Aula5 - Análise Espectral de Fourier - TF

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UNIVERSIDADE POLITÉCNICA - A POLITÉCNICA ENGENHARIA INFORMÁTICA E DE TELECOMUNICAÇÕES

Processamento Digital de Sinais

Análise de Sinais no Domínio da Frequência – Transformada de Fourier

Eng.º Adélio Francisco Tembe, MSc.

Representação de Sinais no Domínio da Frequência Sinal (estímulo)

Sinal (resposta)

Sistema

X(t)

Y(t)

A representação espectro - temporal de sinais e sistemas é possível mediante a Análise Espectral de Fourier: Series e Transformadas.

Técnicas ou ferramentas matemáticas para a descrição de sinais no domínio da frequência e da correspondencia Tempo ⇔ Frequência. Eng.º Adélio Francisco Tembe, MSc.

2

Sinais não periódicos Aqueles, que seus efeitos estão concentrados em um curto período de tempo. São

estritamente

limitados

no

tempo

ou

por

tempo

limitado

assintoticamente . [x(t)  0, como que t  ±∞]

E 







x 2 (t ) dt  

Supõe-se que a energia total do sinal é bem definida

Então, se E é finita, a média e a potência média é zero . Eng.º Adélio Francisco Tembe, MSc.

3

Sinais não periódicos Não se repetem no tempo, e cumprem com x(t)  x(t  n T). Pulso triangular

X (t)

Pulso rectangular de simetria par

X (t)

A

A

x (t) = x( -t).

0

t0 - /2

t0

t0 + /2

t

-/2

0

Pulso rectangular de simetria ímpar (Dipulso)

x(t) +A

/2

x(t)

t

Pulso assimétrico

x ( t ) = – x (-t )

-A

t 0 Eng.º Adélio Francisco Tembe, MSc.

t 4

O que fazer se o sinal não é periódico? Fourier demonstrou que um sinal aperiódico pode ser interpretado como um sinal periódico de período infinito. Então, um sinal aperiódico x(t) pode ser representado mediante um número contínuo de sinusoides complexas mediante a ( j 2ft ) e chamada transformada de Fourier (FT)

Sinal generatriz

Representação de x(t) no intervalo (-∞, ∞) Eng.º Adélio Francisco Tembe, MSc.

5

O que fazer se o sinal não é periódico? xT (t )  é um sinal periódico de período T e porém pode ser

representado em série de Fourier. Seja o seguinte exemplo:

A medida que T aumenta o intervalo delim representação xT (t ) sexfaz (t )mais T  grande e quando T é infinito o sinal periódico terá convertido em aperiódico . Eng.º Adélio Francisco Tembe, MSc.

6

O que fazer se o sinal não é periódico? A série de Fourier que representa a XT(t) representará a X(t) também no limite quando T ∞

lim xT (t )  lim

T 

Xn

T 

1  T

T /2



T / 2



( j 2nf0 t ) X e  x (t )  n

n 

xT (t )e (  j 2nf0t ) dt

1 f  ; nf 0  f n ; X ( nf 0 )  X (f n )  TX n T Eng.º Adélio Francisco Tembe, MSc.

7

O que fazer se o sinal não é periódico? X (f n ) 

T /2



T / 2

xT (t )e (  j 2nf0t ) dt

Quando T ∞; Δf  df; fn = nf0  f.

O limite do somatório quando a variável se faz continua é uma integral : X(fn)  X (f); xT(t)  x(t). No limite as expressões convertem-se em:

x (t )  X (f ) 













X (f )e ( j 2nft ) df x (t )e (  j 2nft ) dt Eng.º Adélio Francisco Tembe, MSc.

Transformada inversa de Fourier (Eq. de síntese) Transformada de Fourier (Eq. de análise) 8

Transformadas de Fourier Estas operações, geralmente expressam-se:

X (f )  x (t );

X (f )  TF x (t )

x (t )   1  X (f ); x (f )  TF

1

X (f )

x (t )  X (f )

x (t )  X (f ) 









X (f )e ( j 2nft ) df





x (t )e (  j 2nft ) dt Eng.º Adélio Francisco Tembe, MSc.

Par de transformadas

9

Transformadas de Fourier x (t ) 







X (f )e ( j 2nft ) df

Interpreta-se como a decomposição de x(t) em termos do continuo de funções elementais e(j2πft), cuja magnitude é X(f) df. X (f) faz o mesmo papel que Xn na representação em série de Fourier e X (f) df é o coeficiente associado com a função básica elementar e(j2πft). A quantidade X(f) é o espectro continuo de x(t) Amplitude

X (f )  X (f ) e

Fase

 j ( f ) 

Eng.º Adélio Francisco Tembe, MSc.

10

Transformadas de Fourier A representação em série de Fourier evidencia que conforme o período aumenta, a frequência fundamental diminui, e, na frequência, as componentes harmónicas ficam cada vez mais próximas (Continuidade).

Eng.º Adélio Francisco Tembe, MSc.

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Transformadas de Fourier Amplitude

X (f )  X (f ) e

Fase

 j ( f ) 

Espectro continuo  A distribuição, em amplitude e fase, de todas as componentes de frequência que existem para -∞ < t < ∞. A soma das quais deve ser zero, excepto no intervalo de existência de x(t).

Eng.º Adélio Francisco Tembe, MSc.

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Transformada de Fourier Fase

Amplitude

X (f )  X (f ) e

 j ( f ) 

Convergência da Transformada de Fourier Assim como para sinais periódicos, … Um sinal é à sua representação em FT, excepto em valores isolados de tempo para os quais o sinal é descontínuo. As condições são: 1. O sinal deve ser absolutamente integrável; 2. O sinal deve possuir um número infinito de máximos e mínimos num período; 3. O sinal deve possuir um número finito de descontinuidade num período.

“Condições de Dirichlet” Eng.º Adélio Francisco Tembe, MSc.

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Sinais aperiódicos C o n d i ç ã o

Concentração num curto intervalo de tempo.

Análise mediante a integral de Fourier (transformadas). Integração em todo o tempo.

Espectro continuo.

Energia finita. Eng.º Adélio Francisco Tembe, MSc.

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Transformada de Fourier: pulso rectangular

 (t /  )  1  (t /  )  0  Eng.º Adélio Francisco Tembe, MSc.

t   /2 t

  /2 15

Transformada de Fourier: pulso rectangular x(t )  A (t /  )



X (f ) 

(  j 2ft ) x ( t ) e dt  



X (f ) 







2 Asen( 2ft ) 2f

 /2

t

A ( ) e(  j 2ft ) dt  2 A  cos( 2ft ) dt

 /2



0

X (f )  Asenc (f )

0

  t t    A    Asenc f   Asenc   1        Eng.º Adélio Francisco Tembe, MSc.

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Transformada de Fourier: pulso rectangular Espectro continuo e não de linha. Espectro de amplitude.

Espectro de fase.

X(f)

Arg X(f)

Eng.º Adélio Francisco Tembe, MSc.

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Transformada de Fourier: pulso rectangular 1/



1 /

2

X (f ) df 

1/



1 / 

( A ) 2 senc 2f df  0,92A 2 Largura espectral certa  concentração de mais do 90% da energia total.

Densidade espectral de energia. Eng.º Adélio Francisco Tembe, MSc.

18

Transformada de Fourier: pulso rectangular

Medida da “Largura“ espectral, se a duração do pulso é reduzida, a largura da frequência aumenta e vice-versa. Largura mutua

Densidade espectral de energia.

Eng.º Adélio Francisco Tembe, MSc.

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Transformada de Fourier: pulso Triangular



 2A   t X ( f )  2 A 1   cos(2ft )dt  2 A cos(2ft )dt   cos(2ft )dt  0 0   0 

 sen( 2ft ) 2 A  cos( 2ft ) tsen( 2ft )   X (f )   2 A     2 2  f  2  f ( 2  f )   0 

sen 2 ( 2f ) 2 X ( f )  A  A  senc (f ) 2 (f ) Eng.º Adélio Francisco Tembe, MSc.

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Transformada de Fourier: pulso Triangular

f t  2 A     Asenc (f )  Asenc ( ) 1  



Eng.º Adélio Francisco Tembe, MSc.

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Transformada de Fourier: Propriedades O par de transformadas de Fourier permite a representação de sinais tanto no domínio do tempo, como no domínio da frequência. Muitas vezes é necessário passar dum domínio ao outro aplicando as seguintes propriedades.

1. Linearidade

Então para qualquer constante A e B se verifica que:

Eng.º Adélio Francisco Tembe, MSc.

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Transformada de Fourier: Propriedades 1. Linearidade

Então para qualquer constante A e B se verifica que:

Todo sinal pode-se descompor numa combinação linear de sinais, cujas transformadas são conhecidas ou fácies de calcular. Eng.º Adélio Francisco Tembe, MSc.

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Transformada de Fourier: Propriedades 2. Translação ou Deslocamento no tempo

x(t ± t0) ↔ X (f) e (  jt 0 )

Magnitude se mantém e há atraso na fase

Um deslocamento no domínio do tempo corresponde-lhe um desfasamento no domínio da frequência e vice-versa. Eng.º Adélio Francisco Tembe, MSc.

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Transformada de Fourier: Propriedades 3. Mudança de escala no tempo Propriedade escalar da transformada  quantifica a “duração - largura de banda”.

Então para uma constante real (a), temos: Uma compressão no domínio do tempo corresponde-lhe uma expansão no domínio da frequência e vice-versa.

Um sinal limitado em tempo é ilimitado em frequências. Eng.º Adélio Francisco Tembe, MSc.

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Transformada de Fourier: Propriedades 4. Dualidade ou Simetria

X (t) ↔ x(- f); Se x(f) é par, então X(t) ↔ x(f) Gera-se um novo par de transformadas de Fourier a partir dum par conhecido. Eng.º Adélio Francisco Tembe, MSc.

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Transformada de Fourier: Propriedades 5. Translação ou Deslocamento na frequência

Então para uma constante real ω0

x(t )e

±j0t 

 X ( j (  0 )

Eng.º Adélio Francisco Tembe, MSc.

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Transformada de Fourier: Propriedades 6. Diferenciação no tempo A diferenciação no domínio do tempo corresponde a multiplicação por (jω) no domínio da frequência.

Permite determinar a transformada de Fourier dum sinal qualquer, podendo-se aproximar numa forma linear por trajectos.

Eng.º Adélio Francisco Tembe, MSc.

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Transformada de Fourier: Propriedades 6. Diferenciação no tempo Mediante diferenciações sucessivas se expressa o sinal como soma de sinais, cujas transformadas são fácies de avaliar.

Um sinal x(t) por diferenciação sucessiva transforma-se numa soma de impulsos unitários. A sua transformada se obtém aplicando as propriedades.

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29

Transformada de Fourier: Propriedades 7. Integração no tempo

A integração no domínio do tempo corresponde a divisão por (jω) no domínio da frequência. Eng.º Adélio Francisco Tembe, MSc.

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Transformada de Fourier: Propriedades

8. Diferenciação na frequência

1 d tx(t )  X (f );  2f (  j 2 ) df

Eng.º Adélio Francisco Tembe, MSc.

31

Transformada de Fourier: Propriedades

9. Relação de Parseval

Eng.º Adélio Francisco Tembe, MSc.

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Transformada de Fourier: Propriedades 10. Modulação A multiplicação dum sinal x(t) pelo factor e(±j2πft) é equivalente a deslocar a sua transformada de Fourier na direcção positiva de (f) numa quantidade (fc)  Desfasamento no domínio do tempo corresponde-lhe um deslocamento no domínio da frequência.

Considere-se a multiplicação do sinal x(t) por um sinal sinodal A cos(2π fc t) Sinal modulado Sinal modulador

x(t)

X(t)A cos(2π fc t)

X Sinal portador

A cos(2π fc t) Eng.º Adélio Francisco Tembe, MSc.

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Transformada de Fourier: Propriedades 10. Modulação





A ( j 2fc t ) (  j 2fc t )  x (t )A cos( 2fc t )   x (t )e  x (t )e  2   A partir da propriedade do deslocamento em frequência temos:

x(t )e

(±j 0t )

 X ( j (  0 )

A x (t )A cos( 2fc t )  X (f  fc )  X (f  fc  2 Teorema da modulação Eng.º Adélio Francisco Tembe, MSc.

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Transformada de Fourier: Propriedades 10. Modulação





A  x (t ) A cos( 2f c t )   x (t )e ( j 2fc t )  x (t )e (  j 2fc t )  2 

A x (t )A cos( 2fc t )  X (f  fc )  X (f  fc  2 Teorema da modulação Válido para fc >> fm

Por semelhança

x (t ) Asen( 2f c t )  j

A X ( f c  f m )  X ( f c  f m  2

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Transformada de Fourier: Propriedades 10. Modulação Supondo: Sinal passa – baixo (banda base) B = fm

Sinal passa – banda (banda passante ou banda canal) B = 2 fm

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Transformada de Fourier: pulso Dirac Seja o sinal X(t)=e(-jωt) ao qual é aplicado a propriedade da amostragem do impulso unitário.





e (  jt ) (t ± t 0 )dt  e (  jt )







e (  jt ) (t ± t 0 )dt   (t ± t 0 )



A (t ± t 0 )  Ae Para t = 0

( ±j2t 0f )

A (t 0 )  A Eng.º Adélio Francisco Tembe, MSc.

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Transformada de Fourier: pulso Dirac

Para t = 0

Espectro de fase

A (t 0 )  A

Espectro de amplitude Pendente = - 2π t0

Eng.º Adélio Francisco Tembe, MSc.

38

Transformada de Fourier: pulso de RF Sinusóide de duração finita.

Mediante a transformada de Fourier.

Espectro continuo.

Eng.º Adélio Francisco Tembe, MSc.

39

Transformada de Fourier: para sinais periódicos A transformada de Fourier surgiu da necessidade de conhecer o espectro dum sinal aperiódico. Para sinais periódicos a dita informação se obteve a partir do desenvolvimento em Série de Fourier. Para unificar a análise é conveniente estender o uso da transformada de Fourier a sinais periódicos. Para obter o espectro do sinal periódico a partir da transformada, o resultado seria infinito.

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40

Transformada de Fourier: para sinais periódicos

Mas mediante um processo de limites pode-se representar um sinal periódico em termos da transformada de Fourier, sempre que se lhe permita incluir impulsos Delta-Dirac

Eng.º Adélio Francisco Tembe, MSc.

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Transformada de Fourier: para sinais periódicos Seja x(t) um sinal periódico, representado desenvolvimento em série de Fourier. 

x (t )   C n e

( j 2f0 t )



mediante

o

; f0  1 T

A sua transformada será:

 ( j 2f0t )  ( j 2f0t ) X T (f )     C n e e dt   n    



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Transformada de Fourier: para sinais periódicos X T (f ) 



C  n

n 



e

( j 2f0 t )



e

(  j 2f0 t )

dt   C e 

( j 2f0 t )

n



n  

Do teorema do deslocamento ou translação em frequência temos:



e 

( j 2f0t )

X T (t )   C n e

( j 2f0t )

   (f  nf  X T (f ) 

n 

0

)



C

n   Eng.º Adélio Francisco Tembe, MSc.

n

(f  nf 0 ) 43

Transformada de Fourier: para sinais periódicos 

X T (t )   C n e

( j 2f0t )

 X T (f ) 

n 



C

n  

n

(f  nf 0 )

A transformada de Fourier dum sinal periódico é um trem de impulsos unitários Delta-Dirac, espaçados em f0 e cada um de área Cn ; Cn ; Coeficiente de Fourier

Eng.º Adélio Francisco Tembe, MSc.

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Transformada de Fourier: para sinais periódicos A partir do teorema de Parseval pode-se escrever o espectro de potência XT (t)

X (t )  2 T

1 Cn  T

C

n  







2



x(t )e

n

O espectro seguira  (f  nf 0 ) sendo discreto

(  j 2nf0t )

1 dt  C(nf 0 ) T

1 n C n  f 0C(nf 0 )  C( )  f 0C(f ) f nf T 0 T

Coeficientes de Fourier

Transformada de x(t) Eng.º Adélio Francisco Tembe, MSc.

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Transformada de Fourier: para sinais periódicos X T (t ) 





n  

1 T





n  

1  n ( j 2n t T ) X (t  nT )  X ( )e  T n   T

 n ( j 2n t T ) X ( )e  X T (f )  f 0  X ( nf 0 ) (f  nf 0 ) T n  

A transformada de Fourier dum sinal periódico é uma série infinita de impulsos Delta-Dirac separados em f0. Eng.º Adélio Francisco Tembe, MSc.

46

Eng.º Adélio Francisco Tembe, MSc.

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