Alg.Lin. Mod2 - Material 2 Matriz asociada a una Transformación Lineal

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2 2.1

Matriz asociada a una transformación lineal

Transformaciones lineales invertibles

Definición 2.1 Una transformación lineal T : V → W de un espacio vectorial real V hacia un espacio vectorial real W es llamada uno a uno si para cada u0 , u00 ∈ V , tenemos u0 = u00 cada vez que T (u0 ) = T (u00 ).

El siguiente resultado se deduce de la definición anterior.

Teorema 2.1 Supongamos que T : V → W es una trasformación lineal del espacio vectorial real V hacia el espacio vectorial real W . Entonces T es uno a uno si y solo ker(T ) = {0}.

Ejemplo 2.1 Definamos la transformación lineal T : R2 → R2 por T (x, y) = (x − y, 2x − y). Es claro que si T (x, y) = 0, entonces (x, y) = (0, 0). Por tanto ker(T ) = {0} y así T es uno a uno.

18

CAPÍTULO 2. MATRIZ ASOCIADA A UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL Ejemplo 2.2

Definamos el operador lineal T : R2 → R2 por T (x, y) = (x − y, 2x − 2y). Si T (x, y) = 0, entonces (x − y, 2x − 2y) = (0, 0), esto implica ( x−y = 0 2x − 2y = 0 Este sistema tiene infinitas soluciones, aparte de la trivial. En particular si tomamos, T (1, 1) = 0, luego ker(T ) 6= {0} y por tanto T no es uno a uno.

Proposición 2.1 Supongamos que T : V → V es un operador lineal de un espacio vectorial real finito dimensional V . Entonces la siguientes afirmaciones son equivalentes: a.) El operador T es uno a uno. b.) Tenemos ker(T ) = {0}. c.) Tenemos Im(T ) = {V }. Nota 1: Supongamos que T : V → W es un operador lineal uno a uno de un espacio vectorial real V hacia un espacio vectorial real W . Entonces para cada w ∈ Im(T ), existe exactamente un u ∈ V , tal que T (u) = w. Podemos por tanto definir una transformación T −1 : Im(T ) → V por T −1 (w) = u, donde u ∈ V es el único vector satisfaciendo T (u) = w.

Teorema 2.2 Supongamos que T : V → W es una trasformación lineal uno a uno de un espacio vectorial real V hacia un espacio vectorial real W . Entonces T −1 : Im(T ) → V es una transformación lineal.

En efecto: Supongamos que w, z ∈ Im(T ). Entonces existen u, v ∈ V , tal que T −1 (w) = u y T −1 (z) = v. De esto se sigue que T (u) = w y T (v) = z, así que T (u + v) = T (u) + T (v) = w + z, de donde T −1 (w + z) = u + z = T −1 (w) + T −1 (z). Supongamos ahora que c ∈ R. Entonces T (cu) = cw, así que T −1 (cw) = cu = cT −1 (w). Esto completa la prueba.  También tenemos el siguiente resultado concerniente a la composición de transformaciones lineal.

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Teorema 2.3 Supongamos que V , W , U son espacios vectoriales. Supongamos además que T1 : V → W y T2 : W → U son trasformaciones lineal uno a uno. Entonces a.) La transformación lineal T2 ◦ T1 : V → U es uno a uno; y b.) (T2 ◦ T1 )−1 = T1−1 ◦ T2−1 . 2.1.1

Isomorfismos

En esta subsección se introduce una terminología importante, el cual nos dice que los espacio vectoriales de dimensión n son “en esencia” el mismo. Definición 2.2 Sea T : V → W una trasformación lineal. Entonces se dice que T es sobreyectiva o sobre, si para cada w ∈ W , existe al menos un vector v ∈ V , tal que T (v) = w. Es decir T es sobre si y solo Im(T ) = W .

Teorema 2.4 Sea T : V → W una trasformación lineal. Supongamos que dimV = n y dimW = m. Entonces i.) Si n > m entonces T no es uno a uno. ii.) Si n < m entonces T no es sobre.

Ejemplo 2.3 

   x x     3 2 Sea T : R → R dada por T  y  = A  y . Donde z z A=

1 2 3 4 5 6

! .

Aquí n = 3 y m = 2, de manera que T no es uno a uno. Para ver esto observemos que     ! −1 2 3     T 2 = = T  −3  . 6 0 4 Es decir, dos vectores diferentes en R3 tienen la misma imagen.

20

CAPÍTULO 2. MATRIZ ASOCIADA A UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL

Ejemplo 2.4 Sea T : R2 → R3 dada por T

x y

! =A

x y

!

, donde:   1 2   A =  3 4 . 5 6

En este caso n = 2 y m = 3, por lo que T no es sobre. Para ver esto  debemos encontrar un vector que ! 0 x   no esté en la imagen de T . Un ejemplo de vector así es  0  Esto es, no existe un vector y 1   ! 0 x   2 en R tal que T =  0 . y 1 Vamos a supone que si existe un vector en R2 , tal que   ! 0 x   T =  0 . (2.1) y 1 Es decir:



 1 2    3 4  5 6

x y

!



 0   = 0  1

 ⇒

   x + 2y 0      3x + 4y  =  0  5x + 6y 1

Esto nos lleva a sistema de ecuaciones, el cual es inconsistente. Por tanto nuestra suposición es falsa, es decir no existe un vector en R2 tal que satisfaga (3.1). Por tanto T no es sobre.

Definición 2.3 Sea T : V → W una trasformación lineal. Entonces T es un isomorfismo si T es uno a uno y sobre.

Definición 2.4 Diremos que los espacios vectoriales V y W son isomorfos si existe un isomorfismo T de V sobre W . En este caso lo denotaremos por V ∼ = W.

21

Ejemplo 2.5 Definamos T : R3 → P2 , por T (a, b, c) = a + bx + cx2 . Es claro que T es lineal. Supongamos que T (a, b, c) = 0, entonces a + bx + cx2 = 0, y por tanto a = b = c = 0. Es decir, ker(T ) = {0}, así que T es uno a uno. Por otro lado si p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 ∈ P2 , entonces p(x) = T (a0 , a1 , a2 ). Esto significa que T es sobre, así que Im(T ) = P2 . Por tanto R3 ∼ = P2 .

Ejemplo 2.6 Sea V = { f ∈ C1 [0, 1] : f (0) = 0} y W = C1 [0, 1]. Sea T : V → W está dada por T ( f ) = f 0 la derivada usual. Supongamos que T ( f ) = T (g), entonces f 0 = g0 , esto equivale a que ( f − g)0 = 0 y así f (x) − g(x) = c. Pero como f (0) = g(0) = 0, entonces c = 0 y así f = g. Por tanto T es uno a uno. R Por otro lado, sea g ∈ C1 [0, 1], consideremos f (x) = 0x g(t)dt. Entonces por el Teorema fundamental R del calculo, tenemos que T ( f ) = f 0 = g, además observe que f (0) = 00 g(t)dt = 0, esto es f (0) = 0, así que f ∈ V . Luego T es sobre, y así tenemos que V ∼ = W.

Observemos que el ejemplo anterior es un isomorfismo entre espacios vectorial de dimension infinita.

Teorema 2.5 Sea T : V → W un isomorfismo, i.) Si {v1 , . . . , vn } genera a V entonces {T (v1 ), . . . , T (vn )} genera a W . ii.) Si {v1 , . . . , vn } son linealmente independientes en V entonces {T (v1 ), . . . , T (vn )} son linealmente independientes en W . iii.) Si {V1 , . . . , vn } es una base en V entonces {T (v1 ), . . . , T (vn )} es una base en W . iii.) Si V tiene dimensión finito entonces W tiene dimensión finita y dimV = dimW .

Teorema 2.6 Sean V y W dos espacios reales de dimensión finita con dimV = dimW . Entonces V ∼ = W.

22

CAPÍTULO 2. MATRIZ ASOCIADA A UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL

2.2

Transformaciones lineales en espacios euclídeos

Consideremos la siguientes trasformación lineal T : Rn → Rm definida por T (x) = Ax, donde A es una matriz real de tamaño m × n. Esta matriz es llamada matriz asociada a la trasformación lineal T , el cual describe completamente a la trasformación T . Ejemplo 2.7 La trasformación lineal T : R5 → R3 , definida por las ecuaciones    y1 = 2x1 +3x2 +5x3 +7x4 −9x5 , y2 = 3x2 4x3 +2x5 ,   y = x +3x3 −2x4 , 3 1 puede ser expresado en forma matricial como  







y1 2 3 5 7 −9       2   y2  =  0 3 4 0   y3 1 0 3 −2 0

x1 x2 x3 x4 x5

      

Si (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ) = (1, 0, 1, 0, 1), entonces  

   y1 2 3 5 7 −9       2   y2  =  0 3 4 0   y3 1 0 3 −2 0

1 0 1 0 1

    −2      =  6 ,   4

Así T (1, 0, 1, 0, 1) = (−2, 6, 4).

Ejemplo 2.8 Supongamos que A es la matriz cero de tamaño m × n. Trasformación lineal T : Rn → Rm donde T (x) = Ax para cada x ∈ Rn , es la trasformación cero de Rn hacia Rm . Claramente T (x) = 0 para cualquier x ∈ Rn .

23

Ejemplo 2.9 Supongamos que I es la matriz identidad de tamaño de n×n. El operador lineal T : Rn → Rn , donde T (x) = Ix para cada x ∈ Rn , es el operador identidad en Rn . Claramente T (x) = x para cualquier x ∈ Rn .

Proposición 2.2 Supongamos que T : Rn → Rm es una trasformación lineal, y que {e1 , . . . , en } es la base canónica para Rn . Entonces la matriz asociada a T está dada por A=



T (e1 ) · · · T (en )



,

donde T (e j ) es una matriz columna para cada j = 1, . . . , n.

2.3

Matrices Asociadas a la rotación, proyección y Reflexión

En esta sección, consideramos el caso especial cuando n = m = 2, y estudiaremos operadores lineal en R2 . Para cualquier x ∈ R2 , escribiremos x = (x1 , x2 ). 2.3.1

Rotación

Ejemplo 2.10 La rotación en sentido contrario a las manecillas del reloj por un ángulo θ, tenemos el operador rotación T (x1 , x2 ) = (y1 , y2 ), donde y1 + iy2 = (x1 + ix2 )(cos θ + i sin θ), y así y1 y2

! =

cos θ − sin θ sin θ cos θ

!

x1 x2

!

De esto se sigue que la matriz asociada al operador rotación T es: ! cos θ − sin θ A= sin θ cos θ

En resumen, tenemos:

.

24

CAPÍTULO 2. MATRIZ ASOCIADA A UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL Operador lineal

Ecuaciones (

Rotación antihoraria por un ángulo θ

2.3.2

y1 = x1 cos θ − x2 sin θ y2 = x1 sin θ + x2 cos θ

Matriz asociada ! cos θ − sin θ sin θ cos θ

Proyección

Ejemplo 2.11 Para una proyección ortogonal sobre el eje x1 , tenemos T (x1 , x2 ) = (x1 , 0), con matriz de asociada ! 1 0 A= . 0 0

Similarmente, la matriz asociada a la proyección ortogonal sobre el eje x2 es dada por A=

0 0 0 1

! .

En resumen, tenemos: Operador lineal Proyección ortogonal sobre el eje x1 Proyección ortogonal sobre el eje x2

Ecuaciones ( y1 = x1 y = 0 ( 2 y1 = 0 y2 = x2

Matriz Asociada ! 1 0 0 0 ! 0 0 0 1

En general, tenemos:

Teorema 2.7 La recta y = ax es el conjunto de puntos (x, ax) ∈ R2 , donde x varia en R. Si consideremos el operador P : R2 → R2 que cada vector v = (x, y) ∈ R2 le asigna un vector P(v) = (x0 , ax0 ), cuyo extremo es el pie de la perpendicular bajada de v sobre la recta y = ax. Entonces la matriz asociada a este operador es   1 a 2  1 + a2  . A =  1+a a a2  1 + a2 1 + a2 Este operador es llamador operador proyección.

25 2.3.3

Reflexión

Ejemplo 2.12 Consideremos la reflexión a través del eje x2 , así que T (x1 , x2 ) = (−x1 , x2 ). Claramente tenemos ! ! −1 0 T (e1 ) = y T (e2 ) = , 0 1 y así de la Proposición 2.2 tenemos que la matriz asociada a T es: ! −1 0 A= . 0 1

Análogamente las matrices asociadas a la reflexión a través del eje x1 y a través de la line x1 = x2 son ! ! 1 0 0 1 A= y A= , 0 −1 1 0 respectivamente. También la matriz asociada a la reflexión a través del origen está dado por

A=

−1 0 0 −1

! .

En resumen tenemos: Operador Lineal

Ecuaciones (

y1 = −x1 y2 = x2

(

y1 = x1 y2 = −x2

Reflexión a través del eje x2 Reflexión a través del eje x1 ( Reflexión a través de la linea x1 = x2 ( Reflexión a través del origen

En general, tenemos:

y1 = x2 y2 = x1 y1 = −x1 y2 = −x2

Matriz asociada ! −1 0 0 1 ! 1 0 0 −1 ! 0 1 1 0 ! −1 0 0 −1

26

CAPÍTULO 2. MATRIZ ASOCIADA A UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL

Teorema 2.8 Si S : R2 → R2 es la reflexión respecto a la recta y = ax entonces la matriz asociada a este operador lineal es   1 − a2 2a 2  1 + a2  A =  1+a . a2 − 1 2a 1 + a2 1 + a2

2.4

Matriz asociada a transformaciones lineal generales

Supongamos que T : V → W es una trasformación lineal desde un espacio vectorial real V hacia un espacio vectorial real W . Supongamos además que los espacios vectoriales V y W son finitos dimensionales, con dimV = n y dimV = m. Mostraremos que si hacemos uso de una base B de V y una base C de W , entonces es posible describir T indirectamente en términos de alguna matriz A. La idea principal es hacer uso de matrices coordenadas relativa a las bases B y C . Supongamos que B = {v1 , . . . , vn } es una base de V . Entonces cualquier vector v ∈ V puede ser únicamente determinado como una combinación lineal v = β1 v1 + . . . + βn vn , donde β1 , . . . , βn ∈ R. La matriz



B1

(2.2)



  [v]B =  ... 

(2.3)

Bn es la matriz de coordenadas de v relativa a la base B . Consideremos ahora una trasformación φ : V → Rn , donde φ(v) = [v]B para cada v ∈ V . Teorema 2.9 Supongamos que el espacio vectorial real V tiene base B = {v1 , . . . , vn }. Entonces la transformación φ : V . . . Rn , donde φ(v) = [v]B satisface (3.2) y (3.3) para cada v ∈ V , es una transformación lineal uno a uno, con imagen Im(φ) = Rn . Además, la trasformación lineal inversa φ−1 : Rn → V es también uno a uno, con imagen Im(φ−1 ) = V . Supongamos que C = {w1 , . . . , wm } es una base de W . Entonces definamos una trasformación lineal ψ : W → Rm , donde ψ(w) = [w]C para cada w ∈ W . Ahora tenemos el siguiente diagrama de trasformaciones lineales. T

VO φ−1



φ

Rn

/W O ψ−1



ψ

Rm

27 Claramente la composición S = ψ ◦ T ◦ φ−1 : Rn → Rm es una transformación lineal en espacios euclídeos, y podemos por tanto describir en terminas de su matriz asociada A. Nuestra tarea es determinar esta matriz A en términos de T y la base B y C . Conocemos de la Proposición 2.2 que A=



S(e1 ) · · · S(en ),



donde {e1 , . . . , en } es la base canónica de Rn . Para cualquier j = 1, . . . , n, tenemos S(e j ) = (ψ ◦ T ◦ φ−1 )(e j ) = ψ(T (φ−1 (e j ))) = ψ(T (v j )) = [T (v j )]C . De esto se sigue que A=



[T (v1 )]C

. . . [T (vn )]C .



(2.4)

Definición 2.5 La matriz A dada en (3.4) es llamada matriz asociada a la trasformación lineal T con respecto a las bases B y C . Ahora tenemos el siguientes diagram de trasformaciones lineales.

φ−1



/W O

T

VO

ψ−1

φ

Rn

S



ψ

/ Rm

Por tanto podemos escribir T como la composición T = ψ−1 ◦ S ◦ φ : V → W. Para cualquier v ∈ V , tenemos la siguiente secuencia: φ

v

/ [v]B

S

/ A[v]B

ψ−1

/ ψ−1 (A[v]B ) .

Mas precisamente, si v = β1 v1 + . . . + βn vn , entonces 

  β1    [v]B =  ...  y A[v]B = A  βn

  β1 ..  =  .  

 γ1 ..  , . 

βn

γm

así T (v) = ψ−1 (A[v]B ) = γ1 w1 + . . . + γm wm . Esto prueba el siguiente resultado:

28

CAPÍTULO 2. MATRIZ ASOCIADA A UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL

Teorema 2.10 Supongamos que T : V → W es una trasformación lineal de un espacio vectorial real V hacia un espacio vectorial real W . Supongamos que V y W son finitos dimensionales, con base B y C respectivamente, y que A es la matriz asociada a la trasformación T respecto a las bases B y C . Entonces para cada v ∈ V , tenemos T (v) = w, donde w ∈ W es el único vector satisfaciendo [w]C = A[v]B .

Ejemplo 2.13 Consideremos el operador T : P3 → P3 en el espacio vectorial real P3 de todos los polinomios con coeficientes reales y de grado a los mas 3, donde para cada polinomio p(x) ∈ P3 , tenemos T (p(x)) = xp0 (x) el producto de x con la derivada usual. Es claro que el operador T es lineal. Ahora consideremos la base B = {1, x, x2 , x3 } de P3 . La matriz para T respecto a la base B es dada por   0 0 0 0      0 1 0 0    2 3 2 3 A = [T (1)]B [T (x)]B [T (x )]B [T (x )]B = [0]B [x]B [2x ]B [3x ]B =  .  0 0 2 0  0 0 0 3 Supongamos que p(x) = 1 + 2x + 4x2 + 3x3 . Entonces    1 0  2   0    [p(x)]B =   y A[p(x)]B =   4   0 3 0

0 1 0 0

0 0 2 0

0 0 0 3

    

1 2 4 3





    =  

0 2 8 9

   , 

así que T (p(x)) = 2x + 8x2 + 9x3 . Esto puede fácilmente verificarse notando que T (p(x)) = xp0 (x) = x(2 + 8x + 9x2 ) = 2x + 8x2 + 9x3 .

Ejemplo 2.14 Consideremos el operador lineal T : R2 → R2 , dado por T (x1 , x2 ) = (2x1 + x2 , x1 + 3x2 ) para cada (x1 , x2 ) ∈ R2 . Consideremos también la base B = {(1, 0), (1, 1)} de R2 . Entonces la matriz para T con respecto a B es dada por !     1 −1 A = [T (1, 0)]B [T (1, 1)]B = [(2, 1)]B [(3, 4)]B = . 1 4

29 Supongamos ahora que T1 : V → W y T2 : W → U son transformaciones lineales, donde los espacios vectoriales reales V,W,U son de dimensión finita, con bases B = {v1 , . . . , vn }, C = {w1 , . . . , wm } y D = {u1 , . . . , uk } respectivamente. Entonces tenemos el siguiente diagrama de trasformaciones lineales.

T1

VO φ−1



ψ−1

φ

Rn

/W O

S1



ψ

/ Rm

T2

/U O

η−1 S2



η

/ Rk

Aquí η : U → Rk , donde η(u) = [u]D para cada u ∈ U, es una transformación lineal, y

S1 = ψ ◦ T1 ◦ φ−1 : Rn → Rm

y

S2 = η ◦ T2 ◦ ψ−1 : Rm → Rk

son transformaciones lineales euclídeas. Supongamos que A1 y A2 son respectivamente las matrices asociadas para S1 y S2 , así que existe respectivamente la matriz para T1 respecto a B y C y la matriz para T2 respecto a C y D . Claramente

S2 ◦ S1 = η ◦ T1 ◦ T2 ◦ φ−1 : Rn → Rk .

De esto se sigue que A2 A1 es la matriz asociada para S2 ◦ S1 , y así es la matriz para T2 ◦ T1 con respecto a las bases B y D . Así tenemos el siguiente resultado:

Teorema 2.11 Supongamos que T1 : V → W y T2 : W → U son trasformaciones lineales, donde los espacios vectoriales reales V,W,U son de dimensión finita, con bases B , C , D respectivamente. Supongamos además que A1 es la matriz para la trasformación lineal T1 con respecto a las bases B y C , y que A2 es la matriz para transformación lineal T2 con respecto a las bases C y D . Entonces A2 A1 es la matriz asociada para la trasformación lineal T2 ◦ T1 respecto a las bases B y D .

30

CAPÍTULO 2. MATRIZ ASOCIADA A UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL

Ejemplo 2.15 Consideremos el operador lineal T1 : P3 → P3 , donde para cada polinomio p(x) ∈ P3 tenemos T1 (p(x)) = xp0 (x). Ya sabemos que la matriz asociada a T1 respecto a la base B = {1, x, x2 , x3 } de P3 está dada por   0 0 0 0  0 1 0 0    A1 =  .  0 0 2 0  0 0 0 3 Consideremos el siguiente operador lineal T2 : P3 → P3 , donde para cada polinomio q(x) = q0 + q1 x + q2 x2 + q3 x3 en P3 , tenemos T2 (q(x)) = q(1 + x) = q0 + q1 (1 + x) + q2 (1 + x)2 + q3 (1 + x)3 . Tenemos T2 (1) = 1, T2 (x) = 1 + x, T2 (x2 ) = 1 + 2x + x2 y T2 (x3 ) = 1 + 3x + 32 + x3 , así que la matriz asociada a T2 respecto a la base B es dada por   1 1 1 1    0 1 2 3    A2 = [T2 (1)]B [T2 (x)]B [T2 (x2 )]B [T2 (x3 )]B =  .  0 0 1 3  0 0 0 1 Consideremos ahora la composición T = T2 ◦ T1 : P3 → P3 . Sea A la matriz asociada a T respecto a

B por el Teorema 2.11, tenemos    A = A2 A1 =  

1 0 0 0

1 1 0 0

1 2 1 0

1 3 3 1

    

0 0 0 0

0 1 0 0

0 0 2 0

0 0 0 3





    =  

Supongamos que p(x) = p0 + p1 x + p2 x2 + p3 x3 . Entonces     0 1 2 3 p0  0 1 4 9   p   1    [p(x)]B =   y A[p(x)]B =    0 0 2 9   p2  0 0 0 3 p3

p0 p1 p2 p3



0 0 0 0

1 1 0 0



    =  

2 4 2 0

3 9 9 3

   . 

p1 + 2p2 + 3p3 p1 + 4p2 + 9p3 2p2 + 9p3 3p3

así que T (p(x)) = (p1 + 2p2 + 3p3 ) + (p1 + 4p2 + 9p3 )x + (2p2 + 9p3 )x2 + 3p3 x3 .

    

31

Ejemplo 2.16 Consideremos el operador lineal T : R2 → R2 , dado por T (x1 , x2 ) = (2x1 + x2 , x1 + 3x2 ), para cualquier (x1 , x2 ) ∈ R2 . La matriz asociada a este operador T respecto a la base B = {(1, 0), (1, 1)} está dado por ! 1 −1 A= . 1 4 Ahora consideremos el operador T 2 : R2 → R2 . Por el Teorema 2.11, la matriz asociada a T 2 respecto a la base B está dada por ! ! ! 1 −1 1 −1 0 −5 A2 = = . 1 4 1 4 5 15 Supongamos que (x1 , x2 ) ∈ R2 . Entonces ! x1 − x2 [(x1 , x2 )]B = y A2 [(x1 , x2 )]B = x2

0 5 5 15

!

x1 − x2 x2

! =

−5x2 5x1 + 10x2

! ,

así que T 2 (x1 , x2 ) = −5x2 (1, 0) + (5x1 + 10x2 )(1, 1) = (5x1 + 5x2 , 5x1 + 10x2 ).

Teorema 2.12 Supongamos que T : V → V es un operador lineal en un espacio vectorial real V finito dimensional con base B . Supongamos además que A es la matriz asociada a este operador T con respecto a base B . Entonces T es uno a uno si y solo si A es invertible. Además, si T es uno a uno, entonces A−1 es la matriz asociada al operador lineal inverso T −1 : V → V con respecto a la base B .

Ejemplo 2.1 Consideremos el operador lineal T : P3 → P3 , donde para cada q(x) = q0 + q1 x + q2 x2 + q3 x3 en P3 , tenemos T (q(x)) = q(1 + x) = q0 + q1 (1 + x) + q2 (1 + x)2 + q3 (1 + x)3 . Ya se conoce que la matriz asociada a T respecto a la base B = {1, x, x2 , x3 } es dada por    A= 

1 0 0 0

1 1 0 0

1 2 1 0

1 3 3 1

   . 

32

CAPÍTULO 2. MATRIZ ASOCIADA A UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL

La matriz es invertible, así que T es uno a uno. Además, se puede verificar que  −1

A

  = 

1 −1 1 −1 0 1 −2 3 0 0 1 −3 0 0 0 1

   . 

Supongamos que p(x) = p0 + p1 x + p2 x2 + p3 x3 . Entonces    [p(x)]B y A−1 [p(x)]B =  

1 −1 1 −1 0 1 −2 3 0 0 1 −3 0 0 0 1

    

p0 p1 p2 p3





    =  

p0 − p1 + p2 − p3 p1 − 2p2 + 3p3 p2 − 3p3 p3

    

Así que T −1 (p(x)) = (p0 − p1 + p2 − p3 ) + (p1 − 2p2 + 3p3 )x + (p2 − 3p3 )x2 + p3 x3 = p0 + p1 (x − 1) + p2 (x2 − 2x + 1) + p3 (x3 − 3x2 + 3x − 1) = p0 + p1 (x − 1) + p2 (x − 1)2 + p3 (x − 1)3 = p(x − 1).

2.5

Cambios de bases

Supongamos que V es un espacio vectorial real finito dimensional, con una base B = {v1 , . . . , vn } y otra base B 0 = {u1 , . . . , un }. Supongamos que T : V → V es un operador lineal en V . Sea A la matriz asociada a T respecto a la base B , y sea A0 la matriz asociada a T respecto a base B 0 . Si v ∈ V y T (v) = w, entonces [w]B = A[v]B (2.5) y [w]B 0 = A0 [v]B 0 .

(2.6)

Queremos hallar la relación que existe entre A0 y A. Sabemos que podemos hallar la matriz de cambio de la base B 0 a la base B , que es:   P = [u1 ]B . . . [un ]B . Entonces [v]B = P[v]B 0 y [w]B = P[w]B 0 .

(2.7)

Notemos que la matriz P puede también interpretarse como la matriz para el operador identidad I : V → V con respecto a las bases B 0 y B . Además la matriz P es invertible, y P−1 =



[v1 ]B 0

. . . [vn ]B 0



33 denota la matriz de cambio de la base B a la base B 0 , y puede también interpretarse como la matriz asociada al operador identidad I : V → V con respecto a las bases B y B 0 . Combinando (3.5) y (2.7), concluimos que [w]B 0 = P−1 [w]B = P−1 A[v]B = P−1 AP[v]B 0 . Comparando esto con (3.6), concluimos que P−1 AP = A0 .

(2.8)

A = PA0 P−1 .

(2.9)

Esto implica que

Recordar. Podemos usar la notación A0 = [T ]B 0

y

A = [T ]B

para denotar que A y A0 son las matrices asociadas a T respecto a la base B y a la base B0 respectivamente. Podemos también escribir P = [I]B ,B 0 para denotar que P es la matriz de cambio de la base B 0 a la base B , así que P−1 = [I]B 0 ,B . De (2.8) y (2.9) podemos escribirlo de las siguiente manera: [I]B 0 ,B [T ]B [I]B ,B 0 = [T ]B 0 y [I]B ,B 0 [T ]B 0 [I]B 0 ,B = [T ]B . Así tenemos probado el siguiente resultado.

Teorema 2.13 Supongamos que T : V → V es un operador lineal en un espacio vectorial real V finito dimensional, con bases B = {v1 , . . . , vn } y B 0 = {u1 , . . . , un }. Supongamos que A y A0 son matrices asociadas a T respecto a la base B y respecto a la base B 0 respectivamente. Entonces P−1 AP = A0 donde P=



[u1 ]B

y

A0 = PAP−1 ,

. . . [un ]B

denota la matriz de cambio de la base B 0 a la base B .



34

CAPÍTULO 2. MATRIZ ASOCIADA A UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL

Recordar. Tenemos el siguiente diagrama T

;v

/w

I

I

v

$/

T

A0

[v]B 0 P

"

[v]B

A

w

/ [w]B 0 < / [w]B

P−1

Ejemplo 2.2 Consideremos el espacio vectorial P3 de todos los polinomios con coeficientes reales y de grado a lo mas 3, con base B = {1, x, x2 , x3 } y B 0 = {1, 1 + x, 1 + x + x2 , 1 + x + x2 + x3 }. Consideremos también el operador T : P3 → P3 , donde para cada polinomio p(x) = p0 + p1 x + p2 x2 + p3 x3 , tenemos T (p(x)) = (p0 + p1 ) + (p1 + p2 )x + (p2 + p3 )x2 + (p3 + p0 )x3 . Sea A la matriz asociada a T respecto a la base B . Entonces T (1) = 1 + x3 , T (x) = 1 + x, T (x2 ) = x + x2 y T (x3 ) = x2 + x3 , y así   1 1 0 0    0 1 1 0    A = [T (1)]B [T (x)]B [T (x2 )]B [T (x3 )]B =  .  0 0 1 1  1 0 0 1 Notemos que la matriz de cambio de la base B 0 a la base B está dada por  P=



[1]B

[1 + x]B

[1 + x + x2 ]B

[1 + x + x2 + x3 ]B



  = 

Puede verificarse que    P−1 =  

1 −1 0 0 0 1 −1 0 0 0 1 −1 0 0 0 1

   , 

y así    A0 = P−1 AP =   es la matriz para T respecto a la base B 0 .

1 1 0 0 1 1 −1 −1 0 1 1 1

0 0 0 2

    

1 0 0 0

1 1 0 0

1 1 1 0

1 1 1 1

   . 