Aula8 - Conversão de Bases

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Conversão de Bases

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Apresentação 

Fonte: https://goo.gl/NDmvKi

A humanidade construiu muitos sistemas de numeração visando descrever quantidades e fazer operações com elas. No momento, o humano está familiarizado com a base 10 (decimal), no dia-adia, já os computadores atuais trabalham exclusivamente com a base 2(binário), assim é preciso fazer conversões entre estas bases quando se pretende inserir algum valor para ser processado pelo computador.

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Obviamente que ninguém vai ficar convertendo números para o binário para então digitá-lo na calculadora e depois converter o resultado para decimal para usá-lo. Esse processo de conversão está, no caso da calculadora, préprogramado para ser feito por ela, o ponto a ser entendido aqui é que internamente ela faz tudo em binário, em outras palavras: ela converte o que foi digitado para binário, faz o cálculo, converte o resultado para decimal e apresenta o resultado. Nesta seção iremos analisar as regras gerais para converter números entre duas bases quaisquer.

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Conteúdo  Conversões entre as Bases 2, 8 e 16 As conversões mais simples são as que envolvem bases que são potências entre si. Vamos exemplificar com a conversão entre a base 2 e a base 8. Como 23 = 8, então a conversão funciona da seguinte forma: separando os algarismos de um número binário (base 2) em grupos de três algarismos (começando sempre da direita para a esquerda) e convertendo cada grupo de três algarismos para seu equivalente em octal, teremos a representação do número em octal. Por exemplo: 0101010012 = 010 . 101 . 0012 Olhando a Tabela 1 de conversão direta, temos:

Tabela 1 - Conversão direta de binário para octal e vice-versa Binário

Octal

000

0

001

1

010

2

011

3

100

4

101

5

110

6

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Binário

Octal

111

7

Logo: 0102 = 28

1012 = 58

0012 = 18

0101010012 = 2518

Vamos agora exemplificar com uma conversão entre as bases 2 e 16. Como 24 = 16, seguindo o processo anterior, basta separar em grupos de quatro algarismos e converter cada grupo seguindo a tabela 2. Por exemplo: 0110101011012 = 0110 . 1010 . 11012 Olhando a Tabela 2 de conversão direta temos:

Tabela 2 - Conversão direta de binário para hexadecimal e vice-versa Binário

Hexadecimal

Binário

Hexadecimal

0000

0

1000

8

0001

1

1001

9

0010

2

1010

A

0011

3

1011

B

0100

4

1100

C

0101

5

1101

D

0110

6

1110

E

0111

7

1111

F

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Logo: 01102 = 616

10102 = A16

11012 = D16

110101011012 = 6AD16

Vamos agora analisar a conversão inversa. Por exemplo: A8116 = A . 8 . 116 Sabemos que: A16 = 10102

816 = 10002

116 = 00012

Portanto: A8116 = 1010100000012

Conversão de Números Numa Base b Qualquer para Base 10 A expressão geral é: Nb = a0 × bn + a1 × bn-1 + … + an × b0

A melhor forma de fazer a conversão é usando essa expressão. Como exemplo, o número (101101)2 terá calculado seu valor na base 10: 1011012 = 1×25 + 0×24 + 1×23 + 1×22 + 0×21 + 1×20 = 4510

Outros exemplos: Converter (A5)16 para a base 10: A516 = 10×161 + 5×160 = 160 + 5 = 16510

Converter (485)9 para a base 10:

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4859 = 4×92 +8×91 + 5×90 = 324 + 72 + 5 = 40110

Conversão da Base de Número 10 para Uma Base b de Qualquer Número A conversão de números da base 10 para uma base qualquer emprega algoritmos que serão o inverso dos anteriores. O número decimal será dividido sucessivas vezes pela base, o resto de cada divisão ocupará sucessivamente as posições de ordem 0, 1, 2 e assim por diante, até que o resto da última divisão (que resulta em quociente 0) ocupe a posição de mais alta ordem. Exemplo (1) Conversão do número 1910 para a base 2:

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Logo temos: 1910 = 100112 Usando a conversão anterior como prova real, temos: 100112 = 1×24 + 0×23 + 0×22 + 1×21 + 1×20 = 1910 Exemplo (2) Conversão do número 27810 para a base 16:

Prova Real: 1.162+1.161+6.160= 256+16+6 = 278

Números Binários Negativos Os computadores lidam com números positivos e negativos, sendo necessário encontrar uma representação para números com sinal negativo. Existe uma grande variedade de opções, das quais nesta seção serão apresentadas apenas três para representar valores negativos: sinal e amplitude/magnitude (S+M) complemento de 1 complemento de 2 Como o próprio nome indica, a representação sinal e amplitude utiliza um bit para representar o sinal, o bit mais à esquerda: 0 para indicar um valor positivo, 1 para indicar um valor negativo.

Complementos de 1 https://conteudo.catolicavirtual.br/conteudos/nbt_cursos/matematica_computacao/tema_08/index.html?print=1&access_token=eyJ0eXAiOiJKV1…

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Na representação em complemento de 1 invertem-se todos os bits de um número para representar o seu complementar: assim, se converte um valor positivo para um negativo, e vice-versa. Quando o bit mais à esquerda é 0, esse valor é positivo; se for 1, então é negativo. Observe o exemplo a seguir: 10010 = 011001002 (com 8 bits) Invertendo todos os bits:

 100110112=10010

O problema desta representação é que existem 2 padrões de bits para o 0, havendo assim desperdício de representação: 010 = 000000002 = 111111112

Complementos de 2 A solução encontrada consiste em representar os números em complemento de 2. Para determinar o negativo de um número, inverte-se todos os seus bits e soma-se uma unidade. Observe o exemplo a seguir: Representação Binária: 0110 = 011001012 (com 8 bits) Invertendo todos os bits: 100110102 Somando uma unidade: 100110102 + 1 = 100110112 = –10110 A representação em complemento para 2 tem as seguintes características: o bit da esquerda indica o sinal; possui processo para converter um número de positivo para negativo e de negativo para positivo; o 0 tem uma representação única: todos os bits a 0; a gama de valores que é possível representar com n bits é -2n-1 … 2n-1-1. Observe o exemplo a seguir: Qual o número representado por 111001002 (com 8 bits)? Como o bit da esquerda é 1 este número é negativo. Invertendo todos os bits: https://conteudo.catolicavirtual.br/conteudos/nbt_cursos/matematica_computacao/tema_08/index.html?print=1&access_token=eyJ0eXAiOiJKV1…

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000110112 Somando uma unidade: 000110112 + 1 = 000111002 = 2810 Logo: 111001002 = – 2810 

Conforme estudou, a numeração, a representação de quantidade e suas operações têm muitas formas de representação formal. O sistema binário no caso dos computadores teve maior aplicação do que o sistema decimal que usamos no cotidiano. O Sistema Binário é o sistema utilizado por máquinas com circuitos digitais para interpretar informações e executar ações. É por meio dessa linguagem que o computador exibe e processa textos, números e imagens, por exemplo. O computador não interpreta letras e dígitos, como os humanos. Ele só lê sinais elétricos na sua forma mais simples: sem corrente ou com corrente, representados respectivamente pelos números 0 e 1. Na informática, um dígito binário (0 ou 1) equivale a 1 bit, a menor unidade de informação. Oito dígitos binários formam 1 byte. Um gigabyte é formado por mais de 8,5 bilhões de zeros e uns e assim por diante... Ao longo de sua trajetória acadêmica, aplicará em algumas das disciplinas os conhecimentos relacionados à conversão de bases numéricas.

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Na Prática  "Prezado(a) estudante, Esta seção é composta por atividades que objetivam consolidar a sua aprendizagem quanto aos conteúdos estudados e discutidos. Caso alguma dessas atividades seja avaliativa, seu (sua) professor (a) indicará no Plano de Ensino e lhe orientará quanto aos critérios e formas de apresentação e de envio." Bom Trabalho!

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Atividade 01 

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Faça a conversão de Binário para Decimal: A - 0101011012

RESOLUÇÃO 

DECIMAL=17310 

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Atividade 02 

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Faça a conversão de Binário para Octal: B - 0101011012

RESOLUÇÃO 

Consultar a tabela 4.1 da unidade 2, aula 4. 010  101  101 010 → 0.20 + 1.21 + 0.22 = 2 1º 101 → 1.20 + 0.21 + 1.22 = 5 2º 101 → 1.20 + 0.21 + 1.22 = 5 3º OCTAL = 1° 2º 3º = 2558

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Atividade 03 

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Faça a conversão de Binário para Hexadecimal: C - 101011012

RESOLUÇÃO 

Consultar a tabela. 1010 . 11012 1101 → 1.20 + 0.21 + 1.22 + 1.23 = 13 → D (2º) 1010 → 0.20 + 1.21 + 0.22 + 1.23 = 10 → A (1º) HEXADECIMAL = AD16

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Atividade 04 

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Faça a conversão de Decimal para Binário: D - 17310

RESOLUÇÃO 

Logo: 17310 = (10101101)2

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Atividade 05 

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Faça a conversão de Decimal para Octal: E - 17310 

RESOLUÇÃO 

17310 = 2558 OCTAL

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Atividade 06 

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Faça a conversão de Decimal para Hexadecimal: F - 17310

RESOLUÇÃO 

17310 = AD16 HEXADECIMAL

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Saiba Mais  Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo a(s) sugestão(ões) do professor: Leia o artigo Tautologias, contradições e contingências . Assista também ao vídeo sobre tautologias, contradições e contingências . Assista à sequência de doze vídeos de Sandro Camargo sobre conversão de bases .

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Referências  Bibliografia Básica: DAGHLIAN, Jacob. Lógica e álgebra de boole. 4 ed. São Paulo: Atlas, 1995. GERSTING, Judith L. Fundamentos matemáticos para a ciência da computação. 5 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2004. SOUZA, Joao Nunes de. Lógica para ciência da computação: uma introdução concisa. 2 ed. Rio de Janeiro: Campus, 2008.

Bibliografia Complementar: ALENCAR FILHO, Edgard de. Iniciação à lógica matemática. 18. ed. São Paulo: Nobel, 1999. HALMOS, Paul R. Teoria ingênua dos conjuntos. São Paulo: Universidade São Paulo, 1970. HEGENBERG, Leônidas. Lógica: o cálculo sentencial. São Paulo: Herder, 1973 LIPSCHUTZ, Seymour; LIPSON, Marc. Matemática discreta. 3. ed. Porto Alegre: Bookman, 2013. PINTO, Paulo Roberto Margutti. Introdução à lógica simbólica. Belo Horizonte: UFMG, 2001.

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