14863225.01.2016 - Aula 1 - C.C. - Matemática - André Novaes - Material do Aluno

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Curso Completo Matemática Professor André Novaes Matemática Básica Para efetuar as operações básicas é necessário entender primeiramente como funciona o sistema numérico que usamos, o sistema hindu-arábico de base 10. Como sabemos, existem outros sistemas numéricos como por exemplo o romano, muito utilizado para indicar os séculos em textos históricos (Exemplo: séc. XX). Porém o sistema que utilizamos é o mais eficaz para realizarmos contas, isso porque ele é um sistema posicional e, portanto, com apenas 10 algarismos conseguimos representar todos os números. O significado do sistema posicional: cada casa representa uma potencia de 10 (por isso dizemos que o sistema é de base 10). Observe:

1a Classe Centena (10² = 100)

Dezena (101 = 10)

Unidade (100 = 1)

8

2

8

Observe o número 828 (oitocentos e vinte e oito). Apesar dele conter dois algarismos 8, esses algarismos possuem valores distintos, isso porque eles ocupam posições distintas. Se lermos o número da esquerda para a direita, o primeiro 8 que aparece, corresponde a 800 (8 centenas) e o segundo 8 que aparece corresponde a 8 (8 unidades).

Operações Básicas:

1) Soma: para efetuarmos a soma de dois números, basta agrupá-los de acordo com suas ordens e lembrar que cada ordem não pode ter um valor igual ou superior a 10. Por exemplo, vamos efetuar a seguinte soma:

Exemplo 1:  603 + 79 =

Centena (10² = 100)

Dezena (101 = 10)

Unidade (100 = 1)

6

0

3

7

9

7 + (1)**

3+9 = 12*

8

2

6

* Observe que 12 passou de 10. De fato, 12 é 10 + 2 e portanto 12 representa 1 dezena + 2 unidades. Deste modo, na casa das unidades deixamos o 2 e acrescentamos 1 na casa da dezena. ** Este 1 representa a dezena formada ao efetuarmos a soma das unidades. Obs: esse é o famoso processo do "vai um" que tanto estamos habituados a falar.

Armando a conta, teríamos o seguinte esquema:

6

1 0 7

3 9

6

8

2

+

O processo se repete independente do tamanho dos números. Exemplo 2:  1.853.076 + 85.664 =

3a Classe

2a Classe

1a Classe

Centena Dezena Unidade Centena Dezena Unidade Centena Dezena Unidade de de de de de de Milhão Milhão Milhão Milhar Milhar Milhar Simples Simples Simples

1

1

8

5

3

0

7

6

8

5

6

6

4

8+1

13

8

6+1

13 + 1

10

9

3

8

7

4

0

Obs: neste exemplo, por três vezes o valor em uma ordem igualou ou superou 10 e, portanto, foi acrescentado 1 na ordem posterior. Armando a conta, teríamos o seguinte esquema: 1

1 8

1

9

+

5 8 3

3 5 8

1 0 6

1 7 6

6 4

7

4

0

É importante observar que este processo é semelhante quando trabalhamos com números decimais (com vírgula). Sempre devemos somar os números que correspondem a mesma ordem. Propriedade Para efetuarmos somas é importante sabermos suas propriedades para facilitar o processo. Temos que a soma é comutativa, ou seja, não importa a ordem que efetuamos as parcelas. Assim, uma conta pode ficar muito mais fácil de ser feita se simplesmente trocarmos as parcelas de lugar. Exemplo:  27 + 19 + 3 = 27 + 3 + 19 = 30 + 19 = 49 Observe que ao invés de perder tempo efetuando 27 + 19, ao juntarmos o 27 com o 3 o cálculo ficou muito mais intuitivo e, portanto, mais rápido. 2) Subtração: O processo de subtrair é semelhante ao de somar, exceto nos casos em que não há como subtrair entre uma mesma ordem. Vejamos dois exemplos: Exemplo 1: (Quando é possível efetuar as operações entre as ordens.)  953 - 132 =

Centena (10² = 100)

Dezena (101 = 10)

Unidade (100 = 1)

9

5

3

1

3

2

9-1=8

5-3=2

3-2 =1

8

2

1

Exemplo 2: (Quando não é possível efetuar as operações entre as ordens.)  713 - 85 = Neste caso, quando não há uma quantidade suficiente na ordem, operamos o caminho contrário do que fazemos na soma e pegamos 1 emprestado da ordem superior. Vale ressaltar que quando nos referimos a números positivos, uma subtração só pode ser feita se o valor a ser subtraído for menor que o valor inicial.

Centena (10² = 100)

Dezena (101 = 10)

Unidade (100 = 1)

7 (-1)**

1 (-1)**

3

8

5

10* - 8

13* - 5

2

8

6

* 13 é o valor de uma dezena (1 dezena corresponde a 10 unidades) que pegamos na ordem posterior mais o 3 que já havia na ordem das unidades. * 10 é o valor da centena (1 centena corresponde a 10 dezenas) que pegamos na ordem posterior mais 0, visto que o 1 já havia sido emprestado. ** (-1) é o valor que foi pego emprestado ** (-1) é o valor que foi pego emprestado

Armando a conta, teríamos o seguinte esquema: 6 7

10 1 8

13 3 5

6

2

8

-

Observação: Vale ressaltar que a propriedade comutativa não se aplica na subtração. 3) Multiplicação: para efetuarmos a multiplicação é importante aprendermos, antes de mais nada, a propriedade distributiva. Todo processo de multiplicação que aprendemos é com base nesta propriedade e se bem assimilada ganhamos tempo nos cálculos. De forma algébrica temos: A x (B + C) = A x B + A x C Numericamente podemos efetuar multiplicações:  5 x 14 → 5 x (10 + 4) = 5 x 10 + 5 x 4 = 50 + 20 = 70 Observe que o processo, ao utilizarmos o algoritmo da multiplicação, é o mesmo: 2 1 X

4 5

7

0

Também aqui nós multiplicamos o 5 pelo 4, resultando 20. Como 20 unidades equivalem a 2 dezenas, o dois é acrescentado na ordem posterior (assim como no processo da soma). Em seguida multiplicamos o 5 por 1 dezena (10). Somando as parcelas obtemos o resultado da multiplicação.  25 x 17 → 25 x (10 + 7) → (20 + 5) x (10 + 7) = 20 x 10 + 20 x 7 + 5 x 10 + 5 x 7 = 200 + 140 + 50 + 35 = 425

Observe que o processo, ao utilizarmos o algoritmo da multiplicação, é o mesmo: 3 2 5 X 1 7 +

11

7

5

2

5*

0

4

2

5

* Neste caso quando multiplicamos o 1 da dezena pelo 5 da unidade, devemos posicionar o resultado na casa das dezenas pois 5 vezes uma dezena (5 x 10) corresponde a 5 dezenas (50). É comum também completar a casa da unidade que está vazia com o zero (seu representante).

4) Divisão: o processo de divisão consiste em formar grupos. Deste modo, dividir nada mais é do determinar quantas vezes podemos retirar um número do outro.

Por exemplo, dividir 12 por 4, consiste em determinar quantas vezes eu posso retirar o 4 do 12. Neste caso a resposta seria 3 e não haveria resto. (12 - 4 = 8; 8 - 4 = 4 e 4 - 4 = 0).

No caso de dividirmos 27 por 6 teríamos como resultado 4 e como resto 3, visto que pegando o 6 quatro vezes (6 x 4) temos 24 e ainda sobram 3 (menor que 6). Observemos isto utilizando o algoritmo da divisão: Exemplo 1: Resto nulo Dezena 1

Unidade Unidade 2

4

0

3

Exemplo 2: Resto não nulo Dezena 2

Unidade Unidade 7

6

3

4

Nomenclaturas: Dividendo

Divisor

Resto

Quociente

Temos que: dividendo = Quociente x Divisor + Resto Exemplo 3: 

589 ÷ 5 = Centena

Dezena

5'

8

0

8' 3

Unidade Centena

Dezena Unidade

9

5 1

1

7

9' 4

Exemplo 4: 

541 ÷ 5 = Centena

Dezena

5'

4

0

4' 4

Unidade Centena

Dezena Unidade

1

5 1

0

8

0' 1

Observe que devemos dividir as maiores ordens primeiro. Caso o algoritmo de uma ordem seja menor que o divisor, preenchemos a referida ordem com zero, transformamos ser valor relativo a ordem seguinte e adicionamos a ele o valor que consta nesta ordem. No exemplo quatro, quando vamos pegar a ordem das dezenas, fazemos 4 ÷ 5. Como 4 é menor que 5, teremos 0 dezenas no quociente. Para continuar a divisão transformamos 4 dezenas em 40 unidades e adicionamos a 1 unidade que já constava lá.

Desenvolvendo Competências 1. O Sistema Monetário Colonial do Brasil mantinha uma clássica ordem de valores baseados nas dezenas, com seus valores dobrados a cada nível acima de moeda cunhada, portanto com valores de 10, 20, 40, 80, 160, 320, 640 e 960 réis; o que em grande parte minimizava a problemática do troco. No entanto, a província de Minas Gerais produziu um problema tão grave de troco, no início da segunda década do século XIX, que afetou diretamente os interesses da metrópole e exigiu medidas drásticas para evitar grandes perdas ao cofre português. [...] Para resolver o problema, em 1818, a Casa da Moeda do Rio de Janeiro, desativada desde 1734, foi reaberta para cunhar uma das moedas mais intrigantes da história da numismática mundial, o Vintém de Ouro. O nome sugere uma moeda de vinte réis cunhada em ouro, no entanto é uma moeda de cobre que tem no seu anverso o valor de 37 ½ réis, batida no Rio de Janeiro para circular em Minas Gerais. (O SISTEMA. 2013 ).

De acordo com o texto, se uma pessoa tivesse que efetuar um pagamento de 680 réis e só possuísse moedas de Vintém de Ouro, então, ao realizar esse pagamento, ele poderia receber de troco uma quantidade mínima de moedas, correspondente a uma moeda de a) 40 réis. b) 80 réis. c) 10 e outra de 20 réis. d) 10 e outra de 40 réis. e) 10, uma de 20 e uma de 40 réis. 2. Todos os anos, a Receita Federal alerta os contribuintes para não deixarem o envio de seus dados para o último dia do prazo de entrega, pois, após esse prazo, terá que pagar uma multa. Em certo ano, a quatro dias do prazo final, contabilizou-se o recebimento de 16,2 milhões de declarações, o equivalente a cerca de 60% do total estimado pela Receita Federal. Nesse mesmo momento, foi observado que a média de entrada era de aproximadamente 90 000 declarações por hora. Disponível em: www.folha.uol.com.br. Acesso em: 30 maio 2010 (adaptado).

Considerando o total estimado para entrega e permanecendo nesses últimos dias a mesma média por hora de recebimentos das declarações, qual a quantidade aproximada de pessoas que terão que pagar multa por atraso, sabendo que a Receita Federal recebe declarações 24 horas por dia?

a) 2,16 milhões b) 4,05 milhões c) 6,21 milhões d) 7,65 milhões e) 8,64 milhões

3. Camile gosta de caminhar em uma calçada em torno de uma praça circular que possui 500 metros de extensão, localizada perto de casa. A praça, bem como alguns locais ao seu redor e o ponto de onde inicia a caminhada, estão representados na figura:

Em uma tarde, Camile caminhou 4 125 metros, no sentido anti-horário, e parou. Qual dos locais indicados na figura é o mais próximo de sua parada? a) Centro cultural. b) Drogaria. c) Lan house. d) Ponto de partida. e) Padaria.

Gabarito: 1.e; 2.a; 3.e
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