Material escrito 8 (coordenadas polares)

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Equipe de GAAV do CEFET-MG  02/2020

Versão de 24 de fevereiro de 2021

Sistema de coordenadas polares O sistema de coordenadas polares é um sistema de coordenadas utilizado para descrever os pontos do plano. Nele, o ponto xo do plano que coincide com a origem do plano cartesiano é chamado de polo do plano polar, e também denotado por O. Tomamos a semirreta horizontal do plano com ponto inicial no polo que coincide com o semieixo positivo de x (chamada de eixo polar) e utilizamos a mesma unidade de medida do sistema cartesiano tradicional xy .

Em coordenadas polares, um ponto P do plano pode ser descrito por um par ordenado de números reais (r, θ). A coordenada r representa a distância do ponto P ao polo, ou seja, −→ r = d(P, O) = kOP k. Observe que o ponto P se encontra sobre a circunferência de raio r centrada na origem (uma vez que sua distância até a origem é r). A coordenada θ corresponde −→ a um ângulo em radianos pelo qual se rotacionarmos o vetor OA em torno da origem (onde A é o −→ ponto sobre o eixo polar que dista r unidades da origem) obteremos o vetor OP . A coordenada θ é positiva se essa rotação ocorrer no sentido anti-horário e negativa se essa rotação ocorrer no sentido horário.

Exemplo 1.

dadas.

Em cada caso, desenhe no plano polar o ponto cujas coordenadas polares são

(a) P = (2, 3π).

  2π . (b) P = 5, 3



(c) P = 3, −

π . 6

  25π . (d) P = 4, 4

Resolução:

(a) O ponto P é o ponto que dista 2 unidades da origem e que corresponde ao ponto nal −→ −→ do representante do vetor OP obtido ao rotacionar o vetor OA (onde A é o ponto sobre o eixo polar que dista 2 unidades da origem) por um ângulo de 3π radianos no sentido anti-horário.

Autora principal: Déborah da Paixão Vasconcellos

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(b) O ponto P é o ponto que dista 5 unidades da origem e que corresponde ao ponto nal −→ −→ do representante do vetor OP obtido ao rotacionar o vetor OA (onde A é o ponto sobre 2π

o eixo polar que dista 5 unidades da origem) por um ângulo de radianos no sentido 3 anti-horário.

(c) O ponto P é o ponto que dista 3 unidades da origem e que corresponde ao ponto nal do −→ −→ representante do vetor OP obtido ao rotacionar o vetor OA (onde A é o ponto sobre o eixo π polar que dista 3 unidades da origem) por um ângulo de radianos no sentido horário. 6

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(d) O ponto P é o ponto que dista 4 unidades da origem e que corresponde ao ponto nal do −→ −→ representante do vetor OP obtido ao rotacionar o vetor OA (onde A é o ponto sobre o eixo 25π

π

polar que dista 4 unidades da origem) por um ângulo de = 6π + radianos no sentido 4 4 anti-horário.

É interessante estender o sinal da coordenada r também para os negativos para que todo par ordenado de números reais esteja associado à algum ponto do plano. Para tanto, denimos o ponto de coordenadas (−r, θ) como sendo o mesmo ponto correspondente ao par ordenado (r, θ + π) se r > 0. Ou seja, o ponto (−r, θ) é o ponto sobre a circunferência de raio r diametralmente oposto ao ponto (r, θ).

Exemplo 2.

dadas.

Em cada caso, desenhe no plano polar o ponto cujas coordenadas polares são

(a) P = (−2, π).



(b) P = −1,

π . 2



(c) P = −3,

π . 4



(d) P = −5, −

π . 6

Resolução:

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(a) Como P = (2, π + π) = (2, 2π), então o ponto P é o ponto que dista 2 unidades da origem −→ e que corresponde ao ponto nal do representante do vetor OP obtido ao rotacionar o vetor −→ OA (onde A é o ponto sobre o eixo polar que dista 2 unidades da origem) por um ângulo de 2π radianos no sentido anti-horário.

   π  3π (b) Como P = 1, + π = 1, , então o ponto P é o ponto que dista 1 unidades da 2 2 −→ origem e que corresponde ao ponto nal do representante do vetor OP obtido ao rotacionar −→ o vetor OA (onde A é o ponto sobre o eixo polar que dista 1 unidades da origem) por um 3π radianos no sentido anti-horário. ângulo de 2

   5π π (c) Como P = 3, − + π = 3, − , então o ponto P é o ponto que dista 3 unidades da 4 4 −→ origem e que corresponde ao ponto nal do representante do vetor OP obtido ao rotacionar −→ o vetor OA (onde A é o ponto sobre o eixo polar que dista 3 unidades da origem) por um π ângulo de radianos no sentido horário. 4

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  5π 5, , então o ponto P é o ponto que dista 5 unidades da 6 −→ origem e que corresponde ao ponto nal do representante do vetor OP obtido ao rotacionar −→ o vetor OA (onde A é o ponto sobre o eixo polar que dista 5 unidades da origem) por um 5π ângulo de radianos no sentido anti-horário. 6

 π (d) Como P = 5, − + π = 6 

Podemos pensar nas coordenadas polares (r, θ) de um ponto do plano da seguinte forma: imagine que você está no polo do sistema de coordenadas polares olhando para o eixo polar. .

.

O ângulo θ representa o quanto temos que girar para chegarmos até o ponto desejado. Se θ é positivo giramos no sentido anti-horário (ou seja, para a esquerda), se θ é negativo giramos no sentido horário (ou seja, para a direita) e se θ = 0 não giramos nada. A coordenada r representa o quanto temos que andar para frente ou para trás para chegar até o ponto após termos rotacionado pelo ângulo θ. Se r é positivo andamos para frente, se r é negativo andamos para trás e se r = 0 não andamos nada e, portanto, não saímos do polo.

Observe que temos várias formas de chegarmos até um ponto P do plano utilizando este raciocício. Por exemplo, se P = (r, θ), onde r > 0, então para atingirmos o ponto P podemos: .

.

.

.

.

Girar o corpo de um ângulo θ e andar r unidades para frente. Nesse caso, obtemos as coordenadas P = (r, θ). Girar o corpo de um ângulo θ + π e andar r unidades para trás. Nesse caso, obtemos as coordenadas P = (−r, θ + π). Girar o corpo de um ângulo θ − 2π e andar r unidades para frente. Nesse caso, obtemos as coordenadas (r, θ − 2π). Girar o corpo de um ângulo θ + 4π e andar r unidades para frente. Nesse caso, obtemos as coordenadas (r, θ + 4π). Girar o corpo de um ângulo θ − π e andar r unidades para trás. Nesse caso, obtemos as coordenadas (−r, θ − π).

e assim por diante. Concluímos assim que o mesmo ponto pode ser representado de diferentes formas em coordenadas polares como (r, θ), (−r, θ + π), (r, θ − 2π), (r, θ + 4π), (−r, θ − π), etc. Autora principal: Déborah da Paixão Vasconcellos

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Exemplo 3.

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π O ponto de coordenadas polares P = 2, também pode ser escrito em coorde6 

nadas polares como

  7π −2, ; 6   π   11π P = 2, − 2π = 2, − ; 6 6  π   25π  P = 2, + 4π = 2, ; 6 6     5π π . P = −2, − π = −2, − 6 6

 π P = −2, + π = 6 

.

.

.

.

Algumas propriedades importantes envolvendo coordenadas polares são: (1) (r, θ) = (r, θ + 2nπ) para todo n ∈ Z. De fato, se rotacionarmos θ ou θ + 2nπ a partir do sentido do eixo polar, nós vamos parar exatamente na mesma direção e no mesmo sentido: a diferença será você ter dado mais ou menos voltas para chegar nessa posição e ter rotacionado no sentido horário ou anti-horário para chegar nessa posição. Observe que, com isso, podemos concluir que um ponto do plano tem innitos pares ordenados de coordenadas polares correspondentes à ele. Autora principal: Déborah da Paixão Vasconcellos

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(2) Os pares ordenados (0, θ) correspondem ao polo do sistema coordenado para todo θ ∈ R. De fato, como a distância do ponto (0, θ) para o polo é zero (pois r = 0), então esse ponto é o próprio polo. (3) Os pares ordenados (r, nπ) representam pontos sobre o eixo x para todo n ∈ Z.

Mudando de coordenadas polares para coordenadas cartesianas Considere a gura abaixo na qual representamos o sistema de coordenadas cartesianas e o sistema de coordenadas polares no mesmo desenho.

x Pelo triângulo retângulo da gura, observamos que se r 6= 0, então cos θ = ⇒ x = r cos θ r y e sen θ = ⇒ y = r sen θ. Além disso, se r = 0, então o ponto P corresponde à origem do r sistema coordenado e, portanto, x = 0 = 0 · cosθ = r cos θ e y = 0 = 0 · sen θ = r sen θ. Logo, as coordenadas cartesianas (x, y) de um ponto P podem ser escritas em termos das coordenadas polares (r, θ) de P como x = r cos θ e y = r sen θ . Com essas fórmulas conseguimos encontrar as coordenadas cartesianas de um ponto qualquer quando as suas coordenadas polares são conhecidas.

Em cada caso, determine as coordenadas cartesianas do ponto P cujas coordenadas polares são dadas.

Exemplo 4.



(a) P = 4,

π . 6

(d) P = (−2, π).

  35π (b) P = 0, . 4

(c) P = (−3, 0).

π . 2   3π . (f) P = 1, 2 

(e) P = 2,

π . 6  π (h) P = −2, − . 3   √ 3π . (i) P = 2 2, − 4 

(g) P = −7,

Resolução:

π π temos r = 4 e θ = . Logo, as coordenadas cartesianas de P são 6 6 √ √ π 3 π 1 x = r cos θ = 4 cos = 4 · = 2 3 e y = r sen θ = 4 sen = 4 · = 2. Ou seja, 6 2 6 2 √ P = (2 3, 2) em coordenadas cartesianas. 

(a) No ponto P = 4,

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(b) No ponto P =



35π 0, 4



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temos r = 0 e, portanto, esse ponto corresponde à origem. Ou

seja, P = (0, 0) em coordenadas cartesianas. (c) No ponto P = (−3, 0) temos r = −3 e θ = 0. Logo, as coordenadas cartesianas de P são x = r cos θ = −3 cos 0 = −3 · 1 = −3 e y = r sen θ = −3 sen 0 = −3 · 0 = 0. Ou seja, P = (−3, 0) em coordenadas cartesianas. (d) No ponto P = (−2, π) temos r = −2 e θ = π . Logo, as coordenadas cartesianas de P são x = r cos θ = −2 cos π = −2 · (−1) = 2 e y = r sen θ = −2 sen π = −2 · 0 = 0. Ou seja, P = (2, 0) em coordenadas cartesianas. π π temos r = 2 e θ = . Logo, as coordenadas cartesianas de P são (e) No ponto P = 2, 2 2 π π x = r cos θ = 2 cos = 2 · 0 = 0 e y = r sen θ = 2 sen = 2 · 1 = 2. Ou seja, P = (0, 2) 2 2 

em coordenadas cartesianas. 

 3π 3π (f) No ponto P = 1, temos r = 1 e θ = . Logo, as coordenadas cartesianas de P são 2 2 3π 3π x = r cos θ = 1 cos = 1 · 0 = 0 e y = r sen θ = 1 sen = 1 · (−1) = −1. Ou seja, 2 2 P = (0, −1) em coordenadas cartesianas.  π π (g) No ponto P = −7, temos r = −7 e θ = . Logo, as coordenadas cartesianas de P são 6 √ √ 6 3 π 7 3 π 1 7 x = r cos θ = −7 cos = −7 · =− e y = r sen θ = −7 sen = −7 · = − . Ou 2 2 6 2 2 √ 6 ! 7 3 7 ,− em coordenadas cartesianas. seja, P = − 2 2 π π (h) No ponto P = −2, − temos r = −2 e θ = − . Logo, as coordenadas cartesianas de 3 3  π  π 1 = −2 · = −1 e y = r sen θ = −2 sen − = P são x = r cos θ = −2 cos − 3 2 3 √ !  √ √  3 −2 · − = 3. Ou seja, P = −1, 3 em coordenadas cartesianas. 2 

  √ √ 3π 3π temos r = 2 2 e θ = − . Logo, as coordenadas cartesi(i) No ponto P = 2 2, − 4 4 √ !   √ √ 3π 2 anas de P são x = r cos θ = 2 2 cos − = 2 2· − = −2 e y = r sen θ = 4 2 √ !   √ √ 3π 2 2 2 sen − = 2 2· − = −2. Ou seja, P = (−2, −2) em coordenadas carte4 2

sianas.

Mudando de coordenadas cartesianas para coordenadas polares Vamos aprender a encontrar coordenadas polares (r, θ) para um ponto quando suas coordep 2 nadas cartesianas são dadas por P = (x, y). Podemos tomar r = d(P, O) = x + y 2 . .

Se P = (0, 0), então estamos na origem do plano cartesiano e, portanto, r = 0. Podemos tomar qualquer ângulo θ neste caso para compôr as coordenadas polares de P .

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.

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x Se P 6= (0, 0), então r 6= 0. Nesse caso, como x = r cos θ ⇒ cos θ = e y = r sen θ ⇒ r y sen θ = , então podemos utilizar o cosseno e o seno para determinar um ângulo θ r referente ao ponto P .

Em cada caso, determine coordenadas polares para o ponto P cujas coordenadas cartesianas são dadas.

Exemplo 5.

(a) P = (1, −1). (b) P = (0, 2).



 4 (c) P = −4, − √ . 3  √  (d) P = 5, 5 3 .



√ 

(e) P = −3, 27 . (f) P = (−7, 0).

Resolução: 2 2 (a) p No ponto P = (1, √ −1) temos x = 1 e y = −1. Logo, podemos tomar r = x + y = 12 + (−1)2 = 2 e podemos tomar um ângulo θ que satisfaça simultaneamente as relações

p

1 y 1 π x = √ e sen θ = = − √ . Como o ângulo θ = − satisfaz essas relações, r r 4 2 2 √ π então uma representação polar para o ponto P seria P = 2, − . 4 p x2 + y 2 = No ponto P = (0, 2) temos x = 0 e y = 2 . Logo, podemos tomar r = √ 02 + 22 = 2 e podemos tomar um ângulo θ que satisfaça simultaneamente as relações x 0 y 2 π cos θ = = = 0 e sen θ = = = 1. Como o ângulo θ = satisfaz essas relações, r 2 r 2  π 2 então uma representação polar para o ponto P seria P = 2, . 2   4 4 No ponto P = −4, − √ temos x = −4 e y = − √ . Logo, podemos tomar r = 3 3 s r r   2 p 8 4 16 64 = = √ e podemos tomar um ângulo x2 + y 2 = (−4)2 + − √ = 16 + 3 3 3 3 √ √ 4 x 3 3 = − √ = −4 · = − e θ que satisfaça simultaneamente as relações cos θ = r 8 2 8/ 3 √ √ y 3 4/ 3 4 1 7π sen θ = = − √ = − √ · = − . Como o ângulo θ = satisfaz essas relações, r 2 6  8/ 3 3 8  8 7π então uma representação polar para o ponto P seria P = √ , . 3 6  √  p √ No ponto P = 5, 5 3 temos x = 5 e y = 5 3. Logo, podemos tomar r = x2 + y 2 = q √ √ 52 + (5 3)2 = 100 = 10 e podemos tomar um ângulo θ que satisfaça simultaneamente √ √ x 5 1 y 5 3 3 π as relações cos θ = = = e sen θ = = = . Como o ângulo θ = satisfaz r 10 2 r 10 2 3  π essas relações, então uma representação polar para o ponto P seria P = 10, . 3  p √  √ No ponto P = −3, 27 temos x = −3 e y = 27. Logo, podemos tomar r = x2 + y 2 = q √ 2 √ (−3)2 + 27 = 36 = 6 e podemos tomar um ângulo θ que satisfaça simultaneamente √ √ √ x 3 1 y 27 3 3 3 as relações cos θ = = − = − e sen θ = = = = . Como o r 6 2 r 6 6 2 cos θ =

(b)

(c)

(d)

(e)

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ângulo θ =

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2π satisfaz essas relações, então uma representação polar para o ponto P seria 3

 2π P = 6, . 3

2 2 (f) No p ponto P = (−7, 0) temos x = −7 e y = 0. Logo, podemos tomar r = x + y = (−7)2 + 02 = 7 e podemos tomar um ângulo θ que satisfaça simultaneamente as relações

p

x 7 y 0 = − = −1 e sen θ = = = 0. Como o ângulo θ = π satisfaz essas relações, r 7 r 7 então uma representação polar para o ponto P seria P = (7, π). cos θ =

Curvas em coordenadas polares Chamamos uma equação envolvendo coordenadas polares de equação polar e ela pode ser representada gracamente pelo conjunto de todos os pontos P do plano que possuem pelo menos uma representão polar (r, θ) satisfazendo a equação (como todo ponto do plano possui innitas representações polares, então pode ser que nem todas suas representações satisfaçam a equação e por isso exigimos que haja pelo menos uma dessas representações satisfazendo a equação dada). Exemplo 6. Determine e desenhe a curva descrita pela equação polar dada, onde k é uma constante real.

(a) r = k, k 6= 0.

(b) r = 0.

(c) θ = k .

Resolução:

(a) Os pontos que possuem alguma representação polar na qual r = k são os pontos que distam exatamente |k| unidades da origem. Portanto, se k 6= 0 esse pontos são os pontos pertencentes à circunferência de raio |k| centrada na origem. Por exemplo, a equação r = 3 representa a circunferência de raio 3 centrada na origem, a equação r = −7 representa a 1 circunferência de raio 7 centrada na origem, a equação r = √ representa a circunferência 1 de raio √ centrada na origem, etc. 3

3

(b) Os pontos que possuem alguma representação polar na qual r = 0 são os pontos que distam exatamente 0 unidades da origem. Como o único ponto que satisfaz isso é o próprio polo, então essa equação representa um único ponto que é o polo do plano polar. (c) Os pontos que possuem alguma representação polar na qual θ = k são os pontos que estão sobre a reta obtida ao rotacionar a reta y = 0 (que corresponde ao eixo x) pelo ângulo k em torno da origem. Logo, a equação θ = k representa uma reta do plano. Por exemplo, π π a equação θ = representa a reta obtida ao rotacionar a reta y = 0 pelo ângulo de 2

2 2π radianos no sentido anti-horário ao redor da origem, a equação θ = representa a reta 3 2π obtida ao rotacionar a reta y = 0 pelo ângulo de radianos no sentido anti-horário ao 3 π redor da origem, a equação θ = − representa a reta obtida ao rotacionar a reta y = 0 4 π pelo ângulo de radianos no sentido horário ao redor da origem, etc. 4

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Observação 1.

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Como cos2 θ + sen 2 θ = 1, então

x2 + y 2 = (r cos θ)2 + (r sen θ)2 = r2 cos2 θ + r2 sen 2 θ = r2 (cos2 θ + sen 2 θ) = r2 · 1 = r2 .

Concluímos assim que r2 = x2 + y 2 . Essa fórmula nos ajuda a fazer algumas transições entre coordenadas cartesianas e coordenadas polares de forma mais rápida. Exemplo 7.

dada.

Em cada caso, determine uma equação polar correspondente à equação cartesiana

1 3

(a) y = √ x.

(b) y = −x.

(d) x2 − y 2 = 13y .

(c) x2 + y 2 = 9.

(e) y = x2 .

Resolução:

1 3

(a) Observe que a equação y = √ x representa uma reta passando pela origem do sistema cartesiano. Logo, sua equação polar será da forma θ = k , onde k é o ângulo entre essa reta e o eixo polar. Como o coecinte angular da reta é a tangente do seu ângulo com o eixo 1 π 1 positivo x, então tan k = √ e, portanto, k = . Logo, a equação polar da reta y = √ x 6 3 3 π é θ = . Observe que também podemos representar essa mesma reta pelas equações polares 6 π 5π 7π θ = + nπ , onde n ∈ Z. Por exemplo, poderíamos utilizar as equações θ = − , θ = , 6 6 6

etc.

(b) Observe que a equação y = −x representa uma reta passando pela origem do sistema cartesiano. Logo, sua equação polar será da forma θ = k , onde k é o ângulo entre essa reta e o eixo polar. Como o coecinte angular da reta é a tangente do seu ângulo com o eixo 3π positivo x, então tan k = −1 e, portanto, k = . Logo, a equação polar da reta y = −x é 4 3π θ= . Observe que também podemos representar essa mesma reta pelas equações polares 4 3π π 7π θ= + nπ , onde n ∈ Z. Por exemplo, poderíamos utilizar as equações θ = − , θ = , 4 4 4

etc.

(c) Observe que a equação x2 + y 2 = 9 representa uma circunferência de raio 3 centrada na origem do sistema cartesiano. Logo, uma equação polar para essa curva é r = 3. Também podemos representar essa mesma circunferência pela equação r = −3. (d) Utilizando que x = r cos θ e y = r sen θ, temos que x2 − y 2 = 13y ⇒ (r cos θ)2 − (r sen θ)2 = 13r sen θ ⇒ r2 cos2 θ − r2 sen 2 θ = 13r sen θ ⇒ r2 (cos2 θ − sen 2 θ) = 13r sen θ ⇒ r2 cos(2θ) = 13r sen θ 1 ⇒ r cos(2θ) = 13 sen θ ⇒ r = 13 sen θ · ⇒ r = 13 sen θ sec(2θ) . cos(2θ)

(e) Utilizando que x = r cos θ e y = r sen θ, temos que y = x2 ⇒ r sen θ = (r cos θ)2 ⇒ r sen θ = r2 cos2 θ ⇒ sen θ = r cos2 θ senθ sen θ 1 ⇒r= = · ⇒ r = tan θ sec θ . 2 cos θ cos θ cos θ Autora principal: Déborah da Paixão Vasconcellos

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Em cada caso, determine a equação cartesiana correspondente à equação polar dada e determine a curva descrita pela equação. Exemplo 8.

(a) r =

9 . 5 − 4 sen θ

(b) cosθ = sen θ.

(d) r2 (4 cos2 θ −9 sen 2 θ) = 1.

(c) cos2 θ = sen 2 θ.

(e) r = 4 cos θ

Resolução:

(a) Multiplicando os dois lados da equação r =

9 por 5 − 4 sen θ, obtemos 5 − 4 sen θ

r(5 − 4 sen θ) = 9 ⇒ 5r − 4r sen θ = 9.

Como y = r sen θ, então essa equação pode ser escrita como 5r − 4y = 9 ⇒ 5r = 9 + 4y . Elevando os dois lados dessa equação ao quadrado e usando que r2 = x2 + y 2 , obtemos (5r)2 = (9 + 4y)2 ⇒ 25r2 = 81 + 72y + 16y 2 ⇒ 25x2 + 25y 2 = 81 + 72y + 16y 2 ⇒ 25x2 + 9y 2 − 72y = 81 ⇒ 25x2 + 9(y 2 − 8y) = 81
⇒ 25x2 + 9 (y − 4)2 − 16 = 81 ⇒ 25x2 + 9(y − 4)2 − 144 = 81 ⇒ 25x2 + 9(y − 4)2 = 225 ⇒

x2 (y − 4)2 + =1 9 25

Logo, essa equação representa a elipse de semieixo maior 5, semieixo menor 3, centrada no ponto (0, 4) e com semieixo maior paralelo ao eixo y . (b) Como cos θ =

y x e sen θ = se r 6= 0, então r r

x y = ⇒ x=y. r r  π Por outro lado, como o ponto de coordenadas polares 0, (que corresponde à origem) 4 satisfaz a equação cos θ = sen θ, então a origem também faz parte dessa curva. Como a origem era o único ponto da reta y = x que faltava, então a curva correspondente à essa equação é a reta y = x. cos θ = sen θ ⇒

(c) Como cos θ =

y x e sen θ = se r 6= 0, então r r

x2 y2 = ⇒ y 2 = x2 ⇒ y = ±x . r2 r2  π Por outro lado, como o ponto de coordenadas polares 0, (que corresponde à origem) 4 satisfaz a equação cos2 θ = sen 2 θ, então a origem também faz parte dessa curva. Como a origem é o ponto de interseção das retas y = x e y = −x (e era o único ponto das duas retas que faltava), então a curva correspondente à essa equação é o par de retas y = x e y = −x. cos2 θ = sen 2 θ ⇒

x y e sen θ = se r 6= 0, então r r  2  x y2 x2 y2 2 2 2 2 r (4cos θ − 9 sen θ) = 1 ⇒ r 4 2 − 9 2 = 1 ⇒ 4x2 − 9y 2 = 1 ⇒ − =1. r r 1/4 1/9

(d) Como cos θ =

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Por outro lado, como os pontos no qual r = 0 não satisfazem a equação (pois teríamos r2 (4 cos2 θ − 9 sen 2 θ) = 1 ⇒ 0(4 cos2 θ − 9 sen 2 θ) = 1 ⇒ 0 = 1, o que é impossível), então a origem não faz parte dessa curva. à essa equação é a  acurva correspondente   Logo, hipérbole com focos no eixo x, vértices e centrada na origem. (e) Como cos θ =

1 ,0 2

e

1 1/3 2 − , 0 , assíntotas y = ± x=± x 2 1/2 3

x se r 6= 0, então r x ⇒ r2 = 4x ⇒ x2 + y 2 = 4x ⇒ x2 − 4x + y 2 = 0 r ⇒ (x − 2)2 − 4 + y 2 = 0 ⇒ (x − 2)2 + y 2 = 4 .

r = 4 cos θ ⇒ r = 4

π satisfaz a equação, pois 0 = Por outro lado, como o ponto de coordenadas polares 0, 2 π cos , então a origem faz parte dessa curva. Como a origem faz parte da circunferência de 2 raio 2 centrada no ponto (2, 0) (e era o único ponto da circunferência que faltava), então a curva correspondente à equação dada é a circunferência de raio 2 centrada no ponto (2, 0). 

Representando gracamente conjuntos em coordenadas polares Esboce a região do plano composta de todos os pontos pertencentes ao conjunto cujas condições nas coordenadas polares r e θ são dadas. Exemplo 9.

(a) (r, θ) ∈ R2 | r ≥ 2 . 



Observe que para um ponto pertencer à esse conjunto é necessário que sua distância até a origem seja maior ou igual a 2. Logo, esse conjunto é composto de todos os pontos da circunferência de raio 2 centrada na origem (que são os pontos onde r = 2) e todos os pontos fora do disco de raio 2 centrado na origem (que são os pontos em que r > 2).

(b) (r, θ) ∈ R2 | 0 ≤ r < 7 . 



Observe que para um ponto pertencer à esse conjunto é necessário que sua distância até a origem seja menor do que 7. Logo, esse conjunto é composto de todos os pontos do disco de raio 2 centrado na origem. Como queremos a desigualdade estrita r < 7, então os pontos da circunferência de raio 7 centrada na origem não fazem parte do conjunto (apenas a região do plano cercada por essa circunferência). Autora principal: Déborah da Paixão Vasconcellos

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(c)

Versão de 24 de fevereiro de 2021

n πo π ≤θ≤ . (r, θ) ∈ R2 | 2 ≤ r ≤ 3, 6 3

Os pontos desse conjunto são os pontos que estão entre as circunferências r = 2 e r = 3 π e que estão entre as semirretas obtidas ao rotacionar o eixo polar por um ângulo de

6 π radianos e de radianos no sentido anti-horário. Nós tomamos apenas essas semirretas, 3 pois como os valores de r dos pontos desse conjunto são positivos, a coordenada θ desses −→ pontos é o ângulo obtido ao rotacionar o vetor OA (onde A é o ponto sobre o eixo polar que dista r unidades da origem) pelo ângulo θ ao redor da origem.

(d)



 π 7π (r, θ) ∈ R | 1 ≤ r ≤ 5, − ≤ θ ≤ . 4 6 2

Os pontos desse conjunto são os pontos que estão entre as circunferências r = 1 e r = 5 e que estão entre os segmentos de reta obtidos ao rotacionar o eixo polar por um ângulo de π 7π radianos no sentido horário e de radianos no sentido anti-horário. 4

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Equipe de GAAV do CEFET-MG  02/2020

Versão de 24 de fevereiro de 2021

(e) (r, θ) ∈ R2 | 3 ≤ r ≤ 4, 0 ≤ θ ≤ 2π . 



Os pontos desse conjunto são os pontos que estão entre as circunferências r = 3 e r = 4 (incluindo os pontos dessas circunferências), pois quando θ varia de 0 até 2π todos os pontos dessa região são contemplados (uma vez que 2π representa uma volta completa em torno da origem). Podemos pensar nessa região como sendo a região preenchida ao arrastar o segmento de reta que liga os pontos (3, 0) e (4, 0) ao redor da origem.

(f)



 π 3π (r, θ) ∈ R | 0 ≤ r ≤ 1, ≤θ≤ . 4 4 2

Os pontos desse conjunto são os pontos que estão dentro da circunferência r = 1 (incluindo os pontos da circunferência) e que estão entre os segmentos de reta obtidos ao rotacionar o eixo polar por um ângulo de

π 3π radianos e de radianos no sentido anti-horário. 4 4

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