Prueba de Hipótesis para Una Poblacion

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PRUEBA DE HIPÓTESIS ESTADÍSTICA INFERENCIAL

DR. IRVING BARRAGÁN VITE

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PRUEBA DE HIPÓTESIS ESTADÍSTICA ◦ Proceso que permite tomar una decisión entre dos hipótesis opuestas. ◦ Las hipótesis se plantean de modo que una es la negación de la otra. Así, una siempre será verdadera y la otra será falsa. ◦ Luego, una hipótesis se prueba con la esperanza de poder demostrar que su ocurrencia es muy improbable, implicándose de que la otra hipótesis es probablemente verdadera.

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HIPÓTESIS NULA (𝑯𝟎 ) ◦ Es la hipótesis que se prueba y, por lo general, es una afirmación de que un parámetro poblacional tiene un valor específico. ◦ Por lo tanto, la hipótesis nula siempre llevará el signo “=“, en cualquiera de sus formas: ≤, ≥, o simplemente =, dependiendo de la prueba que se desea realizar.

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HIPÓTESIS ALTERNATIVA (𝑯𝟏 ) ◦ Es una afirmación sobre el mismo parámetro de la población que se usa en la hipótesis nula. ◦ En general, es una afirmación que especifica que el parámetro de la población tiene un valor diferente al valor proporcionado en la hipótesis nula. ◦ El signo usado en la hipótesis alternativa será contrario al usado en la hipótesis nula.

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4

La idea básica de la prueba de hipótesis es que los hechos tengan la probabilidad de refutar la hipótesis nula. El interés por el cual se realiza la prueba se expresa en la hipótesis alternativa. La hipótesis alternativa suele denominarse hipótesis de trabajo o de investigación, y representa la pregunta que se responderá o la teoría que se probará.

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NATURALEZA DE LA PRUEBA DE HIPÓTESIS •Suponga que un fabricante produce focos LED. •El fabricante afirma que los focos que produce tienen un tiempo de vida promedio de al menos 10,000 horas. •Un inspector de calidad quiere verificar la afirmación del fabricante. •El inspector sospecha que la vida promedio es menor de 10,000 horas.

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𝑯𝟎

Afirmaciones opuestas

Afirmación del fabricante: “Los focos LED tienen una vida media de al menos 10,000 horas”

𝑯𝟏

Sospecha del inspector de calidad: “Los focos LED del fabricante tienen una vida media menor a 10,000 horas”

¿Es esta afirmación falsa o verdadera?

Motiva a realizar la prueba de hipótesis.

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La afirmación del fabricante pemanecerá como verdadera o cierta hasta que el inspector pueda demostrar lo contrario. Para lograrlo, suficiente.

el inspector deberá reunir evidencia

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Población de focos

Inferencia Muestra 𝑋!

µ

(Evidencia)

(Media del tiempo de vida de los focos)

𝑯𝟎: 𝝁 ≥ 𝟏𝟎, 𝟎𝟎𝟎 𝑯𝟏: 𝝁 < 𝟏𝟎, 𝟎𝟎𝟎

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Suponiendo que la distribución del tiempo de vida de la población es normal. 𝐻!

𝐻"

𝜇 < 10,000 (pero desconocida)

* 𝒙

𝜇 = 10,000

Bajo el supuesto de que 𝐻! sea verdadera, ¿Cuál es la probabilidad de que la muestra proviene de la población de 𝐻! ? DR. IRVING BARRAGÁN VITE

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El inspector con su evidencia ( 𝑥)̅ debe demostrar si la muestra que obtuvo proviene de: 1. una población con 𝜇 = 10,000 o bien, 2. de una población con 𝜇 < 10,000.

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𝐻!

𝐻" Más lejos

𝜇 < 10,000

Entre más cerca se encuentre 𝑥̅ de 𝜇 = 10,000 , el inspector tendrá que aceptar la afirmación del fabricante.

Más cerca

* 𝜇 = 10,000 𝒙 Menor probabilidad

Mayor probabilidad

Entre más lejos se encuentre 𝑥̅ de 𝜇 = 10,000, su evidencia será suficiente para rechazar la afirmación del fabricante y demostrar su sospecha.

𝐻!

𝐻" Más lejos

Más cerca

𝜇 < 10,000

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* 𝒙

𝜇 = 10,000 12

Pero… ¿cómo puede saber el inspector si su evidencia es suficiente? ¿qué tanto es cerca y qué tanto es lejos? ¿qué tan seguro puede estar de la decisión que tome? La primera pregunta se responderá bajo los supuestos del Teorema del Límite Central; la segunda y la tercera, calculando la probabilidad del valor de la evidencia (método del valor 𝑝), o bien asignando por adelantado dicha probabilidad y contrastando la evidencia con esa probabilidad preseleccionada (método clásico).

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Posibles resultados en una prueba de hipótesis Hipótesis nula Verdadera

Falsa

Aceptar 𝐇𝟎

Decisión correcta tipo A

Error Tipo II

Rechazar 𝐇𝟎

Error Tipo I

Decisión correcta tipo B

Decisión

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Probabilidad de los resultados en una prueba de hipótesis Hipótesis nula Verdadera

Falsa

Aceptar 𝐇𝟎

1−𝛼

𝛽

Rechazar 𝐇𝟎

𝛼

1−𝛽

Decisión

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Probabilidad de cometer el Error Tipo I La probabilidad de cometer el Error Tipo I se conoce como nivel de significancia, y se denota como 𝜶.

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Considere la hipótesis nula de que el peso promedio de estudiantes hombres en cierta universidad es de 68 kilogramos, contra la hipótesis alternativa de que es diferente a 68. Esto es,

𝑯𝟎: 𝝁 = 𝟔𝟖 𝑯𝟏: 𝝁 ≠ 𝟔𝟖

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La hipótesis alternativa contradice a la hipótesis nula, pero desconoce el valor verdadero de 𝜇. Además, la hipótesis alternativa permite la posibilidad de que 𝜇 < 68 o 𝜇 > 68. Suponga que arbitrariamente se consideran los valores de peso 67 y 69 a partir de los cuales se determinará la veracidad o falsedad de la hipótesis nula.

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Si la media de la muestra 𝑥̅ presenta un valor menor que 67 (𝑥̅ < 67) o mayor que 69 (𝑥̅ > 69), la hipótesis nula será falsa. Los intervalos de valores 𝑥̅ < 67 y 𝑥̅ > 69 conforman la región crítica o de rechazo de la hipótesis nula. Mientras tanto, la región de no rechazo o aceptación será entonces el intervalo 67 ≤ 𝑥̅ ≤ 69. Es decir, si 𝑥̅ presenta un valor entre 67 y 69 se aceptará como cierta la hipótesis nula. DR. IRVING BARRAGÁN VITE

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Suponga que la desviación estándar de la población de pesos es 𝜎 = 3.6. El estadístico de decisión, que se basa en una muestra ; aleatoria de tamaño 𝑛 = 36, será 𝑋. Del Teorema del Límite Central se sabe que 𝑋; tiene distribución aproximadamente normal con 𝜎4! = 𝜎⁄ 𝑛 = 3.6⁄6 = 0.6 DR. IRVING BARRAGÁN VITE

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La probabilidad de cometer el Error Tipo I es: , < 𝟔𝟕 𝒄𝒖𝒂𝒏𝒅𝒐 𝝁 = 𝟔𝟖 + 𝑷 𝑿 , > 𝟔𝟗 𝒄𝒖𝒂𝒏𝒅𝒐 𝝁 = 𝟔𝟖 𝜶=𝑷 𝑿

* < 𝟔𝟕 𝑷 𝑿

* > 𝟔𝟗 𝑷 𝑿

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Los valores 𝑧 correspondientes a 𝑥;̅ = 67 y 𝑥̅< = 69 cuando 𝐻= es verdadera son 𝑧; =

>?@>A =.>

= −1.67 y 𝑧< =

>C@>A =.>

= 1.67

Por lo tanto, 𝛼 = 𝑃 𝑍 < −1.67 + 𝑃 𝑍 > 1.67 = 2𝑃 𝑍 < −1.67 = 𝟎. 𝟎𝟗𝟓

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La probabilidad de cometer el Error Tipo I nos indica que: El 9.5% de todas las muestras de tamaño 36 nos conducirían a rechazar 𝐻=: 𝜇 = 68 kilogramos cuando, de hecho, este es el valor verdadero.

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Probabilidad de cometer el Error Tipo II La probabilidad de cometer el Error Tipo II se denota con 𝛽. Es imposible de calcular, a menos que se tenga una hipótesis alternativa específica. Es decir, que se conozca el verdadero valor del parámetro que está a prueba.

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Considerando el ejemplo de los pesos de los estudiantes Suponiendo que se conoce el valor de la media verdadera, por ejemplo 𝜇 = 70. Esto es, la hipótesis alternativa ya no sólo indica que la media es diferente de 68, sino tendría la certeza de que es 70. Sin embargo, la hipótesis nula se mantiene en su postura de que 𝜇 = 68. Entonces, ¿cuál es la probabilidad de aceptar que 𝜇 = 68 cuando en realidad 𝜇 = 70?

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Por lo tanto, 𝛽 = 𝑃 67 ≤ 𝑋; ≤ 69 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝜇 = 70 Para 𝑥;̅ = 67 y 𝑥̅< = 69 cuando 𝐻; es verdadera, 𝑧; =

>?@?= =.>

= −5.00 y 𝑧< =

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>C@?= =.>

= −1.67

26

En consecuencia, 𝛽 = 𝑃 −5.00 < 𝑍 < −1.67 = 𝑃 𝑍 < −1.67 − 𝑃 𝑍 < −5.00

𝛽 = 0.047459682 − 0.000000287 = 𝟎. 𝟎𝟒𝟕𝟒𝟓𝟗𝟑𝟗𝟓

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27

𝐻!

𝐻"

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28

La probabilidad de cometer un error tipo II aumenta rápidamente cuando el valor verdadero de 𝜇 se aproxima al valor hipotético pero no es igual a éste. Si la hipótesis alternativa 𝜇 = 68.5 es verdadera, la probabilidad de cometer el error tipo II, es 𝛽 = 𝑃 67 ≤ 𝑋; ≤ 69 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝜇 = 68.5

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𝑧; =

>?@>A.D =.>

= −2.5 y 𝑧< =

>C@>A.D =.>

= 0.83

𝛽 = 𝑃 −2.5 < 𝑍 < 0.83 = 𝑃 𝑍 < 0.83 − 𝑃 𝑍 < −2.5

𝛽 = 0.797 − 0.006 = 0.791

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30

𝐻!

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𝐻"

31

Propiedades importantes de una prueba de hipótesis 1. Los errores tipo I y II están relacionados. Una disminución en la probabilidad de cometer uno da como resultado un incremento en la probabilidad de cometer el otro. 2. El tamaño de la región crítica y, por lo tanto, la probabilidad de cometer un error tipo I, siempre se puede reducir ajustando el (los) valor(es) crítico(s).

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3. Un aumento en el tamaño de la muestra (𝑛) reducirá 𝛼 y 𝛽 de forma simultánea. 4. Si la hipótesis nula es falsa, 𝛽 es un máximo cuando el valor verdadero de un parámetro se aproxima al valor hipotético. Cuanto más grande sea la distancia entre el valor verdadero y el valor hipotético, más pequeña será 𝛽.

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Potencia de la prueba de hipótesis La potencia de una prueba de hipótesis es la probabilidad de rechazar 𝐻= dado que una alternativa específica es verdadera. La potencia de la prueba se denota como 1 − 𝛽.

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Considérese el caso en el que 𝐻=: 𝜇 = 68 𝐻;: 𝜇 ≠ 68 En este caso no rechazamos 𝐻= si 67 ≤ 𝑥̅ ≤ 69. Se busca entonces, la capacidad de la prueba para rechazar 𝐻= de manera adecuada cuando en realidad 𝜇 = 68.5.

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Como se determinó antes, 𝛽 = 0.791 Por lo tanto, la potencia de la prueba es 1 − 𝛽 = 1 − 0.791 = 0.209

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La potencia de una prueba de hipótesis es una medida más simple de qué tan sensible es la prueba para detectar diferencias entre una media de 68 y otra de 68.5. Si 𝜇 es verdaderamente 68.5, la prueba como se describe, rechazará de forma adecuada 𝑯𝟎 sólo el 20.9% de las veces. Para poder producir una potencia deseable, por ejemplo, mayor de 0.8, es necesario incrementar 𝛼 o el tamaño de la muestra.

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Pruebas de una y dos colas Una prueba de hipótesis en la que 𝐻=: 𝜃 ≤ 𝜃= 𝑯𝟏: 𝜽 > 𝜽𝟎 o bien, 𝐻=: 𝜃 ≥ 𝜃= 𝑯𝟏: 𝜽 < 𝜽𝟎 se denomina prueba de una cola.

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Una prueba de hipótesis en la que 𝐻=: 𝜃 = 𝜃= 𝑯𝟏: 𝜽 ≠ 𝜽𝟎 se denomina prueba de dos colas.

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𝐻" : 𝜃 > 𝜃!

𝐻" : 𝜃 < 𝜃!

Prueba de una cola (izquierda)

Prueba de una cola (derecha)

𝐻" : 𝜃 ≠ 𝜃!

Prueba de dos colas DR. IRVING BARRAGÁN VITE

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Ejemplo 1 (Prueba de una cola) Un fabricante de cierta marca de cereal de arroz afirma que el contenido promedio de grasa saturada no excede a 1.5 gramos por porción. Plantee la hipótesis nula y alternativa que se utilizarán para probar esta afirmación y establezca dónde se localiza la región crítica.

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La afirmación del fabricante se rechazará sólo si 𝜇 es mayor que 1.5 gramos y no se rechazará si 𝜇 es menor o igual que 1.5 gramos. Entonces, 𝐻=: 𝜇 ≤ 1.5 𝐻;: 𝜇 > 1.5

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No rechazar 𝐻= no descarta valores menores a 1.5 gramos. La prueba es de una cola, por lo que el signo mayor en 𝐻; indica que la región crítica reside totalmente en la cola ; derecha de la distribución del estadístico 𝑋.

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Ejemplo 2 (Prueba de dos colas) Un agente de bienes raíces afirma que 60% de todas las viviendas privadas que se construyen actualmente son casas con tres dormitorios. Para probar esta afirmación se inspecciona una muestra grande de viviendas nuevas. Se registra la proporción de las casas con 3 dormitorios y se utiliza como estadístico de prueba. Plantee la hipótesis nula y alternativa que se utilizarán en esta prueba y determine la ubicación de la región crítica.

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44

Si el estadístico de prueba fuera considerablemente mayor o menor que 𝑝 = 0.6, se rechazaría la afirmación del agente. En consecuencia, las hipótesis serían 𝐻" : 𝑝 = 0.6 𝐻# : 𝑝 ≠ 0.6 La hipótesis alternativa implica una prueba de dos colas con la región crítica dividida por igual en ambas colas de la distribución : del estadístico de prueba 𝑃.

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Decisión y conclusión de la prueba de hipótesis Decisión: No rechazar 𝐻= Conclusión: “No hay suficiente evidencia al nivel de significancia 𝛼 para demostrar que…(significado de 𝐻;)”.

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46

Decisión: Rechazar 𝐻= Conclusión: “Hay suficiente evidencia al nivel de significancia 𝛼 para demostrar que…(significado de 𝐻;)”.

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Métodos de solución de la prueba de hipótesis Considere el ejemplo del peso de los estudiantes donde 𝐻=: 𝜇 = 68 𝐻;: 𝜇 ≠ 68 Pero ahora no se selecciona arbitrariamente un intervalo de aceptación y tampoco el de rechazo. Estos intervalos serán determinados por el enfoque de la prueba.

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48

Suponga entonces que de una muestra aleatoria se obtiene 𝑥̅ = 67.7, y al estadarizar, con 𝜎4! = 0.6, se obtiene

67.7 − 68 𝑧= = −0.5 0.6

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Si preseleccionamos un nivel de significancia, por ejemplo de 𝜶 = 𝟎. 𝟎𝟓, sabemos que la región de rechazo deberá tener un área bajo la curva normal de 0.05. Puesto que la prueba de hipótesis es de dos colas (𝐻;: 𝜇 ≠ 68), entonces la región de rechazo se divide en dos partes, una a cada extremo de la distribución.

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50

Los valores 𝑧 = −1.96 y 𝑧 = 1.96, se conocen como valores críticos, ya que a partir de estos valores comienza la región de rechazo.

𝛼 = 0.025 2 𝑧 0.025 = −1.96

El valor del nivel de significancia preseleccionado permite determinar los valores críticos y, por lo tanto, la región de rechazo. DR. IRVING BARRAGÁN VITE

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La región de rechazo estará conformada por los intervalos 𝑧 ≤ −1.96 y 𝑧 ≥ 1.96. En consecuencia, el intervalo de la región de aceptación será − 1.96 < 𝑍 < 1.96. Dado que el valor de la muestra es 𝑧 = −0.5, este valor cae dentro de la región de aceptación.

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Con un nivel de significancia de 𝛼 = 0.05, el valor de 𝑍 de la muestra no es significativo. Este enfoque, conocido como el método clásico o de Neyman-Pearson, en el que existe una preselección del nivel de significancia 𝛼 tiene sus raíces en la filosofía de que se debe controlar el riesgo máximo de cometer un Error Tipo I. Sin embargo, este enfoque no explica los valores del estadístico de prueba 𝑍 que estuvieran “muy cercanos” de los valores críticos.

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Suponga ahora que no se preselecciona un nivel de significancia. Ahora el nivel de significancia se cuantificará con base en el valor de la muestra. Esto es 𝑧 = −0.5. Por lo que se sabe de la hipótesis alternativa, la prueba es de dos colas por lo que el área de rechazo se encuentra en los extremos de la distribución normal.

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Por lo tanto, el área bajo la curva de los dos extremos será la región de rechazo total. Es decir, 𝛼 = 𝑃 𝑍 < −𝑧 + 𝑃 𝑍 > 𝑧 Puesto que 𝑃 𝑋? < 67.7 = 𝑃 𝑍 < −0.5 , y por la propiedad de simetría de la distribución normal, 𝑃 𝑋? > 68.3 = 𝑃 𝑍 > 0.5 , entonces 𝛼 = 𝑃 𝑍 < −0.5 + 𝑃 𝑍 > 0.5 = 2𝑃 𝑍 < −0.5 𝜶 = 𝟐 𝟎. 𝟑𝟎𝟖𝟓 = 𝟎. 𝟔𝟏𝟕 DR. IRVING BARRAGÁN VITE

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Así, 0.617 es la probabilidad de obtener una media muestral menor que 67.7 o mayor que 68.3 cuando, de hecho, 𝜇 = 10. Por lo tanto, 0.617 es la propoabilidad de cometer el Error Tipo I, la cual deberá ser evaluada por quien realiza la prueba. El cálculo de esta probabilidad se conoce como enfoque del valor 𝑷 o método de Fisher. La evaluación de la probabilidad obtenida puede ser subjetiva, por lo que en muchas ocasiones se selecciona, a posteriori, un nivel de significancia para tomar una decisión.

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Pruebas para una sola población

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PRUEBA DE HIPÓTESIS SOBRE LA MEDIA 𝝁 CON 𝝈 CONOCIDA La distribución muestral de 𝑋; se comporta de manera normal con media 𝜇 y varianza 𝜎 ” 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑃 = 𝑃 𝑍 > 𝑧 Caso 2. 𝑯𝟏 contiene el signo “ 𝑧

𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑃 = 2𝑃 𝑍 > 𝑧 = 2𝑃 𝑍 < −𝑧

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De regreso al ejemplo: El valor 𝑃 será la probabilidad de que 𝑋; < 921.18, es decir valor 𝑃 = 𝑃 𝑋; < 921.18 = 𝑃 𝑍 < −1.5 Note que el signo de la hipotesis alternativa determina el signo de la probabilidad que se calculará.

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valor 𝑃 = 𝑃 𝑋; < 921.18 = 𝑃 𝑍 < −1.5 = 0.0668 Puesto que 0.0668 es mayor que 0.05, Decisión: No rechazar 𝐻= Conclusión: No existe evidencia suficiente al nivel de significancia de 0.05 que demuestre que la resistencia a la rotura de los remaches sea menor que 925.

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Ejemplo 4 Un fabricante de equipo deportivo desarrolló un nuevo sedal para pesca sintético que, según afirma, tiene una resistencia media a la rotura de 8 kilogramos con una desviación estándar de 0.5 kilogramos. Pruebe la hipótesis de que 𝜇 = 8 kilogramos contra la alternativa de que 𝜇 ≠ 8 kilogramos si se prueba una muestra aleatoria de 50 sedales y se encuentra que tienen una resistencia media a la rotura de 7.8 kilogramos. Utilice un nivel de significancia de 0.01.

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Las hipótesis son:

𝐻=: 𝜇 = 8 𝐻;: 𝜇 ≠ 8

Con los datos de la muestra el valor del estadístico es 𝑥̅ − 𝜇 7.8 − 8 𝑧=𝜎 = = −2.83 0.5 U 𝑛 U 50 DR. IRVING BARRAGÁN VITE

75

Enfoque del valor 𝑃 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑃 = 2𝑃 𝑍 < −2.83 = 2 0.0023 = 0.0046 Puesto que 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑃 < 𝛼 (0.0046 < 0.01), Decisión: Rechazar 𝐻= Conclusión: Existe evidencia suficiente al nivel de significancia de 0.01 que demuestra que la resistencia a la rotura de los sedales es significativamente diferente de 8.

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Enfoque clásico Puesto que la prueba es de dos colas y 𝛼 = 0.01, se tiene que 𝑧 𝛼⁄2 = 𝑧 0.005 = −2.58 Entonces la región crítica se define por z < −2.58 y z > 2.58.

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77

𝑧 0.005 = −2. 58

𝑧=

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7.8 − 8 = −2.83 0.5P 50

78

Decisión: Rechazar 𝐻= Conclusión: Existe evidencia suficiente al nivel de significancia de 0.01 que demuestra que la resistencia a la rotura de los sedales es significativamente diferente de 8.

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Ejercicio 1 La resistencia a la presión interna de las botellas de cristal para envasar una bebida carbonatada es una característica importante de la calidad. La embotelladora desea saber si la resistencia a la presión excede 175 psi. Por la experiencia anterior, se sabe que la desviación estándar de la resistencia a la presión es de 10 psi.

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Se selecciona una muestra aleatoria de 25 botellas, las cuales se colocan en una máquina de prueba de presión hidrostática que incrementa la presión dentro de la botella hasta que estalla. La resistencia muestral promedio al estallamiento es 𝑥̅ = 182 psi. Para un nivel de significancia 𝛼 = 0.05 realice una prueba de hipótesis para la media de la resistencia a la presión.

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PRUEBA DE HIPÓTESIS SOBRE LA MEDIA 𝝁 CON 𝝈 DESCONOCIDA La distribución muestral de 𝑋; se comporta de manera casi normal con media 𝜇 y varianza 𝑠 𝑡 Por convenciencia se eligirá 2𝑃 𝑇 > 𝑡 . Por lo tanto, 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑃 = 2𝑃 𝑇 > 0.337 1 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑃 = 𝑃 𝑇 > 0.337 2

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0. 𝟑𝟑𝟕

𝟏 𝟎. 𝟑𝟎 < 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝑷 < 𝟎. 𝟒𝟎 𝟐

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Observe que los valores 0.30 y 0.40 son solamente la mitad del 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑃. Con estos valores la comparación tendrá que ser con S⁄< = 0.025 , que es la mitad del nivel de significancia total. Esto es, 0.30 > 0.025 o bien 0.40 > 0.025. Por otra parte, la comparación puede ser con 𝛼 = 0.05, pero usando el doble de los valores 0.30 y 0.40, es decir 0.60 > 0.05 o bien 0.80 > 0.05. DR. IRVING BARRAGÁN VITE

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Puesto que para cualesquiera de los limites del 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑃, éste es mayor que 𝛼 = 0.05, entonces Decisión: No rechazar 𝐻= Conclusión: No existe evidencia suficiente al nivel de significancia de 0.05 que demuestre que la resistencia media a la tensión de la fibra sea diferente de 50 psi.

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98

Enfoque clásico Puesto que la prueba es de dos colas, S⁄< = 0.025 y 𝑣 = 15 grados de libertad, se tiene que 𝑡S⁄ 2.131.

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99

𝑡=

𝑡 0.025,15 = 2. 131

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49.86 − 50 = −0.337 1.66P 16

100

Decisión: No rechazar 𝐻= Conclusión: No existe evidencia suficiente al nivel de significancia de 0.05 que demuestre que la resistencia media a la tensión de la fibra sea diferente de 50 psi.

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Ejercicio 2 En una conocida prueba de autoimagen que da por resultado calificaciones distribuidas normalmente, se espera que la calificación media de los beneficiarios de la asistencia pública sea 65. La prueba se aplica a una muestra aleatoria de 28 beneficiarios de la asistencia pública en el Condado de Emerson, quienes logran una calificación media de 62.1 y sus calificaciones tienen una desviación estándar de 5.83.

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102

Al nivel de significancia de 0.02, ¿los beneficiarios de la asistencia pública en el Condado de Emerson tienen calificaciones menores, en promedio, de lo que se esperaba?

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103

PRUEBA DE HIPÓTESIS SOBRE LA MEDIA 𝝁 CON 𝝈 DESCONOCIDA PARA MUESTRAS GRANDES (𝒏 ≥ 𝟑𝟎) La distribución muestral de 𝑋; se comporta de manera normal con media 𝜇 y varianza 𝑠 0.6

Puesto que la prueba es de una cola y 𝛼 = 0.01, se tiene que 𝑧 𝛼 = 𝑧 0.01 = 1.64

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Dado que 𝑛 ≥ 30, entonces 70 𝑝̂ = = 0.7 100 𝑧=

0.7 − 0.6 0.6 0.4 ⁄100

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= 2.04

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Enfoque del valor P 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑃 = 𝑃 𝑍 > 2.04 = 0.0207 Puesto que 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑃 < 𝛼, Decisión: Rechazar 𝐻= Conclusión: Existe evidencia suficiente al nivel de significancia de 0.05 que demuestra que el nuevo medicamento es superior.

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Ejercicio 4 Un fabricante de bombas sumergibles afirma que cuando mucho 30% de las bombas requieren reparaciones durante los primeros 5 años de operación. Si una muestra aleatoria de 120 de dichas bombas incluye 47 que requieren reparaciones dentro de los primeros 5 años, pruebe la hipótesis nula 𝑝 = 0.30 contra la hipótesis alternativa 𝑝 > 0.30, con un nivel de significancia de 0.05.

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Referencias Walpole, R. E., Myers, R. H., Myers, S. L. y Ye, K. Probabilidad y Estadística para ingeniería y ciencias. Novena Edición, Pearson. México, 2012. Johnson, R. A. Probabilidad y Estadística para ingenieros. Octava Edición, Pearson. México, 2012.

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