1- Ecuaciones de segundo grado completas

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Instituto General San Martín Matemática - 4° A, B, C

Importante: copia esta explicación en tu carpeta, para ir armándola de forma completa y prolija ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Una ecuación de segundo grado es aquella cuya forma general es: 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 Con 𝑎 ∈ 𝑅, 𝑏 ∈ 𝑅, 𝑐 ∈ 𝑅, 𝑎 ≠ 0 Ya estuvimos trabajando con ecuaciones de segundo grado, así que la definición ya la conocemos. Pero nos abocamos a ecuaciones incompletas, donde faltaba el coeficiente 𝑏 (el número que aparece en el término con 𝑥) o 𝑐 (el número que aparece sólo, sin 𝑥). En esta clase vamos a resolver ecuaciones de segundo grado completas, es decir que tienen sus 3 términos. 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 Las letras 𝑎, 𝑏 y 𝑐 van a estar reemplazadas por números. Para resolverlas, es necesario aplicar la fórmula resolvente: −𝑏 ± √𝑏 2 − 4. 𝑎. 𝑐 𝑥1 ; 𝑥2 = 2. 𝑎

1

➢ Ejemplo 1: 2𝑥 2 + 𝑥 − 10 = 0 Primero debemos tener la ecuación igualada a cero, luego identificamos quienes son 𝑎, 𝑏y𝑐 2 𝑥 2 + 𝑥 − 10 = 0

𝑎=2

𝑐 = −10 𝑏=1

Ahora vamos a reemplazar en la fórmula. Vamos a cambiar todas las letras 𝑎, 𝑏 y 𝑐por los valores correspondientes a nuestro ejemplo: 𝑎=2

𝑏=1

𝑐 = −10

2

− 1 ± √ 1 − 4. 2 . ( −10 ) 𝑥1 ; 𝑥2 =

2. 2

Cuidado al resolver dentro de la raíz, porque hay dos términos.

𝑥1 ; 𝑥2 =

−1 ± √1 + 80 4

𝑥1 ; 𝑥2 =

−1 ± √81 4

𝑥1 ; 𝑥2 =

−1 ± 9 4

Luego de resolver todo, tenemos que separar las dos soluciones: una con + y otra con − . Y así obtendremos las dos soluciones de la ecuación 𝑥1 =

−1 + 9 8 → 𝑥1 = → 4 4

𝑥2 =

−1 − 9 −10 → 𝑥2 = → 4 4

𝑥1 = 2

𝑥2 = 2,5

2

Esta fórmula también nos sirve para resolver las ecuaciones de segundo grado incompletas, en ese caso tenemos que reemplazar por cero el coeficiente que falta. Veamos el siguiente ejemplo: ➢ Ejemplo 2: 2𝑥 2 − 3𝑥 = 0 𝑎=2

𝑏 = −3

𝑐=0

Ahora procedemos de la misma manera, reemplazando por los valores de la ecuación que queremos resolver: Acá se juntan dos signos “-”, uno del número 3 y otro de la fórmula

2

− (−3) ± √ (−3) − 4. 2 . 0 𝑥1 ; 𝑥2 =

2. 2

𝑥1 ; 𝑥2 =

3 ± √9 − 0 4

𝑥1 ; 𝑥2 =

3 ± √9 4

𝑥1 ; 𝑥2 =

3±3 4

𝑥1 =

3+3 6 → 𝑥1 = → 4 4

𝑥1 =

3 = 1,5 2

𝑥2 =

3−3 0 → 𝑥2 = → 4 4

𝑥2 = 0

3

➢ Ejemplo 3: 𝑥2 − 9 = 0 𝑎=1

𝑏=0

𝑐 = −9

2

− 0 ± √ 0 − 4. 1 . ( −9 ) 𝑥1 ; 𝑥2 =

2. 1

𝑥1 ; 𝑥2 =

0 ± √0 + 36 2

𝑥1 ; 𝑥2 =

0 ± √36 2

𝑥1 ; 𝑥2 =

0±6 2

𝑥1 =

0−6 −6 → 𝑥1 = → 2 2

𝑥2 =

0+6 6 → 𝑥1 = → 2 2

𝑥1 = −3

𝑥1 = 3

Veamos un último ejemplo de una ecuación completa: ➢ Ejemplo 4: −3𝑥 2 − 2𝑥 − 6 = 0 𝑎 = −3

𝑏 = −2

𝑐 = −6

2

− −2 ± √ (−2) − 4. −3 . ( −6 ) 𝑥1 ; 𝑥2 = 𝑥1 ; 𝑥2 =

2. −3 2 ± √4 − 72 −6

2 ± √−68 𝑥1 ; 𝑥2 = −6

Si quisiéramos calcular esta raíz, no encontraríamos resultado, ya que en el conjunto de los números reales las raíces de índice par y argumento negativo no existen. Por lo tanto, en estos casos diremos que “La ecuación no tiene solución en el conjunto de los números reales”

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¿Qué pasaría si la ecuación no tiene la “forma” de una ecuación de segundo grado? En ese caso tendremos que trabajar algebraicamente aplicando propiedades, juntando términos semejantes e igualando a cero: ➢ Ejemplo 5 9 + 3𝑥 . (3𝑥 + 4) = 5 Aplico propiedad distributiva: 9 + 9𝑥 2 + 12𝑥 = 5 Igualo a cero: 9 + 9𝑥 2 + 12𝑥 − 5 = 0 Agrupo los términos semejantes y ordeno: 9𝑥 2 + 12𝑥 + 4 = 0 Ahora ya pueden identificar 𝑎, 𝑏 y 𝑐 y resolverla como los ejemplos anteriores.

ACTIVIDADES PRÁCTICAS Aclaración: copia y resuelve estas actividades en tu carpeta. Son para que practiques el tema y las corrijamos en clases de zoom de la semana del 15 al 19 de junio. No son para entregar Resuelve las siguientes ecuaciones aplicando la fórmula: 1) 𝑥 2 − 3𝑥 − 4 = 0 2) 𝑥(𝑥 − 5) = 14 3) 2𝑥 2 − 𝑥(𝑥 − 1) = 6 4) 𝑥(𝑥 + 2) = 4𝑥 + 3 5) 36 + (2 − 3𝑥)(𝑥 − 3) + 2𝑥 = 0

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