Ejercicio de sucesiones y series con resultados

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Universidad Nacional de Salta Facultad de Ciencias Económicas

Matemática III- 2018 SRT-C.P.N. EJERCICIOS

Tema: SUCESIONES Y SERIES Los ejercicios con respuesta tienen como finalidad que practiquen y verifiquen.

Ejercicio 1- Escriba los cuatro primeros términos de las siguientes sucesiones y decida si son convergentes o divergentes:

14 11 5 8  3n  2   a1  ; a2  ; a3  ; a4  5 4 2 3  n 1 

a)  an   

lim an  3  la sucesión es convergente

n 

b)

   an    n  3! a3  1 ; 2  n  1! 

1 1 1 a 4  ; a5  ; a 6  12 20 6

lim an  0  la sucesión es convergente

n 

c)

 an     ln  n 

n 1 



a2   ln 2 ; a3 

 ln 3 2

; a4 

 ln 4 3

; a5 

 ln 5 2

lim an  0  la sucesión es convergente

n 

 n ! 3n  27 81 3 d)  an     a1  ; a2  3 ; a3  ; a4  4 5 2  n  1!  lim an    la sucesión es divergente

n 

1

1

1

1

1   e)  an    2n 2 n  a1  2 2 ; a2  4 4 ; a3  6 6 ; a4  8 8  

lim an 1  la sucesión es convergente

n 

f) a)

 n2  a  e ; a2  4e 2 ; a3  9e 3 ; a4 16e 4 n  1 e  

 an   

lim an    la sucesión es divergente

n 

Ejercicio 2 Determine el término general decida si son convergentes. a)

1 1 1 1 1 , , , , ... 2 3 4 3 6 3 83 10 3

1 2

an 1 3

para cada una de las sucesiones y

1 4

b) sen1, sen , sen , sen ,...

c)

1 2 3 4  3  4  5  ... 2 2 2 2 2

RESPUESTAS

1

Prof. Betina Abad

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Matemática III- 2018 SRT-C.P.N.



1  3  2n  

a)  an   

lim an  0  la sucesión es convergente

n 



 1   n 

b)  an   sen 



lim an  0  la sucesión es convergente

n 

 n  n 1   2 

c)  an   

lim an  0  la sucesión es convergente

n 

Ejercicio 3: Aplique el Criterio General de la Divergencia para decidir si las siguientes Series son divergentes 

a)

n 3n

 n 1

RTA: lim an  0  No se puede asegurar la convergencia o divergencia de la serie. n 



b)

 n 1

n n 1

RTA lim an  1  0  La serie es divergente. n 



c)

 n 2

 1 1    n

RTA lim an  n 

n

1  0  La serie es divergente. e

Ejercicio 4: Indique si las siguientes series geométricas convergen o divergen. Si alguna converge determine su suma. 

a)



2 n 16 razón r  2 ; a  6 . Como r  1 la serie diverge.

n 1

b)



n 1



n 1

2    n 1  3 

3 c)    n 1  4  

d)

e

n

razón r 

2 ; a  1 . Como r  1 la serie converge y su suma es S  3 . 3

razón r 

9 3 9 ; a  . Como r  1 la serie converge y su suma es S  . 4 4 16

razón r  e ; a  e . Como r  1 la serie diverge.

n 1

2

Prof. Betina Abad

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1

  3

e)

n 0



1

3 n 0 

n

1

2 n 0

n

n



1   2n 

razón r 

1 3 ; a  1 . Como r  1 la serie converge y su suma es S1  . 3 2

razón r 

1 ; a  1 . Como r  1 la serie converge y su suma es S 2  2 2 

Por propiedad de serie

1

  3 n 0



f)



Matemática III- 2018 SRT-C.P.N.

 1n1 razón 5

n 1

n 1

r

n

7 1  es convergente y su suma es S1  S 2  n  2 2 



1 5 ; a  1 . Como r  1 la serie converge y su suma es S  . 5 6

Ejercicio 5: Enuncie y utilice el Criterio de Comparación para determinar la convergencia de las siguientes series de términos positivos. 

1 divergente. n3



a)

n4



Comparo con

 n4

1 n



b)

c)

1



2n

n 1

3

convergente.

1



 n 1

n2  5

3

n 1



Comparo con



1 n

3 2

divergente. 

Comparo con

 n 1

1 n

2 3

ii) Enuncie y utilice el Criterio de Comparación de Límites para determinar la convergencia de las siguientes series de términos positivos. a) 

 n 1

n divergente. n  2n  3 2



Comparo con

 n 1

1 n

2n  1 n2



b)

3n  1 convergente. n3  4



 n 1



Comparo con

 n 1

1 n2

c)

 n 1

convergente. Comparo 

con

 n 1

1 n

3 2

Ejercicio 6: Enuncie los Criterios de D´Alambert, Raabe, Raíz de Cauchy o el de la Integral de Cauchy. Determine la convergencia o divergencia de cada serie de términos positivos. Indique el criterio utilizado. 

a)

 n 1

5n  3 2 n n  1!



b)

 n 0

3n 1 n2 1



c)

 n 1

nn 2n !

Criterio de D’Alambert

Criterio de D’Alambert

Criterio de D’Alambert

Convergente

Divergente

Convergente



d)

 n 1

 n 1    n 

n2



e)

 n 1

 n     1  8n 

n/3



f)

 n 1

1 5 n3

Criterio de la raíz de 3

Prof. Betina Abad

Universidad Nacional de Salta Facultad de Ciencias Económicas Criterio de la raíz de Cauchy

Matemática III- 2018 SRT-C.P.N.

Cauchy

Criterio de Raabe

Convergente

Convergente

Divergente 

g)

 n 1



3n n  2n

h)

 n 1

Criterio de D’Alambert Divergente



n e

i)

n2

 n 2

1 n ln n

Criterio de la Integral de Cauchy

Criterio de la Integral de Cauchy

Convergente

Divergente

Ejercicio 7: Determine su convergencia con el criterio de Leibniz. Si son convergentes determine si son Absolutamente o Condicionalmente Convergente. 

a)

  1

n 1

n 1

2 3n  1



b)

n

n2

la S.T.A es condicionalmente convergente. 

  1

1 n3 1

la S.T.A es absolutamente convergente. 

2n c)   1 n n 1

d)

la S.T.A es divergente.

la S.T.A es absolutamente convergente.

n

  1

n 1

n 1

3 n 1 2

Ejercicio 8: Determine el Radio e Intervalo de Convergencia de las siguientes Series de Potencias: 



a)

n n 1

x

n

2

1

b)

Radio=

Intervalo de convergencia

 1,1

n 1



e)



xn 2n  !

Intervalo de convergencia

 ,

x  2n

n2

n 1   1

Radio= 

 1 1  2 , 2    n



c)

n 1

1 2

Intervalo de convergencia



 n  1! x

n

n 1

Radio=1

d)

n

n 2   1 2 x n

n 1

 1n x  3  n n  1 n2 

f)

n

Radio= 0

Radio= 1

Radio= 1

La serie converge sólo en x=0

Intervalo de convergencia

Intervalo de convergencia

1,3

2,4

4

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