4°apostila de matemática 2°ano

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GOVERNO DO ESTADO DE RONDÔNIA SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO

ESCOLA ESTADUAL DE ENSINO FUNDAMENTAL E MÉDIO PROF. ELVANDAS MARIA DE SIQUEIRA Avenida Porto Velho nº 880, Setor 01 - Buritis – RO fone. 3238-2590 Email: [email protected]

4ª - APOSTILA ABRIL AULAS REMOTAS - 2021 Componente Curricular: MATEMÁTICA Professores(a): ADRIANA / KÁTIA / REGINALDO Aluno(a): Jean Carlos da Silva Andrade Aulas dos dias: (19/04 A 24/04/2021)

Ano/Turma: 2º Ano : A,B,C,D,E,F,G Número de Aulas Semanais: 05 aulas

A ORIGEM DA TRIGONOMETRIA O termo trigonometria é de origem grega e está associado ao triângulo e suas medidas. O surgimento da trigonometria está diretamente ligado aos povos egípcios e babilônicos. Eles utilizavam as razões entre os lados de um triângulo na resolução de problemas cotidianos. Mas foi na Grécia que a trigonometria obteve ascensão. Hiparco é o possível mentor desta ciência, pois é atribuído a ele o estabelecimento das bases trigonométricas. A necessidade de medir ângulos e distância inacessíveis nos problemas relacionados à astronomia contribuiu para o uso da trigonometria como ferramenta auxiliar. Os /hindus e os árabes também tiveram participação incisiva no seu desenvolvimento. Mas até então a trigonometria era uma parte da astronomia. Foi na Europa, por volta do século XV, que a trigonometria foi separada da astronomia, surgindo inúmeras aplicações em diversas áreas do conhecimento. O termo trigonometria é de origem grega e está associado ao triângulo e suas medidas. RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO As relações existentes no triângulo retângulo são seno, cosseno e tangente. Entendemos por seno a relação existente entre o cateto oposto e a hipotenusa; por cosseno, a relação existente entre o cateto adjacente e a hipotenusa; e tangente, a relação entre o cateto oposto e o cateto adjacente.

senα = c/a cosα = b/a tgα = c/b senβ = b/a cosβ = c/a tgβ = b/c

EXEMPLOS A figura abaixo representa um avião que decolou sob um ângulo constante de 40º e percorreu em linha reta 8000 m. Nesta situação, qual a altura que se encontrava o avião ao percorrer essa distância? Considere:

sen 40º = 0,64 cos 40º = 0,77 tg 40º = 0,84 Notamos que o triângulo indicado é retângulo e a distância percorrida representa a medida da hipotenusa deste triângulo e a altura do cateto oposto ao ângulo dado. Portanto, usaremos o seno do ângulo para encontrar a medida da altura:

Assim, ao percorrer 8 000 m, o avião se encontra a 5 120 m de altura.

ATIVIDADE 1)Um menino avista o ponto mais alto de um morro, conforme figura abaixo. Considerando que ele está a uma distância de 500 m da base do morro, calcule a altura (h) deste ponto.

Considere: sen 20º = 0,34 cos 20º = 0,93 tg 20º = 0,36

Aulas dos dias: (26/04 A 30/04/

Número de Aulas Semanais: 05 aulas

RELAÇÕES ENTRE SENO, COSSENO E A TANGENTE DE UM ÂNGULO AGUDO Seno, Cosseno e Tangente de um ângulo são relações entre os lados de um triângulo retângulo. Essas relações são chamadas de razões trigonométricas, pois resultam da divisão entre as medidas dos seus lados. O triângulo retângulo é aquele que apresenta um ângulo interno reto (igual a 90º). O lado oposto ao ângulo de 90º é chamado de hipotenusa e os outros dois lados são chamados de catetos. Os valores do seno, do cosseno e da tangente são calculados em relação a um determinado ângulo agudo do triângulo retângulo. De acordo com a posição dos catetos em relação ao ângulo, ele pode ser oposto ou adjacente, conforme imagem abaixo:

Seno (Sen

)

É a razão entre a medida do cateto oposto ao ângulo agudo e a medida da hipotenusa de um triângulo retângulo. Essa relação é calculada através da fórmula:

Lê-se cateto oposto sobre a hipotenusa. Veja também: Lei dos Senos

Cosseno (Cos

)

É a razão entre a medida do cateto adjacente ao ângulo agudo e a medida da hipotenusa de um triângulo retângulo. Essa relação é calculada através da fórmula:

Lê-se cateto adjacente sobre a hipotenusa. Veja também: Lei dos Cossenos

Tangente (Tg

)

É a razão entre a medida do cateto oposto e a medida do cateto adjacente ao ângulo agudo de um triângulo retângulo. Essa relação é calculada através da fórmula:

Lê-se cateto oposto sobre cateto adjacente. Veja também: Trigonometria no Triângulo Retângulo

Tabela Trigonométrica Na tabela trigonométrica consta o valor de cada razão trigonométrica para os ângulos de 1º a 90º. Os

ângulos de 30º, 45º e 60º são os mais usados nos cálculos e por isso, eles são chamados de ângulos notáveis.

Relação entre seno e cosseno de ângulos complementar es Seno e cosseno de ângulos suplementares são conhecimentos usados para os cálculos envolvendo Trigonometria em um triângulo qualquer. Para compreender isso, lembre-se de que seno e cosseno são definidos para triângulos retângulos, mais especificamente para os dois ângulos agudos desses triângulos. Assim, os valores de seno e cosseno são definidos, inicialmente, apenas para ângulos agudos (menores que 90°). A Trigonometria pode ser expandida para triângulos que não são retângulos, por meio da lei dos senos e da lei dos cossenos. Entretanto, esses triângulos devem ser obtusângulos, e devemos calcular o seno e o cosseno justamente desse ângulo. Nesse caso, usaremos o seno e o cosseno de ângulos suplementares, obtidos por meio do ciclo trigonométrico.

Seno de ângulos suplementares Os valores do seno de dois ângulos suplementares são sempre iguais. Isso acontece por causa dos conhecimentos agregados à Trigonometria com o uso do ciclo trigonométrico. Por meio do ciclo trigonométrico, é possível determinar o seno de ângulos maiores que 90°. Para tanto, basta construir o ângulo em questão, seguindo as regras do ciclo trigonométrico, e observar qual o valor de seno ligado a esse ângulo.

Como exemplo, o ângulo de 150° está ligado ao ponto D, e o comprimento do segmento CD é igual a 0,5 cm. No primeiro quadrante, o ângulo ligado a essa mesma medida é o de 30°, pois sen30° = 0,5. Logo, sen30° = sen150°. Pensando em um ângulo qualquer, representando-o por α e assumindo que esse ângulo é obtuso, poderemos representá-lo da seguinte maneira no ciclo trigonométrico:

Na imagem acima, os ângulos α e β estão ligados ao mesmo ponto D, sobre o eixo dos senos. Isso significa que senα = β. Observe que α é igual à diferença entre o arco BF e o arco FA. Como FA = EB = β, teremos: α = BF – β Observe que BF = 180°, logo: α = 180° – β Portanto, teremos: senα = sen(180° – β) Como α e β são suplementares, então podemos dizer que os senos de ângulos suplementares são iguais. Observação: Note que essa regra serve apenas para descobrir quais ângulos possuem seno igual, por serem suplementares. Essa regra não pode ser usada para subtrair senos de dois ângulos.

Cosseno de dois ângulos suplementares Fazendo cálculos análogos aos anteriores, podemos concluir que os cossenos de dois ângulos suplementares são inversos aditivos, ou seja: cosα = – cos(180° – β) ou – cosα = cos(180° – β)

Essas duas expressões podem ser usadas, por exemplo, para determinar seno e cosseno de ângulos como 135°: senα = sen(180° – β) sen135° = sen(180° – 135°) sen135° = sen(45°) sen135° = √2 2 – cosα = cos(180° – β) – cos135° = cos(180° – 135°) – cos135° = cos(45°) – cos135° = √2 2 cos135° = – √2 2 Verificação De Aprendizagem 1) Analise as sequências a seguir: A – (1, 4, 7, 10, 13) B – (1, 1, 1, 1, 1, 1) C – (9, 3, -3, -9, -15...) D – (1, 0, -1, 2, -2, 3, -3) Sobre as sequências, podemos afirmar que: A) Todas são progressões aritméticas. B) Somente A e C são progressões aritméticas. C) Somente D não é uma progressão aritmética. X D) Somente B e D são progressões aritméticas. E) Nenhuma das sequências representa uma progressão aritmética. 2) Os ganhos de uma empresa, ao decorrer do ano, foram de R$800.000 no primeiro mês, e, a cada mês, houve um aumento de R$15.000 em relação ao mês anterior. Caso essa tendência seja mantida durante todos os meses, o lucro mensal dessa empresa, em dezembro, será de: A) R$165.000 X B) R$180.000 C) R$816.500 D) R$965.000 E) R$980.000 3) Cris decidiu ser uma influenciadora digital, e, para isso, ela criou uma conta nas redes sociais. Realizando a divulgação para os seus amigos mais próximos, logo no primeiro dia, ela conseguiu o marco de 40 seguidores. Após esse marco, no segundo dia, ela conseguiu mais 14 seguidores, no terceiro dia também, e assim sucessivamente durante toda a primeira semana. Se esse comportamento for mantido, ou seja, se ela conseguir 14 seguidores por dia, qual será a quantidade de seguidores ao final de 30 dias? X A) 446 B) 406 C) 400 D) 396 E) 380

4)Um atleta de alta performance tem se preparado para a disputa da Maratona do Rio, que possui atualmente um percurso de 42 km. Para isso, ele começou percorrendo 14 km no primeiro dia, e, a cada dia, ele acrescentou 5 km em relação ao dia anterior. A distância total percorrida por esse atleta durante uma semana de treino é de: A) 44 km B) 244 km C) 193 km X D) 198 km

E) 203 km 5)Sobre progressões aritméticas, julgue como verdadeiro ou falso as afirmativas a seguir: I – Uma progressão aritmética é crescente quando sua razão é positiva. II – Uma progressão aritmética é constante quando sua razão é zero. III – Uma progressão aritmética é decrescente quando sua razão é negativa. Marque a alternativa correta: A) Somente a afirmativa I é verdadeira. B) Somente a afirmativa II é verdadeira. C) Somente a afirmativa III é verdadeira. X D) Todas as afirmativas são verdadeiras. E) Nenhuma das afirmativas é verdadeira. 6) A sequência seguinte é uma progressão geométrica, observe: (2, 6, 18, 54...). Determine o 8º termo dessa progressão. 4374 7)Várias tábuas iguais estão em uma madeireira. Elas deverão ser empilhadas respeitando a seguinte ordem:

uma tábua na primeira vez e, em cada uma das vezes seguintes, tantas quantas já estejam na pilha. Por exemplo:

Determine a quantidade de tábuas empilhadas na 12ª pilha.

2048 8)João trabalha em um prédio e todos os dias tem que subir uma escada de 8 degraus, que tem aproximadamente 2 metros de comprimento e 30 graus de inclinação. De acordo com a figura a seguir, determine a altura de cada degrau.

20 cm

9)Ana estava estudando trigonometria para prova. Ao fazer uma pausa, ela olhou para o relógio e percebeu que ele estava parado em 2h40 min, pois havia acabado a pilha. Para testar se realmente seus estudos estavam indo bem, Ana resolveu calcular a medida do menor ângulo formado entre os ponteiros do relógio. Qual o ângulo formado quando o relógio marca 2h40 min?

160⁰

10)(Cefet/MG - 2017) Em um triângulo retângulo, a tangente de um de seus ângulos agudos é 2. Sabendo-se que a hipotenusa desse triângulo é 5, o valor do seno desse mesmo ângulo é

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