Aula 27 - sistema de equacoes

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Matemática

Sistemas de Equações

Professor Dudan

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Matemática

SISTEMAS DE EQUAÇÕES Todo sistema linear é classificado de acordo com o número de soluções apresentadas por ele. DETERMINADO Admite uma única solução POSSÍVEL OU COMPATÍVEL quando admite solução SISTEMA INDETERMINADO LINEAR Admite infinitas soluções IMPOSSÍVEL OU INCOMPATÍVEL quando não admite solução

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Métodos de Resolução Método da Adição Definição Consiste em somar as equações, que podem ser previamente multiplicadas por uma constante, com objetivo de eliminar uma das variáveis apresentadas. Esse método consiste em multiplicar as equações de maneira que se criem valores “opostos “ da mesma variável que será eliminada quando somarmos as equações. Vale ressaltar que nem sempre é necessária tal multiplicação . x + 2y = 16 Exemplo: � 3x – y = 13 Assim multiplicaremos a segunda equação por 2, logo: �

x + 2y = 16 assim criamos os valores opostos 2y e – 2y. 6x - 2y = 26

Agora somaremos as 2 equações , logo: �

x + 2y = 16 6x - 2y = 26 7x + 0y = 42

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42

Logo x = 7 → x = 6 e para achar o valor de y basta trocar o valor de x obtido em qualquer uma das equações dadas: Assim se x + 2 y = 16, então 6 + 2y = 16 → 2y = 10 e portanto y =

10 2

→y=5

1. Resolva usando o método da adição. a)

3x + y = 9 2x + 3y = 13

b)

Método da Substituição

3x − 2y = 7 x + y = −1

Definição Esse método consiste em isolar uma das variáveis numa equação e substituí-la na outra. Vale ressaltar que preferencialmente deve-se isolar a variável que possuir “coeficiente” 1 assim evitamos um trabalho com o M.M.C. Exemplo:

�

x + 2y = 16 3x – y = 13

Assim isolando o “x” na primeira equação, temos: x = 16 – 2y e substituindo-a na segunda equação: 3(16 – 2y) – y = 13 → 48 – 6y – y = 13 → – 7y = 13 – 48 → – 7y = – 35 logo x = Daí basta trocar o valor de x obtido na equação isolada:

−35 =5 −7

Se x = 16 – 2y, logo x = 16 – 2 x 5 → x = 16 – 10 → x = 6 2. Resolva usando o método da substituição. a)

3x + y = 9 2 x + 3y = 13

b)

3 x − 2y = 7 x + y = −1

Caso Especial Sempre que nos depararmos com um sistema de duas equações no qual uma delas seja uma “proporção” , podemos resolve-la de maneira eficaz e segura aplicando os conceitos de Divisão proporcional

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Matemática – Sistemas de Equações – Prof. Dudan

Exemplo: 3. A idade do pai está para a idade do filho assim como 7 está para 3. Se a diferença entre essas idades é 32 anos, determine a idade de cada um. 4. Os salários de dois funcionários do Tribunal são proporcionais às suas idades que são 40 e 25 anos. Se os salários somados totalizam R$9100,00 qual a diferença de salário destes funcionários?

Faça Você: 5. Na garagem de um prédio há carros e motos num total de 13 veículos e 34 pneus. O número de motos nesse estacionamento é: a) b) c) d) e)

5 6 7 8 9

6. Um aluno ganha 5 pontos por exercício que acerta e pede 3 pontos por exercício que erra. Ao fim de 50 exercícios tinha 10 pontos. Quantos exercícios ele acertou? a) b) c) d) e)

15 35 20 10 40

7. Uma família foi num restaurante onde cada criança paga a metade do buffet e adulto paga R$ 12,00. Se nessa família há 10 pessoas e a conta foi de R$ 108,00, o número de adultos é: a) b) c) d) e)

2 4 6 8 10

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8. O valor de dois carros de mesmo preço adicionado ao de uma moto é R$ 41.000. O valor de duas motos iguais a primeira adicionado ao de um carro de mesmo preço que os primeiros é de R$ 28.000. A diferença entre o valor do carro e o da moto é: a) b) c) d) e)

R$ 5.000 R$ 13.000 R$ 18.000 R$ 23.000 R$ 41.000

9. João entrou na lanchonete BOG e pediu 3 hambúrgueres, 1 suco de laranja e 2 cocadas, gastando R$ 21,50. Na mesa ao lado, algumas pessoas pediram 8 hambúrgueres, 3 sucos de laranja e 5 cocadas, gastando R$ 57,00. Sabendo-se que o preço de um hambúrguer, mais o de um suco de laranja, mais o de uma cocada totaliza R$ 10,00, assim o preço de cada um desses itens em reais, respectivamente, vale. a) b) c) d) e)

4; 2,5 e 3,5 3; 2 e 4 4; 3 e 2 4; 2,5 e 3 3; 2,5 e 3,5

10. Durante uma aula de ginástica, três amigas, também com a mesma preocupação, resolveram avaliar o peso de cada uma, utilizando a balança da academia. A pesagem, contudo, foi efetuada duas a duas. Ana e Carla pesaram, juntas, 98 kg; Carla e Márcia, 106 kg; Ana e Márcia, 104 kg. O peso das três amigas, juntas, subtraindo o dobro do peso de Carla, é igual a: a) b) c) d) e)

42 kg 46 kg 48 kg 54 kg 58 kg

Gabarito: 5. E 6. C 7. D 8. B 9. A 10. D

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