 14-26. Explíquelo. 14–29

Repita el problema 14-28, pero esta vez con 0.12 mm de rugosidad. Compare con el caso de la tubería lisa y discuta. ¿Su resultado concuerda con su intuición?

842 TURBOMAQUINARIA

14-30I Los datos de rendimiento de una bomba centrífuga para agua se muestran en la tabla P14-30I para agua a 77°F (gpm  galones por minuto). a) Para cada renglón de datos, calcule la eficiencia de la bomba (por ciento). Muestre las unidades y conversiones de unidades para certidumbre total. b) Estime el gasto volumétrico (gpm) y la carga hidrostática neta (pies) en el PME (BEP) de la bomba.

TABLA P14-34 . V, Lpm

H, m

bhp, W

0.0 6.0 12.0 18.0 24.0 30.0 36.0

47.5 46.2 42.5 36.2 26.2 15.0 0.0

133 142 153 164 172 174 174

TABLA P14-30I . V, gpm

H, ft

bhp, hp

0.0 4.0 8.0 12.0 16.0 20.0 24.0

19.0 18.5 17.0 14.5 10.5 6.0 0.0

0.06 0.064 0.069 0.074 0.079 0.08 0.078

14-31 Transforme cada columna de los datos de rendimiento . de la bomba del problema 14-30I a unidades métricas: V en Lpm (litros por minuto), H en m y bhp en W. Calcule la eficiencia de la bomba (por ciento) usando estos valores métricos, y compare con los del problema 14-30I. 14-32I

Para la bomba centrífuga del problema 14-30I, grafique los datos de rendimiento de la bomba:. H (pies), bhp (hp) y hbomba (por ciento) como funciones de V (gpm). Sólo utilice valores numéricos (sin trazar las líneas). Efectúe los ajustes de curva polinominal por método de mínimos cuadrados lineal para todos los tres parámetros, y grafique las curvas ajustadas como líneas (no simbólicamente) en la misma gráfica. Para uniformidad, use un. ajuste de curva de primer orden para H como una función de V 2, emplee un ajuste . de .curva de segundo orden para bhp como una función de V y V 2, y utilice ajuste. de. curva. de tercer orden para hbomba como una función de V , V 2 y V 3. Haga una lista de las ecuaciones de ajuste de curvas y los coeficientes (con unidades) para certidumbre total. Calcule el PME (BEP) de la bomba con base en las expresiones de ajuste de curvas. 14-33E Suponga que la bomba de los problemas 14-30E y 14-29E se emplea en un sistema. de tubería que tiene la demanda de Hnecesaria  (z2 – z1)  bV 2, donde la diferencia de eleva2. ción z2 – z1  15.5 ft, y el coeficiente b  0.00986 ft/(gpm) . Estime el punto de operación para el sistema, a saber, V operación (gpm) y Hoperación (ft). Respuestas: 9.14 gpm, 16.3 ft 14-34 Los datos de rendimiento para una bomba centrífuga de agua se muestran en la tabla P14-34 para agua a 20°C (Lpm  litros por minuto). a) Para cada renglón de datos, calcule la eficiencia de la bomba (por ciento). Muestre todas las unidades y conversiones para certidumbre total. b) Estime el caudal (Lpm) y la carga hidrostática neta (m) en PME (BEP) de la bomba.

14-35

Para la bomba centrífuga del problema 14-34, grafique los datos de rendimiento de la bomba: H . (m), bhp (W) y hbomba (por ciento) como funciones de V (Lpm). Sólo utilice los valores numéricos (no tracen las líneas). Realice los ajustes de curva polinominal por método de mínimos cuadrados lineal para los tres parámetros y grafique las curvas ajustadas como líneas (no simbólicamente) en la misma gráfica. Para tener congruencia, use un ajuste de curva de primer orden . para H como una función de V 2, emplee un ajuste . de . curva de segundo orden para bhp como una función de V y V 2, y utilice un ajuste de tercer orden para hbomba como una función . . de curva . de V , V 2 y V 3. Haga una lista de las ecuaciones y coeficientes de ajuste de curvas (con unidades) para credibilidad total. Calcule el PME de la bomba con base en las expresiones de ajuste de curvas. 14-36 Suponga que la bomba de los problemas 14-34 y 14-35 se emplea en un sistema de tuberías que. tiene un requerimiento de sistema Hrequerida  (z2 – z1)  b V 2, donde la diferencia de alturas z2 – z1  13.2 m, y el coeficiente b  0.0185 m 2. Estime el punto de operación del sistema, a saber, (Lpm) . V operación (Lpm) y Hoperación (m). 14-37

Suponga que considera comprar una bomba de agua con los datos de rendimiento que se muestran en la tabla P14-37. Su supervisor le pide cierta información acerca de la . bomba. a) Estime la carga al cierre H0 y la descarga libre V máx de la bomba. (Sugerencia: Ejecute un ajuste de curva por método de. mínimos cuadrados (análisis de regresión) de Hdisponible contra V 2, y calcule los valores del mejor ajuste de los coeficientes H0 y a que traducen los datos tabulados de la tabla . P14-37 en una expresión parabólica, Hdisponible  H0  a V 2. De estos coeficientes, estime la descarga libre de la bomba.] b) La aplicación requiere 57.0 Lpm de flujo a un aumento de presión por la bomba de 5.8 psi. ¿Esta bomba es capaz de satisfacer las necesidades? Explíquelo.

TABLA P14-37 . V, Lpm

H, m

20 30 40 50

21 18.4 14 7.6

843 CAPÍTULO 14

14-38I Un fabricante de bombas pequeñas de agua enlista los datos de rendimiento para una familia de sus bombas como un . ajuste de curva parabólica, Hdisponible  H0  aV 2, donde H0 es la carga al cierre de la bomba y a es un coeficiente. Tanto H0 como a se enlistan en una tabla para la familia de bombas, junto con la descarga libre de la bomba. La carga de la bomba se da en unidades de pies de columna de agua, y la capacidad se da en unidades de galones por minuto. a) ¿Cuáles son las unidades del coeficiente a? .b) Obtenga una expresión para la descarga libre de la bomba V máx en términos de H0 y a. c) Suponga que una de las bombas del fabricante se emplea para transportar agua desde un gran depósito a otro a una mayor altura. Las superficies libres de ambos depósitos están expuestas a la presión atmosférica.. La curva del sistema se simplifica a 2 Hrequerida  . (z2 – z1)  bV . Calcule el punto de operación de la bomba (V operación y Hoperación) en términos de H0, a, b y la diferencia de alturas z2 – z1. 14-39 Los datos de rendimiento de una . bomba de agua siguen el ajuste de curva Hdisponible  H0  aV 2, donde la carga al cierre de la bomba es H0  7.46 m, el coeficiente es a  0.0453 m/(Lpm)2, las unidades de la carga . hidrostática de la bomba H son metros y las unidades de V , litros por minuto (Lpm). La bomba se emplea para llevar agua desde un gran depósito a otro a una mayor altura. Las superficies libres de ambos depósitos están expuestas a la presión atmosférica.. La curva del sistema se simplifica a Hnecesaria  (z2 – z1)  bV 2, donde la diferencia de alturas z2 – z1  3.52 m y el coeficiente b  . 0.0261 m/(Lpm)2. Calcule el punto de operación de la bomba (V operación y Hoperación) en unidades apropiadas (Lpm y metros, respectivamente). Respuestas: 7.43 Lpm, 4.96 m 14-40 Para la aplicación de que se trata, el caudal del problema 14-39 no es adecuado. Por lo menos se necesitan 9 Lpm. Repita el problema 14-39 para una bomba más potente con H0 = 8.13 m y a = 0.0297 m/(Lpm)2. Calcule la mejora porcentual en el caudal en comparación con la bomba original. ¿Puede esta bomba dar el caudal necesario? 14-41I Una bomba de agua se usa para llevar agua desde un gran depósito a otro que está a mayor altura. Las superficies libres de ambos depósitos están expuestas a la presión atmosférica, como se ilustra en la figura P14-41I. Las dimensiones y coeficientes de pérdidas menores aparecen en la figura. El rendimiento de la bomba .se aproxima por medio de la expresión Hdisponible  H0  aV 2, donde la carga al cierre es H0  125 pies de columna de agua, el coeficiente es a  2.50 pies/gpm2, la carga disponible de la bomba Hdisponible está . en unidades de pies de columna de agua y la capacidad V está en unidades de galones por minuto (gpm). Estime la capacidad de descarga de la bomba. Respuesta: 6.34 gpm 14-42I Para la bomba y el sistema de tubería del problema 14-41I, grafique la carga necesaria de la bomba Hnecesaria . (pies de columna de agua) como una función del caudal V (gpm). En la misma gráfica, compare la carga disponible de la bomba . Hdisponible en función de V y marque el punto de operación. Explíquelo.

z2 – z1 = 22.0 ft (diferencia de elevación) D = 1.20 in (diámetro de tubería) KL, entrada = 0.50 (entrada de la tubería) KL, válvula 1 = 2.0 (válvula 1) KL, válvula 2 = 6.8 (válvula 2) KL, codo = 0.34 (cada codo, hay 3) KL, salida = 1.05 (salida de tubería) L = 124 ft (largo total de la tubería) e = 0.0011 in (tubería menos densa) 2 z2

V2  0

Depósito

z2 – z1 D 1

V1  0

z1

Depósito Válvula 2

Bomba Válvula 1

FIGURA P14-41I 14-43I Suponga que los dos recipientes del problema 14-41I están separados 1 000 ft horizontalmente a la misma altura. Todas las constantes y parámetros son idénticos a los del problema 14-41I excepto que la longitud total de la tubería es 1 124 ft en vez de 124 ft. Calcule el caudal para este caso y compare con el resultado del problema 14-41I. Explíquelo. 14-44I

Paul comprende que la bomba del problema 1441I no es la más adecuada para esta aplicación, ya que su carga al cierre (125 ft) es mucho mayor que su carga neta necesaria (menor que 30 ft), y su capacidad es bastante baja. En otras palabras, la bomba está diseñada para aplicaciones de baja capacidad y carga hidrostática alta, mientras que la aplicación en estudio es de carga hidrostática bastante baja, y se desea una capacidad mayor. Paul intenta convencer a su supervisor de que una bomba menos costosa, con menor carga al cierre, pero mayor descarga libre, produciría un flujo mucho mayor entre los dos depósitos. Paul busca en algunos folletos en línea y encuentra una bomba con los datos de rendimiento que se muestran en la tabla P14-44I. Su supervisor le pide predecir el caudal entre los dos depósitos si la bomba existente se reemplazara con la nueva bomba. a) Ejecute un ajuste de curva de mínimos cuadrados (análisis de regresión) de Hdisponible como . una función de V 2, y calcule los valores de mejor ajuste de los coeficientes H0 y a que traducen los datos tabulados de .la tabla P14-44I en la expresión parabólica Hdisponible  H0  a V 2. Grafique los datos como los valores numéricos y la curva de ajuste

844 TURBOMAQUINARIA

como una línea para comparación. b) Estime el caudal de operación de la nueva bomba si fuera a reemplazar la bomba existente con todo lo demás igual. Compare el resultado del problema 14-41I y explique. ¿Tiene Paul la razón? c) Elabore una gráfica de la carga hidrostática neta necesaria y la carga hidrostática neta disponible como funciones del caudal e indique el punto de operación en la gráfica.

TABLA P14-44I . V, gpm

H, ft

0 4 8 12 16 20 24

38 37 34 29 21 12 0

14-46 Para la bomba y el sistema de tubería del problema 1445, grafique la carga hidrostática requerida Hnecesaria de la bom-. ba (m de columna de agua) como una función del caudal V (Lpm). En la misma gráfica, compare la carga . hidrostática disponible Hdisponible de la bomba en función de V y marque el punto de operación. Explíquelo. 14-47 Suponga que la superficie libre del depósito de entrada en el problema 14-45 mide 3.0 m más de altura, de modo que z2 – z1  4.85 m. Todas las constantes y parámetros permanecen idénticos a los del problema 14-45 excepto por la diferencia de altura. Calcule el caudal para este caso y compare con el resultado del problema 14-45. Explíquelo. 14-48

14-45 Se emplea una bomba para llevar agua de un gran depósito a otro que está a mayor altura. Las superficies libres de ambos depósitos están expuestas a la presión atmosférica, como se ilustra en la figura P14-45. Las dimensiones y los coeficientes de pérdidas menores se ilustran en la figura. El rendimiento de la bomba se aproxima por medio de la expresión Hdisponible  . H0  aV 2, donde la carga al cierre es H0  24.4 m de columna de agua, el coeficiente es a  0.0678 m/Lpm2, la carga hidrostática disponible de la bomba Hdisponible está . en unidades de metros de columna de agua y la capacidad V está en unidades de litros por minuto (Lpm). Estime la capacidad de descarga de la bomba. Respuesta: 11.6 Lpm

El supervisor de April le pide encontrar una bomba de reemplazo que incremente el caudal por la tubería del problema 14-45 por un factor de 2 o mayor. April busca en algunos folletos en línea y encuentra una bomba con los datos de rendimiento que se muestran en la tabla P14-48. Las dimensiones y parámetros son los mismos que en el problema 14-45, sólo se cambia la bomba. a) Efectúe un ajuste de curva de. mínimos cuadrados (análisis de regresión) de Hdisponible contra V 2, y calcule los valores de mejor ajuste de los coeficientes H0 y a que traducen los datos tabulados de la. tabla P1448 en la expresión parabólica Hdisponible  H0  a V 2. Grafique los datos como los valores numéricos y el ajuste de curva como una línea para comparación. b) Use la expresión obtenida en el inciso a) para estimar el caudal de operación de la nueva bomba si se reemplazara la bomba existente con todo lo demás igual. ¿Logró su objetivo April? c) Construya una gráfica de la carga hidrostática neta requerida y la carga hidrostática neta disponible como funciones de caudal e indique el punto de operación sobre la gráfica.

TABLA P14-48 z2 – z1 = 7.85 m (diferencia de elevación) D = 2.03 cm (diámetro de tubería) KL, entrada = 0.50 (entrada de la tubería) KL, válvula = 17.5 (válvula ) KL, codo = 0.92 (cada codo, hay 5) KL, salida = 1.05 (salida de tubería) L = 176.5 m (largo total de la tubería) e = 0.25 mm (tubería menos densa) 2 z2

V2  0

. V, Lpm

H, m

0 5 10 15 20 25 30

46.5 46 42 37 29 16.5 0

Depósito z2 – z1

1

V1  0

14-49 Calcule el caudal entre los depósitos del problema 1445 para el caso en el que se duplica el diámetro de la tubería, con todo lo demás igual. Explíquelo. D

z1

Depósito Bomba Válvula

FIGURA P14-45

14-50 Cuando se comparan los resultados de los problemas 14-45 y 14-49, se observa que el caudal se incrementa como se esperaba cuando se duplica el diámetro interno de la tubería. ¿Se podría esperar que se incremente también el número de Reynolds? ¿Se incrementa? Explíquelo. 14-51 Repita el problema 14-45, pero ignore todas las pérdidas menores. Compare el caudal con el del problema 14-45. ¿Son importantes las pérdidas menores en este problema? Explíquelo.

845 CAPÍTULO 14

14-52

Considere la bomba y la tubería del problema 1445. Suponga que el depósito inferior es enorme y que su superficie no cambia de elevación, pero el depósito superior no es tan grande, y su superficie aumenta poco a poco. conforme se llena. Construya una curva de gasto volumétrico V (Lpm) como una función de z2 – z1 en el intervalo 0 al valor de z2 – z1, en el que la bomba ya no bombea más agua. ¿A qué valor de z2 – z1 ocurre esto? ¿La curva es lineal? Explique por qué sí o por qué no. ¿Qué sucedería si z2 – z1 fuera mayor que este valor? Explíquelo. 14-53I Un sistema de ventilación local (un sistema de campana y ducto) se emplea para eliminar aire y contaminantes que se producen cuando se suelda un objeto (Fig. P14-53I). El diámetro interno (DI) del conducto es D  9.06 in, su rugosidad promedio es 0.0059 in y longitud total es L  34.0 ft. Hay tres codos a lo largo del conducto, cada uno con un coeficiente de pérdidas menores de 0.21. El manual del fabricante de la campana indica que el coeficiente de pérdida de la entrada de la campana es de 4.6 con base en la velocidad del conducto. Cuando el regulador de tiro está abierto totalmente, su coeficiente de pérdida es 1.8. Se dispone de un ventilador centrífugo de jaula de ardilla con una entrada de 9.0 in. Sus datos de rendimiento se. ajustan a una curva parabólica de la forma Hdisponible  H0  aV 2, donde la carga al cierre es H0  2.30 in (pulg) de columna de agua, el coeficiente es a  8.50 106 in (pulg) de columna de agua entre (PCME)2 (pies cúbicos por minuto estándares, standard cubic feet per minute, en inglés), la carga hidrostática disponible Hdisponible está . en unidades de pulgadas de columna de agua, y la capacidad V está en unidades de pies cúbicos por minuto estándares (PCME, a 77°F). Estime el caudal en PCME por este sistema de ventilación. Respuesta: 452

14-54I Para el ducto y el ventilador del problema 14-53I, el cierre parcial del regulador de tiro disminuiría el flujo. Si todo lo demás permanece igual, estime al coeficiente de pérdidas menores del regulador de tiro necesario para disminuir el gasto volumétrico en un factor de 2. 14-55I Repita el problema 14-53I sin considerar las pérdidas menores. ¿Qué tan importantes son las pérdidas menores en este problema? Explíquelo. 14-56 Un sistema de ventilación local (una campana y un ducto) se emplea para sacar aire y contaminantes de un laboratorio farmacéutico (Fig. P14-56). El diámetro interno (DI) del ducto es D  150 mm, su rugosidad promedio es 0.15 mm y su longitud total es L  24.5 m. Hay tres codos a lo largo del ducto, cada uno con un coeficiente de pérdidas menores de 0.21. En el manual del fabricante se indica el coeficiente de pérdidas menores de la entrada como 3.3 con base en la velocidad del ducto. Cuando el controlador de tiro está totalmente abierto, su coeficiente de pérdida es 1.8. El coeficiente de pérdidas menores por la T-ramificación de 90° es 0.36. Por último, se instala una válvula unidireccional (de charnela) para evitar que los contaminantes de una segunda campana entren a la habitación. El coeficiente de pérdidas menores de la válvula unidireccional (abierta) es 6.6. Los datos de rendimiento del ventilador se ajus. tan a una curva parabólica de la forma Hdisponible  H0  aV 2, donde la carga al cierre es H0  60.0 mm de columna de agua, el coeficiente es a  2.50 107 mm de columna de agua por (Lpm)2, la carga hidrostática disponible Hdisponible. está en unidades de mm de columna de agua y la capacidad V está en unidades de Lpm de aire. Estime el caudal en Lpm por este sistema de ventilación. Respuesta: 7 090 Lpm

PCME

z2

2 z2 2

Válvula unidireccional T de 90º (de charnela)

Rama de otra campana

Ventilador

Ventilador

Regulador de tiro

Regulador de tiro T = 25ºC P = 1 atm

Campana

1

FIGURA P14-53I

Campana

z1

1

FIGURA P14-56

z1

846 TURBOMAQUINARIA

14-57 Para el sistema del problema 14-56, grafique la carga hidrostática necesaria Hnecesaria (mm .de columna de agua) como una función del gasto volumétrico V (Lpm). En la misma gráfica, compare la carga hidrostática disponible del ventilador . Hdisponible en función de V , y marque el punto de operación. Explíquelo. 14-58 Repita el problema 14-56 sin considerar las pérdidas menores. ¿Qué tan importantes son las pérdidas menores en este problema? 14-59 Suponga que falla la válvula unidireccional de la figura P14-56 debido a la corrosión y está obstruida en su posición de cierre completo (no puede pasar aire). El ventilador está encendido y las otras condiciones son idénticas a las del problema 14-56. Calcule la presión manométrica (en pascales y en mm de columna de agua) en un punto justo corriente abajo del ventilador. Repita para un punto justo corriente arriba de la válvula unidireccional (de charnela). 14-60I Se emplea una bomba centrífuga para bombear agua a 77°F desde un depósito cuya superficie está 20.0 ft arriba de la línea central de la entrada de la bomba (Fig. P14-60I). El sistema de tubería consiste en 67.5 ft de tubo de PVC con un DI de 1.2 in y altura de rugosidad interna promedio despreciable. La longitud de la tubería desde el fondo del depósito inferior hasta la entrada de la bomba es 12.0 ft. Hay varias pérdidas menores en la tubería: una entrada de borde agudo (KL  0.5), dos codos normales de 90° lisos embridados (KL  0.3 cada uno), dos válvulas de globo embridadas totalmente abiertas (KL  6.0 cada una) y una pérdida de salida hacia el depósito superior (KL  1.05). El fabricante provee la carga de aspiración neta positiva requerida de la bomba como . un ajuste de curva: NPSHrequerida  1.0 ft  (0.0054 ft/gpm2)V 2, donde el caudal está en gpm. Estime el caudal máximo (en unidades de gpm) que puede bombearse sin cavitación.

3

z3 Depósito z3 – z1 1

z1

Depósito

Válvula 2 z2 Válvula

Bomba

FIGURA P14-60I 14-61I Repita el problema 14-56I, pero con una temperatura del agua de 150°F. Explíquelo. 14-62 Se emplea una bomba centrífuga de autocebado para bombear agua a 25°C desde un depósito cuya superficie está 2.2 m arriba de la línea central de la entrada de la bomba (Fig.

P14-62). La tubería es de PVC con un DI de 24.0 mm y altura de rugosidad interna promedio despreciable. La longitud de la tubería desde la entrada sumergida hasta la entrada de la bomba es 2.8 m. Sólo hay dos pérdidas menores desde la entrada de la tubería hasta la entrada de la bomba: una entrada reentrante de borde agudo (KL  0.85) y un codo normal liso de 90° embridado (KL  0.3). La carga de aspiración neta positiva necesaria de la bomba se obtiene del fabricante como .un ajuste de curva: NPSHnecesaria  2.2 m  (0.0013 m/Lpm2)V 2, donde el caudal está en Lpm. Estime el caudal máximo (en unidades de Lpm) que se pueden bombear sin cavitación.

Bomba z2 2 1

z2 – z1 z1

Depósito

FIGURA P14-62

14-63 Repita el problema 14-62, pero con una temperatura del agua de 80°C. Repita con 90°C. Explíquelo. 14-64 Repita el problema 14-62, pero con el diámetro de tubo incrementado por un factor de 2 (lo demás no cambia). El caudal al que ocurre cavitación en la bomba ¿aumenta o disminuye con la tubería más grande? Explíquelo. 14-65 Dos bombas de agua están dispuestas en serie. Los datos de rendimiento para ambas bombas siguen un ajuste de cur. va parabólica Hdisponible  H0  aV 2. Para la bomba 1, H0 es de 6.33 m y el coeficiente es a  0.0633 m/Lpm2; para la bomba 2, H0  9.25 m y el coeficiente a  0.0472 m/Lpm2. En cualquier caso, las unidades de carga hidrostática neta de la bomba . H son m, y las unidades de capacidad V son Lpm. Calcule la carga al cierre y la descarga libre combinadas para las dos bombas que trabajan juntas en serie. ¿A qué flujo debe desconectarse la bomba 1 y desviar el flujo de modo que no pase por ella? Explíquelo. Respuestas: 15.6 m, 14.0 Lpm, 10.0 Lpm 14-66 Las dos mismas bombas de agua del problema 14-65 se conectan en paralelo. Calcule la carga hidrostática al cierre y la descarga libre de las dos bombas que funcionan juntas en paralelo. ¿A qué carga neta combinada debe desconectarse la bomba 1 y hacer que el flujo no pase por la ramificación que le corresponde? Explíquelo. 14-67I La bomba rotatoria de doble lóbulo que se ilustra en la figura P14-67I mueve 0.145 gal de una lechada de carbón en . cada volumen de lóbulo V lóbulo. Calcule caudal de la lechada (en . gpm) para el caso donde n  220 rpm. Respuesta: 128 gpm

847 CAPÍTULO 14

⋅ V

Ent

⋅ V

Sal

muestra en el dibujo (el subíndice indica borde posterior del estator). Hay 18 álabes de estator. En condiciones de diseño, la velocidad de flujo axial por los álabes es 31.4 m/s, y el rotor gira a 1 800 rpm. A un radio de 0.50 m, calcule los ángulos de borde delantero y posterior del álabe del rotor y dibuje la forma del álabe. ¿Cuántos álabes de rotor debe haber? Núcleo y motor

Vlóbulo

FIGURA P14-67I

vr

bep

14-68I Repita el problema 14-67I para el caso en el que . la bomba tiene tres lóbulos en cada rotor en lugar de dos, y V lóbulo  0.103 gal.

???

14-69 Una bomba rotatoria de desplazamiento positivo con doble lóbulo, similar a la de la figura 14-30, mueve 3.64 cm3 de . pasta de tomate en cada volumen de lóbulo V lóbulo. Calcule. el flujo volumétrico de pasta de tomate para el caso donde V  336 rpm. 14-70 Considere la bomba de engranajes de la figura 14-26c). Suponga que el volumen del fluido confinado entre dos dientes de engrane es 0.350 cm3. ¿Cuánto fluido se bombea por rotación? Respuesta: 9.80 cm3 . 14-71 Una bomba centrífuga gira a n  750 rpm. El agua entra al rotor normal a los álabes (a1  0°) y sale a un ángulo de 35° desde la dirección radial (a2  35°). El radio de entrada es r1  12.0 cm, al cual el ancho de álabe es b1  18.0 cm. El radio de salida es r2  24.0 cm, al cual el ancho de álabe es b2  16.2 cm. El caudal es 0.573 m3/s. Se supone una eficiencia de 100 por ciento, calcule la carga neta que produce esta bomba en cm de altura de columna de agua. Calcule también la potencia al freno requerida en W. 14-72 Suponga que la bomba del problema 14-71 tiene algo de remolino a la entrada de modo que a1  10° en vez de 0°. Calcule la carga hidrostática neta y la potencia necesaria en hp, y compare con el problema 14-71. Comente; especialmente, ¿el ángulo en el que el fluido incide en el álabe del impulsor es un parámetro crítico en el diseño de bombas centrífugas? 14-73 Suponga que la bomba del problema 14-71 tiene algo de remolino invertido a la entrada de modo que a1  10° en vez de 0°. Calcule la carga hidráulica neta y la potencia necesaria en hp, y compare con el problema 14-71. Comente; especialmente, ¿el ángulo en el que el fluido incide en el álabe del impulsor es un parámetro crítico en el diseño de bombas centrífugas? ¿Una pequeña cantidad de remolino inverso aumenta o disminuye la carga hidrostática de la bomba? En otras palabras, ¿es deseable? Nota: Recuerde que aquí se están despreciando las pérdidas. 14-74 Se diseña un ventilador de flujo axial con álabes guía del estator ubicados corriente arriba de los álabes del rotor (Fig. P14-74). Para reducir gastos, los álabes del estator y el rotor se construirán de lámina metálica. El álabe del estator es un arco circular simple con su borde delantero alineado axialmente y su borde posterior a un ángulo bep  26.6° desde el eje, como se

r

→

v

Vent

→

Vsal

Estator

Rotor

FIGURA P14-74 Turbinas 14-75C Dé por lo menos dos razones de por qué las turbinas suelen tener mayores eficiencias que las bombas. 14-76C Explique de manera breve la diferencia principal en que las bombas dinámicas y las turbinas de reacción se clasifican como centrífugas (radiales), de flujo mixto o axiales. 14-77C ¿Qué es un tubo de aspiración y cuál es el propósito de usarlo? Describa qué sucedería si los diseñadores de turbomaquinaria no pusieran atención al diseño del tubo de aspiración. 14-78C Nombre y describa con brevedad las diferencias entre los dos tipos básicos de turbina dinámica. 14-79C Describa el significado de movimiento giratorio invertido en hidroturbinas de reacción, y explique por qué es deseable cierto movimiento giratorio invertido. Use una ecuación para apoyar su respuesta. ¿Por qué no es aconsejable tener demasiado movimiento giratorio invertido? 14-80 Pruebe que para una determinada velocidad de chorro, caudal, ángulo de desviación y radio de rueda, la potencia máxima de flecha que produce una rueda Pelton ocurre cuando el cangilón de la turbina se mueve a la mitad de la velocidad del chorro. 14-81 Se emplea una turbina Pelton para producir potencia hidroeléctrica. El radio promedio de la rueda es de 1.83 m, y la velocidad de chorro es 102 m/s desde una tobera aceleradora con diámetro de salida igual a 10.0 cm. El ángulo de desviación de flujo por los cangilones es b  165°. a) Calcule el caudal por la turbina en m3/s. b) ¿Cuál es la razón de rotación óptima (en rpm) de la rueda (para potencia máxima)? c) Calcule la potencia de flecha producida en MW si la eficiencia de la turbina es 82 por ciento. Respuestas: a) 0.801 m3/s, b) 266 rpm, c) 3.35 MW

848 TURBOMAQUINARIA

14-82 Algunos ingenieros evalúan posibles sitios para una pequeña presa hidroeléctrica. En uno de los lugares, la caída total es 650 m, y estiman que el caudal de agua por cada turbina sería 1.5 m3/s. Estime la producción de potencia ideal por turbina en MW. 14-83 Una planta hidroeléctrica tiene 14 turbinas Francis idénticas, una carga hidrostática bruta de 284 m, y un caudal volumétrico de 13.6 m3/s a través de cada turbina. El agua está a 25°C. Las eficiencias son ηturbina = 95.9 por ciento, ηgenerador = 94.2 por ciento y ηotros = 95.6 por ciento, donde ηotros considera todas las demás pérdidas de energía mecánica. Estime la producción de potencia eléctrica de esta planta en MW. 14-84I Se diseña una planta de energía hidroeléctrica. La caída total desde el depósito al canal de descarga es 859 ft, y el caudal de agua por cada turbina es 189 400 gpm a 50°F. Hay 10 turbinas idénticas conectadas en paralelo, cada una con una eficiencia de 96.3 por ciento, y se estima que todas las otras pérdidas de energía mecánica (por el canal de descarga, entre otros elementos) disminuyen la capacidad en 3.6 por ciento. El generador tiene una eficiencia de 93.9 por ciento. Estime la producción de potencia eléctrica por la planta en MW. 14-85 Se diseña una hidroturbina Francis de flujo radial con las siguientes dimensiones: r2  2.00 m, r1  1.42 m, b2  . 0.731 m y b1  2.20 m. El rotor gira a n  180 rpm. Las aspas directrices desvían el flujo por un ángulo a2  30° desde la dirección radial en la entrada del rotor, y el flujo en la salida del rotor está a un ángulo a1  10° desde la dirección radial (Fig. P14-85). El caudal en las condiciones de diseño es 340 m3/s y la carga total que proporciona la presa es Htotal  90.0 m. Para el diseño preliminar, las pérdidas irreversibles son despreciables. Calcule los ángulos de las aspas del rotor interno y externo b2 y b1, respectivamente, y prediga la producción de potencia (MW) y la carga hidrostática neta requerida (m). ¿Es posible el diseño?

14-86

Reconsidere el problema 14-85. Con el software EES (u otro), investigue el efecto del ángulo de salida del rotor a1 sobre la carga neta necesaria y la potencia producida. Permita que el ángulo varíe de 20° a 20° en incrementos de 1°, y grafique sus resultados. Determine el valor mínimo posible de a1 tal que el flujo no viole las leyes de la termodinámica. 14-87 Una hidroturbina Francis de flujo radial tiene las siguientes dimensiones, donde la ubicación 2 es la entrada y la ubicación 1 es la salida: r2  2.00 m, r1  1.30 m, b2  0.85 m y b1  2.10 m. Los ángulos de aspas del rotor son b2  71.4° y b1  15.3° en la entrada y la salida de la turbina, respectiva. mente. El rotor gira a n  120 rpm. El caudal en condiciones de diseño es 80.0 m3/s. Las pérdidas irreversibles se ignoran en este análisis preliminar. Calcule el ángulo a2 por el que las aspas directrices deben desviar el flujo, donde a2 se mide desde la dirección radial en la entrada del rotor (Fig. P14-85). Calcule el ángulo de movimiento giratorio a1, donde a1 se mide desde la dirección radial en la salida del rotor (Fig. P14-85). ¿Tiene esta turbina movimiento giratorio en la dirección del giro del rotor o movimiento giratorio invertido? Prediga la producción de potencia (MW) y la carga hidrostática neta necesaria (m). 14-88I Una hidroturbina Francis de flujo radial tiene las siguientes dimensiones, donde la ubicación 2 es la entrada y la ubicación 1 es la salida: r2  6.60 ft, r1  4.40 ft, b2  2.60 ft y b1  7.20 ft. Los ángulos de las aspas del rotor son b2  82° y b1  46° en la entrada y la salida de la turbina, respectiva. mente. El rotor gira a n  120 rpm. El caudal en las condiciones de diseño es 4.70 106 gpm. En este análisis preliminar se ignoran las pérdidas irreversibles. Calcule el ángulo a2 por el que las aspas directrices deben desviar el flujo, donde a2 se mide desde la dirección radial en la entrada del rotor (Fig. P1485). Calcule el ángulo de movimiento giratorio a1, donde a1 se mide desde la dirección radial en la salida del rotor (Fig. P1485). ¿Esta turbina tiene movimiento giratorio en la dirección del giro del rotor o movimiento giratorio invertido? Prediga la potencia producida (hp) y la carga neta necesaria (ft). 14-89I

Por medio del software EES, ajuste el ángulo del borde posterior de la aspa del rotor b1 del problema 14-88I, sin modificar los otros parámetros, de modo que no haya movimiento giratorio en la salida de la turbina. Determine b1 y la potencia de flecha correspondiente.

FIGURA P14-85

14-90 Se está diseñando una turbina axial sencilla de una sola etapa para producir potencia a partir de agua que fluye por un tubo como en la Fig. P14-90. Se toma tanto el estator como el estator aproximadamente como metal delgado doblado. Los 16 álabes del estator (corriente arriba) tienen bsl = 0° y bst = 50.3°, donde los subíndices “sl” y “st” significan la orilla delantera del estator y orilla trasera del estator, respectivamente. En las condiciones de diseño, la velocidad del flujo axial es 8.31 m/s, el rotor gira a 360 rpm, y se desea que no haya remolino corriente abajo de la turbina. Con un radio de 0.324 m, calcule los ángulos brl y brt (ángulos de las orillas delantera y trasera del estator). Haga un esquema de qué aspecto deben tener las paletas del rotor, y especifique cuántas paletas del rotor debe haber.

849 CAPÍTULO 14

14-93 Fluye aire (r  1.225 kg/m3, y m  1.789 5 10 kg/m · s) a través de una turbina de flujo axial que consiste en un estator y un rotor. El caudal másico de entrada de aire es 2.0 kg/s, y el rotor gira a 100 rad/s. Aproximamos el flujo como una cascada bidimensional con un radio de 0.20 m. Ejecute FlowLab con la plantilla Axial_turbine_rotorstator.

FIGURA P14-90 14-91 Fluye aire (r  1.225 kg/m3 y m  1.789 105 kg/m · s) por los álabes del estator de una turbina de flujo axial. El caudal másico de entrada de aire es 3.0 kg/s. Consideramos el flujo aproximadamente como una cascada bidimensional de álabes del estator con un radio de 0.20 m. Ejecute FlowLab con la plantilla Axial_turbine_spacing. a) Varíe el espaciamiento de los álabes del estator s de 0.050 m a 0.150 m, y escriba los resultados en la tabla para cada caso. También para cuatro casos (0.075, 0.100, 0.125 y 0.150 m) genere una gráfica de perfil de presión combinada con líneas de corriente como sigue: la gráfica de perfil de presión se genera en forma predeterminada al terminar la sesión. Para sobreponer las líneas de corriente, elija Post-streamlines-Activate. Para guardar la imagen, elija File-Print Graphics, escoja el tipo de archivo, introduzca un nombre de archivo y elija Accept. Haga clic en Phys para regresar a la pantalla principal. ¿En cuál de estos cuatro valores de s parece inminente una separación masiva del flujo? b) Usando un transportador geométrico, mida el ángulo en el que gira el flujo corriente abajo del estator, como función de s. Comente lo que pasa con este ángulo de giro al aumentar s. Explique. 14-92 Fluye aire (r  1.225 kg/m3, y r  1.789 105 kg/m · s) a través del rotor de una turbina de flujo axial. El caudal másico de entrada de aire es 2.0 kg/s, y el rotor gira a 100 rad/s. Aproximamos el flujo como una cascada bidimensional con un radio de 0.20 m. Ejecute FlowLab con la plantilla Axial_turbine_angle. a) Varíe el ángulo de ataque del rotor para cuatro casos (0°, 20°, 40° y 60°), y escriba los resultados en la tabla para cada caso. También, para estos mismos cuatro casos, genere una gráfica de perfil de presión combinada con líneas de corriente como sigue: la gráfica de perfil de presión se genera en forma predeterminada cuando se ha terminado la sesión. Para sobreponer líneas de corriente, elija Post-Streamlines-Activate. Para guardar la imagen, elija File-Print Graphics, escoja el tipo de archivo, introduzca un nombre de archivo y elija Accept. Haga clic en Phys para volver a la pantalla principal. ¿A qué ángulo de ataque hay la menor cantidad de separación de flujo? b) ¿Qué ángulo de ataque proporciona el mayor momento de torsión? Tabule la caída neta de presión a través de la turbina (Pentrada  Psalida). ¿A cuál de los cuatro ángulos obtiene usted la mayor caída de presión? Comente sus resultados.

a) Varíe el ángulo de ataque del rotor para cuatro casos (0°, 20°, 40° y 60°), y escriba los resultados en la tabla para cada caso. También para estos mismos casos, genere una gráfica de perfil de presión combinada con líneas de corriente como sigue: la gráfica de perfil de presión se genera en forma predeterminada al terminar la sesión. Para sobreponer las líneas de corriente, elija Post-Streamlines-Activate. Para guardar la imagen, elija File-Print Graphics, escoja el tipo de archivo, introduzca un nombre de archivo y elija Accept. Haga clic en Phys para volver a la pantalla principal. ¿A qué ángulo de ataque hay la menor cantidad de separación de flujo? b) ¿Cuál ángulo de ataque proporciona el máximo momento de torsión? Tabule la caída neta de presión a través de la turbina (Pentrada  Psalida). ¿Con cuál de los cuatro ángulos obtiene usted la mayor caída de presión? Comente sus resultados. 14-94 En la sección sobre turbinas de viento, se dedujo una expresión para el coeficiente de potencia ideal de una turbina de viento, CP  4a(1  a)2. Pruebe que el coeficiente de potencia máximo posible ocurre cuando a  1/3. 14-95 Sopla el viento (r  1.204 kg/m3) a través de una turbina de viento HAWT. El diámetro de la turbina es 22.5 m. La eficiencia combinada de la caja de engranes y el generador es 88 por ciento. a) Para un coeficiente de potencia realista de 0.42, estime la producción de potencia eléctrica cuando el viento sopla a 10.0 m/s. b) Repita y compare usando el límite de Betz, suponiendo la misma caja de engranes y el mismo generador. 14-96 La velocidad promedio del viento en un sitio propuesto para una granja eólica de HAWT es 12.5 m/s. El coeficiente de potencia de cada turbina de viento se predice que será 0.41, y la eficiencia combinada de la caja de engranes y el generador es 92 por ciento. Cada turbina de viento debe producir 2.5 MW de potencia eléctrica cuando el viento sople a 12.5 m/s. a) Calcule el diámetro necesario de disco de cada turbina. Considere la densidad promedio del aire como r  1.2 kg/m3. b) Si se construyen 30 turbinas así en el sitio y una casa promedio en el área consume aproximadamente 1.5 kW de potencia eléctrica, estime a cuántas puede suministrar potencia eléctrica esta granja eólica, suponiendo una eficiencia adicional de 96 por ciento por considerar para las pérdidas en la línea de transmisión de potencia.

Leyes de semejanza de bombas y turbinas 14-97C Busque la palabra afinidad en un diccionario. ¿Por qué supone que algunos ingenieros se refieren a las leyes de semejanza de turbomaquinaria como relaciones de afinidad? 14-98C Para cada enunciado elija si es falso o verdadero y explique su respuesta de manera breve. a) Si se duplican las rpm de una bomba, con todo lo demás igual, la capacidad de la bomba aumenta por un factor alrededor de 2.

850 TURBOMAQUINARIA

b) Si se duplican las rpm de una bomba, sin modificar lo demás, la carga neta de la bomba aumenta por un factor de casi 2. c) Si sólo se duplican las rpm de una bomba su carga neta aumenta por un factor de más o menos 4. d) Si se duplican las rpm de una turbina, y lo demás permanece sin cambio, la potencia de flecha necesaria de la turbina aumenta en un factor alrededor de 8. 14-99C Exprese qué parámetro adimensional de rendimiento de la bomba se emplea por lo común como el parámetro independiente. Conteste para el caso de turbinas en lugar de bombas. Explíquelo. 14-100C La velocidad específica de bomba y la velocidad específica de turbina son parámetros “extra” que no son necesarios en las leyes de semejanza para bombas y turbinas. Explique, entonces, su propósito. 14-101 Considere la bomba del problema 14-45. El diámetro . de la bomba es 1.80 cm, y ésta opera a n  4 200 rpm. No asigne dimensiones a la curva de rendimiento de la bomba, es de CQ. Despliegue los cálculos de decir, grafique CH en función . muestra de CH y CQ a V  14.0 Lpm. 14-102 Calcule la velocidad específica de la bomba del problema 14-101 en el punto de la mejor eficiencia para el caso en el que el PME ocurre a 14.0 Lpm. Dé las respuestas tanto en forma adimensional como en unidades usuales de EUA. ¿De qué tipo de bomba se trata? Respuestas: 0.199, 545, centrífuga 14-103 Considere el ventilador del problema 14-56. El diáme. tro del ventilador es 30.0 cm y opera a n  600 rpm. No asigne dimensiones a la curva de rendimiento de la bomba, es decir, grafique CH en función de CQ. Presente los cálculos de CH y CQ . a V  13 600 Lpm. 14-104 Calcule la velocidad específica de bomba del ventilador del problema 14-103 en el punto de la mejor eficiencia para el caso en el que PME ocurra a 13 600 Lpm. Dé las respuestas en forma adimensional y en unidades usuales de EUA. ¿De qué clase de ventilador se trata? 14-105 Calcule la velocidad específica de la bomba del ejemplo 14-11 en su punto de mejor eficiencia. Dé las respuestas tanto en forma adimensional como en unidades usuales de EUA. ¿Qué tipo de bomba es ésta? 14-106 A Len se le pide diseñar una pequeña bomba de agua para un acuario. La bomba debe entregar 18.0 Lpm de agua a una carga hidrostática neta de 1.6 m en su punto de mejor eficiencia. Se cuenta con un motor que gira a 1 200 rpm. ¿Qué tipo de bomba (centrífuga, mixta o axial) debe diseñar Len? Muestre todos sus cálculos y justifique su elección. Estime la máxima eficiencia que Len puede esperar de esta bomba. Respuesta: centrífuga, 75 por ciento

14-107I Se diseña una gran bomba de agua para un reactor nuclear. La bomba debe entregar 2 500 gpm de agua a una carga hidrostática neta de 45 ft en su punto de mejor eficiencia. Se tiene un motor que gira a 300 rpm. ¿Qué clase de bomba (centrífuga, mixta o axial) debe diseñarse? Muestre todos los cálculos y justifique su elección. Estime la eficiencia máxima que puede esperarse de esta bomba. Estime la potencia (potencia al freno) necesaria para hacer funcionar la bomba.

14-108 Considere la bomba del problema 14-106. Suponga que la bomba se modifica al anexarle un motor diferente cuyas rpm son la mitad de las de la bomba original. Si las bombas operan en puntos homólogos (a saber, el PME) para ambos casos, prediga el caudal y la carga neta de la bomba modificada. Calcule la velocidad específica de la bomba modificada y compárela con la de la bomba original. Explíquelo. 14-109 Compruebe que la velocidad específica de turbina y la velocidad específica de bomba se relacionan como sigue: N St  N Sp 1h turbina . 14-110 Considere una turbina-bomba que opera como bomba y como turbina. En. condiciones en las que la velocidad rotacional v y el caudal V son los mismos para la bomba y la turbina, compruebe que la velocidad específica de turbina y la velocidad específica de bomba se relacionan como: Hbomba 34 N St  N Sp 2h turbina a b Hturbina bhpbomba 34  N Sp(h turbina)54(h bomba)34 a b bhpturbina 14-111 Aplique los factores de conversión necesarios para probar la relación entre la velocidad específica adimensional de turbina y la velocidad específica de turbina en unidades usuales de EUA, NSt  43.46NSt,US.. Note que se supone al agua como el fluido y la gravedad terrestre estándar. 14-112 Calcule la velocidad específica de la hidroturbina Round Butte de la figura 14-89. ¿Cae dentro del intervalo de NSt apropiado para ese tipo de turbina? 14-113 Calcule la velocidad específica de la hidroturbina Smith Mountain de la figura 14-90. ¿Cae dentro del intervalo de NSt apropiado para ese tipo de turbina? 14-114 Calcule la velocidad específica de la hidroturbina Warwick de la figura 14-91. ¿Cae dentro del intervalo de NSt apropiado para ese tipo de turbina? 14-115 Calcule la velocidad específica de la turbina del ejemplo 14-13 para el caso donde a1  10°. Dé las respuestas tanto en forma adimensional como en unidades usuales de EUA. ¿Se ubica en el intervalo normal para una turbina Francis? Si no, ¿qué tipo de turbina sería más apropiado? 14-116 Calcule la velocidad específica de la turbina del problema 14-87. Provea las respuestas tanto en forma adimensional como en unidades usuales de EUA. ¿Está en el intervalo normal para una turbina Francis? En caso contrario, ¿qué tipo de turbina sería más apropiado? 14-117I Calcule la velocidad específica de la turbina del problema 14-88I. Utilice unidades usuales de EUA. ¿Está en el intervalo normal para una turbina Francis? Si no es así, ¿qué tipo de turbina sería más apropiado? 14-118 Calcule la velocidad específica de la turbina del problema 14-85. Dé las respuestas tanto en forma adimensional como en unidades usuales de EUA. ¿Está en el intervalo normal

851 CAPÍTULO 14

para una turbina Francis? Si no, ¿qué tipo de turbina sería más apropiado? 14-119 Un modelo a escala uno a cinco de una turbina de agua se prueba en un laboratorio a T  20°C. El diámetro del modelo es 8.0 cm, su caudal es 17.0 m3/h, gira a 1 500 rpm y opera con una carga neta de 15.0 m. En su punto de mejor eficiencia entrega 450 W de potencia de flecha. Calcule la eficiencia de la turbina modelo. ¿Cuál es el tipo de turbina con más probabilidades de ser probada? Respuestas: 64.9 por ciento, impulsión

14-120 La turbina prototipo que corresponde a la turbina modelo a escala uno a cinco descrita en el problema 14-119 operará con una carga neta de 50 m. Determine las rpm y el caudal apropiados para la mejor eficiencia. Prediga la salida de potencia al freno de la turbina prototipo, suponiendo similitud geométrica exacta. 14-121 Pruebe que la turbina modelo (problema 14-119) y la turbina prototipo (problema 14-120) operan en puntos homólogos comparando la eficiencia y la velocidad específica de turbina para ambos casos. 14-122 En el problema 14-121, se ampliaron los resultados de prueba de la turbina modelo al prototipo de escala completa, al suponer similitud dinámica exacta. Sin embargo, como se explicó en el texto, un prototipo grande produce, por lo general, mayor eficiencia que el modelo. Estime la eficiencia real de la turbina prototipo. Explique de manera breve por qué la eficiencia es mayor. 14-123 Un grupo de ingenieros diseña una nueva hidroturbina al mejorar una que ya existe. La turbina. existente (turbina A) tiene diámetro DA  1.50 .m, y gira a V A  150 rpm. En su punto de mejor eficiencia, V A  162 m3/s, HA  90.0 m de columna de agua y bhpA  132 MW. La nueva turbina (turbina B) girará a 120 rpm, y su carga hidrostática neta será HB  110 m. Calcule el diámetro de la nueva. turbina de modo que opere con mayor eficiencia, y calcule V B y bhpB. Respuesta: 2.07 m, 342 m3/s, 341 MW

14-124 Calcule y compare la eficiencia de las dos turbinas del problema 14-123. Deben ser las mismas ya que se supone similitud dinámica. Sin embargo, la turbina más grande será en realidad más eficiente que la turbina más pequeña. Use la ecuación de Moody de corrección de eficiencia, para predecir la eficiencia real esperada de la nueva turbina. Explíquelo. 14-125 Calcule y compare la velocidad específica de turbina para las turbinas pequeña A y grande B del problema 14-123. ¿Qué tipo de turbinas es más probable que sean éstas?

Problemas de repaso 14-126C Elija si cada enunciado es verdadero o falso y explique su respuesta de manera breve. a) Una bomba de engranes es un tipo de bomba de desplazamiento positivo. b) Una bomba rotatoria es un tipo de bomba de desplazamiento positivo. c) La curva de rendimiento (carga hidrostática neta contra capacidad) de una bomba de desplazamiento positivo es casi ver-

tical en su intervalo de operación recomendado a determinada velocidad rotacional. d) A una velocidad rotacional específica, la carga hidrostática neta de una bomba de desplazamiento positivo disminuye con la viscosidad del fluido. 14-127C El medidor de agua común que se encuentra en la mayoría de las casas, puede considerarse como un tipo de turbina, debido a que extrae energía del agua que fluye para hacer girar la flecha conectada al mecanismo de cuenta de volumen (Fig. P14-127C). Desde el punto de vista de un sistema de tubería, sin embargo (capítulo 8), ¿qué clase de dispositivo es un medidor de agua? Explíquelo.

FIGURA P14-127C 14-128C ¿Qué es una bomba-turbina? Describa una aplicación donde sea útil una bomba-turbina. 14-129 Para dos bombas similares desde el punto de vista dinámico, utilice los parámetros de. bomba adimensionales para . mostrar que DB  DA(HA/HB)1/4(V B/V A)1/2. ¿Se aplica la misma relación a dos turbinas dinámicamente similares? 14-130 Para dos turbinas con similitud dinámica, utilice los parámetros de turbina adimensionales para mostrar que DB  DA(HA/HB)3/4(rA/rB)1/2(bhpB/bhpA)1/2. ¿Se aplica la misma relación a dos bombas dinámicamente similares?

Problemas de diseño y ensayo 14-131

Desarrolle una aplicación general de computadora (con el software EES u otro) que emplee las leyes de semejanza para diseñar una nueva bomba B dinámicamente similar a una bomba dada A. Las variables de entrada para la bomba A son diámetro, carga hidrostática neta, capacidad, densidad, velocidad rotacional y eficiencia de la bomba. Las datos de entrada para la bomba B son densidad (rB podría ser diferente de rA), la carga hidrostática neta deseada y la capacidad deseada. Los datos de salida para la bomba B son diámetro, velocidad rotacional y potencia de flecha requerida. Pruebe su programa con . los siguientes datos de entrada: DA  . 5.0 cm, HA  120 cm, V A  400 cm3/s, rA  998.0 kg/m3, nA 3  1 725 rpm,. hbomba,A  81 por ciento, rB  1 226 kg/m , HB  450 cm y V B  2 400 cm3/s. Compruebe sus resultados ma. nualmente. Respuestas: DB  8.80 cm, n B  1 898 rpm, y bhpB  160 W

14-132

Los experimentos realizados en una bomba existente A producen los siguientes datos de PME . (BEP): DA  10.0 cm, HA  210 cm, V A  1 350 cm3/s, rA  . 998.0 kg/m3, nA  1 500 rpm, hbomba,A  87 por ciento. Se pide diseñar una nueva bomba B que tiene los siguientes requeri. mientos: rB  998.0 kg/m3, HB  570 cm y V B  3 670 cm3/s. Aplique el software que elaboró en el problema 14-131 para . calcular DB (cm), nB (rpm) y bhpB (W). Calcule también la ve-

852 TURBOMAQUINARIA

locidad específica de la bomba. ¿Qué tipo de bomba es ésta (la más probable)? 14-133

Elabore una aplicación general de computadora (con el software EES u otro) que emplee las leyes de semejanza para diseñar una nueva turbina B dinámicamente similar a una turbina determinada A. Los datos de entrada para la turbina A son diámetro, carga hidrostática neta, capacidad, densidad, velocidad rotacional y potencia al freno. Los datos de entrada para la turbina B son densidad (rB podría ser diferente de rA), carga hidrostática neta disponible y velocidad rotacional. Los datos de salida para la turbina B son diámetro, capacidad y potencia al freno. Pruebe su programa con los . siguientes valores de entrada: DA  1.40 m, HA  80.0 m, V A .  162 m3/s, rA  998.0 kg/m3, nA  150 rpm, bhpA  118 . 3 MW, rB  998.0 kg/m , HB  95.0 m y nB  120 rpm. Compruebe sus resultados de manera manual. Respuestas: DB  . 1.91 m, V B  328 m3/s, y bhpB  283 MW

14-134

Los experimentos realizados en una turbina existente A .produjeron los siguientes datos: DA  86.0 cm, HA  22.0 m, V A  69.5 m3/s, rA  998.0 kg/m3, . nA  240 rpm, bhpA  11.4 MW. Se le pide diseñar una nueva turbina B que tiene las siguientes características: rB  998.0 . kg/m3, HB  95.0 m y nB  210 rpm. Aplique el programa de computadora . que elaboró en el problema 14-133 para calcular DB (m), V B (m3/s) y bhpB (MW). Calcule también la velocidad específica de turbina. ¿Qué tipo de turbina es ésta (el más probable)? 14-135

Calcule y compare la eficiencia de las dos turbinas del problema 14-134. Deben ser las mismas puesto que se supone similitud dinámica. Sin embargo, la turbina más grande será en realidad un poco más eficiente que la turbina más pequeña. Use la ecuación de Moody de corrección de eficiencia para predecir la eficiencia real esperada de la nueva turbina. Explíquelo.

CAPÍTULO

INTRODUCCIÓN A LA DINÁMICA DE FLUIDOS C O M P U TA C I O N A L n este capítulo se presenta una breve introducción a la dinámica de fluidos computacional (DFC, computational fluid dynamics, CFD por sus siglas en inglés). Aunque cualquier persona inteligente, con conocimientos de computación, puede utilizar un paquete de DFC, los resultados que obtenga podrían ser físicamente incorrectos. De hecho, si la malla no se genera de manera apropiada, o si las condiciones de frontera o los parámetros de flujo se aplican inadecuadamente, los resultados inclusive podrían ser erróneos por completo. Por lo tanto, el objetivo de este capítulo es presentar indicaciones generales acerca de cómo generar una malla, cómo especificar las condiciones de frontera y cómo determinar si el resultado que se obtiene de la computadora tiene sentido. Se destaca la aplicación de la DFC a problemas de ingeniería, en vez de dar detalles acerca de las técnicas de generación de mallas, esquemas de discretización, algoritmos de DFC o estabilidad numérica. Los ejemplos que se presentan aquí se obtuvieron mediante el paquete de dinámica de fluidos computacional FLUENT. Otros paquetes de DFC producirían resultados similares, pero no idénticos. Las soluciones de DFC que se presentan como ejemplos se dan para flujos laminar y turbulento, tanto incompresible como compresible, y para flujos con transferencia de calor y flujos con superficies libres. Como siempre, se aprende mejor cuando se ponen “manos a la obra”. Por esta razón, se proporcionan varios problemas de tarea que utilizan FLUENT FLOWLAB®, al cual de aquí en adelante se hará referencia como FlowLab, un paquete de DFC amigable.

E

15 OBJETIVOS Cuando el estudiante termine de leer este capítulo debe ser capaz de: ■

■

■

■

Entender la importancia de una adecuada malla (red) de alta calidad y buena resolución. Aplicar las condiciones de frontera apropiadas a los dominios computacionales. Entender cómo aplicar la DFC a problemas de ingeniería básicos y cómo determinar si el resultado tiene sentido desde el punto de vista físico. Entender que se necesita práctica constante y estudio más profundo para saber usar con éxito la DFC.

Flujo sobre un nadador, simulado mediante el código de DFC ANSYS® FLUENT®. La imagen muestra líneas simuladas de flujo de aceite a lo largo de la superficie del cuerpo. Se puede ver la separación de flujo en la región del cuello. Foto cortesía de Speedo® y ANSYS.

853

854 INTRODUCCIÓN A LA DINÁMICA

15-1

■

INTRODUCCIÓN Y FUNDAMENTOS

Motivación

FIGURA 15-1 Cálculos de la DFC del ascenso del vehículo de lanzamiento del transbordador espacial (Space shuttle launch vehicle, SSLV). La malla consta de más de 16 millones de puntos, y se muestran los contornos de la presión. Las condiciones de flujo libre son Ma  1.25 y el ángulo de ataque es 3.3°. NASA/Photo by Ray J. Gomez. Reproducido con autorización.

Existen dos métodos fundamentales para diseñar y analizar sistemas de ingeniería relacionados con el flujo de fluidos: experimentación y cálculo. El primero conlleva, por lo general, la construcción de modelos que son probados en túneles de viento u otras instalaciones (Cap. 7), mientras que el segundo implica resolver ecuaciones diferenciales, ya sea de manera analítica (Caps. 9 y 10) o computacional. En este capítulo se da una introducción breve a la dinámica de fluidos computacional (DFC), el campo de estudio dedicado a solucionar ecuaciones del flujo de fluidos con computadora (o, en fechas recientes, con computadoras que trabajan en paralelo). Los ingenieros modernos aplican tanto análisis experimental como DFC, y los dos métodos se complementan entre sí. Por ejemplo, los ingenieros podrían obtener propiedades globales, como sustentación, fuerza de arrastre, caída de presión o potencia, experimentalmente; pero emplean la DFC para obtener detalles acerca del campo de flujo, como los esfuerzos de corte, velocidad y perfiles de presión (Fig. 15-1) y líneas de corriente. Además, los datos experimentales se emplean con frecuencia para validar soluciones de DFC al comparar las cantidades globales determinadas de manera computacional y experimental. La DFC se emplea entonces para abreviar el ciclo de diseño por estudios paramétricos que son controlados con cuidado, de modo que se reduce la cantidad necesaria de análisis experimental. El estado actual de la dinámica de fluidos computacional es éste: puede manejar flujos laminares con facilidad, pero los flujos turbulentos de interés práctico son imposibles de resolver sin tener que recurrir a los modelos de turbulencia. Por desgracia, ningún modelo de turbulencia es universal, y una solución de la DFC de flujo turbulento es tan buena dependiendo qué tan apropiado es el modelo de turbulencia aplicado. Pese a esta limitación, los modelos de turbulencia estándares producen resultados razonables para muchos problemas de ingeniería prácticos. Existen varios aspectos de la DFC que no se tratan en este capítulo como son: técnicas de generación de malla, algoritmos numéricos, esquemas de diferencias finitas y método de volumen finito, temas de estabilidad numérica, modelado de turbulencia, entre otros. Es necesario estudiar estos temas para entender por completo las posibilidades y las limitaciones de la dinámica de fluidos computacional. En este capítulo, solamente se trata de manera superficial este campo interesante. El objetivo es presentar los fundamentos de la DFC desde un punto de vista de un usuario, y dar indicaciones generales acerca de cómo determinar si el resultado que se obtiene por computadora tiene sentido físico. Esta sección empieza con la presentación de las ecuaciones diferenciales de flujo de fluidos que se resolverán, y luego se describe un procedimiento de solución. Las secciones ulteriores de este capítulo se dedican a ejemplificar las soluciones de la DFC para flujo laminar, flujo turbulento, flujos con transferencia de calor, flujo compresible y flujo en canal abierto.

Ecuaciones de movimiento Para el flujo laminar estacionario de un fluido viscoso, newtoniano, incompresible y sin efectos de superficie libre, las ecuaciones de movimiento son la ecuación de continuidad: →

→

§ V 0

(15-1)

→ → → → 1→ (V  §)V   §P  n§ 2 V r

(15-2)

y la ecuación de Navier-Stokes:

855 CAPÍTULO 15

En realidad, la ecuación 15-1 es una ecuación de conservación de masa, mientras que la ecuación 15-2 es una ecuación de transporte que representa el transporte de cantidad de movimiento lineal en el dominio computacional. En las → ecuaciones 15-1 y 15-2, V es la velocidad del fluido, r es su densidad y n es la viscosidad cinética (n  m/r). La falta de efectos de superficie libre permite usar la presión modificada P y, por lo tanto, se elimina el término de gravedad de la ecuación 15-2 (vea el capítulo 10). Note que la ecuación 15-1 es una ecuación escalar, mientras que la ecuación 15-2 es una ecuación vectorial. Las ecuaciones 15-1 y 15-2 se aplican sólo a flujos incompresibles en los que también se supone que r y n son constantes. Por lo tanto, para el flujo tridimensional en coordenadas cartesianas son cuatro ecuaciones diferenciales acopladas para cuatro incógnitas u, v, w y P (Fig. 15-2). Si el flujo fuera compresible, se necesitaría modificar de manera apropiada las ecuaciones 15-1 y 15-2, como se analizará en la sección 15-5. Los flujos de líquidos pueden tratarse casi siempre como incompresibles, y en el caso de muchos flujos de gas, el flujo está a un número de Mach suficientemente bajo para que se interprete como un fluido casi incompresible.

Continuidad:

u

v

w + + =0

x

y

z cantidad de movimiento en x: u

–

u

v

v

v +w +v =

x

y

z –

1 P'

2v 2v 2v + nQ 2 + 2 + 2 Q

x

y

z r y

cantidad de movimiento en z:

Para resolver de manera numérica las ecuaciones 15-1 y 15-2 se efectúan los siguientes pasos. Note que el orden de algunos de los pasos (en particular los pasos 2 al 5) es intercambiable. 1. Se elige un dominio computacional y se genera una malla (conocida también como red de nodos); el dominio se divide en muchos elementos pequeños llamados celdas. Para dominios de dos dimensiones (2-D), las celdas son áreas, mientras que para dominios tridimensionales (3-D) las celdas son volúmenes (Fig. 15-3). Puede considerarse a cada celda como un pequeño volumen de control en el que se resuelven las versiones separadas de las ecuaciones de conservación y transporte. Note que aquí el análisis se limita a paquetes de DFC basados en el método de volumen finito centrado en la celda. La calidad de una solución de DFC depende mucho de la calidad de la malla. Por lo tanto, se recomienda cerciorarse que la malla sea de alta calidad antes de proceder con el siguiente paso (Fig. 15-4). 2. Las condiciones de frontera se especifican en cada lado del dominio computacional (flujos 2-D) o en cada cara del dominio (flujos 3-D). 3. Se especifica el tipo de fluido (agua, aire, gasolina, entre otros), junto con las propiedades del fluido (temperatura, densidad, viscosidad, etc.). La mayoría de los paquetes de DFC tienen integrada la base de datos de propiedades de fluidos más comunes, lo que hace este paso relativamente fácil.

Dominio computacional

Celda Celda

Límites Límites a)

1 ∂P' ∂2u ∂2u ∂2u + n Q 2 + 2 + 2Q ∂x ∂y ∂z r ∂x

cantidad de movimiento en y:

Procedimiento de solución

Dominio computacional

∂u ∂u ∂u +v +w = ∂y ∂x ∂z

b)

u

w

w

w +w +v =

x

y

z –

1 P'

2w 2w 2w + nQ 2 + 2 + 2 Q

x

y

z r z

FIGURA 15-2 Las ecuaciones de movimiento pueden resolverse mediante la DFC para el caso de flujo estacionario, incompresible, laminar de un fluido newtoniano con propiedades constantes y sin efectos de superficie libre. Se utiliza un sistema coordenado cartesiano. Hay cuatro ecuaciones y cuatro incógnitas: u, v, w y P.

FIGURA 15-3 Un dominio computacional es la región en el espacio en la cual las ecuaciones de movimiento se resuelven mediante la DFC. Una celda es un subconjunto pequeño del dominio computacional. Se ilustran a) un domino bidimensional y celdas cuadriláteras, y b) un dominio tridimensional y celdas hexaedrales. Los límites de un domino bidimensional se denominan lados, y los límites de un dominio tridimensional se llaman caras.

856 INTRODUCCIÓN A LA DINÁMICA

AVISO No proceda con los cálculos de la DFC hasta que haya generado una malla de alta calidad.

FIGURA 15-4 Una malla de calidad es esencial para una simulación de la DFC de calidad.

FL

FD M

FIGURA 15-5 Las propiedades globales de un flujo, como las fuerzas y cantidades de movimiento que actúan sobre un objeto, se determinan después que converge una solución de la DFC. También pueden calcularse durante el proceso de iteración para monitorear la convergencia.

4. Se seleccionan los parámetros numéricos y los algoritmos de solución. Éstos son específicos para cada paquete de DFC, y no se tratan aquí. Los parámetros predeterminados de los paquetes de DFC más modernos son apropiados para los problemas simples que se analizan en este capítulo. 5. Los valores de primera aproximación para las variables de campo de flujo se especifican para cada celda. Éstas son condiciones iniciales, que podrían ser correctas o no, pero son necesarias como un punto de partida, para que el proceso de iteración pueda proceder (paso 6). Se nota que para los cálculos apropiados de flujo no estacionario, las condiciones iniciales deben ser correctas. 6. Al comenzar con los valores de primera aproximación, las formas discretizadas de las ecuaciones 15-1 y 15-2 se resuelven por iteración, por lo general en el centro de cada celda. Si se trasladaran todos los términos de la ecuación 15-2 a un lado para obtener cero del otro lado de la ecuación, entonces la solución numérica sería “exacta” cuando la suma de todos estos términos, llamada el residuo, se volvería cero para cada celda del dominio. En una solución de la de DFC, sin embargo, esta suma nunca es igual a cero, pero es de esperar que disminuya conforme se efectúen las iteraciones. Un residuo puede considerarse como una medida de la desviación de una solución numérica para determinada ecuación de conservación o transporte respecto a la solución exacta, y se tiene que monitorear el residuo promedio relacionado con cada ecuación de conservación o transporte para ayudar a determinar cuándo converge la solución. A veces se necesitan cientos, o inclusive miles, de iteraciones para que converja la solución a una solución final, y los residuos pueden disminuir en varios órdenes de magnitud. 7. Cuando converge la solución, las variables de campo de flujo como la velocidad y la presión se trazan y analizan de manera gráfica. Los usuarios pueden definir y analizar también otras funciones particulares que se forman mediante combinaciones algebraicas de variables de campo de flujo. La mayoría de los paquetes de DFC tienen integrados posprocesadores, diseñados para analizar el campo de flujo de manera gráfica y rápida. Para esta finalidad existen también paquetes posprocesadores autónomos. Debido a que el resultado gráfico se muestra por lo general en colores brillantes, la DFC se ha ganado el sobrenombre de dinámica de fluidos colorida. 8. Las propiedades globales del campo de fluido, como la caída de presión, y las propiedades integrales, como las fuerzas (de sustentación y de arrastre) y los torques que actúan sobre un cuerpo, se calculan a partir de la solución que se obtiene por convergencia (Fig. 15-5). Con la mayoría de los paquetes de DFC esto puede hacerse “sobre la marcha” a medida que proceden las iteraciones. En numerosos casos, de hecho, es aconsejable monitorear estas cantidades junto con los residuos durante el proceso de iteración; cuando converge una solución, las propiedades globales e integrales deben establecerse en valores constantes también. Para flujo no estacionario se especifica un intervalo de iteración relacionado con tiempo físico, en el cual se asignan condiciones iniciales apropiadas y se crea un ciclo de iteraciones para resolver las ecuaciones de conservación y transporte con el fin de simular cambios en el campo de flujo en este breve lapso de intervalo de iteración relacionado con el tiempo físico. Puesto que los intervalos entre los instantes de tiempo son cortos, por lo general se necesita un número relativamente pequeño de iteraciones (del orden de las decenas) para cada paso relacionado con tiempo físico. Cuando converge este “ciclo interno”, el paquete va al siguiente valor de tiempo. Si un flujo tiene una solución estacionaria, esa solución suele ser más fácil de encontrar si se avanza en el tiempo; después que ha transcurrido tiempo suficiente, las variables de campo de flujo se establecen en sus valores de flujo estacionario. La mayoría de los paquetes de la

857 CAPÍTULO 15

DFC aprovechan este hecho al especificar internamente pseudo-tiempo (tiempo artificial) y marchar hacia una solución estacionaria. En estos casos, el paso de solución numérica relacionado con pseudo-tiempo puede, inclusive, ser diferente para celdas distintas en el dominio computacional y puede ajustarse de manera apropiada para disminuir el tiempo de convergencia. Por lo general se emplean otros “trucos” para reducir el tiempo de cálculo, como la malla múltiple, en la que las variables de campo de flujo se calculan primero en una malla de celdas amplias con la finalidad de establecer con rapidez las características aproximadas del flujo. Esa solución se interpola después a mallas cada vez más finas. La malla final es la que especifica el usuario (Fig. 15-6). En algunos paquetes comerciales de la DFC podrían ocurrir “tras bambalinas” varias capas de malla múltiple durante el proceso de iteración, sin intervención (o conocimiento) del usuario. Para aprender más acerca de los algoritmos computacionales y otras técnicas numéricas que mejoran la convergencia, puede consultar los libros dedicados a métodos computacionales, por ejemplo el de Tanehill, Anderson y Pletcher, 1997.

Ecuaciones de movimiento adicionales Si la transformación de energía o transferencia de calor es importante en el problema, debe resolverse otra ecuación de transporte, la ecuación de energía. Si las diferencias de temperatura causan cambios importantes en la densidad, se emplea una ecuación de estado (como la ecuación del gas ideal). Si la flotabilidad es importante, el efecto de la temperatura en la densidad se refleja en el término de gravedad (que debe separarse entonces del término de presión modificada en la ecuación 15-2). Para determinado conjunto de condiciones de frontera, una solución de la DFC para flujo laminar se aproxima a una solución “exacta” limitada sólo por la precisión del esquema de discretización que se emplea para las ecuaciones de movimiento, el nivel de convergencia y el grado al que se resuelve la malla. Lo mismo sería cierto para una simulación de flujo turbulento si la malla pudiera ser lo suficientemente fina para resolver todos los remolinos turbulentos tridimensionales, no estacionarios. Por desgracia, esta clase de simulación directa de flujo turbulento, por lo general, no es posible para aplicaciones de ingeniería prácticas debido a las limitaciones de las computadoras. En cambio, se hacen aproximaciones adicionales en forma de modelos de turbulencia de modo que sean posibles las soluciones de flujo turbulento. Los modelos de turbulencia generan ecuaciones de transporte adicionales que modelan el incrementado proceso de mezclado y la difusión de turbulencia; estas ecuaciones de transporte adicionales deben resolverse junto con las de masa y de cantidad de movimiento. El modelado de turbulencia se analiza con más detalle en la sección 15-3. Los paquetes modernos de la DFC incluyen opciones para calcular trayectorias de partículas, transporte de especies, transferencia de calor y turbulencia. Los paquetes son fáciles de usar, y las soluciones pueden obtenerse sin conocimiento acerca de las ecuaciones o sus limitaciones. Aquí radica el peligro de la DFC: cuando está en manos de alguien quien desconoce mecánica de fluidos, es probable que ocurran resultados erróneos (Fig. 15-7). Es imprescindible que los usuarios de la DFC tengan cierto conocimiento fundamental de mecánica de fluidos para que puedan discernir si tiene sentido físico la solución de la DFC o no.

Generación de la malla e independencia de la malla El primer paso (y posiblemente el paso más importante) en una solución de DFC es generar una malla que define las celdas en las que se calculan las variables de flujo (velocidad y presión, entre otras) en todo el dominio computacional. Los modernos paquetes comerciales de la DFC, vienen con sus propios generadores

FIGURA 15-6 Con la malla múltiple, las soluciones de las ecuaciones de movimiento se obtienen primero en una malla de celdas amplias, y se continúa usando mallas cada vez más finas. Así se acelera la convergencia.

FIGURA 15-7 Las soluciones de la DFC son fáciles de obtener, y las gráficas que se obtienen son hermosas; pero las respuestas correctas dependen de los datos introducidos correctos y del conocimiento acerca del campo de los fluidos.

858 INTRODUCCIÓN A LA DINÁMICA y

j=4 3 2 1 i=1

2

3

4

5 6 7 8 x

FIGURA 15-8 Ejemplo de malla estructurada bidimensional con nueve nodos y ocho intervalos en los lados superior e inferior, y cinco nodos y cuatro intervalos en los lados izquierdo y derecho. Se muestran los índices i y j. La celda sombreada está en (i  4, j  3).

de malla, y también están disponibles programas para generar mallas independientes. Las mallas que se emplean en este capítulo se originan con el paquete de generación de malla GAMBIT del paquete de DFC llamado FLUENT. Numerosos paquetes de DFC se corren con mallas estructuradas o no estructuradas. Una malla estructurada consta de celdas planas con cuatro lados (2-D) o celdas volumétricas con seis caras (3-D). Aunque la forma rectangular de las celdas podría estar distorsionada, cada celda se numera de acuerdo con los índices (i, j, k) que no necesariamente corresponden a las coordenadas x, y y z. En la figura 15-8 se ilustra una malla estructurada 2-D. Para construir esta malla, se especifican nueve nodos en los lados superior e inferior; estos nodos corresponden a ocho intervalos a lo largo de estos lados. De manera similar, se especifican cinco nodos en los lados derecho e izquierdo, que corresponden a cuatro intervalos a lo largo de estos lados. Los intervalos corresponden a i  de 1 al 8 y j  de 1 al 4, y se numeran y marcan en la figura 15-8. Luego, se genera una malla interna que conecta los nodos uno por uno en el dominio del problema de modo que los renglones (j  constante) y columnas (i  constante) se definan con claridad, aunque las celdas por sí mismas podrían estar distorsionadas (no necesariamente rectangulares). En una malla estructurada 2-D, cada celda se especifica de manera única mediante un par de índices (i, j). Por ejemplo, la celda sombreada en la figura 15-8 está en (i  4, j  3). Debe recordarse que algunos paquetes de la DFC numeran nodos en vez de intervalos. Una malla no estructurada consta de celdas de varias formas, pero por lo común se emplean triángulos o cuadriláteros (2-D) y tetraedros o hexaedros (3-D). Se generan dos mallas no estructuradas para el mismo dominio que el de la figura 15-8, con la misma distribución de intervalo en los lados; estas mallas se muestran en la figura 15-9. A diferencia de la malla estructurada, en la no estructurada, no puede identificarse a las celdas de manera única mediante los índices i y j; en cambio, las celdas se numeran internamente de alguna otra manera por el paquete de la DFC. Para configuraciones geométricas complejas, por lo general es mucho más fácil para el usuario del paquete de generación de malla crear una no estructurada. Por ejemplo, algunos paquetes de la DFC (usualmente antiguos) están escritos de manera específica para mallas estructuradas; estos paquetes convergen con mayor rapidez, y a menudo con mayor exactitud, por utilizar la identificación de celdas por índices como se hace en caso de las mallas estructuradas. Sin embargo, los modernos paquetes de la DFC de aplicación general pueden manejar mallas estructuradas y no estructuradas, esto ya no es un problema. Algo más importante es que se generan menos celdas con una malla estructurada que con una no estructurada. En la figura 15-8, por ejemplo, la malla estructurada es de 8 4  32 celdas, mientras que la malla triangular no estructurada de la figura 15-9a) tiene 76 celdas, y la malla cuadrilátera no estructurada de la figura 15b) tiene 38 celdas, aun cuando se aplica la distribución de nodos idéntica en los lay

FIGURA 15-9 Ejemplo de mallas no estructuradas bidimensionales con nueve nodos y ocho intervalos en los lados superior e inferior, y cinco nodos y cuatro intervalos en los lados izquierdo y derecho. Estas mallas tienen la misma distribución de nodos que en la figura 15-8: a) malla triangular no estructurada y b) malla cuadrilátera no estructurada. La celda sombreada en a) es moderadamente sesgada.

y

Malla triangular no estructurada

Malla cuadrilátera no estructurada x

a)

x b)

859 CAPÍTULO 15

dos en los tres casos. En las capas límite, donde las variables de flujo cambian con rapidez en la dirección normal a la pared y se requieren mallas de alta resolución en la cercanía a ésta, las mallas estructuradas permiten una resolución mucho más fina que las no estructuradas para el mismo número de celdas. Esto puede verse cuando se comparan las mallas de las figuras 15-8 y 15-9 cerca del lado derecho. Las celdas de la malla estructurada son más delgadas y están muy compactadas cerca del lado derecho, a diferencia de las celdas de las mallas no estructuradas. Se debe enfatizar que sin importar el tipo de malla que se elija (estructurada o no estructurada, cuadrilátera o triangular, etc.), es la calidad de la malla lo que es más imprescindible para soluciones confiables de la DFC. En particular, debe tenerse siempre cuidado que cada una de las celdas no esté muy sesgada porque esto puede crear dificultades e inexactitudes en convergencia en la solución numérica. La celda sombreada de la figura 15-9a) es un ejemplo de una celda con sesgo moderadamente alto, definido como la desviación respecto de la simetría. Existen varias clases de sesgo, tanto para celdas de dos como de tres dimensiones. El sesgo de celda tridimensional está fuera de los objetivos de este libro; el tipo de sesgo más apropiado para celdas bidimensionales es el sesgo equiángulo, definido como: Sesgo equiángulo:

u máx  u igual u igual  u mín Q EAS  MÁXa , b 180  u igual u igual

a) Celdas triangulares

Sesgo cero

b)

Sesgo alto

Celdas cuadriláteras

(15-3)

donde umín y umáx son los ángulos mínimo y máximo (en grados) entre dos lados cualesquiera de la celda, y uigual es el ángulo entre dos lados de una celda equilátera ideal con el mismo número de lados; donde el subíndice EAS se debe al término en inglés: equiangle skewness, que significa sesgo equiángulo. Para celdas triangulares uigual  60° y para celdas cuadriláteras uigual  90°. Se puede mostrar mediante la ecuación 15-3 que 0  QEAS  1 para cualquier celda de 2-D. Por definición, un triángulo equilátero tiene sesgo cero. De la misma manera, un cuadrado o rectángulo tiene sesgo cero. Un elemento triangular o cuadrilátero muy distorsionado podría tener un sesgo inaceptablemente alto (Fig. 15-10). Algunos paquetes de generación de malla emplean esquemas numéricos para emparejar la malla con el fin de reducir el sesgo. Otros factores afectan también la calidad de la malla. Por ejemplo, los cambios abruptos en el tamaño de celda conducen en el paquete de la DFC a dificultades numéricas o de convergencia. También, las celdas con una razón de sus dimensiones muy grande a veces pueden causar problemas. Aunque es posible reducir la cantidad de celdas al usar una malla estructurada en vez de una no estructurada, una malla estructurada no siempre es la mejor elección, lo cual depende de la forma del dominio computacional. Uno debe estar consciente siempre de la calidad de la malla. Recuerde que una malla no estructurada de alta calidad es mejor que una malla estructurada de mala calidad. Un ejemplo se muestra en la figura 15-11 para el caso de un dominio computacional con un pequeño ángulo agudo en la esquina superior derecha. En este ejemplo, para com-

a)

b)

c)

d)

Sesgo cero

Sesgo alto

FIGURA 15-10 El sesgo se muestra en dos dimensiones: a) un triángulo equilátero tiene cero sesgo, pero un triángulo muy distorsionado tiene sesgo alto. b) De manera similar, un rectángulo tiene sesgo cero, pero una celda cuadrilátera muy distorsionada tiene alto sesgo.

FIGURA 15-11 Comparación de cuatro mallas bidimensionales para un dominio computacional muy distorsionado: a) malla estructurada de 8 8 con 64 celdas y (QEAS)máx  0.83, b) malla triangular no estructurada con 70 celdas y (QEAS)máx  0.76, c) malla cuadrilátera no estructurada con 67 celdas y (QEAS)máx  0.87 y d) malla híbrida con 62 celdas y (QEAS)máx  0.76.

860 INTRODUCCIÓN A LA DINÁMICA

FIGURA 15-12 Ejemplos de mallas estructuradas generadas para el análisis de bloques múltiples de la DFC: a) dominio computacional bidimensional simple compuesto de bloques de cuatro lados rectangulares y b) un dominio bidimensional un poco más complicado con superficies curvas, pero también integrado por bloques de cuatro lados y celdas cuadriláteras. Se ilustra el número de intervalos i y j entre paréntesis para cada bloque. Naturalmente, existen otras maneras aceptables para dividir estos dominios computacionales en bloques.

Bloque 2 (10 8)

Bloque 7 (3 5) Bloque 1 (12 8) Bloque 3 (10 8) Bloque 4 (10 5)

Bloque 5 (6 5)

Bloque 6 (3 5)

FIGURA 15-13 Malla de bloques múltiples de la figura 15-12a) modificada para un paquete de la DFC que maneja sólo bloques elementales.

Bloque 3 (5 8) Bloque 2 (5 16) Bloque 4 (3 5) Bloque 1 (12 8) Bloque 2 (10 21) Bloque 3 (9 5) a)

Bloque 4 (5 16)

Bloque 6 Bloque 5 (8 16) (5 8)

Bloque 1 (12 8)

b)

paración directa, se ha ajustado la distribución de nodos de tal modo que la malla en cualquier caso contiene entre 60 y 70 celdas. La malla estructurada (Fig. 15-11a) tiene 8 8  64 celdas; pero inclusive después del emparejamiento, el sesgo equiángulo máximo es 0.83, y las celdas cerca de la esquina superior derecha están muy sesgadas. La malla triangular no estructurada (Fig. 15-11b) tiene 70 celdas, pero el sesgo máximo se reduce a 0.76. Lo que es más importante, el sesgo global es menor en el dominio computacional completo. La malla no estructurada de cuadriláteros (Fig. 15-11c) tiene 67 celdas. Aunque el sesgo global es mejor que el de la malla estructurada, el sesgo máximo es 0.87, mayor que el sesgo máximo de la malla estructurada. La malla híbrida que se muestra en la figura 15-11d) se analiza en breve. A veces surgen situaciones en las que se prefiere una malla estructurada (por ejemplo, si el mismo paquete de la DFC exige mallas estructuradas, o las regiones de capa límite necesitan alta resolución, o la simulación pone a prueba la memoria de la computadora disponible). La generación de una malla estructurada es directa para configuraciones geométricas con lados rectos. Todo lo que se necesita hacer es dividir el dominio computacional en bloques o zonas de cuatro lados (2-D) o seis caras (3-D). Dentro de cada bloque se genera una malla estructurada (Fig. 15-12a). Este tipo de análisis se llama análisis de múltiples bloques. Para configuraciones geométricas más complicadas con superficies curvas, se necesita determinar cómo puede dividirse el dominio computacional en bloques individuales que pudieran tener o no lados (2-D) rectos o caras (3-D) planas. Un ejemplo bidimensional con arcos circulares se muestra en la figura 15-12b). La mayoría de los paquetes de la DFC exigen que los nodos en los lados o caras comunes entre bloques coincidan entre sí. Numerosos paquetes de la DFC comerciales permiten dividir los lados o caras de un bloque y asignar diferentes condiciones de frontera a cada segmento del lado o cara. En la figura 15-12a) por ejemplo, el lado izquierdo del bloque 2 se divide a aproximadamente dos tercios de su lado izquierdo a partir de su punto inferior para acomodar la unión con el bloque 1. El segmento inferior de este lado es una parte de frontera exterior, y el segmento superior de este lado es un lado interior común entre los bloques (éstas y otras condiciones de frontera se analizan a la brevedad). En el lado derecho del bloque 2 y en el lado superior del bloque 3 ocurren situaciones similares. Algunos paquetes de la DFC aceptan sólo bloques elementales, a saber, bloques cuyos lados o caras no pueden dividirse. Por ejemplo, la malla de cuatro bloques de la figura 15-12a) necesita siete bloques elementales con esta limitación (Fig. 15-13). El número total de celdas en ambos casos es el mismo, lo cual puede comprobarse. Por último, para pa-

861 CAPÍTULO 15

quetes de la DFC que permiten bloques con lados o caras divididos, pueden combinarse a veces dos o más bloques en uno. Por ejemplo, se deja como ejercicio mostrar cómo puede simplificarse la malla estructurada de la figura 5-11b) a sólo tres bloques no elementales. Cuando se desarrolla la topología de los bloques con configuraciones geométricas complicadas como en la figura 15-12b), el objetivo es crear bloques de manera que ninguna celda de la malla esté muy sesgada. Además, el tamaño de celda no debe cambiar de manera abrupta en ninguna dirección, y la topología de bloques debe refinarse cerca de paredes sólidas para que puedan resolverse las capas límite. Con práctica puede dominarse el arte de crear mallas sofisticadas estructuradas de bloques múltiples. Las mallas de bloques múltiples son indispensables para mallas estructuradas de configuración geométrica compleja. Pueden usarse también en mallas no estructuradas, pero las mallas de bloques múltiples no son indispensables en este caso porque las celdas pueden cubrir configuraciones geométricas complejas sin formar los bloques. Por último, una malla híbrida es la que combina regiones o bloques de mallas estructuradas y no estructuradas. Por ejemplo, se puede juntar una malla estructurada cercana a una pared con un bloque de malla no estructurada fuera de la región de influencia de la capa límite. Con frecuencia se emplea una malla híbrida para permitir alta resolución cerca de una pared sin necesitar alta resolución lejos de la pared (Fig. 15-14). Cuando se genera cualquier tipo de malla (estructurada, no estructurada, híbrida) debe tenerse cuidado siempre de que cada una de las celdas no esté muy sesgada. Por ejemplo, ninguna de las celdas de la figura 15-14 tiene algún sesgo importante. Otro ejemplo de una malla híbrida se ilustra en la figura 15-11d ). Aquí se ha dividido el dominio computacional en dos bloques. El bloque de cuatro lados de la izquierda se cubre con una malla estructurada y el bloque de tres lados de la derecha se cubre con una malla triangular no estructurada. El sesgo máximo es 0.76, el mismo que el de la malla triangular no estructurada de la figura 15-11b), pero el número total de celdas se reduce de 70 a 62. Los dominios computacionales con ángulos muy pequeños como el que se muestra en la figura 15-11 son difíciles de cubrir con malla en la esquina ahusada, cualquiera que sea el tipo de celda. Uno de los modos de evitar las celdas de grande sesgo en la esquina aguda consta simplemente en cortar o redondear la esquina aguda. Esto debe hacerse muy cerca de la esquina de modo que la modificación geométrica sea imperceptible desde una vista global y tenga poco efecto o ninguno en el flujo, pero mejore en gran medida el desempeño del paquete de la DFC al reducir el sesgo. Por ejemplo, la esquina ahusada problemática del dominio computacional de la figura 15-11 se corta y vuelve a graficarse en la figura 15-15. Mediante varios bloques y mallas híbridas, la malla que se

a)

b)

FIGURA 15-15 Malla híbrida para el dominio computacional de la figura 15-11 con la punta aguda cortada: a) vista completa: la malla contiene 62 celdas con (QEAS)máx  0.53, b) vista amplificada de la punta cortada.

Estructurada No estructurada

Estructurada

FIGURA 15-14 Ejemplo de malla híbrida bidimensional en cercanía a una superficie curva; se marcan dos regiones estructuradas y una no estructurada.

862 INTRODUCCIÓN A LA DINÁMICA

muestra en la figura 15-15 tiene 62 celdas y un sesgo máximo de sólo 0.53, una mejora considerable con respecto de cualquiera de las mallas de la figura 15-11. Los ejemplos que aquí se muestran son para dos dimensiones. En tres dimena) n = 6 siones, usted también puede escoger entre malla estructurada, no estructurada e híbrida. Si se barre en tercera dimensión con celdas estructuradas una cara en 2D de cuatro lados, se produce una malla en 3D totalmente estructurada que consiste en celdas hexaédricas (n = 6 caras por celda). Cuando una cara en 2D con celdas triangulares no estructuradas se barre en la tercera dirección, la malla en 3D puede consistir en células prismáticas (n  5 caras por celda) o tetraéb) n = 5 dricas (n  4 caras por celda, como una pirámide). Estos casos se ilustran en la figura 15-16. Cuando es impráctico aplicar una malla hexaédrica (por ejemplo, con una geometría compleja), una alternativa común es la malla tetraédrica (conocida también como malla tet). Los códigos de generación automática de malla a menudo generan malla tet como predeterminada. Sin embargo, igual que en el caso de 2D, una malla tet de 3D no estructurada da como resultado una mayor cuenta de celdas que una malla estructurada hexaédrica con la misma c) n = 4 resolución a lo largo de los límites. El avance más reciente en la generación de mallas es el uso de las mallas poliédricas. Como el nombre lo indica, este tipo de malla consiste en celdas de muchas caras, que se llaman celdas poliédricas. Algunos generadores modernos FIGURA 15-16 de mallas pueden crear mallas tridimensionales no estructuradas con una mezcla Ejemplos de celdas tridimensionales: de celdas de n lados, donde n puede ser cualquier número entero mayor de 3. En a) hexaédrica, b) prismática y la figura 15-17 se muestra un ejemplo de malla poliédrica. En algunos códigos, c) tetraédrica, junto con el número las celdas poliédricas se forman mediante la unión de celdas tetraédricas, redude caras n para cada caso. ciendo la cuenta total de celdas. Esto ahorra una cantidad significativa de memoria de computadora y acelera los cálculos de DFC. Se han reportado reducciones en la cuenta total de celdas (y ahorros correspondientes en el tiempo de CPU, central processor unit) por un factor hasta de 5, sin afectar la exactitud de la solución. Otra ventaja de las mallas poliédricas es que se puede reducir el sesgo de las celdas, mejorando la calidad general de la malla y también acelerando la convergencia. Finalmente, las celdas poliédricas con alto n tienen mucho más celdas vecinas que las simples celdas tetraédricas o prismáticas. Esto tiene ventajas para tareas tales como el cálculo de gradientes (derivadas) de los parámetros de flujo. Los detalles rebasan el nivel del presente texto. FIGURA 15-17 Originar una adecuada malla suele ser tedioso y tardado; los ingenieros que Este auto de Fórmula 1 se modela emplean la DFC de manera constante estarán de acuerdo en que generar la malla usando una malla poliédrica para toma más de su tiempo que la solución misma mediante la DFC (el tiempo del reducir la cuenta de celdas y el tiempo ingeniero, no el tiempo del CPU). Sin embargo, el tiempo invertido en generar de simulación, y se simula mediante el una buena malla es tiempo bien empleado porque los resultados de la DFC se® ® código de DFC ANSYS FLUENT . rán más confiables y podrían convergir con más rapidez (Fig. 15-18). Una malla La imagen muestra sombreados los de alta calidad es imprescindible para una solución de la DFC de buena precicontornos de presión del cuerpo del sión. Una malla de baja calidad o mala resolución puede, inclusive, dar lugar a auto (el color más oscuro indica una solución incorrecta. Por lo tanto, es importante que los usuarios de la DFC presión más alta) y las líneas de prueben si su solución es independiente de la malla. El método estándar para trayectoria sobre el cuerpo probar la independencia de la malla es incrementar la resolución (en un factor (sombreadas por el tiempo). Debido a de 2 en todas las direcciones si es posible) y repetir la simulación. Si los resultala simetría entre el lado derecho y el dos no cambian de manera considerable, es probable que la malla original sea lado izquierdo del auto, el análisis se hace sólo sobre una mitad del auto; los adecuada. Si, por otro lado, surgen diferencias importantes entre las dos solucioresultados forman una imagen a espejo nes, la malla original es quizá de resolución inadecuada. En ese caso, debe pro(con respecto al plano central) del barse inclusive una malla más fina hasta que se resuelva de manera satisfactoria. dominio de la solución. Este método de probar la independencia de la malla es tardado y, por desgracia, Fotografía cortesía de ANSYS. no siempre es factible, en particular para problemas grandes de ingeniería en donde la solución pone a prueba los recursos de la computadora. En una simulación 2-D, si se duplica el número de intervalos en cada lado, el número de celdas se incrementa en un factor de 22  4; el tiempo de cálculo para la solución de la DFC se incrementa también en aproximadamente un factor de 4. Para flu-

863 CAPÍTULO 15

jos tridimensionales, duplicar el número de intervalos en cada dirección incrementa la cantidad de celdas en un factor de 23  8. Es posible ver cómo los estudios de independencia de malla rebasan con facilidad los límites de capacidad de memoria de una computadora o disponibilidad del CPU, o ambos. Si no es posible duplicar el número de intervalos debido a las limitaciones de la computadora, una buena regla empírica es que debe incrementarse el número de intervalos en por lo menos 20 por ciento en todas direcciones para probar la independencia de la malla. En una nota final acerca de la generación de malla, la tendencia en la DFC actual es la generación automatizada de malla, junto con su exactitud automatizada con base en estimaciones de errores. Sin embargo, pese a estas tendencias emergentes es imprescindible que se comprenda cómo la malla impacta la solución de la DFC.

Condiciones de frontera Si las ecuaciones de movimiento, el dominio computacional e inclusive la malla pueden ser los mismos para dos cálculos de la DFC diferentes, el tipo de flujo que se modela se determina mediante las condiciones de frontera impuestas. Las condiciones de frontera apropiadas se necesitan para obtener una solución de DFC exacta (Fig. 15-19). Existen varios tipos de condiciones de frontera disponibles; las más importantes se enlistan y describen de manera breve a continuación. Los nombres son los que emplea FLUENT; con otros paquetes de la DFC la terminología podría ser un poco distinta, y podrían diferir los detalles de sus condiciones de frontera. En las descripciones dadas, se emplean las palabras cara o plano, lo que significa flujo tridimensional. Para un flujo de dos dimensiones, la palabra lado o línea debe reemplazar cara o plano.

FIGURA 15-18 El tiempo que se dedica para generar una malla adecuada es un tiempo bien invertido.

Condiciones de frontera de pared La condición de frontera más simple es la que se formula para una pared. Puesto que el fluido no puede pasar por una superficie sólida, la componente normal de la velocidad relativa con respecto a la superficie sólida se iguala a cero a lo largo de aquella cara en la cual se establece la condición de frontera. Además, debido a la condición de no deslizamiento, se fija también en cero la componente de la velocidad tangencial a una superficie sólida en reposo. En la figura 1519, por ejemplo, las condiciones de frontera en los lados superior e inferior de este dominio simple se especifican como condiciones de no deslizamiento. Si se está resolviendo la ecuación de la energía, debe especificarse también la temperatura de la superficie sólida o el flujo de calor en la superficie (pero no ambos; vea la Sec. 15-4). Si se está usando un modelo de turbulencia, se resuelven las ecuaciones de transporte, y podría ser necesario especificar la rugosidad de la superficie, debido a que su rugosidad afecta en gran medida a las capas límite turbulentas. Además, los usuarios deben elegir entre varios modelos de turbulencia (funciones de pared, etc.). Estas opciones de turbulencia están más fuera de los objetivos de este texto (vea Wilcox, 1998); por fortuna, las opciones predeterminadas de la mayoría de los paquetes de la DFC son suficientes para muchas aplicaciones que implican flujo turbulento. Las superficies sólidas móviles y superficies con esfuerzos de corte especificados se pueden simular también en numerosos paquetes de la FDC. Existen situaciones donde se desea dejar que el fluido se deslice a lo largo de la pared (a esto se le conoce como “pared invíscida”). Por ejemplo, puede especificarse una condición de frontera como el esfuerzo cortante cero a lo largo de la superficie libre de una alberca o bañera caliente cuando se simula tal flujo (Fig. 15-20). Note que con esta simplificación se permite que el fluido se “deslice” a lo largo de la superficie, ya que el esfuerzo cortante viscoso que se causa por el aire que

Pared Entrada

Dominio computacional

Salida

Pared

FIGURA 15-19 Las condiciones de frontera deben aplicarse con todo cuidado en todos los límites del dominio computacional. Se necesitan condiciones de frontera apropiadas para lograr una solución de la DFC de buena precisión.

864 INTRODUCCIÓN A LA DINÁMICA La superficie libre se aproxima como una condición de frontera de pared sólida con deslizamiento (esfuerzo de corte cero). Velocidad de entrada

Condiciones de frontera de flujo de entrada o flujo de salida

Dominio computacional

Vent

Condición de frontera estándar de pared sólida sin deslizamiento

se encuentra por arriba del fluido es tan pequeño que se desprecia (Cap. 9). Cuando se hace esta aproximación, sin embargo, las ondas superficiales y sus correspondientes fluctuaciones de presión no pueden tomarse en cuenta.

Psal

Salida de presión

FIGURA 15-20 La condición de frontera estándar (de no deslizamiento) de pared sólida se impone en partes de frontera sólidas y en reposo, donde también se impone o una temperatura de la superficie de la pared o un flujo térmico. El esfuerzo cortante a lo largo de la superficie también puede establecerse en cero para simular la superficie libre de un líquido, como se muestra aquí para el caso de una piscina. Hay deslizamiento a lo largo de esta “pared” que simula la superficie libre (en contacto con el aire).

Psal = Patm

Salida de presión

FIGURA 15-21 Cuando se modela un campo de flujo incompresible, con la salida de una tubería o un conducto expuesta a la atmósfera, la condición de frontera apropiada es una salida de presión con Psal  Patm. Se ilustra aquí el escape de un automóvil. Fotografía de Po-Ya Abel Chuang. Reproducida con autorización.

Existen varias opciones de definir las condiciones de frontera en aquellas partes de frontera a través de las cuales entra el fluido al dominio computacional (flujo de entrada) o sale del dominio (flujo de salida). Se clasifican en general como condiciones que especifican la velocidad (entrada o salida de velocidad) o condiciones que especifican la presión (entrada o salida de presión). En una entrada de velocidad se especifica la velocidad del flujo entrante a lo largo de la cara de admisión. Si se están resolviendo las ecuaciones de energía o turbulencia, o ambas, deben especificarse también la temperatura o las propiedades de turbulencia, o ambas, del flujo entrante. En una entrada de presión se especifica la presión total a lo largo de la cara de admisión (por ejemplo, el flujo que entra al dominio computacional desde un recipiente presurizado de presión conocida o desde el campo lejano donde se conoce la presión ambiente). En una salida de presión, el fluido sale del dominio computacional. Se especifica la presión estática a lo largo de la cara de salida; en muchos casos ésta es la presión atmosférica (presión manométrica cero). Por ejemplo, la presión es atmosférica en la salida de una tubería de escape subsónica abierta al aire ambiente (Fig. 15-21). Las propiedades del flujo, como la temperatura, y las propiedades de turbulencia se especifican también en las entradas y salidas de presión. Sin embargo, para el último caso mencionado de una tubería de escape subsónica abierta al aire ambiente, estas propiedades de turbulencia no se usan a menos que la solución demande flujo inverso en la salida. El flujo inverso en la salida de presión es por lo común una indicación de que el dominio computacional no es lo suficientemente grande. Si persisten las advertencias de flujo inverso a medida que se itera la solución de la DFC, debe ampliarse el dominio computacional. La presión no se especifica en la entrada de velocidad, ya que esto daría lugar a sobreespecificación matemática, porque la presión y la velocidad se acoplan en la ecuación de movimiento. Además, la presión en una entrada de velocidad se ajusta por sí misma para coincidir con el resto del campo de flujo. De modo similar, la velocidad no se especifica en una entrada o salida de presión, ya que esto ocasionaría también sobreespecificación matemática. Además, si se establece una condición que especifica presión, la velocidad se ajusta por sí misma para coincidir con el resto del campo de flujo (Fig. 15-22). Otra opción en una salida del dominio computacional es la condición de la frontera de flujo libre a la salida. En este caso de la condición de la frontera de flujo libre a la salida, no se especifican propiedades de flujo; al contrario, las propiedades de flujo como velocidad, cantidades de turbulencia y temperatura son forzadas a tener gradientes cero normales a la cara de flujo de salida (Fig. 15-23). Por ejemplo, si un conducto es suficientemente largo de modo que el flujo es totalmente desarrollado en su salida, sería apropiada la condición de frontera de flujo de salida libre, ya que la velocidad no cambia en la dirección normal a la cara de salida. Note que la dirección de flujo no está restringida a ser perpendicular a la cara de salida, como se ilustra también en la figura 15-23. Si el flujo aún está en desarrollo, pero se conoce la presión a la salida, entonces una condición de frontera que especifica presión en la salida sería más apropiada que una condición de frontera de flujo libre. En flujos rotatorios por lo general en la salida se prefiere la condición de frontera de flujo libre sobre la condición de presión, puesto que el movimiento giratorio origina gradientes de presión radiales que no es fácil emplear si se establece en la salida la condición que especifica la presión.

865 CAPÍTULO 15

Pent

Psal

Velocidad de entrada, calculada no especificada

Dominio computacional

Entrada de presión; Pent especificada

Velocidad de salida, calculada no especificada

Salida de presión; Psal especificada

Una situación común en una aplicación simple de la DFC es especificar velocidad en una o más entradas de flujo al dominio computacional, presión en una o más salidas de flujos, y establecer las condiciones de frontera en las paredes que definen la configuración geométrica del resto del dominio computacional. Por ejemplo, en una alberca (Fig. 15-20), se establece la cara izquierda del dominio computacional como una entrada de velocidad y la cara del fondo como una salida de presión. El resto de las caras son paredes, con la superficie libre modelada como una pared con esfuerzo cortante cero. Por último, para simulaciones de flujo compresible, las condiciones de frontera en la salida se complican más por la introducción de invariantes de Riemann y variables características relacionadas con ondas que entran y salen, cuyo análisis está fuera del objetivo de este texto. Por fortuna, muchos paquetes de la DFC tienen una condición de frontera de campo lejano de presión para flujos compresibles. Esta condición en la frontera se emplea para especificar el número de Mach, la presión y la temperatura en una entrada. La misma condición de frontera se puede aplicar a una salida; cuando el flujo sale del dominio computacional, las variables de flujo en la salida se extrapolan desde el interior del dominio. De nuevo debe cerciorarse que no hay flujo inverso en una salida.

FIGURA 15-22 En una entrada o salida de presión se especifica la presión sobre la cara, pero no puede especificarse la velocidad a través de la cara. Cuando la solución de la DFC converge, la velocidad se ajusta por sí misma de tal modo que se cumplen las condiciones de frontera de presión prescritas.

Frontera de flujo libre a la salida

u

x

FIGURA 15-23 En una condición de frontera de flujo libre a la salida, el gradiente o pendiente de velocidad normal a la cara de la salida del flujo es cero, como se ilustra aquí para u como una función de x a lo largo de una línea horizontal. Observe que ni la presión ni la velocidad se especifican en caso de la condición de la frontera de flujo libre a la salida.

Condiciones de frontera diversas

Dominio computacional

Salida

Periódica Entrada

Algunas fronteras de un dominio computacional no son paredes ni entradas o salidas, sino más bien imponen alguna clase de simetría o periodicidad. Por ejemplo, la condición de frontera periódica es útil cuando en la configuración geométrica hay repetición. Las variables de campo de flujo a lo largo de una cara de una frontera periódica están vinculadas numéricamente a una segunda cara de manera idéntica (y en la mayoría de los paquetes de la DFC, también a malla de cara idéntica). Por lo tanto, el flujo que sale a través de (cruza) la primera frontera periódica puede considerarse que entra a través de (cruza) la segunda frontera periódica con propiedades idénticas (velocidad, presión, temperatura, etc.). Las condiciones de frontera periódicas ocurren siempre en pares y son útiles para flujos con configuraciones geométricas repetitivas, como el flujo en los álabes de una turbomáquina o de una configuración de tubos de intercambiador de calor (Fig. 15-24). Las condiciones de frontera periódicas permiten trabajar con un dominio computacional que es mucho más pequeño que el campo de flujo completo y, por lo tanto, se ahorran recursos de computadora. En la figura 1524 puede imaginarse un número infinito de dominios repetidos (líneas discontinuas) arriba y abajo del dominio computacional real (la región sombreada en gris tenue). Las condiciones de frontera periódicas deben especificarse como traslacionales (periodicidad aplicada a dos caras paralelas, como en la figura 15-24) o rotacionales (periodicidad aplicada a dos caras con orientación radial). La región de flujo entre dos aspas vecinas de un ventilador (un pasaje de flujo) es un ejemplo de un dominio periódico rotacional (Fig. 15-58). La condición de frontera de simetría fuerza a las variables del campo de flujo a aparecer como imágenes especulares en un plano de simetría. De forma mate-

Periódica

FIGURA 15-24 La condición de frontera periódica se impone sobre dos caras idénticas. Cualquier situación que suceda en una de las caras también debe pasar en su parte periódica equivalente, según se ilustra mediante los vectores de velocidad que atraviesan las caras periódicas.

866 INTRODUCCIÓN A LA DINÁMICA

Dominio computacional Simetría

FIGURA 15-25 La condición de frontera de simetría se impone sobre una cara de tal modo que el flujo de otro lado de la cara es una imagen especular del flujo calculado. Se esbozan los dominios imaginarios (líneas interrumpidas) por arriba y por abajo del dominio computacional en el cual los vectores de velocidad son imágenes especulares del dominio computacional. En este ejemplo de un intercambiador de calor, la cara izquierda del dominio es una entrada de velocidad, la cara derecha es una salida de presión o salida de flujo libre, sobre los cilindros se impone las condiciones de pared y tanto la cara superior como la inferior son planos de simetría.

Salida

Entrada

Simetría

mática, los gradientes de la mayoría de las variables de campo de flujo en la dirección normal al plano de simetría se igualan a cero en el plano de simetría, aunque algunas variables se especifican como funciones pares y algunas como funciones impares en una condición de frontera de simetría. Para flujos físicos con uno o más planos de simetría, esta condición de frontera permite modelar solamente una parte del dominio de flujo físico, así que se ahorran los recursos de computadora. La frontera de simetría difiere de la frontera periódica en que no se necesita ninguna frontera “asociada” para el caso de simetría. Además, el fluido puede correr paralelo a una frontera de simetría, pero no a través de una frontera de simetría, mientras que el flujo puede cruzar una frontera periódica. Considere, por ejemplo, el flujo que circunda un conjunto de tubos de intercambiador de calor (Fig. 15-24). Si se supone que ningún flujo cruza la frontera periódica del dominio computacional pueden usarse las condiciones de frontera de simetría en vez de las condiciones de frontera periódica. El lector atento notará que inclusive puede reducirse a la mitad el tamaño del dominio computacional al elegir con inteligencia los planos de simetría (Fig. 15-25). Para flujos axisimétricos, la condición de frontera de eje se aplica al lado recto que representa el eje de simetría (Fig. 15-26a). El fluido puede correr paralelo al eje, pero no puede fluir a través del eje. La geometría axisimétrica permite reducir el problema a sólo dos dimensiones, como se bosqueja en la figura 1526b). El dominio computacional es simplemente un rectángulo en el plano xy; se puede imaginar que este plano gira en torno al eje x para generar la axisimetría. En el caso de flujos axisimétricos de movimiento giratorio, el fluido puede fluir también de manera tangencial a una trayectoria circular alrededor del eje de simetría. Los flujos axisimétricos de movimiento giratorio a veces se denominan rotacionalmente simétricos.

Condiciones de frontera interiores La clasificación final de las condiciones de frontera se impone a las condiciones que se formulan para las caras o lados que no forman la frontera del dominio computacional, sino más bien existen dentro del dominio. Cuando una condición de frontera interior se especifica en una cara, el usuario no fuerce ningún cambio del flujo que cruza la cara, y se espera que el flujo fluya del mismo mo-

y

FIGURA 15-26 La condición de frontera de eje se aplica al eje de simetría (en este caso el eje x) en un flujo axisimétrico, puesto que hay simetría rotacional respecto al eje x. a) Se ilustra una sección que define el plano xy o ru, y las componentes de la velocidad pueden ser (u, v) o (ur, uu). b) El dominio computacional de este problema se reduce a un plano de dos dimensiones (x y y). En muchos paquetes de la DFC, x y y se utilizan como coordenadas axisimétricas, donde se entiende que y es la distancia desde el eje x.

y

v →

V uu

Dominio computacional

ur

r

→

V Entrada

Salida

v

u u

x Simetría rotacional

y

Eje

Eje Spared

Cuerpo axisimétrico x a)

b)

u

x

867 CAPÍTULO 15

do al pasar de una celda interior a otra (Fig. 15-27). Esta condición de frontera es necesaria para situaciones donde el dominio computacional se divide en bloques separados o zonas, y permite la comunicación entre bloques. Se ha encontrado que esta condición de frontera es útil también para posprocesamiento, debido a que una cara predefinida está presente en el campo de flujo, en cuya superficie puede trazarse vectores de velocidad, contornos de presión, etc. En aplicaciones de la DFC más avanzadas donde hay una malla deslizante o rotatoria, la interfase entre los dos bloques se necesita para transferir información sin problemas de un bloque a otro. La condición de frontera de ventilador se especifica en un plano en el que se asigna un incremento (o disminución) de presión repentino. Esta condición de frontera es similar a una condición de frontera interior excepto el caso del aumento de presión forzado. El paquete de la DFC no resuelve detalladamente el campo de flujo no estacionario por cada una de las aspas del ventilador, sino simplemente modela el ventilador como un plano infinitesimalmente delgado en el cual se cambia la presión. La condición de frontera de ventilador es útil, por ejemplo, en caso de un modelo simple de un ventilador dentro de un conducto (Fig. 15-27), un ventilador de techo en una habitación, o una hélice, o un motor de propulsión que suministra la fuerza de empuje a una aeronave. Si el aumento de presión por el ventilador se especifica como cero, esta condición de frontera se comporta igual que una condición de frontera interior.

La práctica hace al maestro La mejor manera de aprender dinámica de fluidos computacional es mediante ejemplos y práctica. Se exhorta a experimentar con varias mallas, condiciones de frontera, parámetros numéricos, entre otros, con el fin de percibir cómo es la DFC y empezar a “sentirla”. Antes de enfrentar un problema complicado es mejor resolver problemas más simples, en particular aquellos para los que se conocen las soluciones analíticas o empíricas (para comparación y comprobación). En las secciones siguientes, de ejemplo, se resuelven varios problemas de interés general en ingeniería para ilustrar numerosas capacidades y limitaciones de la DFC. Se empieza con flujos laminares y luego se proporcionan algunos ejemplos introductorios de flujo turbulento. Por último, se dan ejemplos de flujos con transferencia de calor, flujos compresibles y flujos de líquido con superficie libre. Las imágenes en color de los resultados están disponibles en el sitio de internet del libro, inclusive algunas animaciones.

15-2

■

CÁLCULOS DE LA DFC DE FLUJO LAMINAR

La dinámica de fluidos computacional realiza un trabajo excelente cuando se calcula flujo laminar incompresible, estacionario o no estacionario, siempre que la resolución de la malla sea la adecuada y se especifiquen de manera apropiada las condiciones de frontera. Se muestran ejemplos simples de soluciones de flujo laminar, con atención particular en la resolución de la malla y la aplicación apropiada de condiciones de frontera. En todos los ejemplos de esta sección, los flujos son incompresibles y bidimensionales (o axisimétricos).

Región de entrada de flujo en una tubería a Re  500 Considere el flujo de agua a temperatura ambiente dentro de una tubería redonda lisa de longitud L  40.0 cm y diámetro D  1.00 cm. Se supone que el agua entra a una velocidad uniforme igual a V  0.05024 m/s. La viscosidad cinemática del agua es n  1.005 106 m2/s, que produce un número de Reynolds de Re  VD/n  500. Se supone flujo laminar y estacionario

Salida P + ΔP P Entrada

Ventilador Interior

FIGURA 15-27 La condición de frontera de ventilador impone un cambio abrupto en la presión a través del plano del ventilador para simular un ventilador de flujo axial en un conducto. Cuando el aumento de presión se especifica como cero, la condición de frontera de ventilador degenera en una condición de frontera interior.

868 INTRODUCCIÓN A LA DINÁMICA Entrada de velocidad Pared

Salida de presión

Dominio computacional

r D

Eje

x

L V

FIGURA 15-28 Debido a la axisimetría respecto al eje x, el flujo en un tubo circular puede calcularse si se usa como el dominio computacional un corte bidimensional del tubo desde r  0 hasta D/2. El dominio computacional es la región gris y el esquema no está a escala. Se señalan las condiciones de frontera.

de fluido incompresible. Se está interesado en la región de entrada en la cual el flujo poco a poco se vuelve desarrollado totalmente. Como resultado de la axisimetría, se establece un dominio computacional que es una porción bidimensional del eje a la pared de la tubería, en vez de un volumen cilíndrico tridimensional (Fig. 15-28). Se generan seis mallas estructuradas para este dominio computacional: de celdas muy amplias (40 intervalos en la dirección axial 8 intervalos en la dirección radial), de celdas amplias (80 16), media (160 32), fina (320 64), muy fina (640 128) y ultrafina (1 280 256) (note que el número de intervalos se duplica en ambas direcciones para cada malla sucesiva). En todos los casos los nodos están distribuidos de manera uniforme axialmente, pero se concentran radialmente cerca de la pared, debido a que se esperan los gradientes de velocidad más grandes cerca de la pared de la tubería. En la figura 15-29 se muestran vistas de acercamiento de las tres primeras de estas mallas. Se ejecuta el programa de la DFC FLUENT en precisión doble para los seis casos (la aritmética de doble precisión no siempre es necesaria para cálculos de ingeniería; se emplea aquí para obtener la mejor precisión posible en las comparaciones). Puesto que el flujo es laminar, incompresible y axisimétrico, sólo se resuelven las tres ecuaciones: de continuidad, de cantidad de movimiento lineal en x y de cantidad de movimiento lineal en y. Note que la coordenada y se usa en el paquete de la DFC en vez de r como la distancia desde el eje de rotación (Fig. 15-26). El paquete de la DFC se corre hasta lograr la convergencia (que los residuos se estabilicen). Recuerde que un residuo es una medida de qué tanto se desvía la solución numérica de la ecuación dada del valor exacto de la solución; a menor residuo, mejor convergencia. Para el caso de la malla de celdas muy amplias, esto ocurre en aproximadamente 500 iteraciones, y los residuos se estabilizan en menos de 1012 (respecto a sus valores iniciales). La disminución de los residuos se grafican en la figura 15-30 para el caso de celdas muy amplias. Note que para problemas más complicados con mallas más finas, no siempre se pueden esperar estos residuos tan bajos; en algunas soluciones de la DFC, los residuos se estabilizan en valores mucho mayores, como 103.

a)

FIGURA 15-29 Porciones de las tres mallas estructuradas de celdas más amplias generadas para el flujo laminar en un tubo: a) malla de celdas muy amplias (40 8), b) malla de celdas amplias (80 16), c) malla media (160 32). La cantidad de celdas computacionales es 320, 1 280 y 5 120, respectivamente. En cada vista, la superficie de la pared del tubo está en la parte superior y el eje del tubo está en la parte inferior, como en la figura 15-28.

b)

c)

869 CAPÍTULO 15

Se define P1 como la presión promedio en una ubicación axial que se encuentra corriente abajo de la entrada a la distancia igual a un diámetro de tubería. De manera similar, se define P20 a 20 diámetros de tubería corriente abajo de la entrada. Así, la caída de presión promedio en la dirección axial a lo largo de la distancia entre 1 y 20 diámetros es P  P1  P20, y es igual a 4.404 Pa (a cuatro dígitos significativos de precisión) para el caso de la malla de celdas muy amplias. La presión de línea central y la velocidad axial se grafican en la figura 1531a) como funciones de la distancia corriente abajo. La solución al parecer es físicamente razonable. Se ve que el incremento de la velocidad axial de línea central corresponde a la ley de conservación de masa a medida que la capa límite en la pared de la tubería crece corriente abajo. Se observa una caída de presión abrupta cerca de la entrada de la tubería donde los esfuerzos de corte viscosos sobre la pared de la tubería son más altos. La caída de presión tiende a ser lineal al acercarse al extremo de la región de entrada donde el flujo ya está desarrollado casi totalmente, como se esperaba. Por último, se compara en la figura 15-31b) el perfil de velocidad axial en el extremo de la tubería con la solución analítica conocida para flujo en tubería laminar totalmente desarrollado (ver Cap. 8). La concordancia es excelente, en particular si se considera que sólo hay ocho intervalos en la dirección radial. ¿Es independiente esta solución de la DFC de la malla? Para investigar, se repiten los cálculos con las mallas de celdas amplias, media, fina, muy fina y ultrafina. La convergencia de los residuos es similar desde el punto de vista cualitativo a la de la figura 15-30 para todos los casos, pero el tiempo del CPU se incrementa de manera considerable conforme mejora la resolución de la malla, y los niveles de los residuos finales no son tan bajos como los del caso de celdas amplias. El número de iteraciones necesarias para lograr la convergencia también se incrementa con la resolución de la malla. La caída de presión de x/D  1 a 20 se lista en la tabla 15-1 para los seis casos. P se grafica también como una función del número de celdas en la figura 15-32. Se ve que, inclusive, la malla de celdas muy amplias realiza un trabajo razonable en la predicción de P. La diferencia entre la caída de presión en caso de la malla de celdas muy amplias y en caso de la malla ultrafina es menor de 10 por ciento. Así, la malla de celdas muy amplias podría ser adecuada para algunos cálculos de ingeniería. Sin embargo, si es necesaria mayor precisión, debe usarse una malla más fina. Se ve la independencia de solución de la malla hasta tres cifras significativas al comparar los resultados con el resultado de la malla más fina. El cambio en P de la malla muy fina a la malla ultrafina es menor de 0.07 por ciento, y resulta que una malla con la resolución tan fina como la de la malla ultrafina es innecesaria en análisis de ingeniería de cualquiera que sea el problema práctico.

8

2

7 Pmanométrica, Pa

0.4

1.5

5 4

1

uCL V

0.3 r D

Analytical Analítica 0.2

3 Pmanométrica

0.5

0.1

1 0

0 10

20 x/D a)

10–4

Cantidad de movimiento en x

10–6 10–8

Cantidad de movimiento en y

10–10 10–12 10–14 10–16 0

200 400 Número de iteraciones

600

FIGURA 15-30 Decaimiento de los residuos con el número de iteraciones para la solución del flujo laminar en un tubo en el caso de una malla de celdas muy amplias (aritmética de precisión doble).

CFD DFC

6

0

Continuidad

10–2

0.5

uCL/V

2

100

30

40

0 0

0.5

1 u/V b)

1.5

2

FIGURA 15-31 Resultados de la DFC para simulación de flujo laminar en un tubo para el caso de malla de celdas muy amplias: a) desarrollo de presión y velocidad axial a lo largo del eje central con el incremento de la distancia corriente abajo y b) perfil de la velocidad axial en la salida del tubo comparado con la predicción analítica (el subíndice CL se debe a las palabras en inglés: central line, que significan línea central).

870 INTRODUCCIÓN A LA DINÁMICA

TABLA 15-1 Caída de presión de x/D  1 hasta 20 para los distintos casos de resolución de mallas en la región de entrada del flujo para flujo axisimétrico en tubería Caso Muy amplia Amplia Media Fina Muy fina Ultrafina 4.5

P, Pa

320 1 280 5 120 20 480 81 920 327 680

4.404 3.983 3.998 4.016 4.033 4.035

Las diferencias más notables entre los seis casos ocurren muy cerca de la entrada de la tubería, donde los gradientes de presión y los de velocidad son más grandes. De hecho, se presenta una singularidad en la entrada, donde la velocidad axial cambia de manera repentina de V a cero en la pared debido a la condición de no deslizamiento. En la figura 15-33 se trazan gráficas de contorno de la velocidad axial normalizada, u/V, cerca de la entrada de la tubería. Se observa que aunque las propiedades globales del campo de flujo (como la caída de presión global) varían sólo pocos por cientos cuando se refina la malla, los detalles del campo de flujo (como los contornos de velocidad que se muestran aquí) cambian de manera considerable con la resolución de la malla. Puede verse que cuando la malla se refina de manera continua, las formas de contorno de la velocidad axial se vuelven más uniformes y mejor definidas. Las mayores diferencias en las formas de contorno ocurren cerca de la pared de la tubería.

4.4 4.3 ΔP, Pa

Número de celdas

4.2 4.1 4 3.9 3.8 102

103 104 105 Número de celdas

106

FIGURA 15-32 Caída de presión de x/D  1 a 20 calculada en la región de entrada de flujo axisimétrico en tubo se presenta aquí como función del número de celdas.

Flujo alrededor de un cilindro circular a Re  150 Para ilustrar que los resultados confiables de la DFC exigen la correcta formulación del problema, considere el problema al parecer simple del flujo bidimensional incompresible, estacionario, sobre un cilindro circular de diámetro D  2.0 cm (Fig. 15-34). El dominio computacional de dos dimensiones que se emplea para esta simulación se bosqueja en la figura 15-35. Sólo se resuelve la mitad superior del campo de flujo, debido a la simetría a lo largo del lado inferior del dominio computacional; se especifica una condición de frontera de simetría a lo largo de este lado para asegurar que ningún flujo cruza el plano de simetría. Con esta condición de frontera impuesta, el tamaño del dominio computacional necesario se reduce en un factor de 2. Se aplica una condición de frontera de pared sin deslizamiento, en reposo, a la superficie del cilindro. La mitad izquierda de aquella parte de la frontera del dominio que corresponde al campo de flujo lejano, obtiene una condición de frontera que especifica la velocidad al establecer las componentes de la velocidad u  V y v  0. A lo largo de la mitad derecha se formula la condición de frontera que especifica presión. (Allí, la presión manométrica se establece en cero sin embargo, ya que, en un paquete de la DFC, el campo de velocidad de fluido incompresible depende sólo de las diferencias de presión, no del valor absoluto de presión, el valor de presión que se usa para especificar la condición de frontera en la salida es irrelevante). Se generan tres mallas estructuradas bidimensionales para comparación: de celdas amplias (30 intervalos radiales 60 intervalos a lo largo de la superficie del cilindro  1 800 celdas), media (60 120  7 200 celdas) y fina (120 240  28 800 celdas), como se ve en la figura 15-36. Note que sólo una peque-

871 CAPÍTULO 15

r 1.1

1.2

1.3

1.4

x a)

r 1.1

1.2

1.3

1.4

x b)

r 1.1

1.3

1.2

1.4

x c)

r 1.1

1.4

1.2

1.3 x d)

ña porción del dominio computacional se muestra aquí; el dominio completo se extiende a 15 diámetros del cilindro hacia fuera desde el origen, y las celdas se hacen cada vez más grandes al alejarse del cilindro. Se considera un flujo libre de aire a una temperatura de 25°C, a presión atmosférica estándar, y a velocidad V  0.1096 m/s, de izquierda a derecha alrededor de este cilindro circular. El número de Reynolds del flujo, con base en el diámetro del cilindro (D  2.0 cm), es entonces Re  rVD/m  150. Los experimentos a este número de Reynolds revelan que la capa límite es laminar y se separa al ángulo aproximadamente de 10° antes del punto superior del cilindro, a a  82° desde el punto de estancamiento frontal. La estela también permanece laminar. En publicaciones científicas, los valores del coeficiente de arrastre medidos de manera experimental a este número de Reynolds muestran mucha diferencia de una publicación a otra; el intervalo es CD  de 1.1 a 1.4, y es muy probable que las diferencias se deban a la calidad del flujo libre y a los efectos tridimensionales (derramamiento de vórtice oblicuo entre otros). (Recuerde que CD  2FD /rV 2A, donde A es el área frontal del cilindro y A  D multiplicado por la longitud del cilindro, tomada como longitud unitaria en un cálculo de la DFC de dos dimensiones.) Las soluciones de la DFC que se obtienen para cada una de las tres mallas al suponer flujo laminar estacionario se muestran en la figura 15-36. Los tres casos convergen sin problemas, pero los resultados no necesariamente concuerdan con la intuición física o con los datos experimentales. Las líneas de corriente se muestran en la figura 15-37 para las tres resoluciones de malla. En todos los casos la imagen se refleja respecto a la línea de simetría, de modo que aunque sólo se resuelva la mitad superior del campo de flujo, éste aparece completo.

FIGURA 15-33 Contornos de velocidad axial normalizada (u/V) para el ejemplo de flujo laminar en una tubería. Se muestra un acercamiento de la región de entrada de la tubería para cada una de las primeras cuatro mallas: a) malla de celdas muy amplias (40 8), b) malla de celdas amplias (80 16), c) malla media (160 32) y d) malla fina (320 64).

y V

D

Cilindro

x

FIGURA 15-34 Flujo de fluido a la velocidad de flujo libre V sobre un cilindro circular bidimensional de diámetro D.

872 INTRODUCCIÓN A LA DINÁMICA Flujo de entrada de campo lejano (entrada de velocidad)

V

Flujo de salida de campo lejano (salida de presión)

Dominio computacional

Superficie del cilindro (pared) Línea de simetría a (simetría)

y x 0.3 m

0.02 m

FIGURA 15-35 Dominio computacional (región sombreada) que se usa para simular flujo estacionario bidimensional sobre un cilindro circular (no está a escala). Se supone que el flujo es simétrico con respecto al eje x. Se muestran entre paréntesis las condiciones de frontera aplicadas para cada lado del dominio computacional. También se define a, el ángulo medido a lo largo de la superficie del cilindro desde el punto de estancamiento frontal.

Para el caso de resolución de celdas amplias (Fig. 15-37a), la capa límite se separa a a  120°, bastante lejos del punto superior del cilindro, y CD es 1.00. La solución de la capa límite es insuficiente para producir el punto de separación de capa límite apropiado, y el arrastre es un poco más pequeño de lo que debe ser. En la estela se observan dos grandes burbujas de separación con los movimientos giratorios contrarios que se extienden varios diámetros de cilindro corriente abajo. Para el caso de resolución media (Fig. 15-37b), el campo de flujo es considerablemente distinto. La capa límite se separa un poco más corriente arriba a a  110°, lo cual concuerda ya un poco mejor con los resultados experimentales, pero CD ha disminuido a casi 0.982, un valor bastante diferente del valor experimental. Las burbujas de separación en la estela del cilindro han crecido mucho más en comparación con las del caso de la malla de celdas amplias. Al refinar la malla aún más, ¿se mejoran los resultados numéricos? En la figura 15-37c) se muestran las líneas de corriente para el caso de resolución fina. Los resultados se ven cualitativamente similares a los del caso de resolución media, con a  109°, pero el coeficiente de arrastre es inclusive más pequeño (CD  0.977), y las burbujas de separación son más largas. En el cuarto cálculo (no se muestra) a una resolución de malla todavía más fina se observa la misma tendencia; las burbujas de separación se alargan corriente abajo y el coeficiente de arrastre disminuye un poco. En la figura 15-38 se muestra una gráfica de contorno de la componente de la velocidad tangencial (uu) para el caso de resolución media. Se grafican valores de uu en un intervalo muy pequeño alrededor de su valor de cero, de modo que pueda verse con claridad dónde, a lo largo del cilindro, el flujo cambia su dirección. Ésta es, por lo tanto, una manera ingeniosa de localizar el punto de separación a lo largo de la superficie del cilindro. Note que esto funciona sólo para un cilindro circular como resultado de su configuración geométrica única. Una manera más general de determinar el punto de separación es identificar el punto a lo largo de la superficie donde el esfuerzo de corte tw es cero; esta técnica funciona para cuerpos de cualquier forma. De la figura 15-38 se observa que la capa límite se separa a un ángulo de a  110° desde el punto de estancamiento frontal, mucho más corriente abajo que el valor de 82° obtenido de manera experimental. De hecho, todos los resultados de la DFC predicen separación de capa límite en el lado posterior y no en el lado frontal del cilindro.

873 CAPÍTULO 15

a)

b)

c)

FIGURA 15-36 Mallas estructuradas bidimensionales alrededor de la mitad superior de un cilindro circular: a) malla de celdas amplias (30 60), b) malla mediana (60 120), c) malla fina (120 240). El lado inferior es una línea de simetría. Sólo se muestra una porción de cada dominio computacional: el dominio se extiende mucho más allá de la parte que se muestra aquí.

874 INTRODUCCIÓN A LA DINÁMICA

Estos resultados de DFC carecen de sentido físico; las burbujas de separación tan alargadas no podrían permanecer estables en una situación de flujo real, el punto de separación está demasiado lejos corriente abajo y el coeficiente de arrastre es demasiado bajo comparado con los datos experimentales. Además, la exactitud repetida de malla no produce la mejora en resultados como se esperaría; por el contrario, los resultados empeoran con la exactitud de la malla. ¿Por qué estas simulaciones de la DFC producen tal mala concordancia con el experimento? La respuesta es doble:

a)

b)

c)

FIGURA 15-37 Líneas de corriente producidas por cálculos de la DFC de flujo en régimen estacionario sobre un cilindro circular a un Re  150: a) malla de celdas amplias (30 60), b) malla media (60 120), c) malla fina (120 240). Observe que sólo la mitad superior del flujo está calculada, y la mitad inferior se muestra como imagen especular de la parte superior.

Punto de separación

y uu0 x

FIGURA 15-38 Gráfica de contorno de una componente de velocidad tangencial uu para flujo sobre un cilindro circular a Re  150 y para el caso de resolución de malla media (60 120). Se grafican los valores de magnitud 104  uu  104 m/s para revelar la ubicación precisa de la separación de la capa límite, es decir, donde uu cambia de signo en la cercanía inmediata de la superficie del cilindro, como se muestra en el diagrama. En este caso, el flujo se separa a a  110°.

1. Se ha forzado la solución de la DFC a ser estacionario, cuando de hecho el flujo sobre un cilindro circular a este número de Reynolds no es estacionario. Los experimentos muestran que se forma detrás del cilindro una estela de vórtices de Kármán periódica (Tritton, 1977; vea también la Fig. 4-25 de este texto). 2. Los tres casos de la figura 15-37 se resuelven sólo para el plano medio superior, y se supone la simetría respecto al eje x. En realidad, el flujo sobre un cilindro circular es muy asimétrico; los vórtices de manera alternada se derraman uno tras otro desde la parte superior del cilindro y la inferior y forman la estela de vórtices de Kármán. Para corregir ambos problemas es necesario realizar una simulación de la DFC de flujo no estacionario e introducir una malla completa (las partes superior e inferior), sin imponer la condición de simetría. Se realiza la simulación de un flujo laminar bidimensional no estacionario, con el dominio computacional que se bosqueja en la figura 15-39. Para los lados superior e inferior de la frontera del dominio computacional (campo lejano) se especifica un par de condiciones de frontera periódicas para que no se supriman las oscilaciones asimétricas en la estela (el flujo puede cruzar estas fronteras según sea necesario). Los lados del dominio computacional correspondientes al campo de flujo lejano están también muy alejados del cilindro (de 75 a 200 diámetros de cilindro), de modo que su efecto en los cálculos es insignificante. La malla es muy fina cerca del cilindro para resolver la capa límite. La malla también es fina en la región de estela para resolver los vórtices sucesivos a medida que viajan corriente abajo. Para esta simulación particular se emplea una malla híbrida un poco parecida a la que se muestra en la figura 15-14. El fluido es aire, el diámetro del cilindro es 1.0 m y la velocidad del aire de flujo libre se establece en 0.00219 m/s. Estos valores producen un número de Reynolds de 150 con base en el diámetro del cilindro. Note que el número de Reynolds es el parámetro importante en este problema, mientras que las elecciones de valores numéricos para D, V y tipo de fluido no son tan importantes, siempre que produzcan el número de Reynolds deseado (Fig. 15-40). Conforme se avanza en el tiempo, se amplifican las irregularidades pequeñas en el campo de flujo, y el flujo se vuelve no estacionario y asimétrico respecto al eje x. Se forma de manera natural una estela de vórtices de Kármán. Después de un tiempo suficiente para que haga su trabajo CPU, el flujo simulado se convierte en un patrón periódico de diseminación de vórtices, muy parecido al flujo real. En la figura 15-41 se muestra una gráfica de contornos de vorticidad en un instante de tiempo, junto con una fotografía que muestra las líneas de traza del mismo flujo obtenidas de manera experimental en un túnel de viento. Es evidente de la simulación de la DFC que los vórtices de Kármán se debilitan corriente abajo, debido a que la magnitud de la vorticidad se reduce con la distancia corriente abajo. Este debilitamiento se debe en parte a los efectos físicos (flujo viscoso) y en parte al efecto artificial (disipación numérica). Sin embargo, los experimentos físicos confirman el debilitamiento de los vórtices de Kármán. El debilitamiento no es tan evidente en la fotografía de líneas de traza (Fig. 15-41b); esto se debe a la propiedad de integración con el tiempo de las

875 CAPÍTULO 15 Frontera de campo lejano (periódica)

V

Entrada de campo lejano (entrada de velocidad)

Superficie del cilindro (pared)

Salida de campo lejano (salida de presión)

y

x 75D

D

FIGURA 15-39 Dominio computacional (región sombreada) que se usa para simular un flujo no estacionario, bidimensional y laminar sobre un cilindro circular (no está a escala). Las condiciones de frontera aplicadas están entre paréntesis.

200D

Frontera de campo lejano (periódica)

líneas de traza, como se señaló en el capítulo 4. Una vista de acercamiento de la diseminación de vórtices desde el cilindro en determinado instante se muestra en la figura 15-42, de nuevo con una comparación entre los resultados de la DFC y los resultados experimentales, esta vez de experimentos en un canal de agua. En el sitio de internet del libro se proporciona una versión animada a color de la figura 15-42, con el fin de poder ver el proceso dinámico de diseminación de vórtices. En la tabla 15-2 se comparan los resultados de la DFC con los resultados experimentales. El coeficiente de arrastre promedio calculado para el cilindro es 1.14. Como se mencionó, los valores experimentales de CD a este número de Reynolds varían de 1.1 a 1.4, así que la concordancia está dentro de la dispersión experimental. Note que la simulación presente es bidimensional, y de este modo se inhibe cualquier clase de diseminación de vórtices oblicuos u otras imperfecciones tridimensionales. Ésta podría ser la razón de que el coeficiente de arrastre calculado esté en el extremo inferior del intervalo experimental descrito. El número de Strouhal de la estela de vórtices de Kármán se define como: Número de Strouhal:

St 

f diseminación D V

(15-4)

donde fdiseminación es la frecuencia de diseminación de vórtices a la estela. De la simulación de la DFC se calcula St  0.16. El valor que se obtiene de manera experimental del número de Strouhal a este número de Reynolds es aproximadamente 0.18 (Williamson, 1989), así que de nuevo la concordancia es razonable, aunque los resultados de la DFC son un poco bajos al comparar con el experimento. Quizá una malla más fina ayudaría un poco, pero es más probable que la razón principal de la discrepancia se deba a efectos tridimensionales inevitables en los experimentos, los cuales no están presentes en estas dos simulaciones. En general esta simulación de la DFC es un éxito, ya que capta los principales fenómenos físicos en el campo de flujo. Este ejercicio con flujo laminar “simple” sobre un cilindro circular ha demostrado algunas de las capacidades de la DFC, pero también ha revelado varios aspectos de la DFC acerca de los cuales debe tenerse precaución. La resolución de malla deficiente puede originar soluciones incorrectas, en particular respecto a la separación de capa límite, pero la exactitud continua de la malla no lleva a resultados más correctos desde el punto de vista físico si las condiciones de frontera no se establecen de manera apropiada (Fig. 15-43). Por ejemplo, imponer la simetría al flujo al realizar la solución numérica no siempre es aconseja-

El número de Reynolds se define como: Re =

VD rVD = n m

para flujo de velocidad de flujo libre V de un fluido de densidad r y viscosidad dinámica m (viscosidad cinemática n) sobre un cilindro circular de diámetro D.

FIGURA 15-40 En una simulación de la DFC de flujo incompresible alrededor de un cilindro no es determinante la elección de velocidad de flujo libre, diámetro del cilindro ni el tipo del fluido, si se alcanza el número de Reynolds deseado.

876 INTRODUCCIÓN A LA DINÁMICA y

FIGURA 15-41 Flujo laminar en la estela de un cilindro circular a Re  150: a) una toma instantánea de los contornos de vorticidad que produce la DFC y b) líneas de traza promediados en tiempo generadas por un hilo de humo que se localiza en x/D  5. Los contornos de vorticidad muestran que los vórtices de Kármán se desintegran con rapidez en la estela, en tanto que las líneas de traza conservan una “memoria” de su historia desde corriente arriba al crear una falsa imagen de que los vórtices aparentemente continúen durante una gran distancia corriente abajo.

D

x/D 0

10

30

20

40

50 a)

60

70

80

90

100

y D

x/D 0

10

20

30

40

50 b)

Fotografía de Cimbala et al., 1988.

60

70

80

90

100

y D

x/D 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

a)

y

FIGURA 15-42 Acercamiento de los vórtices que se derraman de un cilindro circular: a) gráfica de los contornos de vorticidad instantáneos que produce la DFC a Re  150 y b) líneas de traza teñidas que son generadas por el tinte introducido en la superficie del cilindro a Re  140.

D

Fotografía b) reproducida con autorización

x/D

de Sadatoshi Taneda.

0

1

2

3

4

5

6 b)

7

8

9

10

11

877 CAPÍTULO 15

ble, inclusive para casos en los que la configuración geométrica del dominio físico del problema es por completo simétrica. La geometría simétrica no garantiza flujo simétrico.

Además, imponer la suposición del flujo estacionario podría dar resultados incorrectos cuando el flujo en realidad es inherentemente inestable u oscilatorio, o inestable y oscilatorio al mismo tiempo. Asimismo, la supuesta bidimensionalidad podría producir resultados incorrectos cuando el flujo es inherentemente tridimensional. ¿Cómo se puede asegurar entonces que es correcto el cálculo de la DFC laminar? Sólo mediante el estudio sistemático de los efectos del tamaño de dominio computacional, resolución de malla, condiciones de frontera, régimen de flujo (estacionario o no estacionario, 2-D o 3-D, etc.), junto con la validación experimental. Al igual que ocurre con la mayoría de las otras áreas de ingeniería, la experiencia es de primordial importancia.

15-3

■

TABLA 15-2 Comparación de resultados de la DFC y resultados experimentales para flujo no estacionario laminar sobre un cilindro circular a Re  150* Experimento DFC

CD

St

1.1 a 1.4 1.14

0.18 0.16

* La causa principal de que no concuerden se debe con toda probabilidad a los efectos tridimensionales y no a la resolución de la malla o cuestiones numéricas.

CÁLCULOS DE LA DFC DE FLUJO TURBULENTO

Las simulaciones de flujo turbulento son mucho más difíciles que las de flujo laminar, inclusive para casos donde el campo de flujo es estacionario en promedio (los estadísticos se refieren a esta condición como estacionaria). La razón es que en la consideración más detallada el campo de flujo turbulento siempre es no estacionario y tridimensional; las estructuras vorticiales aleatorias, de movimiento giratorio, llamadas remolinos de turbulencia, surgen de todas las orientaciones en un flujo turbulento (Fig. 15-44). En algunos cálculos de la DFC se emplea una técnica llamada simulación numérica directa (SND, direct numerial stimulation, DNS por sus siglas en inglés), donde se intenta resolver el movimiento no estacionario de todas las escalas del flujo turbulento. Sin embargo, las diferencias en tamaño y en escala de tiempo entre los remolinos mayor y menor pueden ser de varios órdenes de magnitud (L  h en la Fig. 15-44). Además, estas diferencias se incrementan con el número de Reynolds (Tennekes y Lumley, 1972), lo cual hace los cálculos de SND de flujo turbulento aún más difíciles a medida que aumenta el número de Reynolds. Las soluciones de SND demandan mallas tridimensionales muy finas, computadoras grandes y una enorme cantidad de tiempo del CPU. Con las computadoras actuales, los resultados de SND no son factibles inclusive para problemas prácticos de interés ingenieril que incluyen los flujos turbulentos con número de Reynolds alto, como el flujo sobre un aeroplano de dimensiones reales. No se espera que la situación cambie durante varias décadas más, inclusive si la rapidez fantástica de mejoramiento de las computadoras continúa al ritmo actual. Por lo tanto, es necesario hacer algunas suposiciones que permitan simplificar con el fin de simular campos complejos de flujo turbulento con número de Reynodls alto. El siguiente nivel abajo de la SND es la simulación de remolinos grandes (SRG, large eddy simulation, LES por sus siglas en inglés). Con esta técnica se obtienen a la escala grande las características no estacionarias de los remolinos turbulentos, mientras que se modelan los remolinos turbulentos disipativos de pequeña escala (Fig. 15-45). La suposición básica es que los remolinos turbulentos más pequeños son isotrópicos; es decir, se supone que los remolinos pequeños son independientes de la orientación de sistema de coordenadas y siempre se comportan de manera estadísticamente similar y predecible, cualquiera que sea el campo de flujo turbulento. En comparación con SND, SRG demanda una cantidad de los recursos computacionales considerablemente menores porque se elimina la necesidad de resolver los remolinos más pequeños presentes en el campo de flujo. Pese a esto, las características que se exigen de la computadora para el análisis y los diseños de la práctica ingenieril son inclusive extraordinarias para el nivel de la tecnología actual. Una descripción más

FIGURA 15-43 La resolución de malla deficiente puede generar resultados de la DFC incorrectos, pero una malla más fina no es garantía de que se obtendrá una solución físicamente más correcta. Si las condiciones de frontera no se especifican de manera apropiada, los resultados podrían ser inútiles, sin importar qué tan fina sea la malla.

878 INTRODUCCIÓN A LA DINÁMICA

L

FIGURA 15-44 Todos los flujos turbulentos, inclusive los estables en sus características promedio, contienen remolinos turbulentos, tridimensionales y no estacionarios de varios tamaños. Se muestra el perfil de la velocidad promedio y algunos de los remolinos; los remolinos turbulentos más pequeños (tamaño h) son del orden de magnitud más pequeños que los remolinos turbulentos más grandes (tamaño L). La simulación numérica directa (SND) es una técnica de la DFC que simula todos los remolinos turbulentos pertinentes del flujo.

FIGURA 15-45 Simulación de remolinos grandes (SRG, LES por sus siglas en inglés) es una simplificación de la simulación numérica directa en la cual se calculan sólo los remolinos grandes, mientras que los remolinos pequeños se modelan, lo cual reduce de manera importante los recursos computacionales necesarios. Se ilustra en la figura el perfil de velocidad promedio y los remolinos calculados.

detallada de la SND y la SRG está fuera de los objetivos de este texto, pero éstas son áreas de intensa investigación actual. El siguiente nivel de decreciente complejidad es modelar todos los remolinos turbulentos no estacionarios con alguna clase de modelo de turbulencia. No se hace algún intento por resolver las características no estacionarias de los remolinos turbulentos de ninguna escala, ni inclusive los más grandes (Fig. 15-46). En cambio, los modelos matemáticos se emplean para tomar en cuenta el incremento de intensidad de mezclado y difusión debido a los remolinos turbulentos. Por sencillez, se considera sólo el flujo incompresible estacionario. Cuando se usa un modelo de turbulencia, la ecuación de Navier-Stokes (Ec. 15-2) se reemplaza por lo que se llama ecuación de Navier-Stokes de número de Reynolds promedio (NSRP, Reynold-averaged navier strokes, RANS por sus siglas en inglés), que se muestra aquí para flujo turbulento, incompresible, estacionario, Ecuación de NSRP de flujo estacionario:

→ → → → → 1→ (V  §)V   §P  n§ 2V  §  (tij, turbulento) r

(15-5)

Comparada con la ecuación 15-2, hay un término adicional en el lado derecho de la ecuación 15-5 que justifica las fluctuaciones turbulentas. tij,turbulento es un tensor conocido como tensor de esfuerzo específico de Reynolds, denominado así debido a que actúa de modo similar al tensor de esfuerzo viscoso tij (Cap. 9). En coordenadas cartesianas, tij,turbulento es: u2 uv uw tij,turbulento  £ uv v2 vw ≥ uw vw w2

(15-6)

donde la barra superior indica el promedio en tiempo del producto de dos componentes de velocidad fluctuantes y los apóstrofos denotan componentes de velocidad fluctuantes. Puesto que el esfuerzo de Reynolds es simétrico, se introducen al problema seis incógnitas más. Estas nuevas incógnitas se modelan de varias maneras mediante modelos de turbulencia. Una descripción detallada de los modelos de turbulencia está fuera de los objetivos de este texto; consulte a Wilcox, 1998, o Chen y Jaw, 1998, para más detalles. Existen numerosos modelos de turbulencia que se emplean en la actualidad, entre otros: los modelos algebraicos, de una ecuación, de dos ecuaciones y el de esfuerzo de Reynolds. Tres de los modelos de turbulencia más populares son el modelo k-e, el modelo k-v y el modelo q-v. Éstos denominados modelos de turbulencia de dos ecuaciones añaden dos ecuaciones más a la formulación matemática del problema, que deben resolverse de manera simultánea con las ecuaciones de conservación de masa y cantidad de movimiento lineal (y también de la energía si se está utilizando esta ecuación también). Junto con las dos ecuaciones adicionales que deben resolverse cuando se usa un modelo de turbulencia de dos ecuaciones, es necesario especificar otras dos condiciones de frontera para las propiedades de turbulencia en entradas y salidas del dominio computacional. (Note que las propiedades especificadas en la salida no se usan a menos que se descubra el flujo inverso en la salida.) Por ejemplo, en el modelo k-e puede especificarse tanto k (energía cinética turbulenta) como e (razón de disipación turbulenta). Sin embargo, los valores apropiados de estas variables no siempre se conocen. Una opción más útil es especificar la intensidad de turbulencia I (razón de velocidad característica de remolino turbulento a velocidad de flujo libre o alguna otra velocidad característica o velocidad promedio) y la longitud característica de remolinos turbulentos  (longitud característica de los remolinos turbulentos que contienen energía). Si no están disponibles los datos de turbulencia, una adecuada regla empírica es establecer en las entradas I en 10 por ciento y fijar  a la mitad de alguna longitud característica del campo de flujo (Fig. 15-47).

879 CAPÍTULO 15

Se enfatiza que los modelos de turbulencia son aproximaciones que dependen en gran medida de constantes empíricas para el cierre matemático de las ecuaciones. Los modelos se calibran con ayuda de simulación numérica directa y datos experimentales obtenidos de campos de flujo simples como las capas límite sobre la placa plana, capas de esfuerzos de corte y el debilitamiento de la turbulencia isotrópica corriente abajo de las placas perpendiculares al flujo libre incidente. Por desgracia, ningún modelo de turbulencia es universal, lo que significa que aunque el modelo funcione bien para flujos similares que se emplean para calibrar, no se garantiza dar una solución física correcta cuando se aplica a campos de flujo turbulento generales, en particular los que impliquen separación de flujo y su reapegamiento a la superficie o su dependencia del tiempo a gran escala, o ambas situaciones. Las soluciones de la DFC de flujo turbulento son sólo tan buenas como idóneo y válido es el modelo de turbulencia que se emplea en los cálculos.

Es conveniente subrayar que también este enunciado es cierto sin importar qué tan fina se hace la malla computacional. Cuando se aplica la DFC a flujos laminares, con frecuencia puede mejorarse la exactitud física de la simulación con refinar la malla. Éste no es siempre el caso para análisis de la DFC de flujo turbulento mediante modelos de turbulencia. Aunque una malla mejorada produce mayor exactitud numérica, la exactitud física de la solución está limitada siempre por la exactitud física del modelo de turbulencia como tal. Con base en estas advertencias, ahora se presentan ejemplos prácticos de cálculos de la DFC de campos de flujo turbulento. En todos los ejemplos de flujo turbulento analizados en este capítulo, se emplea el modelo de turbulencia k-e con funciones de pared. Este modelo es de turbulencia predeterminado en muchos paquetes de la DFC comerciales como FLUENT. En todos los casos se supone flujo estacionario; no se hace algún intento para modelar características no estacionarias del flujo, como la diseminación de vórtices en la estela de un cuerpo romo. Se supone que el modelo de turbulencia considera todos los efectos no estacionarios inherentes debido a los remolinos turbulentos en el campo de flujo. Note que los flujos turbulentos no estacionarios se resuelven también con modelos de turbulencia, mediante esquemas de avance en el tiempo (cálculos de NSRP para flujo no estacionario), pero sólo cuando el tiempo característico de los efectos no estacionarios es mucho más grande que el de cada uno de los remolinos turbulentos. Por ejemplo, suponga que se calculan las fuerzas y momentos en un dirigible durante una ráfaga de viento (Fig. 15-48). En la frontera de entrada se impondrían la velocidad del viento con variación en el tiempo y los niveles de turbulencia, y podría calcularse entonces una solución de flujo turbulento no estacionario mediante modelos de turbulencia. Las características globales del flujo a gran escala (separación de flujo, fuerzas y momentos en el cuerpo, entre otros) serían no estacionarios, pero las características de escala fina de la capa límite turbulenta, por ejemplo, se modelarían mediante el modelo de turbulencia cuasiestacionario.

Flujo alrededor de un cilindro circular a Re  10 000 Como primer ejemplo de una solución de la DFC de flujo turbulento, se calcula el flujo sobre un cilindro circular a Re  10 000. Para ilustración, se usa el mismo dominio computacional de dos dimensiones que se usó para los cálculos de flujo laminar alrededor del cilindro, como se bosqueja en la figura 15-35. Igual que en el cálculo de flujo laminar, aquí sólo se resuelve la mitad superior del campo de flujo, debido a la simetría a lo largo del lado inferior del dominio computacional. Se utilizan las mismas tres mallas empleadas para el caso de flu-

FIGURA 15-46 Cuando se usa un modelo de turbulencia para un cálculo de la DFC, se modelan todos los remolinos turbulentos y sólo se calculan las propiedades de flujo a un número de Reynolds promedio. Se muestra un perfil de velocidad promedio. No hay remolinos turbulentos calculados.

Entrada de velocidad: •V •I •O

D

FIGURA 15-47 Una regla útil y práctica común al establecer las propiedades de turbulencia en una condición de frontera en la entrada de presión o en la entrada de velocidad es especificar una intensidad de turbulencia de 10 por ciento y una longitud característica de turbulencia igual a la mitad de alguna longitud característica del problema por resolver (  D/2).

880 INTRODUCCIÓN A LA DINÁMICA FL FD V(t)

FIGURA 15-48 La mayor parte de los cálculos de la DFC con modelos de turbulencia son estacionarios en promedio, pero también es posible calcular campos de flujo turbulento no estacionario si se usan modelos de turbulencia. En el caso de flujo sobre un cuerpo pueden imponerse condiciones de frontera no estacionarias y avanzar en el tiempo para predecir características generales del campo de flujo no estacionario.

a)

b)

c)

FIGURA 15-49 Líneas de corriente generadas por cálculos de la DFC de flujo turbulento estacionario sobre un cilindro circular a Re  10 000: a) malla de celdas amplias (30 60), b) malla media (60 120), c) malla fina (120 240). Observe que se calcula sólo la mitad superior del flujo, la mitad inferior es una imagen especular de la parte superior.

jo laminar: de celdas amplias, media y fina (Fig. 15-36). Sin embargo, se señala que las mallas designadas para cálculos de flujo turbulento (en especial las que emplean modelos de turbulencia con funciones de pared) por lo general no son las mismas que las designadas para flujo laminar de la misma configuración geométrica, en especial cerca de paredes. Se considera un flujo libre de aire a 25°C y a velocidad V  7.304 m/s de izquierda a derecha alrededor de este cilindro circular. El número de Reynolds del flujo, con base en el diámetro del cilindro (D  2.0 cm), es aproximadamente 10 000. Los experimentos a este número de Reynolds revelan que la capa límite es laminar y se separa varios grados corriente arriba de la parte superior del cilindro (a a  82°). La estela, sin embargo, es turbulenta; tal combinación de flujo laminar y turbulento es especialmente difícil de analizar por los paquetes de la DFC. El coeficiente de arrastre medido a este número de Reynolds es CD  1.15 (Tritton, 1977). Las soluciones de la DFC se obtienen para cada una de las tres mallas, al suponer flujo turbulento estacionario (estacionario en promedio). Se emplea el modelo de turbulencia k-e con funciones de pared. El nivel de turbulencia de entrada se establece en 10 por ciento con una longitud característica de remolinos de 0.01 m (la mitad del diámetro del cilindro). Los tres casos convergen bastante bien. Las líneas de corriente se grafican en la figura 15-49 para los tres casos de resolución de malla. En cada gráfica, la imagen se refleja respecto a la línea de simetría de modo que aun cuando se resuelve sólo la mitad, se ve todo el campo de flujo. Para el caso de celdas amplias (Fig. 15-49a), la capa límite se separa bastante más allá del punto superior del cilindro, a a   140°. Además, el coeficiente de arrastre CD es sólo 0.647, casi en un factor de 2 más pequeño de lo que debería ser. Se procede a verificar si una malla más fina mejora la concordancia con los datos experimentales. Para el caso de malla de resolución media (Fig. 15-49b), el campo de flujo es muy diferente. La capa límite se separa cerca del punto superior del cilindro, a a  104° y CD se incrementa a casi 0.742, más cerca, pero todavía considerablemente menor que el valor experimental. Se observa también que los remolinos recirculantes en la estela del cilindro han aumentado de longitud en casi un factor de 2 en comparación con los del caso de la malla de celdas amplias. En la figura 15-49c) se muestran las líneas de corriente para el caso de malla de resolución fina. Los resultados se ven muy similares a los del caso de resolución media, y el coeficiente de arrastre se ha incrementado sólo poco (CD  0.753). El punto de separación de capa límite para este caso es a a  102°. Mejorar más la malla (lo cual no se muestra) no cambia los resultados de manera notable respecto a los resultados del caso de la malla fina. En otras palabras, al parecer la malla fina tiene la resolución suficiente, pero los resultados no concuerdan con el experimento. ¿Por qué? Hay varios problemas con los cálculos: se está modelando un flujo estacionario, aunque el flujo físico real es no estacionario; se impone simetría respecto al eje x, aun cuando el flujo físico es asimétrico (puede observarse una estela de vórtices de Kármán en los experimentos a este número de Reynolds), y se está usando un modelo de turbulencia en vez de resolver todos los remolinos pequeños del flujo turbulento. Otra causa de error significativa en los cálculos es que el paquete de la DFC se corre con el modelo de turbulencia activado para modelar de modo razonable la región de estela, que es turbulenta; sin embargo, la capa límite en la superficie del cilindro es en realidad todavía laminar. La ubicación predicha del punto de separación corriente abajo de la parte superior del cilindro concuerda más con la separación de capa límite turbulenta, pero la capa turbulenta no ocurre hasta valores de número de Reynolds mucho mayores (después del punto crítico a Re mayor que 2 105 correspondiente a “la crisis de arrastre” (transición de flujo laminar al turbulento).

881 CAPÍTULO 15

La razón básica es que los paquetes de la DFC encuentran dificultades en el régimen transicional entre el flujo laminar y turbulento, y cuando se combinan flujos laminar y turbulento en el mismo dominio computacional. De hecho, la mayoría de los paquetes de la DFC comerciales ofrece al usuario una opción entre laminar y turbulento, pero no hay “punto intermedio”. En estos cálculos se modela una capa límite turbulenta, aunque la capa límite física sea laminar; entonces, no debe sorprender que los resultados de los cálculos no concuerden con el experimento. Si en cambio se hubiera especificado flujo laminar en todo el dominio computacional, los resultados de la DFC habrían sido inclusive peores (menos adecuados desde el punto de vista de interpretación física). ¿Hay alguna manera de evitar este problema de exactitud física deficiente para el caso de flujo combinado laminar y turbulento? Quizá. En algunos paquetes de la DFC puede especificarse que el flujo sea laminar o turbulento en diferentes regiones del flujo. Pero, entonces, el proceso de transición de flujo laminar a turbulento sea abrupto, y de nuevo no perfecto desde el punto de vista de interpretación física. Además, se necesitaría saber previamente dónde ocurre la transición. Esto va en contra de un cálculo de la DFC independiente para predecir el flujo de fluido. Para flujos en cercanía de las superficies sólidas, siguen creándose modelos avanzados que quizá algún día realicen mejor trabajo en la región de transición. También se crean algunos modelos de turbulencia nuevos más apropiados para la turbulencia a número de Reynolds bajo. En resumen, no puede modelarse con exactitud el problema de flujo combinado laminar y turbulento sobre un cilindro a Re  10 000 con modelos de turbulencia estándares y la ecuación de Navier-Stokes de número de Reynolds promedio (NSRP) para flujo estacionario. Al parecer pueden obtenerse resultados exactos sólo si se buscan las soluciones exactas de NSRP para el flujo no estacionario, al aplicar SRG o SND que son mucho más demandantes desde el punto de vista computacional en comparación con la aplicación de modelos de turbulencia.

Flujo alrededor de un cilindro circular a Re  107 Como ejemplo final de cilindro se emplea la DFC para calcular el flujo sobre un cilindro circular a Re  107, mucho más allá de “la crisis de arrastre”. El cilindro para este caso mide 1.0 m de diámetro, y el fluido es agua. La velocidad de flujo libre es 10.05 m/s. A este valor de número de Reynolds el valor del coeficiente de arrastre medido experimentalmente es de alrededor de 0.7 (Tritton, 1977). La capa límite es turbulenta en el punto de separación, que ocurre alrededor de 120°. Por lo tanto, no se tiene un problema de combinación de las capas límite laminar y turbulenta que surgió en el ejemplo de número de Reynolds menor; la capa límite es turbulenta en todas partes, excepto cerca de la punta del cilindro, y deben esperarse mejores resultados de la predicción por la DFC. Se emplea en la mitad superior del dominio del problema una malla bidimensional similar a la del caso de resolución fina de los ejemplos previos, pero la malla cerca de la pared del cilindro se adapta de manera apropiada para este número de Reynolds. Igual que antes, se emplea el modelo de turbulencia k-e con funciones de pared. El nivel de turbulencia a la entrada se establece en 10 por ciento con una longitud característica de remolinos de 0.5 m. Por desgracia, el coeficiente de arrastre se calcula como 0.262, menor que la mitad del valor experimental a este número de Reynolds. Las líneas de corriente se muestran en la figura 15-50. La capa límite se separa un poco más lejos corriente abajo, a a  129°. Existen varias razones posibles para esta discrepancia. Se fuerza a que el flujo simulado sea estacionario y si-

FIGURA 15-50 Líneas de corriente generadas por cálculos de la DFC de flujo turbulento estacionario sobre un cilindro circular a Re  107. Por desgracia, el coeficiente de arrastre predicho todavía no es de buena precisión para este caso.

882 INTRODUCCIÓN A LA DINÁMICA Punta del álabe guía Núcleo del álabe guía

Núcleo y motor vr

bst D r

v

V

Estator

Rotor

FIGURA 15-51 Esquema del ventilador de flujo axial con álabes guía que están en diseño. El estator precede al rotor, y el flujo sobre los álabes guía del estator se modelará con la DFC.

FIGURA 15-52 Definición del espaciamiento de álabes s: a) vista frontal del estator y b) estator modelado como cascada bidimensional en una vista lateral. En la vista frontal se ilustran 12 álabes radiales del estator, pero tiene que determinarse el número real de ellas. Se ilustran tres álabes del estator en la cascada, pero, en realidad, la cascada consta de un número infinito de álabes, cada uno desplazado a la distancia del espaciamiento de los álabes s, el cual se incrementa con el radio r. La cascada bidimensional es una aproximación del flujo tridimensional a ciertos valores del radio r y el espaciamiento de álabes s. La longitud de la cuerda c se define como la longitud horizontal del pasaje del estator.

métrico, mientras que el flujo real no lo es, debido a la diseminación de vórtices (los vórtices se diseminan inclusive a números de Reynodls altos). Además, el modelo de turbulencia y como se simula el flujo en la cercanía de la superficie (funciones de pared) quizá no estén captando las propiedades físicas del campo de flujo. De nuevo se llega a la conclusión que los resultados precisos para el flujo sobre un cilindro circular pueden obtenerse sólo mediante el empleo de una malla completa en vez de su mitad, y con soluciones exactas considerando variaciones del flujo con el tiempo (NSRP para el flujo no estacionario), al aplicar SRG o SND que son mucho más demandantes en cuanto a necesidades de recursos computacionales.

Diseño del estator con álabes guía para un ventilador de flujo axial El siguiente ejemplo de la DFC de flujo turbulento tiene relación con el diseño del estator con álabes guía para un ventilador de flujo axial que se emplea para accionar un túnel de viento. El diámetro total del ventilador es D  1.0 m, y el punto nominal (punto de diseño o punto de mejor eficiencia) del ventilador corresponde a una velocidad de flujo axial de V  50 m/s. Los álabes guía del estator van del radio r  rnúcleo  0.25 m en la superficie exterior del núcleo a r  rpunta  0.50 m en la punta del álabe. Los álabes guía del estator están corriente arriba de los álabes del rotor en este diseño (Fig. 15-51). Se elige una forma del álabe guía de estator preliminar que tiene un ángulo de borde posterior de bst  63° y una longitud de cuerda de 20 cm. A cualquier valor del radio r, la cantidad real del giro de flujo depende del número de álabes del estator; se espera que cuanto menos sean los álabes, menor sea el ángulo promedio al que los álabes del estator desvían el flujo como resultado de un mayor espacio entre ellos. El objetivo es determinar el número mínimo de álabes del estator necesario para que el flujo que incide en los bordes delanteros de los álabes del rotor (localizados a la distancia de una longitud de cuerda corriente abajo de los bordes posteriores de los álabes guías del estator) sea desviado a un ángulo promedio de por lo menos 45°. Se necesita también que no haya separación de flujo considerable desde la superficie de los álabes guías del estator. Como una primera aproximación se modelan los álabes guía del estator a cualquier valor deseado de r como una cascada (o fila) de álabes bidimensional ( Cap. 14). Cada álabe está separado del otro por el espaciamiento s correspondiente al radio r, como se define en la figura 15-52. Se usa la DFC para predecir

s en r = rpunta s s

y

r x

D s rnúcleo

c

rpunta

a)

b)

883 CAPÍTULO 15

el valor máximo permisible de s, a partir del cual se estima el número mínimo de álabes del estator que satisfacen las características específicas del diseño. Debido a que el flujo por la cascada bidimensional de álabes del estator es infinitamente periódica en la dirección y, se necesita modelar sólo un pasaje de flujo por los álabes, así que se especifican dos pares de condiciones de frontera periódicas en los lados superior e inferior del dominio computacional (Fig. 15-53). Se realizan seis casos, cada uno con un valor diferente de espaciamiento entre los álabes. Se elige s  10, 20, 30, 40, 50 y 60 cm, y se genera una malla estructurada para cada uno de estos casos de espaciamiento de álabes. La malla para el caso de s  10 cm se muestra en la figura 15-54; las otras mallas son similares, pero se especifican más intervalos en la dirección y conforme se incrementa s. Observe cómo se ha vuelto fina la resolución de malla cerca de las superficies de presión y succión de modo que la capa límite en estas superficies pueda resolverse mejor. Se especifica V  50 m/s en la entrada, presión manométrica cero en la salida y condición de frontera de pared lisa sin deslizamiento en las superficies de presión y de succión. Puesto que se está modelando el flujo con un modelo de turbulencia (k-e con funciones de pared), deben especificarse las propiedades de turbulencia en la entrada donde ya se especificó la velocidad. Para estas simulaciones se especifica una intensidad de turbulencia de 10 por ciento y una longitud característica de remolinos de 0.01 m (1.0 cm). Se realizan los cálculos de la DFC durante el tiempo suficiente para que la solución converja lo más posible para los seis casos, y se grafican las líneas de corriente en la figura 15-55 para seis espaciamientos de álabes: s  10, 20, 30, 40, 50 y 60 cm. Aunque se resuelve para el flujo por un solo pasaje, se dibujan varios pasajes duplicados, uno sobre otro, con la finalidad de ver el campo de flujo como una cascada periódica. Las líneas de corriente para los primeros tres casos se ven muy similares a simple vista, pero la inspección más detallada revela que el ángulo de flujo promedio corriente abajo del borde posterior del álabe del estator disminuye con s (se define el ángulo de flujo b respecto a la horizontal como se ilustra en la figura 15-55a.) También, la distancia (espacio en blanco) entre la superficie del álabe del lado de succión y la línea de corriente más próxima a la superficie aumenta cuando se incrementa s, lo cual indica que la velocidad de flujo disminuye en esa región. De hecho, resulta que la capa límite en la superficie de succión del álabe del estator debe resistir un gradiente de presión adverso siempre creciente (velocidad de flujo decreciente y gradiente de presión positivo) conforme se incrementa el espaciamiento de los álabes. A un valor de s suficientemente grande, la capa límite en la superficie de succión no puede soportar el gradiente de presión muy adverso y se separa de la superficie.

Traslacionalmente periódica 1 y x V

Superficie s de presión Superficie de succión

Traslacionalmente periódica 2

Salida de presión Entrada de velocidad

FIGURA 15-53 Dominio computacional (región sombreada) definido por un pasaje de flujo entre dos álabes del estator. El límite superior del pasaje es la superficie de álabe de presión, y la frontera inferior es la superficie de aspiración. Dos pares de condiciones traslacionalmente periódicas están definidas: un par de condiciones periódicas 1 corriente arriba y otro par 2 corriente abajo.

FIGURA 15-54 Malla estructurada para la cascada bidimensional de los álabes del estator a un espaciamiento de álabes s  10 cm. La región de estela de salida de flujo del pasaje entre los álabes es intencionalmente más larga que la región de la entrada para evitar el flujo inverso en la salida de presión en caso de que haya separación del flujo en la superficie de aspiración del álabe del estator. La salida está a la distancia de la cuerda corriente abajo de los bordes posteriores de los álabes del estator; también la salida coincide con la ubicación de los bordes delanteros de los álabes del rotor (no se muestran).

884 INTRODUCCIÓN A LA DINÁMICA

Para s  40, 50 y 60 cm (Fig. 15-55d a f ), la separación de flujo en la superficie de succión se ve con claridad en estas gráficas de líneas de corriente. Además, la intensidad de la separación de flujo se incrementa con s. Esto no es algo inesperado si se imagina el límite cuando s → . En ese caso, el álabe del estator se aísla de sus vecinos, y con seguridad se espera separación considerable de flujo, ya que al álabe tiene alto grado de curvatura. En la tabla 15-3 se enlista al ángulo de flujo a la salida promedio bprom, la velocidad de flujo en la salida promedio Vprom y la fuerza de arrastre del álabe del estator predicha por la longitud unitaria del álabe FD /b como funciones del espaciamiento s (la longitud b es normal a la página de la figura 15-55 y se supone que es 1 m en cálculos bidimensionales como éstos). Mientras que bprom y Vprom disminuyen de manera continua con s, FD /b primero aumenta hasta un valor máximo para el caso de s  20 cm y luego disminuye de allí en adelante. Quizá recuerda los criterios de diseño expresados anteriormente que exijen que el ángulo de flujo a la salida promedio sea mayor que 45° y no deba haber

FIGURA 15-55 Líneas de corriente generadas por cálculos de la DFC de flujo turbulento estacionario a través del pasaje entre los álabes del estator: a) espaciamiento de álabes s  10, b) 20, c) 30, d) 40, e) 50 y f) 60 cm. Para efectuar los cálculos de la DFC se usó el modelo de turbulencia k-e con funciones de pared. El ángulo de flujo b se define en la imagen a) como el ángulo promedio de flujo, respecto a la horizontal, justo corriente abajo del borde posterior del álabe del estator.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

885 CAPÍTULO 15

TABLA 15-3 Variación del ángulo promedio de flujo de salida bprom, velocidad promedio de flujo de salida Vprom y fuerza de arrastre predicha por unidad de longitud FD/b en función del espaciamiento de los álabes s*

s, cm 10 20 30 40 50 60

bprom, grados

Vprom, m/s

FD /b, N/m

60.8 56.1 49.7 43.2 37.2 32.3

103 89.6 77.4 68.6 62.7 59.1

554 722 694 612 538 489

* Todos los valores calculados se reportan con tres cifras significativas. Los cálculos de la DFC se efectuaron usando el modelo de turbulencia k-e con funciones de pared.

separación de flujo importante. De los resultados de la DFC, al parecer ambos criterios fallan en alguna parte entre s  30 y 40 cm. Se obtiene mejor ilustración de la separación de flujo cuando se grafican los contornos de vorticidad (Fig. 15-56). En estas gráficas de contorno en escala de grises, el negro representa vorticidad negativa grande (rotación en el sentido contrario de las manecillas del reloj) y el gris intermedio es vorticidad cero. Si la capa límite permanece apegada a la superficie, se espera que la vorticidad se concentre dentro de las capas límite delgadas formadas a lo largo de las superficies de los álabes del estator, como es el caso en la figura 15-56a) para s  30 cm. Sin embargo, si la capa límite se separa, la vorticidad se extiende lejos de la superficie de succión, como se ve en la figura 15-56b) para s  40 cm. Con estos resultados se comprueba que la separación de flujo significativa ocurre en alguna parte entre s  30 y 40 cm. Como nota al margen, observe cómo la vorticidad se concentra no sólo en la capa límite, sino también en la estela para los dos casos que se muestran en la figura 15-56. Por último, se comparan las gráficas de los vectores de velocidad en la figura 15-57 para tres casos: s  20, 40 y 60 cm. Se generan varias líneas paralelas igualmente espaciadas en el dominio computacional; cada línea está inclinada a 45° respecto a la horizontal. Los vectores de velocidad se grafican a lo largo de cada una de estas líneas paralelas. Cuando s  20 cm (Fig. 15.57a), la capa límite permanece apegada al álabe del estator a lo largo de ambas superficies de succión y de presión hasta su borde posterior. Cuando s  40 cm

a)

b)

FIGURA 15-56 Gráficas del contorno de la vorticidad obtenidas mediante cálculos de la DFC para el flujo turbulento estacionario a través del pasaje entre los álabes del estator: espaciamiento de los álabes a) s  30 cm y b) s  40 cm. El campo de flujo es en gran medida irrotacional (vorticidad cero), excepto en la capa límite delgada a lo largo de las superficies de álabes y en la región de la estela. No obstante, cuando la capa límite se separa, como en el caso b), la vorticidad se extiende en toda la región de la separación del flujo.

886 INTRODUCCIÓN A LA DINÁMICA

(Fig. 15-57b), aparece la separación de flujo y el flujo invertido a lo largo de la superficie de succión. Cuando s  60 cm (Fig. 15-57c), la burbuja de separación y la región de flujo inverso han crecido; ésta es una región de flujo “muerto”, donde las velocidades del aire son muy pequeñas. En todos los casos, el flujo en la superficie de presión del álabe del estator no se separa de la superficie. ¿Cuántas aletas (N) representa un espaciamiento s  30 cm? Puede calcularse con facilidad N si se observa que en la punta del álabe (r  rpunta  D/2  50 cm), donde la distancias entre los álabes es más grande, la circunferencia disponible total (C) es: a)

C  2prpunta  pD

Circunferencia disponible:

(15-7)

El número de aletas que se puede colocar dentro de esta circunferencia con espaciamiento de aspa s  30 cm es: Número máximo de aletas:

b)

c)

FIGURA 15-57 Vectores de velocidad producidos mediante cálculos de la DFC para flujo turbulento estacionario que fluye a través de un pasaje entre los álabes del estator: espaciamiento de álabes a) s  20 cm, b) 40 cm y c) 60 cm.

N

C pD p(100 cm)    10.5 s s 30 cm

(15-8)

Es evidente que puede tenerse sólo un valor entero de N, así que del análisis preliminar se infiere que deben tenerse por lo menos 10 u 11 aletas de estator. ¿Qué tan adecuada es la aproximación del estator como una cascada de álabes bidimensional? Para contestar esta pregunta, se efectúa un análisis de la DFC tridimensional completo del estator. De nuevo se aprovecha la periodicidad al modelar sólo un pasaje de flujo tridimensional entre dos álabes radiales de estator (Fig. 15-58). Se elige N  10 álabes de estator con un ángulo de periodicidad de 360/10  36°. De la ecuación 15-8 esto representa la distancia de s  31.4 entre las puntas de los álabes y s  15.7 en la superficie exterior del núcleo, de donde resulta un valor promedio de sprom  23.6. Se genera una malla estructurada hexagonal en un dominio computacional acotado por una entrada donde se especifica velocidad, una salida de flujo libre, una superficie cilíndrica en el núcleo y otra en las puntas de los álabes, la superficie de presión del álabe, la superficie de succión y dos pares de condiciones de frontera periódicas. En este caso tridimensional, la periodicidad de la frontera es rotacional y no traslacional. Note que se emplea una condición de frontera de flujo libre en vez de una condición de frontera que especifica la presión, porque se espera que el movimiento giratorio produzca una distribución de presión en la dirección radial en la salida. La malla es más fina cerca de las superficies que en cualquier otra parte (como es usual), para resolver mejor la capa límite. La velocidad entrante, el nivel de turbulencia, el modelo de turbulencia, etc., son los mismos que se utilizaron para la aproximación bidimensional. El número total de celdas es casi 800 000. Los contornos de presión en las superficies de los álabes del estator y en la superficie cilíndrica interna se grafican en la figura 15-59. Esta vista es desde el mismo ángulo que el de la figura 15-58, pero el dominio computacional se ha ampliado y multiplicado nueve veces circunferencialmente respecto al eje de rotación (el eje x), para un total de 10 pasajes de flujo con la finalidad de visualizar con facilidad el campo de flujo. Puede verse que la presión es mayor en la superficie de presión que en la superficie de succión. También se ve una caída de presión global de corriente arriba a corriente abajo a lo largo de la superficie del núcleo del estator. El cambio en la presión promedio de la entrada a la salida se calcula como 3.29 kPa. Para comparar los resultados tridimensionales directamente con la aproximación bidimensional, se realiza un caso bidimensional más para el caso del espaciamiento promedio, s  sprom  23.6 cm. En la tabla 15-4 se muestra una comparación entre los casos de dos y tres dimensiones. Del cálculo tridimen-

887 CAPÍTULO 15 Superficie de presión Salida de flujo libre

V Superficie cilíndrica exterior

Superficie cilíndrica interior

Superficie de succión

Entrada de velocidad Rotacionalmente periódica 1

Rotacionalmente periódica 2

y z

x

3.79e  03 3.38e  03 2.98e  03 2.57e  03 2.17e  03 1.77e  03 1.36e  03 9.57e  02 5.53e  02 1.49e  02 –2.55e  02 –6.59e  02 –1.06e  03 –1.47e  03 –1.87e  03 –2.28e  03 –2.68e  03 –3.08e  03 –3.49e  03 –3.89e  03 –4.30e  03 –4.70e  03 –5.10e  03 –5.51e  03 –5.91e  03 –6.32e  03

Superficie de presión

V Entrada Superficie de succión

Salida

y z

x

sional, la fuerza axial neta en un álabe del estator es FD  183 N. Ésta se compara con el valor de la simulación bidimensional al convertirla a la fuerza por longitud unitaria del álabe. Debido a que la longitud del álabe del estator es de 0.25 m, FD/b  (183 N)/(0.25 m)  732 N/m. El valor bidimensional correspondiente de la tabla 15-4 es FD/b  724 N/m, de modo que la concordancia es muy buena ( 1 por ciento de diferencia). La velocidad promedio en la salida del dominio tridimensional es Vprom  84.7 m/s, casi idéntica al valor bidimensional de 84.8 m/s de la tabla 15-4. La aproximación bidimensional difiere en menos de 1 por ciento. Por último, el ángulo de flujo a la salida promedio bprom obtenido del cálculo tridimensional completo es 53.3°, que satisface sin dificultad el criterio de diseño de 45°. Esto se compara con la aproximación bidimensional de 53.9° de la tabla 15-4; la concordancia es de nuevo de alrededor de 1 por ciento. Los contornos de la componente de velocidad tangencial a la salida del dominio computacional se grafican en la figura 15-60. Se ve que la distribución de velocidad tangencial no es uniforme; disminuye según se avanza radialmente ha-

FIGURA 15-58 Dominio computacional tridimensional definido por un pasaje de flujo a través de dos álabes de estator para N  10 (ángulo entre álabes  36°). El volumen del dominio computacional se define como el volumen entre las superficies de presión y de succión de los álabes del estator, las superficies cilíndricas interior y exterior y las superficies de la entrada y la salida. Se ilustran dos pares de condiciones de frontera rotacionalmente periódicas definidas como se muestra.

FIGURA 15-59 Gráfica de contornos de presión generadas por los cálculos de las DFC para flujo turbulento estacionario a través de un pasaje entre los álabes del estator. La presión se marca en N/m2 en las superficies del álabe y la superficie interior del cilindro (el núcleo). Para mayor claridad se muestran los contornos de la entrada y la salida. Aunque sólo se modela un pasaje de flujo en los cálculos de la DFC, se reproduce la imagen nueve veces circunferencialmente respecto al eje x para ver el campo de flujo completo del estator. En esta imagen en escala de grises, las presiones altas (sobre las superficies de presión de los álabes) son gris claro, en tanto que las presiones bajas (las superficies de succión de los álabes, sobre todo cerca del núcleo) son gris oscuro.

888 INTRODUCCIÓN A LA DINÁMICA

TABLA 15-4 Resultados de la DFC para flujo a través de un pasaje entre los álabes de estator: aproximación de la cascada bidimensional correspondiente al espaciamiento de álabes promedio (s  sprom  23.6 cm) se compara con el cálculo tridimensional* 2-D, Completo s  23.6 cm 3-D bprom Vprom, m/s FD /b, N/m

53.9° 84.8 724

53.3° 84.7 732

* Los valores se muestran con tres cifras significativas.

cia fuera desde el núcleo hasta la punta como era de esperar, debido a que el espaciamiento s se incrementa del núcleo a la punta. También se encuentra (no se muestra aquí) que la presión de descarga se incrementa radialmente del núcleo a la punta. Esto también concuerda con la intuición, ya que se sabe que se necesita un gradiente de presión radial para sostener un flujo tangencial, el aumento de presión con el radio creciente suministra la aceleración centrípeta necesaria para desviar el flujo respecto al eje x. Puede hacerse otra comparación entre los cálculos tridimensional y bidimensional al graficar los contornos de vorticidad en un corte del dominio computacional que atraviesa el pasaje de flujo entre los álabes. Se crean dos cortes, uno cerca del núcleo y otro cerca de la punta, y se grafican los contornos de vorticidad en la figura 15-61. En ambos cortes, la vorticidad se concentra en la capa límite delgada y la estela. No hay separación de flujo cerca del núcleo, pero se ve que cerca de la punta, el flujo ha empezado a separarse en la superficie de succión cerca del borde posterior del álabe del estator. Observe que el aire sale del borde posterior del álabe del estator a un ángulo mayor en el núcleo que en la punta. Esto concuerda también con la aproximación bidimensional (y la intuición), porque el espaciamiento de los álabes s en el núcleo (15.7 cm) es menor que s en la punta (31.4 cm).

9.00e  01 8.70e  01 8.40e  01 8.10e  01 7.80e  01 7.50e  01 7.20e  01 6.90e  01 6.60e  01 6.30e  01 6.00e  01 5.70e  01 5.40e  01 5.10e  01 4.80e  01 4.50e  01 4.20e  01 3.90e  01 3.60e  01 3.30e  01 3.00e  01 2.70e  01 2.40e  01 2.10e  01 1.80e  01 1.50e  01 1.20e  01 9.00e  00 6.00e  00 3.00e  00 0.00e  00

Superficie de presión

V Entrada

Superficie de succión

Salida y z

x

FIGURA 15-60 Gráfica de contornos de la velocidad tangencial en escala de grises generada mediante cálculos con la DFC tridimensional para el flujo turbulento estacionario por un pasaje de flujo entre los álabes de un estator. La componente de velocidad tangencial se muestra en m/s a la salida del dominio computacional (y también en las superficies de los álabes, donde la velocidad es cero). También se proporciona un esbozo de la entrada del dominio computacional con la finalidad de lograr mayor claridad. Aunque sólo se modela un pasaje de flujo, la imagen se reproduce nueve veces circunferencialmente respecto al eje x para ver todo el campo de flujo del estator. En la escala de grises los valores de la velocidad tangencial varían desde 0 (negro) a 90 m/s (blanco).

889 CAPÍTULO 15

Entrada

V Salida Superficie de presión bb y z

Superficie de succión

x

a)

Entrada

V

Separación de flujo

Superficie de presión

Salida

bb

y z

x

Superficie de succión

b)

En conclusión, la aproximación de este estator tridimensional como una cascada bidimensional de álabes del estator resulta ser bastante buena en general, en particular para el análisis preliminar. La discrepancia entre los cálculos bidimensional y tridimensional para características de flujo generales, como la fuerza de arrastre que actúa sobre el álabe, el ángulo de flujo a la salida, etc., es de alrededor de 1 por ciento o menos para las cantidades descritas. Por lo tanto, no es de extrañarse que el método de cascada bidimensional sea una aproximación popular en el diseño de turbomaquinaria. El análisis tridimensional más detallado da la confianza de que un estator con 10 álabes es suficiente para satisfacer los criterios de diseño impuestos para este ventilador de flujo axial. Sin embargo, los cálculos tridimensionales han revelado una región de separación pequeña cerca de la punta del álabe del estator. Quizá sea acertado aplicar cierta torsión a los álabes aletas del estator (reducir el ángulo de inclinación o el ángulo de ataque en la dirección de la punta) para evitar esta separación (la torsión de superficie del álabe se analiza con más detalle en el Cap. 14). Por otro lado, puede incrementarse el número de álabes del estator a 11 o 12 con la esperanza de eliminar la separación de flujo en las puntas de los álabes. Como un comentario final acerca de este campo de flujo, todos los cálculos se efectuaron en un sistema de coordenadas fijo. Los paquetes modernos de la

FIGURA 15-61 Gráficas de contorno de vorticidad generadas mediante cálculos con la DFC tridimensional para el flujo turbulento estacionario tridimensional a través de un pasaje de flujo entre los álabes de estator: a) una porción cercana al núcleo o base de los álabes y b) una porción próxima a las puntas de los álabes. Se grafican contornos de la componente z de vorticidad porque las caras son aproximadamente perpendiculares al eje z. En estas imágenes en escala de grises, las regiones muy oscuras (como en la mitad superior de la estela y en la zona de separación del flujo) representan vorticidad z negativa (en sentido de las manecillas del reloj), y las regiones muy claras (como en la mitad inferior de la estela) representan vorticidad z positiva (en sentido contrario al de las manecillas del reloj). No hay señas de separación de flujo cerca del núcleo, pero cerca de la punta hay algunos indicios de separación de flujo en la cercanía del borde posterior del lado de la succión del álabe. También se muestran algunas flechas que indican cómo es la condición de frontera periódica. El flujo que abandona la parte inferior de la frontera periódica entra con la misma velocidad y dirección a la parte superior de la frontera periódica. El ángulo de salida del flujo b es más grande cerca del núcleo que cerca de la punta de los álabes del estator porque el espaciamiento s de los álabes es menor en el núcleo que en la punta, y también debido a la separación moderada del flujo cerca de la punta.

890 INTRODUCCIÓN A LA DINÁMICA

DFC contienen opciones para zonas de modelado en el campo de flujo con sistemas de coordenadas rotatorios de modo que puedan realizarse análisis similares en álabes de rotor así como en álabes de estator.

15-4 q⋅ pared calculado

Fluido

Tpared especificado

Sólido a)

q⋅ pared especificado

Fluido

Tpared calculada

Sólido b)

FIGURA 15-62 En el límite de una pared podría especificarse a) la temperatura del límite o b) el flujo térmico, pero no ambos, ya que desde el punto de vista matemático estableceríamos una cantidad de condiciones mayor de la necesaria.

Traslacionalmente periódica

Dominio computacional

Salida

Entrada

D

■

DFC CON TRANSFERENCIA DE CALOR

Cuando se acopla la forma diferencial de la ecuación de la energía con las ecuaciones de movimiento del fluido, puede usarse un paquete de dinámica de fluidos computacional para calcular las propiedades relacionadas con la transferencia de calor (por ejemplo, distribuciones de temperatura o razón de transferencia de calor de una superficie sólida a un fluido). Debido a que la ecuación de la energía es una ecuación escalar, sólo se necesita una ecuación de transporte extra (por lo general para la temperatura o la entalpía), y el gasto de recursos computacionales (tiempo del CPU y necesidades de RAM) no se incrementa de manera considerable. La opción de modelado de transferencia de calor está integrada en la mayoría de los paquetes de la DFC disponibles, puesto que muchos problemas prácticos de ingeniería tienen que ver con flujo de fluidos y con transferencia de calor. Como se mencionó antes, es necesario especificar condiciones de frontera adicionales relacionadas con la transferencia de calor. En las partes de frontera del dominio computacional que coinciden con superficies sólidas, se podría especificar ya sea la temperatura Tsuperficie (K) o el flujo de calor . qsuperficie (W/m2), definido como la razón de transferencia de calor por unidad de área de la superficie al fluido (pero no ambos, temperatura y flujo de calor, al mismo tiempo, como se ilustra en la Fig. 15-62). Cuando se modela una zona de un dominio computacional como un cuerpo sólido que conlleva la generación de energía térmica vía calentamiento eléctrico (como en componentes electrónicos) o reacciones químicas o nucleares (como en varillas de combustible nuclear), puede especificarse la razón de generación de calor por unidad de vo. lumen g (W/m3) dentro del sólido ya que la razón de generación de calor total por unidad de área superficial expuesta debe ser igual al flujo de calor promedio . de la superficie al fluido. En ese caso, no se especifican ni Tsuperficie ni qsuperficie; ambos convergen a valores que corresponden a la razón de generación de calor específica. Además, puede calcularse la distribución de temperatura dentro del objeto sólido. Otras condiciones de frontera (como las relacionadas con la transferencia de calor por radiación) pueden aplicarse también en los paquetes de la DFC. En esta sección no se dan detalles acerca de las ecuaciones de movimiento o las técnicas numéricas empleadas para resolverlas. En cambio, se dan algunos ejemplos básicos que ilustran la capacidad de la DFC para calcular flujos prácticos de interés en ingeniería relacionados con transferencia de calor.

3D

Aumento de temperatura en un intercambiador de calor de flujo cruzado 3D

Traslacionalmente periódica

FIGURA 15-63 El dominio computacional (región sombreada) usado para modelar el flujo turbulento en un intercambiador de calor de flujo transversal. El flujo entra por la izquierda en un ángulo a respecto a la horizontal.

Considere el flujo de aire frío alrededor de un conjunto de tubos calientes como se ilustra en la figura 15-63. En términos de intercambiadores de calor, a esta configuración geométrica se le llama intercambiador de calor de flujo cruzado. Si el flujo de aire fuera a entrar de manera horizontal (a  0) todo el tiempo, podría cortarse a la mitad el dominio computacional y se aplicarían condiciones de frontera de simetría en los lados superior e inferior del dominio (Fig. 15-25). Sin embargo, en el caso que se comenta, se permite que el flujo de aire entre al dominio computacional a cierto ángulo (a  0). Así, se imponen condiciones de frontera traslacionalmente periódicas en los lados superior e inferior del dominio (Fig. 15-63). La temperatura del aire a la entrada se fija en 300 K y la temperatura de superficie de cada tubo, en 500 K. El diámetro de los tubos y

891 CAPÍTULO 15

la velocidad del aire se eligen de manera que el número de Reynolds sea aproximadamente 1 105 con base en el diámetro del tubo. Se supone que las superficies del tubo son lisas desde el punto de vista hidrodinámico (rugosidad cero) en este primer conjunto de cálculos. Los tubos calientes se alternan como se bosqueja en la figura 15-63, y están espaciados a tres diámetros tanto en dirección vertical como horizontal. Se supone flujo turbulento estacionario bidimensional sin efectos de gravedad y se establece la intensidad de turbulencia del aire a la entrada en 10 por ciento. Se realizan dos casos para comparación: a  0 y 10°. El objetivo es ver si la transferencia de calor al aire se incrementa o inhibe por un valor de a distinto de cero. ¿Cuál caso considera que suministraría mayor transferencia de calor? Se genera una malla estructurada, de bloques múltiples, bidimensional, con resolución muy fina cerca de las paredes del tubo como se muestra en la figura 15-64, y se corre el paquete de la DFC para lograr la convergencia en ambos casos. Los contornos de temperatura se muestran para el caso a  0° en la figura 15-65 y para el caso a  10° en la figura 15-66. El aumento promedio de la temperatura del aire que sale del volumen de control, para el caso con a  0° es 5.51 K; mientras que para a  10° es 5.65 K. Así, se llega a la conclusión que el flujo de entrada descentrado da como resultado un calentamiento más eficaz del aire, aunque la mejoría es sólo cerca de 2.5 por ciento. Se calcula un tercer caso (no se muestra) en el cual a  0°, pero la intensidad de turbulencia del aire entrante se incrementa a 25 por ciento. Esto origina un mejor mezclado, así que el aumento promedio de la temperatura del aire de la entrada a la salida es casi 6.5 por ciento; es decir, el aumento de la temperatura ahora es 5.87 K. Por último, se estudia el efecto de la rugosidad de los tubos. Se modelan las paredes de los tubos como superficies rugosas con una altura de rugosidad característica de 0.01 m (1 por ciento del diámetro del tubo). Nótese que la malla es un poco menos fina cerca de cada tubo, de modo que la distancia del centro de la celda computacional más próxima a la superficie del tubo sea mayor que la altura de rugosidad; de otro modo el modelo de rugosidad del paquete de la DFC carecería de sentido físico. El ángulo de entrada de flujo se fija en a  0° para este caso, y las condiciones de flujo son idénticas a las de la figura 15-65. Los contornos de temperatura se grafican en la figura 15-67. Las regiones blancas en la gráfica de contorno representan lugares donde la temperatura del aire es mayor que 315 K. El aumento de temperatura promedio del aire de la entrada a la salida es 14.48 K, un incremento de 163 por ciento con respecto al caso de la superficie lisa a a  0°. Este ejemplo da una idea de por qué los tubos en los intercambiadores de calor suelen ser rugosos a propósito.

FIGURA 15-64 Acercamiento de la malla estructurada en cercanía de un tubo del intercambiador de calor de flujo transversal. La malla es fina cerca de la superficie del tubo de modo que la capa límite de la pared pueda resolverse mejor.

FIGURA 15-65 Gráficas de contorno de la temperatura generadas por medio de los cálculos de la DFC para flujo turbulento estacionario en un intercambiador de calor de flujo transversal a a  0° con tubos lisos. Los contornos en escala de grises varían desde 300 K (lo más oscuro) a 315 K o más (lo más claro). La temperatura promedio del aire en la salida aumenta 5.51 K en comparación con la temperatura del aire de la entrada. Observe que aunque los cálculos se realizan en el dominio computacional de la figura 15-63, la imagen se reproduce aquí tres veces para lograr mejor ilustración.

892 INTRODUCCIÓN A LA DINÁMICA

FIGURA 15-66 Gráficas de contorno de la temperatura generadas mediante cálculos de la DFC para flujo turbulento estacionario en un intercambiador de calor de flujo transversal a a  10° con tubos lisos. Los contornos en escala de grises varían desde 300 K (lo más oscuro) a 315 K o más (lo más claro). La temperatura promedio del aire en la salida aumenta 5.65 K en comparación con la temperatura del aire a la entrada. Por lo tanto, el flujo de entrada no alineado con el eje (a  10°) produce un T que es 2.5 por ciento superior al del flujo de entrada alineado con el eje (a  0°).

FIGURA 15-67 Gráficas de contorno de la temperatura generadas por medio de cálculos de la DFC para flujo turbulento estacionario en un intercambiador de calor de flujo transversal a a  0° con tubos rugosos (la rugosidad promedio de la superficie de tubos es igual a 1 por ciento de su diámetro; funciones de pared se utilizaron en los cálculos de la DFC). Los contornos en escala de grises varían desde 300 K (lo más oscuro) a 315 K o más (lo más claro). La temperatura promedio del aire en la salida aumenta 14.48 K en comparación con la temperatura del aire en la entrada. Por lo tanto, inclusive esta pequeña cantidad de rugosidad superficial produce un incremento T que es 163 por ciento superior al que se presenta cuando se utilizan tubos lisos.

Enfriamiento de un arreglo de circuitos integrados En equipo electrónico, instrumentación y computadoras, los componentes electrónicos, como los circuitos integrados (CI, chips o del inglés integrated circuits, IC por sus siglas), resistores, transistores, diodos y capacitores, están soldados sobre las tarjetas de circuitos impresos (TCI, del inglés printed circuit boards, PCB por sus siglas). Suele colocarse las TCI en filas como se bosqueja en la figura 15-68. Debido a que muchos de estos componentes electrónicos deben disipar calor, es común hacer pasar aire por el espacio entre cada par de las TCI, para enfriarlas y evitar que los componentes se calienten demasiado. Considere el diseño de una TCI para una aplicación en el espacio exterior. Se acomodarán varias TCI idénticas como en la figura 15-68. Cada TCI tiene 10 cm de alto y 30 cm de largo, y el espaciamiento entre tarjetas es de 2.0 cm. El aire de enfriamiento entra al espacio entre las TCI a una velocidad de 2.60 m/s y una temperatura de 30°C. Los ingenieros eléctricos deben acomodar ocho CI idénticos en una porción de 10 cm 15 cm de cada tarjeta. Cada CI disipa 6.24 W de calor: 5.40 W desde su superficie superior y 0.84 W desde sus lados (se supone que no hay transferencia de calor desde el fondo del CI a la TCI). El resto de los componentes en la placa tienen transferencia

893 CAPÍTULO 15

de calor despreciable en comparación con la de los ocho CI. Para asegurar un desempeño adecuado, la temperatura promedio en la superficie de CI no debe ser mayor que 150°C, y la temperatura máxima en cualquier parte sobre la superficie del CI no debe pasar de 180°C. Cada CI mide 2.5 cm de ancho y 4.5 cm de largo y 0.50 cm de espesor. Los ingenieros eléctricos proponen dos posibles configuraciones de los ocho CI en la TCI como se bosqueja en la figura 15-69: en la configuración larga, los CI están alineados con su lado largo paralelo al flujo, y en la configuración corta los CI están alineados con su lado corto paralelo al flujo. En ambos casos los CI se alternan para incrementar el enfriamiento. Se determinará qué configuración da como resultado una temperatura máxima de la superficie de los CI menor, y si los ingenieros eléctricos satisfarán la restricción de temperatura superficial. Para cada configuración se define un dominio computacional de tres dimensiones que consta de un solo paso de flujo por el espacio de aire entre dos TCI (Fig. 15-70). Se genera una malla hexagonal estructurada con 267 520 celdas para cada configuración. El número de Reynolds con base en el espacio de 2.0 cm entre las tarjetas es casi 3 600. Si éste fuera un flujo de canal bidimensional simple, el número de Reynolds sería apenas lo suficientemente alto para que se establezca flujo turbulento. Sin embargo, debido a que las superficies que llevan hasta la entrada donde se especifica la velocidad son muy rugosas, es más probable que el flujo sea turbulento. Se nota que los flujos turbulentos con número de Reynolds bajo ponen en duda a la mayoría de los modelos de turbulencia, ya que los modelos se calibran a números de Reynolds altos. Sin embargo, se supone flujo turbulento estacionario y se emplea el modelo de turbulencia k-e con funciones de pared. Aunque la exactitud absoluta de estos cálculos podría ser sospechosa debido al número de Reynolds bajo, las comparaciones entre las configuraciones larga y corta deben ser razonables. Se ignoran los efectos de flotabilidad en los cálculos ya que ésta es una aplicación espacial. En la entrada se especifica velocidad de aire de V  2.60 m/s y T  30°C; se establece la intensidad de turbulencia en la entrada en 20 por ciento y la longitud característica de remolinos en 1.0 mm. En la salida se especifica la presión manométrica cero. La TCI se modela como una pared adiabática lisa (transferencia de calor cero de

Configuración de flujo paralelo al lado largo

Configuración de flujo paralelo al lado corto

FIGURA 15-69 Dos configuraciones posibles de la ubicación de los ocho circuitos integrados sobre las tarjetas de circuitos impresos: configuración de flujo paralelo al lado largo del circuito integrado y configuración de flujo paralelo al lado corto. Sin ver más allá, ¿cuál de las configuraciones ofrecerá el mejor enfriamiento de los circuitos integrados?

TCI CI

Aire de enfriamiento a V  2.60 m/s y T∞  30°C

FIGURA 15-68 Cuatro tarjetas de circuitos impresos (TCI) acomodadas en hileras; el aire pasa entre cada una de las mismas para enfriarlas.

894 INTRODUCCIÓN A LA DINÁMICA Configuración de flujo paralelo al lado corto

Configuración de flujo paralelo al lado largo Entrada de velocidad

3 2

5 4

7

x

8 5 6

2

7

3 6

4 Salida de presión

1 y

Entrada de velocidad

8

Superficies adiabáticas y

z

1

x

Salida de presión Superficies adiabáticas

z

FIGURA 15-70 Dominios computacionales para el ejemplo de los circuitos integrados. Se modela el paso del aire por el espacio entre dos TCI. Se generan dos mallas separadas, una para la configuración de flujo paralelo al lado largo y la otra para el flujo paralelo al lado corto. Los circuitos se etiquetan de 1 a 8 para tener una referencia. Las superficies de estos circuitos transfieren calor al aire; todas las otras superficies son adiabáticas.

la pared al aire). La parte superior y los lados del dominio computacional se aproximan también como paredes adiabáticas lisas. Con base en las dimensiones del CI, el área de superficie de la parte superior de un CI es 4.5 cm 2.5 cm  11.25 cm2. El área de superficie total de los cuatro lados del CI es 7.0 cm2. De las razones de transferencia de calor dadas, se calcula la razón de transferencia de calor por área unitaria de la superficie superior de cada CI: # qarriba 

5.4 W  0.48 W/cm2 11.25 cm2

Así, se modela la superficie superior de cada CI como una pared lisa con un flujo de calor superficial de 4 800 W/m2 de la pared al aire. De manera similar, la razón de transferencia de calor por unidad de área desde los lados de cada CI es: 0.84 W # qlados   0.12 W/cm2 7.0 cm2

Debido a que los lados de cada CI tienen puntas eléctricas, se modela cada superficie lateral de cada CI como una pared rugosa con una altura de rugosidad equivalente de 0.50 mm y un flujo de calor superficial de 1 200 W/m2 de la pared al aire. El paquete de la DFC FLUENT se corre para lograr la convergencia en cada caso. Los resultados se resumen en la tabla 15-5, y los contornos de temperatura se grafican en las figuras 15-71 y 15-72. La temperatura promedio en las superficies superiores de los CI es casi la misma para cualquier configuración (144.4°C para el caso del lado largo y 144.7°C para el caso del lado corto) y está abajo del límite recomendado de 150°C. Las diferencias en la temperatura promedio en las superficies laterales de los CI son 84.2°C para el caso de lado largo y 91.4°C para el caso del lado corto, y estos valores están muy abajo del límite permitido. De mayor interés son las temperaturas máximas. Para la configuración larga, Tmáx  187.5°C y ocurre en la superficie superior del CI 7 (el CI de en medio del último renglón). Para la configuración corta, Tmáx  182.1°C y

895 CAPÍTULO 15

TABLA 15-5 Comparación de los resultados de la DFC para el ejemplo del enfriamiento de circuitos integrados, configuraciones del flujo paralelo a los lados largo y corto Largo

Tmáx, superficies superiores de los circuitos Tprom, superficies superiores de los circuitos Tmáx, superficies laterales de los circuitos Tprom, superficies laterales de los circuitos T promedio, de entrada a salida P promedio, de entrada a salida

4.62e + 02 4.56e + 02 4.50e + 02 4.44e + 02 4.38e + 02 4.32e + 02 4.26e + 02 4.20e + 02 4.14e + 02 4.08e + 02 4.02e + 02 3.96e + 02 3.90e + 02 3.84e + 02 3.78e + 02 3.72e + 02 3.66e + 02 3.60e + 02 3.54e + 02 3.48e + 02 3.42e + 02 3.36e + 02 3.30e + 02 3.24e + 02 3.18e + 02 3.12e + 02 3.06e + 02 3.00e + 02

Corto

187.5°C 144.5°C 154.0°C 84.2°C 7.83°C 5.14 Pa

Configuración de flujo paralelo al lado largo

182.1°C 144.7°C 170.6°C 91.4°C 7.83°C 5.58 Pa

Tmáx = 460.7 K

8

3 5 2

7 4

1

6

Dirección del flujo de aire

y z

x

ocurre cerca de la tarjeta de en medio en las superficies superiores de los CI 7 y 8 (los dos CI del último renglón). Para ambas configuraciones estos valores exceden el límite recomendado de 180°C. La configuración correspondiente al lado corto paralelo al flujo es mejor para enfriar las superficies superiores de los CI, pero a expensas de una caída de presión poco más grande y enfriamiento deficiente a lo largo de las superficies laterales de los CI. Observe en la tabla 15-5 que el cambio promedio en la temperatura del aire de la entrada a la salida es idéntico para ambas configuraciones (7.83°C). Esto no debe sorprender, porque la razón total de transferencia de calor de los CI al aire es la misma sin importar la configuración de los CI. De hecho, en un análisis de la DFC es aconsejable comprobar valores como éste. Si la T promedio no fuera la misma entre las dos configuraciones, se sospecharía de algún tipo de error en los cálculos. Hay muchas otras características interesantes de estos campos de flujo que pueden señalarse. Para cualquier configuración, la temperatura superficial promedio en los CI corriente abajo es mayor que en los CI corriente arriba. Esto tiene sentido desde el punto de vista físico, debido a que los primeros circuitos reciben el aire más frío, mientras que los que están corriente abajo se enfrían

FIGURA 15-71 Resultados según la DFC para el ejemplo del enfriamiento de circuitos integrados, en el caso de la configuración del flujo paralelo al lado largo: los contornos de la temperatura en escala de grises como si se vieran directamente por arriba de las superficies de los circuitos, con valores T en K en la escala. Se señala la ubicación de la temperatura superficial máxima, que se presenta cerca del borde posterior del circuito 7. Las regiones de gris claro cerca de los bordes delanteros de los circuitos 1, 2 y 3 se ven también, lo que es un indicio de temperaturas superficiales altas en estos lugares.

896 INTRODUCCIÓN A LA DINÁMICA 4.62e + 02 4.56e + 02 4.50e + 02 4.44e + 02 4.38e + 02 4.32e + 02 4.26e + 02 4.20e + 02 4.14e + 02 4.08e + 02 4.02e + 02 3.96e + 02 3.90e + 02 3.84e + 02 3.78e + 02 3.72e + 02 3.66e + 02 3.60e + 02 3.54e + 02 3.48e + 02 3.42e + 02 3.36e + 02 3.30e + 02 3.24e + 02 3.18e + 02 3.12e + 02 3.06e + 02 3.00e + 02

Configuración de flujo paralelo al lado corto

2

1

8

5 3

Tmáx = 455.3 K

6 4

7

Dirección del flujo de aire

y z

x

FIGURA 15-72 Resultados según la DFC para el ejemplo del enfriamiento de circuitos integrados, en el caso de la configuración del flujo paralelo al lado corto: los contornos de la temperatura en escala de grises como si se vieran directamente por arriba de los circuitos, con valores T en K en la escala. Se utiliza la misma escala de temperatura que en la figura 15-71. Se indica la ubicación de la temperatura superficial máxima, que se presenta cerca del borde posterior de los circuitos 7 y 8, cerca del centro de la TCI. Las regiones de gris claro cerca de los bordes delanteros de los circuitos 1 y 2 se ven también, lo que es un indicio de temperaturas superficiales altas en esos lugares.

por aire que ya ha sido calentado un poco. Se observa que los CI de enfrente (1, 2 y 3 en la configuración larga y 1 y 2 en la configuración corta) tienen regiones de temperatura alta justo corriente abajo de sus bordes delanteros. Una vista de cerca de la distribución de temperatura en estos CI se muestra en la figura 15-73a). ¿Por qué la temperatura es tan alta allí? Resulta que el flujo se separa de la esquina ahusada en el frente del CI y forma un remolino recirculante llamado burbuja de separación en la parte superior del CI (Fig. 15-73b). La velocidad del aire es lenta en esa región, en especial a lo largo de la línea de reapegamiento, donde el flujo vuelve a adherirse a la superficie. La velocidad lenta del aire origina un “punto caliente” local en esa región de la superficie del CI debido a que el enfriamiento por convección es mínimo allí. Por último, se observa en la figura 15-73a) que corriente abajo de la burbuja de separación, T de la superficie del CI se incrementa. Existen dos razones para esto: 1) el aire caliente sube y desciende por el CI, y 2) la capa límite en la superficie del CI crece corriente abajo. Cuanto más grande es el espesor de la capa límite, menor es la velocidad del aire cerca de la superficie y, por lo tanto, menor es la cantidad de enfriamiento por convección en la superficie. En resumen, con los cálculos de la DFC se predijo que la configuración corta da como resultado un valor menor de temperatura máxima en las superficies de los CI y aparece en primera instancia como la configuración preferida para la transferencia de calor. Sin embargo, la configuración corta demanda mayor caída de presión al mismo caudal (tabla 15-5). Para determinado ventilador de enfriamiento, esta caída de presión adicional cambiaría el punto de operación del

897 CAPÍTULO 15

ventilador a un caudal menor (Cap. 14), de modo que disminuiría el efecto de enfriamiento. No se sabe si este cambio sería suficiente para favorecer la configuración larga; se necesitaría más información acerca del ventilador y un análisis más detallado. La conclusión en cualquier caso es que no hay enfriamiento suficiente para mantener la temperatura de la superficie del CI abajo de 180°C en cualquier parte sobre cada CI. Para rectificar la situación, se recomienda que los diseñadores distribuyan los 8 CI calientes en toda la TCI en lugar del área limitada de 10 cm 15 cm. El mayor espacio entre CI debe dar como resultado el enfriamiento suficiente por el flujo dado. Otra opción es instalar un ventilador de mayor potencia que incrementaría la velocidad del aire a la entrada.

15-5

■

CÁLCULOS DE LA DFC DE FLUJO COMPRESIBLE

Todos los ejemplos de este capítulo analizados hasta el momento han sido para flujo incompresible (r  constante). Cuando el flujo es compresible, la densidad ya no es constante, y se convierte en una variable más en el conjunto de ecuaciones. Aquí, el análisis se limita a gases ideales. Cuando se aplica la ley del gas ideal, se introduce otra incógnita, a saber, la temperatura T. Por lo tanto, la ecuación se debe resolver junto con las formas adecuadas para el flujo compresible de las ecuaciones de conservación de la masa y conservación de la cantidad de movimiento (Fig. 15-74). Además, las propiedades del fluido, como la viscosidad y la conductividad térmica, ya no se tratan necesariamente como constantes, debido a que son funciones de la temperatura; por lo tanto, aparecen dentro de los operadores de derivación en las ecuaciones diferenciales de la figura 15-74. Aunque el conjunto de ecuaciones parece amenazador, muchos paquetes de la DFC disponibles comercialmente son capaces de resolver problemas de flujo compresible, inclusive ondas de choque. Cuando se resuelven problemas de flujo compresible con la DFC, las condiciones de frontera son un poco diferentes a las del flujo incompresible. Por ejemplo, en una entrada que especifica la presión se necesita especificar tanto la presión de estancamiento como la presión estática, junto con la temperatura de estancamiento. Una condición de frontera especial (llamada campo lejano de presión en FLUENT) también está disponible para flujos compresibles. Con esta condición de frontera se especifica el número de Mach, la presión estática y la temperatura; puede aplicarse a entradas y salidas y es adecuada también para flujos externos supersónicos. Las ecuaciones de la figura 15-74 son para flujo laminar, aunque muchos problemas de flujo compresible ocurren a altas velocidades de flujo en las que el flujo es turbulento. Por lo tanto, las ecuaciones de la figura 15-74 deben modificarse de manera acorde (en el conjunto de ecuaciones de NSRP) para incluir un modelo de turbulencia, y se debe agregar más ecuaciones de transporte, como se explicó antes. Las ecuaciones se vuelven entonces bastante largas y complicadas y no se incluyen aquí. Por fortuna, en muchas situaciones puede aproximarse el flujo como invíscido (no viscoso) y de este modo se eliminan de las ecuaciones de la figura 15-74 los términos relacionados con la viscosidad (la ecuación de Navier-Stokes se reduce a la ecuación de Euler). Como se verá, la aproximación de flujo no viscoso es bastante buena para muchos flujos prácticos de alta velocidad, debido a que las capas límite a lo largo de las paredes son muy delgadas a números de Reynolds altos. De hecho, los cálculos de la DFC de flujo compresible pueden predecir las características de flujo que por lo general son bastante difíciles de obtener de manera experimental. Por ejemplo, muchas técnicas de medición experimental implican acceso óptico, que es limitado en flujos tridimensionales, e inclusive en algunos flujos asimétricos. La DFC no está limitada de esta manera.

FIGURA 15-73 a) Acercamiento de la vista superior de los contornos de temperatura en escala de grises sobre la superficie del circuito 2 de la configuración de flujo paralelo al lado largo. Se delinea la región de la alta temperatura. Los niveles de los contornos de temperatura son los mismos que los de la figura 15-71. b) Una vista aún más cercana (una vista del borde) de las líneas de corriente que delinean la burbuja de separación en esta región. También se muestra la ubicación aproximada de la línea de reapegamiento del flujo sobre la superficie del circuito.

898 INTRODUCCIÓN A LA DINÁMICA

Continuidad:

∂(ru) ∂x

+

∂(rv) ∂y

+

∂(rw) ∂z

=0

Ley de gases ideales: ideales P = rRT RT

Cantidad de movimiento x:

r Qu

→ → ∂u ∂u ∂ ∂ ∂v ∂ ∂u ∂u ∂P ∂u +v + w Q = rgx – + l • V Q + + + + 2m m ∂y ∂x Q ∂x ∂y c Q ∂y ∂x Qc ∂z ∂x ∂z ∂x

Cantidad de movimiento y:

r Qu

∂v ∂ ∂u ∂ ∂ ∂v ∂v ∂P ∂v ∂v +v + w Q = rgy – + c m Q ∂x + ∂y Q c + ∂y Q2m ∂y + l • V Q + ∂z ∂y ∂x ∂x ∂y ∂z

Cantidad de movimiento z:

r Qu

→ → ∂ ∂w ∂ ∂w ∂ ∂v ∂w ∂w ∂P ∂w ∂u ∂w +v + w Q = rgz – + c m Q ∂x + ∂z Q c + ∂y cm Q ∂z + ∂y Qc + ∂z Q2m ∂z + l • V Q ∂y ∂x ∂x ∂z ∂z

Energía:

rcp Qu

cm Q ∂x

∂w

cm Q ∂z

∂v

+

∂u ∂z Qc +

∂w Q ∂y c

→ → ∂T ∂P ∂T ∂T ∂P ∂P +v + w Q = bT Qu +v + w Q +  • (kT ) +  ∂y ∂y ∂x ∂z ∂x ∂z

FIGURA 15-74 Las ecuaciones de movimiento para el caso de un flujo estacionario, compresible y laminar de un fluido newtoniano en coordenadas cartesianas. Hay seis ecuaciones y seis incógnitas: r, u, v, w, T y P. Cinco de las ecuaciones son no lineales y diferenciales parciales, mientras que la ley de gases ideales es una ecuación algebraica. R es la constante específica de los gases ideales, l es el segundo coeficiente de viscosidad, que con frecuencia se iguala a 2m/3; cp es el calor específico a presión constante; k es la conductividad térmica; b es el coeficiente de expansión térmica, y  es la función de disipación dada por White (1991) como   2m a

u 2

v 2

w 2

v u 2

w v 2

u w 2

u v w 2 b  2m a b  2m a b  m a  b  m a  b  ma  b  la   b

x

y

z

x y

y

z

z

x

x y

z

Flujo compresible por una tobera convergente-divergente Como primer ejemplo, se considera flujo compresible de aire por una tobera axisimétrica convergente-divergente. El dominio computacional se muestra en la figura 15-75. El radio de entrada es 0.10 m, el radio de la garganta es 0.075 m y el radio de salida es 0.12 m. La distancia axial desde la entrada hasta la garganta es 0.30 m, la misma que la distancia axial de la garganta a la salida. En los cálculos se emplea una malla estructurada con casi 12 000 celdas cuadriláteras. En la entrada se especifican la presión de estancamiento P0,entrada que se fija en 220 kPa (absoluta), la presión estática Pentrada que se establece en 210 kPa y la temperatura de estancamiento T0, entrada se fija en 300 K. Para el primer caso, se fija la presión estática Pb a la salida (contrapresión) en 50.0 kPa (Pb/P0, entrada  0.227), lo suficientemente baja para que el flujo sea supersónico en toda la sección divergente de la tobera, sin ninguna onda de choque normal en la tobera. Esta relación de contrapresión corresponde a un valor entre los casos E y F en la figura 12-27, en la que ocurre un patrón de onda de choque oblicua corriente FIGURA 15-75 Dominio computacional para flujo compresible a través de una tobera convergente-divergente. Puesto que el flujo es axisimétrico, sólo una porción bidimensional es necesaria para la solución de la DFC.

Entrada Salida de de presión presión Pared

Eje

899 CAPÍTULO 15

abajo de la salida de la tobera; estas ondas de choque no afectan el flujo en la tobera, ya que el flujo que sale de la tobera es supersónico. No se intenta modelar el flujo corriente abajo de la salida de la tobera. El paquete de la DFC se corre para lograr la convergencia en el modo de solución de flujo compresible no viscoso estacionario. Los valores promedio del número de Mach Ma y la razón de presión P/P0,entrada se calculan en 25 lugares axiales a lo largo de la tobera convergente-divergente (cada 0.025 m) y se grafican en la figura 15-76a). Los resultados concuerdan casi de manera perfecta con las predicciones de flujo isentrópico unidimensional (Cap. 12). En la garganta (x  0.30 m), el número de Mach promedio es 0.997 y el valor promedio de P/P0,entrada es 0.530. La teoría de flujo isentrópico unidimensional predice que Ma  1 y P/P0,entrada  0.528 en la garganta. Las discrepancias pequeñas entre la DFC y la teoría se deben a que el flujo calculado no es unidimensional, porque hay una componente de velocidad radial y, por tanto, una variación radial del número de Mach y la presión estática. El examen cuidadoso de las líneas de contorno del número de Mach de la figura 15-76b) revela que son curvas, no rectas como se predeciría mediante la teoría de flujo isentrópico unidimensional. La línea sónica (Ma  1) se identifica con claridad en la figura. Aunque Ma  1 justo en la superficie interior de la garganta, las condiciones sónicas a lo largo del eje de la tobera no se alcanzan hasta un poco corriente abajo de la garganta. A continuación, se corren casos donde se modifica la contrapresión Pb, al mismo tiempo que se mantienen fijas las otras condiciones de frontera. Los resultados para los tres casos se muestran en la figura 15-77: Pb  a) 100, b) 150 y c) 200 kPa, es decir, Pb /P0,entrada  a) 0.455, b) 0.682 y c) 0.909, respectivamente. Para los tres casos ocurre una onda de choque normal en la porción divergente

1

2.5

0.9 2.0

0.8 P/P0, entrada 0.7 0.6

1.5 Ma

0.5 0.4

1.0

0.3

Ma 0.5

0.2

Garganta

0.1 0.0

0 0

0.1

0.2

0.3 x, m a)

0.4

0.5

Línea sónica

b)

0.6

P P0, entrada

FIGURA 15-76 Resultados de la DFC para un flujo estacionario, adiabático, no viscoso y compresible a través de una tobera convergente-divergente: a) número Mach promedio y relación de presión calculados en 25 ubicaciones axiales (círculos), comparados con las predicciones de la teoría de flujo isentrópico, unidimensional y compresible (líneas continuas); b) contornos del número de Mach en escala de grises, que varían desde Ma  0.3 (lo más oscuro) hasta 2.7 (lo más claro). Aunque sólo la mitad superior está calculada, se muestra una imagen especular respecto al eje x para tener más claridad. La línea sónica (Ma  1) también se destaca. Es parabólica en vez de recta en este flujo axisimétrico debido a la componente radial de la velocidad, como se comenta en Schreier (1982).

900 INTRODUCCIÓN A LA DINÁMICA Onda de choque

FIGURA 15-77 Resultados de la DFC para un flujo estacionario, adiabático, no viscoso y compresible a través de una tobera convergente-divergente: los contornos en escala de grises de la relación de presión de estancamiento P0 /P0,entrada también se muestran para Pb /P0,entrada  a) 0.455; b) 0.682, y c) 0.909. Puesto que la presión de estancamiento es constante corriente arriba de la onda de choque y disminuye repentinamente en la onda de choque, funciona como un indicador conveniente de la ubicación y fuerza de la onda de choque normal en la tobera. En estas gráficas de contornos, P0 /P0,entrada varía de 0.5 (lo más oscuro) a 1.05 (lo más claro). Es evidente, a partir de los niveles de la escala de grises corriente abajo de la onda de choque, que entre más lejos corriente abajo se ubica la onda de choque, es más fuerte (es mayor la magnitud de caída de presión de estancamiento en la onda de choque). Observe también la forma de las ondas de choque, curvas y no rectas debido a la componente radial de la velocidad.

a)

Onda de choque

b)

Onda de choque

c)

de la tobera. Además, a medida que se incrementa la contrapresión, el choque se desplaza corriente arriba de la garganta, y disminuye su intensidad. Debido a que el flujo experimenta un cambio brusco en la garganta, el flujo másico es idéntico en los tres casos (y también en el caso previo que se muestra en la figura 15-76). Se observa que el choque normal no es recto, sino curvo debido a la componente radial de la velocidad, como se mencionó antes. Para el caso b), en el cual Pb /P0,entrada  0.682, los valores promedio del número de Mach y la razón de presión P/P0,entrada se calculan en 25 lugares axiales a lo largo de la tobera convergente-divergente (cada 0.025 m) y se grafican en la figura 15-78. Para comparación con la teoría, se emplean las relaciones de flujo isentrópico unidimensional corriente arriba y corriente abajo de la onda de choque, y se usan las relaciones de onda de choque normales para calcular el salto de presión en la onda de choque (Cap. 12). Para hacer corresponder la contrapresión especificada, el análisis unidimensional demanda que la onda de choque normal se localice en x  0.4436 m, lo cual da cuenta del cambio en P0 y A* en la onda de choque. La concordancia entre los cálculos de la DFC y la teoría unidimensional es excelente. La discrepancia pequeña en la presión y el número de Mach justo corriente abajo de la onda de choque se atribuye a la forma curva de la onda de choque (Fig. 15-77b), como ya se explicó. Además, la onda de choque en los cálculos de la DFC no es infinitesimalmente delgada, como se predi-

901 CAPÍTULO 15 1

2.5

0.9 2.0

0.8

P/P0, entrada

0.7 0.6

1.5 Ma

0.5

Onda de choque

1.0

P P0, entrada

0.4 0.3

Ma 0.5

0.2 Garganta

0.1

0.0

0 0

0.1

0.2

0.3 x, m

0.4

0.5

0.6

ce mediante la teoría unidimensional, sino que se extiende sobre algunas celdas computacionales. La última inexactitud se puede reducir un poco si la malla se hace más fina en la región de la onda de choque (no se muestra). Los cálculos previos de la DFC son para flujo adiabático no viscoso estacionario. Cuando no hay ondas de choque (Fig. 15-76), el flujo es isentrópico, porque es tanto adiabático como reversible (pérdidas no irreversibles). Sin embargo, cuando existe una onda de choque en el campo de flujo (Fig. 15-77), el flujo ya no es isentrópico debido a que existen pérdidas irreversibles en la onda de choque, aunque aún es adiabático. Se corre un caso final de la DFC en el que se incluyen irreversibilidades adicionales, es decir, fricción y turbulencia. Se modifica el caso b) de la figura 15-77 cuando se corre un caso turbulento, adiabático, estacionario con el modelo de turbulencia k-e con funciones de pared. La intensidad de turbulencia en la entrada se establece en 10 por ciento con una longitud característica de remolinos de 0.050 m. Una gráfica de contorno de P/P0,entrada se muestra en la figura 15-79, con la misma variedad de escala de grises como en la figura 15-77. La comparación de las figuras 15-77b) y 15-79 revela que la onda de choque para el caso turbulento ocurre más corriente arriba y, por lo tanto, es un poco más débil. Además, la presión de estancamiento es pequeña en una región muy delgada a lo largo de la superficie de la tobera. Esto se debe a las pérdidas por fricción en la capa límite delgada. Esta disminución en la presión de estancamiento se debe a las irreversibilidades turbulentas y viscosas en la región de capa límite. Además, la capa límite se separa justo corriente arriba de la onda de choque, lo que causa más irreversibilidades. Un acercamiento de los vectores de velocidad en la cercanía del punto de separación a lo largo de la superficie se muestra en la figura 15-80. Se nota que este caso no converge bien y es inherentemente no estacionario; la interacción entre las ondas de choque y las capas límite es una tarea muy difícil para la DFC. Debido a que se usan funciones de pared, los detalles de flujo dentro de la capa límite turbulenta no se resuelven en este cálculo de la DFC. Sin embargo, los experimentos revelan que la onda de choque interactúa de manera mucho más significativa con la capa límite, y produce “l pies”, como se explicó en el Proyector de aplicaciones del capítulo 12. Para finalizar, se compara el flujo másico para este caso de flujo turbulento y . viscoso con el flujo másico del caso de flujo no viscoso, y se encuentra que m ha disminuido en casi 0.7 por ciento. ¿Por qué? Como se explicó en el capítulo

FIGURA 15-78 Número de Mach y relación de presión en función de la distancia axial a lo largo de una tobera convergente-divergente para el caso en el cual Pb /P0,entrada  0.682. Los resultados promedio de la DFC en 25 lugares axiales (círculos) para flujo estacionario, no viscoso, adiabático y compresible se comparan con las predicciones que da la teoría de flujo unidimensional compresible (líneas continuas).

902 INTRODUCCIÓN A LA DINÁMICA Onda de choque

Irreversibilidades de capa límite

Separación de flujo

FIGURA 15-79 Resultados de la DFC para flujo estacionario, adiabático, turbulento y compresible a través de una tobera convergente-divergente. Se muestran los contornos en escala de grises de la relación de presión de estancamiento P0 /P0,entrada para el caso de Pb /P0,entrada  0.682, la misma contrapresión que en la figura 15-77b). La separación de flujo e irreversibilidades en la capa límite están identificadas.

10, una capa límite a lo largo de una superficie afecta al flujo externo de modo que la pared aparece más gruesa por una cantidad igual al espesor de desplazamiento d*. El área de garganta efectiva se reduce un poco por la presencia de la capa límite, lo que origina una reducción en el flujo másico por la tobera convergente-divergente. El efecto es pequeño en este ejemplo ya que las capas límite son muy delgadas respecto a las dimensiones de la tobera, y resulta que la aproximación no viscosa es bastante buena (menos de 1 por ciento de error). Ubicación aproximada de la onda de choque

FIGURA 15-80 Acercamiento de los vectores de velocidad en la vecindad de la región de separación de flujo de la figura 15-79. Se ve el decremento repentino en la magnitud de la velocidad en la onda de choque, y asimismo se ve la región de flujo inverso corriente abajo de la onda de choque.

FIGURA 15-81 Dominio computacional y condiciones de frontera para flujo compresible sobre una cuña de semiángulo u. Puesto que el flujo es simétrico respecto al eje x, sólo la mitad superior se modela en el análisis de la DFC.

Ondas de choque oblicuas en una cuña Como ejemplo final de flujo compresible, se modela el flujo de aire compresible no viscoso, bidimensional, adiabático, estacionario, sobre una cuña de semiángulo u (Fig. 15-81). Debido a que el flujo tiene simetría, se modela sólo la mitad superior del flujo y se emplea una condición de frontera de simetría a lo largo del borde inferior. Se corren tres casos: u  10, 20 y 30°, a un número de Mach de entrada de 2.0. Los resultados de la DFC se muestran en la figura 15-82 para los tres casos. En las gráficas de la DFC, una imagen especular del dominio computacional se proyecta por la línea de simetría para mayor claridad. Para el caso de 10° (Fig. 15-82a) se observa una onda de choque oblicua recta, que se origina en la punta de la cuña, como se predice también mediante la teoría de flujo invíscido. El flujo cambia de dirección en la onda de choque oblicua en 10° de modo que es paralelo a la pared de la cuña. El ángulo de onda de choque b que se predice por la teoría de flujo invíscido es 39.31°, y el número de Mach predicho corriente abajo de la onda de choque es 1.64. Las mediciones con un transportador en la figura 15-82a) producen b  40°, y el cálculo de la DFC del número de Mach corriente abajo de la onda de choque es 1.64; por lo tanto, la concordancia con la teoría es excelente.

Campo lejano de presión

Cuña y (pared) u

Simetría

x

903 CAPÍTULO 15

Ma2

Ma1

b

Ma2

Ma1

u = 30°

b

u = 20°

u = 10°

Onda de choque oblicua

Ma2

Onda de choque separada

Onda de choque oblicua a)

Ma1

b)

c)

FIGURA 15-82 Resultados de la DFC (contornos del número de Mach en escala de grises) para flujo estacionario, adiabático, no viscoso y compresible a Ma1  2.0 sobre una cuña de semiángulo u  a) 10°, b) 20° y c) 30°. Los contornos del número de Mach varían desde Ma  0.2 (lo más oscuro) a 2.0 (lo más claro) en todos los casos. En el caso de los dos semiángulos más pequeños, una onda de choque oblicua débil que toca la superficie de cuña se forma en el borde delantero de la cuña, pero para el caso de 30°, se forma una onda de choque separada (onda de proa) delante de la cuña. La fuerza de la onda de choque aumenta con u, como se indica por el tono más oscuro de grises corriente abajo de la onda de choque cuando se incrementa u.

Para el caso de 20° (Fig. 15-82b), los cálculos de la DFC producen un número de Mach de 1.21 corriente abajo de la onda de choque. El ángulo de la onda de choque medido a partir de los cálculos de la DFC es aproximadamente 54°. La teoría de flujo invíscido predice un número de Mach de 1.21 y un ángulo de onda de choque de 53.4°, así que de nuevo la concordancia entre la teoría y la DFC es excelente. Puesto que la onda de choque para el caso de 20° es a un ángulo más inclinado (más próximo a una onda de choque normal), es más fuerte que la onda de choque para el caso de 10°, como se indica mediante la coloración más oscura en los contornos de Mach corriente abajo de la onda de choque para el caso de 20°. A número de Mach 2.0 en aire, la teoría de flujo invíscido predice que una onda de choque oblicua recta puede formar hasta un semiángulo de cuña máximo de casi 23° (Cap. 12). A semiángulos de cuña mayores que éste, la onda de choque se desplaza corriente arriba de la cuña (se separa) y forma una onda de choque separada, que toma forma de una onda de proa (Cap. 12). Los resultados de la DFC en u  30° (Fig. 15-82c) muestran que, de hecho, éste es el caso. La porción de la onda de choque separada justo corriente arriba del borde delantero de la cuña es una onda de choque normal y, por lo tanto, el flujo corriente abajo de la porción de la onda de choque normal es subsónico. A medida que la onda de choque se curva, se vuelve cada vez más débil, y el número de Mach corriente abajo de la onda de choque se incrementa, según se indica con la sombra gris más tenue.

15-6

■

CÁLCULOS DE LA DFC PARA FLUJO EN CANAL ABIERTO

Hasta aquí, los ejemplos han sido para un fluido de una sola fase (aire o agua). Sin embargo, muchos paquetes disponibles comercialmente pueden manejar flujo de una mezcla de gases (por ejemplo, monóxido de carbono y aire), flujo con dos fases del mismo fluido (por ejemplo, vapor y agua líquida) e inclusive flujo de dos fluidos de diferentes fases (por ejemplo, agua líquida y aire gaseoso). El último caso es de interés en esta sección, a saber, el flujo de agua con superficie libre, arriba de la cual es aire gaseoso, es decir, flujo en canal abierto. Aquí se

904 INTRODUCCIÓN A LA DINÁMICA

FIGURA 15-83 Dominio computacional para un flujo estacionario, incompresible, bidimensional de agua sobre una protuberancia a lo largo del fondo de un canal, con condiciones de frontera especificadas. Se modelan dos fluidos en el campo de flujo, agua líquida y aire por encima de la superficie del agua. Se especifican en la entrada la profundidad del líquido yentrada y velocidad Ventrada.

Parte superior del dominio (pared no viscosa)

Entrada de velocidad Ventrada

Salida de presión

Aire Agua Ventrada

yentrada Fondo del canal (pared)

Protuberancia (pared)

Fondo del canal (pared)

presentan algunos ejemplos simples de soluciones de la DFC de flujos en canal abierto.

Flujo sobre una protuberancia en el fondo de un canal

a)

Considere un canal bidimensional con un fondo horizontal plano. En cierto lugar a lo largo del fondo del canal, hay una protuberancia lisa de 1.0 m de largo y 0.10 m de alto en su centro (Fig. 15.83). La velocidad de entrada del aire y el agua se especifican como Ventrada. La profundidad del agua en la entrada del dominio computacional se especifica como yentrada, pero se calcula la ubicación de la superficie del agua en el resto del dominio. El flujo se modela como invíscido. Se consideran los casos con entradas subcrítica y supercrítica (Cap. 13). Los resultados de los cálculos de la DFC se muestran en la figura 15-84 para tres casos con el fin de comparar. Para el primer caso (Fig. 15-84a), yentrada se especifica como 0.30 m y Ventrada como 0.50 m/s. El número de Froude correspondiente se calcula como: Número de Froude:

b)

c)

FIGURA 15-84 Resultados de la DFC para un flujo de agua incompresible, bidimensional sobre una protuberancia a lo largo del fondo del canal. Los contornos de fase se grafican: lo sombreado se señala el agua líquida y el blanco representa el aire gaseoso: a) flujo subcrítico antes de la protuberancia y asimismo subcrítico después, b) flujo supercrítico antes de la protuberancia y asimismo supercrítico después y c) flujo subcrítico antes de la protuberancia y supercrítico después.

Fr 

Ventrada gyentrada



0.50 m/s (9.81 m/s2)(0.30 m)

 0.291

Puesto que Fr  1, el flujo en la entrada es subcrítico, y la superficie del líquido disminuye un poco arriba de la protuberancia (Fig. 15-84a). El flujo aún es subcrítico corriente abajo de la protuberancia, y la altura de la superficie del líquido sube de nuevo de manera lenta hasta su nivel que tenía antes de pasar por la protuberancia. Así que el flujo es subcrítico en todas partes. Para el segundo caso (Fig. 15-84b), yentrada se especifica como 0.50 m y Ventrada se especifica como 4.0 m/s. El número de Froude correspondiente se calcula como 1.81. Ya que Fr  1, el flujo en la entrada es supercrítico, y la superficie del líquido sube por la protuberancia (Fig. 15-84b). Lejos corriente abajo, la profundidad del líquido vuelve a 0.50 m, y la velocidad promedio vuelve a 4.0 m/s, de modo que Fr  1.81, el mismo valor que en la entrada. Por lo tanto, este flujo es supercrítico en todas partes. Por último, se muestran los resultados para un tercer caso (Fig. 15-84c) en el cual el flujo que entra al canal es subcrítico (yentrada  0.50 m, Ventrada  1.0 m/s y Fr  0.452). En este caso, la superficie del agua desciende sobre la protuberancia, como se esperaba para flujo subcrítico. Sin embargo, en el lado corriente abajo de la protuberancia, ysalida  0.25 m, Vsalida  2.0 m/s y Fr  1.28. Así, este flujo comienza subcrítico, pero cambia a supercrítico corriente abajo de la protuberancia. Si el dominio se hubiera extendido más corriente abajo, quizá se vería un salto hidráulico que regresaría el flujo al número de Froude abajo de la unidad (subcrítico).

905 CAPÍTULO 15

Flujo a través de una compuerta de descarga (salto hidráulico) Como ejemplo final, considere un canal bidimensional con fondo horizontal, plano, pero esta vez con una compuerta de descarga (Fig. 15-85). La profundidad del agua en la entrada del dominio computacional se especifica como yentrada y la velocidad del flujo de entrada se especifica como Ventrada. El fondo de la compuerta de descarga está a una distancia a del fondo del canal. El flujo se modela como no viscoso. Se corre el paquete de la DFC con yentrada  12.0 m y Ventrada  0.833 m/s, de modo que el número de Froude de entrada es Frentrada  0.0768 (subcrítico). El fondo de la compuerta está a a  0.125 m desde el fondo del canal. Los resultados de los cálculos de DFC se muestran en la figura 15-86. Después que el agua pasa debajo de la compuerta de descarga, su velocidad promedio se incrementa a 12.8 m/s, su profundidad disminuye a y  0.78 m. Por lo tanto, Fr  4.63 (supercrítico) corriente abajo de la compuerta y corriente arriba del salto hidráulico. A cierta distancia corriente abajo se ve un salto hidráulico en el que la profundidad promedio del agua se incrementa a y  3.54 m, y la velocidad promedio del agua disminuye a 2.82 m/s. El número de Froude corriente abajo del salto hidráulico es por consiguiente Fr  0.478 (subcrítico). Se observa que la profundidad del agua corriente abajo es significativamente menor que corriente arriba de la compuerta, lo cual indica disipación relativamente grande por el salto hidráulico y una disminución correspondiente en la energía específica del flujo (Cap. 13). Se refuerza la analogía entre la pérdida de energía específica por un salto hidráulico en flujo de canal abierto y la pérdida de presión de estancamiento por una onda de choque en flujo compresible.

Aire Agua

Compuerta de descarga (pared sólida)

yentrada Ventrada

Parte superior del dominio (pared no viscosa)

Entrada de velocidad Ventrada

Salida de presión

a Fondo del canal (pared)

Compuerta de descarga

Salto hidráulico

a)

b)

FIGURA 15-85 Dominio computacional para un flujo de agua estacionario, incompresible y bidimensional por una compuerta de descarga con condiciones de frontera especificadas. Se modelan dos fluidos en el campo de flujo, agua líquida y aire por encima de la superficie del agua. Se especifican en la entrada la profundidad del líquido yentrada y velocidad Ventrada.

FIGURA 15-86 Resultados de la DFC para un flujo de agua incompresible y bidimensional por una compuerta de descarga en un canal abierto. Los contornos de fase se grafican, y con gris se señala el agua líquida y el blanco representa el aire gaseoso: a) vista global de la compuerta de descarga y salto hidráulico y b) acercamiento del salto hidráulico. El flujo es sumamente no estacionario y estas imágenes son instantáneas correspondientes a un instante de tiempo arbitrario.

906 INTRODUCCIÓN A LA DINÁMICA

PROYECTOR DE APLICACIONES

■

Un estómago virtual Autores invitados: James G. Brasseur y Anupam Pal, The Pennsylvania State University

Píloro Antro OC antrales

FIGURA 15-87 Imagen de resonancia magnética del estómago humano in vivo en un instante, en la que pueden verse las ondas de contracción peristáltica (es decir, en propagación) en la zona final del estómago (el antro). El píloro es un esfínter, o una válvula, que permite el paso de nutrientes al duodeno (intestino delgado). Elaborado por Anupam Pal y James Brasseur. Reproducido con autorización.

y(cm)

15

10

5

0 0

5

10 x(cm)

15

20

FIGURA 15-88 Simulación mediante computadora de los movimientos de los líquidos dentro del estómago (vectores de velocidad) debido a las ondas de contracción peristáltica del antro (Fig. 15-87) y la diseminación de un fármaco (líneas grises) contenido en una gragea de liberación prolongada (círculo). Elaborado por Anupam Pal y James. Reproducido con autorización.

La función mecánica del estómago (llamada “motilidad” gástrica) es primordial para la nutrición adecuada, la liberación confiable de fármacos y muchas disfunciones gástricas como la gastroparesia. En la figura 15-87 se muestra una imagen de resonancia magnética (IRM) del estómago. El estómago es una mezcladora, una trituradora, una cámara de almacenamiento y una bomba compleja que controla la liberación de contenido gástrico sólido y líquido hacia el intestino delgado donde ocurre la captación de nutrientes. La liberación de nutrientes se controla mediante la apertura y cierre de una válvula al final del estómago (el píloro) y las variaciones en la diferencia de presión respecto al tiempo entre el estómago y el duodeno. La presión gástrica se controla por la tensión muscular sobre la pared del estómago y las ondas de contracción peristáltica que pasan por el antro (Fig. 15-87). Estas ondas de contracción peristáltica también descomponen partículas de alimento y mezclan materia dentro del estómago, tanto comida como medicamentos. Sin embargo, en la actualidad es imposible medir los movimientos del líquido de mezclado en el estómago humano. La IRM, por ejemplo, da sólo una descripción del líquido magnetizado especial dentro del estómago. Con la finalidad de estudiar estos movimientos invisibles del líquido y sus efectos, se ha desarrollado un modelo de computadora del estómago por medio de la dinámica de fluidos computacional. Las matemáticas en que se basa el modelo computacional se derivan de las leyes de la mecánica de fluidos. El modelo es una manera de extender las mediciones de la IRM de la configuración geométrica del estómago cambiante con el tiempo a los movimientos del líquido adentro. Se considera que los modelos de computadora no describen la complejidad total de la fisiología gástrica, aunque tienen la gran ventaja de permitir la variación sistemática controlada de parámetros, de modo que las sensibilidades que no es posible medir de manera experimental, pueden estudiarse de manera computarizada. Con el estómago virtual se aplica un método numérico llamado algoritmo de “Boltzmann de retícula” que es muy adecuado para flujo de fluido en configuraciones geométricas complejas, y las condiciones de frontera se obtienen de datos de la IRM. En la figura 15-88 se predicen los movimientos, rotura y mezclado de tabletas de 1 cm de fármaco de liberación prolongada en el estómago. En este experimento numérico la tableta de fármaco es más densa que la comida sumamente viscosa del entorno. Se predice que las ondas peristálticas antrales generan remolinos recirculantes y chorros retropulsores dentro del estómago, que a su vez generan altos esfuerzos de corte que desgastan la superficie de la tableta y liberan el fármaco. Luego, el fármaco se mezcla por los mismos movimientos del líquido que liberan el fármaco. Se encuentra que los movimientos de líquido gástrico y el mezclado dependen de los detalles de las variaciones con el tiempo en la configuración geométrica del estómago y el píloro. Referencias Indireshkumar, K., Brasseur, J.G., Faas, H., Hebbard, G.S., Kunz, P., Dent, J., Boesinger, P., Feinle, C., Fried, M., Li, M. y Schwizer, W., “Relative Contribution of ‘Pressure Pump’ and ‘Peristaltic Pump’ to Slowed Gastric Emptying”, Amer J Physiol, 278, pp. G604-616, 2000. Pal, A., Indireshkumar, K., Schwizer, W., Abrahamsson, B., Fried, M., Brasseur, J. G., “2004 Gastric Flow and Mixing Studied Using Computer Simulation”, En prensa, Proc. Royal Soc. London, Biological Sciences, octubre, 2004.

907 CAPÍTULO 15

RESUMEN Aunque no tan ubicuos como las hojas de cálculo ni tan fáciles de usar como los programas de solución numérica, los paquetes de dinámica de fluidos computacional se mejoran de manera continua y son cada vez más comunes. Después que los científicos especializados escribieron sus propios paquetes y emplearon supercomputadoras, surgieron los paquetes de la DFC comerciales, con numerosas características e interfaces amigables con el usuario, los cuales pueden obtenerse ahora para computadoras personales a un costo razonable y están disponibles para ingenieros de todas las disciplinas. Como se mostró en este capítulo, sin embargo, una malla deficiente, la elección inadecuada de flujo laminar contra turbulento, condiciones de frontera inapropiadas o cualquier cantidad de otras equivocaciones pueden conducir a soluciones de la DFC físicamente incorrectas, aun cuando el resultado gráfico a color siempre parezca bonito. Por lo tanto, es imperativo que los usuarios de la DFC tengan conocimientos de mecánica de fluidos para evitar respuestas erróneas a partir de una simulación de la DFC. Además, deben hacerse comparaciones apropiadas con los datos experimentales siempre que sea posible para validar las predicciones de la DFC. Con estas precauciones en la mente, la DFC tiene un potencial enorme para diversas aplicaciones relacionadas con los flujos de fluidos. Se muestran ejemplos de soluciones de la DFC para flujo laminar y turbulento. Para flujo laminar incompresible, la dinámica de fluidos computacional realiza un trabajo excelente, inclusive para flujos no estacionarios con separación de la superficie. De hecho, las soluciones de la DFC son “exactas” en la medida en que estén limitadas por la resolución de malla y las condiciones de frontera. Por desgracia, muchos flujos de interés práctico en ingeniería son turbulentos, no laminares. La simulación numérica directa (SND, DNS por sus siglas en inglés) tiene grandes posibilidades para la simulación de campos de flujo turbulento complejo, y los algoritmos para resolver las ecuaciones de movimiento (las ecuaciones de Navier-Stokes y de continuidad tridimensionales) están establecidas de manera adecuada. Sin

embargo, la resolución de todas las escalas finas de un flujo turbulento, complejo, con número de Reynolds alto, implican usar computadoras que son mucho más rápidas que las máquinas más rápidas actuales. Pasarán décadas antes que las computadoras avancen hasta el punto donde la SND sea útil para problemas de ingeniería prácticos. Mientras tanto, lo mejor que puede hacerse es emplear modelos de turbulencia, que son ecuaciones de transporte semiempíricas que modelan (en lugar de resolver) el mezclado y difusión que se incrementan a causa de remolinos turbulentos. Cuando se corren paquetes de la DFC que utilizan modelos de turbulencia, debe tenerse cuidado de que se tenga una malla suficientemente fina y que las condiciones de frontera se apliquen de manera apropiada. Sin embargo, a fin de cuentas, sin importar qué tan fina sea la malla, o qué tan válidas sean las condiciones de frontera, los resultados de la DFC son sólo tan buenos como el modelo de turbulencia empleado. No obstante, aunque ningún modelo de turbulencia es universal (aplicable a todos los flujos turbulentos), se obtiene un desempeño razonable para numerosas simulaciones de flujo prácticas. También se demuestra en este capítulo que la DFC puede producir resultados útiles para flujos con transferencia de calor, flujos compresibles y flujos en canal abierto. En todos los casos, sin embargo, los usuarios de la DFC deben tener cuidado de elegir un dominio computacional apropiado, aplicar condiciones de frontera adecuadas, generar una correcta malla y usar los modelos y aproximaciones apropiados. A medida que las computadoras continúen volviéndose más rápidas y más poderosas, la DFC tendrá un papel siempre creciente en el diseño y análisis de sistemas de ingeniería complejos. Sólo se ha arañado la superficie de la dinámica de fluidos computacional en este breve capítulo. Con el fin de ser hábil y competente en la DFC, deben tomarse cursos avanzados de estudio en métodos numéricos, mecánica de fluidos y transferencia de calor. Se espera que, aunque no sea para otra cosa, este capítulo haya animado al lector a profundizar en el estudio de este tema interesante.

BIBLIOGRAFÍA Y LECTURAS RECOMENDADAS 1. C-J. Chen y S-Y. Jaw, Fundamentals of Turbulence Modeling, Washington, DC: Taylor & Francis, 1998.

7. M. Van Dyke, An Album of Fluid Motion, Stanford, CA: The Parabolic Press, 1982.

2. J.M. Cimbala, H. Nagib y A. Roshko, “Large Structure in the Far Wakes of Two-Dimensional Bluff Bodies”, Fluid Mech., 190, 1988, pp. 265-298.

8. F.M. White, Viscous Fluid Flow, 2a. ed., Nueva York: McGraw-Hill, 1991.

3. S. Schreier, Compressible Flow, Nueva York: Wiley Interscience, cap. 6 (Transonic Flow), 1982, pp. 285-293. 4. J.C. Tannehill, D.A. Anderson y R.H. Pletcher, Computational Fluid Mechanics and Heat Transfer, 2a. ed., Washington, DC: Taylor & Francis, 1997. 5. H. Tennekes y J.L. Lumley, A First Course in Turbulence, Cambridge, MA: The MIT Press, 1972. 6. D.J. Tritton, Physical Fluid Dynamics, Nueva York: Van Nostrand Reinhold Co., 1977.

9. D.C. Wilcox, Turbulence Modeling for CFD, 2a, ed., La Cañada, CA: DCW Industries, Inc., 1998. 10. C.H.K. Williamson, “Oblique and Parallel Modes of Vortex Shedding in the Wake of a Circular Cylinder at Low Reynolds Numbers”, J. Fluid Mech., 206, 1989, pp. 579627. 11. Tu, J., Yeoh, G.H. y Liu, C., Computational Fluid Dynamics: A Practical Approach, Burlington, MA: Elsevier, 2008.

908 INTRODUCCIÓN A LA DINÁMICA

PROBLEMAS* Fundamentos, generación de malla y condiciones de frontera 15-1C Un paquete de la DFC se usa para resolver un flujo laminar, incompresible, bidimensional (x y y), sin superficies libres. El fluido es newtoniano. Se emplean condiciones de frontera apropiadas. Haga una lista de las variables (incógnitas) del problema y enumere las ecuaciones correspondientes que se resolverán con computadora. 15-2C Escriba una definición breve (unas cuantas oraciones) y la descripción de cada uno de los siguientes conceptos y proporcione un ejemplo o ejemplos si resulta útil: a) dominio computacional, b) malla, c) ecuación de transporte, d) ecuaciones acopladas. 15-3C ¿Cuál es la diferencia entre un nodo y un intervalo y cómo se relacionan con las celdas? En la figura P15-3C, ¿cuántos nodos y cuántos intervalos están en cada lado?

tadora se elige un dominio computacional en la cercanía del cilindro solamente. Explique por qué el lado corriente abajo del dominio computacional debe estar más allá del cilindro que el lado corriente arriba.

Dominio computacional Entrada

Salida

FIGURA P15-7C

15-8C Escriba una explicación breve (unos cuantos enunciados) acerca del significado de cada uno de los siguientes conceptos respecto a una solución de la DFC iterativa: a) condiciones iniciales, b) residuo, c) iteración, d) posprocesamiento. 15-9C Explique de manera breve cómo los paquetes de la DFC emplean cada uno de los siguientes conceptos para acelerar el proceso de iteración: a) multimalla y b) tiempo artificial.

FIGURA P15-3C

15-10C De las condiciones de frontera analizadas en este capítulo, enliste las condiciones de frontera que pueden aplicarse al lado derecho del dominio computacional bidimensional que se bosqueja en la figura P15-10C. ¿Por qué no pueden aplicarse las otras condiciones de frontera a este lado?

15-4C Para el dominio computacional de dos dimensiones de la figura P15-3C, con la distribución de nodos dada, bosqueje una malla estructurada simple con celdas de cuatro lados y dibuje una no estructurada simple con celdas de tres lados. ¿Cuántas celdas hay en cada una? Explíquelo. 15-5C Para el dominio computacional bidimensional de la figura P15-3C, con la distribución de nodos dada, haga un esquema de una malla simple estructurada usando celdas de cuatro lados, y haga un esquema de una malla poliédrica simple no estructurada, usando por lo menos uno de los elementos siguientes: celdas de 3 lados, de 4 lados y de 5 lados. Trate de evitar un gran sesgo. Compare la cuenta de celdas para cada caso y comente sus resultados. 15-6C Resuma los ocho pasos necesarios en un análisis de la DFC común de un campo de flujo laminar, estacionario. 15-7C Suponga que emplea la DFC para simular el flujo por un ducto en el que hay un cilindro circular, como en la figura P15-7C. El ducto es largo, pero para ahorrar recursos de compu-

* Los problemas designados por una “C” son preguntas de concepto y se alienta a los estudiantes a dar respuesta a todas. Los problemas designados por una “I” están en unidades inglesas y los usuarios del SI pueden ignorarlos. Los problemas con el ícono son de comprensión y se recomienda emplear un software como EES para resolverlos. Los problemas con el ícono pueden resolverse con el software FlowLab.

CF por especificar en este lado

FIGURA P15-10C 15-11C ¿Cuál es el método estándar para probar la resolución de malla adecuada cuando se usa la DFC? 15-12C ¿Cuál es la diferencia entre una condición de frontera en la entrada donde se especifica la presión y una condición de frontera en la entrada donde se especifica la velocidad? Explique por qué no se puede especificar tanto la presión como la velocidad como una condición de frontera. 15-13C Se emplea un paquete de la DFC del flujo incompresible para simular el flujo de aire por un canal rectangular bidimensional (Fig. P15-13C). El dominio computacional consta de cuatro bloques, como se indica. El flujo entra al bloque 4 desde la derecha superior y sale del bloque 1 a la izquierda como se muestra. Se conoce la velocidad de entrada V y también la presión de salida Psalida. Designe las condiciones de frontera que deben aplicarse a cada lado de cada bloque de este dominio computacional.

909 CAPÍTULO 15 Bloque 1

V Entrada

Psalida Salida

Bloque 4

Bloque 2

Bloque 3

Psalida. Genere los bloques para una malla estructurada con bloques de cuatro lados y bosqueje una malla de celdas amplias de cuatro lados; además, cerciórese de agrupar las celdas cerca de las paredes. Asimismo, tenga cuidado con el fin de evitar celdas muy sesgadas. Indique las condiciones de frontera que deben aplicarse a cada lado de cada bloque del dominio computacional. (Sugerencia: De seis a siete bloques son suficientes.)

FIGURA P15-13C V

15-14C Considere el problema 15-13C de nuevo, excepto que permita que la condición de frontera en el lado común entre los bloques 1 y 2 sea la de un ventilador con un aumento de presión especificado de derecha a izquierda. Suponga que se corre un paquete de la DFC de flujo incompresible para ambos casos (con y sin el ventilador). Con todo lo demás igual, ¿aumentará o disminuirá la presión en la entrada? Explíquelo. 15-15C Enliste las seis condiciones de frontera que se emplean con la DFC para resolver problemas de flujo de fluidos incompresibles. Para cada una, provea una descripción breve y dé un ejemplo de cómo se emplea esa condición de frontera. 15-16 Se usa un paquete de la DFC para simular el flujo sobre un perfil aerodinámico a un ángulo de ataque. En la figura P15-16 se ilustra una porción del dominio computacional cerca del perfil aerodinámico (el dominio computacional se extiende más allá de la región que se describe por la línea discontinua). Bosqueje una malla estructurada de celdas amplias de cuatro lados y dibuje una malla no estructurada de celdas amplias de tres lados en la región sombreada. Cerciórese de agrupar las celdas donde sea apropiado. Explique las ventajas y desventajas de cada tipo de malla.

In Entrada

Out Salida

Psalida

FIGURA P15-18

15-19 Se emplea un paquete de la DFC de flujo incompresible para simular el flujo de gasolina por un canal rectangular bidimensional en el que hay una cámara circular grande de asentamiento (Fig. P15-19). El flujo entra por la izquierda y sale a la derecha como se muestra. Se genera una solución de flujo turbulento promediada en el tiempo mediante un modelo de turbulencia. Se supone simetría arriba y abajo. Se conoce la velocidad de entrada V, y también se conoce la presión de salida Psalida. Genere los bloques para una malla estructurada con bloques de cuatro lados, y bosqueje una de celdas amplias de cuatro lados; además, cerciórese de agrupar las celdas cerca de las paredes. Asimismo, tenga cuidado de evitar las celdas muy sesgadas. Especifique las condiciones de frontera que deben aplicarse a cada lado de cada bloque del dominio computacional.

V

Entrada

Salida Psalida

FIGURA P15-19

FIGURA P15-16

15-17 Para el perfil aerodinámico del problema 15-16, bosqueje una malla híbrida de celdas amplias y explique las ventajas de esa clase de malla. 15-18 Se utiliza un paquete de la DFC de flujo incompresible para simular el flujo de agua por un canal rectangular bidimensional en el que hay un cilindro circular (Fig. P15-18). Se genera una solución de flujo turbulento promediada en el tiempo mediante un modelo de turbulencia. Se supone simetría superior e inferior respecto al cilindro. El flujo entra desde la izquierda y sale a la derecha como se muestra. Se conoce la velocidad de entrada V, y también se conoce la presión de salida

15-20 Vuelva a trazar la malla de bloques múltiples estructurada de la figura 15-12b) para el caso en que el paquete de la DFC puede manejar sólo bloques elementales. Renumere todos los bloques e indique cuántos intervalos i y j están contenidos en cada bloque. ¿Cuántos bloques elementales se tiene al final? Sume todas las celdas y compruebe que el número total de celdas no cambió. 15-21 Suponga que su paquete de la DFC puede manejar bloques no elementales. Combine tantos bloques de la figura 15-12b) como pueda. La única restricción es que en cualquier bloque, el número de intervalos i y el número de intervalos j deben ser constantes. Muestre que puede crearse una malla estructurada con sólo tres bloques no elementales. Renumere todos los bloques e indique cuántos intervalos i y j están contenidos en cada bloque. Sume todas las celdas y compruebe que el número total de ellas no cambió.

910 INTRODUCCIÓN A LA DINÁMICA

15-22 Se diseña un nuevo intercambiador de calor de varias etapas con la finalidad de mezclar el fluido corriente abajo lo más completo posible en cada etapa. Anita presenta un diseño cuya sección transversal de una etapa se bosqueja en la figura P15-22. La configuración geométrica se extiende de manera periódica arriba y abajo más allá de la región que se muestra aquí. Ella utiliza varias docenas de tubos rectangulares inclinados a un ángulo grande para cerciorarse que el flujo se separe y se mezcle en las estelas. El desempeño de esta configuración se probará mediante simulaciones de la DFC bidimensionales, promediadas en el tiempo, con un modelo de turbulencia, y los resultados se compararán con los de otras configuraciones propuestas. Bosqueje el dominio computacional más simple que pueda usarse para simular este flujo. Etiquete e indique las condiciones de frontera en su diagrama. Explíquelo.

FIGURA P15-25

15-26 Bosqueje una malla de bloques múltiples estructurada con bloques elementales de cuatro lados para el dominio computacional del problema 15-25. Cada bloque tendrá celdas estructuradas de cuatro lados, pero no se tiene que bosquejar la malla, sólo la configuración geométrica de los bloques. Intente hacer todos los bloques lo más rectangulares posible para evitar celdas muy sesgadas en las esquinas. Suponga que el paquete de la DFC exige que la distribución de nodos en pares periódicos de lados sea idéntica (los dos lados de un par periódico están “enlazados” en el proceso de generación de la malla). Suponga también que el paquete de la DFC no permite que los lados de un bloque se dividan para la aplicación de condiciones de frontera.

Problemas de FlowLab*

FIGURA P15-22

15-23 Bosqueje una malla de bloques múltiples estructurada de celdas amplias de cuatro lados con cuatro bloques elementales de cuatro lados para el dominio computacional del problema 15-22. 15-24 Anita corre un paquete de la DFC con el dominio computacional y la malla desarrollados en los problemas 15-22 y 1523. Por desgracia, el paquete de la DFC tiene problemas para converger y Anita detecta que hay un flujo inverso en la salida (lado derecho lejano del dominio computacional). Explique por qué hay flujo inverso, y explique lo que Anita debe hacer para corregir el problema. 15-25 Como un seguimiento para el diseño del intercambiador de calor del problema 15-22, suponga que el diseño de Anita es elegido con base en los resultados de un análisis preliminar de la DFC de una sola etapa. Ahora se le pide simular dos etapas del intercambiador de calor. La segunda fila de tubos rectangulares se distribuye e inclina de manera opuesta a la del primer renglón para promover el mezclado (Fig. P15-25). La configuración geométrica se extiende de manera periódica arriba y abajo más allá de la región que se muestra aquí. Bosqueje un dominio computacional que pueda usarse para simular este flujo. Marque e indique las condiciones de frontera en su diagrama. Explíquelo.

15-27 En este ejercicio se examina qué tan lejos necesita estar la frontera del dominio computacional para simular flujo libre alrededor de un cuerpo. Por sencillez, se elige un caso bidimensional, flujo a velocidad V sobre un bloque rectangular cuya longitud L es 1.5 veces su altura D (Fig. P15-27a). Se supone que el flujo es simétrico respecto a la línea central (eje x), de modo que se necesita modelar sólo la mitad superior del flujo. Se prepara un dominio computacional semicircular para la solución de la DFC, como se bosqueja en la figura P1527b). Las condiciones de frontera se muestran en los lados. Se ejecutan varios valores del radio del lado externo R (5  R/D  500) para determinar cuándo la frontera de campo lejano está lo suficientemente alejada. Utilice la aplicación Block _domain de FlowLab. a) Calcule el número de Reynolds con base en la altura de bloque D. ¿Cuál es el valor medido experimentalmente del coeficiente de arrastre para este bloque bidimensional a este número de Reynolds (Cap. 11)? b) Genere las soluciones de la DFC para varios valores de R/D. Para cada caso calcule y registre el coeficiente de arrastre CD.

* Estos problemas requieren del software de la DFC con el programa de FlowLab, que se provee con este libro de texto por FLUENT, Inc. Las plantillas para los problemas que la requieren están disponibles en el sitio de internet del libro. En cada caso, se da un breve informe del problema mientras que se suman detalles acerca de geometría, condiciones de frontera y parámetros computarizados con la plantilla.

911 CAPÍTULO 15

Entrada Bloque V

y

Salida

V x

D

Superficie sólida

y

Pared

L

R x

Bloque Simetría a)

Simetría b)

FIGURA P15-27

Grafique CD como función de R/D. ¿A qué valor de R/D se vuelve CD independiente de la extensión computacional a tres dígitos significativos de precisión? Exprese un valor final de CD y explique sus resultados. c) Explique algunas razones para la discrepancia entre el valor experimental de CD y el valor obtenido aquí mediante la DFC. d) Trace las líneas de corriente para dos casos: R/D  5 y 500. Compare y explíquelo. 15-28 Con la configuración geométrica del problema 15-27, y el caso con R/D = 500, el objetivo de este ejercicio es comprobar la independencia de la malla. Utilice la aplicación Block_mesh de FlowLab. Introduzca varios valores de resolución de malla, y tabule el coeficiente de arrastre CD como una función del número de celdas. ¿Se ha logrado la independencia de malla? Exprese un valor final de CD hasta tres cifras significativas de precisión. El valor final del coeficiente de arrastre ¿concuerda mejor con el de este experimento? Explíquelo. 15-29 En los problemas 15-27 y 15-28 se usa el modelo de turbulencia k-e. El objetivo de este ejercicio es ver qué tan sensitivo es el coeficiente de arrastre a la selección del modelo de turbulencia, y ver si un modelo de turbulencia diferente da una mejor concordancia con el experimento. Ejecute FlowLab e inicie la plantilla Block_turbulence_model. Ejecute la simulación con todos los modelos de turbulencia disponibles. Para cada caso, registre CD. ¿Cuál da la mejor concordancia con el experimento? Comente. 15-30 Los datos experimentales del coeficiente de arrastre están disponibles para bloques bidimensionales de varios tipos de flujo externo. En este ejercicio, se usa la DFC para comparar el coeficiente de arrastre de bloques rectangulares con L/D que varía de 0.1 a 3.0 (Fig. P15-30). El dominio computacional es un semicírculo similar al que se bosqueja en la figura P15-27b); se supone flujo turbulento incompresible, estacionario, con simetría respecto al eje x. Utilice la aplicación Block_lenght de FlowLab. a) Realice la simulación de la DFC para varios valores de L/D entre 0.1 y 3.0. Registre el coeficiente de arrastre para cada caso y grafique CD como una función de L/D. Compare con los datos experimentales en la misma gráfica. Explíquelo.

b) Para cada caso, grafique las líneas de corriente cerca del bloque y en su región de estela. Use estas líneas de corriente para explicar la tendencia en la gráfica de CD en función de L/D. c) Explique posibles razones para la discrepancia entre los cálculos de la DFC y los datos experimentales y sugiera un remedio. y V

x

D Bloque L y

V

D

x

Bloque L

FIGURA P15-30

15-31 Repita el problema 15-27 para el caso de flujo axisimétrico sobre un cilindro truncado (Fig. P15-31), con la plantilla Block_axisymetric. Las mallas y los parámetros son los mismos que los del problema 15-27, excepto que la condición de frontera de simetría se cambia al “eje”, y el programa de solución numérica para el flujo es axisimétrico respecto al eje x. Además de las preguntas listadas en el problema 15-27, compare los casos bidimensional y axisimétrico. ¿Cuál demanda una extensión mayor de la frontera de campo lejano? ¿Cuál tiene mejor concordancia con el experimento? Explíquelo. (Nota: El área de referencia para CD en el caso axisimétrico es el área frontal A  pD2/4.) x

V

D L

FIGURA P15-31

912 INTRODUCCIÓN A LA DINÁMICA u

Pared Pared

V Psal

D2

D1 x

L1 a)

L2

Pemt V

x

Eje

b)

FIGURA P15-32

15-32 El aire fluye por un difusor cónico en un túnel de viento axisimétrico (Fig. P15-32a), el dibujo no está a escala). u es el semiángulo del difusor (el ángulo total del difusor es igual a 2u). Los diámetros de entrada y salida son D1  0.50 m y D2  1.0 m, respectivamente, y u  20°. La velocidad de entrada es casi uniforme a V  10.0 m/s. La distancia axial corriente arriba del difusor es L1  1.50 m, y la distancia axial desde el comienzo del difusor hasta la salida es L2  8.00 m. Se prepara un dominio computacional para una solución de DFC, como se bosqueja en la figura P15-32b). Puesto que el flujo es axisimétrico y estacionario en promedio, se modela sólo una porción bidimensional como se muestra, con el lado inferior del dominio especificado como un eje. El objetivo de este ejercicio es probar la independencia de la malla. Utilice la aplicación Diffuser _mesh de FlowLab. a) Genere las soluciones de la DFC para varias resoluciones de malla. Grafique líneas de corriente en la sección del difusor para cada caso. ¿A qué resolución de malla el patrón de líneas de corriente al parecer es independiente de la malla? Describa el campo de flujo para cada caso y explíquelo. b) Para cada caso, calcule y registre la diferencia de presión P  Pent  Psal. ¿A qué resolución de la malla es independiente P de la malla (a tres dígitos significativos de precisión)? Grafique P como una función del número de celdas. Explique sus resultados. 15-33 Repita el problema 15-32 para el caso de resolución más fina, pero la condición de frontera de “salida de presión” cambia a una condición de frontera de “flujo libre de salida”, con la plantilla de FlowLab Diffuser_outflow. Registre P y compare con el resultado del problema 15-32 para la misma resolución de malla. Asimismo, compare la distribución de presión en la salida para el caso de la condición de frontera de “salida de presión” y el caso de la condición de frontera de “flujo libre de salida”. Explíquelo. 15-34 Bárbara diseña un difusor cónico para el túnel de viento axisimétrico del problema 15-32. Ella necesita alcanzar por lo menos 40 Pa de recuperación de presión por el difusor, al mismo tiempo que se mantiene la longitud del difusor tan pequeña como sea posible. Bárbara decide usar la DFC para comparar el desempeño de difusores de varios semiángulos (5°  u  90°) (ver la Fig. P15-32 para la definición de u y otros parámetros del problema). En todos los casos, el diámetro se duplica para el difusor, los diámetros de entrada y sa-

lida son D1  0.50 m y D2  1.0 m, respectivamente. La velocidad de entrada es casi uniforme a V  10.0 m/s. La distancia axial corriente arriba del difusor es L1  1.50 m, y la distancia axial desde el comienzo del difusor hasta la salida es L2  8.00 m (la longitud total del dominio computacional es 9.50 m en todos los casos). Utilice la aplicación Diffuser_angle de FlowLab. Además de las condiciones de frontera en el eje y las paredes que se indican en la figura P15-32, la entrada se especifica como una entrada de velocidad y la salida como una salida de presión con presión manométrica Psalida  0 para todos los casos. El fluido es aire en condiciones predeterminadas y se supone flujo turbulento. a) Genere las soluciones de la DFC para el semiángulo u  5, 7.5, 10, 12.5, 15, 17.5, 20, 25, 30, 45, 60 y 90°. Trace las líneas de corriente para cada caso. Describa cómo cambia el campo de flujo con el semiángulo del difusor, con atención especial a la separación de flujo en la pared del difusor. ¿Qué tan pequeño debe ser el valor de u para evitar separación de flujo? (b) Para cada caso, calcule y registre P  Pentrada  Psalida. Grafique P como una función de u y explique sus resultados. ¿Cuál es el valor máximo de u con el que se alcanzan los objetivos de diseño de Bárbara? 15-35 Considere el difusor del problema 15-34 con u  90° (expansión repentina). En este ejercicio se prueba si la malla es lo suficientemente fina al realizar una comprobación de independencia de malla. Utilice la aplicación Expansion_mesh de FlowLab. Haga correr el paquete de la DFC para varios niveles de exactitud de la malla. Calcule y registre P para cada caso. Explíquelo. 15-36 Fluye agua por una contracción repentina en un pequeño tubo redondo (Fig. P15-36a). Los diámetros del tubo son D1  8.0 mm y D2  2.0 mm. La velocidad de entrada es casi uniforme a V  0.050 m/s y el flujo es laminar. Shane quiere predecir la diferencia de presión desde la entrada (x  L1) hasta la ubicación axial de la contracción repentina (x  0). Él prepara el dominio computacional que se bosqueja en la figura P15-36b). Puesto que el flujo es axisimétrico y estacionario, Shane modela sólo un corte, como se muestra, con el lado inferior del dominio especificado como un eje. Además de las condiciones de frontera indicadas en la figura P15-36b), la entrada se especifica como una salida de presión con Psalida  0 manométrica. Lo que Shane no sabe es

913 CAPÍTULO 15 Pared V

D1 V

Pared

Pent

Psal P1

D2 Eje

x Lextensión

x

L1 a)

b)

FIGURA P15-36

qué tan lejos necesita ampliar el dominio corriente abajo de la contracción para que el campo de flujo sea simulado de manera exacta corriente abajo de la contracción (él no tiene interés en el flujo corriente abajo de la contracción). En otras palabras, no sabe qué tan larga hacer Lextensión. Utilice la aplicación Contraction _domain de FlowLab. a) Genere soluciones para Lextensión/D2  0.25, 0.5, 0.75, 1.0, 1.25, 1.5, 2.0, 2.5 y 3.0. ¿Qué tan grande debe ser Lextensión/D2 para evitar el flujo invertido en la salida de presión? Explíquelo. Grafique las líneas de corriente cerca de la contracción repentina para ayudar a explicar sus resultados. b) Para cada caso, registre las presiones manométricas Pentrada y P1, y calcule P  Pentrada – P1. ¿Qué tan grade debe ser Lextensión/D2 para que P se vuelva independiente de Lextensión? (hasta tres dígitos significativos de precisión). c) Grafique la presión manométrica de entrada Pentrada como una función de Lextensión/D2. Analice y explique la tendencia. Con base en sus resultados tomados en conjunto, ¿cuál valor de Lextensión/D2 recomendaría a Shane? 15-37 Considere la contracción repentina del problema 15-36 (Fig. P15-36). Suponga que Shane hiciera caso omiso de la extensión (Lampliada/D2  0). Utilice la aplicación Contraction_zerolength de FlowLab. Continúe con las iteraciones hasta lograr la convergencia. ¿Hay flujo invertido? Explíquelo. Grafique las líneas de corriente cerca de la salida y compárelas con las del problema 15-37. Explíquelo. Calcule P  Pentrada  Psalida y calcule el porcentaje de error en P en estas condiciones, en comparación con el valor de convergencia del problema 15-36. Explíquelo. 15-38 En este ejercicio se aplican diferentes contrapresiones a la contracción repentina del problema 15-36 (Fig. P15-36), para el caso con Lextensión/D2  2.0. Utilice la aplicación Contraction_pressure de FlowLab. Establezca la condición de frontera en la salida a Psalida  50 000 Pa manométrica (cerca de 1/2 atm abajo de la presión atmosférica). Registre Pentrada y P1, y calcule P  Pentrada – P1. Repita para Psalida  0 manométrica y Psalida  50 000 Pa manométrica. Explique sus resultados. 15-39 Considere la contracción repentina del problema 15-36, pero esta vez con flujo turbulento en vez de laminar. Las dimensiones que se muestran en la figura P15-36 se modifican proporcionalmente por un factor de 100 en todas partes, de modo que D1  0.80 m y D2  0.20 m. La velocidad de entrada se incrementa también a V  1.0 m/s. En la en-

trada se especifica una intensidad de turbulencia de 10 por ciento. La presión de salida se fija en cero de presión manométrica para todos los casos. Utilice la aplicación Contraction_turbulent de FlowLab. a) Calcule los números de Reynolds del flujo por el tubo largo y el tubo pequeño para el problema 15-36 y también para este problema. Las suposiciones de flujo laminar o turbulento ¿son razonables para estos problemas? b) Genere soluciones de la DFC para Lextensión/D2  0.25, 0.5, 0.75, 1.0, 1.25, 1.5 y 2.0. ¿Qué tan grande debe ser Lextensión/D2 para evitar flujo invertido a la presión de salida? Grafique líneas de corriente para el caso en el que Lextensión/D2  0.75 y compare con las líneas de corriente correspondientes del problema 15-36 (flujo laminar). Explíquelo. c) Para cada caso registre las presiones manométricas Pentrada y P1, y calcule P  Pentrada  P1. ¿Qué tan grande debe ser Lextensión/D2 con el fin de que P se vuelva independiente de Lextensión? (hasta tres dígitos significativos de precisión). 15-40 Utilice la aplicación Contracción_outflow de FlowLab. Las condiciones son idénticas a las del problema 15-39 para el caso con Lextensión/D2  0.75, pero con la condición de frontera de “salida de presión” cambiada a una condición de frontera de “flujo libre de salida”. Registre Pentrada y P1, calcule P  Pentrada – P1 y compare con el resultado del problema 1539 para la misma configuración geométrica. Explíquelo. 15-41 Utilice la aplicación Contraction_2d de FlowLab. Esto es idéntico a la contracción repentina del problema 15-39, pero el flujo es bidimensional en lugar de axisimétrico (note que la condición de frontera de “eje” se reemplaza por “simetría”). Como antes, la presión de salida se establece en presión manométrica cero. a) Genere las soluciones de la DFC para Lextensión/D2  0.25, 0.5, 0.75, 1.0, 1.25, 1.5, 2.0, 3.0 y 4.0. ¿Qué tan grande debe ser Lextensión/D2 para evitar flujo invertido a la presión de salida? Grafique las líneas de corriente para el caso en el cual Lextensión/D2  0.75 y compare con las líneas de corriente correspondientes del problema 15-39 (flujo axisimétrico). Explíquelo. b) Para cada caso, registre las presiones manométricas Pentrada y P1, y calcule P  Pentrada – P1. ¿Qué tan grande debe ser Lextensión/D2 para evitar que P se vuelva independiente de Lextensión? (a tres dígitos significativos de precisión). 15-42 Fluye aire por una “inflexión de forma de zig-zag” en un canal rectangular (Fig. P15-42a, no es a escala).

914 INTRODUCCIÓN A LA DINÁMICA y

L1

V

Pared

V Lj

Pent

Pared

L2

a)

Psal

x

D1

Pared

b)

FIGURA P15-42

La dimensión del canal es D1  1.0 m en cualquier parte, y es suficientemente amplio (hacia la página de la figura P15-42) de modo que el flujo puede considerarse bidimensional. La velocidad de entrada es casi uniforme a V  1.0 m/s. La distancia corriente arriba de la inflexión es L1  5.0 m, la longitud total de la inflexión es Lj  3.0 m y la distancia del extremo de la inflexión a la salida es L2  10.0 m. Se prepara un dominio computacional para una solución de la DFC, como se bosqueja en la figura P15-42b). Además de las condiciones de frontera de pared sólida marcadas en la figura P15-42b), la entrada se especifica como una entrada de velocidad y la salida se especifica como una salida de presión con Psalida  0 de presión manométrica. El fluido es aire en condiciones predeterminadas y se supone flujo turbulento. El objetivo de este ejercicio es probar la independencia de la malla en este campo de flujo. Utilice la aplicación Jog_turbulent_mesh. a) Genere soluciones de la DFC para varios niveles de resolución de malla. Grafique las líneas de corriente en la región de la inflexión para cada caso. ¿A qué resolución de malla el patrón de líneas de corriente parece ser independiente de la malla? Explíquelo. b) Para cada caso, calcule y registre P  Pentrada – Psalida. ¿A qué resolución de malla es P independiente de la malla? (hasta tres cifras significativas de precisión). Grafique P como una función del número de celdas. Explique sus resultados. 15-43 Repita el problema 15-42, pero para flujo laminar, al utilizar la aplicación Jog_laminar_mesh de FlowLab. La inflexión es idéntica en forma, pero a escala reducida por un factor de 1 000 en comparación con la del problema 1542 (lo ancho del canal es D1  1.0 mm en cualquier parte). La velocidad de entrada es casi uniforme a V  0.10 m/s, y el fluido ahora es el agua a temperatura ambiente. Explique sus resultados. 15-44 Repita el problema 15-43, pero para flujo laminar a un número de Reynolds mayor. Utilice la aplicación FlowLab Jog_high_Re. Todo es idéntico al problema 15-43, excepto que la velocidad de entrada se incrementa de V  0.10 a 1.0 m/s. Compare los resultados y los números de Reynolds para los dos casos y explíquelo. 15-45 Utilice la aplicación Nozzl_axisymmetric de Flow Lab (Prob. 15-45). Para el caso en el que Pb  100 kPa (Pb/ P0,entrada  0.455), grafique la presión y el número de Mach para comprobar que una onda de choque normal está presente cerca de la salida del dominio computacional. Genere una gráfica

del número de Mach promedio Ma y la relación de presiones promedio P/P0,entrada para varias secciones transversales del dominio, como en la figura 15-78. Señale la ubicación de la onda de choque normal y compare los resultados de la DFC con la teoría de flujo compresible unidimensional. Repita para Pb  215 kPa (Pb/P0,entrada  0.977). Explíquelo.

Entrada Salida de de presión presión Pared

Eje

FIGURA P15-45

15-46 En el ejercicio, se examina el efecto de la ubicación de la condición de frontera simétrica superior para flujo sobre un automóvil simplificado en 2D. Utilice la aplicación Automobile_domain de FlowLab para varios valores de H/h (Fig. P15-46). Grafique el valor calculado de CD como una función de H/h. ¿A qué valor de H/h se estabiliza el valor de CD? En otras palabras, ¿qué tan lejos debe estar la frontera de simetría superior para tener influencia despreciable en el valor calculado del coeficiente de arrastre? Explíquelo.

Simetría Salida de presión

V Entrada de velocidad H Modelo (pared) h Suelo (pared)

FIGURA P15-46

915 CAPÍTULO 15

15-47 Utilice la aplicación Automobile_turbulence_model de FlowLab. En este ejercicio se examina el efecto del modelo de turbulencia en el cálculo del arrastre sobre un modelo bidimensional simplificado de un automóvil (Fig. P15-46). Ejecute todos los modelos de turbulencia disponibles. Para cada caso, registre CD. ¿Hay mucha variación en los valores calculados de CD? ¿Cuál es correcto? Explíquelo. 15-48 Utilice la aplicación Pipe_laminar_developing de Flow- Lab. En este ejercicio se estudia el flujo laminar en la región de entrada de una tubería redonda (Fig. P1548, no es a escala). Como resultado de la simetría, el dominio computacional consta de una sección (región en gris en la figura P15-48). Calcule el flujo a varios valores del número de Reynolds Re, donde Re se basa en un diámetro de tubería y velocidad promedio por la tubería. Para cada caso, estudie los perfiles de velocidad en varios lugares axiales en la tubería y estime la longitud de entrada en cada caso. También grafique la distribución de presión a lo largo del eje de la tubería para cada caso. Estime la posición del extremo de la región de la entrada como el lugar donde la presión comienza a disminuir linealmente con x. Compare sus resultados con los obtenidos de los perfiles de velocidad, y también con la teoría, Le/D  0.06Re. Explíquelo.

D V x=0

x=L

FIGURA P15-48

15-49 Utilice la aplicación Pipe_turbulent_developing de FlowLab. En este ejercicio se estudia flujo turbulento en la región de entrada de una tubería redonda (Fig. P15-48). Calcule el flujo a varios valores de número de Reynolds. Para cada caso, estudie los perfiles de velocidad en varios lugares a lo largo de la tubería y estime la longitud de entrada en cada caso. También grafique la distribución de presión a lo largo del eje de la tubería para cada caso. Estime la posición del extremo de la región de entrada como el lugar donde la presión comienza a disminuir linealmente con x. Compare sus resultados con los obtenidos de perfiles de velocidad, y también con la aproximación empírica, Le/D  4.4Re1/6. Compare sus resultados con los del flujo laminar del problema 15-48. Explique el resultado de comparación. ¿Qué régimen de flujo, laminar o turbulento, tiene la longitud de entrada más larga? ¿Por qué? 15-50 Considere flujo laminar totalmente desarrollado por una tubería (Fig. P15-50). En este ejercicio no se tiene interés en los efectos de entrada. En cambio, se quiere analizar el flujo totalmente desarrollado corriente abajo de la región de entrada. Debido a la axisimetría, el dominio computacional consiste en una sección (región gris claro). Se establece que el perfil de velocidad en la frontera de entrada es el mismo que el de la frontera de salida, pero se impone una caída de presión de x  0 a L para simular flujo totalmente desarrollado. Utilice la aplicación Pipe_laminar_developed de FlowLab. La

aplicación está diseñada de tal modo que el perfil de velocidad de salida introduce el de la entrada. En otras palabras, la entrada y la salida son condiciones de frontera periódicas, pero con caída de presión impuesta. Corra varios casos correspondientes a varios valores del número de Reynolds. Para cada caso examine los perfiles de velocidad para confirmar que el flujo está totalmente desarrollado. Calcule y grafique el factor de fricción de Darcy f como función de Re, y compare con el valor teórico para flujo laminar, f  64/Re. Analice la concordancia entre la DFC y la teoría. D

Entrada

x=0

Salida

x=L

FIGURA P15-50 15-51 Repita el problema 15-50, excepto que esta vez para flujo turbulento totalmente desarrollado en una tubería lisa. Utilice la aplicación Pipe_turbulent_developed de FlowLab. Calcule y grafique el factor de fricción de Darcy f como una función de Re. Compare f con el valor predicho en el capítulo 8 para flujo turbulento totalmente desarrollado en una tubería lisa. Explíquelo. 15-52 Utilice la aplicación Plate_turbulence_models de FlowLab. En este ejercicio, se examina el efecto del modelo de turbulencia en el cálculo del coeficiente de arrastre de una placa plana (Fig. P15-52). Corra cada uno de los modelos de turbulencia disponibles. Para cada caso, registre CD. ¿Hay mucha variación en los valores calculados de CD? ¿Cuál modelo de turbulencia produce el valor más correcto del coeficiente de arrastre? Explíquelo. Simetría V Entrada de velocidad

Salida de descarga

x=0 Simetría

x=L Pared

FIGURA P15-52 15-53 Considere el flujo laminar sobre una placa plana, lisa, caliente (Fig. P15-53). Utilice la aplicación Plate_laminar _temperature de FlowLab. La velocidad de entrada se ajusta de tal modo que el número de Reynolds para los casos del aire y el agua sean casi iguales. En el extremo de la placa, compare el espesor de la capa límite térmica que corresponde al valor de 99 por ciento de la temperatura del flujo libre con el espesor de capa límite hidrodinámica que corresponde al valor de 99 por ciento de la velocidad de flujo libre. Explique sus resultados. (Sugerencia: ¿Cuál es el número de Prandtl del aire y del agua?)

916 INTRODUCCIÓN A LA DINÁMICA Simetría V, T Entrada de velocidad

Salida de descarga

Tpared

x=0 Simetría

x=L Pared

FIGURA P15-53

15-54 Repita el problema 15-53, excepto que esta vez para flujo turbulento sobre una placa plana, lisa, caliente. Utilice la aplicación Plate_turbulent_temperature (Fig. p15-53). Explique las diferencias entre los cálculos laminar y turbulento. En particular, ¿qué régimen (laminar o turbulento) produce la variación más grande entre el espesor de capa límite térmica de 99 por ciento del valor de la temperatura del flujo libre y el espesor de capa límite hidrodinámica de 99 por ciento del valor de la velocidad del flujo libre? Explíquelo. 15-55 Considere flujo turbulento de agua por un codo embridado liso de 90° en una tubería redonda (Fig. P1555). Debido a la simetría, sólo se modela la mitad de la tubería; el plano central se especifica como una condición de frontera de “simetría”. Las paredes de la tubería son lisas. La velocidad de entrada y el diámetro de la tubería se eligen de modo que produzcan un número de Reynolds de 20 000. Para el caso (predeterminado), se emplea el modelo de turbulencia k-e estándar. Utilice la aplicación Elbow de FlowLab. Éste es un cálculo tridimensional, así que se esperan tiempos de cálculo considerablemente más largos. La presión promedio se calcula en varias secciones transversales de la tubería: corriente arriba del codo, en el codo y corriente abajo del codo (secciones A-A, B-B, etc., en la figura P15-55). Grafique la presión promedio como una función de la distancia axial a lo largo de la tubería. Dónde ocurre la mayor parte de la caída de presión, ¿en la sección de la tubería corriente arriba del codo, en el codo, inmediatamente corriente abajo del codo o en la sección de la tubería corriente abajo del codo? Explíquelo.

tudian vectores de velocidad en los planos de varias secciones transversales a lo largo de la tubería. Compare los vectores de velocidad en una sección corriente arriba del codo, en una sección en el codo y en varias secciones corriente abajo del codo. ¿En qué lugares observa remolinos contrarrotatorios? ¿Cómo cambia su fuerza con la distancia corriente abajo? Explíquelo. Explique por qué muchos fabricantes de medidores de flujo para tuberías recomiendan que su medidor se instale por lo menos a 10 o 20 diámetros de tubería corriente abajo de un codo. 15-57 Utilice la aplicación Elbow de FlowLab de nuevo con el modelo de turbulencia estándar k-e. En este ejercicio se calcula el coeficiente de pérdidas menores KL para el codo del problema 15-55. Para esta finalidad, se compara la caída de presión calculada en la tubería con el codo con la caída en una tubería recta de la misma longitud total, y en condiciones idénticas de entrada y salida. Calcule la caída de presión desde la entrada hasta la salida para ambas configuraciones geométricas. Para calcular KL para el codo, reste P de la tubería recta de P para la tubería con el codo. La diferencia representa la caída de presión debida al codo solamente. De esta caída de presión y la velocidad promedio por la tubería, calcule el coeficiente de pérdidas menores KL y compare con el valor dado en el capítulo 8 para un codo liso de 90° embridado. 15-58 En este ejercicio se examina el efecto del modelo de turbulencia en el cálculo del coeficiente de pérdidas menores en un codo de tubería (Fig. P15-55). Con la ayuda de aplicación Elbow de FlowLab repita el problema 15-57, pero con varios modelos de turbulencia. Para cada caso, calcule KL. ¿Hay mucha variación en los valores calculados de KL? ¿Cuál modelo de turbulencia produce el valor más correcto, comparado con el resultado empírico del capítulo 8? El modelo de Spallart-Allmaras es el más simple, mientras que el modelo de esfuerzo de Reynolds es el más complicado de los cuatro. Los resultados calculados ¿mejoran la complejidad del modelo de turbulencia? Explíquelo. 15-59 En este ejercicio se examina el efecto de la resolución de malla sobre el cálculo de la pérdida de sustentación del perfil aerodinámico (separación de flujo) en caso del perfil aerodinámico del (Fig. p15-59) a a  15° y Re  1 107. Utilice la aplicación Airfoil_mesh de FlowLab. Obtenga la solución para varios niveles de resolución de malla. Para cada caso calcule CL y CD. ¿Cómo afecta la resolución de malla al ángulo de pérdida de sustentación? ¿Se ha logrado la independencia de malla?

D B-B r, m

FL C-C

D-D

A-A

E-E

F-F

V

Salida de presión

Lc Entrada de velocidad

FD

Sección A-A: a

FIGURA P15-55 FIGURA P15-59 15-56 Utilice la aplicación Elbow de FlowLab de nuevo con el modelo de turbulencia k-e. En este ejercicio se es-

15-60 Considere el flujo de Stokes producido por el cuerpo de un microorganismo que nada en agua y que se representa aquí

917 CAPÍTULO 15

como un elipsoide simple de 2 1 (Fig. P15-60, no está dibujada a escala). Las condiciones de frontera aplicadas se muestran para cada lado entre paréntesis. El flujo es laminar y los valores por omisión de V y L se eligen de modo que el número de Reynolds Re  rVL/m sea igual a 0.20. Utilice la aplicación Creep_domain de FlowLab. Varíe el radio del dominio computacional de R/L  3 a 2 000. Para cada caso, calcule el coeficiente de arrastre CD del cuerpo. ¿Qué largo del dominio computacional se necesita para estabilizar el coeficiente de arrastre (para que las condiciones de campo lejano ya no tengan influencia importante en la solución)? Explíquelo. Para el caso del dominio computacional más grande (R/L  2 000), grafique los vectores de velocidad junto con una línea vertical coincidente con el eje y. Compare el perfil de velocidad que se esperaría a números de Reynolds altos. Explíquelo.

Flujo de entrada de campo lejano (Velocidad de entrada) V

Flujo de salida de campo lejano (salida)

Dominio computacional Superficie del cuerpo (pared)

15-62 Elija una de las mallas generadas en el problema 15-61 y obtenga una solución de la DFC para flujo laminar de aire con una entrada de velocidad uniforme de 0.02 m/s. Establezca la presión de salida en ambas salidas al mismo valor y calcule la caída de presión en la “Y”. También calcule el porcentaje de flujo de entrada que va a cada rama. Genere una gráfica de líneas de corriente. 15-63 Repita el problema 15-62, excepto que esta vez para flujo turbulento de aire con una velocidad de entrada uniforme de 10.0 m/s. Además, establezca la intensidad de turbulencia en la entrada a 10 por ciento con una longitud característica turbulenta de 0.5 m. Use el modelo de turbulencia k-e con funciones de pared. Establezca la presión de salida en ambas salidas al mismo valor y calcule la caída de presión en la “Y”. Asimismo, calcule el porcentaje del flujo de entrada que sale de cada rama. Genere la gráfica de líneas de corriente. Compare los resultados con los de flujo laminar (problema 15-62). 15-64 Genere un dominio computacional para estudiar la capa límite laminar en una placa plana a Re  10 000. Genere una malla de celdas muy amplias y luego, de manera continua, haga la malla más fina hasta que la solución se vuelva independiente de la malla. Explíquelo.

y

Eje

tacional: a) malla de bloques múltiples estructurada, b) malla triangular no estructurada y c) malla de celdas cuadriláteras no estructurada. Compare el número de celdas en cada caso y comente la calidad de la malla en cada caso también.

x

(eje)

R L

FIGURA P15-60

Problemas generales de la DFC* 15-61 Considere la y griega bidimensional de la figura P1561. Las dimensiones están en metros y el dibujo no está a escala. El flujo incompresible entra desde la izquierda y se divide en dos partes. Genere tres mallas de celdas amplias, con distribuciones de nodo idénticas en todos los lados del dominio compu-

15-65 Repita el problema 15-64, excepto para una capa límite turbulenta a Re  106. Explíquelo. 15-66 Genere un dominio computacional para estudiar la ventilación en una habitación (Fig. P15-66). En particular, genere una habitación rectangular con una entrada de velocidad en el techo para modelar el aire de suministro y una salida de presión en el techo para modelar el aire de retorno. Para simplificar puede hacerse una aproximación bidimensional (la habitación es infinitamente larga en la dirección normal a la página en la figura P15-66). Use una malla rectangular estructurada. Grafique líneas de corriente y vectores velocidad. Explíquelo.

Suministro de aire

(4.5, 3.5)

Retorno de aire

(5, 3) (0, 1)

(2, 1)

(5, 0.5) (2.5, 0.5)

(0, 0)

(5, 0)

FIGURA P15-66

FIGURA P15-61 15-67 Repita el problema 15-66, excepto que ahora utilice una malla triangular no estructurada. Conserve todo lo demás igual. ¿Obtiene los mismos resultados que en el problema 1566? Compare y explique. * Estos problemas requieren software de DFC, aunque no de una marca en particular. A diferencia de los problemas de FlowLab de la sección anterior, estos problemas no tienen plantillas preelaboradas. Sin embargo, se sugiere al lector hacer estos problemas “desde cero”.

15-68 Repita el problema 15-66, excepto que ahora mueva las aberturas de suministro y retorno a varios lugares del techo. Compare y explique.

918 INTRODUCCIÓN A LA DINÁMICA

15-69 Elija una de las configuraciones geométricas de habitación de los problemas 15-66 y 15-68, y añada la ecuación de la energía a los cálculos. En especial, modele una habitación con acondicionamiento de aire. Especifique el aire de suministro como frío (T  18°C), mientras que las paredes, piso y techo están calientes (T  26°C). Ajuste la velocidad del aire de suministro hasta que la temperatura promedio en la habitación sea lo más cercana posible a 22°C. ¿Cuánta ventilación (en términos de la cantidad de cambios de volumen de aire por hora) se necesita para enfriar esta habitación hasta una temperatura promedio de 22°C? Explíquelo.

pequeño de CD que puede lograrse? (Nota: Para diversión, este problema puede convertirse en una competencia entre los lectores. ¿Quién puede generar la forma de cuerpo con menor arrastre?)

15-70 Repita el problema 15-69, excepto que ahora cree una habitación tridimensional, con suministro de aire y retorno de aire en el techo. Compare los resultados bidimensionales del problema 15-69 con los resultados tridimensionales más reales de este problema. Explíquelo.

15-76 Genere un dominio computacional para estudiar ondas de Mach en un canal supersónico bidimensional (Fig. P15-76). Específicamente, el dominio debe consistir en un canal rectangular simple con entrada supersónica (Ma  2.0), y con un tope muy pequeño en la pared inferior. Considere el aire como el flujo no viscoso y genere una onda de Mach, como se bosqueja. Mida el ángulo de Mach y compare con la teoría (Cap. 12). También explique qué sucede cuando la onda de Mach choca con la pared opuesta. ¿Desaparece o se refleja?, y si es así, ¿cuál es el ángulo de reflexión? Explíquelo.

15-71 Genere un dominio computacional para estudiar el flujo compresible de aire por una tobera convergente con presión atmosférica en la salida de la tobera (Fig. P15-71). Las paredes de la tobera pueden aproximarse como no viscosas (esfuerzo de corte cero). Corra varios casos con distintos valores de presión de entrada. ¿Qué presión de entrada se necesita para generar una onda de choque en el flujo? ¿Qué sucede si la presión de entrada es mayor que este valor? Explíquelo.

15-74 Repita el problema 15-73, pero ahora para un cuerpo axisimétrico. Compare con el caso bidimensional. ¿Cuál tiene el menor coeficiente de arrastre? Explíquelo. 15-75 Repita el problema 15-74, pero para flujo turbulento. Compare con el caso laminar. ¿Cuál tiene el menor coeficiente de arrastre? Explíquelo.

Ma ? Protuberancia

Entrada de presión

Salida de presión

15-77 Repita el problema 15-76, pero ahora para varios valores del número de Mach, que van de 1.10 a 3.0. Grafique el ángulo de Mach calculado como una función del número de Mach y compare con el ángulo de Mach teórico (Cap. 12). Explíquelo.

FIGURA P15-71

15-72 Repita el problema 15-71, excepto que ahora elimine la aproximación de flujo no viscoso. En cambio, permita que el flujo sea turbulento, con paredes lisas sin deslizamiento. Compare sus resultados con los del problema 15-71. ¿Cuál es el efecto principal de la fricción en este problema? 15-73 Genere un dominio computacional para estudiar el flujo laminar incompresible sobre un cuerpo currentilíneo bidimensional (Fig. P15-73). Genere varias formas de cuerpo y calcule el coeficiente de arrastre para cada forma. ¿Cuál es el valor más

V Cuerpo FD

FIGURA P15-73

FIGURA P15-76

Problemas de repaso 15-78C Para cada enunciado, elija si es verdadero o falso y explique su respuesta de manera breve. a) La validez física de una solución de la DFC mejora siempre a medida que se hace más fina la malla. b) La componente x de la ecuación de Navier-Stokes es un ejemplo de una ecuación de transporte. c) Para el mismo número de nodos en una malla bidimensional, una malla estructurada tiene por lo general menos celdas que una malla triangular no estructurada. d) Una solución de la DFC para flujo turbulento promediado en el tiempo es sólo tan buena como el modelo de turbulencia empleado en los cálculos. 15-79C En el problema 15-19 se aprovecha la simetría superior e inferior cuando se construye el dominio computacional y la malla. ¿Por qué no puede aprovecharse la simetría derechaizquierda en este ejercicio? Repita la explicación para el caso de flujo potencial.

919 CAPÍTULO 15

15-80C Gerry crea el dominio computacional que se bosqueja en la figura P15-80C para simular flujo por una contracción repentina en un ducto bidimensional. Está interesado en la caída de presión promediada en el tiempo (coeficiente de pérdidas menores) a causa de la contracción repentina. Gerry genera una malla y calcula el flujo con un paquete de la DFC. Se supone flujo incompresible, turbulento, estacionario (con un modelo de turbulencia). a) Describa una manera en la que Gerry podría mejorar su dominio computacional y la malla de modo que tendría los mismos resultados en casi la mitad del tiempo ocupado para los cálculos por la computadora. b) Podría haber una falla fundamental en cómo Gerry ha establecido su dominio computacional. ¿Cuál es ésta? Explique qué debe ser diferente acerca del planteamiento de Gerry.

Entrada

Salida

FIGURA P15-80C

15-81C Considere los modernos sistemas de computadoras con gran memoria y alta velocidad. ¿Qué característica de esta clase de computadoras es muy favorable para solucionar problemas de la DFC con una malla de bloques múltiples con casi la misma cantidad de celdas en cada uno de los bloques? Explíquelo. 15-82C ¿Cuál es la diferencia entre formación de mallas múltiples y formación de bloques múltiples? Describa cómo cada uno puede usarse para acelerar un cálculo de la DFC. ¿Es posible aplicar juntos ambos? 15-83C Suponga que tiene una configuración geométrica bastante compleja y un paquete de la DFC que puede manejar mallas no estructuradas con celdas triangulares. Su paquete de generación de malla puede crear una malla estructurada muy rápido. Dé algunas razones de por qué podría ser más aconsejable tomar el tiempo para crear en cambio una malla estructurada de bloques múltiples. En otras palabras, ¿vale la pena el esfuerzo? Explíquelo. 15-84 Genere un dominio computacional y una malla, y calcule el flujo a través del intercambiador de calor de una sola etapa del problema 15-22 con el elemento de calefacción colocado a un ángulo de ataque de 45° con respecto a la horizontal. Ajuste la temperatura de entrada del aire a 20° C, y la temperatura de pared de los elementos de calefacción a 120° C. Calcule la temperatura promedio del aire a la salida. 15-85 Repita los cálculos del problema 15-84 para varios ángulos de ataque de los elementos de calentamiento, desde 0 (horizontal) hasta 90° (vertical). Use condiciones de entrada y condiciones de pared sólida idénticas para cada caso. ¿Cuál ángulo de ataque provee la mayor transferencia de calor al aire? En particular, ¿qué ángulo de ataque produce la temperatura de salida promedio más alta?

15-86 Genere un dominio computacional y una malla, y calcule el flujo en el intercambiador de calor de dos etapas del problema 15-25, con los elementos de calentamiento de la primera etapa fijos a un ángulo de ataque de 45° respecto a la horizontal, y los de la segunda fijos a un ángulo de ataque de 45°. Establezca la temperatura del aire de entrada en 20°C y la temperatura de superficie de los elementos de calentamiento en 120°C. Calcule la temperatura promedio del aire en la salida. 15-87 Repita los cálculos del problema 15-86 para varios ángulos de ataque de los elementos de calentamiento, de 0 (horizontal) hasta 90° (vertical). Use condiciones de entrada y condiciones de pared sólida idénticas para cada caso. Note que la segunda etapa de los elementos de calentamiento debe establecerse siempre a un ángulo de ataque que es el negativo del de la primera etapa. ¿Qué ángulo de ataque proporciona mayor transferencia de calor al aire? Específicamente, ¿cuál ángulo de ataque produce la temperatura de salida promedio más alta? ¿Es éste el mismo ángulo que se calculó para el intercambiador de calor de una sola etapa del problema 15-85? Explíquelo. 15-88 Genere un dominio computacional y una malla, y calcule el flujo turbulento estacionario sobre un cilindro circular giratorio (Fig. P15-88). ¿En qué dirección actúa la fuerza lateral sobre el cuerpo, arriba o abajo? Explíquelo. Grafique las líneas de corriente en el flujo. ¿Dónde está el punto de estancamiento corriente arriba?

v V

D

FIGURA P15-88 15-89 Para el cilindro giratorio de la figura P15-88, genere un parámetro adimensional para la velocidad rotacional en relación con la velocidad de flujo libre (combine las variables v, D y V en un grupo Pi adimensional). Repita los cálculos del problema 15-88 para varios valores de velocidad angular v. Use condiciones de entrada idénticas para cada caso. Grafique los coeficientes de sustentación y arrastre como funciones del parámetro adimensional introducido. Explíquelo. 15-90 Cuando usted necesita comparar flujo con y sin algún tipo de bloqueo, se usa a menudo un “truco” normal en CFD. El bloqueo se introduce en la malla como un bloque separado o zona separada del resto del flujo. Luego se define esa zona ya sea como sólida o como fluida. Cuando es un sólido, hay bloqueo, y cuando es un fluido, no hay bloqueo. Esta técnica se usa, por ejemplo, para modelar válvulas abiertas contra cerradas, protuberancias en superficies, etc. La ventaja es que, en vez de dos mallas separadas, se tiene que generar sólo una, y las comparaciones son más nítidas, ya que no hay cuestiones relacionadas con diferencias en las mallas entre los dos casos. En este problema, se emplea esta técnica para predecir el coeficiente de pérdida menor debido a una protuberancia tridimensional en un tubo (simulando el cierre parcial de una válvula de compuerta). Fluye agua (r  998.2 kg/m3 y m 

920 INTRODUCCIÓN A LA DINÁMICA

1.003 103 kg/m · s) por un tubo de 0.01 m de diámetro y 0.10 m de longitud. El flujo es uniforme y laminar. Ejecute FlowLab con la plantilla Pipe_3d_bump_zone con Re  100, definiendo la zona de protuberancia como fluido, y luego como sólido. Para cada caso, registre y compare la cuenta de celdas, la caída de presión y el tiempo de CPU necesario. a) ¿La cuenta de celdas es la misma? Explique. b) ¿Qué caso consume más tiempo de CPU? Comente. c) Reste P para el caso sin la protuberancia de P para el caso con la protuberancia. La diferencia es la caída de presión debida exclusivamente al efecto de la protuberancia. Calcule el coeficiente de pérdida menor KL y comente. 15-91 Como seguimiento al problema 15-90, compare en dos casos: la protuberancia como zona sólida como se describe, y la protuberancia separada de la pared (no hay celdas ahí: todo es una sola zona). Ejecute FlowLab con la plantilla Pipe_3d_bump con Re  100 y con la protuberancia puesta en “on”; registre y compare la cuenta de celdas, la caída de presión y el tiempo necesario de CPU. Repita con la plantilla Pipe_3d_ bump_zone al mismo número de Reynolds y con la zona de protuberancia definida como un sólido. a) ¿La cuenta de celdas es la misma? Explique. b) ¿Cuál caso consume más tiempo de CPU? Comente. c) Compare P para los dos casos y comente. 15-92 Considere el flujo de aire en una ranura bidimensional a lo largo del piso de una habitación grande, donde el piso coincide con el eje x (Fig. P15-92). Genere un dominio computacional apropiado y una malla. Con la aproximación de flujo no viscoso, calcule la componente vertical de la velocidad v co-

mo una función de la distancia de la ranura a lo largo del eje y. Compare con los resultados de flujo potencial del capítulo 10 para flujo de un sumidero lineal. Explíquelo. 15-93 Para el flujo de ranura del problema 15-92, cambie a flujo laminar en vez de flujo no viscoso, y vuelva a calcular el campo de flujo. Compare sus resultados con los del caso de flujo no viscoso y con el caso de flujo potencial del capítulo 10. Grafique los contornos de vorticidad. ¿Dónde es apropiada la aproximación de flujo irrotacional? Explíquelo. 15-94 Genere un domino computacional y una malla, y calcule el flujo de aire hacia una entrada bidimensional de una aspiradora (Fig. P15-94), con la aproximación de flujo no viscoso. Compare sus resutados con los predichos en el capítulo 10 para flujo potencial. Explíquelo.

⋅

V y Boquilla de aspiración

w

b b

b x

Velocidad máxima, flujo potencial

Punto de estancamiento

FIGURA P15-94

y Habitación

Piso

FIGURA P15-92

⋅ V

x

15-95 Para la aspiradora del problema 15-94, cambie a flujo laminar en lugar de flujo no viscoso y calcule de nuevo el campo de flujo. Compare sus resultados con los del caso de flujo no viscoso y con los del caso de flujo potencial del capítulo 10. Explíquelo.

APÉNDICE

TA B L A S Y G R Á F I C A S DE PROPIEDADES (UNIDADES SI)*

1

TABLA A-1

Masa molar, constante de gas y calores específicos de gas ideal de algunas sustancias 922 TABLA A-2 Propiedades de puntos de ebullición y de congelación 923 TABLA A-3 Propiedades del agua saturada 924 TABLA A-4 Propiedades del refrigerante-134a saturado 925 TABLA A-5 Propiedades del amoniaco saturado 926 TABLA A-6 Propiedades del propano saturado 927 TABLA A-7 Propiedades de líquidos 928 TABLA A-8 Propiedades de metales líquidos 929 TABLA A-9 Propiedades del aire a 1 atm de presión 930 TABLA A-10 Propiedades de gases a 1 atm de presión 931 TABLA A-11 Propiedades de la atmósfera a gran altitud 933 FIGURA A-12 Diagrama de Moody para el factor fricción para flujo totalmente desarrollado en tuberías circulares 934 TABLA A-13 Funciones de flujo compresible isentrópico unidimensional para un gas ideal con k  1.4 935 TABLA A-14 Funciones de onda de choque normal unidimensional para un gas ideal con k  1.4 936 TABLA A-15 Funciones de flujo de Rayleigh para un gas ideal con k  1.4 937 TABLA A-16 Funciones de flujo de Fanno para un gas ideal con k  1.4 938

* La mayoría de las propiedades en las tablas se obtuvieron a partir de la base de datos de propiedades del EES, y las fuentes originales se mencionan debajo de las tablas. Con frecuencia, las propiedades se citan a más cifras significativas que la precisión proclamada con el propósito de minimizar el error de redondeo acumulado en los cálculos a mano y para asegurar una correspondencia cercana con los resultados obtenidos con el EES.

921

922 TABLAS Y GRÁFICAS

TABLA A-1 Masa molar, constante de gas y calores específicos de gas ideal de algunas sustancias

Sustancia Aire Amoniaco, NH3 Argón, Ar Bromo, Br2 n-Butano, C4H10

Masa molar M, kg/kmol

Datos de calores específicos a 25°C

cp, kJ/kg · K

cv, kJ/kg · K

k  cp /cv

0.2870 0.4882 0.2081 0.05202 0.1430

1.005 2.093 0.5203 0.2253 1.694

0.7180 1.605 0.3122 0.1732 1.551

1.400 1.304 1.667 1.300 1.092

70.905 86.47 64.06 44.01 46.006

0.1173 0.09615 0.1298 0.1889 0.1889

0.4781 0.6496 0.6228 0.8439 0.8060

0.3608 0.5535 0.4930 0.6550 0.6171

1.325 1.174 1.263 1.288 1.306

Etano, C2H6 Etileno, C2H4 Flúor, F2 Helio, He n-Heptano, C7H16

30.070 28.054 38.00 4.003 100.20

0.2765 0.2964 0.2187 2.077 0.08297

1.744 1.527 0.8237 5.193 1.649

1.468 1.231 0.6050 3.116 1.566

1.188 1.241 1.362 1.667 1.053

n-Hexano, C6H14 Hidrógeno, H2 Isobutano, C4H10 Kriptón, Kr Metano, CH4

86.18 2.016 58.12 83.80 16.04

0.09647 4.124 0.1430 0.09921 0.5182

1.654 14.30 1.663 0.2480 2.226

1.558 10.18 1.520 0.1488 1.708

1.062 1.405 1.094 1.667 1.303

Monóxido de carbono, CO Neón, Ne Nitrógeno, N2 Óxido nítrico, NO Oxígeno, O2

28.01 20.183 28.01 30.006 32.00

0.2968 0.4119 0.2968 0.2771 0.2598

1.039 1.030 1.040 0.9992 0.9180

0.7417 0.6180 0.7429 0.7221 0.6582

1.400 1.667 1.400 1.384 1.395

Cloro, Cl2 Clorodifluorometano (R-22), CHClF2 Dióxido de azufre, SO2 Dióxido de carbono, CO2 Dióxido de nitrógeno, NO2

28.97 17.03 39.95 159.81 58.12

Constante de gas R, kJ/kg · K*

n-Pentano, C5H12 Propano, C3H8 Propileno, C3H6 Tetraclorometano, CCl4 Tetrafluoroetano (R-134a), C2H2F4

72.15 44.097 42.08 153.82 102.03

0.1152 0.1885 0.1976 0.05405 0.08149

1.664 1.669 1.531 0.5415 0.8334

1.549 1.480 1.333 0.4875 0.7519

1.074 1.127 1.148 1.111 1.108

Trifluoroetano (R-143a), C2H3F3 Vapor de agua, H2O Xenón, Xe

84.04 18.015 131.30

0.09893 0.4615 0.06332

0.9291 1.865 0.1583

0.8302 1.403 0.09499

1.119 1.329 1.667

* La unidad kJ/kg · K es equivalente a kPa · m3/kg · K. La constante de gas se calcula a partir de R  Ru /M, donde Ru  8.31447 kJ/kmol · K es la constante universal de gas y M es la masa molar.

Fuente: Los valores de calores específicos se obtienen principalmente a partir de los procedimientos para propiedades preparados por The National Institute of Standards and Technology (NIST), Gaithersburg, MD.

923 APÉNDICE 1

TABLA A-2 Propiedades de puntos de ebullición y de congelación Datos de ebullición a 1 atm

Sustancia

Datos de congelación

Punto de Calor latente Calor latente ebullición de vaporización Punto de de fusión normal, °C hfg , kJ/kg congelación, °C hif , kJ/kg

Aceite (ligero) Agua

100

2257

0.0

333.7

Alcohol etílico Amoniaco

78.6 33.3

855 1357

156 77.7

108 322.4

189.3 5.5 138.5 56.6

Propiedades de líquido Temperatura, °C 25 0 25 50 75

Densidad r, kg/m3

Calor específico cp, kJ/kg · K

910 1000 997 988 975

1.80 4.22 4.18 4.18 4.19

100 20 33.3 20 0

958 789 682 665 639

4.22 2.84 4.43 4.52 4.60

28 126 80.3

25 185.6 20 0.5 0

602 1394 879 601 298

4.80 1.14 1.72 2.31 0.59

Argón Benceno n-Butano Dióxido de carbono

185.9 80.2 0.5 78.4*

Etanol Etilenglicol Glicerina Helio Hidrógeno

78.2 198.1 179.9 268.9 252.8

838.3 800.1 974 22.8 445.7

114.2 10.8 18.9 — 259.2

109 181.1 200.6 — 59.5

25 20 20 268.9 252.8

783 1109 1261 146.2 70.7

Isobutano Mercurio Metano

11.7 356.7 161.5

367.1 294.7 510.4

160 38.9 182.2

105.7 11.4 58.4

97.7

99.2

11.7 25 161.5 100 25

593.8 13 560 423 301 787

195.8 160 20 183 20

809 596 703 1141 640

2.06 2.97 2.10 1.71 2.0

42.1 0 50 20 50

581 529 449 820 1443

2.25 2.53 3.13 2.00 1.23

26.1 0 25

1374 1295 1207

1.27 1.34 1.43

20

1150

3.11

Metanol

64.5

Nitrógeno

195.8

Octano Oxígeno Petróleo

124.8 183 —

Propano

42.1

204–293 26.1

Queroseno Refrigerante-134a

Salmuera (20 por ciento cloruro de sodio, porcentaje másico) 103.9

161.6 394 385.2 230.5 (a 0°C)

1100 198.6

210

25.3

57.5 218.8

180.7 13.7

427.8

187.7

80.0

251 216.8

24.9 96.6

306.3 212.7 230–384

—

17.4

— —

—

2.46 2.84 2.32 22.8 10.0 2.28 0.139 3.49 5.79 2.55

* Temperatura de sublimación (a presiones por abajo de la presión del punto triple de 518 kPa, el dióxido de carbono existe en fase sólida o como gas. Además, la temperatura del punto de congelación del dióxido de carbono es la temperatura del punto triple de 56.5°C).

924 TABLAS Y GRÁFICAS

TABLA A-3 Propiedades del agua saturada

Temp. T, °C

Presión de Saturación Psat, kPa

Densidad r, kg/m3 Líquido

Vapor

Entalpía Calor de específico Vaporicp, J/kg · K zación hfg, kJ/kg Líquido Vapor

Conductividad térmica k, W/m · K

Número de Prandtl Pr

Viscosidad dinámica m, kg/m · s Líquido

Vapor

Coeficiente de expansión volumétrica b, 1/K Líquido

Tensión superficial, N/m

Líquido

Vapor

Líquido

Vapor

0.01 5 10 15 20

0.6113 0.8721 1.2276 1.7051 2.339

999.8 999.9 999.7 999.1 998.0

0.0048 0.0068 0.0094 0.0128 0.0173

2501 2490 2478 2466 2454

4217 4205 4194 4186 4182

1854 1857 1862 1863 1867

0.561 0.571 0.580 0.589 0.598

0.0171 0.0173 0.0176 0.0179 0.0182

1.792 1.519 1.307 1.138 1.002



103 103 103 103 103

0.922 0.934 0.946 0.959 0.973



105 105 105 105 105

13.5 11.2 9.45 8.09 7.01

1.00 0.068 103 1.00 0.015 103 1.00 0.733 103 1.00 0.138 103 1.00 0.195 103

0.0756 0.0749 0.0742 0.0735 0.0727

25 30 35 40 45

3.169 4.246 5.628 7.384 9.593

997.0 996.0 994.0 992.1 990.1

0.0231 0.0304 0.0397 0.0512 0.0655

2442 2431 2419 2407 2395

4180 4178 4178 4179 4180

1870 1875 1880 1885 1892

0.607 0.615 0.623 0.631 0.637

0.0186 0.0189 0.0192 0.0196 0.0200

0.891 0.798 0.720 0.653 0.596



103 103 103 103 103

0.987 1.001 1.016 1.031 1.046



105 105 105 105 105

6.14 5.42 4.83 4.32 3.91

1.00 1.00 1.00 1.00 1.00

0.247 0.294 0.337 0.377 0.415



103 103 103 103 103

0.0720 0.0712 0.0704 0.0696 0.0688

50 55 60 65 70

12.35 15.76 19.94 25.03 31.19

988.1 985.2 983.3 980.4 977.5

0.0831 0.1045 0.1304 0.1614 0.1983

2383 2371 2359 2346 2334

4181 4183 4185 4187 4190

1900 1908 1916 1926 1936

0.644 0.649 0.654 0.659 0.663

0.0204 0.0208 0.0212 0.0216 0.0221

0.547 0.504 0.467 0.433 0.404



103 103 103 103 103

1.062 1.077 1.093 1.110 1.126



105 105 105 105 105

3.55 3.25 2.99 2.75 2.55

1.00 1.00 1.00 1.00 1.00

0.451 0.484 0.517 0.548 0.578



103 103 103 103 103

0.0679 0.0671 0.0662 0.0654 0.0645

75 80 85 90 95

38.58 47.39 57.83 70.14 84.55

974.7 971.8 968.1 965.3 961.5

0.2421 0.2935 0.3536 0.4235 0.5045

2321 2309 2296 2283 2270

4193 4197 4201 4206 4212

1948 1962 1977 1993 2010

0.667 0.670 0.673 0.675 0.677

0.0225 0.0230 0.0235 0.0240 0.0246

0.378 0.355 0.333 0.315 0.297



103 103 103 103 103

1.142 1.159 1.176 1.193 1.210



105 105 105 105 105

2.38 2.22 2.08 1.96 1.85

1.00 1.00 1.00 1.00 1.00

0.607 0.653 0.670 0.702 0.716



103 103 103 103 103

0.0636 0.0627 0.0617 0.0608 0.0599

100 110 120 130 140

101.33 143.27 198.53 270.1 361.3

957.9 950.6 943.4 934.6 921.7

0.5978 0.8263 1.121 1.496 1.965

2257 2230 2203 2174 2145

4217 4229 4244 4263 4286

2029 2071 2120 2177 2244

0.679 0.682 0.683 0.684 0.683

0.0251 0.0262 0.0275 0.0288 0.0301

0.282 0.255 0.232 0.213 0.197



103 103 103 103 103

1.227 1.261 1.296 1.330 1.365



105 105 105 105 105

1.75 1.58 1.44 1.33 1.24

1.00 1.00 1.00 1.01 1.02

0.750 0.798 0.858 0.913 0.970



103 103 103 103 103

0.0589 0.0570 0.0550 0.0529 0.0509

150 160 170 180 190

475.8 617.8 791.7 1,002.1 1,254.4

916.6 907.4 897.7 887.3 876.4

2.546 3.256 4.119 5.153 6.388

2114 2083 2050 2015 1979

4311 4340 4370 4410 4460

2314 2420 2490 2590 2710

0.682 0.680 0.677 0.673 0.669

0.0316 0.0331 0.0347 0.0364 0.0382

0.183 0.170 0.160 0.150 0.142



103 103 103 103 103

1.399 1.434 1.468 1.502 1.537



105 105 105 105 105

1.16 1.09 1.03 0.983 0.947

1.02 1.05 1.05 1.07 1.09

1.025 1.145 1.178 1.210 1.280



103 103 103 103 103

0.0487 0.0466 0.0444 0.0422 0.0399

200 220 240 260 280

1,553.8 2,318 3,344 4,688 6,412

864.3 840.3 813.7 783.7 750.8

7.852 11.60 16.73 23.69 33.15

1941 1859 1767 1663 1544

4500 4610 4760 4970 5280

2840 3110 3520 4070 4835

0.663 0.650 0.632 0.609 0.581

0.0401 0.0442 0.0487 0.0540 0.0605

0.134 0.122 0.111 0.102 0.094



103 103 103 103 103

1.571 1.641 1.712 1.788 1.870



105 105 105 105 105

0.910 0.865 0.836 0.832 0.854

1.11 1.15 1.24 1.35 1.49

1.350 1.520 1.720 2.000 2.380



103 103 103 103 103

0.0377 0.0331 0.0284 0.0237 0.0190

1405 1239 1028 720 0

5750 6540 8240 14,690 —0

5980 7900 11,870 25,800 —0

0.548 0.509 0.469 0.427 0—

0.0695 0.0836 0.110 0.178 0—

0.086 0.078 0.070 0.060 0.043



103 103 103 103 103

1.965 2.084 2.255 2.571 4.313



105 105 105 105 105

0.902 1.00 1.23 2.06

1.69 1.97 2.43 3.73

2.950 103

0.0144 0.0099 0.0056 0.0019 0

300 320 340 360 374.14

8,581 11,274 14,586 18,651 22,090

713.8 667.1 610.5 528.3 317.0

46.15 64.57 92.62 144.0 317.0

Nota 1: La viscosidad cinemática n y la difusividad térmica a se pueden calcular a partir de sus definiciones:, n  m/r y a  k/rcp  n/Pr. Las temperaturas 0.01 °C, 100°C y 374.14°C son las temperaturas del punto triple, de ebullición y crítico del agua, respectivamente. Las propiedades citadas anteriormente (excepto la densidad del vapor) se pueden usar a cualquier presión con error despreciable, excepto a temperaturas cerca del valor de punto crítico. Nota 2: La unidad kJ/kg · °C para calor específico es equivalente a kJ/kg · K, y la unidad W/m · °C para conductividad térmica es equivalente a W/m · K. Fuente: Los datos de viscosidad y conductividad térmica están tomados de J.V. Sengers y J.T.R. Watson, Journal of Physical and Chemical Reference Data 15 (1986), pp. 1291-1322. Otros datos se obtuvieron de diversas fuentes o se calcularon.

925 APÉNDICE 1

TABLA A-4 Propiedades del refrigerante 134a saturado Densidad r, kg/m3

Entalpía de vaporización hfg, kJ/kg

Calor específico cp, J/kg · K

Conductividad térmica k, W/m · K

Coeficiente de expansión volumétrica Tensión b, 1/K superficial, Vapor Líquido N/m

Número de Prandtl Pr

Viscosidad dinámica m, kg/m · s

Temp. T, °C

Presión de saturación P, kPa

Líquido

Vapor

Líquido

Vapor

40 35 30 25 20

51.2 66.2 84.4 106.5 132.8

1418 1403 1389 1374 1359

2.773 3.524 4.429 5.509 6.787

225.9 222.7 219.5 216.3 213.0

1254 1264 1273 1283 1294

748.6 764.1 780.2 797.2 814.9

0.1101 0.1084 0.1066 0.1047 0.1028

0.00811 0.00862 0.00913 0.00963 0.01013

4.878 4.509 4.178 3.882 3.614



104 104 104 104 104

2.550 3.003 3.504 4.054 4.651



106 106 106 106 106

5.558 5.257 4.992 4.757 4.548

0.235 0.266 0.299 0.335 0.374

0.00205 0.00209 0.00215 0.00220 0.00227

0.01760 0.01682 0.01604 0.01527 0.01451

15 10 5 0 5

164.0 200.7 243.5 293.0 349.9

1343 1327 1311 1295 1278

8.288 10.04 12.07 14.42 17.12

209.5 206.0 202.4 198.7 194.8

1306 1318 1330 1344 1358

833.5 853.1 873.8 895.6 918.7

0.1009 0.0989 0.0968 0.0947 0.0925

0.01063 0.01112 0.01161 0.01210 0.01259

3.371 3.150 2.947 2.761 2.589



104 104 104 104 104

5.295 5.982 6.709 7.471 8.264



106 106 106 106 106

4.363 4.198 4.051 3.919 3.802

0.415 0.459 0.505 0.553 0.603

0.00233 0.00241 0.00249 0.00258 0.00269

0.01376 0.01302 0.01229 0.01156 0.01084

10 15 20 25 30

414.9 488.7 572.1 665.8 770.6

1261 1244 1226 1207 1188

20.22 23.75 27.77 32.34 37.53

190.8 186.6 182.3 177.8 173.1

1374 1390 1408 1427 1448

943.2 969.4 997.6 1028 1061

0.0903 0.0880 0.0856 0.0833 0.0808

0.01308 0.01357 0.01406 0.01456 0.01507

2.430 2.281 2.142 2.012 1.888



104 104 104 104 104

9.081 9.915 1.075 1.160 1.244



106 106 105 105 105

3.697 3.604 3.521 3.448 3.383

0.655 0.708 0.763 0.819 0.877

0.00280 0.00293 0.00307 0.00324 0.00342

0.01014 0.00944 0.00876 0.00808 0.00742

35 40 45 50 55

887.5 1017.1 1160.5 1318.6 1492.3

1168 1147 1125 1102 1078

43.41 50.08 57.66 66.27 76.11

168.2 163.0 157.6 151.8 145.7

1471 1498 1529 1566 1608

1098 1138 1184 1237 1298

0.0783 0.0757 0.0731 0.0704 0.0676

0.01558 0.01610 0.01664 0.01720 0.01777

1.772 1.660 1.554 1.453 1.355



104 104 104 104 104

1.327 1.408 1.486 1.562 1.634



105 105 105 105 105

3.328 3.285 3.253 3.231 3.223

0.935 0.995 1.058 1.123 1.193

0.00364 0.00390 0.00420 0.00456 0.00500

0.00677 0.00613 0.00550 0.00489 0.00429

60 65 70 75 80

1682.8 1891.0 2118.2 2365.8 2635.2

1053 1026 996.2 964 928.2

87.38 100.4 115.6 133.6 155.3

139.1 132.1 124.4 115.9 106.4

1659 1722 1801 1907 2056

1372 1462 1577 1731 1948

0.0647 0.0618 0.0587 0.0555 0.0521

0.01838 0.01902 0.01972 0.02048 0.02133

1.260 1.167 1.077 9.891 9.011



104 104 104 105 105

1.704 1.771 1.839 1.908 1.982



105 105 105 105 105

3.229 3.255 3.307 3.400 3.558

1.272 1.362 1.471 1.612 1.810

0.00554 0.00624 0.00716 0.00843 0.01031

0.00372 0.00315 0.00261 0.00209 0.00160

85 90 95 100

2928.2 3246.9 3594.1 3975.1

887.1 837.7 772.5 651.7

95.4 82.2 64.9 33.9

2287 2701 3675 7959

2281 2865 4144 8785

0.0484 0.0444 0.0396 0.0322

0.02233 0.02357 0.02544 0.02989

8.124 7.203 6.190 4.765



105 105 105 105

2.071 2.187 2.370 2.833



105 105 105 105

3.837 4.385 5.746 11.77

2.116 2.658 3.862 8.326

0.01336 0.01911 0.03343 0.10047

0.00114 0.00071 0.00033 0.00004

Líquido

Vapor

182.3 217.8 269.3 376.3

Líquido

Vapor

Líquido

Nota 1: La viscosidad cinemática n y la difusividad térmica a se pueden calcular a partir de sus definiciones: n  m/r y a  k/rcp  n/Pr. Las propiedades citadas aquí (excepto la densidad de vapor) se pueden usar a cualquier presión con error despreciable, excepto a temperaturas cercanas al valor de punto crítico. Nota 2: La unidad kJ/kg · °C para calor específico es equivalente a kJ/kg · K, y la unidad W/m · °C para conductividad térmica es equivalente a W/m · K. Fuente: Datos generados a partir del Software EES desarrollado por S.A. Klein y F.L. Alvarado. Fuentes originales: R. Tillner-Roth and H.D. Baehr, “An International Standard Formulation for the Thermodynamic Properties of 1,1,1,2-Tetrafluoroethane (HFC-134a) for Temperatures from 170 K to 455 K and Pressures up to 70 MPa”, J. Phys. Chem, Ref. Data, Vol. 23, No. 5, 1994; M.J. Assael, N.K. Dalaouti, A.A. Griva, y J.H. Dymond, “Viscosity and Thermal Conductivity of Halogenated Methane and Ethane Refrigerants”, IJR, Vol. 22, pp. 525-535, 1999; NIST REFPROP 6 program (M.O. McLinden, S.A. Klein, E.W. Lemmon, and A.P. Peskin, Physical and Chemical Properties Division, National Institute of Standards and Technology, Boulder, CO 80303, 1995).

926 TABLAS Y GRÁFICAS

TABLA A-5 Propiedades del amoniaco saturado Densidad r, kg/m3

Entalpía de vaporización hfg, kJ/kg

Calor específico cp, J/kg · K

Conductividad térmica k, W/m · K

Coeficiente de expansión volumétrica Tensión b, 1/K superficial, Vapor Líquido N/m

Número de Prandtl Pr

Viscosidad dinámica m, kg/m · s

Presión de saturación P, kPa

Líquido

Líquido

Vapor

40 30 25 20 15

71.66 119.4 151.5 190.1 236.2

690.2 677.8 671.5 665.1 658.6

0.6435 1.037 1.296 1.603 1.966

1389 1360 1345 1329 1313

4414 4465 4489 4514 4538

2242 2322 2369 2420 2476

— — 0.5968 0.5853 0.5737

0.01792 0.01898 0.01957 0.02015 0.02075

2.926 2.630 2.492 2.361 2.236



104 104 104 104 104

7.957 8.311 8.490 8.669 8.851



106 106 106 106 106

— — 1.875 1.821 1.769

0.9955 1.017 1.028 1.041 1.056

0.00176 0.00185 0.00190 0.00194 0.00199

0.03565 0.03341 0.03229 0.03118 0.03007

10 5 0 5 10

290.8 354.9 429.6 516 615.3

652.1 645.4 638.6 631.7 624.6

2.391 2.886 3.458 4.116 4.870

1297 1280 1262 1244 1226

4564 4589 4617 4645 4676

2536 2601 2672 2749 2831

0.5621 0.5505 0.5390 0.5274 0.5158

0.02138 0.02203 0.02270 0.02341 0.02415

2.117 2.003 1.896 1.794 1.697



104 104 104 104 104

9.034 9.218 9.405 9.593 9.784



106 106 106 106 106

1.718 1.670 1.624 1.580 1.539

1.072 1.089 1.107 1.126 1.147

0.00205 0.00210 0.00216 0.00223 0.00230

0.02896 0.02786 0.02676 0.02566 0.02457

15 20 25 30 35

728.8 857.8 1003 1167 1351

617.5 610.2 602.8 595.2 587.4

5.729 6.705 7.809 9.055 10.46

1206 1186 1166 1144 1122

4709 4745 4784 4828 4877

2920 3016 3120 3232 3354

0.5042 0.4927 0.4811 0.4695 0.4579

0.02492 0.02573 0.02658 0.02748 0.02843

1.606 1.519 1.438 1.361 1.288



104 104 104 104 104

9.978 1.017 1.037 1.057 1.078



106 105 105 105 105

1.500 1.463 1.430 1.399 1.372

1.169 1.193 1.218 1.244 1.272

0.00237 0.00245 0.00254 0.00264 0.00275

0.02348 0.02240 0.02132 0.02024 0.01917

40 45 50 55 60

1555 1782 2033 2310 2614

579.4 571.3 562.9 554.2 545.2

12.03 13.8 15.78 18.00 20.48

1099 1075 1051 1025 997.4

4932 4993 5063 5143 5234

3486 3631 3790 3967 4163

0.4464 0.4348 0.4232 0.4116 0.4001

0.02943 0.03049 0.03162 0.03283 0.03412

1.219 1.155 1.094 1.037 9.846



104 104 104 104 105

1.099 1.121 1.143 1.166 1.189



105 105 105 105 105

1.347 1.327 1.310 1.297 1.288

1.303 1.335 1.371 1.409 1.452

0.00287 0.00301 0.00316 0.00334 0.00354

0.01810 0.01704 0.01598 0.01493 0.01389

65 70 75 80 85

2948 3312 3709 4141 4609

536.0 526.3 516.2 505.7 494.5

23.26 26.39 29.90 33.87 38.36

968.9 939.0 907.5 874.1 838.6

5340 5463 5608 5780 5988

4384 4634 4923 5260 5659

0.3885 0.3769 0.3653 0.3538 0.3422

0.03550 0.03700 0.03862 0.04038 0.04232

9.347 8.879 8.440 8.030 7.645



105 105 105 105 105

1.213 1.238 1.264 1.292 1.322



105 105 105 105 105

1.285 1.287 1.296 1.312 1.338

1.499 1.551 1.612 1.683 1.768

0.00377 0.00404 0.00436 0.00474 0.00521

0.01285 0.01181 0.01079 0.00977 0.00876

90 95 100

5116 5665 6257

482.8 470.2 456.6

43.48 49.35 56.15

800.6 759.8 715.5

6242 6561 6972

6142 6740 7503

0.3306 0.3190 0.3075

0.04447 0.04687 0.04958

7.284 105 6.946 105 6.628 105

1.354 105 1.389 105 1.429 105

1.375 1.429 1.503

1.871 1.999 2.163

0.00579 0.00652 0.00749

0.00776 0.00677 0.00579

Temp. T, °C

Vapor

Líquido

Vapor

Líquido

Vapor

Líquido

Nota 1: La viscosidad cinemática n y la difusividad térmica a se pueden calcular a partir de sus definiciones: n  m/r y a  k/rcp  n/Pr. Las propiedades citadas aquí (excepto la densidad de vapor) se pueden usar a cualquier presión con error despreciable, excepto a temperaturas cerca del valor de punto crítico. Nota 2: La unidad kJ/kg · °C para calor específico es equivalente a kJ/kg · K, y la unidad W/m · °C para conductividad térmica es equivalente a W/m · K. Fuente: Datos generados a partir del Software EES desarrollado por S.A. Klein y F.L. Alvarado. Fuentes originales: Tillner-Roth, Harms-Watzenberg, y Baehr, “Eine neue Fundamentalgleichung fur Ammoniak”, DKV-Tagungsbericht 20:167-181, 1993; Liley y Desai, “Thermophysical Properties of Refrigerants”, ASHRAE, 1993, ISBN 1-1883413-10-9.

927 APÉNDICE 1

TABLA A-6 Propiedades del propano saturado

Temp. T, °C 120 110 100 90 80

Densidad r, kg/m3

Presión de saturación P, kPa Líquido 0.4053 1.157 2.881 6.406 12.97

Vapor

Entalpía de vaporización hfg, kJ/kg

Calor específico cp, J/kg · K

Conductividad térmica k, W/m · K

Líquido

Coeficiente de expansión volumétrica Tensión b, 1/K superficial, Vapor Líquido N/m

Número de Prandtl Pr

Viscosidad dinámica m, kg/m · s

Líquido

Vapor

Líquido

Vapor

664.7 654.5 644.2 633.8 623.2

0.01408 0.03776 0.08872 0.1870 0.3602

498.3 489.3 480.4 471.5 462.4

2003 2021 2044 2070 2100

1115 1148 1183 1221 1263

0.1802 0.1738 0.1672 0.1606 0.1539

0.00589 0.00645 0.00705 0.00769 0.00836

6.136 5.054 4.252 3.635 3.149



104 104 104 104 104

4.372 4.625 4.881 5.143 5.409

Vapor

106 106 106 106 106

Líquido 6.820 5.878 5.195 4.686 4.297

0.827 0.822 0.819 0.817 0.817

0.00153 0.00157 0.00161 0.00166 0.00171

0.02630 0.02486 0.02344 0.02202 0.02062

0.6439 1.081 1.724 2.629 3.864

453.1 443.5 433.6 423.1 412.1

2134 2173 2217 2258 2310

1308 1358 1412 1471 1535

0.1472 0.1407 0.1343 0.1281 0.1221

0.00908 0.00985 0.01067 0.01155 0.01250

2.755 2.430 2.158 1.926 1.726



104 104 104 104 104

5.680 5.956 6.239 6.529 6.827



106 106 106 106 106

3.994 3.755 3.563 3.395 3.266

0.818 0.821 0.825 0.831 0.839

0.00177 0.00184 0.00192 0.00201 0.00213

0.01923 0.01785 0.01649 0.01515 0.01382

70 60 50 40 30

24.26 42.46 70.24 110.7 167.3

612.5 601.5 590.3 578.8 567.0

20 10 0 5 10

243.8 344.4 473.3 549.8 635.1

554.7 542.0 528.7 521.8 514.7

5.503 7.635 10.36 11.99 13.81

400.3 387.8 374.2 367.0 359.5

2368 2433 2507 2547 2590

1605 1682 1768 1814 1864

0.1163 0.1107 0.1054 0.1028 0.1002

0.01351 0.01459 0.01576 0.01637 0.01701

1.551 1.397 1.259 1.195 1.135



104 104 104 104 104

7.136 7.457 7.794 7.970 8.151



106 106 106 106 106

3.158 3.069 2.996 2.964 2.935

0.848 0.860 0.875 0.883 0.893

0.00226 0.00242 0.00262 0.00273 0.00286

0.01251 0.01122 0.00996 0.00934 0.00872

15 20 25 30 35

729.8 834.4 949.7 1076 1215

507.5 500.0 492.2 484.2 475.8

15.85 18.13 20.68 23.53 26.72

351.7 343.4 334.8 325.8 316.2

2637 2688 2742 2802 2869

1917 1974 2036 2104 2179

0.0977 0.0952 0.0928 0.0904 0.0881

0.01767 0.01836 0.01908 0.01982 0.02061

1.077 1.022 9.702 9.197 8.710



104 104 105 105 105

8.339 8.534 8.738 8.952 9.178



106 106 106 106 106

2.909 2.886 2.866 2.850 2.837

0.905 0.918 0.933 0.950 0.971

0.00301 0.00318 0.00337 0.00358 0.00384

0.00811 0.00751 0.00691 0.00633 0.00575

40 45 50 60 70

1366 1530 1708 2110 2580

467.1 458.0 448.5 427.5 403.2

30.29 34.29 38.79 49.66 64.02

306.1 295.3 283.9 258.4 228.0

2943 3026 3122 3283 3595

2264 2361 2473 2769 3241

0.0857 0.0834 0.0811 0.0765 0.0717

0.02142 0.02228 0.02319 0.02517 0.02746

8.240 7.785 7.343 6.487 5.649



105 105 105 105 105

9.417 9.674 9.950 1.058 1.138



106 106 106 105 105

2.828 2.824 2.826 2.784 2.834

0.995 1.025 1.061 1.164 1.343

0.00413 0.00448 0.00491 0.00609 0.00811

0.00518 0.00463 0.00408 0.00303 0.00204

80 90

3127 3769

373.0 329.1

84.28 118.6

189.7 133.2

4501 6977

4173 7239

0.0663 0.0595

0.03029 0.03441

4.790 105 3.807 105

1.249 105 1.448 105

3.251 4.465

1.722 3.047

0.01248 0.02847

0.00114 0.00037

Nota 1: La viscosidad cinemática n y la difusividad térmica a se pueden calcular a partir de sus definiciones: n  m/r y a  k/rcp  n/Pr. Las propiedades citadas aquí (excepto la densidad de vapor) se pueden usar a cualquier presión con error despreciable, excepto a temperaturas cerca del valor de punto crítico. Nota 2: La unidad kJ/kg · °C para calor específico es equivalente a kJ/kg · K, y la unidad W/m · °C para conductividad térmica es equivalente a W/m · K. Fuente: Datos generados a partir del Software EES desarrollado por S.A. Klein y F.L. Alvarado. Fuentes originales: Reiner Tillner-Roth, “Fundamental Equations of State”, Shaker, Verlag, Aachan, 1998; B.A. Younglove y J.F. Ely, “Thermophysical Properties of Fluids. II Methane, Ethane, Propane, Isobutane, and Normal Butane,” J. Phys. Chem. Ref. Data, Vol. 16, No. 4, 1987; G.R. Somayajulu, “A Generalized Equation for Surface Tension from the Triple-Point to the CriticalPoint”, International Journal of Thermophysics, Vol. 9, No. 4, 1988.

928 TABLAS Y GRÁFICAS

TABLA A-7 Propiedades de líquidos

Temp. T, °C

Calor Conductividad Densidad específico cp, térmica r, kg/m3 J/kg · K k, W/m · K

Difusividad térmica a, m2/s

Viscosidad dinámica m, kg/m · s

Viscosidad cinemática n, m2/s

Número de Prandtl Pr

Coef. de expansión volumétrica. b, 1/K

Metano (CH4) 160 150 140 130 120 110 100 90

420.2 405.0 388.8 371.1 351.4 328.8 301.0 261.7

3492 3580 3700 3875 4146 4611 5578 8902

0.1863 0.1703 0.1550 0.1402 0.1258 0.1115 0.0967 0.0797

1.270 1.174 1.077 9.749 8.634 7.356 5.761 3.423



107 107 107 108 108 108 108 108

1.133 9.169 7.551 6.288 5.257 4.377 3.577 2.761



104 105 105 105 105 105 105 105

2.699 2.264 1.942 1.694 1.496 1.331 1.188 1.055



107 107 107 107 107 107 107 107

2.126 1.927 1.803 1.738 1.732 1.810 2.063 3.082

0.00352 0.00391 0.00444 0.00520 0.00637 0.00841 0.01282 0.02922



104 104 104 104 104 104

7.429 6.531 5.795 5.185 4.677 4.250



107 107 107 107 107 107

7.414 6.622 5.980 5.453 5.018 4.655

0.00118 0.00120 0.00123 0.00127 0.00132 0.00137



104 104 104 104 104 104 104 105 105

1.360 8.531 5.942 4.420 3.432 2.743 2.233 1.836 1.509



106 107 107 107 107 107 107 107 107

12.65 8.167 6.079 4.963 4.304 3.880 3.582 3.363 3.256

0.00142 0.00150 0.00161 0.00177 0.00199 0.00232 0.00286 0.00385 0.00628

8.219 5.287 3.339 1.970 1.201 7.878 5.232 3.464 2.455



103 103 103 103 103 104 104 104 104

84,101 54,327 34,561 20,570 12,671 8,392 5,631 3,767 2,697

4.242 9.429 2.485 8.565 3.794 2.046 1.241 8.029 6.595



103 104 104 105 105 105 105 106 106

46,636 10,863 2,962 1,080 499.3 279.1 176.3 118.1 98.31

Metanol [CH3(OH)] 20 30 40 50 60 70

788.4 779.1 769.6 760.1 750.4 740.4

2515 2577 2644 2718 2798 2885

0.1987 0.1980 0.1972 0.1965 0.1957 0.1950

1.002 9.862 9.690 9.509 9.320 9.128



107 108 108 108 108 108

5.857 5.088 4.460 3.942 3.510 3.146

Isobutano (R600a) 100 75 50 25 0 25 50 75 100

683.8 659.3 634.3 608.2 580.6 550.7 517.3 478.5 429.6

1881 1970 2069 2180 2306 2455 2640 2896 3361

0.1383 0.1357 0.1283 0.1181 0.1068 0.0956 0.0851 0.0757 0.0669

1.075 1.044 9.773 8.906 7.974 7.069 6.233 5.460 4.634



107 107 108 108 108 108 108 108 108



108

9.305 5.624 3.769 2.688 1.993 1.510 1.155 8.785 6.483

Glicerina 0 5 10 15 20 25 30 35 40

1276 1273 1270 1267 1264 1261 1258 1255 1252

2262 2288 2320 2354 2386 2416 2447 2478 2513

0.2820 0.2835 0.2846 0.2856 0.2860 0.2860 0.2860 0.2860 0.2863

9.773 9.732 9.662 9.576 9.484 9.388 9.291 9.195 9.101

108 108 108 108 108 108 108 108

10.49 6.730 4.241 2.496 1.519 0.9934 0.6582 0.4347 0.3073

Aceite de motor (no usado) 0 20 40 60 80 100 120 140 150

899.0 888.1 876.0 863.9 852.0 840.0 828.9 816.8 810.3

1797 1881 1964 2048 2132 2220 2308 2395 2441

0.1469 0.1450 0.1444 0.1404 0.1380 0.1367 0.1347 0.1330 0.1327

9.097 8.680 8.391 7.934 7.599 7.330 7.042 6.798 6.708



108 108 108 108 108 108 108 108 108

3.814 0.8374 0.2177 0.07399 0.03232 0.01718 0.01029 0.006558 0.005344

Fuente: Datos generados a partir del Software EES desarrollado por S.A. Klein y F.L. Alvarado. Originalmente con base en diversas fuentes.

0.00070 0.00070 0.00070 0.00070 0.00070 0.00070 0.00070 0.00070 0.00070

929 APÉNDICE 1

TABLA A-8 Propiedades de metales líquidos

Temp. T, °C

Densidad r, kg/m3

Calor Conductividad específ. cp, térmica J/kg · K k, W/m · K

Difusividad térmica a, m2/s

Viscosidad dinámica m, kg/m · s

Viscosidad cinemática n, m2/s

Número de Prandtl Pr

Coef. de expansión volumétrica b, 1/K

Punto de fusión del mercurio (Hg): 39 ° C 0 25 50 75 100 150 200 250 300

13595 13534 13473 13412 13351 13231 13112 12993 12873

140.4 139.4 138.6 137.8 137.1 136.1 135.5 135.3 135.3

8.18200 8.51533 8.83632 9.15632 9.46706 10.07780 10.65465 11.18150 11.68150

4.287 4.514 4.734 4.956 5.170 5.595 5.996 6.363 6.705



106 106 106 106 106 106 106 106 106

1.687 1.534 1.423 1.316 1.245 1.126 1.043 9.820 9.336



103 103 103 103 103 103 103 104 104

1.241 1.133 1.056 9.819 9.326 8.514 7.959 7.558 7.252



107 107 107 108 108 108 108 108 108

0.0289 0.0251 0.0223 0.0198 0.0180 0.0152 0.0133 0.0119 0.0108

1.545 1.436 1.215 1.048 9.157



107 107 107 107 108

0.01381 0.01310 0.01154 0.01022 0.00906

2.167 1.976 1.814 1.702 1.589 1.475 1.360



107 107 107 107 107 107 107

0.02252 0.02048 0.01879 0.01771 0.01661 0.01549 0.01434

7.432 5.967 4.418 3.188 2.909 2.614



107 107 107 107 107 107

0.01106 0.008987 0.006751 0.004953 0.004593 0.004202

4.213 3.456 2.652 2.304 2.126



107 107 107 107 107

0.006023 0.004906 0.00374 0.003309 0.003143

Punto de fusión del bismuto (Bi): 271 ° C 350 400 500 600 700

9969 9908 9785 9663 9540

146.0 148.2 152.8 157.3 161.8

16.28 16.10 15.74 15.60 15.60

1.118 1.096 1.052 1.026 1.010



105 105 105 105 105

1.540 1.422 1.188 1.013 8.736



103 103 103 103 104

Punto de fusión del plomo (Pb): 327 ° C 400 450 500 550 600 650 700

10506 10449 10390 10329 10267 10206 10145

158 156 155 155 155 155 155

15.97 15.74 15.54 15.39 15.23 15.07 14.91

9.623 9.649 9.651 9.610 9.568 9.526 9.483



106 106 106 106 106 106 106

2.277 2.065 1.884 1.758 1.632 1.505 1.379



103 103 103 103 103 103 103

Punto de fusión del sodio (Na): 98 °C 100 200 300 400 500 600

927.3 902.5 877.8 853.0 828.5 804.0

1378 1349 1320 1296 1284 1272

85.84 80.84 75.84 71.20 67.41 63.63

6.718 6.639 6.544 6.437 6.335 6.220



105 105 105 105 105 105

6.892 5.385 3.878 2.720 2.411 2.101



104 104 104 104 104 104

Punto de fusión del potasio (K): 64 ° C 200 300 400 500 600

795.2 771.6 748.0 723.9 699.6

790.8 772.8 754.8 750.0 750.0

43.99 42.01 40.03 37.81 35.50

6.995 7.045 7.090 6.964 6.765



105 105 105 105 105

3.350 2.667 1.984 1.668 1.487



104 104 104 104 104

Punto de fusión: sodio-potasio (22 por ciento Na-78 por ciento K): 11 ° C 100 200 300 400 500 600

847.3 823.2 799.1 775.0 751.5 728.0

944.4 922.5 900.6 879.0 880.1 881.2

25.64 26.27 26.89 27.50 27.89 28.28

3.205 3.459 3.736 4.037 4.217 4.408



105 105 105 105 105 105

5.707 4.587 3.467 2.357 2.108 1.859



104 104 104 104 104 104

6.736 5.572 4.339 3.041 2.805 2.553



107 107 107 107 107 107

0.02102 0.01611 0.01161 0.00753 0.00665 0.00579

Fuente: Datos generados a partir del Software EES desarrollado por S.A. Klein y F.L. Alvarado. Originalmente con base en diversas fuentes.

1.810 1.810 1.810 1.810 1.810 1.810 1.815 1.829 1.854



104 104 104 104 104 104 104 104 104

930 TABLAS Y GRÁFICAS

TABLA A-9 Propiedades del aire a 1 atm de presión Temp. T, °C

Calor Conductividad Densidad específico cp térmica r, kg/m3 J/kg · K k, W/m · K

Difusividad térmica a, m2/s

Viscosidad dinámica m, kg/m · s

Viscosidad cinemática n, m2/s

Número de Prandtl Pr

150 100 50 40 30

2.866 2.038 1.582 1.514 1.451

983 966 999 1002 1004

0.01171 0.01582 0.01979 0.02057 0.02134

4.158 8.036 1.252 1.356 1.465



106 106 105 105 105

8.636 1.189 1.474 1.527 1.579



106 106 105 105 105

3.013 5.837 9.319 1.008 1.087



106 106 106 105 105

0.7246 0.7263 0.7440 0.7436 0.7425

20 10 0 5 10

1.394 1.341 1.292 1.269 1.246

1005 1006 1006 1006 1006

0.02211 0.02288 0.02364 0.02401 0.02439

1.578 1.696 1.818 1.880 1.944



105 105 105 105 105

1.630 1.680 1.729 1.754 1.778



105 105 105 105 105

1.169 1.252 1.338 1.382 1.426



105 105 105 105 105

0.7408 0.7387 0.7362 0.7350 0.7336

15 20 25 30 35

1.225 1.204 1.184 1.164 1.145

1007 1007 1007 1007 1007

0.02476 0.02514 0.02551 0.02588 0.02625

2.009 2.074 2.141 2.208 2.277



105 105 105 105 105

1.802 1.825 1.849 1.872 1.895



105 105 105 105 105

1.470 1.516 1.562 1.608 1.655



105 105 105 105 105

0.7323 0.7309 0.7296 0.7282 0.7268

40 45 50 60 70

1.127 1.109 1.092 1.059 1.028

1007 1007 1007 1007 1007

0.02662 0.02699 0.02735 0.02808 0.02881

2.346 2.416 2.487 2.632 2.780



105 105 105 105 105

1.918 1.941 1.963 2.008 2.052



105 105 105 105 105

1.702 1.750 1.798 1.896 1.995



105 105 105 105 105

0.7255 0.7241 0.7228 0.7202 0.7177

80 90 100 120 140

0.9994 0.9718 0.9458 0.8977 0.8542

1008 1008 1009 1011 1013

0.02953 0.03024 0.03095 0.03235 0.03374

2.931 3.086 3.243 3.565 3.898



105 105 105 105 105

2.096 2.139 2.181 2.264 2.345



105 105 105 105 105

2.097 2.201 2.306 2.522 2.745



105 105 105 105 105

0.7154 0.7132 0.7111 0.7073 0.7041

160 180 200 250 300

0.8148 0.7788 0.7459 0.6746 0.6158

1016 1019 1023 1033 1044

0.03511 0.03646 0.03779 0.04104 0.04418

4.241 4.593 4.954 5.890 6.871



105 105 105 105 105

2.420 2.504 2.577 2.760 2.934



105 105 105 105 105

2.975 3.212 3.455 4.091 4.765



105 105 105 105 105

0.7014 0.6992 0.6974 0.6946 0.6935

350 400 450 500 600

0.5664 0.5243 0.4880 0.4565 0.4042

1056 1069 1081 1093 1115

0.04721 0.05015 0.05298 0.05572 0.06093

7.892 8.951 1.004 1.117 1.352



105 105 104 104 104

3.101 3.261 3.415 3.563 3.846



105 105 105 105 105

5.475 6.219 6.997 7.806 9.515



105 105 105 105 105

0.6937 0.6948 0.6965 0.6986 0.7037

700 800 900 1000 1500 2000

0.3627 0.3289 0.3008 0.2772 0.1990 0.1553

1135 1153 1169 1184 1234 1264

0.06581 0.07037 0.07465 0.07868 0.09599 0.11113

1.598 1.855 2.122 2.398 3.908 5.664



104 104 104 104 104 104

4.111 4.362 4.600 4.826 5.817 6.630



105 105 105 105 105 105

1.133 1.326 1.529 1.741 2.922 4.270



104 104 104 104 104 104

0.7092 0.7149 0.7206 0.7260 0.7478 0.7539

Nota: Para gases ideales, cp, k, m y Pr son independientes de la presión. Las propiedades r, n y a a una presión P distinta a 1 atm se determinan cuando se multiplican los valores de r a la temperatura dada por P (en atm) y cuando se dividen n y a entre P (en atm). Fuente: Datos generados a partir del Software EES desarrollado por S.A. Klein y F.L. Alvarado. Fuentes originales:: Keenan, Chao, Keyes, Gas Tables, Wiley, 198; and Thermophysical Properties of Matter, Vol. 3: Thermal Conductivity, Y.S. Touloukian, P.E. Liley, S.C. Saxena, Vol. 11: Viscosity, Y.S. Touloukian, S.C. Saxena, y P. Hestermans, IFI/Plenun, NY, 1970, ISBN 0-306067020-8.

931 APÉNDICE 1

TABLA A-10 Propiedades de gases a 1 atm de presión Temp. T, °C

Densidad r, kg/m3

Calor específico cp J/kg · K

Conductividad térmica k, W/m · K

Difusividad térmica a, m2/s

Viscosidad dinámica m, kg/m · s

Viscosidad cinemática n, m2/s

Número de Prandtl Pr

Dióxido de carbono, CO2 50 0 50 100 150 200 300 400 500 1000 1500 2000

2.4035 1.9635 1.6597 1.4373 1.2675 1.1336 0.9358 0.7968 0.6937 0.4213 0.3025 0.2359

746 811 866.6 914.8 957.4 995.2 1060 1112 1156 1292 1356 1387

0.01051 0.01456 0.01858 0.02257 0.02652 0.03044 0.03814 0.04565 0.05293 0.08491 0.10688 0.11522

50 0 50 100 150 200 300 400 500 1000 1500 2000

1.5297 1.2497 1.0563 0.9148 0.8067 0.7214 0.5956 0.5071 0.4415 0.2681 0.1925 0.1502

1081 1048 1039 1041 1049 1060 1085 1111 1135 1226 1279 1309

0.01901 0.02278 0.02641 0.02992 0.03330 0.03656 0.04277 0.04860 0.05412 0.07894 0.10458 0.13833

50 0 50 100 150 200 300 400 500 1000 1500 2000

0.8761 0.7158 0.6050 0.5240 0.4620 0.4132 0.3411 0.2904 0.2529 0.1536 0.1103 0.0860

2243 2217 2302 2443 2611 2791 3158 3510 3836 5042 5701 6001

0.02367 0.03042 0.03766 0.04534 0.05344 0.06194 0.07996 0.09918 0.11933 0.22562 0.31857 0.36750

5.860 9.141 1.291 1.716 2.186 2.698 3.847 5.151 6.600 1.560 2.606 3.521



106 106 105 105 105 105 105 105 105 104 104 104

1.129 1.375 1.612 1.841 2.063 2.276 2.682 3.061 3.416 4.898 6.106 7.322



105 105 105 105 105 105 105 105 105 105 105 105

4.699 7.003 9.714 1.281 1.627 2.008 2.866 3.842 4.924 1.162 2.019 3.103



106 106 106 105 105 105 105 105 105 104 104 104

0.8019 0.7661 0.7520 0.7464 0.7445 0.7442 0.7450 0.7458 0.7460 0.7455 0.7745 0.8815

1.378 1.629 1.863 2.080 2.283 2.472 2.812 3.111 3.379 4.557 6.321 9.826



105 105 105 105 105 105 105 105 105 105 105 105

9.012 1.303 1.764 2.274 2.830 3.426 4.722 6.136 7.653 1.700 3.284 6.543



106 105 105 105 105 105 105 105 105 104 104 104

0.7840 0.7499 0.7328 0.7239 0.7191 0.7164 0.7134 0.7111 0.7087 0.7080 0.7733 0.9302

8.564 1.028 1.191 1.345 1.491 1.630 1.886 2.119 2.334 3.281 4.434 6.360



106 105 105 105 105 105 105 105 105 105 105 105

9.774 1.436 1.969 2.567 3.227 3.944 5.529 7.297 9.228 2.136 4.022 7.395



106 105 105 105 105 105 105 105 105 104 104 104

0.8116 0.7494 0.7282 0.7247 0.7284 0.7344 0.7450 0.7501 0.7502 0.7331 0.7936 1.0386

7.293 8.391 9.427 1.041 1.136 1.228 1.403 1.570 1.730 2.455 3.099 3.690



106 106 106 105 105 105 105 105 105 105 105 105

6.624 9.329 1.240 1.582 1.957 2.365 3.274 4.302 5.443 1.272 2.237 3.414



105 105 104 104 104 104 104 104 104 103 103 103

0.6562 0.7071 0.7191 0.7196 0.7174 0.7155 0.7149 0.7179 0.7224 0.7345 0.7795 1.1717

Monóxido de carbono, CO 1.149 1.739 2.407 3.142 3.936 4.782 6.619 8.628 1.079 2.401 4.246 7.034



105 105 105 105 105 105 105 105 104 104 104 104

Metano, CH4 1.204 1.917 2.704 3.543 4.431 5.370 7.422 9.727 1.230 2.914 5.068 7.120



105 105 105 105 105 105 105 105 104 104 104 104

Hidrógeno, H2 50 0 50 100 150 200 300 400 500 1000 1500 2000

0.11010 0.08995 0.07603 0.06584 0.05806 0.05193 0.04287 0.03650 0.03178 0.01930 0.01386 0.01081

12635 13920 14349 14473 14492 14482 14481 14540 14653 15577 16553 17400

0.1404 0.1652 0.1881 0.2095 0.2296 0.2486 0.2843 0.3180 0.3509 0.5206 0.6581 0.5480

1.009 1.319 1.724 2.199 2.729 3.306 4.580 5.992 7.535 1.732 2.869 2.914



104 104 104 104 104 104 104 104 104 103 103 103

(continúa)

932 TABLAS Y GRÁFICAS

TABLA A-10 Propiedades de gases a 1 atm de presión (continuación) Temp. T, °C

Densidad r, kg/m3

Calor específico cp J/kg · K

Conductividad térmica k, W/m · K

Difusividad térmica a, m2/s

Viscosidad dinámica m, kg/m · s

Viscosidad cinemática n, m2/s

Número de Prandtl Pr

Nitrógeno, N2 50 0 50 100 150 200 300 400 500 1000 1500 2000

1.5299 1.2498 1.0564 0.9149 0.8068 0.7215 0.5956 0.5072 0.4416 0.2681 0.1925 0.1502

957.3 1035 1042 1041 1043 1050 1070 1095 1120 1213 1266 1297

0.02001 0.02384 0.02746 0.03090 0.03416 0.03727 0.04309 0.04848 0.05358 0.07938 0.11793 0.18590

1.366 1.843 2.494 3.244 4.058 4.921 6.758 8.727 1.083 2.440 4.839 9.543



105 105 105 105 105 105 105 105 104 104 104 104

1.390 1.640 1.874 2.094 2.300 2.494 2.849 3.166 3.451 4.594 5.562 6.426



105 105 105 105 105 105 105 105 105 105 105 105

9.091 1.312 1.774 2.289 2.851 3.457 4.783 6.242 7.816 1.713 2.889 4.278



106 105 105 105 105 105 105 105 105 104 104 104

0.6655 0.7121 0.7114 0.7056 0.7025 0.7025 0.7078 0.7153 0.7215 0.7022 0.5969 0.4483

1.616 1.916 2.194 2.451 2.694 2.923 3.350 3.744 4.114 5.732 7.133 8.417



105 105 105 105 105 105 105 105 105 105 105 105

9.246 1.342 1.818 2.346 2.923 3.546 4.923 6.463 8.156 1.871 3.243 4.907



106 105 105 105 105 105 105 105 105 104 104 104

0.7694 0.7198 0.7053 0.7019 0.7019 0.7025 0.7030 0.7023 0.7010 0.6986 0.6985 0.6873

7.187 8.956 1.078 1.265 1.456 1.650 2.045 2.446 2.847 4.762 6.411 7.808



106 106 105 105 105 105 105 105 105 105 105 105

7.305 1.114 1.587 2.150 2.806 3.556 5.340 7.498 1.002 2.761 5.177 8.084



106 105 105 105 105 105 105 105 104 104 104 104

1.0047 1.0033 0.9944 0.9830 0.9712 0.9599 0.9401 0.9240 0.9108 0.8639 0.8233 0.7833

Oxígeno, O2 50 0 50 100 150 200 300 400 500 1000 1500 2000

1.7475 1.4277 1.2068 1.0451 0.9216 0.8242 0.6804 0.5793 0.5044 0.3063 0.2199 0.1716

984.4 928.7 921.7 931.8 947.6 964.7 997.1 1025 1048 1121 1165 1201

0.02067 0.02472 0.02867 0.03254 0.03637 0.04014 0.04751 0.05463 0.06148 0.09198 0.11901 0.14705

50 0 50 100 150 200 300 400 500 1000 1500 2000

0.9839 0.8038 0.6794 0.5884 0.5189 0.4640 0.3831 0.3262 0.2840 0.1725 0.1238 0.0966

1892 1874 1874 1887 1908 1935 1997 2066 2137 2471 2736 2928

0.01353 0.01673 0.02032 0.02429 0.02861 0.03326 0.04345 0.05467 0.06677 0.13623 0.21301 0.29183

1.201 1.865 2.577 3.342 4.164 5.048 7.003 9.204 1.163 2.678 4.643 7.139



105 105 105 105 105 105 105 105 104 104 104 104

Vapor de agua, H2O 7.271 1.110 1.596 2.187 2.890 3.705 5.680 8.114 1.100 3.196 6.288 1.032



106 105 105 105 105 105 105 105 104 104 104 103

Nota: Para gases ideales, las propiedades cp, k, m y Pr son independientes de la presión. Las propiedades r, n, y a a una presión P distinta a 1 atm se determinan cuando se multiplican los valores de r a la temperatura dada por P (en atm) y cuando se dividen n y a entre P (en atm). Fuente: Datos generados a partir del Software EES desarrollado por S.A. Klein y F.L. Alvarado. Originalmente con base en diversas fuentes.

933 APÉNDICE 1

TABLA A-11 Propiedades de la atmósfera a gran altitud Altitud, m

Temperatura, °C

Presión, kPa

Gravedad g, m/s2

Velocidad del sonido, m/s

Densidad, kg/m3

Viscosidad m, kg/m · s

Conductividad térmica, W/m · K

0 200 400 600 800

15.00 13.70 12.40 11.10 9.80

101.33 98.95 96.61 94.32 92.08

9.807 9.806 9.805 9.805 9.804

340.3 339.5 338.8 338.0 337.2

1.225 1.202 1.179 1.156 1.134

1.789 1.783 1.777 1.771 1.764



105 105 105 105 105

0.0253 0.0252 0.0252 0.0251 0.0250

1000 1200 1400 1600 1800

8.50 7.20 5.90 4.60 3.30

89.88 87.72 85.60 83.53 81.49

9.804 9.803 9.802 9.802 9.801

336.4 335.7 334.9 334.1 333.3

1.112 1.090 1.069 1.048 1.027

1.758 1.752 1.745 1.739 1.732



105 105 105 105 105

0.0249 0.0248 0.0247 0.0245 0.0244

2000 2200 2400 2600 2800

2.00 0.70 0.59 1.89 3.19

79.50 77.55 75.63 73.76 71.92

9.800 9.800 9.799 9.799 9.798

332.5 331.7 331.0 330.2 329.4

1.007 0.987 0.967 0.947 0.928

1.726 1.720 1.713 1.707 1.700



105 105 105 105 105

0.0243 0.0242 0.0241 0.0240 0.0239

3000 3200 3400 3600 3800

4.49 5.79 7.09 8.39 9.69

70.12 68.36 66.63 64.94 63.28

9.797 9.797 9.796 9.796 9.795

328.6 327.8 327.0 326.2 325.4

0.909 0.891 0.872 0.854 0.837

1.694 1.687 1.681 1.674 1.668



105 105 105 105 105

0.0238 0.0237 0.0236 0.0235 0.0234

4000 4200 4400 4600 4800

10.98 12.3 13.6 14.9 16.2

61.66 60.07 58.52 57.00 55.51

9.794 9.794 9.793 9.793 9.792

324.6 323.8 323.0 322.2 321.4

0.819 0.802 0.785 0.769 0.752

1.661 1.655 1.648 1.642 1.635



105 105 105 105 105

0.0233 0.0232 0.0231 0.0230 0.0229

5000 5200 5400 5600 5800

17.5 18.8 20.1 21.4 22.7

54.05 52.62 51.23 49.86 48.52

9.791 9.791 9.790 9.789 9.785

320.5 319.7 318.9 318.1 317.3

0.736 0.721 0.705 0.690 0.675

1.628 1.622 1.615 1.608 1.602



105 105 105 105 105

0.0228 0.0227 0.0226 0.0224 0.0223

6000 6200 6400 6600 6800

24.0 25.3 26.6 27.9 29.2

47.22 45.94 44.69 43.47 42.27

9.788 9.788 9.787 9.786 9.785

316.5 315.6 314.8 314.0 313.1

0.660 0.646 0.631 0.617 0.604

1.595 1.588 1.582 1.575 1.568



105 105 105 105 105

0.0222 0.0221 0.0220 0.0219 0.0218

7000 8000 9000 10 000 12 000

30.5 36.9 43.4 49.9 56.5

41.11 35.65 30.80 26.50 19.40

9.785 9.782 9.779 9.776 9.770

312.3 308.1 303.8 299.5 295.1

0.590 0.526 0.467 0.414 0.312

1.561 1.527 1.493 1.458 1.422



105 105 105 105 105

0.0217 0.0212 0.0206 0.0201 0.0195

14 000 16 000 18 000

56.5 56.5 56.5

14.17 10.53 7.57

9.764 9.758 9.751

295.1 295.1 295.1

0.228 0.166 0.122

1.422 105 1.422 105 1.422 105

0.0195 0.0195 0.0195

Fuente: U.S. Standard Atmosphere Supplements, U.S. Government Printing Office, 1966. Con base en condiciones medias todo el año a 45° de latitud y que varían con la época del año y los patrones del clima. Se considera que las condiciones a nivel del mar (z  0) son P  101.325 kPa, T  15°C, r  1.2250 kg/m3, g  9.80665 m2/s.

0.008

0.009

lam

0.01

e

0 Vidrio, plástico Concreto 0.003–0.03 Duela de madera 0.0016 Hule, alisado 0.000033 Tubería de cobre o latón 0.000005 Hierro fundido 0.00085 Hierro galvanizado 0.0005 Hierro pudelado 0.00015 Acero inoxidable 0.000007 Acero comercial 0.00015 l 3 103 2(10 ) 3 4 5 6 8 104

Material ft

Flujo Flujo transicional turbulento

64/R

0.015

0.02

0.025

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

Flujo laminar

Flujo

f= inar,

Tuberías lisas e/D = 0

5

e/D = 0.000001

e/D = 0.000005

0.00001

0.00005

0.0001

0.0002

0.001 0.0008 0.0006 0.0004

0.002

0.004

0.01 0.008 0.006

0.015

0.02

0.03

0.05 0.04

Número de Reynolds, Re

2(10 ) 3 4 5 6 8 105 2(10 ) 3 4 5 6 8 106 2(106) 3 4 5 6 8 107 2(107) 3 4 5 6 8 108

4

0 0.9–9 0.5 0.01 0.0015 0.26 0.15 0.046 0.002 0.045

mm

Flujo turbulento totalmente rugoso ( f se estaniliza) estaniliza estabiliza)

El diagrama de Moody para el factor fricción para flujo totalmente desarrollado en tuberías circulares para usar en la relación de pérdida de carga L V2 e/D 2.51 1 hL  f . Los factores de fricción en el flujo turbulento se evalúan a partir de la ecuación de Colebrook  2 log10 a  b. D 2g 3.7 1f Re 1f

FIGURA A-12

Factor de fricción de Darcy, f

0.1 0.09

934 TABLAS Y GRÁFICAS

Rugosidad relativa, e/D

935 APÉNDICE 1

k1 B 2  (k  1)Ma2 0.5(k1)(k1) A 1 2 k1  ca b a1  Ma2bd A* Ma k  1 2 k(k1) P k1  a1  Ma2b P0 2 1(k1) r k1  a1  Ma2b r0 2 1 T k1  a1  Ma2b T0 2

TABLA A-13

Ma*  Ma

Funciones de flujo compresible isentrópico unidimensional para un gas ideal con k  1.4 Ma

Ma*

A/A*

P/P0

r/r0

T/T0

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0 5.0 

0 0.1094 0.2182 0.3257 0.4313 0.5345 0.6348 0.7318 0.8251 0.9146 1.0000 1.1583 1.2999 1.4254 1.5360 1.6330 1.7179 1.7922 1.8571 1.9140 1.9640 2.2361 2.2495

 5.8218 2.9635 2.0351 1.5901 1.3398 1.1882 1.0944 1.0382 1.0089 1.0000 1.0304 1.1149 1.2502 1.4390 1.6875 2.0050 2.4031 2.8960 3.5001 4.2346 25.000 

1.0000 0.9930 0.9725 0.9395 0.8956 0.8430 0.7840 0.7209 0.6560 0.5913 0.5283 0.4124 0.3142 0.2353 0.1740 0.1278 0.0935 0.0684 0.0501 0.0368 0.0272 0.0019 0

1.0000 0.9950 0.9803 0.9564 0.9243 0.8852 0.8405 0.7916 0.7400 0.6870 0.6339 0.5311 0.4374 0.3557 0.2868 0.2300 0.1841 0.1472 0.1179 0.0946 0.0760 0.0113 0

1.0000 0.9980 0.9921 0.9823 0.9690 0.9524 0.9328 0.9107 0.8865 0.8606 0.8333 0.7764 0.7184 0.6614 0.6068 0.5556 0.5081 0.4647 0.4252 0.3894 0.3571 0.1667 0

3.0 A/A*

Funciones de flujo compresible

2.5

2.0 Ma* 1.5

1.0

T/T0

0.5

r/r* P/P0 0 0

0.5

1.0

1.5 Ma

2.0

2.5

3.0

936 TABLAS Y GRÁFICAS

T01  T02

TABLA A-14

(k  1)Ma21  2 Ma2  B 2kMa21  k  1

Funciones de onda de choque normal unidimensional para un gas ideal con k  1.4

P 2 1  kMa21 2kMa21  k  1   P 1 1  kMa22 k1 r 2 P 2P 1 (k  1)Ma21 V1    2 r1 T2T1 2  (k  1)Ma1 V2 T2 2  Ma21(k  1)  T1 2  Ma22(k  1) P 02 Ma1 1  Ma22(k  1)2 (k  1)/[2(k 1)]  c d P 01 Ma2 1  Ma21(k  1)2 P 02 (1  kMa21)[1  Ma22(k  1)2]k(k1)  P1 1  kMa22

Ma1

Ma2

P2/P1

r2/r1

T2/T1

P02/P01

P02/P1

1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0 4.0 5.0 

1.0000 0.9118 0.8422 0.7860 0.7397 0.7011 0.6684 0.6405 0.6165 0.5956 0.5774 0.5613 0.5471 0.5344 0.5231 0.5130 0.5039 0.4956 0.4882 0.4814 0.4752 0.4350 0.4152 0.3780

1.0000 1.2450 1.5133 1.8050 2.1200 2.4583 2.8200 3.2050 3.6133 4.0450 4.5000 4.9783 5.4800 6.0050 6.5533 7.1250 7.7200 8.3383 8.9800 9.6450 10.3333 18.5000 29.000 

1.0000 1.1691 1.3416 1.5157 1.6897 1.8621 2.0317 2.1977 2.3592 2.5157 2.6667 2.8119 2.9512 3.0845 3.2119 3.3333 3.4490 3.5590 3.6636 3.7629 3.8571 4.5714 5.0000 6.0000

1.0000 1.0649 1.1280 1.1909 1.2547 1.3202 1.3880 1.4583 1.5316 1.6079 1.6875 1.7705 1.8569 1.9468 2.0403 2.1375 2.2383 2.3429 2.4512 2.5632 2.6790 4.0469 5.8000 

1.0000 0.9989 0.9928 0.9794 0.9582 0.9298 0.8952 0.8557 0.8127 0.7674 0.7209 0.6742 0.6281 0.5833 0.5401 0.4990 0.4601 0.4236 0.3895 0.3577 0.3283 0.1388 0.0617 0

1.8929 2.1328 2.4075 2.7136 3.0492 3.4133 3.8050 4.2238 4.6695 5.1418 5.6404 6.1654 6.7165 7.2937 7.8969 8.5261 9.1813 9.8624 10.5694 11.3022 12.0610 21.0681 32.6335 

5.0 P02/P1

P2/P1

Funciones de onda de choque normal

4.0

r2/r1

3.0 T2/T1

2.0

1.0 Ma2 P02/P01 0 1.0

1.5

2.0 Ma1

2.5

3.0

937 APÉNDICE 1

T0 (k  1)Ma2[2  (k  1)Ma2]  T 0* (1  kMa2)2

TABLA A-15

P0 2  (k  1)Ma2 k(k1) k1 b a  P*0 1  kMa2 k1

Ma

T0/T 0*

P0/P 0*

T/T *

P/P *

V/V*

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0

0.0000 0.0468 0.1736 0.3469 0.5290 0.6914 0.8189 0.9085 0.9639 0.9921 1.0000 0.9787 0.9343 0.8842 0.8363 0.7934 0.7561 0.7242 0.6970 0.6738 0.6540

1.2679 1.2591 1.2346 1.1985 1.1566 1.1141 1.0753 1.0431 1.0193 1.0049 1.0000 1.0194 1.0777 1.1756 1.3159 1.5031 1.7434 2.0451 2.4177 2.8731 3.4245

0.0000 0.0560 0.2066 0.4089 0.6151 0.7901 0.9167 0.9929 1.0255 1.0245 1.0000 0.9118 0.8054 0.7017 0.6089 0.5289 0.4611 0.4038 0.3556 0.3149 0.2803

2.4000 2.3669 2.2727 2.1314 1.9608 1.7778 1.5957 1.4235 1.2658 1.1246 1.0000 0.7958 0.6410 0.5236 0.4335 0.3636 0.3086 0.2648 0.2294 0.2004 0.1765

0.0000 0.0237 0.0909 0.1918 0.3137 0.4444 0.5745 0.6975 0.8101 0.9110 1.0000 1.1459 1.2564 1.3403 1.4046 1.4545 1.4938 1.5252 1.5505 1.5711 1.5882

Funciones de flujo de Rayleigh para un gas ideal con k  1.4

Ma(1  k) 2 T a b T* 1  kMa2 1k P  P* 1  kMa2 r* (1  k)Ma2 V   r V* 1  kMa2

3.5 P0/P0*

Funciones de flujo de Rayleigh

3.0

2.5

2.0 V/V * 1.5

1.0 T0/T 0* 0.5

T/T * P/P*

0 0

0.5

1.0

1.5 Ma

2.0

2.5

3.0

938 TABLAS Y GRÁFICAS

T0  T *0

TABLA A-16

r0 P0 1 2  (k  1)Ma2 (k1)/2(k 1) a b   P* r* Ma k1 0 0

Funciones de flujo de Fanno para un gas ideal con k  1.4

k1 T  T* 2  (k  1)Ma2 1/2 1 k1 P  a b 2 P* Ma 2  (k  1)Ma 1/2 r* k1 V  Ma a b  r V* 2  (k  1)Ma2

fL* 1  Ma2 k  1 (k  1)Ma2   ln D 2k kMa2 2  (k  1)Ma2

Ma

P0/P 0*

T/T *

P/P *

V/V*

fL*/D

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0

 5.8218 2.9635 2.0351 1.5901 1.3398 1.1882 1.0944 1.0382 1.0089 1.0000 1.0304 1.1149 1.2502 1.4390 1.6875 2.0050 2.4031 2.8960 3.5001 4.2346

1.2000 1.1976 1.1905 1.1788 1.1628 1.1429 1.1194 1.0929 1.0638 1.0327 1.0000 0.9317 0.8621 0.7937 0.7282 0.6667 0.6098 0.5576 0.5102 0.4673 0.4286

 10.9435 5.4554 3.6191 2.6958 2.1381 1.7634 1.4935 1.2893 1.1291 1.0000 0.8044 0.6632 0.5568 0.4741 0.4082 0.3549 0.3111 0.2747 0.2441 0.2182

0.0000 0.1094 0.2182 0.3257 0.4313 0.5345 0.6348 0.7318 0.8251 0.9146 1.0000 1.1583 1.2999 1.4254 1.5360 1.6330 1.7179 1.7922 1.8571 1.9140 1.9640

 66.9216 14.5333 5.2993 2.3085 1.0691 0.4908 0.2081 0.0723 0.0145 0.0000 0.0336 0.0997 0.1724 0.2419 0.3050 0.3609 0.4099 0.4526 0.4898 0.5222

3.0 P0/P 0*

Funciones de flujo de Fanno

2.5

2.0 V/V * 1.5

1.0 T/T * 0.5 fL*/D

P/P*

0 0

0.5

1.0

1.5 Ma

2.0

2.5

3.0

APÉNDICE

TA B L A S Y G R Á F I C A S DE PROPIEDADES (UNIDADES INGLESAS)*

2

TABLA A-1I

Masa molar, constante de gas y calores específicos de gas ideal de algunas sustancias 940 TABLA A-2I Propiedades de puntos de ebullición y de congelación 941 TABLA A-3I Propiedades del agua saturada 942 TABLA A-4I Propiedades del refrigerante-134a saturado 943 TABLA A-5I Propiedades del amoniaco saturado 944 TABLA A-6I Propiedades del propano saturado 945 TABLA A-7I Propiedades de líquidos 946 TABLA A-8I Propiedades de metales líquidos 947 TABLA A-9I Propiedades del aire a 1 atm de presión 948 TABLA A-10I Propiedades de gases a 1 atm de presión 949 TABLA A-11I Propiedades de la atmósfera a gran altitud 951

*La mayoría de las propiedades en las tablas se obtuvieron a partir de la base de datos de propiedades del EES, y las fuentes originales se mencionan debajo de las tablas. Con frecuencia, las propiedades se citan a más cifras significativas que la precisión proclamada con el propósito de minimizar el error de redondeo acumulado en los cálculos a mano y para asegurar una correspondencia cercana con los resultados obtenidos con el EES.

939

940 TABLAS Y GRÁFICAS

TABLA A-1I Masa molar, constante de gas y calores específicos de gas ideal de algunas sustancias Constante de gas R* ft3/

Datos de calores específicos a 77°F

cv , Btu/lbm · R

k  cp /cv

0.2400 0.4999 0.1243 0.0538 0.4046

0.1715 0.3834 0.07457 0.04137 0.3705

1.400 1.304 1.667 1.300 1.092

0.1514 0.1241 0.1675 0.2438 0.2438

0.1142 0.1552 0.1488 0.2016 0.1925

0.08618 0.1322 0.1178 0.1564 0.1474

1.325 1.174 1.263 1.288 1.306

0.06604 0.07079 0.05224 0.4961 0.01982

0.3569 0.3826 0.2823 2.681 0.1071

0.4166 0.3647 0.1967 1.2403 0.3939

0.3506 0.2940 0.1445 0.7442 0.3740

1.188 1.241 1.362 1.667 1.053

86.18 2.016 58.12 83.80 16.04

0.02304 0.9850 0.03415 0.02370 0.1238

0.1245 5.323 0.1846 0.1281 0.6688

0.3951 3.416 0.3972 0.05923 0.5317

0.3721 2.431 0.3631 0.03554 0.4080

1.062 1.405 1.094 1.667 1.303

28.01 20.183 28.01 30.006 32.00

0.07089 0.09838 0.07089 0.06618 0.06205

0.3831 0.5316 0.3831 0.3577 0.3353

0.2482 0.2460 0.2484 0.2387 0.2193

0.1772 0.1476 0.1774 0.1725 0.1572

1.400 1.667 1.400 1.384 1.395

n-Pentano, C5H12 Propano, C3H8 Propileno, C3H6 Tetraclorometano, CCl4 Tetrafluoroetano (R-134a), C2H2F4

72.15 44.097 42.08 153.82 102.03

0.02752 0.04502 0.04720 0.01291 0.01946

0.1487 0.2433 0.2550 0.06976 0.1052

0.3974 0.3986 0.3657 0.1293 0.1991

0.3700 0.3535 0.3184 0.1164 0.1796

1.074 1.127 1.148 1.111 1.108

Trifluoroetano (R-143a), C2H3F3 Vapor de agua, H2O Xenón, Xe

84.04 18.015 131.30

0.02363 0.1102 0.01512

0.1277 0.5957 0.08173

0.2219 0.4455 0.03781

0.1983 0.3351 0.02269

1.119 1.329 1.667

Btu/ lbm · R

psia · lbm · R

0.06855 0.1166 0.04970 0.01242 0.03415

0.3704 0.6301 0.2686 0.06714 0.1846

70.905 86.47 64.06 44.01 46.006

0.02802 0.02297 0.03100 0.04512 0.04512

Etano, C2H6 Etileno, C2H4 Flúor, F2 Helio, He n-Heptano, C7H16

30.070 28.054 38.00 4.003 100.20

n-Hexano, C6H14 Hidrógeno, H2 Isobutano, C4H10 Kriptón, Kr Metano, CH4 Monóxido de carbono, CO Neón, Ne Nitrógeno, N2 Óxido nítrico, NO Oxígeno, O2

Sustancia Aire Amoniaco, NH3 Argón, Ar Bromo, Br2 n-Butano, C4H10 Cloro, Cl2 Clorodifluorometano (R-22), CHClF2 Dióxido de azufre, SO2 Dióxido de carbono, CO2 Dióxido de nitrógeno, NO2

Masa molar, M, lbm/lbmol 28.97 17.03 39.95 159.81 58.12

cp, Btu/lbm · R

*La constante de gas se calcula a partir de R  Ru /M, donde Ru  1.9859 Btu/lbmol · R  10.732 psia · ft3/lbmol · R es la constante universal de gas y M es la masa molar.

Fuente: Los valores de calores específicos se obtienen principalmente a partir de los procedimientos para propiedades preparados por The National Institute of Standards and Technology (NIST), Gaithersburg, MD.

941 APÉNDICE 2

TABLA A-2I Propiedades de puntos de ebullición y de congelación Datos de ebullición a 1 atm

Sustancia

Punto de ebullición normal, °F

Datos de congelación

Calor latente de Punto de Calor latente vaporización congelación de fusión hfg, Btu/lbm °F hif, Btu/lbm

Aceite (ligero) Agua

— 212

— 970.5

Alcohol etílico Amoniaco

173.5 27.9

Propiedades de líquido Temperatura, °F

Densidad r, lbm/ft3

Calor específico cp, Btu/lbm · R

77 32 90 150 212

56.8 62.4 62.1 61.2 59.8

0.430 1.01 1.00 1.00 1.01

32

143.5

368 24.54

248.8 107.9

46.4 138.6

68 27.9 0 40 80

49.3 42.6 41.3 39.5 37.5

0.678 1.06 1.083 1.103 1.135

Argón Benceno n-Butano Dióxido de carbono Etanol

302.6 176.4 31.1 109.2* 172.8

69.5 169.4 165.6 99.6 (a 32°F) 360.5

308.7 41.9 217.3 69.8 173.6

12.0 54.2 34.5 — 46.9

302.6 68 31.1 32 77

87.0 54.9 37.5 57.8 48.9

0.272 0.411 0.552 0.583 0.588

Etilenglicol Glicerina Helio Hidrógeno Isobutano

388.6 355.8 452.1 423.0 10.9

344.0 419 9.80 191.7 157.8

12.6 66.0 — 434.5 255.5

77.9 86.3 — 25.6 45.5

68 68 452.1 423.0 10.9

69.2 78.7 9.13 4.41 37.1

0.678 0.554 5.45 2.39 0.545

Mercurio Metano

674.1 258.7

126.7 219.6

38.0 296.0

4.90 25.1

Metanol Nitrógeno

148.1 320.4

473 85.4

143.9 346.0

42.7 10.9

77 258.7 160 77 320.4

847 26.4 20.0 49.1 50.5

0.033 0.834 1.074 0.609 0.492

Octano Oxígeno Petróleo Propano

256.6 297.3 — 43.7

131.7 91.5 99–165 184.0

71.5 361.8

77.9 5.9

305.8

34.4

260 68 297.3 68 43.7

38.2 43.9 71.2 40.0 36.3

0.643 0.502 0.408 0.478 0.538

32 100 68 40 15

33.0 29.4 51.2 88.5 86.0

0.604 0.673 0.478 0.283 0.294

32 90

80.9 73.6

0.318 0.348

68

71.8

0.743

Queroseno Refrigerante-134a

399–559 15.0

Salmuera (20 por ciento cloruro de sodio, porcentaje másico) 219.0

108 93.2

—

12.8 141.9

0.7

— —

—

* Temperatura de sublimación (a presiones por abajo de la presión del punto triple de 75.1 psia, el dióxido de carbono existe en fase sólida o como gas. Además, la temperatura del punto de congelación del dióxido de carbono es la temperatura del punto triple de –69.8°F).

942 TABLAS Y GRÁFICAS

TABLA A-3I Propiedades del agua saturada

Temp. T, °C

Presión de Saturación Psat, kPa

Densidad r, kg/m3 Líquido

Vapor

Entalpía Calor de específico Vaporicp, J/kg · K zación hfg, kJ/kg Líquido Vapor

Conductividad térmica k, W/m · K Líquido

Vapor

Viscosidad dinámica m, kg/m · s Líquido

Vapor

Número de Prandtl Pr Líquido

Vapor

Coeficiente de expansión volumétrica b, 1/K Líquido

Tensión superficial, lbf/ft

0.0887 0.1217 0.1780 0.2563 0.3632

62.41 62.42 62.41 62.36 62.30

0.00030 0.00034 0.00059 0.00083 0.00115

1075 1071 1065 1060 1054

1.010 1.004 1.000 0.999 0.999

0.446 0.447 0.448 0.449 0.450

0.324 0.329 0.335 0.341 0.347

0.0099 0.0100 0.0102 0.0104 0.0106

1.204 1.038 8.781 7.536 6.556



103 103 104 104 104

6.194 6.278 6.361 6.444 6.556



106 13.5 106 11.4 106 9.44 106 7.95 106 6.79

1.00 0.038 103 1.01 0.003 103 1.01 0.047 103 1.00 0.080 103 1.00 0.115 103

0.00518 0.00514 0.00509 0.00503 0.00497

80 90 100 110 120

0.5073 0.6988 0.9503 1.2763 1.6945

62.22 62.12 62.00 61.86 61.71

0.00158 0.00214 0.00286 0.00377 0.00493

1048 1043 1037 1031 1026

0.999 0.999 0.999 0.999 0.999

0.451 0.453 0.454 0.456 0.458

0.352 0.358 0.363 0.367 0.371

0.0108 0.0110 0.0112 0.0115 0.0117

5.764 5.117 4.578 4.128 3.744



104 104 104 104 104

6.667 6.778 6.889 7.000 7.111



106 106 106 106 106

5.89 5.14 4.54 4.05 3.63

1.00 1.00 1.01 1.00 1.00

0.145 0.174 0.200 0.224 0.246



103 103 103 103 103

0.00491 0.00485 0.00479 0.00473 0.00467

130 140 150 160 170

2.225 2.892 3.722 4.745 5.996

61.55 61.38 61.19 60.99 60.79

0.00636 0.00814 0.0103 0.0129 0.0161

1020 1014 1008 1002 996

0.999 0.999 1.000 1.000 1.001

0.460 0.463 0.465 0.468 0.472

0.375 0.378 0.381 0.384 0.386

0.0120 0.0122 0.0125 0.0128 0.0131

3.417 3.136 2.889 2.675 2.483



104 104 104 104 104

7.222 7.333 7.472 7.583 7.722



106 106 106 106 106

3.28 2.98 2.73 2.51 2.90

1.00 1.00 1.00 1.00 1.00

0.267 0.287 0.306 0.325 0.346



103 103 103 103 103

0.00460 0.00454 0.00447 0.00440 0.00434

180 190 200 210 212

7.515 9.343 11.53 14.125 14.698

60.57 60.35 60.12 59.87 59.82

0.0199 0.0244 0.0297 0.0359 0.0373

990 984 978 972 970

1.002 1.004 1.005 1.007 1.007

0.475 0.479 0.483 0.487 0.488

0.388 0.390 0.391 0.392 0.392

0.0134 0.0137 0.0141 0.0144 0.0145

2.317 2.169 2.036 1.917 1.894



104 104 104 104 104

7.833 7.972 8.083 8.222 8.250

106 106 106 106 106

2.15 2.01 1.88 1.77 1.75

1.00 1.00 1.00 1.00 1.00

0.367 0.382 0.395 0.412 0.417



103 103 103 103 103

0.00427 0.00420 0.00412 0.00405 0.00404

220 230 240 250 260

17.19 20.78 24.97 29.82 35.42

59.62 59.36 59.09 58.82 58.53

0.0432 0.0516 0.0612 0.0723 0.0850

965 959 952 946 939

1.009 1.011 1.013 1.015 1.018

0.492 0.497 0.503 0.509 0.516

0.393 0.394 0.394 0.395 0.395

0.0148 0.0152 0.0156 0.0160 0.0164

1.808 1.711 1.625 1.544 1.472

104 104 104 104 104

8.333 8.472 8.611 8.611 8.861



106 106 106 106 106

1.67 1.58 1.50 1.43 1.37

1.00 1.00 1.00 1.00 1.00

0.429 0.443 0.462 0.480 0.497



103 103 103 103 103

0.00398 0.00390 0.00383 0.00375 0.00367

270 280 290 300 320

41.85 49.18 57.53 66.98 89.60

58.24 57.94 57.63 57.31 56.65

0.0993 0.1156 0.3390 0.1545 0.2033

932 925 918 910 895

1.020 1.023 1.026 1.029 1.036

0.523 0.530 0.538 0.547 0.567

0.395 0.395 0.395 0.394 0.393

0.0168 0.0172 0.0177 0.0182 0.0191

1.406 1.344 1.289 1.236 1.144



104 104 104 104 104

9.000 9.111 9.250 9.389 9.639



106 106 106 106 106

1.31 1.25 1.21 1.16 1.09

1.01 1.01 1.01 1.02 1.03

0.514 0.532 0.549 0.566 0.636



103 103 103 103 103

0.00360 0.00352 0.00344 0.00336 0.00319

340 360 380 400 450

117.93 152.92 195.60 241.1 422.1

55.95 55.22 54.46 53.65 51.46

0.2637 0.3377 0.4275 0.5359 0.9082

880 863 845 827 775

1.044 1.054 1.065 1.078 1.121

0.590 0.617 0.647 0.683 0.799

0.391 0.389 0.385 0.382 0.370

0.0202 0.0213 0.0224 0.0237 0.0271

1.063 9.972 9.361 8.833 7.722



104 105 105 105 105

9.889 1.013 1.041 1.066 1.130



106 105 105 105 105

1.02 0.973 0.932 0.893 0.842

1.04 1.06 1.08 1.11 1.20

0.656 0.681 0.720 0.771 0.912



103 103 103 103 103

0.00303 0.00286 0.00269 0.00251 0.00207

715 641 550 422 168

1.188 1.298 1.509 2.086 13.80

0.972 1.247 1.759 3.103 25.90

0.352 0.329 0.299 0.267 0.254

0.0312 0.0368 0.0461 0.0677 0.1964

6.833 6.083 5.389 4.639 3.417



105 105 105 105 105

1.200 1.280 1.380 1.542 2.044



105 105 105 105 105

0.830 0.864 0.979 1.30 6.68

1.35 1.56 1.90 2.54 9.71

1.111 103 1.445 103 1.885 103

0.00162 0.00118 0.00074 0.00034 0.00002

0 

0 

2.897 105 2.897 105

32.02 40 50 60 70

500 550 600 650 700

680.0 1046.7 1541 2210 3090

48.95 45.96 42.32 37.31 27.28

1.479 4.268 3.736 6.152 13.44

705.44

3204

19.79

19.79

0

0

0

0

Nota 1: La viscosidad cinemática n y la difusividad térmica a se pueden calcular a partir de sus definiciones: n  m/r y a  k/rcp  n/Pr. Las temperaturas 32.02°F, 212°F y 705.44°F son las temperaturas del punto triple, de ebullición y crítico del agua, respectivamente. Las propiedades citadas anteriormente (excepto la densidad del vapor) se pueden usar a cualquier presión con error despreciable, excepto a temperaturas cerca del valor de punto crítico. Nota 2: La unidad Btu/lbm · °F para calor específico es equivalente a Btu/lbm · R, y la unidad Btu/h · ft · °F para conductividad térmica es equivalente a Btu/h · ft · R. Fuente: Los datos de viscosidad y conductividad térmica están tomados de J.V. Sengers y J.T.R. Watson, Journal of Physical and Chemical Reference Data 15 (1986), pp. 1291-1322. Otros datos se obtuvieron de diversas fuentes o se calcularon.

943 APÉNDICE 2

TABLA A-4I Propiedades del refrigerante-134a saturado

Presión de Temp. saturación T, °F P, psia Líquido

Vapor

Líquido

Vapor

Líquido

Vapor

Líquido

Coeficiente de expansión volumétrica Tensión b, 1/R superf., Vapor Líquido lbf/ft

40 30 20 10 0

7.4 9.9 12.9 16.6 21.2

88.51 87.5 86.48 85.44 84.38

0.1731 0.2258 0.2905 0.3691 0.4635

97.1 95.6 94.1 92.5 90.9

0.2996 0.3021 0.3046 0.3074 0.3103

0.1788 0.1829 0.1872 0.1918 0.1966

0.0636 0.0626 0.0613 0.0602 0.0589

0.00466 0.00497 0.00529 0.00559 0.00589

3.278 3.004 2.762 2.546 2.354



104 104 104 104 104

1.714 2.053 2.433 2.856 3.314



106 106 106 106 106

5.558 5.226 4.937 4.684 4.463

0.237 0.272 0.310 0.352 0.398

0.00114 0.00117 0.00120 0.00124 0.00128

0.001206 0.001146 0.001087 0.001029 0.000972

10 20 30 40 50

26.6 33.1 40.8 49.8 60.2

83.31 82.2 81.08 79.92 78.73

0.5761 0.7094 0.866 1.049 1.262

89.3 87.5 85.8 83.9 82.0

0.3134 0.3167 0.3203 0.3240 0.3281

0.2017 0.2070 0.2127 0.2188 0.2253

0.0576 0.0563 0.0550 0.0536 0.0522

0.00619 0.00648 0.00676 0.00704 0.00732

2.181 2.024 1.883 1.752 1.633



104 104 104 104 104

3.811 4.342 4.906 5.494 6.103



106 106 106 106 106

4.269 4.098 3.947 3.814 3.697

0.447 0.500 0.555 0.614 0.677

0.00132 0.00137 0.00142 0.00149 0.00156

0.000915 0.000859 0.000803 0.000749 0.000695

60 70 80 90 100

72.2 85.9 101.4 119.1 138.9

77.51 76.25 74.94 73.59 72.17

1.509 1.794 2.122 2.5 2.935

80.0 78.0 75.8 73.5 71.1

0.3325 0.3372 0.3424 0.3481 0.3548

0.2323 0.2398 0.2481 0.2572 0.2674

0.0507 0.0492 0.0476 0.0460 0.0444

0.00758 0.00785 0.00810 0.00835 0.00860

1.522 1.420 1.324 1.234 1.149



104 104 104 104 104

6.725 7.356 7.986 8.611 9.222



106 106 106 106 106

3.594 3.504 3.425 3.357 3.303

0.742 0.810 0.880 0.955 1.032

0.00163 0.00173 0.00183 0.00195 0.00210

0.000642 0.000590 0.000538 0.000488 0.000439

110 120 130 140 150

161.2 186.0 213.5 244.1 277.8

70.69 69.13 67.48 65.72 63.83

3.435 4.012 4.679 5.455 6.367

68.5 65.8 62.9 59.8 56.4

0.3627 0.3719 0.3829 0.3963 0.4131

0.2790 0.2925 0.3083 0.3276 0.3520

0.0427 0.0410 0.0392 0.0374 0.0355

0.00884 0.00908 0.00931 0.00954 0.00976

1.068 9.911 9.175 8.464 7.778



104 105 105 105 105

9.814 1.038 1.092 1.144 1.195



106 105 105 105 105

3.262 3.235 3.223 3.229 3.259

1.115 1.204 1.303 1.416 1.551

0.00227 0.00248 0.00275 0.00308 0.00351

0.000391 0.000344 0.000299 0.000255 0.000212

160 170 180 190 200

314.9 355.8 400.7 449.9 504.0

61.76 59.47 56.85 53.75 49.75

7.45 8.762 10.4 12.53 15.57

52.7 48.5 43.7 38.0 30.7

0.4352 0.4659 0.5123 0.5929 0.7717

0.3839 0.4286 0.4960 0.6112 0.8544

0.0335 0.0314 0.0292 0.0267 0.0239

0.00998 0.01020 0.01041 0.01063 0.01085

7.108 6.450 5.792 5.119 4.397



105 105 105 105 105

1.245 1.298 1.356 1.431 1.544



105 105 105 105 105

3.324 3.443 3.661 4.090 5.119

1.725 1.963 2.327 2.964 4.376

0.00411 0.00498 0.00637 0.00891 0.01490

0.000171 0.000132 0.000095 0.000061 0.000031

210

563.8

43.19

21.18

18.9

1.4786

1.6683

0.0199

0.01110

3.483 105

1.787 105

9.311

9.669

0.04021

0.000006

Densidad r, lbm/ft3

Entalpía de vaporización hfg, Btu/lbm

Calor específico cp, Btu/lbm · R

Conductividad térmica k, Btu/h · ft · R

Número de Prandtl Pr

Viscosidad dinámica m, lbm/ft · s Líquido

Vapor

Nota 1: La viscosidad cinemática n y la difusividad térmica a se pueden calcular a partir de sus definiciones: n  m/r y a  k/rcp  n/Pr. Las propiedades citadas aquí (excepto la densidad de vapor) se pueden usar a cualquier presión con error despreciable, excepto a temperaturas cercanas al valor de punto crítico. Nota 2: La unidad Btu/lbm · °F para calor específico es equivalente a Btu/lbm · R, y la unidad Btu/h · ft · °F para conductividad térmica es equivalente a Btu/h · ft · R. Fuente: Datos generados a partir del Software EES desarrollado por S.A. Klein y F.L. Alvarado. Fuentes originales: R. Tillner-Roth and H.D. Baehr, “An International Standard Formulation for the Thermodynamic Properties of 1,1,1,2-Tetrafluoroethane (HFC-134a) for Temperatures from 170 K to 455 K and Pressures up to 70 MPa”, J. Phys. Chem. Ref. Data, Vol. 23, No. 5, 1994; M.J. Assael, N.K. Dalaouti, A.A. Griva, y J.H. Dymond, “Viscosity and Thermal Conductivity of Halogenated Methane and Ethane Refrigerants”, IJR, Vol. 22, pp. 525-535, 1999; NIST REFPROP 6 program (M.O. McLinden, S.A. Klein, E.W. Lemmon, y A.P. Peskin, Physicial and Chemical Properties Division, National Institute of Standards and Technology, Boulder, CO 80303, 1995).

944 TABLAS Y GRÁFICAS

TABLA A-5I Propiedades del amoniaco saturado

Presión de Temp. saturación T, °F P, psia Líquido

Vapor

Líquido

Vapor

Líquido

Vapor

Líquido

Coeficiente de expansión volumétrica Tensión b, 1/R superficial, Vapor Líquido lbf/ft

40 30 20 10 0

10.4 13.9 18.3 23.7 30.4

43.08 42.66 42.33 41.79 41.34

0.0402 0.0527 0.0681 0.0869 0.1097

597.0 590.2 583.2 575.9 568.4

1.0542 1.0610 1.0677 1.0742 1.0807

0.5354 0.5457 0.5571 0.5698 0.5838

— — 0.3501 0.3426 0.3352

0.01026 0.01057 0.01089 0.01121 0.01154

1.966 1.853 1.746 1.645 1.549

104 104 104 104 104

5.342 5.472 5.600 5.731 5.861



106 106 106 106 106

— — 1.917 1.856 1.797

1.003 1.017 1.031 1.048 1.068

0.00098 0.00101 0.00103 0.00106 0.00109

0.002443 0.002357 0.002272 0.002187 0.002103

10 20 30 40 50

38.5 48.2 59.8 73.4 89.2

40.89 40.43 39.96 39.48 38.99

0.1370 0.1694 0.2075 0.2521 0.3040

560.7 552.6 544.4 535.8 526.9

1.0873 1.0941 1.1012 1.1087 1.1168

0.5992 0.6160 0.6344 0.6544 0.6762

0.3278 0.3203 0.3129 0.3055 0.2980

0.01187 0.01220 0.01254 0.01288 0.01323

1.458 104 1.371 104 1290 104 1.213 104 1.140 104

5.994 6.125 6.256 6.389 6.522

106 106 106 106 106

1.740 1.686 1.634 1.585 1.539

1.089 1.113 1.140 1.168 1.200

0.00112 0.00116 0.00119 0.00123 0.00128

0.002018 0.001934 0.001850 0.001767 0.001684

60 70 80 90 100

107.7 128.9 153.2 180.8 212.0

38.50 37.99 37.47 36.94 36.40

0.3641 0.4332 0.5124 0.6029 0.7060

517.7 508.1 498.2 487.8 477.0

1.1256 1.1353 1.1461 1.1582 1.1719

0.6999 0.7257 0.7539 0.7846 0.8183

0.2906 0.2832 0.2757 0.2683 0.2609

0.01358 0.01394 0.01431 0.01468 0.01505

1.072 1.008 9.486 8.922 8.397



104 104 105 105 105

6.656 6.786 6.922 7.056 7.189

106 106 106 106 106

1.495 1.456 1.419 1.387 1.358

1.234 1.272 1.313 1.358 1.407

0.00132 0.00137 0.00143 0.00149 0.00156

0.001601 0.001518 0.001436 0.001354 0.001273

110 120 130 140 150

247.2 286.5 330.4 379.2 433.2

35.83 35.26 34.66 34.04 33.39

0.8233 0.9564 1.1074 1.2786 1.4730

465.8 454.1 441.7 428.8 415.2

1.1875 1.2054 1.2261 1.2502 1.2785

0.8554 0.8965 0.9425 0.9943 1.0533

0.2535 0.2460 0.2386 0.2312 0.2237

0.01543 0.01582 0.01621 0.01661 0.01702

7.903 7.444 7.017 6.617 6.244



105 105 105 105 105

7.325 7.458 7.594 7.731 7.867



106 106 106 106 106

1.333 1.313 1.298 1.288 1.285

1.461 1.522 1.589 1.666 1.753

0.00164 0.00174 0.00184 0.00196 0.00211

0.001192 0.001111 0.001031 0.000951 0.000872

160 170 180 190 200

492.7 558.2 630.1 708.6 794.4

32.72 32.01 31.26 30.47 29.62

1.6940 1.9460 2.2346 2.5670 2.9527

400.8 385.4 369.1 351.6 332.7

1.3120 1.3523 1.4015 1.4624 1.5397

1.1214 1.2012 1.2965 1.4128 1.5586

0.2163 0.2089 0.2014 0.1940 0.1866

0.01744 0.01786 0.01829 0.01874 0.01919

5.900 5.578 5.278 5.000 4.742



105 105 105 105 105

8.006 8.142 8.281 8.419 8.561



106 106 106 106 106

1.288 1.300 1.322 1.357 1.409

1.853 1.971 2.113 2.286 2.503

0.00228 0.00249 0.00274 0.00306 0.00348

0.000794 0.000716 0.000638 0.000562 0.000486

210 220 230 240

887.9 989.5 1099.8 1219.4

28.70 27.69 25.57 25.28

3.4053 3.9440 4.5987 5.4197

312.0 289.2 263.5 234.0

1.6411 1.7798 1.9824 2.3100

1.7473 2.0022 2.3659 2.9264

0.1791 0.1717 0.1643 0.1568

0.01966 0.02015 0.02065 0.02119

4.500 4.275 4.064 3.864



105 105 105 105

8.703 106 8.844 106 8.989 106 9.136 106

1.484 1.595 1.765 2.049

2.784 3.164 3.707 4.542

0.00403 0.00480 0.00594 0.00784

0.000411 0.000338 0.000265 0.000194

Densidad r, lbm/ft3

Entalpía de vaporización hfg, Btu/lbm

Calor específico cp, Btu/lbm · R

Conductividad térmica k, Btu/h · ft · R

Número de Prandtl Pr

Viscosidad dinámica m, lbm/ft · s Líquido

Vapor

Nota 1: La viscosidad cinemática n y la difusividad térmica a se pueden calcular a partir de sus definiciones: n  m/r y a  k/rcp  n/Pr. Las propiedades citadas aquí (excepto la densidad de vapor) se pueden usar a cualquier presión con error despreciable, excepto a temperaturas cercanas al valor de punto crítico. Nota 2: La unidad Btu/lbm · °F para calor específico es equivalente a Btu/lbm · R, y la unidad Btu/h · ft · °F para conductividad térmica es equivalente a Btu/h · ft · R. Fuente: Datos generados a partir del Software EES desarrollado por S.A. Klein y F.L. Alvarado. Fuentes originales: Tillner-Roth, Harms-Watzenterg y Baehr, “Eine neue Fundamentalgleichung fur Ammoniak”, DKV-Tagungsbericht 20: 167-181, 1993; Liley y Desai, “Thermophysical Properties of Refrigerants”, ASHRAE, 1993, ISBN 1-1883413-10-9.

945 APÉNDICE 2

TABLA A-6I Propiedades del propano saturado

Líquido

Vapor

Líquido

Coeficiente de expansión volumétrica Tensión b, 1/R superficial, Vapor Líquido lbf/ft

200 180 160 140 120

0.0201 0.0752 0.2307 0.6037 1.389

42.06 41.36 40.65 39.93 39.20

0.0003 0.0011 0.0032 0.0078 0.0170

217.7 213.4 209.1 204.8 200.5

0.4750 0.4793 0.4845 0.4907 0.4982

0.2595 0.2680 0.2769 0.2866 0.2971

0.1073 0.1033 0.0992 0.0949 0.0906

0.00313 0.00347 0.00384 0.00423 0.00465

5.012 3.941 3.199 2.660 2.252



104 104 104 104 104

2.789 2.975 3.164 3.358 3.556



106 106 106 106 106

7.991 6.582 5.626 4.951 4.457

0.833 0.826 0.821 0.818 0.817

0.00083 0.00086 0.00088 0.00091 0.00094

0.001890 0.001780 0.001671 0.001563 0.001455

100 90 80 70 60

2.878 4.006 5.467 7.327 9.657

38.46 38.08 37.70 37.32 36.93

0.0334 0.0453 0.0605 0.0793 0.1024

196.1 193.9 191.6 189.3 186.9

0.5069 0.5117 0.5169 0.5224 0.5283

0.3087 0.3150 0.3215 0.3284 0.3357

0.0863 0.0842 0.0821 0.0800 0.0780

0.00511 0.00534 0.00559 0.00585 0.00611

1.934 1.799 1.678 1.569 1.469



104 104 104 104 104

3.756 3.858 3.961 4.067 4.172



106 106 106 106 106

4.087 3.936 3.803 3.686 3.582

0.817 0.819 0.820 0.822 0.825

0.00097 0.00099 0.00101 0.00104 0.00106

0.001349 0.001297 0.001244 0.001192 0.001140

Temp. T, °F

Presión de saturación P, psia

Densidad r, lbm/ft3 Líquido

Vapor

Calor Entalpía específico de cp, Btu/lbm · R vaporización hfg, Btu/lbm Líquido Vapor

Conductividad térmica k, Btu/h · ft · R

Número de Prandtl Pr

Viscosidad dinámica m, lbm/ft · s Líquido

Vapor

50 40 30 20 10

12.54 16.05 20.29 25.34 31.3

36.54 36.13 35.73 35.31 34.89

0.1305 0.1641 0.2041 0.2512 0.3063

184.4 181.9 179.3 176.6 173.8

0.5345 0.5392 0.5460 0.5531 0.5607

0.3433 0.3513 0.3596 0.3684 0.3776

0.0760 0.0740 0.0721 0.0702 0.0683

0.00639 0.00668 0.00697 0.00728 0.00761

1.378 1.294 1.217 1.146 1.079



104 104 104 104 104

4.278 4.386 4.497 4.611 4.725



106 106 106 106 106

3.490 3.395 3.320 3.253 3.192

0.828 0.831 0.835 0.840 0.845

0.00109 0.00112 0.00115 0.00119 0.00123

0.001089 0.001038 0.000987 0.000937 0.000887

0 10 20 30 40

38.28 46.38 55.7 66.35 78.45

34.46 34.02 33.56 33.10 32.62

0.3703 0.4441 0.5289 0.6259 0.7365

170.9 167.9 164.8 161.6 158.1

0.5689 0.5775 0.5867 0.5966 0.6072

0.3874 0.3976 0.4084 0.4199 0.4321

0.0665 0.0647 0.0629 0.0612 0.0595

0.00794 0.00829 0.00865 0.00903 0.00942

1.018 9.606 9.067 8.561 8.081



104 105 105 105 105

4.842 4.961 5.086 5.211 5.342



106 106 106 106 106

3.137 3.088 3.043 3.003 2.967

0.850 0.857 0.864 0.873 0.882

0.00127 0.00132 0.00138 0.00144 0.00151

0.000838 0.000789 0.000740 0.000692 0.000644

50 60 70 80 90

92.12 107.5 124.6 143.7 164.8

32.13 31.63 31.11 30.56 30.00

0.8621 1.0046 1.1659 1.3484 1.5549

154.6 150.8 146.8 142.7 138.2

0.6187 0.6311 0.6447 0.6596 0.6762

0.4452 0.4593 0.4746 0.4915 0.5103

0.0579 0.0563 0.0547 0.0532 0.0517

0.00983 0.01025 0.01070 0.01116 0.01165

7.631 7.200 6.794 6.406 6.033



105 105 105 105 105

5.478 5.617 5.764 5.919 6.081



106 106 106 106 106

2.935 2.906 2.881 2.860 2.843

0.893 0.906 0.921 0.938 0.959

0.00159 0.00168 0.00179 0.00191 0.00205

0.000597 0.000551 0.000505 0.000460 0.000416

188.1 241.8 306.1 382.4 472.9

29.41 28.13 26.69 24.98 22.79

1.7887 2.3562 3.1003 4.1145 5.6265

133.6 123.2 111.1 96.4 77.1

0.6947 0.7403 0.7841 0.8696 1.1436

0.5315 0.5844 0.6613 0.7911 1.0813

0.0501 0.0472 0.0442 0.0411 0.0376

0.01217 0.01328 0.01454 0.01603 0.01793

5.675 5.000 4.358 3.733 3.083



105 105 105 105 105

6.256 6.644 7.111 7.719 8.617



106 106 106 106 106

2.831 2.825 2.784 2.845 3.380

0.984 1.052 1.164 1.371 1.870

0.00222 0.00267 0.00338 0.00459 0.00791

0.000372 0.000288 0.000208 0.000133 0.000065

100 120 140 160 180

Nota 1: La viscosidad cinemática n y la difusividad térmica a se pueden calcular a partir de sus definiciones: n  m/r y a  k/rcp  n/Pr. Las propiedades citadas aquí (excepto la densidad de vapor) se pueden usar a cualquier presión con error despreciable, excepto a temperaturas cerca del valor de punto crítico. Nota 2: La unidad Btu/lbm · °F para calor específico es equivalente a Btu/lbm · R y la unidad Btu/h · ft · °F para conductividad térmica es equivalente a Btu/h · ft · R. Fuente: Datos generados a partir del Software EES desarrollado por S.A. Klein y F.L. Alvarado. Fuentes originales: Reiner Tillner-Roth, “Fundamental Equations of State,” Shaker, Verlag, Aachan, 1998; B.A. Younglove y J.F. Ely, “Thermophysical Properties of Fluids. II Methane, Ethane, Propane, Isobutane, and Normal Butane,” J. Phys. Chem. Ref. Data, Vol. 16, No. 4, 1987; G.R. Somayajulu, “A Generalized Equation for Surface Tension from the Triple-Point to the CriticalPoint”, International Journal of Thermophysics, Vol. 9, No. 4, 1988.

946 TABLAS Y GRÁFICAS

TABLA A-7I Propiedades de líquidos

Temp. T, °F

Densidad r, lbm/ft3

Calor específico cp, Btu/lbm · R

Conductividad térmica k, Btu/h · ft · R

Difusividad térmica a, ft2/s

Viscosidad dinámica m, lbm/ft · s

Viscosidad cinemática n, ft2/s

Coeficiente Número de de expansión Prandtl volumétrica b, Pr 1/R

Metano (CH4) 280 260 240 220 200 180 160 140

27.41 26.43 25.39 24.27 23.04 21.64 19.99 17.84

0.8152 0.8301 0.8523 0.8838 0.9314 1.010 1.158 1.542

0.1205 0.1097 0.0994 0.0896 0.0801 0.0709 0.0616 0.0518

1.497 1.389 1.276 1.159 1.036 9.008 7.397 5.234



106 106 106 106 106 107 107 107

1.057 8.014 6.303 5.075 4.142 3.394 2.758 2.168



104 105 105 105 105 105 105 105

3.857 3.032 2.482 2.091 1.798 1.568 1.379 1.215



106 106 106 106 106 106 106 106

2.575 2.183 1.945 1.803 1.734 1.741 1.865 2.322

0.00175 0.00192 0.00215 0.00247 0.00295 0.00374 0.00526 0.00943



104 104 104 104 104 104

7.879 6.840 6.005 5.326 4.769 4.308



106 106 106 106 106 106

7.317 6.468 5.793 5.250 4.808 4.447

0.000656 0.000671 0.000691 0.000716 0.000749 0.000789



104 104 104 104 104 105 105 105

1.500 8.939 6.043 4.406 3.368 2.653 2.127 1.713



105 106 106 106 106 106 106 106

12.96 7.977 5.830 4.738 4.114 3.716 3.437 3.264

0.000785 0.000836 0.000908 0.001012 0.001169 0.001421 0.001883 0.002970

Metanol [CH3(OH)] 70 90 110 130 150 170

49.15 48.50 47.85 47.18 46.50 45.80

0.6024 0.6189 0.6373 0.6576 0.6796 0.7035

0.1148 0.1143 0.1138 0.1133 0.1128 0.1124

1.076 1.057 1.036 1.014 9.918 9.687



106 106 106 106 107 107

3.872 3.317 2.872 2.513 2.218 1.973

Isobutano (R600a) 150 100 50 0 50 100 150 200

42.75 41.06 39.31 37.48 35.52 33.35 30.84 27.73

0.4483 0.4721 0.4986 0.5289 0.5643 0.6075 0.6656 0.7635

0.0799 0.0782 0.0731 0.0664 0.0591 0.0521 0.0457 0.0400

1.157 1.120 1.036 9.299 8.187 7.139 6.188 5.249



106 106 106 107 107 107 107 107

6.417 3.669 2.376 1.651 1.196 8.847 6.558 4.750

Glicerina 32 40 50 60 70 80 90 100

79.65 79.49 79.28 79.07 78.86 78.66 78.45 78.24

0.5402 0.5458 0.5541 0.5632 0.5715 0.5794 0.5878 0.5964

0.163 0.1637 0.1645 0.1651 0.1652 0.1652 0.1652 0.1653

1.052 1.048 1.040 1.029 1.018 1.007 9.955 9.841



106 106 106 106 106 106 107 107

7.047 4.803 2.850 1.547 0.9422 0.5497 0.3756 0.2277

0.08847 0.06042 0.03594 0.01956 0.01195 0.00699 0.004787 0.00291

84101 57655 34561 18995 11730 6941 4809 2957

Aceite de motor (no usado) 32 50 75 100 125 150 200 250 300

56.12 55.79 55.3 54.77 54.24 53.73 52.68 51.71 50.63

0.4291 0.4395 0.4531 0.4669 0.4809 0.4946 0.5231 0.5523 0.5818

0.0849 0.08338 0.08378 0.08367 0.08207 0.08046 0.07936 0.07776 0.07673

9.792 9.448 9.288 9.089 8.740 8.411 7.999 7.563 7.236



107 107 107 107 107 107 107 107 107

2.563 1.210 0.4286 0.1630 7.617 3.833 1.405 6.744 3.661

102 102 102 103 103

4.566 2.169 7.751 2.977 1.404 7.135 2.668 1.304 7.232



102 46636 102 22963 103 8345 103 3275 103 1607 104 848.3 104 333.6 104 172.5 105 99.94

Fuente : Datos generados a partir del Software EES desarrollado por S.A. Klein y F.L. Alvarado. Originalmente con base en diversas fuentes.

0.000389 0.000389 0.000389 0.000389 0.000389 0.000389 0.000389 0.000389 0.000389

947 APÉNDICE 2

TABLA A-8I Propiedades de metales líquidos

Temp. T, °F

Densidad r, lbm/ft3

Calor específico cp, Btu/lbm · R

Conductividad térmica k, Btu/h · ft · R

Difusividad térmica a, ft2/s

Viscosidad dinámica m, lbm/ft · s

Viscosidad cinemática n, ft2/s

Coeficiente de Número de expansión Prandtl volumétrica b, Pr 1/R

Punto de fusión del mercurio (Hg): 38°F 32 50 100 150 200 300 400 500 600

848.7 847.2 842.9 838.7 834.5 826.2 817.9 809.6 801.3

0.03353 0.03344 0.03319 0.03298 0.03279 0.03252 0.03236 0.03230 0.03235

4.727 4.805 5.015 5.221 5.422 5.815 6.184 6.518 6.839

4.614 4.712 4.980 5.244 5.504 6.013 6.491 6.924 7.329



105 105 105 105 105 105 105 105 105

1.133 1.092 9.919 9.122 8.492 7.583 6.972 6.525 6.186



103 103 104 104 104 104 104 104 104

1.335 1.289 1.176 1.087 1.017 9.180 8.524 8.061 7.719



106 106 106 106 106 107 107 107 107

0.02895 0.02737 0.02363 0.02074 0.01849 0.01527 0.01313 0.01164 0.01053

1.614 1.482 1.350 1.215 1.138



106 106 106 106 106

0.01352 0.01271 0.01183 0.0109 0.01029

2.450 2.223 1.994 1.862 1.727 1.590



106 106 106 106 106 106

0.02369 0.02143 0.01917 0.01798 0.01676 0.01551

7.239 6.350 5.433 4.488 3.354 3.014



106 106 106 106 106 106

0.01007 0.008891 0.007667 0.006387 0.004860 0.004449

4.933 4.500 4.052 3.589 2.614 2.409



106 106 106 106 106 106

0.006577 0.005975 0.005359 0.004728 0.003420 0.003248

Punto de fusión del bismuto (Bi): 520°F 700 800 900 1000 1100

620.7 616.5 612.2 608.0 603.7

0.03509 0.03569 0.0363 0.0369 0.0375

9.361 9.245 9.129 9.014 9.014

1.193 1.167 1.141 1.116 1.105



104 104 104 104 104

1.001 9.142 8.267 7.392 6.872



103 104 104 104 104

Punto de fusión del plomo (Pb): 621°F 700 800 900 1000 1100 1200

658 654 650 645.7 641.5 637.2

0.03797 0.03750 0.03702 0.03702 0.03702 0.03702

9.302 9.157 9.013 8.912 8.810 8.709

1.034 1.037 1.040 1.035 1.030 1.025



104 104 104 104 104 104

1.612 1.453 1.296 1.202 1.108 1.013



103 103 103 103 103 103

Punto de fusión del sodio (Na): 208°F 300 400 500 600 800 1000

57.13 56.28 55.42 54.56 52.85 51.14

0.3258 0.3219 0.3181 0.3143 0.3089 0.3057

48.19 46.58 44.98 43.37 40.55 38.12

7.192 7.142 7.087 7.026 6.901 6.773



104 104 104 104 104 104

4.136 3.572 3.011 2.448 1.772 1.541



104 104 104 104 104 104

Punto de fusión del potasio (K): 147°F 300 400 500 600 800 1000

50.40 49.58 48.76 47.94 46.31 44.62

0.1911 0.1887 0.1863 0.1839 0.1791 0.1791

26.00 25.37 24.73 24.09 22.82 21.34

7.500 7.532 7.562 7.591 7.643 7.417



104 104 104 104 104 104

2.486 2.231 1.976 1.721 1.210 1.075



104 104 104 104 104 104

Punto de fusión sodio-potasio (22 por ciento Na-78 por ciento K): 12°F 200 300 400 600 800 1000

52.99 52.16 51.32 49.65 47.99 46.36

0.2259 0.2230 0.2201 0.2143 0.2100 0.2103

14.79 14.99 15.19 15.59 15.95 16.20

3.432 3.580 3.735 4.070 4.396 4.615



104 104 104 104 104 104

3.886 3.467 3.050 2.213 1.539 1.353



104 104 104 104 104 104

7.331 6.647 5.940 4.456 3.207 2.919



106 106 106 106 106 106

0.02136 0.01857 0.0159 0.01095 0.007296 0.006324

Fuente: Datos generados a partir del Software EES desarrollado por S.A. Klein y F.L. Alvarado. Originalmente con base en diversas fuentes.

1.005 1.005 1.005 1.005 1.005 1.005 1.008 1.018 1.035



104 104 104 104 104 104 104 104 104

948 TABLAS Y GRÁFICAS

TABLA A-9I Propiedades del aire a 1 atm de presión Temp. T, °F

Densidad r, lbm/ft3

Calor específico cp, Btu/lbm · R

Conductividad térmica k, Btu/h · ft · R

Difusividad térmica a, ft2/s

Viscosidad dinámica m, lbm/ft · s

300 200 100 50 0

0.24844 0.15276 0.11029 0.09683 0.08630

0.5072 0.2247 0.2360 0.2389 0.2401

0.00508 0.00778 0.01037 0.01164 0.01288

1.119 6.294 1.106 1.397 1.726



105 105 104 104 104

4.039 6.772 9.042 1.006 1.102



106 106 106 105 105

1.625 4.433 8.197 1.039 1.278



105 105 105 104 104

1.4501 0.7042 0.7404 0.7439 0.7403

10 20 30 40 50

0.08446 0.08270 0.08101 0.07939 0.07783

0.2402 0.2403 0.2403 0.2404 0.2404

0.01312 0.01336 0.01361 0.01385 0.01409

1.797 1.868 1.942 2.016 2.092



104 104 104 104 104

1.121 1.140 1.158 1.176 1.194



105 105 105 105 105

1.328 1.379 1.430 1.482 1.535



104 104 104 104 104

0.7391 0.7378 0.7365 0.7350 0.7336

60 70 80 90 100

0.07633 0.07489 0.07350 0.07217 0.07088

0.2404 0.2404 0.2404 0.2404 0.2405

0.01433 0.01457 0.01481 0.01505 0.01529

2.169 2.248 2.328 2.409 2.491



104 104 104 104 104

1.212 1.230 1.247 1.265 1.281



105 105 105 105 105

1.588 1.643 1.697 1.753 1.809



104 104 104 104 104

0.7321 0.7306 0.7290 0.7275 0.7260

110 120 130 140 150

0.06963 0.06843 0.06727 0.06615 0.06507

0.2405 0.2405 0.2405 0.2406 0.2406

0.01552 0.01576 0.01599 0.01623 0.01646

2.575 2.660 2.746 2.833 2.921



104 104 104 104 104

1.299 1.316 1.332 1.349 1.365



105 105 105 105 105

1.866 1.923 1.981 2.040 2.099



104 104 104 104 104

0.7245 0.7230 0.7216 0.7202 0.7188

160 170 180 190 200

0.06402 0.06300 0.06201 0.06106 0.06013

0.2406 0.2407 0.2408 0.2408 0.2409

0.01669 0.01692 0.01715 0.01738 0.01761

3.010 3.100 3.191 3.284 3.377



104 104 104 104 104

1.382 1.398 1.414 1.430 1.446



105 105 105 105 105

2.159 2.220 2.281 2.343 2.406



104 104 104 104 104

0.7174 0.7161 0.7148 0.7136 0.7124

250 300 350 400 450

0.05590 0.05222 0.04899 0.04614 0.04361

0.2415 0.2423 0.2433 0.2445 0.2458

0.01874 0.01985 0.02094 0.02200 0.02305

3.857 4.358 4.879 5.419 5.974



104 104 104 104 104

1.524 1.599 1.672 1.743 1.812



105 105 105 105 105

2.727 3.063 3.413 3.777 4.154



104 104 104 104 104

0.7071 0.7028 0.6995 0.6971 0.6953

500 600 700 800 900

0.04134 0.03743 0.03421 0.03149 0.02917

0.2472 0.2503 0.2535 0.2568 0.2599

0.02408 0.02608 0.02800 0.02986 0.03164

6.546 7.732 8.970 1.025 1.158



104 104 104 103 103

1.878 2.007 2.129 2.247 2.359



105 105 105 105 105

4.544 5.361 6.225 7.134 8.087



104 104 104 104 104

0.6942 0.6934 0.6940 0.6956 0.6978

1000 1500 2000 2500 3000

0.02718 0.02024 0.01613 0.01340 0.01147

0.2630 0.2761 0.2855 0.2922 0.2972

0.03336 0.04106 0.04752 0.05309 0.05811

1.296 2.041 2.867 3.765 4.737



103 103 103 103 103

2.467 2.957 3.379 3.750 4.082



105 105 105 105 105

9.080 1.460 2.095 2.798 3.560



104 103 103 103 103

0.7004 0.7158 0.7308 0.7432 0.7516

3500 4000

0.01002 0.00889

0.3010 0.3040

0.06293 0.06789

5.797 103 6.975 103

4.373 103 5.229 103

0.7543 0.7497

4.381 105 4.651 105

Viscosidad cinemática n, ft2/s

Número de Prandtl Pr

Nota: Para gases ideales, cp, k, m y Pr son independientes de la presión. Las propiedades r, n y a a una presión P distinta a 1 atm se determinan cuando se multiplican los valores de r a la temperatura dada por P (en atm) y cuando se dividen n y a entre P (en atm). Fuente: Datos generados a partir del Software EES desarrollado por S.A. Klein y F.L. Alvarado. Fuentes originales: Keenan, Chao, Keyes, Gas Tables, Wiley, 198; and Thermophysical Properties of Matter, Vol. 3: Thermal Conductivity, Y.S. Touloukian, P.E. Liley, S.C. Saxena, Vol. 11: Viscosity, Y.S. Touloukian, S.C. Saxena, y P. Hestermans, IFI/Plenun, NY, 1970, ISBN 0-306067020-8.

949 APÉNDICE 2

TABLA A-10I Propiedades de gases a 1 atm de presión Temp. T, °F

Densidad r, lbm/ft3

Calor específico cp, Btu/lbm · R

Conductividad térmica k, Btu/h · ft · R

Difusividad térmica a, ft2/s

Viscosidad dinámica m, lbm/ft · s

Viscosidad cinemática n, ft2/s

Número de Prandtl Pr

Dióxido de carbono, CO2 50 0 50 100 200 300 500 1000 1500 2000

0.14712 0.13111 0.11825 0.10769 0.09136 0.07934 0.06280 0.04129 0.03075 0.02450

0.1797 0.1885 0.1965 0.2039 0.2171 0.2284 0.2473 0.2796 0.2995 0.3124

0.00628 0.00758 0.00888 0.01017 0.01273 0.01528 0.02027 0.03213 0.04281 0.05193

6.600 8.522 1.061 1.286 1.784 2.341 3.626 7.733 1.290 1.885



105 105 104 104 104 104 104 104 103 103

7.739 8.661 9.564 1.045 1.217 1.382 1.696 2.381 2.956 3.451



106 106 106 105 105 105 105 105 105 105

5.261 6.606 8.086 9.703 1.332 1.743 2.700 5.767 9.610 1.408



105 105 105 105 104 104 104 104 104 103

0.7970 0.7751 0.7621 0.7543 0.7469 0.7445 0.7446 0.7458 0.7445 0.7474

104 104 104 104 104 104 104 103 103 103

9.419 1.036 1.127 1.214 1.379 1.531 1.802 2.334 2.766 3.231



106 105 105 105 105 105 105 105 105 105

1.005 1.242 1.498 1.772 2.372 3.032 4.508 8.881 1.413 2.072



104 104 104 104 104 104 104 104 103 103

0.7798 0.7593 0.7454 0.7359 0.7247 0.7191 0.7143 0.7078 0.7038 0.7136

104 104 104 104 104 104 104 103 103 103

5.861 6.506 7.133 7.742 8.906 1.000 1.200 1.620 1.974 2.327



106 106 106 106 106 105 105 105 105 105

1.092 1.361 1.655 1.972 2.674 3.457 5.244 1.076 1.760 2.605



104 104 104 104 104 104 104 103 103 103

0.8033 0.7649 0.7428 0.7311 0.7245 0.7283 0.7412 0.7491 0.7366 0.7353

4.969 5.381 5.781 6.167 6.911 7.622 8.967 1.201 1.477 1.734



106 106 106 106 106 106 106 105 105 105

7.373 8.960 1.067 1.250 1.652 2.098 3.117 6.354 1.048 1.544



104 104 103 103 103 103 103 103 102 102

0.6638 0.6960 0.7112 0.7177 0.7197 0.7174 0.7146 0.7241 0.7323 0.7362

Monóxido de carbono, CO 50 0 50 100 200 300 500 1000 1500 2000

0.09363 0.08345 0.07526 0.06854 0.05815 0.05049 0.03997 0.02628 0.01957 0.01559

0.2571 0.2523 0.2496 0.2484 0.2485 0.2505 0.2567 0.2732 0.2862 0.2958

0.01118 0.01240 0.01359 0.01476 0.01702 0.01920 0.02331 0.03243 0.04049 0.04822

1.290 1.636 2.009 2.408 3.273 4.217 6.311 1.254 2.008 2.903



Metano, CH4 50 0 50 100 200 300 500 1000 1500 2000

0.05363 0.04779 0.04311 0.03925 0.03330 0.02892 0.02289 0.01505 0.01121 0.00893

0.5335 0.5277 0.5320 0.5433 0.5784 0.6226 0.7194 0.9438 1.1162 1.2419

0.01401 0.01616 0.01839 0.02071 0.02559 0.03077 0.04195 0.07346 0.10766 0.14151

1.360 1.780 2.228 2.698 3.690 4.748 7.075 1.436 2.390 3.544



Hidrógeno, H2 50 0 50 100 200 300 500 1000 1500 2000

0.00674 0.00601 0.00542 0.00493 0.00419 0.00363 0.00288 0.00189 0.00141 0.00112

3.0603 3.2508 3.3553 3.4118 3.4549 3.4613 3.4572 3.5127 3.6317 3.7656

0.08246 0.09049 0.09818 0.10555 0.11946 0.13241 0.15620 0.20989 0.26381 0.31923

1.110 1.287 1.500 1.742 2.295 2.924 4.363 8.776 1.432 2.098



103 103 103 103 103 103 103 103 102 102

(continúa)

950 TABLAS Y GRÁFICAS

TABLA A-10I Propiedades de gases a 1 atm de presión (continuación) Temp. T, °F

Densidad r, lbm/ft3

Calor específico cp, Btu/lbm · R

Conductividad térmica k, Btu/h · ft · R

Difusividad térmica a, ft2/s

Viscosidad dinámica m, lbm/ft · s

Viscosidad cinemática n, ft2/s

Número de Prandtl Pr

Nitrógeno, N2 50 0 50 100 200 300 500 1000 1500 2000

0.09364 0.08346 0.07527 0.06854 0.05815 0.05050 0.03997 0.02628 0.01958 0.01560

0.2320 0.2441 0.2480 0.2489 0.2487 0.2492 0.2535 0.2697 0.2831 0.2927

0.01176 0.01300 0.01420 0.01537 0.01760 0.01970 0.02359 0.03204 0.04002 0.04918

1.504 1.773 2.113 2.502 3.379 4.349 6.466 1.255 2.006 2.992



104 104 104 104 104 104 104 103 103 103

9.500 1.043 1.134 1.221 1.388 1.543 1.823 2.387 2.829 3.212



106 105 105 105 105 105 105 105 105 105

1.014 1.251 1.507 1.783 2.387 3.055 4.559 9.083 1.445 2.059



104 104 104 104 104 104 104 104 103 103

0.6746 0.7056 0.7133 0.7126 0.7062 0.7025 0.7051 0.7232 0.7202 0.6882

104 104 104 104 104 104 104 103 103 103

1.104 1.218 1.326 1.429 1.625 1.806 2.139 2.855 3.474 4.035



105 105 105 105 105 105 105 105 105 105

1.032 1.277 1.543 1.826 2.446 3.132 4.685 9.509 1.553 2.265



104 104 104 104 104 104 104 104 103 103

0.7622 0.7312 0.7152 0.7072 0.7020 0.7018 0.7029 0.7005 0.6985 0.6988

4.933 5.592 6.261 6.942 8.333 9.756 1.267 2.014 2.742 3.422



106 106 106 106 106 106 105 105 105 105

8.192 1.041 1.293 1.574 2.228 3.004 4.931 1.191 2.178 3.411



105 104 104 104 104 104 104 103 103 103

1.0050 1.0049 1.0018 0.9969 0.9845 0.9713 0.9475 0.9063 0.8793 0.8563

Oxígeno, O2 50 0 50 100 200 300 500 1000 1500 2000

0.10697 0.09533 0.08598 0.07830 0.06643 0.05768 0.04566 0.03002 0.02236 0.01782

0.2331 0.2245 0.2209 0.2200 0.2221 0.2262 0.2352 0.2520 0.2626 0.2701

0.01216 0.01346 0.01475 0.01601 0.01851 0.02096 0.02577 0.03698 0.04701 0.05614

1.355 1.747 2.157 2.582 3.484 4.463 6.665 1.357 2.224 3.241



Vapor de agua, H2O 50 0 50 100 200 300 500 1000 1500 2000

0.06022 0.05367 0.04841 0.04408 0.03740 0.03248 0.02571 0.01690 0.01259 0.01003

0.4512 0.4484 0.4472 0.4473 0.4503 0.4557 0.4707 0.5167 0.5625 0.6034

0.00797 0.00898 0.01006 0.01121 0.01372 0.01648 0.02267 0.04134 0.06315 0.08681

8.153 1.036 1.291 1.579 2.263 3.093 5.204 1.314 2.477 3.984



105 104 104 104 104 104 104 103 103 103

Nota: Para gases ideales, las propiedades cp, k, m y Pr son independientes de la presión. Las propiedades r, n y a a una presión P distinta a 1 atm se determinan cuando se multiplican los valores de r a la temperatura dada por P (en atm) y cuando se dividen n y a entre P (en atm). Fuente: Datos generados a partir del Software EES desarrollado por S.A. Klein y F.L. Alvarado. Originalmente con base en diversas fuentes.

951 APÉNDICE 2

TABLA A-11I Propiedades de la atmósfera a gran altitud Altitud, ft

Temperatura, °F

Presión, psia

Gravedad, g, ft/s2

Velocidad del sonido, ft/s

Densidad, lbm/ft3

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 5500 6000 6500 7000 7500 8000 8500 9000 9500 10 000 11 000 12 000 13 000 14 000 15 000 16 000 17 000 18 000 19 000 20 000 22 000 24 000 26 000 28 000 30 000 32 000 34 000 36 000 38 000 40 000 45 000 50 000 55 000 60 000

59.00 57.22 55.43 53.65 51.87 50.09 48.30 46.52 44.74 42.96 41.17 39.39 37.61 35.83 34.05 32.26 30.48 28.70 26.92 25.14 23.36 19.79 16.23 12.67 9.12 5.55 1.99 1.58 5.14 8.70 12.2 19.4 26.5 33.6 40.7 47.8 54.9 62.0 69.2 69.7 69.7 69.7 69.7 69.7 69.7

14.7 14.4 14.2 13.9 13.7 13.4 13.2 12.9 12.7 12.5 12.2 12.0 11.8 11.6 11.3 11.1 10.9 10.7 10.5 10.3 10.1 9.72 9.34 8.99 8.63 8.29 7.97 7.65 7.34 7.05 6.76 6.21 5.70 5.22 4.78 4.37 3.99 3.63 3.30 3.05 2.73 2.148 1.691 1.332 1.048

32.174 32.173 32.171 32.169 32.168 32.166 32.165 32.163 32.162 32.160 32.159 32.157 32.156 32.154 32.152 32.151 32.149 32.148 32.146 32.145 32.145 32.140 32.137 32.134 32.131 32.128 32.125 32.122 32.119 32.115 32.112 32.106 32.100 32.094 32.088 32.082 32.08 32.07 32.06 32.06 32.05 32.04 32.02 32.00 31.99

1116 1115 1113 1111 1109 1107 1105 1103 1101 1099 1097 1095 1093 1091 1089 1087 1085 1083 1081 1079 1077 1073 1069 1065 1061 1057 1053 1049 1045 1041 1037 1029 1020 1012 1003 995 987 978 969 968 968 968 968 968 968

0.07647 0.07536 0.07426 0.07317 0.07210 0.07104 0.06998 0.06985 0.06792 0.06690 0.06590 0.06491 0.06393 0.06296 0.06200 0.06105 0.06012 0.05919 0.05828 0.05738 0.05648 0.05473 0.05302 0.05135 0.04973 0.04814 0.04659 0.04508 0.04361 0.04217 0.04077 0.03808 0.03553 0.03311 0.03082 0.02866 0.02661 0.02468 0.02285 0.02079 0.01890 0.01487 0.01171 0.00922 0.00726

Viscosidad m, lbm/ft · s 1.202 1.199 1.196 1.193 1.190 1.186 1.183 1.180 1.177 1.173 1.170 1.167 1.164 1.160 1.157 1.154 1.150 1.147 1.144 1.140 1.137 1.130 1.124 1.117 1.110 1.104 1.097 1.090 1.083 1.076 1.070 1.056 1.042 1.028 1.014 1.000 0.986 0.971 0.956 0.955 0.955 0.955 0.955 0.955 0.955



105 105 105 105 105 105 105 105 105 105 105 105 105 105 105 105 105 105 105 105 105 105 105 105 105 105 105 105 105 105 105 105 105 105 105 105 105 105 105 105 105 105 105 105 105

Conductividad térmica, Btu/h · ft · R 0.0146 0.0146 0.0146 0.0145 0.0145 0.0144 0.0144 0.0143 0.0143 0.0142 0.0142 0.0141 0.0141 0.0141 0.0140 0.0140 0.0139 0.0139 0.0138 0.0138 0.0137 0.0136 0.0136 0.0135 0.0134 0.0133 0.0132 0.0132 0.0130 0.0129 0.0128 0.0126 0.0124 0.0122 0.0121 0.0119 0.0117 0.0115 0.0113 0.0113 0.0113 0.0113 0.0113 0.0113 0.0113

Fuente: U.S. Standard Atmosphere Supplements, U.S. Government Printing Office, 1966. Con base en condiciones medias todo el año a 45° de latitud y que varían con la época del año y los patrones del clima. Se considera que las condiciones a nivel del mar (z  0) son P  14.696 psia, T  59°F, r  0.076474 lbm/ft3, g  32.1741 ft2/s.

GLOSARIO Autor invitado: James G. Brasseur, The Pennsylvania State University aceleración centrípeta: Aceleración asociada con el cambio en la dirección de la velocidad (vector) de una partícula material. aceleración convectiva: Con la finalidad de reducir la confusión de la terminología en flujos donde las fuerzas de flotabilidad generan movimientos de fluido convectivos, con frecuencia el término “aceleración convectiva” se sustituye con el término “aceleración advectiva”. || Sinónimo de aceleración advectiva, este término se debe agregar a la derivada parcial de la velocidad con respecto al tiempo para cuantificar de manera adecuada la aceleración de una partícula de fluido dentro de un marco de referencia euleriano. Por ejemplo, una partícula de fluido que se mueve a través de una contracción en un flujo estacionario aumenta su velocidad conforme se mueve, aunque la derivada con respecto al tiempo es cero. Al término adicional de aceleración advectiva que se requiere para cuantificar aceleración de fluido (por ejemplo, en la segunda Ley de Newton) se le llama derivada convectiva. Vea también descripción euleriana, descripción lagrangiana, derivada material y flujo estacionario. aceleración material: Aceleración de una partícula de fluido en el punto (x, y, z) en un flujo en el tiempo t. Está dada por la → derivada material de la velocidad del fluido: DV (x, y, z, t)/Dt. aerodinámica: Aplicación de la dinámica de fluidos a vehículos que van por aire, tierra y agua. Con frecuencia, el término se aplica específicamente al flujo que rodea y las fuerzas y momentos que actúan sobre los vehículos que vuelan en el aire, en oposición a los vehículos en agua u otros líquidos (hidrodinámica). análisis diferencial: Análisis en un punto del flujo (opuesto al análisis de un volumen de control). análisis dimensional: Proceso de análisis que se basa meramente en las variables de relevancia para el sistema de flujo bajo estudio, las dimensiones de las variables y la homogeneidad dimensional. Después de determinar las otras variables de las que depende una variable (por ejemplo, la fuerza de arrastre sobre un automóvil depende de la velocidad y el tamaño del auto, la viscosidad del fluido, la densidad del fluido y la rugosidad de la superficie), se aplica el principio de homogeneidad dimensional con el teorema Pi de Buckingham para relacionar una variable de interés adimensionalizada adecuadamente (por ejemplo, la fuerza de arrastre) con las otras variables adimensionalizadas adecuadamente (por ejemplo, números de Reynolds, razón de rugosidad y número de Mach). anemómetro de hilo caliente: Dispositivo que se usa para medir localmente una componente de velocidad en un flujo de gas, con base en la relación entre el flujo alrededor de un delgado alambre caliente (el hilo caliente), la temperatura del alambre y el calentamiento del alambre que resulta de una corriente. Vea también anemómetro de película caliente. anemómetro de película caliente: Similar a un anemómetro de hilo caliente excepto que usa una película metálica en vez de un

alambre; se usa principalmente para flujos líquidos. La porción de medición de una sonda de película caliente por lo general es más grande y más robusta que la de una sonda de hilo caliente. ángulo de ataque: Ángulo entre un perfil aerodinámico o ala y el vector de velocidad de flujo libre. aproximación de capa límite: Vea capa límite. arrastre debido a fricción: Parte del arrastre sobre un objeto que resulta del esfuerzo de corte superficial integrado en la dirección de flujo relativa al objeto. arrastre debido a presión (o de forma): Parte del arrastre sobre un objeto que resulta de la presión superficial integrada en la dirección del flujo relativa al objeto. La presión más grande sobre el frente de un cuerpo romo en movimiento (como un automóvil) en comparación con la presión sobre la parte trasera resulta de separación de flujo masiva y formación de estela en la parte trasera. arrastre inducido: Componente de la fuerza de arrastre sobre un ala de envergadura finita que se “induce” por medio de sustentación y que se asocia con los vórtices de las puntas que se forman en las puntas del ala y “descienden” detrás del ala. Vea también fuerza de arrastre. barómetro: Dispositivo que mide presión atmosférica. bidimensional: Vea dimensionalidad. calor: Vea energía. calor (transferencia): El término “calor” generalmente se usa como sinónimo de energía térmica. La transferencia de calor es la transferencia de energía térmica de una posición física a otra. campo: Representación de una variable de flujo como función de coordenadas eulerianas (x, y, z). Por ejemplo, los campos de velocidad y aceleración→son los vectores de velocidad y → aceleración del fluido (V , a ) como funciones de la posición (x, y, z) en la descripción euleriana en un tiempo específico t. campo de aceleración: Vea campo. campo de flujo: El campo de las variables de flujo. Por lo general, este término se refiere al campo de velocidad, pero también puede significar todas las variables del campo en un flujo de fluido. campo de velocidad: Vea campo. cantidad de movimiento: La cantidad de movimiento de una partícula material (o partícula de fluido) es la masa de la partícula material multiplicada por su velocidad. La cantidad de movimiento de un volumen macroscópico de partículas materiales es la cantidad de movimiento por unidad de volumen integrada sobre el volumen, donde la cantidad de movimiento por unidad de volumen es la densidad de la partícula material multiplicada por su velocidad. Note que la cantidad de movimiento es un vector. 953

954 GLOSARIO

capa de amortiguamiento: Parte de una capa límite turbulenta, cerca de la pared, que se encuentra entre las subcapas viscosa e inercial. Esta delgada capa es una transición desde la capa dominada por fricción adyacente a la superficie sólida, donde los esfuerzos viscosos son grandes, hacia la capa inercial, donde los esfuerzos turbulentos son grandes en comparación con los esfuerzos viscosos. capa de corte: Región de flujo cuasi bidimensional con un gradiente alto en la componente de velocidad de flujo en la dirección transversal del flujo. Las capas de corte son inherentemente viscosas y vorticiales en su naturaleza. capa límite: A números de Reynolds altos, en el flujo adyacente a las superficies donde el flujo se lleva al reposo (vea condición de no-deslizamiento), existen “capas límite” relativamente delgadas. Las capas límite se caracterizan por esfuerzo de corte alto con las velocidades más altas en regiones de la capa límite más alejadas de la superficie. La fuerza de fricción, el esfuerzo viscoso y la vorticidad son significativas en las capas límite. La forma aproximada de las dos componentes de la ecuación de Navier-Stokes, que se obtienen por medio de una simplificación al ignorar los términos que son pequeños dentro de la capa límite, se llaman ecuaciones de capa límite. La aproximación asociada con base en la existencia de capas límite delgadas rodeadas por flujo irrotacional o invíscido se llama aproximación de capa límite. carga: Una cantidad (presión, energía cinética, etc.) que se expresa como una altura de columna equivalente de un fluido. La ley de conservación de energía para flujo estacionario escrita para un volumen de control que rodea la línea de corriente central con una entrada y una salida, o que se encoge a una línea de corriente, se puede escribir de tal manera que cada término tenga las dimensiones de longitud. Cada uno de estos términos se llama término de carga. carga de elevación: Término en la forma de carga en la ley de conservación de la energía (vea carga) que involucra distancia en la dirección opuesta al vector gravitacional relativo a una referencia predefinida (z).

cinemática: En contraste con la dinámica, los aspectos cinemáticos de un flujo de fluido son aquellos que no involucran directamente.

carga de presión: Término en la forma de carga en la ley de conservación de la energía (vea carga) que involucra presión (P/rg).

Note que, a números de Reynolds altos (Re  1), CL es una variable normalizada, mientras que a Re  1, CL es adimensional pero no está normalizada (vea normalización). Vea también coeficiente de arrastre.

carga de velocidad: Término (energía cinética) en la forma de carga en la ley de conservación de la energía (vea carga) que involucra velocidad (V 2/2g). cavitación: Formación de burbujas de vapor en un líquido como resultado de la presión que va por abajo de la presión de vapor. centro de presión: Punto efectivo de aplicación de fuerza de presión distribuida sobre una superficie. Éste es el punto donde se debe colocar una fuerza contractuante (igual a la presión integrada) para que el momento neto en torno a este punto sea cero. chorro: Región dominada por fricción proveniente de un tubo u orificio y que se forma por capas límite superficiales que se barrieron por la velocidad media. Los chorros se caracterizan por corte alto con las mayores velocidades en el centro del chorro y las menores velocidades en los lados laterales. La fuerza de fricción, los esfuerzos viscosos y la vorticidad son significativos en los chorros.

coeficiente de arrastre: Arrastre adimensional dado por la fuerza de arrastre sobre un objeto al que se le quitan las dimensiones al dividir entre la presión dinámica del flujo libre multiplicada por el área frontal del objeto: CD 1

FD 2

2 rV

A

Note que, a números de Reynolds altos (Re  1), CD es una variable normalizada, mientras que a Re  1, CD es adimensional pero no está normalizada (vea normalización). Vea también coeficiente de sustentación. coeficiente de compresibilidad: Razón del cambio de presión al cambio relativo en volumen de una partícula de fluido. Este coeficiente cuantifica la compresibilidad en respuesta al cambio en presión, un importante efecto en flujos con número de Mach alto. Vea también compresibilidad. coeficiente de expansión volumétrica: Razón del cambio de densidad relativa al cambio en temperatura de una partícula de fluido. Este coeficiente cuantifica la compresibilidad en respuesta al cambio en temperatura. Coeficiente de fricción sobre la superficie: Esfuerzo de corte superficial tw al que se le quitan las dimensiones por medio de una presión dinámica adecuada 1–2 rV 2. También se llama coeficiente de fricción local, Cf . coeficiente de sustentación: Sustentación adimensional dada por la fuerza de sustentación sobre un objeto en sustentación (como un perfil aerodinámico o un ala) a la que se le quitan las dimensiones al dividir entre la presión dinámica del flujo libre multiplicada por el área de planta del objeto: CL 1

FL

2 rV

2

A

compresibilidad: Medida en la que una partícula de fluido cambia volumen cuando se sujeta a un cambio de presión o a un cambio de temperatura. condición de frontera: Cuando se resuelven variables de campo de flujo (velocidad, temperatura) a partir de ecuaciones gobernantes, es necesario especificar de forma matemática una función de la variable en la superficie que limita el campo de flujo. Estos enunciados matemáticos se llaman condiciones de frontera. La condición de no-deslizamiento de que la velocidad del flujo debe ser igual a la velocidad superficial en la superficie es un ejemplo de una condición de frontera que se usa con la ecuación de Navier-Stokes para resolverla para el campo de velocidad. condición de no-deslizamiento: Requisito de que, en la interfase entre un fluido y una superficie sólida, la velocidad del fluido y la velocidad de la superficie son iguales. Por lo tanto, si la superficie está fija, el fluido debe obedecer

955 GLOSARIO

la condición de frontera de que la velocidad del fluido = 0 en la superficie.

velocidad siempre se definen en un marco de referencia euleriano.

conservación de la cantidad de movimiento: Ésta es la segunda Ley de Newton del movimiento, una ley fundamental de la física que afirma que la razón de cambio en el tiempo de la cantidad de movimiento de una masa fija (sistema) se equilibra por medio de la suma neta de todas las fuerzas aplicadas a la masa.

descripción lagrangiana: En contraste con la descripción euleriana, un análisis lagrangiano se desarrolla a partir de un marco de referencia unido a partículas materiales en movimiento. Por ejemplo, la aceleración de partícula sólida en → → la forma estándar de la segunda Ley de Newton, F  ma , está en un sistema coordenado que se mueve con la partícula, de → modo que la aceleración a está dada por la derivada en el tiempo de la velocidad de la partícula. Éste es el enfoque analítico típico que se usa para análisis del movimiento de objetos sólidos.

continuo: Tratamiento de la materia como una distribución continua (sin hoyos) de elementos de volumen diferencial de masa finita. Cada elemento de volumen debe contener grandes números de moléculas, de modo que el efecto macroscópico de las moléculas se pueda modelar sin considerar moléculas individuales. corte: Se refiere a los gradientes (derivadas) de las componentes de velocidad en direcciones normales a la componente de velocidad. cuerpo romo: Objeto en movimiento con una porción posterior roma. Los cuerpos romos tienen estelas que resultan de la separación de flujo masivo de la parte posterior del cuerpo. deformación: Vea razón de deformación. deformación debida al corte: Vea razón de deformación. derivada convectiva: Vea derivada material y aceleración convectiva. derivada euleriana: Vea derivada material. derivada lagrangiana: Vea derivada material. derivada material: Términos sinónimos son derivada total, derivada sustancial y derivada de partícula. Estos términos significan la razón de cambio en el tiempo de las variables del fluido (temperatura, velocidad, etc.) que se mueven con una partícula de fluido. Por ende, la derivada material de la temperatura en un punto (x, y, z) en el tiempo t es la derivada en el tiempo de la temperatura unida a una partícula de fluido en movimiento en el punto (x, y, z) en el flujo en el tiempo t. En un marco de referencia lagrangiano (es decir: un marco unido a la partícula en movimiento), la temperatura de la partícula Tpartícula sólo depende del tiempo, de modo que una derivada en el tiempo es una derivada total dTpartícula(t)/dt. En un marco euleriano, el campo temperatura T(x, y, z, t) depende tanto de la posición (x, y, z) como del tiempo t, de modo que la derivada material debe incluir tanto una derivada parcial en el tiempo como una derivada convectiva: dTpartícula(t)/dt DT(x, y, z, t)/Dt → →  T/ t  V  T. Vea también campo. derivada parcial: Vea derivada material. derivada sustancial: Vea derivada material. derivada total: Vea derivada material. descripción euleriana: En contraste con una descripción lagrangiana, un análisis euleriano de flujo de fluido se desarrolla desde un marco de referencia a través del cual se mueven las partículas de fluido. En este marco la aceleración de las partículas de fluido no es simplemente la derivada en el tiempo de la velocidad del fluido, y debe incluir otro término, llamado aceleración convectiva, para describir el cambio en velocidad de las partículas de fluido conforme se mueven a través de un campo de velocidad. Note que los campos de

diagrama de Moody: Una gráfica del factor de fricción como función del número de Reynolds y el parámetro de rugosidad que se usa de manera común para flujo en tubería totalmente desarrollado. La gráfica es una combinación de la teoría de flujo laminar con una representación gráfica de la fórmula empírica de Colebrook para un gran conjunto de datos experimentales de flujo turbulento en tuberías de diversos valores de rugosidad semejante a la rugosidad “de papel de lija”. dimensión primaria: Vea dimensiones. dimensionalidad: Número de coordenadas espaciales en cuya dirección las componentes de velocidad y/u otras variables varían para un sistema coordenado específico. Por ejemplo, el flujo totalmente desarrollado en un tubo es unidimensional (1-D) en la dirección radial r, pues la única componente de velocidad distinta de cero (la axial, o componente x) es constante en las direcciones x y u, pero varía en la dirección r. Los flujos planares son bidimensionales (2-D). Los flujos sobre cuerpos romos como automóviles, aviones y edificios son tridimensionales (3-D). Las derivadas espaciales sólo son distintas de cero en las direcciones de dimensionalidad. dimensiones: Especificación requerida de una cantidad física más allá de su valor numérico. Vea también unidades. dimensiones básicas: Vea dimensiones. dimensiones derivadas (o secundarias): Combinaciones de dimensiones fundamentales. Ejemplos de dimensiones derivadas son: Velocidad (L/t), esfuerzo o presión (F/L2  m/(Lt 2), energía o trabajo (mL2/t 2  FL), densidad (m/L3), peso específico (F/L3) y gravedad específica (sin unidades). Vea también dimensiones. dimensiones fundamentales (primarias, básicas): Masa (m), longitud (L), tiempo (t), temperatura (T), corriente eléctrica (I), cantidad de luz (C) y cantidad de materia (N) sin referencia a un sistema específico de unidades. Note que la dimensión de fuerza se obtiene por medio de la Ley de Newton como F = mL/t2 (por ende, la dimensión de masa se puede sustituir con una dimensión de fuerza cuando se sustituye m por Ft2/L). Vea también dimensiones. dinámica: Cuando se contrasta con estática el término se refiere a la aplicación de la segunda ley de movimiento de Newton a materia en movimiento. Cuando se contrasta con cinemática, el término se refiere a fuerzas o aceleraciones en balance de fuerzas establecido por medio de Ley de Newton. dinámica de fluido computacional (DFC, CFD por sus siglas en inglés): Aplicación de las leyes de conservación con

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condiciones de frontera e inicial en forma de matemática discreta para estimar cuantitativamente variables de campo sobre una red (o malla) discreta que abarca parte del campo de flujo. dinámica de gases: El estudio y análisis de los gases y vapores por medio de las leyes de conservación macroscópicas de la física (vea mecánica/dinámica de fluidos). ecuación de Bernoulli: Reducción útil de la ecuación de conservación de la cantidad de movimiento (y de la ecuación de conservación de la energía) que describe un equilibrio entre la presión (trabajo de flujo), la velocidad (energía cinética) y la posición de las partículas de fluido relativas al vector gravedad (energía potencial) en regiones de un flujo de fluido donde la fuerza de fricción sobre las partículas de fluido es despreciable en comparación con la fuerza de presión en esta región del flujo (vea flujo irrotacional). Existen múltiples formas de la ecuación de Bernoulli para fluido incompresible contra fluido compresible, estacionario contra no-estacionario, y sus deducciones por medio de la Ley de Newton contra la primera ley de la termodinámica. Las formas más comúnmente usadas son para flujo estacionario de fluido incompresible deducido por medio de la ecuación de conservación de la cantidad de movimiento. ecuación de continuidad: Forma matemática de la conservación de masa aplicada a una partícula de fluido en un flujo. ecuación de Navier-Stokes: La segunda Ley de Newton de movimiento de fluido (o conservación de cantidad de movimiento) escrita para una partícula de fluido (en la forma diferencial) con la sustitución del tensor de esfuerzo viscoso por la relación constitutiva entre el esfuerzo y la razón de deformación para fluidos newtonianos. Por lo tanto, la ecuación de Navier-Stokes es simplemente la Ley de Newton escrita para fluidos newtonianos. ecuaciones constitutivas: Relación empírica entre una variable física que aparece en una ley de conservación de la física y otras variables físicas en la ecuación las cuales se debe predecir. Por ejemplo, la ecuación de energía que se escribe para la temperatura incluye el vector de flujo de calor. Se conoce, a partir de los experimentos, que el flujo de calor para los materiales más comunes se aproxima con precisión como una magnitud proporcional al gradiente de temperatura (esto se llama Ley de Fourier). En la Ley de Newton escrita para una partícula de fluido, el tensor de esfuerzo viscoso (vea esfuerzo) se debe escribir como función de la velocidad para resolver la ecuación. La relación constitutiva más común para esfuerzo viscoso es la de un fluido newtoniano. Vea también reología.

activar la bomba. Por lo tanto, la eficiencia de acoplamiento de bomba con motor incluye pérdidas adicionales y es, en consecuencia, menor que la eficiencia de bomba mecánica. el equilibrio de fuerzas de la segunda Ley de Newton. La cinemática se refiere a descripciones y derivaciones matemáticas sólo con base en la conservación de la masa (continuidad) y las definiciones relacionadas con el flujo y la deformación. eliminación de dimensiones: Proceso de convertir en adimensional una variable dimensional, cuando se divide la variable entre un parámetro de escalamiento (una sola variable o una combinación de variables) que tiene las mismas dimensiones. Por ejemplo, la presión superficial sobre una bola en movimiento puede volverse adimensional cuando se divide entre rV 2, donde r es la densidad del fluido y V es la velocidad de corriente libre. Vea también normalización. energía: Estado de la materia descrito por la primera ley de la termodinámica que se puede alterar a nivel macroscópico por medio de trabajo, y a nivel microscópico por medio de ajustes en energía térmica. energía cinética: Forma macroscópica (o mecánica) de energía que surge de la velocidad de la materia relativa a un marco de referencia inercial. Vea también energía. energía de flujo: Sinónimo de trabajo de flujo. Trabajo asociado con la presión que actúa sobre un fluido que fluye. energía de trabajo: Integral de fuerza sobre la distancia en la que una masa se mueve por medio de la fuerza. El trabajo es la energía asociada con el movimiento de materia por medio de una fuerza. energía interna: Forma de energía que surge de los movimientos microscópicos de moléculas y átomos, y de la estructura y movimientos de las partículas subatómicas que comprenden los átomos y moléculas dentro de la materia. Vea también energía. Vea también energía. energía mecánica: Componentes no-térmicos de la energía; los ejemplos incluyen energía cinética y potencial. energía potencial: Forma mecánica de energía que cambia como resultado del desplazamiento macroscópico de materia relativa al vector gravitacional. Vea también energía. energía térmica: Energía interna asociada con movimientos microscópicos de moléculas y átomos. Para sistemas de fase sencilla, es la energía representada por la temperatura. Vea también energía.

ecuaciones de capa límite: Vea capa límite.

energía total: Suma de todas las formas de energía. La energía total es la suma de las energías cinética, potencial e interna. De manera equivalente, la energía total es la suma de las energías mecánica y térmica. Vea también energía.

eficiencia: Una razón que describe niveles de pérdidas de potencia útil que se obtiene a partir de un dispositivo. La eficiencia de 1 (o 100%) implica que no hay ninguna pérdida en la función particular del dispositivo para el cual se establece una definición particular de eficiencia. Por ejemplo, la eficiencia mecánica de una bomba se define como la razón de la potencia mecánica útil que se transfiere al flujo por medio de la bomba a la energía mecánica, o trabajo de eje, que se requiere para activar la bomba. La eficiencia de acoplamiento de bomba con motor se define como la razón de potencia mecánica útil que se transfiere al flujo a la potencia eléctrica que se requiere para

esfuerzo: Componente de una fuerza que se distribuye sobre un área y se escribe como la integral de un esfuerzo sobre ésta. Por lo tanto, el esfuerzo es la componente de fuerza dFi sobre un elemento de área diferencial dividida entre el área del elemento dAj (en el límite cuando dAj → 0), donde i y j indican una de coordenadas x, y o z. En consecuencia, el esfuerzo sij  dFi /dAj es una componente de fuerza por unidad de área en la dirección i sobre la superficie j. Para obtener la fuerza superficial a partir del esfuerzo, se integra el esfuerzo sobre la correspondiente área superficial. De manera matemática, existen seis componentes independientes de un tensor de esfuerzo simétrico de segundo

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rango, que por lo general se escribe como una matriz simétrica de 3 3. esfuerzo de corte: Esfuerzo (componente de fuerza por unidad de área) que actúa tangente al área. En consecuencia, sxy, syx, sxz, szx, syz, y szy son esfuerzos de corte. La fuerza de corte sobre una superficie es la fuerza neta del esfuerzo de corte, que se obtiene cuando se integra el esfuerzo de corte sobre el área superficial. Los esfuerzos de corte son los elementos afuera de la diagonal del tensor de esfuerzo. Vea también esfuerzo. esfuerzo de presión: En un fluido en reposo todos los esfuerzos son esfuerzos normales y todos los esfuerzos actúan hacia adentro sobre una superficie. En un punto fijo, los tres esfuerzos normales son iguales y la magnitud de estos esfuerzos normales iguales se llama presión. Por ende, en un fluido estático, sxx  syy  szz  P, donde P es la presión. En un fluido en movimiento, los esfuerzos adicionales a la presión son esfuerzos viscosos. Una fuerza de presión sobre una superficie es el esfuerzo de presión que se integra sobre la superficie. Sin embargo, la fuerza de presión por unidad de volumen sobre una partícula de fluido por la segunda Ley de Newton es el negativo del gradiente (derivadas espaciales) de la presión en este punto. esfuerzo de Reynolds: Las componentes de velocidad (y otras variables) en flujos turbulentos están separadas en componentes medio más fluctuantes. Cuando la ecuación para la componente medio de velocidad en la dirección del flujo se deriva de la ecuación de Navier-Stokes, aparecen seis nuevos términos proporcionados por la densidad del fluido multiplicada por el producto promediado de dos componentes de velocidad. Puesto que estos términos tienen las mismas unidades que el esfuerzo (fuerza/área), se llaman esfuerzos turbulentos o esfuerzos de Reynolds (en memoria de Osborne Reynolds, quien fue el primero en cuantificar las variables turbulentas en media  fluctuación). Tal como los esfuerzos viscosos se pueden escribir como un tensor (o matriz), el tensor de esfuerzos de Reynolds se define con componentes de esfuerzo normal de Reynolds y componentes de esfuerzo de corte de Reynolds. Aunque los esfuerzos de Reynolds no son verdaderos esfuerzos, tienen efectos cualitativamente similares que los esfuerzos viscosos, pero como resultado de los grandes movimientos vorticiales caóticos de la turbulencia, en lugar de los movimientos moleculares microscópicos que subyacen a los esfuerzos viscosos. esfuerzo normal: Esfuerzo (componente de fuerza por unidad de área) que actúa perpendicular al área. Por lo tanto, sxx, syy y szz son esfuerzos normales. La fuerza normal sobre una superficie es la fuerza neta obtenida a partir del esfuerzo normal al integrar el esfuerzo normal sobre el área superficial. Los esfuerzos normales son los elementos diagonales del tensor de esfuerzo. esfuerzo turbulento: Vea esfuerzo de Reynolds. esfuerzo viscoso: El flujo crea esfuerzos en el fluido que son adicionales a los esfuerzos de presión hidrostática. Estos esfuerzos adicionales son viscosos, ya que surgen de las deformaciones del fluido inducidas por la fricción dentro del flujo. Por ejemplo, sxx  P  txx, syy  P  tyy, y szz  P  tzz, donde txx, tyy, y tzz son esfuerzos normales viscosos. Todos los esfuerzos de corte resultan de la fricción en un flujo y por tanto son esfuerzos viscosos. Una fuerza viscosa sobre una superficie es un esfuerzo viscoso integrado sobre la

superficie. Sin embargo, la fuerza viscosa por unidad de volumen sobre una partícula de fluido por la segunda Ley de Newton es la divergencia (derivadas espaciales) del tensor de esfuerzo viscoso en este punto. espesor de cantidad de movimiento: Medida de la capa de mayor déficit en razón de flujo de cantidad de movimiento adyacente a la superficie, como resultado de fuerza de arrastre debida a fricción (esfuerzo de corte). Puesto que la segunda Ley de Newton establece que la fuerza es igual a la razón de cambio en el tiempo de la cantidad de movimiento, el espesor de la cantidad de movimiento u es proporcional al esfuerzo de corte en la superficie sólida. En todas las capas límite, u  d*. espesor de capa límite: Espesor total de la capa viscosa que define la capa límite, desde la superficie hasta el borde. Definir el borde con precisión es difícil, de modo que, con frecuencia, el “borde” de la capa límite se define como el punto donde la velocidad de capa límite es una gran fracción de la velocidad de flujo libre (por ejemplo, d99 es la distancia desde la superficie hasta el punto donde la componente de velocidad de corriente es el 99 por ciento de la velocidad de flujo libre). espesor de desplazamiento: Medida de espesor de capa límite que cuantifica la desviación de las líneas de corriente del fluido en la dirección que se aleja de la superficie como resultado de la reducción inducida por la fricción en el flujo de masa adyacente a la superficie. El espesor de desplazamiento (d*) es una medida del espesor de esta capa de déficit de flujo másico. En todas las capas límite, d*  d. estabilidad: Término general que se refiere a la tendencia de una partícula u objeto material (fluido o sólido) a moverse alejándose o regresando cuando se desplaza ligeramente de su posición original. estable: Vea estabilidad. Cuando se desplaza ligeramente, la partícula u objeto regresará a su posición original. estática: Estudio y análisis mecánico de material que está completamente en reposo en un marco de referencia específico. estela: Región dominada por fricción detrás de un cuerpo formada por capas límite superficiales que se barren hacia la parte posterior por medio de la velocidad de flujo libre. Las estelas se caracterizan por gran corte con las más bajas velocidades en el centro de la estela y mayores velocidades en los lados laterales. La fuerza de fricción, el esfuerzo viscoso y la vorticidad son significativos en las estelas. estela de vórtices de Kármán: Patrón bidimensional noestacionario alternante de vórtices que comúnmente se observa detrás de cilindros circulares en un flujo (por ejemplo, la estela de vórtices detrás de los alambres en el viento es responsable de los distintos tonos que a veces se escuchan). factor de corrección de energía cinética: Análisis de volumen de control por medio de la ecuación de conservación de energía aplicado a tubos contiene integrales de flujo de energía cinética que se calculan sobre el área. Con frecuencia, las integrales se aproximan como las magnitudes proporcionales a energía cinética calculada al usar velocidad promediada sobre el área, Vprom. La imprecisión de esta aproximación puede ser significativa, de modo que un factor de corrección de energía cinética a multiplica el término para mejorar la aproximación. El factor de corrección a depende de la forma del perfil de

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velocidad y es mayor para perfiles laminares ( flujo de Poiseuille) y está más cercano a 1 para flujos en tubería turbulentos a números de Reynolds muy altos. factor de corrección de flujo de cantidad de movimiento: Factor de corrección que se introduce para corregir las aproximaciones realizadas en la simplificación de las integrales de área para los términos de flujo de cantidad de movimiento en la ecuación de la conservación de cantidad de movimiento aplicada al volumen de control. factor de fricción: Se puede demostrar, a partir de análisis dimensional y de conservación de cantidad de movimiento aplicada a un flujo en tubería estacionario totalmente desarrollado, que la aportación de fricción a la caída de presión a lo largo de la tubería, a la que se quitan las dimensiones por 2 ), es proporcional a medio de presión dinámica de flujo (12– rV prom la razón de longitud a diámetro (L/D) de la tubería. El factor de proporcionalidad f se llama el factor de fricción. El factor de fricción se cuantifica a partir de experimentos (flujo turbulento) y teoría (flujo laminar) en relaciones empíricas, y en el diagrama de Moody, como función del número de Reynolds y la rugosidad adimensional. La conservación de la cantidad de movimiento muestra que el factor de fricción es proporcional al esfuerzo de corte a lo largo de la superficie adimensional (es decir: el coeficiente de fricción local). fluido: Un material que, cuando se corta, se deforma continuamente en el tiempo durante el periodo en que se aplican las fuerzas de corte. En contraste, las fuerzas de corte aplicadas a un sólido provocan que el material o se deforma hasta una posición estática fija (luego de lo cual se detiene la deformación), o provoca que el material se fracture. En consecuencia, mientras que las deformaciones sólidas por lo general se analizan con el uso de deformación y corte, los flujos de fluido se analizan con razones de deformación y corte (vea razón de deformación). fluido dilatante, o espesante al corte, o de engrosamiento por corte: Vea fluido no-newtoniano. fluido ideal: Vea fluido perfecto. fluido newtoniano: Cuando un fluido está sujeto a un esfuerzo de corte, el fluido continuamente cambia de forma (deformación). Si el fluido es newtoniano, la razón de deformación es proporcional al esfuerzo de corte aplicado y la constante de proporcionalidad se llama viscosidad (dinámica o absoluta). En caso general, la razón de deformación de una partícula de fluido se describe de forma matemáticamente por medio de un tensor de razón de deformación y el esfuerzo, por medio de un tensor de esfuerzo. En flujos de fluidos newtonianos, el tensor de esfuerzo es proporcional al tensor de razón de deformación, y la constante de proporcionalidad se llama viscosidad. La mayoría de los fluidos comunes (agua, aceite, gasolina, aire, la mayoría de los gases y vapores) sin partículas o moléculas grandes en suspensión, son newtonianos. fluido no-newtoniano: Un fluido no-newtoniano es el que se deforma a una razón que no es linealmente proporcional al esfuerzo que provoca la deformación. Dependiendo de la forma en la que la viscosidad varíe con la razón de deformación, los fluidos no-newtonianos se pueden etiquetar como los de adelgazamiento por corte (la viscosidad disminuye con la razón de deformación creciente), los de engrosamiento por corte (la

viscosidad aumenta con la razón de deformación creciente) y viscoelásticos (cuando las fuerzas de corte se remueven, las partículas del fluido regresan parcialmente a la forma anterior). Las suspensiones y los líquidos con moléculas de cadena larga generalmente son no-newtonianos. Vea también fluido newtoniano y viscosidad. fluido perfecto: También llamado fluido ideal, el concepto de un fluido ficticio que puede fluir en ausencia de todo efecto de fricción. No hay tal cosa como un fluido perfecto, incluso como aproximación, de modo que el ingeniero no necesita considerar más el concepto. fluido seudoplástico, o adelgazante al corte, o de adelgazamiento por corte: Vea fluido no-newtoniano. fluido viscoelástico: Vea fluido no-newtoniano. flujo axisimétrico: Flujo que, cuando se especifica de manera adecuada con el uso de coordenadas cilíndricas (r, q, x), no varía en la dirección azimutal (u). Por lo tanto, todas las derivadas parciales en u son cero. Por lo tanto, el flujo es o unidimensional o bidimensional (vea también dimensionalidad y flujo planar). flujo cuasi estacionario: Vea flujo estacionario. flujo de Hagen-Poiseuille: Vea flujo de Poiseuille. flujo de Poiseuille: Flujo laminar totalmente desarrollado en una tubería o ducto. También se llama flujo Hagen-Poiseuille. Las relaciones de modelo matemático para flujo de Poiseuille que relacionan la razón de flujo y/o el perfil de velocidad con la caída de presión a lo largo de la tubería/ducto, la viscosidad del fluido y la geometría en ocasiones se les refiere como Ley de Poiseuille (aunque estrictamente no es una “ley” de la mecánica). El perfil de velocidad de todos los flujos de Poiseuille es parabólico, y la razón de caída de presión axial es constante. flujo de Stokes: Vea flujo plástico. flujo en transición: Flujo de fluido vorticial inestable a un número de Reynolds mayor que un valor crítico que es grande en comparación con 1, pero no es lo suficientemente grande como para que el flujo alcance un régimen de flujo turbulento. Los flujos en transición con frecuencia oscilan aleatoriamente entre regímenes laminar y turbulento. flujo estacionario: Flujo en el que todas las variables de fluido (velocidad, presión, densidad, temperatura, etc.) en todos los puntos fijos del flujo son constantes en el tiempo (pero, que por lo general varían de un lugar a otro). Por lo tanto, en flujos estacionarios, todas las derivadas parciales en el tiempo son cero. Los flujos que no son precisamente estacionarios, sino que cambian suficientemente lento en el tiempo para despreciar los términos de derivada con respecto al tiempo con error relativamente pequeño se llaman cuasi-estacionarios. flujo forzado: Flujo que resulta de una fuerza aplicada externamente. Los ejemplos incluyen flujo líquido a través de tubos accionados por una bomba y flujo de aire accionado por ventilador para enfriar componentes de computadora. En contraste, los flujos naturales, que resultan de fuerzas de flotabilidad internas accionadas por variaciones de temperatura (es decir: densidad) dentro de un fluido en la presencia de un campo gravitacional. Los ejemplos incluyen chorros que ascienden y descienden alrededor de un cuerpo humano o en la atmósfera debido a las fuerzas de flotabilidad.

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flujo incompresible: Un flujo de fluido donde las variaciones en la densidad son suficientemente pequeñas para ser despreciables. Por lo general, los flujos son incompresibles o porque el fluido es incompresible (líquidos) o porque el número de Mach es bajo (aproximadamente  0.3). flujo irrotacional (región de flujo irrotacional): Una región de un flujo con vorticidad despreciable (es decir: rotación de partícula de fluido). También se llama flujo potencial. Una región irrotacional de flujo también es invíscida. flujo laminar: Estado estable bien ordenado de flujo de fluido en el que todos los pares de partículas de fluido adyacentes se mueven a lo largo unas de otras formando láminas. Un flujo que no es laminar es turbulento o en transición hacia la turbulencia, lo que ocurre a un número de Reynolds mayor que el crítico. flujo natural: Contraste con flujo forzado. flujo no-estacionario: Flujo en el que al menos una variable en un punto fijo en el flujo cambia con el tiempo. Por ende, en los flujos no-estacionarios, una derivada parcial con respecto al tiempo es distinta de cero para al menos un punto en el flujo. flujo planar: Flujo bidimensional con dos componentes de velocidad distintas de cero en coordenadas cartesianas que varían sólo en las dos direcciones de coordenadas del flujo. Por lo tanto, todas las derivadas parciales perpendiculares al plano del flujo son cero. Vea también flujo axisimétrico y dimensionalidad. flujo plástico: Flujo de fluido en el que las fuerzas de fricción dominan las aceleraciones de fluido hasta el punto en que el flujo se puede modelar de manera adecuada cuando el término de aceleración en la segunda ley de Newton se establece en cero. Estos flujos se caracterizan por números de Reynolds que son pequeños comparados con 1 (Re  1). Puesto que el número de Reynolds usualmente se puede escribir como velocidad característica multiplicada por longitud característica y dividida entre viscosidad cinemática (VL/n), con frecuencia los flujos plásticos son flujos que se mueven lentamente alrededor de objetos muy pequeños (por ejemplo, sedimentación de partículas de polvo en el aire o movimiento de espermatozoides en el agua), o con fluidos muy viscosos (por ejemplo, glaciares y flujos de brea). También se llama flujo de Stokes. flujo potencial: Sinónimo de flujo irrotacional. Ésta es una región de un flujo con vorticidad despreciable (es decir, rotación de partícula de fluido). En estas regiones existe una función potencial de velocidad (de ahí el nombre). flujo rotacional: Sinónimo de flujo vorticial, este término describe un campo de flujo, o una región de un campo de flujo, con niveles significativos de vorticidad. flujo sin fricción: En ocasiones los tratamientos matemáticos de los flujos de fluidos usan conservación de cantidad de movimiento y ecuaciones de energía sin los términos de fricción. Estos tratamientos matemáticos “suponen” que el flujo “no tiene fricción”, lo que implica que no hay fuerza viscosa (en la segunda Ley de Newton) y tampoco disipación viscosa (en la primera ley de la termodinámica). Sin embargo, ningún flujo de fluido real de interés ingenieril puede existir sin fuerzas viscosas, disipación y/o pérdidas de carga en regiones de importancia práctica. El ingeniero siempre deberá identificar las

regiones de flujo donde se concentren los efectos de fricción. Cuando se desarrollen modelos para predicción, el ingeniero deberá considerar el papel de estas regiones viscosas en la predicción de variables de interés y deberá estimar los niveles de error en tratamientos simplificados de las regiones viscosas. En los flujos de número de Reynolds alto, las regiones de fricción incluyen capas límite, estelas, chorros, capas de corte y regiones de flujo que rodean vórtices. flujo turbulento: Estado desordenado e inestable de flujo de fluido vorticial que es inherentemente no-estacionario y que contiene remolinos de un amplio rango de tamaños (o escalas). Los flujos turbulentos siempre son a números de Reynolds por arriba de un valor crítico que es grande en relación con 1. El proceso de mezclado se aumenta enormemente, los esfuerzos de corte a lo largo de superficie son mucho mayores y la pérdida de carga aumenta considerablemente en los flujos turbulentos, en comparación con los correspondientes flujos laminares. flujo viscoso (regiones de flujo viscoso): Regiones de un flujo de fluido donde las fuerzas viscosas son significativas en relación con otras fuerzas (usualmente, fuerza de presión) sobre partículas de fluido en esta región del flujo, y por tanto no se puede despreciarlas en la segunda Ley de Newton del movimiento (compare con regiones de flujo invíscido). flujo vorticial: Sinónimo de flujo rotacional, este término describe un campo de flujo, o una región de un campo de flujo, con niveles significativos de vorticidad. fricción/ de fricción: Vea fluido newtoniano, viscosidad y fuerza viscosa. fuerza de arrastre: Fuerza sobre un objeto que se opone al movimiento del objeto. En un marco de referencia que se mueve con el objeto, ésta es la fuerza sobre el objeto en la dirección del flujo. Existen múltiples componentes de la fuerza de arrastre: fuerza de corte: Vea esfuerzo, esfuerzo de corte. fuerza de flotabilidad (boyante): Fuerza ascendente neta de presión hidrostática que actúa sobre un objeto sumergido, o parcialmente sumergido, en un fluido. fuerza de presión: Como se aplica a la segunda Ley de Newton, ésta es la fuerza que actúa sobre una partícula de fluido que surge de gradientes espaciales de presión dentro del flujo. Vea también esfuerzo, esfuerzo de presión. fuerza de sustentación: Fuerza aerodinámica neta sobre un objeto perpendicular al movimiento del objeto. fuerza viscosa (o de fricción): Como se aplica a la segunda ley de Newton, ésta es la fuerza que actúa sobre una partícula de fluido y que surge de gradientes espaciales en esfuerzos viscosos (o de fricción) dentro del flujo. La fuerza viscosa sobre una superficie es el esfuerzo viscoso integrado sobre la superficie. Vea también esfuerzo, esfuerzo viscoso. función de corriente: Las dos componentes de velocidad en un flujo bidimensional estacionario de fluido incompresible se pueden definir en términos de una sola función bidimensional c, que automáticamente satisface la ley de conservación de masa (ecuación de continuidad), y reduce la solución del campo de velocidad de dos componentes a la solución de esta sola función de corriente. Esto se hace cuando se escriben las dos componentes de velocidad como derivadas espaciales de la

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función de corriente. Una maravillosa propiedad de la función de corriente es que los (iso)contornos de la constante c definen líneas de corriente en el flujo. función potencial: Si una región de flujo tiene vorticidad (giro de partícula de fluido) cero, el vector de velocidad en dicha región se puede escribir como el gradiente de una función escalar llamada función potencial de velocidad, o simplemente la función potencial. En la práctica, con frecuencia se usan las funciones potenciales para modelar regiones de flujo donde los niveles de vorticidad son pequeños, pero no necesariamente cero. gas ideal: Un gas a densidad suficientemente baja y/o temperatura suficientemente alta para el cual a) densidad, presión y temperatura se relacionan por la ecuación de estado de gas ideal, P = rRT, y b) la energía interna específica y la entalpía son funciones sólo de la temperatura. giro: Vea razón de rotación y vorticidad. gráfica de contorno: También llamada gráfica de isocontorno, es una forma de graficar datos como líneas del valor de variable constante en un campo de flujo. Por ejemplo, las líneas de corriente se pueden identificar como líneas de función de corriente constante en caso de flujos estacionarios bidimensionales de fluido incompresible. gráfica de isocontorno: Vea gráfica de contorno. gráfica de perfil: Representación gráfica de la variación espacial de una propiedad de fluido (temperatura, presión, razón de deformación, etc.) a través de una región de un flujo de fluido. Una gráfica de perfil define variaciones de propiedad en parte de un campo (por ejemplo, un perfil de temperatura puede definir la variación de temperatura a lo largo de una línea dentro del campo temperatura). gravedad específica: Densidad de fluido a la que se quitan las dimensiones por medio de la densidad del agua líquida a 4°C y presión atmosférica (1 g/cm3 o 1 000 kg/m3). Por lo tanto, la gravedad específica, SG = r/ragua. hidráulica: La hidrodinámica de flujo de líquido y vapor en tuberías, ductos y canales abiertos. Los ejemplos incluyen sistemas de distribución de agua y sistemas de ventilación. hidrodinámica: El estudio y análisis de líquidos por medio de las leyes de conservación macroscópicas de la física (vea mecánica/dinámica de fluidos). A veces el término se aplica a flujos de vapor y gas incompresibles, pero cuando el fluido es aire, por lo general se usa el término aerodinámica. hidrodinámicamente totalmente desarrollado: Vea totalmente desarrollado. hipersónico: A un orden de magnitud o aún más por arriba de la velocidad del sonido (número de Mach  1).

inestable: Vea estabilidad. Cuando se desplaza ligeramente, la partícula u objeto continuará el movimiento alejándose de su posición original. ley de Poiseuille: Vea flujo de Poiseuille. leyes de conservación: Principios fundamentales sobre los que se basan todos los análisis de ingeniería, de acuerdo con los cuales las propiedades materiales de masa, cantidad de movimiento, energía y entropía pueden cambiar solamente en equilibrio con otras propiedades físicas que involucran fuerza, trabajo y transferencia de calor. Estas leyes son predictivas cuando se escriben en forma matemática y se combinan de manera adecuada con condiciones de frontera, condiciones iniciales y relaciones constitutivas. línea de energía: Línea que describe la suma de la carga de presión, la carga de velocidad y la carga de elevación. Vea carga. línea de corriente: Curva que en todas partes es tangente al vector de velocidad de un campo de velocidad de fluido en un instante fijo del tiempo. Por lo tanto, las líneas de corriente indican la dirección del movimiento del fluido en cada punto. En un flujo estacionario, las líneas de corriente son constantes en el tiempo y las partículas de fluido se mueven a lo largo de las líneas de corriente. En un flujo no-estacionario las líneas de corriente cambian con el tiempo y las partículas de fluido no se mueven a lo largo de líneas de corriente. Contraste con línea de trayectoria. línea de energía: Vea línea de gradiente. línea de gradiente: Líneas de suma de carga. línea de gradiente hidráulico: Vea línea de gradiente. línea de gradiente hidráulico o línea de alturas piezométricas: Línea que describe la suma de la carga de presión y la carga de elevación. Vea carga. línea de trayectoria: Curva que traza la trayectoria de una partícula de fluido conforme viaja a través de un flujo durante un periodo. De manera matemática, es la curva a través de los puntos trazados por el vector de posición material [xpartícula(t), ypartícula(t), zpartícula(t)] durante un periodo definido. Por lo tanto, las líneas de trayectoria se forman a lo largo del tiempo, y cada partícula de fluido tiene su propia línea de trayectoria. En un flujo estacionario, las partículas de fluido se mueven a lo largo de líneas de corriente, de modo que las líneas de trayectoria y las líneas de corriente coinciden. Sin embargo, en un flujo noestacionario, las líneas de trayectoria y las líneas de corriente por lo general son muy diferentes. Contraste con línea de corriente.

homogeneidad dimensional: Requisito de que los términos sumados deben tener las mismas dimensiones (por ejemplo, rV 2, presión P y esfuerzo de corte txy son dimensionalmente . homogéneas, mientras que potencia, entalpía específica h y Pm no lo son). La homogeneidad dimensional es la base del análisis dimensional.

línea de traza: Se usa en visualización de flujos de fluido, y se trata de una curva que se extiende en el tiempo por medio de la liberación de un marcador (tinta o humo) desde un punto fijo en el flujo. Contraste con la línea de trayectoria y la línea de corriente. En un flujo estacionario coinciden las líneas de corriente, las líneas de trayectoria y las líneas de traza. Sin embargo, en un flujo no-estacionario, estos conjuntos de curvas son diferentes unas de otras.

inercia/inercial: El término de aceleración en la segunda Ley de Newton, o los efectos relacionados con este término. Por lo tanto, un flujo con mayor inercia requiere mayor desaceleración para llevarse al reposo.

línea fluida: Se usa para visualizar flujos de fluido, y se trata de una curva definida en algún instante del tiempo por medio de la liberación de un marcador desde una línea en el flujo en algún instante anterior en el tiempo. La línea fluida, que con

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frecuencia se utiliza para aproximar un perfil de velocidad de un flujo que se estudia en laboratorio, es muy diferente de las líneas de traza, las líneas de trayectoria y las líneas de corriente. longitud característica de mezclado: Vea modelos de turbulencia. longitud de entrada: Región de entrada de un flujo en tubería o ducto donde crecen las capas límites a lo largo de las paredes de tubería con la distancia axial x del ducto hacia la línea central, de modo que las derivadas axiales son distintas de cero. Para la región totalmente desarrollada, la longitud de entrada hidrodinámica implica crecimiento de una capa límite de velocidad, y la longitud de entrada térmica implica crecimiento de una capa límite de temperatura. longitud de entrada hidrodinámica: Vea longitud de entrada. manómetro: Dispositivo que mide presión con base en principios de presión hidrostática en líquidos. masa de control: Vea sistema. mecánica: Estudio y análisis de la materia a través de las leyes de conservación macroscópicas de la física (masa, cantidad de movimiento, energía, segunda ley). mecánica/dinámica de fluidos: El estudio y análisis de los fluidos a través de las leyes de conservación macroscópicos de la física, es decir: conservación de masa, cantidad de movimiento (segunda Ley de Newton) y energía (primera ley de la termodinámica), y la segunda ley de la termodinámica. media: Sinónimo de promedio. medidas del espesor de la capa límite: En el análisis del flujo de fluido se usan diferentes medidas del espesor de una capa límite como función de la distancia corriente abajo. modelos de turbulencia: Relaciones de modelo constitutivas entre esfuerzos de Reynolds y el campo de velocidad media en flujos turbulentos. Estas relaciones de modelo son necesarias para resolver la ecuación de velocidad media. Una forma de modelo simple que se usa de manera extensa para los esfuerzos de Reynolds es escribirlos como la relación newtoniana para esfuerzos viscosos, al considerarlos proporcionales a la razón de deformación media, con una viscosidad turbulenta o viscosidad de turbulencia como el coeficiente de proporcionalidad. Sin embargo, a diferencia de los fluidos newtonianos, la viscosidad de turbulencia es una fuerte función del flujo mismo, y las diferentes formas en las que la viscosidad de turbulencia se modela en función de otras variables de campo de flujo a calcularse constituyen diferentes modelos de viscosidad turbulenta. Un enfoque tradicional para modelar la viscosidad turbulenta es en términos de una longitud característica de mezclado, que se hace proporcional a una longitud característica establecida para el flujo. módulo volumétrico de elasticidad: Sinónimo de coeficiente de compresibilidad. módulo volumétrico de elasticidad: Vea compresibilidad. neutralmente estable: Vea estabilidad. Cuando se desplaza ligeramente, la partícula u objeto permanecerá en su posición desplazada. normalización: Una eliminación de dimensiones particular donde el parámetro de escalamiento se elige de modo que la

variable adimensional logre un valor máximo de orden de 1 (por decir, entre aproximadamente 0.5 y 2). La normalización es más restrictiva (y más difícil de lograr de manera adecuada) que la eliminación de dimensiones. Por ejemplo, P/(rV2) discutida en eliminación de dimensiones también es presión normalizada sobre una pelota de beisbol que vuela (donde el número de Reynolds Re  1), pero es simplemente eliminación de dimensiones de la presión superficial sobre una pequeña cuenta de vidrio que se mueve lentamente a través de miel (donde Re  1). número de Froude: Una estimación de orden de magnitud de la razón del término inercial en la ley de movimiento de Newton al término de fuerza de gravedad. El número de Froude es un importante grupo adimensional en flujos con superficie libre, como en general es el caso en canales, ríos, flujos de superficie, etcétera. número de Mach: Razón adimensional de la velocidad característica del flujo a la velocidad del sonido. El número de Mach caracteriza el nivel de compresibilidad en respuesta a variaciones de presión en el flujo. número de Reynolds: Una estimación del orden de magnitud de la razón de los siguientes dos términos en la segunda Ley de movimiento de Newton sobre una región del flujo: el término inercial (o de aceleración) sobre el término de fuerzas viscosas. La mayoría, mas no todos, los números de Reynolds se pueden escribir como una velocidad característica apropiada V multiplicada por una longitud característica L consistente con la velocidad V, y dividida entre la viscosidad cinemática n del fluido: Re = VL/n. Posiblemente el número de Reynolds es el parámetro de similitud adimensional más importante en el análisis de flujo de fluido pues proporciona una estimación burda de la importancia de la fuerza de fricción en el flujo global. parámetro de escalamiento: Una sola variable, o una combinación de variables, que se elige para eliminar las dimensiones de una variable de interés. Vea también eliminación de dimensiones y normalización. partícula material: Partícula, o elemento, diferencial que siempre contiene los mismos átomos y moléculas. Por lo tanto, una partícula material tiene masa fija dm. En un flujo de fluido, esto es lo mismo que una partícula de fluido. partícula/elemento de fluido: Una partícula, o elemento, diferencial, incrustado en un flujo de fluido que contiene siempre los mismos átomos y moléculas. Por ende, una partícula de fluido tiene masa fija →dm y se mueve con el flujo →con → velocidad de flujo local V , aceleración a partícula  DV /Dt y trayectoria (xpartícula(t), ypartícula(t), tpartícula(t)). Vea también derivada material, partícula material, vector de posición material y línea de trayectoria. pérdida de carga: Término en la forma de carga en la ley de conservación de la energía (vea carga) que contiene pérdidas debidas a fricción y otras irreversibilidades. Sin este término, la ecuación de energía para líneas de corriente se convierte en la ecuación de Bernoulli en forma de carga. pérdida de sustentación: Fenómeno de separación de flujo masiva de la superficie de un ala cuando el ángulo de ataque supera un valor crítico, y como la consecuencia, pérdida

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dramática de sustentación y aumento en arrastre. Un avión que pierde sustentación cae rápidamente y debe inclinar su nariz hacia abajo para restablecer el flujo de capa límite apegado al ala y de este modo regenerar la sustentación y reducir el arrastre.

presión hidrostática: La componente de variación de presión en un flujo de fluido que existiría en el fluido en ausencia de flujo como resultado de fuerza gravitacional. Este término aparece en la ecuación hidrostática y en la ecuación de Bernoulli. Vea también presión dinámica y estática.

pérdidas: Las pérdidas de carga debido a fricción en flujos en tuberías se separan en aquellas pérdidas en las regiones de flujo totalmente desarrollado de una red de tuberías que se llaman las pérdidas mayores, más las pérdidas de carga en otras regiones de flujo de la red, que se llaman las pérdidas menores. Las regiones de pérdidas menores incluyen longitudes de entrada, acoplamientos de tuberías, codos, válvulas, etc. No es raro que las pérdidas menores sean mayores que las pérdidas mayores.

presión manométrica: La presión (P) relativa a la presión atmosférica (Patm). Esto es: Pmanométrica = P – Patm. Vea también esfuerzo, esfuerzo de presión. En consecuencia, Pmanométrica  0 o Pmanométrica  0 simplemente es la presión sobre o debajo de la presión atmosférica.

pérdidas mayores: Vea pérdidas. pérdidas menores: Vea pérdidas. perfil de velocidad: Variación espacial en una componente o vector de velocidad a través de una región de un flujo de fluido. Por ejemplo, en un flujo en tubería, el perfil de velocidad generalmente define la variación en la velocidad axial con el radio a través de la sección transversal de la tubería, mientras que un perfil de velocidad de capa límite por lo general define la variación en la velocidad axial en la dirección normal a la superficie. El perfil de velocidad es parte de un campo de velocidad. Vea también gráfica de perfil. periódico: Flujo no-estacionario en el que el flujo oscila en torno a un medio estacionario. periodo de transición: Periodo dependiente del tiempo de evolución de flujo que conduce a un nuevo periodo de equilibrio que por lo general, mas no necesario, es estacionario. Un ejemplo es el periodo de arranque después de que se enciende un motor de propulsión, lo que conduce a un flujo estacionario (en equilibrio). peso específico: Peso de un fluido por unidad de volumen; es decir: densidad de fluido por aceleración debida a gravedad (peso específico, g rg). potencia: Trabajo por unidad de tiempo; razón de tiempo a la que se realiza trabajo. presión: Vea esfuerzo. presión absoluta: Vea esfuerzo, esfuerzo de presión. Contraste con presión manométrica. presión de saturación: Presión a la que la fase de una sustancia simple compresible cambia entre líquida y vapor a temperatura fija. presión de vapor: Presión por abajo de la cual un fluido, a una temperatura dada, existirá en el estado de vapor. Vea también cavitación y presión de saturación. presión dinámica: Cuando la ecuación de Bernoulli para el flujo estacionario de fluido incompresible y/o la ecuación de conservación de la energía a lo largo de una línea de corriente se escriben en formas donde cada término en las ecuaciones tiene las dimensiones de fuerza dividida entre área, la presión dinámica es el término de energía cinética (por unidad de volumen) (es decir: 12 rV 2). presión estática: Otro término para presión, que se usa en contexto con la ecuación de Bernoulli para distinguirla de la presión dinámica.

primera ley de la termodinámica: Vea leyes de conservación. principio de conservación de la energía: Ésta es la primera ley de la termodinámica, una ley fundamental de la física que afirma que la razón de cambio en el tiempo de la energía total de una masa fija (sistema) se equilibra por medio de la razón neta a la que se realiza trabajo sobre la masa y se transfiere energía térmica a la masa. Nota: Para convertir matemáticamente las derivadas con respecto al tiempo de la masa, la cantidad de movimiento y la energía relacionados con la masa de fluido en un sistema a las de un volumen de control, se aplica el teorema de transporte de Reynolds. principio de conservación de masa: Ley fundamental de la física que afirma que un volumen que siempre contiene los mismos átomos y moléculas (sistema), siempre debe contener la misma masa. Por ende, la razón de cambio en el tiempo de la masa de un sistema es cero. Esta ley de la física se debe revisar cuando la materia se mueve a velocidades que se aproximan a la velocidad de la luz, de modo que la masa y la energía se pueden intercambiar de acuerdo con las leyes de la relatividad de Einstein. proceso adiabático: Proceso sin transferencia de calor. promedio: Promedio en área/volumen/tiempo de una propiedad de fluido es la integral de la propiedad sobre un área/volumen/intervalo de tiempo dividida entre el correspondiente valor de área/volumen/intervalo de tiempo. También llamado media. propiedad extensiva: Propiedad de fluido que depende del volumen total o la masa total (por ejemplo, energía interna total). Vea propiedad intensiva. propiedad intensiva: Una propiedad de fluido que es independiente del volumen total o la masa total (es decir: una propiedad extensiva por unidad de masa o en ocasiones por unidad de volumen). punto de estancamiento: Punto en un flujo de fluido donde la velocidad tiende a cero. Por ejemplo, el punto sobre la línea de corriente que interseca la nariz de un proyectil en movimiento es un punto de estancamiento. razón de corte: Gradiente de la velocidad de flujo en la dirección perpendicular a la velocidad. Por ende, si la velocidad u (la componente x) del flujo que fluye en la misma dirección x varía en y, la razón de corte es du/dy. El término se aplica a flujos de corte, donde la razón de corte es el doble de la razón de deformación debida al corte. Vea también razón de deformación. razón de deformación: Razón a la que se deforma (es decir: cambia de forma) una partícula de fluido en una posición y

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tiempo dados en un flujo de fluido. Para cuantificar por completo todos los posibles cambios en la forma de una partícula de fluido tridimensional se requieren seis números. De forma matemática, son las seis componentes independientes de un tensor de razón de deformación simétrico de segundo rango, que por lo general se escribe como una matriz simétrica de 3 3. La deformación es la razón de deformación integrada en el tiempo y describe la deformación de una partícula de fluido después de un periodo. Vea esfuerzo.

ejemplo, en la parte trasera de un automóvil y otros cuerpos romos.

razón de deformación extensional: Componentes de la razón de deformación que describen la elongación o compresión de una partícula de fluido en una de las tres direcciones coordenadas. Son los tres elementos diagonales del tensor de razón de deformación. La definición de deformación extensional depende de la elección particular de los ejes coordenados. También se le llama razón de deformación lineal.

similitud cinemática: Si dos objetos son geométricamente similares, entonces, si las razones de todas las componentes de velocidad entre un punto en el flujo que rodea un objeto, y el mismo punto escalado de manera adecuada en el flujo que rodea al otro objeto, son iguales en todos los pares de puntos correspondientes, el flujo es cinemáticamente similar.

razón de deformación extensional: Vea razón de deformación. razón de deformación lineal: Sinónimo de razón de deformación extensional. Vea razón de deformación. razón de deformación por corte: Componentes de la razón de deformación que describen la deformación de una partícula de fluido, en respuesta al corte que cambia el ángulo entre los planos mutuamente perpendiculares correspondientes a los tres ejes coordenados. Se trata de los elementos fuera de la diagonal del tensor de razón de deformación. La definición de la deformación por corte depende de la elección particular de los ejes coordenados. razón de deformación volumétrica: Razón de cambio de volumen de una partícula de fluido por unidad de volumen. También se le llama razón de dilatación volumétrica. razón de rotación: La velocidad angular, o razón de giro, de una partícula de fluido (un vector, con unidades rad/s, dado por 1/2 del rotacional del vector de velocidad). Vea también vorticidad. región de flujo invíscida: Región de un flujo de fluido donde las fuerzas viscosas son suficientemente pequeñas en relación con otras fuerzas (por lo usual, fuerzas de presión) sobre las partículas de fluido en esta región del flujo como para ser despreciables en la segunda Ley de Newton del movimiento hasta un buen nivel de aproximación (compare con flujo viscoso). Vea también flujo sin fricción. Una región invíscida de flujo no necesariamente es irrotacional. reología: El estudio y representación matemática de la deformación de diferentes fluidos en respuesta a fuerzas de superficie, o esfuerzo. Las relaciones matemáticas entre esfuerzo y razón de deformación se llaman ecuaciones constitutivas. La relación newtoniana entre esfuerzo y razón de deformación es el ejemplo más simple de una ecuación constitutiva reológica. Vea también fluido newtoniano y fluido no-newtoniano. segunda Ley de Newton: Vea conservación de la cantidad de movimiento. separación de flujo: Fenómeno donde una capa límite adyacente a una superficie sólida se fuerce a dejar la superficie, o “separarse” de ella, debido a fuerza de presión “adversa” (es decir: presión creciente) en la dirección del flujo. La separación del flujo ocurre en regiones de gran curvatura de superficie, por

similitud: Principio que permite relacionar cuantitativamente un flujo con otro cuando se satisfacen ciertas condiciones. La similitud geométrica, por ejemplo, debe ser verdadera antes de poder esperar la similitud cinemática o dinámica. La relación cuantitativa que relaciona un flujo con otro se desarrolla con una combinación de análisis dimensional y datos (por lo general experimentales, pero, también numéricos o teóricos).

similitud dinámica: Si dos objetos son geométrica y cinemáticamente similares, entonces, si las razones de todas las fuerzas (presión, esfuerzo viscoso, fuerza de gravedad, etc.) entre un punto en el flujo que rodea un objeto, y el mismo punto escalado de manera adecuada en el flujo que rodea al otro objeto, son iguales en todos los pares de puntos correspondientes, el flujo es dinámicamente similar. similitud geométrica: Dos objetos de diferentes tamaños son geométricamente similares si tienen la misma forma geométrica (por ejemplo, si todas las dimensiones de uno son un múltiplo constante de las correspondientes dimensiones del otro). sistema: De manera usual, cuando se emplea la palabra sistema por sí misma, se implica sistema cerrado, en contraste con un volumen de control o sistema abierto. sistema abierto: Volumen especificado para análisis donde el flujo atraviesa al menos una parte de la superficie del volumen. También se le llama volumen de control. sistema cerrado: Volumen que se especifica para análisis que siempre encierra las mismas partículas de fluido. Por lo tanto, ningún flujo atraviesa parte alguna de la superficie del volumen y un sistema cerrado se debe mover con el flujo. Note que el análisis de la Ley de Newton de las partículas sólidas por lo general es un análisis de sistema cerrado, que en ocasiones se le conoce como cuerpo libre. También se le llama masa de control. sistema inglés: Vea unidades. sistema SI: Vea unidades. sólido: Material que, cuando se corta, se deforma a una posición estática fija (luego de que se detiene la deformación) o se fractura. Vea también fluido. sonda de Pitot estática: Dispositivo que se usa para medir la velocidad del fluido a través de la aplicación de la ecuación de Bernoulli, con medición simultánea de presiones estáticas y estancamiento. También se le llama sonda Pitot-Darcy o tubo de Prandtl. sónico: A la velocidad del sonido (número de Mach = 1). subcapa inercial: Una parte enormemente turbulenta de una capa límite turbulenta, cerca de la pared justo afuera de la subcapa viscosa y la capa de amortiguamiento, donde los esfuerzos turbulentos son grandes en comparación con los esfuerzos viscosos.

964 GLOSARIO

subcapa viscosa: Parte de una capa límite turbulenta adyacente a la superficie sólida que contiene el mayor esfuerzo viscoso. El gradiente de velocidad en esta capa adyacente a la superficie sólida es excepcionalmente elevado. Vea también capa de amortiguamiento. subsónico: Por abajo de la velocidad del sonido (número de Mach  1). supersónico: Por arriba de la velocidad del sonido (número de Mach  1). técnica de fotografía por sombras: Técnica experimental para visualizar flujos con base en la refracción de la luz proveniente de densidad variable de fluido. El nivel de iluminación en una imagen de fotografía por sombras responde a la segunda derivada espacial de la densidad. técnica de Schlieren: Técnica experimental para visualizar flujos con base en la refracción de la luz a partir de la densidad variable del fluido. El nivel de iluminación en una estriograma responde a la primera derivada espacial de la densidad. temperatura de saturación: Temperatura a la que la fase de una sustancia simple compresible cambia entre líquida y vapor a presión fija. tensión superficial: Fuerza por unidad de longitud en una interfase líquido-vapor o líquido-líquido que resulta del desequilibrio en las fuerzas de atracción entre las moléculas dentro del líquido y las moléculas en la interfase. tensor de esfuerzo: Vea esfuerzo. tensor de esfuerzo deviatórico: Otro término para tensor de esfuerzo viscoso. Vea esfuerzo. tensor de esfuerzo viscoso: Vea esfuerzo. También se llama tensor de esfuerzo desviatorio. teorema de transporte de Reynolds: Relación matemática entre la razón de cambio en el tiempo de una propiedad de fluido en un sistema (volumen de masa fija que se mueve con el flujo) y la razón de cambio en el tiempo de una propiedad de fluido en un volumen de control (volumen, por lo usual fijo en el espacio, con masa de fluido que se mueve a través de su superficie). Esta expresión de volumen finito está cercanamente relacionada con la derivada material (con respecto al tiempo) de una propiedad de fluido unida a una partícula de fluido en movimiento. Vea también leyes de conservación. teorema Pi de Buckingham: Teorema matemático que se usa en análisis dimensional, con el que se predice el número de grupos adimensionales que deben estar funcionalmente relacionados a partir de un conjunto de parámetros dimensionales que se piensa están funcionalmente relacionados. totalmente desarrollado: Usado por sí mismo, el término generalmente se entiende para implicar una región de flujo hidrodinámica totalmente desarrollada, donde el campo de velocidad es constante a lo largo de una dirección específica en el flujo. En la región totalmente desarrollada de flujo en tubería o ducto, el campo de velocidad es constante en la dirección axial, x (es decir: es independiente de x), de modo que las derivadas de velocidad con respecto a x son cero en la región totalmente desarrollada. También existe el concepto de “térmicamente totalmente desarrollado” para el campo de temperatura; sin embargo, a diferencia de las regiones hidrodinámicamente totalmente desarrolladas, donde tanto la magnitud como la forma del perfil velocidad son constantes en

x, en las regiones térmicamente totalmente desarrolladas sólo la forma del perfil de temperatura es constante en x. Vea también longitud de entrada. trabajo: Vea energía. trabajo de flujo: El término de trabajo en la primera ley de la termodinámica que se aplica a flujo de fluido asociado con fuerzas de presión sobre el flujo. Vea energía, energía de flujo. trabajo de presión: Vea trabajo de flujo. trayectoria: Vea línea de trayectoria. tridimensional: Vea dimensionalidad. tubo de corriente: Un haz de líneas de corriente. De manera usual, un tubo de corriente se visualiza como una superficie formada por un número infinito de líneas de corriente que inician en el flujo a lo largo de un circuito circular y tienden a formar una superficie con forma de tubo en alguna región del flujo. unidades: Sistema específico para cuantificar numéricamente las dimensiones de una cantidad física. Los sistemas de unidades más comunes son el SI (kg, N, m, s), el sistema inglés (lbm, lbf, ft, s), BGS (slug, lb, ft, s) y cgs (g, dina, cm, s). Vea también dimensiones. unidimensional: Vea dimensionalidad. vector de posición material: Vector [xpartícula(t), ypartícula(t), zpartícula(t)] que define la posición de una partícula material como función del tiempo. Por lo tanto, el vector de posición material en un flujo de fluido define la trayectoria de una partícula de fluido en el tiempo. velocidad: Vector que cuantifica la razón de cambio en la posición y la dirección de movimiento de una partícula material. velocimetría de imagen de partícula (PIV, por sus siglas en inglés): Técnica para medir una componente de velocidad local en un flujo con base en el rastreo del movimiento de pequeñas partículas en el flujo durante un corto tiempo con el uso de láseres pulsátiles. A diferencia de la anemometría de hilo caliente y de película caliente, y al igual que la velocimetría Doppler láser, no hay interferencia en el flujo. velocímetro Doppler láser (LDV): También se llama Anemometría Doppler láser (LDA). Técnica para medir una componente de velocidad local en un flujo con base en el efecto Doppler de desplazamiento hacia el rojo asociado con el paso de partículas pequeñas en el flujo a través del pequeño volumen de blanco formado por el cruce de dos haces de láser. A diferencia de la anemometría de hilo caliente y de película caliente, y al igual que la velocimetría de imagen de partícula, no existe interferencia con el flujo. viscosidad: Vea fluido newtoniano. La viscosidad es una propiedad de un fluido que cuantifica la razón de esfuerzo de corte a la razón de deformación de una partícula de fluido (por tanto, la viscosidad tiene las dimensiones de esfuerzo dividido sobre razón de deformación, o Ft/L2 = m/Lt). Cualitativamente, la viscosidad cuantifica el nivel por medio del cual un fluido particular resiste la deformación cuando se le sujeta al esfuerzo de corte (resistencia debida a fricción). La viscosidad es una propiedad de un fluido que se puede medir experimentalmente y depende de la temperatura. Para fluidos newtonianos, la viscosidad es independiente de la razón de esfuerzo aplicado y

965 GLOSARIO

de la razón de deformación. La naturaleza viscosa de los fluidos no-newtonianos es más difícil de cuantificar, en parte porque la viscosidad varía con la razón de deformación. Los términos viscosidad absoluta, viscosidad dinámica y viscosidad son sinónimos. Vea también viscosidad cinemática.

se encoge a un punto. Por lo general, en este punto se producen derivadas (note que d a veces se escribe como  o d.)

viscosidad absoluta: Vea viscosidad.

vórtice de salida: Vea vórtice de punta.

viscosidad cinemática: Viscosidad dinámica (absoluta) de fluido dividida entre densidad.

vórtice o remolino: Estructura local en un flujo de fluido que se caracteriza por una concentración de vorticidad (es decir: giro o rotación de partícula de fluido) en un núcleo tubular con líneas de corriente circulares alrededor del eje del núcleo. Los tornados, huracanes y vórtices en los drenajes de las bañeras son ejemplos comunes de vórtices. El flujo turbulento está lleno de pequeños vórtices de diversos tamaños, intensidades y orientaciones.

viscosidad dinámica: Vea viscosidad. viscosidad turbulenta: Vea modelos de turbulencia. volumen de control: Volumen que se especifica para análisis donde el flujo entra y/o sale a través de cierta porción de la superficie que limita el volumen. También se llama sistema abierto (vea sistema). volumen/área/longitud diferencial: Un pequeño volumen dV, área dA o longitud dx en el límite del volumen/área/longitud que

vórtice de punta: Vórtice que se forma en cada punta del ala de un avión como un subproducto de la sustentación. Sinónimo de vórtice de arrastre. Vea también arrastre inducido.

vorticidad: El doble de la velocidad angular, o razón de giro, de una partícula de fluido (un vector, con unidades rad/s, dado por el rotacional del vector de velocidad). Vea también razón de rotación.

ÍNDICE A Abanico de expansión, 665-666 Abscisa, 147 Aceleración, 105-107, 132-139, 197-198, 261 advectiva, 136 axial, 137 campo, 132-139 centrípeta, 107, 138, 261 constante, 105, 111 convectiva, 136, 138 de la partícula de fluido, 134, 186 derivada material para, 137-138 derivada parcial (∂),operador de, 135 dirección de la corriente (as), 198 estándar, 79 euleriana, descripción, 132, 133-137 gradiente, operador, 135 gravitacional, 17, 40, 77 lagrangiana, descripción, 132, 133135 lineal, 73, 105, 111 local, 112, 136 material, 137-138 normal (an), 198 partícula de fluido (material), 134-139, 197-198 segunda ley de Newton, 134 sobre una trayectoria recta, 105-107 variable vectorial, 132-133 variables de campo, 132-133 Actuadores fluídicos, 167 Acueductos romanos, 7 Aerodinámica, 2 Aeroestática, 87 Aeronave, 555-556, 593, 610-615, 657, 661 aletas (winglets), 615-616 ángulo de ataque (a), 555, 593 arrastre inducido y, 614-615 carga alar, 610 desprendimiento de vórtice, 593 efecto de los extremos de las alas, 614615 eficiencia, 613 entrada en pérdida, 555-556, 593 envergadura, 610 flaps, 612-613 separación de flujo y, 555, 593 sustentación, 610-619 Agricola, Georgius, 7 Aire a 1 atm de presión, propiedades, 895896, 913-914 Álabes del estator, 794-796, 882-890

del rotor, 764, 769-771, 780-782, 784789, 794-796 inclinados en el sentido del giro, 782 inclinados hacia atrás, 781-782 radiales (rectos) del rotor, 782 Álabes de rueda móvil, 764, 769-771, 780782, 784-789, 794-796 bomba centrífuga, 781-782, 785-789 bombas dinámicas, 764, 780-782 diseño de, 785-789 ecuación de Bernoulli para, 786 inclinados hacia atrás, 781-782 tamaño del diámetro, 769-771 ventilador axial, 794-796 Alambre de humo, 143 Album of Fluid Motion, An (Van Dyke), 12 Aletas, 615, 617 Algoritmo de corrección de presión, 455 Altura metacéntrica (GM), 102 Ampere (A), unidad de, 16 Análisis de cantidad de movimiento, 239281 cantidad de movimiento lineal, 240, 245259 conservación de la cantidad de movimiento, 240-241 fuerza del cuerpo, 242-243 leyes de Newton, 240-241 movimiento angular, 240-241, 259-269 movimiento de rotación, 259-261 teorema del transporte de Reynolds, 246, 262 volumen de control (VC), 241-245 Análisis de energía de los flujos estacionarios, 217-226 Análisis de placa plana, 90, 97, 541-544, 548-554, 562-563, 588, 601-605 Análisis de regresión, 311-312 Análisis diferencial, 32, 419-490, 681 conservación de masa, 420-432 conservación del movimiento lineal, 441446 de problemas de flujo de fluidos, 452-475 dinámica de fluidos computacional (CFD) para, 454-455 ecuación de Cauchy para, 441-446 ecuación de continuidad, 420-432, 450451, 457-458 ecuaciones constitutivas para, 446-447 flujo de Couette, 459-466 Análisis dimensional, 283-335, 799-801 homogeneidad dimensional y, 283, 285291 pruebas experimentales, 311-318 similitud dinámica, 292, 311

similitud geométrica, 291-292 similitud incompleta, 311 similitud y, 291-295 y modelado, 283-335 Análisis por inspección, 286-291 Anemómetros, 392-394 de hilo caliente, 393-394 de película caliente, 393 de temperatura constante (CTA), 393 térmicos, 392-394 Angular (θ), dirección, 13-14 Ángulo de arista de entrada (β1), 783, 818 ataque (a), 555, 593, 610-614 contacto (φ), 58 deflexión (de viraje), 661-664 flujo (β), 884-885 inclinación (θ), 791 inclinación variable, 793 Mach (μ), 665-666 borde posterior (β2), 783, 818 Anillo de vórtices, 32 Aproximación de capa límite, 530-567 de flujo de Stokes, 496-501 de flujo irrotacional, 505-530 para regiones invíscidas de flujo, 501-505 Área de aplicación de la mecánica de fluidos, 4-6 de disco (A), 827 de planta (A), 588, 610 frontal, 588 Arquímedes, 7, 97 número de (Ar), 301 principio de (Ar), 97-98, 110 Arrastre de superficie, 6 inducido, 614-615 Asfalto, 3 Aspas del distribuidor ajustables, 811-812 Atmósfera estándar (atm), 41, 74, 79-80 Ausencia de fuerzas externas, 250-251, 264

B Balance de fuerzas a través de las líneas de corriente, 200 Bar (unidad de presión), 74 Barómetro, 79-81 Bernoulli, Daniel, 7-8, 199 Bidimensional (2-D), malla, 855, 858-862 Bingham, Eugene C., 52 Biot (Bi), número de, 301 Blasius, Paul R. Heinrich, 9, 541

968 ÍNDICE

Bloques elementales, DFC mallas, 860-861 “Bola sobre el piso”, 100 Bomba de flujo mixto, 780 peristáltica, 777-778 rotatoria, 778-779 Bombas, 194, 218-219, 371-380, 762-808, 838 análisis de las redes, 372 axial, 790-799 capacidad (gasto volumétrico), 764, 782783 cavitación, 771-774 centrífugas, 780-790 de autocebado, 779 leyes de semejanza (afinidad), 803-807 potencia al freno (bhp), 765 potencia útil, 765 punto de la mejor eficiencia (PME), 765 rotodinámicas, 780 turbinas comparadas con, 373-374, 807 turbomaquinaria, función como, 762-807, 838 ventilador, 762 Bombas axiales, 790-799 álabes del estator, 794-796 de varias etapas, 796-797 rotor, 790-792 torbellino descendente, 790 ventiladores, 790, 793-798 Bond (Bo), número de, 301 Breve historia de la mecánica de fluidos, 7-9 Btu (unidad térmica británica), 18, 43 Burbujas de cavitación, 42, 771 separación, 555, 896

C Caída de presión (ΔP), 345-347, 359 total (Htotal), 813 Cálculos de la DFC de flujo compresible, 897-903 Calores específicos, 43-44 Caloría (cal), unidad de, 18, 43 Cambio de entropía, 670-671, 679 flujo de Fanno, 679 flujo de Rayleigh, 670-671 Campo de flujo, 133, 137-139, 865 de presión, 132-133, 452-457 de velocidad, 132-133, 452-457 lejano de presión, DFC condición de frontera de, 865 Campo bidimensional estacionario de velocidad, 133-134 Campo de aceleraciones, 134-137

Canal de descarga, 816 toma, 816 Canales, 719-721, 747 rectangulares, 721 trapezoidales, 721-722 Candela (cd), unidad de, 16 Capa de amortiguamiento, 354-355, 602 de traslape (o transición), 354-356, 602 límite de velocidad, 341, 603 turbulenta (o exterior), 354-356, 602 Capa límite, 6, 9, 197, 341-342, 354-355, 531-549 Capacidad (flujo volumétrico), bombas, 764, 782 Capas viscosas libres, 533 Cara del dominio computacional 3-D, 855 Carga alar, 610 de elevación (z), 203 de presión, 77, 203 de velocidad, 203 total (H), 203-204, 724, 765 útil de bomba (hbomba,u), 373-374, 766 Cargas (h), 203-205, 218-219, 373-374, 764-774 cavitación y, 771-774 elevación (z), 203 factor de corrección de energía cinética (a) para, 373 hidrostática de Bernoulli, 764 línea de energía (LE) y, 203-205, 764, 816 línea de gradiente hidráulico (LGH), 203205 total (Htotal) para, 813 Cascada de álabes (fila), 795, 882 Castelli, Benedetto, 7, 186 Caudalímetros de disco oscilante, 386 Cavitación, 41-43, 62, 64, 771-774 burbujas, 42, 771 domo del sonar, 62 número de (Ca), 301 presión de saturación (Psat) y, 41-43 presión de vapor (PV) y, 41-43, 771 sonoluminiscencia, 62 temperatura de saturación (Tsat) y, 41-43 vaporosa (gaseosa), 62 Celdas dominio computacional, 855 hexaédricas, 862 Células prismáticas, 862 Centipoise, 52 Centro de presión (punto de aplicación), 8890 Centroide de la superficie, 88-89 CGPM (Conferencia General de Pesos y Medidas), 16 Chezy, Antonie, 8, 714 Cilindros, 606-609, 870-877, 879-882

Cinemática de fluidos, 131-183 campo de aceleración, 133-137 comparación de flujo circular, 157-158 contornos, gráficas de, 148-149 datos sobre flujo de fluido, gráficas de los, 146-149 deformación de flujo, 149-154 deformación lineal, 150-151 deformación por esfuerzo, 151-152 derivada material, 131, 137-138, 165-166 descripción euleriana, 132-138, 165-166 descripción lagrangiana, 132-138, 165166 euleriana, descripción, 132-138 flujos circulares, 157-158 gráficas, 146-149 lagrangiana, descripción, 132-138 líneas de corriente, 139-140 líneas fluidas, 144-145 líneas de trayectoria, 140-142 líneas de traza, 142-144 movimiento de flujo, 149-154 perfiles, gráficas de, 147 refractivas de visualización, 145-146 rotación, 149-150, 154-157 teorema del transporte de Reynolds (RTT), 158-166 traslación, 149 vector de velocidad (razón de traslación), 149 vectoriales, gráficas, 147-148 velocidad angular (razón de rotación), 149-150 visualización del flujo, 139-146 visualización sobre la superficie, 146 vorticidad, 154-157 Circuitos integrados (CI o IC) chips, 892897 Clasificación de los flujos de fluidos, 9-14 Codos, 368, 369 en sistemas de tubería, 367, 369-370 Coeficiente de arrastre (drag) (CD), 301, 588-589, 590, 593-601, 608-609 de Chezy, 714-715 de compresibilidad (κ), 44-46, 61 de descarga (Cd), 383-384, 739-740, 747 de descarga del vertedero (Cdv), 742, 744745 de expansión volumétrica, 46-47 de Manning (n), 715, 747 de pérdida (resistencia) (KL), 364-369 de potencia (Cp), 828-830 de presión (CP), 302, 523 de sustentación (CL ), 301, 588-589, 610 Comparación de dos flujos circulares, 157158 Componente fluctuante para flujo turbulento, 352 Compresibilidad isotérmica (a), 46

969 ÍNDICE

Compresibilidad y velocidad del sonido 4450 Compuerta, 737-740, 747, 905 coeficiente de descarga (Cd) para, 738740 de corriente subálvea, 737-740, 747 de desagüe (descarga), 738, 905 de sobreflujo, 740 de tambor, 738 salto hidráulico y, 905 Condición de entrada suave, 783 frontera del ventilador, 867 frontera periódica, 865 no-deslizamiento, 6-7 no-salto en la temperatura, 7 Condiciones de frontera, 14-15, 159, 420, 458-459, 855, 863-867 de entrada, 459 de interfase, 458-459 de salida, 459 de simetría, 459 de superficie libre, 459 iniciales, 459 interiores, 866-867 periódicas rotacionales, 865 periódicas traslacionales, 865 Condiciones de no-deslizamiento, 6-7, 458, 531-532, 702 aproximación de capa límite, 531-532, 540 condición de no-salto en la temperatura, 7 condiciones de frontera para, 458 marco de referencia para, 458 Conferencia General de Pesos y Medidas (CGPM), 15-16 Conservación de cantidad de movimiento lineal: ecuación de Cauchy, 441 Conservación de la masa, 185-192 Conservación de masa: la ecuación de continuidad, 420-432 Constante universal de los gases (Ru), 40 Constantes puras, 287 Coordenadas, 13-14, 535, 890 flujo de un fluido, 13-14 Coordenadas cartesianas, 13-14, 132-135, 155, 422-426, 432-439, 450, 452 flujo fluido en, 13-14 vorticidad (z) en, 155-156 Coordenadas cilíndricas, 13, 156-157, 426427, 439-440, 451, 455-457 vorticidad en, 156-157 Corrección de eficiencia de Moody, 801, 832 Corriente uniforme, 515, 576-577 Cucharones (cangilones), 809, 822 Cuerda, 593 Cuerpo(s) bidimensionales, coeficientes de arrastre para, 595

currentilíneo, reducción de arrastre de, 586, 591-592 escarpado, 586 inestables, 100 neutralmente estable, 100 tridimensionales, coeficientes de arrastre para, 596-597 Curva del sistema (demanda), 373-374 Curvas características (rendimiento), 374, 765-771, 801 bomba, 374, 765-771, 801 turbina de viento, 826-830

D Deformación, 2, 149-154 ángulo de (a), 2 cinemática de fluidos, propiedades de, 149-154 esfuerzo cortante, razón de, 151-152 por esfuerzo, 2, 151-152 razón de, 2, 149-154 razón lineal de, 150-151 rotación, razón de, 149-150 volumétrica (volumen), razón de, 151 Densidad, 1-11, 32, 39-41, 46-47, 644-645, 827 de potencia de viento, 827 estructura de vórtices, 32 expansión volumétrica (β) y, 46-47 flujo compresible y, 10-11, 644-645 gases ideales, 40-41, 645 gravedad específica (GE) y, 39, 41 propiedades de los fluidos de, 39-41 Densidad y gravedad específica, 39-41 Derivada material, 137-138, 165-166, 425, 445 aceleración, 137-138 ecuación de Cauchy, 445 ecuación de continuidad y, 425 Descripción euleriana, 132-138, 166 aceleración, campo de, 133, 134-137 derivada material, 137-138, 165-166 derivada parcial (∂),operador de, 135 derivada total (d), operador de, 135 dominio del flujo (volumen de control), 132 operador gradiente, 135 partícula de fluido, 134-135 presión, campo de, 132 teorema del transporte Reynolds (RTT) y, 165-166 variables de campo, 132-134 velocidad, campo de, 132 Descripción lagrangiana, 132-138, 166 aceleración de partícula fluida, 132, 134136 derivada material, 137-138, 165-166 segunda ley de Newton y, 134 teorema del transporte de Reynolds (RTT) t, 165-166

variable vectorial, 132-133 vector de posición, 132 vector de velocidad, 132 Desplazamiento angular (a), 2 Desprendimiento de vórtice, 593 DFC con transferencia de calor, 890-897 Diagrama de Moody, 357-360 diámetro de la tubería, problema, 359-360 ecuación de Colebrook, 357-358 ecuación de Prandtl, 358 Diámetro hidráulico (Dh), 340, 704 Difusores, 642-644 Dígitos significativos, 28-31 Dimensiones, 15-16, 284 primarias (fundamentales), 15-16, 284 secundarias (o derivadas), 15 y unidades, 284 Dinámica de fluidos computacional (CFD o DFC), 27, 32, 71, 139, 147-149, 310311, 396, 454-455, 556-559, 564-567, 853-920 flujo de un fluido, 31 gráficas de contornos, 148-149, 887-889 gráficas de los datos sobre flujo de fluidos, 146-149 gráficas vectoriales, 147-148 visualización del flujo y, 139 Dinámica de gases, 2 Dirección axial (z), 13-14 radial (r), 13-14 Disco nutante, 808 Diseño de un túnel de viento, 797-799 del estator con álabes guía, 882-890 Dispositivos de flujo radial, 265-266 medición de presión, 78-87 una sola corriente, 217, 250 Distancia vertical del centroide, 89-90 Doblete, 520-521, 522-523 Dominio computacional 2-D, 855 del flujo (volumen de control), 132, 420 Ductor, 338

E Eckert (Ec), número de, 301 Ecuación de Cauchy, 441-446 de Colebrook, 357-358 de continuidad, 420-432, 450-451, 457475, 505-506, 670, 679, 681, 854-855 de Euler de la turbomáquina, 784, 838 de Euler para flujo invíscido, 501-502 de Poisson, 455 de Prandtl, 358 de Torricelli, 207 de von Kármán, 358-359 integral de Kármán, 561-563, 568

970 ÍNDICE

Ecuación adimensional, 283, 286-291, 493496, 567-568 constante dimensional, 287-288 continuidad, 494 número de Euler (Eu) para, 494-495, 567 teorema Pi de Buckingham, 295-302 variables adimensionales, 287 variables dimensionales, 287 Ecuación de Bernoulli, 197-212, 382-383, 399, 502-503, 507-510, 786 aceleración de una partícula de fluido, 197-198 aplicaciones de la, 205-212 aplicaciones en un flujo, 197-212 corriente, línea de, 197-198, 200, 203 ecuación de Navier-Stokes y, 502-503, 507-510 energía (LE), línea de, 203-205 energía mecánica y, 203-205 estacionario, flujo, 197-200, 202 fricción en el flujo, 202 gradiente hidráulico (LGH), línea de, 203205 incompresible, flujo, 199-200, 203 limitaciones en el uso de la, 202-203 momento lineal, principio de conservación de la energía y, 197, 198200 ningún trabajo en la flecha, 202 no estacionario y compresible, flujos, 200 presión de estancamiento, 201-202 regiones invíscidas de flujo, 502-503 regiones irrotacionales de flujo, 507-510 Ecuación de cantidad de movimiento, 507, 670, 679, 681-682 análisis diferencial, 681-682 flujo de Fanno, 679, 681-682 flujo irrotacional, 507 flujos de Rayleigh, 670 Ecuación de estado, 40, 446, 671, 680 flujo de Fanno, 680 flujo de Rayleigh, 671 gases ideales, 40 presión termodinámica y, 446 Ecuación de la cantidad de movimiento angular, 261-269 movimiento lineal, 245-259 Ecuación de Navier-Stokes, 446-452, 457475, 491-582, 854, 878 aproximación de capa límite, 491, 530564, 566-567 condiciones de frontera para, 458-459 coordenadas cartesianas, en, 450 de número de Reynolds promedio (NSRP o RANS), 878 soluciones aproximadas de, 491-562 Ecuación general de la energía, 212-217 Ecuaciones acopladas, 420 adimensionadas de movimiento, 493-496 constitutivas, 446-450

de Gaukler-Manning, 715 diferenciales, uso de, 22 Efecto de capilaridad, 58-59 Efecto Magnus, 615-619 Efectos de los extremos de las alas, 614-615 Eficiencia, 192-197, 373-374, 765-771, 807808, 811, 816-817, 819-820, 831-832 combinada (total), 194 del acoplamiento de bomba con motor, 373-374 del generador (ηgenerador), 194 factor de corrección de Moody, 801, 832 mecánica (ηmec), 192-197 motor (ηmotor), 194 punto de la mayor eficiencia (PME), 765 Elección de un volumen de control, 241-242 Elemento material, 425-426, 445 ecuación de Cauchy, 445-446 ecuación de continuidad, 425-426 Energía, 38, 43-44, 192-197, 184-185, 212226, 669-670, 679, 682, 709-713 calores específicos y, 43-44 cinética (ec), 42-43, 192-193 entalpía (h), 43-44 interna (U), 43 macroscópica, 43 microscópica, 43 potencial (ep), 43, 192-193 propiedades de los fluidos, 43-44 térmica, 43 total (E), 43 total específica (e), 38, 44 trabajo del flujo (P/ρ), 43-44, 192, 216 Energía mecánica (Emec), 192-197, 203-205, 217-219 cinética, 192-193 conversión de, 197 eficiencia y, 192-197 línea de energía (LE), 203-205 línea de gradiente hidráulico (LGH), 203205 pérdida, 217-219 pérdida de carga, 218-219 pérdidas irreversibles, 218-219 presión unidad (Pa) de, 192-193 representación gráfica de, 203-205 trabajo del flujo, 192-193 Engineering Equation Solver (EES) (Programa para resolver ecuaciones de ingeniería), 26-27 Entalpía (h), 43-44, 636-639 de estancamiento y, 636-639 energía y, 43-44 gas ideal, 637 total (h0), 636, 689 Entrada de presión, 864-865 de velocidad, 864 en pérdida, 555-556, 593 Entrega libre, 374, 765 Envergadura, 610

Error constante (sistemático), 28 Error por desviación, 28 Errores conscientes, 28-31 Escala de Rankine (R), unidad de temperatura, 40 Esfera, 499-501, 606-609 Esfuerzo, 2-3, 52, 243-244, 353-354, 447449 Esfuerzo cortante, 2-3, 52, 353-354 flujo de fluidos y, 2-3 flujo turbulento, 353-354 viscosidad, 52 Esfuerzos Reynolds (turbulentos), 353 Espesor de desplazamiento (d*), 544-547 Espesor de la cantidad de movimiento, 547548 Estabilidad, 100-102 Estancamiento, 201-202, 636-639, 689 Estática de fluidos, 87 Estelas, 197, 593 Estiograma, 146 Estructura de vórtices, comparación de la, 32 Estudio de derivadas, 22 Euler (Eu), número de, 291, 301, 494-495, 567 Exactitud, precisión y dígitos significativos, 27-31 Expansión en serie de Taylor, 422-423, 443 Expansión repentina, 367, 369

F Factor de corrección, 163, 219-220, 247249, 373 de la energía cinética (a), 219-220, 373 del flujo de la cantidad de movimiento (β), 247-249 Factor de fricción de Darcy (f), 301, 309, 345-346, 348, 357-359 análisis de flujo turbulento, 357-359 flujo laminar, 345-346, 348 gráfica de Moody, 357-359 sección transversal de la tubería y, 348 Factor de fricción de Fanning (Cf), 301, 345346 Factor de patrón de energía (Ke), 827 teorema del transporte de Reynolds, 163 Flaps de bordes de entrada, 612 de bordes de salida, 612 efectos sobre la sustentación, 612-613 Flotación, 47, 97-102 cuerpos flotantes, 97-98 estabilidad y, 97-102 expansión volumétrica (β) y, 47 fuerza de flotación (flotabilidad) (FB), 47, 73, 97-100 gases, 98 placa plana, 97 principio de Arquímedes, 97-98

971 ÍNDICE

FlowLab, 27 Fluido, definición de, 2 Fluidos de engrosamiento por corte, 448 dilatantes (espesantes al corte), 52, 448 en el movimiento del cuerpo rígido, 102110 newtonianos, 52, 447-448 plásticos, 448 plásticos de Bingham, 448 seudoplásticos (adelgazantes al corte), 52, 448 Flujo axial entubado, ventilador de, 790 bidimensional, 13-14, 510-513, 584-586 con superficies libres, 315-317 crítico, 705-708 de compresión, 665 de Couette, 459-466 de entrada, condiciones de frontera, 864865 de expansión, 665 de Poiseuille, 468-472 de salida, frontera de, 864-865 de Stokes, 491, 496-501, 564-566 de transición (transicional), 11, 340-341 estacionario, 11-13, 189, 197-200, 202, 217-226, 247, 249-250, 263-264 forzado, 11 Hele-Shaw, 437 hipersónico, 11, 50 inverso, 864 natural (no-forzado), 11 no estacionario, 11-13, 200, 427-431 periódico, 12 rotacional, 154-158 sónico, 11, 50 subcrítico (tranquilo), 705-707, 904 subsónico, 11, 50, 642-644 supercrítico (rápido), 705-707, 904 supersónico, 11, 50, 642-669 transitorio, 12 transónico, 50 tridimensional, 13-14, 586-587, 855, 863 turbulento, 11, 339-341, 351-365, 533534, 548-554 unidimensional, bidimensional y tridimensional, 13-14 uniforme, 11-12, 247, 702-703, 713-719, 747 viscoso, 10, 466-468 Flujo axisimétrico, 439, 512-513, 586 bidimensional, 512-513, 586 función de corriente de, 439, 512-513 regiones irrotacionales de, 512-513 Flujo bloqueado, 646, 676, 741 Fanno, 684-686 Rayleigh, 676 Flujo compresible, 10-11, 48-50, 199-200, 426-427, 586, 635-699, 897-903 densidad y, 10-11

en comparación con el incompresible, 1011 supersónico, 11, 50, 642-669 velocidad del sonido (c) y, 11, 48-50, 639643 Flujo de canal abierto, 701-759 bloqueado, 741 canales, 719-723 clasificación de, 702-705 conservación de energía, 712-713 tope, 740-741, 745-746 turbulentos, 703-705 uniformes, 702-703, 713-719, 747 variado (no uniforme), 702-703 velocidad de onda, 705-709, 747 vertedero, 733, 737, 742-746 Flujo de Fanno, 678-687, 690 análisis diferencial de, 681-684 bloqueado, 684-686 cambio de entropía de, 679 ecuación de continuidad para, 679, 681 ecuación de estado para, 680 ecuación de la energía para, 679, 682 Flujo de fluidos, 1-35, 131-181, 197-212, 419-490, 865 análisis, 1-35 análisis diferencial de, 32, 419-490 bidimensional, 13-14 capa límite, 6, 9 circular, 157-158 compresible, 10-11, 200 condición de no deslizamiento, 6-7 condición de no-salto en la temperatura, 7 coordenadas para, 13-14 descripción euleriana, 132-138 descripción lagrangiana, 132-138 dígitos significativos y, 27-31 estacionario, 11-13, 197-200 estacionario en comparación con el noestacionario, 11-13 estados de, 2-4 estructura molecular y, 3-4 externo, 10 fuerza (F) y, 2-4, incompresible, 10-11, 199 inexactitud de medición para, 28-29 interno, 10 irrotacional, 154-157 laminar, 11 modelado (matemático), 21-23 natural (o no-forzado) en comparación con el forzado, 11 no estacionario, 11-13, 200, 867 no forzado, 11 no viscoso, 10, 197 paquetes de software para ingeniería, 2527 precisión de mediciones para, 27-29 razón de deformación, 2-3 rotacionalidad, 154-157 sistema, 14-15

técnica para resolución de problemas, 2325 teorema del transporte de Reynolds (RTT) para, 158-163 totalmente desarrollado (unidimensional), 13-14 tridimensional, 13-14 turbulento, 11 unidades de medidas, 15-21 unidimensional (totalmente desarrollado), 13-14 viscosidad, 10 volumen de control, 15 Flujo de variación gradual (FVG, GVF), 703, 723-732, 747 flujos en canales abiertos, 703, 723-732 pendiente (S) y, 724-730, 732 pendientes con conexiones (transiciones), 728-730 perfil de superficie, 725-732, 747 puntos de control para, 730 soluciones numéricas, 730-732 Flujo de variación rápida (FVR o RVF), 703, 723-724, 733-737, 747 flujo de variación gradual (FVG o GVF) en comparación con, 703, 723-732 salto hidráulico y, 733-737, 747 Flujo en tuberías, 337, 343-380, 765-771, 867-870 análisis de redes para, 371 cálculos de la DFC para, 867-870 circulares, 338, 343-347 codos, 368-369 diámetro (D) problemas, 359-360 enroscado, 368 factor de fricción de Darcy (f) para, 345346, 357-359 Flujo externo, 10, 583-633, 635-699 ángulo de ataque (a) y, 593, 610-614 axisimétrico, 586 cilindros, sobre, 606-609 compresible, 586, 635-699 cuerpos romos, 586 efectos de la contrapresión, 646-654 fuerza de arrastre, 583, 586-610 placas planas, sobre, 601-605 Flujo incompresible, 10-11, 43-45, 190-192, 199-200, 203, 219, 424-427, 586 conservación de la masa y, 190-192, 424 ecuación de Bernoulli para, 199-200, 203 ecuación de continuidad para, 424-425, 427 flujo compresible en comparación con, 10-11 Flujo interno, 10, 337-417, 468-472 análisis diferencial de, 468-472 ductos, 338 ecuación de Bernoulli para, 383, 398 efectos de la fricción sobre, 338-339 laminar, 339-341, 343-351

972 ÍNDICE

pérdidas de carga (hL), 338, 345-347, 359360, 365-367 razón de flujo, 359-360, 381-398 región de entrada, 341-343 Flujo irrotacional, 154-158, 341, 491, 505530 aproximación de, 505-530 circular, 157-158 doblete, 520-521, 522-523 doblete a lo largo (K) de, 520 ecuación de continuidad para, 505-506 ecuaciones de Bernoulli para regiones de, 507-510 paradoja de d’Alembert, 525 punto de presión cero, 525-526 regiones axisimétricas, 512-513 vórtice lineal (circulación) de, 518-519 vorticidad, 154-157 Flujo isentrópico, 639-654 estado de estancamiento, 637 flujo sónico, 643 número de Mach (Ma) para, 639-646 toberas en, 646-654 velocidad del sonido (c), 639-640 Flujo laminar, 11, 339-351, 533-535, 541544, 550-552, 867-877 capa límite sobre una placa plana, 541544, 550-552 comportamiento de un fluido, 339-341 en comparación con el turbulento, 11 en tuberías, 343-351 factor de fricción de Darcy (f), 345-346, 348 factor de fricción para, 348 flujo alrededor de un cilindro circular, 870-877 región de entrada, 341-342 totalmente desarrollado, 343-345 Flujo plano, 439, 511-512, 514-530 bloques de construcción elementales para, 514-521 doblete, 520-521, 522-523 fuente lineal de, 516-518 punto singular de, 516 regiones irrotacionales de, 511-512, 514530 sumidero lineal de, 516-518, 521-522 vórtice lineal de, 518-520, 521-522 Flujo Rayleigh, 669-678, 689 bloqueado, 676 cambio de entropía, 670-671 ecuación de continuidad, 670 ecuación de estado, 671 ecuación de la energía, 670 efectos del calentamiento y del enfriamiento en, 672 transferencia de calor y, 669-678 Flujo unidimensional, 13-14, 639-656 compresible, 639-656 isentrópico, 639-656 onda de choque, 653, 655-656

perfil de velocidad, 13-14 región de entrada, 13, 341-342 región totalmente desarrollada hidrodinámicamente, 341-342 totalmente desarrollado, 13-14, 341-342 Flujómetro de área variable (rotámetro), 388 de desplazamiento positivo, 386 de obstrucción, 382-386 de rueda de paletas, 387-388 de turbina (de hélice), 387 de vórtice, 392 electromagnético, 391-392 ultrasónico de efecto Doppler, 389-391 Flujos laminar y turbulento, 339-341 Fórmula de Euler de la turbina, 265-266 Fourier (Fo), número de, 301 Fricción, 2-33, 50-51, 197, 202, 355-356, 552, 678-687, 738-739, 742, 744-745, 747 en la superficie, 50, 308-310, 588, 590593, 790 factor de (f), 301, 345-346 flujo de Fanno, 678-687 flujo turbulento, 355-356, 552 fuerza de, 2-3, 50-51, 197, 202 velocidad de, 355-356, 552 Frontera, condiciones de, 14-15, 159, 420, 458-459, 855, 863-867 análisis diferencial y, 420, 458-459 capas viscosas libres, 533 coeficiente de fricción local, para, 543, 561 concepto de, 531-535 ecuación integral de Kármán, 561-563, 568 ecuaciones de, 535-539 exceso de velocidad y, 566-567 flujo laminar, 533-535, 541-544, 550-552 flujo turbulento, 533-535, 548-554 gradiente de presión y, 537, 541, 554-559 ley de logaritmo, 552 ley de un séptimo de potencia, 549-552 Navier-Stokes, ecuación de, 457-458, 491, 530-567 número de Reynolds, para, 532-535 orden de magnitud, 536-538 placa plana, 541-545, 548-554 procedimiento de, 540-544 provocadores de turbulencia para, 534 región de flujo exterior, 531 región de flujo interior (capa límite), 531 sistema cerrado, 14-15 sistema coordenado, 535 técnica de la integral de la cantidad de movimiento, 559-564 volumen de control, 15, 159 Frontera de eje, 866 Frontera de simetría, 865-866 Fuente lineal, 516-518

Fuerza (F), 2-4, 17-18, 50-51, 58, 75-76, 88100, 249-251, 499, 583, 586-609 centrípeta, 261 de adhesión, 58-59 de arrastre (FD), 51, 294-295, 499, 525, 583, 586-609 de cohesión, 58 de compresión, aspersión en un punto como, 75-76 de empuje, 250-251 de flotación (FB), 97-100 de propulsión inversa, 793 del cuerpo, 103-104, 242-243 movimiento angular y, 261-262, 264 volumen de control (VC), que actúan sobre un, 242-245 Fuerza de sustentación, 305-308, 583, 586589, 610-619 análisis dimensional de, 305-308 ángulo de ataque (a) y, 610-614 arrastre y, 583, 586-590, 611-615 efecto de los flaps sobre, 612-613 efectos de los extremos de las alas, 614615 relación dimensional (AR) para, 615 superficie de sustentación, 610-614 Fuerzas de presión (Wpresión), 214-217 hidrostáticas sobre superficies curvas sumergidas, 93-96 hidrostáticas sobre superficies planas sumergidas, 88-93 hidrostáticas y magnitud, 88-90 que actúan sobre un volumen de control, 242-245 superficiales, 103-104, 242-245 Fuerzas del cuerpo, 103-104, 242-243 volumen de control, actúan sobre, 242243 Función de corriente, 432-441, 511-513 de corriente compresible, 441 de error (erf), 473-474 de Prandlt-Meyer, 666 potencial de velocidad, 505-506, 511513 Funciones armónicas conjugadas para flujo bidimensional irrotacional, 511-516

G Garganta, tobera, 641, 898-902 Gases, 4, 53, 98 estado fluido de, 4 flotación y, 98 viscosidad de, 53 Gases ideales, 40-41, 44, 45-46, 639, 643646, 670-671, 678-687, 690 compresibilidad de, 45-46 densidad de, 40-41 ecuación de estado, 40, 680

973 ÍNDICE

energía de, 44 flujo compresible, 639-645, 670-671, 678-687, 690 flujo de Fanno, 678-687, 690 flujo de Rayleigh, 670-671 valores críticos, 644-645 Golpe de ariete, 45 Gradiente de presión, 104, 537, 541, 554559 aproximación de capa límite, 537-538, 541, 555-559 burbuja de separación, 555-558 cero, 540-541, 556 curvatura, 537 desfavorable (adverso), 555 dinámica de fluido computacional (CFD o DFC), 147-149, 556-559, 886-889 favorable, 555 perfil de velocidad, 556 punto de separación, 555-556 Gráficas, 146-149, 886-889 contorno de presión, DFC, 886-888 contornos, 148-149, 887-889 contornos de la velocidad, DFC, 888 contornos de vorticidad, DFC, 888-889 datos sobre flujo de fluidos, 146-149 de trayectoria, 288-291 ordenada, 147 perfiles, 147 vectoriales, 147-148 Grashof (Gr), número de, 301 Gravedad, 39, 41, 101-102, 242-243 altura metacéntrica (GM), 102 centro de (G), 101-102 específica (GE), 39, 41 estabilidad, 101-102 fuerza de, 18 volumen de control (VC), 242-243

H Hélice (rotor), 790-793 álabe torcido, 791 ángulo de inclinación (θ), 791 fuerza de propulsión inversa, 793 inclinación variable, 793 movimiento giratorio, 792 ventiladores, 790 Hidráulica, 2 Hidrodinámica, 2 Hidrología, 2 Hidrostática, 87-96 centro de presión (punto de aplicación), 88-90 centroide, 89-91 fuerzas, 88-96 magnitud, 88-90 momento de área, 88-90 superficies curvas, 93-96 Hilo de burbujas de hidrógeno, 144 Hilo de humo, 142-143

Homogeneidad dimensional, 19-20, 283, 285-291 unidades y, 19-20, 284 Huella (estela) de vórtices de Kármán, 143, 874-876

I Imagen de resonancia magnética (IRM), 906 Importancia de las dimensiones y de las unidades, 15-21 Intensidad de turbulencia (I), 878-879 Interacción viscosa-invíscida, 688 Intercambiador de calor de flujo cruzado, 890-892 Interferometría, 145 International Electrotechnical Commission (IEC), 832 Introducción a la estática de fluidos, 87 Isobaras, 105-106

J Jakob (Ja), número de, 301 Joule (J), unidad de, 18, 43

K Kelvin, (°K), unidad de temperatura, 16, 40 Kilogramo (kg), 16-17 Kilojoule (kj), unidad de, 18, 43 Kilopascal (kPa), unidad de, 74 Knudsen (Kn), número de, 301

L Lagrangiana y euleriana, descripciones, 132138 Lewis (Le), número de, 301 Ley de conversión al sistema métrico, 16 de defecto de velocidad, 356 de estudio del sistema métrico, 16 de King, 393-394 de la pared, 355-356, 552-554, 556 de Pascal, 78-79 de Poiseuille, 346 de Spalding, 552-554 de Stokes, 594 de un séptimo de potencia, 549-552 logarítmica, 356, 552 Ley de Newton, 102-104, 134-135, 240-241, 445-446 cantidad de movimiento angular, 240-241 ecuación de Cauchy, 445 momento lineal, 240 partícula de fluido y, 134-135 primera, 240 Ley de semejanza, 761, 799-807, 831-838 análisis dimensional, 799-801, 831-833 bombas, 799-807 curvas de rendimiento, 801

de afinidad, 803-807 ecuación de Moody de corrección de eficiencia, 801, 832 eficiencia, 801, 832 Leyes de conservación, 184 de la cinemática, 32 de Newton, 240-241 de semejanza, 803-807 Libra-fuerza (lbf), unidad de, 17-18 Libra-masa (lbm), unidad de, 17-18 Límite de Betz, 829-830, 838 Línea de corriente, 203-205 de corriente divisora, 438, 528, 557-558 de energía (LE), 764-765, 816 de Fanno (curva), 655-659, 680 de gradiente hidráulico (LGH), 203-205, 701 de Rayleigh (curva), 656-658, 671-672 de reapegamiento, 896 Líneas de corriente, 139-140, 159-160, 197-198, 200-203, 433-436 de trayectoria, 140-142 de traza, 142-144, 202, 437 equipotenciales para flujo bidimensional irrotacional, 511-512 fluidas, 144-145 Líquidos, 53-54 viscosidad de, 53-54 Longitud característica de remolinos turbulentos, 878-879 de entrada hidrodinámica (Lh), 341-343 de mezcla (lm), 354 equivalente (Lequiv), 365 viscosa, 355 Longitudes de entrada, 342-343

M Magnitud, fuerzas hidrostáticas y, 88-90 Malla bidimensional (2-D), 855, 858-862 estructurada, 856 híbrida, 861 múltiple, DFC, 857 tetraédricas, 862 Malla para DFC, 855-856, 857-863 análisis de múltiples bloques, 860-861 calidad, 855, 859 generación, 857-862 híbrida, 861 independiente, 862-863 intervalo, 856 nodos, 855 sesgo, 859 sesgo equiángulo, 859 Mallas estructuradas, 858-861

974 ÍNDICE

no estructuradas, 858-859 poliédricas, 862 Manómetro, 82-86 Máquinas de desplazamiento positivo, 763764, 777-780, 808 bomba peristáltica, 777-778 disco nutante, 808 medidores, 763-764, 808 volumen cerrado para análisis de, 779-780 Máquinas dinámicas, 764, 780, 808-831, 838 Masa (m), 183, 185-192, 420-432, 712, 764 análisis diferencial, 420-432 balance, 187, 189-190 bombas, 764 conservación de, 184-192, 420-432, 712 ecuación de continuidad para, 420-432 expansión en serie de Taylor, 422 flujo de canal abierto, 712 principio de conservación, 185, 187-189 razón de flujo, 185-187, 764 razón de flujo volumétrico, 186-187 teorema de divergencia (Gauss), 421-422, 425-426 velocidad absoluta para, 188-189 velocidad promedio (Vprom) para, 186 velocidad relativa, 189 volumen de control (VC), 184, 187-189, 422-424 Masa de control, 14 Matrices de prueba factorial fraccional, 311 Matriz de prueba factorial completa, 311 Mecánica de fluidos, 2, 4-5, 7-9, 183-238, 239-281, 283-335 aplicación de la, 4-5 categorías de, 2 historia de la, 7-9 Mechones de flujo de fluido, 146 Medición de razón de flujo y de velocidad, 380-399 Mediciones de precisión, 28-29 Medidores de toberas, 383 Medidores de Venturi, 382-385 Medio continuo (continuum), 38-39, 132 Megapascal (MPa), unidad de, 74 Menisco, 58 Meteorología, 2 Método de imágenes, 527 Método de repetición de variables y el teorema Pi de Buckingham, 295-311 Metro (m), 16-17 Microscópica, energía, 43 Modelado matemático de los problemas de ingeniería, 21-23 Modelo, 291. Vea también Análisis dimensional Modelos de turbulencia, 878-879 Modelos similares y prototipos, 291-295, 312

Módulo de elasticidad de volumen, 44-45, 65 Mole (mol), 16 Molino de viento, 807 Momento angular, 241, 260-269 análisis de movimiento y, 240, 259-269 conservación del, 241 dispositivos de flujo radial, 265-266 ecuación, 241 flujo estacionario, 263-264 fórmula de Euler de la turbina, 266 momento de una fuerza, 261-262 movimiento de rotación y, 259-261 sin momentos externos, 264 teorema del transporte de Reynolds para, 262 Momento de área, 88-90 Momento lineal, 184, 197, 198-200, 240, 245-259, 441-446 análisis diferencial y, 441-446 balance de energía y, 199-200 conservación de, 197, 198-200, 240, 441446 ecuación, 184, 240 ecuación de Cauchy para, 441-446 factor de corrección del flujo de la cantidad de movimiento (β), 247-249 fuerzas externas, 249-250 teorema de divergencia para, 441-442 volumen de control (VC) y, 442-445 Movimiento, 102-110, 149-150, 155-157, 259-261, 854-857 cantidad de movimiento angular y, 259261 dinámica de fluidos computacional (DFC o CFD) solución, 854-857 ecuación de, 104 giratorio, 792, 795, 818-819 giratorio invertido, 818-819 propiedades de fluidos cinemáticas, 149154 velocidad angular, 149-150 Movimiento del cuerpo rígido, 102-110 aceleración sobre una trayectoria recta, 105-107 ecuación del movimiento, 104 fluidos en reposo, 104 fuerzas del cuerpo, 103-104 gradiente de presión, 104 movimiento de vórtice forzado, 107 paraboloides de revolución, 108 rotación en un recipiente cilíndrico, 107110

N Napa, 743 Navier-Stokes ecuación de, 448-450 fluidos no-newtonianos comparados con, 447-448 Newton (N), 17

Número de Arquímedes (Ar), 301 Biot (Bi), 301 Bond (Bo), 301 cavitación (Ca), 301 Eckert (Ec), 301 Euler (Eu), 291, 301, 494-495, 567 Fourier (Fo), 301 Grashof (Gr), 301 Jakob (Ja), 301 Knudsen (Kn), 301 Lewis (Le), 301 Nusselt (Nu), 302 Peclet (Pe), 302 potencia (NP), 302 Prandtl (Pr), 302 Rayleigh (Ra), 302 Richardson (Ri), 302 Schmidt (Sc), 302 Sherwood (Sh), 302 Stanton (St), 302 Stokes (Stk o St), 302 Strouhal (St o Sr), 291, 302, 392, 494495, 567, 875 Weber (We), 302, 305 Número de Froude (Fr), 288-292, 301, 495, 567, 705-710, 904-905 ecuación de Navier-Stokes y, 495, 567 flujo crítico, 705-706 parámetro adimensional, 288-292 profundidad crítica (yc) de, 706, 710 profundidad hidráulica (yh) y, 708 Número de Mach (Ma), 11, 50, 302, 307308, 639-654, 656-658, 661-665, 675676, 682-683 análisis diferencial, 682-683 contrapresión y, 646-651 flujo compresible, 639-646 flujo de Fanno, 682-683 flujo hipersónico, 50 propiedad de variación del fluido y, 642643 tobera convergente, 643, 646-651 toberas convergente-divergentes, 641, 651-654 valor crítico (*), 644-645 Número de Reynolds (Re), 11, 291, 293, 302, 307-308, 340-341, 491, 495, 496498, 532-535, 567, 602-604, 683-684, 703-705, 799-800 capa límite, aproximaciones, 532-535 cilindro, 606-608 crítico, 340, 533-534 flujo de Stokes (reptante) y, 496-498 Nusselt (Nu), número de, 302

O Oceanografía, 2 Onda de choque separada, 663-664, 903

975 ÍNDICE

Mach, 665 proa, 663-664, 903 Onda de choque, 32, 427, 653, 655-665, 688-689 avión y, 657-658, 661-665 interacción entre capas límite y, 688 separada, 663-664 Ondas de choques oblicuas, 661-665, 667668, 902-903 cálculo para, 667-668 cálculos de la DFC para, 902-903 onda de Mach, 665 onda de proa, 663-665 separada, 663-665, 903 Ondas de expansión de Prandtl-Meyer, 665669 Ondas superficiales, flujo en un canal abierto, 707-708 Operador de derivada parcial (∂), 135 de derivada total (d), 135 gradiente (del), 135 laplaciano, 449, 506 Ordenada, 147 Ortogonalidad mutua, 511-512 Otras descripciones cinemáticas, 149-154

P Paquetes de software para ingeniería, 2527 Paraboloides de revolución, 108 Paradoja de d’Alembert, 525 Parámetros, 286-295, 295-302 adimensional, 292-293 análisis dimensional, 291-295 análisis por inspección, 286-291 constante dimensional, 287-288 dependiente, 292-293 ecuación adimensional y, 286-291 escalamiento, 287-288, 493-494 independiente, 293-295 número de Froude (Fr), 288-292 Paredes, 355-356, 552-560, 863-864 Partícula de fluido, 134-139, 197-202 aceleración de, 137-139, 197-198 campo de aceleraciones para, 134-138 ecuación de Bernoulli para, 197-202 operador gradiente (del), 135 Partículas sembradas, 396-397 Partículas trazadoras, 141-142 Pascal (Pa), unidad de, 74 Patrones de flujo y visualización del flujo, 139-146 Peclet (Pe), número de, 302 Pendiente (S), 713, 715-716, 724-730, 732, 747 crítica (Sc), 715-716, 747 de fricción (Sf), 713, 747 Pérdida de carga (hL), 218-219, 338, 345347, 359-360, 365-367, 712-713

flujos de canales abiertos, 712-713 pendiente de fricción (Sf) para, 713 Pérdida de flujo circulatorio, 788-789 Pérdida de presión (ΔPL), 345 Pérdidas menores, 364-371 codos y, 368-369 coeficiente de pérdida (resistencia) (KL), 364-369 enroscado, 368 expansión repentina, 367, 369 longitud equivalente (Lequiv), 365 Pérdidas por cortocircuito, 789 Perfil de velocidad, 51, 341-342, 354-357, 552-554, 556 aproximación de capa límite, 552-556 ley de la pared, 355-356, 553-554, 556 ley de potencia, 356-357 más plano (más lleno), 342, 355 región de entrada y, 341-342 Perfiles, gráficas de, 147 Peso (W), 17-18, 39 específico, 17, 39 fuerza como, 17-19 unidad de, 17-18 Peso muerto, probador de, 87-88 Pi (Π), parámetros, 292-302, 494-495 ecuación de Navier-Stokes, 495 repetición de variables, 295-302 teorema pi de Buckingham para, 295-302 Placa plana, análisis de, 90, 97, 541-544, 548-554, 562-563, 588, 601-605 coeficiente de fricción (Cf) para, 603-605 flotación y, 97 flujo externo sobre, 588, 601-605 fuerza de arrastre y, 588, 601-605 fuerza hidrostática en rectangular, 90-93 número de Reynolds (Re) para, 602-603 Placas de orificio, 383-384 extremas (winglets), 615-616 Plástico de Bingham, 52 Poise, unidad de, 52 Posprocesadores, DFC, 856 Postulado del estado, 38 Potencia al freno (bhp), 765 de viento, 827-831 número de (NP), 302 útil, 765 Potencial (ep), energía, 43, 192-193 Prandtl (Pr), número de, 302 Presión (P), 3, 41-43, 73-130, 200-202, 446450, 496, 567-568, 590-591, 637-638, 644-646, 886-888 absoluta, 74-75 aeroestática, 87 barométrica, 79-82 centro de (punto de aplicación), 8890 contra, 646-654 dinámica (de impacto), 201, 524

estancamiento, 637-638 estática, 200 estática de fluidos y, 73-131 estática de Pitot, 201, 381-382 flotación y, 97-102 flujo bloqueado, 646 flujo isentrópico, 643-654 gases ideales, 643-646 hidrostática (ρgz), 87-96, 201 representación de la ecuación de Bernoulli, 200-202 manométrica (Pman), 74-75 media, 447 modificada (P’), 496, 567 total, 201 vapor y cavitación, 41-43 Presión atmosférica (Patm), 79-80, 245 presiones del fluido y, 80-81 volumen de control (VC), 245 Presión hidrostática (P), 201, 446-447 termodinámica (P), 446-447 Presiones de vacío, 74-75 Principio de Arquímedes, 97-98 Probador de peso muerto, 87-88 Procedimiento del análisis de volumen finito de control, 239 diferencial, 239 experimental, problema de, 239 Proceso adiabático, 213 Profundidad crítica (yc), 706, 710, 747 del flujo, 702 hidráulica (yh) y, 708 normal (yn), 703, 714, 747 Programa para resolver ecuaciones de ingeniería (EES) (Engineering Equation Solver), 26-27 Propiedades críticas, gases ideales, 644-646 extensivas, 38, 160 globales del campo de flujo, 865 intensivas, 38, 160-161 Propiedades de los fluidos, 37-72 cavitación, 41-43, 64 compresibilidad, 44-46 densidad, 39-41 ecuación de estado, 40 efecto de capilaridad, 58-60 energía (E), 43-44 medio continuo, 38-39 Prototipo, 291. Vea también Análisis dimensional Provocadores de turbulencia, 534 Pruebas en el túnel de viento, 312-315, 546547, 563-564 Pruebas experimentales, 311-318 análisis dimensional, aplicaciones de, 311-318 flujos con superficies libres, 315-317 matiz de prueba factorial completa, 311

976 ÍNDICE

matrices de prueba factorial fraccional, 311 similitud incompleta y, 312-318 vuelo de insectos, 318 Punto de la mejor eficiencia (PME), 765 de mínima presión, 525 de operación (de servicio), 766-769, 800 de presión cero, 525-526 de separación, 555-556 producto interior, 244 Puntos de control, flujo de canales abiertos, 730

R Radio hidráulico (Rh), 704-705, 719-720, 747 Rastra de líneas de traza, 143 Rayleigh (Ra), número de, 302 Razón de calores específicos (k o γ), 302 deformación lineal, 149-151 deformación volumétrica, 151 disipación de energía, 735-736 sustentación de arrastre, 611-612 Razón de flujo, 185-187, 359-360, 381-398, 764 coeficiente de descarga (Cd) para, 383384 flujómetros electromagnéticos, 391-392 flujómetros ultrasónicos de efecto Doppler, 389-391 ley de King para, 393-394 masa, 185-187 velocimetría láser Doppler (LDV), 394396 Razones unitarias para conversión, 20-21 Redes de tubería y selección de bombas, 371-380 Reducción (j), 296-297 Refractivas de visualización, 145-146 Refuerzo, 781 Región de entrada, 341-343, 354-357 capa límite, 341-342, 354-355 flujo en desarrollo (hidrodinámico), 341342 flujo irrotacional (central), 341 hidrodinámica, 341-342 longitudes de entrada, 342-343 Región de flujo exterior, 531 redes de tubería, 371-372 rendimiento de las bombas, 774-777 selección de bombas para, 371-372 Región de flujo no viscoso (invíscido), 10, 197, 491, 501-505 aproximación, 501-505 capa límite, 501-502 ecuación de Bernoulli en, 197, 502503 ecuación de Euler para, 501-502

ecuación de Navier-Stokes para, 491, 501505 Región separada, 593 Regiones de interrogación, 397 Relación dimensional (AR), 301, 614-615 Remolinos, 351-354, 877 Rendimiento (o característica), curvas de, 374, 765-771, 801, 826-831 bombas, 374, 765-771, 801 turbinas de viento, 826-830 Reología, 447 Repaso del movimiento de rotación y de la cantidad de movimiento angular, 259261 Repetición de variables, 283, 295-311 aplicación de, 304-309 dinámica de fluidos computacional (CFD o DFC) para, 310-311 ecuaciones comunes para, 301-302 generación de, 295-311 parámetros adimensionales, 292-311 Pi (Π) parámetros de grupo, 292-302 teorema Pi de Buckingham, 295-302 Residuo, 856 Richardson (Ri), número de, 302 Rotación, 107-110, 149-150, 154-157, 259261 aceleración centrípeta, 261 movimiento angular y, 259-261 razones de, 149-150 recipiente cilíndrico, 107-110 torsión (torque), 259-260 velocidad angular, 149-150 vorticidad y, 154-157 Rotor (rodete), 764, 807, 811-813, 818-821 Rueda de Pelton, 809-811 Rugosidad de la superficie, 588, 604, 608609 Rugosidad relativa, 357-359

S Salida de presión, 864-865 Salto hidráulico, 707-709, 733-737, 747, 905 clasificación de, 736 oscilatorio, 736 profundidad hidráulica (yh) y, 708 razón de disipación de energía para, 735736 Saturación, 41-43 cavitación y, 41-43 presión (Psat), 41-43 temperatura (Tsat), 41-42 Schmidt (Sc), número de, 302 Segundo (s), unidad de, 16-17 Separación del flujo, 6, 555-559, 592-593, 896 burbuja de, 555, 896 dinámica de fluidos computacional (CFD o DFC) para, 556-559, 896

gradiente de presión y, 555-559 punto de, 555-556 transferencia de calor y, 896 Sesgo, DFC calidad de la malla y, 859 Sesgo equiángulo, 859 Sherwood (Sh), número de, 302 Similitud cinemática, 291-292 dinámica, 292, 311 geométrica, 291-292 incompleta, 312 Simulación de remolinos grandes (SRG), 877 Simulación numérica directa (SND), 877, 907 Sistema aislado, 14 Sistema cerrado, 14-15, 158-160, 163-166 derivada material y, 165-166 frontera, 14-15 teorema de Leibniz para, 163-165 teorema del transporte de Reynolds (RTT) para, 158-161 volumen de control relacionado a, 159160, 163-166 volumen de sustancia, 164-165 Sistema inglés, de unidades, 15-19 Sistema Internacional (SI), 15-19 Sistema y volumen de control, 14-15 Sistemas, 14-21, 158-166 biológicos y arrastre, 597-598 de tuberías, 873-874, 774-777 Sistemas paralelos, 372, 774-777 carga al cierre, 775-776 redes de tuberías, 372 rendimiento de la bomba, 774-777 selección de bombas para, 373 Solución de problemas, 24-25, 239 Sonda de Pitot, 201, 381-382 Sonoluminiscencia, 62 Stanton (St), número de, 302 Stokes (Stk o St), número de, 302 Strouhal (St o Sr), número de, 291, 302, 392, 494-495, 567, 875 Subcapa inercial, 354 Subcapa viscosa, 354-357, 602 Sumidero imagen, 527 Sumidero lineal, 516-518, 521-522 flujo irrotacional planar, 516-518, 521522 superposición de un vórtice lineal, 521 Superficies curvas, 93-96, 100-102 estabilidad de cuerpos sumergidos y flotantes, 100-102 flotación para cuerpos flotantes, 97-98 fuerzas hidrostáticas sobre superficies, 9396 Superficies de sustentación, 583, 588, 590, 610 Superficies planas, 88-93, 97 fuerza de flotación (FB) sobre, 97 fuerzas hidrostáticas sobre, 88-93

977 ÍNDICE

horizontal, 91-92 inclinada, 90-91 placa plana, 90-93 prisma de presiones, 90 sumergidas, 88-93 vertical, 91-92 Superposición, 514, 517-518, 521-530, 599601, 716 Surfactantes, 57 Sustentación, generada por rotación, 615619

T Tarjetas de circuitos impresos (TCI o PCB), 892-897 Técnica de estrioscopia, 145 Técnica de fotografía por sombras, 145-146 Técnica de la integral de la cantidad de movimiento, 559-564 análisis de placa plana, 562-563 aproximaciones de las propiedades de la capa límite, 559-564 arrastre sobre una prueba de un túnel de viento, 563-564 coeficiente de fricción local, 561 ecuación integral de Kármán para, 561563 Técnica para la resolución de problemas, 2325 Temperatura, 41-42, 46-47, 637-638, 644646, 689 absoluta (T), 46 dinámica, 637 Tensión de fluencia, 448 Tensión superficial y efecto de capilaridad, 55-61 Tensor de esfuerzo desviatorio, 447 esfuerzo específico de Reynolds, 878 esfuerzo viscoso, 447, 448 Teorema de divergencia, 421-422, 445 de Gauss, 421, 441-442 de Leibniz, 163-165 de los ejes paralelos, 90 Pi de Buckingham, 295-302 Teorema del transporte de Reynolds (RTT), 158-166, 246, 262 factores de corrección, 163 momentum angular, 262 no fijo, 162 propiedad extensiva, 160 sistema cerrado, 158-160, 166 vector normal exterior unitario, 160-161 volumen de control (VC), 159-163 Térmica, energía, 43 Tiempo artificial, 857 Tiovivo (carrusel), 157, 158 Tobera, 641-656, 659-660, 689, 811-812, 897-902

aspas directrices fijas, 811-812 cálculo de la DFC para, 897-902 efectos de la contrapresión, 646-654 flujo bloqueado, 646, 676-678, 684-686 garganta, 641 número de Mach (Ma) y, 641-646 Venturi, 641 Toberas convergentes, 643-644, 646-651 convergentes-divergentes, 641, 651-654, 659-661, 898-902 de Laval, 641 de Venturi, 641 Tope, 740-741, 745-746 Torbellino descendente, 790 Torre de compensación, 45 Torsión de álabe (torcido), 791-793, 889 Torsión (torque), 259-260 Total (E), energía 43 Trabajo (W), 18-19, 43-44, 58, 213-217 Trabajo del flujo (P/ρ), 43-44, 192-193, 216 energía como, 43-44 fuerza de presión, 192-193 transferencia de energía por, 216-217 Trabajo en la flecha, 193-194, 197, 214 eficiencia, 193-194 energía mecánica como, 193-194, 197 transferencia de energía, 197, 214 Transductores de presión absoluta, 86 centrípeta, 138, 261, 537 Transductores de presión elásticos, 86 Transductores piezoeléctricos, 86 Transferencia por calor (Q), 213, 669-678, 890-897 energía por, 213, 670 entropía y, 670-671 flujo compresible por, 669-678 intercambiador de calor de flujo cruzado, 890-892 Traslación, 149 Trayectoria, gráficas de, 288-291 Tridimensionales (3-D) DFC mallas, 855, 858-862 Tubo de aspiración, 816 de Bourdon, 86 de corriente, 140 de Pitot, 201, 381-382 en U, 82-83 piezométrico, 201 Turbina de flujo axial, 813 de flujo mixto, 812-813 de hélice de flujo mixto, 812-813 de impulsión, 809-811 Francis, 812-815 Kaplan, 812-815 de eje vertical (VAWT), 823 de gas, 822 Turbinas, 194, 218-219, 373-374, 762-764, 807-838

de vapor, 822 de viento, 822-831, 838 de viento de eje horizontal (HAWT), 823825 Turbinas de reacción, 811-821 caída total (Htotal) para, 813 canal de descarga, 816 canal de toma, 816 eficiencia (ηturbina) de las, 817, 819-821 flujo axial, 813 Francis, 812-815 Kaplan, 812-815 Turbomáquina de flujo axial de varias etapas, 797-798 Turbomaquinaria, 761-852

U Unidad de presión (Pa), 192-193 Unidad térmica británica (btu), 18, 43 Unidades de medida, 15-21, 74-75, 284-291 United States Customary System (USCS), 15

V Válvulas, 364-365, 368, 370 Variable de similitud de Blasius, 542-543 capa de amortiguamiento, 354-355, 602 ecuaciones de, 535-539 espesor de desplazamiento (d*), 544547 flujo de fluidos y, 6, 9 flujo paralelo, 601-602 velocidad, 341, 601 Variable vectorial, 132-133 Variables, 132-133, 286-287, 295-300, 542543, 702 Variables de campo, 132-134 Variación de la presión con la profundidad, 76-78 Variado (no uniforme), flujo de canal abierto, 702-703 Vector de posición, 132 Vector de posición material, 134-135 Vector de velocidad, 132 Vector normal exterior unitario, 160-161 Vehículos, arrastre de, 598-601 Velocidad, 51, 149-150, 161-163, 188-189, 338-339, 381-398, 513, 566-567, 584, 702, 888 absoluta, 189 angular (razón de rotación), 149-150 de conexión, turbinas de viento, 826 de desconexión, turbinas de viento, 826 de flujo libre, 584 de onda (c0), 705-709, 747 del sonido y el número Mach, 11, 48-50, 639-643 del viento, 826 específica, 801-803, 833-836, 838 nominal, viento en la turbina, 826

978 ÍNDICE

promedio (Vprom), 186, 338-339 relativa, 161-163, 189 terminal, 589 Velocimetría de imagen de partículas (PIV), 141, 396-398 Velocimetría láser Doppler (LDV), 394-396 Vena contracta, 368, 383-384 Ventaja mecánica ideal, 78 Ventilador axial con aletas de guía, 794-799, 882890 contrarrotatorio, 794 de flujo axial de tubo, 794-795 Ventiladores, 762, 767-769, 790, 793-799, 882-890 abiertos de flujo axial, 790 bombas axiales, 790, 793-799 contrarrotatorio, 794 fila de álabes (cascada), 795, 882 flujo axial entubado, 790 modelo de DFC para, 882-890 Vertedero, 737, 742-746, 747-748 Viscosidad, 6, 10, 50-55, 353-354, 462-463 aparente, 52

cinemática, 53 cinemática de remolino, 353-354 de remolinos, 353 dinámica (absoluta) (m), 52 Viscosímetro rotacional, 462-463 Visualización del flujo, 32, 139-146 aceite sobre superficie, 146 línea fluida, 144-145 líneas de corriente, 139-140 líneas de trayectoria, 140-142 líneas de traza, 142-144 mechones, 146 refractivas, 145-146 Visualización por medio de aceite sobre superficie, 146 Volumen, 38-39, 46-48, 164-165, 186-187, 764, 779-780 de sustancia, 164-165 específico, 38, 39 Volumen de control (VC), 15, 32, 131, 159166, 184, 187-189, 216, 422-424, 241245 análisis, 32 derivada material y, 165-166

fijo, 161 fronteras (posición fija) de, 15, 159 sistema cerrado, relación con, 158-160, 163-166 teorema de Leibniz, 163-165 velocidad relativa y, 161-163 Voluta (difusor), 781 Vórtice de extremo, 614 Vórtice inicial, 611 Vórtice lineal (circulación), 518-520, 521 circulación, 518-519 flujo irrotacional planar, 518-520, 521 superposición de un sumidero lineal y, 521 Vórtices de salida, 614 Vorticidad, 32, 154-158, 888-889 Vorticidad y rotacionalidad, 154-158 Vuelo de los insectos, análisis dimensional del, 318

W Watt (W), unidad de, 18-19 Weber (We), número de, 302, 305

Factores de conversión MAGNITUD

SISTEMA MÉTRICO m/s2

 100

cm/s2

SISTEMA MÉTRICO INGLÉS 1 m/s2  3.2808 ft/s2 1 ft/s2  0.3048* m/s2

Aceleración

1

Área

1 m2  104 cm2  106 mm2  106 km2

1 m2  1 550 in2  10.764 ft2 1 ft2  144 in2  0.09290304* m2

Densidad

1 g/cm3  1 kg/L  1 000 kg/m3

1 g/cm3  62.428 lbm/ft3  0.036127 lbm/in3 1 lbm/in3  1 728 lbm/ft3 1 kg/m3  0.062428 lbm/ft3

Energía, calor, trabajo y energía específica

1 kJ  1 000 J  1 000 N  m  1 kPa  m3 1 kJ  0.94782 Btu 1 Btu  1.055056 kJ 1 kJ/kg  1 000 m2/s2 1 kWh  3 600 kJ  5.40395 psia  ft3  778.169 lbf  ft 1 Btu/lbm  25 037 ft2/s2  2.326* kJ/kg 1 kWh  3 412.14 Btu

Fuerza

1 N  1 kg  m/s2  105 dinas 1 kgf  9.80665 N

1 N  0.22481 lbf 1 lbf  32.174 lbm  ft/s2  4.44822 N 1 lbf  1 slug  ft/s2

Longitud

1 m  100 cm  1 000 mm  106 mm 1 km  1 000 m

1 1 1 1

m  39.370 in  3.2808 ft  1.0926 yd ft  12 in  0.3048* m milla  5 280 ft  1.6093 km in  2.54* cm

Masa

1 kg  1 000 g 1 tonelada  1 000 kg

1 1 1 1 1

kg  2.2046226 lbm lbm  0.45359237* kg onza  28.3495 g slug  32.174 lbm  14.5939 kg tonelada corta  2 000 lbm  907.1847 kg

Potencia

1 W  1 J/s 1 kW  1 000 W  1 kJ/s 1 hp‡  745.7 W

1 kW  3 412.14 Btu/h  1.341 hp  737.56 lbf  ft/s 1 hp  550 lbf  ft/s  0.7068 Btu/s  42.41 Btu/min  2 544.5 Btu/h  0.74570 kW 1 Btu/h  1.055056 kJ/h

Presión o esfuerzo, y presión expresada como carga hidrostática

1 Pa  1 N/m2 1 kPa  103 Pa  103 MPa 1 atm  101.325 kPa  1.01325 bar  760 mm Hg a 0°C  1.03323 kgf/cm2 1 mm Hg  0.1333 kPa

1 Pa  1.4504 104 psi  0.020886 lbf/ft2 1 psi  144 lbf/ft2  6.894757 kPa 1 atm  14.696 psi  29.92 pulgadas Hg a 30°F 1 pulgada Hg  13.60 pulgadas H2O  3.387 kPa

Calor específico

1 kJ/kg  °C  1 kJ/kg  K  1 J/g  °C

1 Btu/lbm  °F  4.1868 kJ/kg  °C 1 Btu/lbmol  R  4.1868 kJ/kmol  K 1 kJ/kg  °C  0.23885 Btu/lbm  °F  0.23885 Btu/lbm  R

Volumen específico

1 m3/kg  1 000 L/kg  1 000 cm3/g

1 m3/kg  16.02 ft3/lbm 1 ft3/lbm  0.062428 m3/kg

Temperatura

T(K)  T(°C)  273.15 T(K)  T(°C)

T(R)  T(°F)  459.67  1.8T(K) T(°F)  1.8 T(°C)  32 T(°F)  T(R)  1.8* T(K)

Velocidad

1 m/s  3.60 km/h

1 m/s  3.2808 ft/s  2.237 mi/h 1 mi/h  1.46667 ft/s 1 mi/h  1.6093 km/h

Viscosidad, dinámica

1 kg/m  s  1 N  s/m2  1 Pa  s  10 poise 1 kg/m  s  2 419.1 lbm/ft  h  0.020886 lbf  s/ft2  0.67197 lbm/ft  s

* Factor de conversión exacto entre unidades métricas e inglesas. ‡

Potencia mecánica. La potencia eléctrica se toma exactamente como 746 W.

MAGNITUD

SISTEMA MÉTRICO

SISTEMA INGLÉS

Viscosidad cinemática

1 m2/s  104 cm2/s 1 stoke  1 cm2/s  104 m2/s

1 m2/s  10.764 ft2/s  3.875 104 ft2/h 1 m2/s  10.764 ft2/s

Volumen

1 m3  1 000 L  106 cm3 (cc)

1 m3  6.1024 104 in3  35.315 ft3  264.17 gal (U.S.) 1 galón de EUA  231 in3  3.7854 L 1 onza líquida  29.5735 cm3  0.0295735 L 1 galón de EUA  128 fl onzas líquidas

Flujo volumétrico

1 m3/s  60,000 L/min  106 cm3/s

1 m3/s  15 850 gal/min  35.315 ft3/s  2118.9 ft3/min (CFM)

Algunas constantes físicas CONSTANTE FÍSICA

SISTEMA MÉTRICO

SISTEMA INGLÉS

Aceleración gravitacional estándar Presión atmosférica estándar

g  9.80665 Patm  1 atm  101.325 kPa  1.01325 bar  760 mm Hg (0°C)  10.3323 m H2O (4°C)

g  32.174 ft/s2 Patm  1 atm  14.696 psia  2 116.2 lbf/ft2  29.9213 inches Hg (32°F)  406.78 inches H2O (39.2°F)

Constante universal de los gases

Ru  8.31447 kJ/kmol  K  8.31447 kN  m/kmol  K

Ru  1.9859 Btu/lbmol  R  1545.37 ft  lbf/lbmol  R

m/s2

Propiedades de uso común PROPIEDAD

SISTEMA MÉTRICO

SISTEMA INGLÉS

AirE a 20°C (68°F) Y 1 atm Constante específica del gas*

Raire  0.2870 kJ/kg  K  287.0 m2/s2  K

Raire  0.06855 Btu/lbm  R  53.34 ft  lbf/lbm  R  1 716 ft2/s2  R

Razón de calores específicos

k  cP /cv  1.40

k  cP /cv  1.40

Calores específicos

cP  1.007 kJ/kg  K  1 007 m2/s2  K cv  0.7200 kJ/kg  K  720.0 m2/s2  K

cP  0.2404 Btu/lbm  R  187.1 ft  lbf/lbm  R  6019 ft2/s2  R cv  0.1719 Btu/lbm  R  133.8 ft  lbf/lbm  R  4304 ft2/s2  R

Velocidad del sonido

c  343.2 m/s  1 236 km/h

c  1126 ft/s  767.7 mi/h

Densidad

r  1.204

r  0.07518 lbm/ft3

Viscosidad

m  1.825 105 kg/m  s

Viscosidad cinemática

kg/m3

n  1.516

105

m2/s

m  1.227 105 lbm/ft  s n  1.632 104 ft2/s

Agua líquida a 20°C (68°F) y 1 atm Calor específico (c  cP  cv)

c  4.182 kJ/kg  K  4182 m2/s2  K

c  0.9989 Btu/lbm  R  777.3 ft  lbf/lbm  R  25,009 ft2/s2  R

Densidad

r  998.0 kg/m3

r  62.30 lbm/ft3

Viscosidad dinámica

m  1.002 103 kg/m  s

Viscosidad cinemática * Independiente de la temperatura o la presión.

n  1.004

106

m2/s

m  6.733 104 lbm/ft  s n  1.081 105 ft2/s

CH

Cd Cf , Cf,x

Ca CD , CD,x

cp cv C C

c0

c

Bi Bo

B

bhp

b

Ar AR

A, Ac

a, a

→

a

Constante de Manning m1/3/s; altura desde el fondo del canal hasta el borde inferior de la compuerta de desagüe, m Aceleración y su magnitud, m/s2 Área, m2; área de sección transversal, m2 Número de Arquímedes Razón de las dimensiones geométricas (aspect ratio) Lo ancho u otra distancia, m; propiedad intensiva en el análisis del TTR; ancho del álabe de turbomáquina, m Potencia al freno, hp o kW Punto de aplicación de fuerza de flotabilidad (centro de flotabilidad); propiedad extensiva en el análisis del TTR Número de Biot Número de Bond Calor específico de la sustancia incompresible, kJ/kg  K; velocidad del sonido, m/s; velocidad de la luz en el vacío, m/s; longitud de cuerda del perfil aerodinámico, m Velocidad de onda, m/s Calor específico a presión constante, kJ/kg  K Calor específico a volumen constante, kJ/kg  K Cantidad de luz como la magnitud primaria Constante de Bernoulli, m2/s2 o m/t2 · L, dependiendo de la forma de la ecuación de Bernoulli; coeficiente de Chezy, m1/2/s; la longitud de la circunferencia, m Número de cavitación Coeficiente de arrastre; coeficiente de arrastre local Coeficiente de descarga Factor de fricción de Fanning o coeficiente de fricción superficial; coeficiente de fricción superficial local Coeficiente de carga hidrostática F, F FB FD Ff

→

f, fx

Ec EGL Es Eu f

E . E, E

DAB Dh Dp e → → e r, e u

Cp CP CQ CS CV Cwd Dod

CP

CNPSH

CL , CL,x Coeficiente de sustentación; coeficiente de sustentación local Coeficiente de carga de aspiración neta positiva (NPSH, net positive suction head) Punto de aplicación de fuerza de presión (centro de presión) Coeficiente de presión Coeficiente de potencia Coeficiente de capacidad Superficie de control Volumen de control Coeficiente de descarga de vertedero Diámetro, m (por lo común d se usa para un diámetro más pequeño que D) Coeficiente de difusión de especie, m2/s Diámetro hidráulico, m Diámetro de partícula, m Energía total específica, kJ/kg Vector unitario en la dirección r y u, respectivamente Voltaje, V Energía total, kJ; y razón de cambio de energía total, kJ/s Número de Eckert Línea de energía o de alturas totales, m Energía específica de flujos en canal abierto, m Número de Euler Frecuencia, ciclos/s; variable dependiente en la teoría de Blasius de capa límite Factor de fricción de Darcy; y factor de fricción de Darcy local Fuerza y su magnitud, N Magnitud de la fuerza de flotación, N Magnitud de la fuerza de arrastre, N Magnitud de la fuerza de arrastre debida a la fricción, N

N O M E N C L AT U R A

→

Ixx j

I I

→

i

Htotal i

LGH

→

H, H

hfg hL H

Gr h

GM

G

g, g . g

FT

FL Fo Fr

Magnitud de la fuerza de sustentación, N Número de Fourier Número de Froude Magnitud de la fuerza de tensión, N Aceleración gravitacional y su magnitud, m/s Razón de generación de calor por unidad de volumen, W/m3 Punto de aplicación de fuerza de gravedad (centro de gravedad) Altura metacéntrica, m Número de Grashof Entalpía específica, kJ/kg; altura, m; carga hidrostática, m; coeficiente de transferencia de calor por convección, W/m2  K Calor latente de vaporización, kJ/kg Pérdidas de carga hidrostática, m Factor de forma de la capa límite; altura, m; carga hidrostática neta de una bomba o turbina, m; energía total de un líquido de flujo en canal abierto, expresada como carga hidrostática, m; carga hidrostática de vertedero, m Momento de la cantidad de movimiento y su magnitud, N  m  s Línea de gradiente hidráulico o línea de alturas piezométricas, m Carga total que actúa en una turbina, m Índice de intervalos en una malla de DFC (por lo común en la dirección x) Vector unitario en la dirección x Corriente eléctrica como la magnitud primaria Momento de inercia, N  m  s2; corriente, A; intensidad de turbulencia Segundo momento de inercia, m4 Reducción en el teorema Pi de Buckingham; índice de intervalos en la malla de DFC (por lo común en la dirección y)

→

NSp

NPSH

NP

N

N

n

→

. n, n

Ma n

M → M, M

Lw m . m, m

Lh

L L Le Lc



EC KL Kn

K

ke

k

→

Ja k

j

Vector unitario en la dirección y Número de Jakob Razón de calores específicos; número esperado de parámetros adimensionales  en el teorema Pi de Buckingham; conductividad térmica, W/m  K; energía cinética de turbulencia por unidad de masa, m2/s2; índice de intervalos en una malla de DFC (por lo común en la dirección z) Vector unitario en la dirección z Energía cinética específica, kJ/kg Intensidad de doblete, m3/s Energía cinética, kJ Coeficiente de pérdidas menores Número de Knudsen Longitud o distancia, m; longitud característica de turbulencia, m Longitud como la magnitud primaria, m Longitud o distancia, m Número de Lewis Longitud de la cuerda de un perfil aerodinámico; longitud característica, m Longitud de entrada de capa límite hidrodinámica, m Longitud de vertedero, m Masa como la magnitud primaria Masa, kg; y flujo másico o razón de transferencia de masa, kg/s Masa molar, kg/kmol Momento de fuerza y su magnitud, Nm Número de Mach Número de parámetros en el teorema Pi de Buckingham; coeficiente de Manning Número de rotaciones; y razón de rotación, rpm Vector normal unitario La cantidad de sustancia como la magnitud primaria Número de moles, mol o kmol; número de álabes en una turbomáquina Número de potencia Carga de aspiración neta positiva (NPSH, net positive suction head), m Velocidad específica de la bomba DR

Sf

Sc

Sc

S0

Ri Ru s

Rh

Ra Re

R

QEAS → r, r

. Q, Q

. q

Nu p ep P, P PE Pe Pman Pm Pr Psat o Pv Pvac Pw q

NSt Velocidad específica de la turbina Número de Nusselt Perímetro mojado, m Energía potencial específica, kJ/kg Presión y presión modificada, N/m2 o Pa Energía potencial, kJ Número de Peclet Presión manométrica, N/m2 o Pa Presión mecánica, N/m2 o Pa Número de Prandtl Presión de saturación o presión de vapor, kPa Presión de vacío, N/m2 o Pa Altura de vertedero, m Transferencia de calor por unidad de masa, kJ/kg Flujo de calor por unidad de área (razón de transferencia de calor por unidad de área), W/m2 Transferencia de calor total, kJ; y razón de transferencia de calor, W o kW Sesgo equiángulo en una malla de DFC Vector de brazo de palanca y su magnitud, m; coordenada radial, m; radio, m Constante de los gases, kJ/kg · K; radio, m; resistencia eléctrica,  Número de Rayleigh Número de Reynolds Radio hidráulico, m Número de Richardson Constante universal de los gases, kJ/kmol  K Distancia a lo largo del plano de una placa sumergida, m; distancia a lo largo de una superficie o línea de corriente, m; entropía específica, kJ/kg · K; distancia entre las franjas en LDV, m; espaciamiento de álabes de turbomáquina, m Pendiente del fondo de un canal en caso del flujo en un canal abierto Número de Schmidt Pendiente crítica del fondo de un canal en caso del flujo en un canal abierto Pendiente de fricción del fondo de un canal en caso del flujo en un canal abierto Densidad relativa que equivale a gravedad específica relativa (SG, specific gravity, por sus siglas en inglés)

x

→

We x

W . W, W

w

V0

v . V, V → V, V

v

U

uz

uu

ur

u*

u

Sh PE St Stk t t T T → T, T

Número de Sherwood Propiedad en el punto de estancamiento Número de Stanton; número de Strouhal Número de Stokes Tiempo como la magnitud primaria Tiempo, s Temperatura como la magnitud primaria Temperatura, °C o K Par de torsión (torque) y su magnitud, Nm Energía interna específica, kJ/kg; componente de velocidad en coordenadas cartesianas en la dirección x, m/s Velocidad de fricción en capa límite turbulenta, m/s Componente de velocidad en coordenadas cilíndricas en la dirección r, m/s Componente de velocidad en coordenadas cilíndricas en la dirección u, m/s Componente de velocidad en coordenadas cilíndricas en la dirección z, m/s Energía interna, kJ; componente x de la velocidad fuera de la capa límite (paralela a la superficie sólida), m/s Componente de velocidad en coordenadas cartesianas en la dirección y, m/s Volumen específico, m3/kg Volumen, m3; y flujo volumétrico, m3/s Velocidad y su magnitud (rapidez), m/s; velocidad promedio, m/s Velocidad de flujo uniforme en caso del flujo en canal abierto, m/s Trabajo por unidad de masa, kJ/kg; componente de velocidad en coordenadas cartesianas en la dirección z, m/s; lo ancho, m Peso, N; lo ancho, m Trabajo, kJ; y trabajo por unidad de tiempo (potencia), W o kW Número de Weber Coordenada cartesiana (por lo común a la derecha), m Vector de posición, m

Coordenada cartesiana (por lo común hacia arriba o perpendicular hacia la página), m; profundidad de líquido en flujo en canal abierto, m Profundidad normal de flujo en canal abierto, m Coordenada cartesiana (por lo regular hacia arriba), m

→



n n(Ma)

m

l

k

eij  f gs ! h

d* e

d

a, a b

de energía cinética; difusividad térmica, m2/s; coeficiente de compresibilidad isotérmica, kPa1 o atm1 Aceleración angular y su magnitud, s2 Coeficiente de expansión volumétrica, K1; factor de corrección de flujo de cantidad de movimiento; ángulo; relación de diámetros en flujómetros de obstrucción; ángulo de onda de choque oblicua; ángulo de álabe de turbomáquina Espesor de capa límite, m; distancia entre líneas de corriente, m; ángulo; cambio pequeño en una cantidad Espesor de desplazamiento de capa límite, m Rugosidad de superficie promedio, m; razón de disipación de turbulencia, m2/s3 Tensor de razón de deformación, s1 Función de disipación, kg/m  s3 Ángulo; función de potencial de velocidad, m2/s Peso específico, N/m3 Circulación o intensidad de torbellino, m2/s Eficiencia; variable independiente en la teoría de Blasius de la capa límite Módulo volumétrico de compresibilidad, kPa o atm; constante en la ley logarítmica de capa límite turbulenta Longitud de trayectoria libre media, m; longitud de onda, m; segundo coeficiente de viscosidad, kg/m · s Viscosidad (dinámica o absoluta), kg/m · s; ángulo de Mach Viscosidad cinemática m2/s Función de Prandtl-Meyer para ondas de expansión, grados o rad Parámetro adimensional en el análisis dimensional

Letras griegas a Ángulo; ángulo de ataque; factor de corrección

z

yn

y Ángulo o coordenada angular; espesor de capa límite de cantidad de movimiento, m; ángulo de inclinación de un álabe de turbomáquina; ángulo de cambio de dirección o de deflexión de onda de choque oblicua Densidad, kg/m3 Esfuerzo normal, N/m2 Tensor de esfuerzo, N/m2 Tensión superficial, N/m Esfuerzo cortante, N/m2 Tensor de esfuerzo viscoso (conocido también como tensor de esfuerzo cortante), N/m2 Tensor de esfuerzo específico de Reynolds, m2/s2 Vector de velocidad angular y su magnitud, rad/s; frecuencia angular, rad/s Función de corriente, m2/s Vector de vorticidad y su magnitud, s1

H lam L m

cr LC SC VC e eff f

C c

abs atm prom b

0

Propiedad de estancamiento; propiedad en el origen o en un punto de referencia Absoluta Atmosférica Promedio Propiedad de la parte posterior o a la salida de una tobera, por ejemplo, contrapresión (back pressure) Pb Que actúa en el centroide Que pertenece a una sección transversal (crosssection) Propiedad crítica Que pertenece a la línea central Que pertenece a la superficie de control Que pertenece a un volumen de control Propiedad en una salida (exit); porción extraída Propiedad efectiva Propiedad de un fluido, por lo común de un líquido Que actúa horizontalmente Propiedad de un flujo laminar Porción perdida por irreversibilidades Propiedad de un modelo

Subíndices  Propiedad del campo lejano

z, z

c →

v, v

→

tij, turbulento

r s sij ss t tij

u

Valor máximo Propiedad mecánica Valor mínimo Componente normal Que actúa en el centro de presión Propiedad de un prototipo; propiedad de una partícula; propiedad de un émbolo (piston) Resultante Relativo (marco de referencia móvil) Propiedad rectangular Propiedad del borde delantero del rotor (rotor leading edge) Propiedad del borde posterior del rotor (rotor trailing edge) Que actúa en una superficie Propiedad de un sólido Propiedad de saturación; propiedad de un satélite Propiedad del borde delantero del estator (stator leading edge) Propiedad del borde posterior del estator (stator trailing edge) Porción sumergida Que pertenece a un sistema Componente tangencial Propiedad triangular Propiedad de un flujo turbulento Porción útil Que actúa verticalmente Propiedad de un vapor Vacío Propiedad en la pared (superficie sólida)

→



*

(flecha)

 (prima)

(barra)  (punto)

Cantidad promediada Cantidad por unidad de tiempo; derivada con respecto al tiempo Cantidad de fluctuación; derivada de una variable; variable modificada Propiedad adimensional; propiedad sónica Variables adimensionales en las ecuaciones para perfil de velocidad de capa límite turbulenta sobre la placa plana Cantidad vectorial

Superíndices _

w

v vac

u V

tri turb

t

sub sys

st

sl

sat

S s

rt

r rec rl

R

P p

n

máx mec mín