Ecuaciones Diferenciales de Bernoulli

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Ecuaciones Diferenciales Las ecuaciones diferenciales de Bernoulli son aquellas de la forma, o que, mediante manipulaciones algebraicas pertinentes, pueden llevarse a escribir como: 𝑑𝑦

(π‘₯ )𝑦 = 𝑄 (π‘₯ )𝑦 𝑛 , 𝑛 πœ– ℝ (1) + 𝑝 𝑑π‘₯

Es de notar que si n = 0 Γ³ n = 1 entonces la ED (1) es lineal y se puede resolver, por ejemplo, hallando un factor de integraciΓ³n adecuado como se explica en la secciΓ³n correspondiente. Ahora bien, si n es difieren de 0 y de 1, entonces se trata de una ecuaciΓ³n diferencial no lineal; sin embargo, mediante un mΓ©todo ingeniado por Leibniz en 1696, es posible reducirla a una ecuaciΓ³n lineal usando la sustituciΓ³n: 𝑣 = 𝑦 1βˆ’π‘› Veamos: Sea

𝑣 = 𝑦 1βˆ’π‘› (𝑛 β‰  0{0, 1}, 𝑑𝑣

𝑦 𝑛 𝑑𝑣

𝑑𝑦

οƒ 

(1 βˆ’ 𝑛)𝑦 βˆ’π‘› ↔ = = 𝑑π‘₯ 𝑑π‘₯ 1βˆ’π‘› 𝑑π‘₯

Y

𝑦𝑛 = 𝑣

(2)

𝑦

Sustituyendo (2) en (1), se obtiene: 𝑦 𝑛 𝑑𝑣

𝑦

+ 𝑝(π‘₯ )𝑦 = 𝑄(π‘₯ ) 𝑣 , 1βˆ’π‘› 𝑑π‘₯ οƒ  οƒ 

𝑦

𝑑𝑣

1

𝑑𝑣

𝑦

+ 𝑝(π‘₯ )𝑦 = 𝑄(π‘₯ ) 𝑣 𝑣(1βˆ’π‘›) 𝑑π‘₯ 1

+ 𝑝(π‘₯ ) = 𝑄(π‘₯) 𝑣 𝑣(1βˆ’π‘›) 𝑑π‘₯

{𝑦 𝑛 = 𝑦/𝑣}, {dividiendo cada termino por 𝑦};

∴

𝑑𝑣 𝑑π‘₯

+ (1 βˆ’ 𝑛)𝑝(π‘₯ )𝑣 = (1 βˆ’ 𝑛)𝑄(π‘₯)

↑ multiplicando cada termino por v(1-n) (3) La (3) es una ecuaciΓ³n lineal que se debe resolver v y por ultimo tornar a sustituir a v por y1-n . EJEMPLO: Resolver la siguiente ecuaciΓ³n: π‘₯ 2 𝑦 β€² + 2π‘₯𝑦 = 5𝑦 3 SoluciΓ³n: 𝑑𝑦

π‘₯ 2 𝑦 β€² + 2π‘₯𝑦 = 5𝑦 3 ↔ 𝑑π‘₯ + 2π‘₯ βˆ’1 𝑦 = 5π‘₯ βˆ’2 𝑦 3 (1) La ecuaciΓ³n (1) es una ecuaciΓ³n de Bernoulli con 𝑝(π‘₯ ) = 2π‘₯ βˆ’1 , 𝑄 (π‘₯ ) = 5π‘₯ βˆ’2 𝑦 𝑛 = 3. Sea 𝑣 = 𝑦 1βˆ’3 ↔ 𝑣 = 𝑦 βˆ’2 , β†’

Y

𝑑𝑣 𝑑𝑦 𝑑𝑦 1 3 𝑑𝑣 𝑑𝑦 1 𝑑𝑣 βˆ’3 βˆ’3 = βˆ’2𝑦 ↔ =βˆ’ 𝑦 ↔ =βˆ’ 𝑣 2 𝑑π‘₯ 𝑑π‘₯ 𝑑π‘₯ 2 𝑑π‘₯ 𝑑π‘₯ 2 𝑑π‘₯ βˆ’1/2 {𝑦 = 𝑣 }

(2)

𝑦 = 𝑣 βˆ’1/2

Sustituyendo (2) en (1), se obtiene: 1 3 1 𝑑𝑣 βˆ’3 βˆ’ βˆ’ βˆ’1 βˆ’2 βˆ’ 𝑣 2 + 2π‘₯ 𝑣 2 = 5π‘₯ 𝑣 2 ↔ 𝑣 β€² βˆ’ 4π‘₯ βˆ’1 𝑣 = βˆ’10π‘₯ βˆ’2 (3) 2 𝑑π‘₯ La (3) es una ecuaciΓ³n lineal simple con 𝑝(π‘₯ ) = βˆ’4π‘₯ βˆ’1 , por lo que un factor integrante adecuado estΓ‘ dado por:

πœ‡(π‘₯ ) = 𝑒π‘₯𝑝 ∫ βˆ’4π‘₯ βˆ’1 𝑑π‘₯ ↔ πœ‡(π‘₯ ) = exp(𝐼𝑛π‘₯ βˆ’4 ) ↔ πœ‡(π‘₯ ) = π‘₯ βˆ’4 (4)

Al multiplicar a (3) por π‘₯ βˆ’4 , se obtiene: β†’

π‘₯ βˆ’4 𝑣 β€² βˆ’ 4π‘₯ 5 𝑣 = βˆ’10π‘₯ βˆ’6 ↔ (π‘₯ βˆ’4 𝑣 )β€² = βˆ’10π‘₯ βˆ’6 , π‘₯ βˆ’4 𝑣 = 10 ∫ π‘₯ βˆ’6 𝑑π‘₯ ↔ π‘₯ βˆ’4 𝑣 = 2π‘₯ βˆ’5 + 𝐢 ↔ 𝑣 = 2π‘₯ βˆ’1 + 𝐢π‘₯ 4 (5)

Por ΓΊltimo, sustituyendo el primer renglΓ³n de (2) en (5), se obtiene: 𝑦 βˆ’2 = 2π‘₯ βˆ’1 + 𝐢π‘₯ 4 ↔ 𝑦 2 = 1 ; 2 + 𝐢π‘₯ 5 π‘₯ π‘₯ 𝑦2 = 2 + 𝐢π‘₯ 5 =

∴

1 1 2 2 ↔ 𝑦 = ↔ 𝑦 2 2π‘₯ βˆ’1 + 𝐢π‘₯ 4 4 π‘₯ + 𝐢π‘₯
Ecuaciones Diferenciales de Bernoulli

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