Balance de Materia-felder

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Principios elementales de los

LIMUSA WILEY ®

La última edición de este libro ya clásico de estequiometría refleja los cambios experimen­ tados por la ingeniería química en las últimas décadas. En esta nueva edición totalmente revisada y actualizada se consideran las nuevas áreas de aplicación de la ingeniería, como la ingeniería ambiental, la biotecnología y la microelectrónica. Principios elementales de los procesos químicos presenta una introducción realista, informativa y positiva al ejercicio de la ingeniería química en el ámbito profesional. Es un libro de texto excelente para comprender conceptos fundamentales de ingeniería química, aprender a formular y resolver balances de materia y de energía en los sistemas de proce­ sos químicos, e iniciar a los estudiantes en la resolución de problemas de termodinámica. Este libro se destaca por: * * * *

La claridad de exposición. Los nuevos problemas y estudios de caso tomados de situaciones reales en la industria. El uso de nuevas herramientas de cómputo para la solución de problemas. Incluye un CD-ROM con material de apoyo para el texto que ofrece una enciclopedia visual del equipo usado en los procesos químicos, una base de datos de propiedades físicas, un programa para la solución de ecuaciones diferenciales y algebraicas, y otras herramientas de apoyo para el estudio de la materia.

PRINCIPIOS ELEMENTALES DE LOS PROCESOS QUÍMICOS

TABLAS Y FIGURAS SELECTAS Diversos Factores para conversión de unidades Pesos y números atómicos Diagrama psicrométrico (de humedad): unidades SI Diagrama psicrométrico (de humedad): unidades del Sistema Americano de Ingeniería Datos selectos de propiedades físicas (pesos moleculares, gravedades específicas de sólidos y líquidos, puntos de fusión y ebullición, calores de fusión y vaporización, temperatura y presión crítica, calores es­ tándar de formación y combustión) Leyes de los gases (relaciones PVT) La constante de los gases Condiciones estándar para los gases Factores acéntricos de Pitzer Gráficas de compresibilidad

Página de enfrente Penúltima guarda 385 386

632-638

Penúltima guarda 194 201 208-211

Datos de presión de vapor Diagrama de Cox de las gráficas de presión de vapor Presión de vapor del agua Constantes de la ecuación de Antoine

247 642-643 644-645

Datos lermodinániicos Capacidades caloríficas Propiedades del vapor saturado: tabla de temperaturas Propiedades del vapor saturado: tabla de presiones Propiedades del vapor sobrecalentado Entalpias específicas de gases selectos: unidades SI Entalpias específicas de gases selectos: unidades del Sistema Americano de Ingeniería Capacidades caloríficas atómicas para la regla de Kopp Calores integrales de solución y mezcla a 25°C

639-641 646-647 648-653 654-655 656 656 657 657

Datos para sistemas específicos Diagrama triangular de fases para agua-acetona-metil isobutil cetona a 25°C Diagrama de entalpia-concentración para H2SO4-H2O Diagrama de entalpia-concentración para NH3-H2O

274 399 403

FACTORES PARA CONVERSIÓN DE UNIDADES C antidad

Valores equivalentes

Masa

1 kg = 1000 g = 0.001 tonelada métrica = 2.20462 lbm = 35.27392 oz 1 lbm = 16 oz = 5 X 10~4 toneladas = 453.593 g = 0.453593 kg

Longitud

1 m = 100 cm = 1000 mm = 106 micrones (jxm) = 1010 angstroms (Á) = 39.37 pulgada = 3.2808 pie = 1.0936 yarda = 0.0006214 milla 1 pie = 12 pulgadas = 'A yarda = 0.3048 m = 30.48 cm

Volumen

1 m3 = 1000 L = 106 cm3 = 106 mL = 35.3145 pie3 = 220.83 galones imperiales = 264.17 gal = 1056.68 cuarto 1 pie3 = 1728 pulgada3 = 7.4805 gal = 0.028317 m3 = 28.317 L = 28,317 cm3

Fuerza

1 N = 1 kg • rn/s2 = 105 dinas = 105 g • cm/s2 = 0.22481 Ibf 1 lbf = 32.174 lbm • pie/s2 = 4.4482 N = 4.4482 X 105 dinas

Presión

1 atm = = = = =

Energía

1 J = 1 N • m = 107 ergs = 107 dina • cm = 2.778 X 10-7 kW • h = 0.23901 cal = 0.7376 pie-lbf = 9.486 X 10-4 Btu

Potencia

1 W = 1 J/s = 0.23901 cal/s = 0.7376 pie •lbp's = 9.486 X 10~4 Btu/s = 1.341 X 10-3 hp

1.01325 X 105 N/m2 (P a)= 101.325 kPa = 1.01325 bar 1.01325 X 106 dinas/cm2 760 mm Hg a 0°C (torr) = 10.333 m H20 a 4°C 14.696 lbf £ 2 sx >0 ^ SX- (Hay otras posi­ bilidades, pero casi nunca ocurren.) Al reportar el valor de una variable de este modo, es necesario aclarar el significado de los límites de error. A U T O E V A L U A C IÓ N Se mide cinco veces la velocidad de flujo volumétrico de un fluido de proceso F(cm3/s), y se obtienen los siguientes resultados: Medida V (cm3/s)

1

2

3

4

5

232

248

227

241

239

(a) Calcule la media (V), el rango, la varianza (s^), y la desviación estándar de la muestra (sy). (b) Hay una elevada probabilidad (mayor de 90%) de que el valor medido de V caiga dentro de dos desviaciones estándar de la media. Reporte el valor de K en la forma V= a ± b, eligiendo los va­ lores de a y b para definir este rango. EJEM PLO 2.5-2

Control estadístico de calidad Se producen 500 lotes de un pigmento cada semana. Según el programa de control de calidad (CC) de la planta, cada lote se somete a una prueba precisa de análisis del color. Si el lote no pasa dicha prueba, es rechazado y se regresa para su reformulación. Y (lotes/semana)

500 lotes/semana

Rechazado 500 lotes/semana Aceptado

2 Los porcentajes exactos dependen de la manera en que estén distribuidos los valores medidos en tomo a la media —por ejemplo, si siguen una distribución gaussiana o de otro tipo— y del número de puntos del conjunto de datos que se usen para calcular la media y la desviación estándar.

Capítulo 2

Introducción a los cálculos de ingeniería Sea Y el número de lotes malos producidos por semana y suponga que los resultados de la prueba de CC para un periodo base de 12 semanas son los siguientes: Semana

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Y

17

27

18

18

23

19

18

21

20

19

21

18

La política de la compañía es considerar que la operación de proceso es normal siempre y cuando el nú­ mero de lotes malos producidos por semana no sea mayor a tres desviaciones estándar por encima del va­ lor medio para el periodo base (p. ej., siempre y cuando Y< Y + 3sy). Si / excede este valor, el proceso se detiene para dar mantenimiento al equipo (procedimiento prolongado y costoso). Estas desviaciones tan grandes con respecto a la media podrían ser parte de la dispersión normal del proceso, pero son tan raras, que cuando se presentan la explicación más probable es la existencia de algún problema. 1. ¿Cuántos lotes malos por semana indicarían la necesidad de detener el proceso? 2. ¿Cuál sería el valor limitante de Y si se emplearan dos desviaciones estándar en vez de tres como criterio de corte? ¿Cuál sería la ventaja y cuál la desventaja de emplear este criterio más estricto? SOLUCIÓN

1. Aplicando las ecuaciones 2.5-1, 2.5-3 y 2.5-4, se calcula que la media, la varianza de la m ues­ tra y su desviación estándar respecto a Y durante el periodo base son 12 Y = — ^ (17 + 27 H— + 18) = 19.9 lotes / semana ;= l = -L [i 7 _ 19 .9)2 + (27 _ 19.9)2 + .. . + (] g - 19.9)2] = 7.9 |otes / semana: sy =

= 2.8 lotes / semana

El valor máximo permitido de Y es y + 3 i Y = 19.9 + (3)(2.8) =

28.3

Si se producen 29 o más lotes malos por semana, el proceso debe detenerse para proporcionar mantenimiento. 2. Y + 2sy = 19.9 + (2)(2.8) = 25.5 Si se aplicara este criterio bastarían 26 lotes malos en una semana para detener el proceso. La ventaja es que, si algo hubiera fallado dentro del proceso, el problema se corregiría más pronto y se fabricarían menos lotes malos a largo plazo. La desven­ taja es que podrían realizarse más paros costosos aunque no hubiese ningún problema y el m a­ yor número de lotes malos nada más reflejara la dispersión normal del proceso.

HO M OG ENEIDAD D IM ENSIONAL Y CANTIDADES AD IM ENSIO N ALES Comenzamos la discusión de unidades y dimensiones diciendo que las cantidades pueden sumarse y restar­ se sólo cuando están expresadas en las mismas unidades. Si las unidades son iguales, se deduce que las di­ mensiones de cada término también lo son. Por ejemplo, si dos cantidades se pueden expresar en términos de gramos/segundo, ambas deben tener la dimensión (masa/tiempo). Esto sugiere la siguiente regla: Toda ecuación válida debe ser dimensionalmente homogénea: es decir, todos los términos que se su­ man en ambos lados de la ecuación deben tener las mismas dimensiones. Considere la ecuación m( m/s)

= «o(m/s) + g(m /s2)t(s)

(2.6-1)

Esta ecuación es dimensionalmente homogénea, ya que todos los térm inos u, uq y gt tienen las mismas dimensiones (longitud/tiempo). Por otra parte, la ecuación u = iiQ + g no es homogénea respecto a sus di­ mensiones (¿Por qué?) y, en consecuencia, no puede ser válida.

2.6

Homogeneidad dimensional y cantidades adimensionales

21

Las dimensiones de la ecuación 2.6-1 son homogéneas v consistentes, ya que cada término aditivo está expresado en m/s. Si se sustituyen en la ecuación los valores de «o, g y t con las unidades indicadas, es posible realizar la suma para determ inar el valor de u. Cuando una ecuación es dimensionalmente ho­ mogénea pero sus térm inos aditivos tienen unidades inconsistentes, los términos (y por tanto la ecuación) sólo pueden volverse consistentes al aplicar los factores de conversión adecuados. Por ejemplo, suponga que en la ecuación de dimensiones homogéneas u = uo + g t se desea expresar el tiempo (/) en minutos y las demás cantidades en las unidades indicadas arriba. La ecuación puede es­ cribirse como: «(m/s) = «o(m/s) + g(m /s2)/(min) (60 s/min) = w0 + 60gt Cada térm ino aditivo tiene unidades de m/s (¡verifíquelo!), de modo que la ecuación es consistente. Lo contrario de la regla mencionada no necesariamente es cierto — una ecuación puede ser homo­ génea en sus dimensiones e inválida— . Por ejemplo, si M es la masa de un objeto, entonces la ecuación M = 2M es dimensionalmente homogénea, pero es evidente que también es incorrecta, excepto para un valor específico de M. EJEM PLO 2.6-1

Homogeneidad dimensional Considere la ecuación D(ft) = 3 /(s) + 4 1.

Si la ecuación es válida, ¿cuáles son las dimensiones de las constantes 3 y 4?

2. Si la ecuación es consistente en sus unidades, ¿cuáles son las unidades de 3 y 4?

SOLUCIÓN

3.

Derive una ecuación para la distancia en metros en térm inos del tiempo en minutos.

1.

Para que la ecuación sea válida sus dim ensiones deben ser homogéneas, de modo que cada término debe tener la dim ensión de longitud. Por tanto, la constante 3 debe tener la dimensión longitud/ tiempo y la 4 debe tener la dimensión longitud

2 . Para que haya consistencia, las constantes deben ser 3 fit/s 3.

4 ft

Definirem os las nuevas variables Z)'(m) y f'(min). Las relaciones de equivalencia entre las varia­ bles antiguas y nuevas son D \m )

3.2808 ft = 3.28D'

D(ft) = 1m í'(m in )

60 s = 6 0 /'

m -

1 min

Sustituya estas expresiones en la ecuación dada 3.28 D ' = (3)(60O + 4 y sim plifique dividiendo entre 3.28 Z)'(m) = 55/'(m in) + 1.22 Ejercicio: ¿cuáles son las unidades de 55 y 1.22?

El ejemplo 2.6-1 ilustra un procedimiento general para reescribir una ecuación en términos de nue­ vas variables que tengan las mismas dimensiones pero unidades distintas: 1.

Defina nuevas variables (p. ej., añadiendo primas al nombre de las antiguas variables) que ten­ gan las unidades deseadas.

22

Capítulo 2

Introducción a los cálculos de ingeniería 2. 3.

Escriba expresiones para la antigua variable en térm inos de la nueva variable correspondiente. Sustituya estas expresiones en la ecuación original y simplifíquela.

Una ca n tid ad adim ensional puede ser un número puro (2, 1.3, | ), o una com binación multiplica­ tiva de variables que carezca de dimensiones netas: M (g)

D(cm)»(cm / s)p(g / cm 3)

M 0(g)

H[g / (cm • s)]

Una cantidad del tipo de M h 0 D u pt\i también se llama g ru p o adim ensional. Los exponentes (como el 2 en Ai2), las fun cio n es trascendentales (p. ej., log, exp — e, y sen), y los argumentos de las funciones tmscendentales (como Ia X en sen X) deben ser cantidades adimensionales. Por ejemplo, 102 es algo totalmente comprensible, pero 102 no tiene sentido, como también log (20 s) o sen (3 dinas). EJEM PLO 2.6-2

Homogeneidad dimensional y grupos adimensionales Una cantidad k depende de la temperatura T de la siguiente manera: mol 20,000 = 1.2 x 105 exp 1.9877 cm 3 ■s Las unidades de la cantidad 20,000 son cal/mol, y 7”se encuentra en K (kelvin). ¿Cuáles son las unidades de 1.2 X 105 y 1.987?

SOLUCION

Como la ecuación debe ser consistente en sus unidades y exp es adimensional, 1.2 X 105 debe tener las mismas unidades que k, mol/(cm3-s). M ás aún, como el argumento de exp debe ser adimensional, se puede escribir 20,000 cal

1

mol-K (Todas las unidades se cancelan)

mol

T(K)

1.987 cal

En consecuencia, las respuestas son 1.2 X 105 m ol/(cm 3-s)

A U T O E V A L U A C IÓ N

2.7

y

1.987 caI/(mol-K)

1. ¿Qué es una ecuación dimensionalmente homogénea? Una ecuación con dimensiones homogéneas, ¿es válida siempre? Si una ecuación es válida, ¿deben ser homogéneas sus dimensiones? 2. Si y (m /s2) = erz(m3), ¿cuáles son las unidades de a? 3. ¿Qué es un grupo adimensional? ¿Qué combinación multiplicativa de r(m ), s(m /s2) y t(s) cons­ tituiría un grupo adimensional? 4. Si z(lbf) = a sen (Q), ¿cuáles son las unidades de a y Q?

R E P R E S E N T A C IÓ N Y A N Á L IS IS D E L O S D A TO S D E P R O C E S O En última instancia, la operación de cualquier proceso químico se basa en m edir las variables del proce­ so — temperaturas, presiones, velocidades de flujo, concentraciones, etcétera— . En ocasiones es posible medir estas variables de manera directa, pero por lo general es necesario recurrir a técnicas indirectas. Por ejemplo, suponga que se desea medir la concentración, C, de un soluto en una solución. Para ello, casi siempre se mide una cantidad X — como una conductividad térmica o eléctrica, una absorbancia lumi­ nosa o el volumen de titulación— que varia de manera conocida con C, y después se calcula C a partir del valor medido de X. La relación entre C y X se determina en un experimento de calibración por separado, en el cual se preparan soluciones de concentración conocida y se mide X para cada solución. Considere un experimento de calibración en el cual se mide una variable y para diferentes valores de otra variable, .t:

2.7

-

Representación y análisis de los datos de proceso

23

• • •• • • ••

_L (a) Figura 2.7-1

l

i l (/»

L

J

I

i i (c)

i

Gráficas representativas de datos experimentales.

X

1.0

2.0

3.0

4.0

y

0.3

0.7

1.2

1.8

En térm inos del prim er párrafo, y podría ser la concentración de un reactivo o alguna otra variable del proceso, y x podría ser una cantidad fácil de m edir (como la conductividad), cuyo valor se correlaciona con el de v. Nuestro objeto es em plear los datos de calibración para estim ar el valor de y para un valor dado de x que se encuentre entre los puntos tabulados (in terp o lació n ), o fuera del rango de éstos (ex tra­ polación). Hay muchos métodos de interpolación y extrapolación de uso común, entre ellos: interpolación li­ neal de dos puntos, interpolación gráfica y ajuste de curvas. La elección más adecuada depende de la na­ turaleza de la relación entre a- y y. La figura 2.7-1 muestra varias gráficas ilustrativas de (x, y). Si la representación de un conjunto de datos tiene la apariencia de las gráficas (a) o (b) de esta figura, es probable que se pueda ajustar una lí­ nea recta a los datos y em plearla como base para la interpolación o extrapolación subsecuentes. Por otra parte, si es obvio que el trazo es una curva, com o la gráfica (c), es posible dibujar la curva por inspec­ ción y em plearla como base de la interpolación, o trazar segmentos de recta uniendo pares sucesivos de puntos, o bien buscar una función no lineal y(.v) que se ajuste a los datos. La técnica para dibujar una línea o una curva a través de los datos mediante inspección es autoexplicativa. Los demás métodos se repasan en la siguiente sección.

2 .7 a

I n te r p o la c ió n lin e a l d e d o s p u n to s La ecuación de la recta que pasa por (.vj, y i) y f e , y 2) en la gráfica de y contra .v es v=

y\ +

x-x ,

.

Hyi-y\)

(2.7-1)

*2 -* 1 _________ (¿Puede demostrarlo?) Es posible em plear esta ecuación para estim ar y para un valor de .v entre .vi y x 2\ también se puede utilizar para calcular y para un valor de x fuera de este rango (es decir, extrapolar los datos), aunque el riesgo de inexactitud es mucho mayor. Si los puntos de una tabla se encuentran relativamente cercanos, la interpolación lineal debe propor­ cionar una estimación exacta de y para cualquier valor de .v y viceversa; por otra parte, si los puntos se encuentran muy separados, o si se van a extrapolar los datos, es conveniente em plear alguna de las téc­ nicas para adaptación de curvas que se describen en la siguiente sección. A U T O E V A L U A C IÓ N

I.

Se miden los valores de una variable ( f ) a diferentes tiempos (/): /

1

4

8

t

1

2

3

Demuestre que si se emplea la interpolación lineal de dos puntos: (a) J \t = 1.3) = 1.9; (b) / ( / = 5) = 2.25.

24

Capítulo 2

Introducción a los cálculos de ingeniería 2.

Si una función de y(.v) tiene la apariencia que se muestra en cada uno de los siguientes diagra­ mas, y se efectúa una interpolación lineal de dos puntos, ¿se obtendrían valores de y demasiado altos, demasiado bajos o correctos? Si se usara la fórmula de interpolación lineal de dos puntos (ecuación 2.7-1) para e s tim a ry fe ) a partir de los valores tabulados para f e , y i) y f e , y 2 ) en la gráfica (¿), ¿sería demasiado alto o demasiado bajo el valor estimado?

y

y - - - Función verdadera •

Punto de fabulador

y3 /2 yi

-------------------»t /: L---------- y ¡ - ’ T! ' x,

O)

2.7b

!1 x2

1! x3

(6)

(c)

A juste a una línea recta Una manera conveniente de indicar la manera en que una variable depende de otra es mediante una ecuación: y = 3.v + 4 y = 4.24(at - 3)2 - 23 y = 1.3 X 107 sen, (Zv)/(.v1/2 + 58.4) Si se tiene una expresión analítica para y f e como las anteriores, es posible calcular y para cualquier valor dado de .v o determ inar (con un poco más de esfuerzo) el valor de x para cualquier valor dado de y, o program ar una computadora para que realice estos cálculos. Suponga que se midieron los valores de la variable dependiente y para diversos valores de la varia­ ble independiente x, y que la gráfica de y contra .r sobre ejes rectangulares da lo que parece ser una rec­ ta. La ecuación que podría em plear para representar la relación entre x y y es y = ax + b

(2.7-2)

Si los puntos presentan muy poca dispersión, como los de la figura 2.71a, es posible dibujar, mediante inspección, una recta que pase por ellos, y si f e , y i ) y f e , y 2 ) son dos puntos — los cuales pueden, o no, ser parte de los datos— sobre la recta, entonces Pendiente: a _ y i >1 x2 - x , Intersección:

(2.7-3)

r b r y ' ~ aX' 1= y 2 - a x 2

(2.7-4)

Una vez que a se calcula mediante la ecuación 2.7-3 y se determina b con cualquiera de las ecuaciones 2.7-4, es conveniente com probar el resultado verificando que la ecuación 2.7-2 se cumpla en el punto f e , y i) o f e , y 2) que no se usó para calcular b. EJEM PLO 2 7 1 ____________________

Ajuste de los datos de calibración de un caudalímetro a una recta Se obtuvieron los datos siguientes para la calibración de un rotám etro (velocidad de flujo contra lectura del rotámetro): Velocidad de flujo K(L/min) 20.0 52.1 84.6 118.3 151.0

Lectura del rotámetro R 10 30 50 70 90

2.7

Representación y análisis de los datos de proceso

25

1. Dibuje una curva de calibración y determine una ecuación para V(R). 2. Calcule la velocidad de flujo que corresponde a la lectura de 36 en el rotámetro. SOLUCIÓN

1.

La curva de calibración tiene la siguiente apariencia:

La línea trazada por inspección visual a través de los datos cruza los puntos (/?i = 10, V\ = 20) y (R2 = 60, V2 — 101). Por tanto, V= aR + b a-

(Ya que todos los datos caen sobre la línea)

V2 - V \

1 0 1 -1 2 0

R2 - R \

6 0 -1 0

1£2

(de la ecuación 2.7-3)

b = V\ — aR\ = 20 — (1.62)(10) = 3.8

(de la ecuación 2.7-4)

En consecuencia, el resultado es V = 1.62/?+ 3.8 Comprobación: En el punto (T) , aR2 + 6 = (1.62)(60) + 3.8 = 101 = V2 2.

2.7c

R = 36, V = (1.62X36) + 3 .8 =

62.1 L/min.

A ju s te de d a to s no lin e a le s Durante una semana de estudio en una universidad importante, 423 investigadores efectuaron medicio­ nes por separado y al graficar sus resultados observaron que sus datos puntuales no caían sobre los pun­ tos de una recta; 416 de ellos encogieron los hombros y dijeron: “Están lo bastante cercanos a ella”, y dibujaron una línea de todos modos; pero los otros siete prefirieron buscar una ecuación distinta de y = ax + b para relacionar las variables. A justar una ecuación no lineal (de cualquier tipo, excepto y = ax + b) a los datos por lo general es más difícil que ajustar una recta; sin embargo, para algunas ecuaciones no lineales aún puede aplicarse el ajuste de la linea recta si los datos se grafican de manera adecuada. Suponga, por ejemplo, que x y y se relacionan por la ecuación y 2 = ax3 + b. Desde luego, la gráfica de los valores medidos de y contra los datos de x sería una curva; no obstante, la gráfica de y 2 contra .v3 sería una línea recta con pendiente a e intersección b. De modo más general, cuando dos cantidades cualesquiera están relacionadas por una ecuación de la forma (Cantidad 1) = a (Cantidad 2) + b entonces, al graficar la primera cantidad (y2 en el ejemplo anterior) contra la segunda ( r 5) en coordena­ das rectangulares, se obtiene una línea recta con pendiente a e intersección b. A continuación se dan varios ejemplos adicionales de gráficas que dan líneas rectas: 1. y = ax2 + b. G ráfica de y contra x 2. 2. y 2 = ^ + b. G ráfica de y 2 contra ^ . 3.

^ = a(x + 3) + b. Gráfica de j contra (.v + 3).

4.

sen y = a(x2 - 4). G ráfica de sen y contra (x2 - 4). La línea que pasa por los datos debe cruzar por el origen. (¿Por qué?)

26

Capítulo 2

Introducción a los cálculos de ingeniería Aunque la ecuación original no sea de la forma adecuada para generar una gráfica lineal, en ocasio­ nes es posible reordenarla para obtener una forma de este tipo: 5.

1 . I „ „ y = - ----- — = > - = C ,.Y -C 2 C \x -C 2 y G rafique j- contra x. Pendiente = C |, intersección = —C2.

6.

y = 1+ x (m x 2 + n )v2 => — — — = m x2 + n x2 Grafique ——

cont ra .v2. Pendiente = m, intersección = n.

A continuación se resume el procedimiento. Si se tienen (x,y) datos y se desea ajustarlos a una ecua­ ción que pueda escribirse en la forma J[x, y ) = ag(x, y ) + b: 1. 2.

Calcule /(.y, y) y g(x, y ) para cada punto (,v, y) tabulado, y grafique y ’contra g. Si los puntos trazados caen sobre una recta, la ecuación seajusta a los datos.Elija dos puntos sobre la línea — ( g \,f\) y ( — ag2

¡ 7 2 - í/i

EJEM PLO 2.7-2

Ajuste de datos no lineales a una recta Se mide la velocidad de flujo de la masa m(g/s) como función de la temperatura T(°C). T

10

20

40

80

m

14.76

20.14

27.73

38.47

Hay motivos para creer que m varía linealmente con la raíz cuadrada de T: m = aTm + b Use una gráfica lineal para verificar esta fórmula y determinar los valores de a y b. SOLUCIÓN

Si la fórmula es correcta, la gráfica de ;;; contra T m sería lineal, con pendiente = a e intersección = b. A continuación se agrega la fila de T v2 a la tabla de datos: T Y 1/2 ///

10

20

40

3.162

4.472

6.325

8.944

14.76

20.14

27.73

38.47

80

y se grafica m contra T u2 :

Como se obtiene una línea, se verifica la fórmula propuesta. Al trazar dicha línea a través de los datos puntuales, ésta pasa por el prim er y el últim o puntos, de modo que los puntos pueden em plearse para calcular la pendiente y la intersección:

2.7

Representación y análisis de los datos de proceso

27

ín = c i T 1/2 + b

( T \ a = 3.162, /i», = 14.76) ( T V 1 = 8.944, m2 = 38.47) Pendiente:

a= r21/2- 7 ¡ 1/2

Intersección:

- 3 8 .4 7 -1 4 .7 6 = 4 10 g/( s .oCi/2) 8 .9 4 4 -3 .1 6 2

/, = m, - « 7j1/2 = 14.76 - (4.10)(3.162) = 1.80 g/s

(verifique las unidades), de modo que m = 4.107'l/2 + 1.80 Comprobación: en el punto (2 ), 4.107’ Y1 + 1.80 = (4.10)(8.944) + 1.80 = 38.47 = m2.

Dos funciones no lineales que a menudo se encuentran en el análisis de proceso son la función exponen­ cial, y = a é 'x [o y = a exp(fov)], donde